Juan Carlos González C.I.16483052 Ing. Industrial Calcular las siguientes integrales: a)
∫ 7 x 4 dx Solución: Toda constante sale de la integral, esto es,
∫ 7 x 4 dx =7∫ x 4 dx=
7 x5 +K 5
1
b)
∫ x 2 dx Solución: Toda potencia sube con signo contrario;
1 x−2+1 x−1 −1 −2 dx= x dx= + K = +K = + K ∫ x2 ∫ −2+1 −1 x Por tanto,
1
∫ x 2 dx= c)
−1 +K x
∫ √ x dx Solución: El radical dado lo transformamos en una potencia racional, esto es,
1
3
+1
x2 x2 2 1/2 √ x dx= x dx= + K = + K= √ x+ K ∫ ∫ 1 3/ 2 3 +1 2 2
∫ √ x dx= 3 √ x+ K
d)
∫ √3 5 x 2 dx Solución:
5
3 5 x3 33 3 √ + K = √ 5√ x5 + K ∫ √ 5 x dx=∫ √ 5 √ x dx =√5 ∫ x dx= 3
3
2
3
2
3
2 /3
5/ 3
3
3
5
3
∫ √ 5 x 2 dx= 5 √3 5 √ x 5 + K
e)
∫
3
√ x+ √ 5 x 3 dx 3x
Solución: 3
(
−2
)
√ x+ √5 x 3 dx= x 1 /3 + √ 5 x 3/ 2 dx= x 3 + √ 5 x 1/ 2 dx ∫ 3x ∫ 3x 3x ∫ 3 3
(
)
1
3
1 3 √5 2 x x 3 3 x+ 5 x 1 5 √ √ dx= x−2 /3 dx + √ x1 / 2 dx = 3 + 3 + K ∫ 3x ∫ ∫ 3 3 1 3 3 2
∫
f)
3
√ x+ √ 5 x 3 dx=√3 x + 2 √5 √ x3 + K 3x
∫ √35 x
9
3
√ 3x
dx
Solución: 13
√5 x 6 3 3 3 5x 5√x 5 x 5 3 √ √ √ √ 7 /6 √ +K ∫ 3 dx=∫ 3 3 dx= 3 ∫ x 1/ 3 dx= 3 ∫ x dx = 13/6 √ 3x √3√x √3 √3 3 2
∫ √35 x
3
√ 3x
dx=
6 √ 5 13 /6 x +K 3 13 √ 3
Solo 8 ejercicios:
1)
∫ ( 4x−2 )5 dx
Solución: Hacemos el cambio de variable
∫ ( 4x−2 )5 dx=∫ y 5
y=4x−2 ⟹ dy=4dx ⟹ dx=
dy 4
dy 1 11 6 1 5 6 = ∫ y dy= y + K = (4x−6) + K 4 4 46 24
1
∫ ( 4x−2 )5 dx= 24 ( 4x−6)6+ K
2)
∫ x ( 3 x 2 +1 ) dx
Solución:
∫ x ( 3 x 2 +1 ) dx=∫ (3 x 3+ x)dx =∫ 3 x 2 dx+∫ xdx=3∫ x 2 dx +∫ xdx ∫ x ( 3 x 2 +1 ) dx=
3 x3 1 2 1 + x + K =x 3 + x 2+ K 3 2 2 1
∫ x ( 3 x 2 +1 ) dx= x 3+ 2 x 2 + K
2x+ 1
3)
∫ x 2 + x−3 dx
Solución: Hacemos el cambio de variable
u=2x +1 ⟹ du=2dx ⟹ dx=
2x+ 1
du 2
1 du 1 du 1 1 = ∫ = ln ∣u∣+ K = ln∣ x 2 + x−3∣+ K 2 2 u 2 2
∫ x 2 + x−3 dx=∫ u
2x+ 1
1
∫ x 2 + x−3 dx= 2 ln∣x 2 + x−3∣+ K
4)
∫
2x dx √8+ x 2
Solución: Hacemos el cambio de variable
u=8+ x 2 ⟹ du=2xdx
1
2x du u2 −1 / 2 dx= = u du= + K=2 √ u+ K ∫ ∫ √u ∫ 1 √8+ x 2 2
∫
5)
2x
√8+ x
dx=2 √ 8+ x + K 2
2
∫ xsin( x 2)dx
Solución: Hacemos el cambio de variable
2
x =t ⟹ 2xdx=dt ⟹ xdx=
dt
1
dt 2
1
∫ xsin ( x 2 ) dx=∫ sin ( x 2 ) xdx=∫ sin ( t ) 2 = 2 ∫ sin ( t ) dt= 2 (−cos ( t ) )+ K
∫ xsin ( x 2 ) dx=
6)
∫
−1 cos ( x 2 ) + K 2
ln x dx x
Solución: Hacemos el cambio de variable
t=ln x ⟹ dt=
dx x
Luego,
ln x dx t2 ∫ x dx=∫ ln x x =∫ t dt= 2 + K
2
(ln x ) ∫ lnxx dx= 2 + K
3dx
7)
∫ ( 2x+ 3 )3
Solución: Hacemos el cambio de variable
v=2x+ 3 ⟹ dv=2dx ⟹ dx=
dv 2
3dx 3 3 v−2 −3 −3 dv −3 dx=3 (2x+ 3) dx=3 v = v dv = +K ∫ ( 2x+ 3 )3 ∫ ∫ 2 2∫ 2 −2
Regresamos el cambio de variable
3d x
∫ ( 2x+ 3 )3 dx=
−3 ( 2x +3 )−2 + K 4
xdx
8)
∫ 3−2 x 2
Solución:
Hacemos el cambio de variable
2
z=3−2 x ⟹ dz=−4xdx ⟹ xdx=
−dz 4
Luego, sustituimos en la integral
xdx 1 −dz −1 dz −1 −1 = = ∫ = ln∣z∣+ K= ln ∣3−2 x 2∣+ K ∫ 3−2 2 ∫ ( ) z 4 4 z 4 4 x
Por tanto,
xdx
∫ 3−2 x 2 =
−1 ln ∣3−2 x 2∣+ K 4