Unidad 5: Trigonometría by Gonzalo Garcia

EDUCACIÓN SECUNDARIA 4 MATEMÁTICAS UNIDAD 5 TRIGONOMETRÍA

a) b) c) d) e) f) g) h)

Presentación Evaluación Inicial Conceptos Actividades Autoevaluación Otros recursos: bibliografía y recursos en red Refuerzos Educativos Ampliaciones / Propuesta de investigación

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Matemáticas, Unidad 5

A/ PRESENTACIÓN Al terminar esta unidad, serás capaz de: 1. Expresar los ángulos en sus unidades de medida, y cambiar de una a otra. 2. Calcular las razones trigonométricas de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo. 3. Utilizar la fórmula fundamental de la trigonometría para obtener las razones trigonométricas desconocidas de un ángulo conociendo alguna. 4. Resolver problemas relacionados con triángulos rectángulos. 5. Resolver triángulos isósceles. 6. Resolver triángulos cualesquiera aplicando la estrategia de la altura. 7. Resolver triángulos cualesquiera aplicando los teoremas del seno y del coseno. 8. Calcular las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera sabiendo su posición en la circunferencia goniométrica. 9. Obtener las razones trigonométricas de los ángulos complementario, suplementario y opuesto de uno dado. 10. Resolver problemas de trigonometría. Criterios de Evaluación Criterio A Criterio B Criterio C Criterio D

Conocimiento y comprensión Aplicación y razonamiento Comunicación Reflexión y evaluación

Máximo 10 Máximo 10 Máximo 6 Máximo 8

Trigonometría significa, literalmente, “medida de triángulos”, cosa aparentemente sorprendente porque esperaríamos que el nombre fuese más “triángulo-metría”. Sin embargo, no olvidemos que el triángulo es un polígono (el más sencillo), que tiene tres lados (tri-gono). Si el álgebra (que hemos estado viendo hasta ahora) nos parece una disciplina antigua, la trigonometría puede que sea una de las más antiguas de las partes de las Matemáticas. Ya en la antigua Babilonia se han encontrado tablillas con ternas de números relacionados por el teorema de Pitágoras ({5, 4, 3}, por ejemplo) cuya función no está todavía demasiado clara. También en el antiguo Egipto es de suponer que la trigonometría fuese una arte conocida, al menos por la clase sacerdotal, para la predicción de las crecidas del Nilo mediante medidas astronómicas o la construcción de monumentos como las pirámides. Pero, como casi siempre en matemáticas, fueron los griegos quienes primero formalizaron el conocimiento trigonométrico: primero fue Pitágoras el que demostró 2

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el teorema que, desde entonces, lleva su nombre; después Eratóstenes al medir la circunferencia terrestre mediante la semejanza de triángulos; luego Thales de Mileto al dar con un método para medir la altura de la pirámide de Keops. Durante el tiempo que va desde la Grecia Clásica hasta El Renacimiento, la trigonometría permaneció estancada, sólo con pequeños avances fruto de su aplicación a la arquitectura (permitió el avance de los distintos estilos arquitectónicos) cada vez más extendida, claro que no escrita en la forma que nosotros la conocemos. A partir de la expansión de los descubrimientos geográficos, el interés cada vez más profundo en el éxito de la navegación, hizo que la trigonometría (sobre todo la esférica) se expandiese aún más. Además, la necesidad de la elaboración de mapas y la propia exploración terrestre marcó el desarrollo de la geodesia, directamente relacionada con la trigonometría. Más modernamente, todo el desarrollo de la Ciencia (a partir de los siglos XV y XVI, pero sobre todo durante XIX y XX) sirvió para replantear la trigonometría y darle la apariencia que tiene ahora. Todo lo anterior se refiere al desarrollo del uso y a la formalización cada vez más rigurosa de la trigonometría, sin embargo, en lo que al fondo se refiere, el contenido de la misma no ha variado sustancialmente desde la mencionada época de la Grecia Clásica. Por cierto, ¿dónde está Mileto?

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B/ EVALUACIÓN INICIAL 1. Di si es verdadero o falso: a) Un segundo sexagesimal es la sesentava parte de un minuto sexagesimal. b) 45º equivalen a la mitad de un ángulo recto. c) Dos ángulos rectos suman 360º. 2. Enuncia los teoremas de Thales y de Pitágoras. 3. Calcula los ángulos complementario y suplementario de 25º 15’. 4. Los triángulos ABC y ADE de la figura son rectángulos en A. Calcula las medidas de los lados AB, AE y AD. A

D B

2,3 cm

AC = 4,08 cm

E C

4,6 cm

5. El paralelepípedo de la figura tiene por dimensiones 6 cm, 2 cm y 4 cm. Calcula: a) la medida de la diagonal EG de la cara inferior. b) la medida de la diagonal ED del paralelepípedo. c) el área del triángulo EGD. A B

D 2 cm

G 4 cm E

6 cm

6. Dados los ángulos A = 30º 45’ 36’’ y B = 67º 39’ 56’’, calcula: a) la amplitud de los 2 A + 3B ángulos: A + B, 2B – A, y 180º − (A + B). b) la medida del ángulo C de 4 forma que A, B y C sean los tres ángulos de un triángulo. 7. Observa la fotografía: a) Los cables que sujetan el puente forman triángulos con los pilares y la calzada. ¿De qué tipo son esos triángulos según sus ángulos? b) Cuando el ángulo que forma el cable con la calzada mide 45º, ¿qué relación hay entre la altura del pilar y la distancia de la base al punto de unión del cable y la calzada?

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8. Observa la siguiente señal de tráfico que indica peligro por la presencia de una fuerte pendiente en un tramo de carretera. a) ¿Cuál es el significado de 10%? b) Dibuja una señal de tráfico que indique peligro por una pendiente descendente del 6%. ¿Qué significa en este caso 6%?

9. La señal de ceda el paso es un triángulo equilátero. a) ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos? b) Dibuja la señal y divídela en dos triángulos rectángulos trazando una mediatriz. ¿Cuánto miden los ángulos de esos triángulos? c) ¿Influye el tamaño del triángulo en las dimensiones de esos ángulos?

10. Encuentra quién fue el primer matemático que relacionó la longitud de los lados de un triángulo con la medida de sus ángulos.

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C/ CONCEPTOS

1. Lados y ángulos: triángulos (repaso) 1.1 Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos 2. Triángulos rectángulos: elementos 2.1 Resolución de triángulos rectángulos 2.2 Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo 2.3 Fórmula fundamental de la trigonometría 2.4 Razones trigonométricas de ángulos complementarios 3. Resolución de triángulos isósceles 4. Resolución de triángulos 4.1 Estrategia de la altura 4.2 Teoremas del seno y del coseno 5. Razones trigonométricas: 5.1 de un ángulo cualquiera: circunferencia goniométrica 5.2 de ángulos suplementarios y opuestos 6. Problemas de trigonometría

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D/ ACTIVIDADES

Sistema de trabajo: individual Recursos: libro de texto y consultores de aula. 1. Lee los textos de la página 125 del libro y de la dirección: http://www.phy6.org/stargaze/Mtrig1.htm

1. LADOS Y ÁNGULOS: TRIÁNGULOS (repaso) Cualquier trozo de recta es un segmento. Un segmento posee como característica distintiva su longitud. Dicha longitud no cambia ni al mover ni al girar el segmento, por eso decimos que es la característica que lo define. Dos segmentos de la misma longitud se llaman equipotentes. A A B A B B

Sin embargo, la longitud no permite clasificar todos los segmentos. Por ejemplo, en la figura anterior todos los segmentos son equipotentes, pero son distintos, puesto que tienen distinta orientación. Dos segmentos con la misma longitud y la misma orientación se llaman equipolentes. Si unimos varios segmentos por sus extremos obtenemos una poligonal, que puede ser abierta o cerrada, según que el extremo del último segmento coincida con el origen del primero o no. Una poligonal cerrada también se denomina polígono.

Poligonal abierta

Poligonal cerrada (polígono)

Los polígonos se pueden clasificar según el número de sus lados. Así, un polígono de tres lados se denomina triángulo; uno de cuatro lados, cuadrilátero; uno de cinco, pentágono;... Dos segmentos consecutivos de una poligonal pueden tener orientaciones distintas. Para colocar los dos segmentos con la misma orientación tendríamos que girar uno de ellos hasta hacerlo coincidir con el otro. A la medida del giro necesario le llamamos ángulo.

Ángulos

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Para definir un ángulo sólo se necesitan dos segmentos confluentes. Cada uno de esos segmentos se llama lado del ángulo y el punto de confluencia se llama vértice. Trasladando estas definiciones a los polígonos, se habla de lados (cada uno de los segmentos), de vértices (cada uno de los puntos de confluencia entre lados consecutivos) y de ángulos. Así, un triángulo tiene tres lados, tres vértices y tres ángulos. Existen dos unidades fundamentales para la medida de ángulos: el grado sexagesimal (º) y el radián (rad). El grado sexagesimal se obtiene dividiendo el máximo giro posible entre dos segmentos iguales (una circunferencia o una vuelta completa) en 360 partes iguales: cada una es un grado sexagesimal. Es una unidad convencional. En cambio el radián se obtiene de la relación entre la longitud de una circunferencia y la de su radio. Se define el radián como el ángulo comprendido entre dos radios de una circunferencia que subtienden un arco de longitud igual al radio. Esta definición es tremendamente engorrosa, pero se aclara al saber que, al ser la longitud de la circunferencia 2π veces su radio, puede establecerse la equivalencia entre una vuelta completa en grados sexagesimales y en radianes: 360º son lo mismo que 2π rad (o, lo que es los mismo, π rad equivalen a 180º). 2. Fíjate en el HAZLO ASÍ de la página 136 del libro y, después, realiza los ejercicios 32 y 33 de esa página. Existen ciertos ángulos con nombre propio por sus especiales características. Por ejemplo, un ángulo de 90º se denomina ángulo recto; un ángulo de 180º se denomina ángulo llano. Del mismo modo, estos ángulos sirven para caracterizar otros por comparación: cualquier ángulo menor que 90º se llama ángulo agudo; cualquiera mayor que 90º se llama ángulo obtuso. Igual que pueden clasificarse los polígonos según el número de lados, también pueden clasificarse según sus ángulos. Así, por ejemplo, si todos los ángulos interiores de un polígono son menores o iguales que 180º se dice que el polígono es convexo; si alguno es mayor que 180º, se habla de un polígono cóncavo. Siendo los triángulos los polígonos más sencillos, es extremadamente importante recordar algunas características propias de ellos: • Un triángulo que tiene los tres lados iguales se dice equilátero. Como consecuencia, también es equiángulo. • Un triángulo con dos lados iguales se dice isósceles. Los ángulos correspondientes a los lados iguales también son iguales. • Un triángulo con los tres lados distintos se dice escaleno. Sus ángulos también son distintos entre sí dos a dos. • Un triángulo que tiene un ángulo recto se llama rectángulo. • Si todos los ángulos de un triángulo son agudos, se dice que es acutángulo. • Si un triángulo tiene un ángulo obtuso se dice obtusángulo. Los tres ángulos de un triángulo suman dos rectos, es decir, 180º.

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3. ¿Sería posible encontrar un triángulo plano rectángulo y obtusángulo simultáneamente?

Líneas notables de un triángulo: se puede trazar una serie de líneas que relacionan características de vértices y lados o ángulos correspondientes. Son: alturas: líneas perpendiculares a cada lado por el vértice correspondiente. Se cortan en el ortocentro. medianas: líneas que unen cada vértice con el punto medio del lado correspondiente. Se cortan en el baricentro. mediatrices: líneas perpendiculares a cada lado por su punto medio. Se cortan en el circuncentro. bisectrices: líneas que dividen cada ángulo en dos partes iguales. Se cortan en el incentro. En cualquier triángulo (no equilátero) ortocentro, baricentro y circuncentro se alinean en una recta llamada recta de Euler. En un triángulo equilátero, todas las líneas y todos los puntos notables coinciden. • Cualquier polígono puede dividirse en triángulos. • En los triángulos rectángulos se verifica el teorema de Pitágoras: “el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

1.1 Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos Como ya se dijo, existen ángulos especiales mediante los que los otros pueden clasificarse. Pueden hacerse parejas de ángulos cuya tremenda importancia hace aconsejable su estudio.

Ángulos complementarios: son aquellos que suman 90º. α, β complementarios si α + β = 90º 4. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios, ¿por qué?

Ángulos suplementarios: son aquellos que suman 180º. α, β suplementarios si α + β = 180º

Ángulos opuestos: son aquellos que suman 0º ó 360º. α, β opuestos si α + β = 0º ó α + β = 360º Cualquier ángulo siempre tiene un complementario, un suplementario y un opuesto.

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5. Obtén los ángulos complementario, suplementario y opuesto de los ángulos de los ejercicios 32 y 33 de la página 136 del libro.

2. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS: ELEMENTOS Como recordarás, los lados de un triángulo rectángulo tienen nombres particulares:

Catetos: son los lados que definen el ángulo recto. Hipotenusa: es el lado correspondiente al ángulo recto. Los catetos siempre son correspondientes a ángulos agudos, de forma que cuanto mayor sea el ángulo, mayor es el cateto correspondiente.

En un triángulo rectángulo, las alturas correspondientes a los vértices no rectos son los propios catetos, y el ortocentro es, precisamente, el vértice recto.

O En un triángulo rectángulo, las mediatrices se cortan en el punto medio de la hipotenusa. C

2.1 Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo significa conocer las longitudes de los tres lados y las aberturas de los tres ángulos. La resolución de los triángulos rectángulos es importantísima, puesto que siempre es posible dividir cualquier polígono en triángulos rectángulos, de modo que siempre es posible resolver cualquier polígono con un número suficiente de ellos. De momento, para resolver un triángulo rectángulo necesitamos conocer dos de sus lados y uno de sus ángulos agudos. Aplicando el teorema de Pitágoras se calcula el otro lado y, por la complementaridad de los ángulos agudos del triángulo rectángulo, obtenemos el ángulo desconocido.

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Por ejemplo: Resolver el triángulo rectángulo de catetos 3 y 4 cm, sabiendo que el menor de sus ángulos mide 36º 52’. • aplicamos el Teorema de Pitágoras: h2 = 32 + 42 α = 36º 52’

⇒ ;

h = 5 cm α + β = 90º

⇒

β = 53º 8’

Pero, ¿y si no conocemos alguno de los elementos anteriores? Veremos, a continuación, las razones trigonométricas de los ángulos, y su utilidad en la resolución de triángulos rectángulos. 6. Visita la siguiente dirección y realiza la autoevaluación propuesta, con un mínimo de 10 ejercicios: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo10.htm

2.2 Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo 7. Lee la página 126 del libro, después, realiza las actividades de esa página y los ejercicios 26 a 28 y 30 de la página 136. 8. Realiza las siguientes actividades: 1.- Halla las razones trigonométricas del ángulo agudo α en cada uno de estos triángulos: a) b) c) 2,4 cm 18,2 cm α

5,3 cm

11,6 cm

15 cm 8,2 cm

2.- Prueba con el teorema de Pitágoras que los triángulos ABC y ADC son rectángulos: C 20 cm

15 cm 12 cm A 9 cm D

16 cm

Halla sen A en esos triángulos y comprueba que obtienes el mismo valor. 3.- Resuelve los triángulos rectángulos siguientes, sabiendo que se conocen: a) el lado a = 102,4 m y el ángulo A = 55º. b) la hipotenusa c = 25 m y el cateto a = 20 m.

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9. Realiza los siguientes ejercicios: 1.- Un niño está volando una cometa cuyo hilo mide 200 m y forma un ángulo de 75º con el suelo. Halla la altura de la cometa sobre el suelo. 2.- Calcula la longitud de la sombra de la Torre Eiffel (altura = 330 m) cuando la inclinación de los rayos solares medida sobre el horizonte es de 14º. 3.- Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿qué ángulo forman los rayos del Sol con la horizontal? 10. Lee la página 128 del libro y, después, realiza los ejercicios 8 y 9 de esa página. Luego, calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 y 8 cm y el ejercicio 48 de la página 137. 11. Puedes visitar las siguientes direcciones para repasar lo que has aprendido en esta sección y comprobarlo con ejemplos y ejercicios de autoevaluación: http://www.youtube.com/watch?v=zLheqxMrc68 http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas_tri angulo_rectangulo/Ratrigo1.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo1.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo2.htm

2.3 Fórmula fundamental de la trigonometría 12. Lee la página 127 del libro, después, realiza las actividades de esa página y los ejercicios 34 y 35 de la página 136 y los ejercicios 40 a 42 de la página 137.

¿Sabías queG existen otras tres razones trigonométricas que se obtienen como los inversos de las ya definidas y que son: 1 cosecante ≡ csc α = sen α secante ≡ sec α =

1 cos α

cotangente ≡ cot α =

1 tan α

Puedes visitar las siguientes direcciones para ver las interpretaciones gráficas de las razones trigonométricas y repasar lo aprendido: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas/Ra zones_trigonometricas.htm http://www.youtube.com/watch?v=KiKAJ-JUV14 12

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Fíjate lo que ocurre si dividimos del teorema de Pitágoras entre los distintos elementos que intervienen. Siguiendo la notación del libro: a2 = b2 + c2 • dividimos entre la hipotenusa cuadrado, a 2: 2

a b c = 2+ 2 2 a a a

b c ⇔ 1=   +   a a

fórmula fundamental de la trigonometría

⇔ 1 = sen 2 α + cos 2 α

• dividimos entre un cateto cuadrado, b 2: 2

a b c = 2+ 2 2 b b b

a c ⇔   = 1+   b b

relaciones fundamentales de la trigonometría

⇔ csc 2 α = 1 + cot 2 α

• dividimos entre el otro cateto cuadrado, c 2: a2 b2 c 2 = + c2 c2 c2

a b ⇔   =   + 1 ⇔ sec 2 α = tan 2 α + 1 c c Puedes visitar la siguiente dirección para ver ejemplos y otra versión de la demostración:

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo5.htm 13. Utiliza las relaciones fundamentales para completar la tabla: sen α 0,92

0,2

cos α

0,12

tan α

1 4

1 2

0,75

2.4 Razones trigonométricas de ángulos complementarios 14. Copia las soluciones del ejercicio 1 de la página 126 que realizaste en la sección 2.2, y observa atentamente las relaciones que pueden establecerse. ¿Por qué hay algunas que dan el mismo resultado? Pista: fíjate que el cateto opuesto a un ángulo agudo del triángulo es el contiguo del otro, y viceversa.

APRENDE: Siempre que dos ángulos sean complementarios se verifica que: α, β complementarios ⇒

⇔

sen α = cos β ;

α + β = 90º

⇒

cos α = sen α;

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tan α = cot β

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La relación entre las razones trigonométricas de ángulos complementarios también puede escribirse como: sen α = cos (90º – α)

cos α = sen (90º – α)

;

tan α = cot (90º – α)

;

15. Sabiendo que sen 37º = 0,6, calcula: a) cos 37º

b) sen 53º

c) tan (90 – 37º)

16. Puedes visitar las siguientes direcciones para repasar lo que has aprendido en las secciones anteriores y comprobarlo con ejercicios y problemas propuestos: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas_tri angulo_rectangulo/Ratrigo2.htm http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/trig.htm

3. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS ISÓSCELES Si en un triángulo isósceles trazamos la altura correspondiente al lado desigual obtenemos dos triángulos rectángulos iguales. Llamando a a los lados iguales y c al desigual, nos encontramos con una situación como la de la figura: C C

h A

2 Así, resolver un triángulo isósceles se reduce a resolver un triángulo rectángulo. La única precaución que hay que tener una vez finalizada la resolución es multiplicar el cateto c por dos para calcular el lado desigual original y hacer lo mismo con el 2 C ángulo para obtener C. 2 Veamos a continuación un ejemplo de cómo emplear este método para resolver un triángulo isósceles: C

h 5m

35º

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2,5 m Matemáticas, Unidad 5

Con el ángulo conocido, planteamos las razones trigonométricas que relacionan el lado conocido con los desconocidos: c h 2,5 sen 35 º = cos 35º = 2 = a a a 2,5 a= = 3,05 m h = a sen 35º ⇒ h = 1,75 m cos 35º Teniendo en cuenta que también conocemos el ángulo C , habría un camino 2 alternativo para el cálculo de a o de h: 180º = C + 2A

⇒

C = 110º

c sen C = 2 2 a

⇒

sen 55º =

2,5 a

⇒

2,5 = 3,05 m sen 55º

17. ¿Qué relación existe entre 35º y 55º que hace que el cálculo de a no dependa de que tomemos uno u otro? 18. Visita la siguiente dirección y realiza la autoevaluación propuesta, con un mínimo de 10 ejercicios: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo12.htm 19. Lee la página 132 del libro, después, realiza las actividades 21 y 22 de esa página y los ejercicios 72 a 75 de la página 139. Luego, realiza los siguientes ejercicios: 1.- Resuelve un triángulo cuyos datos son a = b = 3 cm; C = 60º. 2.- Calcula el área de este triángulo, después de resolverlo:

20 cm 35º

35º

A B 3.- En una circunferencia de 8 cm de radio se traza una cuerda de 10 cm. Halla el ángulo AOB. O

4.- Halla el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24,6 m abarca un arco cuyo ángulo central es 70º. 5.- La longitud del lado de un octógono regular es 12 m. Halla los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita.

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4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Un triángulo acutángulo es aquel que tiene sus tres ángulos agudos, mientras que uno obtusángulo tiene un ángulo obtuso. Sobre estos no se pueden definir las razones trigonométricas, ya que no tienen catetos ni hipotenusa. A pesar de ello, TODOS los ángulos tienen definidas las razones trigonométricas. ¿Cómo aprovechar estas características de los ángulos para resolver estos triángulos? Existen dos posibilidades: aplicar la estrategia de la altura o los teoremas del seno y del coseno.

4.1 Estrategia de la altura Al trazar una altura cualquiera en un triángulo observamos que queda dividido en dos triángulos rectángulos:

La diferencia con el caso isósceles anterior estriba en que ahora el lado correspondiente a la altura trazada no queda dividido en dos mitades. Esto ocurrirá para cualquier altura, de modo que, en general, buscaremos una altura correspondiente a uno de los lados conocidos. Buscando las relaciones entre los elementos conocidos de ambos triángulos rectángulos que tienen en común el cateto dado por la altura trazada (de ahí el nombre del método), tendremos un sistema de ecuaciones que nos permitirá resolver el triángulo original. A continuación veremos unos ejemplos para ilustrar este método según cuáles sean los elementos conocidos del triángulo problema. Caso 1: Un lado y dos ángulos Resolver un triángulo sabiendo que a = 15 cm, B = 40º y C = 55º. Representamos esquemáticamente el triángulo colocando el lado conocido como base: A

h B = 40º

a = 15 cm

C = 55º

Observamos que ese lado queda dividido en dos partes desiguales de tamaño desconocido. Si llamamos x a una de ellas, por ejemplo la mayor, nos encontramos con que la otra puede escribirse como 15 – x. De esta forma tenemos dos triángulos rectángulos:

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h B = 40º

C = 55º

15 – x

Dichos triángulos comparten el cateto dado por h, lo que permitirá relacionar ese valor con las razones trigonométricas de los ángulos conocidos. Al “conocer” los catetos de los triángulos, la razón trigonométrica más adecuada para la resolución será la tangente: triángulo izquierdo triángulo derecho

h B = 40º

15 – x

tan 40º =

h x

tan 55º =

C = 55º

h 15 − x

Dado que tanto h como x significan lo mismo en las dos ecuaciones, lo que tenemos que resolver es un sistema de ecuaciones:

h   tan 40º = x  h tan 55º = 15 − x  Resolviendo el sistema por igualación en h:

 h = x tan 40º ⇒  h = 15 − x tan 55º ( ) 

x tan 40º = 15 tan 55º − x tan 55º ⇒

⇒ x ⋅ ( tan 40º + tan 55º ) = 15 ⋅ tan 55º ⇒ x =

15 ⋅ tan 55º tan 40º + tan 55º

= 9, 45 cm

h = x tan 40º = 7,93 cm Una vez conocidas x y h, no queda más que aplicar el teorema de Pitágoras a cada triángulo para calcular sus hipotenusas, es decir, los lados desconocidos del triángulo inicial: triángulo izquierdo

triángulo derecho

c = x 2 + h 2 = 9,45 2 + 7,93 2 =

(15 − x )2 + h 2

= 12,34 cm

= 5,55 2 + 7,93 2 =

= 9,68 cm

Así, el triángulo resuelto queda: a = 15 cm ; A = 180º − 40º − 55º = 85º ;

b = 9,68 cm B = 40º

; ;

c = 12,34 cm C = 55º

Otro ejemplo (triángulo obtusángulo): Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente SEK-Atlántico

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Resolver un triángulo sabiendo que a = 15 cm, B = 30º y C = 55º. Representamos como antes el triángulo colocando el lado conocido como base y aplicamos el método siguiendo los mismos pasos: A

h B = 30º

C = 55º

a = 15 cm

el lado conocido queda dividido en dos partes desiguales de tamaño desconocido. Llamamos x a una de ellas, por ejemplo la mayor; a la otra, 15 – x. Tenemos dos triángulos rectángulos:

h B = 30º

C = 55º

15 – x

los resolvemos: triángulo izquierdo

triángulo derecho

h B = 30º

15 – x

x tan 30º =

h x

tan 55º =

C = 55º

h 15 − x

sistema de ecuaciones:

h   tan 30º = x  h tan 55º = 15 − x  por igualación en h (como antes); comprueba que los resultados son: x = 10,68 cm

h = 6,17 cm

aplicamos el teorema de Pitágoras a cada triángulo para calcular los lados desconocidos del triángulo inicial. Comprueba que se obtienen: triángulo izquierdo: c = 12,33 cm

triángulo derecho: b = 7,53 cm

Así, el triángulo resuelto queda: a = 15 cm ; A = 180º − 30º − 55º = 95º ;

b = 7,53 cm B = 30º

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; ;

c = 10,68 cm C = 55º

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Caso 2: Dos lados y un ángulo Resolver un triángulo sabiendo que b = 20 cm, c = 18 cm y B = 55º. Representamos como en los ejemplos anteriores, pero ahora colocando el lado desconocido como base y aplicamos el método: A b = 20 cm

c = 18 cm h

C = 55º

B a

El lado desconocido queda dividido en dos partes desiguales de tamaño desconocido, que llamaremos x e y. De esta forma tenemos dos triángulos rectángulos: Y X b = 20 cm

c = 18 cm

h C = 55º

B x

En el triángulo de la derecha conocemos suficientes elementos para resolverlo: • el ángulo Y es el complementario de C, así, Y = 90º − C = 35º. • la hipotenusa se relaciona con los catetos mediante las razones trigonométricas seno y coseno: h sen 55º = cos 35º = ⇒ h = b sen 55º = 16,38 cm b y cos 55º = sen 35º = ⇒ y = b cos 55º = 11,47 cm b Al ser la altura h el cateto compartido por los dos triángulos, una vez conocida tenemos en el triángulo de la izquierda elementos suficientes para resolverlo: • el cateto x se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras: x = c 2 − h 2 = 18 2 − 16,38 2 = 7,46 cm • los ángulos desconocidos B y X se calculan a partir de sus razones trigonométricas, que se obtienen de los lados del triángulo rectángulo: sen B = cos X =

h = 0,91 c

⇒

B = 65º30’

X = 24º30’

;

También se podría haber empleado las otras razones trigonométricas: cos B = sen X =

x c

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tan B = cot X =

h x

Matemáticas, Unidad 5

O también, una vez obtenido uno de los ángulos, calcular el otro por complementaridad: sen B =

h = 0,91 c

⇒

B = 65º30’

⇒

X = 90º − B = 24º30’

Llegados a este punto, sólo queda reconstruir el triángulo original a través de los elementos calculados: a = x + y = 7,46 + 11,47 = 18,93 cm

;

b = 20 cm

;

c = 18 cm

A = X + Y = 24º30’ + 35º = 59º30’

;

B = 65º30’

;

C = 55º

20. Resuelve los siguientes triángulos aplicando la estrategia de la altura: a) a = 4, B = 75º, C = 60º.

b) a = 6, b = 10, C = 30º.

c) a = 5, b = 4, A = 75º.

d) a = 10, b = 8, cos C

e) a = 3, b = 6, sen 2B =

4 . 5

1 . 5

f) a = 9, B = 30º, C = 45º.

21. Realiza las siguientes actividades: 1.- Calcula la altura correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 m. 2.- Dos lados de un triángulo miden 9 y 14 cm y el ángulo que forman estos lados, 57º. Resuelve el triángulo y calcula su área. 3.- Realiza las actividades 20 de la página 132 y 23 y 25 de la página 133 del libro. Existen más casos posibles que se resolverían del mismo modo, pero los veremos después de introducir el otro método comentado antes.

4.2 Teoremas del seno y del coseno Si en un triángulo cualquiera aplicamos la estrategia de la altura a los dos triángulos rectángulos en que queda dividido, pero utilizamos el seno en lugar de la tangente, nos encontraremos con la siguiente relación: A c

c h

B sen B =

C h c

sen C =

h b

Si despejamos h en ambas expresiones, podemos igualar los resultados, de modo que nos queda:

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c sen B = b sen C

sen B

o bien

sen C c

Trazando otra altura cualquiera, y repitiendo el proceso anterior tendremos: A

A c

h’

h’ B

a h' c

sen A = c sen A = a sen C

sen A

o bien

sen C = =

h' a

sen C c

Combinando las dos expresiones así obtenidas se obtiene el llamado teorema del seno: sen A sen B sen C = = a b c Vamos a resolver a continuación los dos ejemplos anteriores empleando el teorema del seno: Ej. 1: Resolver un triángulo sabiendo que a = 15 cm, B = 40º y C = 55º. A = 180º − B – C = 85º sen A a

sen B b

sen C c

sen 85º

⇒

sen 40 º b

sen 55º c

Al tener el primer cociente completo, podemos despejar las igualdades dos a dos: b=

15 sen 40º sen 85º

= 9,68 cm

15 sen 55º sen 85º

= 12,33 cm

Se observa que se obtienen los mismos resultados que por la estrategia de la altura (salvo aproximaciones) Ej. 2: Resolver un triángulo sabiendo que b = 20 cm, c = 18 cm y B = 55º. sen A a

sen B b

sen C c

⇒

sen A a

sen 55º 20

sen C 18

Al tener el segundo cociente completo, podemos despejar la última igualdad: sen C =

18 sen 55º 20

⇒

sen C = 0,737

⇒

C = 47,50º

Conociendo este ángulo y el del dato podemos calcular A: Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente SEK-Atlántico

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A = 180º – 55º – 47,50º = 77,50º Ahora estamos en condiciones de resolver la primera igualdad:

20 sen 77, 50º sen 55º

⇒

a = 23,84 cm

22. Resuelve los triángulos cuyos datos son: a) a = 10; B = 120º y C = 120º

b) A = 30º, b = 10 y C = 40º

c) A = 30º, B = 100º y c = 10 Seguimos, ahora, a la luz de este nuevo método, analizando los casos posibles de triángulos a resolver. Caso 3: dos lados y al ángulo comprendido entre ambos a = 137 m C = 43º Resuelve el siguiente triángulo: b = 211 m

Si aplicamos el teorema del seno a este caso nos encontramos con: sen A a

sen B b

sen C c

⇒

sen A 137

sen B 211

sen 43º c

No tenemos ninguno de los cocientes completamente determinado, de modo que no podemos despejar ninguna de las ecuaciones. Sólo nos queda como alternativa utilizar la estrategia de la altura: B a = 137 m

C = 43º

b = 211 m

a = 137 m

A 211 – x

C = 43º

Resuélvelo tú.

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Caso 4: tres lados

Resuelve el siguiente triángulo:

b = 10 m

c=7m

B Si aplicamos el teorema del seno a este caso nos encontramos con: sen A a

sen B b

sen C

sen A

⇒

a = 15 m

sen B 10

sen C 7

No tenemos ninguno de los cocientes completamente determinado, de modo que no podemos despejar ninguna de las ecuaciones. En este caso no tenemos posibilidad de aplicar la estrategia de la altura, puesto que al no conocer ningún ángulo, no podemos saber la medida de las partes de ningún lado y descomponer el triángulo en dos rectángulos. Existe, sin embargo, otro método que nos permite salvar esta situación y que veremos a continuación sin demostración. Sabemos que en un triángulo rectángulo se verifica el teorema de Pitágoras: C a

a2 = b2 + c2

b A

Si un triángulo no es rectángulo, entonces o es acutángulo o es obtusángulo. Si permitimos el giro sobre el vértice del ángulo recto, A, sin variar la longitud de los catetos, nos encontramos con dos situaciones: C C C a a

b A

c a2 < b2 + c2

a2 = b2 + c2

a2 > b2 + c2

La igualdad se restablece introduciendo el término –2bc cos A, que es negativo cuando A es un ángulo agudo y positivo cuando es obtuso. Así, la relación que define el teorema del coseno es: a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A Razonando de forma similar para cualquier otro ángulo, obtenemos las versiones correspondientes a los otros dos ángulos: Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente SEK-Atlántico

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b 2 = a 2 + c 2 – 2ac cos B

c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C

Si aplicamos este teorema al ejemplo del Caso 4: • aplicamos el teorema del coseno al lado a (siempre, por precaución, aplícalo primero al lado mayor): a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos A

⇒

152 = 102 + 72 – 2 10 7 cos A

• despejamos cos A y, calculadora en mano, obtenemos A: cos A =

225 − 100 − 49 76 =− − 140 140

⇒

A = 122º53’

Se observa que el coseno es negativo y el ángulo obtuso. Una vez alcanzado este punto, es posible aplicar el teorema del seno (ya conocemos uno de los cocientes completo) o continuar aplicando el teorema del coseno a los otros lados. Veamos ambas posibilidades: sen 122º53'

Teorema del seno:

⇒

Teorema del coseno:

⇒

sen B 10

sen C 7

10 sen 122º53'  = 0,560 sen B = 15  7 sen 122º53' sen C = = 0,392  15

⇒ ⇒

B = 34 º3'

⇒

C = 23º 4'

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c cos B ⇒  2 2 2 c = a + b − 2 a b cos C

 10 2 − 15 2 − 7 2 174 29 = = cos B = − 2 15 7 210 35  2 2 2 cos C = 7 − 15 − 10 = 276 = 29 − 2 15 10 300 35 

⇒

B = 34º3'

⇒

B = 23º 4'

Pueden aparecer pequeñas discrepancias entre los resultados obtenidos por ambos métodos. Éstas son achacables a las aproximaciones inevitables al trabajar con números irracionales. Siempre es bueno comprobar que no hay errores de cálculo, aparte de los ya mencionados de aproximación, sumando los ángulos obtenidos: A + B + C = 122º53’ + 34º3’ + 23º4’ = 180º Este último paso también puede utilizarse para calcular el tercer ángulo del triángulo, una vez obtenidos el primero por el teorema del coseno y el segundo por el teorema del seno o del coseno. 23. Resuelve el triángulo del Caso 3 de los ejemplos anteriores y el triángulo verde del texto de la página 125 de tu libro de texto, aplicando el teorema del coseno. 24

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24. Resuelve los siguientes triángulos aplicando el teorema del coseno: a) a = 5, b = 10, c = 12.

b) A = 150º, b = 10, c = 10.

c) a = 10, B = 120º, c = 15.

d) a = 8, b = 4, c = 6.

5. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS: Ya hemos visto la definición de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo. También hemos visto que las razones trigonométricas pueden calcularse para cualquier ángulo. Nos hemos encontrado, además, que algunas tienen signo negativo (cos A cuando A es obtuso). Necesitamos alguna herramienta para poder obtener razones trigonométricas de ángulos cualesquiera y relacionarlas con las definiciones primitivas.

5.1 de un ángulo cualquiera: circunferencia goniométrica Cuando representamos en un sistema de ejes cartesianos, tenemos presente que, tanto en el eje horizontal (abscisas) como en el vertical (ordenadas) podemos obtener medidas tanto positivas como negativas: lo que queda situado a la izquierda del origen es negativo, mientras que si está a su derecha es positivo; lo que se sitúa por encima del origen es positivo, mientras que lo que lo hace por debajo es negativo. Si representamos esquemáticamente un triángulo obtusángulo, normal e inconscientemente pintamos como base el lado más largo. De este modo, trazar la altura correspondiente a la base y aplicar la estrategia de la altura no nos causa ningún problema. Sin embargo, podemos pensar en qué nos C ocurrirá si representamos un lado a cualquiera (no el más largo) como base y tratamos de aplicar la estrategia de la h b altura. Como puede verse en la figura adjunta, la altura correspondiente a la base B “cae” fuera del triángulo. No existe, sin c A embargo, problema alguno para aplicar la mencionada estrategia de la altura, puesto que el triángulo original queda “dividido” en dos triángulos rectángulos: C’

C’’ a b

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x+c

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Estos dos triángulos comparten la altura (cateto común) y tienen lados relacionados a través de x (el trozo que va desde el vértice A hasta el punto de elevación de la altura h) y ángulos relacionados C’ y C’’, de modo que: C’’ = C + [90 – (180 – A)] = C + A – 90 Tanto si resolvemos el triángulo por la estrategia de la altura como si lo hacemos por el teorema del coseno, TENEMOS que obtener el mismo resultado, y éste nos dice que A tiene un coseno negativo. Este hallazgo no tiene interpretación posible con las definiciones de las razones trigonométricas dentro del triángulo rectángulo. Hay que encontrar alguna interpretación que encaje las piezas del rompecabezas.

Podemos pensar en la formación de un ángulo mediante la abertura de los lados que lo definen, como si en su vértice existiese una bisagra. Así, con los mismos lados podemos definir ángulos de cualquier abertura.

Si representamos nuestro triángulo anterior sobre un sistema de ejes coordenados de modo que el vértice A coincida con el origen de coordenadas, nos encontramos con:

El lado b que define el ángulo A junto con el eje X, también define otro ángulo con ese mismo eje, pero con la parte negativa. Si consideramos este triángulo, podemos definir las razones trigonométricas del ángulo 180º − A (el suplementario de A), teniendo en cuenta la relación anterior de que comparten la altura sobre el eje X. Si representamos sobre los mismos ejes los dos ángulos, A y 180 – A, con un lado de la misma longitud, y prolongamos el giro hasta completar una circunferencia, tendremos:

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Podemos considerar que los lados de los ángulos son hipotenusas de triángulos rectángulos, con los catetos formados por una vertical por el punto de corte del radio con la circunferencia y el correspondiente trozo horizontal.

R α

Así, podríamos calcular las razones trigonométricas del ángulo α = 180º − A utilizando las definiciones del triángulo rectángulo: sen α =

b R

;

cos α =

a R

;

tan α =

b a

Cualquier circunferencia concéntrica con la anterior tendría definidos los mismos ángulos, con sólo prolongar o acortar las longitudes de los radios que los definen. Si buscamos una que tenga radio unidad simplificaremos mucho las cosas:

R=1 α

Calculando las razones trigonométricas: sen α =

b =b 1

;

cos α =

a =a 1

Se observa que, gracias a tener radio unidad, los catetos coinciden con los valores de sen α y cos α. Una circunferencia con las propiedades anteriores (es decir, con radio unidad) se denomina circunferencia goniométrica. Trazando un ángulo cualquiera en la circunferencia goniométrica puede verse que: • la altura desde el eje de abscisas hasta el corte del radio con la circunferencia da el seno del ángulo central.

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• la distancia desde el origen de coordenadas hasta la altura anterior da el coseno de ese ángulo. Al definir la circunferencia goniométrica también se define lo que se llama el sentido convencional de la medida de ángulos: se considera el origen de ángulos (ángulo cero) sobre la parte positiva del eje de abscisas (coincidiendo con la representación cartesiana), y se considera un ángulo positivo medido desde ahí en sentido contrario al de las agujas del reloj (sentido ciclónico).

α>0 α = 0º = 0 rad α<0

Cualquier ángulo se puede representar mediante uno positivo de la circunferencia goniométrica, independientemente de su valor: 18º, 35º, 90º, 128º, 250º, 318º, 415º, 1 693º, ... Del mismo modo, puede definirse el sentido negativo de medida de ángulos, considerando el mismo origen y midiendo en el sentido de las agujas del reloj (sentido anticiclónico). La medida de ángulos que dan las líneas de los ejes coordenados los hace especiales, ya que son 0º, 90º, 180º, 270º y 360º. De hecho, si representamos estos cuatro ángulos en una misma circunferencia goniométrica veremos que el primero y el último coinciden: 90º

180º

0º, 360º

270º Además, observamos que la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales, que reciben el nombre de cuadrantes. Esta división no es puramente geométrica, sino que tiene consecuencias en la clasificación de los ángulos según sus razones trigonométricas: 28

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• Todos los ángulos del 1er cuadrante tienen los dos catetos hacia las partes positivas de los ejes (abscisas hacia la derecha y ordenadas hacia arriba). Por eso el seno y el coseno de cualquier ángulo del 1er cuadrante son positivos. Esto está de acuerdo con nuestra experiencia con triángulos rectángulos. Pero, ¿qué ocurre con los ángulos de los otros cuadrantes? • Un ángulo de 2º cuadrante tiene el cateto vertical por encima del origen, de modo que el seno de ese ángulo es positivo. Sin embargo, el cateto horizontal se sitúa a la izquierda del origen, en la parte negativa del eje de abscisas. Esto significa que el coseno de un ángulo del 2º cuadrante es negativo, lo que coincide con lo visto anteriormente en triángulos obtusángulos. Si analizamos de forma similar las orientaciones de los catetos para ángulos de tercer y cuarto cuadrantes podemos observar que: • Ángulo de 3er cuadrante:

seno negativo y coseno negativo.

• Ángulos de 4º cuadrante:

seno negativo y coseno positivo.

Esquemáticamente, y haciendo uso de la definición de tangente:

sen > 0 cos < 0 tan < 0 sen < 0 cos < 0 tan > 0

2º cuad

1 cuad

3er cuad

4º cuad

sen > 0 cos > 0 tan > 0 sen < 0 cos > 0 tan < 0

25. Lee las páginas 129 y 130 del libro y, después, realiza las actividades de esas páginas.

26. Puedes visitar la siguiente dirección para comprobar lo aprendido en esta sección: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo3.htm 27. Indica el signo de las siguientes razones trigonométricas: 4π 13π b) cos rad c) tan rad a) sen 155º 7 2 125 π d) cot 3 456º e) sec rad f) csc 125 000º 13 Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente SEK-Atlántico

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A través de la circunferencia goniométrica también toma sentido la existencia de ángulos de cualquier medida. Si volvemos a aquella interpretación anterior del ángulo como giro sobre una bisagra, podemos pensar en lo que ocurre cuando giramos una vuelta completa ^ y continuamos el giro. Así, los ángulos mayores que 360º o 2π rad corresponden a vueltas completas más un ángulo “residual”. De este modo, siempre es posible buscar un ángulo correspondiente al primer giro (situado en alguno de los cuadrantes) equivalente a uno mayor que 360º o 2π rad. Por ejemplo: • 1 350º

es un ángulo mayor que 360º.

nº de vueltas completas: 1 350 º 360 º

1 080 º +270 º

Ángulo residual: •

7π rad 3

360 º

270 º (nº mixto) 360 º

vueltas completas

270º

es un ángulo mayor que 2π rad.

7π rad 7 1 3 nº de vueltas completas: = = 1 (nº mixto) 2π rad 6 6 1 π Ángulo residual: 2π rad = rad 6 3

vueltas completas

1 350º es equivalente al ángulo del 1er giro 270º. Dicha equivalencia radica en que las razones trigonométricas de los dos ángulos son iguales. Es importante que no confundas equivalencia con igualdad: para abarcar un ángulo de 270º hay que recorrer 3 de vuelta; para abarcar uno de 1 350º hay que hacerlo 4 3 3 vueltas y . 4 Al procedimiento anterior para obtener el ángulo de 1er giro equivalente a uno dado se le denomina reducción al primer giro. 28. Reduce al primer giro los siguientes ángulos: 32π 13π a) 35 000º b) rad c) rad 5 16 e) 7π rad f) 735º 14’ g) 431 rad

d) 7 200º h) 3 601º

En el fondo, de lo que se trata al reducir a primer giro un ángulo mayor que 360º ó 2π rad, es hallar el resto de la división de ese ángulo entre 360º ó 2π rad (de ahí el apellido “residual”). Existe una operación matemática que calcula el resto de una división numérica, que se denomina “módulo” y se representa por mod. Así: 30

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3 mod 2 = 1

porque 1 es el resto de la división de 3 entre 2

70 mod 10 = 0

porque 0 es el resto de la división de 70 entre 10

1 350 mod 360 = 270

porque 270 es el resto de la división de 1 350 entre 360

¡Ojo! Fíjate que en la división de 1 350 entre 360 no se han simplificado los ceros. Si se hace, se comete un error en el orden de magnitud de los ángulos y el resultado es falso. Este tiene que ver con que lo que se busca es el resto de la división, no el cociente, de modo que el orden de magnitud de los números originales debe mantenerse.

5.2 de ángulos suplementarios y opuestos: Del modo anterior, es posible relacionar las razones trigonométricas de determinadas parejas de ángulos, por ejemplo, A y 180º − A (suplementarios) ó A y –A (opuestos).

Ángulos suplementarios: Si volvemos al primer dibujo de la página 27, vemos que las alturas sobre el eje de abscisas de los puntos de corte de los radios con la circunferencia son iguales. Por lo tanto: sen A = sen (180º − A) Las distancias desde el origen de coordenadas hasta esas alturas son las mismas, pero en el caso de cos A se mide hacia la izquierda (A es obtuso), hacia el lado negativo, y en el de 180º − A hacia la derecha, hacia el lado positivo. Por eso el coseno de un ángulo obtuso es negativo, porque su representación en la circunferencia goniométrica cae hacia la izquierda del origen de coordenadas. De este modo, la relación entre los cosenos de ángulos suplementarios será: cos (180º − A) = −cos A Las tangentes se obtienen por división. Así: tan (180 º − A ) =

sen (180 º − A ) cos (180 º − A )

sen A − cos A

= − tan A

Ángulos opuestos: Si representamos de forma similar a la anterior un ángulo y su opuesto y analizamos de modo semejante los catetos obtenidos, tenemos:

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Las distancias desde el origen de coordenadas hasta las alturas de los triángulos son las mismas. Por lo tanto: cos A = cos (−A) = cos (360º − A) Las alturas de los triángulos son iguales, pero en el caso de sen A se mide hacia arriba, hacia el lado positivo, y en el de −A ó 360º − A hacia abajo, hacia el lado negativo. Por eso el seno de un ángulo negativo es negativo, porque su representación en la circunferencia goniométrica cae por debajo del origen de coordenadas. De este modo, la relación entre los senos de ángulos opuestos será: sen (−A) = sen (360º − A) = −sen A 29. Obtén la relación entre las tangentes de ángulos opuestos.

30. Puedes visitar las siguientes direcciones para ver gráficamente lo aprendido en esta sección y practicar con los ejercicios propuestos en la autoevaluación: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo8.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo6.htm 31. Calcula las razones trigonométricas pedidas, conociendo los datos ofrecidos: a) sen (−α),

α ∈ 1er cuadrante,

cos α = 0,72

b) tan (180º − α), α ∈ (270º, 360º), c) cos [−(180º − α)],

π  α ∈  , π , 2 

sen α = 0,37 tan α = −1,19

32. Visita la siguiente dirección y realiza la autoevaluación propuesta, con un mínimo de 10 ejercicios: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo9.htm 33. A modo de repaso, lee la página 131 del libro y, después, realiza las actividades de esa página. 34. Puedes visitar las siguientes direcciones para ver gráficamente las relaciones anteriores y para un repaso general de lo aprendido: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas/Rel acion_razones_trigonometricas.htm http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trigono.htm http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/ geometria/trigonometria/trigonometria.htm

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http://www.dmae.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/index.htm (necesitarás GeoGebra (opción Webstart): http://www.geogebra.org/cms/)

6. PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA Existen multitud de situaciones reales en las que la trigonometría nos provee de herramientas para resolver problemas, fundamentalmente geométricos. Siempre es útil hacer un esquema de la situación descrita en un problema, pero en los que tratan de figuras o describen situaciones geométricas, más. Cuando nos encontremos con algún problema cuyo enunciado describa una figura plana, debemos pensar en la posibilidad de división de esa figura en triángulos, que se resolverán aplicando cualquiera de los métodos estudiados en esta unidad (también es posible combinar varios métodos en un mismo problema) y será la práctica la que nos dicte cuál es el más adecuado en cada caso. Veamos, a continuación, el planteamiento de algunos ejemplos que terminarás de resolver tú: EJEMPLO 1

Desde una nave espacial se ve la Tierra abarcando un ángulo de 20º. Siendo el radio de la Tierra 6 370 km, halla la distancia de la nave a la superficie terrestre. Solución: Si representamos la vista desde otra nave exterior a la dada: La línea de puntos representa el diámetro terrestre, de modo que nos encontramos ante un triángulo isósceles de base ese diámetro, altura la distancia desde el satélite hasta el centro de la Tierra y ángulo desigual el dado de 20º. Resuélvelo tú. EJEMPLO 2

Dos amigos han creído ver un ovni desde dos puntos separados 800 m, con ángulos de elevación de 30º y 75º, respectivamente. ¿Sabrías hallar la altura a la que “estaba” el ovni sabiendo que se encuentra entre ellos? Solución: Representamos esquemáticamente la situación 75º descrita:

800 m

30º

Tenemos un triángulo acutángulo (el tercer ángulo se calcula conociendo la suma) en el que podemos aplicar el teorema del seno. Hazlo tú.

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35. Realiza las actividades 79 a 82 y 85 a 87 de la página 140 del libro.

36. A modo de repaso, realiza las siguientes actividades: 1.- Halla los valores de las letras en los siguientes triángulos rectángulos: b)

6,5 cm

x 53º 7,2 cm

23 cm

2.- Calcula la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los rayos del Sol forman un ángulo de 50º con el suelo. 3.- Una escalera de 4 m está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su base dista 2 m de la pared? 4.- La longitud de la generatriz de un cono mide 4 cm y forma un ángulo con la altura de 28º. Calcula la superficie total del cono y el volumen del cono. 5.- Resuelve el triángulo cuyos datos son A = 30º, a = 3 m y b = 4 m aplicando el teorema del seno y el teorema del coseno, explicando las características de las soluciones que obtienes. 6.- Desde un faro se observan dos barcos: el “Velita”, bajo un ángulo de 21º respecto a la línea de costa, y el “Remito”, bajo otro ángulo de 43º. El “Velita” se encuentra a 3 km de la costa y el “Remito”, a 5 km. Calcula la distancia entre los dos barcos 7.- Desde un punto al pie de un risco vemos una torre en lo alto con las siguientes características: el pie de la torre, bajo un ángulo de 45º y el tejado, levantando la vista otros 10º. Si desde donde estamos existe una línea de funicular que desembarca al pie de la torre, y el conductor nos dice que la línea tiene 500 m, ¿cuál es la altura de la torre? 8.- Desde un lugar veo el tejado de una torre bajo un ángulo de 32º con la horizontal. Si me aproximo 15 m, el ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura de la torre? 9.- La construcción de la Torre de Pisa, de una altura de 55 m, se terminó en el año 1 284. Entonces se comprobó que la parte más alta de la torre se separaba de la vertical unos 90 cm. En la actualidad, la separación es de unos 5 m. Calcula los ángulos de la Torre de Pisa con la vertical al terminarse y en la actualidad. 10.- Realiza el problema 92 de la página 141 del libro. 37. Visita la siguiente dirección, comprueba las distintas aplicaciones y realiza la autoevaluación propuesta, con un mínimo de 10 ejercicios: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo14.htm

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Matemáticas, Unidad 5

E/ AUTOEVALUACIÓN / REFLEXIÓN

Alumn@: ................................................................................................... Grupo ..... 1. ¿Cuánto miden los catetos de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que la hipotenusa mide 10 cm? ¿Cuánto miden sus ángulos? 2. Si tan α = 3

y α está en el primer cuadrante, halla las razones trigonométricas

que se indican: a) tan (90º − α)

b) tan (270º − α)

c) tan (90º + α)

d) tan (720º + α)

e) tan (180º − α)

f) tan (−α)

3. Calcula el radio, la apotema y el área de un octógono regular de 10 cm de lado. 4. En una circunferencia de 100 m de radio se traza una cuerda que mide 50 m. ¿Cuánto mide el ángulo central que determinan los extremos de la cuerda? 5. Un turista observa un monumento desde cierta distancia bajo un ángulo de 70º. ¿Bajo qué ángulo lo verá si se aleja cuatro veces esa distancia? 6. Resuelve los siguientes triángulos: a) a = 10, B = 120º, C = 30º.

b) a = 3, b = 3, C = 60º.

c) a = 5, b = 6, c = 9.

7. Calcula las otras dos razones trigonométricas de cada ángulo α, sabiendo que: a) cos α = 4 c) tan α = 4

270º < α < 360º 180º < α < 270º

b) sen α = 3

5 d) sen α = − 1 2

90º < α < 180º 180º < α < 270º

8. Expresa las siguientes razones trigonométricas en función de un ángulo del primer cuadrante: a) sen (−120º)

b) sen 2 700º

c) cos (−30º)

d) tan (−275º)

9. Fulanito y Menganita se encuentran a los dos lados de un precipicio. Ambos ven un árbol situado en una colina cercana. Si Menganita mira el árbol y quiere mirar a Fulanito tiene que girar la cabeza 42º; las líneas de visión de los dos hacia el árbol forman un ángulo de 83º; y la distancia desde el árbol hasta Menganita es de 63 m. ¿Qué anchura tiene el precipicio que separa a los dos muchachos? 10. Menganito ve desde su casa un castillo y una abadía, y los ha visitado frecuentemente, así que conoce las distancias desde su casa que son: al castillo, 1 200 m y a la abadía, 700 m. Si sale de su casa, los caminos hacia los dos lugares forman un ángulo de 108º. ¿Qué distancia separa el castillo de la abadía.

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Matemáticas, Unidad 5

REFLEXIÓN FINAL

Grupo: GGG Profesor: GGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGGG.. Para realizar la reflexión final en grupo de esta Unidad, podéis contestar a estas cuestiones. 1. ¿La Unidad ha resultado motivadora?

2. Señala los aspectos que han sido más interesantes en todo el proceso.

3. ¿Qué preguntas surgieron durante el trabajo de esta Unidad?

4. ¿Se ha realizado algún trabajo interdisciplinar o en colaboración con otros grupos?

5. Anota las evidencias (trabajos, gráficas, murales etc.) que se deban conservar en un dossier de la asignatura.

6. Anotad entre todos una frase que condense la conclusión o moraleja que hayáis obtenido tras estudiar esta Unidad.

7. Otras conclusiones ^..^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^...

8. ¿Estamos preparados para iniciar la siguiente?

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F/ OTROS RECURSOS: BIBLIOGRAFÍA Y RECURSOS EN RED

Bibliografía: Consultores de aula Recursos en red: Wiris o Calculadora gráfica de Microsoft Student Ayuda tutorial de Wiris: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/manual/es/html/tour/equacions. html Curiosidades Matemáticas: http://rt000z8y.eresmas.net/matemat.htm Para practicar: http://www.thatquiz.org/es/ Objetivos de la trigonometría: http://www.phy6.org/stargaze/Mtrig1.htm Resolución de triángulos rectángulos: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo10.htm Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo: http://www.youtube.com/watch?v=zLheqxMrc68 http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas _triangulo_rectangulo/Ratrigo1.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo1.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo2.htm Interpretación gráfica de las razones trigonométricas: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas/ Razones_trigonometricas.htm Fórmula fundamental de la trigonometría: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas/ Razones_trigonometricas.htm http://www.youtube.com/watch?v=KiKAJ-JUV14 http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo5.htm Razones trigonométricas de ángulos complementarios: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas _triangulo_rectangulo/Ratrigo2.htm Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente SEK-Atlántico

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ejercicios y problemas propuestos http://platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/trig.htm Resolución de triángulos isósceles: resolución de problemas propuestos http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo12.htm Circunferencia goniométrica: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo3.htm Razones trigonométricas de ángulos complementarios, suplementarios y opuestos: interpretación gráfica http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo8.htm ejercicios y problemas propuestos http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo6.htm http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo9.htm Repaso general trigonometría: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Razones_trigonometricas/ Relacion_razones_trigonometricas.htm http://recursos.pnte.cfnavarra.es/~msadaall/geogebra/trigono.htm http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4e so/geometria/trigonometria/trigonometria.htm http://www.dmae.upct.es/~pepemar/mateprimero/trigonometria/index.htm (necesitarás GeoGebra (opción Webstart): http://www.geogebra.org/cms/) Problemas de trigonometría: http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/trigonometria/trigo14.htm Ampliación: Fórmulas e identidades trigonométricas: http://www.youtube.com/watch?v=BIhvlsXLwIo

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Matemáticas, Unidad 5

G/ REFUERZOS EDUCATIVOS

Alumn@: ................................................................................................... Grupo ..... 1. Expresa en radianes los ángulos de 180º, 120º, 150º y 270º. Expresa en grados π π π los ángulos de , y radianes. 4 12 20 2. Averigua el seno y la tangente de un ángulo sabiendo que su coseno es 3 . 4 Localiza todos los casos posibles, según el cuadrante en que esté. 3. Un niño está volando una cometa cuyo hilo mide 200 metros y forma un ángulo de 75º con el suelo. Halla la altura de la cometa sobre el suelo. 4. Un aeromodelista ve su avión con un ángulo de 80º y una persona que está 40 metros más adelante lo ve sobre su vertical exactamente. ¿A qué altura sobre el suelo está el aeromodelo en ese instante? ¿A qué distancia está, en línea recta, del aeromodelista? 5. Resuelve el triángulo isósceles cuyo datos son: a = 3, b = 3 y B = 60º. A B 60º

6. Halla el perímetro del cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia de 10 cm de radio.

80º

Ayuda: Ten en cuenta que los triángulos AOB, BOC, COD y DOA son isósceles.

120º

7. Calcula la altura de una torre, sabiendo que desde un punto del suelo la cima del campanario se ve con un ángulo de 30º y que al alejarnos de la torre 50 m más el ángulo es de 15º. 8. Desde los extremos de la pista de un aeropuerto se ve un mismo punto de una nube, que está situada sobre la parte central de la pista, con ángulos sobre el suelo de 50º y 60º, respectivamente. El aeropuerto tiene la norma de que un helicóptero sólo puede despegar si las nubes está por encima de 1 800 m de altura. Sabiendo que la pista mide un total de 2 500 metros, ¿podrán volar los helicópteros? 9. Resuelve los siguientes triángulos: a) a = 90, B = 60º y C = 45º c) a = 5, b = 10 y c = 12

b) a = 10, B = 120º y c = 12 d) a = 5, b = 4 y A = 150º

10. Halla el seno y el coseno de un ángulo del segundo cuadrante cuya tangente vale –10. Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente SEK-Atlántico

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H/ AMPLIACIÓN

Alumn@: ................................................................................................... Grupo ..... Sistema de trabajo: individual. Recursos: Todos los utilizados en la unidad. 1. Un reloj marca las doce en punto. Después de 30 minutos, ¿qué ángulo, medido en radianes, forman las agujas del horario y el minutero? 2. Demuestra que, para cualesquiera ángulos α y β, se verifican las relaciones: sen α cos α tan α a) sen 2 α – cos 2 β = sen 2 β – cos 2 α b) = cos 2α − sen 2α 1 − tan 2α 3. Sabiendo que sen α = 2cos α, calcula las razones trigonométricas de α. 4. A partir de la siguiente representación gráfica es posible deducir una fórmula trigonométrica para el cálculo del seno o coseno de la suma y la diferencia de dos ángulos α y β: B C α sen β

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β

1 cos β α+β

cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β

P O Q a) Intenta deducir la fórmula para el seno de la suma de dos ángulos, (α + β). b) Calcula, ayudándote de las fórmulas anteriores, las razones trigonométricas que se indican de los siguientes ángulos (fíjate en las pistas):

i) sen 75º = sen (45º + 30º)

ii) cos 15º = cos (45º – 30º)

iii) tan 105º = tan (120º – 15º) = tan (90º + 15º) Puedes visitar esta dirección para ver ejemplos de aplicación: http://www.youtube.com/watch?v=BIhvlsXLwIo 5. Realiza las actividades de la sección “En la vida cotidiana” de la página 142 del libro. 40

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