COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA – SEMINARIO DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS 3º E.S.O. AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1: LOS NÚMEROS REALES CORRECCIÓN 1.- Indica cómo se llaman las siguientes expresiones decimales y cuál es su fracción generatriz: a) 325,625625625... ; b) 89,134 ; c) 15,03333...
SOL: a) 325,625625625...
Expr. decimal inexacta periódica pura. 325 625 − 325 325300 Fracción generatriz: = 999 999
b) 89,134
Expr. decimal exacta. 89134 44567 = Fracción generatriz: 1000 500
c) 15,03333...
Expr. decimal inexacta periódica mixta. 1503 − 150 1353 451 Fracción generatriz: = = 90 90 30
2.- Calcula tomando en cuenta las prioridades en las operaciones. Puedes comprobar el resultado, utilizando Wiris.
9 7 8 23 − : − 5 15 9 4 2 − 1 − 4 12 − 1 a) : b) − 1 + : + 23 − 3 3 11 7 2 9 6 3 5 5 − ⋅ − : 8 4 2 4 3 9 4 1 − 1 − ⋅ 1 + − 7 11 7 5 − c) 2 3 4 15 8 9 − + ⋅5 − − 7 5 7 7 7 SOL: a) =
2 2 −1 12 21 2 −1 3 12 5 = + 23 − = + 23 + 12 = + 35 = + 23 − 9 −8 −1 9 8 9 8 9 6 ( −4 ) 5 ( −1) =
1 261 1 1 + 35 36 1 + 35 = = = 35 36 36 36 36
27 − 7 8 23 : − 15 9 4 b) = − 1 + = − 1+ 3 3 ⋅ 11 7 ⋅ 3 − − 8 4⋅2 4⋅2
20 8 23 4 ⋅ 9 23 3 23 : − − − 15 9 4 = − 1 + 3 ⋅ 8 4 = − 1 + 2 4 = 3 − 33 − 21 − 51 3 33 21 − − 8 8 8 8 8
1
6 − 23 = − 1+ 4 = − 1+ − 51 8
− 17 4 = − 1 + − 17 ⋅ 8 = − 1+ 2 = − 3 + 2 = − 1 − 51 − 51⋅ 4 3 3 3 8
9 11 1 9 7+4 1 9 1 − 1− ⋅ − ⋅ − −1 − − 7 7 7 11 7 5 − = 11 7 5 − = 7 5 − = c) = 2 3 20 − 15 8 9 10 − 21 + 25 − 40 9 2 3 5 8 9 − + − − + − 7 5 7 7 35 7 5 7 7 − 35 − 45 − 7 − 87 7 7 − 87 ⋅ 35 7 87 7 35 − = 35 − = = − = − = − 26 − 26 9 9 − 26 ⋅ 35 9 26 9 35 35 783 − 182 601 87 ⋅ 9 7 ⋅ 26 = − = = 234 234 234 234 −1 −
3.- Fulanito sale de compras y gasta la cuarta parte del dinero que lleva en comida, y más tarde la mitad de lo que le queda en ropa. Si vuelve a casa con 30 €, ¿con cuánto dinero salió?
SOL: Si gasta la cuarta parte del dinero que lleva, gasta
1 1 3 del mismo; le queda 1 − = 4 4 4
del dinero que lleva. A continuación gasta la mitad de lo que le queda, es decir
13 3 del dinero inicial; = 24 8
3 3 3 del dinero que lleva. − = 4 8 8 Esta fracción corresponde al dinero con que regresa a casa, con lo que, llamando x al dinero con que salió de casa: 3 30 8 30 x= €= € = 80 € x = 30 € ⇒ 3 8 3 8
le queda ahora
4.- Representa en esta recta los siguientes números: − 7
4
y
17
SOL: Primero situamos el “cero”, de modo que podamos distinguir el signo de cada número. Después representamos la fracción dada, teniendo en cuenta que es impropia (numerador mayor que denominador), con lo que tenemos que separar la parte entera de la decimal: − 7 = −13 . Teniendo en cuenta el método de 4 4 representación, tendremos que dividir el segmento que une –1 y –2 en cuatro partes iguales y tomar tres de ellas. Para representar el número irracional 17 necesitamos encontrar dos números cuyos cuadrados sumados den su radicando. Intentamos los enteros, teniendo en cuenta que 17 puede conseguirse con las siguientes combinaciones:
2
1 + 16
2 + 15
3 + 14
4 + 13
5 + 12
6 + 11
7 + 10 8 + 9
De ellas, sólo la primera corresponde a números que son cuadrados perfectos: 1 = 12 y 16 = 42. 2
Aplicando el teorema de Pitágoras, 17 = 1 2 + 4 2. Dibujamos sobre la recta un cateto (el mayor, por comodidad) y perpendicularmente sobre su extremo el otro cateto; la hipotenusa abatida sobre la recta será la representación buscada.
17
−2
−7
4
−1
0
5.- Haz una aproximación de estos números
1 1 , π, 16
2
3,
1
3
4
17 5
5 para que el error cometido sea menor que una 9
centésima.
SOL: Calculamos primero el valor de cada uno de estos números con unos cuantos decimales (con la calculadora): 1 = 0,0625 (es una expresión decimal exacta) 16 π = 3,14159265358... (es una expresión decimal inexacta no periódica, es decir, irracional) 3 = 1,7320508075... (es una expresión decimal inexacta no periódica, es decir, irracional) 5 = 0,5555... (es una expresión decimal inexacta periódica pura) 9 Para dar la aproximación a las centésimas (error menor que una centésima) tenemos que truncar el número en dicho orden de magnitud. Así: 1 = 0,06 (por defecto) = 0,07 (por exceso) 16 π = 3,14 (por defecto) = 3,15 (por exceso) 3 = 1,73 (por defecto) = 1,74 (por exceso) 5 = 0,55 (por defecto) = 0,56 (por exceso) 9 6.- Expresa en notación científica: a) Radio del Sol: 695 990 000 = b) Virus del resfriado: 0,0000000022 =
SOL: a) Radio del Sol: 695 990 000 = 6,96 108 b) Virus del resfriado: 0,0000000022 = 2,2 10−9 3 2 partes de los libros de una pequeña biblioteca están en la sección de ficción y aventura. Las 10 5 partes son libros relacionados con la educación. De la parte restante, un tercio son de divulgación científica.
7. Las
3
Aún sobran 130 libros repartidos en otras secciones. a) ¿Qué fracción del total son de divulgación científica? b) ¿Cuántos libros tiene en total la biblioteca?
SOL: Considerando la biblioteca formada por x libros, los de ficción y aventura serán
3x ; 10
2x ; la parte restante estará formada por el total 5 3 x 2x 3 x menos los libros conocidos, es decir: x − − = , de los que a) de divulgación 10 5 10 3x 1 x ⋅ = ; sumando todas las cantidades, obtendremos el total: x = científica serán 10 3 10 3x 2x x + + + 130 , y despejando, obtenemos b) x = 650 libros 10 5 10 los relacionados con la educación,
8. Realiza las siguientes operaciones con potencias. Dejando el resultado, con exponentes positivos:
a)
6 3 2 2 − : 7 7
3
b)
3
2 2 2 4 2 −2 ⋅ : 7 7 7
(x
2
⋅y3
(
)
−2
⋅y3
y −2 ⋅ x 2 ⋅ x 3
)
−4
SOL: 6
9
6
−3
9
2 2 2 2 2 −23 23 − : : 7 7 7 7 = 7 = 2 = 7 = a) = 3 18 −2 20 7 2 2 6 2 −2 2 2 2 7 :7 7 : 7 7 x −4 ⋅ y −6 ⋅ y 3 x −4 ⋅ y −3 x16 16 −1 b) = −2 −8 −12 = −2 −20 = x ⋅ y = y ⋅x ⋅x y ⋅x y 9.- Realiza estas operaciones en notación científica: 99 99 11 10 a) 1,2 10 + 9 10 = b) 3 10 – 2,5 10 = 11 12 11 12 c) (6 10 ) (1,3 10 ) = d) (6 10 ):(1,5 10 ) = 10 4 8 e) 6,6 10 :0,6 10 – 2,7 10
SOL:
a) 1,2 1099 + 9 1099 = (1,2 + 9) 1099 = 10,2 1099 = 1,02 10100 b) 3 1011 – 2,5 1010 = 30 1010 – 2,5 1010 = (30 – 2,5) 1010 = 27,5 1010 = = 2,75 1011 c) (6 1011) (1,3 1012) = (6 1,3) (1011 1012) = 7,8 1011 + 12 = 7,8 1023 d) (6 1011):(1,5 1012) = (6:1,5) (1011:1011) = 4 10−1 e) 6,6 1010:0,6 104 – 2,7 108 = (6,6:0,6) (1010:104) – 2,7 108 = 11 106 – 2,7 108 = = 1,1 107 – 2,7 108 = (1,1 – 27) 107 = −25,9 107 = −2,59 108 10.- Realiza las siguientes operaciones con radicales:
a)
20 + 5 + 500 − 2 80 =
b)
4
3
2a 2 6 3ab 2 =
c)
4
d) 3 5 6 =
3 x : 10 9 x 2 =
SOL: Conociendo las propiedades de los radicales y las condiciones para operarlos, en el apartado a) tendremos que extraer todos los factores posibles y agrupar los radicales semejantes; en los apartados b) y c) tendremos que homogeneizar los radicales (pasar a índice común) para poder multiplicar o dividir; en el apartado d) operaremos aplicando las propiedades de las operaciones con potencias. En todos los casos, tendremos en cuenta la obligación de dar el resultado simplificado al máximo.
22 5 + 5 + 22 53 − 2 24 5 = = 2 5 + 5 + 2 5 5 − 2 22 5 = ( 2 + 1 + 10 − 8 ) 5 = 5 5
20 + 5 + 500 − 2 80 =
a)
b) [m.c.m.(3, 6) = 6];
2a 2 6 3ab2 =
3
c) [m.c.m.(2, 10) = 10]; d)
(5) 3
6
4
=
3
(5 ) 6
4
=
3
6
3x : 9x = 10
56 4 =
2
3
( 2a )
3ab 2 =
(3x )
: 9x =
2
10
524 = 5
24
3
2
6
5
10
6
2
22 a 4 3ab2 = 6 12a5 b2 10
35 x 5 = 32 x 2
10
33 x 3
= 58
11. Opera y simplifica al máximo: 6
a)
x ⋅ y 3 ⋅ 3 y 5 ⋅ x2 12
b)
x5 ⋅ 4 y 4 ⋅ x6
−
2 1 ⋅ 98 − ⋅ 450 − 8 ⋅ 32 21 15
SOL:
a) =
12
(x ⋅ y ) 3
12
b) = −
2
(
⋅ 12 y 5 ⋅ x 2
(
x 5 ⋅ 12 y 4 ⋅ x 6
)
)
4
=
12
3
x 2 ⋅ y 6 ⋅ y 20 ⋅ x 8 = x 5 ⋅ y 12 ⋅ x 18
12
x 10 ⋅ y 26 = x 23 ⋅ y 12
12
2 1 2 1 ⋅ 2 ⋅ 72 − ⋅ 2 ⋅ 32 ⋅ 52 − 23 ⋅ 25 = − ⋅ 7 ⋅ 2 − ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 2 − 28 = 21 15 21 15 2 5 2 = − ⋅ 2 − 2 − 24 = − − 1 ⋅ 2 − 16 = − ⋅ 2 − 16 3 3 3
12. Racionaliza:
a)
3 7
b)
7 21
2 5
c)
15
2 3 15 6
SOL: a) = b) =
y 14 y 12 y 2 = ⋅ x 13 x x
3 7 7 21 2 5 15
⋅
⋅
21 21 15 15
= =
3 7 ⋅ 21 = 7 ⋅ 21
3 ⋅ 72 7 3 3 = 2 = 7⋅7 7 7
2 5 ⋅ 15 2 3 ⋅ 52 2⋅5 3 2 3 = = = 15 15 15 3
2 3⋅6 2 2 ⋅ 32 3 2 2 2 ⋅ = = = 2 = = c) = 2 15 ⋅ 6 2⋅3 ⋅5 3 ⋅5 3⋅5 15 15 6 6 2 3
6
5