Unidad 1 Lógica Matemática - PROPOSICIONES

UNIDAD 1 LÓGICA MATEMÁTICA

GRUPO# 5 → Génesis Ortega

→ Jordy Sandoval

→ Livington Benitez

→ Aylyn Toala

→ José Rodriguez

→ Maria Peñaherrera

→ Dennise Farias

→ Rodrigo Zamora

→ Jean Arzube

0

ÍNDICE Pág. #

1.1. PROPOSICIONES, VALOR DE VERDAD, VARIABLES 1.1.1 Proposiciones

.................................... 3

1.1.2 Valor de Verdad

.................................... 3

1.1.3 Variables Proposicionales

.................................... 3

Tabla de Verdad

.................................... 4

1.2. OPERADORES LÓGICOS. 1.2.1. Negación.

.................................... 4

1.2.2. Conjunción.

.................................... 4

1.2.3. Disyunción inclusiva y exclusiva.

Disyunción inclusiva

.................................... 5

Disyunción exclusiva

.................................... 6

1.2.4. Condicional.

.................................... 6

1.2.4.1 Variables Condicional.

.................................... 7

1.2.4.2. Condición necesaria y suficiente

.................................... 7

Ejercicios de Tradución

.................................... 8

1.2.5. Bi-condicional.

.................................... 9

1.2.6. Determinación de valores de verdad.

.................................... 9

1.3. FORMAS PROPOSICIONALES. Tabla de Verdad de una forma Proposicional

.................................... 10 .................................... 10

1.3.1. Tautología, contradicción y contingencia .................................... 11 1.3.2. Implicación lógica.

.................................... 11

1.3.3. Equivalencia lógica

.................................... 11

1

1.1. PROPOSICIONES, VALOR DE VERDAD, VARIABLES PROPOSICIONALES. 1.1.1 PROPOSICIONES Es una unidad semántica que o solo es verdadera o solo es falsa.

Ejemplos: o o o o

Vicente Rocafierte fué presidente del Ecuador. (Verdadero) 2 es un número impar. (Verdadero) 4-3=2 (Falso) X-2=5 No es proposición porque no se puede determinar so es verdadero o falso

Nota: Cuando hay preguntas, cuando se da una orden, cuando hay oraciones imperativas, o peticiones, referencias personales NO ES PROPOSICIÓN. Ejemplos: ¿Cuántos años tienes? ¡Auxilio! ¡Apúrate!

1.1.2. VALOR DE VERDAD El Valor de Verdad de una Proposición es la cualidad de veracidad que describe adecuadamente, la proposición. Esta puede ser Verdadera o Falsa.

Cuando es Verdadero se usa (1) Cuando es Falso se usa

(0)

1.1.3. VARIABLES PROPOSICIONALES Está representada por letras minúsculas como por ejemplo: p, u, l, s, etc... y sustituye a la proposición. o Vicente Rocafierte fué presidente del Ecuador. o p: Vicente Rocafierte fué presidente del Ecuador. o q: 2 es un número impar.

Recurso Web: Proposiciones Matemáticas https://www.youtube.com/watch?v=BF60JJHR5fk&feature=youtu.be 2

TABLA DE VERDAD Un Tabla de Verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tomar una proposición.

1 Variable

2 Variables

3 Variables

a

a b

a b c

0

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

1

0

1

1

1

0

1

1

1

1.2. OPERADORES LÓGICOS. Se usan para conectar 2 o más proposiciones.

1.2.1. NEGACIÓN. Cambia el Valor de Verdad de una Proposición.

“Es la única ue puede trabajar con una Variable”.

Sea p una variable proposicional, la negación de p, expresada simbólicamente por –p, es una nueva variante proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad: Términos gramaticales: Sirven para identificar donde está y si hay o no negación.: “no”, “ni”, “no es verdad que”, “no es cierto que”, “es falso que”

p -p 0

1

1

0

Ejemplos:

p: Tengo un billete de $5 -p: No tengo un billete de $5 -p: Es falso que tengo un billete de $5

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1.2.2. CONJUNCIÓN. Sea p y q variables proposicionales, la conjunción entre ellas expresada simbólicamente por p˄q, es una nueva variante proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad:

p -p p˄q 0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Términos gramaticales: “y”, “pero”, “mas”, “tambien”, “sin embargo”, “además”, “tal como”, “no obstante”, “aunque”, “a la vez”, “a pesar que” Signos de puntuación: “,”(coma), “.” (punto seguido) y el “;” (punto y coma) Ejemplos: Si se tienen las variables proposicionales

p:

Obtengo buenas notas

q:

gano una beca

p˄q:

Obtengo buenas notas y ano una beca.

Obtengo buenas notas además gano una beca

1.2.3. DISYUNCIÓN INCLUSIVA Y EXCLUSIVA. DISYUNCIÓN INCLUSIVA (V) Sea p y q variables proposicionales, la disyunción entre ellas expresada simbólicamente por pVq, es una nueva variante proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad: Términos gramaticales: “o”, “o uno u otro” Ejemplos: Si se tienen las variables proposicionales

p:

Tengo un cuaderno de lengua

q:

tengo un cuaderno de matemática

pVq:

Tengo un cuaderno de lengua o tengo un cuaderno de matemática.

p -p pVq 0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

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DISYUNCIÓN EXCLUSIVA (⊻) Sea p y q variables proposicionales, la disyunción exclusiva entre ellas expresada simbólicamente por p⊻q, es una nueva variante proposicional, representada por la siguiente tabla de verdad: Términos gramaticales: “o solo”, “o solamente”, “o... o ...”

La Disyunción Exclusiva solo se usa cuando 2 eventos no pueden suceder al mismo tiempo.

Ejemplos: Si se tiene las variables proposicionales

p -p p⊻q 0

0

0

p:

Estoy en Cuenca

0

1

1

q:

estoy en Guayaquil

1

0

1

p⊻q:

Estoy en Cuenca o estoy en Guayaquil.

1

1

0

p⊻q

O estoy en Cuenca o estoy en Guayaquil.

1.2.4. CONDICIONAL () Sean p y q variables proposicionales, la condicional entre p y q, expresada simbólicamente por

pq,

es una nueva variable proposicional,

representada por la siguiente tabla de verdad.

Términos gramaticales: 1.

“Si p, entonces q” 2. “p solo si q” 3. “p solamente si q” 4. “q si p” 5.

“Si p, q” 6. “q con la condición de que p” 7. “q cuando p” 8. “q siempre que p” 9. “q cada vez que p” 10. “q ya que p”

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

“q debido a que p” “q dado que p” “q puesto que p” “q porque p” “Si se tiene q si se tiene p” “Solo si q, p” q, pues p” “Cuando p, q” “Los p son q” “p implica que p”

p q pq 0 0 1 1

0 1 0 1

1 1 0 1

O cualquier expresión que denote causa y efecto

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Ejemplos. p: Obtengo buenas notas q: Gano una beca

pq: Si obtengo buenas notas, entonces gano una beca. pq: Gano una beca debido a que obtengo buenas notas pq: Gano una beca dado que obtengo buenas notas. pq: Gano una beca con la condición que obtenga buenas notas. pq: Obtengo buenas notas si gano una beca.

1.2.4.1. VARIABLES DE LA CONDICIONAL pq (original) o Inversa: pq o Recíproca: qp o Contrarrecíproca: qp Ejemplos. p: Obtengo buenas notas q: Gano una beca pq: pq: qp: qp:

Si obtengo buenas notas, entonces gano una beca.

Si no obtengo buenas notas, no gano una beca.

Si gano una beca, entonces obtengo buenas notas.

Si no gano una beca, entonces no obtengo buenas notas.

1.2.4.2. CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE Si p es suficiente para q, quiere decir que p no puede ocurrir sin que deje de ocurrir q; y se traduce como la condicional pq Si p es necesaria para q, quiere decir que q no puede ocurrir a menos que p ocurra; y se traduce qp CONCLUSIÓN Cuando pq es verdadera se dice que p es condición suficiente y que q es condición necesaria para p.

Condicion suficiente  q 1 Condicion necesaria Cuando qp es verdadera, q es condición suficiente para p y p es condición necesaria para p.

Condicion suficiente Q  p 1 Condicion necesaria P

Recurso Web: Condición necesaria y Suficiente https://www.youtube.com/watch?v=ETkN5UtrcPc&t=2s

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EJERCICIOS DE TRADUCCIÓN o Considere el siguiente enunciado: “No tendré accidentes de tránsito, ya que soy un buen conductor y conozco las leyes de tránsito”, el cual es verdadero. p: Tendré accidentes de tránsito q: Soy un buen conductor r: Conozco las leyes de tránsito No

Original: Inversa: Recíproca: Contrarrecíproca:

p p

ya que ya que

q (qr)

y

r

.

(qr)  p  (qr)  p p  (qr) p   (qr)

o Identifique una traducción al lenguaje formal de la proposición compuesta.

“Si estudio historia o geografía, entonces estudio matemáticas”. p q r p: Estudio historia q: Estudio geografía r: Estudio matemáticas Si

p

o

q entonces (pq)  r

r

.

Recurso Web: Formalizar Proposiciones Lógicas, traducir al lenguaje formal https://www.youtube.com/watch?v=b6Ruvl9QE0Y

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1.2.5. BICONDICIONAL () Sean p y q variables proposicionales, la bicondicional entre ellas, expresada simbólicamente por pq, está representada por la siguiente tabla de verdad.

p q pq 0 0 1 1

0 1 0 1

Expresiones gramaticales: “p si y solo si q” “p si y solamente si q” “p implica q y q implica p” “p cuando

1 0 0 1

1.2.6. EJEMPLOS PARA DETERMINAR EL VALOR DE VERDAD Bajo la suposición de que los valores de verdad de las proposiciones simples a, b, c, d son respectivamente 0, 0, 1, 1; indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones compuestas. a0 b0 c1 d1

 (ab)  (cd)  (00)  (11)  (0)  (1) 1 1 1

a0 b0 c1 d1

 (ab)  (cd)  (00)  (11)  (0)  (0) 1 0 0

Si la proposición es falsa entonces es verdad que: a) b) c) d)

(ba)0 (ed)0 (da)0 (ab)0

[(ab)d]   (dc) 1

1

0

01

1

1 0

0 0

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Si la proposición [( p q)  r]  [r  q] es falso, entonces es verdad que: a) b) c) d)

[( p q)  r]  [r  q)

p1 q1 r0 p0

0

0

1

1 0

1

0 1 0

p0

q0

r1

1.3. FORMAS PROPOSICIONALES. Se denominas formas proposicionales a las estructuras constituidas por valores proposicionales y por los operadores lógicos que la relacionen.

Estas formas proposicionales se suelen representar con letras mayúsculas A, B, C…

TABLA DE VERDAD DE UNA FORMA PROPOSICIONAL Dada la siguiente forma proposicional determine su valor de verdad.

p1 p 1 1 1 1 0 0 0 0

p 0 0 0 0 1 1 1 1

q 0 0 1 1 0 0 1 1

A: [(pq)  (rp)]  r q1 r 0 1 0 1 0 1 0 1

pq 0 0 0 0 0 0 1 1

rp 1 1 1 1 0 1 0 1

r0 (pq)  (rp) 1 1 1 1 1 1 0 1

A 0 1 0 1 0 1 0 1

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1.3.1. TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA. o TAUTOLOGÍA Si se tiene solamente proposiciones verdaderas para todas las tablas de verdad de las variables proposicionales.

o CONTRADICCIÓN Si se tiene solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

o CONTINGENCIA Si se tiene al menos una proposición con un valor de verdad que difiere del resto para todos los valores de verdad de las variables proposicionales.

1.3.2. IMPLICACIÓN LÓGICA Sean A y B dos formas proposicionales, dice que A implica lógicamente a B, denotado por AB, si y solo sí A es una tautología.

Ejemplos: Entonces es una implicación lógica p (qp)

p

q qp p (qp)

0 0 1 1

0 1 0 1

1 0 1 1

1 1 1 1

Si es Tautología, por lo tal hay Implicación lógica.

1.3.3. EQUIVALENCIA LÓGICA () Sean A y B dos formas proposicionales, se dice que A es equivalente lógicamente a B denotado por AB, si y solo sí AB es una tautología. (pq)  (pq)

Ejemplos: p 0 0 1 1

p 1 1 0 0

q 0 1 0 1

q 1 0 1 0

pq 0 1 1 1

(pq) pq 1 1 0 0 0 0 0 0

(pq)  (pq) 1 1 1 1

Si es Tautología

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o

Si la forma proposicional f (p, q, r, s) es una tautología, entonces es falso que:

a) b) c) d) e)

f (1, 1, 0, 0)  f (0, 0, 1, 1) 1  f (0, 1, 0, 1)  f (1, 0, 1, 0) 1  f (1, 1, 1, 1)  f (0, 0, 0, 0) 1  f (1, 1, 1, 0)  f (0, 0, 0, 1) 1  f (0, 0, 0, 1)  f (1, 1, 1, 1) 1 

o

Si la forma proposicional f (p, q, r, s) es una contradicción entonces es verdad que: 0 0 0 0 0

    

0 0 0 0 0

1 0 1 1 1

Recurso Web: Equivalencias Lógicas https://www.youtube.com/watch?v=UYzNy4DtTHo&t=51s

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