COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA – SEMINARIO DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS 3º E.S.O. CURSO 2 011 / 2 012 UNIDAD 4: LAS ECUACIONES B/ EVALUACIÓN INICIAL – CORRECCIÓN 1. Completa la siguiente tabla sabiendo que Miguel tiene tres años menos que Silvia, Juan dos más y Sandra el doble. Miguel Silvia Juan Sandra Hace 2 años Edad actual Dentro de 5 años
x
Respuesta: Hace 2 años Edad actual Dentro de 5 años
Miguel Silvia Juan Sandra x–5 x–2 x 2x – 2 x–3 x 2x x+2 x+2 x + 5 x + 7 2x + 5
2. Averigua si la siguiente expresión es una identidad o una ecuación: 7(4 – 2x) – 4(5 – 3x) = 2(5 – x) – 2 Respuesta: Para averiguarlo, la tratamos como si fuese una ecuación y tratamos de resolverla: 7(4 – 2x) – 4(5 – 3x) = 2(5 – x) – 2 ⇔ 28 – 14x – 20 + 12x = 10 – 2x – 2 ⇔ ⇔ 8 – 2x = 8 – 2x ⇔ 8 – 8 = 2x – 2x ⇔ 0 = 0 IDENTIDAD 3. Relaciona cada ecuación de la izquierda con una solución de la derecha (puede que algún valor sea solución de más de una ecuación) Ecuaciones Soluciones x+2=0 −2 2x – 8 = 6 +2 2 x –4=0 +4 x 2(x – 3) = +7 2 Respuesta: Ecuaciones Soluciones x+2=0 −2 2x – 8 = 6 +2 2 x –4=0 +4 x 2(x – 3) = +7 2 Existen dos métodos simples para justificar esta relación: 1) sustituir cada posible solución en las ecuaciones y ver en cuál o cuáles se cumplen y 2) resolver cada ecuación. Método 1): 1
x = −2:
x = +2:
x = +4:
x = +7:
x+2=0 2x – 8 = 6 x2 – 4 = 0
→ → →
x → 2(x – 3) = 2 x+2=0 → → 2x – 8 = 6 2 x –4=0 → x → 2(x – 3) = 2 x+2=0 → 2x – 8 = 6 → 2 x –4=0 → x → 2(x – 3) = 2 x+2=0 → 2x – 8 = 6 → 2 → x –4=0 x 2(x – 3) = → 2
Método 2) x+2=0
⇔
2x – 8 = 6
x = −2 2x – 14 = 0
x2 – 4 = 0 2(x – 3) =
−2 + 2 = 0 válida 2(−2) – 8 = −4 – 8 = −12 ≠ 0 no válida 2 (−2) – 4 = 4 – 4 = 0 válida −2 2(−2 – 3) = −10 ≠ = −1 no válida 2 +2 + 2 = 4 ≠ 0 no válida 2(+2) – 8 = 4 – 8 = −4 ≠ 0 no válida (+2) 2 – 4 = 4 – 4 = 0 válida 2 2(2 – 3) = −2 ≠ =1 no válida 2 +4 + 2 = 6 ≠ 0 no válida 2(+4) – 8 = 8 – 8 = 0 válida 2 (+4) – 4 = 16 – 4 = 12 ≠ 0 no válida 4 2(4 – 3) = 2 = válida 2 +7 + 2 = 9 ≠ 0 no válida 2(+7) – 8 = 14 – 8 = 6 ≠ 0 no válida (+7) 2 – 4 = 49 – 4 = 45 ≠ 0 no válida 7 2(7 – 3) = 8 ≠ no válida 2
⇒ x 2
⇔
⇔
x=
4 = ±2 x 2x – 6 – =0 2
14 =7 2
x=
⇔
⇔
3x – 12 = 0
4 x − 12 − x =0 2 12 ⇔ x= =4 2
⇔
4. Uno de los documentos matemáticos más antiguos es el papiro de Rhind, escrito en Egipto por el escriba Ahmes en el siglo XVII a. C. En sus problemas de álgebra, a nuestra incógnita x le denomina “cosa”. Uno de los problemas del papiro dice: “Calcula el valor de la cosa si la cosa y la cuarta parte de la cosa es igual a 15”. a) Plantea la ecuación correspondiente a esa frase. b) Resuelve por el método de ensayo-error con esta tabla:
Cosa 1 de cosa 4 Suma
4
x 1 x 4
1 5
Respuesta: a) Si llamamos x a ”la cosa”:
x+
1 x = 15 4
b)
2
Cosa 1 de cosa 4 Suma
x 1 x 4
4
8
12
1
2
3
5
10
15
La cosa vale 12. 5. ¿Cuánto tardará un coche que lleva una velocidad de 90 km/h en llegar a su destino que está a 360 km? Respuesta: 1er Método: la distancia recorrida por un coche es directamente proporcional a su velocidad. Planteamos, pues la proporción (o una regla de tres): 90 km 360 km = 1h th 360 Despejamos el tiempo: t= =4h 90 2º Método: por Cinemática (esa parte de la Física que se encarga de estudiar los movimientos sin atender a las causas que los producen), sabemos que velocidad es igual a espacio partido por tiempo, es decir: e v= t Sustituyendo nuestros datos: 360 90 = t 360 Despejamos el tiempo: t= =4h 90 6. Tres amigos tienen en total 1 266 €. El primero tiene doble cantidad que el segundo, y éste el triple que el tercero. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? Respuesta: Para asignar el nombre a la incógnita nos fijamos en el amigo con el que se relacionan los demás (tanto uno como el otro), que en este caso es el tercero. A su cantidad le llamamos x: x ≡ cantidad de dinero que tiene el tercer amigo. El amigo que se relaciona directamente con él es el segundo que tiene el triple que él: 3x ≡ cantidad de dinero que tiene el segundo amigo. El que queda (el primero) tiene el doble que el segundo (que, a su vez, tiene el triple que el tercero). Por tanto: 2(3x) = 6x ≡ cantidad de dinero que tiene el primer amigo. Sumando esas cantidades hallamos el total: x + 3x + 6x = 10x = 1 266 Despejamos la x (cantidad de dinero que tiene el tercer amigo): x = 126,60 € Y a partir de ella calculamos las demás cantidades: 3x = 379,80 € 6x = 759,60 € (Comprobamos que la respuesta es correcta: 126,60 + 379,80 + 759,60 = 1 266) 3
Así: el primer amigo tiene 126,60 €; el segundo 379,80 €; y el tercero, 759,60 €. 7. El perímetro de un rectángulo es 126 m. Calcula su área sabiendo que su base mide 40 m. Respuesta: El perímetro es la suma de las longitudes de los lados que, al ser iguales dos a dos en un rectángulo, puede escribirse como: P = 2b + 2h donde P ≡ perímetro, b ≡ base y h ≡ altura Sustituyendo los valores conocidos: 126 = 2 40 + 2h ⇒ h = 23 m 2 El área es: A = b h; por tanto: A = 40 23 = 920 m 8.- Escribe para cada una de las siguientes ecuaciones el enunciado de un problema que se pueda resolver con ella: a) x + 3 = 17 (x es la edad de Sergio) b) 3m + 2u = 6,65 (m es el precio de un kilo de manzanas, y u el de un kilo de uvas) Respuesta: a) Calcula la edad de Sergio sabiendo que dentro de tres años tendrá 17. b) Por 3 kilos de manzanas y dos de uvas se han pagado 6,65 €. 9.- Una bolsa de patatas y tres paquetes de yogures cuestan 7 €. Dos bolsas de patatas y cuatro paquetes de yogures cuestan 10 €. ¿Cuál es el precio en € de la bolsa de patatas y del paquete de yogures? Resuélvelo utilizando un sistema de ecuaciones. Respuesta: Si llamamos b ≡ precio de la bolsa de patatas, y ≡ precio del paquete de yogures, podemos traducir cada frase: Una bolsa de patatas y tres paquetes de yogures cuestan 7 €: b + 3y = 7 Dos bolsas de patatas y cuatro paquetes de yogures cuestan 10 €: 2b + 4y = 10 En forma de sistema de ecuaciones: → b = 7 − 3y → b = 7 − 3 2 = 1 € b + 3y = 7 2 ( 7 − 3 y ) + 4 y = 10 → 2b + 4 y = 10 14 – 6y + 4y = 10 14 – 10 = 2y 4 y= =2€ 2
10. Recuerda la fórmula de la ecuación de segundo grado y resuelve: b) 2x 2 – 8 = 0 c) –3x 2 + 7x = 0 d) 3x 2 – 9x + 51 = 0 a) x 2 – 5x + 6 = 0 Respuesta: La fórmula general de resolución de ecuaciones de 2º grado es:
x=
−b ± b 2 − 4ac 2a
4
a) x =
5 ± 52 − 4 ⋅ 1⋅ 6 5 ± 1 3 = = 2 ⋅1 2 2 0 ± 02 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −8 )
± 64 2 = 2⋅2 4 −2 2 2 o, de otra forma: 2 x = 8 ⇒ x = 4 ⇒ x = ±2 7 −7 ± 72 − 4 ⋅ ( −8 ) ⋅ 0 −7 ± 49 c) x = = = 3 2 ⋅ ( −3 ) −6 0 b) x =
=
x = 0 o, de otra forma: x ( −3 x + 7 ) = 0 ⇒ 7 −3 x + 7 = 0 ⇒ x = 3 d) 3 x 2 − 9 x + 51 = 0 ⇔ x 2 − 3 x + 17 = 0 ⇒ x =
5
3 ± 32 − 4 ⋅ 1⋅ 17 3 ± −59 = ⇒ ∃/sol 2 ⋅1 2