Logaritmos

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LOGARITMOS


DEFINICIÓN: Se define el logaritmo de un número, al exponente( ) al cual es necesario elevar otro número llamado base(b) para encontrar el número propuesto(N) inicialmente. NOTACIÓN : bα = N

= logb N

“ se lee ( ) es el logaritmo del número (N) en base (b) ”

Ejm. 25 = 32

2-2

1 = 4

5 = log232

-2 = log2

1 4


RELACIONES FUNDAMENTALES Si :

bα = N --------- (1) (2) en (1)

= logb N ----- (2)

log N b b Ejm.

log 64 4 4

64

N IDENTIDAD


RELACIONES FUNDAMENTALES Si :

bα = N --------- (1) (2) en (1)

= logb N ----- (2)

log N b b Ejm.

log 64 4 4

64

N IDENTIDAD


RELACIONES FUNDAMENTALES Si :

bα = N --------- (1) (2) en (1)

= logb N ----- (2)

log N b b Ejm.

log 64 4 4

64

N IDENTIDAD


PROPIEDADES 1.

La base de un sistema de logaritmos debe ser un nĂşmero positivo y distinto de la unidad. b>1 ; 0<b<1

2.

Los nĂşmeros negativos no tienen logaritmo en el campo real , su valor es un nĂşmero imaginario. log5 (-7) |R

3.

En todo sistema, el logaritmo de la base es igual a la unidad. logb b = 1

4.

En todo sistema el logaritmo de la unidad es cero. logb 1 = 0


GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA logbN b>1

(1,0)

N

0

0<b<1


PROPIEDADES OPERATIVAS Logaritmo de un producto Se desarrolla sumando los logaritmos de sus factores, si hubiese más factores habría que poner más sumandos. logb (A.B) = logb A + logb B Ejm log5 (4.16) = log5 4 + log5 16 Logaritmo de un cociente Se desarrolla restando el logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. A logb = logb A – logb B B

Ejm

log5

2 = log5 2 – log5 3 3

Logaritmo de una potencia Se desarrolla multiplicando la potencia por el logaritmo del número.

logb An = n . logb A Ejm log7 45 = 5 . log7 4


Logaritmo de una raíz Se desarrolla dividiendo el logaritmo del radicando entre el índice de la raíz. logb n A = logb A n

Ejm log2 4 = log2 4 = 1 2

El valor de un logaritmo no se altera, si se efectúan con la base y el número propuesto las mismas operaciones de potenciación ó radicación. logb N = logbp Np Ejm

log210

log22 102

log3 2 3 10

logr

r b

N


REGLA DE LA CADENA logb a . loga c . logc d = logb d Ejm log3 5 . log5 8 . log8 27 = log3 27 = 3

CAMBIO DE BASE (teorema) El siguiente teorema se puede aplicar para encontrar el logaritmo de cualquier nĂşmero en cualquier base.

logb M = Ejm

log3 7 log5 7 = log3 5

logaM logab


NOTA I. LOGARITMOS DECIMALES ó COMUNES Son aquellos cuya base es el número 10 , siendo los más utilizados en razón que la base coincide con el sistema de numeración que empleamos. NOTACION :

log N <> log10 N <> lg N Ejm

(logaritmo decimal de N)

lg 2 , lg 7 , lg x

II. LOGARITMOS NEPERIANOS (ln) Llamados también logaritmos naturales o hiperbólicos son aquellos cuya base es el número “e” . e = 2.718281828 . . . ésta cantidad se ha obtenido calculando el siguiente límite. e = xlím NOTACIÓN :

1

1 x

x

loge N = ln N (logaritmo neperiano de N)


ANTILOGARITMO Es aquella cantidad que acepta por logaritmo el número dado.

antilogbα = bα Ejemplos: antilog24 = 24 = 16 antilog7(-2) = 7-2 = 1/49 PROPIEDADES: 1. logb antilogbα = logbbα = α 2. antilogb logbα = α

COLOGARITMO Es el logaritmo del inverso del número propuesto.

cologbN = logb(1/N) = - logbN Ejemplo: colog35 = log3(1/5) = - log35


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