CAPÍTULO 1. TEORIA DOS CONJUNTOS 1 1. Conceitos 1
2. Inclusão de conjuntos 1 3. Igualdade 1
4. Conjunto Vazio 2
5. Conjunto das partes 2
6. Operações de Conjuntos 3
Exercícios de aplicação 1, 2, 3, 4 e 5
CAPÍTULO 2.
CONJUNTOS NUMÉRICOS 15 1. Conjunto dos Números naturais 15
2. Conjunto dos Números Inteiros. 15
3. Conjunto dos Números Racionais 16
4. Conjunto dos Números Irracionais 19 5. Conjunto dos Números Reais 20 6. Intervalos 21
Exercícios de aplicação 6, 7 e 8
CAPÍTULO 3.
POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 28 Exercícios de aplicação 9 e 10
CAPÍTULO 4.
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 34 1. Operações 34
2. Produtos notáveis 36
Exercícios de aplicação 11,12,13,14,15 e 16
CAPÍTULO 5. FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 42 Exercícios de aplicação 17, 18, 19, 20, 21 e 22
CAPÍTULO 6.
MAXIMO DIVISOR COMUM (MDC ) E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC ) 49 Exercícios de aplicação 23
CAPÍTULO 7.
EQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU, INEQUAÇÕES DE PRIMEIRO GRAU E SISTEMAS DE PRIMEIRO GRAU 51 1. Equações de primeiro grau 51
2. Inequações de primeiro grau 54
3. Sistemas de Equações de primeiro grau 55 Exercícios de aplicação 24, 25 e 26
CAPÍTULO 8.
VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL OU MÓDULO 60 Exercícios de aplicação 27
CAPÍTULO 9.
RAZÕES, PROPORÇÕES E REGRA DE TRÊS 64 1. Razões e Proporções 64 2. Regra de três 69 3. Porcentagem 71
Exercícios de aplicação 28, 29 , 30, 31, 32 e 33
CAPÍTULO 10. PRODUTO CARTESIANO E DISTÂNCIA 73 1. Produto cartesiano 73 2. Relação binária 74
3. Domínio, imagem 76 4. Conjunto plano 76 5. Distância 77
Exercícios de aplicação 34
CAPÍTULO 11.
FUNÇÕES 80 1. Conceito de função 80 2. Função constante 85
CAPÍTULO 12.
FUNÇÃO AFIM (FUNÇÃO DE 1° GRAU) 87 Exercícios de aplicação 35, 36 e 37
CAPÍTULO 13.
FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO TRINÔMIO DO 2° GRAU 100 Exercícios de aplicação 38 e 39
CAPÍTULO 14.
APLICAÇÕES DAS FUNÇÕES AFIM E QUADRÁTICA NA ADMINISTRAÇÃO E NA ECONOMIA 115 1. Lei da demanda 116 2. Lei da oferta 121
3. Equilíbrio de mercado 126
Exercícios de aplicação 40 e 41
CAPÍTULO 15. RECEITA, CUSTO, LUCRO E PREJUÍZO 131 1. Receita Total 131 2. Custo Total 134
3. Ponto Crítico 135
4. Lucro e Prejuízo 136
Exercícios de aplicação 42
CAPÍTULO 16.
FUNÇÃO RAIZ QUADRADA E FUNÇÃO RECÍPROCA OU HIPÉRBOLE EQUILÁTERA 144 Exercícios de aplicação 43 e 44
CAPÍTULO 17.
FUNÇÃO EXPONENCIAL 156 Exercícios de aplicação 45, 46, 47 e 48
CAPÍTULO 18.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 171 Exercícios de aplicação 49, 50, 51 e 52
CAPÍTULO 19.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 178 Exercícios de aplicação 53 e 54
CAPÍTULO 20.
MATRIZES, DETERMINANTES 183 Exercícios de aplicação 55, 56, 57, 58, 59, 60
CAPÍTULO 21. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 206 Exercícios de aplicação 61, 62, 63, 64
CAPÍTULO 22.
FUNÇÕES COMPOSTAS, PARES, ÍMPARES, INJETORAS, SOBREJETORAS, BIJETORAS E INVERSAS 217 1. Função para e ímpar 217 2. Função composta 218
3. Função crescente e decrescente 225 4. Função injetora 226
5. Função sobrejetora 227 6. Função bijetora 227 7. Função inversa 228
Exercícios de aplicação 65,66, 67, 68
CAPÍTULO 1. TEORIA DOS CONJUNTOS 1
1. CONCEITO DE CONJUNTOS
Professor Rafael Olivieri Neto ∙ 9
A teoria dos conjuntos tem inicio com o matemático Georg Cantor (1845-1918). Como na Geometria Euclidiana adota-se ponto, reta e plano como conceitos primitivos e são aceitas sem definição, assim também são conceitos primitivos:
CONJUNTO, ELEMENTO E A RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA. Podemos descrever um conjunto, citando um a um seus elementos, ou apresentando uma propriedade característica dos mesmos. Para dar nome aos conjuntos usamos as letras maiúsculas A, B, C, etc. e colocamos seus elementos entre chaves. Os objetos que compõem os conjuntos são denominados elementos. Exemplo 1: Chamamos de A o conjunto dos números pares e indicamos por: A= {0, 2, 4, 6, 8...} e representamos pelo diagrama de Venn (John Venn, (1834 – 1923), matemático e lógico inglês), como:
Para indicarmos que um elemento a pertence a um conjunto A escrevemos a ∊ A (leia: a pertence a A) caso contrário a ∉ A (leia: a não pertence a A). Exemplo 2: Seja A = {1,2,3,4,5}. Nesse caso lê-se: 2 ∊ A (2 pertence a A) 0 ∉ A (não pertence a A) 2. INCLUSÃO DE CONJUNTOS
Definição 01: Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A é também um elemento de B. Notação: A⊂B (A é subconjunto de B), caso contrário A⊄B. Exemplo 3: a) Se A={1,2} e B={1,2,3,4}, então A⊂B b) Se A={2,3} e B={1,2,3,4}, então A⊂B
C a p í t u l o 1 : Te o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 1 0
3. IGUALDADE
Definição 02: Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, têm os mesmos elementos. Simbolicamente: A = B ↔ A⊂B e B⊂A. Exemplo 4: Seja A={1,2} e B ={1,2}, nesse caso A = B, pois, A⊂B e B⊂A.
Use a noção de pertence e a definição de subconjunto e coloque (V) se as sentenças forem verdadeiras e (F) se as sentenças forem falsas.
Professor Rafael Olivieri Neto ∙ 11
4. CONJUNTO VAZIO Definição 03: Chama-se conjunto vazio aquele que é formado por nenhum elemento. O Símbolo usual para conjunto vazio é
Exemplo 5: O conjunto dos números que multiplicados por zero produz resultado 3 é vazio. Simbolicamente {x | 0.x=3} = ∅ 5. CONJUNTOS DAS PARTES Definição 04: Chama-se conjunto das partes de um conjunto A, e se indica P(A), ao conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. Exemplo 6: Se A = {a, b, c}, então o conjunto das partes de A é formado por:
P(A) = {{a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}, ∅}. Nesse caso o número de elementos de P(A) é 8 = 23 (2 elevado ao número de elementos de A). Exemplo 7: Dar o número de elementos do conjunto das partes de A, n(A) sendo: a) A= ∅ b) A={a} c) A= {a, b} d) A= {a, b, c}
Resolução: (a) A = ∅, P(A) ={∅} , logo n(P(A)) = 1 = 2° (b) A = {a}, P(A)= {∅, {a}}, logo n(P(A)) = 2 = 2¹ (c) A = {a, b}, P(A) = {{a},{b},{a, b}, ∅}. logo n(P(A)) = 4 = 2² (d) A= {a,b,c}, P(A)={{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},A, ∅}, logo n(P(A))=8 =2³.
C a p í t u l o 1 : Te o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 1 2
Dessa maneira podemos escrever:
Se n(A) = 0, então n(P(A)) = 2° = 1 Se n(A) = 1, então n(P(A)) = 2¹ = 2 Se n(A) = 2, então n(P(A)) = 2² = 4 Se n(A) = 3, então n(P (A)) = 2³ = 8 ......................................................................... Se n(A) = n, então n(P(A)) = 2n (n ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,...})
Conclusão: Para sabermos quantos elementos têm o conjunto das partes de A, n(P(A)) é só escrever: n(P(A)) = 2n(A) 6. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS Na teoria dos números temos as operações adição e multiplicação, o mesmo ocorre na teoria dos conjuntos. 6.1. União (∪)
Definição 05: Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se união do conjunto A com o conjunto B, ao conjunto de todos os elementos de A ou de B. Em símbolos: A∪B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}
Exemplo 8: Sejam A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 3, 4, 6}, então A∪B = {1, 2, 3, 5, 6, 7}
6.2. Intersecção (∩)
Definição 06: Sejam A e B dois conjuntos. Chama-se intersecção dos conjuntos A e B, ao conjunto formado pelos elementos que estão em A e estão em B. Em símbolos: A∩B = {x | x ∈ A e x ∈ B}
Professor Rafael Olivieri Neto ∙ 13
Exemplo 9: Sejam A = {a, b, c, d} e B = {b, c, d, e}, então A∩B = {b, c, d}
PROPRIEDADES Aceitamos as propriedades da união e da intersecção que seguem, sem demonstração. Para um maior entendimento faça o diagrama de Venn hachurando a região definida pela propriedade. P1 ∪ Se A⊂B, então A∩B = A e A∪B = B
A∩B = A
A∪B = B
P2 ∪ A∩A = A
e
A∪A = A
P4 ∪ A∩B = B∩A
e
A∪B = B∪A
P3 ∪ A∩∅ = ∅
P5 ∪ (A∩B) ∩ C = A∩B∩C)
e e
P6 ∪ A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) e
A∪∅ = A
(A∪B)∪ C = A∪(B∪C)
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
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6.3. Diferença (-)
Definição 07: Dados os conjuntos A e B, denominamos conjunto diferença de A em relação a B, ao conjunto dos elementos B que não são elementos de A. Em símbolos: B - A = {x | x ∈ B e x ∉ A}
Exemplo 10: 1) Sejam A = {a, b, c, d} 2) Sejam A = {a, b, c, d} 3) Sejam A = {1, 2, 3, 4}
e e e
B = {b, c, d, e}, então A-B = {a} B = {c, d}, então A-B = {a, b} B = {1, 2, 3}, então A-B = {4}
6.4. COMPLEMENTAR (A)
Definição 08: Se A⊂B, chama-se conjunto complementar de A em relação a B ao conjunto dos elementos de B que não são elementos de A. Em símbolos: A = A1 = B - A = {x |x ∈ B e x ∉ A}
Exemplo 11: Sejam A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5}, então B - A={4, 5} Agora, após termos adquirido as informações sobre a teoria dos conjuntos, podemos resolver a situação-problema 01.
Professor Rafael Olivieri Neto ∙ 15
Situação-problema 01: Três Cursos universitários são os mais procurados, para o vestibular, pelos alunos de em uma Escola de Ensino Médio, são eles: Administração (A), Biologia (B) e Contábeis (C). Após a pesquisa foram apresentados os seguintes resultados. Cursos
Preferência
A
90
Determinar: a) Quantos alunos b) Quantas alunos c) Quantos alunos d) Quantos alunos Resolução:
B
130
C
170
AeB 20
AeC 40
BeC 30
AeBeC 10
consultados preferem só o Curso de Administração (A)? consultados preferem só dois Cursos? consultados preferem Administração (A) ou Direito (D) ? consultados preferem Administração (A) e não Contábeis (C)?
Usando a representação de Venn podemos escrever o número de alunos com suas preferências.
Portanto, a) Os alunos consultados que preferem só o Curso de Administração são 40. b) Os alunos consultados que preferem só dois Cursos são 60. c) Os alunos consultados que preferem Administração (A) ou Biologia (B) são 200. d) Os alunos consultados que preferem Administração (A) e não Contábeis (C) são 50.
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C a p í t u l o 1 : Te o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 1 8
3) Três produtos A, B e C são consumidos. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os resultados. Produtos
Consumidores
A
100
B
C
140
180
AeB 20
AeC
BeC
40
30
Determinar: a) Quantas pessoas consultadas consomem só o produto A? b) Quantas pessoas consultadas consomem só dois produtos? c) Quantas pessoas consultadas consomem A ou B? d) Quantas pessoas consultadas consomem A e não consomem C?
AeBeC 10
4) De um torneio de atletismo, tem-se as informações no quadro sobre as proveniências e sexos dos participantes. Determine o número de mulheres de Rio Pardo. Cidades \ Sexos
Homens
RIO PRETO
4
RIO CLARO
Mulheres 3
a
RIO PARDO
b
a
RIO BRANCO
8
TOTAL
Total
2b
b b
17
5) O quadro indica o resultado de uma pesquisa feita sobre as pessoas que freqüentam cinema (C), teatro (T), e shows musicais ao vivo (S). Entretenimentos
Participantes (%)
C
80
T
15
Verifique se esta pesquisa é consistente.
S
6
C,T 6
C,S 4
T,S 3
C,T,S 2
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C a p í t u l o 1 : Te o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 2 0
Jornais
A
B
C
Leitores 100 90 110 Nestas condições podemos dizer que lêem
A,B 15
A,C 20
B,C 30
A,B,C 5
Professor Rafael Olivieri Neto ∙ 21
Professor Rafael Olivieri Neto ∙ 23
Exercício de aplicação 4 n2
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C a p í t u l o 1 : Te o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 2 6
Exercício de aplicação 4 n10
Professor Rafael Olivieri Neto ∙ 27
C a p í t u l o 1 : Te o r i a d o s C o n j u n t o s ∙ 2 8
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Tales de Mileto 624 - 558 a.C
Origem e Curiosidades “A matemática é o alfabeto pelo qual Deus escreveu o universo” - Galileu Galilei A palavra matemática deriva do grego mathēmatikós que significa a ciência da aprendizagem.
A matemática rudimentar pode ter surgido por volta de 35.000 a.C. onde achados arqueológicos sugerem que na Era Paleolítica o homem de neandertal já utilizava a operação básica simples como a adição.
Em 1960 na região do Congo foi escavado o Osso de Lebombo, o qual é considerado o artefato matemático mais antigo da história. Segundo arqueólogos neste osso de fíbula de babuíno foram talhados vinte e nove traços que simulam uma contagem rudimentar. Com o processo evolutivo e desenvolvimento da cognição, o ser humano foi capaz de desenvolver o raciocínio lógico e a abstração. Foi então, que a matemática surgiu como ciência por volta do século VI a.C. na Grécia Antiga. No primórdio a civilização grega utilizava a matemática de forma pratica nas atividades diárias. A partir da fundação de escolas filosóficas: a
Escola Jônica e a Escola de Pitágoras, a ciência matemática se desenvolveu, dando início a fórmulas e postulados.
A Escola Jônica foi fundada por Tales de Mileto (624 - 558 a.C.) que elaborou o Teorema de Tales, uma teoria fundamental para a geometria, cuja formula: 2α + 2β = 1800 → α + β = 900
prova que a soma dos ângulos internos de um triangulo é de 180º e que os dois ângulos da base de um triangulo isósceles são iguais.
A escola filosófica de Pitágoras foi responsável por inúmeras contribuições para o desenvolvimento da ciência matemática. Pitágoras é considerado o pai da matemática, porque foi o primeiro a cunhar o nome desta ciência, concebendo deste modo um sistema de pensamento com provas dedutivas.
O filosofo grego descobriu os números irracionais e elaborou o Teorema de Pitágoras cujo símbolo c² + b² = a² onde provou que o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
A Escola de Pitágoras durou cerca de mil anos e formou inúmeros matemáticos e filósofos que desenvolveram conceitos vastos e ampliados da ciência.
É atribuída a Escola Pitagórica as seguintes descobertas: a classificação aritmética dos números pares, impares e primos, a criação e definição de teoremas, provas, axiomas e o intervalo matemático entre as notas musicais. Por volta do ano de 300 a.C. o grego Euclides escreveu Os elementos que se tornou o primeiro tratado matemático o qual se tem conhecimento. Com a invenção da prensa de Gutemberg no século XV, o tratado de Euclides se tornou o livro de matemática mais antigo e bem sucedido do mundo, contando com mais de mil edições.
Matemรกtica I Prof. Rafael Olivieri Neto