COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA MATEMÁTICAS 3º E.S.O. UNIDAD 1: LOS NÚMEROS REALES B/ EVALUACIÓN INICIAL CORRECCIÓN: 0. Recuerda en este espacio las reglas de divisibilidad básicas: •
Un número es divisible por 2 cuando ...............................................................
• Un número es divisible por 3 cuando ............................................................... •
Un número es divisible por 5 cuando ...............................................................
• Un número es divisible por 9 cuando ............................................................... •
Un número es divisible por 11 cuando .............................................................
Sol.: Un número es divisible por 2 cuando es par Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 3 Un número es divisible por 5 cuando acaba en 0 ó 5 Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de 9 Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y la de las que ocupan lugar impar es 0 ó múltiplo de 11 1. ¿Qué parte del total ocupa cada una de las figuras numeradas en el Tangram?
Sol.: Si nos fijamos, el triángulo 2 y el de su derecha-abajo son la mitad del cuadrado; por tanto, el triángulo 2 ocupa un cuarto. El triángulo 5 puede imaginarse dividido a la mitad si prolongamos la diagonal que separa los triángulos mencionados en el párrafo anterior; además, cada una de esas mitades es igual que el triángulo 1. Del mismo modo, si dividimos a la mitad con diagonales los triángulos 3 y 4, ambos dan dos partes iguales al triángulo 1. Así, el triángulo 2 se puede dividir en cuatro triángulos como el 1. Sistema Educativo SEK – Aula Inteligente SEK-Atlántico
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Las partes que ocupan cada triángulo son, pues: 1 triángulo 1 → 16 1 triángulo 2 → 4 1 triángulo 3 = triángulo 4 = triángulo 5 → 8 otra forma: La forma más simple de “dividir” en fracciones un objeto es definir una parte en la que puedan dividirse todas sus partes, es decir, buscar la más pequeña de las partes y ver cuántas veces “cabe” en cada una de las otras. En el caso del Tangram, la pieza más pequeña es la 1. Si pensamos en cuántas 1’s caben en 2, en 3, en 4 y en 5, obtendremos la respuesta. Fijándonos bien, vemos que en 3, 4 y 5 caben dos 1’s; como 2 es el doble de 5, entonces en 2 caben cuatro 1’s. Para saber qué fracción representa cada una sobre el total, debemos saber cuántos 1’s caben en el cuadrado total. Haciendo como en 2, como ese cuadrado está dividido en cuatro 2’s, caben dieciséis 1’s. Escribimos cada parte como fracción del total (todas con el mismo denominador): 1 4 2 2 2 1= 2= 3= 4= 5= 16 16 16 16 16 Como algunas fracciones pueden simplificarse, damos el resultado simplificado al máximo (en Matemáticas, SIEMPRE es obligatorio simplificar). Así: 1 1 1 1= 2= 3=4=5= 16 4 8 2 520
2. Simplifica esta fracción:
3 780
Sol.: Aplicando la regla de oro: Factorizando numerador y denominador: 2 520 = 23·32·5·7 3 780 = 22·33·5·7 Entonces:
2 520 3 780
=
2 23 ×32 ×5 ×7 = 2 3 3 2 ×3 ×5 ×7
3. Reduce a una sola fracción: 2 4
1 6
1 3
a) 5 : + 1 − 3 −
b) 1 −
1 3 1 1 ⋅ − 7 − 4 5 20 5
Sol.:
2
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Las operaciones aritméticas tienen un orden de prioridad que SIEMPRE hay que respetar, y que sólo puede alterarse mediante el uso de paréntesis. Así, en una operación combinada, primero se resolverán los paréntesis: 6 2 2+4 = 4 + 1 = 4 4 1 1 1 1− 2 = − 6 − 3 = 6 6 Después se realizan el resto de las operaciones, atendiendo al orden de prioridad: 6 2 1 1 1 5 : + 1 − 3 − = 5 : − 3 − 4 4 6 3 6 Como producto y cociente tienen prioridad sobre suma y diferencia 6 5·4 20 = = 4 6 6 3 1 3 − = − 6 6 5:
Con lo que queda la diferencia: 5:
6 1 20 3 20 3 23 − 3 − = − − + = = 4 6 6 6 6 6 6
Resumiendo: 3
1
2
2
6/ 20 + 3 2+4 1− 2 2 1 1 1 5 ×2 3/ − 3 + = a) 5 : + 1 − 3 − = 5: = 5: − 3 − ÷ = = ÷ ÷ 4 6 3 4/ 3 6/ 6 4 6 6 23 = 6 19
3 20 − 3 1 3 38 1− 4 3 17 21 1 1 − = 1− − 7 − 7− + b) 1 − ⋅ − 7 = = = = ÷ ÷ 4 5 20 20 20 5 20 20 20 20 20 10
19 = 10 4. Expresa como una sola potencia: 6
2
2 2 3 3
a)
4
3 5 b) 2 3 5
Sol.: Las operaciones con potencias de la misma base se realizan mediante las reglas: a) el producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base con un exponente igual a la suma de los exponentes.
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3
2
4
2+ 4
2 2 2 = ÷ 3 3 3
6
2 = ÷ 3
b) el cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base con un exponente igual a la diferencia de los exponentes. 6
3 6−2 4 5 3 3 2 = ÷ = ÷ 3 5 5 5
5. Roberto quiere comprar una moto que cuesta 3 000 euros. La entrada es 3/5 del precio, y el resto lo paga aplazado en 11 meses. a) ¿Cuánto paga de entrada? b) ¿Qué fracción del precio aplaza? c) ¿Cuánto pagaría en cada plazo? Sol.: 3 3 del precio total, es decir: ·3 000 = 1 800 € 5 5 3 2 b) Aplaza 1 – = del total 5 5 2 c) Aplaza ·3 000 = 1 200 € (o, también: 3 000 – 1 800), que paga en 11 5 1200 mensualidades. Por tanto, cada mes paga: = 109,09 € (un mes, normalmente 11 el primero, pagaría el céntimo que falta) a) La entrada es
6. Dados los siguientes números, indica en la línea cuáles son racionales y a su derecha encuentra la fracción generatriz, en los que se pueda. a) –7
b) 2/7
c) 5
f) 4,5555
g)
4 9
d)
3,1010010001 3
e) 2,0121212
−1 3
h) 3,141592
Respuesta: Un número es racional si puede representarse como una fracción. Cualquier número que venga dado en fracción (en cualquiera de sus formas) será un número racional. Una expresión decimal corresponde a un número racional si es periódica, es decir, si su parte decimal termina o se repite EN SECUENCIA. La fracción generatriz de un número racional es la fracción irreducible (de todas las equivalentes, la simplificada a l máximo) que lo representa. Se calcula de los modos siguientes, dependiendo del tipo de expresión decimal: • exactas (la parte decimal termina): el numerador es el número completo sin coma; el denominador es un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga. • inexactas periódicas puras (se repite una secuencia decimal inmediatamente después de la coma):
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el numerador es la diferencia entre el número sin coma HASTA EL PRIMER PERÍODO COMPLETO y la parte no periódica; el denominador es un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período. • inexactas periódicas mixtas (se repite una secuencia decimal después de algunos decimales no repetidos): el numerador es la diferencia entre el número sin coma HASTA EL PRIMER PERÍODO COMPLETO y la parte no periódica; el denominador es un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período y tantos ceros como decimales no periódicos aparezcan. a) –7 racional fracc. generatriz: −7 b) 2/7 racional fracc. generatriz: 2/7 4 c) 5 racional fracc. generatriz: 49/9 9 d) 3,561320... irracional 2 012 − 20 1992 332 e) 2,0121212... racional fracc. generatriz: = = 165 990 990 45 − 4 41 f) 4,5555... racional fracc. generatriz: = 9 9 3 3 3 −1 1 −1) −1 −1 ( − g) racional fracc. generatriz: = = = 27 27 3 3 33 h) 3,141592... irracional 7. Halla la raíz de este número descomponiendo previamente en factores 11664
Respuesta: 11 664 5 832 2 916 1 458 729 243 81 27 9 3 1 11664 =
24 ·3 6 =
2 2 2 2 3 3 3 3 3 3
11 664 = 2 4·3 6
2 3 24 · 3 6 = 2 ·3 = 108
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