COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA – SEMINARIO DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS 4º E.S.O. CURSO 2 011 – 2 012 UNIDAD 1: NÚMEROS REALES AUTOEVALUACIÓN – CORRECCIÓN NO SACAR DEL AULA INTELIGANTE 1.- En cada número fraccionario, escribe el medio o el extremo que falta en cada caso para que los racionales indicados sean equivalentes:
1 a a = a) 2 8
1 1 a 8 b) = 1 2 a
Sol.: a) 1er método: Aplicamos la condición de equivalencia de fracciones, es decir, multiplicamos en cruz e igualamos los resultados: 8 = 2a a Volvemos a aplicar la condición y obtenemos una ecuación, cuyas soluciones serán los valores buscados de a: 8 = 2a 2 ⇒ 4 = a2 ⇒ a = ±2 2º método: Reducimos cada castillo a una fracción, aplicando “producto de extremos partido por producto de medios” y, después, aplicamos la condición de equivalencia de fracciones: 1 a 1 a a = ⇔ = ⇔ 8 = 2a 2 ⇒ 4 = a2 ⇒ a = ±2 2 8 2a 8 1 b) 1er método: 2
2 1 = 8 a 2º método: 1 1 a 8 = 2 1 1 a
⇔
⇔
1 1 = 2 a 4
1 a = 2a 8
⇒
4 = a2
⇒
a = ±2
¡Es el mismo que en el apartado anterior!
2.- Simplifica los siguientes racionales hasta obtener una fracción irreducible: a)
12 18
b)
99 66
1
4 c) 8 9 16
Sol.: 12 22 3 2 a) = = 2 2 3 3 18
4 4 16 22 24 23 8 c) 8 = = 2 3 = 2 = 9 9 8 3 2 3 9 16
99 32 11 3 b) = = 2 3 11 2 66
3.- Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, simplificando el resultado final:
a)
1 1 + 1 − 5 3 1 2 + − 1 6
2
2
2
1 1 3 3 2 b) −3 −3 1 −1 1 3 2 3
2
−3 ⌢ 1 0,7 + 1 ⌢6 c) 1 − 0,5 4
Sol.:
a) =
1 3 − 1 + 5 3
1− 6 2+ 6
2
2
1 4 9 20 29 1 22 + + + 2 29 36 : 9 29 4 116 = 5 3 2 = 5 9 = 45 45 = 45 = = = 25 72 25 97 97 45 : 9 97 5 485 ( −5 ) 2+ + 2+ 2 36 36 36 36 6
1 1 3 1 3 2 2 2 2 2 1 b) = 3 2 = 33 23 = 3 2 = 3 5 2 3 1 3 2 3 2 3 2 33 23 3 3 3
3
3
5 9−5 4 3 3 3 3 2 1− 9 1 1 1 27 4 18 1 4 2 1 9 9 = c) = = = = = = 3 2 173 7 + 1 4 14 + 3 4 17 4 17 9 4 17 4 17 2 9 6 18 18 18
( )
4.- a) Expresa en notación científica un año-luz en centímetros, sabiendo que la velocidad de la luz es de 300 000 km/s. b) La masa del electrón es 0,00000091 miltrillonésimas de gramo. Exprésala en notación científica.
Sol.: km cm s h d 100 000 3 600 24 365 = s km h d año cm cm = 946 080 000 000 000 000 = 9,46 10 17 año año
a) 300 000
b) 1 miltrillonésima = 0,000000000000000000001 = 10−21 me = 0,00000091 10−21 = 9,1 10−7 10−21 = 9,1 10−28 g 5.- Suma los siguientes radicales: a) 3 24 − 6 + 2 600 − 3 384 =
b)
2
43 80 − 3 10 − 53 270 + 23 2 160 =
Sol.: a) = 3 23 3 − 2 3 + 2 23 3 52 − 3 27 3 = 3 2 2 3 − 2 3 + 2 2 5 2 3 − 3 23 2 3 = = (6 – 1 + 20 – 24) 6 =
6
b) = 4 3 24 5 − 3 2 5 − 5 3 2 33 5 + 2 3 24 33 5 = 4 2 3 2 5 − 3 2 5 − 5 3 3 2 5 + 2 2 3 3 2 5 = = (8 – 1 – 15 + 12) 3 10 = 4 3 10 6.- Opera y simplifica: 6
3
a)
52 4 53 6 5
b)
3
9 xy 2 81x 2 y
3
c)
m2
m n m n
d)
3
4
x2 3 x2
Sol.: a) 1er método: m.c.m. (3, 4, 6) = 12 =
12
(5 ) (5 ) 4
2
3
3
12
52 =
12
12
58 59 52 =
12
58 + 9 + 2 =
12
519 = 5 12 57
2º método: 2
3
= 5 3 5 4 5
1 6
=5
2 +3 + 1 3 4 6
= 5
8+9+ 2 12
19
1+
= 512 = 5
7 12
7
= 5 512 =
12
57
b) 1er método: m.c.m. (3, 2) = 6 =
6
(3
2
) ( 2
xy 2 6 3 4 x 2 y
)
3
=
6
34 x 2 y 4 312 x 6 y 3 =
6
316 x 8 y 7 = 32 xy 6 3 4 x 2 y
2º método:
(
= 3 xy 2
2
) ( 3 1 3
4
2
x y 4
)
2
1 2
2
1 3
2
4
2
=3 x y 3 x y 3
1
(
3
= 32 xy 3 6 x 6 y 6 = 32 xy 3 4 x 2 y
2
)
1 6
2
1 2
= 3
2 +2 3
x
1 +1 3
y
2 1 + 3 2
8 3
4 3
=3 x y
7 6
= 32 xy 6 3 4 x 2 y
c) 1er método: m.c.m. (3, 6, 2) = 6 =
6 6
m4
6
m n
=
m3 n 9
6
m 4 m n = m3 n 9
6
m 4+1−3 n1−9 =
6
m 2 n −8 =
3
m 1 m = 3 4 n n n
2º método: 1
1
1
1
2 1 1 1 3 1 4 + − − − m 6n 6 1 m 1 m 3 m3 = m 3 1 3 = m3 6 2 n 6 2 = m3 n 3 = = = 3 1 n n n n m 2n 2 n n 3 2
d) 1er método: =
8 3
x 2 3 x 2 =
24
x8 =
3
x
3
16 6
8 6
= 3 x y
7 6
=
2º método: = x 2 x 2
( )
1 3
1 4
1 2
= x2x 3 2
1 1 4 2
1
8 1 1 2+ 2 8 = x 3 = x3 8 = x3 =
7.- Racionaliza y simplifica: 2 a)
b)
1+ 2
3
x
1+ 3
c)
1− 3
3 +2 2 3 −2 2
Sol.: a) =
2−2 2 1− 2 2−2 2 2−2 2 = = = = −2 + 2 2 2 −1 1− 2 1+ 2 1− 2 12 − 2 2
1+ 3 1+ 3 12 + 2 1 3 + 3 b) = = 2 1− 3 1+ 3 12 − 3
2
=
( − (2 2 )
2
c) =
3 +2 2 3 −2 2
3 +2 2 3 +2 2
=
1+ 2 3 + 3 4+2 3 = = −2 − 3 1− 3 −2
3 + 2 3 2 2 + 2 2 3
)
2
2
2
=
3 + 4 6 + 4 2 11 + 4 6 = 3 − 4 2 −5
8.- Calcula los siguientes logaritmos, aplicando la definición: 1 b) log 3 a) log 4 64 27 Sol.:
c) log 2
2 2
a) log 4 64 = c ⇔ 4 c = 64 = 43 ⇒ c = 3 1 1 b) log 3 =c ⇔ 3c= = 3−3 ⇒ c = −3 27 27 c) log 2 2 2 = c ⇔ 2 c = 2 2 = 2 3/2 ⇒ c = 3/2 9. Calcula el valor de x en cada caso, aplicando la definición de logaritmo: a)
x = log 3 81
b)
log x 125 = −3
b)
log 2 (4x) = 3
Sol.: a) x = log 3 81 ⇔ 3x = 81 = 34 ⇒ x = 4 b) log x 125 = −3 ⇔ x −3 = 125 = 53 = (1/5)−3 ⇒ x = 1/5 b) log 2 (4x) = 3 ⇔ 23 = 4x = 8 ⇒ x = 2 10.- Sabiendo que log 4 = 0,60206, calcula el valor de los siguientes logaritmos: a)
log 2
b) log
1 4
c) log 0,2
Sol.:
4
d)
log 4 000
a) log 2 = log 4
1 2
=
1 1 ⋅ log 4 = 0,60206 = 0,30103 2 2
1 = log 1 – log 4 = 0 – 0,60306 = –0,60306 4 2 = log 2 – log 10 = 0,30103 – 1 = −0,69897 c) log 0,2 = log 10 d) log 4 000 = log (4 1 000) = log 4 + log 1 000 = 0,60206 + 3 = 3,60206 b) log
11.- Calcular de la forma más rápida posible el valor de los siguientes números combinatorios: 500 100 a) b) 498 97 Sol.: 500 500! 500 ⋅ 499 ⋅ 498! 500 ⋅ 499 = = = 124 750 a) = 498!⋅(500 − 498)! 498!⋅2! 2 498
100 100! 100 ⋅ 99 ⋅ 98 ⋅ 97! 100 ⋅ 99 ⋅ 98 = = = 161 700 b) = 97!⋅3! 3⋅2 97 97!⋅(100 − 97)!
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