LOGARITMOS
DEFINICIÓN: Se define el logaritmo de un número, al exponente( ) al cual es necesario elevar otro número llamado base(b) para encontrar el número propuesto(N) inicialmente. NOTACIÓN : bα = N
= logb N
“ se lee ( ) es el logaritmo del número (N) en base (b) ”
Ejm. 25 = 32
2-2
1 = 4
5 = log232
-2 = log2
1 4
RELACIONES FUNDAMENTALES Si :
bα = N --------- (1) (2) en (1)
= logb N ----- (2)
log N b b Ejm.
log 64 4 4
64
N IDENTIDAD
RELACIONES FUNDAMENTALES Si :
bα = N --------- (1) (2) en (1)
= logb N ----- (2)
log N b b Ejm.
log 64 4 4
64
N IDENTIDAD
RELACIONES FUNDAMENTALES Si :
bα = N --------- (1) (2) en (1)
= logb N ----- (2)
log N b b Ejm.
log 64 4 4
64
N IDENTIDAD
PROPIEDADES 1.
La base de un sistema de logaritmos debe ser un nĂşmero positivo y distinto de la unidad. b>1 ; 0<b<1
2.
Los nĂşmeros negativos no tienen logaritmo en el campo real , su valor es un nĂşmero imaginario. log5 (-7) |R
3.
En todo sistema, el logaritmo de la base es igual a la unidad. logb b = 1
4.
En todo sistema el logaritmo de la unidad es cero. logb 1 = 0
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA logbN b>1
(1,0)
N
0
0<b<1
PROPIEDADES OPERATIVAS Logaritmo de un producto Se desarrolla sumando los logaritmos de sus factores, si hubiese más factores habría que poner más sumandos. logb (A.B) = logb A + logb B Ejm log5 (4.16) = log5 4 + log5 16 Logaritmo de un cociente Se desarrolla restando el logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. A logb = logb A – logb B B
Ejm
log5
2 = log5 2 – log5 3 3
Logaritmo de una potencia Se desarrolla multiplicando la potencia por el logaritmo del número.
logb An = n . logb A Ejm log7 45 = 5 . log7 4
Logaritmo de una raíz Se desarrolla dividiendo el logaritmo del radicando entre el índice de la raíz. logb n A = logb A n
Ejm log2 4 = log2 4 = 1 2
El valor de un logaritmo no se altera, si se efectúan con la base y el número propuesto las mismas operaciones de potenciación ó radicación. logb N = logbp Np Ejm
log210
log22 102
log3 2 3 10
logr
r b
N
REGLA DE LA CADENA logb a . loga c . logc d = logb d Ejm log3 5 . log5 8 . log8 27 = log3 27 = 3
CAMBIO DE BASE (teorema) El siguiente teorema se puede aplicar para encontrar el logaritmo de cualquier nĂşmero en cualquier base.
logb M = Ejm
log3 7 log5 7 = log3 5
logaM logab
NOTA I. LOGARITMOS DECIMALES ó COMUNES Son aquellos cuya base es el número 10 , siendo los más utilizados en razón que la base coincide con el sistema de numeración que empleamos. NOTACION :
log N <> log10 N <> lg N Ejm
(logaritmo decimal de N)
lg 2 , lg 7 , lg x
II. LOGARITMOS NEPERIANOS (ln) Llamados también logaritmos naturales o hiperbólicos son aquellos cuya base es el número “e” . e = 2.718281828 . . . ésta cantidad se ha obtenido calculando el siguiente límite. e = xlím NOTACIÓN :
1
1 x
x
loge N = ln N (logaritmo neperiano de N)
ANTILOGARITMO Es aquella cantidad que acepta por logaritmo el número dado.
antilogbα = bα Ejemplos: antilog24 = 24 = 16 antilog7(-2) = 7-2 = 1/49 PROPIEDADES: 1. logb antilogbα = logbbα = α 2. antilogb logbα = α
COLOGARITMO Es el logaritmo del inverso del número propuesto.
cologbN = logb(1/N) = - logbN Ejemplo: colog35 = log3(1/5) = - log35