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PAU - SEPTIEMBRE 2009 MATEMĂ TICAS II - OPCIĂ“N A

MATEMĂ TICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II. OPCIĂ“N B EJERCICIO 1: (PuntuaciĂłn mĂĄxima: 3 puntos) Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parĂĄmetro real k:

se pide: a) DiscĂştase el sistema segĂşn los diferentes valores de k.

1. El sistema AX=B es compatible ↔ rango ( )=rango (A)

Para discutir un sistema debemos tener en cuenta el Teorema de RouchĂŠ:

2. Si el sistema es compatible y rango (A)=r:

â&#x20AC;˘ Si r=n, el sistema es compatible determinado (tiene soluciĂłn Ăşnica) â&#x20AC;˘ Si r<n, el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones) PASO 1 Obtenemos la matriz de coeficientes del sistema A y la matriz 1 1

PASO 2

1

0

1 1 1 ; 1

3

1

0

1 3 1 3

3 6

Calculamos el determinante de la matriz A 1 | | 1

1

0

1 1 3 3

2 3 3 1

3

2 3 0

2 2 4 !

3 2 â&#x2C6;&#x161;4 12 2 â&#x2C6;&#x161;16 2 4

3

# $ 1 2 2 2 2

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PASO 3 Discutimos el sistema â&#x20AC;˘

, luego es un sistema Si % % ' entonces |(| % ) *+( *+(

compatible determinado â&#x20AC;˘

Si

1 1 1 1 3 1 | | 0 -. / 3.

3 0 3

3 1 0 0 9 -. 2 0 3

Calculamos

un

menor

de

orden

2

1 1 3 El -. 2 3 probamos con 3 1 3 6 27 3 18 54 % 0 -. 3 0 3 6

, luego es un sistema incompatible *+( 6 % *+( â&#x20AC;˘

Si '

1 1 1 0

1 1 1 1 | | 0 -. / 3. Calculamos un menor de orden 2 0 3

1 1 0 3 -. 2 0 3

1 1 3 1 1 El -. 2 3 probamos con 1 1 3 6 9 9 6 0, 0 0 3 -. 2 0 3 0 3 6

, 6 % luego es un sistema compatible indeterminado *+( *+(

b) ResuĂŠlvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.

7 8 9 3 7 8 9 3 Como la 1ÂŞ y la 2ÂŞ ecuaciones son iguales quitamos una de ellas 7 39 6 :

7 8 9 3

Es un sistema de 2 ecuaciones con tres incĂłgnitas, por lo que para resolverlo 7 39 6

usamos un parĂĄmetro (9 Îť).

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De la 2ÂŞ ecuaciĂłn obtenemos 7 6 39 6 3Îť. MetiĂŠndola en la 1ÂŞ ecuaciĂłn 8 3 9 7 3 Îť 6 3Îť 3 Îť 6 3Îť 3 4Îť

SoluciĂłn: Îť; Îť;

;Îť

c) ResuĂŠlvase el sistema para k = 3.

Hay varios mĂŠtodos para resolverlo

7 8 9 3 7 38 9 3

37 39 6

FORMA 1. MEDIANTE LA REGLA DE CRAMER

Si A es cuadrada y | | % 0, la Ăşnica soluciĂłn de AX=B es la dada por 7<

3 3 6

1 1 3

1 1 1 3 3 0

1 1 9 3 9 3 12 % 0

3

1 1 3 1 0 3 27 6 18 9 30 @

12

12

12 6

1 3 3 3 0 6 18 9 27 6 6 '

12

12

12 6

FORMA 2. MEDIANTE EL MĂ&#x2030;TODO DE GAUSS

1 1 0 1 0 3

1 B0 0

1 A 3 1 A 3

3 A 6 1 A 3 0 A 0 6 A 3

1 1 1 0 0 1

A 3 A 0C $ A

|?|

3 1 3 1 6 3 9 9 6 9 6 9 0 )

12

12

12

1 1 3

1 1 1 3 3 0

|=> |

G$ G 3G$ GI

GI 3G

G$ G GI

1 1 1 A 0 2 0 A 0 3 6 A

1 0 0

1 1 1 0 0 6

1 0 D0 1 0 0

A 3 A 0 A 3

0 A 0 A 0F $ 1 A E

3 0 3

G â &#x201E; 2 GI â &#x201E;6

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EJERCICIO 2: (PuntuaciĂ&#x201C;n mĂĄxima: 3 puntos) El beneficio semanal (en miles de euros) que obtiene una central lechera por la producciĂłn de leche desnatada estĂĄ determinado por la funciĂłn: J 6 K ') en la que x representa los hectolitros de leche desnatada producidos en una semana. a) RepresĂŠntese grĂĄficamente la funciĂłn B(x) con L ).

La funciĂłn dada es una parĂĄbola, por tanto tendremos que seguir los pasos que ya conocemos para representarlos (si necesitĂĄis un repaso sobre este tema, os recomiendo echar un vistazo al post sobre funciones cuadrĂĄticas).

Lo primero que observamos es que a < 0 . Lo que significa que estarĂĄ abierta hacia abajo.

A continuaciĂłn tenemos que halla el vĂŠrtice: V x =

â&#x2C6;&#x2019;b = 3,5 â&#x2021;&#x2019; V y = 2,25 2a

Y por Ăşltimo, los puntos de corte con los ejes:

 x1 = 2  x2 = 5

2 Corte con el eje X: â&#x2C6;&#x2019; x + 7 x â&#x2C6;&#x2019; 10 = 0 â&#x2021;&#x2019; 

Corte con el eje Y: y = â&#x2C6;&#x2019;10

Recuerda que sĂłlo nos piden la parte de la funciĂłn del eje X positivo.

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Con estos datos ya podemos dibujar la función:

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b) Calcúlense los hectolitros de leche desnatada que debe producir cada semana la central lechera para maximizar su beneficio. Calcúlese dicho beneficio máximo.

Como podemos observar en la función que hemos representado, el beneficio máximo coincide con el vértice de la parábola. Así que, en este caso, ya tendríamos la solución.

Sin embargo, no siempre vamos a tener la función. El procedimiento analítico a seguir es el siguiente:

B ' ( x ) = 0 . Calculamos B ' ( x) y lo igualamos a cero.

B ' ( x ) = −2 x + 7

− 2 x + 7 = 0 ⇒ x = 3,5 ⇒ B (3,5) = 2,25 Solución: Los hectolitros de leche que se han de producir cada semana para obtener el beneficio máximo son: 3,5. Siendo ese beneficio máximo de 2250€. c) Calcúlense las cantidades mínima y máxima de hectolitros de leche desnatada que debe producir la central lechera cada semana para no incurrir en pérdidas (es decir, beneficio negativo).

Como ocurría en el apartado anterior, esta información ya la tenemos del aparatado a).

Viendo el dibujo, observamos que el área comprendida entre la función y el eje OX es positiva entre los puntos de corte que ya hemos calculado.

Solución: La cantidad mínima de hectolitros de leche es 2 y la máxima es 5 para no incurrir en pérdidas.

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EJERCICIO 3: (Puntuación máxima: 2 puntos) La probabilidad de que a un habitante de un cierto pueblo de la Comunidad de Madrid le guste la música moderna es igual a 0,55; la probabilidad de que le guste la música clásica es igual a 0,40 y la probabilidad de que no le guste ninguna de las dos es igual a 0,25. Se elige al azar un habitante de dicho pueblo. Calcúlese la probabilidad de que le guste: Este problema se resuelve mediante los diagramas de Venn, en este caso el diagrama sería:

Donde:

P (C ) : probabilidad de que le guste la música clásica (azul+verde)

P (M ) : probabilidad de que la guste la música moderna (amarillo+verde)

P (C ∪ M ) : probabilidad de que le guste al menos una de las dos (azul+amarillo+verde)

P (C ∩ M ) : probabilidad de que le gusten las dos(verde)

P (C ∪ M ) : probabilidad de que no le guste ninguna (rosa)

a) al menos uno de los dos tipos de música.

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P (C ∪ M ) = 1 − P (C ∪ M ) = 1 − 0,25 = 0,75 Solución: P (C ∪ M ) = 0,75 b) la música clásica y también la música moderna.

P (C ∩ M ) = P (C ) + P ( M ) − P (C ∪ M ) = 0,4 + 0,55 − 0,75 = 0,2 Solución: P(C ∩ M ) = 0,2 c) sólo la música clásica.

P ( sóloC ) = P (C ) − P (C ∩ M ) = 0,4 − 0,2 = 0,2 Solución: P ( sóloC ) = 0,2 d) sólo la música moderna.

P ( sóloM ) = P ( M ) − P (C ∩ M ) = 0,55 − 0,2 = 0,35 Solución: P ( sóloM ) = 0,35

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EJERCICIO 4: (PuntuaciĂłn mĂĄxima: 2 puntos) Se supone que la estancia (en dĂ­as) de un paciente en un cierto hospital se puede aproximar por una variable aleatoria con distribuciĂłn normal de desviaciĂłn tĂ­pica igual a 9 dĂ­as. De una muestra aleatoria simple formada por 20 pacientes, se ha obtenido una media muestral igual a 8 dĂ­as. a) DetermĂ­nese un intervalo de confianza del 95% para la estancia media de un paciente en dicho hospital.

Definimos X= estancia en dĂ­as de un paciente en un cierto hospital.

X es una variable aleatoria con distribuciĂłn normal, es decir, X~N Âľ, Ď&#x192; , Ď&#x192; 9.

,S 8 Para una muestra de 20 pacientes se ha obtenido una media muestral, X El intervalo de confianza para la media del tiempo de estancia en un hospital a partir de la media de una muestra de tamaĂąo n viene dado por la expresiĂłn: , S TU !

X

V

â&#x2C6;&#x161;W

, S TU ! ,X

V

â&#x2C6;&#x161;W

Luego hallamos el valor de TU , que se obtiene a partir del nivel de confianza.

X

Nivel de confianza = 0.95 = 1 U; U 0.05

U 0.05 ZU \]$ ^1 _ \]$ `1

a \]$ 0.9750 1.96 2 2

Con lo cual sustituyendo los valores en el intervalo, tenemos: `8 1.96 !

9

â&#x2C6;&#x161;20

, 8 1.96 !

9

â&#x2C6;&#x161;20

a 4.055,11.944

SoluciĂłn: Con una confianza del 95% se puede estimar que el tiempo medio de estancia en un cierto hospital va a estar comprendido entre 4 y 11 dĂ­as.

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b) ÂżCuĂĄl debe ser el tamaĂąo muestral mĂ­nimo que ha de observarse para que dicho intervalo de confianza tenga una longitud total inferior o igual a 4 dĂ­as?

Recordamos que el tamaĂąo muestral se obtiene a partir del error mĂĄximo admitido, y este, de la amplitud del intervalo c.

EcĂĄe

EcĂĄe L TU !

V

â&#x2C6;&#x161;W

c 4 2 2 2

W L TU !

V

EcĂĄe

Ya sabemos del apartado anterior que TU 0.96, luego sustituyendo en la fĂłrmula tenemos: W L TU !

V

X

9 W L 1.96 ! 77.792 EcĂĄe 2

SoluciĂłn: Luego el tamaĂąo muestral mĂ­nimo que ha de observarse para que el

intervalo de confianza tenga una longitud total inferior o igual a 4 dĂ­as es g L Kh.

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