UNIDAD 3
GRUPO# 5 → Génesis Ortega
→ Jordy Sandoval
→ Livington Benitez
→ Aylyn Toala
→ José Rodriguez
→ Maria Peñaherrera
→ Dennise Farias → Rodrigo Zamora
→ Jean Arzube
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Índice # Pág. 3. Números Reales……………………………………………………………….………………………………………..2 3.1 Expresiones algebraicas conceptos y clasificación…….………………………………….3 3.2 Fracciones Algebraicas + Potenciación…………………….……………………………………3 3.3 Productos Notables……………………………………………..……………………………………….4 3.4 Factorización de Polinomios……………………………………………………...………..……….5 3.5 Razones y Proporciones……………………………………….……………………………………….6 3.6 Regla de Tres, Simple y Compuesta + Porcentaje………………………………………….7 Simple …………………………………………………………………………………………………….7 Compuesta.…………………………………………………………………………………………….8 Porcentaje…………………………………………………………………………………………......9
Material de Apoyo………………………………………………………………………………………………………...9 Bibliografía………………….………………………………………………………………………………………………...9
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3 Números Reales El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos.
3.1 Expresiones algebraicas conceptos y clasificación Expresiones algebraicas: Es la combinación de símbolos (números y letras), a través de las diferentes operaciones fundamentales. Los términos de la expresión algebraica corresponden a cada una de sus partes, las cuales están separadas entre sí por los signos + o -. Ejemplo: 15 a2b3c5 En todo término se distingue el coeficiente numérico y el factor literal. En el término 5 x 2y3z4, 5 es el coeficiente numérico, x2y3z4 es el factor literal. En el factor literal, los números que se colocan en la parte superior derecha de las letras se llaman exponentes e indican el número de veces que se toman dichas letras como factores. Si la expresión algebraica tiene un solo término se denomina monomio, si tiene dos términos se denomina binomio, si tiene tres términos se denomina trinomio. Si la expresión algebraica tiene en general más de un término, se denomina polinomio.
Términos Semejantes: Se denominan términos semejantes a aquellos que tienen el mismo factor literal. Al reducir términos semejantes queremos reemplazar a todos ellos por uno solo.
Reducción de Términos Semejantes: Los términos 5x2y, 3x2y, 10x2y y 6x2y son semejantes. Una expresión algebraica que resulta al considerar todos los términos es 5x2y – 3x2y + 10x2y + 6x2y Al reducirla, el resultado es 18x2y.
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3.2 Fracciones Algebraicas + Potenciación Simplificar la expresión algebraica:
Solución:
Propiedades de los exponentes: Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación en que se repite un mismo factor un cierto número de veces. An = a . a . a . . . a n veces an: es la potencia a : es la base n : es el exponente Para simplificar expresiones que poseen exponentes, se deben respetar las siguientes leyes: 1. an . am = an+m 2.
an am
= an-m
3. [am ]n = an.m 4. [ab]m = am . bm a m
5. ( ) b
6.
1 am
=
am bm
= a−m
7. a0 = 1
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Simplificar la expresión algebraica:
Solución:
3.3 Productos Notables Los productos notables son multiplicaciones cuyo resultado puede escribirse directamente, sin hacer paso a paso la multiplicación. Son como las tablas de multiplicar del álgebra elemental. Los principales productos notables son:
Cuadrado de un binomio: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 – 2ab + b2
Suma por diferencia: (a + b)(a - b) = a2 - b2
Cubo de un binomio: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
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3.4 Factorización de Polinomios Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como el producto más simple de sus factores. Para llevarla a cabo, lo primero que debe hacerse es poner en evidencia un factor común, si es que lo hay, y luego analizar si el factor no común corresponde al desarrollo de uno o más de los productos notables. Todas las expresiones correspondientes a los productos notables pueden ser usadas como expresiones de factorización si las leemos de derecha a izquierda.
A continuación se ilustra la operatividad de los casos de factorización:
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3.5 Razones y Proporciones Razón: La razón compara 2 números entre 2 o más cantidades, se expresa mediante fracción, pero también se puede representar mediante a:b; a/b;
a b
y se lee “a es a b”.
Ejemplo: La edad de 2 personas están en la relación de 5 a 9 y la suma de ella es 84. Hallar las edades.
a=5 b=9
¿Por qué número multiplicar para ambos para que a + b = 84?
a + b = 84 5x 9x
→ 5x + 9x = 84 → 14x = 84 → x = 84/14 → x = 6
Proporción: Compara 2 razones
a b
=
c d
por proporción directa y proporción indirecta.
Proporción directa: a . d = b . c Proporción inversa: a . b = c . d Ejemplo: En una fiesta se invitaron a niños y niñas. Si sabemos que acudieron en una proporción de 6 niñas por cada 4 niños, y en la fiesta hay 32 niños, ¿cuántas niñas fueron? a b
=
c d
→
4 6
=
32 x
→ x . 4 = 6 . 32 → x = 192/4 → x = 48 niñas
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3.6 Regla de Tres, Simple y Compuesta + Porcentaje Regla de Tres Simple: Se parecen a las proporciones. Se clasifica en Regla de Tres Directa y Regla de Tres Inversa. Se diferencia de las proporciones porque en las proporciones se usan razones. En Regla de Tres se usan variables.
Regla de Tres Simple Directa: La regla de tres simple directa se utiliza cuando el problema trata de dos magnitudes directamente proporcionales. Podemos decir que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número. Ejemplo: En el programa de cocina del canal 2 han dado la receta de un biscocho especial de chocolate, por cada 100 gramos de harina hay que añadir 10 gramos de cacao y un puñado de 9 nueces. Mañana voy a hacerlo con 20 gramos de cacao ¿cuántos gramos de harina necesitaré para el bizcocho mañana?
Regla de Tres Simple Inversa: La regla de tres simple inversa se utiliza cuando el problema trata de dos magnitudes inversamente proporcionales. Podemos decir que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra se divide por el mismo, y viceversa. Ejemplo: Para ir a Toledo en coche hay que pasar por un peaje. En agosto como muchas personas viajan, se forman colas de 30 Km de coches en cada una de las dos casetas. El alcalde ha informado que este verano funcionarán 10 casetas. ¿De cuántos Km serán las colas en cada caseta en agosto de este año?
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Regla de Tres Compuesta: La diferencia de la regla de 3 simple con la regla de 3 compuesta es que en la primera se relacionan dos magnitudes y en la segunda se relacionan tres o más magnitudes Se clasifica en Regla de Tres Compuesta Directa, Regla de Tres Compuesta Mixta y Regla de Tres Compuesta Inversa. Ejemplo: Hemos ido a la fuente del pueblo para recoger agua. Sabemos que 5 botellas de agua de 2 litros cada una pesan 10 kilos. ¿Cuánto pesan 2 botellas de 3 litros cada una?
Ahora tenemos que averiguar la relación entre las magnitudes, comparando siempre con la magnitud donde esté la incógnita X. Comparamos botellas con kilos: Si hay menos botellas entonces pesarán menos. Tienen proporcionalidad directa. Comparamos litros con kilos: Si hay más litros entonces pesarán más. Tienen proporcionalidad directa.
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Porcentajes: Considerar que un dato de los porcentajes, aunque no nos lo den es 100, nos permite tratar muchos problemas de porcentaje como un tipo de regla de tres directa en la que una de las cantidades es 100. Ejemplo: Si gasto el 30% de mi dinero y luego gasto el 20% de lo que me sobra, entonces queda en mi bolsillo 30 dólares. ¿Cuánto dólares tenía inicialmente? Primer Gasto ---> 30%x Total Segundo Gasto --->20%(70%x) x Queda 30 $ Entonces: 30%x+20%(70%x)+30=x
Resolviendo:
3000=56X
x=
Material de apoyo: Regla de Tres: https://www.smartick.es/blog/matematicas/problemas/regla-de-3-compuesta/ Porcentajes: http://www.bartolomecossio.com/MATEMATICAS/regla_de_tres_y_problemas_de_porcentaje .html
Bibliografía:
Proporcionalidad y regla de tres, iniciación, Educación Primaria (1 edición). Editorial Escudo, S.L. Algebra (1ra Edición). Lima, Perú. BALDOR, Aurelio (2010).
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