Autoevaluación Unidad 2 Matemáticas 4º ESO by Gonzalo Garcia

COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA MATEMÁTICAS 4º E.S.O. UNIDAD 2: EXPRESIONES ALGEBRAICAS CORRECCIÓN

AUTOEVALUACIÓN

N NO O SSA AC CA AR RD DEELL A AU ULLA A IIN NTTEELLIIG GEEN NTTEE

1. Dados los polinomios P(x) = 4x 5 – 6x 4 + 2x 2 + 8 y Q(x) = x 2 – 2x – 1, calcula: a) P(x) − Q(x)

b) P(x) [−Q(x)]

c) P(x):Q(x)

SOLUCIÓN: a) P(x) − Q(x) = 4x 5 – 6x 4 + 2x 2 + 8 – (x 2 – 2x – 1) = 4x 5 – 6x 4 + x 2 + 2x + 9 b) P(x) [−Q(x)] = (4x 5 – 6x 4 + 2x 2 + 8) [-(x 2 – 2x – 1)] = = (4x 5 – 6x 4 + 2x 2 + 8) (−x 2 + 2x + 1) = = −4x 7 + 8x 6 + 4x 5 + 6x 6 – 12x 5 − 6x 4 – 2x 4 + 4x 3 + 2x 2 – 8x 2 + 16x + 8 = 7 = −4x + 14x 6 – 8x 5 − 8x 4 + 4x 3 – 6x 2 + 16x + 8 + 2x 2 + 8 4x 5 – 6x 4 −4x 5 + 8x 4 + 4x 3 2x 4 + 4x 3 + 2x 2 + 8 4 3 2 −2x + 4x + 2x 8x 3 + 4x 2 + 8 −8x 3 + 16x 2 − 8x 20x 2 − 8x + 8 −20x 2 − 40x + 20 48x + 28 3 2 C(x) = 4x + 2x + 8x + 20 R(x) = 48x + 28 c) P(x):Q(x)

x 2 – 2x – 1 4x 3 + 2x 2 + 8x + 20

2. Indica los términos independientes, lineales y cuadráticos de los resultados del ejercicio anterior. SOLUCIÓN: C(x) = 4x 3 + 2x 2 + 8x + 20 → t. i. = 20 ; t. lineal = 8x ; t. cuadrático = 2x 2 R(x) = 48x + 28 → t. i. = 28 ; t. lineal = 48x ; t. cuadrático = 0 3. Desarrolla las siguientes potencias aplicando el Binomio de Newton: 1  a)  x 2 + 4 x  2 

3 3  b)  xy 2 − x 2 y  4 2 

SOLUCIÓN: Aplicamos el Binomio de Newton:

(a + b )

n = ∑   an −k b k k =0  k  n

1  a)  x 2 + 4 x  = 2 

5−0 5 −1 5 1 2  5 1 2  k 0 1 4 4 x = x x + x ( )   ( )   ( 4x ) +   0 2   1  2  5−3 5−4 5 1  5 1  3 4 +   x 2  ( 4 x ) +    x 2  ( 4 x ) + 3 2   4 2 

5 1 2  ∑   x   k =0  k   2

5 1  +   x 2   2 2 

5−2

( 4x )

5 1  +   x 2  5 2 

5−5

5 −k

1 1 1 5 2 ( 4 x ) =  x 2  + 5  x 2  ( 4 x ) + 10  x 2  ( 4 x ) + 2  2  2  2

5 3 4 1  1  + 10  x 2  ( 4 x ) + 5  x 2  ( 4 x ) + ( 4x ) = 2  2  1 10 5 = x + x 9 + 20x 8 + 160x 7 + 640x 6 + 1 024x 5 32 4 4 4−k k 4 4 3 2   3 2  3 2 3 2  b)  xy − x y  = ∑    xy   − x y  = 4 2    4  k =0  k   2

 4 3  4 3    3   4 3   3  =    xy 2  +    xy 2   − x 2 y  +    xy 2   − x 2 y  +    4   2 2   4  0 2  1 2 3 4  4 3  4 3  3   +    xy 2  − x 2 y  +    − x 2 y  =  4   3 2  4 4 81 4 8 81 5 7 243 6 6 81 7 5 81 8 4 = x y − x y + x y − x y + x y 16 8 32 32 256 4. ¿Para qué valores de a la división (x 2 – 3x – 2a):(x + 2) da de resto 7? SOLUCIÓN: Por el teorema del resto: R(x = −2) = P(−2) = (−2)2 – 3 (−2) – 2a = 7 3 ⇒ −2a = −3 ⇒ a= 2

⇒

4 + 6 – 2a = 7

⇒

5. Halla un polinomio de segundo grado que cumpla simultáneamente las siguientes condiciones: a) el coeficiente de segundo grado sea 1. b) sea divisible por x – 2. c) al dividirlo por x + 1 da resto 5. SOLUCIÓN: Un polinomio de 2º grado tiene la forma general: P(x) = ax 2 + bx + c Los coeficientes a, b y c se calculan por las condiciones impuestas. Por a), a=1 P(x) = x 2 + bx + c. Por b), R(x = 2) = 0 = P(2) = 22 + 2b + c = 4 + 2b + c 2b + c = −4 Por c), R(x = −1) = 5 = P(−1) = (−1)2 + (−1) b + c = 1 – b + c −b + c = 4 Tenemos, pues, un sistema de ecuaciones:

2b + c = −4  −b+c = 4 Lo resolvemos por reducción:

1ª + 2 2ª:

3c = 4

−b = 4 – Entonces:

4 3

⇒ ⇒

4 3

b= −

8 3

8 4 x+ 3 3 a) evidente.

P(x) = x 2 −

Comprobamos:

8 4 12 − 16 + 4 0 2 + = = = 0 cierto 3 3 3 3 8 4 3 + 8 + 4 15 c) P(−1) = (−1)2 – (−1) + = = = 5 cierto 3 3 3 3

b) P(2) = 22 –

6. Sin efectuar ningún tipo de división, obtén razonadamente el resto de la división de (x – 3)2 – 2(x + 1) entre 2x – (x – 1). SOLUCIÓN: Primero, “arreglamos” los polinomios, reduciéndolos: (x – 3)2 – 2(x + 1) = x 2 – 6x + 9 – 2x – 2 = x 2 – 8x + 7 2x – (x – 1) = x + 1 Al ser el divisor del tipo x + a, aplicamos el teorema del resto: (−1)2 – 8 (−1) + 7 = 1 + 8 + 7 = 16 que será el resto de la división pedida. 7. Halla los valores de a y b tales que: a) x 4 + x 3 + x 2 + ax + b sea divisible por (x – 1) y (x + 1). b) ax 3 + 4 x 2 + bx − 6 sea divisible por (x + 3) y (x – 2). SOLUCIÓN: a) Aplicamos el teorema del resto en ambos casos: R(x = 1) = 14 + 13 + 12 + a + b = 0 ⇒ a + b = −3 4 3 R(x = −1) = (−1) + (−1) + (−1)2 + a (−1) + b = 0 ⇒ Tenemos, pues, un sistema de ecuaciones:  a + b = −3   − a + b = −1 Resolvemos el sistema de ecuaciones por reducción: 1ª + 2ª: 2b = −4 ⇒ b = −2 a = −3 + 2 = −1 a = −1 ; b = −2

−a + b = −1

b) Aplicamos el teorema del resto en ambos casos: −27a − 3b = −30 R(x = −3) = a (−3)3 + 4 (−3)2 + b (−3) – 6 = 0 ⇒ 3 2 R(x = 2) = a 2 – 4 2 + b 2 – 8 = 0 ⇒ 8a + 2b = −10 Tenemos, pues, un sistema de ecuaciones:  27a + 3b = 30   8a + 2b = −10

Resolvemos el sistema de ecuaciones por reducción: ⇒ a=3 ⇒ b=7 2 1ª − 3 2ª: 30a = 90 a=3 ; b=7 8. Halla un polinomio cuyas raíces sean 2, −2, 1 y

1 . 2

SOLUCIÓN: 1 2 Posibles binomios (los más simples) con cada una de esas raíces: x–2 ; x+2 ; x–1 ; 2x – 1 Un polinomio como el buscado: P(x) = (x – 2) (x + 2) (x – 1) (2x – 1)

Las raíces son:

x=2 ;

x = −2 ;

x=1 ;

9. Factoriza los siguientes polinomios: a) x 3 + x − 2

b) 9 − 6 x 4 + x 8 d) x 2 − 2 + x

c) x 5 − 4 x 3 + x 2 − 4

e) x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27

SOLUCIÓN: a) Divisores del término independiente: ±1, ±2 P(1) = 1 + 1 – 2 = 0 → x = 1 raíz Dividimos por Ruffini: 1

−2

1 1

1 2

2 0

P(x) = (x – 1)(x 2 + x + 2)

Resolvemos la ecuación de 2º grado: x 2 + x + 2 = 0 ∆ = 1 – 8 = −7 < 0 → No sol. 2 Factorización: P(x) = (x – 1)(x + x + 2)

→

polinomio irreducible

b) Observamos los coeficientes y nos planteamos si hay identidad notable cuadrado de una diferencia: (1º)2 = 9 1º = 3 (2º)2 = x 8 2º = x 4 −2 1º 2º = −2 3 x 4 = 6x 4 Entonces: 9 – 6x + x 8 = (3 – x 4)2 El binomio entre paréntesis no tiene raíces racionales; entonces: Factorización: P(x) = (x 4 – 3)2 c) Divisores del término independiente: ±1, ±2, ±4 P(1) = 15 – 4 13 + 12 – 4 ≠ 0 P(−1) = (−1)5 – 4 (−1)3 + (−1)2 – 4 = 0 → x = −1 raíz Dividimos por Ruffini:

−4

−1 −1

1 −3

3 4

−4 −4

4 0

−1

P(x) = (x + 1)(x 4 − x 3 − 3x 2 + 4x − 4) Divisores del término independiente: ±1, ±2, ±4 Q(−1) = (−1)4 − (−1)3 − 3(−1)2 + 4(−1) − 4 = 1 + 1 – 3 – 4 – 4 ≠ 0 Q(2) = 24 − 23 − 3 22 + 4 2 − 4 = 16 − 8 – 12 + 8 – 4 = 0 → Dividimos por Ruffini: 1

−1

−3

−4

2 1

2 −1

−2 2

4 0

P(x) = (x + 1)(x – 2)(x 3 + x 2 − x + 2) Divisores del término independiente: ±1, ±2 3 2 R(2) = 2 + 2 − 2 + 2 = 8 + 4 ≠ 0 R(−2) = (−2)3 + (−2)2 − (−2) + 2 = –8 + 4 + 2 + 2 = 0 → Dividimos por Ruffini: 1

−1

−2 −1

2 1

−2 0

−2

P(x) = (x + 1)(x – 2)(x + 2)(x 2 − x + 1) Resolvemos la ecuación de 2º grado: x 2 + x + 1 = 0 ∆ = 1 – 4 = −3 < 0 → No sol → Factorización: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x + 2)(x 2 − x + 1)

x = 2 raíz

x = −2 raíz

polinomio irreducible

x2 – 2 + x = 0 x = −2; 1

d) Resolvemos la ecuación de 2º grado: P(x) = (x − 1)(x + 2)

Factorización:

e) Nos planteamos la existencia de una identidad notable cubo de una diferencia: (1º)3 – 3 (1º)2 (2º) + 3 (1º) (2º)2 – (2º)3: 1º = x (1º)3 = x 3 3 (2º) = 27 2º = 3 3 (1º)2 (2º) = 3 x 2 3 = 9x 2 3 (1º) (2º)2 = 3 x 32 = 27x Factorización: P(x) = (x – 3)3 10. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de: a) 16 x 4 − 1 ; 4x – 2 ; 4x 2 − 4x + 1 b) 2 x 4 + 2 x 3 − 3 x 2 − 2 x + 1 c) a 2 − x 2

;

a+x

; ;

x 3 + 2x 2 + 2x + 1

a 2 − 2ax + x 2 5

SOLUCIÓN: a) Factorizamos: 16x 4 – 1 = (4x 2 + 1)(4x 2 – 1) = (4x 2 + 1)(2x + 1)(2x – 1) 4x – 2 = 2(2x – 1) 4x 2 – 4x + 1 = (2x – 1)2 m.c.m. = 2(4x 2 + 1)(2x + 1)(2x – 1) 2 ; m.c.d. = 2x – 1 b) Factorizamos: 2x 4 + 2x 3 – 3x 2 – 2x + 1

= (x − 1)(x + 1)(2x 2 + 2x − 1)

±1 P(1) = 2 + 2 – 3 – 2 + 1 = 0 Dividimos por Ruffini:

→

x = 1 raíz

−3

−2

2 4

4 1

1 −1

−1 0

→

x = −1 raíz

Q(1) = 2 + 4 + 1 – 1 ≠ 0 Q(−1) = −2 + 4 − 1 − 1 = 0 Dividimos por Ruffini: 2

−1

−2 2

−2 −1

1 0

−1

P(x) = (x − 1)(2x 3 + 4x 2 + x − 1) ±1

P(x) = (x − 1)(x + 1)(2x 2 + 2x − 1)

ecuación de 2º grado:

2x 2 + 2x − 1 = 0

x 3 + 2x 2 + 2x + 1

= (x + 1)(x 2 + x + 1)

±1 P(1) = 1 + 2 – 2 + 1 ≠ 0 P(−1) = −1 + 2 − 2 + 1 = 0 Dividimos por Ruffini:

→

x= −

1 3 ± raíces no enteras 2 2

x = −1 raíz

−1 1

−1 0

−1

→

P(x) = (x + 1)(x 2 + x + 1)

x2 + x + 1 = 0 ∆ = 1 – 4 < 0 → No solución → polinomio irreducible 2 m.c.m. = (x − 1)(x + 1)(2x + 2x − 1)(x 2 + x + 1) ; m.c.d. = (x + 1)

ecuación de 2º grado:

c) Factorizamos: a 2 – x 2 = (a + x)(a – x) a + x irreducible a 2 – 2ax + x 2 = (a – x)2 m.c.m. = (a + x)(a – x)2 ;

m.c.d. = 1

11. Expresa las siguientes fracciones algebraicas de la manera más sencilla posible: 1 a x+ 2+ 3 b b) a) 1 a2 x− 4− 2 3 b SOLUCIÓN: 3x + 1 3(3 x + 1) 3 x + 1 a) = 3 = = 3 x − 1 3(3 x − 1) 3 x − 1 3

2b + a b 2 (2b + a ) b(2b + a ) b b b) = = = = 2 2 2 2 (2b + a )(2b − a ) 2b − a 4b − a b 4b − a 2 b

(

)

12. Reduce las siguientes fracciones algebraicas a común denominador y súmalas, simplificando el resultado si fuese posible: SOLUCIÓN: a) m.c.m.(x – 1, x + 1, x 2 – 1) = x 2 – 1 2 x + 1 (x + 1) x 2 + 2x + 1 = 2 = x −1 x −1 x2 −1 3 3(x − 1) 3 x − 3 = 2 = 2 x +1 x −1 x −1 x −2 − 2 No varía x −1 Suma: 2 x +1 3  x − 2  x + 2x + 1 3x − 3 x − 2 + + − 2 + 2 − = = x − 1 x + 1  x − 1 x2 −1 x −1 x2 − 1

x 2 + 4x x (x + 4 ) = 2 = x −1 (x + 1)(x − 1)

irreducible

b) m.c.m.(x 2 – 2x + 1, x – 1, 1) = x 2 – 2x + 1 x2 2 No varía x − 2x + 1 2x + 3 ( 2 x + 3 )(x − 1) 2x 2 + x − 3 − =− 2 =− 2 x −1 x − 2x + 1 x − 2x + 1 2 x − 2x + 1 1= 2 x − 2x + 1 Suma: − 3x + 4 x2 x2 2x 2 + x − 3 x 2 − 2x + 2  2x + 3  + − − 2 + 2 = 2  +1= 2 2 x − 2x + 2  x − 1  x − 2x + 1 x − 2x + 1 x − 2x + 1 x − 2x + 1