Geometria I Elementi di geometria Euclidea
Valter Chiovini
QUADERNI
Quaderno numero 3
Geometria I: Elementi di Geometria Euclidea
Quaderno n°3
Indice
Indice CAPITOLO 1 SIMILITUDINE ............................................................................... 7 1.1 Teorema di Talete ........................................................................... 7 1.2 Teoremi di Euclide .......................................................................... 9 1.2.1 1° Teorema di Euclide ................................................................... 9 1.2.2 2° Teorema di Euclide ................................................................. 11 1.3 Teorema di Pitagora ...................................................................... 11
CAPITOLO 2 TRIGONOMETRIA PIANA ........................................................... 14 2.1 Trigonometria piana ...................................................................... 14 2.1.1 Alcuni valori delle funzioni trigonometriche introdotte ............... 17 2.2 Estensione del dominio delle funzioni trigonometriche .................. 18 2.2.1 Angoli percorsi in senso antiorario (positivi) ............................... 18 2.2.2 Angoli percorsi in senso orario (negativi) .................................... 20 2.3 Formule trigonometriche ............................................................... 22 2.3.1 Relazione fondamentale.............................................................. 22 2.3.2 Relazione con tg e cotg ............................................................... 22 2.3.3 Formule di addizione e sottrazione ............................................. 23 2.3.4 Formule di duplicazione.............................................................. 24 2.3.5 Formule di Bisezione .................................................................. 25 2.4 Grafici delle funzioni trigonometriche............................................ 25
CAPITOLO 3 RISOLUZIONE DI TRIANGOLI ..................................................... 28 3.1 Risoluzione dei Triangoli ............................................................... 28 3.1.1 Teorema dei Seni ........................................................................ 28 3.1.2 Teorema di Carnot ...................................................................... 29
CAPITOLO 4 CERCHIO E CIRCONFERENZA.................................................... 32 4.1 Area del Cerchio............................................................................ 32 4.1.1 Definizione di
.......................................................................... 38
4.2 Perimetro della Circonferenza ....................................................... 40
CAPITOLO 5 MISURA DEGLI ANGOLI ............................................................. 44 5.1 Definizione di unità radiante ......................................................... 44 5.2 Valutazione del rapporto
......................................................... 45
5.3 Legame tra le diverse unità di angolo ............................................ 46 5.4 Osservazione................................................................................. 46
CAPITOLO 6 DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE ................... 50 6.1 Derivata del seno .......................................................................... 50 I
Quaderno n째3
Indice
6.2 Derivata del coseno ....................................................................... 51 6.3 Derivata della tangente ................................................................. 52
__________________________________________________
II
Quaderno n°3
Indice
Indice delle figure fig. 1.1: teorema di Talete............................................................................................................................. 7 fig. 1.2: applicazione ai triangoli rettangoli .................................................................................................. 8 fig. 1.3: 1° teorema d Euclide ..................................................................................................................... 10 fig. 1.4: relazione altezza e proeizione cateti ............................................................................................... 10 fig. 1.5: 2° teorema di Euclide .................................................................................................................... 11 fig. 1.6: teorema di Pitagora ....................................................................................................................... 12 fig. 2.1: relazioni tra rapporti di cateti ed angoli ......................................................................................... 14 fig. 2.2: dipednza dalla somma degli angoli ................................................................................................ 15 fig. 2.3: valori particolari del seno e del coseno ........................................................................................... 17 fig. 2.4:estensione al 2° quadrante in verso positivo.................................................................................... 18 fig. 2.5: estensione al 3° e 4° quadrante in verso positivo ............................................................................ 19 fig. 2.6: estensione al 4° quadrante in verso negativo ................................................................................. 21 fig. 2.7: estensione al 2° e 3° quadrante in verso positivo ............................................................................ 21 fig. 2.8: formule di addizione e sottrazione ................................................................................................. 23 fig. 2.9: grafico funzione seno .................................................................................................................... 25 fig. 2.10: grafico funzione coseno ............................................................................................................... 25 fig. 2.11: grafico funzione tangente ............................................................................................................ 26 fig. 2.12: grafico funzione cotangente ......................................................................................................... 26 fig. 3.1:teorema dei seni ............................................................................................................................. 28 fig. 3.2:teorema di carnot ........................................................................................................................... 29 fig. 4.1: approssimazione poligonale dell’area del cerchio ............................................................................ 32 fig. 4.2: successione convergente a .......................................................................................................... 39 fig. 4.3:approssimazione polinomiale perimetro circonferenza ..................................................................... 40 fig. 5.1:arco di ciroonferenza ...................................................................................................................... 44 fig. 5.2: relazione tra l’arco e segmenti inscritti e circoscritti ...................................................................... 47
III
Quaderno n째3
Indice
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IV
Quaderno 3
Introduzione
Introduzione
Nel presente quaderno vengono analizzate alcune proprietà nell’ambito della Geometria Euclidea piana. In particolare viene dimaostrata la proprietà di similitudiine ( teorema di Talete) dalla quale si fa discendere:
i teoremi i Euclide, il teorema di Pitagora la trignometria piana
Grazie al teorema di Piagora ed alle funzioni trigonmetriche è possibile risolvere qualsiasi tipo di triangolo piano tramite
il teorema dei seni il teorema di Carnot ( gegeralizzazione del teorema di Pitagora)
Si analizzano inoltre le formule di valutazione dell’area del cerchio e del perimetro della circonferenza (che si dimstrano essere quindi una conseguenza delle proprietà di similitudine), chiarendo
la natura della costante ed una formula per il suo calcolo esplicito la definizione di radiante.
V
Quaderno 3
Introduzione
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VI
Quaderno n°3
Capitolo 1–Similitudine
CAPITOLO 1 SIMILITUDINE
In questo capitolo vine dimostrato il teorema di Talete e la sua applicazione ai tringoli, in particolare ai tringoli rettaagoli, così da introdurre ile funzioni trigonometriche.
1.1 Teorema di Talete
fig. 1.1: teorema di Talete
Consideriamo i due triangoli hanno
di fig. 1.1, essi hanno al stessa area in quanto
1) la base in comune 2) la stessa altezza = Pertanto per due suddetti triangoli si può porre 1) Area Triangolo ADE =
∙
=
∙
2) Area Triangolo BDE =
∙
=
∙
Uguagliando le due aree si ha
7
Quaderno n°3
Capitolo 1–Similitudine
1 2
∙
=
1 2
∙
Da cui
=
eq. 1.1
Consideriamo ora l’area del il triangolo Area Triangolo DEC =
∙
=
∙
Ossia
=
eq. 1.2
Confrontando la (eq. 1.1) con la (eq. 1.2) otteniamo la
=
eq. 1.3
La (eq. 1.3) rappresenta il teorema di Talete. Da tale relazione si deduce anche un’altra uguaglianza: =
+
=
∙
+
=
∙
+1 =
∙
=
+
=
∙
+
=
∙
+1 =
∙
=
Da cui segue eq. 1.4
=
=
fig. 1.2: applicazione ai triangoli rettangoli
8
+
+
=
∙
=
∙
Quaderno n°3
Capitolo 1–Similitudine
Applicando la (eq. 1.4) al triangolo rettangolo ABC a sinistra della fig. 1.2 ed osservando che = si ottiene la
=
eq. 1.5
=
La(eq. 1.5) evidenzia la costanza del rapporto tra cateto verticale ed ipotenusa nei tre triangoli rettangoli ABC, DEC,HBE, caratterizzati da avere gli stessi angoli come illustrato in figura. Se ora ribaltiamo la figura di sinistra come riportato a destra e su triangoli precedenti (ABC, DEC,HBE) applichiamo la (eq. 1.5) ,osservano che = ;
sostituendo il segmento sostituendo il segmento
con il segmento con il segmento
; ;
Si ottiene la
=
eq. 1.6
=
Dal confronto con la (eq. 1.5) e la (eq. 1.6) si può dedurre la
=
eq. 1.7
=
Ossia sono costanti i rapporti tra cateti che hanno la stessa posizione rispetto agli angoli .
1.2 Teoremi di Euclide Applicando le precedenti proprietà ad un triangolo rettangolo si possono dimostrare i cosiddetti teoremi di Euclide riferiti a triangoli rettangoli.
1.2.1 1° Teorema di Euclide Facendo riferimento alla fig. 1.3 il teorema si esprime tramite la seguente relazione :
9
Quaderno n°3
Capitolo 1–Similitudine
fig. 1.3: 1° teorema d Euclide eq. 1.8
=
⋅
Ossia =
∙(
+ )=
∙
Analogamente eq. 1.9
= =
∙(
⋅
+ )=
⋅
Infatti considerando i triangoli rettangoli ABH e ABC di cui alla fig. 1.4
fig. 1.4: relazione altezza e proeizione cateti
e quanto stabilito in precedenza si ottiene = =
⋅
Analogamente per la (eq. 1.9). Il 1° teorema di Euclide può anche essere enunciato dicendo che in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione dei cateto sull’ipotenusa. 10
Quaderno n°3
Capitolo 1–Similitudine
1.2.2 2° Teorema di Euclide Il 2° teorema di Euclide si può enunciare dicendo che in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa
fig. 1.5: 2° teorema di Euclide
Infatti dai triangoli rettangoli ABH e BHC (fig. 1.5) segue
=
Da cui: =
⋅
In modo equivalente ℎ =
⋅
1.3 Teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo la somma dei quadrati costruiti sui cateti è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa (fig. 1.6)
11
Quaderno n°3
Capitolo 1–Similitudine
fig. 1.6: teorema di Pitagora
In altri termini il teorema può essere espresso come segue eq. 1.10
=
=
+
+
Infatti applicando 2 volte il 1° teorema d Euclide si ottiene
=
⋅
=
⋅
Da cui segue la (eq. 1.10) +
=
⋅
+
⋅
=
12
⋅(
+
)=
⋅
=
Quaderno n°3
Capitolo 1–Similitudine
___________________________________________________
13
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
CAPITOLO 2 TRIGONOMETRIA PIANA
In questo paragrafo si definiscono le funzioni trigonmetriche a partire dalle proprietà derivate dal teorema di Talete nei triangolo rettangoli. Si proced poi ad una generalizzazone per estendere il dominio delle funzioni su tutto il campo reale
2.1 Trigonometria piana Dall’applicazione del teorema di Talete ai triangoli rettangoli risulta la possibilità di definire alcune funzioni degli angoli compresi tra i cateti e l’ipotenusa. Infatti
fig. 2.1: relazioni tra rapporti di cateti ed angoli
Rimangono costanti i seguenti rapporti conseguentemente anche l’angolo )1 =
se
rimane
costante
l’angolo
(e
= ( )
1
Nel presente capitolo gli angoli veraano espressi in radianti e in grdia sessagesimali. Per la definizione di angolo in radiate si veda il §5.1
14
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
=
= ( )
Si osservi che il ruolo dei cateti rispetto alla definizione dei rapporti sopra indicati può essere scambiato , così come quello degli angoli. In altri termini si può porre: =
= ( )
=
= ( )
E quindi risulta ( )= ( )e ( )= ( )
La costanza dei rapporti e quindi delle funzioni costanti gli angoli .
(. ) (. ), permane se rimangono
Al variare de suddetti angoli si possono dedurre i seguenti andamenti
= (
+
)
= ( )
Dalla fig. 2.2 si evince che essendo
fig. 2.2: dipednza dalla somma degli angoli
> ( )> (
Pertanto al diminuire dell’angolo
+
)
aumenta la funzione (. ):
15
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
se
= 0, poiché
=
se
→ , poiché
→ ∞ ed
se 0 <
<
, segue (0) = 1
poiché
è finito, segue ≤ +∞ con
≤
=0
finito e costante, segue 0 < ( ) <
1
D’altra parte essendo = ( )= ( ) =
−
2
Si ha
se
= , poiché
, segue
se → 0, poiché → ∞ ed se 0 < < poiché ≤
=
=1
è finito, segue (0) = 0 ≤ +∞ con finito e costante, segue 0 < ( ) < 1
Si possono inoltre definire altre due funzioni trigonometriche utilizzando i rapporti tra i cateti (eq. 1.7) E’ dunque possibile definire due funzioni degli angoli di un triangolo rettangolo (. ) (. ) le quali vengono indicate come
Funzione seno Funzione coseno
( ); ( ).
( )= g( ) =
Applicando il teorema di Pitagora si ottiene la cosiddetta relazione trigonometrica fondamentale: +
+
=
=
=1=
( ) +
( ) = 1
=
⋅
( )∙
=
( ) 1 = cos( ) cos( )
Funzione cotangente ( )=
=
⋅
=
Si ha
( )
Funzione tangente ( )=
( ) +
se
→ , segue
→ ±∞,
→0
16
( )∙
1 = ( )
( ) ( )
Quaderno n°3
se
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
→ 0, segue
(0) → 0,
(0) → ±∞
2.1.1 Alcuni valori delle funzioni trigonometriche introdotte Si faccia rferimento alla fig. 2.3
fig. 2.3: valori particolari del seno e del coseno
Osserviamo il triangolo di sinistra che risulta retto e isoscele in quanto gli angoli alla base sono uguali e pari a 45° ( in radianti); da ciò segue =
e
=
+
=
̅ = √2
+
e pertanto
4 4
=
=
=
=
4
1 √2
√2 1
√2
=
√2
=
√2 2
=
√2 2
( )=1 4
Osserviamo il triangolo di destra che risulta e quindi ha i tre lati = = ed i tre angoli uguali e pari a 60° ( in radianti),
l’altezza
è bisettrice e mediana e quindi l’angolo al vertice C è pari a 30°( in
radianti) e
=
=
=
da ciò segue =
−
=
−
1 4
=
e pertanto 3
=
6
17
=
=
√3 2
√3 2
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
=
6
3
=
=
1 2
Da cui segue 3 6
=
( ) = √3 6 1 ( )= 3 √3
=
2.2 Estensione del dominio delle funzioni trigonometriche Di seguito viene illustrata la modalità di estensione del dominio di definizione delle funzioni trigonometriche introdotte.
2.2.1 Angoli percorsi in senso antiorario (positivi) Finora le funzioni trigonometriche sono state definite come funzioni dell’angolo ∈ 0,
. È possibile estendere facilmente il dominio di applicazione in tutto l’asse
reale introducendo la cosiddetta circonferenza goniometrica. Essa consiste in una circonferenza riferita ad assi cartesiani ortogonali di centro l’origine e raggio unitario. Si definisca un verso per la misurazione degli angoli: Verso positivo quello antiorario Verso negativo quello orario Valutiamo per il momento solo gli angoli positivi ( quelli che si misurano in senso antiorario sulla circonferenza goniometrica, vedere figura seguente).
Sia ha, essendo
= 1, e prendendo
nel primo quadrante, ossia con 0 ≤ ( ) =
=
( ) =
=
fig. 2.4:estensione al 2° quadrante in verso positivo
18
≤
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
In altri termini le funzioni seno e coseno dell’angolo alfa nel primo quadrante sono pari rispettivamente ai segmenti e , entrambi positivi e minori od uguali a 1. Seguendo questa osservazione poiché = = − si può porre ponendo
≤
=
(essendo 0 ≤
+ ≤
≤ ) e definire le funzioni
anche nel secondo quadrante della circonferenza goniometrica ( ) = ( ) =
+
=
2
+
=
2
=−
( )
=−
=
( )
=
In questo modo abbiamo esteso il domino delle funzioni trigonometriche dall’intervallo 0,
.all’intervallo [0, ].
In modo analogo si può estendere il dominio al terzo e quarto quadrante Infatti per quanto riguarda il terzo quandrante ponendo 0≤
≤
=
+
≤3
(essendo
≤ ) ed essendo
Si ha
= − = −
( ) =
( + ) =
=−
=−
( )
( ) =
( + ) =
= −
=−
( )
fig. 2.5: estensione al 3° e 4° quadrante in verso positivo
Infine nel quarto quandrante osservando che = 2 −
−
=
+3 ≤2
(essendo 0 ≤ 19
=
−
si puoò porre 3 ≤
≤ ) ed essendo
=2 −
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
= −
Si ha ( ) = ( ) =
+3
+3
2
=
2
=
=
= −
( ) =−
( )
In questo modo è possibile dunque definire le funzioni trigonometriche di seno e conseno sull’intervallo [0,2 ]. Si può osservare inoltre che è possibile dare un significato anche ad un angolo positivo, ossia percorso in senso orario sulla circonferenza goniometrica, definito come segue: =
+ 2 , con
≤2 .
Infatti individua semplicemente lo stesso angolo dopo aver fatto un giro completo di 360° (2 rappresenta l’angolo giro espresso in radianti) sula circonferenza goniometrica e pertanto partendo dal punto P su tale circonferenza individuato dall’angolo si ritorna dopo un giro completo allo stesso punto P i valori delle funzioni seno valutati i sono gli stessi di quelli valutati in . In altri termini ha ( + 2 ) =
( )
( + 2 ) =
( )
Più in generale considerando invece di fare un solo giro, di farne ( + 2
)=
( )
( + 2
)=
( )
= 1,2,3 … , …, si ha:
Tale proprietà si esplicita dicendo che le suindicate funzioni sono periodiche di periodo 2 ed il loro domino si può estendere quindi all’intervallo [0,+∞)
2.2.2 Angoli percorsi in senso orario (negativi) Se si percorre la circonferenza goniometrica in senso orario, si indentifica un angolo che per definizione è posto negativo. Poiché comunque viene ad indentificarci ugualmente un punto P su tale circonferenza, è sempre possibile definire le funzioni seno e coseno, il cui domino viene quindi esteso anche ai valori reali negativi. Si osservi infatti quanto segue ( si considera
> 0):
se – individua l’appartenenza al quarto quadrante (al primo quadrane) il punto identificato è il punto T( il punto P) nella figura sottostante di sinistra (di destra) ed essendo congruenti i triangoli THO e PHO segue 20
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
fig. 2.6: estensione al 4° quadrante in verso negativo (− ) =
=−
=−
( );
4°
(− ) =
=−
=−
( );
1°
(− ) =
( );
=
4° 1°
se – individua l’appartenenza al terzo(al secondo quadrante) il punto identificato è il punto R (il punto Q) della figura seguente a sinistra (a destra) ed essendo congruenti i triangoli KRO e KQO segue
fig. 2.7: estensione al 2° e 3° quadrante in verso positivo (− ) =
=−
=−
( );
3°
(− ) =
=−
=−
( ) ;
2°
(− ) =
=
( );
;
2° 3°
Da quanto precede si determina dunque l’estensione del dominio delle funzioni seno e coseno anche all’intervallo (-∞; 0] e pertanto le due funzioni sono definite in tutto l’asse reale (-∞; +∞) in cui risultano periodiche di periodo = 2 Inoltre si evidenzia che il seno è un funzione dispari (− ) = − ( ) Applicando i precedenti risultati alle funzioni tangente e cotangente si deduce
facilmente che la tangente
( )=
( ) ( )
e la cotangente
21
( )=
( ) ( )
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
sono funzioni dispari essendo rapporti tra seno e coseno ed essendo il seno una funzione dispari
sono definite in tutto l’asse reale (∞; +∞) ad esclusioni dell’insieme dei punti numerabile o per la tangente tali punti sono quelli di annullamento del coseno ossia i punti = (2 + 1) con = ±1, ±2, …. o
per la cotangente tali punti sono quelli di annullamento del seno ossia i punti = con = 0, ±1, ±2, ….
Sono periodiche con periodo ( + ( + )= ( +
= , infatti ) (−1) = ) (−1)
( ) = ( )
( ) = ( )
( )
Analogamente per la cotangente essendo l’inverso della tangente
2.3 Formule trigonometriche 2.3.1 Relazione fondamentale Abbiamo già visto la relazione fondamentale che discende dal teorema di Pitagora che si riporta per completezza eq. 2.1
( ) +
( ) = 1
2.3.2 Relazione con tg e cotg Utilizzando tale espressione si può dedurre ( ) ∙
( ) +1 =1 ( )
cos( ) ∙ [tg( ) + 1] = 1 →
( ) =
[
1 ( ) + 1]
Analogamente mettendo in evidenza il seno ( ) ∙ [
( ) + 1] = 1 →
22
( ) =
[
1 ( ) + 1]
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
2.3.3 Formule di addizione e sottrazione Si consideri la fig. 2.8 in cui per costruzione
i due triangoli OQR e OAP sono congruenti gli angoli ⏞ = = −
fig. 2.8: formule di addizione e sottrazione
Si ha dunque Pitagora segue
=
e dalle coordinate dei punti e dall’applicazione del teorema di
[cos( − ) − 1] +
( − ) = [cos( ) −
( − ) ( − ) + 1 − 2 cos( − ) + ( ) −2 ( ) = cos( ) + 2 − 2 cos( − ) = 1 − 2
( )] + [cos( ) −
( ) + cos( ) +
( )
( )+1−2
( − )=
( )
( )
( )]
( ) −2
( )
( )
( )
Da cui segue eq. 2.2
( )+
( )
( )
Poniamo ora – al posto di nella (eq. 2.2) e ricordando che il coseno è una funzione pari ed il seno è una funzione dispari ossia (− ) = −
( )
(− ) = cos ( )
Segue cos( + ) = cos [
( )
− (− )] =
23
( )+
(− )
(− )
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
( + )=
eq. 2.3
Ricordando che
( ) = cos
( )−
( )
( )
,applicandola alla (eq. 2.2) si ottiene
−
( − ) = cos
( )
2
−( − ) =
2
−
+
− cos( ) − sen − 2 2 = sen( ) cos( ) − cos( ) sen( ) = cos
sen( )
Da cui ( − )=
eq. 2.4
( )
( )−
( )
( )
Inoltre ponendo ( + )=
[ − (− )] = sen( ) cos(− ) − cos( ) sen(− )
Segue ( + )=
eq. 2.5
( )
( )+
( )
( )
2.3.4 Formule di duplicazione
Dalle precedenti formule si ottiene facilmente (2 ) = eq. 2.6
( + ) = sen( ) cos( ) + cos( ) sen( ) (2 ) = 2
( )
( )
cos(2 ) = cos( ) cos( ) − sen( ) sen( ) = [cos ( )] − [sen ( )] = [cos ( )] − 1 + [cos( )] = 1 − [sen ( )] − [sen ( )] Da cui segue
eq. 2.7
(2 ) = 2[
24
( )] − 1 = 1 − 2[
( )]
Quaderno n°3
Capitolo 3 – Trigonometria Piana
2.3.5 Formule di Bisezione
Dalle ultime formule di duplicazione segue
eq. 2.8
⎧
=±
⎨ ⎩
=±
( )
( )
2.4 Grafici delle funzioni trigonometriche Di seguito sino riportati i grafici delle funzioni seno e coseno limitate all’intervallo [−2 , 2 ]
fig. 2.9: grafico funzione seno
fig. 2.10: grafico funzione coseno
25
Quaderno n°3
Capitolo 3 â&#x20AC;&#x201C; Trigonometria Piana
fig. 2.11: grafico funzione tangente
fig. 2.12: grafico funzione cotangente
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Quaderno n°3
Capitolo 3 â&#x20AC;&#x201C; Trigonometria Piana
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Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
CAPITOLO 3 RISOLUZIONE DI TRIANGOLI
3.1 Risoluzione dei Triangoli Applicando la trigonometria si possono determinare alcune relazioni tra angoli e lati di un triangolo qualsiasi utili alla cosiddetta risoluzione dei triangoli, ossia alla determinazione degli elementi (angoli, lati) incogniti di un triangolo in funzione di elementi noti (angoli, lati).
3.1.1 Teorema dei Seni
fig. 3.1:teorema dei seni
Si prenda un generico triangolo come indicato nella fig. 3.1 e determiniamo l’altezza h riferita alla base : ℎ=
( )
ℎ=
( )
Uguagliando le due espressioni si ottiene
28
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
( ) =
( )
Da cui
( )
=
( )
Applicando un analogo procedimento all’altezza relativa al lato eq. 3.1
( )
=
( )
=
: si ottiene
( )
3.1.2 Teorema di Carnot Il teorema di Carnot generalizza il teorema di Pitagora nel senso che quest’ultimo è un caso particolare del primo quando si tratta di un triangolo rettangolo.
fig. 3.2:teorema di carnot
Riferendoci alla fig. 3.2 si può dedurre: =ℎ +( +
) =ℎ +
+
+2
Poiché =ℎ +
;
= ∙ cos( + ) = ∙ cos( − ) = − ∙ cos( ) =
Si ha eq. 3.2
=
+
−2 ∙
( )
−2
∙ cos( )
In altri termini =
+
29
Quaderno n°3
Se
=
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
essendo cos( ) = 0 si ottiene il teorema di Pitagora
=
+
Il teorema di Carnot ci permette di sapere quando una terna di numeri positivi (a,b,c) possono rappresentare la lunghezze dei tre lati di un triangolo. Infatti riprendendo la (eq. 3.2) deve valere la seguente relazione eq. 3.3
( ) =
−1 ≤
≤1
Ruotando le posizioni di (a,b,c) nella (eq. 3.3) si determinano le relazioni relative agli altri angoli del triangolo −1 ≤ cos( ) =
+ − 2
≤1
−1 ≤ cos( ) =
+ 2
≤1
Con +
+
30
=
−
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
___________________________________________________
31
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
CAPITOLO 4 CERCHIO E CIRCONFERENZA
Le relazioni trigonometriche trovare nel capitolo precedente ci serviranno stabilire il calcolo dell’area del cerchio e del perimetro della circonferenza, portandoci alla determinazione di e della misura degli angoli in radianti.
4.1 Area del Cerchio Si ricopra il cerchio con due serie di poligoni inscritti e circoscritti come riportato nella fig. 4.1.
fig. 4.1: approssimazione poligonale dell’area del cerchio
32
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
Indichiamo l’angolo giro con
e dividiamolo in 2
parti con
= 1,2,3,4, …. intero
positivo, ottenendo l’angolo
può essere di natura 2 . Il valore numerico di arbitraria a seconda dell’unità di angolo che viene scelta; ad esempio
nel caso sessagesimale
= 360°, in quanto l’unità è determinata dividendo l’angolo giro in 360 parti e ad esempio l’angolo piatto è pari a 2 = 360° 2 = 180° e l’angolo retto è pari a 4 = 360° 4 = 90° nel caso centesimale = 400°, in quanto l’unità è determinata dividendo l’angolo giro in 400 parti e quindi l’angolo piatto è pari a 2 = 400° 2 = 200° e l’angolo retto è pari a 4 = 400° 4 = 100°
Lasciando la generica notazione per l’angolo giro, i valori numerici degli angoli espressi in tali unità vengono detti valori in unità generica, ad esempio si ha
2 per indicare l’angolo piatto
4 per indicare l’angolo retto
8 per indicare la metà dell’angolo retto (quello che in notazione sessadecimale è di 45° ed in notazione centesimale di 50° ecc…
Si considerino ora i due triangoli OAP e ATQ di angolo in O pari a
2 e disposti come
in fig. 4.1 E’ possibile fare un ricoprimento del cerchio prendendo 2
coppie di triangoli
congruenti ai due triangoli OAP e ATQ e ruotando ogni coppia di un angolo
2 . in
senso antiorario rispetto alla precedente coppia. Poiché siamo interessati al comportamento limite dell’area del poligono inscritto e di quello circoscritto al cerchio dato, per ricordiamo ℎ
=
2 <
4 indica l’angolo retto); allora si ha 2
Ponendo
⟶ ∞, supponiamo che 0 <
=
>
2
, essendo
2
il raggio al quadrato del cerchio, si ha inoltre Area (triangolo OAP)=
(
2 ),
Area (triangolo OQT)=
(
2 ),
Si deduce Area (triangolo OAP)<Area (triangolo OQT)
33
<1
4, (dove
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
Si osservi ora che l’arco
è compreso nel trapezio ATQP; infatti
la distanza di un generico punto dell’arco dall’origine O è pari al raggio cerchio; la distanza di un generico punto del segmento è data da 1+[
∙
dove con 0 <
del
( )] ≥
2 si è indicato l’angolo che identifica il generico punto del segmento di coordinate [ = ; = ∙ ( )]; la distanza di un generico punto del segmento è data da ≤
∙
{1 + [
2
( )] } = ∙
∙
dove con 0 < segmento
≤
2 cos ( )
2
( ) cos( ) + = ( ) cos
≤
si è indicato l’angolo che identifica il generico punto del
2
di coordinate
= ∙
2 ; = ∙ Tutto quanto precede ci permette di concludere che
( )
2
Area (triangolo OAP)<Area(settore circolare OPT)<Area (triangolo OQT) come del resto si può facilmente vedere a dalla figura. Sommando le aree dei 2 triangoli inscritti (tutte uguali) e dei 2 triangoli circoscritti si ottiene rispettivamente
Area (poligono inscritto)= 2 Area (triangolo OAP)= 2
Area (poligono circoscritto)= 2 Area (triangolo OQT)= 2
2 );
( (
2 )
Poiché l’area del cerchio è anch’essa pari alla somma di 2 aree (tute uguali) pari all’area dell’ Area(arco OPT) si ottiene: Area (poligono inscritto)<Area(cerchio)<Area (poligono circoscritto) 2
(
2 ) <Area(cerchio)< 2
(
2 )
Studiamo ora, all’aumentare dell’indice intero → ∞ , l’andamento delle due successioni numeriche che esprimono le aree dei poligono inscritti e di quelli circoscritti:
{
} =
(
34
)
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
Dimostriamo che tale successione è monotonicamente crescente, ossia che + 1 ⇒ 2(
⟶
1 2
)
(
))
2(
1 2
>2
(
2 )
Poiché 2(
)
1 2
(
2(
))
1 2
>2
(
2 ) ⇔ 2
2(
)
>
2
E’ sufficiente dimostrare che 2
2(
>
)
2
La precedente relazione equivale alla 1 2
2
Ricordiamo ora che nell’ipotesi 0 <
<
( ) = 2 ∙
Ponendo
{
=
2
>
2
2
∅
)<2 ∙
c os (
risulta conclusa la dimostrazione.
} =
(
)
Dimostriamo che tale successione è monotonicamente decrescente ossia che + 1 ⇒ 2(
⟶
)
1 2
2(
)
1 2
<2
(
2 )
Poiché 2(
)
1 2
(
2(
))
<2
1 2
(
2 ) ⇔ 2
2(
)
E’ sufficiente dimostrare che 2
2(
<
)
2
La precedente relazione equivale alla 2
Ricordiamo ora che, nell’ipotesi 0 <
( ) =
1 2
2
≪ ∙
∅
<
2
in modo che (
>2∙ )
35
< 1,
<
2
Quaderno n°3
Ponendo
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
=
2 risulta conclusa la dimostrazione.
A questo punto possiamo dimostrare che le successioni sono limitate. Infatti ogni temine della successione
{
} = 2
è minore del corrispondente 2 ) monotonicamente decrescente
(
termine
della
successione
{
} = 2
(
un
certo
2
>
2
da
2 sufficientemente minore di
2 ) , conseguenza del fatto che
valore
=
che
∗
renda
4.
Allora si ha che 1 ∗ 1 <2 < +∞ ∗ 2 2 2 2 e la successione monotonicamente crescente delle aree dei poligoni inscritti risulta limitata superiormente ∗
⋁ ≥
{
⟹2
} = 2
termine della successione {
(
2 )
è maggiore del corrispondente } = 2
(
monotonicamente crescente conseguenza del fatto che da un certo valore
2
=
che renda
∗
2 )
>
2
2 sufficientemente minore di
4
Allora si ha che 1 ∗ 1 >2 < +∞ ∗ 2 2 2 2 E la successione monotonicamente decrescente delle aree dei poligoni circoscritti risulta limitata inferiormente ∗
∀ ≥
⟹2
Quanto precede ci permette di affermare che entrambe le successioni ammettono un limite finito per → +∞. Inoltre poiché per
→ +∞,
→1⟹
2
2
=
⟶
2
i limiti delle due successioni sono uguali lim 2
→
,
1 2
2
= lim 2 →
,
Dove si è posto 36
1 2
2
=
1 2
∙
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
= lim 2 ∙ →
= lim 2 ∙
2
,
→
Applicando il teorema del confronto alla relazione per 2
2
,
→ +∞ alla relazione
2 ) <Area(cerchio)< 2
(
(
2 )
Si ottiene eq. 4.1 Area(cerchio)=
Per calcolare il valore detto
∙
→
,
2 ∙
=
2
∙
→
,
2 ∙
2
=
∙
del limite si procede come segue:
un generico angolo ricordiamo dalle formule di duplicazione che
cos
1 + cos( ) ; sen = 2 2
=
2
1 − cos( ) 2
∅
In cui supponiamo che 0 <
< , e quindi consideriamo le funzioni seno e coseno
risultano positive (ipotesi non restrittiva in quanto stiamo valutando il limite L in cui l’angolo tende a zero). Per il calcolo del valore L per bisecare l’angolo
=
→ +∞ bisogna incrementare
a passi interi e quindi
2 .
Ad esempio
al passo = 3 si ha
=
=
2
8, ed essendo cos
1 + cos cos
2
= cos
16
=
1 − cos sen
2
= sen
al passo = 4 si ha
16 =
=
4=
2
si ha
=
=
√2 1− 2 1 = 2 − √2 2 2
8
2
√2
√2 1+ 2 1 = 2 + √2 2 2
8
2
8 =
16, ed essendo cos
1
16 = 2 2 + √2, come
calcolato di sopra, si ha
1 + cos cos
2
= cos
32
=
2
16
=
37
1 1 + 2 2 + √2 2
=
1 2 + 2 + √2 2
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
1 − cos sen
= sen
2
=
16
16
=
2
1 1 − 2 2 + √2 2
=
1 2 − 2 + √2 2
E’ semplice adesso valutare le precedenti espressioni al generico passo :
1 + cos cos
=
2
−1
2
=
2
1 2 + 2 + 2 + ⋯ + √2 2
1 − cos sen
=
2
−1
2
=
2
1 2 − 2 + 2 + ⋯ + √2 2
A questo punto possiamo concludere che = lim 2 ∙ →
= lim 2 ∙
2
,
→
2
,
= ⎡
= lim 2 ∙ →
eq. 4.2
2
,
=
→
⎤
1⎢ ⎥ = lim 2 ⎢ 2 − 2 + 2 + ⋯ + 2⎥ → , 2 ⎢ ⎣
,
2
−2
⎥ ⎦
2 − 2 + 2 + ⋯ + √2 −2
4.1.1 Definizione di La precedente espressione permette di ottenere facilmente una stima numerica di L e nella fig. 4.2 sono riportate le stime numeriche con = 3. .15, mentre nel grafico sono riportate le simulazioni numeriche delle due successione delle Aree dei Poligono Inscritti e di quelli Circoscritti sempre con = 3. .15 e raggio = 1
38
Quaderno n°3
n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
L 5,656854 6,122935 6,24289 6,273097 6,280662 6,282555 6,283028 6,283146 6,283175 6,283183 6,283185 6,283185 6,283185 fig. 4.2: successione convergente a
Poiché abbiamo visto che Area(cerchio)= Al simbolo
∙
∙
si dà il nome di , la cui stima numerica approssimata si ottiene dai
dati della precedente tabella dividendoli per due e quindi possiamo porre =
eq. 4.3
≅ 3,14159263
=2∙
≅ 6,283185
e porre eq. 4.4
Area(cerchio)=
∙
=
∙2 =
∙
Per quanto riguarda il calcolo dell’aera di un generico settore circolare si ha ricordando che indica l’angolo giro nelle unità generiche
l’area del semicerchio è la metà dell’aera del cerchio, ossia Area (semicerchio) = si osservi nella formula che
∙
=
∙
=
∙
;
rappresenta l’angolo piatto in unità generica
l’area del settore definito dall’angolo retto è un quarto dell’aera del cerchio, ossia 39
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
Area (settore retto) = si osservi nella formula che
∙
=
∙
=
∙
rappresenta l’angolo retto in unità generica
l’area di un generico settore circolare definito dall’angolo dato da Area (settore circolare) =
∙ ∙
=
∙ 2 ∙
in unità generica è =
=
2
Se ad esempio = 360°( ossia si usano le unità sessagesimali, la precedente formula assume il seguente aspetto: Area (settore circolare) =
360° =
180° =
180°
4.2 Perimetro della Circonferenza Si vuole ora valutare la lunghezza di un circonferenza di raggio > 0. A tale scopo riconsideriamo la fig. 4.3 con i poligoni inscritti e circoscritti alla circonferenza:
fig. 4.3:approssimazione polinomiale perimetro circonferenza
Abbiamo già dimostrato nel precedente paragrafo che
l’arco
è compreso nel trapezio ATQP; 2
per
>
→ +∞,
2 , essendo 2
→1⟹
< 1 con
2 2
40
=
>2 ⟶
2
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
Si valuti ora per ogni la successione dei Perimetri dei Poligoni Inscritti e quella dei Perimetri dei Poligono Circoscritti. Essendo = ∙
(
2 ) ⇒ successione {
} = 2
∙
2 )
= ∙
(
(
2 ) ⇒ successione {
} = 2
∙
(
2 ) Poiché per n → +∞
} e le due successioni { { } si comportano allo stesso modo delle successioni delle Aree di cui al paragrafo precedente ed hanno quindi lo stesso limite;
⟶ e quindi l’arco → e → 2 ⟶ 2 , ossia per ossia l’arco di circonferenza si confonde con in due segmenti dei triangoli inscritti e circoscritti in quanto, si ricordi, che tale arco è compreso nel trapezio la cui area tende a zero poiché se ⟶ ⇒ ⟶ 0 ⟶0
Allora si può concludere che il perimetro Cr della circonferenza di raggio eq. 4.5
Cr= ∙
Ricordando che si è posto eq. 4.6
=2∙ Cr= ∙
→
,
2 ∙
2
= ∙
→
,
2 ∙
è dato da: 2
= ∙
possiamo concludere =2 ∙
Il perimetro della circonferenza è dunque proporzionale al raggi secondo un coefficiente di proporzionalità pari a valore del limite = 2 ∙ . Pertanto posto Cr1= 2 ∙
; Cr2= 2 ∙
;Cr0= 2
Si ha = 2 =Cr0
Cr2/Cr1=
dove Cr0 indica la circonferenza di raggio
=1
Per quanto riguarda la lunghezza di u arco definito da un angolo di ha:
41
unità generiche si
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
L(arco)= ∙
= ∙2
Se ad esempio = 360°( ossia si usano le unità sessagesimali, la precedente formula assume il seguente aspetto: L(arco)= ∙
360° = ∙
42
180°
Quaderno n°3
Capitolo 4– Cerchio e Circonferfenza
___________________________________________________
43
Quaderno n°3
Capitolo 5– Misura degli angoli
CAPITOLO 5 MISURA DEGLI ANGOLI
5.1 Definizione di unità radiante L’unità radiante per la misura degli angoli (piani) è quel valore per cui si pone =
=2
In altri termini l’angolo giro viene diviso in di angolo è pari a 1
= 2 parti e pertanto una unità radiante
=1
=1 2
Tale unità possiamo chiamarla anche unità naturale in quanto semplifica le formule viste precedentemente dove è espresso in unità radianti:
Area (settore circolare) =
L(arco)= ∙
∙ ∙
=
∙ ∙
=
∙
= ∙
Le due precedenti formule sono importanti in quanto permettono determinare una analogia tra le formule dei triangoli iscritti e circoscritti e quelle del settore circolare. Infatti riferendoci alla fig. 5.1 si ha
fig. 5.1:arco di ciroonferenza
44
Quaderno n°3
Capitolo 5– Misura degli angoli
1. Nel caso dell’area:
Area (triangolo OQT)=
( ),
Area (triangolo OAP)=
( ),
Area (settore circolare) =
∙ : tale formula è molto simile a quella dei
triangoli inscritti e circoscritti, semplicemente al posto delle funzioni tangente e seno dell’angolo si sostituisce il valore dell’angolo espresso in radianti. 2. Nel caso della lunghezza dei segmenti per il calcolo del perimetro: Segmento = ∙ ( ), Segmento = ∙ ( ) L(arco ) = ∙ : tale formula è molto simile a quella per il calcolo dei lati dei triangoli inscritti e circoscritti, anche in questo caso al posto delle funzioni tangente e seno dell’angolo si sostituisce il valore dell’angolo espresso in radianti.
Riprendendo la formula L(arco) = ∙
si può osservare che la lunghezza di un arco è
semplicemente Il prodotto del raggio della circonferenza per l’angolo espresso in radianti
5.2 Valutazione del rapporto La valutazione degli angoli in unità radianti porta alla semplificazione del rapporto che rappresenta un importante limite notevole. Si ricordi infatti che si era posto = lim 2 ∙
2
→
Da ciò si deduce che 2
lim →
Siccome per
=2
2
→ +∞ l’angolo
→ 0 il precedente limite ci dice che detto
2 angolo misurato in unità generiche eq. 5.1
=
( ) →
=
=2
Pertanto abbiamo
se
è misurato in gradi sessagesimali, ossia se 45
= 360° segue
un
Quaderno n°3
Capitolo 5– Misura degli angoli
( )
lim →
=
360° =
180°
se
è misurato in gradi centesimali, ossia se = 400° segue ( ) (lim = 400° = 200° →
se
è misurato in radianti , ossia se lim
= ( )
→
= 2 segue =
=1
Allora la misura degli angoli in unità radianti è quella che rende unitario il suindicato limite notevole. Anzi tale proprietà potrebbe essere utilizzata anche come definizione alternativa di unità radiante a quella fornita precedentemente.
5.3 Legame tra le diverse unità di angolo Si indichi con ( ) la misura di un angolo in radianti ( )la misura dello stesso angolo in unità genica
Siccome
2
rappresentano l’angolo giro nei due tipi di unità , avremo che il
rapporto a (
2 indica a quante unità generiche corrisponde una unità radiante, per cui ) radianti corrispondono ( )=
eq. 5.2
Ad esempio nel caso sessagesimale ° = 360° 2
2
∙ (
) unità generiche
= 360°, ( ) = ° ∙ (
) = 180°
∙ (
)
5.4 Osservazione Riprendiamo la disuguaglianza analizzata precedentemente per il calcolo dell’area del cerchio, riferendoci alla fig. 4.1 Area (triangolo OAP)<Area(settore circolare OPT)<Area (triangolo OQT) Inserendo le formule trovate in precedenza la precedente relazione assume la forma ( )<
Dividendo per
<
( ),,
si ottiene ∙
( )<
< ∙
46
( ),
Quaderno n°3
Nel caso in cui
Capitolo 5– Misura degli angoli
fosse espresso in radianti si avrebbe ∙
( )< < ∙ ( )< <
( ),
( ),
Ricordando il significato geometrico dei termini
Segmento = ∙ ( ), Segmento = ∙ ( ) L(arco ) = ∙ si ha
Si ha < L(arco
)<
Ossia l’arco è maggiore del segmento del triangolo inscritto e minore di quello circoscritto ed inoltre l’angolo è maggiore del corrispondete seno e minore della corrispondete tangente. Inoltre, riferendoci alla fig. 5.2
fig. 5.2: relazione tra l’arco e segmenti inscritti e circoscritti
Essendo
=2
;
=2
e L(arco
)=2 L(arco
Si ha 2
<2 L(arco
)<2
< L(arco
)<
Da cui
47
Quaderno n°3
Capitolo 5– Misura degli angoli
La precedente relazione ci dice che
la corda sottesa ad un angolo è sempre minore dell’arco di circonferenza sotteso allo stesso angolo il segmento tangente sotteso ad angolo sempre maggiore dell’arco di circonferenza sotteso allo stesso angolo
Tali proprietà sono conseguenza diretta delle proprietà delle funzioni trigonometriche, le quali discendono dai teoremi sulla similitudine dei triangoli (teoremi di Talete) che sono conseguenti agli assiomi della geometria euclidea. In ultima analisi non è necessario introdurre l’Assioma di Archimede (sulle lunghezze delle curve con curvatura non nulla rispetto alle rette) per dimostrare le proprietà del cerchio e della circonferenza. Infatti quanto espresso in tale assioma (almeno nel caso della circonferenza) discende dagli assiomi che definiscono la geometria euclidea.
48
Quaderno n°3
Capitolo 5â&#x20AC;&#x201C; Misura degli angoli
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Quaderno n°3
Capitolo 5– Derivate funzioni trigonmetriche
CAPITOLO 6 DERIVATE DELLE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
Si vuole ora procedere al calcolo delle derivate del seno e del coseno, facendo uso del ( ) valore del limite notevole lim = =2 →
6.1 Derivata del seno Dalla definizione di derivata segue ( +∆ )− ∆
( ) = lim ∆ →
( )
Ricordiamo le seguenti formule
( − ) = sen( ) cos( ) − cos( ) sen( ) ( + ) = sen( ) cos( ) + cos( ) sen( ) Da cui sottraendo la seconda dalla prima si ottiene ( + )−
( − ) = 2 cos( ) sen( )
Si ponga ora +
= +∆ − =
Dalla cui soluzione segue =
1 + ∆ 2 1 = ∆ 2
Sostituendo 50
Quaderno n°3
Capitolo 5– Derivate funzioni trigonmetriche
( ) = lim
1 1 ∆ )cos ( + ∆ 2 2 ∆
2
∆ →
1 ∆ 2
( ) = cos ( ) lim
∆
∆ →
= cos ( ) ∙ 2
2
La precedente espressione è quella in unità di angolo generiche. Nei casi specifici si ha
se
è misurato in gradi sessagesimali, ossia se ( )=
= 360° segue
180° ∙ cos ( )
se
è misurato in gradi centesimali, ossia se = 400° segue ( )= 200° ∙ cos ( )
se
è misurato in radianti , ossia se
=
= 2 segue
( ) = cos ( )
6.2 Derivata del coseno Ricordiamo che
( )=
4
−
cos( ) =
( − ) 4
( )=
( − ) 4
=− 2
cos
4
−
== − 2
sen ( )
La precedente espressione è quella in unità di angolo generiche. Nei casi specifici si ha
se
è misurato in gradi sessagesimali, ossia se = 360° segue ( ) = − 180° ∙ sen ( )
se
è misurato in gradi centesimali, ossia se = 400° segue ( ) = − 200° ∙ sen ( )
se
è misurato in radianti , ossia se
=
( )=−
51
= 2 segue ( )
Quaderno n°3
Capitolo 5– Derivate funzioni trigonmetriche
6.3 Derivata della tangente ( )=
( )=
( ) = cos ( )
( ) ∙ cos( ) − ( ) [cos ( )]
( ) ∙ cos( ) + ( ) [cos ( )]
( ) 2
Se si usano le unità radianti si ha ( )=
1 [cos ( )]
52
= 2
( )
1 [cos ( )]
Quaderno n°3
Capitolo 5â&#x20AC;&#x201C; Derivate funzioni trigonmetriche
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