1.0 PREMESSA Sia
B un bene comune sottoposto allo sfruttamento di n utilizzatori; x i il fattore di sfruttamento dell’utilizzatore i-esimo del bene B ; U i la funzione utilità dell’utilizzatore i-esimo (ad esempio un guadagno in termini monetari); gi il valore ottenuto dall’utilizzatore i-esimo per unità di fattore di sfruttamento x i (ad esempio il ricavo unitario in termini monetari); c i il costo dell’unità di fattore di sfruttamento x i
In generale il valore per unità di fattore di sfruttamento è diverso per ogni utilizzatore e può dipendere in modo arbitrario dagli n fattori, ossia:
gi : R n R gi gi (x1, x 2 ,......x n ) dove R indica l’insieme dei numeri reali Come ipotesi semplificative, nel seguito supporremo che le funzioni di ricavo unitario siano: le stesse per ogni utilizzatore, ossia gi g per qualsiasi i 1..n ; g dipende dai fattori di sfruttamento in modo lineare nel seguente modo n
n
i1
i1
detto x x i segue g g(x1, x 2 ,......x n ) g(x) g( x i );
le funzioni costo unitario c i siano uguali per ogni utilizzatore e siano pari ad un valore costante c Le precedenti due ipotesi indicano che tutti gli utilizzatori hanno lo stesso profilo di profitto e che lo sfruttamento del bene comune dipende solo dalla somma totale n
x x i di tutti i fattori di sfruttamento. i1
Ora la funzione g deve possedere almeno tre caratteristiche qualitative:
n
all’aumentare di x x i deve diminuire il valore di g , in quanto maggiore è i1
la quantità di sfruttamento di un bene e minore è il suo rendimento marginale; tale proprietà implica che g è una funzione decrescente , ossia dg(x) g 0; dx La variazione di ricavo marginale (la derivata g) aumenta in valore assoluto all’aumentare del valore dello sfruttamento totale x , in altri termini il valore g tende a decrescere in modo più ripido all’aumentare di x e quindi essendo d 2 g(x) g 0 g 0 dx 2
La funzione g è nulla oltre un certo valore soglia massimo di x , in quanto oltre un certo livello di sfruttamento il bene non è in gradi di fornire più alcun rendimento: g(x) 0 per x x max Quanto precede si può sintetizzare dicendo che la funzione g deve essere limitata, decrescente e con la concavità verso il basso; imponiamo inoltre che debba essere positiva. Graficamente un possibile andamento è quello riportato in figura g
x max
x
1. MASSIMIZZAZIONE DELLA FUNZIONE UTILITA’
Nel seguito si studia la il problema di massimizzazione della funzione utilità, sia nel caso dell’utilità individuale sia nel caso dell’utilità globale (sociale). Risolvere il problema di massimizzazione significa determinare il valore di x che rende massima la funzione di utilità. 1.1 Massimizzazione della Funzione Utilità Individuale Nella trattazione si suppone che ci sia una relazione lineare tra
costo unitario e costo per quantità xi , ossia il costo di una quantità pari a xi del fattore di sfruttamento i-esimo e paria a xi c ;
valore unitario e valore per la quantità xi , ossia il valore ottenuto per una quantità pari a xi di fattore di sfruttamento è dato da xi g ( x) . Sotto queste ipotesi per la funzione utilità dell’i-esimo utilizzatore si ha: U i x i g( x ) x ic per i 1..n
Da cui segue , annullando la derivata prima U i dg(x) g(x) x i c 0 per i 1..n . x i dx Inoltre 2U i d 2 g(x) dg(x) 2 x 0 i dx 2 dx x i 2 da cui segue che le condizioni di annullamento della derivata sono condizioni sufficiente di massimo.
Se eseguiamo la somma di tutte le n relazioni precedenti si ottiene:
n dg(x) ng(x) x i nc 0, dx i1 x dg(x) nc 0 , ossia da cui ng(x) x dx
g( x )
1.2
n dg( x ) c 0 (1) dx
Massimizzazione della Funzione Utilità Globale
Si suppone la validità di ipotesi lineari analoghe a quelle del paragrafo precedente:
costo unitario e costo per quantità x , ossia il costo di una quantità pari a x del totale dei fattori di sfruttamento è paria a xc ; valore unitario e valore per la quantità x , ossia il valore ottenuto per una quantità pari a x del totale dei fattori di sfruttamento è dato da xg (x) .
Sotto queste ipotesi la funzione di utilità globale è data da
U xg(x) xc Derivando e annullando si ottiene dg( x ) dU g( x ) x c 0 (2) dx dx Tale condizione e anche sufficiente in quanto
d 2U dg(x) d 2 g(x) 2 0 dx 2 dx 2 dx 1.3
Osservazione
Si osservi che la funzione di utilità globale indica l’utilità complessiva dello sfruttamento del bene e non quella riferita al singolo utilizzatore; in questo senso dunque la funzione di utilità globale può essere pensata come utilità sociale, ossia dell’intero gruppo e non del singolo. 3 CONFRONTO TRA I VALORI DELLE DUE SOLUZIONI
Indichiamo con x * il valore ottimo relativo alla (1), dato dalla somma dei valori ottimi che massimizzano le funzioni di utilità individuali; x ** il valore ottimo relativo alla (2), che massimizza la funzione di utilità globale (l’ottimo sociale). Nel seguito confrontiamo i due valori x * e x ** . A tale proposito osserviamo che la (1) e la (2) sono entrambe uguali a zero se quindi si ha:
g( x )
dg( x ) x dg( x ) c g( x ) x c; n dx dx
da cui segue x* g(x * ) g(x ** ) x ** g(x ** ) (3). n Ora si possono verificare solo tre casi: x * x ** In questo caso l’uguaglianza (3) si riduce a x* x ** n 1 n Pertanto tale caso è ammissibile solo se esiste un unico utilizzatore, ossia se l’utilità individuale coincide con quella globale g(x * )
x * x ** In questo caso si osservi che valgono le seguenti relazioni dg( x ) 0. g(x * ) g(x ** ) essendo g dx d 2 g(x) dg(x) 0 e g 0 Inoltre essendo g 2 dx dx segue g(x * ) g(x ** ) e g(x * ) g(x ** ) da cui si evince x* g(x * ) x ** g(x ** ) . n Pertanto risulta
g(x * )
x* g(x * ) g(x ** ) x ** g(x ** ) n
per qualsiasi valore di n . Tale situazione è impossibile in quanto necessariamente deve valere la (3). x * x ** Siccome per n 1 on può essere né x * x ** né x * x ** , necessariamente deve essere x * x ** . Allora possiamo concludere che :
per n 1 può essere x * x ** oppure x * x ** ; per n 1 può essere solo x * x ** .
4 COMMENTO DEI RISULTATI PRECEDENTI
Per n 1 esiste un solo utilizzatore e quindi la situazione ammissibile x * x ** implica che l’utilità individuale viene ottimizzata per lo stesso valore dell’utilità sociale ( che, essendoci un solo utilizzatore necessariamente coincide con quella globale). Possiamo dire che questo è il caso della proprietà privata. Per n 1 invece vale solo x * x ** , ciò implica che il valore che ottimizza l’utilità individuale è maggiore di quello che ottimizza l’utilità globale o sociale, in altri
termini se si ottimizza l’utilità individuale il livello totale di sfruttamento del ben comune è superiore a quello che si avrebbe per un utilizzo ottimale (dal punto di vista globale e quindi sociale) del bene stesso. Tutto ciò implica che in una organizzazione sociale in cui i singoli componenti (individui) tendono solo a massimizzare il proprio incentivo personale (tornaconto personale) i beni comuni sono sovrasfruttati. Per tale motivo: nelle società capitaliste le risorse comuni sono sovrasfruttate ( come ad empio l’ambiente, le istituzioni pubbliche); le società del comunismo reale, proprio perché gli individui rispondono solo ai propri schemi individuali di incentivazione, utilizzano male i beni pubblici, che in quel caso corrispondono a tutto l’apparato produttivo e sono quindi destinate a fallire. Comunque comunismo e capitalismo sono due facce della stessa medaglia, in quanto il comunismo porta al governo di pochi oligarchi che massimizzano al massimo grado i loro interessi, massimizzando il degrado del bene pubblico. Il capitalismo, se lasciato solo al controllo del libero mercato, può portare alla concentrazione di potere in pochi soggetti (Multinazionali, le cosiddette Corporation) che di fatto sono l’equivalente dei gerarchi assolutisti comunisti. Entrambi i sistemi sono destinati a fallire, l’unico vantaggio del capitalismo rispetto al comunismo è che quest’ultimo ha dimostrato una velocità di convergenza verso uno stato di equilibrio (potere assoluto nella mani di pochi tiranni) molto superiore di quella del capitalismo.