Unidad 4 Ecuaciones e Inecuaciones

UNIVERSIDAD ESTATAL DE GUAYAQUIL FACULTAD DE FILOSOFIA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

Matemática

Grupo # 5 → Génesis Ortega

→ Jordy Sandoval

→ Livington Benitez

→ Aylyn Toala

→ José Rodriguez

→ Maria Peñaherrera

→ Denisse Farias

→ Rodrigo Zamora

→ Jean Arzube

Índice

4. Ecuaciones e Inecuaciones…...……….…………………………………………………………………………..2 4.1. Definición de Ecuación y tipos de ecuaciones…………………………………..………….2 4.2. Resolución de ecuaciones lineales……….………………………………………………………2 4.3. Sistema de ecuaciones lineales……..…………………………………………………………….3 4.4. Ecuación Cuadrática…………………………………………………………………………………….5 4.5. Planteamiento de problemas con ecuaciones………………………………………….….6 4.6. Definición de una Inecuación.…………………………………………………..…………………7 4.7. Solución de una Inecuación…………………………………………………………………..…….7 4.7.1. Intervalos………………………………………………………………………………….…..7 4.7.2. Resolución de Inecuaciones……………………………………………………….….8 Bibliografía………………………………………………………………………………………………………….…….…..9

1

4 Ecuaciones e Inecuaciones 4.1 Definición de ecuación y tipos de ecuaciones Una ecuación es un enunciado que establece que dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor. Existen dos tipos de ecuaciones: absolutas y condicionales.

Ecuación Absoluta: Una identidad o ecuación absoluta, es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas con el símbolo “=” y es verdadero para todos los valores de las variables del conjunto referencial que corresponda.

2(x – 3) = 2x – 6

Ecuación Condicional: Una ecuación o igualdad condicional, es aquella que es verdadera sólo para algún o algunos valores de las variables del conjunto referencial que corresponda. x - 2 = 17, es una igualdad siempre y cuando x = 19 Los valores de la incógnita x que hacen que la ecuación se convierta en una proposición verdadera, se denominan soluciones o raíces de la misma. El proceso de determinar las soluciones se denomina resolución de la ecuación.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. En la resolución de la ecuación intentamos determinar una que sea más simple y equivalente, en la cual aparezca la incógnita sólo en uno de los lados de la igualdad.

4.2 Resolución de Ecuaciones lineales Una ecuación lineal o de primer grado, corresponde al tipo más simple de ecuación, pudiendo ser reducida a un predicado de la forma:

Donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar. La solución de la ecuación anterior la obtenemos así:

2

4.3 Sistema de ecuaciones lineales En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables “x, y “y” que satisfacen las dos ecuaciones. Se usan varios métodos para hallar dichas variables. El más usado y el más sencillo es el método de reducción.

Igualaremos una de las incógnitas del sistema. En este caso, nosotros empezaremos igualando la incógnita y. Para ello, multiplico la segunda ecuación por 2, quedando 4x+2y= 28.

Ahora, sumamos o restamos (según se requiera) los términos semejantes, para reducir (eliminar) el término con coeficiente común.

3

Luego, resuelvo la ecuación, quedando así x=5, ya que:

Ya tenemos el valor de una de las incógnitas. Para identificar el otro valor, debemos remplazar en una de las ecuaciones el valor que obtuvimos de x. en este caso:

Por lo tanto la solución a nuestro sistema de ecuaciones es x = 5 y y = 4.

Material de apoyo: Sistema de Ecuaciones Lineales por método de reducción: https://www.youtube.com/watch?v=Cr83w2j401k

4

4.4 Ecuación Cuadrática Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella que puede representarse con un predicado de la forma:

Donde x es la incógnita cuyo valor hay que determinar. Se pueden encontrar las soluciones de la ecuación cuadrática mediante factorización o por la fórmula general.

En el primer caso, se trata de expresar el miembro izquierdo de la ecuación cuadrática como el producto de dos factores lineales, y se igualan a cero estos factores. Las nuevas ecuaciones que resultan son lineales y se las puede resolver separadamente, como se describió en la sección anterior. Finalmente, las soluciones de estas ecuaciones se unen para conformar el conjunto de verdad de la ecuación cuadrática dada.

Resolución de una ecuación cuadrática mediante factorización:

Resolución de una ecuación cuadrática mediante la fórmula general:

5

Mediante la fórmula general, las soluciones de la ecuación cuadrática también pueden obtenerse algebraicamente de la manera siguiente:

Análisis del Discriminante ax2 + bx + c = 0 Si el discriminante es mayor que cero, existen dos soluciones reales y diferentes.

Si el discriminante es igual a cero, hay una solución real duplicada.

Si el discriminante es menor que cero, no existe solución real.

Suma y producto de las raíces de una ecuación cuadrática: X1 + x2 = - (b/a)

x1 + x2 = c/a

4.5 Planteamiento de problemas con ecuaciones Contrario a los ejemplos anteriores, la ecuación cuadrática puede tener parámetros desconocidos, los cuales se determinan con condiciones sobre el discriminante de la ecuación.

Así, si se tiene la ecuación 2x2 – Kx + 5 = 0 y se requiere que tenga una solución real duplicada (solución real única), su discriminante debe igualarse a cero.

Esto es K2 - 4(2)(5) = 0. Se obtiene que K = 2 ± √10.

Ejemplo: Encuentre el valor de k en la ecuación 2x2 - 5x = x2 + 3x – k + 1 para que la suma de sus soluciones sea el triple de su producto.

En este último ejemplo, también se pueden obtener condiciones para K si se requiere que la ecuación cuadrática tenga dos soluciones reales diferentes, o no tenga solución en todos los números Reales.

6

4.6 Definición de una Inecuación A veces se dan condiciones en las que, en lugar de aparecer el símbolo igual, hay que utilizar otros símbolos llamados de desigualdad. Una desigualdad es un enunciado que compara dos expresiones matemáticas. Dichas expresiones están separadas por alguno de los siguientes símbolos: > Mayor que…

≥ Mayor o igual que…

< Menor que…

≤ Menor o igual que…

Una inecuación es un predicado que incluye una desigualdad condicionada, y resolverla significa encontrar todos los valores del conjunto referencial para los cuales el enunciado constituye una proposición verdadera.

4.7 Solución de una Inecuación La resolución de una inecuación involucra la aplicación de las propiedades de los números reales. En una inecuación puede considerarse que el conjunto referencial es el conjunto de los números reales, a no ser que se especifique otro conjunto.

4.7.1 Intervalos Los intervalos son subconjuntos de los números reales y se dividen en los siguientes tipos de intervalos:

7

4.7.2 Resolución de Inecuaciones Resolución de una inecuación lineal:

Resolución de una Inecuación Cuadrática:

Material de apoyo: Ecuaciones e Inecuaciones: https://www.youtube.com/watch?v=6w6L8wKMMf4

8

Bibliografía: Ecuación condicional, identidad y contradicción, obtenido de http://www.matematicatuya.com/NIVELACION/ECUACIONES/S1identidad.htmla Sistema de Ecuaciones Lineales, obtenido de https://www.portaleducativo.net/segundomedio/45/sistema-de-ecuaciones-lineales ÁLGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES, Torregrosa Sánchez Juan Ramón y Jordán Lluch Cristina. McGraw-Hill, S.A. Segunda Edición. México, 1987.

9