Matematica ii ejercicios propuestos

Juan Carlos González C.I.16483052 Ing. Industrial Calcular las siguientes integrales: a)

∫ 7 x 4 dx Solución: Toda constante sale de la integral, esto es,

∫ 7 x 4 dx =7∫ x 4 dx=

7 x5 +K 5

1

b)

∫ x 2 dx Solución: Toda potencia sube con signo contrario;

1 x−2+1 x−1 −1 −2 dx= x dx= + K = +K = + K ∫ x2 ∫ −2+1 −1 x Por tanto,

1

∫ x 2 dx= c)

−1 +K x

∫ √ x dx Solución: El radical dado lo transformamos en una potencia racional, esto es,

1

3

+1

x2 x2 2 1/2 √ x dx= x dx= + K = + K= √ x+ K ∫ ∫ 1 3/ 2 3 +1 2 2

∫ √ x dx= 3 √ x+ K

d)

∫ √3 5 x 2 dx Solución:

5

3 5 x3 33 3 √ + K = √ 5√ x5 + K ∫ √ 5 x dx=∫ √ 5 √ x dx =√5 ∫ x dx= 3

3

2

3

2

3

2 /3

5/ 3

3

3

5

3

∫ √ 5 x 2 dx= 5 √3 5 √ x 5 + K

e)

∫

3

√ x+ √ 5 x 3 dx 3x

Solución: 3

(

−2

)

√ x+ √5 x 3 dx= x 1 /3 + √ 5 x 3/ 2 dx= x 3 + √ 5 x 1/ 2 dx ∫ 3x ∫ 3x 3x ∫ 3 3

(

)

1

3

1 3 √5 2 x x 3 3 x+ 5 x 1 5 √ √ dx= x−2 /3 dx + √ x1 / 2 dx = 3 + 3 + K ∫ 3x ∫ ∫ 3 3 1 3 3 2

∫

f)

3

√ x+ √ 5 x 3 dx=√3 x + 2 √5 √ x3 + K 3x

∫ √35 x

9

3

√ 3x

dx

Solución: 13

√5 x 6 3 3 3 5x 5√x 5 x 5 3 √ √ √ √ 7 /6 √ +K ∫ 3 dx=∫ 3 3 dx= 3 ∫ x 1/ 3 dx= 3 ∫ x dx = 13/6 √ 3x √3√x √3 √3 3 2

∫ √35 x

3

√ 3x

dx=

6 √ 5 13 /6 x +K 3 13 √ 3

Solo 8 ejercicios:

1)

∫ ( 4x−2 )5 dx

Solución: Hacemos el cambio de variable

∫ ( 4x−2 )5 dx=∫ y 5

y=4x−2 ⟹ dy=4dx ⟹ dx=

dy 4

dy 1 11 6 1 5 6 = ∫ y dy= y + K = (4x−6) + K 4 4 46 24

1

∫ ( 4x−2 )5 dx= 24 ( 4x−6)6+ K

2)

∫ x ( 3 x 2 +1 ) dx

Solución:

∫ x ( 3 x 2 +1 ) dx=∫ (3 x 3+ x)dx =∫ 3 x 2 dx+∫ xdx=3∫ x 2 dx +∫ xdx ∫ x ( 3 x 2 +1 ) dx=

3 x3 1 2 1 + x + K =x 3 + x 2+ K 3 2 2 1

∫ x ( 3 x 2 +1 ) dx= x 3+ 2 x 2 + K

2x+ 1

3)

∫ x 2 + x−3 dx

Solución: Hacemos el cambio de variable

u=2x +1 ⟹ du=2dx ⟹ dx=

2x+ 1

du 2

1 du 1 du 1 1 = ∫ = ln ∣u∣+ K = ln∣ x 2 + x−3∣+ K 2 2 u 2 2

∫ x 2 + x−3 dx=∫ u

2x+ 1

1

∫ x 2 + x−3 dx= 2 ln∣x 2 + x−3∣+ K

4)

∫

2x dx √8+ x 2

Solución: Hacemos el cambio de variable

u=8+ x 2 ⟹ du=2xdx

1

2x du u2 −1 / 2 dx= = u du= + K=2 √ u+ K ∫ ∫ √u ∫ 1 √8+ x 2 2

∫

5)

2x

√8+ x

dx=2 √ 8+ x + K 2

2

∫ xsin( x 2)dx

Solución: Hacemos el cambio de variable

2

x =t ⟹ 2xdx=dt ⟹ xdx=

dt

1

dt 2

1

∫ xsin ( x 2 ) dx=∫ sin ( x 2 ) xdx=∫ sin ( t ) 2 = 2 ∫ sin ( t ) dt= 2 (−cos ( t ) )+ K

∫ xsin ( x 2 ) dx=

6)

∫

−1 cos ( x 2 ) + K 2

ln x dx x

Solución: Hacemos el cambio de variable

t=ln x ⟹ dt=

dx x

Luego,

ln x dx t2 ∫ x dx=∫ ln x x =∫ t dt= 2 + K

2

(ln x ) ∫ lnxx dx= 2 + K

3dx

7)

∫ ( 2x+ 3 )3

Solución: Hacemos el cambio de variable

v=2x+ 3 ⟹ dv=2dx ⟹ dx=

dv 2

3dx 3 3 v−2 −3 −3 dv −3 dx=3 (2x+ 3) dx=3 v = v dv = +K ∫ ( 2x+ 3 )3 ∫ ∫ 2 2∫ 2 −2

Regresamos el cambio de variable

3d x

∫ ( 2x+ 3 )3 dx=

−3 ( 2x +3 )−2 + K 4

xdx

8)

∫ 3−2 x 2

Solución:

Hacemos el cambio de variable

2

z=3−2 x ⟹ dz=−4xdx ⟹ xdx=

−dz 4

Luego, sustituimos en la integral

xdx 1 −dz −1 dz −1 −1 = = ∫ = ln∣z∣+ K= ln ∣3−2 x 2∣+ K ∫ 3−2 2 ∫ ( ) z 4 4 z 4 4 x

Por tanto,

xdx

∫ 3−2 x 2 =

−1 ln ∣3−2 x 2∣+ K 4