Cuaderno de ejercicios ii

Juan Carlos CI: 16.483.052 1) En un sistema polar trazar los siguientes puntos a) P1 (1, 135o) Solución:

135o b

b) P2 (−2, π/3) Solución:

π/3 b

-2

c) P3 (3, 75o ) Solución:

3 75o b

d) P4 (−4, 2π/3) Solución:

2π/3

4

b

-4

2) En cada uno de los siguientes ejercicios pasar la ecuación rectángular dada a su forma polar. a) x2 + y 2 = 4 Solución: Hacemos x = r cos(θ) y y = r sin(θ) y sustituimos en la ecuación dada, esto es x2 + y 2 = 4 ⇒ (r cos(θ))2 + (y = r sin(θ))2 = 4 2

⇒ r 2 cos2 (θ) + r 2 sin2 (θ) = 4 ⇔ r 2 (cos2 (θ) + sin2 (θ) = 4 ⇔ r 2 (1) = 4 ⇔

b) 2x2 + 2y 2 + 2x6y + 3 = 0 Solución:

√

√ r 2 = ± 4 ⇔ r = ±2

2x2 + 2y 2 + 2x6y + 3 = 0 ⇔ 2(x2 + y 2) + 2x − 6y + 3 = 0

Como x2 + y 2 = r 2 sustituimos en la ecuación dada junto a x = r cos(θ) y y = r sin(θ), por tanto obtenemos finalmente

c) 2x − y = 0 Solución:

2r 2 + 2r cos(θ) − 6r sin(θ) + 3 = 0

Procediendo de forma análoga a los casos anteriores se tiene: 2x − y = 0 ⇔ 2r cos(θ) − r sin(θ) = 0 ⇔ r(2 cos(θ) − sin(θ)) = 0 ⇔ r = 0 ∨ 2 cos(θ) − sin(θ) = 0 ⇔ 2 =

d) x2 − y 2 = 4 Solución:

sin(θ) cos(θ)

⇔ tan(θ) = 2 ⇔ θ = arctan(2)

x2 − y 2 = 4 ⇔ (r cos(θ))2 − (r sin(θ))2 ⇔ r 2 cos2 (θ) − r 2 sin2 (θ) = 4 r 2 (cos2 (θ) − sin2 (θ)) = 4

Pero de la identidad trigonométrica sin2 (θ) = 1 − cos2 (θ) entonces se tiene r 2 (cos2 (θ) − (1 − cos2 (θ)) = 4 ⇔ r 2 (cos2 (θ) − 1 + cos2 (θ)) = 4 3

r 2 (2 cos2 (θ) − 1) = 4 De la fórmula de ángulos dobles sabemos 1 + cos(2θ) 2 De donde se deduce despejando convenientemente cos2 (θ) =

2 cos2 (θ) − 1 = cos(2θ) r 2 cos(2θ) = 4 3) En cada uno de los siguientes ejercicios pasar la ecuación polar dada a su forma rectangular. a) r = 4 sin(θ) Solución: Multiplicamos la expresión dada por r, esto es r 2 = 4r sin(θ) ⇔ x2 + y 2 = 4y ⇔ x2 + y 2 − 4y = 0 b) r − r cos(θ) = 4 Solución: p Si x2 + y 2 = r 2 entonces x2 + y 2 = r. En consecuencia r = 4 + r cos(θ) ⇔ r 2 = (4 + r cos(θ))2 ⇔ r 2 = 16 + 8r cos(θ) + r 2 cos2 (θ) ⇔ r 2 − r 2 cos2 (θ) = 16 + 8r cos(θ) r 2 (1 − cos2 (θ)) = 16 + 8r cos(θ) ⇔ r 2 sin2 (θ) = 16 + 8r cos(θ) (r sin(θ))2 − 8(r cos(θ)) − 16 = 0 ⇔ y 2 − 8x − 16 = 0

2 c) r = 2−cos(θ) Solución:

r=

2 ⇔ 2r − r cos(θ) = 2 ⇔ 2r = 2 + r cos(θ) 2 − cos(θ) 4

(2r)2 = (2 + r cos(θ))2 ⇔ 4r 2 = 4 + 4r cos(θ) + r 2 cos2 (θ) ⇔ 4(x2 + y 2) = 4 + 4x + x2 ⇔ 4x2 + 4y 2 − x2 = 4 + 4x ⇔ 3x2 + 4y 2 − 4x − 4 = 0 ⇔ 3x2 + 4y 2 − 4x − 4 = 0

d) sin2 (θ) − 4r cos3 (θ) = 0 Solución: Multiplicamos por r 2 en ambos lado de la expresión dada: r 2 sin2 (θ) − 4r 3 cos3 (θ) = 0 ⇔ (r sin(θ))2 − 4(r cos(θ))3 ⇔ y 2 − 4x3 = 0 ⇔ y 2 = 4x3

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