9788205561922_Moenster_R2_Vannmerket by Gyldendal Norsk Forlag

Ku n til vu rd e

rin

in g

Tove Kalvø, Jens Christian Lothe Opdahl, Knut Skrindo, Øystein Johannes Weider

MØNSTER

Matematikk R2 Studieforberedende utdanningsprogram

Ku n

til

Bokmål

© Gyldendal Norsk Forlag AS 2022 1. utgave, 1. opplag ISBN 978-82-05-56191-5 Denne boka er en del av læreverket Mønster. Boka dekker målene i gjeldende læreplan i matematikk for realfag – programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering (MAT03-02).

in g

Printed in Latvia by Livonia Print Ltd, 2022

Illustrasjoner: Nova M. Lie: side 299 Sandra Wilmann: side 107, 154, 178, 243, 250, 307, 339, 420

Redaktør: Klaus Karlson Bilderedaktør: Hege Røyert / NTB Design: Marianne Cecilie Dahl / mcddesign.no Logodesign: Eggedosis AS / Gunveig Wanvik Sats og layout: Gamma grafisk AS (Vegard Brekke) Språkkonsulent: Ann-Kristin Molde Omslagsdesign: Lise Mosveen Omslagsillustrasjon, bilde: MirageC / Moment / Getty Images, ill: Oleh Svetiukha / iStock / Getty Images Plus Figurer: Knut Skrindo, Gamma grafisk AS (Vegard Brekke og Arnvid Moholt), figurer created with GeoGebra (www.geogebra.org) og Python (www.Python.org).

til

Bildekrediteringer: Side 8: FUTURE LIGHT / Getty Images, 12: Henglein and Steets / Getty Images, 22: Julia Mrozek / EyeEm / Getty Images, 26: Shutterstock, 33: Shutterstock, 59: Alamy Stock Photo / NTB, 68: Jedraszak / iStock / Getty Images Plus, 71: Bob Sacha / Getty Images, 72: Image Source RF / Justin Lewis / Getty Images, 80: iStock / Getty Images Plus, 82: Sebastian-Alexander Stamatis / 500px / Getty Images, 92: Ørn Areklett Omre / Samfoto / NTB, 94: Espen Bratlie / Samfoto / NTB, 97: Per Breiehagen / Stone / Getty Images, 109: JGI / Tom Grill / Tetra images / Getty Images, 115: Shutterstock, 119: Shutterstock, 132: Khim Hoe Ng / Stockimo / Alamy / Imageselect, 142: Ursa Hoogle / iStock / Getty Images Plus, 151: Jose A. Bernat Bacete / Moment / Getty Images, 153v: kozmoat98 / E+ / Getty Images, 153h: Shutterstock, 155: Shutterstock, 164: SolStock / iStock / Getty Images Plus, 165: Shutterstock, 173: Shutterstock, 178ø: PhotoAlto / Odilon Dimier / Getty Images, 184: Yellow Dog Productions / The Image Bank / Getty Images, 187: Shutterstock, 194: narvikk / E+ / Getty Images, 196: Shutterstock, 204: Pierre-Yves Babelon / Moment / Getty Images, 212: Martin Yhlen / 500Px Plus / Getty Images, 231: Martin Puddy / Stone / Getty Images, 245: Berit Roald / NTB, 257: Westend61 / Getty Images, 276: Liuhsihsiang / E+ / Getty Images, 278: Shutterstock, 280: ictor / E+ / Getty Images, 283: Alex Treadway / Photodisc / Getty Images, 287: Shutterstock, 291ø: Shutterstock, 291n: Shutterstock, 293h: Tove Kalvø, 298: Knut Skrindo, 302: payphoto / iStock / Getty Images Plus, 303: Halvard Alvik / NTB, 314: Shutterstock, 327: Gorm Kallestad / NTB, 328: FediushkinaElena / iStock / Getty Images Plus, 337nh: LWA / Photodisc / Getty Images, 337øv: Shutterstock, 341: Danka Vuolle / Shutterstock, 344: Shutterstock, 352: PNC / Stockbyte / Getty Images, 354: Shutterstock, 404: Johner Images / Getty Images, 424: David Berding / Getty Images / AFP / NTB, 429: Corey Nolen / Getty Images, 433: Gunter Kirsch / Alamy / Imageselect, 439: Anglesey / E+ / Getty Images

Materialet i denne boka er beskyttet etter åndsverklovens bestemmelser. Enhver kopiering, avfotografering eller annen form for eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring av materialet i denne boka er kun tillatt dersom det finnes lovhjemmel eller er inngått særskilt avtale med Gyldendal Norsk Forlag AS.

Ku n

Virksomheter som har inngått avtale med Kopinor, kan kopiere, avfotografere osv. innenfor avtalens rammer (inntil 15 % av bokas sidetall). Det er ikke tillatt å kopiere fra arbeidsbøker (engangshefter). Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Forfatterne har mottatt støtte fra Det faglitterære fond til denne boka.

Alle henvendelser om forlagets utgivelser kan rettes til: Gyldendal Undervisning Redaksjonen for videregående skole Postboks 6860 St. Olavs plass 0130 Oslo E-post: undervisning@gyldendal.no www.gyldendal.no/undervisning

Alle Gyldendals bøker er produsert i miljøsertifiserte trykkerier. Se www.gyldendal.no/miljo

Forord

in g

Mønster er et helt nytt matematikkverk for videregående skole, utviklet til læreplanene fra 2020. Mange kjenner nå Mønster fra før. Her er Mønster for Vg3! Mønster legger vekt på å lære matematikk gjennom å se mønstre og sammenhenger ved å utforske og løse matematiske problemer. Fagstoffet blir presentert i en utforskende form som gir bedre forståelse og legger til rette for dybdelæring. Det kan brukes direkte av elevene, eller ved at læreren tilpasser det til gruppa.

Underveis er det lagt inn refleksjonsoppgaver som fremmer dybdelæring og dialog hos elevene. Dette bidrar til økt motivasjon og mestring.

Mønster inneholder et rikt utvalg av eksempler og viser flere løsningsstrategier. Slik kan elevene oppdage sammenhenger og lære å bruke ulike representasjoner. Videre inneholder boka et stort utvalg av oppgaver, både etter hvert avsnitt, i oppgavesamlingen og i «Øv til eksamen». Fasit til oppgavene finnes bak i boka. Løsningsforslag til oppgavene finner du i Skolestudio.

Der det er hensiktsmessig med bruk av digitale verktøy, har vi brukt GeoGebra og CAS, samt programmeringsspråket Python. Vi viser hvordan vi bruker dette i aktuelle eksempler i boka. Bakerst i boka finner du i tillegg kortere oppslagsmanualer kalt «Python på 1–2–3» og «GeoGebra på 1–2–3», som dekker alle kommandoene og funksjonene vi trenger i faget.

til

Skolestudio er Gyldendals digitale læringsmiljø. Her er det egne elev- og lærerressurser som støtter verket. Her finner du blant annet fullstendige løsningsforslag til alle oppgavene, og du finner egne videoer til Mønster med gjennomgang av fagstoff, eksempler og løsningsforslag.

Ku n

Mønster skaper matematikkforståelse og hjelper elevene å se sammenhenger i faget. Læreverket er et godt verktøy for å tilpasse og differensiere læringen for elevene, men uten at det går på bekostning av metodefrihet og fleksibilitet. Elevene får dermed et godt grunnlag for videre arbeid med matematikkfaget. Vi håper boka inspirerer og bidrar til flere gylne øyeblikk i klasserommet. Vi takker konsulentene Arne B. Sletsjøe, Frode Sterten Heide, Knut-Eirik Baade og Trond Simen Nesset for kyndig gjennomgang og gode innspill. Oslo, mars 2022

Tove Kalvø, Jens Christian Lothe Opdahl, Knut Skrindo og Øystein Johannes Weider

Innhold 8

3 Følger og rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Enhetssirkelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grader og radianer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Likninger med sinus og cosinus . . . . . . . . . . Likninger med tangens og sammensatte vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Enhetsformelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Sum og differanse av vinkler . . . . . . . . . . . . . 1.7 Sammensatte trigonometriske likninger. . . . Mønster og oversikt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 20 27 34 40 45 51 56 58 60

3.1 Tallfølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.2 Rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 3.3 Anvendelser av geometriske rekker . . . . . . . 154 3.4 Uendelige geometriske rekker . . . . . . . . . . . . 166 3.5 Matematiske bevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.6 Tallmønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Mønster og oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

1.1 1.2 1.3 1.4

in g

1 Trigonometriske likninger . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

Ku n

til

2 Trigonometriske funksjoner. . . . . . . . . . . . . . 72

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Grafen til sin x og cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forskyvning og strekking . . . . . . . . . . . . . . . . . Harmoniske svingninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funksjonen a sin cx þ b cos cx. . . . . . . . . . . . . Derivasjon av trigonometriske funksjoner. . . Drøfting av sammensatte trigonometriske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . Mønster og oversikt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74 81 87 99 105 110 116 118 120

4.1 Trappesum og areal under grafer . . . . . . . . . 206 4.2 Bestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 4.3 Ubestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 4.4 Arealberegninger ved integrasjon. . . . . . . . . 233 4.5 Delvis integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 4.6 Integrasjon ved variabelskifte . . . . . . . . . . . . . 246 4.7 Integrasjon ved delbrøkoppspalting . . . . . . 251 Mønster og oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Innhold

6 Vektorer og romgeometri . . . . . . . . . . . . . . . . 344

278 287 296 309 323 325 326

6.1 Punkter i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Vektorer i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Areal og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Kuleflater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Kurver i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Linjer og kurver i rommet . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Vektorfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mønster og oversikt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ku n

til

5.1 Integrasjon og samlet mengde . . . . . . . . . . . 5.2 Volum av omdreiningslegemer . . . . . . . . . . . 5.3 Modellering og regresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Modellering med Eulers metode . . . . . . . . . Mønster og oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Test deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

in g

5 Matematiske modeller og anvendelse av integrasjon . . . . . . . . . . . . . . . 276

346 355 365 371 378 386 397 402 408 419 427 429 430

Python på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 GeoGebra på 1–2–3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493 Læreplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

Slik bruker du boka

in g

Utforsk Her ﬁnner du aktiviteter som legger til rette for utforskende matematikk, diskusjon og samarbeid. Du kan bruke dem direkte eller ved at læreren tilpasser det til gruppa som grunnlag for forståelse og dybdelæring.

Video Video-ikonet viser at det er en undervisningsﬁlm i Skolestudio. Filmen forklarer teori, eksempler og løsninger eller viser bruk av digitale verktøy. Henvisning til oppgaver Henvisning til oppgaver det passer å løse underveis i delkapittelet.

Gule lapper Her ﬁnner du tips, repetisjon og korte oppsummeringer.

Ku n

til

Viktige setninger De blå boksene inneholder viktige setninger, begreper og deﬁnisjoner. Det som står her, er det viktig at du lærer deg og forstår.

Digitale verktøy Der det er hensiktsmessig med bruk av digitale verktøy, har vi brukt GeoGebra og CAS samt programmeringsspråket Python. Bakerst i boka ﬁnner du i tillegg kortere oppslagsmanualer kalt «Python på 1–2–3» og «GeoGebra på 1–2–3». Reflekter og diskuter Boka legger til rette for dybdelæring gjennom muntlig aktivitet og samarbeid.

Mønster og oversikt Her er det viktigste innholdet fra hvert kapittel oppsummert. Det trekkes linjer til annet fagstoﬀ for å hjelpe deg å se mønstre og sammenhenger i faget.

viser oppgaver du skal løse uten

Oppgaver som er mer utfordrende, er markert

Puslespill-ikonet viser oppgaver som krever at du jobber utforskende, bruker problemløsningsstrategi eller samarbeider. Noen av disse oppgavene tar for seg andre sider av fagstoﬀet.

Blyant-ikonet hjelpemidler.

in g

Varierte oppgaver Dette er oppgaver rett etter hvert delkapittel, der du kan øve på det du nettopp har lært. I oppgavesamlingen ﬁnner du ﬂere oppgaver til hvert delkapittel, i tillegg til blandede oppgaver og eksamensoppgaver.

Test deg selv Her ﬁnner du oppgaver fra hele kapittelet. Test deg selv fungerer godt som repetisjon til en kapittelprøve.

til

Øv til eksamen Her er utvalgte eksamensoppgaver eller eksamenliknende oppgaver samlet.

Ku n

Skolestudio Skolestudio er Gyldendals digitale læringsmiljø. Her er det egne elev- og lærerressurser som støtter verket. Du vil blant annet ﬁnne undervisningsvideoer og fullstendige løsningsforslag til alle oppgavene i boka.

in g

til

TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

500

Ku n

Den indiske astronomen og matematikeren Aryabhata (476–550) regnet ut sinusverdier og introduserte nye formler innenfor trigonometri. Han brukte ordet jya, som betyr korde, for det som nå kalles sinus.

500

År 0

300 f.Kr. 150 f.Kr. Vi regner den greske astronomen Hipparkos som opphavsmann til trigonometrien

300 100 Ptolemaios laget tabeller over halve korder i en sirkel til bruk i astronomiske beregninger

600

Hvordan kan sin 45 og sin 405 være det samme?

Vinkel mellom urvisere

in g

Et freeski-triks er «1080». Tenk om vi heller sa 6 !

Jobb sammen to og to

til

Figuren viser en klokke med en minuttviser og en timeviser. Når klokka er tre, er vinkelen mellom viserne 90 . 1

Forklar at vinkelen mellom viserne er 150 når klokka er fem.

Diskuter hvordan vi kan finne vinkelen mellom viserne ved bestemte klokkeslett.

Ku n

Vi tenker oss at dette er en liten klokke der urskiven har radius 1 cm.

1600

Diskuter hvordan vi kan finne avstanden mellom viserne ytterst langs den buede kanten av urskiven. Forklar at denne avstanden er cm 2 når klokka er tre.

Hva er vinkelen mellom viserne kl. 19:15?

Hva er avstanden mellom viserne ytterst langs den buede kanten av urskiven kl. 19:15?

1700

1900

1800

1714

1870

Roger Cotes brukte radianer som mål, men hadde ikke noe eget navn på dette

Thomas Muir og James Thomson brukte begrepet radianer i henholdsvis 1869 og 1871

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

1.1 Enhetssirkelen Jobb sammen to og to

in g

UTFORSK

45°

90°

60°

90°

45°

30°

Bestem sidelengdene i de to trekantene.

Diskuter om størrelsen på trekantene har noe å si for verdiene av sinus, cosinus og tangens til vinklene i trekantene.

Fyll ut tabellen under:

sin u

1 2

cos u tan u

pffiffiffi 3

til

Sinus, cosinus og tangens er definert som forhold mellom sidene i rettvinklede trekanter.

Enhetssirkelen:

sin u ¼

Ku n

1 y

Andre vinkelbein

Første vinkelbein

Vinkelpunktet

1 x

motstående katet hypotenus

hypotenus

hosliggende katet cos u ¼ hypotenus tan u ¼

motstående katet hosliggende katet

motstående katet til u

u hosliggende katet til u

Definisjonene over gjelder bare for vinkler mellom 0 og 90 . Vi kan utvide definisjonen til å gjelde for alle vinkler ved å bruke enhetssirkelen. Det er en sirkel i et koordinatsystem med sentrum i origo og radius 1. Vi tegner en vinkel u i enhetssirkelen med toppunkt i origo slik at det første vinkelbeinet går langs den positive x-aksen. Vi har nå tegnet vinkelen i grunnstilling. Skjæringspunktet mellom det andre vinkelbeinet og enhetssirkelen kaller vi vinkelpunktet.

Enhetssirkelen

Vi definerer nå sinus og cosinus til en vinkel ut fra koordinatene til vinkelpunktet når vinkelen er i grunnstilling:

DEFINISJON AV SI NUS, COSINUS O G TANGENS

(cos u, sin u)

in g

sin u

cos u

cos u ¼ førstekoordinaten til vinkelpunktet sin u ¼ andrekoordinaten til vinkelpunktet sin u tan u ¼ cos u

til

Når det andre vinkelbeinet er rotert mot venstre, altså mot klokka, er vinkelen positiv.

Når det andre vinkelbeinet er rotert mot høyre, altså med klokka, er vinkelen negativ. To vinkler som er like store, men som er rotert i hver sin retning, kaller vi motsatte vinkler.

u –u

1 x

Ku n

Av figuren ser vi at vinkelpunktene til u og u har samme x-koordinater. Da er cos ð uÞ ¼ cos u. Tilsvarende ser vi at u og u ligger symmetrisk om x-aksen. Så sin ð uÞ ¼ sin u. Det gir: tan ð uÞ ¼

sin ð uÞ sin u ¼ tan u ¼ cos u cos ð uÞ

MOT SAT TE VINKLER sin ð uÞ ¼ sin u

cos ð uÞ ¼ cos u tan ð uÞ ¼ tan u

Vinkler og omløp 0 ! 360 : første omløp 360 ! 720 : andre omløp 720 ! 1080 : tredje omløp osv.

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Andre kvadrant

–1

Rundt hele enhetssirkelen er det 360 . Dette kaller vi et omløp. Koordinataksene deler et omløp i fire kvadranter.

Første kvadrant 70°

340°

For eksempel ligger en vinkel på 70 i første kvadrant og en vinkel på 340 i fjerde kvadrant. 1x

Tredje Fjerde kvadrant kvadrant

Vi har sett at vinkler kan være mindre enn 0 . Vinkler kan også være større enn 360 . Fra snowboard og freeski har vi uttrykk som «sju-tjue», som betyr at vi roterer to ganger rundt, altså 720 , og «ti-åtti», som betyr at vi roterer tre ganger rundt, altså 1080 .

–1

in g

400°

til

Vinkelen på figuren er 400 , og den ligger i første kvadrant i andre omløp.

EK SEMPEL 1 Figuren viser en vinkel u tegnet i enhetssirkelen.

Ku n

0,6

u 0,2

–1 –0,8

–0,4 –0,2

–0,6 –1

0,4

0,8 1 x

Bestem tilnærmingsverdier for sin u, cos u og tan u.

Tegn en annen vinkel med samme sinusverdi som vinkel u.

Tegn en annen vinkel med samme cosinusverdi som vinkel u.

Tegn en annen vinkel med samme tangensverdi som vinkel u.

Enhetssirkelen

tan u ¼

–1 –0,8

Hvis vi speiler vinkelpunktet om y-aksen, får vi en ny vinkel som har samme sinusverdi som u.

v 1 x

–1

til

Hvis vi speiler vinkelpunktet om x-aksen, får vi en ny vinkel som har samme cosinusverdi som u. Vinkel w ligger i andre kvadrant. 1

Ku n

–1

0,6 0,2 u

–0,4 –0,2

0,4

–0,6 –1

Vinkel v ligger i fjerde kvadrant. 1

sin u 0,6 ¼ ¼ 0,75 cos u 0,8

in g

Løsning: a I figuren til høyre leser vi av koordinatene til vinkelpunktet: ð 0,8, 0,6Þ. sin u er y-verdien til vinkelpunktet, altså er sin u ¼ 0,6. cos u er x-verdien til vinkelpunktet, altså er cos u ¼ 0,8. tan u er forholdet mellom sinus og cosinus:

1 x

0,8 1 x

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Hvis vi speiler vinkelpunktet om origo, får vi en ny vinkel som har samme tangensverdi som u. Vinkel z ligger i første kvadrant. 1

in g

Vinkler som er speilet om y-aksen, har samme sinusverdi. Vinkler som er speilet om x-aksen, har samme cosinusverdi. Vinkler som er speilet om origo, har samme tangensverdi.

1 x

–1

Oppgaver: 1.1–1.2

Komplementvinkler og supplementvinkler To vinkler som til sammen blir 90 , kaller vi komplementvinkler. y

til

(a, b)

Ku n

y=x (b, a)

90° – v x

Av figuren ser vi at to slike vinkler er symmetriske om linja y ¼ x. Koordinatene til de to vinkelpunktene har byttet plass.

Enhetssirkelen

Dermed er sin ð90 vÞ ¼ cos v

og cos ð90 vÞ ¼ sin v y

To vinkler som til sammen blir 180 , kaller vi supplementvinkler. (–a, b)

(a, b)

in g

Figuren viser vinkel v sammen med supplementvinkelen 180 v. Vinkelpunktene er symmetriske om y-aksen, så y-koordinatene er like. Dermed er

180° – v

sin ð180 vÞ ¼ sin v

cos ð180 vÞ ¼ cos v

Legg merke til at x-koordinatene har samme tallverdi, men motsatt fortegn. Dermed er

K OM P LE M E N T V I N KL E R OG SU P P L EM E N T V I N K LE R y

y=x

(a, b)

(–a, b) (b, a)

180° – v

90° – v

sin ð180 vÞ ¼ sin v

cos ð90 vÞ ¼ sin v

cos ð180 vÞ ¼ cos v

til

sin ð90 vÞ ¼ cos v

Ku n

EKSEMPEL 2

Gjør uttrykket enklere:

cos ð180 uÞ þ 2 sin ð90 uÞ cos ð uÞ

Løsning: cos ð180 uÞ þ 2 sin ð90 uÞ cos ð uÞ ¼ cos u þ 2 cos u cos u ¼ 0

Oppgaver: 1.3–1.6

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Eksakte verdier og symmetri på enhetssirkelen

pffiffiffi pffiffiffi 1 1 2 2 sin 45 ¼ pffiffiffi ¼ pffiffiffi pffiffiffi ¼ 2 2 2 2 pffiffiffi 1 2 cos 45 ¼ pffiffiffi ¼ 2 2 1 tan 45 ¼ ¼ 1 1

45° 2 1 90°

45°

in g

Med en likebeint, rettvinklet trekant kan vi finne eksakte verdier for sin 45 , cos 45 og tan 45 :

Med en rettvinklet trekant der de to andre vinklene er 30 og 60 , kan vi finne eksakte verdier for sin 30 , cos 30 , tan 30 , sin 60 , cos 60 og tan 60 :

90°

60°

30°

1 2 pffiffiffi 3 cos 30 ¼ 2

pffiffiffi 3 sin 60 ¼ 2 1 cos 60 ¼ 2 pffiffiffi 3 pffiffiffi ¼ 3 tan 60 ¼ 1

sin 30 ¼

pffiffiffi 3 1 p ffiffiffi ¼ tan 30 ¼ 3 3

Vi kan nå bruke symmetri i enhetssirkelen til å finne eksakte trigonometriske verdier i de andre kvadrantene.

til

EK SEMPEL 3

Ku n

0,5

120°

–1

–0,5

60°

0,5

–0,5

–1

Finn eksakte verdier for sin 120 , cos 120 og tan 120 .

Finn eksakte verdier for sin 225 , cos 225 og tan 225 .

Løsning: a Vinkelen 120 ligger symmetrisk om y-aksen i forhold til 60 . De to vinklene er supplementvinkler. pffiffiffi 3 sin 120 ¼ sin 60 ¼ 2 1 x 1 cos 120 ¼ cos 60 ¼ pffiffi2ffi 3 pffiffiffi sin 120 tan 120 ¼ ¼ 2 ¼ 3 1 cos 120 2

Enhetssirkelen

Vinkelen 225 ligger symmetrisk om origo i forhold til 45 . Da vil både sinus og cosinus ha samme tallverdi, men motsatt fortegn. Verdien for tangens vil være den samme. pffiffiffi 2 sin 225 ¼ sin 45 ¼ 2 pffiffiffi 2 cos 225 ¼ cos 45 ¼ –1 2 pffiffiffi 2 sin 225 ¼ p2ffiffiffi ¼ 1 tan 225 ¼ cos 225 2 2

2 2

in g

225°

2 2

45°

1 x

2 2

–1

Oppgaver: 1.7–1.10

sin u

cos u

tan u

30 1 2 pffiffiffi 3 2 pffiffiffi 3 3

45 pffiffiffi 2 2 pffiffiffi 2 2

60 pffiffiffi 3 2 1 2

pffiffiffi 3

90 1

ikke def.

120 pffiffiffi 3 2

135 150 pffiffiffi 1 2 2 2 pffiffiffi pffiffiffi 3 1 2 2 2 2 pffiffiffi pffiffiffi 3 3 1 3

til

ﬀ u

Ved å bruke symmetri på enhetssirkelen kan vi lage en tabell med eksakte trigonometriske verdier for vinkler i alle de fire kvadrantene:

180 0

1 0

210

225 240 pffiffiffi pffiffiffi 3 1 2 2 2 2 pffiffiffi pffiffiffi 3 1 2 2 2 2 pffiffiffi pffiffiffi 3 1 3 3

Ku n

Reflekter og diskuter!

Arin har funnet en måte å huske verdiene til sinus for 0 , 30 , 45 , 60 og 90 : pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 2 0 1 3 4 ! ! ! ! 2 2 2 2 2 Lag en tilsvarende huskeregel for verdiene til cosinus av de samme vinklene.

270 1 0 ikke def.

300 315 pffiffiffi pffiffiffi 3 2 2 2 pffiffiffi 1 2 2 2 pffiffiffi 3

330

360

1 2 pffiffiffi 3 2 pffiffiffi 3 3

Husk! sin ð180 uÞ ¼ sin u cos ð180 uÞ ¼ cos u

0 1 0

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Oppgaver

260

490

1.3 y 1,0

in g

1.1 I hvilket omløp og i hvilken kvadrant ligger vinklene? 1020

0,6

1.2 Figuren viser en vinkel u tegnet i enhetssirkelen.

0,2

y 1,0

–0,4

37°

0,4

0,8 1 x

–1 –0,8

0,6

–0,2

0,2 –0,4

0,4

–0,2 –0,6

–1

0,8 1 x

Bruk figuren til å forklare at sin 37 0,6, og at cos 37 0,8.

–1 –0,8

–0,6

Bruk svaret i a til å finne tan 37 , cos 143 , sin 143 , tan 143 , cos 53 , sin 53 og tan 53 .

–1

(0,4, –0,92)

Bestem sin u, cos u, tan u.

Tegn en annen vinkel v slik at sin v ¼ sin u. I hvilken kvadrant ligger denne vinkelen?

c d

til

Tegn en annen vinkel w slik at cos w ¼ cos u. I hvilken kvadrant ligger denne vinkelen? Tegn en annen vinkel z slik at tan z ¼ tan u. I hvilken kvadrant ligger denne vinkelen?

Ku n

1.4 Skriv enklere: a

sin ð90 uÞ þ cos ð90 uÞ sin ð uÞ þ cos ð uÞ

sin ð uÞ þ cos u cos ð180 uÞ þ cos ð uÞ sin u

sin ð90 uÞ þ cos ð180 uÞ sin u

1.5 Fire og fire av verdiene i de tolv rutene i tabellen under er like. Finn ruter med samme verdi. Her kan det være lurt å tegne en enhetssirkel. A

sin 57

cos 33

sin 237

cos 123

cos 57

cos 33

sin ð 33 Þ

sin 123

sin 303

sin 33

cos 147

cos ð 33 Þ

Enhetssirkelen

1.7 Finn den eksakte verdien til

12 , 5 (–13 13 )

u 1 x

Forklar at tan u ¼

5 12

sin ð180 uÞ

sin ð uÞ

sin ð90 uÞ

cos 45

sin 30

sin ð 60 Þ

cos 30

1.8 Bruk verdier fra første kvadrant og symmetrier på enhetssirkelen til å finne a

sin 150 , cos 150 , tan 150

sin 180 , cos 180 , tan 180

sin 135 , cos 135 , tan 135

sin 330 , cos 330 , tan 330

cos ð180 uÞ

sin 480 , cos 480 , tan 480

sin 585 , cos 585 , tan 585

sin ð 210 Þ, cos ð 210 Þ, tan ð 210 Þ

cos ð uÞ

cos ð90 uÞ

til

1.10

Ku n

cos ð 60 Þ

1.9 Finn eksakte verdier for

Bruk figuren til å bestemme verdiene:

–1

sin 45

–1

in g

1.6 Figuren viser en vinkel u i enhetssirkelen.

pffiffiffi pffiffiffi 2þ 6 Du får vite at sin 75 ¼ . 4 Bruk dette til å finne eksaktverdien til a

sin 105

sin 255

cos ð 15 Þ

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

1.2 Grader og radianer UTFORSK

in g

Jobb sammen to og to

Figurene viser sirkler med vinkler som har toppunkt i sentrum av sirklene. 1

Forklar at sirklene har omkretsen O ¼ 2 .

1 1

180°

90°

60° 1

Beregn lengdene av de markerte sirkelbuene på figurene over. Sammenlikn resultatet og framgangsmåten din med en medelev. 2p 3

p 4

7p 6

1 1

til

Beregn vinklene på figurene over. Sammenlikn resultatet og framgangsmåten din med en medelev.

Ku n

90°

Diskuter hvilken sammenheng det er mellom lengden av sirkelbuen og vinkelen i en sirkelsektor.

Ettersom enhetssirkelen er en sirkel med radius 1, er omkretsen av enhetssirkelen O ¼ 2 r ¼ 2 1 ¼ 2 På figuren har vi tegnet en sirkelsektor i enhetssirkelen. Vinkelen i sirkelsektoren er 90 . Ettersom buelengden i sirkelsektoren er en fjerdedel av omkretsen av sirkelen, er buelengden: b¼

1 1 2 O ¼ 2 ¼ ¼ 4 4 4 2

Grader og radianer p

Vi kan altså oppgi vinkelen med buelengden i sirkelsektoren i stedet for grader. For eksempel vil en vinkel på 180 tilsvare buelengden i enhetssirkelen.

Hvor mange radianer er 45 ?

Hvor mange grader er

45 er

Vi finner ut hvor stor del buelengden er av omkretsen av hele sirkelen:

til

5 b 5 1 5 ¼ 6 ¼ ¼ 2 2 6 2 12 Det er 360 rundt hele sirkelen.

5 5 360 5 12 30 360 ¼ ¼ ¼ 150 12 12 12 5 radianer tilsvarer 150 . 6

Ku n

1 av en sirkel. 8 1 2 2 ¼ ¼ 8 8 4 45 tilsvarer radianer. 4

5 radianer? 6

Løsning: a

EKSEMPEL 4

180°

in g

Når vi oppgir en vinkel med buelengden i en sirkelsektor i enhetssirkelen, sier vi at vi måler vinkelen i radianer. Vi kaller vinkelmålet for det absolutte vinkelmål.

Oppgaver: 1.11–1.12

Reflekter og diskuter!

Christine løser deloppgave b i eksempelet over ved å bytte ut med 180 : 5 5 180 900 ¼ ¼ ¼ 150 6 6 6 Diskuter hvordan Christine kan ha tenkt.

Fra grader til radianer:

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Til nå har vi bare sett på vinkler i enhetssirkelen, men hva hvis radien i sirkelen ikke har lengde 1?

–1

b1 1

2 x

–1

For enhetssirkelen er buelengden og det absolutte vinkelmålet det samme ettersom

–2

v¼

b b ¼ ¼b r 1

A B S O L U T T V I NK E L M Å L : R A D I A N E R

Det absolutte vinkelmålet v er forholdet mellom buelengden og radien:

b r

v¼

til

–2

På figuren har vi tegnet to sirkler med radius på henholdsvis 1 og 2. b b Av figuren ser vi at sirkelsektorene er formlike. Dermed er 1 ¼ 2 . 1 2 Forholdet mellom buelengden og radien er det samme uansett hva radien er. Det absolutte vinkelmålet målt i radianer er dermed forholdet mellom b buelengden og radien i sirkelen, v ¼ . r

in g

y 2

Ku n

Grader og radianer

EKSEMPEL 5 Finn vinkelen v og buelengden b på figuren.

Løsning:

180 1 ¼ 360 2

Oppgaver: 1.13–1.14

radianer. Legg merke til at 2 1 ¼ 2 2

Vi har sett at 180 tilsvarer

Omgjøring mellom grader og radianer ·

For en bue med lengde b, radius r og vinkel n må forholdet mellom buelengden og omkretsen av en sirkel med radius r være lik forholdet mellom buens vinkel og vinkelen ved et helt omløp:

Grader

p 180°

Radianer

180° · p

til

b n ¼ 2 r 360 Ettersom b ¼ v r, får vi v =r b v ¼ ¼ 2 r 2 r = 2

Forholdet mellom det absolutte vinkelmålet og vinkelen i grader er dermed:

Ku n

v n ¼ 2 360 Ved å gjøre om på denne formelen kan vi lage formler for å gjøre om mellom grader n og absolutt vinkelmål v.

O M G J ØR I N G ME L L O M G R A D E R OG R A D I A N E R Fra grader til radianer: v ¼ n 180

Vinkelen v er om lag 0,64 radianer. b Ettersom v ¼ , blir b ¼ v r 0,64 5 ¼ 3,2. r

in g

3 Av figuren ser vi at sin v ¼ . Vi bruker CAS og finner det absolutte 5 vinkelmålet til v med kommandoen «arcsin()».

Fra radianer til grader: 180 n ¼ v

I Geogebra gjør vi om fra radianer til grader med å skrive «/ » etter vinkelen.

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

EK SEMPEL 6

b c

Gjør om 80 til radianer. radianer til grader. Gjør om 12 Bruk CAS til å gjøre om 2 radianer til grader.

in g

Løsning: a Vi setter inn i formelen: 4 20 4 v ¼ 80 ¼ ¼ 180 9 9 20 4 80 tilsvarer radianer. 9

Løsning med CAS: Vi skriver 80 i CAS. Når vi husker å bruke tegnet for grader, vil CAS automatisk gi oss vinkelen i radianer: 1

Vi får samme svar som over.

Vi setter inn i formelen: = 180 180 ¼ ¼ 15 n ¼ = 12 12 radianer tilsvarer 15 . 12

til

Løsning med CAS: Vi skriver «Løs x ¼ »: 12

Ku n

Oppgaver: 1.15–1.18

Vi får samme svar som over. c

Vi skriver «2= » i CAS: 1

2 radianer tilsvarer om lag 114,6 .

Grader og radianer

Vi har tidligere sett på hvordan vi kan bruke to trekanter og symmetri i enhetssirkelen til å finne eksakte trigonometriske verdier for vinkler oppgitt i grader. Nå kan vi også oppgi vinklene i radianer. Figuren under viser vinkler tegnet inn i enhetssirkelen med tilhørende eksakte verdier for sinus og cosinus:

in g

til

Reflekter og diskuter!

Ku n

Hvordan kan vi finne eksakte verdier for tangens til vinklene på figuren over?

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Oppgaver

210

1.12 Gjør om fra radianer til grader: c a 3 3 b d 2 4

1.17 Bruk digitalt verktøy til å gjøre om fra radianer til grader: a b 9 c 1,74 d 6 180

270

1.16 Gjør om fra radianer til grader for hånd og med digitalt verktøy: 4 a b c 18 8 3

in g

1.11 Gjør om fra grader til radianer:

1.18

1.13

Bestem buelengden b på figuren.

til

1.14 Finn det absolutte vinkelmålet til vinkelen v i en sirkelsektor med buelengde b og radius r når a

b ¼ 2,2 cm og r ¼ 1,7 cm

b ¼ 3,1 cm og r ¼ 1,9 cm

Ku n

1.15 Gjør om fra grader til radianer for hånd og med et digitalt verktøy: a

280

150

Bildet viser en klokke med en minuttviser og en timeviser. Finn den minste vinkelen i både grader og radianer mellom de to urviserne når klokka er a

7 Hva er klokka når vinkelen mellom urviserne er ? 12 Finnes det flere løsninger?

åtte

ti på halv ni

halv fire

Du får vite at urskiven har en radius på 3 cm. På et bestemt tidspunkt er avstanden mellom de to viserne, målt ytterst langs den buede kanten av 5 cm. urskiven, 2 c

Bestem vinkelen mellom viserne. Oppgi svaret både i grader og radianer.

Likninger med sinus og cosinus

1.3 Likninger med sinus og cosinus

in g

UTFORSK Tegn en enhetssirkel.

Tegn inn en vannrett linje som skjærer enhetssirkelen.

La skjæringspunktene mellom enhetssirkelen og linja være vinkelpunkter. Tegn inn alle vinkler som passer med dette.

Tegn en ny enhetssirkel.

Tegn inn en loddrett linje som skjærer enhetssirkelen.

La skjæringspunktene mellom enhetssirkelen og linja være vinkelpunkter. Tegn inn alle vinkler som passer med dette.

Får du like mange vinkelpunkter uansett hvor du tegner linja?

Vi skal se på hvordan vi kan løse likninger på formen: sin u ¼ b

cos u ¼ a

Likningen sin u ¼ b

tan u ¼ c

til

På figuren ser vi at vinklene 50 og 130 har samme sinusverdi. Disse vinklene er supplementvinkler. Dette betyr at hvis vi kjenner en sinusverdi og skal finne vinkler som passer, kan det være to vinkler som passer. Vi antar at u0 er en løsning av likningen sin u ¼ b Da vil også supplementvinkelen 180 u0 være en løsning.

Ku n

Vi skal nå løse sinuslikninger og finne løsningene i første omløp. Det vil si at ﬀu må ligge i intervallet ½0 , 360 i når vi regner med grader, og i intervallet ½0, 2 i når vi regner med radianer.

EKSEMPEL 7

pffiffiffi 3 Finn løsningene av likningen sin v ¼ for vinkler mellom 0 og 360 . 2

Løsning:

pffiffiffi 3 Ettersom sin 60 ¼ , har vi at v ¼ 60 er en løsning. Supplementvinkelen har 2 samme sinusverdi, så vi finner den andre løsningen av likningen:

180 60 ¼ 120 L ¼ f60 , 120 g

130° 50° 1x

–1

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Grafisk løsning:

in g

pffiffiffi 3 Vi tegner en enhetssirkel i GeoGebra sammen med linja y ¼ . 2 Vi ser at linja skjærer enhetssirkelen på to steder. Vi tegner vinkelbeina ut til de to vinkelpunktene og måler vinklene. f:y=

3 2

0,8

0,6

0,4

β = 120° 0,2

–1

–0,8 –0,6 –0,4 –0,2 –0,2

α = 60°

0,2 0,4 0,6 0,8

–0,4

–0,6

–0,8 –1

Løsningen er v ¼ 60 eller v ¼ 120 .

Løsning med CAS: Vi bruker kommandoen «Løs()» og listeparenteser, f g, for å finne løsningene mellom 0 og 360 . Med dette tegnet får vi løsningen i grader

til

Ku n

Vi bruker listeparenteser for å få med alle opplysninger

Vi avgrenser intervallet hvor løsningene skal ligge

Vi får samme løsning som over.

Vi kommer til det samme vinkelpunktet hvis vi beveger oss én eller flere hele omløp i negativ eller positiv retning i enhetssirkelen. Dette betyr at hvis u0 er en løsning av likningen, så vil u0 þ n 360 og ð180 u0 Þ þ n 360 også være løsninger. Her er n et helt tall og viser hvor mange omløp vi beveger oss i positiv eller negativ retning.

Likninger med sinus og cosinus

L I KN I N G E N s i n u = b Likningen sin u ¼ b har løsningen: I grader u0 þ n 360 u¼ 180 u0 þ n 360

I radianer u0 þ n 2 u¼ u0 þ n 2

n2Z

der u0 er en løsning.

EKSEMPEL 8

Finn løsningene når v 2 ½0, 4 i.

1 Vi har gitt likningen sin v ¼ . 2 a Finn den generelle løsningen av likningen.

Når vi får oppgitt et intervall som løsningene skal ligge i, setter vi inn forskjellige verdier av n slik at vi finner alle løsningene i intervallet.

til

Løsning: 1 a Ettersom sin ¼ , er løsningene i første omløp: 6 2 5 v¼ eller v ¼ ¼ 6 6 6 For hvert hele omløp vi beveger oss videre i positiv eller negativ retning, får vi flere løsninger. Derfor er den generelle løsningen –1 5 v ¼ þ n 2 eller v ¼ þ n 2 6 6

Vi prøver oss fram med forskjellige verdier av n for å finne løsningene som ligger i intervallet ½0, 4 i: 5 5 n ¼ 0 gir v ¼ þ 0 2 ¼ þ 0 2 ¼ n ¼ 0 gir v ¼ 6 6 6 6 13 5 17 n ¼ 1 gir v ¼ þ 1 2 ¼ n ¼ 1 gir v ¼ þ 1 2 ¼ 6 6 6 6 25 5 29 n ¼ 2 gir v ¼ þ 2 2 ¼ n ¼ 2 gir v ¼ þ 2 2 ¼ 6 6 6 6 5 13 17 Løsningene er v ¼ , v ¼ ,v¼ og v ¼ 6 6 6 6

Ku n

Sinuslikninger:

in g

Når vi skriver løsninger som gjelder for alle verdier av n, kaller vi løsningen den generelle løsningen av likningen.

Reflekter og diskuter!

Vi har gitt likningen sin u ¼ b der u 2 ½0, 2 i. Diskuter hvilke verdier av b som gir likningen henholdsvis ingen, én eller to løsninger.

0,5

–0,5

5p 6

p 6 0,5

1 x

–0,5

–1

Oppgaver: 1.19–1.22

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Likningen cos u ¼ a y

p 6 –p 6

–1

1 x

–1

in g

¼ cos . Generelt har vi at cos ðuÞ ¼ cos ð uÞ. Av figuren ser vi at cos 6 6 Vi får den samme verdien av cosinus for hvert hele omløp. Det gir:

Cosinuslikninger:

L I KN I N G E N c o s u ¼ a

Likningen cos u ¼ a har løsningen: I grader u0 þ n 360 u¼ u0 þ n 360

I radianer u0 þ n 2 u¼ u0 þ n 2

n2Z

til

der u0 er en løsning.

Ku n

EK SEMPEL 9 Løs likningen: pffiffiffi 2 cos v 2 ¼ 0,

v 2 ½0 , 360 i

Løsning: Vi omformer likningen slik at vi får cos v alene på venstre side: pffiffiffi 2 cos v 2 ¼ 0 pffiffiffi 2 cos v ¼ 2 dividerer med 2 pffiffiffi 2 cos v ¼ 2 pffiffiffi 2 , får vi den generelle løsningen Ettersom cos 45 ¼ 2 v ¼ 45 þ n 360 eller v ¼ 45 þ n 360

Likninger med sinus og cosinus

in g

Vi prøver oss fram med forskjellige verdier av n: n ¼ 0 gir v ¼ 45 þ 0 360 ¼ 45 n ¼ 0 gir v ¼ 45 þ 0 360 ¼ 45 n ¼ 1 gir v ¼ 45 þ 1 360 ¼ 405 n ¼ 1 gir v ¼ 45 þ 1 360 ¼ 315 Løsningene i intervallet ½0 , 360 i er v ¼ 45 og v ¼ 315 . Figuren viser de to løsningene:

315°

45°

–1

2 2

1 x

til

Astrid, Torjus og Kristoffer har kommet fram til hver sin generelle løsning av likningen pffiffiffi 2 cos v ¼ 2 Torjus 8 17 > > þ n 2 < 4 v¼ > > : 15 þ n 2 4

Ku n

Astrid 8 > < þ n 2 4 v¼ > : þ n 2 4

Oppgaver: 1.23–1.26

–1

Reflekter og diskuter!

Diskuter om noen av løsningene er riktige.

Kristoffer ( v¼

315 þ n 360 315 þ n 360

Vi setter inn verdier for n i den generelle løsningen for å finne løsninger som ligger i et avgrenset intervall.

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Oppgaver sin v ¼ 0,96,

v 2 ½0 , 720 i

sin v ¼ 0,8,

v 2 ½0, 2 i

sin v ¼ 0,64,

v 2 ½ 2 , 0i

sin v ¼ 0,96,

v 2 ½0, 2 i

in g

1.23 Løs likningene: pffiffiffi 3 a cos u ¼ , v 2 ½0, 2 i 2 pffiffiffi b 2 cos u þ 2 ¼ 1, v 2 ½0 , 360 i

1.19 Løs likningene når du får vite at vinklene ligger i første omløp. Oppgi svaret i grader. pffiffiffi 2 a sin u ¼ c sin u ¼ 1 2 1 b sin u ¼ 2 1.20 Løs likningene: pffiffiffi a 2 sin v þ 2 ¼ 0, v 2 ½0, 2 i pffiffiffi 3 b sin v ¼ , v 2 ½0 , 360 i 2 c 3 sin v þ 3 ¼ 0, v 2 ½0, 2 i

2 cos u 1 ¼ 0,

v 2 ½0, 2 i

1.24 Tabellen viser tilnærmingsverdier for cosinus til noen utvalgte vinkler. Vi bruker 3,14.

1.21 Løs likningene grafisk og med CAS:

v (i grader)

v (i radianer)

cos v

sin u ¼ 0,32,

u 2 ½0, 2 i

0,57

0,84

5 sin u ¼ , 8

u 2 ½0 , 360 i

0,87

0,64

sin u ¼ 0,41,

u 2 ½0, 2 i

0,33

0,95

c d

7 3 sin u ¼ , 2

til

u 2 ½0 , 360 i

1.22 Tabellen viser tilnærmingsverdier for sinus til noen utvalgte vinkler. Vi bruker at 3,14.

Ku n

Løs likningene: a

cos v ¼ 0,84,

v 2 ½0 , 360 i

cos v ¼ 0,64,

v 2 ½0 , 720 i

cos v ¼ 0,95,

v 2 ½ 180 , 180 i

cos v ¼ 0,84,

v 2 ½0, 2 i

v (i grader)

v (i radianer)

sin v

cos v ¼ 0,64,

v 2 ½0, 4 i

0,70

0,64

cos v ¼ 0,95,

v 2 ½ , i

0,93

0,80

1,29

0,96

Løs likningene: a

sin v ¼ 0,8,

v 2 ½0 , 360 i

sin v ¼ 0,64,

v 2 ½0 , 360 i

Likninger med sinus og cosinus

1.26 Løs likningene:

(0,2, 0,98)

(–0,54, 0,84) 122,68° (–0,91, 0,42)

155,17°

78,46°

4 cos v ¼ 3,

v 2 ½0 , 360 i

2 cos v ¼ 0,58,

v 2 ½ , i

2 sin v þ 1 ¼ , 3

1 cos v ¼ 0,2, v 2 ½0, 2 i

1 x

v 2 ½ 360 , 0 i

–1

in g

1.25

Bruk figuren til å løse likningene når u 2 ½0 , 360 i: cos u ¼ 0,2

cos u ¼ 0,91

sin u ¼ 0,42

cos u ¼ 0,54

sin u ¼ 0,84

sin u ¼ 0,98

til

Ku n

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

UTFORSK Du trenger: GeoGebra y 2,0

1,5

in g

1.4 Likninger med tangens og sammensatte vinkler

P = (1, 1,237)

(0,629, 0,778)

0,5

u = 51,041°

–0,5

0,5

–1

1,5

–0,5

til

–1

Ku n

Tegn en enhetssirkel i GeoGebra sammen med linja x ¼ 1.

Tegn en vilkårlig vinkel u i første kvadrant i grunnstilling og trekk en linje gjennom origo og vinkelpunktet.

La GeoGebra vise størrelsen på vinkelen, koordinatene til vinkelpunktet og skjæringspunktet P mellom linja x ¼ 1 og linja gjennom origo og vinkelpunktet, som på figuren.

Finn dette ved å bruke CAS:

forholdet mellom y-koordinaten og x-koordinaten i vinkelpunket.

y-koordinaten til punket P

tan u

Forklar resultatet. 5

Endre størrelsen på vinkel u. Undersøk om sammenhengen du fant i spørsmål 4, også gjelder for vinkler som ikke ligger i første kvadrant. Diskuter sammenhengen med de andre i klassen.

Likninger med tangens og sammensatte vinkler

Likningen tan u ¼ c Når vi speiler en vinkel om origi, er det det samme som å legge 180 til vinkelen. Figurene viser vinklene u0 og u0 þ 180 . Koordinatene a og b er positive tall. (a, b)

(–a, b)

1 x

b a

–1

1 x

u0 + 180° u0 + p

–1

og tan ðu0 þ 180 Þ ¼

b a

(a, –b)

tan u0 ¼

b a

og tan ðu0 þ 180 Þ ¼

Koordinatene til vinkelpunktene har samme tallverdi, men motsatt fortegn.

b b b b ¼ og ¼ , har vi at tan u0 ¼ tan ðu0 þ 180 Þ. Det betyr at a a a a når vi løser likningen tan u ¼ c, vil vi få løsninger for hvert halve omløp.

Ettersom

b a

tan u0 ¼

–1

(–a, –b)

in g

u0 + 180° u0 + p

Husk! tan u ¼

sin u cos u

L I KN I N G E N t a n u ¼ c

til

Likningen tan u ¼ c har løsningen: I grader u ¼ u0 þ n 180

I radianer u ¼ u0 þ n

n2Z

Ku n

der u0 er en løsning.

Reflekter og diskuter!

Vi har gitt likningen tan u ¼ c.

For hvilke verdier av u har likningen løsninger?

For hvilke verdier av c har likningen løsninger?

Likninger med sinus, cosinus og tangens kan gi uendelig mange løsninger. Når vi har gitt et intervall, velger vi de løsningene som ligger i intervallet.

Tangenslikninger:

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

EK SEMPEL 10 Løs likningen:

5p 6 1 x

5 5 12 7 þ ð 2Þ ¼ ¼ 6 6 6 6

n ¼ 1 gir v ¼

5 5 6 þ ð 1Þ ¼ ¼ 6 6 6 6

n ¼ 0 gir v ¼

5 5 þ0 ¼ 6 6

n ¼ 1 gir v ¼

5 5 6 11 þ1 ¼ þ ¼ 6 6 6 6

–1

n ¼ 2 gir v ¼

–1

Løsning: Vi finner først den generelle løsningen: pffiffiffi 3 tan v ¼ 3 5 v¼ þn 6 Vi prøver med forskjellige verdier for n:

v 2 ½ , i

in g

pffiffiffi 3 tan v ¼ , 3

Løsningene som ligger i intervallet ½ , i, er v ¼

5 og v ¼ . 6 6

Løsning med CAS:

–1

til

v = 5p 6

1 x

–1

v =–p 6

Ku n

Oppgaver: 1.27–1.31

Løsningene er v ¼

5 og v ¼ . De er markert på figuren. 6 6

Likninger med tangens og sammensatte vinkler

Sammensatte vinkler

Vi vil finne løsningene til likningen pffiffiffi 3 sin 2v þ , v 2 ½0, i ¼ 6 2

2v +

p 6 v v

–1

pffiffiffi 3 Ettersom sin ¼ , får vi 3 2 pffiffiffi 3 ¼ sin 2v þ 6 2

p 6

in g

pffiffiffi 3 , er sinusverdien til Legg merke til at høyre side i likningen, 2 vinkelen 2v þ . Av figuren ser vi at vinkelen vi skal finne, v, 6 er en del av den sammensatte vinkelen 2v þ . Men finnes det 6 flere løsninger enn vinkel v på figuren?

–1

¼ þ n 2 6 3 2 2v ¼ þ n 2 3 6 4 þ n 2 2v ¼ 6 6 2v ¼ þ n 2 2 v ¼ þn 4

2v þ

¼ þ n 2 6 3 2v ¼ þ n 2 3 6 2 2v ¼ þ n 2 6 6 2v ¼ þ n 2 6 v¼ þn 12

2v þ

Sammensatte vinkler:

y p 6

v v 1x

–1

til

Ovenfor har vi brukt variablene u og v om den ukjente i trigonometriske likninger. Regningen blir den samme om vi i stedet bruker x som variabel. Da betyr x den ukjente vinkelen, og altså ikke x-koordinaten til vinkelpunktet på enhetssirkelen.

1 3 2

Vi prøver oss fram med forskjellige verdier av n: n ¼ 0 gir v ¼ þ0 ¼ n ¼ 0 gir v ¼ þ 0 ¼ 12 12 4 4 5 13 n ¼ 1 gir v ¼ þ 1 ¼ þ1 ¼ n ¼ 1 gir v ¼ 4 4 12 12 Det er bare løsningene v ¼ og v ¼ som ligger i intervallet ½0, i. 12 4 Figurene i margen viser løsningsvinklene.

Ku n

–1 v=

1 p 6

p 12 y 3 2 v v 1 x

–1

–1 v=

p 4

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

EK SEMPEL 11 Løs likningen:

pffiffiffi 2 , cos ð3x 30 Þ ¼ 2

x 2 ½0 , 360 i

Løsning:

pffiffiffi 2 cos ð3x 30 Þ ¼ 2

3x 30 ¼ 45 þ n 360 3x ¼ 45 þ 30 þ n 360 j:3

x ¼ 25 þ n 120

n¼1 n¼2 n¼3

3x 30 ¼ 45 þ n 360

Vi prøver oss fram med forskjellige verdier av n: gir v ¼ 25 þ 0 120 ¼ 25 n ¼ 0 gir gir v ¼ 25 þ 1 120 ¼ 145 n ¼ 1 gir gir v ¼ 25 þ 2 120 ¼ 265 n ¼ 2 gir gir v ¼ 25 þ 3 120 ¼ 385 n ¼ 3 gir

n¼0

3x ¼ 45 þ 30 þ n 360 3x ¼ 15 þ n 360

3x ¼ 75 þ n 360

in g

v ¼ 5 þ 0 120 ¼ 5

v ¼ 5 þ 1 120 ¼ 115 v ¼ 5 þ 2 120 ¼ 235 v ¼ 5 þ 3 120 ¼ 355

L ¼ f25 , 115 , 145 , 235 , 265 , 355 g

Løsning med CAS:

til

Oppgaver: 1.32–1.34

Vi får samme løsning som over.

Oppgaver

1.27 Vi har gitt likningen tan v ¼ 1. Løs likningen når

j:3

x ¼ 5 þ n 120

Løsningene for vinkel x som ligger i intervallet ½0 , 360 i, er:

Ku n

v2R

v 2 ½0 , 360 i

1.28 Løs likningene: pffiffiffi a 3 tan v ¼ 3, v 2 ½0 , 360 i pffiffiffi b 3tan v ¼ 3, v 2 ½ , i

v 2 ½0, 2 i

tan v ¼ 0, v 2 ½ 180 , 180 i

Likninger med tangens og sammensatte vinkler

1.32 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy: pffiffiffi a 3 tan 2x ¼ 3, x 2 ½0, 2 i

tan v ¼ 0,5, v 2 ½0, 2 i

3 tan v ¼ 2, v 2 ½0 , 360 i

5 tan v ¼ 7, v 2 ½ , i

tan v ¼ 0,36, v 2 ½ 180 , 180 i

b c

v (i radianer)

tan v

0,37

0,38

0,66

0,78

0,96

1,43

v (i grader)

Løs likningene: tan v ¼ 0,38, v 2 ½0, 2 i

tan v ¼ 0,78, v 2 ½ , i

tan v ¼ 0,78, v 2 ½ 360 , 0 i

tan v ¼ 1,43, v 2 ½ 180 , 180 i

1.31

1.34 Løs likningene:

1.33 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy: pffiffiffi 3 a sin x ¼ , x 2 ½0, 24i 12 2 pffiffiffi x 2 þ , x 2 ½0, 4 i b cos ¼ 2 2 2 pffiffiffi 3 c tan 2x , x 2 ½0, i ¼ 3 3

1.30 Tabellen viser tilnærmingsverdier for tangens til noen utvalgte vinkler. Vi bruker at 3,14.

til

(–0,62, 0,78) c

(1, 0,73)

5p 7

p 5

Ku n

–1

1 sin ð2x þ 10 Þ ¼ , x 2 ½0 , 360 i 2 pffiffiffi 2 þ ¼ 0, x 2 ½0, i cos 2x þ 3 2

in g

1.29 Løs likningene:

–1

0,78 1,26. 0,62 Bruk figuren til å løse likningene: Du får vite at

tan x ¼ 0,73, x 2 ½0, 2 i

tan x ¼ 1,26, x 2 ½ , i

tan x ¼ 0,73, x 2 ½0, 2 i

pffiffiffi 2 cos ð3x þ 60 Þ þ 3 ¼ 0, v 2 ½0 , 180 i pffiffiffi pffiffiffi 1 2 2 sin v ¼ , v 2 ½0, 2 i ðsin vÞ2 þ 2 4

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

1.5 Enhetsformelen UTFORSK

in g

Jobb sammen to og to Du trenger: GeoGebra 1

Tegn en enhetssirkel i GeoGebra og merk av punktet Pða, bÞ et tilfeldig sted på sirkelbuen. Regn ut a2 þ b2 . Hva får du?

–1

1 x

Figuren viser enhetssirkelen med en tilfeldig vinkel u i grunnstilling med ! vinkelpunktet Pðcos u, sin uÞ. Vektoren fra origo til vinkelpunktet er dermed OP . Vi får: ! OP ¼ ½cos u, sin u qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! j OP j ¼ ðcos uÞ2 þ ðsin uÞ2 ! Ettersom vektoren har lengde lik radien i enhetssirkelen, er j OP j ¼ 1. Da får vi at: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðcos uÞ2 þ ðsin uÞ2 ¼ 1

OP = [cos u, sin u] O –1

P(cos u, sin u)

Gjenta punkt 1 med andre punkter. Diskuter resultatet.

ðcos uÞ2 þ ðsin uÞ2 ¼ 12 ¼ 1

Heretter skriver vi ðcos uÞ2 som cos 2 u og ðsin uÞ2 som sin 2 u.

sin 2 u þ cos 2 u ¼ 1

ENHETSFORMELEN

til

cos 2 u ¼ 1 sin 2 u sin 2 u ¼ 1 cos 2 u

Enhetsformelen:

Ku n

sin 2 u þ cos 2 u ¼ 1

Enhetsformelen er et eksempel på det vi kaller trigonometriske identiteter. En identitet er en likning som er oppfylt for alle verdier av variablene. Uansett hvilke verdier vi setter inn for u i enhetsformelen, vil venstre og høyre side være like.

Reflekter og diskuter! Diskuter hvordan man kan bruke Pytagoras' setning til å vise enhetsformelen.

Vi kan bruke enhetsformelen til å finne de andre trigonometriske verdiene når vi kjenner verdien til én av dem.

Enhetsformelen

EKSEMPEL 12

Bestem den eksakte verdien til tan v.

Løsning: Vi har at sin 2 v þ cos 2 v ¼ 1.

3 sin v 5 ¼3 tan v ¼ ¼ 4 cos v 4 5

EKSEMPEL 13

pffiffiffi 3 Vi har gitt at tan u ¼ , og at vinkel u ligger i andre kvadrant. 3 a Bestem sin u og cos u ved regning. Bestem sin u og cos u grafisk.

Løsning:

pffiffiffi 3 tan u ¼ 3 pffiffiffi 3 sin u ¼ 3 cos u pffiffiffi 3 sin u ¼ 3 cos u

Ku n

til

9sin 2 u ¼ 3 cos 2 u

multipliserer med 3 og cos u kvadrerer på begge sider bytter ut cos u med 1 sin 2 u

9sin u ¼ 3ð1 sin uÞ 2

9sin 2 u ¼ 3 3 sin 2 u

12 sin 2 u ¼ 3 1 sin 2 u ¼ 4 sin u ¼

1 2

–1

(– 45 , – 35 )

2 4 16 9 ¼1 sin 2 v ¼ 1 cos 2 v ¼ 1 ¼ 5 25 25 rffiffiffiffiffi 9 3 ¼ sin v ¼ 25 5 3 Ettersom sin v < 0 i tredje kvadrant, er sin v ¼ , slik det er vist 5 i figuren til høyre.

in g

4 Du får vite at cos v ¼ , og at vinkel v ligger i tredje kvadrant. 5 a Bestem den eksakte verdien til sin v.

ordner likningen dividerer med 12

1 x

–1 Oppgaver: 1.35–1.37

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Vi tegner enhetssirkelen sammen med linja x ¼ 1 i GeoGebra. pffiffiffi pffiffiffi 3 3 , betyr det at sin u er ganger så stor som cos u. Når tan u ¼ pffiffiffi 3 3 3 . Vi finner vinkel u ved å trekke en Vi merker derfor av punktet 1, pffiffiffi 3 3 og origo. linje gjennom punktet 1, 3

in g

1 I andre kvadrant er sin u > 0, så derfor er sin u ¼ . 2 sin u sin u tan u ¼ , cos u ¼ cos u tan u 1 pffiffiffi 3 sin u 1 3 3 2 p ffiffiffi p ffiffi ffi p ffiffiffi cos u ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ 3 2 tan u 2 3 2 3 3

Skjæringspunktet mellom linja og enhetssirkelen i andre kvadrant er ð 0,866, 0,5Þ. Det betyr at cos u 0,866 og sin u ¼ 0,5.

(–0,866, 0,5)

x=1

0,5

til

u –1

Ku n

Oppgaver: 1.38–1.41

–0,5

0,5

(1, – 33 )

–1

Legg merke til at når vi løser problemet grafisk, får vi at cos u 0,866. pffiffiffi 3 Dette er en tilnærmingsverdi til den eksakte verdien . 2

Enhetsformelen

Reflekter og diskuter! 1 i deloppgave a i eksempel 13. 2 Så finner hun cos u på følgende måte: sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi rffiffiffi pffiffiffi 2 3 1 3 cos u ¼ 1 ¼ ¼ 2 2 4

Vi kan også bruke enhetsformelen for å forenkle uttrykk.

Skriv uttrykket så enkelt som mulig: cos 2 x 3 ðsin 2 x 2Þ sin x

cos 2 x 3 ðsin 2 x 2Þ sin x cos 2 x 3 sin 2 x þ 2 ¼ sin x

1 sin x 3 sin x þ 2 sin x 2

løser opp parentesen

setter cos 2 x ¼ 1 sin 2 x trekker sammen

til

Løsning:

EKSEMPEL 14

2 sin 2 x ¼ sin x

Ku n

¼ 2 sin x

Reflekter og diskuter!

Forklar hvorfor ulikheten

sin 2 v þ 3 > 5 cos 2 v

ikke har noen løsning.

Hvordan kan Karoline ha tenkt?

in g

Karoline finner at sin u ¼

forkorter brøken

Oppgaver: 1.42–1.44

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Oppgaver

Bestem den eksakte verdien til tan u.

1.36 5 Du får vite at cos x ¼ . Bestem sin x og 7 tan x når du får vite at vinkelen x ligger i fjerde kvadrant.

1.40 4 Vinkel v ligger i andre kvadrant, og tan v ¼ . 3 Bestem en eksakt verdi for sin v og cos v. 1.41

1.39 1 Du får vite at tan v ¼ , og at vinkel v ligger 2 i fjerde kvadrant. Finn eksakte verdier for sin v og cos v.

in g

1.35 Du får vite at vinkel u ligger i andre kvadrant, 1 og at sin u ¼ . 4 a Bestem den eksakte verdien til cos u.

(1, 125)

x=–2 3

y= 2 5 v

v 1 x

–1

1 x

til –1

x=1

(–1, 43 )

–1

x = –1

1.37 Figuren viser vinklene u og v i enhetssirkelen.

Bruk figuren til å finne eksakte verdier for sin u, cos u, tan u, cos v, sin v og tan v.

Ku n

Bruk digitalt verktøy til å finne ﬀu og ﬀv. Kontroller at de trigonometriske verdiene du har funnet i a, stemmer.

1.38

Vinkel u ligger i tredje kvadrant, og tan u ¼

pffiffiffi 3.

Bestem sin u og cos u ved regning.

Finn en tilnærmingsverdi for sin u og cos u ved å løse problemstillingen grafisk.

–1

Figuren viser vinklene u og v, enhetssirkelen, linjene 3 12 og 1, . x ¼ 1 og x ¼ 1 og punktene 1, 4 5 a Bestem eksakte verdier for tan u, sin u og cos u. b

Bestem eksakte verdier for tan v, sin v og cos v.

1.42 Skriv uttrykket enklere: 2 5 cos 2 v 4 sin 2 v þ 3. 1.43 Forenkle uttrykket:

1.44 Forenkle uttrykket:

2 cos 2 v 2 sin 2 v . cos v 2 cos 2 x þ 3 sin 2 x 3 . cos 2 x

Sum og differanse av vinkler

1.6 Sum og differanse av vinkler UTFORSK Du trenger: GeoGebra 1

Tegn en enhetssirkel i GeoGebra.

Merk av origo, Oð0, 0Þ og to punkter Aðx1 , y2 Þ og Bðx2 , y2 Þ vilkårlig på sirkelbuen. ! ! Tegn vektorene OA og OB .

3 4

–1

Forklar sammenhengen mellom svarene i 4 og 5.

Noen ganger er det nødvendig å kunne regne ut sinus og cosinus til en sum. Da kan vi finne eksakte verdier for flere vinkler, og omforme flere trigonometriske uttrykk.

P(cos u, sin u)

Q(cos v, sin v)

til

u–v u

Ku n

–1

–0,5

0,5

Regn ut skalarproduktet mellom de to vektorene på koordinatform: x1 x2 þ y1 y2 . ! ! ! ! Bruk vinkelverktøyet til å finne ﬀ ð OA , OB Þ og regn ut cos ﬀð OA , OB Þ.

in g

B 1

1 x

–1

Figuren over viser vinklene u, v og u v, som alle er tegnet i enhetssirkelen. Vinkelpunktene til vinkel u og v er Pðcos u, sin uÞ og Qðcos v, sin vÞ.

! ! Vektorene OP ¼ ½cos u, sin u og OQ ¼ ½cos v, sin v har begge lengden 1. Vinkelen mellom dem er u v.

–0,5

–1

Sum og differanse av vinkler:

1 x

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Vi kan finne cos ðu vÞ ved å regne ut skalarproduktet mellom vektorene på to forskjellige måter: Fra definisjonen av skalarproduktet: ! ! ! ! OP OQ ¼ j OP j jOQ j cos ðu vÞ ¼ 1 1 cos ðu vÞ ¼ cos ðu vÞ 2

in g

Skalarpoduktet på koordinatform: ! ! OP OQ ¼ ½cos u,sin u ½cos v,sin v

¼ cos u cos v þ sin u sin v

! ! De to uttrykkene for OP OQ må være like. Dermed har vi at cos ðu vÞ ¼ cos u cos v þ sin u sin v

Bevis

Vi kan bruke denne sammenhengen videre til å finne uttrykk for cos ðu þ vÞ og sin ðu þ vÞ. cos ðu þ vÞ ¼ cos u ð vÞ

¼ cos u cos ð vÞ þ sin u sin ð vÞ

¼ cos u cos v þ sin uð sin vÞ ¼ cos u cos v sin u sin v

sin ðu þ vÞ ¼ cos 90 ðu þ vÞ ¼ cos ð90 uÞ v ¼ cos ð90 uÞ cos v þ sin ð90 uÞ sin v

til

Ku n

¼ sin u cos v þ cos u sin v

Beviset for sin ðu vÞ kan du gjøre selv i oppgave 1.168.

SUM O G D IFFERANSE AV VINKLER sin ðu þ vÞ ¼ sin u cos v þ cos u sin v sin ðu vÞ ¼ sin u cos v cos u sin v cos ðu þ vÞ ¼ cos u cos v sin u sin v cos ðu vÞ ¼ cos u cos v þ sin u sin v

Sum og differanse av vinkler

EKSEMPEL 15 Bestem den eksakte verdien til: cos 135

sin 15

Løsning: a Ettersom vi kjenner eksakte trigonometriske verdier for 45 og 90 , kan vi bruke at 135 ¼ 45 þ 90 : cos 135 ¼ cos ð45 þ 90 Þ ¼ cos 45 cos 90 sin 45 sin 90 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 2 2 2 0 1¼ ¼ 2 2 2 Ettersom vi kjenner eksakte trigonometriske verdier for 45 og 30 , kan vi bruke at 15 ¼ 45 30 :

in g

Oppgaver: 1.45–1.46

sin 15 ¼ sin ð45 30 Þ ¼ sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3 6 2 2 2 1 ¼ ¼ 4 2 2 2 2 Vi kan også bruke disse sammenhengene til å forenkle uttrykk.

EKSEMPEL 16 Skriv uttrykket enklere: cos ð x þ 60 Þ sin ð x 150 Þ

Løsning: Vi regner de to leddene hver for seg:

til

cos ðx þ 60 Þ ¼ cos x cos 60 sin x sin 60 pffiffiffi 1 3 ¼ cos x sin x 2 2 pffiffiffi 3 1 sin x ¼ cos x 2 2

Ku n

sin ðx 150 Þ ¼ sin x cos 150 cos x sin 150 pffiffiffi 3 1 ¼ sin x cos x 2 2 pffiffiffi 3 1 ¼ sin x cos x 2 2 Vi trekker uttrykkene fra hverandre: pffiffiffi pffiffiffi 3 3 1 1 sin x sin x cos x cos x 2 2 2 2 pffiffiffi pffiffiffi 3 3 1 1 sin x þ sin x ¼ cos x ¼ cos x þ cos x 2 2 2 2

Oppgaver: 1.47–1.50

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

EK SEMPEL 17 på formen a sin u þ b cos u. Skriv uttrykket 2 cos u þ 6

in g

Løsning: Vi bruker formelen cos ðu þ vÞ ¼ cos u cos v sin u sin v: 2 cos u þ ¼ 2 cos u cos sin u sin 6 6 6 pffiffiffi 3 1 sin u ¼ 2 cos u 2 2 pffiffiffi 3cos u sin u ¼2 2 2 pffiffiffi ¼ sin u þ 3 cos u

Husk! pffiffiffi 3 cos ¼ 2 6 1 sin ¼ 6 2

Oppgaver: 1.51–1.53

Dobbel vinkel

Når vi løser trigonometriske problemer, kommer vi også borti doble vinkler. Da kan vi bruke sammenhengen vi nettopp har lært: sin 2u ¼ sin ðu þ uÞ ¼ sin u cos u þ cos u sin u ¼ 2 sin u cos u

cos 2u ¼ cos ðu þ uÞ ¼ cos u cos u sin u sin u ¼ cos 2 u sin 2 u tan 2u ¼

sin 2u 2 sin u cos u ¼ cos 2u cos 2 u sin 2 u

til

Ku n

2 sin u cos u sin u 2 2u 2tan u cos cos u ¼ ¼ ¼ cos 2 u sin 2 u cos 2 u sin 2 u 1 tan 2 u cos 2 u cos 2 u cos 2 u

Legg merke til at vi også kan skrive om uttrykket for cos 2u: cos 2u ¼ 1 sin 2 u sin 2 u ¼ 1 2 sin 2 u cos 2u ¼ cos 2 u 1 cos 2 u ¼ 2 cos 2 u 1

Sum og differanse av vinkler

DOBBEL VINKEL sin 2u ¼ 2 sin u cos u cos 2u ¼ cos 2 u sin 2 u

in g

¼ 1 2 sin 2 u ¼ 2 cos 2 u 1 2tan u 1 tan 2 u

EKSEMPEL 18

Uttrykk sin 3x ved sin x.

Uttrykk sidelengden AC med cos x.

I trekant ABC til høyre er ﬀA ¼ x, ﬀB ¼ 2x og AB ¼ 4.

tan 2u ¼

2x 4

Løsning: sin 3x ¼ sin ðx þ 2xÞ ¼ sin x cos 2x þ cos x sin 2x a ¼ sin x 1 2 sin 2 x þ cos x 2 sin x cos x ¼ sin x 2 sin 3 x þ 2 sin x cos 2 x ¼ sin x 2 sin 3 x þ 2 sin x 1 sin 2 x

¼ sin x 2 sin 3 x þ 2 sin x 2 sin 3 x

AC AB ¼ . Vi får da: sin ffB sin ffC AB sin ffB 4 sin 2x ¼ AC ¼ sin ffC sin ð180 3xÞ

Sinussetningen gir at

Ettersom 3x og ð180 3xÞ er supplementvinkler, har vi at:

Ku n

til

¼ 3 sin x 4 sin 3 x

4 sin 2x 4 sin 2x 8sin x cos x ¼ ¼ sin ð180 3xÞ sin 3x 3 sin x 4 sin 3 x ¼

8 sin x cos x 8 cos x ¼ sin xð3 4 sin 2 xÞ 3 4 sin 2 x

Enhetsformelen gir oss at sin 2 x ¼ 1 cos 2 x: 8 cos x 8 cos x 8 cos x 8 cos x ¼ ¼ ¼ 3 4 sin 2 x 3 4ð1 cos 2 xÞ 3 4 þ 4 cos 2 x 4 cos 2 x 1

Sidelengden AC ¼

8 cos x . 4 cos 2 x 1

Oppgaver: 1.54–1.56

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Oppgaver

sin 75

1.52

cos 75

tan 75

1.53

1.46 Bestem eksakte verdier for: sin 105

cos 105

tan 105

1.54

1.47 Forenkle uttrykkene:

sin ðv þ 60 Þ þ cos ðv þ 30 Þ sin v þ cos v 4 4

Hvilken sammenheng har du bevist i a?

til

1.49 a Bruk regnereglene for sum og differanse av vinkler til å skrive uttrykkene sin ð uÞ og cos ð180 vÞ enklere. b

1.48 a Bruk regnereglene for sum og differanse av vinkler til å skrive uttrykkene sin ð90 uÞ v enklere. og cos 2 b

på formen Skriv uttrykket 2 sin x 6 a sin x þ b cos x.

pffiffiffi på formen Skriv uttrykket 2 cos u 4 a sin u þ b cos u.

in g

1.45 Bestem eksakte verdier for:

6 cos 2 v 3 cos 2v

sin 2v sin v

1.51

Forklar at x 2 h0 , 60 i.

Vis at BC ¼

Finn sidelengden AC uttrykt med sin x.

Vis at arealet av trekanten kan skrives 2 sin 2x som . 3 4 sin 2 x

4 cos x . 3 4 sin 2 x

1.55 Uttrykk cos 3u ved cos u.

1.50 Forenkle uttrykkene: a

I en trekant ABC er ﬀA ¼ 2x, ﬀB ¼ x og AB ¼ 2.

Hvilken sammenheng har du bevist i a?

Ku n

cos 2v sin v cos v

på formen Skriv uttrykket 2 cos v 3 a sin v þ b cos v.

1.56 a Bruk sammenhengene for sin ðu þ vÞ og cos ðu þ vÞ til å vise at tan u þ tan v . tan ðu þ vÞ ¼ 1 tan u tan v b

2 tan u og bruk dette til 1 tan 2 u å finne tan 3u uttrykt ved tan u. Vis at tan 2u ¼

Sammensatte trigonometriske likninger

1.7 Sammensatte trigonometriske likninger

in g

Vi skal se på hvordan vi kan løse likninger der de trigonometriske funksjonene inngår i mer sammensatte uttrykk.

EKSEMPEL 19 Vi har gitt likningen 3 cos 2 v cos v 1 ¼ 0, 2

v 2 ½0 , 720 i

Løsning: Hvis vi setter cos u ¼ z, får vi: 3 z2 z 1 ¼ 0 2 Vi løser andregradslikningen med metoden med sum og produkt:

3 1 To tall som har summen og produktet 1, er og 2. 2 2 1 1 1 eller z ¼ 2 , cos v ¼ eller cos v ¼ 2. z þ ðz 2Þ ¼ 0 , z ¼ 2 2 2 Ettersom cos v 2 ½ 1, 1 , har ikke likningen cos v ¼ 2 noen løsning.

til

1 cos v ¼ gir oss løsningen 2 120 þ n 360 v¼ 120 þ n 360

Vi prøver oss fram med forskjellige verdier av n: n ¼ 0 gir v ¼ 120 þ 0 360 ¼ 120 n ¼ 0 gir v ¼ 120 þ 0 360 ¼ 120 n ¼ 1 gir v ¼ 120 þ 1 360 ¼ 480 n ¼ 1 gir v ¼ 120 þ 1 360 ¼ 240 n ¼ 2 gir v ¼ 120 þ 2 360 ¼ 840 n ¼ 2 gir v ¼ 120 þ 2 360 ¼ 600

Ku n

Løsningene som ligger i intervallet ½0 , 720 i, er: v ¼ 120 , v ¼ 240 , v ¼ 480 og v ¼ 600

Løsning med CAS: 1

Vi får samme løsning som over.

Oppgaver: 1.57–1.58

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Veien om tangens

EK SEMPEL 20 Løs likningen: pffiffiffi 3 sin 2x þ 3 cos 2x ¼ 0,

in g

Når vi har en likning på formen asin x þ bcos x ¼ 0, kan vi omforme likningen til en tangenslikning ved å dividere med cos x. Vi mister ingen løsninger ved å gjøre dette, siden sin x og cos x aldri er null for den samme verdien av x.

x 2 ½0, 2 i

til

Løsning: pffiffiffi pffiffiffi 3 sin 2x þ 3 cos 2x ¼ 0 : 3 pffiffiffi sin 2x þ 3 cos 2x ¼ 0 pffiffiffi 3 cos 2x sin 2x 0 þ ¼ cos 2x cos 2x cos 2x pffiffiffi tan 2x ¼ 3 pffiffiffi 2 tan 2x ¼ 3 ) 2x ¼ þn ) x ¼ þn 3 3 2 Vi prøver med forskjellige verdier for n for å finne løsninger i intervallet ½0, 2 i. n ¼ 0 gir x ¼ þ 0 ¼ 3 2 3 2 3 5 n ¼ 1 gir x ¼ þ 1 ¼ þ ¼ 3 2 6 6 6 3 4 n ¼ 2 gir x ¼ þ 2 ¼ þ ¼ 3 2 3 3 3 9 2 11 n ¼ 3 gir x ¼ þ 3 ¼ þ ¼ 3 2 3 6 6 5 4 11 , , , L¼ 3 6 3 6

Ku n

Oppgaver: 1.59–1.60

Sammensatte trigonometriske likninger:

Løsning med CAS: 1

Vi får samme løsning som over.

Enhetsformelen kan hjelpe oss til å omskrive en likning slik at den blir lettere å løse. I det neste eksempelet bruker vi problemløsningsstrategier for å løse en sammensatt trigonometrisk likning.

Sammensatte trigonometriske likninger

EKSEMPEL 21 Du får vite at tan 76 4. Løs likningen x 2 ½0 , 360 i

Løsning: 1 Forstå problemet Vi skal finne en vinkel x som gjør at venstre side har verdien 2. Vi ser at likningen er av andre grad, men vi har både cos x og sin x i likningen. Venstre side kan vi skrive om til et uttrykk med tangens, men problemet er at det står 2 på høyre side. Lage en plan Vi kan bruke enhetsformelen til å skrive om høyre side i likningen: 2 2 ¼ 2 1 ¼ 2 ðsin x þ cos 2 x Þ ¼ 2 sin 2 x þ 2 cos 2 x |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 1

Problemløsning 1 Forstå problemet 2 Lage en plan 3 Gjennomføre planen 4 Se tilbake

in g

3 sin 2 x 5 sin x cos x þ 6 cos 2 x ¼ 2,

Ettersom sin x og cos x aldri er null for den samme verdien av x, kan vi skrive om til en tangenslikning ved å dividere med cos 2 x på begge sider uten å miste løsninger. Gjennomføre planen Vi samler alle ledd på venstre side:

3 sin 2 x 5 sin x cos x þ 6 cos 2 x ¼ 2 sin 2 x þ 2 cos 2 x 3 sin 2 x 2 sin 2 x 5 sin x cos x þ 6 cos 2 x 2 cos 2 x ¼ 0 sin 2 x 5 sin x cos x þ 4 cos 2 x ¼ 0

Vi dividerer med cos 2 x på begge sider:

til

sin 2 x 5 sin x cos x 4 cos 2 x 0 þ ¼ cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x tan 2 x 5tan x þ 4 ¼ 0

Vi setter tan x ¼ u og løser andregradslikningen u2 5u þ 4 ¼ 0, som gir: u ¼ 1 _ u ¼ 4 ) tan x ¼ 1 _ tan x ¼ 4

Ku n

Ettersom vi vet at tan 45 ¼ 1 og tan 76 4, får vi de generelle løsningene x ¼ 45 þ n 180

x 76 þ n 180 n ¼ 0 gir x 76 þ 0 180 76 n ¼ 0 gir x ¼ 45 þ 0 180 ¼ 45 n ¼ 1 gir x ¼ 45 þ 1 180 ¼ 225 n ¼ 1 gir x 76 þ 1 180 256 og

Løsningene som ligger i intervallet ½0 , 360 i, er: x ¼ 45 , x 76 , x ¼ 225 og x 256

Se tilbake Vi ser at vi kan løse trigonometriske andregradslikninger som består av både sin x, cos x og konstanter, ved å skrive om til en tangenslikning og å bruke enhetsformelen.

Oppgaver: 1.61–1.62

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

EK SEMPEL 22 Finn den generelle løsningen av likningen sin x cos 2x ¼ 0.

Løsning: sin x ð1 2 sin 2 xÞ ¼ 0 2 sin 2 x þ sin x 1 ¼ 0

in g

Vi setter cos 2x ¼ 1 2 sin 2 x inn på venstre side av likningen: ordner likningen

1 Vi løser andregradslikningen og får at sin x ¼ 1 eller sin x ¼ . 2 3 þ n 2 . sin x ¼ 1 har den generelle løsningen x ¼ 2

1 1 ¼ , har sin x ¼ den generelle løsningen 6 2 2 5 eller x ¼ þ n 2 ¼ þ n 2 x ¼ þ n 2 6 6 6 Likningen cos 2x þ sin x ¼ 0 har den generelle løsningen 8 3 > > þ n 2 > > 2 > > < þ n 2 x¼ > 6 > > > > > : 5 þ n 2 6

Oppgaver: 1.63–1.65

Ettersom sin

til

Reflekter og diskuter!

Ku n

Diskuter hvorfor likningen sin x ¼ 1 bare har én løsning i første omløp.

Likningen sin x ¼ 0 har den generelle løsningen n 2 x¼ þ n 2

Hvordan kan vi skrive denne generelle løsningen enklere?

Sammensatte trigonometriske likninger

Oppgaver 1.62 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy:

in g

1.57 Løs likningene: a

cos 2 x cos x 2 ¼ 0, x 2 ½0 , 360 i

2 cos 2 x þ 5 sin x þ 1 ¼ 0,

5 3 sin 2 x þ sin x ¼ 0, x 2 ½0, 2 i 2 2

sin 2 x þ 6 sin x cos x þ cos 2 x ¼ 2, x 2 ½ 180 , 180 i

x 2 ½0 , 360 i

2 sin 2 x 7sin x 4 ¼ 0,

2 cos 2 x þ 3 cos x 2 ¼ 0, x 2 ½ 2 , 0i

6 sin 2 x sin 2x 3 cos 2 x ¼ 5,

1.60 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy:

2 sin ð2x þ 20 Þ 2 cos ð2x þ 20 Þ ¼ 0, x 2 ½0 , 180 i pffiffiffi 3 sin x 3 cos x ¼ 0, x 2 ½0, 12i 6 6

til

Løs likningen for hånd når du får vite at tan 1,33 4, tan 1,11 2 og 3,14.

Løs likningen med CAS og sammenlikn løsningene dine.

1.64 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy:

sin x cos x ¼ 0, x 2 ½0 , 360 i pffiffiffi 3 sin x 3 cos x ¼ 0, x 2 ½0, 2 i

1.61 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy: x 2 ½0 , 360 i

2 cos 2 x ¼ 1,

3 sin 2 x 5 cos 2 x ¼ 1, x 2 ½ , 0i

Ku n

x 2 ½0, 2 i

1.59 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy: a

1.63 Vi har gitt likningen:

1.58 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy:

x 2 ½0 , 360 i

cos 2x þ sin 2x þ 1 ¼ 0, x 2 ½0, 2 i pffiffiffi sin 2x þ 3 cos x ¼ 0, x 2 ½0 , 360 i

1.65 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy: pffiffiffi 3 2 sin x cos x ¼ a , x 2 ½0, i 2 2 cos x sin x 3 pffiffiffi pffiffiffi b 2 sin x cos x ¼ 3 2 3 sin 2 x, x 2 ½0 , 360 i

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

MØNSTER OG OVERSIKT Enhetssirkelen er en sirkel med sentrum i origo og radius 1. 1 (cos u, sin u)

Supplementvinkler er to vinkler som til sammen er 180 . y

(–a, b)

(a, b)

in g

Enhetssirkelen

180° – v

sin u

u cos u

1 x

sin ð180 vÞ ¼ sin v

cos ð180 vÞ ¼ cos v

Trigonometriske likninger

Likningen sin v ¼ b har løsningen: v0 þ n 360 v¼ 180 v0 þ n 360 eller v0 þ n 2 v¼ v0 þ n 2

cos u ¼ førstekoordinaten til vinkelpunktet sin u ¼ andrekoordinaten til vinkelpunktet sin u tan u ¼ cos u

Komplementvinkler og supplementvinkler Komplementvinkler er to vinkler som til sammen er 90 .

(a, b)

til v

Likningen cos v ¼ a har løsningen: v¼

y=x

v0 þ n 360

v¼

eller

v0 þ n 2

Likningen tan v ¼ c har løsningen: v ¼ v0 þ n 180

(b, a)

eller

v ¼ v0 þ n

Da er v0 én av løsningene.

90° – v

Ku n

sin ð90 vÞ ¼ cos v

cos ð90 vÞ ¼ sin v

Enhetsformelen sin 2 u þ cos 2 u ¼ 1

Når vi kjenner verdiene til én av de trigonometriske verdiene og hvilken kvadrant vinkelen ligger i, kan vi bruke enhetsformelen til å finne de andre trigonometriske verdiene. 3 og 5 4 ligger i første kvadrant, vet vi at cos v ¼ , 5 ettersom begge verdiene er positive 2 2 3 4 i første kvadrant og þ ¼ 1. 5 5 Hvis vi for eksempel vet at sin v ¼

Mønster og oversikt

Avgjør om påstandene stemmer

Komplementvinkler er to vinkler som til sammen blir 180 .

Sinus til en vinkel i grunnstilling er negativ hvis det andre vinkelbeinet ligger i tredje eller fjerde kvadrant.

Det er uendelig mange løsninger på likningen sin v ¼ b når b 2 ½ 1, 1 . sin u ¼ cos u 2 tilsvarer 70 . 5

Vi kan finne eksakte verdier av vinkler ved å bruke sammenhengen vÞ ¼ sin u cos v vÞ ¼ cos u cos v 1

cos u sin v sin u sin v

P(cos u, sin u) Q(cos v, sin v)

u–v u O

1 x

For eksempel er

sin 75 ¼ sin ð30 þ 45 Þ

til

¼ sin 30 cos 45 þ cos 30 sin 45 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3 6þ 2 1 2 2 ¼ þ ¼ 4 2 2 2 2

Sammenhengen over gir oss de trigonometriske verdiene til doble vinkler: sin 2u ¼ 2 sin u cos u

cos 2u ¼ cos 2 u sin 2 u ¼ 2 cos 2 u 1

Ku n

¼ 1 2 sin 2 u

tan 2u ¼

2tan u 1 tan 2 u

Når klokka er kvart over fem, er vinkelen mellom 3 de to viserne . 8

Likningen tan u ¼ b har ingen løsninger når 1 < b < 1.

Ulikheten 2 sin 2 x ingen løsning.

–1

sin ðu cos ðu

in g

Sum og differanse av vinkler

3 2 cos 2 x har

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Test deg selv

Bruk symmetri på enhetssirkelen til å finne sin 210 , cos 210 og tan 210 .

1.67 Gjør om fra grader til radianer: 80

225

3 4

1.68 Gjør om fra radianer til grader: 5

1.69

2 5

3 og at x ligger i andre kvadrant. 7 Finn eksakte verdier for cos x og tan x.

Du får vite at sin x ¼

til

1.70 Finn største og minste verdi for uttrykkene: a

sin 2 x þ 2 cos 2 x

En lysstråle blir brutt når den går fra vann til luft. Sammenhengen mellom innfallsvinkelen og brytningsvinkelen kan uttrykkes ved

Vann

Luft

1.72

Ly ss tr å le

1.66 a Vis hvordan vi finner eksakte verdier for sin 30 , cos 30 og tan 30 .

in g

Med hjelpemidler

Uten hjelpemidler

2 þ 2 sin 2x

1.71 Løs likningene når x 2 ½0, 360 i: pffiffiffi a 3 tan 2x ¼ 3

Ku n

sin 4 ¼ sin 3

Finn når er 37 .

Finn når er 45 .

Bestem begge vinklene når innfallsvinkelen er 50 % større enn brytningsvinkelen .

1.73 Løs likningene grafisk og med CAS når du får vite at x 2 ½0 , 360 i:

sin ð x 30 Þ cos ð x 30 Þ ¼ 0

sin x ¼ 0,45

1 þ cos x ¼ sin x

cos x ¼ 0,3

tan x ¼ 3

Test deg selv

1.75 Løs likningene: pffiffiffi a 3 sin 2x þ þ 3 cos 2x þ ¼ 0, 4 4 b

5 sin x þ sin x cos x 2 cos x ¼ 4, x 2 ½ 180 , 180 i 2

Vis at AC ¼ 6cos x.

Finn AB og CD uttrykt ved x.

Vis at arealet AðxÞ av trekanten kan skrives som pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AðxÞ ¼ 36cos 3 x 1 cos 2 x

Finn det største arealet trekanten kan ha. Hvor stor er x da? Tips: Sett cos x ¼ u og bruk derivasjon.

Ku n

til

x 2 ½0, 2 i

in g

1.74 CT er diameter i en sirkel med radius 3. Trekanten ABC, der AC ¼ BC, er innskrevet i sirkelen. Vinkelen mellom CT og CA kaller vi x. CD står vinkelrett på AB, og ﬀCAT ¼ 90 . Se figuren:

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

Oppgaver

1.76 Finn eksaktverdiene for hånd. Kontroller utregningen med CAS. sin 30 cos 30 þ cos 30 sin 60

1.80 Finn eksaktverdiene til sin x, cos x og tan x for:

cos 45 cos 60 sin 45 sin 60

ðcos 30 Þ2 þðsin 30 Þ2 þðtan 30 Þ2

(–0,6, 0,8) (–0,76, 0,65)

(0,4, 0,92)

58,39°

1 x

–44,43°

(–0,6, –0,7)

x ¼ 0

x ¼ 30

(0,71, –0,7)

til

(–0,71, –0,7)

–1

sin 139,46

tan 58,39

x ¼ 270

x ¼ 300

x ¼ 360

x ¼ 225

1.81 Tegn en enhetssirkel i GeoGebra og bruk verktøyet «Vinkel med fast størrelse» til å tegne vinklene 56 , 146 og 254 i grunnstilling. Bruk det du har tegnet, til å finne: a

sin 56 , cos 56 og tan 56

sin 146 , cos 146 og tan 146

sin 254 , cos 254 og tan 254

1.82 Tegn en enhetssirkel i GeoGebra og tegn en vinkel på 30 i grunnstilling. a

Finn alle vinkler i de to første omløpene som har samme sinusverdi.

Finn alle vinkler i de to første omløpene som har samme cosinusverdi.

Finn alle vinkler i de to første omløpene som har samme tangensverdi.

Bruk figuren til å finne: a

139,46° –1

(0,76, 0,65) (0,4, 0,65)

(–0,6, 0,51)

1.77 1

sin ðffA þ ffBÞ ¼ sin ðffCÞ

1.79 Tegn en vilkårlig trekant ABC og bruk denne til å forklare at:

in g

1.1 Enhetssirkelen

Ku n

cos 315,57

1.78 Du får vite at sin 32 0,530, og at cos 32 0,848. Bruk disse opplysningene til å finne: a

cos 58

sin 148

sin 58

cos 148

Oppgaver

Finn alle vinkler i de to første omløpene som har sinusverdi med samme tallverdi, men med motsatt fortegn. Finn alle vinkler i de to første omløpene som har cosinusverdi med samme tallverdi, men med motsatt fortegn. Finn alle vinkler i de to første omløpene som har tangensverdi med samme tallverdi, men med motsatt fortegn.

Skriv et program i Python som ber en bruker om en positiv vinkel i radianer og oppgir vinkelen i grader.

Utvid programmet i b slik at det også skriver ut hvilket omløp vinkelen ligger i.

1.88 a Vinkelen i en sirkelsektor er 1,4 radianer. Buelengden er 3,5. Hva er radien i sirkelen? b

405

10 3

3 4

4 3

2 5

7 3

Ku n import math

grader = float(input('vinkel: '))

radianer = grader*math.pi/180

print(radianer)

e f

11 6 10 3

1 2

Timeviser

Minuttviser

En sirkelsektor har buelengden b ¼ og 6 3 arealet A ¼ . Bestem radien r i sirkelsektoren. 4

1.86

1.87 a Forklar hva programmet under gjør:

7 6 5 4

1.90

til

1.85 Gjør om fra radianer til grader for hånd. Kontroller svaret ditt med CAS: a

5 Vinkelen i en sirkelsektor er , og radien er . 2 7 Bestem en eksakt verdi for buelengden.

målt i grader

1.89 Finn eksaktverdiene til sin x, cos x og tan x når x er:

1.84 Gjør om fra grader til radianer for hånd. Kontroller svaret ditt med CAS: b

målt i radianer

1.2 Grader og radianer

120

3 og radien er 5. I en sirkelsektor er buelengden 4 Hvor stor er vinkelen 1

in g

1.83 Tegn en enhetssirkel i GeoGebra og tegn en vinkel på 60 i grunnstilling.

4 7

Finn den minste vinkelen i både grader og radianer mellom de to urviserne når klokka er: a

kvart over tre

ti på halv sju

halv åtte

5 Hva er klokka når vinkelen mellom urviserne er ? 24 Finnes det flere løsninger?

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

1.3 Likninger med sinus og cosinus

1.96

66°

–1

sin v ¼ 1, v 2 ½0 , 360 i pffiffiffi sin v ¼ 2, x 2 ½0 , 360i

1.92

pffiffiffi 2 når Løs likningen cos v ¼ 2 a v2R c v 2 ½0, 2 i v 2 ½0 , 360 i

1.93

b c

1 cos v ¼ , v 2 ½0 , 360 i 2 3 þ 2 cos v ¼ 7 cos v, v 2 ½0 , 360 i pffiffiffi 3 cos v ¼ , v 2 ½0, 2 i 2

–1

Bruk figuren til å løse likningene når v 2 ½0 , 360 i.

1.94 Løs likningene grafisk og med CAS:

b c

sin v ¼ 0,91

sin v ¼ 0,41

cos v ¼ 0,41

cos v ¼ 0,91

1.97

Marcus og Martinus skal dele et kakestykke i to like store deler. Kakestykket er formet som en sirkelsektor. Marcus foreslår at de skal dele det slik at den ene får et trekantet stykke, mens den andre får et halvmåneformet stykke (se figur).

sin v ¼ 0,56, 3 cos v ¼ , 7 5 2 sin v ¼ , 2

Stykke 2

v 2 ½0 , 2 i

Delingslinje

til

1 x

(0,41, 0,91)

in g

1.91 Løs likningene: pffiffiffi 2 , v 2 ½0, 2 i a sin v ¼ 2 pffiffiffi b 2 sin v ¼ 3, v 2 ½0, 2 i

v 2 ½0 , 360 i

Ku n

1.95 Amir mener at den generelle løsningen på pffiffiffi 2 er likningen sin v ¼ 2 8 > < þ n 2 4 v¼ 3 > : þ n 2 4 Charlotte mener at det finnes flere løsninger. Diskuter hvem som har rett. Hvor mange løsninger finnes det?

r Stykke 1

Martinus finner ut at for at de skal få like store stykker, må de løse likningen v ¼ 2 sin v. a

Vis hvordan Martinus har kommet fram til denne likningen.

Finn den verdien av v som gir dem like store stykker.

Oppgaver

1.98 Vi har gitt likningen tan v ¼ 1. Løs likningen når a b

v2R

v 2 ½0, 2 i

v 2 ½0 , 360 i

3 sin 2x ¼ 2,

1 2 cos x 1 ¼ , 4

tan x ¼ 3,47,

x 2 ½ , i

1.104 Løs likningene: 1 a cos uþ ¼ 1, u 2 ½0, 6 i 3 4 pffiffiffi 3 , u 2 ½0, 24i u ¼ b tan 3 12 3 pffiffiffi 2 c sin 2u þ , u 2 ½0, 2 i ¼ 2 6

1.5 Enhetsformelen

tan ð2xÞ ¼ 1 x 2 ½0 , 180 i pffiffiffi 3 sin x ¼ , x 2 ½ 4, 0i 2 2

1.100 Løs likningene:

1.99 Løs likningene: pffiffiffi 3 a tan v ¼ , v 2 ½0, 2 i 3 pffiffiffi b 3tan v 3 ¼ 0, v 2 ½ 360 , 0 i

1.103 Løs likningene:

in g

1.4 Likninger med tangens og sammensatte vinkler

x 2 ½0 , 360 i x 2 ½0, 2 i

Ku n

til

1.101 Finn en generell løsning av likningene: pffiffiffi a 2 sin x ¼ 3 8 pffiffiffi 2 b cos 2x þ ¼ 2 3 1 c sin 3x ¼ 4 2

1.102 Hvor mange løsninger kan likningen under maksimalt ha? tan 3u þ ¼ 0,6, u 2 ½0, 20 i 6

1.105

pffiffiffi 3 Du får vite at sin v ¼ , og at vinkel v ligger 3 i tredje kvadrant. a

Bestem den eksakte verdien til cos v.

Bestem den eksakte verdien til tan v.

1.106 2 Du får vite at cos x ¼ . Finn sin x og tan x når du 5 får vite at løsningen ligger i første kvadrant.

1.107 Finn eksakte verdier for sin v og tan v når du får vite at cos v ¼

12 , 13

v 2 ,

3 2

1.108 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy: a

3 cos 2 x sin 2 x ¼ 0,

cos 2 x 5 sin 2 x ¼ 2,

x 2 ½0, 360 i x 2 ½0, 360 i

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

1.113 Vi har cos v ¼

Vinkelen y ligger i intervallet h360 , 450 i. pffiffiffi 2 2 . Finn eksakt verdi for Vi har cos y ¼ 3 sin y og tan y.

f ðxÞ ¼ sin 2 x þ 3 cos 2 x þ 2 Finn største og minste funksjonsverdi.

1.110 4 Bestem sin v og cos v når tan v ¼ og 3 v er i første kvadrant.

1.111 Bestem de eksakte verdiene for de andre trigonometriske funksjonene når

tan v ¼ 3,

pffiffiffi 2 , sin w ¼ 2

v 2 ½180 , 270 i w 2 ,

1.112 y=2

y 2

1.114

3 , 2 2

cos u ¼

1.6 Sum og differanse av vinkler

3 2

12 , 13

7 . Finn eksakt verdi for sin v og 10 tan v i andre kvadrant.

in g

1.109 La f være funksjonen gitt ved

Areal: 3 r=1

x=1

til

–1

Ku n

1 x

–1

Figuren viser ﬀu, enhetssirkelen og linjene x ¼ 1 og y ¼ 2.

Bestem eksakte verdier for tan u, sin u og cos u.

pffiffiffi Figuren viser et rektangel med areal 3 som er innskrevet i en sirkel med radius 1. Bestem ffu på figuren.

1.115 a Bestem selv en vinkel v og regn ut: tan v tan ðv þ 90 Þ b

Gjenta punkt a med andre verdier for v.

Lag en regel for sammenhengen mellom tan v og tan ðv þ 90 Þ.

Vis at regelen stemmer ved å finne uttrykk for sin ðv þ 90 Þ og cos ðv þ 90 Þ.

Forklar hvorfor regelen bare gjelder når v 6¼ n 90 .

Oppgaver

b c

rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi u u 1 cos u . Sett v ¼ og vis at sin ¼ 2 2 2 Bruk formelen i b til å finne eksakt verdi for sin 15 .

1.120 I firkanten ABCD er AC ¼ 6, AD ¼ 5, ffB ¼ 90 , ffCAD ¼ 2x og ffBAC ¼ x. Vi forutsetter at 0 < x < 60 . a

Vis at arealet av firkanten er gitt ved A ¼ 24 sin 2x.

Du får vite at arealet av firkanten er 12. Hvor stor er ﬀBAC da?

Hva er det største arealet firkanten kan ha?

in g

1.116 a Uttrykk cos 2v med sin v.

1.121 Vis at sin ðu þ vÞ ¼ sin u cos v þ cos u sin v

1.118 Bruk formelen cos ðu þ vÞ ¼ cos u cos v sin u sin v 1 1 til å vise at cos 2 x ¼ þ cos 2x. 2 2

1.122 Skriv uttrykket enklere: sin 2x sin x cos 2x cos x þ 1

1.119

1.123

1.117 Løs likningene for hånd og med digitalt verktøy: 3 v 2 ½0, 2 i a cos 2v þ sin 2 v ¼ , 4 b sin 2u þ cos u ¼ 0, u 2 ½0 , 360 i

1 , . Vi vet at sin x ¼ , der x 2 3 2

Bestem cos x, tan x, sin 2x, cos 2x og tan 2x.

Løs likningen: sin 2x ¼

til

Ku n

Figuren viser et rektangel som er innskrevet i enhetssirkelen. Vinkelpunktet til ﬀv ligger på det øverste høyre hjørnet i rektangelet. a

Vis at vi kan skrive arealet av rektangelet som A ¼ 2 sin 2v, v 2 0, 2

Bestem ﬀv når arealet av rektangelet er størst mulig.

Bestem forholdet mellom arealet av sirkelen og arealet av rektangelet når arealet av rektangelet er størst.

4 pffiffiffi 2 x2 , 9 2

1.124 Skriv disse uttrykkene enklere: a

sin 2x cos x

cos 2x pffiffiffi 2cos ð x 45 Þ

1.125 I trekanten ABC er ﬀA ¼ x, ﬀB ¼ 2x og AB ¼ 4. a

Forklar hvorfor x 2 h0, 60 i:

Vis at cos ð90 3xÞ ¼ 3 sin x 4 sin 3 x.

Finn AC uttrykt ved trigonometriske funksjoner av x.

1.126 Skriv disse uttrykkene enklere: a

sin ð x þ 60 Þ þ cos ð x 30 Þ

sin ð x þ 45 Þ cos ð x 45 Þ

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

sin 2 x þ 2 sin x cos x 3 cos 2 x ¼ 0, x 2 R

3 sin 2 x þ 3 sin x cos x 8 cos 2 x ¼ 2, x 2 ½0, 2 i

2 sin 2 x 6 cos 2 x ¼ 3, x 2 ½0 , 360 i

2 sin x ðsin x þ cos xÞ þ 2 cos 2 x ¼ 1 2 sin x cos x,

sin x ¼ 1

1.134 Løs likningen: 1 cos 2 u ¼ 0, u 2 ½0, 2 i 4

Blandede oppgaver

sin x cos x cos x ¼ cos x cos x

1.133 Løs likningen: pffiffiffi pffiffiffi tan 2 v þ ð 3 1Þtan v 3 ¼ 0, v 2 ½0 , 360 i

x2R

1.129 Andrea løser likningen sin x cos x ¼ cos x slik: sin x cos x ¼ cos x

4 sin 2 v þ 2 sin v cos v þ 4 cos 2 v ¼ 3, v 2 R

1.128 Løs likningen for hånd og med et digitalt verktøy og oppgi løsningen i absolutt vinkelmål:

in g

1.127 Løs likningene for hånd, bruk et digitalt verktøy til å finne nødvendige trigonometriske verdier.

1.132 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy: pffiffiffi 2 1 sin v a cos v ¼ 0, v 2 ½0 , 360 i 2 2

1.7 Sammensatte trigonometriske likninger

1.135 a

pffiffiffi 2 Tegn en figur og vis at sin 45 ¼ cos 45 ¼ . 2

Bruk enhetssirkelen til å finne eksaktverdien til cos 225 .

Diskuter løsningen til Andrea. Har hun gjort oppgaven riktig?

Skriv så enkelt som mulig:

1.130

til

Ettersom sin 90 ¼ 1, er løsningen x ¼ 90 þ n 360 .

på formen Skriv uttrykket sin x þ 6 a sin x þ b cos x.

Ku n

Bruk sammenhengen i a til å løse likningen: pffiffiffi pffiffiffi 3 3 1 sin x þ cos x ¼ , x 2 ½0, 2 i 2 2 2

1.131 Løs likningene: a b

pffiffiffi 2 sin ð2xÞ 2 ¼ 0, x 2 ½0 , 360 i pffiffiffi 3 sin x þ cos x ¼ 0, x 2 ½0, 2 i

sin ð180 xÞ cos ðx þ 30 Þ þ sin ðx 60 Þ Vis at

1 sin 2x 1 cos 2 x sin x þ . ¼ 2 cos 2x 2 cos 2 x 1 cos x sin x

1.136 Løs likningene for hånd, bruk digitalt verktøy til å finne nødvendige trigonometriske verdier. Oppgi svaret i grader. pffiffiffi a 2 cos x ¼ 3 b

2 tan 2 x 5tan x ¼ 2

sin 2x ¼

1 2

Oppgaver

cos 2 x sin 2 x ¼ 1

1.138 2 Vi oppgir at cos x ¼ med x i første kvadrant. 3 a Bestem sin x. b

Bestem sin 2x og cos 2x.

Forklar at 30 < x < 90 og vis at ﬀC ¼ 180 2x.

Bruk sinussetningen til å vise at 2 sin ðx þ 30 Þ BC ¼ . sin 2x

1 cos 2u . 2 1 . Vis at tan ð90 uÞ ¼ tan u

Vis at sin 2 u ¼

1.145

Vis at

La ﬀC være 45 og vis at arealet blir tilnærmet lik 1,71.

pffiffiffi 3 Tegn en figur og vis at cos 30 ¼ . 2 Bruk enhetssirkelen til å finne eksaktverdien til cos 210 .

Skriv så enkelt som mulig:

sin ð90 xÞ þ cos ðx þ 45 Þ þ cos ðx þ 225 Þ

1.141 3 Vi oppgir at sin x ¼ , med x i tredje kvadrant. 7 a Bestem cos x. b

1.144

Vis at arealet T av trekanten er gitt ved 2 sin ðx þ 30 Þsin ðx 30 Þ . T¼ sin 2x

Ku n

1.143 Løs likningene for hånd og med et digitalt verktøy for x 2 ½0, 360 i. 1 a sin x cos x ¼ b 3 cos x 2 sin 2 x ¼ 0 4

Forklar at x ¼

1.140 a

sin 2x ¼ cos 2x

til

4 cos ð2x þ 10 Þ 3 ¼ 0

1.139 I en trekant ABC er ﬀA ¼ x þ 30 , ﬀB ¼ x 30 og AB ¼ 2.

in g

2 tan ðx þ 30 Þ ¼ 3 pffiffiffi sin x ¼ 3 cos x

1.142 Løs likningene når x 2 R: pffiffiffi a 2 sin x 3 ¼ 0

1.137 Løs likningene for x 2 ½0 , 360 i.

Bestem tan x og cos 2x.

xþy x y þ 2 2

xþy x y xþy x y cos þ cos sin 2 2 2 2 xþy x y Vis at sin x þ sin y ¼ 2 sin cos 2 2 sin x ¼ sin

1.146 a b

1 Tegn figur og vis at sin 30 ¼ . 2 1 Bruk enhetssirkelen og forklar at sin 210 ¼ . 2

1.147 Avgjør om likningene er identiteter: cos 2x a cos x sin x ¼ sin x þ cos x b c d e

sin 2 x ¼ ð1 cos xÞ2 sin 2x 1 þ cos 2x 1 1 þ tan 2 x ¼ cos 2 x tan x ¼

tan 2 x 2 ¼ 2 sin 2 x þ 2 cos 2 x

sin 2 x cos 2 x

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

1.151 12 og x 2 ½180 , 270 i. En vinkel x er slik at sin x ¼ 13 a Bestem eksaktverdien til cos x og tan x. b

Bestem eksaktverdien til sin 2x og cos 2x.

in g

1.148

2 sin 2 x þ 5 sin x ¼ 3,

x 2 ½ 180 , 180 i

1.153 Finn den minste og største verdien til uttrykket sin 2 x 2 cos 2 x 2.

I et gjerde står det en 1 meter lang grind. Grinda er hengslet på den ene siden. En stolpe er plassert 0,7 meter fra gjerdet og er slik plassert at grinda akkurat når bort til stolpen.

1.152 Løs likningene: pffiffiffi a 2 sin x ¼ 2, x 2 R 1 pffiffiffi b cos ð2x 10 Þ ¼ 3, x 2 R 2 c sin 2x 2 cos x ¼ 0, x 2 ½0, 2 i

0,7 m u

1.154 Vis at sin ðu þ vÞ sin ðu vÞ ¼ sin 2 u sin 2 v. 1.155 1 Vis at sin 2 u sin 2 v ¼ cos ð2vÞ cos ð2uÞ. 2

til

La u være grindas åpningsvinkel. Finn den største verdien u kan ha.

1.149 Løs likningene: pffiffiffi 3 a sin x ¼ , x 2 ½0 , 360 i 2 1 b cos 2x ¼ , x 2 ½0, 2 i 2 2

Ku n

1.150 Bruk enhetssirkelen til å finne eksaktverdien til sin 240 .

1.156 Vis at sin ðx þ yÞ cos y cos ðx þ yÞ sin y ¼ sin x. 1.157 a Forklar hvorfor sin 2 x 2 ½0, 1 og cos 2 x 2 ½0, 1 for alle x. b

Finn største og minste verdi av funksjonen f ðxÞ gitt ved f ðxÞ ¼ 3 þ 2 cos 2 x 3 cos 2x.

1.158 Løs likningene for x 2 R. Oppgi svaret i radianer. pffiffiffi 1 pffiffiffi a sin x ¼ 3 c 3tan x 3 ¼ 0 2 b 2 cos x ¼ 1 1.159 La u 2 ½0 , 90 i. Vis at sin ð90 uÞ ¼ cos u.

Oppgaver

sin ðu þ vÞ ¼ sin u cos v þ cos u sin v cos ðu þ vÞ ¼ cos u cos v sin u sin v a

Bruk formlene ovenfor til å uttrykke sin 2x og cos 2x ved sin x og cos x.

Vis at sin 3x ¼ 3 sin x 4 sin 3 x.

1.168 Bruk at cos ðu vÞ ¼ cos u cos v þ sin u sin v, og vis at sin ðu vÞ ¼ sin u cos v cos u sin v.

sin 4 x cos 4 x ¼ 0

1.169 Løs likningene: a

1.162 a Forklar hvorfor sin x 2 ½ 1, 1 for alle x og sin 2 x 2 ½0, 1 for alle x.

Finn største og minste verdi av funksjonen f ðxÞ

gitt ved f ðxÞ ¼ 2 þ cos 2 x 3 sin 2 x.

til

1.163 Bruk eksaktverdiene for sinus og cosinus til vinkler i første kvadrant til å finne eksaktverdien til sin 225 og til tan ð 30 Þ. 1.164 Løs likningene: pffiffiffi a 3 tan 2x ¼ 3, x 2 ½0 , 360 i

3 cos x 2 sin 2 x ¼ 0, x 2 ½0 , 360 i

Ku n

2 sin ð2x þ 30 Þ ¼ 1

1.170 a La u være en vinkel. Gi definisjonen av sin u, cos u og tan u. Forklar hvorfor likningen har to løsninger. Tegn figur.

tan x ¼ 1

sin 2 x sin x ¼ 0

1.161 Løs likningene for x 2 R: 1 ¼ a cos 2x 3 2 b

1.167 a La være en vinkel. Bruk definisjonene av sin og cos til å forklare hvilket fortegn uttrykket tan har for ulike verdier av . cos 1 þ sin ¼ . b Vis at 1 sin cos

in g

1.160 Følgende formler er gitt:

1.165 Løs likningene for x 2 ½0, i:

sin 2x ¼ sin 3x

cos 3x ¼ sin 2x

1.166 Løs likningen:

cos 2 x ¼ sin 2x

pffiffiffi 3 ðsin x 1Þ cos x ¼ 0, x 2 ½0, 360 i 2

sin x ¼ b,

1 < b < 1, 0

x < 360

Øv til eksamen 1.171 (Eksamen høsten 2015, del 1) Løs de trigonometriske likningene: a

2 sin ð2xÞ 1 ¼ 0,

2 cos x þ 3 cos x 2 ¼ 0, 2

x 2 ½0, 2 x 2 ½0, 2

1.172 (Eksamen våren 2015, del 1) En trigonometrisk formel er gitt ved cos ðu þ vÞ ¼ cos u cos v sin u sin v. a

Bruk formelen til å bestemme et uttrykk for cos ð2xÞ.

Skriv uttrykket cos 4 x sin 4 x så enkelt som mulig.

KAPITTEL 1 – TRIGONOMETRISKE LIKNINGER

1.176 (Eksamen høsten 2013, del 2) y

x 2 ½0 , 360

1 D

1.174 (Eksempeloppgave 2014) Løs likningen: x 2 ½0, 2 i

Forklar at arealet F av trapeset er gitt ved FðvÞ ¼ ð1 þ cos vÞ sin v. Hvilke verdier kan v ha?

Bestem ﬀv ved regning slik at arealet av trapeset blir størst mulig. Bestem arealet av det største trapeset.

1.177 Eksamen Figuren nedenfor viser en rett kjegle som er innskrevet i en kule med radius 2:

Vis ved regning at arealet F av sirkelsektoren COD er FðvÞ ¼ 50v.

Vis ved regning at arealet T av det fargelagte området på figuren kan skrives som TðvÞ ¼ 50ðv þ 3 sin vÞ.

Figuren ovenfor viser et trapes ABCD som er innskrevet i en halvsirkel med radius 1.

til

–1

1.175 (Eksamen våren 2014, del 2) Et rektangel ABCD er innskrevet i en sirkel. Sirkelen har sentrum i O og radius 10. Vi setter ﬀCOD ¼ v, der 0 < v < . Se figuren nedenfor.

cos 2 x 3 sin 2 x ¼ 2,

in g

1.173 (Eksempeloppgave 2014) Løs likningen: pffiffiffi 1 2 sin x cos x ¼ 0, 2 2

Ku n

Bestem v grafisk slik at T blir størst mulig. Bestem Tmaks . a

Forklar at høyden i kjegla er 4 cos 2 x, der vinkel x er vist på figuren. Vis at volumet av kjegla er 64 cos 4 x sin 2 x. gitt ved V ¼ 3

Oppgaver

1.178 Eksamen I trekanten ABC er ﬀA ¼ x, ﬀB ¼ 2x og AB ¼ 5. a

Skisser trekanten ABC for ulike verdier av x. Forklar hvorfor x 2 h0 , 60 i.

Bruk sin ð2x þ xÞ ¼ sin 3x til å vise at sin 3x ¼ 3 sin x 4 sin 3 x.

cos ðu þ vÞ ¼ cos u cos v sin u sin v til å vise at

1 cos u cos v ¼ ðcos ðu vÞ þ cos ðu þ vÞÞ 2

Ku n

cos ðu vÞ ¼ cos u cos v þ sin u sin v

Bruk blant annet resultatet i b og sinussetningen 10cos x til å vise at AC ¼ . 3 4 sin 2 x Vis at arealet F av trekanten kan uttrykkes som 12,5 sin 2x FðxÞ ¼ . 3 4 sin 2 x Undersøk om arealet F har en maksimalverdi. Hva skjer med arealet når x ! 60 ?

til

1.179 (Eksamen våren 2010, del 1, noe endret) Bruk formlene

in g

Bruk et digitalt verktøy til å finne det største volumet kjegla kan ha. 64 4 u 1 u2 , Vis at V kan skrives V ¼ 3 der u ¼ cos x. Bruk derivasjon til å bestemme ved regning den verdien av x som gir kjegla størst volum.

in g

til

TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Ku n

1822

Joseph Fourier gir ut boka «Théorie analytique de la chaleur», om fysikk og matematikk knyttet til varme. Matematikkdelen knytter sammen rekker og trigonometriske funksjoner, og er forløperen til det som i dag blir kalt Fourier-transformasjoner

1650

1680 1687

Isaac Newton viser at gravitasjonen fra månen og sola virker på vannet i havet. Det er dette som forårsaker høyvann og lavvann

1710

1740 1740

Leonhard Euler lanserer det som senere er blitt kalt Eulers formel. Denne formelen gir sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner ved hjelp av komplekse tall

Hvordan kan vi beregne hvor mye tidspunktet for høyvann forskyver seg hvert døgn?

in g

Hva har en sandwich å gjøre med derivasjon av sinus?

Hvilken kurve blir dette? Jobb sammen to og to

2 3

Den andre personen drar arket unna, normalt på blyantens retning. Gjenta forsøket med ulik fart på arket.

Hva skjer med kurvens form når farten endres?

Den ene personen tegner en rett strek på ca. 4 cm ved å føre blyanten fram og tilbake mange ganger uten å stoppe. Det er viktig at blyanten holdes i jevn bevegelse hele tiden.

Har du sett kurver som likner tidligere?

Ku n

til

1770

1822

1800

1830 1827 Niels Henrik Abel utgir sitt arbeid om elliptiske funksjoner, en slags generaliseringer av de trigonometriske funksjonene

1860

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

2.1 Grafen til sin x og cos x UTFORSK

in g

Du trenger: skrivesaker og millimeterpapir

Nedenfor finner du tabellen med eksakte trigonometriske verdier fra kapittel 1. 30

120

135

150

180

210

225

ﬀu, rad

2 3 pffiffiffi 3 2

7 6

cos u

3 4 pffiffiffi 2 2 pffiffiffi 2 2

5 6

3 pffiffiffi 3 2

sin u

4 pffiffiffi 2 2 pffiffiffi 2 2

5 4 pffiffiffi 2 2 pffiffiffi 2 2

1 2

1 2 pffiffiffi 3 2

270

300

315

330

360

4 3 pffiffiffi 3 2

3 2

5 3 pffiffiffi 3 2

7 4 pffiffiffi 2 2 pffiffiffi 2 2

11 6

1 2 pffiffiffi 3 2

1 2

1 0

1 2

1 2 pffiffiffi 3 2

0 1

1 2

240

Lag punkter ðx, yÞ, der x er vinkelen i radianer og y er sinusverdien til vinkelen. Tegn punktene på millimeterpapir. Trekk en glatt kurve gjennom punktene.

Gjør det samme med cosinusverdiene.

1 2 pffiffiffi 3 2

Diskuter hvordan grafene ligger i forhold til hverandre.

Grafen til sinus

3 5 3 og i enhetssirkelen. På figuren har vi tegnet inn vinklene , , , 6 3 4 4 2 Til høyre på figuren har vi merket av de punktene vi får når vi lar vinkelen være x-verdien og sinusverdien være y-verdien.

til

ﬀu,

Ku n

pp 63

3p 4

5p 3p 4 2

-1

Når vi gjør dette for mange vinkler i enhetssirkelen og tegner en glatt kurve gjennom punktene, får vi kurven til høyre på figuren. Dette er grafen til f ðxÞ ¼ sin x.

Grafen til sin x og cos x

Når vi bruker vinkler i flere omløp, ser grafen slik ut:

Grafene til sinus og cosinus:

–2p

–p

–1

in g

x ¼

x¼

þ n 2 2

sin x = –1: 3 þ n 2 2 3 x¼ þ n 2 2 x¼

x ¼

Vi har at verdimengden er Vf ¼ ½ 1, 1 , fordi sinusverdien alltid ligger mellom 1 og 1. Vi finner x-verdiene til toppunktene og bunnpunktene ved å løse likningene f ðxÞ ¼ 1 og f ðxÞ ¼ 1: sin x = 1: x ¼ þ n 2 2

3 þ n 2 2

til

x ¼ þ n 2 2 3 þ n 2 x¼ 2 þ n 2 , 1 , mens bunnpunktene har Toppunktene til f er derfor 2 3 þ n 2 , 1 . koordinatene 2 _

Ku n

Fra figurene ovenfor kan vi se at grafen til sin x gjentar seg: Hver gang vi øker vinkelen med 2 , altså ett omløp, får vi de samme sinusverdiene om igjen. Vi sier at funksjonen har periode 2 . Grafen svinger opp og ned fra linja y ¼ 0. Denne linja kaller vi funksjonens likevektslinje.

Reflekter og diskuter!

Bruk koordinatene til toppunktene til funksjonen f ðxÞ ¼ sin x til å forklare at perioden er 2 .

Periode Dette er avstanden i x-retning før funksjonen gjentar seg. Likevektslinje Grafen til sin x svinger opp og ned ut fra en likevektslinje.

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

EK SEMPEL 1 Tegn grafen til f ðxÞ ¼ sin x for x 2 ½0, 2 for hånd.

4 pffiffiffi 2 2

2 1

3 4 pffiffiffi 2 2

5 4 pffiffiffi 2 2

3 2

7 4 pffiffiffi 2 2

in g

Løsning: Vi lager et koordinatsystem og tegner linjene y ¼ 1 og y ¼ 1. 3 Vi markerer x-verdien til toppunktet i x ¼ og bunnpunktet i x ¼ . 2 2 Vi regner ut noen punkter i en verditabell:

y 1

Vi legger punktene inn i koordinatsystemet og tegner en glatt kurve gjennom dem. Da får vi dette:

p 2

3p 2

Grafen til sin x ser ut til å ha nullpunkter for x ¼ n . Vi undersøker dette ved å løse likningen f ðxÞ ¼ 0:

til

Oppgave: 2.1

p 4

vu –1

Ku n

sin x ¼ 0

x ¼ 0 þ n 2

x ¼ n 2

x ¼ þ n 2

x ¼n Funksjonen f ðxÞ ¼ sin x har altså nullpunkter for x ¼ n .

Grafen til sin x og cos x

La f ðxÞ ¼ sin x.

Periode: p ¼ 2

Nullpunkter for x ¼ n

Maksimalverdi 1, minimalverdi 1, Vf ¼ ½ 1, 1 þ n 2 , 1 Toppunkter: 2 3 Bunnpunkter: þ n 2 , 1 2

(2p , 1)

–p

likevektslinje

p -1

( 3p2 , –1)

nullpunkter: n · p

y = –1

Likevektslinje y ¼ 0

y=1

periode: 2p

in g

EGENSKAPER VED sin x

Grafen til cosinus

Vi skal tegne grafen til cosinus. På samme måte som da vi tegnet grafen til sinus, legger vi vinkelen langs x-aksen og cosinusverdien til vinkelen langs y-aksen. 3 På figuren nedenfor har vi lagt vinklene og i enhetssirkelen. 3 4 y 1

p 3

3p 4

til

3p 4

p 3

4p 3 x

Ku n

-1

Vi ser at grafen til f ðxÞ ¼ cos x har mange av de samme egenskapene som grafen til sin x. For det første er også denne funksjonen periodisk med periode 2 . For det andre er verdimengden ½ 1, 1 . Vi finner nullpunktene til funksjonen: cos x ¼ 0 x ¼ þ n 2 _ x ¼ þ n 2 2 2 Figuren viser de to formlene som gir nullpunkter. Den ene formelen gir vinkler med vinkelpunkt i ð0, 1Þ, mens den andre gir vinkler som har vinkelpunkt i ð0, 1Þ.

y 1

p + n · 2p 2

1 x

x=–

p + n · 2p 2

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

in g

Disse to løsningene kan vi slå sammen til én formel. Når vi varierer n, får vi vinkler som har vinkelpunktene ð0, 1Þ og ð0, 1Þ annenhver gang. x ¼ þn 2 Funksjonen f ðxÞ ¼ cos x har nullpunkter for x ¼ þ n . 2 Vi løser likningene cos x ¼ 1 og cos x ¼ 1 for å finne ekstremalpunktene: cos x ¼ 1

cos x ¼ 1

x ¼ 0 þ n 2 x ¼ n 2

x ¼ þ n 2

La f ðxÞ ¼ cos x:

EGENSKAPER VED cos x

Periode: p ¼ 2

Nullpunkter for x ¼

Maksimalverdi 1, minimalverdi 1, Vf ¼ ½ 1, 1

Toppunkter: ðn 2 , 1Þ

Bunnpunkter: ð þ n 2 , 1Þ

Likevektslinje y ¼ 0

þn 2

vu til

(0, 1) 1

Ku n

periode: 2p

–p

-1

y=1

(p, –1)

y = –1 nullpunkter:

p +n·p 2

Reflekter og diskuter! Forklar at cos x ¼ sin

x . 2

Vi har tidligere løst trigonometriske likninger. Nå kan vi løse likninger grafisk og gi geometriske tolkninger av likninger.

Grafen til sin x og cos x

EKSEMPEL 2 a

Tegn grafen til f ðxÞ ¼ cos x for x-verdier mellom 2 og 2 .

in g

Løs likningen ved regning og grafisk: pffiffiffi 2 cos x ¼ , x 2 ½0, 2 i 2 Løsning: a Vi tegner grafen i GeoGebra: y 2 f (x) = cos (x)

1 -5

-4

-3

-2

-1

Ved regning:

pffiffiffi 2 2 x¼ þ n 2 4 Vi prøver ulike verdier for n: n ¼ 0 gir x ¼ þ 0 2 eller x ¼ þ 0 2 , dvs. x ¼ eller x ¼ 4 4 4 4 9 7 n ¼ 1 gir x ¼ þ 1 2 eller x ¼ þ 1 2 , dvs. x ¼ eller x ¼ 4 4 4 4 Vi plukker ut de verdiene som ligger i ½0, 2 i, og får 7 L¼ , 4 4

til

cos x ¼

pffiffiffi Grafisk løsning: 2 . Så bruker vi skjæringspunktVi tegner grafen til f ðxÞ ¼ cos x og gðxÞ ¼ 2 verktøyet til å finne koordinatene til skjæringspunktene mellom f og g: y

Ku n

-6

2 A = (0.785, 0.707) 1 A

-2

-1

B = (5.498, 0.707)

g x

10 f

Vi får at skjæringspunktene i intervallet ½0, 2 i er ð0,785, 0,707Þ og ð5,498, 0,707Þ. Løsningene på likningen er derfor x 0,785 og x 5,498. Dette er tilnærmede verdier for løsningen vi fant ved regning.

Oppgaver: 2.2–2.3

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Oppgaver 2.5 Løs likningene for x 2 ½0, 2 i. Illustrer løsningene grafisk.

2.2 Tegn grafen til f ðxÞ ¼ cos x for x 2 ½ , .

2.3

2.6 La f og g være funksjonene

1 ved regning og 2 grafisk for x 2 ½0, 2 i. Løs likningen sin x ¼

5 cos x ¼ 1

og gðxÞ ¼ cos x

Vi setter hðxÞ ¼ f ðxÞ þ gðxÞ. a

Lag en skisse av grafen til h for hånd.

Tegn grafen til h på graftegner.

2.7 La f ðxÞ ¼ cos x. Bruk enhetssirkelen til å avsette sammenhørende verdier for en vinkel x og f ðxÞ i et koordinatsystem.

sin x cos x ¼ 0

f ðxÞ ¼ sin x

til

3 sin x 1 ¼ 0

2.4 Løs likningene for x 2 ½0, 2 i. Illustrer løsningene grafisk. pffiffiffi pffiffiffi c 2 cos x ¼ 3 a 2 sin x ¼ 2

in g

2.1 Tegn grafen til f ðxÞ ¼ sin x for x 2 ½ , .

Ku n

Forskyvning og strekking

2.2 Forskyvning og strekking Du trenger: GeoGebra Skriv funksjonen f ðxÞ ¼ A sin ðc x þ ’Þ þ d inn i inntastingsfeltet i GeoGebra. Opprett glidere for A, c, ’ og d. Studer grafen til f .

Varier A, c, ’ og d. Diskuter hva som skjer med en medelev.

in g

UTFORSK

Horisontal og vertikal forskyvning Figuren nedenfor til venstre viser grafen til funksjonene

Forskyving og

f ðxÞ ¼ x2 þ 2x 2 gðxÞ ¼ x2 þ 2x 3 hðxÞ ¼ x2 þ 2x 6

Den eneste forskjellen mellom de tre funksjonsuttrykkene er konstantleddene. Forskjellen mellom grafene er at de er forskjøvet vertikalt. y

4 2

–2

til

–4

–2

–4

–2

Ku n

–6

Tilsvarende viser figuren til høyre ovenfor grafen til iðxÞ ¼ sin x þ 2 og jðxÞ ¼ sin x 1. De to grafene er like, men i er forskjøvet vertikalt med tre enheter oppover.

Vi konkluderer med at grafen til f ðxÞ þ k er forskjøvet med k enheter oppover i forhold til grafen til f ðxÞ. Vi får forskyvning i horisontal retning dersom vi adderer en konstant til argumentet til funksjonen. La f være funksjonen: f ðxÞ ¼ x3 3x2 þ 2

strekking:

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER y

Vi legger til 2 i argumentet og regner ut: f

4 f(x + 2)

f ðx þ 2Þ ¼ ðx þ 2Þ3 3ðx þ 2Þ2 þ 2 ¼ x3 þ 6x2 þ 12x þ 8 3x2 12x 12 þ 2

¼ x3 þ 3x2 2 x

–2

Til venstre ser du grafen til de to funksjonsuttrykkene.

in g

Grafen til f ðx þ 2Þ er forskjøvet med to enheter mot venstre i forhold til grafen til f ðxÞ. ¼ sin x . La nå f være gitt ved f ðxÞ ¼ sin x. Da blir f x 2 2 : Vi tegner grafen til f ðxÞ og f x 2

–4 –6

0,5

)

p – 2

3p ––– 2

–0,5

p 2

(

fx–

f(x)

–2

5p ––– 2

–1

til

Av figuren ser vi at grafen til sin x er forskjøvet med mot høyre 2 2 i forhold til grafen til sin x.

Ku n

H O R I S O N T A L O G VE R T I K A L F O R S K Y V N I N G La f være en funksjon. Grafen til f ðx þ kÞ er forskjøvet med k enheter mot venstre i forhold til grafen til f . Grafen til f ðxÞ þ k er forskjøvet med k enheter oppover i forhold til grafen til f .

Reflekter og diskuter! Forklar til en medelev hvorfor grafen til f ðx 3Þ er forskjøvet mot høyre og grafen til f ðx þ 3Þ er forskjøvet mot venstre i forhold til grafen til f .

Forskyvning og strekking

EKSEMPEL 3 Figuren viser grafen til f ðxÞ ¼ cos x. y 1

p – 2

–1

3p ––– 2

5p ––– 2

Bruk grafen til å tegne grafen til cos x þ 2. 4

Bruk grafen til f til å tegne grafen til sin x.

Grafen til cos x þ 2 er forskjøvet med mot høyre og forskjøvet 4 4 med 2 oppover i forhold til grafen til f ðxÞ ¼ cos x. Vi tegner først grafen til f og så en kopi til høyre og 2 oppover: 4 y

cos (x – –4 ) + 2

3 2 1

cos x

p – 2

3p ––– 2

5p ––– 2

til

–1

Løsning:

in g

cos x

u og cos ð uÞ ¼ cos u. Det gir: 2 sin x ¼ cos x ¼ cos x ¼ cos x 2 2 2 Dette betyr at grafen til sin x er forskjøvet med til høyre i forhold til grafen 2 til cos x. Vi tegner grafen til cos x og en kopi forskjøvet med til høyre: 2 Vi har sin u ¼ cos

Ku n

sin x

–1

p – 2

cos x

3p ––– 2

5p ––– 2

x Oppgave: 2.9

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Horisontal og vertikal strekking Når vi multipliserer en funksjon med en konstant, blir grafen strukket i y-retning. Figuren nedenfor viser grafen til f ðxÞ ¼ sin x sammen med grafen til gðxÞ ¼ 3 sin x.

in g

y 3 g

2 1

f p – 2

–3

5p ––– 4

3p ––– 2

7p ––– 4

2p x

–2

3p ––– 4

p – 4

–1

Én periode på grafen tilsvarer ett omløp for vinkelen.

Vi ser at grafen til g er strukket ut med en faktor på 3 i y-retning i forhold til grafen til f . Dette betyr at y-verdien i et punkt på g er 3 ganger y-verdien i tilsvarende punkt på f . Maksimalverdien til g er 3, siden maksimalverdien til f er 1. Når vi multipliserer x med en konstant k, blir grafen strukket i x-retning. Figuren nedenfor viser grafen til sin x og sin 4x. Når grafen til sin x har gått gjennom én periode, har grafen til sin 4x gått gjennom fire perioder.

til

Ku n

–1

p – 4

sin 4x sin x p – 2

3p ––– 4

5p ––– 4

3p ––– 2

7p ––– 4

Det er plass til fire hele svingninger på grafen til sin 4x på samme intervall som det bare er plass til én svingning på grafen til sin x. Dersom x måler tid, sier vi at sin 4x har fire ganger så høy frekvens som sin x.

Reflekter og diskuter! x Forklar til en medelev hvordan grafen til sin ser ut 5 i forhold til grafen til sin x.

Forskyvning og strekking

H O R I S O N T A L O G VE R T I K A L S T R E K K I N G La f være en funksjon.

Når k < 1: Grafen til gðxÞ ¼ f ðk xÞ er strukket ut med en faktor k i x-retning. Når k > 1: Grafen til gðxÞ ¼ k f ðxÞ er strukket ut med en faktor k i y-retning.

Når k < 1: Grafen til gðxÞ ¼ k f ðxÞ er komprimert med en faktor k i y-retning.

EKSEMPEL 4 La f ðxÞ ¼ sin x.

Bruk grafen til f til å lage en skisse av grafen til gðxÞ ¼ sin 2x.

Bruk grafen til f til å lage en skisse av grafen til hðxÞ ¼ 5 sin x.

til

Løsning: a Perioden til sin 2x er halvparten av perioden til sin x. Vi tegner derfor først grafen til sin x. Deretter tegner vi en kopi av grafen, sammentrykt på halve plassen i x-retningen.

Grafen til 5 sin x er strukket ut med en faktor på 5 i y-retning. Vi tegner derfor først grafen til sin x. Deretter tegner vi en kopi av grafen hvor y-retningen er strukket ut, slik at maksimalverdien blir 5 og minimalverdien blir 5. 5

y 1

–1

sin x

p – 2

sin 2x

3p ––– 2

Ku n

in g

Når k > 1: Grafen til gðxÞ ¼ f ðk xÞ er komprimert med en faktor k i x-retning.

5 sin x

4 3 2

–1

–2

sin x p – 2

3p ––– 2

–3

–4 –5

Oppgaver: 2.10–2.11

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Reflekter og diskuter!

Forklar til en medelev hvorfor ikke grafen til f er forskjøvet med 2 i forhold til grafen g.

in g

og gðxÞ ¼ sin 3x. La f ðxÞ ¼ sin 3x þ 2 1 Forklar til en medelev at f ðxÞ ¼ sin 3 x þ . 6

Oppgaver

2.13 La f ðxÞ ¼ sin x og gðxÞ ¼ sin 4x. a

Tegn grafene til f og g i et koordinatsystem.

2.8 La f ðxÞ ¼ x2 . Bruk graftegner til å tegne grafen til f ðxÞ og hðxÞ ¼ f ðx þ 3Þ. Beskriv forskjellen mellom de to grafene. 2.9 Bruk grafen til f ðxÞ ¼ x2 til å tegne grafen til gðxÞ ¼ x2 þ 3 og hðxÞ ¼ x2 þ 2x þ 1.

til

2.10 Bruk grafen til f ðxÞ ¼ x2 til å tegne grafen til 1 gðxÞ ¼ x2 . Beskriv forskjellen mellom de to grafene. 2 2.11 Bruk grafen til f ðxÞ ¼ cos x til å tegne grafen til gðxÞ ¼ cos 3x.

Ku n

2.12 La f være en funksjon. Legg gðxÞ ¼ f ðx þ pÞ þ q inn i GeoGebra. Opprett glidere for p og q. a

Beskriv hva som skjer når du varierer p.

Beskriv hva som skjer når du varierer q.

Bruk enhetssirkelen til å forklare at perioden til f er 2 , mens perioden til g er . 2

2.14 Funksjonsuttrykket til en funksjon f er gitt som f ðxÞ ¼ 2 sin ð x Þ þ 1 Figuren viser grafen til f og g: y 4

2 1

–1

Bruk grafen til f til å bestemme funksjonsuttrykket til g.

Harmoniske svingninger

2.3 Harmoniske svingninger UTFORSK

Legg inn funksjonen f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d i GeoGebra. Opprett glidere for A, c, ’ og d.

Legg disse punktene inn i koordinatsystemet: Pð1, 4Þ, Qð3, 2Þ, Rð5, 4Þ, Sð7, 2Þ, Tð9, 4Þ og Uð11, 2Þ.

Varier A, c, ’ og d slik at grafen til f går gjennom punktene. Kan du gjøre det på flere måter?

in g

Du trenger: GeoGebra

Vi lar nå f være en funksjon på formen f ðxÞ ¼ A sin ðc x þ ’Þ þ d

En funksjon der grafen varierer periodisk ut fra en likevektslinje på samme måte som grafen til sin x og cos x, kaller vi en harmonisk svingning.

Den greske bokstaven ’ leser vi «fi».

Vi sammenlikner med grafen til sin x:

Grafen har samme form som grafen til sin x.

Variabelen A strekker grafen i y-retning.

Variabelen d forskyver grafen i y-retning.

Variabelen c strekker grafen i x-retning.

Variabelen ’ forskyver grafen i x-retning.

Harmoniske svingninger:

til

Grafen til f ðxÞ er derfor en harmonisk svingning.

Vi finner sammenhengen mellom A, c, ’ og d og grafen: periode

Ku n

likevektslinje

f(x)

amplitude x

Grafen til sin x har likevektslinje y ¼ 0. Grafen til f har likevektslinje y ¼ d. Figuren viser amplituden A til svingningen. Dette er største utslag fra likevektslinja, altså avstanden fra et toppunkt eller et bunnpunkt til likevektslinja. Grafen til sin x og cos x har amplituden 1.

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

þ n 2 . 2 Toppunktene på grafen til f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d finner vi derfor når sin ðcx þ ’Þ ¼ 1:

sin ðcx þ ’Þ ¼ 1 cx þ ’ ¼ þ n 2 2 cx ¼ ’ þ þ n 2 2 ’ 2 x ¼ þ þn c 2c c 2’ 2 x¼ þn 2c c

in g

Maksimalverdien til sinus er 1 og inntreffer når vinkelen er

Avstanden mellom to toppunkter er derfor

2 . Dette er grafens periode. c

Grafen til f ðxÞ skjærer likevektslinja når sin ðcx þ ’Þ ¼ 0:

f ðxÞ ¼ d

A sin ðcx þ ’Þ þ d ¼ d

A sin ðcx þ ’Þ ¼ d d sin ðcx þ ’Þ ¼ 0 _

cx þ ’ ¼ þ n 2

cx ¼ ’ þ n 2

cx ¼ ’ þ þ n 2

cx þ ’ ¼ n 2

’ 2 ’þ 2 þn _ x¼ þn c c c c ’ Verdien tilsvarer et skjæringspunkt mellom grafen til f og likevektslinja c ’þ der grafen til f er på vei opp. Verdien tilsvarer et skjæringspunkt c mellom grafen til f og likevektslinja der grafen til f er på vei ned.

til

x¼

H A R M O N I S K SV I N G N I N G

La f være funksjonen f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d. Da gjelder:

Ku n

Likevektslinja er y ¼ d.

Amplituden er A.

Perioden er p ¼

Skjæringspunktet med likevektslinja er ’ ’þ x ¼ (på vei opp) og x ¼ (på vei ned). c c

2 . c

y=d

j – c

Harmoniske svingninger

EKSEMPEL 5

in g

En funksjon f er gitt ved x þ 4, x 2 ½0, 24i f ðxÞ ¼ 3 sin 12 6 Beskriv egenskapene til og skisser grafen til f .

Løsning: Likevektslinja er y ¼ 4. Amplituden er 3.

Perioden er p ¼

Maksimalverdien er ymaks ¼ 4 þ 3 ¼ 7. Minimalverdien er ymin ¼ 4 3 ¼ 1. 2 2 ¼ ¼ 24. c 12

’ Grafen skjærer likevektslinja på vei opp i x ¼ ¼ 6 ¼ 2. c 12 24 En halv periode til høyre skjærer grafen likevektslinja igjen på vei ned: x ¼ 2 þ ¼ 14. 2

Grafen har toppunkt en kvart periode til høyre for x ¼ 2, altså i x ¼ 2 þ

24 ¼ 8. 4

Grafen har bunnpunkt en halv periode til høyre for toppunktet, 24 altså i x ¼ 8 þ ¼ 20. 2

Vi tegner likevektslinja y ¼ 4 og linjene y ¼ ymaks ¼ 7 og y ¼ ymin ¼ 1.

til

Vi markerer toppunktet i x ¼ 8, bunnpunktet i x ¼ 20 og skjæringspunktene med likevektslinja i x ¼ 2 og x ¼ 14. Til slutt lager vi en skisse av grafen for hånd. y

Ku n

4 3 2 1

8 10 12 14 16 18 20 22 24 x

I neste eksempel går vi motsatt vei – fra graf til funksjonsuttrykk.

Oppgave: 2.15

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

EK SEMPEL 6 En funksjon f er på formen f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d. Om funksjonen vet vi:

Funksjonen har likevektslinje i y ¼ 1.

Amplituden er 2.

Grafen skjærer likevektslinja i ð0, 1Þ på vei opp og i ð2, 1Þ på vei ned.

Bestem et funksjonsuttrykk for f . b

in g

Figuren viser grafen til en funksjon g. Bruk grafen til å finne et funksjonsuttrykk for g. y

4 3

–1

p – 2

7p 9p x 3p 5p ––– 2p ––– 3p ––– 4p ––– 2 2 2 2

–2

Løsning: a Likevektslinja er y ¼ 1, så vi har d ¼ 1. Amplituden er 2, noe som gir A ¼ 2. Avstanden mellom to skjæringspunkter med likevektslinja er en halv periode. Avstanden mellom to skjæringspunkter er 2 0 ¼ 2. Perioden er derfor 4. Det gir 2 p¼ c 2 4¼ c 2 c¼ 4 c¼ 2 Et skjæringspunkt med likevektslinja på vei opp er ð0, 1Þ. Her er x-verdien 0. Det gir ’ x¼ c ’ 0¼

til

Ku n

2 ’¼0 Dette betyr at et funksjonsuttrykk for f er f ðxÞ ¼ 2 sin x 1 2

Harmoniske svingninger

4 y=3

in g

2 1 0 –1

p 2

3p 2p 5p 3p 2 2

7p 2

–2 x = 7p 2

Grafen til g ser ut til å være en harmonisk svingning. Vi leser av likevektslinja til y ¼ d ¼ 1.

y=1

Vi leser av ymaks til 3. Da blir avstanden fra likevektslinja til toppunktet 3 1 ¼ 2, så amplituden er A ¼ 2.

til

2 2 1 ¼ ¼ p 4 2

5 En bølgetopp har x-verdi . Neste bølgebunn har x-verdi . 2 2 5 4 Avstanden mellom disse er ¼ ¼ 2 . 2 2 2 Perioden er det dobbelte av dette, altså p ¼ 4 . c¼

Grafen skjærer likevektslinja på vei opp for x ¼

7 . Det gir 2

’ c 7 ’ ¼ 1 2 2 7 ’¼ 4 Til sammen betyr dette at et funksjonsuttrykk for g er x 7 gðxÞ ¼ 2 sin þ1 2 4

Ku n

x¼

x Vi kan også øke ’ med 2 og skrive funksjonen som gðxÞ ¼ 2 sin þ . 2 4

Oppgaver: 2.16, 2.19, 2.21–2.22

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Modellering av praktiske situasjoner Figuren viser målinger av middeltemperaturen hvert døgn på Juvasshøe i Jotunheimen gjennom to år fra 1. januar 2019. Hvert punkt ðx, yÞ representerer en måling av temperaturen y grader celsius på dag x etter 1. januar 2019.

in g

y (temperatur) 15 10

–5

–15

–10

100

200

300

400

500

600

700 x (dager)

Punktene ser ut til å kunne tilnærmes med harmonisk svingning. På figuren har vi tegnet en kurve som ser ut til å passe med datasettet. Hvordan går vi fram for å finne funksjonsuttrykket til denne?

til

Vi leser av ymaks til å være omtrent 6 grader for x ¼ 210. Vi velger ikke høyeste observasjon, men toppunktet på kurven.

Ku n

Vi leser av ymin til å være 12 for x ¼ 40. Amplituden blir da halvparten av differansen: A ¼

6 ð 12Þ ¼ 9. 2

Likevektslinja ligger midt mellom maksimalverdien og minimalverdien, 6 12 ¼ 3. d¼ 2 En halv periode er 210 40 ¼ 170, så perioden ser ut til å være 340. 2 . Siden dette er årstidsvariasjoner, setter vi p ¼ 365. Det gir c ¼ 365

Et skjæringspunkt med likevektslinja på vei opp ser ut til å være x ¼ 110. ’ x¼ c ’ 110 ¼ 2 365 ’ ¼ 1,894 2 Det gir f ðxÞ ¼ 9sin x 1,894 3. 365

in g

Harmoniske svingninger

Likevektslinja er y ¼ 3 og viser at gjennomsnittlig temperatur er 3. Amplituden er 9 grader, og forteller hvor mye middeltemperaturen varierer. Perioden er 365 dager, så temperaturen varierer i takt med årstidene.

2 2 Metoden ovenfor kan vi oppsummere generelt. Vi gjør om p ¼ til c ¼ c p ’ og x0 ¼ til ’ ¼ c x0 . c

til

M O D E L L E R I N G ME D T R IGO N O ME T RI SK F UNKSJON Vi tar utgangspunkt i en graf som viser en harmonisk svingning. Vi leser av et bunnpunkt ðx1 , y1 Þ og et påfølgende toppunkt ðx2 , y2 Þ. Vi leser av et skjæringspunkt mellom likevektslinja og grafen på vei opp til ðx0 , dÞ. Da har vi y y1 A¼ 2 2 y1 þ y2 d¼ 2 p ¼ 2 ðx2 x1 Þ 2 c¼ p ’ ¼ c x0 Dette gir modellen f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d.

Ku n

Datasett fra virkeligheten inneholder gjerne mange målepunkter. Da kan det være nyttig å bruke et digitalt verktøy – et regneark, GeoGebra eller programmering. I R1 lærte du å importere datasett i Python med biblioteket Pandas. Vi skal nå se på et eksempel der vi bruker dette til å modellere en harmonisk svingning. Vi starter med å lage et spredningsdiagram. Dersom dette viser et mønster som likner på en harmonisk svingning, prøver vi å finne et funksjonsuttrykk som passer. Vi bruker regresjonsanalyse i Python med kommandoen curve_fit fra biblioteket SciPy. De trigonometriske funksjonene henter vi fra biblioteket NumPy. Vi definerer først en funksjon med parametrene A, c, ’ og d. Deretter sender vi funksjonen, datasettet og eventuelle startverdier for parametrene inn til curve_fit.

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

EK SEMPEL 7 Fila «tidevann-oslo.csv» inneholder målinger av vannstanden i Oslo havn hver time i to dager etter 27. mars 2022.

in g

Bestem et funksjonsuttrykk som kan brukes som en modell for datasettet.

Løsning: Vi lager et spredningsdiagram av datasettet. Vi laster inn datasettet i Python med Pandas og lager diagrammet. import matplotlib.pyplot as plt

import pandas as pd

# Importerer datasettet med Pandas.

df = pd.read_csv('tidevann-oslo.csv', decimal = '.', comment = '#', sep=';')

# Gjør om kolonner til lister.

timer = df['Timer'].tolist()

vannstand = df['Vannstand'].tolist()

10 11

plt.plot(timer, vannstand, 'x')

plt.show()

til

Vi kjører koden og får denne grafen:

Ku n

80 70

60 50 40

Harmoniske svingninger

For å vite hva vi skal sette startverdiene til parametrene til, gjennomfører vi først regningen for hånd:

in g

Vi antar at svingningen har ymaks ¼ 80 og ymin ¼ 38. 80 þ 38 80 38 Det gir d ¼ ¼ 59 og A ¼ ¼ 21. 2 2

Avstanden i x-retning mellom to toppunkter ser ut til å være p ¼ 26 15 ¼ 11. 2 ¼ 0,571. Det gir c ¼ 11

Likevektslinja ligger midt mellom ymaks ¼ 80 og ymin ¼ 38, altså y ¼ 59. Grafen skjærer likevektslinja på vei opp i x ¼ 12. Det gir ’ ¼ 0,571 12 ¼ 6,9. Dette betyr at vi kan bruke startverdier A ¼ 21, c ¼ 0,5, ’ ¼ 7 og d ¼ 60.

import matplotlib.pyplot as plt

import pandas as pd

import scipy.optimize as opt

import numpy as np

5 6

Vi definerer en funksjon med parametrene A, c, ’ og d. Vi bruker kommandoen curve_fit fra SciPy på funksjonen og de to listene fra datasettet. Vi tegner grafen av resultatet i samme koordinatsystem:

# Henter inn data fra fila.

9 10 11

til

df = pd.read_csv('tidevann-oslo.csv', decimal = '.', comment = '#', sep=';') 8 timer = df['Timer'].tolist() 7

vannstand = df['Vannstand'].tolist()

# Definerer funksjonen som skal brukes.

def f(x, A, c, fi, d): 13 return A*np.sin(c*x + fi) + d

Ku n

14 15

# Gjennomfører regresjonen.

# curve_fit returnerer to lister, så vi må lagre med

# to variabler, her popt og pcov.

# Resultatet av regresjonen lagres i popt

popt, pcov = opt.curve_fit(f, timer, vannstand, p0 = [21,.5,-7,60 ]) 20 print(popt) 19

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

# Plukker ut koeffisientene fra lista popt.

A, c, fi, d = popt

in g

24 25

# Modell.

xverdier = np.arange(0, timer[-1], .1)

yverdier = f(xverdier, A, c, fi, d)

# Tegner datasettet og modellen.

plt.plot(timer, vannstand, 'x')

plt.plot(xverdier, yverdier)

plt.show()

Vi kjører koden. I konsollen står det da «[21.209556 0.50036695 -5.72945186 58.63963489]». Det betyr at funksjonsuttrykket f ðxÞ ¼ 21,2 sin ð0,500x 5,729Þ þ 58,6 er en god modell for datasettet vårt.

Vi får denne grafen, en trigonometrisk modell som viser en harmonisk svingning:

til

70 60

Ku n

Oppgave: 2.17

Harmoniske svingninger

Oppgaver

f ðxÞ ¼ 20sin ð3x Þ þ 2

2.16

I fila «solhoyde-aal.csv» finner du solhøyden i grader over horisonten i Ål kommune for hver dag i 2022.

4 f

Bestem et funksjonsuttrykk som passer som modell for datasettet.

–2 –3

7 x

til

–1

in g

2.17

2.15 Skisser grafene til funksjonene for hånd. Tegn deretter grafene i GeoGebra og kontroller at du har tegnet riktig. a f ðxÞ ¼ 2 sin x 1 2 b f ðxÞ ¼ 5 sin x þ3 6

Ku n

Figuren viser grafen til en funksjon f ðxÞ. Bruk grafen til å finne et uttrykk for f på formen f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d.

2.18 I fila «daglengde-vadsoe.csv» finner du daglengden i timer i Vadsø for hver dag i 2022. Bestem et funksjonsuttrykk som passer som modell for datasettet.

2.19 4

y f

3 2 1 –1

p – 4

p – 2

3p ––– 4

–2 –3 –4

Figuren viser grafen til en harmonisk funksjon f ðxÞ. Bruk grafen til å finne et uttrykk for f ðxÞ.

KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

2.20 La f ðxÞ være en funksjon gitt ved f ðxÞ ¼ a sin x þ b cos x þ d, der a, b og d er reelle tall.

2.22

Om denne funksjonen vet vi at

y 7 6

fmaks ¼ 2, fmin ¼ 0

9 f ð0Þ ¼ 5 0 f ð0Þ > 0

in g

2 1

Bestem konstantene a, b og d.

2.21 f

–2

25 x

4 x

Figuren viser grafen til en harmonisk funksjon f ðxÞ. Bruk grafen til å finne et funksjonsuttrykk for f ðxÞ.

til

Figuren viser grafen til en harmonisk funksjon f ðxÞ. Bruk grafen til å finne et funksjonsuttrykk for f ðxÞ.

Ku n

Funksjonen a sin cx þ b cos cx

2.4 Funksjonen a sin cx þ b cos cx 1

Lag et koordinatsystem og tegn et punkt i første kvadrant. Les av koordinatene.

Regn ut avstanden fra origo til punktet.

Bestem vinkelen mellom x-aksen og linja gjennom origo og punktet.

in g

UTFORSK

(a, b)

La ða, bÞ være et punkt i første kvadrant. La r være avstanden fra origo til punktet og være vinkelen mellom x-aksen og strålen fra origo til punktet.

Bestem en formel for r uttrykt ved a og b.

Lag en oppskrift for hvordan du kan finne når du kjenner a, b og r.

Vi skal vise at alle uttrykk a sin cx þ b cos cx kan skrives på formen A sin ðcx þ ’Þ.

Vi starter med f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ og bruker regnereglene for sinus til en sum f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ ¼ Aðsin cx cos ’ þ cos cx sin ’Þ

¼ A cos ’ sin cx þ A sin ’ cos cx

Hva skal til for at dette uttrykket skal være lik a sin cx þ b cos cx? Uttrykkene blir like dersom vi har A cos ’ ¼ a og A sin ’ ¼ b. Det gir:

y (a, b)

f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ ¼ A cos ’ sin cx þ A sin ’ cos cx ¼ a sin cx þ b cos cx |fflfflffl{zfflfflffl} |fflfflffl{zfflfflffl}

til a

Det er lett å finne a og b hvis vi kjenner A og ’. Men hvordan kan vi motsatt finne A og ’ når vi kjenner a og b?

Ku n

Vi tar utgangspunkt i figuren øverst til høyre. Vi lar a og b danne et punkt ða, bÞ. Vi lar så A være avstanden fra origo til punktet ða, bÞ og ’ være vinkelen mellom x-aksen og linja gjennom origo og punktet, se figuren. Vi finner nå A og ’ fra a og b: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Pytagoras' setning gir at A ¼ a2 þ b2 , uansett hvilken kvadrant ða, bÞ ligger i.

Vi legger en enhetssirkel inn i koordinatsystemet. Vinkelpunktet til ’ a b , . Vi viser det med vektorregning: blir da A A Vektoren fra origo til ða, bÞ er ½a, b og har lengde ½a, b ¼ A.

Posisjonsvektoren til vinkelpunktet har samme retning som ½a, b , men lengde 1.

j x

(a, b)

j 1

100 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Det gir

Når vi deler en vektor med lengden av vektoren, får vi en vektor med lengde 1.

A 1

Nå har vi A og ’ med utgangspunkt i a og b. Det betyr at: j

f ðxÞ ¼ a sin cx þ b cos cx ¼ A sin ðcx þ ’Þ 1

)

a b —, — A A

in g

(a, b)

a sin c x þ b cos c x ¼ A sin ðc x þ ’Þ La f være funksjonen

a, b 2 R

f ðxÞ ¼ a sin cx þ b cos cx, Da finnes A og ’ slik at

f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ Vi har

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a 2 þ b2

A¼

a ¼ A cos ’ b ¼ A sin ’

til

Addisjon av to harmoniske svingninger med samme frekvens gir en ny harmonisk svingning.

Vi finner ’ ved å løse likningene A sin ’ ¼ b og A cos ’ ¼ a. Vi velger en verdi av ’ som passer i begge likningene. Vi viser hvordan vi gjør dette i neste eksempel.

Omskriving av trigonometriske funksjoner:

Ku n

(

1 a b ½a, b ¼ , A A A a b , . Det betyr at Vinkelpunktet er A B a b cos ’ ¼ sin ’ ¼ A A a ¼ A cos ’ b ¼ A sin ’

EK SEMPEL 8 En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3 sin 3x 4 cos 3x 1. Skriv om f til en sinusfunksjon.

(3, –4)

Løsning: Vi lar a være tallet foran sinus og b tallet foran cosinus, altså a ¼ 3 og b ¼ 4. Vi finner A: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi A ¼ 32 þ ð 4Þ2 ¼ 9 þ 16 ¼ 25 ¼ 5

Funksjonen a sin cx þ b cos cx 101

Vi finner ’: b A 4 sin ’ ¼ 5 ’ ¼ 0,927 þ n 2

’ ¼ ð 0,927Þ þ n 2

’ ¼ 0,927 þ n 2

’ ¼ 4,069 þ n 2

a A 3 cos ’ ¼ 5 ’ ¼ 0,927 þ n 2

in g

cos ’ ¼

sin ’ ¼

f ðxÞ ¼ 5 sin ð3x þ 5,356Þ 1

Løsning med CAS: Vi definerer funksjonen og skriver «TrigKombiner(f, sin(x))»:

I første omløp gir den venstre likningen ’ 2 f4,069, 5,356g, mens den høyre gir ’ 2 f0,927, 5,356g. Dermed er det bare én verdi av ’ som passer i begge likningene, nemlig ’ ¼ 5,356. Dette gir

til

Fra CAS får vi f ðxÞ ¼ 5 sin ð3x 0,927Þ 1. Dette er samme funksjon som vi fikk for hånd. Vi kan øke ’ med 2 . Da blir ’ lik 2 0,9273 ¼ 5,356.

Reflekter og diskuter!

Ku n

Mariann synes at det er overraskende at vi bruker a, tallet foran sinus, som førstekoordinat og b, tallet foran cosinus, som andrekoordinat i punktet ða, bÞ. Inge hevder at a egentlig er en cosinusverdi, og at b er en sinusverdi. Han regner slik: A sin ðcx þ ’Þ ¼ A cos ’ sin cx þ A sin ’ cos cx |fflfflffl{zfflfflffl} |fflfflffl{zfflfflffl} a

Forklar hvordan Inge tenker.

Oppgaver: 2.23–2.24

102 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Alternativ metode for å finne ’ b a Når vi finner ’, har vi ovenfor tatt utgangspunkt i at sin ’ ¼ og cos ’ ¼ . A A Definisjonen av tangens gir da:

in g

b b tan ’ ¼ A ¼ a a A Vi kan i stedet løse en tangenslikning for å finne ’. Vi prøver ideen på pffiffiffi pffiffiffi funksjonen f ðxÞ ¼ 3 sin x 3 cos x. Her er altså a ¼ 3 og b ¼ 3.

Så bruker vi tangens: b a pffiffiffi 3 tan ’ ¼ 3 ’¼ þn 6

tan ’ ¼

Vi finner først A, som tidligere, med Pytagoras' setning: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi ffi pffiffiffiffiffi A ¼ a2 þ b2 ¼ 32 þ ð 3Þ2 ¼ 12 ¼ 2 3

5 . Men hvordan skal vi avgjøre , 6 6 hvilken verdi vi skal velge for ’? Til venstre ser du en figur som viser situasjonen.

I intervallet ½ , i gir dette ’ 2

pffiffiffi Vi ser at ð3, 3Þ ligger i tredje kvadrant. I intervallet ½ , i betyr dette 2 < ’ < 0.

3 2

(3, –

Ku n

til

blir vinkelpunktet i riktig kvadrant. 6 11 . Om vi ønsker en vinkel i første omløp, kan vi i stedet velge ’ ¼ 6 Det spiller ingen rolle hvilken av disse verdiene vi velger. pffiffiffi Altså har vi for eksempel f ðxÞ ¼ 2 3 sin x . 6

Så dersom vi velger ’ ¼

Reflekter og diskuter! Hvis vi velger feil kvadrant for ’, vil grafen til funksjonen vi finner være en speiling av den riktige grafen om likevektslinja. Forklar hvorfor.

Funksjonen a sin cx þ b cos cx 103

Likningen a sin cx þ b cos cx ¼ k Noen likninger med både sinus og cosinus kan vi skrive om til likninger med bare sinus, og deretter løse som tidligere.

Løs likningen: pffiffiffi cos x 3 sin x ¼ 1,

in g

EKSEMPEL 9 x 2 ½0, 2 i

Vi bestemmer A: ffi pffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffi A ¼ a2 þ b2 ¼ ð 3Þ2 þ ð 1Þ2 ¼ 4 ¼ 2 Vi finner ’: a A

pffiffiffi 3 cos ’ ¼ 2 5 þ n 2 ’¼ 6 b A 1 sin ’ ¼ 2

ð1Þ

til

sin ’ ¼

cos ’ ¼

_ ’¼ þ n 2 6 7 _ ’¼ þ n 2 ð2Þ 6 5 7 7 11 og , mens ð2Þ gir og . I første omløp gir ð1Þ løsningene 6 6 6 6 7 Vi setter derfor ’ ¼ . 6

Ku n

’ ¼ þ n 2 6 ’ ¼ þ n 2 6

Det er tallet som står foran sinus som er a, ikke nødvendigvis tallet foran den første trigonometriske funksjonen!

Løsning: Likningen inneholder både cos x og sin x. Vi skriver derfor om likningen slik at pffiffiffi den bare inneholder sinus. Av likningen finner vi a ¼ 3 og b ¼ 1.

104 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

in g

Nå kan vi løse likningen: pffiffiffi cos x 3 sin x ¼ 1 7 2 sin x þ ¼1 6 7 1 sin x þ ¼ 6 2 7 7 xþ ¼ þ n 2 _ x þ ¼ þ n 2 6 6 6 6 7 7 5 ¼ þ n 2 _ x þ ¼ þ n 2 xþ 6 6 6 6 7 7 5 þ þ n 2 _ x ¼ þ þ n 2 x¼ 6 6 6 6 x ¼ þ n 2 _ x ¼ þ n 2 3 5 Med n ¼ 1 får vi x ¼ _ x ¼ . 3

Oppgave: 2.25

Reflekter og diskuter!

til

Oppgaver

I eksempelet ovenfor løste vi likningen ved å skrive om til en sinusfunksjon. Hvordan kunne vi i stedet skrevet om til en cosinusfunksjon?

2.23 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3 sin 2x þ 4 cos 2x 1. a

Bruk graftegner til å tegne grafen til f .

Skriv f på formen f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d ved å bruke grafen

bruke funksjonsuttrykket til f

Ku n

2.24 En funksjon er gitt ved f ðxÞ ¼ 6e 0,2x sin x 8e 0,2x cos x.

Skriv f på formen f ðxÞ ¼ e 0,2x A sin ðx þ ’Þ.

Tegn grafen til g1 ðxÞ ¼ Ae 0,2x , g2 ðxÞ ¼ Ae 0,2x og hðxÞ ¼ sin ðx þ ’Þ.

Tegn grafen til f .

2.25 Løs likningen for hånd, med CAS og med graftegner. a sin x þ cos x ¼ 1, x 2 ½0, 2 i pffiffiffi b sin 2x þ 3 cos 2x ¼ 1 2.26 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ 12 sin 2x þ 5 cos 2x. Gjør f ðxÞ om til en sinusfunksjon og bestem verdimengden til f . 2.27 En likning er gitt ved 8 sin x þ 15 cos x ¼ k. Drøft hvilke verdier av k som gir ingen, én eller flere løsninger for x 2 ½0, 2 i. 2.28 Funksjonen f er definert ved f ðxÞ ¼ 2 sin x cos x. Skisser grafen til f for hånd.

Derivasjon av trigonometriske funksjoner 105

2.5 Derivasjon av trigonometriske funksjoner 1

in g

UTFORSK Ta utgangspunkt i grafen til sin x. y 1 1

–1

sin x

Merk av ekstremalpunkter og skjæringspunkter med likevektslinja.

Bestem vekstfarten i punktene grafisk.

Merk av vekstfarten som y-verdi i hvert av punktene.

Tegn grafen til cos x i samme koordinatsystem.

Vi skal derivere de trigonometriske funksjonene sin x, cos x og tan x. Vi beviser først den deriverte av sin x. Da tar vi utgangspunkt i definisjonen av den deriverte og setter inn i f ðxÞ ¼ sin x: f ðx þ 1xÞ f ðxÞ sin ðx þ 1xÞ sin x ¼ lim 1x ! 0 1x 1x

til

f 0 ðxÞ ¼ lim

1x ! 0

Nå bruker vi regelen for sinus til en sum. Det gir

sin x cos 1x þ cos x sin 1x sin x 1x cos x sin 1x sin x cos 1x sin x þ ¼ lim 1x ! 0 1x 1x

f 0 ðxÞ ¼ lim

Ku n

1x ! 0

cos x sin 1x sin x cos 1x sin x þ lim 1x ! 0 1x 1x sin 1x cos 1x 1 þ sin x lim ¼ cos x lim 1x ! 0 1x 1x ! 0 1x ffl} |fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl

¼ lim

1x ! 0

De to grenseverdiene som er markert i siste linje, kjenner vi ikke verdien av. 0 Dersom vi prøver å sette inn 1x ¼ 0, blir verdien , som ikke er definert. 0

106 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Vi tegner grafen til brøkene: y

0,8

cos Dx – 1 0,8 0,6 Dx 0,4

0,6 0,4 0,2 –12

–8

in g

sin Dx Dx

0,2

–4 –0,2

12 Dx

–0,4

–12

–8

–4 –0,2

12 Dx

–0,4

–0,6

sin 1x cos 1x 1 ¼ 1, og at lim ¼ 0. 1x ! 0 1x 1x Hvis det er slik, blir den deriverte av sin x Grafen gir inntrykk av at lim

1x ! 0

sin 1x cos 1x 1 f 0 ðxÞ ¼ cos x lim þ sin x lim ¼ cos x 1 þ sin x 0 ¼ cos x 1x ! 0 1x 1x ! 0 1x |fflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 1

Vi beviser at det stemmer:

Figuren under viser tre arealer:

A1 er arealet av en likebeint trekant. Vi bruker arealsetningen på de to like sidene. Vinkelen mellom disse er u.

A2 er arealet av en sirkelsektor med vinkel u og radius 1. b La b være buelengden. Da er u ¼ ¼ b, så buelengden er u. 1

Ku n

til

A3 er arealet av en rettvinklet trekant. La h være høyden. h Vi har tan u ¼ ¼ h, så høyden i trekanten blir tan u. 1

1 u

u 1

1 p q sin u 2 1 ¼ 1 1 sin u 2 1 ¼ sin u 2

A1 ¼

A₂

A₁

A₃ u

b 2 r u 2 ¼ 1 2 1 1 ¼ u 2

A2 ¼ r2

g h 2 1 tan u ¼ 2 1 ¼ tan u 2

A3 ¼

tan u

Derivasjon av trigonometriske funksjoner 107

Av figurene ser vi at A1 < A2 < A3 For to tall m og n har vi følgende implikasjon m<n)m

in g

Da kan vi skrive A1

1 sin u 2

1 u 2

1 tan u 2 tan u ¼

sin u cos u

sin u

j 2

Vi forutsetter at sin u > 0, og dividerer med sin u overalt. Det gir 1

u sin u

1 cos u

lim

u!0

u sin u

Vi lar nå u ! 0. Da får vi cos u ! 1, og derfor 1

Nå er grenseverdien klemt mellom to ett-tall. Den eneste muligheten vi har u sin u for at dette skal stemme, er at lim ¼ 1. Da må også lim ¼ 1. u ! 0 sin u u!0 u Vi beregner den andre grenseverdien. Underveis bruker vi enhetsformelen til å erstatte cos 2 u 1 med sin 2 u: u!0

ðcos u 1Þ ðcos u þ 1Þ cos u 1 cos 2 u 1 ¼ lim ¼ lim u!0 u u ðcos u þ 1Þ u ! 0 uðcos u þ 1Þ

til

lim

¼ lim

u!0

sin 2 u sin u sin u ¼ lim ¼1 0¼0 uðcos u þ 1Þ u ! 0 u cos u þ 1

Ku n

Med dette kan vi konkludere med at den deriverte av sin x er cos x!

Skal bare drikke meg til krefter, lissom.

Fint, nå får jeg hjelp til å komme opp på fjellet.

Å nei, jeg er offer for matematikkens sandwichteorem!

POLITI

108 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

EK SEMPEL 10 a

f ðxÞ ¼ sin 2x

gðxÞ ¼ sin 2 x

hðxÞ ¼ x sin x

Løsning: a f 0 ðxÞ ¼ cos 2x ð2xÞ0 ¼ 2 cos 2x

sin x ¼ cos

x 2

g 0 ðxÞ ¼ sin 2 x ¼ 2 sin x ðsin xÞ0 ¼ 2 sin x cos x ¼ sin 2x

h 0 ðxÞ ¼ 1 sin x þ x cos x ¼ sin x þ x cos x

Vi deriverer cos x ved å skrive om til sin x: 0 0 x x ð 1Þ ¼ sin x ¼ cos ð cos xÞ ¼ sin 2 2

Husk!

Oppgave: 2.29

in g

Deriver funksjonene:

Vi deriverer tan x som en brøkfunksjon: 0 ðsin xÞ0 cos x sin x ðcos xÞ0 cos 2 x ð sin 2 xÞ sin x 1 ðtan xÞ0 ¼ ¼ ¼ ¼ 2 2 cos x cos 2 x cos x cos x D E R I VA S J O N A V T R I G O NO M E T R I S K E F U N K S J O N E R ðsin xÞ0 ¼ cos x

til

ðcos xÞ0 ¼ sin x 1 ðtan xÞ0 ¼ cos 2 x

Ku n

EK SEMPEL 11

Oppgaver: 2.30–2.31

Deriver funksjonene: a

f ðxÞ ¼ 3x2 cos 2x

f ðxÞ ¼ 2 tan x cos x

f ðxÞ ¼ ðcos x þ 1Þ3

Løsning: a

f 0 ðxÞ ¼ 6x cos 2x þ 3x2 ð sin 2xÞ 2 ¼ 6x cos 2x 6x2 sin 2x

f 0 ðxÞ ¼

f 0 ðxÞ ¼ 3ðcos x þ 1Þ2 ð sin xÞ ¼ 3 sin xðcos x þ 1Þ2

2 þ sin x cos 2 x

Derivasjon av trigonometriske funksjoner 109

Oppgaver

f ðxÞ ¼ 3 sin 4x

f ðxÞ ¼ 2 sin 3x þ 5

f ðxÞ ¼ x2 sin x

2.30 Deriver funksjonene: a

f ðxÞ ¼ x3 cos x

f ðxÞ ¼ 2 sin x cos x

f ðxÞ ¼

f ðxÞ ¼ lnðcos xÞ

f ðxÞ ¼ ðcos x þ 1Þ

f ðxÞ ¼ ð2 sin x þ 3Þ4

f ðxÞ ¼

2.33 Deriver funksjonene: a

f ðxÞ ¼ cos 3 x

f ðxÞ ¼ x sin 2x

f ðxÞ ¼ 3 ðsin x 2Þ3

til

Ku n

f ðxÞ ¼ x2 sin 2x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðxÞ ¼ cos 2x

f ðxÞ ¼ 2 cos 3x

sin x x cos x f ðxÞ ¼ sin x

2.34 Finn to måter å vise at ðsin x cos xÞ0 ¼ cos 2x.

2.31 Deriver funksjonene: a

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tan x

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tan 2x

in g

2.32 Deriver funksjonene:

2.29 Deriver funksjonene:

110 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

UTFORSK Du trenger: GeoGebra La f være f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d.

in g

2.6 Drøfting av sammensatte trigonometriske funksjoner

Tegn grafen til f i GeoGebra. Opprett glidere for A, c, ’ og d.

Tegn grafen til den deriverte av f .

Beskriv hvordan grafen til f og grafen til f 0 ðxÞ ligger i forhold til hverandre.

Varier parametrene A, c, ’ og d. Hvordan påvirker de grafen til f 0 ðxÞ?

Funksjoner som beskriver harmoniske svingninger, kan vi drøfte uten derivasjon. Andre funksjoner som inneholder trigonometriske uttrykk, må vi drøfte ved hjelp av derivasjon, slik vi gjorde det i R1.

FUNKSJON SD RØF TI NG

Funksjonsdrøfting er å beskrive sentrale egenskaper ved funksjonen: monotoniegenskaper

ekstremalpunkter, kritiske punkter

krumning, vendepunkter

definisjonsmengde, verdimengde

Ku n

til

EK SEMPEL 12 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x þ 2 sin x, der Df ¼ ½0, 10i. Bestem funksjonens monotoniegenskaper. Finn og beskriv eventuelle kritiske punkter.

Løsning: Vi deriverer og får f 0 ðxÞ ¼ 1 þ 2 cos x. Vi finner nullpunktene til den deriverte: f 0 ðxÞ ¼ 0 1 þ 2 cos x ¼ 0 1 2 2 x¼ þ n 2 3 2 4 8 For x 2 ½0, 10i får vi x 2 , , . 3 3 3 cos x ¼

Drøfting av sammensatte trigonometriske funksjoner 111

Vi lager fortegnslinje for f 0 ðxÞ:

f′(x)

2p ––– 3

4p ––– 3

8p ––– 3

f(x)

Kritiske punkter: Vi ser at f har toppunkt for x ¼

2 8 4 og x ¼ og bunnpunkt for x ¼ . 3 3 3

2 2 pffiffiffi f þ 3 3,83, altså toppunkt i ð2,09, 3,83Þ ¼ 3 3 4 4 pffiffiffi f ¼ 3 2,46, altså bunnpunkt i ð4,19, 2,46Þ 3 3 8 8 pffiffiffi f ¼ þ 3 10,11, altså toppunkt i ð8,38; 10,11Þ 3 3

in g

I tillegg har f et bunnpunkt i endepunktet ð0, 0Þ.

Monotoniegenskaper:

6 4 2

10 x

Grafen til f stiger for x 2 ½0, 2,09i [ ½4,19, 8,38i.

Grafen til f faller for x 2 ½2,09, 4,19i [ ½8,38, 10i.

til

EKSEMPEL 13

La f være funksjonen

f ðxÞ ¼ cos 2 x cos x 1,

x 2 ½0, 2 i

Finn nullpunkter og ekstremalpunkter på grafen til f .

Ku n

Løsning: Vi løser likningen f ðxÞ ¼ 0 ved å substituere z for cos x, slik at vi får en andregradslikning cos 2 x cos x 1 ¼ 0 z2 z 1 ¼ 0

z ¼ 0,618

z ¼ 1,618

cos x ¼ 0,618

cos x ¼ 1,618

x¼

2,237 þ n 2

Vi varierer n og velger ut løsninger i ½0, 2 i. Vi får at f har nullpunkter for x ¼ 2,237 og x ¼ 4,046.

Oppgave: 2.35

112 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Vi deriverer og får f 0 ðxÞ ¼ 2 cos x ð sin xÞ þ sin x ¼ 2 sin x cos x þ sin x. Vi finner nullpunktene til f 0 ðxÞ:

in g

2 sin x cos x þ sin x ¼ 0 sin xð 2 cos x þ 1Þ ¼ 0 _

2 cos x ¼ 1 1 sin x ¼ 0 _ cos x ¼ 2 þ n 2 x ¼n _ x ¼ 3 Vi varierer n og velger x-verdier som passer i ½0, 2 i:

sin x ¼ 0

þ 0 2 ¼ 3 3 5 n ¼ 1: x ¼ 1 ¼ og x ¼ þ 1 2 ¼ 3 3 5 . Det gir x 2 0, , , 3 3

n ¼ 0: x ¼ 0 ¼ 0 og x ¼

Vi tegner fortegnslinje for f 0 ðxÞ: p ––– 3

5p ––– 3

vu 0

f′(x)

f(x)

til

Vi regner ut funksjonsverdiene i de kritiske punktene:

Ku n

f ð0Þ ¼ ðcos 0Þ2 cos 0 1 ¼ 1 1 1 ¼ 1 2 2 1 1 5 ¼ cos cos 1 ¼ 1¼ f 3 3 3 2 2 4

Oppgave: 2.36

f ð Þ ¼ ðcos Þ2 cos 1 ¼ 1 þ 1 1 ¼ 1 2 2 5 5 5 1 1 5 ¼ cos 1¼ cos 1¼ f 3 3 3 2 2 4 Vi har nå funnet ekstremalpunktene til f : 5 5 5 Grafen til f har bunnpunkter i , og , og 3 4 3 4 toppunkter i ð0, 1Þ og ð , 1Þ.

Drøfting av sammensatte trigonometriske funksjoner 113

EKSEMPEL 14 y (timer) 20 15

in g

Daglengden på Lillehammer er gitt ved funksjonen 2 x 7,677 þ 12,408, x 2 ½0, 365 f ðxÞ ¼ 6,476 sin 365 der x er antall dager etter nyttårsaften og f ðxÞ er antall timer mellom soloppgang og solnedgang. Bestem toppunktet og bunnpunktet på grafen til f og gi en praktisk tolkning av resultatet.

Bestem toppunktene og bunnpunktene på grafen til den deriverte, f 0 ðxÞ, og gi en praktisk tolkning av resultatet.

100

200

Løsning: a For å finne ekstremalpunkter kan vi derivere funksjonen og lage fortegnslinje. Når grafen er en harmonisk svingning, er det imidlertid enklere å bruke egenskapene til funksjonen.

Toppunktet på grafen til f finner vi når sinusverdien er 1: 2 x 7,677 ¼ þ n 2 365 2 2 x ¼ 9,248 þ n 2 365 x ¼ 537,2 þ 365n Med n ¼ 1 får vi x ¼ 172,2, som tilsvarer 21. juni. f ð172Þ ¼ 18,88

til

Toppunktet er ð172, 18,9Þ. Det betyr at største daglengde er ca. 19 timer og inntreffer 21. juni. Dette er sommersolverv. Bunnpunktet ligger en halvperiode til høyre for toppunktet. 365 Det betyr x ¼ 172,4 þ ¼ 354,7, som tilsvarer 21. desember. 2 f ð355Þ ¼ 5,9

Ku n

Bunnpunktet er ð355, 5,9Þ. Det betyr at minste daglengde er ca. 6 timer og inntreffer 21. desember. Dette er vintersolverv.

Den deriverte har størst verdi i vendepunktet, altså i skjæringspunktene med likevektslinja. Dette inntreffer når sinusverdien er 0: 2 x 7,677 ¼ 0 þ n 365 2 x ¼ 7,677 þ n 365 365 n x ¼ 446,0 þ 2 Med n ¼ 1 og n ¼ 2 får vi x ¼ 81,0 og 263,5, som tilsvarer henholdsvis 22. mars og 21. september.

300 x (dager)

114 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

in g

Vi regner ut den deriverte: 2 2 2 x 7,677 ¼ 0,111cos x 7,677 f 0 ðxÞ ¼ 6,476 cos 365 365 365 Vi finner den deriverte på likevektslinja: f 0 ð81Þ ¼ 0,111 f 0 ð264Þ ¼ 0,111

Toppunktet på den deriverte er ð81, 0,111Þ, mens bunnpunktet er ð264, 0,111Þ. Dette betyr at daglengden endrer seg mest 22. mars og 21. september. Daglengden endrer seg da med 0,111 timer per døgn, altså om lag 6 minutter og 40 sekunder per døgn. Disse to dagene er natt og dag like lange, og de kalles vårjevndøgn og høstjevndøgn.

Oppgave: 2.37

2.35

2.38 Et lodd svinger i en fjær. Fjæra er senket ned i en væske, som demper svingningene.

Oppgaver

x En funksjon er gitt ved f ðxÞ ¼ 4 cos x þ . 2 Bestem funksjonens monotoniegenskaper og beskriv eventuelle kritiske punkter.

til

2.36 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ 4 sin x ð1 þ cos xÞ, Df ¼ ½0, 2 i Bestem eventuelle nullpunkter og ekstremalpunkter på grafen til f .

Funksjonen f er en modell for hvor langt ut fra likevektsstillingen loddet er etter t sekunder.

Bestem p, A, c og ’ slik at f ðxÞ ¼ e

Tegn grafen til f sammen med grafen til g1 ðtÞ ¼ Ae pt , g2 ðtÞ ¼ Aept og hðtÞ ¼ A sin ðct þ ’Þ.

Bestem koordinatene til toppunktene til f .

Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom f og g1 .

Ku n

2.37 Vanndybden ved et skjær utenfor Honningsvåg er gitt ved f ðxÞ ¼ 108,0sin ð0,5094x þ 1,486Þ þ 175, der x er antall timer etter midnatt 4. februar 2022 og f er vanndybden i centimeter.

b c

Bestem perioden til f . Hva betyr perioden i denne situasjonen? Bestem ekstremalpunktene til f . Gi en praktisk tolkning av resultatet.

Bestem ekstremalpunktene til f 0 ðxÞ. Gi en praktisk tolkning av resultatet.

f ðxÞ ¼ e 0,4t ð0,09 sin 2,2t þ 0,5 cos 2,2tÞ, p t

Df ¼ ½0, 6i

A sin ðct þ ’Þ.

Drøfting av sammensatte trigonometriske funksjoner 115

2.39 I Oslo er daglengden gitt ved funksjonen f ved at 2 f ðxÞ ¼ 6,3 sin x 1,27 þ 11,6 365 der f ðxÞ er daglengden i antall timer fra sola står opp til sola går ned, og der x er antall dager fra nyttår. Det betyr at x ¼ 1 tilsvarer 1. januar og x ¼ 100 tilsvarer 10. april. a

Bestem amplitude, likevektslinje og periode for f .

Hvilken dag er lengst, og hvilken dag er kortest? 2 0 x 1,27 þ 11,6. Vis at f ðxÞ 0,108 cos 365 Når øker daglengden mest? Hvor raskt øker den da? Gi svaret i min=dag.

Når er daglengden på 15 timer?

2.40

Aleksander måler sjøtemperaturen ved Lindesnes hver dag i ett år fra 1. januar. Han finner ut at sjøtemperaturen f ðxÞ i grader celsius på dag nummer x etter 1. januar omtrent er gitt ved funksjonsuttrykket f ðxÞ ¼ 4,95 sin ð0,017xÞ 4,24 cos ð0,017xÞ þ 9,58, Df ¼ ½0, 365 a

Vis at funksjonsuttrykket for f kan skrives om til f ðxÞ ¼ 6,52 sin ð0,017x þ 3,85Þ þ 9,58.

Finn høyeste temperatur i sjøen. Hva er x når dette skjer?

Avgjør på hvilken dag (hvilken x-verdi) temperaturen er 5,0 C.

Skisser grafen til funksjonen f ðxÞ for et år.

Finn f 0 ðxÞ.

Finn hvor raskt temperaturen endrer seg 1. april (x ¼ 91) og 1. juli (x ¼ 182).

På hvilken dag (hvilken x-verdi) øker temperaturen raskest? Hvor raskt øker den da?

2.41 Når det virkelig blåser i Dubai, kan toppen av verdens høyeste bygning, Burj Khalifa, svaie ca. 1 meter til hver side for en loddrett likevektslinje. Denne bevegelsen er tilnærmet en harmonisk svingning der amplituden er 1 meter, perioden er ca. 12 sekunder. Vi lar s meter være avstanden fra likevektslinja ved tiden t sekunder. Dette gir følgende modell for posisjonen: sðtÞ ¼ 1 sin t 6 Det er beregnet at arbeidere på kontor kan tåle en akselerasjon på om lag 0,2 m=s2 uten at de føler ubehag og svimmelhet. a

Gjør beregninger og finn ut hvor stor fart toppen av Burj Khalifa kan få.

Undersøk hvor stor akselerasjon bygningen har da, og om det er akseptable arbeidsforhold.

2.42 Funksjonen f ðxÞ viser vannstanden på kaia på Sortland x timer etter midnatt 10. oktober 2019. f ðxÞ ¼ 62 sin ð0,512x 17Þ þ 150, x 2 ½0, 48i Vannstanden er målt i centimeter over sjøkartnull. (Sjøkartnull er vanlig referansenivå for vannstand.) a

Bestem perioden, amplituden og likevektslinja til f . Gi en praktisk tolkning av disse størrelsene.

Morten skal reparere en brygge og må ha vannstand under 180 cm. Hvilke tidspunkter 10. oktober kan han jobbe?

Noen turister vil undersøke om de kan se tidevannsstrømmen. På hvilke klokkeslett er det sterkest endring av vannstanden?

116 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

MØNSTER OG OVERSIKT Egenskaper ved sin x

Horisontal og vertikal forskyvning

La f ðxÞ ¼ sin x.

La f være en funksjon.

Periode: p ¼ 2

Nullpunkter for x ¼ n

Maksimalverdi 1, minimalverdi 1, Vf ¼ ½ 1, 1 Toppunkter: þ n 2 , 1 2 3 Bunnpunkter: þ n 2 , 1 2

y 1

Grafen til f ðxÞ þ k er forskjøvet med k enheter oppover i forhold til grafen til f .

periode: 2p

Grafen til f ðx þ aÞ er forskjøvet med a enheter mot venstre i forhold til grafen til f .

Horisontal og vertikal strekking La f være en funksjon. k > 1: Grafen til gðxÞ ¼ k f ðxÞ er strukket ut med en faktor k i y-retning.

y=1

(2p , 1)

k < 1: Grafen til gðxÞ ¼ k f ðxÞ er komprimert med en faktor k i y-retning.

–p

likevektslinje -1 nullpunkter: n · p

( 3p2 , –1)

y = –1

k > 1: Grafen til gðxÞ ¼ f ðk xÞ er komprimert med en faktor k i x-retning. k < 1: Grafen til gðxÞ ¼ f ðk xÞ er strukket ut med en faktor k i x-retning.

Harmonisk svingning

Egenskaper ved cos x

Periode: p ¼ 2

Nullpunkter for x ¼

þn 2 Maksimalverdi 1, minimalverdi 1, Vf ¼ ½ 1, 1

Toppunkter: ðn 2 , 1Þ

Bunnpunkter: ð þ n 2 , 1Þ (0, 1) 1

periode: 2p

-1

(p, –1)

f(x)

likevektslinje

amplitude x

La f være funksjonen f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d. Da gjelder: y=1 likevektslinje

–p

periode

La f ðxÞ ¼ cos x.

3p x

y = –1 p nullpunkter: + n · p 2

Likevektslinje: y ¼ d

Amplitude: A

Periode: p ¼

Skjæringspunkt med likevektslinja: ’ x ¼ på vei opp c

2 c

Mønster og oversikt 117

Modellering av harmonisk svingning Vi leser av et bunnpunkt til ðx1 , y1 Þ og et påfølgende toppunkt ðx2 , y2 Þ. Vi leser av et skjæringspunkt mellom likevektslinja og grafen på vei opp til ðx0 , dÞ. Da har vi y y1 A¼ 2 2 y1 þ y2 d¼ 2 p ¼ 2 ðx2 x1 Þ 2 c¼ c ’ ¼ c x0 y

y=d

j – c

Omskriving a sin cx þ b cos cx ¼ A sin ðcx þ ’Þ La f være funksjonen f ðxÞ ¼ a sin cx þ b cos cx, Da finnes A og ’ slik at f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ der A¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a 2 þ b2

a ¼ A sin ’ b ¼ A cos ’ y (a, b) A

j x

a, b 2 R

Derivasjon av trigonometriske funksjoner ðsin xÞ0 ¼ cos x ðcos xÞ0 ¼ sin x 1 ðtan xÞ0 ¼ cos 2 x

Avgjør om påstandene stemmer 1

Grafen til f ðx aÞ er forskjøvet med a mot høyre i forhold til grafen til f ðxÞ.

Hvis vi multipliserer en funksjon med et tall større enn 1, så strekker vi grafen i y-retning.

Alle funksjonsuttrykk som inneholder sinus og cosinus kan skrives om til en harmonisk svingning.

Alle harmoniske svingninger kan skrives om til en funksjon på formen A cos ðcx þ ’Þ þ d.

Grafen til sin x er begrenset.

Grafen til tan x er begrenset.

Hvis du multipliserer en harmonisk funksjon med et tall, så påvirkes ikke likevektslinja.

118 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Test deg selv Med hjelpemidler

Uten hjelpemidler

2.43 8

2.46 Løs likningene: 1 pffiffiffi a sin 2x ¼ 3, x 2 ½0, 2 i 2 b 5 sin x þ 2 cos x ¼ 1, x 2 R

7 6 5 f

2.47

pffiffiffi pffiffiffi 8 sin 2x 8 cos 2x þ 1.

La f være funksjonen f ðxÞ ¼

Bestem likevektslinja, amplituden og perioden til f .

Finn koordinatene til toppunktene og bunnpunktene til f .

Tegn grafen til f .

5 x

Figuren viser grafen til en harmonisk funksjon f ðxÞ. a

Bruk grafen til å finne et uttrykk for f ðxÞ på formen A sin ðcx þ ’Þ þ d.

Finn et uttrykk for f ðxÞ på formen A cos ðcx þ ’Þ þ d.

2.44 Deriver funksjonene:

f ðxÞ ¼ 3 sin 2x

f ðxÞ ¼ 2x cos x 1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðxÞ ¼ sin 2 x þ 1 2

c d

2 sin 2 x ¼ 1, x 2 ½0, 360 i pffiffiffi sin x þ 3 cos x ¼ 1, x 2 ½0, 2 i

2.49 Finn største og minste verdi for f ðxÞ: a f ðxÞ ¼ 2 sin 3x þ 4, x 2 R 2

f ðxÞ ¼ tan x cos 2 x

2.45 a

2.48 Løs likningene: 1 a ðsin x 1Þ cos x ¼ 0, x 2 R 2 b 1 tan 2x ¼ 0, x 2 ½0, 2 i 3

Vis at ðsin t þ cos tÞ þ ðsin t cos tÞ ¼ 2. 2 þ . Vis at cos ¼ cos 3 3

f ðxÞ ¼ sin 2 x cos 2 x,

x2R

Test deg selv 119

2.50 (Eksamen R2 våren 2012)

En automatisk strømbryter for utelys skal programmeres. Lyset skal slås på når det begynner å mørkne. En modell for dette tidspunktet er gitt ved f ðtÞ ¼ 19 4 cos t 180 der f ðtÞ er tidspunktet målt i timer etter midnatt, og der t er antall dager regnet fra nyttår. I denne modellen forutsettes det at alle måneder har 30 dager.

Når begynner det å mørkne 25. mars ifølge modellen?

Tegn grafen til f . Bestem likevektslinja, amplituden og perioden til f . Hva er gjennomsnittlig tidspunkt i løpet av året for når lyset slås på?

Bestem når på året lyset slås på klokka 18.00.

Bestem når på året dagslyset varer lengst ifølge modellen.

120 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

Oppgaver 2.1 Grafen til sin x og cos x

2.2 Forskyvning og strekking

2.51 Tegn grafene i samme koordinatsystem for x 2 ½0, 2 i.

2.56 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ x2 .

f1 ðxÞ ¼ sin x

f2 ðxÞ ¼ cos x

f3 ðxÞ ¼ tan x

2.52 Tegn grafene til funksjonene f og g i samme koordinatsystem. Diskuter med en medelev hva sammenhengen mellom de to grafene er. a

f ðxÞ ¼ sin x x,

gðxÞ ¼ sin x

f ðxÞ ¼ cos x þ x,

gðxÞ ¼ cos x

f ðxÞ ¼ e

sin x,

gðxÞ ¼ sin x

Tegn grafen til f ðxÞ og gðxÞ ¼ f ðx 5Þ.

Beskriv sammenhengen mellom de to grafene.

2.57 a Tegn grafen til en funksjon f ðxÞ. b

2.58 10

2.53 a Tegn en enhetssirkel ved siden av et koordinatsystem. La enheten på y-aksen være den samme som i enhetssirkelen, altså slik at avstanden fra origo til y ¼ 1 er lik. b

Tegn seks vinkler i enhetssirkelen og marker vinkelpunktene og sinusverdien til vinklene.

Merk av tilsvarende punkter i koordinatsystemet.

Bytt farge og gjenta med cosinusverdien til vinklene.

2.54 a Tegn grafen til f ðxÞ ¼ sin x, Df ¼2 ½0, 2 i. b

Bruk grafen til f til å tegne grafen til den omvendte funksjonen f 1 .

2.55 a Tegn grafen til f ðxÞ ¼ sin x for x 2 ½0, 3 i. b

Velg noen punkter langs kurven i hele intervallet. Tegn tangenter i punktene.

Les av stigningstallene til tangentene og merk av punktene du får ved å la stigningstallet være y-verdien.

Trekk en glatt kurve gjennom punktene.

Bruk grafen til å tegne grafen til gðxÞ ¼ f ð2xÞ.

8 6 4 2

Figuren viser grafen til en funksjon f ðxÞ. Hvilket av funksjonsuttrykkene passer til grafen? a

f ðxÞ ¼ ðx 2Þ2 3

f ðxÞ ¼ ðx þ 3Þ2 þ 2

f ðxÞ ¼ ðx 3Þ2 þ 2

f ðxÞ ¼ x2 3

Oppgaver 121

2.59

2.3 Harmoniske svingninger

y g

2.62 y, °C

12 x

–2

100 150 200 250 300 350 x, dager

–10

–4

Figuren viser grafen til funksjonene f og g. f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3 sin x þ 2. Bruk grafen til å finne funksjonsuttrykket til g.

–20

f ðxÞ ¼ 2 sin 3x

Figuren viser middeltemperaturen på Tynset gjennom hele 2008. y er middeltemperaturen målt i grader celsius på dag nr. x etter nyttår, slik at x ¼ 1 tilsvarer 1. januar og x ¼ 100 tilsvarer 10. april. Hvert kryss tilsvarer en observasjon én dag.

gðxÞ ¼ 2 sin ð3x 1Þ

Bestem en funksjon y ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d som kan tjene som modell for datasettet på grafen.

Bestem en funksjon y ¼ A cos ðcx þ ’Þ þ d som kan tjene som modell for datasettet på grafen.

2.60 Amanda studerer de to funksjonsuttrykkene:

Hun tenker først at grafen til g kanskje er forskjøvet med 1 enhet mot høyre i forhold til grafen til f . a

Tegn grafen til f og g og vis at Amanda tar feil.

Bestem horisontal forskyvning mellom grafen til f og g.

2.63 y

2.61

Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3 sin x 1. 6 3 Om grafen til g får du vite at i forhold til grafen til f er den:

forskjøvet med 2 enheter oppover

komprimert i y-retningen slik at største utslag 1 fra likevektslinja er 4 komprimert i x-retningen slik at perioden er en firedel

forskjøvet med 1 enhet mot venstre

Bestem funksjonsuttrykket for g.

Figuren viser grafen til en funksjon f ðxÞ. Bestem både et funksjonsuttrykk med sinus og et funksjonsuttrykk med cosinus som passer med grafen.

122 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

2.64 8

2.66 La f være funksjonen gitt ved 12 x 2 ½0, 2 i f ðxÞ ¼ sin x cos x, 5 a Skriv f ðxÞ på formen f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ.

7 6 5 4 3 2

Bestem nullpunktene til f .

Bestem ekstremalpunktene til f .

Bestem vendepunktene til f .

Tegn grafen til f ðxÞ.

2.67

y 1

8 x

8 7

Figuren viser grafen til en harmonisk funksjon f . a

Bruk grafen til å vise at f kan skrives på formen x f ðxÞ ¼ 3 sin þ4 2 2

6 5 4 3 2

Finn et uttrykk for f ðxÞ på formen A cos ðcx þ ’Þ þ d

Bestem koordinatene til toppunktene og bunnpunktene til f .

1 1

Figuren viser grafen til en funksjon f ðxÞ. a

Bruk figuren til å finne et funksjonsuttrykk på formen f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d som passer med grafen.

Finn et funksjonsuttrykk på formen f ðxÞ ¼ A cos ðcx þ ’Þ þ d som passer med grafen.

2.65 y 4 2

–2

p – 6

p – 2

5p ––– 6

7p ––– 6

3p ––– 2

Figuren viser grafen til en funksjon f ðxÞ. Bruk grafen til å bestemme et funksjonsuttrykk for f ðxÞ.

11p ––– 6

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 x

2.68 La f være funksjonen gitt ved 2 x þ2 f ðxÞ ¼ 2 sin 3 a

Bestem funksjonens amplitude, periode og likevektslinje.

Lag en skisse av grafen til f .

Oppgaver 123

2.69 En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ 1,5 cos ð x Þ,

2.73 Df ¼ ½0, i

Bestem perioden til funksjonen.

Bestem nullpunktene.

Bestem ekstremalpunktene og vendepunktene.

Lag en skisse av grafen til f .

2.70 I fila «temperatur-flesland.csv» finner du gjennomsnittstemperaturen på Flesland gjennom et år. Temperaturen er i grader celsius på dag x etter nyttår. Bestem et funksjonsuttrykk som passer som modell for datasettet.

2.71 Fila «daglengde-oslo.csv» inneholder daglengden i Oslo gjennom et år. Bruk regresjon til å finne et funksjonsuttrykk som beskriver sammenhengen mellom daglengden og antall dager siden nyttår.

2.72 Fila «temperatur-tynset.csv» inneholder gjennomsnittstemperaturen på Tynset gjennom et år. Bruk regresjon til å finne et funksjonsuttrykk som beskriver sammenhengen mellom gjennomsnittstemperaturen i et døgn og antall dager siden nyttår.

y, grader celsius

25 15 10

–5 –10 0

100

200

300

400

500

600 x, dager

Figuren viser målinger av gjennomsnittstemperaturen i Oslo på dag x etter nyttår. Finn et funksjonsuttrykk som kan brukes som modell for sammenhengen mellom dag og temperatur.

2.74

þ 1. La f være funksjonen gitt ved f ðxÞ ¼ 3 sin x 6 a

Bestem amplituden, likevektslinja og perioden til f .

Bestem ekstremalpunktene på grafen til f .

Lag en skisse av grafen til f .

2.75 La f være funksjonen gitt ved x þ 1, Df ¼ ½0, 2 i f ðxÞ ¼ 3 sin 2 4 a

Forklar at f er harmonisk, og bestem perioden, likevektslinja og amplituden til f .

Bestem topp- og bunnpunkter på grafen til f .

Lag en skisse av grafen til f .

124 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

2.4 Funksjonen a sin cx þ b cos cx

2.82 Løs likningene:

2.76 Skriv om til en sinusfunksjon. Skisser grafene for x 2 ½0, 2 i.

a b

f ðxÞ ¼ 2 sin x þ cos x

gðxÞ ¼ 3 sin x þ 4 cos x þ 3 hðxÞ ¼ 6 sin x þ 8 cos x 4

2.77 Skriv om hver funksjon til en sinusfunksjon og en cosinusfunksjon: x þ 4 cos x þ1 a f ðxÞ ¼ 3 sin 12 12 pffiffiffi cos 2x þ 2 b gðxÞ ¼ sin 2x 3 3 2.78 Skriv om til en sinusfunksjon. f ðxÞ ¼ 2 sin x þ 3 sin x þ 3 4 2.79 Løs likningene: 1 pffiffiffi 3, x 2 ½0, 2 i a cos 3x ¼ 2 pffiffiffi b 3 sin x cos x þ 1 ¼ 0, x 2 R 2.80 Løs likningene: 1 pffiffiffi a sin 2x ¼ 3, x 2 ½0, 2 i 2 pffiffiffi b 3 sin x þ 3 cos x ¼ 3, x 2 R 2.81 La f være funksjonen gitt ved pffiffiffi 1 x 2 ½0, 2 i f ðxÞ ¼ sin x 3 cos x, 2 a Bestem likevektslinja, amplituden og perioden til f . b

Finn koordinatene til toppunktene og bunnpunktene til f .

Tegn grafen til f .

sin 3x ¼ 1, x 2 R pffiffiffi 2 , x2R cos 2x ¼ 2 sin 2 x sin x cos x ¼ 0, x 2 ½0, 2 i pffiffiffi 3 sin x 3 cos x ¼ 4, x 2 ½0, 2 i

2.83 Løs likningene: a b c

2 cos x ¼ 1, x 2 ½0, 360 i pffiffiffi 2 sin 2x ¼ 3, x 2 ½0, 2 i 3 sin x cos x ¼ 1, x 2 R

2.84 Løs likningene: 1 a sin 2x ¼ , x 2 R 2 x þ 180 ¼ 1, x 2 ½0 , 360 i b 2 cos 2 c sin x þ cos x ¼ 1, x 2 ½ , i

2.5 Derivasjon av trigonometriske funksjoner 2.85 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ 2 sin 2 x þ sin x þ 1, der x 2 ½0, 2 i. a

Bestem f 0 ðxÞ og finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .

Lag en skisse av grafen til f . Forklar – uten å gjennomføre utregningen – hvordan du vil gå fram for å finne vendepunktene på grafen. Marker vendepunktene på figuren din.

Oppgaver 125

2.86 En harmonisk funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ Vis at vendepunktene er i nullpunktene.

2.6 Drøfting av sammensatte trigonometriske funksjoner 2.93 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ cos 2 xð1 2 sin xÞ.

2.87 Ta utgangspunkt i at ðsin xÞ0 ¼ cos x, og vis at ðcos xÞ0 ¼ sin x.

Finn nullpunktene på grafen til f ved regning.

Vis at grafen til f er periodisk med periode 2 .

Finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f for x 2 ½0, 2 i.

Tegn grafen til f for x 2 ½0, 2 i.

2.88 sin x ¼ 1. x tan x . Bruk dette til å bestemme grenseverdien lim x ! 0 2x Vi har lim

x!0

2.89 Bestem grenseverdien lim

x!0

2.94 La f være funksjonen gitt ved f ðxÞ ¼ 8e x sin 2x, x 2 h0, i Bestem eventuelle topp- og bunnpunkter, nullpunkter og vendepunkter for grafen til f .

sin x þ sin 2x . sin 3x

2.90 Deriver funksjonene: a

f ðxÞ ¼ 3 sin 4x

gðxÞ ¼ ðcos x þ 1Þ

f ðxÞ ¼ 2 sin x cos x

f ðxÞ ¼ lnðcos xÞ

2.91 Deriver funksjonene: a

f ðxÞ ¼ 2 sin 5x

f ðxÞ ¼ e3x cos x

2.92 Deriver funksjonene: sin 3x a f ðxÞ ¼ 4 b gðxÞ ¼ sin x tan x

f ðxÞ ¼ cos 3 ð2xÞ

hðxÞ ¼

sin x x

2.95 La f være funksjonen gitt ved f ðxÞ ¼ sin x sin 2x, Df ¼ ½0, 2 i a

Bruk graftegner til å tegne grafen til f .

Bestem nullpunktene og ekstremalpunktene til f .

2.96 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ 2 sin 2 x þ sin x þ 1, der x 2 ½0, 2 i. a

Bruk graftegner til å tegne grafen til f for x 2 ½0, 2 i.

Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .

Finn koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til f .

126 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

2.97 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 2 sin 2 x sin 2x, a

2.100 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ 3 sin 2 x sin x þ 2. Df ¼ R

Vis at f ðx þ Þ ¼ f ðxÞ. Hva forteller dette om funksjonen f ?

Bruk graftegner til å tegne grafen til f for x 2 ½0, 2 i.

Bruk f 0 ðxÞ til å finne koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .

Funksjonen g er gitt ved gðxÞ ¼ 2 sin 2 x sin 2x, Dg ¼ ½0, 2 b

Bestem nullpunktene til g.

Vis at gðxÞ kan skrives på formen pffiffiffi . gðxÞ ¼ 1 2 cos 2x 4

2.101 Funksjonen f ðxÞ er gitt ved f ðxÞ ¼ sin x þ x.

Bestem koordinatene til topp- og bunnpunktene på grafen til g.

Bruk graftegner til å tegne grafen til g.

2.98 La f være funksjonen gitt ved 1 1 f ðxÞ ¼ sin 2 x þ cos x 2 2 Finn koordinatene til eventuelle ekstremalpunkter på grafen til f i intervallet ½0, 2 i.

Vis at f 0 ðxÞ

Vis at grafen til f ðxÞ har et terrassepunkt i ð , f ð ÞÞ.

0 for alle x.

Et stasjonært punkt er et punkt på grafen der f 0 ðxÞ ¼ 0. c

Vis at alle stasjonære punkter på grafen til f er terrassepunkter.

2.102 a En funksjon er gitt ved f ðxÞ ¼ sin ðx2 þ xÞ,

Df ¼ ½0, 1i

Bruk graftegner til å tegne grafen til f ðxÞ sammen med den deriverte, f 0 ðxÞ.

Bruk den deriverte til å finne koordinatene til ekstremalpunktene på grafen til f .

2.99 y 1 f

Blandede oppgaver

2.103 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ 3 sin 2 x sin x þ 2.

g –1

Et rektangel er innskrevet mellom grafene til funksjonene f og g, definert ved f ðxÞ ¼ sin 2x

gðxÞ ¼ sin 2x,

x 2 0,

Rektangelet har sidekanter a og b, se figuren. Bestem hvilken verdi av x som gjør at omkretsen av rektangelet blir størst mulig. Regn ut denne største omkretsen.

Bestem f 0 ðxÞ og finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f .

Lag en skisse av grafen til f .

Forklar – uten å gjennomføre utregningen – hvordan du vil gå fram for å finne vendepunktene på grafen. Marker vendepunktene på figuren din.

Oppgaver 127

2.104

2.108

–1

5 x

Figuren viser grafen til en harmonisk funksjon f ðxÞ. Bruk grafen til å finne et funksjonsuttrykk for f som passer med figuren.

2.105 a Regn om 63 til radianer. b

Regn om 2,475 radianer til grader.

Skriv så enkelt som mulig: þ cos x sin x þ 4 4

2.106 Løs likningene. La x 2 ½0, 2 i. a

2 cos 2 x ¼ 2 3 cos x

2 cos x sin 2x ¼ 0

3 sin 2x 4 cos 2x 5 ¼ 0

2.107 a Lag et funksjonsuttrykk gðxÞ. La nå h være funksjonen gitt ved hðxÞ ¼ A gðc x þ ’Þ þ d. b

Skriv gðxÞ og hðxÞ inn i GeoGebra. Opprett glidere for A, c, ’ og d.

Hva skjer når du varierer A, c, ’ og d? Beskriv hva som skjer, for en medelev.

–2

En harmonisk funksjon y ¼ gðxÞ har sitt første bunnpunkt med positiv x ved punktet ð1, 2Þ. Det etterfølgende toppunktet ligger ved ð5, 6Þ. a

Hva blir likevektslinje, periode og amplitude for funksjonen g?

Bestem et uttrykk for gðxÞ på formen gðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d. 3 x . Vis at gðxÞ ¼ 2 þ 4 sin 4 4

c d

Vis at vi også kan skrive pffiffiffi pffiffiffi gðxÞ ¼ 2 2 2 sin x 2 2 cos x. 4 4

Løs denne likningen ved å skrive om venstresiden: pffiffiffi sin x þ cos x ¼ 2 4 4

2.109 Løs likningene: pffiffiffi 2 , x2R a cos 3x ¼ 2 pffiffiffi b 3 sin x 3 cos x ¼ 4, x 2 ½0, 2 i c

2 cos x 3 sin x ¼ 1, x 2 ½0, 2 i

2.110

Løs likningen sin x þ ¼ 1, der x 2 R. 3

128 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

2.111 Legg funksjonsuttrykket for f inn i GeoGebra og lag glider for k: f ðxÞ ¼ a sin 3x þ b cos kx Hvilken verdi må k ha for at f ðxÞ skal være en harmonisk svingning? 2.112 (Eksamen R2 våren 2014) En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d. Grafen til funksjonen har et toppunkt i ð0, 7Þ. Det nærmeste bunnpunktet til høyre for dette toppunktet er ð2, 3Þ. a

Forklar at funksjonsuttrykket kan skrives som f ðxÞ ¼ 2 sin xþ þ 5. 2 2 Lag en skisse av grafen til f for x 2 ½0, 12i.

2.113 8

7 6 5 4 3

2.114 En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3 sin x þ 5, 2 a

Bestem perioden til f .

Bestem ekstremalverdiene fmin og fmaks .

Forklar hvorfor grafen vil ha alle sine vendepunkter på likevektslinja.

Bestem koordinatene til vendepunktene.

Lag en skisse av grafen til f .

2.115 Løs likningen 2 tan 2 x þ 3 tan x 2 ¼ 0, der x 2 ½0, 2 i. 2.116 Solhøyden HðxÞ, solas høyde over horisonten målt i grader, er gitt ved HðxÞ ¼ 18,8 26,9cos x 0,20 , x 2 ½0, 24 12 der x er antall timer etter midnatt. a

Bruk graftegner til å tegne grafen til HðxÞ.

Bestem når sola står opp, og når den går ned.

Bestem når sola står høyest på himmelen.

På hvilke tidspunkter stiger sola raskest? Hvor mange grader stiger den da per minutt?

2 1 1

8 x

Df ¼ h0, 12i

Lufttemperaturen i løpet av døgnet er gitt ved x 4 cos x , x 2 ½0, 24 TðxÞ ¼ 20 4 sin 12 12

Figuren viser grafen til en harmonisk funksjon f ðxÞ.

Tegn grafen til TðxÞ sammen med grafen til HðxÞ.

Bruk grafen til å finne et funksjonsuttrykk for f ðxÞ på formen f ðxÞ ¼ A sin ðcx þ ’Þ þ d.

Hvor lang tid er det fra sola står høyest, til temperaturen er høyest?

Finn et uttrykk for f ðxÞ på formen f ðxÞ ¼ A cos ðcx þ ’Þ þ d.

Skriv funksjonsuttrykket til TðxÞ om til et uttrykk på formen A sin ðcx þ ’Þ þ d.

2.117

2 1 þ cos Vis at cos ¼ . 2 2

Oppgaver 129

2.123 Bestem koordinatene til vendepunktene til funksjonen f ðxÞ ¼ sin 2 x for x 2 ½0, i.

2.118 Løs likningssettet: 2 13 sin x cos y ¼ 6 27 4 5 1 cos x sin y ¼ 2 2.119 Løs ulikheten: tan x < 2 sin x,

x 2 ½0, 2 i

2.120 Løs likningene for x 2 ½0, 360 i: 1 pffiffiffi 3 a cos 3x ¼ 2 b 2 sin 2 x þ cos x 1 ¼ 0 2.121 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ 5e 0,2x sin x,

Lag fortegnslinje for f ðxÞ.

Løs likningen f ðxÞ ¼ 2 sin x.

Bestem f 0 ðxÞ.

Bestem koordinatene til eventuelle ekstremalpunkter på grafen til f . Forklar at qðxÞ f ðxÞ

Bruk graftegner til å tegne grafen til f .

Bestem når temperaturen er 23 grader.

Bestem ekstremalpunktene på grafen til f . Gi en praktisk tolkning av koordinatene til ekstremalpunktene.

Avgjør når temperaturen stiger med 0,3 grader per kvarter.

x 2 ½0, 2 i

2.124 La f være funksjonen gitt ved x 4 cos x , x 2 ½0, 24 f ðxÞ ¼ 20 4 sin 12 12 Funksjonen viser lufttemperaturen i grader celsius gjennom et sommerdøgn, der x er antall timer siden midnatt.

pðxÞ

2.125 En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ 5 þ 5 cos x cos 3x, a

Vis at sin 3x ¼ 3 sin x 4 sin x.

Vis at f 0 ðxÞ ¼ 4 sin x 12 sin 3 x.

Beskriv monotoniegenskapene til f .

Bestem koordinatene til ekstremalpunktene på grafen til f .

Lag en skisse av grafen til f .

for pðxÞ ¼ 5e 0,2x og qðxÞ ¼ pðxÞ. f

Tegn grafene f , p og q.

2.122 En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ sin x x þ 1, a

x 2 ½0, 2 i 3

2.126 Funksjonene f og g er gitt ved f ðxÞ ¼ x þ sin x,

x 2 h , i

Bestem f 0 ðxÞ og bestem monotoniegenskapene til f .

Bestem f 00 ðxÞ og bestem koordinatene til eventuelle vendepunkter på grafen til f .

Tegn en skisse av grafen til f .

gðxÞ ¼ x þ sin 2x,

Df ¼ ½0, 2 i Dg ¼ ½0, 2 i

Løs likningen f ðxÞ ¼ gðxÞ.

Drøft monotoniegenskapene til f og g og bestem koordinatene til eventuelle ekstremalpunkter på grafene til f og g.

Tegn grafene til f og g.

130 KAPITTEL 2 – TRIGONOMETRISKE FUNKSJONER

2.127

Øv til eksamen

R a

Et parkanlegg har form som vist på figuren. Hjørnene PQR utgjør en likebeint trekant med PR ¼ QR ¼ a og ﬀPRQ ¼ v, se figuren. Halvsirkelen har diameter lik PQ. a

Finn PQ uttrykt ved a og v. Tips: Bruk cosinussetningen.

Vis at arealet A kan skrives som a2 A ¼ ð2 sin v cos v þ Þ 4

La a være en konstant. Bestem v slik at arealet blir størst mulig. Regn ut det største arealet når a ¼ 15 m.

2.128 Funksjonen f beskriver fart og retning på sjøvannet ved utløpet av en fjord. Størrelsen til f angir farten f ðxÞ meter per sekund på dybden x meter under overflaten. f ðxÞ > 0 betyr at vannet er på vei ut av fjorden, mens f ðxÞ < 0 betyr at vannet er på vei inn i fjorden. f ðxÞ ¼ e 0,06x cos 0,1x,

2.129 (Eksamen R2 høsten 2021) Deriver funksjonene: 1 a f ðxÞ ¼ cos ð2xÞ 6

Finn fart og retning på sjøvannet på dybden 30 meter.

På hvilke dybder er farten lik null?

Bestem de dybdene hvor vannet har størst fart ut av eller inn i fjorden. Hva er farten da?

Tegn grafen til f .

gðxÞ ¼ sin 2 ðx2 þ 2Þ

gðxÞ ¼ x cos 2 x

2.130 (Eksamen høsten 2020) Deriver funksjonene: a

f ðxÞ ¼ sin 2x þ

2.131 (Eksamen R2 høsten 2021) Funksjonen f er gitt ved x þ 1, f ðxÞ ¼ 2 sin 2 a Bestem nullpunktet til f . b

Df ¼ h0, 10i

Gjør nødvendige beregninger og bruk disse til å skissere grafen til f .

2.132 (Eksamen høsten 2021) Tabellen nedenfor viser utgående datatrafikk fra et nettselskap for noen utvalgte timer i løpet av et døgn.

Df ¼ ½0, 65

Time etter midnatt

Utgående GB per time

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

402 251 167 286 310 460 532 711 827 908 789 692

Bruk regresjon til å bestemme en trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen.

Oppgaver 131

Et annet nettselskap mener at funksjonen f gitt ved f ðxÞ ¼ 820 þ 510 sin ð0,26x þ 3,2Þ, Df ¼ ½0, 24 er en god modell for deres utgående datatrafikk per time gjennom et døgn. Her er x antall timer etter midnatt. b

Når økte datatrafikken til dette nettselskapet raskest ifølge modellen f ?

2.133 (Eksamen våren 2021) Løs likningene: pffiffiffi a 2 sin ð2x Þ ¼ 3, x 2 ½0, 2 b

2 cos 2 x þ cos x 1 ¼ 0,

x 2 ½0, 2

2.134 (Eksamen høsten 2020) Løs likningene: 1 a cos 2x ¼ , x 2 ½0, 2 2 pffiffiffi b 3 sin x cos x ¼ 1, x 2 ½0, 2 2.135 (Eksamen våren 2021) Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ cos 2x 2 cos x þ 2. a

Tegn grafen i et koordinatsystem. Bestem perioden til f .

Vi kan skrive f ðxÞ på formen f ðxÞ ¼ acos 2 x þ b cos x þ c. b

Bestem a, b og c.

2.136 (Eksamen høsten 2020) Funksjonen f er gitt ved x b þ2 f ðxÞ ¼ a cos 2 der a > 0 og b 2 ½0, 2 i. Grafen til f har et toppunkt i ð3, 5Þ. a

Bestem a og b.

Tegn en skisse som viser to perioder av grafen til f .

2.137 (Eksamen våren 2020) Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 2 sin ð x þ Þ 1, x 2 h 1, 3i a

Bestem koordinatene til toppunktene og bunnpunktene på grafen til f .

Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og hver av koordinataksene.

Lag en skisse av grafen til f .

2.138 (Eksamen våren 2020) Tabellen nedenfor viser det elektriske energiforbruket («strømforbruket») for en boligmåned for måned i 2019. Energiforbruket er målt i kWh. Måned

Energiforbruk (kWh) 1540 1480 1320 1050

800

750

Måned

Energiforbruk (kWh)

660

730

940

1170 1300 1520

Bruk regresjon til å bestemme en trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen.

For en annen bolig er funksjonen f gitt ved f ðtÞ ¼ 1300 þ 730 sin ð0,52 t þ 1,07Þ en god modell for energiforbruket per måned i 2019. Her er f ð1Þ forbruket i januar, f ð2Þ forbruket i februar, og så videre. b

Når økte forbruket raskest ifølge modellen f ?

FØLGER OG REKKER

1202

Leonardo Pisano Fibonacci gir ut boka Liber Abaci om regning. Den presenterer de hindu-arabiske tallene, som vi fortsatt bruker. Vi finner tallfølgen som senere er blitt kjent som Fibonacci-tallene: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

1202

1100

1200

1300

1400 1494 Italienske Luca Pacioli gir ut bok om blant annet regning, matematikk og regnskapsføring

Hvordan kan vi bevise at noe stemmer for alle tall uansett? Hvordan kan vi bevise at en formel ikke finnes?

En logaritmisk spiral Du trenger: ruteark

1700

1600 1665 Franskmannen Blaise Pascal formulerer induksjonsprinsippet

Tegn et rektangel med lengde 34 ruter og bredde 21 ruter.

Tegn kvadrater etter mønsteret på figuren: Første kvadrat skal ha samme sidelengde som den korteste siden i rektangelet. Da dannes et nytt rektangel. Neste kvadrat skal ha sidelengde som den korteste siden i det nye rektangelet. Da dannes et nytt rektangel, og så videre.

Tegn en sirkelbue med passer fra hjørne til hjørne i hvert kvadrat, se figuren.

Tell opp og noter antall ruter i sidelengden i hvert kvadrat.

1800

1900 1931

Tyskeren Kurt Gödel viser at i matematikken vil det alltid finnes sanne setninger som det ikke er mulig å bevise

134 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

3.1 Tallfølger UTFORSK Jobb sammen i par eller grupper 1

Tallfølgene nedenfor tilhører to typer tallfølger. Undersøk hvordan tallfølgene utvikler seg, og del dem inn i to grupper slik du synes virker naturlig. 1

3, 6, 12, 24, . . .

2, 6, 18, 54, . . .

2, 8, 14, 20, . . .

10, 8, 6, 4, . . .

64, 32, 16, 8, . . .

5, 8, 11, 14, . . .

Lag selv to tallfølger til hver type.

Be en medelev avdekke mønsteret i tallfølgene du har laget.

En liste av tall i en bestemt rekkefølge kaller vi en tallfølge. Et eksempel på en uendelig tallfølge er 3, 7, 11, 15, . . . Vi bruker små bokstaver fra starten av alfabetet til å betegne leddene i tallfølgen. Til å nummerere leddene bruker vi indekser. Vi skriver tallfølgene slik: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . .

b1 , b2 , b3 , b4 , . . . , bn , . . .

Rekkefølgen i tallfølgene er bestemt. Ledd a3 betyr tredje ledd i følgen. Ledd an betyr ledd nummer n. Ledd an þ 1 betyr leddet som kommer etter an . Vi forutsetter her n 2 N.

T A L LF Ø L G E En tallfølge er en liste av tall skrevet i en bestemt rekkefølge: a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . . an er ledd nummer n i tallfølgen.

Dersom en tallfølge er bygget opp etter et fast mønster, kan vi ofte finne en formel for ledd nummer n.

Tallfølger 135

EKSEMPEL 1 En tallfølge er gitt ved 1, 4, 9, 16, 25, . . . a

Skriv opp a3 og a7 .

Bestem en formel for an .

Løsning: a a3 er tredje ledd, altså 9. Vi kjenner igjen tallene i følgen som kvadrattallene. a7 blir derfor kvadrattall nummer 7, altså 72 ¼ 49. b

Kvadrattall nummer n finner vi ved å kvadrere n. Formelen for an blir da n2 .

Oppgave: 3.1

Aritmetisk tallfølge I tallfølgen nedenfor er differansen mellom to ledd i følgen konstant: 4, 7, 10, 13, 16, . . . Her er differansen 3. Tallfølger der differansen mellom to ledd i følgen er konstant, kaller vi aritmetiske. Generelt vil en aritmetisk tallfølge som starter i a1 og har differanse d, se slik ut: a1 a2 ¼ a1 þ d a3 ¼ a1 þ 2d a4 ¼ a1 þ 3d .. . Legg merke til at antall ganger vi adderer d, er én mindre enn nummeret på leddet. For ledd nummer n er a1 addert med d akkurat n 1 ganger.

A R I T M E T I S K T A L L FØ L G E En tallfølge er aritmetisk hvis differansen mellom et ledd og leddet foran er konstant: an an 1 ¼ d Ledd nummer n er gitt ved: an ¼ a1 þ ðn 1Þ d

Aritmetiske tallfølger:

136 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 2 Vi har tallfølgen 21, 16, 11, 6, 1, . . . a

Vis at følgen er aritmetisk.

Finn en formel for det n-te leddet i tallfølgen.

Finn ledd nummer 7.

Undersøk om 23 er et ledd i følgen.

Løsning: a Vi undersøker om differansen mellom leddene i følgen er konstant: 16 21 ¼ 5 11 16 ¼ 5 6 11 ¼ 5 1 6 ¼ 5 For alle n har vi an an 1 ¼ 5, så følgen er aritmetisk. b

Vi setter d ¼ 5 inn i formelen for det n-te leddet i følgen: an ¼ a1 þ ðn 1Þd ¼ 21 þ ðn 1Þ ð 5Þ ¼ 21 5d þ 5 ¼ 26 5n

Vi setter inn n ¼ 7 i formelen for an : a7 ¼ 26 5 7 ¼ 26 35 ¼ 9

Vi setter ledd n lik 23 og undersøker om likningen har en løsning for n 2 N: an ¼ 23 26 5n ¼ 23 5n ¼ 23 26 5n ¼ 49 49 ¼ 9,8 5 Vi får n ¼ 9,8. Men for at an skal være et ledd i følgen, må n være et naturlig tall. Det finnes ingen slik n, så 23 er ikke i følgen. n¼

Oppgaver: 3.2–3.3

Reflekter og diskuter!

Dersom vi merker av ðn, an Þ i et koordinatsystem, vil punktene ligge på en rett linje. Forklar hvorfor det er slik. n

Tallfølger 137

Geometriske tallfølger Tallfølgen nedenfor vokser på en annen måte enn de aritmetiske følgene: 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . . Vi undersøker forholdet mellom leddene: a2 8 ¼ ¼2 a1 4 a3 16 ¼2 ¼ 8 a2 a4 32 ¼2 ¼ a3 16 a5 64 ¼2 ¼ a4 32 a6 128 ¼2 ¼ 64 a5 Forholdet mellom et ledd og leddet foran er 2, uansett hvor i følgen vi undersøker. Vi sier at en tallfølge er geometrisk hvis forholdet mellom to ledd i følgen er konstant. Vi finner neste ledd i følgen ved å multiplisere med 2. Vi kan da uttrykke hvert ledd ved hjelp av første ledd. 4, 4 2, 4 22 , 4 23 , 4 24 ,

...

Generelt vil en geometrisk tallfølge med kvotient k se slik ut: a1 a2 ¼ a1 k a3 ¼ a1 k2 a4 ¼ a1 k3 .. . Vi ser at ledd nummer n er a1 multiplisert med k akkurat n 1 ganger.

G E O M E T R I S K T A L L FØ L G E En tallfølge er geometrisk hvis forholdet mellom et ledd og leddet foran er konstant: an ¼ k, k 6¼ 0 an 1 Ledd nummer n er gitt ved an ¼ a1 kn 1 .

Reflekter og diskuter! Ovenfor har vi forutsatt at forholdet k i den geometriske tallfølgen ikke er null. Hvordan ville følgen blitt med k ¼ 0?

Geometriske tallfølger:

138 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 3 Vi slipper en sprettball fra en høyde på 3,0 meter. Hver gang ballen spretter, oppnår den 80 % av høyden fra forrige sprett. a

Hvor høyt kommer ballen etter ti sprett?

Kontroller utregningen din ved å bruke det at sprettene danner en geometrisk følge.

Løsning: a Vi lager en tabell med oversikt over høyden etter hvert sprett: 1

...

3,0 0,8

3,0 0,82

3,0 0,83

3,0 0,84

...

3,0 0,810

Mønsteret gir at høyden etter ti sprett er 3,0 m 0,810 0,32 m. b

Vi ser at vi finner neste ledd ved å multiplisere med 0,8. Følgen er derfor geometrisk med k ¼ 0,8 og a1 ¼ 3,0 0,8. Vi finner a10 : an ¼ a1 kn 1 a10 ¼ ð3,0 0,8Þ 0,810 1 ¼ ð3,0 0,8Þ 0,89 ¼ 3,0 0,810 0,32 Svaret stemmer med utregningene i a.

Løsning med CAS: Vi definerer a1 og k og skriver det n-te leddet som en funksjon av n: 1

Oppgaver: 3.4–3.5

Vi får det samme svaret som over.

Dersom vi kjenner flere ledd i en geometrisk følge, kan vi finne en formel for ledd nummer n.

Tallfølger 139

EKSEMPEL 4 I en geometrisk følge er a3 ¼ 18 og a5 ¼ 162. Bestem en formel for an .

Løsning: Vi tar utgangspunkt i an ¼ a1 kn 1 og får a3 ¼ a1 k2 ¼ 18 a5 ¼ a1 k4 ¼ 162 a5 til å finne k. a3 a5 162 ¼9 ¼ 18 a3 a5 ¼ k2 a3

Vi bruker

k2 ¼ 9 k¼

Vi får to mulige tallfølger som passer med opplysningene, ettersom k både kan være 3 og 3. Når k ¼ 3, får vi a1 ¼ Når k ¼ 3, får vi a1 ¼

18 18 18 ¼ 2, og derfor an ¼ 2 ð 3Þn 1 . ¼ ¼ k2 ð 3Þ2 9

18 18 18 ¼ 2, og derfor an ¼ 2 3n 1 . ¼ ¼ k 2 32 9

Reflekter og diskuter!

Oppgaver: 3.6–3.7

Dersom vi merker av ðn, an Þ i et koordinatsystem, vil punktene ligge på grafen til en eksponentialfunksjon. Forklar hvorfor det er slik. n

140 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Eksplisitt og rekursiv definisjon av tallfølger Eksplisitt definisjon Definisjon av tallfølge som inneholder et funksjonsuttrykk for an , slik at vi kan regne ut an direkte. Rekursiv definisjon Definisjon av tallfølge der vi bruker følgens foregående ledd for å regne ut an .

Ovenfor har vi funnet formler for ledd nummer n i aritmetiske og geometriske tallfølger. Formlene uttrykker ledd nummer n som en funksjon av n, for eksempel an ¼ 2n þ 3 og an ¼ 5 2n 1 . Slike formler kaller vi for eksplisitte, siden vi kan finne et ledd direkte ved å sette inn en verdi for n i formelen. Det er ikke alltid lett eller mulig å finne en eksplisitt formel. Da kan vi uttrykke den rekursivt. Det betyr at vi definerer følgen ved hjelp av foregående ledd, for eksempel an ¼ an 1 þ 3. Da kan vi ikke regne ut et ledd direkte, men må starte fra et kjent ledd og regne utover i følgen.

R E KURSI V D EF I NI SJON AV TAL L F ØL GER Vi uttrykker en tallfølge rekursivt når beskrivelsen av følgen inneholder ett eller flere av følgens tidligere ledd.

Rekursiv formel:

Vi bruker en rekursiv formel til å regne videre ledd for ledd. Hvis vi skal ha mange ledd, kan det være lurt å bruke programmering til regnejobben. Ideen da er at vi lar en løkke kjøre én gang for hvert nye ledd i følgen. Vi bruker verdien av tidligere ledd for å regne ut neste ledd.

EK SEMPEL 5 En tallfølge er definert ved at hvert ledd er tre mindre enn det dobbelte av forrige ledd. Følgen starter på 4. Skriv et program i Python som skriver de ti første leddene av følgen til skjerm.

Løsning: Vi lar an være ledd nummer n. Da har vi a1 ¼ 4 a2 ¼ 2 a1 3 a3 ¼ 2 a2 3 .. . an ¼ 2 an 1 3 Dette bruker vi i programmet. 1

a=4

# Startverdien a_1 for følgen.

2 3

Oppgave: 3.8

for i in range(10):

print(a)

# Skriver ledd a_n til skjerm.

a = 2*a - 3 # Dobler forrige verdi og trekker fra 3.

Programmet gir disse tallene: 4, 5, 7, 11, 19, 35, 67, 131, 259, 515.

Tallfølger 141

Rekursiv programmering Når vi programmerer, bruker vi for-løkker og while-løkker for å få en bit av en kode til å kjøre flere ganger. En annen måte å få til det samme på er såkalt rekursiv programmering. Vi forklarer rekursjon i Python med en kode som regner ut fakultet. Vi skriver n! og leser det som «n fakultet». Dette betyr produktet av de n første naturlige tallene: Tallet 4! betyr 1 2 3 4 ¼ 24. Generelt har vi n! ¼ 1 2 3 4 . . . ðn 1Þ n Et program som skal regne ut n!, kan altså starte på 1 og så multiplisere med alle hele tall opp til n. Dette kan vi gjøre med en for-løkke: 1

def f(n):

produkt = 1

for i in range(1, n + 1):

4 5

produkt = produkt * i return produkt

En rekursiv tilnærming til n! blir omtrent det motsatte: Vi regner ut n! ved å multiplisere n med ðn 1Þ!: 1 2

def f(n): return n * f(n - 1)

Koden ovenfor fungerer tilsynelatende bra. Hvis vi bruker den på n ¼ 5, vil programmet regne slik: f ð5Þ ¼ 5 f ð4Þ f ð4Þ ¼ 4 f ð3Þ f ð3Þ ¼ 3 f ð2Þ .. . Når funksjonen kalles med n ¼ 5, multipliseres 5 med resultatet av funksjonen med n ¼ 4 som argument. Når funksjonen kalles med n ¼ 4, blir resultatet 4 multiplisert med resultatet fra f ð3Þ, og så videre. Men hvordan skal vi få dette til å stoppe? Vi ser at vi må stoppe ved f ð1Þ, siden 1! ¼ 1. Vi legger inn en test om n ¼ 1. I så fall returnerer vi 1: 1 2 3 4 5

def f(n): if n == 1: return 1 else: return n * f(n - 1)

Rekursiv programmering:

142 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

For å se hva resultatet av programmet blir, utvider vi programmet med en løkke som printer funksjonen for n 2 f1, 2, 3, 4, 5g: 7 8

for i in range(1, 6): print(f(i), end=' ')

Når vi kjører programmet, får vi: 1 2 6 24 120 Dette betyr at for eksempel f ð4Þ ¼ 4! ¼ 24 og f ð5Þ ¼ 5! ¼ 120. Vi sier at denne funksjonen er en rekursiv funksjon fordi funksjonen kaller på seg selv: Definisjonen av f inneholder et uttrykk med f . Tilfellet n ¼ 1 kaller vi rekursjonsbunn. Det er dette som får rekursjonen til å stoppe.

EK SEMPEL 6

Fibonacci-tallene er tallene i følgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . a

Finn en formel for leddene i Fibonacci-følgen.

Skriv et program i Python som skriver ut de ti første Fibonacci-tallene.

Løsning: a Når vi analyserer tallfølgen, ser vi at fra og med tredje ledd er hvert ledd summen av de to foregående leddene. For at følgen skal bli entydig definert, må vi oppgi de to første leddene. Dette gir a1 ¼ 1 a2 ¼ 1 an ¼ an 1 þ an 2

Tallfølger 143

Definisjonen av følgen er rekursiv, og det passer fint å lage en rekursiv funksjon i Python. Rekursjonsbunnen er tilfellene n ¼ 1 eller n ¼ 2. Utover dette skal funksjonen returnere summen av de to foregående tallene i Fibonacci-følgen: 1 2 3 4 5

def fibonacci(n): if n == 1 or n == 2: return 1 else: return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)

For å få skrevet ut de ti første Fibonacci-tallene legger vi til en løkke som bruker funksjonen vår på de ti første naturlige tallene: 7 8

for n in range(1, 11): print(fibonacci(n), end=' ')

Når vi kjører programmet, får vi: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Alternativ løsning: Vi bruker en løkke til å lage tallene. Siden definisjonen inneholder både an 1 og an 2 , må løkka ta vare på de to foregående verdiene. Vi bruker en midlertidig variabel minne for dette. 1 2 3

a1 = 1 a2 = 1 print(a1, end = ' ')

# Definerer starten av følgen.

for i in range(10 - 1): print(a2, end = ' ') minne = a2 a2 = a1 + a2 a1 = minne

# Én færre, siden første ledd er skrevet ut.

# Printer første ledd.

4 5 6 7 8 9

# Tar vare på forrige verdi. # Regner ut ny verdi. # Lagrer forrige verdi.

Resultatet av programmet blir: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Alle repeterende tallfølger kan vi definere rekursivt. Noen tallfølger kan vi i tillegg finne eksplisitte formler for.

Reflekter og diskuter! Hva er den eksplisitte formelen, og hva er den rekursive formelen for aritmetiske og geometriske tallfølger?

Oppgaver: 3.9–3.10

144 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Oppgaver 3.1 En tallfølge er gitt ved 1, 4, 16, 64. a

Skriv opp a4 og a7 .

3.5 La k være forholdet mellom to ledd som følger etter hverandre i en geometrisk tallfølge.

Finn en formel for an .

Finn a15 .

Bestem et uttrykk for r slik at an kan skrives som an ¼ r kn .

Forklar at an er en eksponentialfunksjon for n 2 N.

3.2 Vi tar utgangspunkt i tallfølgen 8, 14, 20, 26, . . . a

Vis at følgen er aritmetisk.

Finn a15 .

Undersøk om 122 er med i følgen.

3.3 En følge er aritmetisk med første ledd b1 og differanse d.

3.6 En tallfølge er gitt ved 2, 5, 8, 11, 14, . . . Avgjør om 194 og 321 er med i følgen. 3.7 I en geometrisk tallfølge er a2 ¼ 10 og a6 ¼ 160. a

Bestem en formel for an .

Finn a5 .

Vis at ledd nummer n kan skrives som bn ¼ ðb1 dÞ þ d n.

Velg to reelle tall b1 og d. Regn ut bn for n 2 f1, 4, 8, 10g.

Legg punktene ðn, bn Þ i et koordinatsystem.

3.8 a Skriv et program i Python som skriver de første 20 leddene av tallfølgen til skjerm: 3, 6, 12, 24, . . .

Forklar hvorfor punktene ligger på en rett linje.

3.4 En tallfølge er gitt ved 3, 6, 12, 24, . . . a

Vis at følgen er geometrisk.

Finn a12 .

Undersøk om 256 er med i følgen.

Skriv et program i Python som skriver følgens ledd til skjerm helt til følgens ledd er større enn 10 000: 2, 10, 50, 250, . . .

3.9 En tallfølge er definert ved at a1 ¼ 2 og an ¼ 2 an 1 þ 1. Skriv et program i Python som genererer de første ti leddene i følgen. 3.10 Lucas-tallene er tallene 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, . . . Skriv et program i Python som skriver ut de første 20 Lucas-tallene.

Rekker 145

3.2 Rekker UTFORSK De første trekanttallene er vist på figuren:

Tegn av figuren og tegn selv trekanttall T5 og T6 .

Forklar at hvert trekanttall er summen av leddene i en aritmetisk tallfølge. Hvilken følge er dette?

Tegn trekanttall T10 .

Legg sammen antall prikker i første og siste linje, deretter i nest første og nest siste linje, deretter i tredje linje ovenfra og nedenfra, og så videre, til du har brukt alle linjene i T10 . Hva ser du?

Hvordan kan vi bruke dette mønsteret til å regne ut antall prikker i T10 ?

Aritmetiske rekker Når vi summerer leddene i en tallfølge, får vi en sum vi kaller for en rekke. Vi lar sn stå for summen av de n første leddene i følgen. Det betyr at s1 ¼ a1 s2 ¼ a1 þ a2 s3 ¼ a1 þ a2 þ a3 .. . sn ¼ a1 þ a2 þ þ an Vi har sett på to typer tallfølger, nemlig aritmetiske og geometriske følger. Vi skal se hvordan vi kan summere leddene i disse følgene. Vi starter med en enkel aritmetisk rekke, summen av heltallene. Vi skal finne s100 , det vil si 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ þ 49 þ 50 þ 51 þ 52 þ þ 97 þ 98 þ 99 þ 100

Følger og rekker En tallfølge er tallene etter hverandre. En rekke er summen av tallene i tallfølgen.

146 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Aritmetiske rekker og Gauss' metode:

Vi legger sammen de to tallene ytterst på hver side, altså 1 og 100, og får 101. Så tar vi tallene innenfor disse, og får 2 þ 99 ¼ 101. Vi fortsetter innover: 1 þ 100 ¼ 101 2 þ 99 ¼ 101 3 þ 98 ¼ 101 4 þ 97 ¼ 101 .. . 50 þ 51 ¼ 101 Vi får 101 hver gang. Derfor kan vi regne ut s100 ved å telle hvor mange ganger vi får 101. Vi bruker to tall hver gang, så antallet slike 101-ere må bli halvparten av 100. Dette gir 100 101 ¼ 50 101 ¼ 5050 2 Vi summerer en generell aritmetisk rekke på samme måte. Siden differansen mellom hvert ledd er den samme, får vi også her samme tall når vi summerer første og siste ledd, andre og nest siste ledd og så videre. På figuren nedenfor representerer hver søyle ett ledd i rekka. Til venstre er søylene plassert ved siden av hverandre. Til høyre er siste søyle satt oppå den første, nest siste satt oppå den nest første og så videre. Vi ser at summen av hvert par er den samme. s100 ¼

a1 + an

a1 n tall

n tall 2

Da får vi a1 þ an ¼ a2 þ an 1 ¼ a3 þ an 2 og så videre. Det gir n sn ¼ ða1 þ an Þ 2 I argumentasjonen ovenfor har vi antatt at n er et partall. Formelen gjelder også når n er et oddetall.

ARITMETISK REKKE Summen av de n første leddene i en aritmetisk tallfølge er en aritmetisk rekke. Summen er gitt ved n sn ¼ ða1 þ an Þ 2

Rekker 147

EKSEMPEL 7 En rekke er gitt ved 3 þ 7 þ 11 þ 15 þ þ 59 a

Vis at rekka er aritmetisk.

Bestem summen av rekka.

Vi utvider rekka med flere ledd. Hvor mange ledd må rekka minst bestå av for at summen skal bli over 1000?

Løsning: a Vi sjekker om differansen er konstant: 7 3 ¼ 11 7 ¼ 15 11 ¼ 4 Siden differansen mellom de oppgitte leddene er 4, er rekka aritmetisk. Differansen mellom 59 og 15 er 59 15 ¼ 44. Siden den er delelig med 4, vil også 59 være et ledd i rekka. b

Vi må vite hvor mange ledd det er i rekka, altså hva n må være for at an ¼ 59. Vi løser likningen an ¼ 59: a1 þ ðn 1Þ d ¼ 59 3 þ ðn 1Þ 4 ¼ 59 ðn 1Þ 4 ¼ 59 3 56 4 n ¼ 14 þ 1 ¼ 15

n 1¼

Dette betyr at vi skal finne s15 : n sn ¼ ða1 þ an Þ 2 15 15 62 s15 ¼ ð3 þ 59Þ ¼ ¼ 465 2 2

Alternativ løsning med programmering: Vi skriver et program i Python som summerer leddene i rekka til leddet er 59: 1

a=3

2 3

summen = 0

4 5 6 7

while a <= 59: summen = summen + a a=a+4

8 9

print(summen)

Når vi kjører programmet, får vi 465 til svar.

148 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Vi skal løse ulikheten sn > 1000. Vi regner først ut an og sn : an ¼ 3 þ ðn 1Þ 4 ¼ 3 þ 4n 4 ¼ 4n 1 sn ¼

n ð4n þ 2Þ n ð3 þ 4n 1Þ ¼ ¼ 2n2 þ n 2 2 sn > 1000 2n þ n > 1000 2

2n2 þ n 1000 > 0 Vi finner først nullpunktene for andregradsuttrykket: 2n2 þ n 100 ¼ 0 n 22,6 _ n 22,1 Vi lager fortegnslinje for 2n2 þ n 1000:

2n2 + n – 1000

22,1

Ettersom n må være et naturlig tall, vil n > 22,1 bety at n 23. Vi må ha med minst 23 ledd for at summen skal bli større enn 1000. Vi kontrollerer ved å regne ut s22 og s23 og får henholdsvis 990 og 1081. Utregningen stemmer.

Alternativ løsning med programmering: Vi skriver et program i Python som summerer leddene i rekka til summen er over 1000. Underveis teller vi opp hvor mange ganger løkka kjører. 1

a=3

2 3

summen = 0

teller = 0

5 6

while summen <= 1000:

summen = summen + a

a=a+4

teller = teller + 1

10 11

Oppgaver: 3.11–3.12, 3.17

print(teller)

Når vi kjører programmet, får vi 23, som er samme svar som ovenfor.

Rekker 149

Reflekter og diskuter! Victor mener at gjennomsnittet av leddene i en aritmetisk rekke er gjennomsnittet av det første og det siste leddet. Han finner et uttrykk for summen av rekka slik: a1 þ an n 2 Diskuter med en medelev hvordan Victor kan ha tenkt. sn ¼

Geometriske rekker Ideen i programmeringen i forrige eksempel fungerer like godt om tallfølgen vi summerer, er geometrisk. Men skal vi finne summen for hånd, må vi se etter en annen metode: Vi kan uttrykke summen av en geometrisk rekke med a1 og k: sn ¼ a1 þ a1 k þ a1 k2 þ a1 k3 þ þ a1 kn 2 þ a1 kn 1 Denne likningen multipliserer vi med k: k sn ¼ a1 k þ a1 k2 þ a1 k3 þ a1 k4 þ þ a1 kn 1 þ a1 kn Nå trekker vi den andre likningen fra den første. Veldig mange ledd er like og blir null i subtraksjonen. Vi står igjen med: k sn sn ¼ a1 kn a1 Vi faktoriserer begge sider og dividerer med k 1: sn ðk 1Þ ¼ a1 ðkn 1Þ sn ¼ a 1

kn 1 k 1

GEOMETRISK REKKE Summen av leddene i en geometrisk tallfølge utgjør en geometrisk rekke. a La a1 være første ledd og k ¼ i þ 1 for alle i 2 N. ai Da er summen sn av de n første leddene i følgen gitt ved sn ¼ a1

kn 1 k 1

I neste eksempel ser vi på hvordan vi bruker formelen, i tillegg til å finne summen av rekka i CAS.

Geometriske rekker:

150 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 8 1 En geometrisk rekke har første ledd a1 ¼ 32 og kvotient k ¼ . 2 Finn summen av de seks første leddene i rekka.

Løsning: Vi setter inn n ¼ 6 i formelen for sn : kn 1 sn ¼ a1 k 1 6 1 1 1 63 1 1 1 6 63 2 ¼ 32 64 ¼ 2 ¼ ¼ 32 2 s6 ¼ 32 ¼ 21 1 3 3 3 3 1 2 2 2 2 Summen av de seks første leddene i rekka er 21. Alternativ løsning: Vi løser oppgaven med CAS og bruker kommandoen «Sum». Første argument er formelen for n-te ledd av rekka. 1

Oppgave: 3.14

Vi får at s6 ¼ 21.

Vi kan også regne «baklengs» ved å bruke formelen for summen av rekka i en likning.

EK SEMPEL 9 En geometrisk følge er gitt ved at følgens første ledd er 3 og forholdet mellom to ledd som følger etter hverandre, er 2. Kan vi få 3069 ved å summere leddene i følgen?

Løsning: Vi har a1 ¼ 3 og k ¼ 2. Vi løser da likningen sn ¼ 3069: kn 1 ¼ 3069 a1 k 1 2n 1 ¼ 3069 3 2 1 3069 2n 1 ¼ 3 n 2 ¼ 1024 n lg 2 ¼ lg 1024 n¼

lg 1024 lg 2

n ¼ 10 Oppgave: 3.16

Hvis vi summerer de ti første leddene i følgen, får vi akkurat 3069.

Rekker 151

Summetegnet 6 Lange summer med mange ledd brukes så ofte i matematikken at de har fått et eget tegn, nemlig den greske bokstaven sigma: 6. I en tallfølge der n-te ledd er gitt ved an ¼ 7 þ 3n, skriver vi summen av de 14 første leddene som 14 X ð7 þ 3nÞ s14 ¼ n¼1

Reflekter og diskuter! Hva betyr dette? 15 7 X X n i2 n¼1

i¼3

5 X

ð5 2k 1 Þ

k¼1

Noen digitale verktøy skriver summer med summetegnet 6. GeoGebra skriver på to måter: 1

Vi tar med et eksempel på hvordan vi kan bruke geometriske rekker i praksis.

EKSEMPEL 10

En sprettball slippes fra en høyde på 3,0 meter, som i eksempel 3. Hver gang ballen spretter, oppnår den 80 % av høyden fra forrige sprett. Hvor mange meter har sprettballen tilbakelagt i lufta fra den ble sluppet, og til den har truffet bakken ti ganger?

152 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Løsning: Ballen faller først 3 meter før første sprett. Deretter tilbakelegger den to lengder, opp og ned, som minker med en vekstfaktor på 0,8 hver gang. Etter første sprett blir det da: 2 3 0,8 þ 2 3 0,82 þ þ 2 3 0,810 Dette er en geometrisk rekke med a1 ¼ 2 3 0,8 ¼ 4,8 og k ¼ 0,8. Vi skal finne s10 . Det kan være lettere å se at det blir akkurat dette, dersom vi regner litt om på rekka, slik at a1 kommer til syne i hvert ledd: 4,8 þ 4,8 0,8 þ 4,8 0,82 þ þ 4,8 0,89 Vi finner s10 : 0,810 1 21,4 0,8 1 Vi legger til de første 3 metrene ballen falt, og får at sprettballen har tilbakelagt om lag 24,4 meter i lufta. s10 ¼ 4,8

Oppgave: 3.15

Oppgaver 3.11 En aritmetisk rekke har a1 ¼ 4 og differanse d ¼ 7.

3.13 I en aritmetisk rekke er a1 ¼ 2 og s8 ¼ 212.

Bestem summen av de 20 første leddene i rekka.

Bestem et uttrykk for det n-te leddet i rekka, an .

Bestem et uttrykk for summen av de n første leddene.

Bestem et uttrykk for summen av de n første leddene i rekka, sn .

Hvor mange ledd må rekka inneholde for at summen skal bli over 10 000?

3.14 5 5 Vi har rekka 20 þ 10 þ 5 þ þ þ . 2 128 a Bestem summen av rekka.

3.12 En rekke er gitt ved 3 þ 1 þ 5 þ 9 þ . . . a

Vis at rekka er aritmetisk.

Bestem summen av de sju første leddene, altså s7 .

Hvor mange ledd må vi minst ha med i rekka for at summen skal bli over 600?

Hvor mange ledd trenger vi for at summen av rekka skal bli større enn 38?

3.15 Et firma lyser ut en stilling med 500 000 kroner i årslønn første år. Hvert år øker de lønna med 5 %. Hvor mye tjener Vartika om hun jobber i firmaet i 40 år?

Rekker 153

3.16 En rekke er gitt ved 4 þ 12 þ 36 þ 108 þ 324 þ 972 þ 2916 þ Stine påstår at hvis vi stopper etter et passende antall ledd, så blir summen av rekka 39 364. Markus mener at det ikke er mulig.

3.19

Hvem har rett?

3.17

Noen kobberrør ligger i en stabel. I nederste rad er det 24 rør. I hver rad er det ett rør færre enn i raden under. I øverste rad er det 14 rør. Hvor mange rør ligger det i stabelen?

3.18 Hanna summerer en aritmetisk rekke og 5n2 3n får sn ¼ . 2 Bestem en aritmetisk rekke som har dette som sum.

Gulvuret hos bestemoren til Joachim slår ett slag hver time. Klokka fire slår den fire slag, klokka fem slår den fem slag, og så videre. Hvor mange slag slår klokka i løpet av et døgn?

3.20 a Summen av en geometrisk rekke er gitt ved: sn ¼ 4 n 1 Bestem et uttrykk for det n-te leddet, an . b

Finn et uttrykk for summen av en geometrisk rekke der a1 ¼ r og k ¼ r þ 1.

154 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

3.3 Anvendelser av geometriske rekker UTFORSK Du trenger: papirlapper med påskriften «1000 kroner»

Anvendelse av geometriske rekker:

Alle i klassen legger hver sin lapp med påskriften «1000 kroner» utover et bord eller gulvet.

Nummerer lappene fra 1 og oppover.

La nummeret bety hvor mange år pengene har stått i banken.

Banken gir 3 % rente. Skriv på hver papirlapp hvilket beløp det opprinnelige beløpet har vokst til.

Skriv opp hva verdien av alle lappene er til sammen.

Geometriske rekker brukes i utregninger i en rekke fagområder. Et eksempel er periodiske utslipp av nedbrytbart stoff og periodiske utslipp der utslippet endrer seg over tid. Geometriske rekker kan også brukes til å beskrive hvordan medisinkonsentrasjonen i kroppen blir når medisin tilføres med et visst intervall, samtidig som den brytes ned av kroppen.

Anvendelser av geometriske rekker 155

EKSEMPEL 11 På et sykehus oppbevarer de det radioaktive stoffet cesium–137 i en metallbeholder. I begynnelsen av hvert år slipper sykehuset ut en mengde m av cesium–137. Cesium–137 brytes ned, slik at massen reduseres med 2,3 % hvert år. Hvor mye cesium–137 er det igjen av utslippet fra sykehuset etter 20 år?

Løsning: Sykehuset slipper ut mengden m hvert år. Hvert år blir 2,3 % av det stoffet som lekker ut, brutt ned. Mengden som er igjen, blir da: m þ m 0,977 þ m 0,9772 þ þ m 0,97720 Dette gjenkjenner vi som en geometrisk rekke med 21 ledd, som starter på a1 ¼ m og har vekstfaktor k ¼ 0,977. s21 ¼ a1

kn 1 0,97721 1 ¼m ¼ 16,81m k 1 0,977 1

Etter 20 år er det igjen i underkant av 17m, altså 17 ganger så mye cesium som utslippet hvert år.

Oppgaver: 3.21–3.22

Sparing La oss tenke oss at vi 1. januar hvert år setter inn 10 000 kroner på en bankkonto med 5 % årlig rente. Rett etter innskuddet er saldoen altså 10 000. Etter ett år har fjorårets innskudd økt til 10 000 1,05. Vi setter inn sparebeløpet igjen, og saldoen er da 10 000 þ 10 000 1,05: År START 1

1. innskudd

2. innskudd

10 000 10 000 1,05

10 000

Så gjentar vi dette. Hvert år har vi et nytt innskudd, og tidligere innskudd økes med 5 %. Etter femte innskudd får vi da: År START

1. innskudd

2. innskudd

3. innskudd

4. innskudd

5. innskudd

10 000

10 000 1,05

10 000

10 000 1,052

10 000 1,05

10 000

10 000 1,053

10 000 1,052

10 000 1,05

10 000

10 000 1,054

10 000 1,053

10 000 1,052

10 000 1,05

10 000

156 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Vi ser at saldoen blir en geometrisk rekke med a1 ¼ 10 000 og k ¼ 1,05. Sluttverdien rett etter femte innskudd blir s5 . Grafisk kan vi illustrere dette slik: Sluttverdi Verdien av et beløp forrentet oppover til slutten av en periode.

Sluttverdi 2. innskudd 4. innskudd 1. innskudd 3. innskudd 5. innskudd 10 000

10 000

10 000 10 000 10 000 · 1,05 10 000 · 1,052 10 000 · 1,053 10 000 · 1,054

EK SEMPEL 12 Mona og Gerd sparer 20 000 kroner 1. januar hvert år. De begynner 1. januar 2022. Vi regner med at renta i banken er fast på 4 % per år. Hvor mye kan de ta ut av kontoen sin 1. januar 2036, før neste innskudd?

Løsning: Vi lager en figur for å få oversikt over innbetalingene. Sluttverdi 2022 20 000

2023

2024

2025

20 000

…

2035

2036

20 000 20 000 · 1,041 … 20 000 · 1,0411 20 000 · 1,0412 20 000 · 1,0413 20 000 · 1,0414

Anvendelser av geometriske rekker 157

Saldoen 31. desember 2035 blir en geometrisk rekke med k ¼ 1,04. Det første beløpet de setter inn, får rentepåslag i 14 år. Det siste beløpet de setter inn, forrenter seg i ett år, så a1 ¼ 20 000 1,04. 20 000 1,0414 þ 20 000 1,0413 þ þ 20 000 1,042 þ 20 000 1,041 Summen blir s14 : kn a 1,0414 1 ¼ 20 000 1,04 380 471,75 k 1 1,04 1 På kontoen 31. desember 2035 står det 380 471,75 kroner. s14 ¼ a1

Løsning med CAS: 1

Vi får samme løsning som over.

Løsning med programmering: Vi lar følgen starte på a ¼ 20 000. Neste a finner vi ved å multiplisere med k, så inni løkka skriver vi a = a*k. Saldoen starter på 0 og øker med sparebeløpet a hvert år. Inni løkka skriver vi derfor saldo = saldo + a. 1

N = 14

k = 1.04

a = 20000

4 5

saldo = 0

for i in range(N): 8 a = a*k 9 saldo = saldo + a 7

10 11

print(f'På konto etter {N} år: {saldo:.0f} kroner.')

Når vi kjører programmet, ser vi at vi får samme resultat som da vi brukte formelen ovenfor: På konto etter 14 år: 380472 kroner.

Oppgave: 3.23

158 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Reflekter og diskuter! Les Python-koden i eksempel 12. Hva skjer om vi bytter om på linje 8 og 9? Hvilken situasjon tilsvarer dette?

I virkeligheten endrer renta seg gjerne flere ganger i året. Da må vi gjennomføre ny utregning for hver renteendring.

Lån UTFORSK Niklas har skrevet Python-koden nedenfor: 1

lån = 50000

rente = 0.03

antall_år = 5

avdrag = lån/antall_år

5 6

for i in range(antall_år):

rentebeløp = lån*rente

lån = lån - avdrag

innbetaling = rentebeløp + avdrag

print(f'{i+1:7} {lån:7} {avdrag:7} {rentebeløp:7} {innbetaling:7}')

Hva tror du blir resultatet når du kjører koden?

Skriv koden inn på PC-en og kjør den.

Skriv inn en linje før linje 6 som gir overskrift over kolonnene i utskriften.

Utvid koden slik at programmet regner ut summen av alle renteutgiftene.

Rente er en kostnad for å låne penger. Når du sparer penger, er det banken som betaler deg rente for å låne dine penger. Når du låner penger i banken, må du derimot betale rente til banken. I tillegg må du betale avdrag, altså betale tilbake det kronebeløpet du lånte. Når du tar opp et lån, avtaler du med banken hvordan lånet skal betales tilbake. Vanligvis avtaler vi å ta opp et serielån eller et annuitetslån.

Anvendelser av geometriske rekker 159

I et serielån er avdragene like. Fordi du til enhver tid betaler renter av restlånet, betaler du mest renter i starten og mindre etter hvert. I et annuitetslån avtaler du et fast terminbeløp, som skal dekke både avdrag og renter. La oss først se på et serielån.

Serielån Serielån er et lån der avdragene er like store hver gang. Innbetalingene er størst i starten.

Vi tenker oss at du låner 50 000 kroner og skal betale tilbake like mye fem ganger. 50 000

Avdragene blir altså 10 000 kroner. I tillegg må du betale renter av det du har igjen på lånet. Vi tenker oss at renta er på 10 %. Nedbetalingsplanen blir da slik: Termin

Restgjeld (kr)

Rente (kr)

Å betale (kr)

50 000

5000

15 000

40 000

4000

14 000

30 000

3000

13 000

20 000

2000

12 000

10 000

1000

11 000

Vi ser at lånet må nedbetales med 65 000 kroner fordelt over fem ganger.

EKSEMPEL 13 Line og Nils låner 100 000 kroner til 4 % rente per år. De avtaler å betale et fast avdrag i fem år. Første innbetaling er om ett år. Lag en nedbetalingsplan for lånet.

Løsning: Vi skriver et program i Python som bruker en løkke til å regne ut renter, avdrag og restlån hver termin: 1

lån = 100000

rente = 0.04

antall_terminer = 5

avdrag = lån/antall_terminer

5 6

print('Saldo start Avdrag Rente Restlån')

for i in range(antall_terminer): 8 print(i + 1, end=' ') # Skriver ut terminnummeret. 7

Avdrag 1 2 3 4 5

Renter

160 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

print(f'{lån:10.2f}', end=' ')

# Skriver ut lånesaldo.

print(f'{avdrag:8.2f}', end=' ')

# Skriver ut avdraget.

rentebeløp = lån*rente

# Regner ut renta av resten av lånet.

print(f'{rentebeløp:8.2f}', end=' ') # Skriver ut renta.

lån = lån - avdrag

# Regner ut restlånet denne terminen.

print(f'{lån:8.2f}')

# Skriver ut restlånet.

Når vi kjører programmet, får vi: Nedbetalingsplan Oversikt over saldo, avdrag, renter og restlån for hver termin

Oppgave: 3.25

Avdrag Renter 1 2

1 2 3 4 5

Saldo start 100000.00 80000.00 60000.00 40000.00 20000.00

Avdrag 20000.00 20000.00 20000.00 20000.00 20000.00

Rente 4000.00 3200.00 2400.00 1600.00 800.00

Restlån 80000.00 60000.00 40000.00 20000.00 0.00

Dersom du avtaler et annuitetslån, betaler du det samme beløpet hver gang. Summen av renter og avdrag hver termin er konstant. Denne summen kaller vi annuiteten. Lånet på 50 000 kroner til 10 % rente over 5 år blir da slik det er vist til venstre.

Det er når vi skal beregne hvor stor annuiteten skal være, at vi får bruk for å summere en rekke.

4 5

Vi lar x være annuiteten, altså summen av renter og avdrag som skal betales hver termin. Vi skal altså betale x kroner hvert år fem ganger, første gang om ett år. 0

Nåverdi Dagens verdi av et fremtidig beløp

Totalt betaler vi altså 5x. Men x kroner om fem år er ikke verdt like mye som x kroner i dag. Så vi må regne ut hvilket beløp en framtidig innbetaling på lånet tilsvarer i dag, altså hvilket beløp vi må sette inn på lånet i dag for at det skal bli verdt x kroner om fem år. Dette kalles nåverdien av innbetalingen.

Reflekter og diskuter! Hvor stort beløp må du sette inn i en bank med 3 % årlig rente hvis du skal ha 1000 kroner på kontoen om fem år?

Anvendelser av geometriske rekker 161

En rente på 10 % tilsvarer en vekstfaktor på 1,1. Nåverdien av x kroner om x fem år blir derfor . Vi gjentar regningen for hver innbetaling: 1,15

Nåverdi

tid x 1,1 x 1,12 x 1,13 x 1,14 x 1,15

Definisjonen av et annuitetslån er at summen av nåverdiene av de framtidige innbetalingene tilsvarer lånebeløpet: x x x x x þ þ þ ¼ 50 000 þ 2 3 4 1,1 1,1 1,1 1,1 1,15 Venstre side av denne likningen er en geometrisk rekke med a1 ¼ Vi skal regne ut s5 :

x 1 og k ¼ . 1,1 1,1

s5 ¼ 50 000 k 1 ¼ 50 000 k 1 5 1 1 x 1,1 ¼ 50 000 1 1,1 1 1,1 a1

3,7908x ¼ 50 000 x ¼ 13 189,87 Løsningen av likningen betyr at beløpet må være 13 189,87 kroner dersom vi skal betale inn samme beløp på et lån på 50 000 kroner til 10 % rente hvert år i fem år slik at renter og avdrag til sammen blir like mye hvert år.

Annuitetslån Annuitetslån er et lån der summen av nåverdiene av de framtidige innbetalingene skal være lånebeløpet.

162 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 14 Vina og Stian tar opp et annuitetslån på 5 000 000 kroner. De avtaler en nedbetalingstid på 20 år, med første innbetaling om ett år. Lånet har en rente på 2,65 % rente i hele lånets løpetid. a

Beregn annuiteten til lånet.

Lag en nedbetalingsplan for lånet.

Hvor mye koster lånet i renter?

Løsning: a Vi lager en figur for å få oversikt over innbetalingene. Vi regner ut nåverdien til hver innbetaling x. Summen av nåverdiene skal tilsvare x 1 og k ¼ . lånebeløpet og bli en geometrisk rekke med a1 ¼ 1,0265 1,0265

Nåverdi

…

20 x

x 1,0265 x 1,02652 x 1,02653 … x 1,026520

Summen av nåverdiene av innbetalingene blir 20 1 1 x 1,0265 15,3705x s20 ¼ 1 1,0265 1 1,0265 Vi setter uttrykket for s20 lik 5 000 000 og får x 325 298. Vina og Stian må betale om lag 325 298 kroner i året. Vi kan også løse oppgaven i CAS, og da bruker vi «Sum»-kommandoen med formelen for ledd nummer n for n fra 1 til 20. Så løser vi likningen vi får når vi setter summen lik 5 000 000: 1

Svaret blir, som ovenfor, 325 298 kr i året.

Anvendelser av geometriske rekker 163

Vi skriver et program i Python som regner ut hvor mye de skal betale hvert år: 1

lån = 5000000

rente = 0.0265

antall_terminer = 20

annuitet = 325298

5 6

print('Saldo start Avdrag Rente Restlån')

for i in range(antall_terminer):

start = lån

rentebeløp = lån*rente

avdrag = annuitet - rentebeløp

lån = lån - avdrag

print(f'{i + 1:2} {start:9.0f} {avdrag:7.0f} {rentebeløp:7.0f} {lån:9.2f}')

Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet: Saldo start Avdrag 1 5000000 192798 2 4807202 197907 3 4609295 203152 ... 18 926363 300749 19 625614 308719 20 316894 316900 c

Rente 132500 127391 122146

Restlån 4807202.00 4609294.85 4406143.17

24549 16579 8398

625613.73 316894.49 -5.81

Totalt betaler Vina og Stian inn 20 325 298 kr ¼ 6 505 960 kr. Kostnaden på lånet blir derfor 6 505 960 kr 5 000 000 kr ¼ 1 505 960 kr.

I eksempelet over avtalte banken og låntakeren lånets nedbetalingstid. Deretter beregnet banken hvor stor hver innbetaling måtte være for at lånet skulle være tilbakebetalt på denne tiden. Et annet alternativ er at banken og låntakeren avtaler hvor stor innbetalingen skal være, og så beregner banken nedbetalingstiden.

Oppgave: 3.26

164 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 15 Roklubben til Petra skal kjøpe inn en ny båt. De låner 100 000 kroner i banken til 3 % rente. De avtaler å betale 15 000 kroner hvert år i renter og avdrag. Hvor lang tid tar det før lånet er tilbakebetalt?

Løsning: Vi skriver et program i Python som regner ut hvor mye de skal betale hvert år. Hvert år betaler de rente av det de har igjen av lånebeløpet. Vi trekker rentebeløpet fra 15 000 og finner avdraget. Så reduserer vi restlånet med avdraget. 1

lån = 100000

rente = 0.03

annuitet = 15000

antall_terminer = 0

5 6

print('Saldo start Avdrag Rente Restlån')

while lån > 0:

8 9 10 11 12

start = lån rentebeløp = lån*rente avdrag = annuitet - rentebeløp lån = lån - avdrag print(f'{antall_terminer + 1:2} {start:9.0f} {avdrag:7.0f} {rentebeløp:7.0f} {lån:9.2f}') antall_terminer = antall_terminer + 1

Når vi kjører programmet, får vi: Saldo start 1 100000 2 88000 3 75640 4 62909 5 49796 6 36290 7 22379 8 8050 Oppgave: 3.27

Avdrag 12000 12360 12731 13113 13506 13911 14329 14758

Rente 3000 2640 2269 1887 1494 1089 671 242

Vi ser at lånet er nedbetalt etter åtte år.

Restlån 88000.00 75640.00 62909.20 49796.48 36290.37 22379.08 8050.45 -6708.03

Anvendelser av geometriske rekker 165

Oppgaver 3.21 En bedrift slipper ut 58 tonn CO2 hvert år. De får pålegg om å redusere utslippet med 6 % per år de neste ti årene.

3.25 Nilla tar opp et lån på 1 000 000 kroner. Han må betale 5 % rente hvert år. Han avtaler å betale tilbake lånet i like store avdrag over 15 år.

Hvor stort er det årlige utslippet om fem år?

Lag en nedbetalingsplan for lånet.

Hvor mye CO2 slipper bedriften ut totalt de neste ti årene?

3.22 En tablett av et legemiddel inneholder 0,8 mg av et virkestoff. Kroppen bryter ned 12 % av virkestoffet per døgn. En pasient tar én tablett om dagen. a b

Hvor mye av virkestoffet er det i kroppen fem dager senere, rett etter 6. tablett?

3.26 Mariann låner 650 000 kroner i banken. Hun avtaler å betale tilbake lånet som et annuitetslån over 15 år med 4,5 % rente per år. a

Beregn annuiteten til lånet.

Lag en nedbetalingsplan for lånet.

3.27

Hvor lang tid tar det før det er mer enn 5 mg av virkestoffet i kroppen?

3.23 Runa setter inn 3000 kroner på bankkontoen sin i starten av hvert år. Hun får 5 % rente. Hvor mye står det på kontoen hennes rett etter at hun har gjort tiende innskudd?

3.24 Ivar sparer for å ha 100 000 kroner på kontoen sin om 5 år. Han setter inn et fast beløp én gang i året. Hvor mye må han sette inn hvert år for at det skal være 100 000 kroner på kontoen ett år etter det femte innskuddet hvis banken gir 3 % rente hvert år i hele perioden?

Et vennepar tar opp et annuitetslån på 4 500 000 kroner til leilighet. De må betale 3 % årlig rente til banken. De avtaler å betale 280 000 kroner hvert år. Hvor lang tid tar det før hele lånet er nedbetalt?

166 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

3.4 Uendelige geometriske rekker UTFORSK Du trenger: et kvadratisk papirark

Uendelige geometriske rekker:

La arket ha sidelengde 1.

1 Del kvadratet i to like store deler, slik at arealet av begge deler blir . 2

Del den ene av halvdelene i to like store deler, slik at hver av 1 delene har areal . 4

Fortsett slik så lenge du klarer.

Forklar at arealet av arket kan regnes ut som 1 1 1 1 þ þ þ þ 2 4 8 16

Hva er arealet av arket?

For rundt 2500 år siden framsatte grekeren Zenon paradokset om Akilles: Akilles, én av tidenes sterkeste krigere og raskeste løpere, skal løpe om kapp med en liten skilpadde. Siden Akilles er raskest, får skilpadden et forsprang. Startskuddet går, og de setter av sted. Men hvordan kan Akilles ta igjen skilpadden? Når Akilles har kommet fram til der skilpadden startet, har skilpadden løpt litt av gårde. Og når Akilles har kommet dit, har skilpadden igjen løpt litt videre. Og når Akilles har kommet også dit, har skilpadden løpt litt videre. På den måten vil aldri Akilles klare å ta igjen skilpadden! Kan det stemme? La oss tenke oss at Akilles løper dobbelt så fort som skilpadden, og at skilpadden starter 1 meter foran. Avstanden Akilles løper før han tar igjen skilpadden, blir da 1 1 1 1 1 þ þ þ þ þ 2 4 8 16 1 Dette er en geometrisk rekke med a1 ¼ 1 og k ¼ . Summen av de n første 2 leddene blir da 1 1 1 1 n n kn 1 ¼1 2 sn ¼ a1 ¼ 2 1 1 k 1 1 2 2

Uendelige geometriske rekker 167

Hva skjer dersom vi tar med uendelig mange ledd? Vi lar n ! 1: 0 1 ¼2 1 2 Summen av rekka nærmer seg 2 når vi tar med svært mange ledd. Vi kan få summen så nærme 2 som vi vil, ved å ta med tilstrekkelig mange ledd. Da er det også klart hva som skjer: Akilles tar igjen og passerer skilpadden etter 2 meter. n ! 1 ) sn !

Når grenseverdien til summen av rekka eksisterer, sier vi at rekka konvergerer mot denne verdien. Motsatt, hvis grenseverdien ikke eksisterer, sier vi at rekka divergerer. Vi tar utgangspunkt i formelen for sn og undersøker grenseverdien generelt. Vi kaller grenseverdien s: kn 1 n!1 n!1 k 1 Den eneste delen av uttrykket for s som avhenger av n er kn . Fra tidligere har vi s ¼ lim sn ¼ lim a1

n!1

)

kn ! 0, hvis 1 < k < 1

n!1

)

kn !

hvis k > 1 eller k < 1

Hvis vi forutsetter at 1 < k < 1, får vi derfor: kn 1 0 1 a1 ¼ a1 ¼ n!1 k 1 k 1 k 1 Vi utvider brøken med 1, slik at vi får positiv teller: s ¼ lim a1

s¼

a1 1 a ¼ 1 k 1 1 1 k

Grenseverdien eksisterer også dersom a1 ¼ 0. Alle leddene i rekka blir da 0, og s ¼ 0.

K ON V E R G E N S A V G E O M E T R I S K RE K K E La a1 være første ledd i en geometrisk tallfølge med kvotient k. Dersom 1 < k < 1, konvergerer rekka mot et tall s gitt ved a s¼ 1 1 k Dersom a1 ¼ 0, konvergerer rekka mot 0. Ellers divergerer rekka.

168 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 16 Finn summen av rekka dersom den eksisterer: 81 27 þ 9 3 þ

Oppgave: 3.29

Løsning: Vi undersøker om rekka er geometrisk 27 1 ¼ 81 3 9 1 ¼ 27 3 3 1 ¼ 9 3 1 Rekka er geometrisk med a1 ¼ 81 og k ¼ . 3 Siden 1 < k < 1 konvergerer rekka mot summen a 81 81 243 ¼ s¼ 1 ¼ ¼ 4 1 4 1 k 1 3 3

Geometriske rekker med variabel kvotient UTFORSK Karl Erik ser på disse rekkene: 1 þ 2 þ 4 þ 8 þ 16 þ 1 þ 3 þ 9 þ 27 þ 81 þ 1 1 1 1 þ 1þ þ þ þ 4 16 64 128 1 þ x þ x2 þ x3 þ x4 þ 1

Forklar at de første tre rekkene kan oppfattes som eksempler på den siste rekka.

Hvilke av rekkene er konvergente?

Karl Erik påstår at vi ikke kan vite om den siste rekka konvergerer. Hva vil du svare ham?

Vi ser på rekka Geometriske rekker med variabel kvotient:

1 þ ðx þ 1Þ þ ðx þ 1Þ2 þ ðx þ 1Þ3 þ Dette er en uendelig geometrisk rekke med a1 ¼ 1 og k ¼ x þ 1. Ifølge setningen ovenfor om konvergens av geometriske rekker vil rekka konvergere når 1 < k < 1, altså 1 < x þ 1 < 1. 1 < x þ 1 < 1

j 1

2 < x < 0 Rekka konvergerer altså når x 2 h 2, 0i.

Uendelige geometriske rekker 169

Vi kaller mengden av de x-verdiene som gjør rekka konvergent, for konvergensområdet til rekka. Så lenge x er i konvergensområdet, vil rekka konvergere. Den konvergerer da mot s¼

a1 1 1 ¼ ¼ x 1 k 1 ðx þ 1Þ

Metoden ovenfor fungerer generelt: Vi identifiserer a1 og k, løser ulikhetene k < 1 og 1 < k, og regner ut s.

EKSEMPEL 17 En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 1 þ ln x þ ðln xÞ2 þ ðln xÞ3 þ a

Bestem konvergensområdet til rekka og finn summen der rekka er konvergent.

Bestem x slik at summen blir 2.

For hvilke verdier av r har likningen s ¼ r løsning?

Løsning: a Dette er en geometrisk rekke med a1 ¼ 1 og k ¼ ln x. Den er konvergent for 1 < k < 1, altså 1 < ln x < 1 1 Vi har ln x ¼ 1 for x ¼ e og ln x ¼ 1 for x ¼ . Siden grafen til ln x e 1 er strengt voksende, blir konvergensområdet x 2 ,e . e Summen av rekka i konvergensområdet er: s¼

a1 1 ¼ 1 k 1 ln x

Vi setter uttrykket for summen lik 2: 1 ¼2 1 ln x 1 ¼ 2 ð1 ln xÞ 1 ¼ 2 2 ln x ln x ¼

1 2

1 pffiffiffi x ¼ e2 ¼ e pffiffiffi pffiffiffi 1 , e , er løsningen på likningen x ¼ e. Fordi e 2 e

170 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Oppgaver: 3.30–3.31

Til høyre ser du grafen til sðxÞ ¼

1 . 1 ln x

Grafen til sðxÞ er ikke begrenset oppover, og har asymptote i x ¼ e. Av grafen ser vi at x ! e ) s ! 1. Rekka er bare 1 konvergent for x > . Vi regner ut: e 1 1 1 1 s ¼ ¼ ¼ 1 e 1 ð 1Þ 2 1 ln e Av figuren ser vi at dette betyr at 1 likningen sðxÞ ¼ r har løsning for r > . 2

y=r

2 1

1 x=

1 e

3 x=e

Vi tar med et eksempel på en rekke som inneholder trigonometriske uttrykk.

EK SEMPEL 18 Bestem konvergensområdet for rekka sin x þ sin x 2 cos x þ sin x 4 cos 2 x þ ,

x 2 ½0, 2 i

Løsning: Rekka er geometrisk med a1 ¼ sin x og k ¼ 2 cos x. Vi løser ulikhetene 1 < k < 1: 1 < 2 cos x ^ 2 cos x < 1 1 1 < cos x ^ cos x < 2 2 1 1 cos x þ > 0 ^ cos x < 0 2 2 For å løse de to ulikhetene finner vi nullpunkter og lager fortegnsskjema: 1 1 cos x þ ¼ 0 _ cos x ¼ 0 2 2 2 þ n 2 _ x ¼ þ n 2 x¼ 3 3 2 4 5 _ x¼ _ x¼ x¼ _ x¼ 3 3 3 3 Vi lager fortegnslinje: 0

p – 3

1 cos x + – [ 2 1 cos x – – [ 2 Konvergensområde

2p ––– 3

4p ––– 3

0 ·

5p ––– 3 Ò 0

Uendelige geometriske rekker 171

Konvergensområdet er der den øverste fortegnslinja er positiv og den 2 4 5 , [ , . nederste negativ. Rekka konvergerer for x 2 3 3 3 3 Rekka er også konvergent der a1 ¼ 0. Her betyr a1 ¼ 0 at sin x ¼ 0, altså x ¼ n . 2 4 5 , , [ [ f0, g. Dette gir konvergens for x 2 3 3 3 3

Oppgave: 3.35

Reflekter og diskuter! Lisa mener at det kan være lettere å finne konvergensområdet ved å avgjøre når vi har jkj < 1, enn når vi har k2 < 1. Forklar at disse to betingelsene gir samme resultat.

Når vi har variabelen i nevneren, kan det være effektivt å bruke kriteriet k2 < 1 for konvergens. Dette kan gjøre det enklere å løse ulikhetene.

EKSEMPEL 19 En geometrisk rekke er gitt ved x x þ þ ..., xþ x þ 1 ðx þ 1Þ2

x 6¼ 1

Bestem konvergensområdet for rekka.

Løsning: Vi løser ulikheten k2 < 1: 1 <1 ðx þ 1Þ2

ganger med ðx þ 1Þ2

1 < ðx þ 1Þ2 ðx þ 1Þ2 1 > 0 x2 þ 2x > 0 Siden koeffisienten foran x2 er positiv, har x2 þ 2x en minste verdi. Fortegnslinja må da bli:

x2 + 2x

–2

Konvergensområdet blir x 2 h

, 2i [ h0, !i.

Oppgave: 3.37

172 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Oppgaver 3.28 a Tegn et linjestykke. La linjestykket starte i 0 og slutte i 1.

3.33

Bestem deg for en brøk mellom 0 og 1, 1 for eksempel . Marker brøken på linjestykket. 3

Flytt 0 fram til markeringen din. 1 beholder plassen sin. Marker den samme brøken. Gjenta noen ganger.

3.34 En sprettball slippes fra 2 meters høyde. Hver gang ballen spretter, oppnår den 80 % av høyden fra forrige sprett. Hvor mange meter har sprettballen tilbakelagt i lufta så lenge den spretter?

Hvor havner markeringen til slutt? Hvor kan markeringen ikke havne?

3.29 Finn summen av rekka dersom den eksisterer. 1 1 b 1 2 þ 4 8 þ 16 þ . . . a 2 þ 1 þ þ þ ... 2 4

Vis at for jkj < 1 har vi

1 X

kn ¼

n¼1

1 . 1 k

3.35 Vi har gitt den uendelige rekka x 2xe x þ 4xe 2x 8e 3x þ a

Vis at rekka er geometrisk.

Bestem konvergensområdet for rekka og finn summen av rekka i konvergensområdet.

Bestem x slik at summen er

2 x. 3

3.30 1 1 En uendelig rekke er gitt ved x þ x2 þ x3 þ 2 4 a Finn konvergensområdet for rekka.

3.36 En geometrisk rekke er gitt ved

Bestem konvergensområdet for rekka.

Finn et uttrykk for summen sðxÞ i konvergensområdet.

Løs likningen sðxÞ ¼ 5.

Finn et uttrykk for summen av rekka i konvergensområdet.

3.31 x2 x3 En uendelig rekke er gitt ved x þ þ þ x 1 ðx 1Þ2 a

Vis at rekka er geometrisk.

Bestem konvergensområdet for rekka.

Bestem x slik at summen av rekka er 2.

3.32 En tablett av et legemiddel inneholder 0,8 mg av et virkestoff. Kroppen bryter ned 12 % av virkestoffet per døgn. Kroppen tåler opptil 7 mg av stoffet. En pasient tar én tablett om dagen. Er doseringen akseptabel?

2 sin x þ 2 sin x cos x þ 2 sin x cos 2 x þ

3.37 En rekke er gitt ved

ðx þ 1Þ2 þ x 2 Vis at rekka er geometrisk, og bestem k.

Bestem konvergensområdet for rekka.

ðx 2Þ þ ðx þ 1Þ þ

3.38 La a ¼ 0,444 44 . . . være desimaltallet med uendelig mange firetall etter kommaet. 4 4 4 a Forklar at a ¼ þ þ ... 10 100 1000 b Bestem et rasjonalt tall med samme verdi som a.

Matematiske bevis 173

3.5 Matematiske bevis UTFORSK 1

Hvilke av uttrykkene betyr det samme? 1 þ 4 þ 7 þ þ 22

x>5

2x2 ¼ 8

23 8 2

x > 45

x¼

x2 > 25

sin x <

2 1 pffiffiffi 2 2

Lag en tilsvarende utfordring til en medelev. Bytt oppgaver.

Implikasjon og ekvivalens Matematikken er bygd opp av matematiske objekter og setninger om disse objektene. Eksempler på matematiske objekter er tall, vektorer og funksjoner. Eksempler på setninger er nullpunktssetningen, Pytagoras' setning og analysens fundamentalsetning. Å gjennomføre et bevis for en matematisk setning vil si å etablere en kjede av implikasjoner fra kjente matematiske fakta til setningen. Vi bruker tegnet ) for implikasjon. Implikasjonen A ) B betyr at hvis A er sann, så er B også sann. Vi leser A ) B som «A impliserer B». Utsagnet nedenfor inneholder en gyldig implikasjon: Det regner

)

Det er vått på gata

For det er nettopp slik at hvis det er sant at det regner ute, så er det sant at det er vått på gata. Vi legger merke til at det ikke er noen implikasjon motsatt vei: Det er ikke slik at vi vet at det regner, selv om det er vått på gata. Det kunne jo være at noen har brukt hageslangen, eller at det akkurat har sluttet å regne. Dersom implikasjonen gjelder begge veier, kaller vi det en ekvivalens. Vi bruker tegnet , for ekvivalens. Her ser du et eksempel: Lisbeth har stemmerett m Lisbeth er 18 år, og er norsk statsborger bosatt i Norge Alle norske statsborgere bosatt i Norge har stemmerett fra det året de fyller 18 år. De to utsagnene uttrykker derfor det samme.

Implikasjon A ) B betyr at hvis A er sann, så er også B sann. Vi leser «A impliserer B», «A medfører B» eller «hvis A, så B».

174 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 20 Avgjør om det er mulig å sette ), ( eller , mellom utsagnene: a

x2 ¼ 4

x<5

x þ 3x ¼ 0 2

x¼2 x<7 x ¼ 0 _ x ¼ 3

Løsning: a Hvis høyre side er sann, vet vi at x ¼ 2. Dersom vi kvadrerer x, får vi x2 ¼ 4. Altså er venstre side også sann. Det betyr at det er implikasjon fra høyre mot venstre. Hvis venstre side er sann, må x ¼ 2. Det betyr at vi ikke vet om høyre side er sann. Det er derfor ingen implikasjon fra venstre mot høyre. x2 ¼ 4 ( x ¼ 2 b

Hvis venstre side er sann, er x mindre enn 5. Siden 5 er mindre enn 7, vet vi at x også er mindre enn 7. Da er høyre side sann, og vi har implikasjon fra venstre mot høyre. Imidlertid går ikke implikasjonen motsatt vei. Vi kan bruke x ¼ 6 som moteksempel: Hvis x ¼ 6, blir høyre side sann, men venstre side usann. x<5 ) x<7

Vi løser likningen på venstre side og får høyre side. Så hvis venstre side er sann, er også høyre side sann, og motsatt. Utsagnene på de to sidene impliserer hverandre, og er derfor ekvivalente. x2 þ 3x ¼ 0 , x ¼ 0 _ x ¼ 3

Oppgave: 3.39

Reflekter og diskuter! 1

Klipp ut en lapp av et stykke papir. På den ene siden av lappen skriver du: «Setningen på den andre siden av denne lappen er sann.» På den andre siden av lappen skriver du: «Setningen på den andre siden av denne lappen er usann.»

Les begge sidene av lappen. Hva går galt?

Matematiske bevis 175

Direkte bevis Den enkleste bevisformen er den vi kaller direkte bevis: Når vi skal bevise implikasjonen A ) B, starter vi med A og regner eller argumenterer oss fram til B.

Direkte og indirekte bevis:

Når vi trener på å forstå bevis, kan det være nyttig å bruke eksempler fra tallteorien, setninger og egenskaper ved de naturlige tallene, N. Vi bruker at alle partall m kan skrives som m ¼ 2n, og at alle oddetall m kan skrives som m ¼ 2n þ 1, der n er et passende heltall.

EKSEMPEL 21 Vis at hvis n er et partall, så er n2 også et partall.

Løsning: Vi skal bevise implikasjonen )

n er et partall

n2 er et partall

Vi antar at n er et partall. Da finnes et tall m slik at n ¼ 2m. Det gir n2 ¼ ð2mÞ2 ¼ 4m2 ¼ 2 ð2m2 Þ Da har vi skrevet n2 som et produkt med 2 som én av faktorene. Da er n2 også et partall.

Oppgave: 3.40

Indirekte bevis I eksempelet har vi gjennomført et direkte bevis. Vi antok at n er et partall, og viste at det impliserer at n2 også er et partall. Av og til er det enklere å gjøre motsatt: I stedet for å bevise at hvis A er sann, så er B sann, beviser vi at dersom ikke B er sann, så kan heller ikke A være sann. Dette kaller vi et indirekte bevis. Det er lettere å forstå ideen bak indirekte bevis om vi tar fram igjen eksempelet fra implikasjon: Det regner

)

Det er vått på gata

Hvis vi setter inn «ikke» på hver side, må vi snu implikasjonen for at den skal bli logisk gyldig: Det er ikke vått på gata

)

Det regner ikke

De to implikasjonene – med og uten ordet «ikke» – uttrykker nå samme meningsinnhold. Vi kan altså like gjerne anta ikke-B og så vise at det fører til ikke-A.

176 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

EK SEMPEL 22 Vis at hvis n2 er et partall, så er n et partall.

Løsning: Vi vurderer først om vi kan bruke et direkte bevis: Hvis n2 er et partall, kan vi skrive n2 ¼ 2m. Men det hjelper oss ikke til å finne ut noe om n. pffiffiffiffiffiffiffi Vi kan skrive n ¼ 2m, men der stopper det. I stedet bruker vi et indirekte bevis. Vi antar det motsatte av konklusjonen vi skal fram til, altså at n ikke er et partall: n ikke partall + n oddetall + se eksempel 21 n2 oddetall + n2 ikke partall Oppgave: 3.41

Da har vi bevist at hvis n2 er et partall, så er n det også.

Reflekter og diskuter! Forklar til en medelev hvorfor vi like gjerne kan vise ikke-B ) ikke-A som A ) B.

Beviset i eksempelet over kaller vi et kontrapositivt bevis. En annen variant av det indirekte beviset er det som gjerne blir kalt ad absurdum-bevis: Da antar vi det motsatte av konklusjonen vi skal fram til. Deretter viser vi at denne antakelsen fører til en selvmotsigelse. Selvmotsigelsen gjør at vi forkaster antakelsen og konkluderer med det motsatte.

Matematiske bevis 177

EKSEMPEL 23 Vis at

pffiffiffi 2 ikke kan skrives som en brøk.

Løsning: Vi antar for motsigelse at

pffiffiffi 2 kan skrives som en brøk.

Dette betyr at det må finnes to hele tall a og b slik at

pffiffiffi a 2¼ . b

a er maksimalt forkortet. Dersom den ikke er det, b forkorter vi brøken til telleren og nevneren ikke lenger har noen like faktorer. Så kaller vi den nye telleren for a og nevneren for b. Vi antar at brøken

Vi kvadrerer likningen og regner: a pffiffiffi ¼ 2 b 2 a ¼2 b a2 ¼2 b2 a2 ¼ 2b2 I siste linje ser vi at a2 er et partall. Fra forrige eksempel vet vi at da er også a et partall. Da finnes en m slik at a ¼ 2m. Vi bytter ut a2 : a2 ¼ 2b2 ð2mÞ2 ¼ 2b2 4m2 ¼ 2b2 b2 ¼ 2m2 Siste linje her viser at b2 er et partall. Da er også b et partall. Men nå har vi en motsigelse: Både a og b er partall. Da har de felles faktor 2, a og dermed kan brøken forkortes med 2. Dette strider mot antakelsen b pffiffiffi om at 2 kan skrives som en maksimalt forkortet brøk. Vi konkluderer med pffiffiffi at det ikke finnes noen brøk som har samme verdi som 2.

Oppgave: 3.42

178 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Induksjonsbevis UTFORSK Du trenger: Domino-brikker, Kapla-klosser eller liknende

Induksjonsprinsippet 1. Du dytter på den første brikken, slik at den faller. 2. En brikke som faller, drar alltid med seg neste brikke, slik at den også faller.

Still opp brikkene slik at hvis du starter den første, så faller alle.

Dytt den første brikken over ende.

Formuler en begrunnelse for at alle brikkene falt.

Induksjonsprinsippet i matematikken kan sammenliknes med en stige. Du kan klatre så høyt du vil i en stige dersom følgende to kriterier er oppfylt: (1) Du klarer å gå til første trinn i stigen. (2) Du klarer alltid å klatre til neste trinn i stigen. Tilsvarende har vi at et utsagn er bevist ved matematisk induksjon dersom følgende to kriterier er oppfylt: 1

Utsagnet er gyldig for en første verdi.

Hvis utsagnet er sant for en bestemt verdi, er utsagnet også sant for neste verdi.

Vi ser på hvordan vi kan oversette disse to kriteriene til matematisk språk. Vi bruker denne formelen som test: n2 þ n 2 Trinn 1 er å undersøke om utsagnet gjelder for en første verdi. Hvis vi starter med n ¼ 1, får vi at venstre side, altså 1 þ 2 þ 3 þ þ n, blir 1. Høyre side 1 þ 2þ 3 þ þ n ¼

blir

12 þ 1 2 ¼ ¼ 1. Så når n ¼ 1, blir venstre side lik høyre side. 2 2

Matematiske bevis 179

Trinn 2 er å vise at hvis formelen stemmer for en bestemt verdi av n, så gjelder den også for neste verdi. Vi lar n ¼ k være denne bestemte verdien. Det betyr at vi nå antar at formelen gjelder for n ¼ k. k2 þ k ð1Þ 2 Vi skal vise at hvis formelen gjelder for n ¼ k, gjelder den også for n ¼ k þ 1. Vi setter n ¼ k þ 1 inn i den opprinnelige formelen for å se hva vi skal fram til: 1 þ 2þ 3 þ þ k ¼

ðk þ 1Þ2 þ ðk þ 1Þ ð2Þ 2 Vi skal altså vise at dersom likningen (1) er sann, så er likningen (2) også sann. Vi tar utgangspunkt i venstre side av (2). Underveis i utregningen kan vi bruke formelen (1), siden vi forutsetter at den er sann. 1 þ 2 þ 3 þ þ k þ ðk þ 1Þ ¼

1 þ 2 þ 3 þ þ k þðk þ 1Þ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} k2 þ k 2

k2 þ k þ ðk þ 1Þ 2 k2 þ k 2k þ 2 þ ¼ 2 2 k2 þ 2k þ 1 þ k þ 1 ¼ 2 2 ðk þ 1Þ þ ðk þ 1Þ ¼ 2 Nå har vi vist at likningen i (2) er sann, under forutsetning av at likning (1) er sann. ¼

Til sammen har vi nå oppfylt begge trinnene i induksjonsbeviset: Vi har vist at formelen gjelder for en første verdi, nemlig n ¼ 1. I tillegg har vi vist at hvis formelen gjelder for en bestemt verdi k, så gjelder den også for neste verdi (k þ 1). Vi viser noen eksempler på induksjonsbevis.

EKSEMPEL 24 Vis ved induksjon at ½xn 0 ¼ n xn 1 .

Løsning: Trinn 1 Vi undersøker om formelen stemmer for n ¼ 1: Venstre side:

½x1 0 ¼ ½x 0 ¼ 1

Høyre side:

1 x1 1 ¼ x 0 ¼ 1

Fordi venstre og høyre side er like, vet vi at formelen stemmer for n ¼ 1.

Induksjonsbevis:

180 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Trinn 2 Vi antar at formelen stemmer for en bestemt verdi n ¼ k. Det betyr at vi har ½xk 0 ¼ k xk 1

0 Vi skal vise at formelen nå stemmer for n ¼ k þ 1, altså at xk þ 1 ¼ ðk þ 1Þxk . Først bruker vi potensreglene og får xk þ 1 ¼ xk x. Det gir ½xk þ 1 0 ¼ ½xk x 0 Her bruker vi produktregelen for derivasjon, ½u v 0 ¼ u 0 v þ u v 0 : ½xk x 0 ¼ ½xk 0 x þ xk ½x 0 ¼ ½xk 0 x þ xk 1 Vi har antatt at ½xk 0 ¼ k xk 1 . Vi setter derfor inn dette: ½xk þ 1 0 ¼ k xk 1 x þ xk 1 Vi regner ut og får ½xk þ 1 0 ¼ k xk þ xk ¼ ðk þ 1Þ xk Vi har kommet fram til formelen innsatt med n ¼ k þ 1: Vi startet med venstre side og kom deretter fram til høyre side ved å bruke antakelsen om at formelen er sann for n ¼ k. Konklusjon: Ved matematisk induksjon har vi nå vist at formelen stemmer for alle n 2 N.

Reflekter og diskuter! Hvor i eksempelet over har vi brukt antakelsen om at formelen er sann for n ¼ k?

Selve induksjonstrinnet vil gjerne være litt vanskelig. Det kan være en hjelp å skrive ned hva vi skal fram til underveis, slik at det er lettere å holde orden på hva som er antakelser, og hva vi skal vise.

Matematiske bevis 181

EKSEMPEL 25 Vis ved induksjon at 12 þ 22 þ 32 þ þ n2 ¼

2n3 þ 3n2 þ n 6

Løsning: Før vi starter, setter vi inn n ¼ k og n ¼ k þ 1 i formelen: n ¼ k: 12 þ 22 þ 32 þ þ k2 ¼

2k3 þ 3k2 þ k 6

n ¼ k þ 1: 12 þ 22 þ 32 þ þ k2 þ ðk þ 1Þ2 ¼

2ðk þ 1Þ3 þ 3ðk þ 1Þ2 þ ðk þ 1Þ 6

I induksjonstrinnet av beviset skal vi vise at den øverste av disse impliserer den nederste. Trinn 1 Vi undersøker om formelen stemmer for n ¼ 1: Venstre side: 1 Høyre side:

2 13 þ 3 12 þ 1 6 ¼ ¼1 6 6

Venstre og høyre side er like, så formelen stemmer for n ¼ 1. Trinn 2 Her skal vi vise at hvis formelen stemmer for en bestemt verdi n ¼ k, så stemmer den også for n ¼ k þ 1. Vi antar at formelen stemmer for n ¼ k, altså 12 þ 22 þ 32 þ þ k2 ¼

2k3 þ 3k2 þ k 6

For å komme til neste verdi på venstre side må vi addere ðk þ 1Þ2 . Vi gjør det på begge sider: 2k3 þ 3k2 þ k þ ðk þ 1Þ2 6 Vi skal nå vise at denne høyresiden er det samme som høyre side 12 þ 22 þ 32 þ þ k2 þ ðk þ 1Þ2 ¼

i formelen innsatt med n ¼ k þ 1, altså

2ðk þ 1Þ3 þ 3ðk þ 1Þ2 þ ðk þ 1Þ . 6

182 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Det spiller ingen rolle hvilken av de to brøkene vi regner på for å vise at de er like. Her er det greiest å regne litt på begge: 2ðk þ 1Þ3 þ 3ðk þ 1Þ2 þ ðk þ 1Þ 2k3 þ 6k2 þ 6k þ 2 þ 3k2 þ 6k þ 3 þ k þ 1 ¼ 6 6 3 2 2k þ 9k þ 13k þ 6 ¼ 6 2k3 þ 3k2 þ k 2k3 þ 3k2 þ k 6k2 þ 12k þ 6 þ ðk þ 1Þ2 ¼ þ 6 6 6 3 2 2k þ 9k þ 13k þ 6 ¼ 6 De to uttrykkene for høyresidene er like. Det betyr at trinn 2 i induksjonsbeviset er fullført.

Oppgaver: 3.43–3.46

Konklusjon: Ved matematisk induksjon kan vi nå slutte at formelen stemmer for alle naturlige tall n.

Moteksempel Til nå har vi utelukkende sett på hvordan vi kan bevise at en påstand er sann. Å bevise at noe ikke stemmer, kan være enklere. Da er det nok å finne et moteksempel – å finne en verdi som påstanden ikke er sann for.

EK SEMPEL 26 Johanna tar 1T. Alle funksjoner hun har sett, er deriverbare der de er kontinuerlige. Hun framsetter derfor en påstand: «Hvis en funksjon er kontinuerlig i et punkt, er den også deriverbar i punktet.» Finn et moteksempel til påstanden.

Løsning: La f ðxÞ ¼ jxj. Grafen til f er kontinuerlig for alle x 2 R. For x < 0 har vi f 0 ðxÞ ¼ 1, og for x > 0 er f 0 ðxÞ ¼ 1. Men for x ¼ 0 er ikke f 0 ðxÞ definert. Grafen har et knekkpunkt ð0, 0Þ og er ikke deriverbar i x ¼ 0, selv om den er kontinuerlig der. Oppgave: 3.47

Konklusjon: Påstanden til Johanna er motbevist.

Matematiske bevis 183

Oppgaver 3.39 Sett inn eventuelle implikasjoner () eller () eller ekvivalenser (,) mellom utsagnene. Gi en kort begrunnelse for valget ditt. a

x er trønder . . . x er nordmann

2x 3 ¼ 5 . . . x ¼ 4

x < 8 ... x < 2

Trekanten er likesidet . . . Trekanten er likebeint

x ¼ 7 . . . x2 ¼ 49

3.40 Vis at hvis n er et oddetall, så er n2 også et oddetall. 3.41 Vis at hvis n2 er et oddetall, så er n også et oddetall. 3.42 Vis at

pffiffiffi 3 ikke kan skrives som en brøk.

3.43 a Vis ved induksjon at 1 þ 3 þ 5 þ 7 þ þ ð2n 1Þ ¼ n2 . b

Vis at 2 þ 4 þ 6 þ 8 þ . . . þ 2n ¼ n2 þ n.

3.44 Bruk et induksjonsbevis til å vise at ðn þ 1Þ n 1 þ 2 þ 3 þ 4 þ þ n ¼ . 2 3.45 Vis ved induksjon at 2 þ 4 þ 8 þ . . . þ 2n ¼ 2n þ 1 2

3.46 Vis ved induksjon at 1 2 3 n nþ2 þ2 þ þ þ ::: þ ¼ n 2 4 8 2 2n

3.47 Trine påstår at polynomet n2 n þ 41 blir et primtall for alle n 2 N. For om hun setter inn 1, får hun 41, setter hun inn 2, får hun 43, setter hun inn 3, får hun 47, og så videre. Rolf hevder å ha funnet et moteksempel for Trines påstand. Finn et tall n som kan brukes som moteksempel.

184 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

3.6 Tallmønstre UTFORSK Finn de neste to leddene i følgen: 1

5, 3, 1, 1, 3, . . .

256, 128, 64, 32, 16, . . .

1, 5, 12, 22, 35, . . .

1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .

Hva er matematikk? Når du stiller dette spørsmålet, vil du ofte få et svar i retning av at matematikk handler om mønstre og sammenhenger – å oppdage, gjenkjenne og bevise mønstre. Å oppdage mønstre i tallfølger krever gjerne en viss innsats og fantasi. Heldigvis finnes det teknikker som kan hjelpe oss på vei. De to tallfølgene nedenfor er eksempler på aritmetiske og geometriske følger. 5, 8, 11, 14, 17, . . . 1, 2, 4, 8, 16, . . . Slike tallfølger kjenner vi nå eksplisitte formler for. Men hvordan finner vi mønstre i andre tallfølger?

Gjentatte differanser Differansen mellom tallfølgens ledd kan være med på å avdekke mønsteret. 1

5 4

11 6

19 8

29 10

Differansen i følgen til venstre er ikke konstant, så dette er ikke en aritmetisk følge. Men vi legger merke til at differansene er en aritmetisk følge: 1

5 4

11 6

19 8

29 10

Differansen av differansene er 2. Vi leter nå etter en funksjon f ðnÞ som gir det n-te leddet i følgen. Om denne funksjonen vet vi at:

Differansen mellom funksjonsverdiene øker lineært.

Differansen mellom differansene av funksjonsverdiene er konstant lik 2.

Tallmønstre 185

Differansen mellom leddene er vekstfarten til funksjonen. Siden denne er lineær, er f ðnÞ en andregradsfunksjon: f ðnÞ ¼ an2 þ bn þ c. Vi må bestemme koeffisientene a, b og c.

Anta at differansene mellom leddene i en følge danner en aritmetisk følge. Da er ledd nummer n en andregradsfunksjon: f ðnÞ ¼ an2 þ bn þ c

EKSEMPEL 27 Bestem en formel for ledd nummer n i følgen: 1, 6, 13, 22, 33, 46, 61, 78, 97, . . .

Løsning: Vi finner differansene mellom leddene: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 Differansen mellom differansene er 2, altså konstant. Det betyr at an kan uttrykkes på formen f ðnÞ ¼ an2 þ bn þ c. Vi har f ð1Þ ¼ a 12 þ b 1 þ c ¼ 1 f ð2Þ ¼ a 2 þ b 2 þ c ¼ 6 2

aþbþc¼1 !

f ð3Þ ¼ a 32 þ b 3 þ c ¼ 13

4a þ 2b þ c ¼ 6 9a þ 3b þ c ¼ 13

Vi løser likningssettet og får a ¼ 1, b ¼ 2 og c ¼ 2. Det betyr at ledd nummer n er gitt ved an ¼ n2 þ 2n 2.

Alternativ løsning: Vi kan skrive differansene mellom leddene i følgen som en aritmetisk følge: 5, 7, 9, 11, . . . Ledd nummer n i denne følgen kan uttrykkes som bn ¼ 2n þ 3. Vi kan derfor uttrykke et vilkårlig ledd i den opprinnelige følgen 1, 6, 13, 22 . . . ved å summere rekka 5 þ 7 þ 9 þ 11 þ . . . a1 ¼ 1 a 2 ¼ 1 þ 5 ¼ a 1 þ b1 a3 ¼ 1 þ 5 þ 7 ¼ a1 þ b1 þ b2 a4 ¼ 1 þ 5 þ 7 þ 9 ¼ a1 þ b1 þ b2 þ b3 .. . an ¼ a1 þ b1 þ b2 þ þ bn 1

f ðnÞ ¼ n2 f 0 ðnÞ ¼ 2n f 00 ðnÞ ¼ 2

186 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Vi setter inn for a1 og summerer b1 þ b2 þ þ bn 1 . Vi bruker at bn ¼ 2n þ 3, som betyr at bn 1 ¼ 2ðn 1Þ þ 3 ¼ 2n 2 þ 3 ¼ 2n þ 1: 5 þ ð2n þ 1Þ ðn 1Þ 2 2n þ 6 ðn 1Þ ¼1þ 2 ¼ 1 þ ðn þ 3Þðn 1Þ

an ¼ 1 þ

¼ 1 þ n2 n þ 3n 1 ¼ n2 þ 2n 2

Oppgaver: 3.48–3.49

Vi tar med et eksempel der vi bruker problemløsningsstrategiens fire trinn.

EK SEMPEL 28 Problemløsning 1 Forstå problemet 2 Lage en plan 3 Gjennomføre planen 4 Se tilbake

Hvor mange pizzastykker kan vi maksimalt få ved å rulle et pizzahjul seks ganger i en rett linje gjennom en rund pizza?

Løsning: Vi bruker problemløsningsstrategier: 1

Forstå problemet Vi kan kutte pizzaen i tolv stykker ved å rulle hjulet seks ganger gjennom midten, men hvis vi ikke skjærer gjennom midten, vil vi kunne kutte i stykkene som allerede er kuttet. Da vil vi få flere stykker.

Lage en plan Vi kan prøve oss fram, men vi ser da at det fort blir uoversiktlig. Vi forenkler problemet ved å finne maksimalt antall stykker ved å rulle hjulet én, to og tre ganger gjennom pizzaen. Så prøver vi å finne et mønster.

Gjennomføre planen Vi tegner figurer der vi ruller hjulet gjennom pizzaen én, to og tre ganger:

Ett snitt: to stykker

To snitt: fire stykker

Tre snitt: syv stykker

Tallmønstre 187

Antall stykker vi får ved å rulle hjulet n ganger, danner tallfølgen an ¼ 2, 4, 7, . . . Av tallfølgen ser vi at differansen øker med 1 for hver gang. Differansen er lineær. Det betyr at det n-te leddet i følgen kan uttrykkes på formen f ðnÞ ¼ an2 þ bn þ c. Ettersom vi vet at a1 ¼ 2, a2 ¼ 4 og a3 ¼ 7, bruker vi dette til å sette opp et system med tre likninger og tre ukjente f ð1Þ ¼ a 12 þ b 1 þ c ¼ 2 f ð1Þ ¼ a 22 þ b 2 þ c ¼ 4

aþbþc¼2 !

f ð1Þ ¼ a 32 þ b 3 þ c ¼ 7

4a þ 2b þ c ¼ 4 9a þ 3b þ c ¼ 7

1 1 Vi løser likningssettet og får at a ¼ , b ¼ og c ¼ 1. 2 2 Det betyr at ledd nummer n er gitt ved: 1 1 an ¼ n2 þ n þ 1 2 2 Vi regner ut a6 : 1 2 1 6 þ 6 þ 1 ¼ 18 þ 3 þ 1 ¼ 22 2 2 Vi får maksimalt 22 pizzastykker ved å rulle et pizzahjul seks ganger i en rett linje gjennom en rund pizza. a6 ¼

Se tilbake Er vi sikre på at løsningen er riktig? Vi har jo bare vist at figuren stemmer når vi ruller pizzahjulet én, to og tre ganger gjennom pizzaen. Vi undersøker neste figur, der vi skjærer fire ganger. Vi kan få 11 stykker:

Vi ser at det stemmer med formelen vår: 1 2 1 4 þ 4 þ 1 ¼ 8 þ 2 þ 1 ¼ 11 2 2 Ved å forenkle problemet oppdaget vi et mønster som var vanskelig å se i det opprinnelige problemet. Dette mønsteret hjalp oss med å finne løsningen. a4 ¼

Oppgaver: 3.55

188 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Regresjon Hvis vi ikke finner noe mønster i tallfølgen for hånd, kan vi bruke regresjon. Vi bruker leddenes indeks som x-verdi og leddene som funksjonsverdi.

EK SEMPEL 29 Bestem en formel for ledd nummer n i følgen: 1, 3, 1, 17, 51, 109, 197, . . .

Løsning: Vi lager en verditabell for følgen: n

109

197

Vi legger verditabellen inn i regnearket i GeoGebra og bruker regresjonsanalyseverktøyet. En polynomfunksjon av tredje grad treffer alle punktene.

Vi får at funksjonsuttrykket er y ¼ x3 3x2 þ 1. Det betyr at an Oppgave: 3.50

er an ¼ n3 3n2 þ 1.

Reflekter og diskuter! Hvor mange nivåer må du regne ut differanser på før du får samme tall hver gang i eksempelet over?

Tallmønstre 189

Oppgaver 3.48 Trekanttallene er gitt ved mønsteret som framkommer av figuren:

3.52 En følge av figurtall framkommer av figurene nedenfor:

T1 ¼ 1, T2 ¼ 3, T3 ¼ 6, T4 ¼ 10, . . . Finn en formel for Tn , trekanttall nummer n.

3.49 En tallfølge er illustrert ved figurene nedenfor:

F1 ¼ 6, F2 ¼ 10, F3 ¼ 14, . . . Bestem en formel for Fn , figurtall nummer n.

3.53 En tallfølge er gitt ved 1, 5, 12, 22, 35. a F1

Vis at ledd nummer n kan uttrykkes ved an ¼

F1 ¼ 2, F2 ¼ 8, F3 ¼ 20, . . . Bestem en formel for figurtall nummer n.

3.50 En tallfølge starter slik: 7, 20, 39, 64, 95, 132, . . . Bestem en eksplisitt formel for ledd nummer n.

3n2 n 2

Illustrer an i et koordinatsystem med n langs førsteaksen og an langs andreaksen.

3.54 En følge av figurtall framkommer av figurene nedenfor:

3.51 Hva blir resultatet av dette programmet? 1

n = 10

a=2

F2 ¼ 7, F3 ¼ 19, F4 ¼ 37, . . . Bestem en formel for Fn , figurtall nummer n.

3 4

for i in range(n):

print(a)

a = a**2 - 3

3.55 En tallfølge består av tallene 3, 11, 27, 59, 123, 251, 507, 1019, . . . Forklar at det ikke finnes noe andregradspolynom som uttrykker ledd nummer n.

190 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

MØNSTER OG OVERSIKT Tallfølge

Bevis

Liste av tall skrevet i en bestemt rekkefølge. a1 , a2 , a3 , a4 , . . . , an , . . .

Direkte bevis for A ) B: tar utgangspunkt i A og viser at B følger

Eksempel: 3, 6, 12, 24, 48, 96, . . .

Indirekte bevis A ) B: tar utgangspunkt i ikke-B og viser at da følger ikke-A Moteksempel: et tilfelle hvor formelen ikke er oppfylt

Rekke Summen av leddene i en tallfølge.

Induksjonsbevis for en påstand PðnÞ: Trinn 1: viser at PðnÞ gjelder for en første verdi av n, for eksempel n ¼ 0, n ¼ 1 eller liknende

Aritmetisk tallfølge Definisjon:

an an 1 ¼ d

Ledd nummer n:

an ¼ a1 þ ðn 1Þ d n sn ¼ ða1 þ an Þ 2

Aritmetisk rekke:

Trinn 2: viser at hvis PðkÞ gjelder, så gjelder også Pðk þ 1Þ

Avgjør om påstandene stemmer 1

En rekke er summen av leddene i en tallfølge.

Det er alltid mulig å finne en rekursiv formel for en følge, men ikke alltid mulig å finne en eksplisitt formel.

En uendelig, geometrisk tallfølge er konvergent hvis kvotienten er mindre enn 1.

konvergent for 1 < k < 1 eller a1 ¼ 0 a Konvergent sum: s ¼ 1 1 k

Når vi låner penger, må vi betale mer enn bare rente for at lånet skal bli mindre.

Vi kan se på en aritmetisk følge som en lineær funksjon og en geometrisk følge som en eksponentialfunksjon.

Anvendelser av geometriske rekker

Å bevise A impliserer B er det samme som å bevise B impliserer A.

Geometrisk tallfølge Definisjon: Ledd nummer n:

an an 1

¼k

an ¼ a1 kn 1

kn 1 Geometrisk rekke: sn ¼ a1 k 1 Uendelig geometrisk rekke:

Sparing: fast sparebeløp hvert år Annuitetslån: lån der summen av nåverdiene utgjør lånebeløpet. Fast beløp hver gang Serielån: likt avdrag hver gang

Test deg selv 191

Test deg selv

Forklar at følgen er aritmetisk.

3.60 a En aritmetisk rekke er gitt ved 5 þ 12 þ 19 þ Hvor mange ledd må vi ta med i rekka for at summen skal bli større enn 1 000 000?

Bestem ledd nummer 14.

Finn summen av de 14 første leddene i følgen.

Hvor mange ledd må vi summere for at summen skal bli større enn 70?

Uten hjelpemidler

3.56 En følge er gitt ved 2, 5, 8, 11, . . .

3.57 En geometrisk rekke er definert ved 1 1 þ þ ... 1þ 2 ðx 2Þ4 ðx 2Þ

Avgjør for hvilke verdier av x rekka konvergerer.

Finn et uttrykk for summen sðxÞ av rekka når den konvergerer. 1 Løs likningene sðxÞ ¼ 1 og sðxÞ ¼ . 3

3.61 a Lag en skisse av grafen til f ðxÞ ¼ sin x for x 2 ½ 2 , 2 i.

Bestem definisjonsområdet for rekka.

Bestem konvergensområdet for rekka.

Finn et uttrykk for summen av rekka når den konvergerer.

Vis ved induksjon: 1 þ 4 þ 16 þ . . . þ 4n 1 ¼

1 þ ð2 þ ln xÞ þ ð2 þ ln xÞ2 þ

3.58

En geometrisk rekke er gitt ved

4n 1 3

Med hjelpemidler

3.59 Maria tar opp et lån i banken på 2 000 000. Hun skal betale et fast beløp én gang i året. Dette beløpet skal inkludere både renter og avdrag – vi ser bort fra bankens gebyrer. Maria skal betale lånet over 20 år, første gang etter ett år. Renta er 4 % per år og er uforandret i hele låneperioden. a

Gi et grovt overslag på omtrent hvor mye Maria må betale hvert år.

Regn ut hvor mye Maria må betale hvert år.

Hvor mye må Maria betale inn på lånet totalt i løpet av hele låneperioden?

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved SðxÞ ¼ 1 þ 2 sin x þ 4 sin 2 x þ 8 sin 3 x þ , der x 2 ½0, 2 i. Bestem konvergensområdet for rekka.

Løs likningen SðxÞ ¼ 1.

3.62 Vi skriver den n-tederiverte av en funksjon f ðxÞ med symbolet f ðnÞ ðxÞ. Det betyr for eksempel at f ð2Þ ðxÞ ¼ f 00 ðxÞ og f ð3Þ ðxÞ ¼ f 000 ðxÞ. La f ðxÞ ¼ x ex . Vis ved induksjon at vi har formelen f ðnÞ ðxÞ ¼ ðx þ nÞ ex .

192 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Oppgaver 3.1 Tallfølger 3.63 En tallfølge er gitt ved 10, 7, 4, 1, . . . a

Skriv opp de neste tre leddene i følgen.

Bestem en formel for an .

Regn ut ledd nummer 14.

3.64 Om en tallfølge får du vite at

3.68 I tallfølgen 3, 6, 10, . . . kan tallene uttrykkes med figurer:

Figur 1

Figur 2

Figur 3

an an 1 er konstant

Fortsett mønsteret og tegn figur 4.

tredje og fjerde ledd er 14 og 18

Finn en formel for det n-te leddet i tallfølgen.

Bruk formelen til å finne antall kvadrater i figur nummer 7.

Bestem en formel for følgens ledd.

3.65 Leddene i en tallfølge er 3, 12, 48, 192, 768, 3072, . . . a

Forklar at tallfølgen er geometrisk.

Legg punktene ðn, an Þ i et koordinatsystem.

Forklar hvorfor punktene ligger på grafen til en eksponentialfunksjon.

3.2 Rekker 3.69 En rekke er gitt ved 2 þ 6 þ 10 þ . . . þ 42.

3.66 Skriv et program i Python for å finne ut hvor mange ganger vi må halvere 800 000 for å komme under 1.

Hva kaller vi en slik rekke, og hva kjennetegner den?

Finn et uttrykk for det n-te leddet i denne rekka.

Finn summen av rekka.

3.67 Skriv et program i Python som regner ut de neste leddene i en geometrisk tallfølge. Programmet skal be brukeren om a1 , k og antall ledd.

3.70 En aritmetisk rekke har summen sn ¼ 2n2 þ 3n. Bestem et uttrykk for det n-te leddet i rekka, an . 3.71 Finn summen av rekkene: a

7 þ 10 þ 13 þ . . . þ 37

2 þ 6 þ 18 þ . . . þ 486

4 2 þ 1 ... þ

1 16

Oppgaver 193

3.72 En aritmetisk rekke har summen n2 þ 2n. Finn det første leddet, a1 , og differansen d i rekka. 3.73 I en geometrisk rekke er a3 ¼ 45 og a5 ¼ 405. a b

3.77 Du får vite følgende om en aritmetisk og en geometrisk rekke:

Det første leddet, a1 , i begge rekkene er det samme tallet.

Forklar at det finnes to geometriske rekker som passer til opplysningene gitt i oppgaven.

Summen av de tre første leddene i den geometriske rekka er 26.

Bestem k og a1 og finn en formel for det n-te leddet i rekka, an .

Summen av de tre første leddene i den aritmetiske rekka er 21.

Differansen mellom d i den aritmetiske rekka og k i den geometriske rekka er a1 .

a1 , k og d er hele tall.

3.74 I en aritmetisk rekke er a1 ¼ 3 og a6 ¼ 7. a

Bestem en formel for an uttrykt ved n.

Vis at a20 ¼ 35, og bestem summen av de 20 første leddene i rekka.

3.75 I en aritmetisk rekke er summen av de n første leddene gitt ved sn ¼ n2 þ 6n. Finn et eksplisitt uttrykk for det n-te leddet i denne rekka.

3.76 Vi har gitt rekka 2 þ 8 þ 14 þ . . . a

Hva slags rekke er dette?

Finn en eksplisitt formel for det n-te leddet i rekka.

Finn et uttrykk for summen av rekka.

Hvor mange ledd må du ha med for at summen skal bli 102?

Sett opp et likningssystem med tre ukjente og finn a1 , k og d.

3.3 Anvendelser av geometriske rekker 3.78 Markus tar opp et annuitetslån på 3 millioner kroner. Renta er fast på 1,7 % per år, og lånet skal betales tilbake over 25 årlige terminer. Første innbetaling er om ett år. Vi ser bort fra gebyrer, og regner bare med nominelle renter. a

Vis at nåverdiene av de 25 beløpene danner en geometrisk rekke. Skriv ned de tre første leddene i denne rekka.

Bestem terminbeløpet han må betale hvert år.

Markus får tilbud fra en annen bank på et annuitetslån på 3 millioner kroner med et terminbeløp på 145 000 kroner i året. Det er samme nedbetalingstid og antall årlige terminer, og det første terminbeløpet skal betales om ett år. c

Hvilken rente betaler han på lånet i denne banken?

194 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

3.79 Per vil spare 300 000 kroner til 50-årsdagen sin, 1. januar. Han starter sparingen på 40-årsdagen og sparer et like stort beløp hvert år. Siste beløp settes inn på 49-årsdagen. Banken har en rente på 2,7 % per år. a Vis at han må spare 25 835,27 kroner hvert år for å nå målet sitt. b Hva måtte renta i banken ha vært hvis han skulle nådd målet ved å spare 24 000 kroner i året?

3.81 Anne vil kjøpe en datamaskin og kan velge mellom å betale 15 000 kroner kontant eller 430 kroner per måned i tre år, første gang om en måned. Vi regner med en månedlig kalkulasjonsrente på 0,25 %.

Per klarer ikke å nå målet. På 45-årsdagen tar han ut 40 000 kroner av kontoen sin for å ha råd til en ferie.

3.82 Ole har bestemt seg for å spare et fast beløp hvert år for å ha 200 000 kroner på konto den dagen han fyller 18 år. Han starter sparingen på 10-årsdagen og setter inn det siste beløpet på 17-årsdagen. Han får 2,4 % rente på pengene i hele perioden. Denne renta får han også etter 18-årsdagen.

Hvor mye har han på 50-årsdagen?

3.80

Et bedrift slipper ut 10 tonn organisk stoff i en innsjø én gang i uken. Gjennom utførsel og nedbryting reduseres mengden av stoff med 35 % hver uke. a

Hvor mye stoff kan totalt slippes ut i innsjøen hver uke hvis mengden ikke skal overstige 16 tonn i det lange løp?

Bedriften ønsker å slippe ut 10 tonn hver gang, men får da beskjed om at de må slippe ut sjeldnere. c

Hvilket av tilbudene er billigst? Vis og forklar!

Hva må den månedlige innbetalingen være for at tilbudene skal være akkurat like gode?

Vis at han må spare 22 436 kroner hvert år for å nå dette målet.

Han ønsker å ta ut fem faste årlige beløp. Da skal kontoen være tom. Første uttak er på 19-årsdagen. Hvor stort er dette årlige beløpet?

Han bestemmer seg for at han vil at pengene skal «vare evig». Hvor mye kan han ta ut hvert år uten at kontoen noen gang går tom? Første uttak er på 19-årsdagen.

Ole klarer aldri å spare opp 200 000 kroner siden han tar ut 20 000 kroner i steden for å sette inn penger på 13-årsdagen sin. Hvor mye har han i virkeligheten på kontoen på 18-årsdagen?

Lars vil også spare 200 000 kroner til 18-årsdagen sin. Han vil sette inn det første beløpet på 10årsdagen for så å øke sparebeløpet med 5 % hvert år fram til det siste beløpet på 17-årsdagen. Hva er det første beløpet han setter inn på kontoen sin?

Forklar hvordan du kan bruke rekketeori i en slik oppgave, og finn ut hvor mye det er av stoffet i innsjøen rett etter det sjette utslippet?

Miljøverndepartementet krever at det aldri skal være mer enn 16 tonn av dette stoffet i sjøen. b

Hvor mange dager må det minst gå mellom utslippene for at bedriften skal holde seg innenfor regelverket?

Oppgaver 195

3.83 Lian tar en medisin hver dag. Medisinen inneholder 4 mg virkestoff og brytes ned med 40 % hver dag. a

Forklar at mengden virkestoff hun har i kroppen etter n dager, er summen av en geometrisk rekke. Sett opp de tre første leddene i denne rekka.

Hvor mye virkestoff har hun i kroppen rett etter at hun har tatt medisinen den femte dagen?

Legen anbefaler at Lian aldri har mer enn 10 mg av virkestoffet i kroppen. c

3.86 a Forklar at desimaltallet 0,434 343 . . . kan skrives som den uendelige geometriske rekka 43 43 43 þ þ þ 100 1002 1003

Vurder om mengden medisin hun tar, er forsvarlig i henhold til legens anbefaling.

3.87 En rekke a1 þ a2 þ a3 þ . . . er gitt ved: e2 þ 1 þ e 2 þ e 4 þ . . . a

Hva kaller vi en slik rekke, og hva kjennetegner den?

Finn et uttrykk for det n-te leddet i rekka.

Forklar hvorfor vi kan finne en endelig sum av den uendelige rekka, og vis at denne e4 summen er s ¼ . e2 1

3.4 Uendelige geometriske rekker 3.84 I en geometrisk rekke er a3 ¼ x3 þ 2x2 og a6 ¼ x6 þ 2x5 . a

Bestem kvotienten k for rekka og finn konvergensområdet.

Vis at et uttrykk for summen av den uendelige geometriske rekka er xþ2 sðxÞ ¼ , x 2 h 1, 1i 1 x

Hva er verdien av x når summen av rekka er 1?

For hvilke verdier av p har likningen SðxÞ ¼ p løsning?

3.85 En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 3 2 4 þ þ þ ... 5 5 15 Begrunn at rekka konvergerer, og bestem summen av rekka.

Bruk rekka i a til å skrive tallet 0,434 343 . . . som en brøk.

I en annen rekke, på formen b1 þ b2 þ b3 þ . . ., er det n-te leddet gitt ved bn ¼ ln an . d

Forklar at denne rekka er aritmetisk, og finn et uttrykk for det n-te leddet i rekka.

3.88 Avgjør om de geometriske rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av dem: a

60 þ 30 þ 15 þ 7,5 þ . . .

1 þ 1,1 þ 1,21 þ þ1,331 þ . . .

5 10 20 þ þ þ ... 7 21 63

e3 þ e2 þ e þ 1 þ . . .

196 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

3.91 Vi har rekka 1 þ

3.89

Ada husker på lekeplassen. Faren hennes løfter henne opp så det 2 meter lange tauet danner en vinkel på 45 med en vertikal linje.

0 2,

45°

1 1 þ þ ... x 1 ðx 1Þ2

Forklar at rekka er geometrisk.

Forklar hva det vil si at en geometrisk rekke konvergerer.

Bestem konvergensområdet for rekka.

Bestem summen sðxÞ av rekka når den konvergerer.

Løs likningene: 1

sðxÞ ¼ 2

sðxÞ ¼ 1

3.92 En rekke er gitt ved 4 1 þ 2 þ 5 þ . . .

Forklar at dette er en aritmetisk rekke.

Bestem en formel for det n-te leddet i rekka.

Finn summen av de 17 første leddene i rekka.

3.93 Vis at når 1 < k < 1, så er lim a1 n!1

Hver gang husken svinger opp fra det laveste punktet reduseres lengden av svingen med 6 %. Ada sitter i ro og husker fram og tilbake til husken stopper av seg selv. Hvor langt har Ada beveget seg totalt?

3.90 En geometrisk rekke er gitt ved e x þ e 2x þ e 3x þ a

Bestem konvergensområdet for rekka.

Finn summen av rekka.

kn 1 a ¼ 1 . k 1 1 k

3.5 Matematiske bevis 3.94 Avgjør om det er implikasjon, ekvivalens eller ingen av delene mellom uttrykkene: a

c er en firkant . . . c er et rektangel

n er et oddetall . . . n er et primtall

jxj < 1 . . . 1 < x < 1

x2 ¼ 16 . . . x ¼ 4

x > 2 . . . x > 5

Oppgaver 197

3.95 Vis at summen av en geometrisk rekke er kn 1 . gitt ved a1 k 1

3.102 Her ser du de tre første figurtallene F1 , F2 og F3 :

3.96 Vis ved induksjon at summen av en aritmetisk rekke a þ an er gitt ved 1 n. 2 3.97 Bruk den rekursive definisjonen av en geometrisk følge til å vise ved induksjon at an ¼ a1 kn 1 . 3.98 Vis ved induksjon at 12 þ 22 þ 32 þ þ n2 ¼

nðn þ 1Þð2n þ 1Þ . 6

3.99 Bevis ved matematisk induksjon at 1 1 1 n þ þ þ ¼ . 1 2 2 3 nðn þ 1Þ n þ 1 3.100 Bevis ved matematisk induksjon at 9k þ 1 1 1 þ 9 þ 92 þ 9 3 þ þ 9 k ¼ . 9 1

3.6 Tallmønstre 3.101 En tallfølge starter slik:

Tegn F4 .

Finn en formel for Fn .

Bestem F9 .

3.103 En tallfølge er definert ved at a1 ¼ 1 og an ¼ 3 ðan 1 Þ2 5. Skriv et program i Python som skriver ut de seks første leddene.

3.104 Antallet klosser i figurene under illustrerer de tre første leddene, F1 , F2 og F3 , i en tallfølge.

Hvor mange klosser er det i F5 ?

Bestem en formel for antall klosser i den n-te figuren, Fn .

5, 14, 27, 44, 65, 90, 119, 152, 189, . . . Finn en formel for ledd nummer n.

3.105 En tallfølge starter slik: 4, 14, 32, 58, 92, 134, 184, 242, . . . Finn en formel for ledd nummer n.

198 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

Blandede oppgaver 3.106 Live låner kr 1 000 000 til 3 % rente per år. Hun skal betale et fast beløp en gang i året i 20 år, første gang om ett år. Beløpet skal inkludere renter og avdrag – vi ser bort fra bankens gebyrer. a b

Beregn hvor mye Live må betale hvert år. Vurder om svaret ditt er rimelig.

Vis at 5n4 þ 10n3 þ 10n2 þ 5n er delelig med 10 om n er et oddetall.

Vis at ðn þ 1Þ5 ðn þ 1Þ ¼ ðn5 nÞ þ ð5n4 þ 10n3 þ 10n2 þ 5nÞ.

Hvor mye koster lånet til Live totalt?

3.107 a En rekke er gitt ved 1 þ 5 þ 9 þ 13 þ

3.110 a 1 Vis at 5n4 þ 10n3 þ 10n2 þ 5n er delelig med 10 om n er et partall.

Vis ved induksjon at n5 n er delelig med 10 for alle naturlige tall n.

3.111 En følge er bestemt ved a1 ¼ 1

Hva blir ledd nummer 11?

Hva blir summen av de 11 første leddene? a

Avgjør om følgen er aritmetisk eller geometrisk.

Hva vil det si at en uendelig geometrisk følge konvergerer?

Finn en eksplisitt formel for ledd nummer n i følgen. Skriv opp ledd nummer 70 i følgen.

Avgjør om denne følgen konvergerer: 1 1 1 1, , , ;... 3 9 27 Hvis følgen konvergerer, hva konvergerer den mot?

Finn summen av de 30 første leddene i følgen.

3.108 (Eksamen R2 høsten 2011) 2 2 2 Vi har gitt den uendelige rekka 2 þ þ þ þ 2 x x x3 a Hva slags rekke er dette? Begrunn svaret ditt. b

Bestem konvergensområdet for rekka.

Vis at summen av rekka er SðxÞ ¼

Skisser grafen til SðxÞ.

Løs likningen SðxÞ ¼ 1 og SðxÞ ¼ 3 ved regning.

3.112 x x2 En rekke er gitt ved 1 þ þ þ 3 9 a

Forklar hva det vil si at en uendelig geometrisk rekke er konvergent.

Bestem konvergensområdet for rekka.

Finn summen sðxÞ til rekka.

Løs likningene sðxÞ ¼ 4 og sðxÞ ¼ 2.

3.113 En geometrisk rekke er gitt ved 1 þ e x þ e 2x þ e 3x þ

3.109 (Eksamen R2 våren 2011) Bevis formelen ved induksjon: 1 þ 4 þ 16 þ þ 4n 1 ¼

2x . x 1

an ¼ an 1 þ 3

4n 1 3

Bestem konvergensområdet og summen sðxÞ av rekka.

Løs likningen sðxÞ ¼ 1.

3.114 Vis at 3n 1 er delelig med 2 for alle n. Tips: Bruk at 3 3k ¼ 2 3k þ 3k .

Oppgaver 199

3.115 Bestem summen av rekkene: a b

3.118 En harmonisk rekke er den uendelige rekka: 1 1 1 1 þ þ þ þ ... 1 2 3 4

2 4 8 S1 ¼ 1 þ þ þ þ 3 9 27 2 4 8 S2 ¼ 1 þ þ 3 9 27

Bestem S1 þ S2 .

8 32 Bestem summen 2 þ þ þ . . . 9 81

3.116 Bruk induksjon til å bevise påstanden for alle n 1 an þ 1 , a¼ 6 1 1 þ a þ a2 þ an ¼ 1 a

Den franske naturviter og filosof Nicole Oresme viste at rekka divergerer mot uendelig. Han viste det på følgende måte:

3.117 Vi har to rekker der den ene er geometrisk med kvotient k og den andre er aritmetisk med differanse d. Både k og d er hele tall mellom 0 og 10.

1 1 1 1 1 1 1 1 1þ þ þ þ þ þ þ þ þ 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 þ þ þ þ þ þ >1þ 2 4 4 8 8 8 8 1 1 þ þ þ þ 16 16 1 1 1 1 ¼ 1 þ þ þ þ þ ¼ 1 2 2 2 2 b

Det tredje leddet i den geometriske rekka er lik summen av de tre første leddene i den aritmetiske rekka. Bestem et uttrykk for det n-te leddet i den aritmetiske rekka.

Bestem et uttrykk for summen av de n første leddene i den aritmetiske rekka.

Bestem et uttrykk for det n-te leddet i den geometriske rekka.

Bestem et uttrykk for summen av de n første leddene i den geometriske rekka.

Gjennomfør et tilsvarende bevis for at rekka under divergerer: 1 1 1 1 þ þ þ þ ... 2 4 6 8

I begge rekkene er det første leddet 2.

Bruk CAS til å vise at rekka divergerer.

3.119 5 2 4 Vi har gitt rekka þ 1 þ þ þ . . . 2 5 25 a Hva slags rekke er dette? b

Finn et uttrykk for det n-te leddet i denne rekka.

Vis at summen kan skrives som n 25 2 sn ¼ 1 6 5

Forklar hvorfor denne rekka konvergerer, og finn summen av rekka.

3.120 a Hva vil det si at en tallfølge er aritmetisk? Gi et eksempel på en aritmetisk tallfølge. b

Hva vil det si at en geometrisk følge konvergerer? Gi et eksempel på en konvergent geometrisk følge.

200 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

3.121 a En aritmetisk følge er gitt ved 3, 8, 13, . . . Bestem ledd nummer 14 i følgen. b

og at arealet sB av trekantene blir 1 1 1 4 4 þ 2 2 þ 1 1 þ 2 2 2

En geometrisk følge er gitt ved 2916, 972, 324, . . . Bestem summen av de 7 første leddene i rekka.

3.122 Trine tar opp et lån på 1 500 000 kr. Hun skal betale tilbake lånet over 20 år, med én innbetaling hvert år. Renta i banken er på 4 % per år. a

Hvor stor er den årlige innbetalingen (annuiteten)?

Hvor mye renter har hun betalt når lånet er nedbetalt?

Forklar at rekkene sA og sB er geometriske.

Bruk regning med rekker til å regne ut arealet av trekanten.

3.124 En uendelig rekke er gitt ved a

Forklar at rekka er geometrisk, og bestem a1 og k.

Bestem konvergensområdet til rekka.

Finn summen av rekka i konvergensområdet.

Løs likningene:

1 þ ðx þ 3Þ þ ðx þ 3Þ2 þ ðx þ 3Þ3 þ

3.123

Forklar at arealet sA av kvadratene blir sA ¼ 4 4 þ 2 2 þ 1 1 þ

sðxÞ ¼ 1

sðxÞ ¼

1 3

3.125 Kaptein Rødskjegg og mannskapet er på skattejakt. På kartet står det: Fra merket X skal du gå nordover. Først tar du ett skritt, deretter forkorter du lengden av dette 1 skrittet med , da får du neste skritt. Fortsett slik 8 til evig tid, og du vil finne skatten.

B1 4 8

Figuren viser en rettvinklet trekant med grunnlinje 8. Inni trekanten er det tegnet kvadrater. Første kvadrat har sidelengde halvparten av grunnlinjen i trekanten. Neste kvadrat har så sidelengde halvparten av forrige kvadrat.

Lag et rekursivt uttrykk for lengden av skrittene.

Første skritt er 1,5 m langt. Hvor er skatten gravd ned?

3.126 Vis ved matematisk induksjon at formelen nedenfor gjelder for alle n 2: ðn þ 1Þ 3 8 15 1 ¼ ... 1 2 4 9 16 n 2n

Oppgaver 201

3.127 a En rekke er gitt ved 4 þ 7 þ 10 þ 13 þ

Forklar at rekka er aritmetisk.

Bestem ledd nummer 15.

Regn ut summen av de 20 første leddene.

Bruk induksjon til å bevise at an ¼

En rekke er gitt ved 8 þ 4 þ 2 þ 1 1

Forklar at rekka er geometrisk.

Bestem ledd nummer 15.

Regn ut summen av de 20 første leddene.

En uendelig geometrisk rekke med kvotient k konvergerer hvis 1 < k < 1. kn 1 Bruk formelen sn ¼ a1 til å vise formelen k 1 a1 . Forklar hvor du må anta at 1 < k < 1. s¼ 1 k

3.128 Filip tar opp et lån på 2 000 000 kroner. Han skal betale tilbake lånet over 20 år, første gang om ett år. Han betaler én gang i året. Renta i banken er på 3 %. Bestem den årlige innbetalingen (annuiteten).

3.129 (Eksamen våren 2015) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 2 2 sðxÞ ¼ 2 þ þ þ . . . , x 6¼ 0 x x2 a Bestem konvergensområdet for rekka. b

3.131 (Eksamen våren 2015) En tallfølge fan g er gitt ved at a1 ¼ 1 og an þ 1 ¼ an þ n 1.

Bestem x slik at sðxÞ ¼ 4.

3.130 (Eksamen høsten 2015) Bruk induksjon til å bevise påstanden PðnÞ: 13 þ 23 þ 33 þ þ n3 ¼

n2 ðn þ 1Þ2 , n2N 4

nðn 3Þ , der n 2 N. 2

3.132 Bruk induksjon til å bevise påstanden 1 1 1 1 PðnÞ: þ þ þ ¼1 , n 2 2 2 2 2 3 3 n n n 3.133 Bernoullis ulikhet ser slik ut: ð1 þ xÞn 1 þ n x, x 1 Bruk induksjon til å vise at ulikheten gjelder for alle n 0. 3.134 Vis ved induksjon at n b , ða þ bÞn ¼ an 1 þ a

n2N

3.135 Vis ved induksjon at 3 þ 9 þ 27 þ ::: þ 3n ¼

3nþ1 3 . 2

3.136 Vi har gitt rekka x x2 x3 1 þ þ 2 4 8 a Bestem for hvilke verdier av x rekka konvergerer. b

Finn summen av sðxÞ av den uendelige rekka.

Løs likningene sðxÞ ¼

1 og sðxÞ ¼ 4. 4

3.137 a Gi en rekursiv definisjon av en aritmetisk tallfølge og en geometrisk tallfølge. b

Hva vil det si at en uendelig geometrisk rekke er konvergent? Hvordan kan du undersøke om en uendelig geometrisk rekke konvergerer?

202 KAPITTEL 3 – FØLGER OG REKKER

3.138 En følge er gitt ved 5 20, 10, 5, , . . . 2 a Vis at følgen er geometrisk. b

La s være summen av leddene i følgen. Vis at rekka konvergerer, og finn summen den konvergerer mot.

3.139 Anette tar opp et lån på 1 000 000. Hun skal betale tilbake lånet over 25 år, én gang hvert år. Hun må betale en årlig rente på 4 % til banken. Anette har avtalt med banken at hun skal betale det samme terminbeløpet (renter og avdrag) hver gang. Hun betaler altså 20 ganger, første gang ett år etter at hun får utbetalt lånet. a

Finn ved regning det beløpet Anette må betale til banken hvert år.

Hvor mye koster lånet til Anette totalt?

3.140 Bruk induksjonsbevis til å vise at ulikheten alltid gjelder: 1 1 þ 2 þ 3 þ þ n > n2 2

Øv til eksamen 3.141 (Eksamen høsten 2021) For å kunne forutsi hvordan en pandemi kan utvikle seg, er R-tallet viktig. Dette tallet sier hvor mange personer en smittet person i gjennomsnitt vil smitte videre. I resten av denne oppgaven tar vi utgangspunkt i sykdommen covid-19. Vi går ut fra at smitteperioden er én uke. Dersom R-tallet er 1,2, så vil 100 personer som har covid-19-smitte, smitte 100 1,2 ¼ 120 nye personer i løpet av en uke. Etter én uke vil det være 220 personer som har eller har hatt sykdommen, siden 100 þ 100 1,2 ¼ 100 þ 120 ¼ 220 Den neste uken vil de 120 som ble smittet uken før, smitte 120 1,2 ¼ 100 1,22 nye personer.

Til en by som ikke har covid-19-smitte, kommer det 20 personer som er smittet. Dette blir ikke oppdaget, så R-tallet holder seg konstant i mange uker. a

Forklar at antallet som har eller har hatt covid-19 etter n uker, kan beskrives med den geometriske rekka 20 þ 20 R þ 20 R2 þ þ 20 Rn .

Anta at R ¼ 1,7 i denne byen. b

Hvor mange personer vil det være som har eller har hatt covid-19 i denne byen i løpet av de åtte første ukene?

Det tar åtte uker før myndighetene i byen rekker å sette inn tiltak. c

Hva må R-tallet være etter at tiltakene er satt inn, for at det totale antallet som har hatt eller får covid-19-smitte i denne byen, ikke skal overstige 10 000?

3.142 (Eksamen) En aritmetisk rekke a1 þ a2 þ an har sum s ¼ 3n2 þ 4n for n 2 N. Bruk dette til å bestemme a3 .

3.143 (Eksamen) En uendelig geometrisk rekke b1 þ b2 þ b3 þ b4 þ konvergerer mot 6. Summen av de tre første leddene er Bruk dette til å bestemme b4 .

38 . 9

Oppgaver 203

3.144 (Eksamen) For fem år siden opprettet Rannveig en spareavtale. Hun satte hver måned inn 1000 kroner på en konto med en fast månedlig rentefot på 0,25 prosent. a

Hvor mye penger var det på kontoen like etter at innskudd nummer 40 ble satt inn?

Hvor lang tid gikk det fra Rannveig satte inn første innskudd, til det var mer enn 50 000 kroner på kontoen?

For fem år siden begynte også Ivar å spare. Han satte hver måned inn 1000 kroner i et aksjefond. Like etter at han hadde satt inn innskudd nummer 40, var verdien av hans andel i aksjefondet 47 900 kroner. c

Hva måtte den månedlige rentefoten ha vært om han skulle ha fått tilsvarende sum på en sparekonto med fast rente?

3.145 (Eksamen høsten 2020) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 3 9 SðxÞ ¼ 1 þ cos x þ cos 2 x þ 2 4 a

b c

Avgjør om rekka konvergerer for x ¼ 6 og for x ¼ . 3 Bestem summen av rekka i det eller de tilfellene i oppgave a der rekka konvergerer. For hvilke verdier av r har likningen SðxÞ ¼ r en løsning?

3.146 (Eksamen høsten 2020) Bruk induksjon til å bevise påstanden n X nð2n 1Þð2n þ 1Þ PðnÞ: ð2i 1Þ2 ¼ , n2N 3 i¼1 Husk å skrive forklarende kommentarer til beviset ditt. 3.147 (Eksamen våren 2020) I en aritmetisk rekke er a1 ¼ 3, og summen av de fem første leddene er 55. a

Hva blir summen av de ti første leddene?

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 7 7 7 þ þ þ 2 4 b

Begrunn at rekka konvergerer, og bestem summen.

3.148 (Eksamen våren 2020) En uendelig geometrisk rekke er gitt ved 2 þ ln x þ

ðln xÞ2 þ 2

Bestem konvergensområdet for rekka.

Bestem x slik at summen av rekka blir 4.

3.149 (Eksamen våren 2020) En følge er gitt ved a1 ¼ 2 og an ¼ an 1 þ n. Bruk induksjon til å vise at an ¼ for alle n 2 N.

n2 þ n þ 2 2

INTEGRASJON

1600-tallet

Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz viderefører grekernes teori og legger grunnlaget for integralregning uavhengig av hverandre. De oppdager at derivasjon og integrasjon er motsatte regningsarter, og integraltegnet blir tatt i bruk. De kunne nå løse kompliserte areal- og volumberegninger ved å derivere «baklengs».

1600-tallet

År 0

800 f.Kr. ca. 300 f.Kr

Grekerne Evdoksos og Arkimedes bruker en utfyllingsmetode i arealberegninger. Dette kan vi kalle starten på integralregning

800

1600 1615 Johannes Kepler gir ut Nova Stereometria, en kilde til alle arealberegninger

Hvordan kommer vi fram til formelen for arealet av en sirkel? Hvordan kan vi regne ut arealet av ikke-regulære former?

Areal under graf y 6

f (x)

5 4 3 2 1

1 Figuren viser grafen til funksjonen f ðxÞ ¼ x þ 2. 2 Vi har markert området fra x ¼ 2 til x ¼ 6, mellom grafen og x-aksen. 1

Finn arealet av det markerte området.

Bestem en funksjon FðxÞ slik at F0 ðxÞ ¼ f ðxÞ.

Regn ut Fð6Þ og Fð2Þ.

Regn ut Fð6Þ Fð2Þ og sammenlikn med arealet du fant.

Hva betyr resultatet?

Undersøk om vi kan finne areal under andre grafer på samme måte.

1850

1800 1821

Augustin Louis Cauchy arbeider grundig blant annet med grenseverdier og konvergens, og han definerer integraler i et intervall [a, b] ved bruk av gjennomsnitt

1950

1900 ca. 1930

Viggo Brun, norsk matematiker, beskriver derivasjon som et håndverk og integrasjon som kunst

206 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

4.1 Trappesum og areal under grafer UTFORSK Jobb sammen to og to Dere trenger: GeoGebra Vi skal finne arealet under grafen til en funksjon. Vi deler inn arealet i rektangler og legger sammen arealet til hvert rektangel. y 50 40 30 20 10 1

Skriv inn funksjonsuttrykket f ðxÞ ¼ x2 þ 3x þ 3 i GeoGebra.

Lag en glider n med intervall fra 1 til 3000 og animasjonstrinn 1.

Skriv «SumUnder(f,2,6,n)». GeoGebra deler inn arealet fra 2 til 6 på x-aksen i n rektangler og finner samlet areal av rektanglene.

Dra i glideren for å endre antall rektangler og undersøk hva som skjer med arealet. Beskriv det du observerer. Hvor stort er arealet under grafen?

Skriv inn «Integral(f,2,6)». GeoGebra finner nå det eksakte arealet under grafen til f . Sammenlikn med observasjonene over og diskuter forskjellen.

Integrasjon bruker vi blant annet til å regne ut areal og volum. For eksempel kan vi finne arealet under en krum graf, eller vi kan rotere grafen rundt x-aksen og bestemme volumet av figuren vi får. Vi skal lære å tolke integraler i en praktisk sammenheng. Integralregning har også praktisk betydning i mange fagområder, for eksempel ved beregninger i nye byggeprosjekter.

Trappesum og areal under grafer 207

Trappesum Hvordan kan vi finne arealet av en figur som ikke er en kjent geometrisk form? En mulighet er å dele opp mesteparten av figuren i kjente former, for eksempler rektangler. Når vi legger sammen arealet av rektanglene, får vi en tilnærmingsverdi for arealet av figuren.

Trappesum:

La oss si at vi vil finne arealet under grafen på figuren mellom a og b på x-aksen. Vi deler inn arealet i rektangler. y f(x)

f(x)

n=5

n = 10

Figur 1

Figur 2

Figur 1 har fem rektangler, og figur 2 har ti rektangler. Vi ser at flere rektangler dekker mer av arealet under grafen. Vi får en bedre tilnærmingsverdi som er nærmere det eksakte arealet. Bredden av hvert rektangel er b a n Høyden til rektanglene varierer og er bestemt av funksjonen f ðxÞ. Arealet til det første rektangelet fra venstre side, som begynner ved x ¼ a, er f ðaÞ 1x. Arealet til det neste rektangelet er f ða þ 1xÞ 1x, arealet til det tredje er f ða þ 2 1xÞ 1x, og så videre. Hvis vi kaller x-verdiene for x1 , x2 , x3 , . . ., blir det samlede arealet: 1x ¼

f ðx1 Þ 1x þ f ðx2 Þ 1x þ f ðx3 Þ 1x þ . . . þ f ðxn Þ 1x Summen av arealene til rektanglene under grafen kaller vi for den nedre trappesummen. Vi skriver det slik: b X a

f ðxÞ 1x

bruker vi for å vise at vi summerer.

208 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 1 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3x2 þ 1. Finn en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ 2 når: a

n ¼ 10

n ¼ 500

Løsning: a Vi bruker nedre trappesum for å regne ut tilnærmingsverdien. 1 ¼ 0,1. Med ti rektangler, n ¼ 10, gir det 1x ¼ 10 Vi regner ut høydene i rektanglene ved å bruke x ¼ 1, x ¼ 1,1, x ¼ 1,2 . . . Høydene blir da: f ð1Þ

¼ 4

f ð1,1Þ ¼ 4,63 f ð1,2Þ ¼ 5,32 f ð1,3Þ ¼ 6,07 f ð1,4Þ ¼ 6,88 f ð1,5Þ ¼ 7,75 f ð1,6Þ ¼ 8,68 f ð1,7Þ ¼ 9,67 f ð1,8Þ ¼ 10,72 f ð1,9Þ ¼ 11,83 Til slutt finner vi nedre trappesum: A¼

2 X

f ðxÞ 1x

¼ 0,1 4 þ 0,1 4,63 þ 0,1 5,32 þ 0,1 6,07 þ 0,1 6,88 þ 0,1 7,75 þ 0,1 8,68 þ 0,1 9,67 þ 0,1 10,72 þ 0,1 11,83 7,56 Arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ 2 er tilnærmet lik 7,56.

Løsning med CAS: Med CAS kan vi raskt finne en tilnærmingsverdi for arealet under grafen. Vi bruker kommandoen «SumUnder(Funksjon,Start,Slutt,Antall rektangler)». 1

Arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ 2 er tilnærmet lik 7,56.

Trappesum og areal under grafer 209

Med programmering regner vi ut trappesummen for n ¼ 500 ved å la en løkke kjøre én gang for hvert rektangel. Vi skriver programmet i Python: 1

def f(x): return 3*x**2 + 1

2 3 4

def trappesum(f, a, b, n):

delta_x = (b - a)/n

6 7

summen = 0

x=a

for i in range(n):

10 11

y = f (x)

rektangel = f(x) * delta_x

summen = summen + rektangel

x = x + delta_x

return summen

16 17 18

nedretrappesum = trappesum(f, 1, 2, 500)

print(f'Med n = 500 blir arealet under grafen til f tilnærmet lik {nedretrappesum:.2f}.')

Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet i konsollen: Med n = 500 blir arealet under grafen til f tilnærmet lik 7.99.

Løsning med CAS: Med n ¼ 500 kan vi også finne en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ 2 slik: 1

Arealet er tilnærmet lik 7,99.

Oppgave: 4.1

210 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Vi kan også finne den øvre trappesummen for funksjonen. Da lar vi venstre rektangel ha høyden f ðx þ 1xÞ, det neste rektangelet ha høyden f ðx þ 2 1xÞ, og så videre. Figuren nedenfor viser resultatet.

f(x)

Nedre trappesum gir for lite areal. y

f(x)

Når vi bruker trappesummer til å finne en tilnærming til et areal, blir arealet alltid litt for lite eller litt for stort. Derfor lar vi antall rektangler gå mot uendelig, altså n ! 1. Da vil differansen mellom nedre trappesum og øvre trappesum gå mot null, og vi finner det eksakte arealet under grafen. a

f(x)

Øvre trappesum gir for stort areal.

nÆ•

Vi har en egen skrivemåte for dette, integralet til f ðxÞ fra a til b». R Integraltegnet representerer grenseverdien til en sum.

f ðxÞ dx, som vi leser som «det bestemte

BE S T EMT I NTEGRAL Vi definerer det bestemte integralet av f ðxÞ fra a til b som b X Rb f ðxÞ dx ¼ lim f ðxÞ 1x a

1x ! 0

Trappesum og areal under grafer 211

Når grafen til f ligger over x-aksen, tilsvarer

f ðxÞ dx arealet av området

mellom grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ a og x ¼ b. Dette skal vi også se mer på i neste delkapittel.

Reflekter og diskuter! Hva skjer med 1x når antall rektangler går mot uendelig, n ! 1?

EKSEMPEL 2 Vi har samme funksjon som i eksempel 1, f ðxÞ ¼ 3x2 þ 1. a

Regn ut det bestemte integralet til f ðxÞ fra x ¼ 1 til x ¼ 2.

Sammenlikn med resultatene i eksempel 1 og kommenter forskjellen.

Løsning: Vi løser oppgaven med CAS. a

Vi bruker kommandoen «Integral(<Funksjon>,<Start>,<Slutt>)». 6

Det bestemte integralet er lik 8. b

Med ti rektangler, n ¼ 10, fant vi ut at arealet under grafen var tilnærmet lik 7,56. Da vi økte antall rektangler til 500, ble arealet tilnærmet lik 7,99. Vi ser at når antall rektangler øker, kommer vi nærmere det eksakte arealet. Det bestemte integralet er 8, og dette tilsvarer trappesummen når antall rektangler går mot uendelig. Det betyr at også grenseverdien til trappesummen er lik det bestemte integralet til f over samme intervall.

Reflekter og diskuter! I eksempel 1 regnet vi ut nedre trappesum til en funksjon. Regn på samme måte ut øvre trappesum og sammenlikn svarene. Tips: Bruk CAS-kommandoen «SumOver(<Funksjon>,<Start>,<Slutt>,<Antall rektangler>)».

Oppgaver: 4.2–4.3

212 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 3 Regn ut de bestemte integralene: a

3x2 dx

Z1 1 3 x þ ex dx 2 0

Løsning: Vi løser oppgaven med CAS og bruker kommandoen «Integral(<Funksjon>,<Start>,<Slutt>)». a

Vi skriver inn funksjonen og start lik 1 og slutt lik 3. 1

Det bestemte integralet er lik 26. b

Vi skriver inn funksjonen og start lik 0 og slutt lik 1.

Oppgaver: 4.4–4.5

Det bestemte integralet er

8e 7 1,84. 8

Trappesum og areal under grafer 213

Numerisk integrasjon UTFORSK Jobb sammen to og to eller i grupper 1

Tegn en kurve som kan representere grafen til en voksende funksjon.

Velg to positive tall a og b og tegn de vertikale linjene x ¼ a og x ¼ b.

Vi skal finne en måte å finne et tilnærmet areal til området avgrenset av kurven, x-aksen og de to vertikale linjene. Beskriv en algoritme som summerer arealet av enkle geometriske former for å finne en tilnærmingsverdi for arealet av området.

Vi kan beregne et bestemt integral numerisk ved å bruke et digitalt program til å finne en tilnærmingsverdi for integralet. Eksempelvis kan vi bruke CAS eller skrive et program i Python. Når vi programmerer, bruker vi ideen med å tilnærme arealet under grafen med enkle geometriske former vi kjenner arealet til, slik vi gjorde da vi lagde trappesum:

Vi deler opp intervallet ½a, b i n delintervaller. Da får vi x-verdiene x1 , x2 , x3 , . . . , xn .

For hver x-verdi finner vi en tilnærmingsverdi for arealet avgrenset av grafen, x-aksen, x ¼ xi og x ¼ xi þ 1 .

Metode med rektangler Vi finner først en numerisk tilnærmingsverdi med rektangler. y f

a x1 x2 x3

b xi xi + 1

xn x

Vi ser på funksjonen f gitt ved f ðxÞ ¼ x2 þ 1 i området mellom a ¼ 0 og b ¼ 2. b a , og høyden av rektangelet er f ðxi Þ. Bredden av rektangelet er 1x ¼ n Arealet av et rektangel blir da f ðxi Þ 1x.

Numerisk integrasjon:

214 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

For å finne en tilnærmingsverdi for arealet skriver vi programmet slik: 1 2

def f(x): return x**2 +1

# Definerer funksjonen.

3 4

a=0

# Nedre grense.

b=2

# Øvre grense.

n = 1000

# Oppdelingen av intervallet [a, b].

delta_x = (b - a)/n

# Regner ut delta x.

x=a

# Lar x starte i a.

areal = 0

# Startverdi for integralet.

8 9 10 11 12

for i in range(n):

rektangel = f(x) * delta_x

# Arealet av ett rektangel.

areal = areal + rektangel

# Summerer alle rektanglene.

x = x + delta_x

# Øker x med delta x.

16 17

print(f'En tilnærmingsverdi for arealet er {areal:.2f}.')

Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet i konsollen: En tilnærmingsverdi for arealet er 4.66.

Reflekter og diskuter! Vi kan finne en tilnærmingsverdi for arealet under en graf numerisk. Sammenlikn og diskuter de ulike måtene å skrive et slikt program: Det som er vist her i teksten over, og det i eksempel 1.

EK SEMPEL 4 La g være funksjonen gðxÞ ¼ ln x. Finn en numerisk tilnærmingsverdi for integralet

gðxÞ dx.

Løsning: Vi definerer gðxÞ og lar en løkke summere rektanglene under grafen fra x ¼ 1 til x ¼ 7. Vi velger selv antall rektangler n ¼ 10 000.

Trappesum og areal under grafer 215

import math

2 3 4

def g(x): return math.log(x)

a=1 7 b = 7 8 n = 10000 9 delta_x = (b - a)/n 6

x=a 12 integral = 0 11

for i in range(n): 15 rektangel = g(x) * delta_x 16 integral = integral + rektangel 17 x = x + delta_x 14

18 19

print(f'En tilnærmingsverdi til integralet er {integral:.2f}.')

Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet i konsollen: En tilnærmingsverdi til integralet er 7.62.

Løsning med CAS: Vi kan også finne en numerisk tilnærmingsverdi for integralet ved å bruke CAS. Vi skriver inn «Integral(g,1,7)». 1

Tilnærmingsverdien er 7,62.

Reflekter og diskuter! I Python-koden ovenfor har vi summert rektangler der høyden har vært funksjonsverdien av ett av endepunktene i intervallet. Hvordan blir koden dersom vi i stedet lar høyden være funksjonsverdien av midtpunktet i intervallet?

Oppgaver: 4.6–4.7

216 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Metode med trapes

Tilnærmingsverdien til integralet blir litt mer nøyaktig dersom vi bruker trapeser i stedet for rektangler. Da blir differansen mindre mellom arealet av trapeset og arealet under grafen enn når vi bruker arealet av rektangler.

Vi ser igjen på funksjonen f ðxÞ ¼ x2 þ 1 i området mellom a ¼ 0 og b ¼ 2. Vi skriver nå et program i Python der vi bruker trapeser i utregningen. a x1 x2 x3

b xi xi + 1

xn x

Arealet av et trapes er gitt ved formelen f ðx Þ þ f ðxi þ 1 Þ Atrapes ¼ i 1x 2 Vi setter x ¼ xi og x þ 1x ¼ xi þ 1 og skriver et program i Python: 1 2

def f(x): return x**2+1

3 4

a=0

b=2

n = 1000

delta_x = (b - a)/n

8 9 10

x=a areal = 0

11 12

for i in range(n):

# Arealet av et trapes.

trapes = (f(x) + f(x + delta_x))/2 * delta_x

# Summerer alle trapesene.

areal = areal + trapes

x = x + delta_x

18 19

print(f'En tilnærmingsverdi for arealet er {areal:.2f}.') Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet i konsollen: En tilnærmingsverdi for arealet er 4.67. Altså er arealet beregnet med rektangler 4,66 og arealet beregnet med trapes 4,67.

Trappesum og areal under grafer 217

EKSEMPEL 5 La g være funksjonen gðxÞ ¼ ln x. Skriv et program der du bruker metoden med trapes, R7 og finn en numerisk tilnærmingsverdi for integralet gðxÞ dx. 1

Løsning: Vi definerer gðxÞ og lar en løkke summere rektanglene under grafen fra x ¼ 1 til x ¼ 7. Vi velger selv antall rektangler n ¼ 10 000. 1

import math

def g(x): 4 return math.log(x) 3

5 6

a=1

b=7

n = 10000

delta_x = (b - a)/n

10 11

x=a

integral = 0

for i in range(n): 15 trapes = (g(x) + g(x + delta_x))/2 * delta_x 16 integral = integral + trapes 17 x = x + delta_x 14

18 19

print(f'En tilnærmingsverdi til integralet er {integral:.2f}.')

Når vi kjører programmet, får vi dette resultatet i konsollen: En tilnærmingsverdi til integralet er 7.62.

Reflekter og diskuter! I de to siste eksemplene fikk vi samme numeriske tilnærmingsverdi. I det ene eksempelet brukte vi rektangler til å tilnærme arealet, og i de andre brukte vi trapeser. Hvorfor ga ikke metoden med trapes denne gangen en bedre tilnærmingsverdi enn metoden med rektangel?

Oppgave: 4.8

218 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Oppgaver 4.1 Gitt funksjonen f ðxÞ ¼ 2x2 þ 3. Finn en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f fra x ¼ 0 til x ¼ 2 når a

n ¼ 10

n ¼ 30

4.5 Regn ut de bestemte integralene med CAS. a

Regn ut med CAS det bestemte integralet til f ðxÞ fra x ¼ 0 til x ¼ 2.

Forklar sammenhengen mellom svarene i denne og forrige oppgave.

4.3 1 Gitt funksjonen gðxÞ ¼ . x a Finn nedre trappesum i intervallet x 2 ½1, 2 og bruk ti rektangler. b

Finn øvre trappesum i intervallet x 2 ½1, 2 og bruk ti rektangler. R2 Regn ut det bestemte integralet gðxÞ dx. 1

4.4 Regn ut de bestemte integralene med CAS. a

2x dx

3x2 dx

ð2x þ 4Þ dx

ln R2 0

e4x dx

n ¼ 90

4.2 Gitt samme funksjon, f , som over: f ðxÞ ¼ 2x2 þ 3.

3ex dx

ðt3 5t 9Þ dt

2 dx x

ðx2 4x þ 3Þ dx

4.6 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ ln x. Finn en numerisk R5 tilnærmingsverdi for integralet f ðxÞ dx. 1

4.7 La g være funksjonen gðxÞ ¼ 2x. Finn en numerisk R8 tilnærmingsverdi for integralet gðxÞ dx. 2

4.8 Gitt funksjonen hðtÞ ¼ 3t2 . Sett n ¼ 1000 som antall inndelinger og finn en numerisk tilnærmingsverdi R2 for integralet hðtÞ dt når du bruker 1

metoden med rektangel

metoden med trapes

Bestemt integral 219

4.2 Bestemt integral UTFORSK Du trenger: GeoGebra 1

Skriv inn funksjonsuttrykket f ðxÞ ¼ 2x þ 4 i algebrafeltet.

Lag to glidere a og b, begge med intervall fra 0 til 10.

Skriv inn kommandoen «Areal:=Integral(f,a,b)». Endre på gliderne slik at alltid a < b, og undersøk hvordan arealet under grafen endrer seg.

Integrer funksjonen f ðxÞ ved å skrive «FðxÞ :¼ Integralðf Þ». Regn ut FðbÞ FðaÞ og sammenlikn svaret med funnene i deloppgave 3.

Diskuter funnene med en annen elev.

Uten digitale hjelpemidler er det for tidkrevende å regne ut trappesummer. Vi må derfor finne en annen måte å beregne bestemte integraler på. Vi tar utgangspunkt i en lineær funksjon: f ðxÞ ¼ 2x þ 4. Vi skal beregne det bestemte integralet

f ðxÞ dx, det vil si arealet under

grafen til f fra x ¼ 0 til x ¼ 3. Området er markert på figuren til høyre. Fordi grafen til f er en rett linje, kan vi bruke arealformelen for et trapes til å regne ut det bestemte integralet: f ðxÞ dx ¼

ða þ bÞ ðf ð0Þ þ f ð3ÞÞ ð4 þ 10Þ h¼ ð3 0Þ ¼ 3 ¼ 21 2 2 2

Vi gjentar regnestykket, men denne gangen for en generell x-verdi: f

y f

9 8

7 6 5

4 3 2

h 1

f(x) f(0)

Arealet av det markerte området blir da: Rx ðf ð0Þ þ f ðxÞÞ ð4 þ ð2x þ 4ÞÞ f ðxÞ dx ¼ ðx 0Þ ¼ x ¼ x2 þ 4x 2 2 0

220 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Dette gir en funksjon AðxÞ som uttrykker arealet under grafen til f fra x ¼ 0 til x: AðxÞ ¼ x2 þ 4x Vi deriverer funksjonen: A0 ðxÞ ¼ 2x þ 4 ¼ f ðxÞ Analysens fundamentalsetning kalles også analysens fundamentalteorem.

Den deriverte av funksjonen som uttrykker arealet under grafen til f , blir f . Det er da naturlig å lure på om det alltid er slik. Det viser seg at dette alltid stemmer. Dette kalles analysens fundamentalsetning.

AN A LY S E N S F U N D A ME N TA L S E TN I N G La f være en kontinuerlig funksjon. La AðxÞ være arealet under grafen fra x ¼ 0 til x. Da har vi A0 ðxÞ ¼ f ðxÞ.

Bevis: La f ðxÞ være en positiv, voksende og kontinuerlig funksjon. La AðxÞ være arealet under grafen til f fra x ¼ 0 til x. y f

A(x)

Vi øker x med 1x til x þ 1x. Da øker arealet under grafen med 1A. Vi har 1A ¼ Aðx þ 1xÞ AðxÞ, se figuren nedenfor: y

f(x + Dx) f(x)

A(x)

Dx x + Dx

På figuren har vi tegnet to rektangler med bredde 1x. Det lille rektangelet har høyde f ðxÞ. Det store rektangelet har høyde f ðx þ 1xÞ.

Bestemt integral 221

Av figuren ser vi at vi har 1A

stort rektangel

1x f ðxÞ

Aðx þ 1xÞ AðxÞ

1x f ðx þ 1xÞ

f ðxÞ

Aðx þ 1xÞ AðxÞ 1x

f ðx þ 1xÞ

lite rektangel

lim f ðxÞ

1x ! 0

Aðx þ 1xÞ AðxÞ 1x ! 0 1x lim

A0 ðxÞ

f ðxÞ

j : 1x

lim f ðx þ 1xÞ

1x ! 0

f ðxÞ

Når f ðxÞ A0 ðxÞ f ðxÞ, er eneste mulighet at A0 ðxÞ ¼ f ðxÞ, som var det vi skulle bevise. Tilsvarende gjelder også når grafen er avtakende, og når hele eller deler av grafen ligger under x-aksen.

Analysens fundamentalsetning:

Vi har nå vist at AðxÞ er en såkalt antiderivert til f ðxÞ. Enhver antiderivert til en funksjon f ðxÞ er på formen FðxÞ þ C, der F0 ðxÞ ¼ f ðxÞ og C er en konstant. Ovenfor så vi at x2 þ 4x er en antiderivert til 2x þ 4. Ettersom AðxÞ er en antiderivert av f ðxÞ, finnes det en konstant C slik at AðxÞ ¼ FðxÞ þ C for en hvilken som helst antiderivert FðxÞ til f ðxÞ. Figuren i margen viser arealet under grafen til f fra x ¼ a til x ¼ b, altså det Rb bestemte integralet f ðxÞ dx.

y f

AðxÞ er arealet fra x ¼ 0, så vi har med FðxÞ þ C og får Rb

f ðxÞ dx ¼ AðbÞ AðaÞ. Vi bytter ut AðxÞ

A(b) – A(a)

f ðxÞ dx ¼ AðbÞ AðaÞ ¼ FðbÞ þ C ðFðaÞ þ CÞ ¼ FðbÞ FðaÞ

Dette betyr at vi kan regne ut det bestemte integralet av f med en hvilken som helst antiderivert til f .

UTREGNING A V B ESTEMT INTEG R AL La f og F være slik at F0 ðxÞ ¼ f . Da er Rb a

b f ðxÞ dx ¼ FðxÞ a ¼ FðbÞ FðaÞ

b FðxÞ a er en skrivemåte for FðbÞ FðaÞ.

222 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 6 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3x2 þ 1. y

Vis at en antiderivert til f ðxÞ er FðxÞ ¼ x3 þ x.

Finn arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ 2.

Løsning: a Vi deriverer F0 ðxÞ ¼ ðx3 þ xÞ0 ¼ 3x3 1 þ x1 1 ¼ 3x2 þ 1 ¼ f ðxÞ. Dette viser at FðxÞ er en antiderivert til f ðxÞ.

8 6

4 2

Arealet finner vi ved å regne ut det bestemte integralet: 2 R2 f ðxÞ dx ¼ FðxÞ 1 ¼ Fð2Þ Fð 1Þ 1 ¼ 23 þ 2 ð 1Þ3 þ ð 1Þ ¼8þ2þ1þ1

–3 –2 –1

1 2 3

¼ 12 Arealet er 12.

Oppgaver: 4.9–4.10

EK SEMPEL 7 a

Deriver funksjonen FðxÞ ¼ 2x3 þ x2 þ x þ 1.

R3 Regn ut ð6x2 þ 2x þ 1Þ dx. 1

Løsning: a Vi deriverer funksjonen og får F0 ðxÞ ¼ 6x2 þ 2x þ 1. b

Vi ser at FðxÞ er en antiderivert til 6x2 þ 2x þ 1. Det gir: R3 1

3 ð6x2 þ 2x þ 1Þ dx ¼ 2x3 þ x2 þ x þ 1 1 ¼ 2 33 þ 32 þ 3 þ 1 ð2 13 þ 12 þ 1 þ 1Þ

Oppgaver: 4.11–4.13

¼ 54 þ 9 þ 3 þ 1 2 1 1 1 ¼ 62

Bestemt integral 223

Reflekter og diskuter! Hvilket uttrykk er en antiderivert til gðxÞ ¼ 6x2 8x 3? Eller for å si det på en annen måte: Hva har du derivert for å få gðxÞ til svar? 3x3 x2 þ 3x

2x3 4x2 3x

1 3 x þ 2x2 þ 3 3

2x3 2x2 3x

EKSEMPEL 8 a

1 En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ , x > 0. x Vis at en antiderivert til f ðxÞ er FðxÞ ¼ ln x. Finn arealet under grafen til f fra x ¼ 1 til x ¼ e.

Løsning: a Vi deriverer og får F0 ðxÞ ¼ ðln xÞ0 ¼ b

1 ¼ f ðxÞ, x

x>0

Arealet finner vi når vi regner ut det bestemte integralet: Ze e 1 dx ¼ ln x 1 ¼ ln e ln 1 ¼ 1 0 ¼ 1 x 1

Grafen viser området vi har beregnet arealet av. y 2

1 f(x)= x –

1 1 1

e 3

Oppgaver: 4.14–4.16

224 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Oppgaver 4.9 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x2 þ 2.

4.13 Regn ut:

1 Vis at en antiderivert til f ðxÞ er FðxÞ ¼ x3 þ 2x. 3

Finn arealet under grafen til f fra x ¼ 2 til x ¼ 1.

2x dx

ðx2 4x þ 3Þ dx

ð2x 5Þ dx

4.10 Grafen til en funksjon g er gitt nedenfor:

4.14 1 Gitt funksjonen f ðxÞ ¼ . x

y 5

Regn ut arealet under grafen til f , fra x ¼ 1 til x ¼ 3, R3 ved det bestemte integralet f ðxÞ dx.

4.15 Hvilket uttrykk er en antiderivert til f ðxÞ ¼ 3x2 x þ 2?

2 1 1

1 3 1 2 x x þ2 3 2 1 3 x 2x2 þ 2x 3

Finn arealet av området definert under grafen, x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 6.

4.11 a Deriver funksjonen FðxÞ ¼ 3x3 þ 3x2 þ 3x þ 3.

4.16 Regn ut:

R2 Regn ut ð9x2 þ 6x þ 3Þ dx.

4.12 a Deriver funksjonen FðxÞ ¼ 5x3 þ x2 þ 6x 7. b

R6 Regn ut ð15x2 þ 2x þ 6Þ dx. 3

ðx3 þ 2x2 3Þ dx

R4 0

c d

1 x3 x2 þ 2x 2 1 x3 2x2 þ x 2

R2 0

ðx3 x2 þ x 1Þ dx

ðt3 2t2 þ 3Þ dt

Ubestemt integral 225

4.3 Ubestemt integral UTFORSK Du trenger: skrivesaker 1

Finn tre ulike uttrykk du kan derivere for å få 3.

Forklar hvorfor vi kan si at 3x þ C er en antiderivert til 3 uansett hvilken verdi C har.

Lag en regel for hvordan vi kan regne ut en antiderivert til en konstant k.

Hva må vi derivere for å få 2x? En mulig løsning er x2 , men det kan også være x2 þ 1, x2 þ eller andre konstantledd til slutt. Det er fordi den deriverte av konstantleddet er null. Dermed har alle disse funksjonene samme deriverte.

Ubestemt integral:

Grafene til de tre funksjonene er forskjøvet loddrett i forhold til hverandre. Det betyr også at de har tangenter med samme stigningstall for en gitt x-verdi. Figuren til venstre nedenfor viser grafene til de tre funksjonene, den neste figuren viser grafene med hver sin tangent i x ¼ 1, og den siste figuren viser den deriverte til funksjonene. Alle funksjonene har tangenter med samme stigningstall for samme x-verdi. Funksjon

Funksjon med tangent y

x2 + p

2 x2 + 1 1

x2 –2

Derivert funksjon

–1

1 –1

–2

–1

1 –1

–2

–1

1 –1

226 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Integrasjon og derivasjon kan vi se på som omvendte regnearter.

For å finne en generell antiderivert til 2x finner vi det ubestemte integralet, altså et integral uten grenser for x. R 2x dx ¼ x2 þ C Det ubestemte integralet viser at x2 þ C er en antiderivert til 2x. C er en konstant, og den deriverte av alle konstanter er null. Generelt innfører vi skrivemåten av f ðxÞ med hensyn på x».

f ðxÞ dx og leser «det ubestemte integralet

U B E S T E MT I N T E G R AL R f ðxÞ dx ¼ FðxÞ þ C, der F 0 ðxÞ ¼ f ðxÞ og C er en konstant.

Reflekter og diskuter! Hva må vi derivere for å få: pffiffiffi x ex x x5 Prøv å formulere skriftlig de integrasjonsreglene dere har funnet.

EK SEMPEL 9 a

Finn de ubestemte integralene: R R 3 1 3 dx 3 x dx Z R 1 2 2t dt 4 dx x2 R Vis at ð3x2 6x þ 2Þ dx ¼ x3 3x2 þ 2x þ C

Løsning: a Ved integrasjon hjelper det å tenke: «Hva må vi derivere for å få dette til svar?» Siden eksponenten blir én mindre når vi deriverer polynomer, må eksponenten bli én større når vi integrerer dem. R 1 3 dx ¼ 3x þ C R 2 2t dt ¼ t2 þ C

Ubestemt integral 227

Vi prøver med x4 , men når vi deriverer dette, får vi 4x3 . 1 Derfor multipliserer vi med . Det gir: 4 R 3 1 4 x dx ¼ x þ C 4

Vi omskriver uttrykket til en potens og integrerer. Z R 1 1 dx ¼ x 2 dx ¼ x 1 þ C ¼ þ C 2 x x

Vi deriverer høyre side for å vise at dette stemmer: ðx3 3x2 þ 2x þ CÞ0 ¼ 3x3 1 2 3x2 1 þ 2x1 1 þ 0 ¼ 3x2 6x þ 2

Oppgaver: 4.17–4.20

I eksempel 9e deriverer vi en sum av funksjoner ledd for ledd, og dermed kan vi også integrere en sum av funksjoner ledd for ledd. Vi viser nå integrasjonsregler, som vi beviser ved derivasjon. Dette er eksempler på direkte bevis. Regel:

xn dx ¼

Eksempel:

1 xn þ 1 þ C nþ1

1 x4 dx ¼ x5 þ C 5

Bevis: Vi bruker derivasjonstesten og forutsetter at n er et helt tall bortsett fra 1. Da får vi 0 1 1 xn þ 1 þ C ¼ ðn þ 1Þ xn þ 1 1 þ 0 ¼ xn nþ1 nþ1 R

1 ekx dx ¼ ekx þ C k R 1 Eksempel: e3x dx ¼ e3x þ C 3 Regel:

Bevis: Vi bruker derivasjonstesten og setter kjernen lik u ¼ kx. Det gir u 0 ¼ k. 0 1 kx 1 e þ C ¼ ekx k þ 0 ¼ ekx k k

Derivasjon ðxn Þ0 ¼ n xn 1 ðex Þ0 ¼ ex

228 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Regel:

ax dx ¼

Eksempel:

ax þ C, ln a

1,08x ¼

a > 0 og a 6¼ 1

1,08x þC ln 1,08

Bevis: Vi bruker derivasjonstesten og husker at ðax Þ0 ¼ ax ln a. Vi får: x 0 0 a 1 1 x a þC ¼ ax ln a ¼ ax þC ¼ ln a ln a ln a

Reflekter og diskuter! Hva blir resultatet av

Z Regel:

ax dx ¼

ax þ C når du setter a ¼ e? ln a

1 dx ¼ ln jxj þ C x

Bevis: Vi bruker derivasjonstesten. Vi ser på de to tilfellene x > 0 og x < 0 hver for seg. Når x > 0, er jxj ¼ x. Vi får 1 1 0 ln jxj þ C ¼ ðln x þ CÞ0 ¼ þ 0 ¼ x x Når x < 0, er jxj ¼ x. Vi får 1 1 0 0 ð 1Þ þ 0 ¼ ln jxj þ C ¼ ln ð xÞ þ C ¼ x x 1 Legg merke til at når n ¼ 1 i uttrykket xn , så får vi xn ¼ x 1 ¼ . x Dermed er det denne regelen vi må bruke for å løse det ubestemte R integralet x 1 dx.

Ubestemt integral 229

Vi har nå følgende integrasjonsregler: R

k dx ¼ kx þ C

1 x dx ¼ x2 þ C 2 R n 1 xn þ 1 þ C, n 6¼ 1 x dx ¼ nþ1 Z 1 dx ¼ ln jxj þ C, x 6¼ 0 x R x e dx ¼ ex þ C R R

1 ekx dx ¼ ekx þ C k

ax þ C, a > 0 og a 6¼ 1 ln a R R k uðxÞ dx ¼ k uðxÞ dx R R R ðuðxÞ vðxÞÞ dx ¼ uðxÞ dx vðxÞ dx ax dx ¼

EKSEMPEL 10 Finn de ubestemte integralene: R 2 a ðx þ 6x þ ex Þ dx c Z 1 4t b e dt d 2

R R

ð2ex þ e x Þ dx 500 1,6x dx

Løsning: Vi integrerer med bruk av reglene over. a

Vi integrerer ledd for ledd: R R R R 2 ðx þ 6x þ ex Þ dx ¼ x2 dx þ 6x dx þ ex dx ¼ Z

b c

1 4t 1 e dt ¼ 2 2

Z e4t dt ¼

1 2þ1 1 x þ 3x2 þ ex þ C ¼ x3 þ 3x2 þ ex þ C 2þ1 3 1 1 4t 1 e þ C ¼ e4t þ C 2 4 8

Vi integrerer ledd for ledd: R x R x R x 1 x x x e þ C ¼ 2ex e x þ C 2e þ e dx ¼ 2 e dx þ e dx ¼ 2e þ 1 R

500 1,6x dx ¼ 500

1,6x þC ln 1,6

Oppgaver: 4.21–4.22

230 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Integrasjon av trigonometriske funksjoner UTFORSK Du trenger: GeoGebra Du skal nå jobbe med de trigonometriske funksjonene sin x, cos x og tan x. Kan du finne en sammenheng mellom integrasjon og derivasjon for disse funksjonene? 1

Skriv inn funksjonen f ðxÞ ¼ sin x.

Deriver funksjonen.

Integrer den deriverte funksjonen.

Gjør det samme med gðxÞ ¼ cos x og hðxÞ ¼ tan x. R R R Prøv om du kan skrive ned reglene for sin x dx, cos x dx og tan x dx. Sammenlikn reglene du har skrevet ned, med en annen elev.

Når vi integrerer trigonometriske funksjoner, bruker vi derivasjonsreglene baklengs. Vi repeterer derfor først reglene for derivasjon: ðsin xÞ0 ¼ cos x ðcos xÞ0 ¼ sin x ðtan xÞ0 ¼

1 ¼ 1 þ tan 2 x cos 2 x

Uttrykkene på høyre side er integralene til funksjonene vi deriverer på venstre side. Det gir oss følgende regler: R R Z

cos x dx ¼ sin x þ C sin x dx ¼ cos x þ C

R 1 dx ¼ ð1 þ tan 2 xÞ dx ¼ tan x þ C cos 2 x

Ubestemt integral 231

EKSEMPEL 11 Finn de ubestemte integralene: R a ð4 sin x þ 3e2x þ 1Þ dx R b 2 cos 2x dx

5 sin ð5x þ 2Þ dx

Løsning: R R R R ð4 sin x þ 3e2x þ 1Þ dx ¼ 4 sin x dx þ 3 e2x dx þ 1 dx a 1 ¼ 4 ð cos xÞ þ 3 e2x þ x þ C 2 3 2x ¼ 4 cos x þ e þ x þ C 2 b

Uttrykket inneholder 2x, så vi bruker kjerneregelen baklengs. 1 Når vi antideriverer, må vi gange med for å få det 2 opprinnelige uttrykket. R R 2 cos 2x dx ¼ 2 cos 2x dx 1 ¼ 2 sin 2x þ C 2

I trigonometriske funksjoner der vinkelen er et lineært uttrykk, kx þ c, må vi 1 multiplisere med faktoren k når vi antideriverer.

¼ sin 2x þ C c

R 5 sin ð5x þ 2Þ dx ¼ 5 sin ð5x þ 2Þ dx 1 ¼ 5 cos ð3x þ 2Þ þ C 5 ¼ cos ð3x þ 2Þ þ C

Oppgaver: 4.23–4.24

232 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Oppgaver 4.17 Finn de ubestemte integralene: R R a 8 dx c 3x dx R R 2 b x dx d x dx

4.22 Finn de ubestemte integralene: R 4 c a ðt þ 2t þ e3t Þ dt b

4.18 Finn de ubestemte integralene: R R a 4t dt c 12x3 dx Z R 4 5 b t dt d dx x 4.19 Finn de ubestemte integralene: R R a 0 dx c 2 dr R R b 2 dx d 2 r dr 4.20 Petter og Anna diskuterer utregningen av et integral. Petter påstår at 1 Z1 1 1 dx ¼ ¼ 2 x2 x 1 1

Anna mener at han ikke kan regne slik.

2000 1,05x dx

Z R

xþ2 dx 4x 6e 2t dt

4.23 Finn de ubestemte integralene: R a 2 sin x dx R 2 b ðx þ 3x 4 þ cos xÞ dx R c 3 cos 3x dx Z 1 d 4 sin 2x þ dx 2 4.24 Finn de ubestemte integralene: R a sin x dx R b ð3 sin x þ 4 cos xÞ dx Z c 4 cos x dx 2 R d cos ð2t Þ dt

Hva er det Anna har oppdaget som blir feil?

4.25 4.21 Finn de ubestemte integralene: R x a e dx R x b 4e dx R c ð1 þ 2x þ 3x2 þ 4x3 Þ dx R d ð4x þ 2ex þ e3x Þ dx

En funksjon f er gitt ved f ðxÞ ¼ a

x2 þ 2 . x

Vis at funksjonsuttrykket kan skrives som 2 f ðxÞ ¼ x þ . x R Bestem f ðxÞ dx uten bruk av hjelpemidler.

Bruk CAS til å kontrollere svaret ditt i oppgave b.

Arealberegninger ved integrasjon 233

4.4 Arealberegninger ved integrasjon UTFORSK Du trenger: skrivesaker og GeoGebra Figuren viser en halvsirkel gitt ved f ðxÞ ¼

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 x2 .

Bruk formelen for areal av en sirkel A ¼ r2 og regn ut det eksakte arealet av halvsirkelen.

Regn ut det bestemte integralet fra x ¼ 2 til x ¼ 2 for å finne arealet under grafen til f .

y 2 1 –2

–1

Speil nå halvsirkelen om x-aksen ved å bruke funksjonsuttrykket pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gðxÞ ¼ 4 x2 . Regn ut det bestemte integralet av g fra x ¼ 2 til x ¼ 2 og vurder svaret i forhold til arealet av halvsirkelen.

Integrasjon gjør oss i stand til å beregne arealer vi tidligere ikke har kunnet beregne med de kjente arealformlene. Nå tar vi for oss sammenhengen mellom bestemte integraler for ulike funksjoner og de arealene som grafene deres avgrenser.

A R E A L SO M B E S T E M T I N T E G R A L La f være en kontinuerlig funksjon slik at f ðxÞ 0 i intervallet ½a, b . Rb Da er f ðxÞ dx lik arealet av området som er avgrenset av grafen til f , a

x-aksen og linjene x ¼ a og x ¼ b. y

f(x)

Arealberegninger ved integrasjon:

234 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 12 a

Tegn grafen til f gitt ved f ðxÞ ¼ x2 þ 1.

Bestem arealet av området avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 2.

Løsning: a Vi tegner grafen i GeoGebra. y 6 5 4 3 2

f(x)= x2 + 1

1 –2

–1

Vi løser oppgaven i GeoGebra og skriver «Integral(f, 1,2)». y f(x)

–

4 3

–

2 1 –2

–1

a=6 1

Arealet er 6.

Løsning for hånd: Vi regner ut det bestemte integralet: R2

f ðxÞ dx ¼

Arealet er 6.

x2 þ 1 dx

¼ Oppgaver: 4.26–4.27

1 3 x þx 3

2 ¼ 1

1 3 1 8 1 2 þ2 ð 1Þ3 þ ð 1Þ ¼ þ 2 þ þ 1 ¼ 6 3 3 3 3

Arealberegninger ved integrasjon 235

UTFORSK Jobb sammen to og to Dere trenger: GeoGebra 1

Tegn grafen til g gitt ved gðxÞ ¼ 1 ln x.

Regn ut de bestemte integralene: R2

gðxÞ dx

Beskriv sammenhengen du finner mellom svarene dine og når arealet ligger over x-aksen og under x-aksen. Hvordan kan vi forklare det siste svaret?

I eksempel 12 fant vi ut at arealet av området avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 2 var gitt ved det bestemte integralet. Gjelder det samme hvis arealet ligger under x-aksen?

Areal over og under x-aksen Figuren viser grafen til f gitt ved f ðxÞ ¼ sin x. Vi deler figuren i to slik at vi får et areal avgrenset av grafen fra x ¼ 0 til x ¼ og et annet areal fra x ¼ til x ¼ 2 . y 1 p 1

2p 4

–1

Vi regner ut det bestemte integralet fra x ¼ 0 til x ¼ : R 0

f ðxÞ dx ¼

sin x dx

¼ cos x 0 ¼ cos ð cos 0Þ ¼ ð 1Þ ð 1Þ ¼ 2

Vi regner ut det bestemte integralet fra x ¼ til x ¼ 2 : 2R

f ðxÞ dx ¼

2 R

sin x dx

2 ¼ cos x ¼ cos ð2 Þ ð cos Þ ¼ 1 1 ¼ 2

De bestemte integralene har lik verdi, men ulikt fortegn. Integralet over x-aksen har positiv verdi, og integralet under x-aksen har negativ verdi.

236 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Samtidig viser figuren at de to arealene er like store. Et areal kan ikke være 2 R negativt, altså er arealet under grafen f ðxÞ dx ¼ ð 2Þ ¼ 2.

Til sammen er det fargelagte arealet fra x ¼ 0 til x ¼ 2 lik 4. AREAL O VER O G U NDER X-A K SE N Arealet A av et område avgrenset av grafen til den kontinuerlige funksjonen f , x-aksen og linjene x ¼ a og x ¼ b er gitt ved Rb hvis arealet ligger over x-aksen A ¼ f ðxÞ dx a

Rb A ¼ f ðxÞ dx

Areal under x-aksen: b R A ¼ f ðxÞ dx

hvis arealet ligger under x-aksen

Hvis området ligger både over og under x-aksen, må vi dele det opp og regne ut arealene hver for seg, før vi finner totalarealet.

EK SEMPEL 13 10 8

Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x3 .

f(x) = x3

1 –2 –5

Regn ut

2 –1

Regn ut arealet som er avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 2 og x ¼ 2. R2

f ðxÞ dx.

–2

3 x

Gi en forklaring av resultatene i a og b.

Løsning: a Vi ser at arealet delvis ligger under x-aksen og delvis over. Vi deler derfor opp utregningen og bruker CAS til å regne ut arealet fra x ¼ 2 til x ¼ 0 og fra x ¼ 0 til x ¼ 2. 1

–6 –8 2

Dette gir oss et totalt areal A ¼ ð 4Þ þ 4 ¼ 8.

Arealberegninger ved integrasjon 237

Vi regner ut med CAS integralet fra x ¼ 2 til x ¼ 2. 4

Integralet er 0. c

I oppgave a fant vi ut at arealet under x-aksen og over x-aksen var like store. Det totale arealet var 8. I oppgave b regnet vi ut integralet over samme intervall og fant at integralet var lik null. Et integral under x-aksen har negativ verdi, og når det skal tolkes som et areal, må vi bruke absoluttverdien av integralet.

Oppgaver: 4.28–4.30

Reflekter og diskuter! 1

–1

–2 –3

f(x)

–4

Bruk trappesummen til å forklare hvorfor det bestemte integralet under x-aksen blir negativt.

Areal mellom to grafer Vi kan også bruke integralregning til å finne arealet mellom to grafer. Figuren til høyre viser grafen til f og g, med et markert område mellom de to grafene.

Fra tidligere vet vi følgende: Rb f ðxÞ dx gir arealet under grafen til f fra x ¼ a til x ¼ b.

gðxÞ dx gir arealet under grafen til g fra x ¼ a til x ¼ b.

Figuren viser at arealet av det markerte området er differansen mellom disse arealene, altså er det markerte området på figuren gitt ved: Rb Rb Rb A ¼ f ðxÞ dx gðxÞ dx ¼ f ðxÞ gðxÞ dx a

238 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON y 6

Det samme gjelder når én av grafene eller begge grafene ligger under x-aksen. Utregningen nedenfor viser at det alltid er slik. Vi adderer en konstant k til begge funksjonsuttrykkene. k må være stor nok til at begge grafene ligger over x-aksen.

f(x)

5 4 3

A¼

f ðxÞ þ k dx

gðxÞ þ k dx

f ðxÞ þ k gðxÞ þ k

–1

f ðxÞ gðxÞ dx

–2

Det må alltid være slik at f ðxÞ gðxÞ i intervallet ½a, b . Vi må altså ta den øverste grafen minus den nederste grafen.

g(x)

–3 –4 –5

AREALET M ELLOM T O GRAFER

f(x)

Når grafen til f ligger over grafen til g fra x ¼ a til x ¼ b, er arealet mellom grafene Rb A ¼ f ðxÞ gðxÞ dx

g(x)

Areal mellom grafer:

EK SEMPEL 14 10

Figuren viser grafene til f ðxÞ ¼ x2 4x þ 2 og gðxÞ ¼ x 2. Finn arealet som er avgrenset av de to grafene.

f(x)

g(x)

Løsning: Skjæringspunktet mellom de to grafene gir x-verdiene for der arealet starter og slutter. Skjæringspunktene finner vi når vi løser likningen f ðxÞ ¼ gðxÞ.

4 2 –2

–1

–2

–5

x2 4x þ 2 ¼ x 2 x2 4x x þ 2 þ 2 ¼ 0 x2 5x þ 4 ¼ 0

–6

x¼1 _ x¼4

–8

Figuren viser at grafen til g ligger over grafen til f i intervallet x ¼ 1 til x ¼ 4.

Arealberegninger ved integrasjon 239

Derfor bruker vi gðxÞ f ðxÞ ¼ x 2 ðx2 4x þ 2Þ ¼ x2 þ 5x 4 Arealet mellom grafene regner vi ut med det bestemte integralet: R4 A ¼ ð x2 þ 5x 4Þ dx 1

1 5 ¼ x3 þ x2 4x 3 2

4 1

1 5 1 5 ¼ 43 þ 42 4 4 13 þ 12 4 1 3 2 3 2 9 ¼ 2 ¼ 4,5 Arealet mellom grafene er 4,5.

Løsning med CAS: Vi løser oppgaven med CAS. Vi skriver inn de to funksjonsuttrykkene og bruker kommandoen «Skjæring(<Objekt>,<Objekt>)». Deretter finner vi arealet avgrenset mellom de to grafene med kommandoen «IntegralMellom(<Funksjon>,<Funksjon>,<Start>,<Slutt>)». 1

Arealet mellom grafene er 4,5.

Oppgaver: 4.31–4.32

240 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Oppgaver 4.26 a Tegn grafen til g gitt ved gðxÞ ¼ 2x2 þ 4x þ 3.

4.29 Tegn grafen til f gitt ved f ðxÞ ¼ cos x.

Bestem arealet avgrenset av området til f , x-aksen og

Bestem arealet avgrenset av g, x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 2.

4.27

b 6

y f(x) = 2x + 1

linjene x ¼ 0 og x ¼

og x ¼ 0 2 3 linjene x ¼ og x ¼ 2 2 3 5 linjene x ¼ og x ¼ 2 2 linjene x ¼

Diskuter svarene med en annen elev.

4.30 Uttrykket regner ut arealet til en funksjon f ðxÞ i intervallet ½ 1, 3 R3 R0 f ðxÞ dx þ f ðxÞ dx

2 1 –1

4 x

Figuren viser grafen til f ðxÞ ¼ 2x þ 1. Finn arealet avgrenset av f , x-aksen og linjene x ¼ 0 og x ¼ 2.

4.31 a Tegn grafene til disse to funksjonene i samme koordinatsystem:

4.28

f ðxÞ ¼ x2 þ 4 og gðxÞ ¼ x þ 3

y f 2

Hvilket av uttrykkene gir arealet av det markerte området på figuren? a

f ðxÞ dx

R2 0

Lag en skisse av en graf som passer til uttrykket.

f ðxÞ dx þ

R4 2

f ðxÞ dx

Bestem arealet som er avgrenset av grafene og de to linjene x ¼ 1 og x ¼ 0.

Bestem arealet som er avgrenset av grafene og de to linjene x ¼ 1 og x ¼ 2.

4.32 a Tegn grafene til disse to funksjonene i samme koordinatsystem: f ðxÞ ¼ x2 3x 2 og gðxÞ ¼ 2x 2

f ðxÞ dx

Finn skjæringspunktene mellom grafene.

Bestem arealet som er avgrenset mellom de to grafene.

Delvis integrasjon 241

4.5 Delvis integrasjon UTFORSK

R 3x2 dx ex dx R Bruk CAS og regn ut: ð3x2 ex Þ dx

Sammenlikn med de andre i klassen.

Regn ut for hånd:

For å integrere uttrykk der vi ikke kan bruke integrasjonsreglene direkte, trenger vi å lære noen nye teknikker. I de neste delkapitlene tar vi for oss tre metoder som vi kaller delvis integrasjon, variabelskifte og delbrøkoppspalting. For å forklare delvis integrasjon begynner vi med derivasjonsregelen for et produkt: ðu vÞ0 ¼ u 0 v þ u v 0 Vi bytter plass på høyre og venstre side og får

Som i R1 bruker vi den forenklede skrivemåten u og v i stedet for uðxÞ og vðxÞ.

u 0 v þ u v 0 ¼ ðu vÞ0 Definisjonen av ubestemt integral gir R 0 ðu v þ u v 0 Þ dx ¼ u v þ C Venstre side integrerer vi ledd for ledd. Det gir R 0 R u v dx þ u v 0 dx ¼ u v þ C R Vi trekker fra u v 0 dx på begge sider og får formelen som vi kaller delvis integrasjon. R R 0 u v dx ¼ u v u v 0 dx þ C Siden integralet på høyre side også gir en konstant, kan vi la C inngå i dette.

DELVIS INTEGRASJON R 0 R u v dx ¼ u v u v 0 dx

Reflekter og diskuter! Når vi skal integrere et produkt av to uttrykk, hvorfor kan vi ikke bare integrere uttrykkene hver for seg og så gange sammen svarene til slutt? Når vi bruker delvis integrasjon, velger vi u 0 og v slik at integralet på høyre side blir enklere enn integralet vi startet med.

Delvis integrasjon:

242 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 15 Bestem integralene ved hjelp av delvis integrasjon: R a 2x ln x dx R b ð2t 1Þe 2t dt

Løsning: a Vi bruker delvis integrasjon og velger u 0 ¼ 2x og v ¼ ln x. 1 Da er u ¼ x2 og v 0 ¼ . Vi får x v0 0 u u v v u z}|{ Z Z z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ z}|{ 1 x2 dx 2x ln x dx ¼ x2 ln x x R ¼ x2 ln x x dx 1 2 2 ¼ x ln x setter C ¼ C1 x þ C1 2 1 ¼ x2 ln x x2 þ C 2 b

1 Vi velger u 0 ¼ e 2t og v ¼ 2t 1. Da er u ¼ e 2t og v 0 ¼ 2. 2 Vi får u u u0 v v v0 zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ Z zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ Z zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ z}|{ z}|{ zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ 1 1 ð2t 1Þ e 2t dt ¼ e 2t ð2t 1Þ e 2t 2 dt 2 2 R 1 2t ¼ e ð2t 1Þ ð e 2t Þ dt 2 R 1 ¼ e 2t ð2t 1Þ þ e 2t dt 2 1 1 ¼ e 2t ð2t 1Þ þ e 2t þ C 2 2 1 2t ¼ e ð 2t 1 þ 1Þ þ C 2 ¼ te 2t þ C

Løsning med CAS: Vi bruker kommandoen «Integral(<Funksjon>)». 1

Oppgaver: 4.33–4.35

Vi får samme løsning som over.

Delvis integrasjon 243

Reflekter og diskuter! Hvordan kan Gustav påstå dette? Derivasjon ved produktregelen

Dette kaller jeg «kjerneregelen baklengs» ?

f ðxÞ ¼ u v

Delvis integrasjon Velg u 0 og v slik at integralet på høyre side blir enklere enn det opprinnelige integralet.

+ 0

f ðxÞ ¼ u 0 v þ u v 0

Det krever trening å velge u 0 og v slik at integralet på høyre side blir enklere å regne ut. Her er noen tips: Den antideriverte til aekx er funksjonen selv multiplisert med en konstant. Integralet på høyre side blir derfor ikke vanskeligere om vi velger denne som u 0 . Det samme gjelder sinus- og cosinusfunksjoner. Hvis vi for eksempel velger 1 u 0 ¼ cos 2x, blir u ¼ sin 2x, som ikke er vanskeligere å integrere. 2 Hvis integralet består av et polynom multiplisert med en logaritmefunksjon, 1 lar vi polynomet være u 0 og logaritmefunksjonen v. Da får vi v 0 ¼ , slik at x vi kan forkorte og forenkle integralet på høyre side.

EKSEMPEL 16 Bestem

x cos x dx.

Løsning: Vi bruker strategien med problemløsning. 1

Forstå problemet Integralet er et produkt av to funksjoner med x som variabel. Vi kan ikke integrere disse funksjonene hver for seg.

Lage en plan Siden integralet består av to funksjoner av x, prøver vi å løse det med delvis integrasjon.

Problemløsning 1 Forstå problemet 2 Lage en plan 3 Gjennomføre planen 4 Se tilbake

244 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Gjennomføre planen Vi prøver med å sette u 0 ¼ x og v ¼ cos x. 1 Da er u ¼ x2 og v 0 ¼ sin x. Vi får 2 u u v0 z}|{ v v Z Z z}|{ zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ u0 zffl}|ffl{ z}|{ 1 2 zffl}|ffl{ 1 2 cos x x dx ¼ x cos x x ð sin xÞ dx 2 2 Vi ser at det nye integralet ikke blir noe enklere å løse, og gjør derfor et omvalg. Vi velger nå heller u 0 ¼ cos x og v ¼ x. 1 Da er u ¼ x2 og v 0 ¼ sin x. Vi får 2 u u v0 u0 Z v Z zffl}|ffl{ v zffl}|ffl{ z}|{ z}|{ z}|{ zffl}|ffl{ x cos x dx ¼ sin x x sin x 1 dx Z ¼ x sin x sin x dx ¼ x sin x ð cos x þ C1 Þ

setter C ¼ C1

¼ x sin x þ cos x þ C 4

Oppgaver: 4.36–4.41

Se tilbake Det ubestemte integralet kunne løses med delvis integrasjon. For at integrasjonen skal føre fram, er det lurt å vurdere hva man i starten skal sette som u 0 og v. Det viste seg å være lurt å velge cosinusfunksjonen som u 0 .

Oppgaver 4.33 Bestem integralene: R a ð2x þ 1Þ ex dx 4.34 Bestem integralene: R 4 a x ln x dx R b x e3x dx

4x e2x dx

4.35 Simen har løst et ubestemt integral på denne måten: R R x 2 e x dx ¼ ex x2 ex 2x dx ¼ ex x2 ð2xex 2ex þ C1 Þ

x2 ex dx

¼ x2 ex 2xex þ 2ex þ C Gå gjennom løsningen til Simen med en annen elev og diskuter hvorfor vi kan kalle dette gjentatt delvis integrasjon.

Delvis integrasjon 245

4.36 Bestem integralene: R a x sin 3x dx R 2 b x sin x dx 4.37 Bestem integralene: R 2 a x ln x dx R b t sin t dt

4.41 c

x2 cos 2x dx

ðx2 1Þ ex dx

4.38 Finn de ubestemte integralene for hånd og sjekk svarene med CAS: Z R 1 c ln x dx a 8x ln x dx x2 R x b e ð4x þ 1Þ dx 4.39 Finn de ubestemte integralene for hånd og sjekk svarene med CAS: R R a x cos x dx c ð2x2 þ x 1Þ cos x dx R b sin x ex dx 4.40 R Bestem ln x dx ved å skrive ln x ¼ 1 ln x og bruke delvis integrasjon.

Gitt det ubestemte integralet R 2x ex dx Marja og Ante bruker delvis integrasjon og har begynt på to ulike løsninger. Diskuter hvilken løsning som det er lurt å arbeide videre med for å komme fram til svaret. Løs integralet. Marja: Hun velger u 0 ¼ 2x og v ¼ ex , som gir: R R 2x ex dx ¼ x2 ex x2 ex dx þ C ¼ . . . Ante: Han velger u 0 ¼ ex og v ¼ 2x, som gir: R R 2x ex dx ¼ ex 2x ex 2 dx þ C ¼ . . .

246 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

4.6 Integrasjon ved variabelskifte UTFORSK Du trenger: skrivesaker Vi starter med en derivasjon der vi bruker kjerneregelen og setter u ¼ 2x. ðe2x Þ0 ¼ ðeu Þ0 ¼ u 0 eu ¼ 2e2x 1

Deriver på samme måte følgende uttrykk: ðex Þ0 ¼ 2

ðex Þ0 ¼ 3

ðe5x Þ0 ¼ 4

Hvilken sammenheng finner du mellom den deriverte av kjernen og svaret?

Å integrere er å tenke derivasjon motsatt vei. Gi et forslag til svar på integralene: R 2x 2e dx ¼ R 2 2xex dx ¼ R 3 3xex dx ¼ R 4 20x3 e5x dx ¼

Forklar til en annen elev hvordan vi kan si: «Når vi deriverer, ganger vi med den deriverte av kjernen, og når vi integrerer, deler vi med den deriverte av kjernen.»

Integrasjon ved variabelskifte:

Vi starter med å derivere uttrykket ex ved hjelp av kjerneregelen i derivasjon: ðex Þ0 ¼ |{z} 3x2 |{z} ex 3

Når vi så skal integrere uttrykket 3x2 ex , kan vi tenke motsatt vei. Vi ser at den ene funksjonen er den deriverte av den andre funksjonens kjerne. Altså er 3x2 den deriverte av x3 . Dermed har vi at R 2 x3 3 3x e dx ¼ ex þ C Vi kan bruke variabelskifte når den ene funksjonen er den deriverte av den andre funksjonens kjerne.

Det betyr at når vi deriverer, multipliserer vi med den deriverte av kjernen, og når vi integrerer, dividerer vi med den deriverte av kjernen. Å integrere ved å bruke kjerneregelen i derivasjon motsatt vei kaller vi integrasjon ved variabelskifte eller integrasjon ved substitusjon.

Integrasjon ved variabelskifte 247

Generelt velger vi en kjerne u. Den deriverte av kjernen er u 0 . Vi får da et R uttrykk: f ðuÞ dx. Her har vi to forskjellige variabler i uttrykket. Vi må derfor 1u du ¼ . uttrykke dx ved hjelp av u. Vi har at u 0 ¼ lim 1x ! 0 1x dx du u0 ¼ dx du dx ¼ u0 Når vi integrerer med variabelskifte kan vi ofte bruke stegene nedenfor.

INTEGRASJON VED VARIABELSKIFTE 1

Velg en kjerne u.

Bestem u 0 .

Erstatt dx med

Forkort slik at u er den eneste variabelen.

Integrer med u som variabel.

Erstatt u med det valgte uttrykket for kjernen.

d u og d x er differensialer, det vil si uendelig små endringer i x og y. G.W. Leibniz’ skrivemåte for den deriverte: du u0 ¼ dx

Eksempelvis får vi for

du . u0

u ¼ x2

u 0 ¼ 2x

R Z

4 5

2xe dx ¼ u 0 eu

2xex dx:

u 0 eu

du u0

du R u ¼ e du u0

eu du ¼ eu þ C 2

eu þ C ¼ ex þ C R 2 2 Altså er 2xex dx ¼ ex þ C. 6

Integrasjon ved variabelskifte gir løsning bare når vi kan forkorte x slik at bare u står igjen i det siste integralet i utregningen (punkt 4). I integralet over kunne vi gjenkjenne kjerneregelen i derivasjon der ðex Þ0 ¼ 2xex , og dette avgjorde valget av integrasjonsmetode. 2

Vi ser på et par eksempler der vi bruker integrasjon ved variabelskifte.

EKSEMPEL 17 Bestem

sin ð4x þ 5Þ dx.

Løsning: Vi velger kjernen u ¼ 4x þ 5. Det gir u 0 ¼ 4. du du ¼ 4 ) dx ¼ . Vi får Da har vi u 0 ¼ dx 4 Z Z R du 1 1 1 sin ð4x þ 5Þ dx ¼ sin u ¼ sin u du ¼ ð cos u þ CÞ ¼ cos ð4x þ 5Þ þ C 4 4 4 4

Oppgave: 4.42

248 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

EK SEMPEL 18 Bestem

3x2 ex dx.

Løsning: du Vi velger kjernen u ¼ x3 . Det gir u 0 ¼ 3x2 . Da har vi u 0 ¼ ¼ 3x2 ) dx du dx ¼ . Vi deler altså på den deriverte. Vi får 3x2 Z R 2 x3 du 3x e dx ¼ 3x2 eu 3x2 Z du ¼ 3x2eu 3x2 R u ¼ e du ¼ eu þ C 3

¼ ex þ C

Oppgaver: 4.43–4.45

Reflekter og diskuter! I eksempel 17 integrerte vi ved variabelskifte og fikk R 1 sin ð4x þ 5Þ dx ¼ cos ð4x þ 5Þ þ C 4 Kjernen er et lineært uttrykk: u ¼ ax þ b. Forklar hvordan vi også kan integrere uttrykket direkte med integrasjonsregler, bare vi husker å dividere med a.

Integralet av en brøk Z med lineær nevner løser vi ved variabelskifte. 1 dx. Vi velger u ¼ ax þ b. Det gir u 0 ¼ a, Vi ser på integralet ax þ b du . og dermed er dx ¼ a Z

Vi integrerer: Z Z Z 1 1 du 1 1 1 1 1 1 dx ¼ ¼ du ¼ du ¼ ln juj þ C ¼ ln jax þ bj þ C ax þ b u a u a a u a a Dette gir oss regelen for integralet av en brøk med lineær nevner.

BRØK MED LINEÆR N EVNER Z 1 1 b dx ¼ ln jax þ bj þ C, x 6¼ ax þ b a a

Integrasjon ved variabelskifte 249

Z Eksempel

1 1 dx ¼ ln j2x þ 3j þ C 2x þ 3 2

Bevis Vi bruker derivasjonstesten og får: 0 1 1 1 1 ln jax þ bj þ C ¼ aþ0¼ a a ðax þ bÞ ax þ b

EKSEMPEL 19 Finn det ubestemte integralet: Z 1 3 þ dx x þ 3 2x 1

Løsning: Integralet har et lineært uttrykk i nevneren, og vi integrerer ledd for ledd. Z 1 3 3 þ dx ¼ ln jx þ 3j þ ln j2x 1j þ C x þ 3 2x 1 2

Oppgave: 4.46

Når vi integrerer, viser det seg at vi av og til kan bruke flere integrasjonsmetoder for å løse en oppgave.

EKSEMPEL 20 Bestem integralet

4e2x dx på to måter, ved variabelskifte og delvis integrasjon.

Løsning: Integrasjon ved variabelskifte Vi velger kjernen u ¼ 2x, det gir u 0 ¼ 2. du du Da har vi ¼ 2 ) dx ¼ . Vi får dx Z 2 R 2x du R u 4e dx ¼ ¼ 2e du 4eu 2 R ¼ 2 eu du ¼ 2eu þ C ¼ 2e2x þ C Delvis integrasjon 1 Vi velger u 0 ¼ e2x og v ¼ 4. Da er u ¼ e2x og v 0 ¼ 0. Vi får 2 u

u0 v0 zffl}|ffl{ v v Z zffl}|ffl{ z}|{ Z z}|{ z}|{ 1 2x z}|{ 1 2x 2x e 0 dx 4 e dx ¼ e 4 2 2 R ¼ 2e2x 0 dx

¼ 2e2x þ C Vi har nå vist at oppgaven kan løses med både variabelskifte og delvis integrasjon.

Oppgaver: 4.47–4.49

250 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Reflekter og diskuter! Hvordan kan Silje påstå dette? Dette kaller jeg «Produktregelen baklengs»

Derivasjon ved kjerneregelen f ðxÞ ¼ g uðxÞ +

f ðxÞ ¼ g 0 uðxÞ u 0 ðxÞ 0

Oppgaver 4.42 Bruk integrasjon ved variabelskifte til å bestemme integralene: R a cos 3x dx Tips: Velg u ¼ 3x. R sin ð5x þ 2Þ dx Tips: Velg u ¼ 5x þ 2. b R c ðx þ 4Þ2 dx Tips: Velg u ¼ x þ 4.

4.46 Bestem integralet av disse brøkene med lineære nevnere. Z Z 1 4 dx c dx a xþ1 8x 4 Z 1 b dx x 2

4.43 Bestem integralene: R 3 x4 a 4x e dx R 3 x4 b 6x e dx

4.47 Bruk både integrasjon ved variabelskifte og delvis R 2 integrasjon til å regne ut x3 ex dx.

4.44 Bestem integralene: R a ðx þ 1Þ3 dx Z ln x þ 3 dx b x

ð2x þ 1Þex

Z c

þx

5x2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 4 2x3 1

4.45 Finn de bestemte integralene: a

R 0

Z2 sin 2x dx

b 1

6 dx 3x þ 4

4.48 R Gitt det ubestemte integralet 9e3x dx. Bestem integralet både med metoden med variabelskifte og delvis integrasjon. 4.49 Integrer uttrykkene både for hånd og med CAS: Z R tþ2 a dt c 3 sin ð t 2Þ dt t2 þ 4t 5 R b 2tcos ðt2 þ 3Þ dt

Integrasjon ved delbrøkoppspalting 251

4.7 Integrasjon ved delbrøkoppspalting UTFORSK Felles nevner 1

1 2 3þ4 7 þ ¼ ¼ . 2 3 2 3 6 Finn to brøker som summert gir svaret Vi vet at

a 2

9 10

x þ 2 þ 2ðx þ 1Þ 1 2 3x þ 4 þ ¼ ¼ . xþ1 xþ2 x2 þ 3x þ 2 ðx þ 1Þðx þ 2Þ Finn to brøker som summert gir svaret

Vi vet at

a 3

13 12

5x þ 7 þ 3x þ 2

3x þ 1 x2 1

Forklar til en annen elev hvordan du tenkte for å løse oppgavene.

Når vi integrerer en brøk med et polynom av andre grad eller høyere i nevneren og et polynom av lavere grad i telleren, kan vi bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting. Da deler vi opp brøken i en sum av flere brøker med førstegradspolynomer i nevneren, før vi integrerer. Vi viser metoden ved å regne ut integralet Z 2x þ 8 dx 2 x þ 5x þ 6 Først deler vi opp brøken i flere delbrøker. Deretter integrerer vi. Vi starter med å sette opp følgende likning: 2x þ 8 A B þ ¼ x2 þ 5x þ 6 x þ 2 x þ 3 Vi skal nå finne verdiene av tallene A og B. Vi starter med å utvide brøkene på høyre side slik at de får samme nevner som på venstre side. x2

Aðx þ 3Þ Bðx þ 2Þ 2x þ 8 þ ¼ þ 5x þ 6 ðx þ 2Þðx þ 3Þ ðx þ 3Þðx þ 2Þ

Integrasjon ved delbrøkoppspalting:

252 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Vi setter deretter tellerne lik hverandre. Det gir 2x þ 8 ¼ Aðx þ 3Þ þ Bðx þ 2Þ For å finne verdiene til A og B er det enkleste å regne med de verdiene av x som gjør at faktoren etter A og B blir lik null. For å finne A setter vi derfor inn x ¼ 2: 2x þ 8 ¼ Aðx þ 3Þ þ Bðx þ 2Þ 2 ð 2Þ þ 8 ¼ Að 2 þ 3Þ þ Bð 2 þ 2Þ 4 þ 8 ¼ A þ 0 A¼4 For å finne B setter vi derfor inn x ¼ 3: 2x þ 8 ¼ Aðx þ 3Þ þ Bðx þ 2Þ 2 ð 3Þ þ 8 ¼ Að 3 þ 3Þ þ Bð 3 þ 2Þ 6 þ 8 ¼ 0 B B ¼ 2 Vi har nå utført det vi kaller delbrøkoppspalting. x2

2x þ 8 4 2 ¼ þ 5x þ 6 x þ 2 x þ 3

Nå kan vi regne ut integralet: Z Z Z 2x þ 8 4 2 dx dx dx ¼ 2 x þ 5x þ 6 xþ2 xþ3 ¼ 4 ln jx þ 2j 2 ln jx þ 3j þ C

I N T E G RA S J O N V E D D E L B R ØK O P P S P A LT I N G 1

Faktoriser nevneren.

Del opp brøken til en sum av brøker med lineære nevnere: px þ q A B þ ¼ ðx x1 Þðx x2 Þ x x1 x x2

Integrer.

Integrasjon ved delbrøkoppspalting 253

EKSEMPEL 21 Z Bestem

8x 4 dx. x2 4

Løsning: Brøken har nevner av andre grad, og vi integrerer ved hjelp av metoden for delbrøkoppspalting. 1

Faktoriser nevneren Andregradsuttrykket faktoriserer vi med konjugatsetningen. x2 4 ¼ ðx 2Þðx þ 2Þ

Del opp brøken til en sum av brøker med lineære nevnere Vi setter inn A og B slik at 8x 4 A B ¼ þ x2 4 x 2 x þ 2 Deretter utvider vi brøkene på høyre side og setter tellerne lik hverandre, da får vi 8x 4 ¼ Aðx þ 2Þ þ Bðx 2Þ Vi bestemmer A ved å sette inn x ¼ 2 og B ved å sette inn x ¼ 2: 8x 4 ¼ Aðx þ 2Þ þ Bðx 2Þ 8 2 4 ¼ Að2 þ 2Þ þ Bð2 2Þ

8x 4 ¼ Aðx þ 2Þ þ Bðx 2Þ 8 ð 2Þ 4 ¼ Að 2 þ 2Þ þ Bð 2 2Þ

12 ¼ 4A þ 0

20 ¼ 0 4B

4A ¼ 12

4B ¼ 20

A¼3

B¼5

8x 4 3 5 ¼ þ 2 x 4 x 2 xþ2 Nå har vi altså faktorisert til en sum av brøker med lineære nevnere. 3

Integrer Z Z 8x 4 3 5 þ dx ¼ 3 ln jx 2j þ 5 ln jx þ 2j þ C dx ¼ x2 4 x 2 xþ2

Løsning med CAS: Vi skriver inn uttrykket direkte og integrerer. 1

Vi ser at integralet løst for hånd og med CAS gir samme resultat.

Oppgaver: 4.50–4.53

254 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Reflekter og diskuter! Aditi har funnet løsningen av et integral der polynomet i telleren ikke har lavere grad enn polynomet i nevneren: Z Z 2 x þ 3x þ 1 1 1 dx ¼ 1þ þ dx ¼ x þ ln jxj þ ln jx þ 1j þ C x2 þ x x xþ1 Hun begynte løsningen med en polynomdivisjon. 2 2x þ 1 x þ 3x þ 1 : x2 þ x ¼ 1 þ x2 þ x x2 x 2x þ 1 Bruk dette og integrasjon ved delbrøkoppspalting til å forklare løsningen til Aditi.

Når vi integrerer brøker der teller og nevner er polynomer av samme grad, eller der telleren har høyere grad enn nevneren, må vi først utføre polynomdivisjon. I restleddet vil da telleren få lavere grad enn nevneren, slik at vi videre kan bruke delbrøkoppspalting for å løse integralet.

EK SEMPEL 22

Regn ut det ubestemte integralet

x3 þ 3x2 2x 12 dx. x2 4

Løsning: Uttrykket er en brøk der polynomet i telleren er av høyere grad enn i nevneren. Vi starter da med polynomdivisjon. 3 2x x þ 3x2 2x 12 : x2 4 ¼ x þ 3 þ 2 x 4 x3 þ 4x 3x2 þ 2x 12 3x3

þ 12 2x

Restleddet viser en brøk der polynomet i telleren er av lavere grad enn i nevneren. Vi anvender delbrøkoppspalting på restleddet og får: 2x A B 1 1 ¼ þ ¼ þ 4 x 2 xþ2 x 2 xþ2

Oppgaver: 4.54–4.55

Vi kan nå regne ut det ubestemte integralet: Z Z 3 x þ 3x2 2x 12 1 1 þ dx dx ¼ xþ3þ x2 4 x 2 xþ2 1 ¼ x2 þ 3x þ ln jx 2j þ ln jx þ 2j þ C 2

Integrasjon ved delbrøkoppspalting 255

Valg av integrasjonsmetode Når vi integrerer, kan det umiddelbart være vanskelig å velge riktig metode. I tillegg kan også flere av metodene føre fram til rett svar. Derfor kan det være lurt å sammenlikne løsninger med andre elever og diskutere ulike framgangsmåter. Her får du noen tips til hva du kan se etter, og som ofte hjelper deg på sporet av riktig løsning. Delvis integrasjon

Integrasjon ved variabelskifte

Potenser med grunntall e, for eksempel ex og e 2x .

Potenser med grunntall e og større eksponenter, for eksempel e

Integrasjon ved delbrøkoppspalting

3x þ 5

og e

Velger ofte dette som u0 :

Velger ofte eksponenten som kjernen u:

Logaritmen ln x.

Rotuttrykk, for eksempel

Velger ofte den som v.

Velger ofte det som står under rottegnet som kjernen u.

Trigonometriske uttrykk som sin x, cos x, tan x.

Trigonometriske uttrykk, for eksempel sin ð2x þ 3Þ.

Velger ofte dette som u0 :

Velger ofte det som står i parentes som kjernen u:

Brøkuttrykk der nevneren har høyere grad enn telleren. For eksempel

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4x 3.

I brøkuttrykk der telleren har lik eller høyere grad enn nevneren, må vi ofte først utføre en polynomdivisjon.

EKSEMPEL 23 Gitt følgende integraler: Z ln x dx a x2 R x2 b xe dx

2xcos ðx2 þ 3Þ dx

2x dx 4 Argumenter for valg av løsningsmetode og regn ut integralene. d

2x þ 3 . 4x2 1

Løsning: Vi bruker tipsene fra tabellen over når vi vurderer valg av integrasjonsmetode. Z ln x a dx inneholder ln x, og vi velger derfor delvis integrasjon. Z x2 R ln x dx ¼ x 2 ln x dx og sette u 0 ¼ x 2 Vi kan omskrive uttrykket 2 x og v ¼ ln x. Delvis integrasjon gir løsningen: Z Z R ln x 1 dx ¼ x 2 ln x dx ¼ x 1 ln x x 1 dx x2 x R 2 1 ¼ x ln x þ x dx ln x 1 þC ¼ x 1 ln x þ ð x 1 Þ þ C ¼ x x

256 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

xex dx inneholder en potens av e med en større eksponent, her x2 .

Vi velger integrasjon ved variabelskifte og setter u ¼ x2 . Da får vi nemlig at den deriverte av eksponenten, ðx2 Þ0 ¼ 2x, er proporsjonal med den andre faktoren, x, i uttrykket. Integrasjon ved variabelskifte gir løsningen: Z R 2 x2 du x e dx ¼ xeu 2x Z Z 1 u 1 1 1 2 ¼ e du ¼ eu du ¼ eu þ C ¼ ex þ C 2 2 2 2 c

Én av faktorene i

2xcos ðx2 þ 3Þ dx er et trigonometrisk uttrykk med mer

enn bare x. Vi bruker da integrasjon ved variabelskifte og setter u ¼ x2 þ 3. du . Dermed kan vi forkorte den andre faktoren Det gir u 0 ¼ 2x og dx ¼ 2x i uttrykket, 2x, og vi står igjen med et enklere integral som vi kan regne ut. Integrasjon ved variabelskifte gir løsningen: Z R du 2xcos ðx2 þ 3Þ dx ¼ 2xcos u 2x R ¼ cos u du ¼ sin u þ C ¼ sin ðx2 þ 3Þ þ C Z

2x dx er en brøk der nevneren har høyere grad enn telleren. x2 4 Da kan vi bruke integrasjon ved delbrøkoppspalting. Integralet kan også løses med variabelskifte, der vi setter u ¼ x2 4. Variabelskifte fører fram siden den deriverte av nevneren er proporsjonal med telleren (her samme uttrykk) da ðx2 4Þ0 ¼ 2x.

Oppgaver: 4.56–4.58

Variabelskifte gir minst føring, så vi velger den metoden: Z Z 2x 2x du dx ¼ 2 x 4 u 2x Z 1 ¼ du ¼ ln u þ C ¼ ln jx2 4j þ C u

Integrasjon ved delbrøkoppspalting 257

Oppgaver 4.50 Bestem integralene: Z 2 dx a 2 x 1 Z x b dx 2 x 3x þ 2 4.51 Bestem integralene: Z 5t þ 1 dt a 2 t þt 2 Z 2t 6 dt b t2 4t 4.52

Z c

xþ9 dx x2 9

8t dt 1

4t2

a b

ved variabelskifte

4.53 Finn det bestemte integralet på to forskjellige måter: a ved variabelskifte b

4.57

4x dx på to måter: 4 ved delbrøkoppspalting

Bestem integralet

4.56 Forklar hvilke integrasjonsteknikker du kan bruke for å regne ut disse ubestemte integralene: R 3 R 2 x a ðx þ 2xÞ dx d x e dx Z Z 2x 3 x b e dx dx 2 2 x 4x þ 3 x þ2 R c x sin x dx

2x 5 dx x2 5x þ 6

ved delbrøkoppspalting

4.54 Regn ut de ubestemte integralene for hånd. Kontroller svarene dine med CAS. Z Z 3x 7 2x2 þ x 5 dx a dx c x 4 xþ2 Z 5x2 þ 11x þ 6 b dx xþ2 4.55 Regn ut integralene for hånd og med CAS: Z 2 Z x3 3 x 1 c dx dx a x2 3x þ 2 x2 2x Z 3x2 6x dx b xþ1

Regn ut de fem integralene i oppgave 4.56 ved å bruke de teknikkene du valgte.

4.58 På en prøve har Simon og Albert svart slik: Simon: R a 2 sin x cos x dx ¼ sin 2 x þ C Z Z 1 1 1 1 dx ¼ dx ¼ ln jx 2j þ C b 2x 4 2 x 2 2 Albert: R a 2 sin x cos x dx ¼ cos 2 x þ C Z 1 1 b dx ¼ ln j2x 4j þ C 2x 4 2 Forklar til en annen elev at begge to har rett.

258 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

MØNSTER OG OVERSIKT Bestemt integral og antiderivert

Areal

Det bestemte integralet til f ðxÞ fra a til b er gitt ved

Når vi skal regne ut et areal, må vi vite om arealet ligger over eller under x-aksen. Ligger arealet både over og under x-aksen, må vi dele det opp og regne ut arealene hver for seg, før vi summerer totalarealet.

f ðxÞ dx ¼ lim

1x ! 0

b X

f ðxÞ 1x

Når f ðxÞ 0, tilsvarer dette arealet av området mellom grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ a og x ¼ b. y

y 5 f(x)

f(x) 4 3

Areal over x-aksen b

Úa a

f(x)dx

Vi regner ut et bestemt integral på denne måten: Rb a

b f ðxÞ dx ¼ FðxÞ a ¼ FðbÞ FðaÞ

–2

–1

–2

Analysens fundamentalsetning beskriver sammenhengen mellom det bestemte integralet og en antiderivert.

Et dataprogram regner ut en tilnærmingsverdi til et integral. Eksempelvis kan vi bruke CAS eller programmering med Python (med rektangler og trapes).

–1

Her er FðxÞ þ C en antiderivert til funksjonen f ðxÞ, slik at F0 ðxÞ ¼ f ðxÞ og C er en konstant.

Numerisk integrasjon

Areal under x-aksen –

Úa

f(x)dx

Areal mellom to grafer er integralet av differansen mellom de to integralene gitt ved A¼

f ðxÞ dx

gðxÞ dx ¼

Rb f ðxÞ gðxÞ dx a

f(x)

g(x) a

Mønster og oversikt 259

Ubestemt integral

R R

R Z R R R

k dx

Avgjør om påstanden stemmer

¼ kx þ C

1 2 x þC 2

xn dx

1 xn þ 1 þ C, nþ1

¼ ln jxj þ C,

e dx

¼ e þC

ekx dx

fra x ¼ a til x ¼ b. n 6¼ 1

x 6¼ 0

1 kx e þC k x

Integrasjonsmetoder Delvis integrasjon R 0 R u v dx ¼ u v u v 0 dx Integrasjon ved variabelskifte (substitusjon) 1 Velg en kjerne u. 2

Bestem u 0 .

du . u0 Forkort slik at u er den eneste variabelen.

Integrer med u som variabel.

Erstatt u med det valgte uttrykket for kjernen.

En antiderivert funksjon til en andregradsfunksjon er en tredjegradsfunksjon.

Et ubestemt integral har alltid en konstant i svaret.

Jo flere rektangler vi legger inn når vi skal finne arealet under en krum kurve, jo bedre tilnærming til svaret får vi.

ðx 5Þ er en antiderivert funksjon til 1. R x 2e dx ¼ 2ex þ C R 2 x dx er et bestemt integral, siden vi kan finne en antiderivert funksjon.

a þ C, a > 0 og a 6¼ 1 ln a R R k uðxÞ dx ¼ k uðxÞ dx R R R uðxÞ vðxÞ dx ¼ uðxÞ dx vðxÞ dx R cos x dx ¼ sin x þ C R sin x dx ¼ cos x þ C Z R 1 dx ¼ ð1 þ tan 2 xÞ dx ¼ tan x þ C 2 cos x ax dx

f ðxÞ dx er lik arealet under grafen til f

x dx

1 dx x

Erstatt d x med

Integrasjon ved delbrøkoppspalting 1 Faktoriser nevneren. 2

Del opp brøken til en sum av brøker med lineære nevnere.

Integrer.

6 7

Hvis integralet

f ðxÞ dx er positivt, må hele grafen

til f ligge over x-aksen mellom x ¼ 2 og x ¼ 8. 9

Hvis et areal ligger delvis over og delvis under x-aksen, er det ikke mulig å finne arealet ved integrasjon.

10 Det svaret vi finner ved numerisk integrasjon, er en tilnærmingsverdi.

260 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Test deg selv 4.62

Uten hjelpemidler

f(x)

4.59 Grafen til en funksjon f er gitt nedenfor.

y 4

2 f(x)

–2

b –1

c 1

–1 –3

–2

–1

Finn arealet av området mellom grafen, x-aksen og linjene x ¼ 2 og x ¼ 4.

Hvilket av uttrykkene gir arealet av det markerte området på figuren?

4.60 Kombiner riktig funksjon og antiderivert.

Funksjon

Antiderivert

f ðxÞ dx þ

3x2 þ 2x 1

1 3 x þ x2 x 3 1 3 x þ x2 2x 3

x2 þ 2x 1

x3 þ x 2 x

3x2 þ x 2

1 x3 þ x2 2x 2

4.61 Regn ut integralene: R 3 a ðx þ 2xÞ dx R 2x b ð3e þ 3 Þ dx

2 sin 3x dx

f ðxÞ dx

x2 þ 2x 2

f ðxÞ dx

4.63 Bestem integralene: R a x e4x dx R 2 b 3x ln x dx

x2 ðx3 1Þ4 dx

4.64 Bestem de ubestemte integralene: R ffiffiffiffiffi Rp 5 3 a ð3x þ 2Þ dx c x dx R 2x b e dx

Test deg selv 261

Med hjelpemidler

4.65 a

1 ln x dx. x ln x Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ . x Re Bruk resultatet fra oppgave a og regn ut f ðxÞ dx.

Vis at

1 ln x dx ¼ ðln xÞ2 x

4.66 Gitt det bestemte integralet

cos x dx.

4.68 Funksjonsuttrykket 2x2 5x þ 1 f ðxÞ ¼ x2 3x þ 2 kan skrives på formen B C þ f ðxÞ ¼ A þ x 1 x 2 a

Bestem A, B og C.

Regn ut

4.67 Funksjonene f og g er gitt ved f ðxÞ ¼ 2 5x2 og gðxÞ ¼ x3 5x2 kx þ 2. Grafene til f og g avgrenser to områder når k > 0. a b

Bruk CAS til å vise at de to områdene har like stort areal for alle verdier av k > 0. Bestem k slik at arealet av området til sammen er 18.

f ðxÞ dx.

Skriv et program og finn en numerisk tilnærmingsverdi for integralet ved å bruke metoden med trapes. Bruk n ¼ 6 for antall trapeser og sammenlikn med den eksakte verdien av integralet.

4.69 En funksjon er gitt ved pffiffiffiffiffi f ðxÞ ¼ ax 2, a>0 a

Finn nullpunktet til funksjonen uttrykt ved a.

Hva må a være for at

f ðxÞ dx ¼ 0.

Funksjonen g er gitt ved gðxÞ ¼ x2 2. c

Bestem k når du får vite at

gðxÞ dx ¼ 2.

Forklar hvorfor du får flere løsninger i c. Bruk gjerne skjermdumper fra grafikkfeltet i forklaringene.

262 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Oppgaver 4.74 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ x2 . Finn en numerisk tilnærmingsverdi for integralet:

4.1 Trappesum og areal under grafer 4.70 Gitt funksjonen f ðxÞ ¼ ln x. Finn en tilnærmingsverdi for arealet under grafen til f fra x ¼ 2 til x ¼ 8 når a

n¼5

n ¼ 10

n ¼ 100

4.71 Tegn grafen til gðxÞ ¼ x for x 2 ½0, 1 . a

Regn ut arealet under grafen til g fra x ¼ 0 til x ¼ 1 med arealformelen for trekanter.

Finn en tilnærmingsverdi for arealet ved å bruke trappesum med n ¼ 10 og n ¼ 50.

Regn ut

ðx2 þ 1Þ dx

ex dx

ð6x2 þ 2x þ 1Þ dx

Bestem øvre trappesum fra x ¼ 1 til x ¼ 3 og bruk 20 rektangler.

Finn en numerisk tilnærmingsverdi til det R3 bestemte integralet AðxÞ dx.

R4 pffiffiffi x dx

ð2x þ 3Þ dx

R2 1

4.77 Regn ut de bestemte integralene:

4.73 Regn ut de bestemte integralene: R1

Bestem nedre trappesum fra x ¼ 1 til x ¼ 3 og bruk 20 rektangler.

4.76 Finn en numerisk tilnærmingsverdi for integralet når du bruker metoden med trapes. Velg antall trapeser lik n ¼ 8.

4.75 Gitt funksjonen AðxÞ ¼ 3x2 3ex .

gðxÞ dx.

4.72 Regn ut de bestemte integralene: R1

f ðxÞ dx

ð4x 9x2 Þ dx

ð2x ex Þ dx

x2 dx

ð3t2 þ 2tÞ dt

Z4 c 2

1 dx x

Oppgaver 263

4.78

4.82 y

1 Hvilket uttrykk er en antiderivert til f ðxÞ ¼ x2 þ 4? 3 1 3 1 3 x 4x x þ 4x c a 2 9 1 3 1 3 x þ4 b x 4x d 9 2

b xi

xi + 1

4.83 Regn ut:

Figuren viser ideen bak en annen måte å beregne det bestemte integralet av f fra a til b på: Vi deler opp intervallet ½a, b i n deler. Så summerer vi rektangler hvor bredden er hvert delintervall, og hvor høyden er funksjonsverdien i midtpunktet. Skriv et program i Python som bruker midtpunktmetoden til å regne ut integralet: R5

ðx3 þ 5x 1Þ dx

Z0 1 2 1 x þx dx. 3 3

Z1 1 3 t 4t2 þ 4 dt. 3

x3 4x þ 1 dx

4.84 y 4

4.2 Bestemt integral

3 2

4.79 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x3 þ 2x.

1 Vis at en antiderivert til f ðxÞ er FðxÞ ¼ x4 þ x2 . 4

Finn arealet under grafen til f fra x ¼ 0 til x ¼ 2.

Vis at en antiderivert til gðxÞ er GðxÞ ¼ x x þ x.

Finn arealet under grafen til g fra x ¼ 1 til x ¼ 1.

4.81 a Deriver funksjonen FðxÞ ¼ 5x2 þ 4x þ 3. b

Regn ut

R2 1

ð10x þ 4Þ dx.

ð4 xÞ dx

0 2

Bruk figuren til å bestemme integralene: a

4.80 Funksjonen g er gitt ved gðxÞ ¼ 3x2 2x þ 1. 3

ð4 xÞ dx

4.85 1 a Vis at en antiderivert til sin 2x er cos 2x. 2 2 R b Regn ut sin 2x dx. 0

264 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

4.86 Regn ut integralene: a

2x3 dx

e3x þ 2 dx

R9 pffiffiffi 3 ð xÞ dx 1

4.87 1 1 1 a Deriver funksjonen FðxÞ ¼ x3 þ x2 þ x þ 3. 6 2 4 Z1 1 2 1 b Regn ut x þxþ dx. 2 4 2

4.3 Ubestemt integral 4.88 Finn de ubestemte integralene: R R a 7 dx b 20x dx 4.89 Finn de ubestemte integralene: Z R 4x 3 dx b e dx a x

4.92 Finn de ubestemte integralene: R a 3 cos x dx R b ðcos x sin xÞ dx R c 6 sin ð2x 3Þ dx 4.93 Finn de ubestemte integralene: R pffiffiffi a 3 x dx Z pffiffiffi 2 dx b x x3 Z 2 c dx e2x 4.94

En funksjon g er gitt ved gðxÞ ¼ x9 dx

Vis at funksjonsuttrykket kan skrives 4 som gðxÞ ¼ x þ . x R Finn gðxÞ dx.

ð3e þ e Þ dx x

4.90 Finn de ubestemte integralene: Z Z 2 2 dx c a dx 2 x x 2 Z 1 b dx x3 4.91 Finn de ubestemte integralene: R R a 1,72x dx c 1500 0,8x dx R b 200 1,35x dx

x2 þ 4 . x

4.95 Bestem integralene: R a cos 2 x dx R 5 b x ln x dx 4.96 Løs de ubestemte integralene: R pffiffix a e dx R pffiffiffi b sin 3 x dx

Oppgaver 265

4.4 Arealberegninger ved integrasjon

4.100 Gitt funksjonen f ðxÞ ¼ 2x ex . Finn arealet avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 0 og x ¼ 1.

4.97 Gitt en funksjon f der f ðxÞ ¼ x2 2x þ 2.

4.101 Gitt en funksjon g der gðxÞ ¼ 1 ln x. Tegn grafen til g og finn arealet av området avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene

Tegn grafen til f .

Bestem arealet mellom grafen, x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 3.

4.98 Gitt en funksjon f der f ðxÞ ¼ x2 þ 2x.

x ¼ 4 og x ¼ 6

x ¼ 1 og x ¼ 6

4.102 y

Tegn grafen til f .

Bestem arealet definert av grafen og x-aksen.

3 1

4.99 y

–2p 3p –p p – – –1 2 2

Regn ut

R1 0

2 R

f ðxÞ dx.

Finn arealet av det skraverte området fra x ¼ 0 til x ¼ 2 .

Sammenlikn og kommenter svarene i a og b.

4.103 Gitt to funksjoner f ðxÞ ¼ x2 4x þ 2 og gðxÞ ¼ x 2. a

Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem.

gðxÞ dx.

Finn arealet som er avgrenset mellom de to grafene.

Regn ut

f ðxÞ dx.

2p 5p 2

b x

Grafen til f og g skjærer hverandre i punktet ð1, 2Þ. Bruk figuren til å finne arealet av det fargelagte området. Regn ut

3p 2

Figuren viser grafen til f , gitt ved f ðxÞ ¼ 2 cos x, og et fargelagt område.

p 2

–3

–1

f ðxÞ dx þ

gðxÞ dx. Sammenlikn svaret

med svaret i oppgave a og gi en kommentar.

266 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

4.104 Gitt to funksjoner f ðxÞ ¼ x2 þ 4x 1 og gðxÞ ¼ x2 6x þ 7. a b

Tegn grafene til de to funksjonene i samme koordinatsystem. Finn arealet som er avgrenset mellom de to grafene.

4.105 y

Figuren viser grafen til en funksjon f ðxÞ. Bruk figuren til å avgjøre hvilke av integralene fra A til E som passer til arealene 1–5 nedenfor: f ðxÞ dx

f ðxÞ dx

Rb Ra

f ðxÞ dx f ðxÞ dx

4x ln x dx

e2x 4x dx

x ðx 3Þ sin dx 2

4.109 Vi bruker delvis integrasjon for å få et enklere integral enn det opprinnelige, med formelen R R 0 u vdx ¼ u v u v 0 dx Diskuter hvorfor det kan være lurt å la trigonometriske funksjoner og eksponentialfunksjoner være u’ og å la logaritmefunksjoner og polynomfunksjoner være v i formelen for delvis integrasjon.

ðln xÞ2 dx

4.111 R Bruk delvis integrasjon og bestem ln x dx. Tips: Omskriv ln x ¼ 1 ln x.

4.107 Bestem integralene: R a ðx 1Þ ex dx

4.110 Finn de ubestemte integralene: Z R 3 x ln x dx b x e dx a x4

Bestem integralet:

4.106 Bestem integralene: R a ð2x þ 1Þ sin x dx

4.108 f

4.5 Delvis integrasjon

Rb a

A1 A 2 þ A 3

A3 A2

A1 þ A2 þ A3

A1 A2

f ðxÞ dx þ

Rc b

f ðxÞ dx

4.112 Bruk gjentatt delvis integrasjon og bestem R R a ln x 6x2 dx b xðln xÞ2 dx

Oppgaver 267

4.113 Bruk delvis integrasjon to ganger og vis at: R R x a e cos x dx ¼ ex cos x þ ex sin x ex cos x dx þ C R b Bruk dette til å finne ex cos x dx. c

Kunne du løst oppgave a på en annen måte enn med delvis integrasjon?

4.120 Regn ut de bestemte integralene: a

Z2 2

ðx 1Þ dx

Z2 b 0

4.114 Forklar hva Stig gjør feil når han påstår at det R ubestemte integralet 2x ex dx har løsningen x2 ex þ C.

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 2 xþ2

2x þ 8 dx x2 þ 8x þ 15

4.121 Regn ut de bestemte integralene: Z1 R1 ex x2 c dx 2xe dx a x e þ1 0 0

4.6 Integrasjon ved variabelskifte 4.115 Bestem integralene: R a ð2x þ 5Þ3 dx 4.116 Bestem integralene: R a sin ð2x þ 5Þ dx 4.117 Bestem integralene: Z 4 dx a 2x þ 2x þ 1 4.118 Bestem integralene: Z 2 a dx ð2 xÞ2 Z 4x þ 2 dx b x2 þ x 4.119 Bestem integralene: R a cos xsin 2 x dx Z tan x b dx cos 2 x

Z2 b 6

ð5 xÞ5 dx

2 cos ð t 4Þ dt

Z b

Z c

cos x dx sin 2 x

4.122 x Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi . 2 x þ1 a

Finn det ubestemte integralet til f ðxÞ.

Regn ut arealet som er avgrenset av grafen til f , x-aksen og linja x ¼ 1.

4.7 Integrasjon ved delbrøkoppspalting

3x e dx

4.123 Bestem integralene: Z 1 dx a xþ3 Z 1 dx b 4 x

cos x dx sin x

4.124 Bestem integralene: Z 1 dx a xðx þ 2Þ Z 2 b dx 2 x 2x

2 x3

Z c

1 dx 5x þ 2

Z c

1 dx þ 6x

268 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

4.125 Bestem integralene: Z 2x 3 dx a x 2 Z x2 dx b xþ2

Z c

5 dx x 6

4.126 a

Bestem A og B slik at

Regn ut

R x2

2 A B ¼ þ . þx x xþ1

2 dx. þx

4.127 Bestem integralene: Z 7 x dx a 2 x þx 6 Z 3x 1 dx b x2 2x 3

Blandede oppgaver

Z c

5x2 5x 2 dx x3 x

4.128 Bruk polynomdivisjon og bestem integralene: Z 2 Z x þ 5x 1 x2 þ 2x a c dx dx x2 þ 2x x2 3x þ 2 Z x3 2x dx b x2 3x þ 2 4.129 Z Finn integralet

4.131 Vurder valg av integrasjonsmetode og bestem integralene: Z Z xþ1 e2x dx a dx c x ex þ 1 Z ex b dx ðex þ 1Þ2

4.132 Regn ut integralene: R R a a a dx b x dx

4.133 Regn ut integralene: a

x4 dx

sin x dx

Ze c

sin x dx

dx x

4.134 y 3

2x 3 dx på to ulike måter: 3x þ 2

ved delbrøkoppspalting

ved variabelskifte

Diskuter med en annen elev sammenhengen mellom de to svarene.

–4

–3

–2

–1

¼ ln jx 2j þ ln jx þ 2j þ C Forklar hvilken metode Lucas har benyttet i løsningen. Vis også en alternativ løsningsmetode som gir svar på det ubestemte integralet.

Bruk figuren til å bestemme k slik at: a

f ðxÞ dx ¼ 0

4.130 Lucas har løst en oppgave slik: Z Z 2x 1 1 dx ¼ þ dx x2 4 x 2 xþ2

Rk 3

f ðxÞ dx ¼

5 4

Diskuter med en annen elev.

4.135 Regn ut integralene ved å bruke delvis integrasjon: R R 2 a 2x ex dx c x ln x dx R b x sin 3x dx

Oppgaver 269

4.136

4.141 a Bruk den deriverte av sin x og cos x til å utlede formelen ðtan xÞ0 ¼ 1 þ tan 2 x.

y 5

Vis at

4 3 2 1 1

Finn arealet av det skraverte området på figuren ved å bruke a

geometri

integrasjon

tan x dx ¼ 12 ln 2.

4.142 Regn ut integralene: Z 1 a 8e7x þ pffiffiffi dx x R x2 b xe dx R 3x c e dx 4.143 y 3

4.137 En funksjon er gitt ved f ðxÞ ¼ 3x2 þ 6x. R3 a Regn ut f ðxÞ dx.

2 1

Finn arealet som er avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 3.

Forklar hvorfor svarene i a og b er forskjellige.

4.138 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 3e3xþ2 . Finn arealet som er avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 1. 4.139 Vis at a

pffiffiffi 1 pffiffiffi dx ¼ x þ C på to måter: 2 x

ved derivasjon

ved integrasjon

4.140 Skriv et program i Python og finn en tilnærmet verdi til integralet gitt ved: R1 x2 e dx 0

Tips: Bruk metoden med trapes.

1 Figuren viser grafen til f ðxÞ ¼ x þ 1 og linja x ¼ 3. 3 a

Bruk formelen for arealet av et trapes og regn ut arealet av det fargelagte området.

Regn ut

f ðxÞ dx og sammenlikn med svaret i a.

4.144 1 Vi har funksjonen hðxÞ ¼ 6 x. 2 a Tegn grafen til h. b

Bestem arealet som er avgrenset av grafen til h, x-aksen og linjene x ¼ 0 og x ¼ 8.

270 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

4.145

4.149 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ x2 þ 3x. Tegn grafen og finn en numerisk tilnærmingsverdi 5 R2 for integralet f ðxÞ dx.

y 6

5 4

4.150 La a og b være konstanter. Finn den antideriverte til:

2 1 1

Figuren viser en del av grafen til funksjonen 1 f ðxÞ ¼ x2 þ 2 og tre skraverte rektangler. 4 a Bruk CAS og nedre trappesum og finn arealet av de tre rektanglene. R3 b Regn ut f ðxÞ dx. 0

2ax 3

a pffiffiffi x

ax2 bx

5x ae x

4.151 Bestem arealet som er avgrenset av grafen til f ðxÞ ¼ ex , x-aksen og linja x ¼ 2. 4.152 y

Kommenter svarene i a og b.

Legg inn et valgfritt antall rektangler i intervallet ½0, 3 og regn ut arealet av rektanglene. Sammenlikn med svarene i a og b og kommenter forskjellen.

9 8 7 6

4.146 La f være funksjonen f ðxÞ ¼ 3x þ 2. Finn en numerisk R2 tilnærmingsverdi for integralet f ðxÞ dx. 12

4.147 Løs de bestemte integralene: a

pﬃﬃ x

pﬃﬃ Z3

f(x) = 2x + 3

5 4 3 2

1þx pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 4 x2

4.148 Gitt en funksjon gðxÞ ¼ x3 þ 1. a

Tegn grafen til g.

Bestem arealet som er avgrenset av grafen til g, x-aksen og linjene x ¼ 1 og x ¼ 1.

Bestem arealet som er avgrenset av grafen til g, x-aksen og linja x ¼ 0.

1 1

Figuren viser grafen til funksjonen f ðxÞ ¼ 2x þ 3. a

Finn arealet som er avgrenset av grafen til f , x-aksen og linjene x ¼ 0 og x ¼ 3 ved: 1

geometri

integrasjon

Oppgaver 271

Vi har gitt de to aritmetiske rekkene an ¼ 2n þ 3 og bn ¼ 2n þ 1. b

Bestem summen s3 for hver av rekkene.

Bestem gjennomsnittet av svarene du fant i b.

Forklar sammenhengen mellom svarene du fant i a og c.

4.156 Bestem integralene: Z x2 dx a x3 þ 1 Z 2x3 þ 1 dx b x4 þ 2x

Z c

4.157 4.153 a Finn konstantene A, B og C slik at: 6 4x A B C ¼ þ þ ðx 1Þðx 2Þðx 3Þ x 1 x 2 x 3 b

Bestem integralet: Z 6 4x dx ðx 1Þðx 2Þðx 3Þ

4.154 Bestem integralene: Z xþ7 dx a 2 x x 2

Z b

Regn ut det bestemte integralet

4.158 Sophie og Sky har fått i oppgave å finne det ubestemte R integralet ðx2 2xÞ ln x dx. De prøver begge å bruke derivasjonsregelen for et produkt motsatt vei og har kommet et stykke på vei i løsningen.

1 dx 1

v zfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflffl{ v z}|{ z}|{ Z zfflfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflfflffl{ 1 3 1 3 1 x x2 ln x x x2 ¼ dx 3 3 x Z 1 3 1 2 ¼ x x2 ln x x x dx 3 3 ¼ ...

y 5

g(x)

R1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 x2 dx.

Sophie: u0 v Z zfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflffl{ z}|{ 2 ðx 2xÞ ln x dx

4.155 f(x)

ex dx 2ex þ 2

Sky: v u0 Z zfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflffl{ z}|{ 2 ðx 2xÞ ln x dx

3 2

u u v zfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflffl{ zfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflffl{ Z zfflfflfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflfflfflffl{ zfflfflfflfflffl}|fflfflfflfflffl{ 2 ¼ ðx ln x xÞ ðx 2xÞ ðx ln x xÞ ð2x 2Þ dx v

¼ ... –4

–3

–2

–1

Figuren viser grafen til f ðxÞ ¼ x þ 4x þ 4 og gðxÞ ¼ x. I tillegg er området mellom grafene fargelagt. 1 R f ðxÞ dx. a Regn ut 2

Regn ut arealet av det skraverte området.

Regn ut arealet av området som er avgrenset av grafen til f , grafen til g og y-aksen.

Diskuter de to løsningene og hvilken funksjon det lønner seg å sette lik u 0 . Forklar hvilken løsning som egner seg best for å komme fram til svaret: R 2 1 3 1 1 2 x x ln x x3 þ x2 þ C ðx 2xÞ ln x dx ¼ 3 9 2

272 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

4.159 Finn et uttrykk for gðxÞ når:

4.163 y f

g 0 ðxÞ ¼ 3x2 4 og gð2Þ ¼ 0

g 0 ðxÞ ¼ 6x2 þ 2x og gð 1Þ ¼ 0

g 0 ðxÞ ¼ 4x3 3x2 þ 2x þ 1 og grafen går gjennom punktet ð2, 16Þ

A2 –2

4.160

Bruk gjentatt delvis integrasjon og bestem

1 2 x x e dx. 2

4.161 Regn ut arealet avgrenset av x-aksen, grafen til g og linjene x ¼ 0 og x ¼ 1 når: a

gðxÞ ¼ 2 þ 3

gðxÞ ¼ 1,15

Figuren viser grafen til f og områdene A1 og A2 fargelagt. Arealet A1 ¼ 3,5 og arealet A2 ¼ 11. Bestem integralene: a

f ðxÞ dx

gðxÞ ¼ 0,5

f ðxÞ dx

4.162 Gitt funksjonen f ðxÞ ¼ x2 . Del inn arealet under grafen til f i intervallet x 2 ½ 1, 1 i fire rektangler.

4.164 Bestem integralene: R 2 a ðx þ xÞ sin x dx

R pffiffiffi x ln x dx

Finn øvre og nedre trappesum. Undersøk videre, med ulikt antall rektangler, hvilke verdier du får for øvre og nedre trappesum i de ulike tilfellene. Hva tror du er den eksakte verdien til arealet under grafen til f i intervallet x 2 ½ 1, 1 ?

4.165 a Finn det ubestemte integralet: R 2 2xex dx b

Tegn grafen til 2

f ðxÞ ¼ 2xex , x 2 ½0, 2

Diskuter funnene dine med en annen elev. c

Finn arealet av området avgrenset av grafen til f , x-aksen og linja x ¼ 1. Vis løsningen både grafisk og ved regning.

4.166 Bestem a slik at

R2 1

xð3ax 4Þ dx ¼ 260.

Oppgaver 273

4.167 Maria har fått Python-koden nedenfor: 1

4.168 y 3

import random

def f(x): 4 return x**2

f’(x)

5 6

–1

a=0

b=3

–1

n = 100

–2

delta_x = (b - a)/n

for i in range(len(xverdier)): xverdier[i] = random.uniform(a, b)

Figuren viser grafen til den deriverte til funksjonen f . Finn f ðxÞ når grafen til f går gjennom punktet ð1, 4Þ.

4.169

15 16

xverdier = [0]*n

12 13

–3

10 11

summen = 0

for x in xverdier: 19 summen += f(x) 18

Bestem

sin 2 x dx på to måter:

Bruk delvis integrasjon til å vise at R R sin 2 x dx ¼ sin x cos x þ ð1 sin 2 xÞ dx

Fullfør integralet i a og vis at R x 1 sin 2 x dx ¼ sin x cos x þ C 2 2

Bruk en formel for cos 2x til å vise at 1 1 sin 2 x ¼ cos 2x 2 2

Vis at R

20 21

integral = delta_x * summen

22 23

print(integral)

Les gjennom koden. Hva tror du skjer når du kjører koden?

Skriv av og kjør koden tre ganger. Hva skjer?

Øk verdien av n til et større tall. Kjør koden igjen. Gjenta. Hva skjer?

Regn ut

x2 dx. Sammenlikn svaret med

resultatene dine ovenfor. e

Endre programmet til å beregne følgende integral numerisk: R sin x dx 0

Denne metoden for å beregne et integral numerisk kalles Monte Carlo-metoden.

1 1 sin 2 x dx ¼ x sin 2x þ C 2 4

Vis at integralene i b og d er like.

274 KAPITTEL 4 – INTEGRASJON

Øv til eksamen 4.170 Finn de ubestemte integralene: Z R x 2 c dx a 2 dx e2x Z R pffiffiffi 1 x b 1,17 dx d x dx x 4.171 (Eksamen R2 våren 2021) Bestem integralene: Z 1 a x2 þ 2x þ dx 3x R b x ln x dx c

x ln x dx

6x sin ðx2 Þ dx

4.175 (Eksamen R2 høsten 2019) Bestem integralene: R1 c a ð2x3 þ 3x 1Þ dx

2 dx ðx þ 3Þðx þ 1Þ

8x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi dx 2x2 1

4.176 (Eksamen R2 våren 2019)

ðsin x þ 1Þ cos x dx

y D

4.172 (Eksamen R2 høsten 2020) Bestem integralene: Z 1 c dx a cos x þ x R b x e2x dx

0 0

x x

Z 2x 2 2x 3 dx x2

4.173 (Eksamen R2 høsten 2018) Funksjonen f og g er gitt ved f ðxÞ ¼ sin x, gðxÞ ¼ cos x,

4.174 (Eksamen R2 våren 2020) Bestem integralene: R 2 a ðx þ 3 þ e2x Þ dx

2 2

Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ a2 x2 ,

der a > 0

Rektangelet ABCD er gitt ved at

A er i origo

Lag en skisse av grafene til f og g i samme koordinatsystem.

B er det høyre skjæringspunktet mellom grafen til f og x-aksen.

Bestem eventuelle skjæringspunkter mellom grafene til f og g.

D er toppunktet på grafen til f

Grafene til f og g avgrenser et område. c

Bestem arealet av dette området.

Vis at arealet av det fargelagte området 2 utgjør av arealet til rektangelet. 3

Oppgaver 275

4.177 (Eksamen R2 våren 2019) Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ a

4.179 En pasient får kontinuerlig tilførsel av medisin. Tilførselen er størst i begynnelsen og avtar etter hvert. Medisintilførselen kan uttrykkes ved funksjonen f gitt ved t t 0 f ðtÞ ¼ e 24 , der t er timer og f ðtÞ er antall milligram per time.

1 . x2

Bruk figuren nedenfor til å forklare at 1 1 1 1 þ þ þ ... þ 2 2 2 1 2 3 k2 y

1þ

dx,

k2N

Hvor lang tid tar det før medisintilførselen er halvert?

Forklar at M ¼

R24

f ðtÞ dt er et uttrykk for

medisinmengden M i milligram som pasienten får tilført det første døgnet. c 1

Vi skal nå se på den uendelige rekka 1 1 1 1 S ¼ þ þ þ þ ... 2 2 2 1 2 3 42 b

Bruk resultatet fra oppgave a til å begrunne at S < 2.

Bruk CAS til å bestemme en eksakt verdi for S.

4.178 Bruk gjentatt delvis integrasjon og vis at R x 2 e x dx ¼ ex ðx2 2x þ 2Þ þ C.

Regn ut det bestemte integralet M.

4.180 (Eksamen R2 våren 2010) I denne oppgaven får du bruk for den generelle sammenhengen Rb 0 F ðxÞdx ¼ FðbÞ FðaÞ a

Tabellen nedenfor viser noen funksjonsverdier for funksjonene f , g og h: x

f ðxÞ

gðxÞ

hðxÞ

7 2

Det opplyses i tillegg at f ðxÞ ¼ g 0 ðxÞ og hðxÞ ¼ g 00 ðxÞ. Bruk tabellen og tilleggsopplysningene til å finne integralene: a

f ðxÞ dx

Z1 b

hðxÞ dx 3

MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

ca. 1820

Niels Henrik Abel skrev blant annet avhandlinger om algebraiske likninger, elliptiske funksjoner og integrasjon. Både Abelkonkurransen og Abelprisen er oppkalt etter ham.

600

År 0 300 Pappos fra Alexandria regner ut overflate og volum av omdreiningslegemer

1800

1200 1640

Paul Guldin utgir verket Centrobaryca, som inneholder regler for å finne overflate og volum av omdreiningslegemer. Reglene kalles både Guldins regler og Pappos' regler, da de også var kjent av Pappos allerede rundt år 300

Hvordan kan vi regne ut volumet av et egg? Tenk, både en sylinder og en kjegle oppstår ved rotasjon av en rett linje!

3D-figurer Du trenger: GeoGebra y 4 2 -8

–6

–4

z 8

–2

–4 2

–2

–8

–6

8 x

–4

Skriv inn i algebrafeltet f ðxÞ ¼ 3, 4

Lag en glider og velg vinkel mellom 0 og 360 .

Velg visning «Grafikkfelt 3D» og huk av for «y-aksen er vertikal».

Skriv inn kommandoen «Overflate(f, )».

Trekk i glideren slik at hele 3D-figuren kommer til syne.

Velg selv et annet funksjonsuttrykk og lag nye 3D-figurer. Diskuter i klassen hvilke 3D-figurer dere kan lage av ulike funksjoner.

ca. 1820

1820

1830

1840

1850

1831

1850

James Clerk Maxwell beviser flere av samtidens oppdagelser i fysikk gjennom regning. En av dem er Faradays induksjonslov (1851)

Pafnutij Tsjebysjov (russisk matematiker) grunnlegger den matematiske skolen i St. Petersburg. Han arbeider med primtall, integrasjon og sannsynlighetsregning

278 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

5.1 Integrasjon og samlet mengde UTFORSK J(t), liter/minutt 140 120 100 80 60 40 20

A = 1610 5

10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 x, minutt

Grafen viser vannmengden JðtÞ som renner ut per minutt når vi tømmer en jacuzzi for vann. Arealet under grafen fra t ¼ 0 til t ¼ 40 er skravert og har verdien 1610. Multipliser enheten langs x-aksen og y-aksen og bruk dette til å forklare hva tallet 1610 forteller oss i praksis?

Integrasjon og samlet mengde:

Med integrasjon kan vi finne arealet under en graf. Nå ser vi på hva arealet under grafen betyr i praktiske situasjoner. Hvis vi for eksempel skal beskrive utviklingen av et salg over tid, kan vi la t være tiden gitt i uker og f ðtÞ være salget gitt i kroner per uke.

Praktisk tolkning av integraler Vi skal nå se nøyere på sammenhengen mellom enhetene på aksene og den praktiske tolkningen av arealet under grafen. Figuren øverst på neste side viser grafen til en gjenstand som i løpet av åtte sekunder øker farten jevnt fra null meter per sekund til seks meter per sekund. Enheten langs førsteaksen er sekunder, og enheten langs andreaksen er meter per sekund.

Integrasjon og samlet mengde 279 v(t), m/s 6 v(t)

5 4 3 2 1 1

9 t, s

Arealet under grafen har form som en trekant, og vi kan derfor finne arealet med formelen A¼

g h 8 s 6 m=s ¼ 24 m ¼ 2 2

Legg merke til at produktet av enhetene langs aksene blir meter. Arealet under grafen gir oss et uttrykk for strekningen gjenstanden beveger seg i løpet av åtte sekunder. Husk fra derivasjon! Samtidig vet vi at arealet under en graf i et intervall svarer til integralet i samme intervall. Dermed vil integralet til en fartsfunksjon gi strekning. Det stemmer overens med at den deriverte av strekning er fart.

Reflekter og diskuter! Grafen viser akselerasjonen til en bil. Hva forteller arealet under grafen? g(t), m/s2

t, sekunder

ðstrekningÞ0 ¼ fart ðfartÞ0 ¼ akselerasjon

280 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Samlet mengde Når produktet av enhetene på aksene gir mening i en praktisk situasjon, kan vi tolke arealet under grafen som samlet mengde. Vi finner altså enheten til den samlede mengden ved å multiplisere enhetene på aksene med hverandre.

EK SEMPEL 1 En oljetank rommer 250 liter olje. Det går hull på tanken, noe som medfører at det etter t minutter lekker ut f ðtÞ liter olje per minutt. Funksjonen f er gitt ved f ðtÞ ¼ 50 0,8t . Hvor mye olje lekker det ut i løpet av ti minutter?

Løsning: Vi finner enheten til den samlede mengden under grafen til f : liter ¼ liter minutter minutter Oljemengden som lekker ut i løpet av ti minutter, er derfor lik arealet av området avgrenset av grafen til f , førsteaksen og linjene t ¼ 0 og t ¼ 10. Vi tegner grafen til f i GeoGebra og bruker kommandoen «Integral[f,0,10]». Det gir dette resultatet: f(t), liter/minutt 60 50 40 30 20 10 Integral = 200.01 2 Oppgave: 5.1

minutter 10 12 14 16 18 20 22 24 26 t

I løpet av ti minutter lekker det ut omtrent 200 liter olje fra tanken.

Integrasjon og samlet mengde 281

Alle hjem har en strømmåler som viser strømforbruket. Strømforbruket per sekund kalles effekt og måles i kilowatt (kW). Vi skal undersøke forbruket gjennom et døgn. La funksjonen S være gitt ved SðtÞ ¼ 0,0019t3 þ 0,06t2 0,35t þ 2 SðtÞ gir effekten t timer etter midnatt. Det samlede strømforbruket i løpet av et døgn tilsvarer det bestemte integralet til S fra t ¼ 0 til t ¼ 24. Figuren nedenfor illustrerer dette. S(t), effekt (kW) 4 3,5 3 2,5 2 1,5

A ª 66

1 0,5 2

10 12 14 16 18 20 22 24 t, timer (h)

Vi regner ut det bestemte integralet med CAS: 1

Enheten til den samlede mengden finner vi ved å regne ut produktet av enhetene langs aksene: kW h ¼ kWh Strømforbruket har enheten kWh, altså er strømforbruket i løpet av dette døgnet tilnærmet 66 kilowatt-timer. SAMLET MENGDE Vi kan tolke arealet under en graf fra x ¼ a til x ¼ b som samlet mengde. Vi finner enheten til den samlede mengden ved å multiplisere enhetene på aksene. Samlet mengde ¼

Rb a

f ðtÞ dt

282 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Gjennomsnittet av en funksjon I avsnittet over har vi beregnet strømforbruket i løpet av et døgn, altså den samlede mengden. Vi kan også finne det gjennomsnittlige strømforbruket per time ved å dele det samlede strømforbruket på antall timer i døgnet: samlet strømforbruk 66 ¼ ¼ 2,75 antall timer 24 Det gjennomsnittlige strømforbruket per time er 2,75 kWh. y

GJENNOMSNITT Gjennomsnittet av en funksjon f på et intervall ½a, b er gitt ved Rb f ðxÞ dx a f ðxÞ½a, b ¼ b a Arealet under grafen i intervallet er lik produktet av intervallets bredde og gjennomsnittet av funksjonen.

EK SEMPEL 2 Elida har jobb i nabobyen som ligger 30 km unna. Hun kjører bil til jobben, og en modell for bensinforbruket er gitt ved funksjonen f ðxÞ ¼ 1,8e 2x þ 0,05, der x er antall kilometer og f ðxÞ er i liter per kilometer. a

Hvor mye bensin bruker Elida totalt på vei til jobben?

Hvor mye bensin bruker hun i gjennomsnitt per kilometer?

Løsning: a Vi regner ut integralet av f ðxÞ i intervallet x ¼ 0 til x ¼ 30 for å finne arealet under grafen til f . Det gir den samlede mengden, altså det totale bensinforbruket gitt i liter. 1

Elida bruker omtrent 2,4 liter bensin til jobben. b

Oppgave: 5.2

Gjennomsnittlig bensinforbruk er gitt ved R30 f ðxÞ dx 2,4 f ðxÞ½0, 30 ¼ 0 ¼ ¼ 0,08 30 0 30 Elida bruker i gjennomsnitt 0,08 liter bensin per kilometer.

Integrasjon og samlet mengde 283

EKSEMPEL 3 Sofie hopper i strikk fra 80 meters høyde. Farten målt i meter per sekund er gitt ved vðtÞ ¼ 9,8t, der t er tiden målt i sekunder. Vi ser bort fra luftmotstanden. a

Bestem

vðtÞ dt.

Gi en praktisk tolkning av svaret i a.

Løs likningen

vðtÞ dt ¼ 40 når x > 0.

Gi en praktisk tolkning av svaret i c.

Løsning: a Vi regner ut det bestemte integralet. 1 R1 R1 vðtÞ dt ¼ 9,8t dt ¼ 4,9t2 0 ¼ 4,9 12 4,9 02 ¼ 4,9 0

Grafen til funksjonen har langs x-aksen enheten sekund og langs y-aksen m enheten meter per sekund. Produktet av enhetene er derfor s ¼ m. s I løpet av det første sekundet etter hoppet faller Sofie 4,9 meter.

Vi løser likningen: Rx vðtÞ dt ¼ 40 0

4,9t2

x 0

Arealet under en graf har enhet lik produktet av enhetene på aksene.

¼ 40

4,9x2 4,9 02 ¼ 40 4,9x2 ¼ 40 rffiffiffiffiffiffi 40 x¼ 4,9 x 3,0 Når Sofie hopper i strikk, tar det ca. tre sekunder å falle 40 meter.

Til slutt ser vi på et eksempel der både integrasjon og en geometrisk rekke gir oss en løsning. Når vi integrerer, forutsetter vi at funksjonene er kontinuerlige. Dersom vi skal finne samlet mengde der x-verdiene egentlig ikke er sammenhengende, kan vi i stedet summere en rekke av y-verdier. Det gir et mer nøyaktig svar enn integralet.

Oppgaver: 5.3–5.5

284 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

EK SEMPEL 4 Siv begynte å jobbe da hun fylte 25 år. Hun regner med å jobbe til den dagen hun fyller 67 år. Tabellen viser årslønna til Siv fra da hun begynte å jobbe: År etter jobbstart Årslønn (kr)

603 000

617 500

632 300

647 400

663 000

Vis at en modell for årslønna til Siv x år etter at hun begynte å jobbe, er gitt ved LðxÞ ¼ 603 014 1,024x .

Når vokser årslønna med 20 000 kroner per år ifølge modellen?

Hvor mye tjener Siv til sammen i løpet av de 42 årene hun jobber?

Løsning: a Vi bruker GeoGebra og legger inn tallene i regnearket. Når vi bruker regresjonsanalyse, gir det modellen LðxÞ ¼ 603 014 1,024x .

Vi vet at den momentane vekstfarten skal være 20 000 kroner, så vi løser likningen L0 ðxÞ ¼ 20 000 med CAS: 1

Ifølge modellen vokser årslønna med 20 000 kroner per år etter om lag 14 år. c

lønn år ¼ lønn. år Dermed vil integralet under grafen til L fra x ¼ 0 til x ¼ 42 gi et estimat på den samlede lønna gjennom hele yrkeslivet til Siv. Vi finner det bestemte integralet med CAS ved å skrive «Integral(L,0,42)»: Når vi multipliserer enhetene langs aksene, får vi

Integrasjon og samlet mengde 285

Et estimat for den samlede lønna til Siv er 43,4 millioner kroner. Modellen vi bruker for dette estimatet, går langt utenfor det gitte datasettet og har derfor stor usikkerhet.

Alternativ løsning: Vi kan se på årslønna som en geometrisk rekke der a1 er lønna det første året Siv jobber, og der k er vekstfaktoren som gir en årlig lønnsøkning på 2,4 %. Da er a1 ¼ 603014 og k ¼ 1,024. Vi finner den samlede inntekten ved å summere de 42 første leddene. For å gjøre dette bruker vi CAS: 4

Et estimat for den samlede lønna til Siv er 42,9 millioner kroner, som er litt lavere enn utregningen med integrasjon.

Oppgaver: 5.6–5.8

Reflekter og diskuter! I eksempelet over brukte vi to metoder for å finne den samlede lønna til Siv. Forklar hvorfor de to metodene gir forskjellige svar.

Oppgaver 5.1 15

5.2 En dag i januar kjører Lars bil til jobb. Dieselforbruket er gitt ved funksjonen DðxÞ ¼ 2e 2x þ 0,07, der x er antall kilometer og DðxÞ er dieselforbruket i liter per kilometer.

m/s v(t)

10 5 5

10 15 20 25 30 35 40 45 s

Øystein har kjøpt ny sykkel og tar en liten prøvetur. Grafen til v viser hvordan farten varierer under turen. a

Finn arealet under grafen mellom t ¼ 0 og t ¼ 10.

Hva forteller svaret oss? R40 Bruk figuren til å finne vðtÞ dt.

Gi en praktisk tolkning av svaret i c.

Hvor mye diesel bruker bilen den første mila?

Hvor mye diesel bruker bilen i gjennomsnitt per kilometer den første mila?

286 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

5.3 En stor tank er full av vann. Åpner vi krana på tanken, renner vannet ut med farten VðtÞ ¼ 0:1 0:95t , der VðtÞ er farten i m3 =s og t er tiden i sekunder etter at krana ble åpnet. a

Tegn grafen til V og sett enheter på aksene.

Regn ut hvor mye vann som renner ut av tanken i løpet av 60 sekunder.

5.4 Henrik løper 60 minutter. Pulsen hans følger modellen f ðtÞ ¼ 0,05t2 þ 3,95t þ 75,81,

t 2 ½0, 60

5.7 Mor til Helmer er matematiker. Det året Helmer blir 15 år, bestemmer hun at månedspemgene han skal få, skal være ulik for hver av de tolv månedene. Tabellen viser månedspengene fra da Helmer fyller 15 år, og fire måneder framover. Måned Månedspenger (kr)

R60

f ðtÞ dt og gi en praktisk tolkning av svaret.

500

520

540

562

586

Finn en matematisk modell, f ðtÞ, for månedspengene til Helmer t måneder etter at han fylte 15 år.

Hvor mye har Helmer fått til sammen i månedspenger det året han er 15 år?

Her er f ðtÞ slag per minutt, og t er minutter. Regn ut

5.8 f(x), kr

5.5 Ved et uhell blir en person utsatt for radioaktiv stråling i to uker. Antall strålingsenheter per døgn personen får i seg, SðxÞ, er gitt ved funksjonen SðxÞ ¼ 300 0:975x der x er antall døgn etter uhellet.

f(x) = 73 000 · 1,025 x

80 000 70 000 60 000 50 000

Tegn grafen til S og sett enheter på aksene.

40 000

Finn arealet mellom grafen til S og linjene x ¼ 0 og x ¼ 14.

30 000

Gi en praktisk beskrivelse av det du har regnet ut.

A ≈ 303 134

20 000 10 000

5.6 Et båtfirma har en månedsomsetning gitt ved funksjonen x þ4 f ðxÞ ¼ 2 sin 6 3 der x er antall måneder regnet fra nyttår og f ðxÞ er omsetningen i millioner kroner per måned. a

Tegn grafen til f .

Finn den samlede årsomsetningen til båtfimaet.

Finn gjennomsnittlig omsetning per måned.

6 x, år

Ronja sparer til å kunne kjøpe leilighet. Hun mangler 300 000 kroner i egenkapital og har bestemt seg for å spare 73 000 kroner i året framover. a

Bruk figuren til å forklare at det tar fire år før Ronja har nok egenkapital.

Diskuter med en annen elev sammenhengen mellom samlet mengde og nedre trappesum.

Volum av omdreiningslegemer 287

5.2 Volum av omdreiningslegemer UTFORSK Jobb sammen i mindre grupper Du trenger: et hardkokt egg og eggedeler 1

Diskuter hvordan dere kan finne volumet av et helt egg?

Bruk en eggedeler og del opp egget i skiver. Forklar at volumet av egget er lik volumet av alle skivene til sammen.

Forklar at denne måten å dele inn et volum på minner om metoden med trappesum for areal.

Vi kan dele opp et hardkokt egg eller et brød i skiver. Hele volumet er da lik summen av volumene av alle skivene. Hvis vi tenker oss at vi kan dele opp i uendelig mange skiver, så minner dette om hvordan vi regnet med trappesum for areal. Vi kan altså bruke integralregning til å finne volum.

Volum av omdreiningslegemer:

På figuren har vi tegnet grafen til en funksjon f ðxÞ fra x ¼ a til x ¼ b. Når vi dreier grafen 360 om x-aksen, får vi det vi kaller et omdreiningslegeme. y f(x)

For å finne volumet av omdreiningslegemet deler vi det inn i n skiver med tykkelse 1x ¼ b a n . Alle skivene står vinkelrett på x-aksen, og avstanden fra origo til skivene er x1 , x2 , x3 , . . . , xn , der x1 ¼ a.

Omdreiningslegeme kalles også omdreiningsfigur.

288 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Skiva har form som en sylinder med radien r ¼ f ðxÞ og høyden h ¼ 1x. Volumet av en slik sylinder er 2 r2 h ¼ f ðxÞ 1x Jo flere skiver vi deler volumet av figuren i, jo nærmere kommer vi den eksakte verdien av volumet. Lar vi antall skiver gå mot uendelig, vil 1x gå mot 0. Det gir oss volumet av omdreiningslegemet uttrykt ved et bestemt integral. y

V O LUM A V O MD REI NI N GSL EGEME Vi får et omdreiningslegeme når vi roterer grafen til f om x-aksen fra x ¼ a til x ¼ b. Volumet av omdreiningslegemet er gitt ved V¼

f ðxÞ

f(x)

der f er en kontinuerlig funksjon.

EK SEMPEL 5 y 4 3 2 1 0,5

1,5

2,5

–1 –2 –3 –4

Gitt funksjonen f ðxÞ ¼ 2x. Figuren viser grafen til f mellom x ¼ 0 og x ¼ 2, der grafen er dreid 360 om x-aksen. Finn volumet av omdreiningslegemet.

Volum av omdreiningslegemer 289

Løsning: For å finne volumet til figuren regner vi ut det bestemte integralet. R2 R2 R2 2 V ¼ f ðxÞ dx ¼ ð2xÞ2 dx ¼ 4x2 dx 0

4 4 4 32 ¼ x3 ¼ 23 03 ¼ 3 3 3 3 0 Omdreiningslegemet har volumet

32 . 3

Løsning med CAS: Vi regner ut volumet av omdreiningslegemet med CAS: 1

Volumet er

32 . 3

Oppgaver: 5.9–5.12

Reflekter og diskuter! Hva kaller vi omdreiningslegemet i eksempelet over? Hvilken figur får vi hvis vi endrer definisjonsmengden til Df ¼ ½ 2, 2 ?

Vi kan bruke to funksjonsuttrykk til å definere et omdreiningslegeme. I neste eksempel lager vi en ring og finner volumet av den.

EKSEMPEL 6 Funksjonene f og g er gitt ved

f ðxÞ ¼ 2 sin x þ 2 og gðxÞ ¼ 2 cos x þ þ4 2

Et flatestykke er avgrenset av grafene til f og g samt av linjene 5 x ¼ og x ¼ . Når vi dreier flatestykket 360 om x-aksen, 6 6 får vi en ring. Tegn ringen i GeoGebra.

Beregn volumet av omdreiningslegemet.

290 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Løsning: a I algebrafeltet skriver vi «f(x)=Funksjon(2 sin x þ 2, 6 , 5 6 )» og «g(x)=Funksjon(2 cos ðx þ 2 Þ þ 4, 6 , 5 6 )». Da får vi tegnet opp 5 , . I grafikkfeltet får vi grafene til f og g i intervallet 6 6 figuren nedenfor til venstre. Den ytre delen av ringen tegner vi med «Overflate(f,2 )». Den indre delen av ringen tegner vi med «Overflate(g,2 )». Når vi åpner «Grafikkfelt 3D», får vi figuren nedenfor til høyre. 4

3 2

g z

–2

–4

–1

–2

x 1

–2

–3

–4

Volumet av omdreiningslegemet finner vi ved å ta volumet av omdreiningslegemet som den ytre grafen til f gir, minus volumet av omdreiningslegemet som den indre grafen til g gir. Vi har følgende: 5

Volum av den ytre:

Vy ¼

Volum av den indre:

Vi ¼

R6 6

f ðxÞ

R6 6

gðxÞ

Det gir volumet av ringen som helhet: 5

R6 V ¼ Vy Vi ¼ f ðxÞ 6

R6 dx gðxÞ 6

R6 5

dx ¼

f ðxÞ

2 dx gðxÞ

Vi regner ut volumet med CAS og skriver « Integral(f 2 g2 , 6 , 1

Oppgaver: 5.13–5.15

Volumet av ringen er om lag 52.

5 6 )».

Volum av omdreiningslegemer 291

Reflekter og diskuter!

Figuren viser et område avgrenset av grafene til funksjonene f og g fra x ¼ a til x ¼ b, der grafen til f ligger over grafen til g i intervallet ½a, b . Når vi roterer området 360 om x-aksen, får vi et omdreiningslegeme.

Forklar hvorfor bare ett av integralene under gir oss det riktige volumet av omdreiningslegemet. Rb Rb 2 2 2 f ðxÞ gðxÞ dx f ðxÞ gðxÞ dx a

Vi kan bruke regresjon til å finne volumet av bygninger, gjenstander eller former som vi finner i virkeligheten. Ved å ta et bilde og bruke regresjonsanalyse i GeoGebra kan vi lage et omdreiningslegeme som illustrerer virkeligheten. I neste eksempel bruker vi bygningen «The Gherkin» i London til å vise dette.

EKSEMPEL 7 I London finner vi bygningen «The Gherkin». Bygningen er 180 meter høy, og på toppen er det en rund glassflate med diameter 2,4 meter. Bygningen har på det tykkeste en radius lik 57 meter. Finn et bilde av «The Gherkin». Bruk GeoGebra og regresjon til å lage en matematisk modell som du kan bruke til å lage et omdreiningslegeme som illustrerer bygningen. Hvor stort volum har bygningen ifølge din modell?

Løsning: Vi løser oppgaven med GeoGebra.

Vi velger ut et bilde og roterer det slik at høyden til bygningen blir liggende langs x-aksen.

Vi gjør bildet gjennomsiktig og flytter det slik at sentrum av grunnflaten i bygningen ligger i origo.

Vi bruker punktverktøyet til å plassere punkter jevnt langs bygningen.

Vi markerer punktene og lager en liste.

292 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Med verktøyet «Regresjonsanalyse» kan vi prøve oss fram med ulike funksjonstyper. Vi velger en fjerdegradsfunksjon som passer godt til punktene. Slik vises det i GeoGebra: 100

f(x) f(x) = –0,000 000 14x4 + 0,000 025x3 – 0,0023x2 +0,105x +55,4

60 A

20 20

–20

100

120

140

160

180

200 220 x

–40 –60 –80

Vi bruker funksjonen f og lager et omdreiningslegeme ved å rotere funksjonen 360 om x-aksen. Da får vi en modell av bygningen. f (x) 100

H I J K

200

Løsning med CAS: Vi regner ut volumet med CAS.

Oppgaver: 5.16–5.17

Ifølge modellen er volumet av bygningen om lag 1 396 000 m3 .

Volum av omdreiningslegemer 293

UTFORSK Du trenger: GeoGebra og 3D-printer Bruk GeoGebra til å lage en modell av et omdreiningslegeme som du kan skrive ut på en 3D-printer. Modell av figur

3D-printet figur

y 4

f(x) = cos x + 3

–2

2 z

–2 –4

x=0

x = 2p

Åpne GeoGebra og velg selv et funksjonsuttrykk som du skal bruke til å lage en modell av et omdreiningslegeme.

Bruk CAS og finn volumet av ditt omdreiningslegeme.

Lagre filen av modellen slik at du kan skrive den ut på en 3D-printer. Velg «Fil», «Last ned som . . .» og «3D print(.stl)».

Last din .stl-fil inn i et 3D-utskriftsprogram og skriv ut modellen.

Beregn volumet av den ferdige figuren med Arkimedes’ lov ved å senke den ned i vann.

Lag en utstilling på skolen med figurer fra hele klassen.

Oppgaver 5.9 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ 2e x . Grafen til f dreier vi 360 om x-aksen.

5.10 Gitt funksjonen f ðxÞ ¼ ex . a

Tegn grafen til f når x 2 ½ 1, 1 .

Finn volumet av omdreiningslegemet som vi får mellom x ¼ 0 og x ¼ 2.

Roter grafen 360 om x-aksen og tegn omdreiningslegemet.

Bruk GeoGebra, tegn figuren og sjekk svaret ditt.

Finn volumet av omdreiningslegemet.

294 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

5.11 Gitt funksjonen f ðxÞ ¼ sin x, x 2 ½0, Beregn volumet av omdreiningslegemet som framkommer når grafen roterer én gang om x-aksen. 5.12 Diskuter med en annen elev hvilket funksjonsuttrykk som hører til hvilket omdreiningslegeme: 1

f ðxÞ ¼ sin x

2 3

gðxÞ ¼ 0,1x2 pffiffiffi hðxÞ ¼ 0,1 x

iðxÞ ¼ 0,1e x

5.13 pffiffiffi Gitt funksjonene f ðxÞ ¼ x og gðxÞ ¼ x2 . y 1 f 0,5 g

0,5

1 x

Beregn volumet av omdreiningslegemet som framkommer når vi dreier flatestykket avgrenset av grafene til f og g om x-aksen. C

5.14 Gitt funksjonene f ðxÞ ¼ x2 og gðxÞ ¼ x þ 6. En flate blir avgrenset av grafene til f , g og x-aksen. Når vi roterer flaten 360 om x-aksen, får vi et omdreiningslegeme. Lag en modell i GeoGebra og finn volumet av 3D-figuren.

5.15 y

–r

Vi kan lage en kule ved å rotere en halvsirkel 360 om x-aksen. Halvsirkelen på figuren er gitt ved pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðxÞ ¼ r2 x2 . Vis at formelen for volumet av en kule med radius r 4 er V ¼ r3 . 3

Volum av omdreiningslegemer 295

5.16 Velg selv en bygning eller form som du bruker GeoGebra til å lage en modell av.

5.18 4

Finn et bilde på Internett og legg det inn i GeoGebra. Pass på at aksene stemmer med dimensjonene på figuren fra virkeligheten.

2 1

Lag et omdreiningslegeme som modell og beregn volumet av den bygningen eller formen som du valgte.

–4

–2 –1

Sammenlikn de ulike modellen i klassen.

–2

5.17 Funksjonene f , g og h er gitt ved 2 þ 0,2, x 2 ½0, 6 0,7 þ 0,2e5x pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gðxÞ ¼ 1,2 x 6 þ 0,2, x 2 ½6, 14 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi hðxÞ ¼ 1,2 x 7 þ 0,2, x 2 ½7, 14

–3 –4

f ðxÞ ¼

En torus er det omdreiningslegemet som vi får når vi roterer en sirkel i xy-planet 360 om x-aksen.

Tegn grafene til funksjonene i de oppgitte intervallene.

Figuren viser en torus laget på denne måten, der radius i sirkelen er r ¼ 1, og der avstanden fra origo til sentrum av sirkelen er R ¼ 2.

Bruk kommandoen «Overflate(<Funksjon>,<Vinkel>)» til å dreie arealet under grafene om x-aksen. Vis at omdreiningslegemet har form som et vinglass.

En annen måte å lage en torus på er å starte med et rektangel og «lime» sammen to og to sider, slik figuren under illustrerer.

Vi lar enheten langs aksene være cm. c

Gjør nødvendige beregninger for at glasset skal kunne fylles med væske, og finn volumet av materialet glasset er laget av.

Hvor mye væske kan vi fylle i glasset før det renner over?

Vi ønsker å bruke de samme funksjonsuttrykkene for f , g og h, men vil gjøre glasset høyere slik at det maksimalt kan inneholde 200 ml væske før det renner over. e

Bestem høyden på glasset da.

Forklar at overflatearealet av torusen er A ¼ ð2 rÞ ð2 RÞ ¼ 4 2 Rr. Regn ut overflatearealet.

Forklar at volumet av omdreiningslegemet er V ¼ ð r2 Þ ð2 RÞ ¼ 2 2 Rr2 . Regn ut volumet av torusen.

296 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

5.3 Modellering og regresjon UTFORSK Grafene nedenfor viser

en andregradsfunksjon

en logistisk funksjon

en tredjegradsfunksjon

en trigonometrisk funksjon

en eksponentialfunksjon

en potensfunksjon

Hvilken funksjon passer til hvilken graf? 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

2 1

3 1 –4

–2 –1 –3 –5

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

–2

5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

Matematiske modeller:

–1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

4 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x

y 5

Matematisk modellering handler om å løse problemer fra virkeligheten. Når disse er for sammensatte til at vi klarer å løse dem direkte, lager vi en modell av situasjonen. Vi oversetter problemet til matematisk språk ved hjelp av likninger, funksjoner, grafer og dataprogrammer. Så leter vi etter en løsning på det matematiske problemet. Svaret tolker vi tilbake til virkeligheten. Det er denne prosessen vi kaller matematisk modellering.

Modellering og regresjon 297

problem i virkeligheten

oversette

matematisk problem

løse

svar

tolke

løsning på problem

Når vi utarbeider modellen, bruker vi et datamateriale, som vi analyserer og tolker. Vi lager så en matematisk beskrivelse av sammenhengene i datamaterialet. De ulike trinnene i en modelleringsprosess er følgende: 1

Forenkle og avgrense problemet Vi analyserer problemet. Hvilke variabler kan ha betydning? Er noen mindre viktige? Hvordan kan vi avgrense og forenkle problemet uten at usikkerheten blir for stor?

Innhente data og definere størrelser og variabler Vi innhenter data og definerer størrelser og variabler. Ofte må vi gjøre antakelser og valg slik at situasjonen blir mer strukturert og presis.

Oversette til matematisk språk Vi bruker dataene til å lage en modell. Det innebærer å oversette sammenhenger fra virkeligheten til et matematisk språk, for eksempel i form av likninger eller funksjoner. Her er regresjon et nyttig verktøy.

Løse problemet matematisk Vi forsøker å bruke modellen vi har laget, til å løse problemet.

Tolke løsningen og vurdere gyldigheten til modellen Vi tolker den matematiske løsningen i en praktisk sammenheng og vurderer om vi kan stole på resultatene modellen gir oss.

Innsamling av data Når vi jobber med problemstillinger fra virkeligheten, tar vi utgangspunkt i en samling med observasjoner. Når disse datasettene er store, bruker vi digitale verktøy til å analysere dem. Datasettene kan vi få fra ulike statistikkleverandører, for eksempel Statistisk sentralbyrå. Når vi ikke finner de dataene vi trenger, kan vi gjøre målinger selv. Et forsøk som inneholder bevegelse, kan vi filme. Så bruker vi en programvare for å spore bevegelsen og logge dataene direkte fra filmen. Når vi bruker én eller flere sensorer for å gjøre observasjoner, bruker vi også en datalogger for å innhente data. I eksempelet nedenfor bruker vi en Microbit som datalogger. Laboratorier har gjerne mer avanserte dataloggere.

298 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

EK SEMPEL 8 Gjennomfør et forsøk der du måler hvordan temperaturen i en kopp med varmt vann endrer seg når koppen står i romtemperatur.

Løsning: Vi gjennomfører et forsøk ved å legge en Microbit i en kopp varmt vann og måle temperaturen med det innebygde termometeret når vannet avkjøles i romtemperatur. På Microbit legger vi denne koden: 1 2 3

import microbit as mb import time

4 5

fil = 'vanntemperatur.csv'

with open(fil, 'w') as f: # Åpner fila for skriving. innhold = "# Vanntemperatur \n" teller = 0 while True: # Henter temperatur fra termometeret. t = mb.temperature() # Lager en linje til datasettet med tid og temperatur. data = str(teller)+';'+str(t)+'\n' print(data) # Skriver til konsoll så vi kan overvåke forsøket. # Lagrer datalinja. innhold += data teller += 1 # Avslutter når vi trykker på knapp A. if mb.button_a.was_pressed(): break time.sleep(60) # Venter ett minutt. # Skriver datalinjene til fil. f.write(innhold)

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Vi kobler Microbit til en PC med programmet «Thonny». Vi velger «MicroPython (BBC micro:bit)», som tolker og kjører programmet. Etter 100 minutter trykker vi på knapp A på Microbit. Til slutt kopierer vi fila «vanntemperatur.csv» fra Microbit til PC-en. Resultatet av forsøket er en csv-fil med 100 linjer som starter slik:

Oppgave: 5.19

# tid og vanntemperatur 0;84 1;83 2;81 3;80 4;79 5;78 6;77...

Modellering og regresjon 299

Når vi har fått et datasett, kan vi enten regne direkte på datasettet eller lage en modell for sammenhengen i datasettet og så regne videre på modellen. I neste eksempel bruker vi datasettet direkte, uten modellering. Eksempelet er hentet fra fysikk og handler om magnetfelt og fluks.

EKSEMPEL 9 Trond Simen slipper en stavmagnet gjennom en spole. Spolen er koblet til et voltmeter. Filen «spenning.csv» inneholder målingene han gjør. Fra Faradays lov vet Trond Simen dette:

Spenningen er proporsjonal med farten til magneten. Farten øker etter som magneten faller. Spenningen induseres over en kortere tidsperiode på vei ut av magneten. Derfor skal tallverdien til y i toppunktet være litt større enn tallverdien til y i bunnpunktet.

- V +

Arealene over og under x-aksen skal være like store.

Undersøk om dataene fra forsøket stemmer med Faradays lov.

Løsning: Vi skriver et program i Python der vi laster inn datasettet med Pandas og konverterer kolonnene til to lister, se linje 4–7. Vi plotter grafen «spenningen mot tid», se linje 11. 1

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

3 4

# Laster inn datasettet fra forsøket.

df = pd.read_csv('spenning.csv', comment = "#", sep = ";", decimal = ".")

6 7

# Konverterer kolonnene med data til lister.

tid = df['Tid'].tolist()

spenning = df['Spenning'].tolist()

10 11

plt.plot(tid, spenning)

plt.show()

300 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Dette gir denne grafen:

Vi undersøker ekstremalverdiene til spenningen: 1 2

import pandas as pd

df = pd.read_csv('spenning.csv', comment = "#", sep = ";", decimal = ".")

4 5 6 7 8 9

tid = df['Tid'].tolist() spenning = df['Spenning'].tolist() print(f'Maksimalverdien av spenningen: {max(spenning)} V.') print(f'Minimumsverdien av spenningen: {min(spenning)} V.')

Når vi kjører programmet, får vi dette Maksimalverdien av spenningen: 0.49 V. Minimumsverdien av spenningen: -0.29 V. Vi ser at absoluttverdien i toppunktet er større enn absoluttverdien av bunnpunktet. Dette stemmer med Faradays lov. Hvis arealene over og under x-aksen er like store, blir integralet over hele området null. Vi integrerer datasettet: 1 2

import pandas as pd

df = pd.read_csv('spenning.csv', comment = "#", sep = ";", decimal = ".")

4 5 6 7

tid = df['Tid'].tolist() spenning = df['Spenning'].tolist()

Modellering og regresjon 301

# Integrerer fra starten til slutten av datasettet.

integral = 0

10 11

for i in range(len(tid) - 1):

trapes = (tid[i + 1]- tid[i])*(spenning[i] + spenning[i + 1])/2

integral += trapes

14 15

print(f'Integralet er {integral:.4f}.')

Vi kjører programmet og får at integralet er 0,0037. Også dette stemmer godt med Faradays lov.

Modellering med regresjon Regresjon er å finne et funksjonsuttrykk som tilnærmet passer med et datasett. Funksjonsuttrykket bruker vi som modell på sammenhengen mellom størrelsene i datasettet. Vi bruker modellen til å drøfte situasjonen datasettet er hentet fra. Når vi modellerer med regresjon, markerer vi først dataene som punkter i et koordinatsystem. I GeoGebra skjer dette automatisk når vi velger regresjonsanalyse. Hvordan punktene ligger i forhold til hverandre, forteller mye om hva slags modell som egner seg. Hvis flere modeller passer omtrent like godt til dataene våre, velger vi den enkleste av dem. Kunnskap om situasjonen eller fenomenet vi modellerer, er også avgjørende for å kunne velge rett modell.

EKSEMPEL 10 Eirik og Martin vil modellere bilens bremselengde på tørr asfalt. De finner en rett veistrekning med lite trafikk og måler bremselengden ved ulike hastigheter: Hastighet, v ðkm=tÞ

Bremselengde, l ðmÞ

4,3

7,7

12,1

17,4

23,6

30,9

Lag en modell for bremselengden l som funksjon av farten v.

Oppgaver: 5.20–5.21

302 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Løsning: Vi skriver inn dataene i regnearket i GeoGebra og bruker regresjonsverktøyet. En andregradsfunksjon treffer punktene godt.

Dermed kan en god modell for bremselengden være: lðvÞ ¼ 0,0048v2 þ 0,007v 0,1964 En ulempe med denne modellen er at vð0Þ ¼ 0,1964. Vi får altså negativ bremselengde når farten er null. Svaret burde jo vært null. Vi prøver med flere modeller og finner en potensfunksjon som passer godt: lðvÞ ¼ 0,0046v2,009 Vi tegner grafen til modellen sammen med målingene: 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

l, bremselengde

l(v)

v, fart (km/t) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Modellering og regresjon 303

Potensfunksjonen stemmer like godt med målingene som andregradsfunksjonen. Dessuten gir den bremselengden null når farten er null. Vi konkluderer derfor med at potensfunksjonen egner seg best som modell. Ifølge fysikkens lover skal bremselengden være proporsjonal med kvadratet av farten. Dette stemmer også bra med potensmodellen, siden 0,0046v2,009 0,0046v2 . Kunnskap om fenomenet som vi modellerer, hjelper oss altså med å vurdere hvilken modell som egner seg best.

Oppgaver: 5.22–5.23

Vi bruker det eksterne biblioteket SciPy til å utføre regresjon i Python: Vi lager to lister med verdiene i datasettet. Så definerer vi et funksjonsuttrykk vi tror kan passe. Vi bruker kommandoen curve_fit til å finne verdien av parametrene som inngår i funksjonsuttrykket.

EKSEMPEL 11

Karsten har målt vanndybden på et skjær utenfor havna i Ulsteinvik et døgn i februar 2021. Resultatet av målingene er vist i tabellen nedenfor: Klokkeslett Høyde (cm)

00.00 02.00 03.00 06.00 07.00 09.00 12.00 13.00 15.00 16.00 19.00 21.00 22.00 24.00 114

140

156

167

123

103

141

Legg inn datasettet i Python. Analyser dataene og lag en modell for vanndybden.

Hvordan passer din modell med informasjonen om vanndybden kl. 16:00?

Regn ut f 0 ð16Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

164

161

131

304 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Løsning: a Vi avmerker timer langs x-aksen og dybder langs y-aksen med følgende kode: 1

import matplotlib.pyplot as plt

2 3 4

timer = [0, 2, 3, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 16, 19, 21, 22, 24] dybde = [114, 94, 96, 140, 156, 167, 123, 103, 83, 88, 141, 164, 161, 131]

5 6 7

plt.plot(timer, dybde, 'x') plt.show()

Det gir spredningsdiagrammet nedenfor:

160

140

120

100

80 0

Vanndybden varierer ut fra en likevektslinje. Vi modellerer derfor datasettet med en harmonisk funksjon. Vi lar Python finne verdiene for parametrene i funksjonsuttrykket: import matplotlib.pyplot as plt import scipy.optimize as opt 3 import numpy as np 1 2 4 5 6 7 8 9

def f(x, A, c, fi, d): return A*np.sin(c*x + fi) + d timer = [0, 2, 3, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 16, 19, 21, 22, 24] dybde = [114, 94, 96, 140, 156, 167, 123, 103, 83, 88, 141, 164, 161, 131]

popt, pcov = opt.curve_fit(f, timer, dybde) 12 print(popt) 11

Modellering og regresjon 305

Når vi kjører koden, får vi dette resultatet: [-38.55406131 0.49894464 6.69831672 126.89140514] Det betyr at modellfunksjonen er f ðxÞ ¼ 38,554sin ð0,499x þ 6,698Þ þ 126,89 b

Vi regner ut og får f ð16Þ ¼ 38,554sin ð0,499 16 þ 6,698Þ þ 126,89 93,9 Vanndybden kl. 16:00 er faktisk 88 cm, mens modellen gir 94 cm, altså 7 % for høyt.

Vi regner ut og får f 0 ð16Þ 9,97. Dette forteller at dybden øker med omtrent 10 cm per time kl. 16:00.

Når vi bruker modeller som går utenfor et gitt dataområde eller datasett, sier vi at vi ekstrapolerer. Usikkerheten blir større når vi bruker verdier langt unna verdier i datasettet. Motsatt kaller vi det å interpolere når vi bruker modeller innenfor datasettet. Når vi bruker modeller til å beskrive utvikling framover i tid, ekstrapolerer vi. Da er det viktig å vurdere resultatene kritisk. Jo lenger fram i tid vi går, jo større blir usikkerheten. De verdiene vi kan bruke og være rimelig sikre på at gir et brukbart resultat, kaller vi gyldighetsområdet til modellen. Vi tar med et eksempel som viser hvordan vi kan bruke modellen til å løse relevante problemer.

EKSEMPEL 12 Tabellen viser en bedrifts utslipp av giftige gasser per år x etter 2010: År etter 2010

Utslipp (tonn)

500

387

300

232

180

139

Bruk regresjon til å vise at en passende modell for utslippet er f ðxÞ ¼ 500 0,88x .

Regn ut f 0 ð2Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

Bestem

R10 0

f ðxÞ dx og forklar hva svaret forteller.

Oppgave: 5.24

Interpolere Vi bruker modellen innenfor dataområdet. Ekstrapolere Vi bruker modellen utenfor dataområdet. Gyldighetsområde Verdiene som modellen er gyldig for.

306 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Løsning: Vi løser oppgaven med GeoGebra. a

Vi skriver inn datasettet i regnearkdelen og bruker regresjonsanalyse. Når vi velger en eksponentiell modell, passer punktene fra datasettet bra, og vi får modellen f ðxÞ ¼ 500 0,88x .

Vi bruker CAS til å regne ut f 0 ð2Þ. 2

Svaret forteller at i 2012 reduserer bedriften utslippet med ca. 50 tonn per år. c

Vi regner ut det bestemte integralet.

550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50

y Utlipp i tonn

f(x) = 500 · 0,88 x, Df = [0,20]

2821.49 x 2

Oppgaver: 5.25–5.25

8 10 12 14 16 18 20 År etter 2018

Det bestemte integralet svarer til arealet under grafen til f . Arealet illustrerer den samlede mengden, altså er bedriftens utslipp i disse ti årene, totalt om lag 2822 tonn.

Modellering og regresjon 307

Oppgaver 5.19 Du skal samle inn data fra et avkjølingsforsøk.

5.21 Lag ditt eget spektrofotometer!

Legg et termometer som er koblet til en datalogger, i en kopp med vann, og sett koppen i fryseren. Alternativt: Legg en Microbit i en pose i en kopp med vann, og sett koppen i fryseren.

Denne oppgaven passer det å gjøre i grupper, gjerne tverrfaglig med kjemi. Dere skal undersøke lysgjennomstrømmingen i en væske og lage en matematisk modell basert på data dere innhenter.

Når datasettet er ferdig, laster du det inn i Python og lager et spredningsdiagram.

5.20 Du skal sammenlikne CO2 -utslipp per person i Norge med andre land. Gå til nettsiden til Global Carbon Atlas:

Hvis dere samarbeider med kjemi, er det best å bruke nitrittløsninger, hvis ikke kan dere bruke konsentrert saft som blandes ut. I tillegg trenger dere vann, glass, skrivesaker, lyssensor (for eksempel Adafruit Circuit Playground), lommelykt og en skoeske eller egnet stativ. a

Sett opp utstyret, for eksempel slik figuren nedenfor viser.

Bland fire glass nitrittløsninger/saft med ulik konsentrasjon. Noter ned konsentrasjonen i hvert glass.

Mål lysgjennomstrømming for hvert av glassene og noter resultatene i tabellen:

http://www.globalcarbonatlas.org/en/CO2-emissions Under «Units» velger du tonn CO2 per person (t CO2 /person). Under «Countries» velger du Norge og minst to andre land du vil sammenlikne med. Trykk så på «Download» og last ned csv-fil. Åpne csv-fila og slett linjer slik at du bare har tabellen og linja med overskrifter. Starten av csv-fila skal se omtrent slik ut: 1 2 3 4

Tid;Afghanistan;New Zealand;Norway 1960;0.046002138719323; 4.8604185966921;3.652972625036 1961;0.053525799369861; 4.8493316601116;3.6928720134827 1962;0.073634640907214; 4.5205492170795;3.8635857782321

Nitrittløsning/saftblanding

Skriv et program i Python som bruker Pandas til å laste inn datasettet ditt.

Utvid programmet slik at det tegner grafen som viser hvordan CO2 -utslippet per person har utviklet seg for de landene du har valgt.

Beskriv med egne ord utviklingen for de landene du har valgt.

Lysgjennomstrømming

Bruk regresjon og lag en matematisk modell for lysgjennomstrømmingen.

Undersøk modellens gyldighet med en tilfeldig nitrittløsning/saftblanding.

Diskuter modellens gyldighet og eventuelle feilkilder i klassen.

308 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

5.22 Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengden og vekten til en type firfisler: Lengde ðcmÞ Vekt ðgÞ

2,5

10,7

20,61

5.24 Fila «folketall.csv» inneholder folketallet i Norge ved inngangen av hvert år i årene 2010–2020. La t være antall år etter 1. januar 2010 og f ðtÞ være folketallet i antall tusen. a

Bruk datasettet til å vise at f ðtÞ er tilnærmet gitt ved: f ðtÞ ¼ 2,1t2 þ 72t þ 4850

Vis at potensfunksjonen f gitt ved f ðxÞ ¼ 0,274x1,6 er en modell som passer godt med tallene i tabellen.

Når passerte folketallet 5 millioner?

Tegn grafen til funksjonen fra 2010 til 2020.

Hvor mye veier en firfisle som er 8 cm lang?

Regn ut f 0 ð10Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

Hvor lang er en firfisle som veier 30 gram?

Vurder gyldigheten til estimatene i oppgave b og c. Hvilket estimat mener du er det sikreste?

Hva mener du om modellens gyldighet framover? Undersøk om du kan finne andre prognoser å sammenlikne med.

5.23 Linnea har hørt at bremselengden til en bil er proporsjonal med kvadratet av farten. Hun sender storebroren sin ut på veien med en lånt bil. Broren bråbremser ved ulik fart, og Linnea måler bremselengden: Fart ðkm=tÞ

Bremselengde ðmÞ

3,1

7,2

12,6

28,9

49,7

Vi lar v være farten og l være bremselengden.

5.25 Et firma har startet produksjon av leke-spinnere. Firmaet beregner at antall solgte spinnere per uke kan beskrives med funksjonen SðxÞ ¼ 300xe 0,1x ,

x 2 ½0, 52

der x er antall uker etter salgsstart. a

Tegn grafen til S.

Hvor mange spinnere selger firmaet per uke etter tolv uker?

Regn ut

R52

SðxÞ dx. Hva er dette svaret en

Bruk regresjon i GeoGebra til å finne en andregradsmodell for bremselengden.

Finn også en potensmodell for bremselengden.

Bruk hver modell til å anslå bremselengden når farten er 120 km=t.

Vurder hvilken av modellene som egner seg best. Er det riktig å si at bremselengden er proporsjonal med kvadratet av farten?

tilnærmet verdi for? Hvor mange spinnere selger firmaet i gjennomsnitt per uke dette første året?

Modellering med Eulers metode 309

5.4 Modellering med Eulers metode UTFORSK Du trenger: PC med Python 1

Forklar for en medelev hva programkoden nedenfor gjør. Hva blir resultatet? 1

import matplotlib.pyplot as plt

2 3

xstart = 0

xslutt = 5

ystart = 10

delta_x = .1

k = 1.08

xverdier = []

yverdier = []

10 11

x = xstart

y = ystart

13 14

while x <= xslutt:

xverdier.append(x)

yverdier.append(y)

x = x + delta_x

y = y + delta_x * k * y

19 20

plt.plot(xverdier, yverdier)

plt.show()

Skriv av og kjør koden. Gjør koden det du trodde?

Forandre på koden slik at kurven går gjennom ð0, 500Þ og vokser til omtrent 100 000 når x ¼ 5.

310 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Modellering i Python laster inn datasett i Python tegner spredningsdiagram vurderer hvilken matematisk modell vi vil bruke skriver koden med modelleringsalgoritmen sammenlikner datasettet med modellen justerer koden

En annen metode for modellering er å skrive et program i Python som lager x- og y-verdier som tilnærmet passer med datasettet vi jobber med. I R1 brukte vi en egen modelleringsalgoritme for dette: Vi setter opp startverdier for x og y, hvor tett vi vil ha punktene, og en største verdi for x, se linje 1–7 på figuren:

xstart = xslutt = 3 ystart = 4 delta_x = 1

Setter opp startverdier.

5 6 7

x = xstart y = ystart

while x <= xslutt: x = x + delta_x 11 y = y + 9

Bygger opp funksjonsverdiene.

Modellering med Eulers metode:

Modellen beskriver hvordan endringen i y er. Endringen er forskjellig fra modell til modell.

I løkka bygger vi opp x- og y-verdiene: Vi øker x med 1x. Det er modellen som beskriver hvordan y øker, altså hva 1y er. Vi bruker Eulers formel, som sier dette: 1y 1x y 0 Uttrykket for y 0 er forskjellig fra modell til modell. Vi skal nå vise hvordan dette kommer til uttrykk, ved å modellere med to av Newtons lover.

Newtons avkjølingslov Newtons avkjølingslov sier at når noe avkjøles, så er temperaturendringen proporsjonal med temperaturforskjellen til omgivelsene. Vi lar y være temperaturen i et stoff som avkjøles i et rom med romtemperatur T grader. Temperaturforskjellen er y T. Den deriverte, y 0 , er et mål på temperaturendringen. Avkjølingsloven gir y0 ¼k y T der k er en konstant, gjerne kalt proporsjonalitetskonstanten. Dette gir y 0 ¼ k ðy TÞ 1y , og multipliserer vi med 1x, får vi 1x 1y 1x y 0 ¼ 1x k ðy TÞ

Vi vet at y 0

Modellering med Eulers metode 311

EKSEMPEL 13 Anette setter fra seg en kopp varmt vann på benken i et rom som holder temperaturen 27 C. Hun måler temperaturen i vannet hvert minutt i 100 minutter. Temperaturdataene er lagret i fila «vanntemperatur.csv». a

Bruk Newtons avkjølingslov til å modellere temperaturen i vannet.

Da Anette helte vannet i koppen, var temperaturen 92 grader. Hvor lang tid tok det før hun satte fra seg koppen på benken og første temperaturmåling ble registrert?

Løsning: a Vi skriver et program i Python basert på modelleringsalgoritmen. Først laster vi inn datasettet med Pandas og lagrer verdiene for tid og temperatur i to lister. Deretter setter vi opp startverdiene i modelleringsalgoritmen: Vi henter verdien av xstart og ystart fra første måleverdi i datasettet, linje 9 og 10. Vi lar xslutt være siste måleverdi for tiden, se linje 11. Vi setter 1x ¼ 1, og vi gjetter på k ¼ 0,1, se linje 12 og 14. import matplotlib.pyplot as plt 2 import pandas as pd 1

3 4

df = pd.read_csv('vanntemperatur.csv', sep = ';', decimal = '.', comment = '#')

5 6

tid = df['Tid'].tolist()

temperatur = df['Temperatur'].tolist()

8 9

xstart = tid[0]

ystart = temperatur[0]

xslutt = tid[-1]

deltax = 1

13 14

k = -0.1

T = 27

16 17

xverdier = []

yverdier = []

19 20

x = xstart

y = ystart

312 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

while x <= xslutt: 24 xverdier.append(x) 25 yverdier.append(y) 23

x = x + deltax y = y + deltax * k * (y - T)

27 28 29 30

plt.plot(tid, temperatur, 'x')

plt.plot(xverdier, yverdier)

plt.show()

Når vi kjører programmet, får vi dette:

80 70 60 40 40 30 0

100

Vi ser at k ¼ 0,1 ikke passer særlig godt, så vi prøver med andre verdier av k. Vi finner ut at det passer ganske godt med k ¼ 0,019. Det gir følgende graf:

80 70 60 50 40 0

100

Modellering med Eulers metode 313

Vi bruker samme modelleringsalgoritme, men erstatter startverdien for y med 92. Vi stopper løkka når y har nådd 84, som var temperaturen i første målepunkt. 1

xstart = 0

ystart = 92

deltax = 0.01

4 5

k = -0.019

T = 27

7 8

x = xstart

y = ystart

10 11

while y > 84:

x = x + deltax

y = y + deltax * k * (y - T)

14 15

print(x)

Når vi kjører programmet, får vi «6.919999999999897». Det tok altså om lag 7 minutter fra Anette helte vannet i koppen, til første temperaturmåling.

Newtons 2. lov Vi skal nå bruke Newtons andre lov til å modellere et fall med luftmotstand. Vi tar utgangspunkt i en fallskjermhopper med utløst skjerm. Kreftene som virker på hopperen, er tyngdekraften G og luftmotstanden L. De to kreftene virker i motsatt retning av hverandre. Hvis vi setter positiv retning nedover, blir summen av kreftene G L. Newtons andre lov sier at summen av krefter er produktet av masse og akselerasjon. 6F ¼ m a G L¼m a Fordi akselerasjonen er den deriverte av farten, kan vi sette v0 ¼ a og løse likningen med hensyn på v 0 . G L v0 ¼ m

Oppgaver: 5.26–5.27

314 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Fra fysikk vet vi at G ¼ m g, der m er fallskjermhopperens masse i kilogram og g er tyngdeakselerasjonen, g ¼ 9,81 m=s2 . En modell for luftmotstand er at luftmotstanden er proporsjonal med farten, altså L ¼ k v. Vi setter inn i uttrykket for v 0 og får mg kv k v0 ¼ ¼g v m m

EK SEMPEL 14 Elias og Sara trener fallskjermhopp i militærets jegertropp. a

Elias veier 90 kg. Når han utløser skjermen, har han farten 55 m=s. Fem sekunder etter at han utløser skjermen, er farten hans 4,5 m=s. Beregn proporsjonalitetskonstanten k for fallskjermen til Elias.

Sara veier 65 kg. Dersom landingsfarten er lav, er det større sjanse for å bli oppdaget av fienden. Derfor ønsker Sara at landingsfarten skal være mellom 4 og 5 m=s. Hvor mye ekstra bagasje bør hun ta med seg i hoppet dersom hun må bruke samme type skjerm som Elias?

Løsning: a

k Vi skriver et program i Python og bruker at v 0 ¼ g v. m Først setter vi k ¼ 100. 1 tstart = 0 2 vstart = 55 3 tslutt = 5 4 deltat = 0.01 5

m = 90 g = 9.81 8 k = 100 6 7

t = tstart 11 v = vstart

while t <= tslutt: t = t + deltat 15 v = v + deltat * (g - k/m*v) 13 14 16 17

print(v)

Når vi kjører koden, får vi at farten etter fem sekunder er 9,0 m=s. Vi legger linjene 10–15 inn i en løkke som beregner verdi for k: Før linje 10 setter vi først «v = vstart». På neste linje skriver vi «while k < 4.5:». Linjene 10–15 rykker vi inn ett nivå. Nederst i løkka skriver vi «k = k + .1». Når vi kjører programmet og printer «k», får vi k = 196.4.

Modellering med Eulers metode 315

Vi gjør om koden fra a til en funksjon av m, se linje 1–16. Deretter lager vi en løkke som begynner på m ¼ 65 og slutter når funksjonsverdien av m er over 4,0: def f(m): tstart 3 vstart 4 tslutt 5 deltat 1 2

= = = =

0 55 5 0.01

6 7 8

g = 9.81 k = 196.2

9 10 11

t = tstart v = vstart

12 13 14 15 16

while t <= tslutt: t = t + deltat v = v + deltat * (g - k/m*v) return v

m = 65 while f(m) < 4: 20 m = m + 0.1 18 19 21 22

print(m)

Når vi kjører koden, får vi 80,00. Sara må derfor ta med 15 kg bagasje for at ikke landingsfarten skal bli lavere enn 4,0 m=s.

Oppgaver: 5.28–5.29

Frie svingninger Figuren til høyre viser et lodd som er festet i en fjær. Når loddet henger i ro, er det i likevektsstilling. Newtons andre lov sier da at summen av krefter som virker på loddet, altså tyngdekraften og kraften fra fjæra, er lik null. Vi har satt likevektsstillingen til y ¼ 0 og ser foreløpig bort fra demping. Hvis vi trekker loddet ned eller skyver det opp og slipper det, vil summen av kreftene som virker på loddet, ha retning inn mot likevektsstillingen. Summen av kreftene er proporsjonal med utslaget. Ettersom loddet er i likevektsstilling når y ¼ 0, er utslaget jyj. Når vi trekker loddet nedover, er y-verdien negativ. Når vi slipper det, vil summen av kreftene virke oppover, altså i positiv retning.

y>0 y=0 y<0

F F

316 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Når vi skyver loddet oppover, er y-verdien positiv. Når vi slipper det, vil summen av kreftene virke nedover, altså i negativ retning. Proporsjonalitetskonstanten D kaller vi fjærstivheten. Den har positiv verdi. Ettersom posisjonen til loddet og summen av kreftene som virker på loddet, har motsatt fortegn, får vi at 6F ¼ D y. Posisjonen til loddet, y, er en funksjon av tiden, t. Farten til loddet er v ¼ y 0 , og akselerasjonen er a ¼ y 00 . Newtons andre lov gir at 6F ¼ m a. Da får vi D y m Når vi skal modellere utslaget y med Eulers formel, får vi som vanlig 6F ¼ m a

D y ¼ m y 00 ,

y 00 ¼

tn þ 1 ¼ tn þ 1t og

ynþ1 ¼ yn þ 1t y 0

Vi bruker at v ¼ y 0 . Det gir ynþ1 ¼ yn þ 1t v. I tillegg regner vi ut v: D 0 00 y vn þ 1 ¼ vn þ 1t v ¼ vn þ 1t y ¼ vn þ 1t m

EK SEMPEL 15 Mari og Jonas har hengt et lodd i en fjær som henger i et stativ. De drar loddet 15 cm ned og slipper. Loddet begynner å svinge i fjæra. Jonas og Mari filmer pendelen med mobilen sin. Så overfører de filmen til dataprogrammet «Tracker». Der sporer de bevegelsen til loddet. De første målingene ser slik ut: 0.03333333333;-0.1208992089 0.06666666667;-0.11808019430000005 0.1;-0.0947946033 0.1333333333;-0.07175448610000001 0.1666666667;-0.045898551300000034 Dataene lagrer de i fila «pendel-uten-demping.csv», som du finner i Skolestudio. Massen til loddet er 89 gram. Fjærstivheten er 25,7 N/m. Skriv et program som modellerer utslaget.

Løsning: Vi setter D ¼ 25,7, m ¼ 0,89, t0 ¼ 0 og y0 ¼ 0,15. Det gir denne koden: 1 import matplotlib.pyplot as plt 2

m = .89 4 D = 25.7 5 tstart = 0 6 ystart = -.15 3

Modellering med Eulers metode 317

vstart = 0

tslutt= 14

deltat = .01

11 12

tverdier = []

yverdier = []

vverdier = []

15 16

t = tstart

y = ystart

v = vstart

19 20

while t <= tslutt:

tverdier.append(t)

yverdier.append(y)

vverdier.append(v)

24 25

t = t + deltat

y = y + deltat * v

v = v + deltat * (-D/m * y)

28 29

plt.plot(tverdier, yverdier)

30 31

# Vi legger til følgende kode for å sammenlikne modellen med datasettet:

import pandas as pd

df = pd.read_csv('pendel-uten-demping.csv', sep=';', decimal='.', comment='#')

34 35

tid = df['t'].tolist()

utslag = df['y'].tolist()

37 38

plt.plot(tid, utslag, '.')

plt.show()

318 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Når vi kjører koden, får vi dette resultatet: 0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 -0.15 0

Oppgaver: 5.30–5.31

Frie svingninger med demping Ved svingebevegelser har vi normalt friksjon eller demping. Denne dempingskraften virker i motsatt retning av farten. Vi antar at dempingen er proporsjonal med farten, altså q y 0 . Summen av kreftene som virker på loddet, blir da 6F ¼ q y 0 D y. Dette gir 6F ¼ m a q y D y ¼ m y 00 q D y 00 ¼ y 0 y m m Denne likningen blir gjerne kalt svingelikningen. 0

EK SEMPEL 16 Mari og Jonas senker pendelen sin i vann. De løfter loddet 17 cm og slipper. Resultatet av forsøket lagrer de i fila «pendel-med-demping.csv». Friksjonstallet til vannet, proporsjonalitetskonstanten q, blir 2,3. Gjør endringer i koden fra eksempel 15 slik at programmet modellerer den nye situasjonen.

Løsning: Vi legger til q ¼ 2,3, endrer ystart til 0,17 og endrer linje 27 til: 27

v = v + deltat * (-q/m * v - D/m * y)

Modellering med Eulers metode 319

Når vi kjører koden, får vi denne grafen:

0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05

Modellen ser ut til å passe godt fram til t ¼ 1,5.

Vi setter m ¼ 0,89, D ¼ 25,7 og q ¼ 2,3 inn i svingelikningen. Det gir y 00 ¼

2,3 25,7 y0 y ¼ 2,584y 0 28,876y 0,89 0,89

En slik likning kalles en differensiallikning. Den kan vi løse i CAS med kommandoen «LøsODE()»: 1

Der ser altså ut til at modellfunksjonen som passer med situasjonen, er et produkt av en eksponentialfunksjon og en harmonisk funksjon. I neste eksempel bruker vi dette som målfunksjon i en regresjon med det samme datasettet.

320 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

EK SEMPEL 17 y

Vi skal finne en funksjon på formen

0,15

f ðxÞ ¼ A ekx sin ðcx þ ’Þ

0,10

som passer best mulig med datasettet i fila «pendel-med-demping.csv». Når vi lager spredningsdiagram over dataene, får vi opp grafen til venstre.

0,05 0,00 –0,05

3 4 5

7 x

Bruk grafen til å bestemme en grovtilnærming av parametrene A, k, c og ’.

Bruk svarene i a som startverdier i en kurvetilpasning av datasettet til en funksjon på formen f ðxÞ ¼ A ekx sin ðcx þ ’Þ.

Løsning: a A: Amplituden ved x ¼ 0 er omtrent 0,15 k: Halvering etter omtrent 1, så k ln 0,5 0,7 2 6 1 ’: Toppunkt omtrent for x ¼ 0, så horisontal forskyvning omtrent 1,6 2

c: Periode omtrent 1, så c ¼

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

import scipy.optimize as opt

5 6 7

def

f(x, A, k, c, fi): return A*np.exp(k*x)*(np.sin(c*x + fi))

8 9

fil = 'pendel-med-demping.csv'

df = pd.read_csv(fil, comment='#', sep=';', decimal='.')

tid = df['t'].tolist()

utslag = df['y'].tolist()

13 14

popt, pcov = opt.curve_fit(f, tid, utslag, p0 = [.15, -.7, 6, 1

print(popt)

16 17

xverdier = np.linspace(tid[0], tid[-1], 1000)

yverdier = f(xverdier, popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

19 20

plt.plot(xverdier, yverdier)

plt.plot(tid, utslag, '.')

plt.show()

Modellering med Eulers metode 321

Når vi kjører programmet, får vi dette:

0.15 0.10 0.05 0.00 -0.05 -0.10 0

Modellen passer nokså godt til datapunktene i starten. Etter t 3 passer ikke modellen så godt lenger.

Oppgaver: 5.32–5.33

Oppgaver 5.26 Andreas tar et glass vann fra kjøleskapet og setter det på kjøkkenbordet. Temperaturen i rommet er 20 C. Andreas logger temperaturen i datasettet «vanntemperatur-kaldtvann.csv». Bruk Newtons avkjølingslov og modelleringsalgoritmen til å bygge opp en modell i Python for temperaturen i vannet. Bestem proporsjonalitetskonstanten i modellen.

5.27 Strømmen i leiligheten til Patrick går, og temperaturen i fryseren hans stiger. Verditabellen nedenfor viser målingene han har gjort. t er tiden i antall timer etter at strømmen gikk, og y er temperaturen i fryseren.

14,2 9,2

2,3

3,1

10,0

Bruk modelleringsalgoritmen med Newtons avkjølingslov til å bygge opp en modell for temperaturutviklingen i fryseren.

Bruk modellen til å beregne temperaturen i fryseren etter 30 timer.

Bruk modellen til å beregne hvor lang tid det tar før temperaturen i fryseren overstiger 15 grader.

5.28 Terminalfart er den største farten et legeme kan oppnå i et fall gjennom lufta. En fallskjermhopper har en terminalfart på omtrent 200 km=t. Ifølge Wikipedia vil en fallskjermhopper nå 100 km=t på 3 sekunder, 90 % av terminalfarten på 8 sekunder og 99 % av terminalfarten på 15 sekunder. Skriv et program i Python som undersøker om disse opplysningene kan stemme. Bruk L ¼ k v2 som modell for luftmotstanden, siden hastigheten er såpass høy.

322 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

5.29 Fila «speed-skydiving.csv» inneholder tid- og høydedata fra et fallskjermhopp der målet er å få så stor vertikal hastighet som mulig. a

Last inn datasettet i Python og lag et spredningsdiagram over tid og tilbakelagt strekning fra flyet de første 30 sekundene av hoppet. Gjennomfør en modellering i Python av datasettet, de første 30 sekundene. Bruk Newtons 2. lov sammen med Eulers metode. Bruk k v2 som modell for luftmotstanden.

5.30 En kloss med masse m ¼ 0,15 kg og fjærstivhet D ¼ 3,7 N=m er festet til en fjær. Fjæra er festet til en vegg, se figuren. F

Klossen og fjæra beveger seg på et horisontalt underlag uten friksjon. Fjæra øver en kraft på klossen med retning inn mot likevektsstillingen y ¼ 0. Vi lar y være klossens avstand fra likevektsstillingen med positiv retning mot høyre. Vi trekker loddet 20 cm til høyre og slipper. a

Bruk Newtons 2. lov og at fjærkraften er proporsjonal med y til å gjennomføre en modellering av y. Tegn grafen til y.

Bestem et funksjonsuttrykk som passer med grafen til y.

5.31 Et lodd med masse 0,78 kg henger i en fjær med fjærstivhet 14,7 N=m. Loddet settes i svingninger slik at det har farten 1,5 m=s når det er i likevektsstillingen. a

Gjenomfør en modellering av sammenhengen mellom utslaget y og tiden t.

Bruk modellen til å avgjøre største utslag fra likevektsstillingen.

Bruk modellen til å avgjøre hvor lang tid det tar før farten er 0 m=s.

5.32 En kloss med masse 0,35 kg henger i en fjær med fjærstivhet D ¼ 20 N=m. Systemet er senket ned i en væske slik at bevegelse dempes. Vi regner med at dempingen er proporsjonal med farten, med dempingsfaktor q ¼ 0,6 Ns=m. Vi trekker klossen 0,5 m ut fra likevektsstillingen og slipper. Skriv et program i Python som bruker Eulers metode til å tegne grafen til utslaget y som en funksjon av tiden t.

5.33 Vi lar y være en funksjon av x. Vi får vite at hvis vi deriverer y to ganger, får vi sammenhengen 1 y 00 þ y ¼ 0 4 I tillegg vet vi at når x ¼ 0, har vi y ¼ 3 og y 0 ¼ 2. a

Bruk Eulers metode til å tegne grafen til y. Tips: Sett y 0 ¼ v i modelleringsalgoritmen.

Bruk grafen til å bestemme et funksjonsuttrykk for y.

Kontroller at funksjonsuttrykket passer i likningen i a.

Mønster og oversikt 323

MØ NS T E R O G O V E R S IKT Integrasjon og samlet mengde y, liter/minutt

Omdreiningslegemer kan beskrives med én eller flere funksjoner som roteres om en akse. y 3

2 1

–4

–2 2

–1 x, minutt

–2

Arealet under en graf kan vi finne med integrasjon: Rb f ðxÞ dx

–3

Produktet av enhetene på aksene gir enheten liter til arealet, eksempelvis minutt ¼ liter. minutt Gjennomsnittet av en funksjon f på et intervall ½a, b er Rb f ðxÞ dx a f ðxÞ½a, b ¼ b a

Matematiske modeller En matematisk modell er en beskrivelse av virkeligheten og kan bestå av

funksjoner

grafer

formler

geometriske former

likninger

dataprogrammer

tabeller

Volum av omdreiningslegemer Volumet av et omdreiningslegeme fra x ¼ a til x ¼ b langs en koordinatakse finner vi slik: Rb 2 V ¼ f ðxÞ dx a

der f er en kontinuerlig funksjon.

Modellering 1

Forenkle og avgrense problemet

Innhente data og definere størrelser og variabler

Oversette til matematisk språk

Løse problemet matematisk

Tolke løsningen og vurdere gyldigheten til modellen

324 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Modellering med regresjon

Gyldighet og valg av matematisk modell

Regresjon handler om å tilpasse en kurve til et datasett. De vanligste regresjonsmodellene er

Velg en modell som passer godt til datasettet.

Kunnskap om situasjonen er viktig for å velge riktig modell.

Å interpolere er å bruke modellen innenfor dataområdet.

Å ekstrapolere er å bruke modellen utenfor dataområdet. Da øker usikkerheten.

Gyldighetsområdet til en modell er de verdiene av variabelen som modellen gjelder for.

lineær modell: f ðxÞ ¼ ax þ b

andregradsmodell: f ðxÞ ¼ ax2 þ bx þ c

tredjegradsmodell: f ðxÞ ¼ ax3 þ bx2 þ cx þ d

eksponentiell modell: f ðxÞ ¼ a bx

potensmodell: f ðxÞ ¼ axb

B logistisk modell: f ðxÞ ¼ 1 þ ekx

trigonometrisk modell: f ðxÞ ¼ Asin ðcx þ ’Þ þ d

Modellering i Python

laster inn datasett i Python

tegner spredningsdiagram

vurderer hvilken matematisk modell vi vil bruke

skriver koden med modelleringsalgoritmen

sammenlikner datasettet med modellen

justerer koden

Avgjør om påstandene stemmer 1

Arealet under en graf har alltid benevning, som for eksempel m=s.

Når vi roterer et flatestykke 360 om y-aksen, får vi et omdreiningslegeme.

Når vi roterer et flatestykke 180 om x-aksen, får vi et omdreiningslegeme.

Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved Rb 2 V ¼ f ðxÞ dx. a

Modelleringsalgoritmen: 1 2 3 4

xstart = xslutt = ystart = delta_x =

Arealet under en fartsgraf kan vi tolke som akselerasjon.

Arealet under en inntektsfunksjon viser alltid total fortjeneste.

En linje, y ¼ 3, roteres 360 om x-aksen. Omdreiningslegemet blir da en sylinder.

Når vi bruker en modell til å si noe om framtiden, blir modellen mer og mer usikker desto lenger fram i tid vi går.

Verdiene vi får ved interpolasjon, er som oftest sikrere enn verdiene vi får ved ekstrapolasjon.

Setter opp startverdier.

5 6 7

x = xstart y = ystart

8 9

10 11

while x <= xslutt: x = x + delta_x y = y +

Bygger opp funksjonsverdiene. Modellen beskriver hvordan endringen i y er. Endringen er forskjellig fra modell til modell.

10 Gyldighetsområdet til en modell er det samme som området vi har data for.

Test deg selv 325

Test deg selv Med hjelpemidler

Uten hjelpemidler

5.34 4 3 2 1

5.37 Gitt funksjonen gðxÞ ¼ x2 þ 1.

y f

Tegn omdreiningslegemet som avgrenses av f og x-aksen når grafen roteres 360 om x-aksen.

Finn volumet av omdreiningslegemet.

1 2 3 4 5 6 7 8 x

Figuren viser grafen til funksjonen f ðxÞ ¼ 3, der x 0. Vi dreier det fargelagte flatestykket 360 om x-aksen. a

Hva slags figur blir omdreiningslegemet?

Finn volumet av omdreiningslegemet ved integrasjon.

5.35

5.38 Tabellen viser antall tilflyttede innbyggere i en norsk kommune per 1. januar noen utvalgte år. År

2014 2016 2017 2019 2020

Antall tilflyttende innbyggere 4804 5104 5166 5158 5040

y, m/s

16 12

Bestem en modell f ðxÞ for tilflyttende innbyggere x år etter 1. januar 2014.

Hva vil antall tilflyttende være i begynnelsen av 2021 ifølge modellen?

Regn ut f 0 ð6Þ og gi en praktisk tolkning av svaret.

Regn ut

8 4 4

t ,s

En motorsykkel bremser opp foran et lyskryss. Grafen viser hvordan farten avtar fra motorsykkelen begynner å bremse, til den stopper. a

Finn bremselengden til motorsykkelen.

Finn akselerasjonen.

5.36 4

–2

Hva var gjennomsnittlig tilflytting til kommunen fra 2014 til 2020?

Bruk Newtons andre lov til å modellere forsøket.

2 –4

f ðxÞ dx og forklar hva svaret forteller.

5.39 I et forsøk slipper Magnus et kaffefilter fra stor høyde og filmer fallet. Resultatet fra forsøket finner du i fila «kaffefiltre.csv».

y, m f

x, m

Figuren viser snittflaten av en tunell. Snittflaten er avgrenset av x-aksen og grafen til funksjonen f gitt ved f ðxÞ ¼ 0,2x2 þ 5. Tunellen er helt rett og 540 meter lang. a

Hvor stort er arealet av tunellåpningen?

Finn volumet av hele tunellen.

Bruk modellen til å anslå hva som skjer når du slipper kaffefilteret fra en høyde på 25 meter.

326 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Oppgaver 5.1 Integrasjon og samlet mengde 5.40 Ina får 500 kr i månedspenger av foreldrene sine. Hun har gjort en avtale med dem om at i de to neste årene skal månedspengene økes med 5 % hver måned. a

Finn ved integrasjon omtrent hvor mye Ina i alt får i månedspenger disse to årene.

5.43 Under en influensaepidemi er en modell for hvor fort smitten brer seg, gitt ved IðtÞ ¼ 300e 0,12t 300e 0,20t der IðtÞ er antall smittede per dag, og der t er tiden målt i dager etter at epidemien startet. a

Tegn grafen til I i GeoGebra.

Finn ved regning hvor mange som ble smittet de to første ukene, ifølge denne modellen.

Hvor mye penger har Ina i gjennomsnitt fått hver måned disse to årene?

5.44 En bedrift fyller gass i beholdere. Det strømmer GðtÞ kg gass per sekund inn i beholderen, og funksjonen G t er gitt ved GðtÞ ¼ 195 0,8860 , der t er tiden i sekunder.

5.41 v(t) 100

Hvor mye gass fyller bedriften i beholderen i løpet av en time?

80 60 40 20 50 100 150 200 250 300 350 400 t, s

Figuren viser fartsgrafen til et tog mellom to stasjoner. 400 R vðtÞ ¼ 26 000. Du får oppgitt at

5.45 Lotte reiser til hytta på vinterferie. Når hun kommer fram, må hun fylle vanntanken inne på hytta. Hun kobler til en vannledning som fyller tanken med f ðtÞ liter vann per minutt. Funksjonen er gitt ved f ðtÞ ¼ 50 50e 0,25t , der t er tiden i minutter etter at fyllingen starter.

Hvor langt er det mellom de to stasjonene?

Hvor stor er farten der toget kjører med konstant fart?

Hvor lang er strekningen der toget kjører med konstant fart?

5.42 Salget av en vare varierer i løpet av et år. Salget, SðtÞ, per måned etter t måneder er gitt ved SðtÞ ¼ 2t2 þ 24t þ 100,

x 2 ½0, 12

Finn en tilnærmet verdi for det totale salget i løpet av dette året.

Hvor lang tid tar det før tanken er full, når den rommer 200 liter?

5.46 En familie på fire bruker omtrent 13 000 kroner per måned på mat og drikke. Vi regner med at prisene øker med 1,4 % per måned i årene som kommer. a

Vis at en modell for månedsutgiftene MðtÞ i kroner om t måneder er MðtÞ ¼ 13 000 1,014x .

Bruk integrasjon til å beregne tilnærmet hvor mye familien kommer til å bruke på mat og drikke det neste året.

Oppgaver 327

5.47 Et bryggeri produserer 150 000 liter julebrus 1. september 2020. Bryggeriet har en produksjonsplan der dagsproduksjonen skal øke med 0,6 % per dag. a

Lag en modell for dagsproduksjonen av julebrus, f ðtÞ, når t er antall dager etter 1. september.

Hvor mange liter julebrus produserer bryggeriet 1. desember ifølge din modell?

Finn det samlede antall liter julebrus som bryggeriet har produsert fra 1. september til 24. desember.

Anta at det er 3,5 millioner av Norges befolkning som drikker julebrus, og at de drikker opp den mengden du fikk til svar i oppgave c. Hvor mye julebrus drikker hver innbygger da i gjennomsnitt?

5.48

5.2 Volum av omdreiningslegemer 5.49 Regn ut volumet av omdreiningslegemet som framkommer når grafen til f blir dreid 360 om x-aksen: a

f ðxÞ ¼ 3x,

1 f ðxÞ ¼ pffiffiffi , x

Df ¼ ½1, 2 Df ¼ ½3, 7

5.50 Gitt funksjonen TðxÞ ¼ ex . Grafen til T blir rotert 360 om x-aksen. Finn volumet av omdreiningslegemet avgrenset av grafen til T og linjene x ¼ 0 og x ¼ ln 3.

5.51 Gitt funksjonen f ðxÞ ¼ x þ sin 2x,

Df ¼ ½0, 2 i

Lag en modell i GeoGebra av omdreiningslegemet som vi får når grafen til f roteres 360 om x-aksen.

Regn ut volumet av dette omdreiningslegemet.

5.52

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Gitt to funksjoner f ðxÞ ¼ 3 þ 1 x2 og pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gðxÞ ¼ 3 1 x2 . Vi får et omdreiningslegeme når flatestykket mellom de to grafene til f og g blir rotert 360 om x-aksen.

I en kommune i Norge ble innbyggerne i 2021 vaksinert mot covid-19. I en periode på åtte uker i løpet av sommeren var antall vaksinerte per uke i kommunen gitt ved funksjonen f ðxÞ ¼ 298 1,07x der x er uker. a

Hvor mange innbyggere ble vaksinert i uke 4?

Hvor mange innbyggere ble totalt vaksinert i løpet av de åtte ukene?

Hvor mange innbyggere ble i gjennomsnitt vaksinert hver av disse åtte ukene?

Finn en eksakt verdi for volumet av omdreiningslegemet.

5.53 pffiffiffi Et flatestykke er avgrenset av grafen til f ðxÞ ¼ x, y-aksen og linja y ¼ 2. Flatestykket roteres 360 om linja y ¼ 2, slik at vi får et omdreiningslegeme. a

Tegn en figur i GeoGebra som illustrerer situasjonen.

Forklar at en skive i omdreiningslegemet har pffiffiffi radius r ¼ 2 y ¼ 2 x.

328 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Forklar at volumet av en slik skive blir pffiffiffi 1V r2 1x ¼ ð2 xÞ2 1x 1

¼ ð4 4x2 þ xÞ1x d

Forklar at vi kan regne ut volumet av omdreiningslegemet med integralet R4 1 ð4 4x2 þ xÞ dx, og regn ut volumet. 0

Når vi roterer det fargede området 360 om x-aksen, får vi en rett avkortet kjegle. b

Vis at denne rette avkortede kjegla har volumet 1 V ¼ hðR2 þ Rr þ r2 Þ. 3

5.57 Funksjonene f og g er gitt ved f ðxÞ ¼ x3 3x2 þ 2x,

x 2 ½0, 2

gðxÞ ¼ x þ 3x 2x,

x 2 ½0, 2

5.54 Gitt en andregradsfunksjon f ðxÞ ¼ x2 4x þ 6.

Tegn grafen til f og g i samme koordinatsystem.

Finn arealet avgrenset av x-aksen, grafen til f og linjene x ¼ 0 og x ¼ 4.

Regn ut det totale arealet av området som er avgrenset av de to grafene.

Finn volumet av omdreiningslegemet som vi får når arealet i a roteres 360 om x-aksen.

Det området som er avgrenset av grafene til f og g, roterer vi 360 om x-aksen. Hva blir volumet av dette omdreiningslegemet?

5.55 Gitt en trigonometrisk funksjon gðxÞ ¼ x þ cos x. a

Tegn grafen til funksjonen g.

Finn arealet avgrenset av x-aksen, grafen til g og linjene x ¼ 4 og x ¼ 10.

Tegn omdreiningslegemet som vi får når arealet roteres 360 om x-aksen.

Finn volumet av omdreiningslegemet.

5.58

5.56 y

En designer jobber med å utvikle en blomstervase. Den ferdige vasen skal være ca. 40 cm høy og romme ca. 2 liter vann. Designeren tar utgangspunkt i funksjonen f ðxÞ ¼ sin x og dreier den 360 om x-aksen.

D r h A

Figuren viser grafen til en lineær funksjon f . På figuren er lengden AB ¼ h, lengden AD ¼ r og lengden BC ¼ R. a

Vis at f ðxÞ ¼

R r x þ r. h

Bruk utgangspunktet til designeren og gjør nødvendige undersøkelser og endringer av funksjonsuttrykket til f , slik at omdreiningslegemet kan brukes som modell for vasen. Beskriv hvilket funksjonsuttrykk du velger, og vis omdreiningslegemet med tilhørende utregninger for volumet.

Oppgaver 329

5.3 Matematiske modeller 5.59 Tabellen viser sammenhengen mellom spenningen over en motstand og strømmen gjennom motstanden: Strøm (ampere)

0,22

0,50

0,74

0,90

1,10

Spenning (volt)

1,7

3,8

5,6

6,8

8,4

5.61 Vi setter en kopp varm te på bordet og måler hvordan temperaturen i teen endrer seg med tiden. Romtemperaturen er 23 C. Tid, x ðminÞ Temperatur, T ð CÞ

a b

Bruk det oppgitte datasettet og lag en god modell til situasjonen. Gi en skriftlig begrunnelse for ditt valg av modell og oppgi funksjonsuttrykket.

Målingene er registrert i fila «temperatur.csv», som du finner i Skolestudio. a

5.60 Denne oppgaven passer det at alle i klassen gjør samtidig. Dere jobber sammen i grupper. Hver gruppe trenger en sprettball og et målebånd eller en målestokk.

Bruk regresjon i både Geogebra og Python til å bestemme den andregradsfunksjonen som passer best til målingene.

Bruk regresjon i både Geogebra og Python til å bestemme den eksponentialfunksjonen som passer best til målingene.

Bruk eksponentialmodellen fra b til å anslå temperaturen i teen etter tre timer.

Slipp en sprettball fra en høyde på 200 cm og mål spretthøyden for de tre første sprettene. Sprettnr. Høyde (cm)

200

Bruk regresjon til å lage en modell for spretthøyden til ballen. La antall sprett være langs x-aksen og spretthøyden langs y-aksen.

Bruk modellen til å anslå høyden til sprett nummer 4. Mål høyden i praksis og sammenlikn med modellen.

Fikk alle gruppene samme modell? Diskuter i grupper.

Hvor mange prosent avtar høyden for hvert sprett?

Foreslå en definisjonsmengde for modellen dere kom fram til.

For å unngå at modellen gir temperaturer som er lavere enn romtemperaturen, lager vi i stedet en modell for differansen mellom temperaturen i teen og temperaturen i rommet. Vi begynner med å sette opp en ny tabell: Tid, x ðminÞ Temperaturdifferanse, Td ð CÞ

Bruk regresjon til å finne den eksponentielle modellen Td ðxÞ som passer best til å beskrive temperaturdifferansen.

Da teen begynte å trekke i kanna, hadde den en temperatur på 90 C. Hvor lenge før den første målingen var det?

330 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

5.62 Jens bor på Frøya og har notert ned maksimumstemperaturen annenhver dag i juli måned, slik tabellen viser: Dato

Temperatur ð CÞ

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

18,3 16,1 18,0 15,9 16,7 25,3 26,0 23,2 22,0 18,8 29,3 23,4 17,1 20,9 25,7 19,5

Heng opp en pendel slik at den kan svinge fritt. Varier pendelens lengde og mål svingetiden for hver lengde.

Bruk regresjon til å finne en modell som viser hvordan svingetiden varierer med lengden.

Bruk modellen til å anslå svingetiden til en pendel med lengde 1 meter.

Mål svingetiden til en pendel med lengde 1 meter. Hvor godt stemmer modellen din?

En teoretisk modell for pendler med små utslag (dvs. mindre enn 20 grader fra likevektslinjen) er sffiffiffi L TðLÞ ¼ 2 g der g er tyngdeakselerasjonen med verdi 9,81 m=s2 . Sammenlikn din modell med den teoretiske.

Bruk GeoGebra til å modellere og analysere datasettet.

5.63 Med svingetiden til en pendel mener vi den tiden pendelen bruker på å svinge fra en ytterstilling og tilbake igjen. I teorien avhenger svingetiden først og fremst av pendelens lengde (L), mens massen (m) og utslaget (’) har liten betydning. Vi skal lage en modell for svingetiden T som funksjon av pendelens lengde, se figuren.

5.64 Til denne oppgaven trenger du en piano-app (eller et piano) og en tuner-app som viser lydfrekvens. Lyd er bølger med sammenpressinger og utvidelser av lufta. Antall lydbølger som passerer et bestemt punkt hvert sekund, kaller vi frekvensen til lyden. For eksempel har tonen enstrøken a frekvensen 440 Hz. Figuren nedenfor viser noen av tangentene på et piano og antall trinn (eller halvtoner) hver tone ligger over enstrøken a.

L j m

Oppgaver 331

Velg en tangent og la denne tonen ha verdien x ¼ 0. Spill tonen og bruk tuneren til å finne frekvensen. Hva heter tonen? Velg en ny tangent og la x være antall trinn over tangenten du valgte i b. La y være frekvensen du måler. Bruk ulike tangenter og fyll inn x- og y-verdier i tabellen nedenfor: Antall trinn over utgangstangent, x

Frekvens, y ðHzÞ

5.4 Modellering med Eulers metode 5.66 Datasettet i fila «wingsuit-performance-flying.csv» viser tid og strekning de første 18 sekundene av et fallskjermhopp med såkalt wingsuit, en hoppdress med ekstra oppdrift. a

Last inn datasettet i Python og lag et spredningsdiagram over tid og tilbakelagt strekning.

Gjennomfør en modellering i Python av datasettet. Bruk Newtons 2. lov sammen med Eulers metode. Bruk k v2 som modell for luftmotstanden.

Finn en eksponentiell modell f ðxÞ for frekvensen til en tone som ligger x halvtrinn over utgangstangenten.

Hvor mange prosent øker frekvensen når vi går ett trinn oppover på pianoet?

5.67 Gjør et forsøk med pendel Du trenger: Stativ, metermål, spiralfjær, lodd, videokamera og PC a

Heng loddet i fjæra og mål forlengelsen. Bruk Hookes lov F ¼ D y til å bestemme fjærstivheten D.

Bruk modellen til å finne f ð6Þ. Gi en praktisk tolkning av svaret.

Dra loddet en avstand y0 ut fra likevektsstillingen og slipp.

Undersøk om modellen stemmer for noen andre toner som du ikke har tatt med i tabellen.

Ta opp forsøket på video. La metermålet være synlig i filmen.

Hvor mange trinn må vi ifølge modellen bevege oss før frekvensen blir doblet? Hva heter denne tonen? Ser du noen sammenheng?

Spill tonen fra b sammen med tonen med dobbelt så høy frekvens. Hører du noen sammenheng?

Bruk et dataprogram, for eksempel «Tracker», til å lage en tabell med verdier for tiden ðtÞ og utslaget ðyÞ, avstanden fra likevektslinja.

Skriv et program i Python som modellerer situasjonen.

5.65 Jobb sammen to og to. Dere trenger en strikk. Finn ulike gjenstander som dere kan henge opp i strikken. Lag en tabell der dere noterer ned deres målinger av de samhørende verdiene av strikklengde og vekt av gjenstand.

5.68 Lag glidere for massen m, fjærstivheten D og koeffisienten for dempingen q i GeoGebra. La verdiene variere mellom 5 og 5 og bruk animasjonsfart 1. a

Finn en matematisk modell for sammenhengen mellom vekt og strikklengde og gjør en vurdering av modellens gyldighet.

Skriv inn «LøsODEðm y 00 þ q y 0 þ D y ¼ 0, ð0,1Þ, ð0,0ÞÞ» i CAS og trykk på rundingen på venstre side i CAS slik at grafen til løsningen vises. Diskuter hva det dere har skrevet inn betyr.

332 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Trekk i gliderne og diskuter hva som skjer med grafen og uttrykket til løsningen når vi forandrer verdiene av m, D og q.

Sett q ¼ 0. Hvordan ser grafen og uttrykket til løsningen ut? Forklar!

5.69 Vi har gitt funksjonene: f ðxÞ :¼ e 5x a

og gðxÞ ¼ 2sin x

Bestem f 0 ðxÞ og g 0 ðxÞ.

Vi lar y være en funksjon av x. b

Finn et funksjonsuttrykk som er løsning på likningen y þ y 0 ¼ 0.

Finn et funksjonsuttrykk som er løsningen på likningen y 00 þ y ¼ 0.

Finnes det flere løsninger i a og b?

5.70 En fallskjermhopper hopper ut fra et fly. Fallskjermhopperen med utstyr veier 85 kg. Hopperen har startfart 0 m=s. Vi lar y være vertikal posisjon i forhold til flyet. En modell for luftmotstsanden er at fartsendringen er proporsjonal med kvadratet av farten, L ¼ kv2 . Vi forutsetter at proporsjonalitetskonstanten er k ¼ 0,27. a

Gjennomfør en modellering av farten v til fallskjermhopperen s sekunder etter at han forlater flyet. Tegn farten til hopperen.

Etter noe tid når hopperen terminalfarten, en grenseverdi for farten, der tyngdekraften og luftmotstanden er tilnærmet like. Bruk modellen til å finne en tilnærmingsverdi for grensefarten.

Gjennomfør en modellering av strekningen s fallskjermhopperen har tilbakelagt fra han forlater flyet.

Fallskjermhopperen forlater flyet 3000 meter over bakken. Han løser ut skjermen 900 meter over bakken. Hvor lang flytid har hopperen før han løser ut skjermen?

5.71 Programmet gir en matematisk modell som beskriver populasjonsdynamikk mellom predatoren gaupe og byttedyret hare. Denne modellen for sammenhengen mellom en populasjon kalles Lotka–Volterra-modellen. Les programkoden nedenfor og diskuter med en annen elev hva resultatet av programmet blir. Skriv av og kjør programmet. Vurder hvordan det stemmer med det dere diskuterte. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

import matplotlib.pyplot as plt xstart = 0 xslutt = 400 delta_x = .01 ystart = 1000 Gstart = 5 B = 8000 k = 0.1 c1 = .004 c2 = .00004 c3 = .04 xverdier = [] yverdier = [] Gverdier = [] x = xstart y = ystart G = Gstart

while x <= xslutt: xverdier.append(x) yverdier.append(y) Gverdier.append(G) x = x + delta_x # Lotka-Volterra-modellen. y = y + delta_x * (k * y * (B - y)/B c1 * y * G) 30 G = G + delta_x * (c2 * y * G - c3 * G) 31 32 33 34 35 36 37 38

fig, ax1 = plt.subplots() ax2 = ax1.twinx() ax1.plot(xverdier, yverdier, color = 'red') ax2.plot(xverdier, Gverdier, color = 'blue') ax1.set_ylabel('harer', color = 'red') ax2.set_ylabel('gauper', color = 'blue') plt.show()

Oppgaver 333

5.72 Programmet gir en matematisk modell som beskriver hvordan en epidemi kan utbre seg, også kalt SIRmodellen. Les programkoden nedenfor og diskuter med en annen elev hva resultatet av programmet blir. Skriv av og kjør programmet. Vurder hvordan det stemmer med det dere diskuterte. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

5.73 I 2020 produserte en trevarefabrikk 70 000 vinduer. Bedriften planlegger en produksjonsøkning på 4 % hvert år. a

Regn ut integralet og gi en praktisk tolkning av svaret. R10

import matplotlib.pyplot as plt

70 000 1,04x dx

Populasjon. = 5000000 Antall dager en smittet person er smittsom. = 10 Andel smittede som blir friske hver dag. = 1/D Reproduksjonstallet, antall som én syk person smitter. 10 RE = 2 11 # Antall smittede av en smittet person per dag. 12 B = RE/D 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Blandede oppgaver

# N # D # y #

# I R S

Initialverdier. = 80 # smittede = 0 # personer som har blitt friske = N - I - R # foreløpig uberørte

tstart = 0 tslutt = 250 tverdier Sverdier Iverdier Rverdier

= = = =

[] [] [] []

fort in range(tslutt - tstart): tverdier.append(t) Sverdier.append(S) Iverdier.append(I) Rverdier.append(R) # SIR-modellen S = S - B * I * S/N I = I + B * I * S/N - y * I R=R+y*I plt.plot(tverdier, Sverdier) plt.plot(tverdier, Iverdier) plt.plot(tverdier, Rverdier) plt.show()

Bestem integralet under og forklar hvorfor svaret blir så likt som svaret i a. R10

70 000 e0,04x dx

5.74 En produsent av mineralvann skal lage sylinderformede metallbokser som rommer 0,350 liter. Hvilke mål bør sylinderen ha dersom man ønsker å bruke minst mulig metall?

5.75 En rett kjegle kan vi se på som et omdreiningslegeme. Bruk integrasjon og vis at formelen for volumet av en rett kjegle med radius r og høyde h er gitt ved 1 V ¼ r2 h. 3 5.76 I Norge drikker vi mye melk. For 2021 viser funksjonen f hvor mange liter melk per dag hver innbygger drakk. f ðxÞ ¼ 0,000 03x þ 0,23 der x er dager etter 1. januar 2021. a

Hvor mye melk drakk hver innbygger 1. januar 2021? 365 R Regn ut f ðxÞ dx og gi en praktisk tolkning 0

av svaret.

334 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

5.77 En bedrift selger en ny vare. Etter t uker regner bedriften med å selge f ðtÞ enheter av varen. Funksjonen er gitt ved f ðtÞ ¼ 320e 0,03t 280e 0,06t þ 240,

t 2 ½0, 104

5.80 Tabellen viser nedbørsmengde i Drammen i 2019, målt hver måned. Måned x ¼ 1 svarer til januar, x ¼ 2 svarer til februar, og så videre. Nedbøren f ðxÞ er gitt i millimeter per måned. Nedbør f ðxÞ

Tegn grafen til f .

Hvor mange enheter regner bedriften med å selge den 30. uka?

46,1

38,3

Finn ut hvor mange enheter bedriften regner med å selge totalt det første året.

28,3

42,9

49,8

69,5

91,8

100,8

55,7

72,5

64,2

41,4

Måned (x)

5.78 y 2 1 1

–1

Bruk regresjon til å finne et funksjonsuttrykk for f ðxÞ.

Finn samlet mengde nedbør gjennom året.

Hvilken 3D-figur får du når du roterer det markerte området 360 om x-aksen?

Bestem når nedbøren øker raskest, og hvor mye den da øker med.

Finn volumet til 3D-figuren.

Hvor stor er nedbørsmengden da?

5.79 Rr

2 ðr2 x2 Þ dx ¼ r3 . 3 0 Forklar at dette er formelen for volumet til en halvkule. Vis at

5.81 Tabellen viser gjennomsnittsvekten til guttebarn de ti første månedene etter fødselen: Alder, x (måneder) Vekt, v (kg)

3,8

5,5

7,0

8,0

8,9

9,5

Bestem en modell vðxÞ for gjennomsnittsvekten x måneder etter fødselen.

Tegn grafen til v sammen med punktene fra tabellen.

Hva er gjennomsnittsvekten til et tre måneder gammelt guttebarn?

Oppgaver 335

5.82 Tabellen nedenfor viser en serie med x-verdier og tre serier med tilhørende y-verdier. Bruk regresjon til å finne den funksjonen som passer best til hver av seriene med y-verdier.

5.86 Millioner Sm3 o.e 300 Totalt

250 200

100

150

100

Gass

Olje

1970

5.83 En populasjon av husmus vokser raskt. Et vanlig kull består av fire til sju unger, og drektighetstiden er 19 dager. Lag ulike modeller som viser hvordan en populasjon av husmus kan vokse. Diskuter de ulike modellene og modellenes gyldighet i klassen.

5.84 Du skal lage et omdreiningslegeme om x-aksen. Gi en begrunnelse for om det er funksjonen f eller g som gir størst volum i intervallet x 2 ½0, 2 . f ðxÞ ¼ 2x

og gðxÞ ¼ x2

5.85 a Tegn grafene til funksjonene f og g . i intervallet x 2 0, 2 f ðxÞ ¼ sin x og gðxÞ ¼ cos x b

Grafene til f og g samt y-aksen avgrenser et areal. Regn ut dette arealet.

Roter grafene 360 om x-aksen. Finn volumet av omdreiningslegemet både digitalt og for hånd.

1980

1990

2000

2010

2020

Figuren viser en grafisk framstilling av olje og gass utvunnet fra Nordsjøen. Bruk figuren til å analysere og tolke informasjonen. Bruk modellering til å beskrive utviklingen framover i tid og gi en beskrivelse av samlet mengde ved hjelp av et bestemt integral.

5.87 En pendel svinger i en fjær. Bruk datasettet «pendel.csv» til å finne et funksjonsuttrykk som tilnærmet passer med datasettet. 5.88 y Dl

Df (x)

Figuren viser hvordan vi kan finne lengden av en graf i et intervall. Legg merke til at den røde hypotenusen i trekanten gir en tilnærming til lengden av grafen i dette intervallet. Denne tilnærmingen blir bedre jo mindre 1x er.

336 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Pytagoras’ setning forteller oss at lengden 1l av hypotenusen i trekanten er qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1l ¼ ð1xÞ2 þ 1f ð xÞ

Videre har vi gitt funksjonen y ¼ erx . c

Bestem y 0 og y 00 og sett uttrykkene du finner, inn i likningen y 00 þ 5y 0 þ 6y ¼ 0.

Vi dividerer med ð1xÞ2 i begge leddene under kvadratroten og får sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ffi 1f ð xÞ 1l ¼ 1 þ 1x 1x

Vis at likningen i c kan skrives som

Når vi gjør 1x mindre og mindre, får vi flere og flere trekanter i et bestemt intervall. Summen av lengdene av hypotenusene i disse trekantene er en tilnærming til lengden av grafen i intervallet. Når 1x ! 0, vil 1f ðxÞ ! f 0 ðxÞ. Lengden av grafen i intervallet ½a, b 1x er derfor Zb qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 1 þ f 0 ðxÞ dx l¼

erx ðr2 þ 5r þ 6Þ ¼ 0 og bruk denne likningen til å forklare at y ¼ e 2x også er en løsning på likningen y 00 þ 5y 0 þ 6y ¼ 0. Finnes det flere løsninger?

5.90 Tabellen viser farten til en bil de første åtte sekundene av en kjøretur:

Vis at lengden av grafen til funksjonen pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðxÞ ¼ 4 x2 i intervallet ½ 2, 2 kan skrives som Z2 rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 4 dx 4 x2 2

Bruk CAS til å finne svaret i a. Kunne du funnet svaret på en annen måte med og uten et digitalt hjelpemiddel?

Bestem lengden av grafen til gðxÞ ¼ x2 i intervallet ½0, 1 .

Fart ðm=sÞ

12 15 18 18 18 18

Tegn punktene i et koordinatsystem og finn en funksjon f som kan passe til punktene.

Finn arealet mellom grafen til f og linjene x ¼ 0 og x ¼ 8.

Gi en praktisk tolkning av svaret i b.

Tid ðsÞ

5.91 En funksjon f er gitt ved rffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 9x2 , x 2 ½ 5, 5 f ðxÞ ¼ 9 25 Hvis vi roterer grafen til f 360 om x-aksen, får vi et omdreiningslegeme som kalles ellipsoide. Tegn omdreiningslegemet og finn volumet av det.

5.89 En likning som inneholder en ukjent funksjon og deriverte av denne, kaller vi en differensiallikning. Vi har gitt funksjonen y ¼ e 2x . a

Bestem y 0 og vis at y og y 0 er proporsjonale størrelser.

Vis at y ¼ e 2x er en løsning av likningen y 0 þ 2y ¼ 0.

5.92 I 2019 var nedbørsmengden NðtÞ på Rjukan tilnærmet gitt ved funksjonen tþ , t 2 ½0, 12 NðtÞ ¼ 70 45cos 3 4 der nedbørsmengden er målt i millimeter per måned og t er måneder fra januar. Hva var den totale nedbørsmengden på Rjukan i 2019?

Oppgaver 337

5.93 Tabellen viser sammenhengen mellom noen x- og y-verdier: x

121

Bruk GeoGebra og regresjon til å finne en matematisk modell som viser sammenhengen.

5.94

5.95 Denne oppgaven passer det at hele klassen jobber med samtidig, og at to og to elever samarbeider. Dere trenger et pappkrus.

Bruk GeoGebra og det du har lært om omdreiningslegemer, til å lage en så nøyaktig som mulig modell av pappkruset.

Beregn volumet av ditt omdreiningslegeme og sammenlikn med volumet av pappkruset.

Diskuter de ulike løsningene i klassen.

3D-print den mest nøyaktige figuren.

5.96 Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ ln x þ 1. Et flatestykke blir avgrenset av grafen til f , y-aksen og linja y ¼ 2. Finn volumet av omdreiningslegemet som vi får når grafen til f roteres 360 om x-aksen.

I fysikk beskriver Hookes lov at kraften som trengs for å trekke ut en fjær, er proporsjonal med forlengelsen av fjæra. For en gitt fjær gjelder funksjonen FðxÞ ¼ 10x, der F er kraften gitt i newton og x er forlengelsen av fjæra gitt i meter. a

Tegn grafen til F.

Forklar at produktet av enhetene til aksene er Nm, altså det vi i fysikk betegner som arbeid.

Regn ut arbeidet som utføres når fjæra blir forlenget 10 cm.

5.97 Et oljeselskap regner med nedgang i bensinutsalget i årene framover. I 2018 solgte oljeselskapet 2 300 000 liter bensin, og de antar at nedgangen vil være på 4,5 % per år i de kommende årene. a

Finn en funksjon som viser nedgangen i salget.

Hvor mye bensin regner oljeselskapet med å selge til sammen fra 2018 til 2022?

5.98

Denne oppgaven passer det at klassen gjør samlet. Dere skal jobbe sammen i grupper og undersøke hva renslighet har å si for holdbarheten til mat. Forsøket går over et par uker, og dere trenger ferdig oppskårede brødskiver og gjennomsiktige Zip-plastposer.

338 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Legg først en brødskive i Zip-plastposen uten å berøre den med hendene. Vask så hendene godt, ta en ny brødskive i hånden og legg den i en annen pose. Til slutt skal du skitne til hendene dine ved å skrive på PC-en, bruke mobil/nettbrett, ta på dørhåndtak og liknende. Ta så den siste skiva og legg denne også i en pose.

Noter annenhver dag i rundt to uker hvor stor andel av hver skive som er blitt dårlig. Før resultatene inn i tabellen:

Øv til eksamen 5.100 (Eksamen R2 våren 2021) Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x2 x. Et flatestykke F er avgrenset av grafen til f og x-aksen. a

Bestem arealet av flatestykket F.

Vi dreier flatestykket 360 om x-aksen og får et omdreiningslegeme med volum V. b

Bestem V.

Antall dager gått

5.101 (Eksamen R2 høsten 2019) Funksjonen f er gitt ved f ðxÞ ¼ x þ a, 0 x 2, a > 0

Urørt skive Berørt med rene hender Berørt med skitne hender

Lag en modell for utviklingen til hver skive. Modellen skal gi andelen av skiva som er blitt dårlig x dager etter at den ble lagt i posen.

Grafen til f dreies 360 om x-aksen. Vi får da en rett avkortet kjegle.

Sammenlikn resultatene med andre grupper og vurder modellenes gyldighet.

5.99 Ewa har gjort et forsøk i naturfag og funnet disse verdiene: 1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

Bestem a slik at arealet under grafen til f blir 3.

Bestem a slik at volumet av den rett avkortede 98 . kjegla blir 3

5.102 y 2

1,0

1,9

5,28 5,43 5,59 5,75 5,93 6,10 6,29 6,50 6,72 6,95 7,10

2,0

Bruk numerisk integrasjon og metode med trapes for å finne arealet under grafen til funksjonen.

2 x

pffiffiffi Figuren viser grafen til gðxÞ ¼ x og grafen til hðxÞ ¼ x2 . Arealet avgrenset mellom grafen til g og h er fargelagt. Når vi roterer figuren 360 om x-aksen, får vi et omdreiningslegeme.

Oppgaver 339

Line og Lars diskuterer hvilken formel de kan bruke for å regne ut volumet av omdreiningslegemet.

Funksjonen h er gitt ved hðxÞ ¼ 2x þ k sin x, der 0 < k < 9 La F være flatestykket avgrenset av grafen til h, x-aksen og linja x ¼ 4 . d

Vis ved hjelp av CAS at arealet til F er uavhengig av k.

Dersom F dreies 360 om x-aksen, får vi et omdreiningslegeme. e

Bruk CAS til å bestemme hvilken verdi for k som gir minst volum til omdreiningslegemet.

5.104 (Eksamen R2 våren 2020) Tabellen nedenfor viser det elektriske energiforbruket («strømforbruket») for en bolig måned for måned i 2019. Energiforbruket er målt i kWh.

a b

Vurder forslagene og begrunn hvem som har rett. Finn volumet av omdreiningslegemet.

5.103 Funksjonene f og g er gitt ved f ðxÞ ¼ 2x þ sin x,

Df ¼ ½0, 4

gðxÞ ¼ 2x þ 4 sin x, Dg ¼ ½0, 4 a b

Bruk graftegner til å tegne grafene til f og g i samme koordinatsystem. Bestem arealet under grafen til f og arealet under grafen til g.

Dersom grafen til f og grafen til g dreies 360 om x-aksen, får vi to omdreiningslegemer. c

Bestem volumet til hvert av de to omdreiningslegemene.

Måned

Energiforbruk (kWh)

1540

1480

1320

1050

800

750

660

730

940

1170

1300

1520

Bruk regresjon til å bestemme en trigonometrisk funksjon som passer godt med informasjonen i tabellen.

Når økte forbruket raskest ifølge modellen f ? R12 Bestem f ðtÞ dt. Gi en praktisk tolkning av svaret. 0

340 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Energiprisen varierer også med tiden på året. Funksjonen p gitt ved pðtÞ ¼ 0,85 þ 0,17 sin ð0,52 t þ 1,07Þ er en god modell for energiprisen i kroner per kWh. Her er pð1Þ den gjennomsnittlige energiprisen i januar, pð2Þ den gjennomsnittlige prisen i februar, og så videre. d

Bestem den årlige energikostnaden til boligen dersom vi legger modellene f og p til grunn.

I en matematikkbok finner vi denne setningen: Anta at en funksjon f er kontinuerlig og deriverbar i et intervall ½a, b , og f ðxÞ 0 for alle x 2 ½a, b . Overflatearealet til omdreiningslegemet vi får når vi roterer grafen til f om x-aksen mellom x ¼ a og x ¼ b, er da gitt ved formelen Zb qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi O ¼ 2 f ðxÞ 1 þ ðf 0 ðxÞÞ2 dx a

5.105 (Eksamen R2 høsten 2020) Innsideflaten av en type stettglass framkommer når funksjonen f gitt ved f ðxÞ ¼ 0:3 sin ð1,9x 4,1Þ þ 0,25, x 2 ½0, 1,5 roteres 360 grader om x-aksen. Her er x målt i dm. a

Hvor mye vann er det plass til i glasset om det fylles helt opp? y 0,5

0,5

2 x

0,5

Stettglasset er laget av 3 mm tykt glass. Dersom funksjonen g gitt ved gðxÞ ¼ f ðxÞ þ 0,03 roteres 360 grader om x-aksen, får vi en tilnærming av ytterflaten til glasset. b

Bestem volumet til materialet som stettglasset (uten stett) er laget av.

Bruk svaret i b til å bestemme en tilnærmet verdi for overflatearealet til utsiden av stettglasset (uten stett).

Bruk setningen til å bestemme overflatearealet av utsiden av stettglasset (uten stett).

5.106 (Eksamen R2 høsten 2019, noe endret) Når vi slipper en muffinsform fra høyt oppe, vil den etter kort tid få tilnærmet konstant fart. Denne farten kalles muffinsformens terminalfart. En funksjon som viser farten y (i meter per sekund) til muffinsformen x sekunder etter at den har blitt sluppet, er gitt ved 9 1 e 10,9x yðxÞ ¼ 5 1 þ e 10,9x Strekningen s muffinsformen har beveget seg i løpet av de t første sekundene etter at den har blitt sluppet, er gitt ved Rt yðxÞ dx 0

Hvor lang tid vil det gå fra du slipper en slik muffinsform, og til den har falt 12 meter?

Oppgaver 341

5.107 (Eksamen R2 høsten 2018) En bedrift slipper ut 20 000 tonn CO2 i 2018. De har et mål om å redusere de årlige utslippene med 15 % hvert år fra og med 2019. a

Hvor mye CO2 vil bedriften slippe ut til sammen i løpet av de ti årene 2018–2027 dersom de klarer å nå målet?

En annen bedrift slipper ut 30 000 tonn CO2 i 2018. b

Hvor mange prosent må denne bedriften redusere utslippene med per år for at bedriftene til sammen skal slippe ut like mye i løpet av årene 2018–2027?

Bruk tallene fra tabellen til å lage en sinusfunksjon g som er en god modell for vannstanden.

Funksjonen f gitt ved f ðxÞ ¼ 130sin ð0,501x 0,532Þ þ 148,

x 2 ½0, 24i

er en god modell for vannstanden til tidevannet i Tromsø x timer etter midnatt 14. august 2018. b

Bestem perioden til f . Gi en praktisk tolkning av dette tallet.

Gi en praktisk tolkning av tallene 148 og 130 i modellen til f .

Ved hvilke tidspunkter øker vannstanden med 50 cm per time?

5.109 (Eksamen R2 våren 2019) En sirkel har sentrum i ð0, 5Þ og radius 2.

5.108 (Eksamen R2 våren 2019)

Tabellen nedenfor viser vannstanden til tidevannet ved Leirvik på Stord 14. august 2018. Vannstanden er målt fra et nullnivå som heter sjøkartnull. Klokkeslett

Vannstand ðcmÞ

03.00

102

06.00

09.00

12.00

15.00

109

18.00

21.00

23.00

Vi roterer denne sirkelen 360 om x-aksen. Da får vi et omdreiningslegeme som vist på figuren. y

342 KAPITTEL 5 – MATEMATISKE MODELLER OG ANVENDELSE AV INTEGRASJON

Forklar at grafen til f og g sammen danner sirkelen når f og g er gitt ved pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi f ðxÞ ¼ 5 þ 4 x2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi gðxÞ ¼ 5 4 x2 Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien for volumet av omdreiningslegemet.

5.111 En pasient får kontinuerlig tilførsel av medisin. Medisintilførselen er størst i begynnelsen og avtar etter hvert, og den er gitt ved MðtÞ ¼ e 24 , t

5.110 Ariel tar en løpetur på 40 minutter og har en pulsklokke på armen. Pulsklokken registrerer både tiden hun bruker på løpeturen, og pulsen hun har underveis. Tabellen viser registreringene: Tid (minutt)

Puls (antall slag per minutt)

115

139

148

156

154

146

143

129

Tiden x er gitt i minutter etter start, og pulsen PðxÞ er antall slag per minutt. a

Analyser datasettet og finn en modell som beskriver pulsen til Ariel under løpeturen.

Hvordan passer modellen din til å beskrive pulsen til Ariel 20 minutter etter løpeturen og 60 minutter etter løpeturen?

Oppgi et passende gyldighetsområde for modellen.

Regn ut gjennomsnittspulsen til Ariel i løpet av turen.

der t er timer etter start, og der MðtÞ er målt i milligram per time.

En annen sirkel har sentrum i ð2, 7Þ og radius 3. Vi roterer også denne sirkelen 360 om x-aksen. Bruk CAS til å bestemme den eksakte verdien for volumet av dette omdreiningslegemet.

Hvor lang tid tar det før medisintilførselen er halvert? R24 Forklar at MðtÞ dt gir den totale medisin0

mengden som pasienten får tilført i løpet av det første døgnet, og regn ut integralet. Medisinen skilles etter hvert ut av kroppen. Etter t timer kan medisinmengden i kroppen uttrykkes ved funksjonen U gitt ved t 48 24t UðtÞ ¼ e e 4 5 der UðtÞ er målt i milligram, og der t ¼ 0 er starten av behandlingen. c

Når er medisinmengden i kroppen størst?

Når er det medisinmengden i kroppen avtar raskest?

5.112 En funksjon f er gitt ved 2 cos x f ðxÞ ¼ dx sin x Et flatestykke blir avgrenset av grafen til f , x-aksen 3 og linjene x ¼ og x ¼ . 4 4 Regn ut volumet av omdreiningslegemet som framkommer når flatestykket blir rotert 360 om x-aksen.

Oppgaver 343

5.113 Ved utløpet av en fjord vil sjøvann renne inn og ut av fjorden. Funksjonen f viser farten sjøvannet har, gitt i meter per sekund, på et bestemt tidspunkt i løpet av døgnet. f ðxÞ ¼ e 0,06x cos 0,1x,

x 2 ½0, 47

Her er x antall meter under havoverflaten. Når f er positiv, renner vannet ut av fjorden, og når f er negativ, renner vannet inn i fjorden. a

Regn ut farten til sjøvannet på 30 meters dyp. Hvilken vei renner vannet?

På hvilken dybde er farten null?

Bestem den dybden der sjøvannet har størst fart ut av fjorden og størst fart inn i fjorden. Finn også farten i begge disse tilfellene.

Tegn grafen til f .

Integralet

5.114 Figuren viser de fem første trinnene i Sierpińskis trekant, oppkalt etter den polske matematikeren Wacław Sierpiński. Det første trinnet er en likesidet trekant med omkrets 3.

f ðxÞ dx forteller hvor mange kubikkmeter

Hvor mange svarte trekanter er det i trinn 1, 2, 3 og 4?

Hvor mange svarte trekanter er det i trinn n?

Vis at samlet omkrets til de svarte trekantene i trinn 2 er 4,5.

Hva er samlet omkrets til de svarte trekantene i trinn 3 og 4?

Finn en eksponentialfunksjon som gir samlet omkrets til de svarte trekantene i trinn n.

Hva skjer med samlet omkrets til de svarte trekantene når vi øker antall trinn? Er det noen grense for hvor stor omkretsen kan bli?

Hva skjer med samlet areal til de svarte trekantene når vi øker antall trinn? Begrunn svaret.

vann per sekund som passerer en meter bredde av fjorden mellom dypene x ¼ a og x ¼ b. e

Regn ut integralet

R16

f ðxÞ dx og gi en

praktisk tolkning av svaret. f

Gjør nødvendige beregninger og vurder om det går mest vann ut av eller inn i fjorden på dette tidspunktet.

VEKTORER OG ROMGEOMETRI

1843

Den irske matematikeren William Rowan Hamilton innfører kvartioner i sin søken etter en metode å utvide komplekse tall på. I den forbindelse er han den første som bruker begrepet «vektor».

1843

1830

1730 1779

Caspar Wessel, dansk-norsk matematiker, bruker trigonometri og komplekse tall til geografisk oppmåling av Danmark

1840 1835 Den italienske matematikeren Guisto Bellavitis bruker begrepet «ekvipollens» om linjestykker med samme retning og lengde

1850

Hvordan beskriver vi kurver og figurer i rommet? Hvorfor må en spillprogrammerer kunne vektorregning?

Programmering av fotballspill Har du noen gang spilt fotballspill og tenkt på hvor mye programmering som ligger bak? Spillutviklerne som koder spillet, må blant annet sørge for at både ballens og de 22 spillernes posisjoner lagres kontinuerlig.

1860

Foreslå en måte å angi posisjonen til en spiller på.

Foreslå en måte å angi ballens posisjon på.

Sammenlikn forslagene dine med en medelev. Hvor mange tall trenger dere i hvert tilfelle? Finnes det andre måter å angi disse posisjonene på?

1870 1873 Skotten James Clerk Maxwell bruker vektorregning til å forklare magnetiske og elektriske felt

1880

1890 1896 Norske Kristian Birkeland lanserer en banebrytende teori om nordlys og jordas magnetfelt. Han ble nominert til åtte nobelpriser, men fikk aldri noen

346 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.1 Punkter i rommet UTFORSK Du trenger: GeoGebra 4

4 –4

–2 –2 –4

–2

Figuren viser to punkter i rommet. Koordinatsystemet består av en x-akse, en y-akse og en z-akse. Fra hvert punkt er det tegnet en stiplet linje ned til planet som går gjennom x- og y-aksen. 1

Bestem koordinatene til de to punktene.

Tegn inn et punkt med z-koordinat lik null. Hva vet vi om posisjonen til et slikt punkt?

Tegn inn et punkt med både x- og y-koordinat lik null. Hva kan vi si om posisjonen til dette punktet?

I R1 jobbet vi med punkter og vektorer i samme plan. I slike tilfeller klarer vi oss med en x-akse og en y-akse. Posisjonen til et punkt angir vi med x-koordinat og y-koordinat, for eksempel ð3, 2Þ. 4

Når vi skal jobbe med punkter og vektorer i rommet, trenger vi en akse til, som vi kaller z-aksen. Hvis vi legger x- og y-aksen flatt på bordet, slik at x-aksen peker mot høyre og y-aksen peker fra oss, vil z-aksen peke rett opp. Figuren til venstre viser et slikt koordinatsystem og et punkt med koordinatene ð3, 2, 1Þ.

(3, 2, 1)

4 –4

–2 –2 –4

–2

Punktet på figuren har altså x-koordinat 3, y-koordinat 2 og z-koordinat 1.

Punkter i rommet 347

EKSEMPEL 1 Marker punktene Að2, 0, 3Þ og Bð 3, 3, 1Þ i et koordinatsystem.

Løsning: Vi begynner i origo. For å markere A går vi to enheter i positiv x-retning og tre enheter i positiv z-retning. For å markere B går vi tre enheter i negativ x-retning, tre enheter i positiv y-retning og én enhet i positiv z-retning. 4

z A(2, 0, 3)

B(–3, 3, 1) 2

y 4

–4

–2

–2 –4

–2 Oppgaver: 6.1–6.2

Akser og akseplan To koordinatakser spenner ut et plan. På figuren har vi markert xy-planet, yz-planet og punktene ð0, 3, 2Þ og ð0, 2, 0Þ.

2 –4

–2 –2 –4

–2

4 2

Av figuren ser vi at begge punktene ligger i yz-planet, siden x-koordinaten er null. Punktet ð0, 2, 0Þ ligger også på y-aksen, fordi z-koordinaten er null. Dette punktet ligger altså både i xy-planet og yz-planet. På figuren er planene kuttet. Egentlig har de uendelig utstrekning.

Punkter i rommet:

348 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

AKSER OG A KSEPLAN Punkter på koordinataksene ðx, 0, 0Þ ligger på x-aksen. ð0, y, 0Þ ligger på y-aksen. ð0, 0, zÞ ligger på z-aksen. To koordinatakser spenner ut et plan ðx, y, 0Þ ligger i xy-planet. ð0, y, zÞ ligger i yz-planet. ðx, 0, zÞ ligger i xz-planet. xy-planet:

yz-planet:

xz-planet:

z y

y y

x x

EK SEMPEL 2 Avgjør om punktet ligger i et av akseplanene eller på en av koordinataksene: a

ð4, 0, 2Þ

ð 1, 3, 4Þ

ð0, 4, 0Þ

Løsning: a ð4, 0, 2Þ har y-koordinat null og ligger derfor i xz-planet.

Oppgaver: 6.3–6.4

ð 1, 3, 4Þ har ingen koordinater som er null, og ligger derfor hverken i et akseplan eller på en koordinatakse.

ð0, 4, 0Þ har både x- og z-koordinat lik null og ligger derfor på y-aksen. Punktet ligger i både xy-planet og i yz-planet.

Reflekter og diskuter!

Hva vet vi om koordinatene til et punkt som ligger i både xy-planet og i xz-planet?

Hvilket punkt ligger i alle de tre akseplanene?

Punkter i rommet 349

Avstand mellom punkter UTFORSK På figuren nedenfor har vi markert punktene Að2, 1, 1Þ, Bð5, 1, 1Þ, Cð5, 5, 1Þ og Dð5, 5, 4Þ. Deretter har vi markert linjestykker mellom punktene og to rettvinklede trekanter. D(5, 5, 4)

z 4

C(5, 5, 1)

4 2

A(2, 1, 1) 2

B(5, 1, 1) 4 6

–2

Forklar at lengdene AB ¼ 3, BC ¼ 4 og CD ¼ 3.

Finn lengden AC.

Finn avstanden mellom punktene A og D.

Bruk resultatene til å finne en formel for avstanden mellom to vilkårlige punkter med koordinater ðx1 , y1 , z1 Þ og ðx2 , y2 , z2 Þ.

Vi skal finne avstanden mellom to vilkårlige punkter, Aðx1 , y1 , z1 Þ og Bðx2 , y2 , z2 Þ. Vi tegner en figur og markerer to nye punkter:

Dðx2 , y2 , z1 Þ, som ligger loddrett ned fra B i samme høyde som A.

Cðx2 , y1 , z1 Þ, som ligger slik at AC er parallell med x-aksen og DC er parallell med y-aksen. B(x2, y2, z2)

A(x1, y1, z1)

D(x2, y2, z1)

C(x2, y1, z1)

350 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

4ACD og 4ADB er rettvinklede trekanter. Først bruker vi Pytagoras’ setning til å finne hypotenusen AD i 4ACD: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AD ¼ AC2 þ CD2 ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 Så bruker vi AD og DB til å finne hypotenusen AB i 4ADB: pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi AB ¼ AD2 þ DB2 ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 þ ðz2 z1 Þ2 På figuren nedenfor har vi tegnet inn lengdene. Avstanden mellom punktene A og B er lengden AB. z

B(x2, y2, z2) (x2 – x1)2 – (y2 – y1)2 – (z2 – z1)2 z2 – z1

D(x2, y2, z1) A(x1, y1, z1)

y2 – y1 x2 – x1 C(x2, y1, z1)

(x2 – x1)2 – (y2 – y1)2 x

AVST AND M ELLOM P UNKTER Avstanden mellom punktene ðx1 , y1 , z1 Þ og ðx2 , y2 , z2 Þ er qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 þ ðz2 z1 Þ2

Når vi bruker avstandsformelen, spiller det ingen rolle hvilket punkt vi velger som ðx1 , y1 , z1 Þ, og hvilket vi velger som ðx2 , y2 , z2 Þ.

EK SEMPEL 3 Bestem avstanden mellom punktene ð2, 2, 4Þ og ð 3, 2, 0Þ.

Løsning: Vi bruker avstandsformelen qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 þ ðz2 z1 Þ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 ¼ ð 3 2Þ2 þ 2 ð 2Þ þ ð0 4Þ2 qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ ð 5Þ2 þ 42 þ ð 4Þ2 pffiffiffiffiffi ¼ 57 7,55 Avstanden mellom punktene er 7,55.

Punkter i rommet 351

Løsning med CAS: Vi bruker kommandoen «avstand» og skriver inn koordinatene til punktene: 1

Vi får samme svar som over.

Oppgave: 6.5

Reflekter og diskuter! I utledningen av avstandsformelen qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 þ ðz2 z1 Þ2 hadde punktene positive kooordinater. Forklar at formelen også gjelder for negative koordinater.

Punkter gitt ved parametre Posisjonen til et punkt kan også uttrykkes med en parameter. La for eksempel punktet P ha koordinatene ðt, t, 2tÞ. Punktets posisjon varierer med verdien til parameteren t. Når t ¼ 0, har punktet koordinatene ð0, 0, 0Þ og ligger i origo. Når t ¼ 3, har punktet koordinatene ð3, 3, 6Þ z

t=3

4 t=1 2 –4

–2

t=0 2 –2 –2

352 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

EK SEMPEL 4 Punktet P har koordinatene ð3 t, 4, 2tÞ. Finn koordinatene til punktet når t ¼ 1.

Løsning: P ¼ 3 ð 1Þ, 4, 2 ð 1Þ ¼ ð4, 4, 2Þ Når t ¼ 1, har punktet P koordinatene ð4, 4, 2Þ.

EK SEMPEL 5 Maja øver på hjørnespark. Vi legger et koordinatsystem med origo der ballen ligger. Vi lar x-aksen gå langs sidelinja, y-aksen langs mållinja og z-aksen opp langs cornerflagget, se figuren. Alle aksene har meter som enhet. En modell for posisjonen til ballen t sekunder etter sparket er P ¼ ð2t, 17t, 11t 4,9t2 Þ a

Finn posisjonen til ballen et halvt sekund etter sparket.

Bestem hvor ballen lander.

Løsning: a Vi regner ut koordinatene til P når t ¼ 0,5: P ¼ ð2 0,5, 17 0,5, 11 0,5 4,9 0,52 Þ ð1, 8,5, 4,3Þ Etter et halvt sekund er ballen i posisjonen ð1, 8,5, 4,3Þ. b

Når ballen lander, er z-koordinaten null 11t 4,9t2 ¼ 0 tð11 4,9tÞ ¼ 0 11 2,24 4,9 Ballen lander etter om lag 2,2 sekunder. Da er posisjonen 11 11 , 17 , 0 ð4,5, 38,2, 0Þ P¼ 2 4,9 4,9 Ballen lander 38,2 meter fra sidelinja og 4,5 meter fra mållinja. t ¼0_t ¼

Grafisk løsning: a Vi lager en glider for t fra 0 til 3 med animasjonstrinn på 0,1. Så velger vi «Grafikkfelt 3D» og skriver inn P. For å få bedre oversikt lager vi også punktet Pz , med samme x- og y-koordinat som P, men med z-koordinat null.

Punkter i rommet 353

Med glideren kan vi nå følge ballens bane. Figuren viser posisjonen etter et halvt sekund. Vi har rotert koordinatsystemet slik at synsvinkelen er mot cornerflagget.

Posisjonen etter et halvt sekund er ð1, 8,5, 4,3Þ. b

Vi drar i glideren til z-koordinaten er null, og leser av posisjonen til P ¼ ð4,5, 38,2, 0Þ. Ballen lander 38,2 meter fra sidelinja og 4,5 meter fra mållinja.

Oppgaver: 6.6–6.8

Oppgaver 6.1 Marker punktene i et koordinatsystem: a

ð0, 1, 3Þ

ð0, 0, 3Þ

ð2, 2, 1Þ 3 4, , 3 2

ð1, 2, 2Þ

6.2 Finn koordinatene til punktene på figuren:

ð2, 2, 1Þ

–4

–2

2 t=0 2

–2 –2

4 C2

y A

354 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.3 Avgjør om punktene ligger i noen av akseplanene eller på noen av koordinataksene. a b c

ð4, 0, 3Þ 1 0, 1, 3

d e

ð 4, 2, 1Þ

6.7

ð0, 0, 2Þ 33 100, ,0 34 ð0, 0, 0Þ

6.4 Gi eksempel på et punkt utenom origo som a

ligger i yz-planet

ligger i xz-planet

ligger på z-aksen

ligger i både xy-planet og i yz-planet

6.5 Bruk avstandsformelen til å regne ut avstanden mellom punktene. Kontroller utregningen med CAS. a

ð2, 1, 1Þ og ð4, 2, 3Þ

ð0, 0, 0Þ og ð3, 2, 6Þ

ð5, 1, 1Þ og ð3, 0, 2Þ 1 , 2, 1 og ð1, 0, 4Þ 2

Anne står på stranda og kaster en flat stein hardt mot vannflaten. Vi plasserer et koordinatsystem med origo ved Anne, slik at x-aksen er parallell med strandlinja, y-aksen peker utover langs vannflaten, og z-aksen peker loddrett opp fra vannflaten. Enheten på aksene er meter. Posisjonen til steinen fra Anne kaster den og til den treffer vannflaten, endrer seg med tiden t, og er gitt ved

6.6

1 Punktet P har koordinatene 2 þ t, t, 1 2t . 2 Finn koordinatene til punktet når a

t¼0

t¼3

t ¼ 2

t¼

P ¼ ð 1,2t, 13t, 0,9 1,2t 4,9t2 Þ der t er antall sekunder etter at steinen er kastet. a

Finn koordinatene til P når t ¼ 0. Hvilken høyde blir steinen kastet fra?

Lag en glider for t og bruk GeoGebra til å vise at steinen treffer vannflaten etter 0,32 sekunder. Kontroller svaret ved å løse en likning i CAS.

Hvor langt fra strandlinja er steinen når den treffer vannet?

1 2

6.8 Gitt punktet P ¼ ð1 þ t, 2t, 4 þ 2tÞ. a

Velg tre verdier for t og marker posisjonen til P i et koordinatsystem for hver av verdiene.

Tegn en linje gjennom de tre posisjonene som du markerte i a.

Vis at P ligger på linja for alle verdiene av t.

Hvor langt flytter punktet seg hver gang t øker med én?

Vektorer i rommet 355

6.2 Vektorer i rommet UTFORSK 1

En fugl flyr av gårde. Forklar hvordan en vektor kan beskrive både farten og fartsretningen til fuglen i et gitt øyeblikk.

Figuren under viser en vektor som starter i punktet A og slutter i punktet B. Bruk det du kan om vektorer i planet, og bestem vektorkoordinatene til vektoren. B(3, 4, 5) z 4

y 4

–4 A(–2, –3, 1)

–2

–2 –4

–2

Vektorkoordinater 1

Vektorer i rommet har lengde og retning, akkurat som vektorer i planet. Vi kan angi både lengden og retningen ved hjelp av enhetsvektorene e~x , e~y og e~z , slik det er vist i figuren til høyre.

ez –1

Enhetsvektorene har lengde 1 og samme retning som koordinataksene. Neste figur viser vektoren ~ u ¼ 3e~x þ 4e~y þ 2e~z tegnet ut fra origo. z

u = 3ex + 4ey + 2ez 6

4 2

2 –2

y ey

2 1 ex

–1 –1

356 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Som for vektorer i planet, forenkler vi skrivemåten og bruker vektorkoordinater: Vektorer i rommet:

~ u ¼ ½3, 4, 2 Vi kan flytte vektoren uten at den endrer seg, så lenge retningen og lengden er den samme. Slik er det også med vektorer i planet. På samme måte som for vektorer i planet kan vi finne vektorkoordinatene når vi kjenner punktene der vektoren starter og slutter. Figuren viser ! vektoren AB mellom punktene ð 2, 4, 1Þ og ð3, 0, 2Þ: 4

A(–2, 4, 1) y 4

B(3, 0, 2)

2 –2

4 x

For å komme fra A til B må vi gå fem enheter i x-retning, fire enheter i negativ ! y-retning og én enhet i z-retning. Vektorkoordinatene er derfor AB ¼ ½5, 4, 1 . Vi kan regne ut vektorkoordinatene slik: ! AB ¼ ½3 ð 2Þ, 0 4, 2 1 ¼ ½5, 4, 1

V E KT O R E R I R O M M E T Vi angir vektorer med vektorkoordinater: ~ u ¼ ½a, b, c ¼ a e~x þ b e~y þ c e~z Vektoren mellom Aðx1 , y1 , z1 Þ og Bðx2 , y2 , z2 Þ er gitt ved: ! AB ¼ ½x2 x1 , y2 y1 , z2 z1

Reflekter og diskuter!

Hva vet vi om en vektor hvis én eller flere av vektorkoordinatene er null?

Fart er et eksempel på en størrelse vi kan angi med en vektor i rommet. Finn andre eksempler.

Vektorer i rommet 357

EKSEMPEL 6 a

Finn vektorkoordinatene til vektoren som går fra punktet A ¼ ð3, 0, 1Þ til punktet B ¼ ð 2, 4, 1Þ.

Tegn vektoren med startpunkt i origo. 4

Løsning: a Vi regner ut vektorkoordinatene. ! AB ¼ ½ 2 3, 4 0, 1 ð 1Þ ¼ ½ 5, 4, 2 b

Vi tegner vektoren fra origo til punktet ð 5, 4, 2Þ slik det er gjort i illustrasjonen til høyre.

AB 2

4 –6

–4

2 –2 2x

Grafisk løsning: a I GeoGebra velger vi «Grafikkfelt 3D» under «Visning». Så definerer vi punktene A og B og vektoren mellom dem, som vi kaller u. GeoGebra tegner vektoren mellom punktene. Vektorkoordinatene er ½ 5, 4, 2 , se figuren. b

For å tegne vektoren med start i origo definerer vi en ny vektor ~ v med de samme vektorkoordinatene:

–2

GeoGebra skriver vektorer nedover: 0 1 5 @ 4A 2

Oppgaver: 6.9–6.10

358 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Lengden av en vektor Avstanden mellom to punkter med koordinatene ðx1 , y1 , z1 Þ og ðx2 , y2 , z2 Þ er qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 þ ðz2 z1 Þ2 Avstanden er den samme som lengden av vektoren mellom punktene. Uttrykkene ðx2 x1 Þ, ðy2 y1 Þ og ðz2 z1 Þ kjenner vi igjen som vektorkoordinatene til vektoren mellom punktene. Det betyr at lengden av vektoren ½a, b, c er pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ½a, b, c ¼ a2 þ b2 þ c2

L E NG D EN AV E N V E KT O R Lengden av vektoren ~ u ¼ ½a, b, c er pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j~ uj ¼ ½a, b, c ¼ a2 þ b2 þ c2

EK SEMPEL 7 Regn ut lengden av vektoren ~ u ¼ ½5, 0; 1 .

Løsning: qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi j~ uj ¼ ½5, 0, 1 ¼ 52 þ 02 þ ð 1Þ2 ¼ 26 5,1 Løsning med CAS: Vi definerer vektoren ~ u ¼ ½5, 0, 1 og bruker kommandoen «lengde» for å finne lengden av vektoren: 1

Oppgaver: 6.11–6.12

pffiffiffiffiffi Lengden av vektoren er 26. I linje 2 kunne vi også skrevet juj for å finne lengden.

Vektorer i rommet 359

Regneregler for vektorer UTFORSK Jobb sammen to og to eller i grupper 1

Skriv ned alle regnereglene som dere kan for vektorer i planet. Bruk gjerne figuren som hjelp: y 4 3 2 1 1

Diskuter hvilke av regnereglene som kan gjelde for vektorer i rommet.

Når vi regner med vektorer i rommet, bruker vi flere av de samme regnereglene som for vektorer i planet. Dette gjelder både addisjon, subtraksjon og multiplikasjon med tall.

GRUNNLEGGENDE VEKTOROPERASJONER Addisjon: ½x1 , y1 , z1 þ ½x2 , y2 , z2 ¼ ½x1 þ x2 , y1 þ y2 , z1 þ z2 Subtraksjon: ½x1 , y1 , z1 ½x2 , y2 , z2 ¼ ½x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 Multiplikasjon med tall: k ½x, y, z ¼ ½kx, ky, kz

EKSEMPEL 8 Vi har vektorene ~ a ¼ ½2, 1, 1 og ~ b ¼ ½0, 3, 1 . a

Bestem ~ u ¼~ a þ~ b og ~ v ¼ 2~ a ~ b.

Tegn 2~ a og ~ v ut fra origo og ~ b ut fra der 2~ a slutter. Kommenter resultatet.

360 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Løsning: a ~ u ¼ ½2, 1, 1 þ ½0, 3, 1 ¼ ½2 þ 0, 1 þ 3, 1 þ ð 1Þ ¼ ½2, 2, 0 ~ v ¼ 2½2, 1, 1 ½0, 3, 1 ¼ ½2 2 0, 2 ð 1Þ 3, 2 1 ð 1Þ ¼ ½4, 5, 3 Vi kan også løse oppgaven i CAS: Vi definerer vektorene og leser av vektorkoordinatene: 1

~ u ¼ ½2, 2, 0 og ~ v ¼ ½4, 5, 3 b

Vi velger «grafikkfelt 3D» i GeoGebra og definerer vektorene ~ a, ~ b, ~ v og ~ u ¼ 2~ a. Så definerer vi punktet A ¼ ð4, 2, 2Þ. For å tegne ~ b ut fra punktet ~, A skriver vi «w=Vektor (A, A+-b)». Til slutt markerer vi vektorene ~ v, ~ u og w slik at kun disse vises i grafikkfeltet.

CAS tolker små bokstaver som vektorer og store som punkter.

Oppgaver: 6.13–6.14

Vi ser at differansen mellom 2~ a og ~ b er lik summen av 2~ a og ~ b.

Vektorer i rommet 361

Parallelle vektorer UTFORSK 4

–2

2 2

4 6

–2

Hvilke av vektorene på figuren over er parallelle?

Velg to av de vektorene som er parallelle, og vis at vi kan skrive den ene som et tall multiplisert med den andre.

Foreslå en definisjon av parallelle vektorer i rommet.

Figuren nedenfor viser to parallelle vektorer, ~ u og ~ v: y

z 6 4 2 –2

–2

4 2

v u

2 4 6 x

Vektorene er parallelle fordi de peker i samme retning. De ville også vært parallelle hvis de pekte i motsatt retning. Med symboler skriver vi ~ u k~ v. Hvis to vektorer er parallelle, kan vi skrive den ene vektoren som et tall multiplisert med den andre vektoren, altså ~ u ¼ t ~ v. På figuren over er ~ u ¼ 0,5~ v. Sammenhengen gjelder også motsatt vei: Hvis vi kan uttrykke den ene vektoren som et tall multiplisert med den andre, vet vi at vektorene er parallelle.

362 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

P A R A L L E L LE V E KT O RE R To vektorer er parallelle hvis den ene vektoren kan skrives som et tall multiplisert med den andre vektoren. ~ u k~ v ,~ u ¼ t ~ v

Reflekter og diskuter! Vi vil undersøke om vektorene ~ a og ~ b er parallelle.

Spiller det noen rolle om vi skriver ~ a ¼ t~ b eller ~ b ¼ t~ a?

Hva er sammenhengen mellom de to t-verdiene vi finner?

EK SEMPEL 9 1 1 3 ~ Vi har vektorene ~ a ¼ 2, , 3 , b ¼ 1, , og ~ c ¼ ½s þ 1, 1, 1 s . 2 4 2 a

Undersøk om ~ a og ~ b er parallelle.

Bestem s slik at ~ c k~ a.

Løsning: a Vi prøver å bestemme et tall t slik at ~ a ¼ t~ b. ~ a ¼ t~ b 1 1 3 2, , 3 ¼ t 1, , 2 4 2 Likningen er bare oppfylt dersom alle de tre vektorkoordinatene er like på hver side. Vi bruker derfor én av dem til å bestemme t, og så sjekker vi om de andre vektorkoordinatene også er like med denne t-verdien. 2 ¼ t 1 t ¼ 2 Vi multipliserer ~ b med 2 og ser om vi får ~ a. 1 3 1 2 1, , ¼ 2, , 3 ¼ ~ a 4 2 2 Vektorene er parallelle fordi ~ a ¼ 2~ b.

Vektorer i rommet 363

Hvis ~ c k~ a, må ~ c ¼ k ~ a. Da må også forholdene mellom tilsvarende vektorkoordinater i ~ c og ~ a være like. Først bruker vi x- og y-koordinatene: xc yc ¼ xa ya sþ1 1 ¼ 1 2 2 sþ1 ¼2 2 s þ 1 ¼ 2 ð 2Þ s ¼ 5 Vektorene kan være parallelle for s ¼ 5, men vi må sjekke om forholdet mellom z-koordinatene også blir 2. zc 1 s 1 ð 5Þ 6 ¼ ¼ ¼ ¼2 3 3 za 3 For s ¼ 5 er forholdene mellom tilsvarende vektorkoordinater like, og vektorene er derfor parallelle. Vi kunne også løst oppgaven ved å bestemme t slik at ~ c ¼ t~ a.

Løsning med CAS: Vi definerer vektorene og løser likningen ~ c ¼ t~ a.

Vi ser at ~ c k~ a hvis s ¼ 5.

Reflekter og diskuter! Tove mener at ~ a og ~ b i eksempel 9 er parallelle bare dersom forholdene mellom tilsvarende vektorkoordinater i de to vektorene er like. Diskuter denne påstanden.

Oppgaver: 6.15–6.16

364 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Summen av vektor ~ u og den motsatte vektoren ~ u er nullvektoren ~ 0: ~ u þ ð ~ uÞ ¼ ~ 0 N U L LV E K T O R Nullvektoren har lengde null og er parallell med alle vektorer.

Oppgaver 6.9 Finn vektorkoordinatene til vektoren mellom punktene. a

ð2, 1, 5Þ og ð4, 2, 7Þ

ð0, 3, 1Þ og ð2, 2, 4Þ 1 2 , 8, 3 og , 0, 1 3 3

c d

6.14 1 2 3 1 Gitt vektorene ~ u¼ , , og ~ v ¼ 2, , 0 . 3 3 4 4 ~ slik at Bestem w a

~ uþ~ w ¼~ v

~ ~ ¼~ u þ~ vþw 0

~ ¼~ 2w u þ~ v

~ u

ð2, 5, 1Þ og ð0, 0, 0Þ

6.10 5 3 10 Vi har punktene A , 2, og B , 5, 4 . 2 2 3 ! ! a Bestem AB og BA . ! ! b Tegn AB og BA ut fra origo. 6.11 Regn ut lengden av vektorene. Kontroller utregningene med CAS. a

½3, 4, 5

½0, 6, 8

½ 3, 1, 2 pffiffiffi 3 1, 5, 4

Gitt vektorene ~ a ¼ ½3, 2, 4 og ~ b ¼ ½2, 5, 1 . Regn ut: ~ a þ~ b

~ a þ 2~ b

1 ~ ðb 2~ aÞ 2

1~ b 10

d ~ a ~ b

~ a ¼ ½4, 10, 6 og ~ b ¼ ½2, 5, 3

b ~ a ¼ ½2, 2, 4 og ~ b ¼ ½1, 1, 2 3 og ~ v ¼ ½ 2, 0, 3 c ~ u ¼ 1, 0, 2 1 3 1 ~ d ~ a ¼ ½1, 3, 5 og b ¼ , , 10 10 2

6.13

2~ a

6.15 Avgjør om vektorene er parallelle. Skriv i så fall den første vektoren som et tall multiplisert med den andre.

~ ¼ ½2, 3, 4 e ~ v ¼ ½ 2, 3, 4 og w

6.12 Gitt vektoren v ¼ ½1, 4, k . Bestem k slik at j~ vj ¼ 9.

~ w ¼~ v 2

~ c ¼ ½1, 0, 4 og ~ d ¼ ½8, 0, 2

6.16 1 Gitt vektorene ~ u ¼ ½ 3, 6, 12 , ~ v ¼ t, 2, 6t 3 5 1 ~ og w ¼ s , s, s þ 2 . 2 2 a

Bestem t slik at ~ u k~ v.

~. Bestem t og s slik at ~ vkw

Skalarprodukt 365

6.3 Skalarprodukt UTFORSK Jobb sammen to og to z

Dere trenger: skrivesaker og GeoGebra 1

Hva vet vi om to vektorer i planet dersom skalarproduktet er null?

Figuren til høyre viser enhetsvektorene e~x , e~y og e~z . Bestem skalarproduktene e~x e~y , e~x e~z og e~y e~z .

ez –1

y ey

2 1 ex

Bruk resultatet til å bestemme skalarproduktet av vektorene:

–1

~ u ¼ 3e~x 2e~y þ 2e~z ~ v ¼ 2e~x þ e~y 2e~z

–1

Undersøk om vi kan regne ut skalarproduktet av ~ u og ~ v på koordinatform, slik vi gjorde med vektorer i planet.

Tegn de to vektorene i GeoGebra. Hva forteller skalarproduktet om vinkelen mellom vektorene?

Skalarproduktet av to vektorer er gitt ved ~ u ~ v ¼ j~ uj j~ vj cos ﬀð~ u, ~ vÞ

Skalarprodukt:

der ﬀð~ u, ~ vÞ er vinkelen mellom ~ u og ~ v. Denne definisjonen gjelder både for vektorer i planet og for vektorer i rommet. Vi skal bruke definisjonen til å finne en formel på koordinatform for skalarproduktet av to vektorer i rommet. Vi lar da vektorene ha vektorkoordinatene ½x1 , y1 , z1 og ½x2 , y2 , z2 . Ved hjelp av enhetsvektorene kan vi skrive de to vektorene som x1 e~x þ y1 e~y þ z1 e~z og x2 e~x þ y2 e~y þ z2 e~z Vi regner ut skalarproduktet ved å multiplisere ut parentesene: ðx1 e~x þ y1 e~y þ z1 e~z Þ ðx2 e~x þ y2 e~y þ z2 e~z Þ 0

zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ zfflfflfflffl}|fflfflfflffl{ ¼ x1 x2 e~x 2 þ x1 y2 e~x e~y þ x1 z2 e~x e~z þ y1 x2 e~y e~x þ y1 y2 e~y 2 þ y1 z2 e~y e~z þ z1 x2 e~z e~x þ z1 y2 e~z e~y þ z1 z2 e~z 2 Skalarproduktene e~x e~y , e~x e~z og e~y e~z er alle null, fordi enhetsvektorene står vinkelrett på hverandre. Skalarproduktene e~x 2 , e~y 2 og e~z 2 er alle 1, fordi lengden av enhetsvektorene er 1 og vinkelen mellom to like vektorer er 0 . Dermed står vi igjen med ðx1 e~x þ y1 e~y þ z1 e~z Þ ðx2 e~x þ y2 e~y þ z2 e~z Þ ¼ x1 x2 þ y1 y2 þ z1 z2

366 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Vi kan altså regne ut skalarproduktet på koordinatform for vektorer i rommet på samme måte som for vektorer i planet. ½x1 , y1 , z1 ½x2 , y2 , z2 ¼ x1 x2 þ y1 y2 þ z1 z2

SKALARPRODU KT Skalarproduktet av to vektorer ~ u og ~ v er gitt ved ~ u ~ v ¼ j~ uj j~ vj cos ﬀð~ u, ~ vÞ der ﬀð~ u, ~ vÞ er vinkelen mellom ~ u og ~ v. På koordinatform er skalarproduktet ½x1 , y1 , z1 ½x2 , y2 , z2 ¼ x1 x2 þ y1 y2 þ z1 z2

EK SEMPEL 10 Bestem skalarproduktet av vektorene ½ 2, 5, 1 og ½ 4, 0, 7 .

Oppgaver: 6.17–6.18

Løsning: ½ 2, 5, 1 ½ 4, 0, 7 ¼ 2 ð 4Þ þ 5 0 þ 1 ð 7Þ ¼ 8 þ 0 7 ¼ 1

Ortogonale vektorer UTFORSK Bruk GeoGebra til å tegne to vektorer i rommet slik at vinkelen mellom vektorene er 90 . Hvis du velger vektorer med hele tall som vektorkoordinater, blir utregningene nedenfor enklere. 1

Bruk vinkelverktøyet og kontroller at vinkelen er 90 .

Regn ut skalarproduktet på koordinatform.

Sammenlikn og diskuter resultatet med en medelev.

Definisjonen av skalarproduktet, ~ u ~ v ¼ j~ uj j~ vj cos ﬀð~ u, ~ vÞ, viser at når vinkelen mellom vektorene er 90 , så er skalarproduktet null. Det er fordi cos 90 ¼ 0. Vektorene står da normalt på hverandre, og vi sier at de er ortogonale.

O RT O G O N A L E V E K T O R E R To vektorer er ortogonale hvis og bare hvis skalarproduktet er null. ~ u ?~ v ,~ u ~ v¼0

Skalarprodukt 367

EKSEMPEL 11 a b

1 er ortogonale. Vis at vektorene ½ 4, 1, 3 og 1, 3, 3 Finn en vektor som står normalt på vektoren ½1, 2, 3 .

Løsning:

1 1 ½ 4, 1, 3 1, 3, ¼ 4 1 þ 1 3 þ 3 ¼ 4 þ 3 þ 1 ¼ 0 3 3

Siden skalarproduktet av vektorene er null, er vektorene ortogonale. b

Hvis vi setter én av koordinatene lik null, bytter rekkefølge på de to andre og endrer fortegnet til én av dem, får vi en vektor som står normalt på den første. En mulig vektor er ½0, 3, 2 , fordi ½1, 2, 3 ½0, 3, 2 ¼ 1 0 þ 2 3 þ 3 ð 2Þ ¼ 0 þ 6 6 ¼ 0

EKSEMPEL 12 Bestem k slik at vektorene ~ u ¼ ½1, 2k, 2 og ~ v ¼ k þ 1,

Oppgaver: 6.19–6.20

1 , 1 er ortogonale. 2

Løsning: Skalarproduktet av vektorene må være null. 1 ½1, 2k, 2 k þ 1, , 1 ¼ 0 2 1 1 ðk þ 1Þ þ 2k þ 2 1 ¼ 0 2 2k þ 3 ¼ 0 3 k¼ 2 3 For at vektorene skal være ortogonale, må k ¼ . 2 Løsning med CAS: Vi definerer vektorene og løser likningen ~ u ~ v ¼ 0. 1

3 Vektorene er ortogonale hvis k ¼ . 2

Oppgave: 6.21

368 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Reflekter og diskuter! Oskar har regnet ut skalarproduktet av vektorene ½1, 1, 2 og ½ 2, 3, 1 og fått vektoren ½ 2, 3, 2 som resultat. Hva gjør Oskar feil?

Vinkelen mellom to vektorer UTFORSK Du trenger: GeoGebra Bruk GeoGebra til å tegne to vektorer i rommet som 1

er parallelle og peker i samme retning

er parallelle og peker i motsatt retning

peker i nesten samme retning

peker i nesten motsatt retning

Regn ut skalarproduktet av de to vektorene i hvert tilfelle. Hvilken sammenheng finner du mellom vektorenes retning og skalarproduktet?

Siden definisjonen av skalarprodukt er den samme i rommet som i planet, er også formelen for vinkelen mellom to vektorer den samme.

VINKELEN MELLOM TO VEKTORER Vinkelen ﬀð~ u, ~ vÞ mellom to vektorer ~ u og ~ v er gitt ved cos ﬀð~ u, ~ vÞ ¼

~ u ~ v ~ juj j~ vj

z v y –(u, v)

u x

Vinkelen ffð~ u, ~ vÞ mellom to vektorer ~ u og ~ v i rommet er mellom 0 og 180 . Fortegnet til skalarproduktet forteller oss om vinkelen er større eller mindre enn 90 : u, ~ vÞ > 0, og skalarproduktet er positivt. Dersom ffð~ u, ~ vÞ 2 ½0, 90 i, er cos ffð~ u, ~ vÞ < 0, og skalarproduktet er negativt. Dersom ffð~ u, 2 h90 , 180 , er cos ffð~

Skalarprodukt 369

EKSEMPEL 13 a

Regn ut skalarproduktet av vektorene ~ u ¼ ½4, 1, 3 og ~ v ¼ ½2, 3, 0 . Hva forteller skalarproduktet om vinkelen mellom vektorene?

Regn ut vinkelen mellom de to vektorene.

Løsning: ~ a u ~ v ¼ ½4, 1, 3 ½2, 3, 0 ¼ 4 2 þ ð 1Þ 3 þ 3 0 ¼ 8 3 ¼ 5 Siden skalarproduktet er positivt, er vinkelen mellom vektorene mindre enn 90 . b

cos ﬀð~ u, ~ vÞ ¼

~ u ~ v ~ juj j~ vj

5 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 42 þ ð 1Þ2 þ 32 22 þ 32 þ 02 5 ¼ pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 26 13 5 ¼ pffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 2 13 13 5 ¼ pffiffiffi 13 2 pffiffiffi 5 2 ¼ 26 pffiffiffi 5 2 ffð~ u, ~ vÞ ¼ cos 1 26 74,2 Vinkelen mellom vektorene er 74,2 .

Reflekter og diskuter! Hva vet vi om vinkelen mellom to vektorer hvis skalarproduktet er lik produktet av vektorenes lengde?

Oppgaver: 6.22–6.24

370 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Oppgaver 6.17 Bestem skalarproduktet ~ u ~ v når a

~ u ¼ ½ 3, 4, 1 og ~ v ¼ ½3, 2, 5

6.21 Bestem k slik at 3 2

½ 4k, 3, 6 ? 1, 6 k,

½2, 4, 2 k ? ½3k, 2, 4 .

d ~ u ¼ ½ 3, 4, 1 og ~ v ¼ ½4, 3, 0

½k, 4, 1 ? ½k þ 5, 2, 2

6.18

6.22 Regn ut vinkelen mellom vektorene. Kontroller utregningene med GeoGebra.

b ~ u ¼ ½0, 2, 10 og ~ v ¼ ½1, 4, 1 c

~ u ¼ ½5, 7, 4 og ~ v ¼ ½4, 6, 3

Regn ut ~ a ~ b når j~ aj ¼ 2, j~ bj ¼ 3 og ﬀð~ a, ~ bÞ er a

180

6.19 Undersøk om vektorene er ortogonale: a

~ u ¼ ½3, 5, 1 og ~ v ¼ ½ 1, 1, 2

b ~ u ¼ ½2, 4, 3 og ~ v ¼ ½2, 3, 4 c

~ u ¼ ½ 7, 2, 3 og ~ v ¼ ½3, 0, 7

d ~ u ¼ ½0, 0, 5 og ~ v¼

3 pffiffiffi , 8, 0 4

6.20 Finn to ikke-parallelle vektorer som står vinkelrett på ~ a ¼ ½5, 3, 4 .

~ u ¼ ½1, 3, 2 og ~ v ¼ ½2, 2, 4

b ~ u ¼ ½1, 3, 2 og ~ v ¼ ½2, 2, 4 c

~ u ¼ ½ 5, 10, 2 og ~ v ¼ ½3, 1, 7

d ~ u ¼ ½4, 1, 2 og ~ v ¼ ½ 5, 2, 1

6.23 Gitt vektorene ~ a ¼ ½k, 2, 1 og ~ b ¼ ½ 4, 3, 6 . For hvilke verdier av k er a

ﬀð~ a, ~ bÞ ¼ 90 ?

ﬀð~ a, ~ bÞ < 90 ?

ﬀð~ a, ~ bÞ > 90 ?

6.24 Gitt vektorene ~ u ¼ ½a, b, c og ~ b ¼ ½d, e, f . Forklar at hvis vinkelen mellom vektorene er større enn 90 , så må enten a og d, b og e eller c og f ha motsatt fortegn.

Vektorprodukt 371

6.4 Vektorprodukt UTFORSK

Figuren viser vektorene ~ u ¼ ½ 1, 2, 2 og ~ v ¼ ½2, 1, 0 . 1

~ som står normalt på både ~ Tenk deg en vektor w u og ~ v. Hvilken retning har en slik vektor? Er det flere muligheter?

Prøv deg fram og finn mulige vektorkoordinater ~. Kontroller vektorkoordinatene ved å til vektoren w ~ ~ ~ ~ regne ut både w u og w v.

Diskuter om vi alltid kan finne en vektor som står normalt på to andre ikke-parallelle vektorer.

y u = [–1, 2, 2]

2 2

v = [2, 1, 0]

–2

Noen ganger trenger vi å finne en vektor som står normalt på to andre vektorer. Vi innfører derfor en ny operasjon, som vi kaller vektorprodukt. Vektorproduktet av to vektorer i rommet er en ny vektor som står vinkelrett på de to andre. Vektorproduktet av ~ a og ~ b skriver vi ~ a ~ b. Lengden av denne vektoren er ~ lengden av a multiplisert med lengden av ~ b og sinus til vinkelen mellom dem: j~ a

~ bj ¼ j~ aj j~ bj sin ﬀð~ a, ~ bÞ

~ a ~ b gir et tall. ~ a ~ b gir en vektor.

a og ~ b. Det finnes to vektorer med riktig lengde som står normalt på både ~ Disse vektorene peker i motsatt retning av hverandre. Hvordan kan vi da vite hvilken av dem som er vektorproduktet? Vi trenger en regel til, som vi kaller høyrehåndsregelen. Hold høyrehånden din slik at pekefingeren peker i retning ~ a og langfingeren i retning ~ b, mens tommelen er vinkelrett på de andre fingrene, som vist på figuren til høyre. Tommelen viser nå retningen til ~ a ~ b. Dette kaller vi høyrehåndsregelen. Vektorene ~ a, ~ b og ~ a ~ b danner et høyrehåndssystem. Nå har vi en entydig definisjon av vektorproduktet.

a¥b

V E KT O R P R O D U K T Vektorproduktet ~ a

~ b er en ny vektor med lengde og retning slik at

j~ a

~ bj ¼ j~ aj j~ bj sin ﬀð~ a, ~ bÞ

~ a

~ b står normalt på både ~ a og ~ b og følger høyrehåndsregelen.

Vektorprodukt kalles også kryssprodukt.

372 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI e x ¥ e y = ez

La oss bruke definisjonen til å finne vektorproduktet av enhetsvektorene e~x og e~y . Vi begynner med høyrehåndsregelen. Hvis vi lar pekefingeren peke i retning e~x og langfingeren i retning e~y , vil tommelen og dermed e~x e~y

peke i samme retning som e~z . ex

Lengden finner vi slik: e~y j ¼ je~x j je~y j sin ﬀðe~x , e~y Þ ¼ 1 1 sin 90 ¼ 1 1 1 ¼ 1

je~x

Det betyr at e~x

e~y ¼ e~z , som vist på figuren over.

EK SEMPEL 14 Bestem vektorproduktene: b ½0, 1, 1 a e~y e~x ey

Løsning: a Vi lar pekefingeren peke langs e~y og langfingeren langs e~x . Da vil tommelen og vektorproduktet peke nedover i motsatt retning av e~z . ex

Lengden er je~y

e~x j ¼ je~y j je~x j sin ﬀðe~y , e~x Þ ¼ 1 1 sin 90 ¼ 1 1 1 ¼ 1

Altså er e~y ey ¥ ex = –ez

Oppgaver: 6.25–6.26

e~x ¼ e~z .

Begge vektorene har x-koordinat null og ligger derfor i yz-planet. Høyrehåndsregelen forteller oss at vektorproduktet ½0, 1, 1 ½0, 0, 2 peker i retning e~x . Vektoren ½0, 1, 1 danner 45 med både y-aksen og z-aksen, og vektoren ½0, 0, 2 er parallell med z-aksen. Vinkelen mellom vektorene er derfor 45 , og lengden blir pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi ½0, 1, 1 ½0, 0, 2 sin 45 ¼ 2 2 sin 45 ¼ 2 2 2 ¼ 2 2 Dette betyr at ½0, 1, 1 ½0, 0, 2 ¼ ½2, 0, 0 .

I eksempelet så vi at e~y Vektorprodukt:

½0, 0, 2

~ a

~ b ¼ ~ b

e~x ¼ e~x

e~y . Dette gjelder generelt:

~ a

Siden vinkelen mellom to parallelle vektorer er 0 og sin 0 ¼ 0, blir vektorproduktet ~ 0. Dette betyr også at vektorproduktet av en vektor og seg selv blir null. ~ a ~ a ¼~ 0 Fra definisjonen kan vi utlede to regler til som vi får bruk for: ~ a ð~ b þ~ cÞ ¼ ~ a ~ b þ~ a ~ c kð~ a

~ bÞ ¼ ðk~ aÞ

~ b ¼~ a

ðk~ bÞ

Vektorprodukt 373

R E G N E R E G L E R F OR V E KT O RP R O D U K T

~ a

~ b ¼ ~ b

~ a

~ a ¼~ 0

~ a

ð~ b þ~ cÞ ¼ ~ a

kð~ a

~ a

~ bÞ ¼ ðk~ aÞ

~ b þ~ a ~ c ~ b ¼~ a

ðk~ bÞ

EKSEMPEL 15 Regn ut vektorproduktene: a

e~x

ðe~y þ 2e~z Þ

½3, 0, 1

½0, 1, 2

Løsning: a

Vi bruker regneregelen ~ a ð~ b þ~ cÞ ¼ ~ a ~ b þ~ a ~ c og høyrehåndsregelen, som i forrige eksempel. e~x ðe~y þ 2e~z Þ ¼ e~x e~y þ 2e~x e~z ¼ e~z 2e~y Vi skriver hver vektor som en sum av enhetsvektorer og bruker regnereglene og høyrehåndsregelen. ½3, 0, 1

½0, 1, 2 ¼ ð3e~x þ e~z Þ ¼ 3e~x

ðe~y þ 2e~z Þ

e~y þ 3e~x

2e~z þ e~z

e~y þ e~z

2e~z

¼ 3e~z þ ð 6e~y Þ þ ð e~x Þ þ 2 ~ 0 ¼ e~x 6e~y þ 3e~z ¼ ½ 1, 6, 3

Løsning med CAS: Vi bruker kommandoen «Vektorprodukt» og skriver inn vektorene: 1

Vektorproduktet er ½ 1, 6, 3 .

Reflekter og diskuter! Hvordan kan vi bruke høyrehåndsregelen til å forklare at ~ a ~ b ¼ ~ b ~ a?

Oppgave: 6.27

374 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

I forrige eksempel regnet vi ut vektorproduktet av to vektorer på koordinatform ved å skrive hver vektor som en sum av enhetsvektorene og å bruke regnereglene for vektorprodukt. På samme måte kan vi utlede en generell formel for vektorprodukt på koordinatform. Beviset kan du selv gjøre i oppgave 6.117 på side 433. V E KT O R P R O D U K T PÅ K O O R DIN A T F O R M ½x1 , y1 , z1

½x2 , y2 , z2 ¼ ½y1 z2 z1 y2 , z1 x2 x1 z2 , x1 y2 y1 x2

Formelen over er ikke den letteste å huske, men vi kan bruke mønsteret nedenfor som hjelp: ex

For å regne ut x-koordinaten i vektorproduktet begynner vi ved ex i øverste linje til venstre. Vi går først skrått ned mot høyre og multipliserer y1 og z2 . Deretter trekker vi fra z1 y2 . Så gjør vi tilsvarende for y- og z-koordinatene.

EK SEMPEL 16 a

Regn ut vektorproduktet ½2, 1, 4

½0, 3, 2 .

Vis at vektorproduktet står normalt på både ½2, 1, 4 og ½0, 3, 2 .

Løsning: a Vi bruker mønsteret som hjelp og fyller inn vektorkoordinatene: ex

–1

–2

½2, 1, 4

½0, 3, 2 ¼ ½ 1 ð 2Þ 4 3, 4 0 2 ð 2Þ, 2 3 ð 1Þ 0 ¼ ½ 10, 4, 6

Vi regner ut skalarproduktet av ½ 10, 4, 6 og hver av de to andre vektorene: ½ 10, 4, 6 ½2, 1, 4 ¼ 10 2 þ 4 ð 1Þ þ 6 4 ¼ 20 4 þ 24 ¼ 0 ½ 10, 4, 6 ½0, 3, 2 ¼ 10 0 þ 4 3 þ 6 ð 2Þ ¼ 0 þ 12 þ ð 12Þ ¼ 0

Oppgaver: 6.28–6.29

Begge skalarproduktene er null. Vektorproduktet står derfor normalt på begge vektorene.

Reflekter og diskuter! Forklar at x-koordinaten i formelen for vektorproduktet blir y1 z2 z1 y2 .

Vektorprodukt 375

EKSEMPEL 17 Vi har vektorene ~ u ¼ ½x, 1, 3 og ~ v ¼ ½2, y, 1 . ~ ¼~ Bestem x og y slik at w u ~ v ¼ ½ 2, 3, 1 .

Løsning: Vi definerer vektorene i CAS og bruker vektorproduktet til å sette opp og løse en vektorlikning: 1

Symbol for vektorprodukt N i GeoGebra er .

Løsningen er x ¼ 3 og y ¼ 1.

Oppgave: 6.30

Flere vektorstørrelser i fysikk er definert som vektorprodukter. Et eksempel er kraften som virker på en ladd partikkel i et magnetfelt.

EKSEMPEL 18 Når en positivt ladd elektrisk partikkel beveger seg i et magnetfelt, blir den påvirket av en kraft F gitt ved F ¼ q ~ v ~ B Her er q ladningen, ~ v er farten til partikkelen, og ~ B angir størrelsen og retningen til magnetfeltet. Farten v måles i meter per sekund ðm=sÞ, ladningen q i coulomb ðCÞ, magnetfeltet B i tesla ðTÞ og kraften F i newton ðNÞ. Figuren illustrerer situasjonen. a

Vis at ~ v, ~ B og ~ F på figuren danner et høyrehåndssystem.

Regn ut kraften F på et proton som beveger seg med farten 4,0 106 m=s vinkelrett på et magnetfelt med feltstyrke 3,5 T, og som har ladning q ¼ 1,6 10 19 C.

v +q F

376 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Løsning: a Vi bruker høyrehåndsregelen. Vi lar pekefingeren peke i retning ~ v og langfingeren i retning ~ B på figuren. Da vil tommelfingeren peke nedover i samme retning som ~ F.

Siden vinkelen mellom ~ v og ~ B er 90 , blir kraften som virker på protonet j~ Fj ¼ q j~ vj j~ Bj sin 90 ¼ 1,6 10 19 C 4,0 106 m=s 3,5 T 1 2,2 10 12 N

F Oppgaver: 6.31–6.33

v og ~ B, På protonet virker det en kraft på 2,2 10 12 N vinkelrett på både ~ som vist på figuren.

Reflekter og diskuter!

Hva vet vi om to vektorer ~ a og ~ b dersom ~ a ~ b ¼~ 0? ~ ~ Hva vet vi om to vektorer ~ a og b dersom j~ a bj ¼ j~ aj j~ bj?

Oppgaver 6.25 Bruk definisjonen til å bestemme vektorproduktene. c e~x e~y a e~x e~z b e~z e~x d e~z e~z

6.28 Regn ut vektorproduktene:

6.26 Bruk definisjonen av vektorproduktet til å vise at a

½3, 0, 4

½1, 0, 0

½0, 1, 0 ¼ ½ 4, 0, 3 1 1 1 , , 0 ¼ 0, 0, 2 2 2

6.27 Skriv ~ u og ~ v som en sum av enhetsvektorer. Bruk definisjonen sammen med regnereglene til å skrive vektorproduktet ~ u ~ v på koordinatform. Kontroller utregningen med CAS. 1 a ~ u ¼ ½0, 3, 0 og ~ v ¼ 2, , 1 3 b ~ u ¼ ½1, 2, 0 og ~ v ¼ ½0, 2, 3

½5, 2, 4

½ 3, 1, 1

½5, 7, 6

½1, 3, 2 ½10, 2, 4

½ 1, 0, 2 1 , 1, 0 ½0, 1, 3 2

6.29 Gitt vektorene ~ u ¼ ½2, 4, t og ~ v ¼ ½1, t, 0 . Bestem t slik at både ~ u og ~ v står normalt på vektoren w ¼ ½ 9, 3, 2 .

Vektorprodukt 377

6.30 Gitt vektorene ~ a ¼ ½ 5, 1, k , ~ b ¼ ½2, 2 t, 1 og ~ c ¼ ½5, 5, 5 . a b

Bruk CAS til å bestemme k og t slik at ~ c ?~ a og ~ c ?~ b. Bruk CAS til å bestemme k og t slik at ~ a ~ b ¼~ 0. ~ Hva vet vi om vinkelen mellom ~ a og b i dette tilfellet?

6.31 Kraften på en partikkel med positiv ladning q og fart ~ v som beveger seg i et magnetfelt ~ B, er gitt ved ~ F ¼ q ~ v ~ B. Kraften måles i N (newton), farten i m=s og magnetfeltet i T (tesla). Et proton med ladning q ¼ 1,6 10 19 C og fart v ¼ 5,6 105 m=s beveger seg inn i et magnetfelt med feltstyrke B ¼ 0,024 T. a

Finn kraften som virker på protoner når fartsretningen danner en vinkel på 30 med magnetfeltet.

Hva må vinkelen mellom fartsretningen til protonet og magnetfeltet være for at kraften skal bli størst mulig?

Hva må vinkelen mellom fartsretningen til protonet og magnetfeltet være for at det ikke skal virke noen kraft?

6.32 n

I hvilken retning i forhold til skiftenøkkelen bør kraften virke for at dreiemomentet skal bli størst mulig?

Regn ut dreiemomentet når vi bruker en kraft på F ¼ 70 N vinkelrett på armen til skiftenøkkelen i en avstand r ¼ 0,14 m fra rotasjonssenteret.

Vis at dreiemomentet blir null dersom vi presser skiftenøkkelen i samme retning som armen.

6.33

Start GeoGebra og vis koordinatsystemet i rommet. Definer følgende i algebrafeltet, se figuren: vektoren ~ a ¼ ½1, 0, 0

en glider for vinkelen t radianer som går fra 0 til 2 vektoren ~ b ¼ ½cos ðtÞ; sin ðtÞ, 0

vektorproduktet ~ c ¼~ a

vinkelen mellom ~ a og ~ b

~ b

Bruk glideren til å variere vinkelen mellom ~ a og ~ b. r

Dreiemoment er et mål på den evnen en kraft har til å endre rotasjonen til et legeme om sin egen akse. Et eksempel er når vi bruker en skiftenøkkel til å skru en bolt, som vist på figuren. Dreiemomentet måles i newtonmeter (Nm) og er gitt ved ~ ¼~ r ~ F, der ~ F er kraften og ~ r er vektoren fra rotasjonssenteret (bolten) til det punktet kraften virker på, her armen på skiftenøkkelen.

For hvilke vinkler er lengden av vektorproduktet ~ c størst?

For hvilke vinkler er lengden av vektorproduktet null? Hva vet vi om ~ a, ~ b og ~ c da?

Lengden av vektorproduktet ~ c avhenger av vinkelen ~ ~ mellom a og b. Velg «spill av» ved siden av glideren og la vinkelen t endre seg automatisk. c Ved hvilken vinkel mellom ~ a og ~ b endrer lengden av ~ c seg raskest? d Ved hvilken vinkel mellom ~ a og ~ b endrer lengden av ~ c seg saktest? e

Kontroller svarene i c og d ved å derivere j~ cj som funksjon av t.

378 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.5 Areal og volum UTFORSK 6

z 6

4 C

ÁAC Á = 2 3

30°

ÁAC Á = 4

–2

Figuren viser fire punkter som danner et parallellogram i xy-planet. ! ! Vi har markert vektorene AB og AC . Begge vektorene har 0 som z-koordinat.

Areal og volum med

Bruk trigonometri til å finne høyden h i parallellogrammet.

2 3

Regn ut arealet av parallellogrammet. ! ! Regn ut vektorproduktet j AB AC j.

Sammenlikn svarene i punkt 2 og 3 og forklar sammenhengen.

! ! Figuren viser et parallellogram i xy-planet. Vektorene AB og AC definerer parallellogrammet. Vi sier at de spenner ut parallellogrammet.

vektorregning:

a A

B x

Vi har også markert høyden h mellom AB og CD og vinkelen mellom AB og AC.

Areal og volum 379

Arealet til parallellogrammet er ! A ¼ AB h ¼ j AB j h

Parallellogram

Ut fra definisjonen av sinus i rettvinklede trekanter kan vi skrive h h ¼ ! sin ¼ AC j AC j som betyr at ! h ¼ j AC j sin Vi setter uttrykket for h inn i formelen for arealet til parallellogrammet: ! ! ! ! A ¼ AB h ¼ j AB j j AC j sin ¼ j AB AC j Arealet til parallellogrammet er altså lik lengden til vektorproduktet av de to vektorene som spenner ut parallellogrammet. Arealet til trekanten ABC er halvparten av arealet til parallellogrammet.

VEKT ORPRODUKT O G A REAL Arealet til parallellogrammet utspent av ~ u og ~ v er A ¼ j~ u ~ vj Arealet til trekanten utspent av ~ u og ~ v er 1 A ¼ j~ u 2

~ vj

Reflekter og diskuter! 1 Hvilken sammenheng er det mellom formelen A ¼ j~ u 2 og arealsetningen vi lærte om på vg1?

~ vj

Romfiguren nedenfor kaller vi et parallellepiped. Det er utspent av vektorene ~ u, ~ ~, og det består av seks parvis parallelle sideflater som alle er parallellov og w ~ grammer. Vektoren ~ n er vektorproduktet av ~ u og ~ v. Vinkelen mellom ~ n og w ~. er lik vinkelen mellom høyden h og w w a h

n a v

~. Vi skal uttrykke volumet av parallellepipedet ved hjelp av vektorene ~ u, ~ v og w

h g

A¼g h

380 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Parallellepipedet er et prisme. Formelen for volumet av et prisme er V ¼G h der G er arealet av grunnflaten og h er høyden. Grunnflaten i prismet er et parallellogram med areal G ¼ j~ u

~ vj

Ut fra definisjonen av cosinus kan vi skrive høyden h som ~j cos h ¼ jw Vi setter uttrykket for G og h inn i formelen for volumet. V ¼G h ~j cos ¼ j~ u ~ vj jw ~ og cosinus til Volumet er altså produktet av lengden til ~ u ~ v, lengden til w vinkelen mellom dem. Men dette er jo definisjonen av skalarproduktet. Det betyr at V ¼ j~ u

~ ~j cos ¼ ð~ vj jw u

~ ~ vÞ w

~ opp fra planet, slik at < 90 og På figuren peker både ~ n ¼~ u ~ v og w cos > 0. Da blir skalarproduktet positivt. Dersom én av dem peker i motsatt retning, slik at > 90 , blir skalarproduktet negativt. For å unngå negativ verdi bruker vi absoluttverdien i formelen for volumet.

V OL U M E T A V E T P A R A L L E L LE P I P E D ~ er Volumet av parallellepipedet utspent av ~ u, ~ v og w V ¼ jð~ u

~ ~j vÞ w

Det spiller ingen rolle om vi snur parallellepipedet på siden og lar ~ spenne ut grunnflaten. Volumet er det samme. for eksempel ~ u og w Derfor er V ¼ jð~ u

~ ~j ¼ jð~ vÞ w u

~Þ ~ w vj ¼ jð~ v

~Þ ~ w uj

Merk deg at et rektangel også er et parallellogram. Derfor gjelder formelen også for rette prismer.

Areal og volum 381

EKSEMPEL 19 Regn ut volumet av parallellepipedet på figuren til høyre.

z D(2, 1, 3)

Løsning: ! Parallellepipedet er utspent av vektorene AB ¼ ½4, 0, 0 , ! ! AC ¼ ½2, 4, 0 og AD ¼ ½2, 1, 3 . Volumet er gitt ved ! ! ! V ¼ jð AB AC Þ AD j Vi definerer vektorene og regner ut volumet med CAS eller i algebrafeltet i GeoGebra. Her har vi brukt CAS.

y C(2, 4, 0) A(0, 0, 0)

B(4, 0, 0)

Volumet av parallellepipedet er 48.

Oppgaver: 6.34–6.35

Reflekter og diskuter!

Så lenge ~ n står normalt på grunnflaten, gjelder volumformelen uavhengig av om ~ n peker i den ene eller den andre retningen. Hvorfor er det slik?

~ hvis ð~ Hva vet vi om vektorene ~ u, ~ v og w u

~ ~ ¼ 0? vÞ w

Figuren til høyre viser et parallellepiped som er delt i to like store deler. Hver del er et prisme med trekantet grunnflate og halvparten av volumet av parallellepipedet, altså: 1 u V ¼ jð~ 2

~ ~j vÞ w

w u

382 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Et prisme med trekantet grunnflate kan vi dele inn i tre skeive pyramider med trekantet grunnflate. w

v u

De tre pyramidene har samme volum. Dette volumet er en tredel av volumet av prismet med trekantet grunnflate. Volumet av en pyramide med trekantet ~ er derfor gitt ved grunnflate utspent av vektorene ~ u, ~ v og w 1 ~j V ¼ jð~ u ~ vÞ w 6 ~ spenne ut en pyramide med et parallelloVi kan også la vektorene ~ u, ~ v og w gram som grunnflate, som vist på neste figur: Pyramide

w h

1 V ¼ G h 3

En pyramide med trekantet grunnflate kalles også et tetraeder.

v u

1 ~j u ~ vÞ w V ¼ jð~ 3 Vi har kommet fram til formler for volumet av prismer med trekant som grunnflate og volumet av pyramider med trekant eller parallellogram som grunnflate.

V OL U M ~: Prisme med trekantet grunnflate, utspent av ~ u, ~ v og w 1 ~j u ~ vÞ w V ¼ jð~ 2 ~: Pyramide med trekantet grunnflate, utspent av ~ u, ~ v og w 1 ~j V ¼ jð~ u ~ vÞ w 6 ~: Pyramide med parallellogram som grunnflate, utspent av ~ u, ~ v og w 1 ~j V ¼ jð~ u ~ vÞ w 3

Areal og volum 383

Reflekter og diskuter!

Forklar hvorfor formlene over gjelder uavhengig av vinklene ~. mellom vektorene ~ u, ~ v og w

Sigbjørn mener at det holder å lære seg formelen for volumet av et parallellepiped. Er du enig?

På side 382 delte vi et prisme med trekantet grunnflate i tre pyramider.

Er de tre pyramidene like?

Forklar hvorfor de tre pyramidene har samme volum.

EKSEMPEL 20 ~ ¼ 2, Pyramiden på figuren er utspent av vektorene ~ u ¼ ½3, 0, 0 , ~ v ¼ ½2, 2, 0 og w a

Bestem volumet av pyramiden.

~. Bestem volumet av parallellepipedet utspent av ~ u, ~ v og w

Løsning: 1 ~. u ~ vÞ w a Volumet av pyramiden er gitt ved V ¼ ð~ 6 Vi definerer vektorene og regner ut volumet med CAS i GeoGebra:

1 ,3 . 3 w

u 1

Volumet av pyramiden er 3. b

Volumet av parallellepipedet er seks ganger større enn volumet av pyramiden. Volumet av parallellepipedet er altså 18.

Oppgaver: 6.36–6.41

384 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Oppgaver 6.34

6.38

w = [3, 2, 4] c = [1, 1, 4] v = [4, 6, 1]

u = [5, 1, 1]

Regn ut volumet av parallellepipedet utspent av ~. vektorene ~ u, ~ v og w

6.35 Figuren viser et parallellepiped:

b = [1, 2, 0] a = [2, 21, 0]

Figuren viser en pyramide utspent av vektorene 1 ~ a ¼ 2, , 0 , ~ b ¼ ½1, 2, 1 og ~ c ¼ ½1, 1, 4 . 2

D(3, 2, 4) y C(9, 6, 0) A(0, 0, 0)

B(5, 0, 0)

Finn arealet av grunnflaten som ligger i xy-planet.

Finn volumet av parallellepipedet.

Bruk CAS til å finne volumet av pyramiden.

Finn volumet av parallellepipedet utspent av de samme vektorene.

6.39 Figuren viser en skisse av tetraederet ABCD utspent av vektorene ~ a, ~ b og ~ c. A

6.36 En trekant har hjørner i Að3, 4, 0Þ, Bð 1, 6, 0Þ og Cð0, 1, 0Þ. Trekanten danner grunnflaten i en pyramide med toppunktet i Dð4, 5, tÞ. a

Bestem t slik at volumet av pyramiden blir 12.

Diskuter om det er andre måter å komme fram til svaret i a på.

6.37 En pyramide med trekantet grunnflate er utspent av ~ ¼ ½1, 1, 4 . vektorene ~ u ¼ ½3, 1, 0 , ~ v ¼ ½0, 2, 1 og w Regn ut volumet av pyramiden for hånd og med CAS.

b B a

Du får vite at ð~ a ~ bÞ ~ c ¼ 72 ~ a ~ b ¼ 16

Finn volumet av tetraederet.

Finn høyden h.

Areal og volum 385

6.40 Undersøk om punktene Að1, 0, 0Þ, Bð2, 1 2Þ, Cð0, 1, 2Þ og Dð3, 1, 1Þ ligger i samme plan, uten først å finne likningen for planet.

A, B, C og D danner en trekantet pyramide. F(7, 10, 3)

D(2, 3, 3) z

6.41 Figuren viser et skeivt trekantet prisme.

D(2, 3, 3) z

E(6, 3, 3)

A(0, 0, 0)

C(5, 7, 0)

Finn volumet av prismet.

B(4, 0, 0)

C(5, 7, 0)

F(7, 10, 3)

E(6, 3, 3)

B(4, 0, 0)

Finn volumet av pyramiden ABCD.

Hvis vi tar bort pyramiden ABCD fra prismet, har vi igjen en pyramide med parallellogrammet BEFC som grunnflate. c

Finn volumet av pyramiden BEFCD.

Pyramiden BEFCD kan deles i to nye pyramider med trekantet grunnflate. Finn volumet av hver av disse.

Forklar hvordan vi uten å regne kan resonnere oss fram til at de tre pyramidene i oppgaven har samme volum.

386 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.6 Plan UTFORSK Du trenger: GeoGebra Ta utgangspunkt i likningen x þ y þ z ¼ 3. 1

Vis at koordinatene til punktet ð2, 0, 1Þ passer i likningen.

Finn fem punkter til med koordinater som oppfyller likningen.

Tegn inn punktene i koordinatsystemet i GeoGebra.

Drei rundt på koordinatsystemet og beskriv punktenes plassering.

Skriv inn likningen x þ y þ z ¼ 3 og beskriv planet du får.

Finn en vektor som står normalt på planet som du har tegnet. Hva er sammenhengen mellom normalvektoren og likningen til planet?

Vi kan bestemme et plan på ulike måter: Plan:

ved hjelp av tre punkter

ved hjelp av ett punkt og en normalvektor til planet

ved hjelp av ett punkt og to vektorer som er parallelle med planet

Likningen x þ y þ z ¼ 1 definerer et plan. Alle punkter med koordinater som passer i likningen, ligger i planet. Eksempler er punktene ð1, 0, 0Þ og ð4, 5, 2Þ. Et plan går gjennom punktet P0 ðx0 , y0 , z0 Þ og har normalvektor ~ n ¼ ½a, b, c . Punktet Pðx, y, zÞ er et vilkårlig punkt i planet. z n = [a, b, c] y

P(x, y, z)

P0(x0, y0, z0)

Plan 387

! Hvis punktet P ligger i planet, er ~ n normal på P0 P og skalarproduktet ! ~ n P0 P er null. Dette bruker vi til å finne en likning for planet: ! ~ n P0 P ¼ 0 ½a, b, c ½x x0 , y y0 , z z0 ¼ 0 aðx x0 Þ þ bðy y0 Þ þ cðz z0 Þ ¼ 0 En likning for planet er altså aðx x0 Þ þ bðy y0 Þ þ cðz z0 Þ ¼ 0. Alle punkter ðx, y, zÞ som passer i likningen, ligger i planet.

L I KN I N G E N F O R E T P L A N Et plan gjennom punktet ðx0 , y0 , z0 Þ med normalvektor ½a, b, c har likningen aðx x0 Þ þ bðy y0 Þ þ cðz z0 Þ ¼ 0

Vi kan også skrive om likningen ved å multiplisere ut venstre side: aðx x0 Þ þ bðy y0 Þ þ cðz z0 Þ ¼ 0 ax ax0 þ by by0 þ cz cz0 ¼ 0 ax þ by þ cz ax0 by0 cz0 ¼ 0 Vi trekker sammen de tre siste leddene og skriver likningen på formen ax þ by þ cz þ d ¼ 0 der d ¼ ax0 by0 cz0 .

EKSEMPEL 21 Et plan går gjennom punktet P0 ð2, 1, 0Þ og har normalvektor n ¼ ½ 1, 3, 1 . Bestem en likning for planet.

Løsning: ! Et punkt Pðx, y, zÞ ligger i planet dersom ~ n P0 P ¼ 0. ! ~ n P0 P ¼ 0 ½ 1, 3, 1 ½x 2, y ð 1Þ, z 0 ¼ 0 1ðx 2Þ þ 3ðy þ 1Þ þ 1ðz 0Þ ¼ 0 x þ 2 þ 3y þ 3 þ z ¼ 0 x þ 3y þ z þ 5 ¼ 0 Likningen for planet er x þ 3y þ z þ 5 ¼ 0.

388 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Alternativ løsning: Vi setter koordinatene til punktet og normalvektoren direkte inn i likningen. 1ðx 2Þ þ 3 y ð 1Þ þ 1ðz 0Þ ¼ 0 x þ 2 þ 3y þ 3 þ z ¼ 0 x þ 3y þ z þ 5 ¼ 0 Likningen for planet er x þ 3y þ z þ 5 ¼ 0. Figuren viser planet med normalvektoren tegnet ut fra punktet P0 .

z 4

–4

–4 –2

2 –2

–2 4 x

Oppgaver: 6.42–6.43

I den generelle likningen for et plan er ~ n ¼ ½a, b; c en normalvektor til planet. Alle andre vektorer som er parallelle med denne, er også normalvektorer til planet. Hvis to plan har parallelle normalvektorer, er også planene parallelle.

Reflekter og diskuter! Hva vet vi om normalvektoren til et plan som er parallelt med henholdsvis xy-planet, xz-planet, yz-planet og x-aksen?

Plan 389

EKSEMPEL 22 1 Et plan er gitt ved likningen 2x y þ z ¼ 2. 2 a

Undersøk om punktet ð1, 4, 2Þ ligger i planet.

Finn to normalvektorer til planet.

Er planet parallelt med noen av aksene?

Finn skjæringspunktene mellom planet og koordinataksene. Bruk skjæringspunktene til å tegne et utsnitt av planet.

Løsning: a Vi setter koordinatene til punktet inn i venstre side av likningen. 1 1 2x y þ z ¼ 2 1 4 þ 2 ¼ 2 2 þ 2 ¼ 2 2 2 Koordinatene til punktet oppfyller likningen. Punktet ligger derfor i planet. b

1 Fra likningen ser vi at ~ n ¼ 2, , 1 er en normalvektor til planet. 2 Alle vektorer som er parallelle med denne, er også normalvektorer til planet, for eksempel 2 ~ n ¼ ½ 4, 1, 2 . To normalvektorer til planet er altså 1 2, , 1 og ½ 4, 1, 2 . 2 1 Siden ingen av vektorkoordinatene til normalvektoren ~ n ¼ 2, , 1 2 er null, står den ikke normalt på noen av aksene. Planet er derfor ikke parallelt med noen av aksene.

Planet skjærer x-aksen der y- og z-koordinatene er null: 2x ¼ 2 x¼1

Planet skjærer y-aksen der x- og z-koordinatene er null: 1 y¼2 2 y ¼ 4 Planet skjærer z-aksen der y- og x-koordinatene er null: z¼2 Planet skjærer aksene i ð1, 0, 0Þ, ð0, 4, 0Þ og ð0, 0, 2Þ. Vi bruker skjæringspunktene til å tegne et utsnitt av planet, slik det er vist i figuren til høyre.

y 2

–2 –2 –2

390 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

EK SEMPEL 23 Bestem likningen for et plan som går gjennom punktet ð3, 1, 2Þ og er a

parallelt med yz-planet

parallelt med x-aksen

Løsning: a Et plan som er parallelt med yz-planet, har en normalvektor som er parallell med x-aksen. Vi velger normalvektoren ~ n ¼ ½1, 0, 0 og får likningen aðx x0 Þ þ bðy y0 Þ þ cðz z0 Þ ¼ 0 1ðx 3Þ þ 0ðy ð 1ÞÞ þ 0ðz 2Þ ¼ 0 x 3¼0 x¼3 Likningen for planet gjennom ð3, 1, 2Þ parallelt med yz-planet er x ¼ 3. b

Normalvektoren til et plan parallelt med x-aksen må stå normalt på x-aksen og ha null som x-koordinat. En generell normalvektor er da ~ n ¼ ½0, b, c . Denne står normalt på x-aksen uavhengig av verdien til b og c og gir likningen bðy ð 1ÞÞ þ cðz 2Þ ¼ 0 by þ b þ cz 2c ¼ 0

Oppgaver: 6.44–6.46

Velger vi for eksempel ~ n ¼ ½0, 1, 2 slik at b ¼ 1 og c ¼ 2, får vi planet y þ 2z 3 ¼ 0.

For å finne likningen til et plan som er bestemt av tre punkter, må vi først finne en normalvektor til planet. Vi finner da to ulike vektorer mellom punktene og regner ut vektorproduktet av disse. Vektorproduktet er en normalvektor til planet.

EK SEMPEL 24 Finn en likning for planet gjennom punktene Að2, 0, 1Þ, Bð 2, 1, 4Þ og Cð0, 0, 5Þ.

Løsning: Vi finner vektorkoordinatene til to vektorer mellom punktene. Det spiller ingen rolle hvilke to vi finner så lenge vi bruker alle de tre punktene. ! AB ¼ ½ 2 2, 1 0, 4 1 ¼ ½ 4, 1, 3 ! AC ¼ ½0 2, 0 0, 5 1 ¼ ½ 2, 0, 4

Plan 391

Så bruker vi vektorproduktet til å finne en normalvektor ~ n til planet: ! ! ~ n ¼ AB AC ¼ ½1 4 3 0, 3 ð 2Þ ð 4Þ 4, 5 0 1 ð 2Þ ¼ ½4, 10, 2 Vi setter koordinatene til punktet Að2, 0, 1Þ og normalvektoren ½4, 10, 2 inn i likningen for planet: 4ðx 2Þ þ 10ðy 0Þ þ 2ðz 1Þ ¼ 0 4x 8 þ 10y þ 2z 2 ¼ 0 4x þ 10y þ 2z ¼ 10 2x þ 5y þ z ¼ 5 Likningen for planet er 2x þ 5y þ z ¼ 5. Merk at likningen blir den samme om vi i stedet bruker ~ n ¼ ½2, 5, 1 som normalvektor.

Løsning med CAS: Vi bruker kommandoen «plan» og skriver inn koordinatene til de tre punktene. 1

Vi må selv forenkle likningen til 2x þ 5y þ z ¼ 5. Vi kan også bruke kommandoen «normalplan» med ett punkt i planet og en normalvektor: 1

Likningen for planet er 2x þ 5y þ x ¼ 5.

Reflekter og diskuter! Elisiv påstår at hvis vi har to ikke-parallelle vektorer i planet, så kan vi uttrykke alle andre vektorer i planet som en lineær kombinasjon av disse to. Diskuter påstanden.

Oppgaver: 6.47–6.48

392 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

For å finne vinkelen mellom to plan kan vi bruke normalvektorene til planene. Dette viser vi i neste eksempel.

EK SEMPEL 25 Planene og er gitt ved : x þ 2y 2z ¼ 0 : x þ y þ 3z ¼ 5 Finn vinkelen mellom planene.

Løsning: Dette er et nytt problem for oss. Vi kjenner ingen formel for vinkelen mellom to plan, så vi bruker problemløsningsstrategier.

Problemløsning 1 Forstå problemet 2 Lage en plan 3 Gjennomføre planen 4 Se tilbake

na b u

v u

Forstå problemet To plan som ikke er parallelle, skjærer hverandre i en rett linje. Vinkelen mellom planene har toppunkt på linja og vinkelbein normalt på linja i hvert sitt plan.

Lage en plan Vi tenker oss at vi dreier koordinatsystemet med planene slik at skjæringslinja peker rett fra oss. Vi tegner en skisse av situasjonen og undersøker om vi kan bruke normalvektorene til å bestemme vinkelen mellom planene.

Gjennomføre planen Vi tegner skissen og markerer aktuelle vinkler, slik det er gjort i figuren til venstre. Vinkelen mellom planene er v. Den må være mindre eller lik 90 . Vinkelen mellom normalvektorene n~ og n~ er enten v, dersom den er mindre enn 90 , eller u, dersom den er større enn 90 . Vi regner ut vinkelen x mellom normalvektorene: n~ ¼ ½1, 2, 2 n~ ¼ ½1, 1, 3 cos x ¼

n~ n~ jn~ j jn~ j

1 1 þ 2 1 þ ð 2Þ 3 ¼ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 12 þ 22 þ ð 2Þ2 12 þ 12 þ 32 3 pffiffiffiffiffi 3 11 1 ¼ pffiffiffiffiffi 11 x 107,5 ¼

Plan 393

Vinkelen mellom normalvektorene er 107,5 , som er større enn 90 . Det betyr at vi har funnet vinkel u på skissen, og at én av vektorene peker i motsatt retning av det vi har tegnet. Vinkelen mellom to plan må være mellom 0 og 90 . Av skissen ser vi at vinkelen mellom planene er v ¼ 180 107,5 ¼ 72,5 . 4

Se tilbake Vi sjekker resultatet med GeoGebra. Hvis vi snur normalvektoren til , slik at n~ ¼ ½ 1, 2, 2 , bør vinkelen mellom normalvektorene bli 72,5 . Her er det enklest å bruke algebrafeltet i GeoGebra, fordi CAS oppgir vinkler i radianer.

Vi kommer fram til samme vinkel som over. For å finne vinkelen mellom to plan kan vi først finne vinkelen x mellom normalvektorene. Hvis x < 90 , er det også vinkelen mellom planene. Hvis x > 90 , er vinkelen mellom planene 180 x. Løsningen i forrige eksempel viser en generell framgangsmåte for å finne vinkelen mellom to plan. Først regner vi ut vinkelen v mellom to normalvektorer til planene. Hvis v 90 , er v også vinkelen mellom planene. Hvis v > 90 , er vinkelen mellom planene 180 v. V I NK E L M E L LO M T O P LA N La v være vinkelen mellom normalvektorene til to plan. Vinkelen mellom planene er v hvis v 90 , og 180 v hvis v > 90 .

Reflekter og diskuter! Hva vet vi om to plan dersom vinkelen mellom normalvektorene er

90 ?

180 ?

Oppgaver: 6.49–6.50

394 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Avstand fra et punkt til et plan Figuren viser planet med normalvektor ~ n og et vilkårlig punkt P utenfor planet. En linje fra P normalt på planet skjærer planet i punktet Q.

P(x1, y1, z1)

n Q(x0, y0, z0) a : ax + by + cz + d = 0

! Vektoren fra Q til P er QP ¼ ½x1 x0 , y1 y0 , z1 z0 . Avstanden fra P til planet ! er lengden av denne, altså j QP j. Vi skal finne en formel for avstanden. ! Vinkelen mellom normalvektoren ~ n og QP er enten 0 eller 180 , avhengig av om de peker i samme eller motsatt retning. Dette betyr at absoluttverdien til skalarproduktet er produktet av lengdene til vektorene: ! ! j~ n QP j ¼ j~ nj j QP j Vi regner ut absoluttverdien til skalarproduktet på koordinatform: ! j~ n QP j ¼ ½a, b, c ½x1 x0 , y1 t0 , z1 z0 ¼ jaðx1 x0 Þ þ bðy1 y0 Þ þ cðz1 z0 Þj ¼ jax1 þ by1 þ cz1 þ ð ax0 by0 cz0 Þj ¼ jax þ by þ cz þ dj

! For å finne en formel for avstanden j QP j setter vi de to uttrykkene lik hverandre: ! j~ nj j QP j ¼ jax þ by þ cz þ dj ! jax þ by þ cz þ dj j QP j ¼ j~ nj ¼

jax þ by þ cz þ dj pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 þ c2

AVST AND F RA PUNKT T IL PLAN Avstanden fra punktet ðx1 , y1 , z1 Þ til planet gitt ved likningen ax þ by þ cy þ d ¼ 0 er q¼

jax1 þ by1 þ cz1 þ dj pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 þ c2

Plan 395

EKSEMPEL 26 Finn avstanden fra punktet ð3, 1, 2Þ til planet gitt ved : x þ 4y þ 5z þ 1 ¼ 0

Løsning: Normalvektoren til planet er ~ n ¼ ½ 1, 4, 5 . Vi setter tallene inn i avstandsformelen og får jax1 þ by1 þ cz1 þ dj 1 3 þ 4 ð 1Þ þ 5 2 þ 1 4 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi q¼ ¼ ¼ pffiffiffiffiffi 0,62 2 2 2 42 a þb þc ð 1Þ2 þ 42 þ 52

Oppgaver: 6.51–6.53

Reflekter og diskuter! Diskuter om vi trenger avstandsformelen for å finne avstanden fra et punkt til et plan som er parallelt med ett av akseplanene.

Oppgaver 6.42 Finn likningen for et plan gjennom punktet P og med normalvektor ~ n når a

Pð2, 3, 1Þ og ~ n ¼ ½2, 4, 3

Pð 4, 2, 5Þ og ~ n ¼ ½1, 4, 3 1 Pð2, 1, 1Þ og ~ n ¼ , 2, 0 3 2 1 1 P , , og ~ n ¼ ½ 5, 8, 2 5 2 10

c d

6.43 Et plan går gjennom punktet Pð1, 2, 3Þ. Vektoren ~ n ¼ ½4, 2, 2 er normal på planet. a

b c

La Qðx, y, zÞ være et annet punkt i planet. Vis at vektoren fra P til Q er ! PQ ¼ ½x 1, y þ 2, z þ 3 ! Forklar at PQ ~ n ¼ 0. ! Sett inn vektorkoordinatene til PQ og ~ n ! i likningen PQ ~ n ¼ 0. Vis at likningen for planet er 2x y þ z 1 ¼ 0.

Tegn planet med et digitalt verktøy.

Betyr det noe om vi bruker ½4, 2, 2 , ½2, 1, 1 eller ½ 2, 1, 1 som normalvektor når vi finner likningen til planet? Forklar!

396 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.44 Planet er gitt ved : 2x y þ 4z ¼ 6

6.49 Planene , og er gitt ved likningene : 2x þ y z ¼ 0

Undersøk om punktet ð3, 4, 1Þ ligger i planet.

Vis at planet ikke går gjennom origo.

Finn en normalvektor til planet.

Finn skjæringspunktene med koordinataksene.

Bruk skjæringspunktene med koordinataksene til å skissere planet.

6.45 Avgjør om planet er parallelt med noen av koordinataksene: a

5x þ y þ 2z ¼ 0

x¼5

3y z 5 ¼ 0

xþy ¼0

6.46 Finn en likning for et plan som går gjennom punktet ð3, 4, 6Þ og a

er parallelt med xy-planet

er parallelt med yz-planet

har en normalvektor som er parallell med y-aksen

6.47 Finn en normalvektor til planet gjennom punktene. Bruk normalvektoren til å finne likningen for planet.

: x þ y 2z ¼ 5 : x y z ¼ 2 Finn vinkelen mellom a

6.50 Bruk et digitalt verktøy til å finne vinkelen mellom planet gitt ved 3 3 : x y þ z þ 4 ¼ 0 4 2 og de tre koordinataksene. 6.51 Finn avstanden mellom punktet P og planet gitt ved a

P ¼ ð3, 1, 1Þ og : 2x y þ z 1 ¼ 0

P ¼ ð1, 2, 0) og : x þ 2y þ 4z ¼ 0

c d

1 1 7 P ¼ ð0, 0, 0Þ og : x þ y þ z þ ¼ 0 3 2 6 P ¼ ð1, 1, 1Þ og : x þ y þ z ¼ 6

6.52 1 1 1 Gitt planet : x y þ z ¼ 1. 4 2 4 a Finn tre punkter som ligger i planet , men som ikke ligger på noen av koordinataksene. b

Bruk punktene til å finne to ikke-parallelle vektorer ~ u og ~ v som er parallelle med planet.

ð0, 0, 3Þ, ð1, 1, 0Þ og ð2, 3, 1Þ

~ ¼~ Regn ut vektorproduktet w u

ð1, 0, 0Þ, ð0, 3, 0Þ og ð0, 0, 4Þ

ð 2, 3, 4Þ, ð2, 5, 4Þ og ð0, 0, 4Þ

~ k ½1, 2; 1 , og forklar hvorfor det Vis at w må være slik.

ð1, 0, 2Þ, ð 2, 3, 1Þ og ð4, 0, 1Þ

6.48 Planet går gjennom origo og er parallelt 1 v ¼ ½0, 1, 0 . med vektorene ~ u ¼ , 6, 1 og ~ 2 Bestem likningen for planet.

~ v.

6.53 Lag glidere for a, b, c og d i GeoGebra og tegn planet gitt ved likningen ax þ by þ cz þ d ¼ 0. Endre planet ved å stille på gliderne. a

Beskriv hvordan planet endrer seg når vi endrer d.

Uttrykk skjæringspunktene mellom planet og koordinataksene ved a, b, c og d.

Kuleflater 397

6.7 Kuleflater UTFORSK Du trenger: GeoGebra 1

Velg «Vis grafikkfelt 3D» i GeoGebra.

Plasser et punkt i koordinatsystemet og kall punktet S.

Opprett en glider for r og sett r ¼ 2.

Skriv inn likningen ðx xðSÞÞ2 þ ðy yðSÞÞ2 þ ðz zðSÞÞ2 ¼ r2

Høyreklikk på likningen i algebrafeltet og velg «Likning ðx mÞ2 þ ðy nÞ2 þ ðz pÞ2 ¼ r2 ». GeoGebra-vinduet ditt skal da se omtrent slik ut:

Prøv å flytte rundt på punktet og endre på glideren r. Hvilken sammenheng finner du mellom S, r og likningen til kuleflaten?

398 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Kuleflater:

Alle punktene på en kuleflate er like langt fra sentrum i kula. Vi lar kula ha sentrum i Sðx0 , y0 , z0 Þ og radius r. Punktet Pðx, y, zÞ ligger på kuleflaten ! dersom lengden av SP ¼ ½x x0 , y y0 , z z0 er lik radien r. ! j SP j ¼ r qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ðx x0 Þ2 þ ðy y0 Þ2 þ ðz z0 Þ2 ¼ r ðx x0 Þ2 þ ðy y0 Þ2 þ ðz z0 Þ2 ¼ r2 Dette er likningen for en kuleflate med radius r og sentrum i ðx0 , y0 , z0 Þ.

L IKN IN GEN F O R EN KU LEF L AT E En kuleflate med radius r og sentrum i ðx0 , y0 , z0 Þ er gitt ved likningen ðx x0 Þ2 þ ðy y0 Þ2 þ ðz z0 Þ2 ¼ r2

EK SEMPEL 27 Bestem likningen for en kuleflate med radius

pffiffiffi 3 og sentrum i ð 2, 5, 0Þ.

Løsning: Vi setter koordinatene og radien inn i likningen for kuleflaten. ðx x0 Þ2 þ ðy y0 Þ2 þ ðz z0 Þ2 ¼ r2 pffiffiffi2 ðx ð 2ÞÞ2 þ ðy 5Þ2 þ ðz 0Þ2 ¼ 3 ðx þ 2Þ2 þ ðy 5Þ2 þ z2 ¼ 3 Oppgaver: 6.54–6.55

Likningen for kuleflaten er ðx þ 2Þ2 þ ðy 5Þ2 þ z2 ¼ 3.

Når likningen for kuleflaten er skrevet med fullstendige kvadrater, ser vi sentrum og radius i kula direkte av likningen. I neste eksempel løser vi et sammensatt problem både ved regning og med GeoGebra.

EK SEMPEL 28 En kuleflate er gitt ved likningen x2 þ 2x þ y2 2y þ z2 4z ¼ 3. a

Finn radius og sentrum i kula.

Bestem avstanden fra punktet Pð3, 5, 0Þ til kuleflaten.

Bestem tangentplanene til kuleflaten i punktene der kuleflaten skjærer x-aksen.

Kuleflater 399

Løsning: a Vi lager fullstendige kvadrater for å skrive om likningen til formen ðx x0 Þ2 þ ðy y0 Þ2 þ ðz z0 Þ2 ¼ r2 . x2 þ 2x þ y2 2y þ z2 4z ¼ 3 ðx2 þ 2x þ 1Þ þ ðy2 2y þ 1Þ þ ðz2 4z þ 4Þ ¼ 3 þ 1 þ 1 þ 4 ðx þ 1Þ2 þ ðy 1Þ2 þ ðz 2Þ2 ¼ 9 Kula har sentrum i Sð 1, 1, 2Þ og radius r ¼ 3. b

Avstanden fra punktet P til kuleflaten måler vi langs en linje fra P gjennom sentrum i kula. ! Først finner vi avstanden fra Pð2, 5, 0Þ til sentrum Sð 1, 1, 2Þ i kula, altså j SP j. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi ! j SP j ¼ ½3 ð 1Þ, 5 1, 0 ð 2Þ ¼ 42 þ 42 þ 22 ¼ 36 ¼ 6 Siden radien i kula er 3, er avstanden fra punktet P til kuleflaten 6 3 ¼ 3.

Alle punkter på x-aksen har y- og z-koordinat lik null. Likningen for kuleflaten gir da x2 þ 2x þ y2 2y þ z2 4z ¼ 3 x2 þ 2x ¼ 3 x2 þ 2x þ 1 ¼ 4 ðx þ 1Þ2 ¼ 4 x ¼ 3 _ x ¼ 1 Kuleflaten skjærer x-aksen i 3 og i 1. Som normalvektor til hvert tangentplan kan vi bruke vektoren fra skjæringspunktet og til sentrum av kula. Tangentplanet i ð 3, 0, 0Þ har normalvektor ½ 1 ð 3Þ, 1 0, 2 0 ¼ ½2, 1, 2 og er gitt ved likningen 2ðx þ 3Þ þ y þ 2z ¼ 0, som vi forenkler til 2x þ y þ 2z þ 6 ¼ 0 Tangentplanet i ð1, 0, 0Þ har normalvektor ½ 1 1, 1 0, 2 0 ¼ ½ 2, 1, 2 og er gitt ved likningen 2ðx 1Þ þ y þ 2z ¼ 0, som vi forenkler til 2x þ y þ 2z þ 2 ¼ 0

Grafisk løsning: a Vi velger 3D-koordinatsystemet i GeoGebra, skriver inn likningen for kuleflaten i algebrafeltet og kaller kuleflaten K. Så høyreklikker vi på likningen og velger likningsformen, se figuren på neste side. Av likningen ser vi at kula har sentrum i ð 1, 1, 2Þ og radius 3.

S(–1, 1, 3) x1

P(3, 5, 0)

400 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Vi definerer punktet S i sentrum av kula og punktet Pð3, 5, 0Þ. Så oppretter vi linjestykket fra P til S, velger «Skjæring mellom to objekt» og finner skjæringspunktet Q mellom linjestykket og kuleflaten. Avstanden fra P til Q finner vi med kommandoen «Avstand(P, Q)», se figuren. Avstanden fra punktet P til kuleflaten er 3.

Vi bruker «Skjæring mellom to objekt» til å finne skjæringspunktene mellom kuleflaten og x-aksen. Skjæringspunktene kaller vi x1 og x2 . Så bruker vi kommandoen «Normalplan» med hvert skjæringspunkt og vektoren fra skjæringspunktet og til sentrum av kula som normalvektor, se figuren. Tangeringsplanene i skjæringspunktene med x-aksen er 2x þ y þ 2z ¼ 6 og 2x þ y þ 2z ¼ 2 Likningene for planene er de samme som vi fant ved regning.

Oppgaver: 6.56–6.59

Reflekter og diskuter!

Hva vet vi om normalvektoren til et plan som tangerer en kuleflate i punktet ðx, y, zÞ?

Hva slags kurve danner skjæringspunktene mellom et plan og en kuleflate?

Hva slags flate gir likningen x2 þ 2y2 þ 3z2 ¼ 1?

Kuleflater 401

Oppgaver 6.54 Bestem likningen for en kuleflate med a

sentrum i ð5, 1; 2Þ og radius 3

b c

sentrum i ð 2, 0, 7Þ og radius 4 pffiffiffi sentrum i origo og radius 2

sentrum ð0, 0, 3Þ og radius 3

6.58 Punktene Að5, 3, 2Þ og Bð1, 1, 9Þ ligger på samme kuleflate i lengst mulig avstand fra hverandre. Bestem likningen for kuleflaten.

6.59 En kuleflate er gitt ved likningen ðx 3Þ2 þ ðy 2Þ2 þ ðz 4Þ2 ¼ 27

6.55 En kuleflate har sentrum i punktet ð0, 4, 0Þ og tangerer z-aksen.

Kuleflaten har to tangentplan med normalvektor ~ n ¼ ½1, 1, 1 .

Bestem likningen for kuleflaten.

Finn en likning til hvert av disse tangentplanene.

6.56 Finn sentrum og radius i kuleflaten gitt ved likningen a

x2 þ y2 þ z2 þ 6x 2y þ 2z ¼ 14

x2 þ y2 þ z2 þ x 4z þ

13 ¼0 4

6.57 En kuleflate er gitt ved likningen ðx 5Þ2 þ ðy 3Þ2 þ ðz þ 4Þ2 ¼ 36 a

Det finnes to punkter på kuleflaten med x-koordinat 5 og y-koordinat 3. Bestem z-koordinaten til hvert av disse punktene.

Vis at avstanden mellom de to punktene er diameteren i sirkelen. Forklar hvordan vi kan vite dette uten å regne ut avstanden mellom punktene.

Finn skjæringspunktene mellom x-aksen og kuleflaten.

Bestem avstanden fra origo til kuleflaten.

402 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.8 Kurver i planet UTFORSK Du trenger: GeoGebra 1

Velg «Vis grafikkfelt» i GeoGebra.

Opprett glidere for a, b og c. La a og b variere fra 0 til 10 og c fra 0 til 2 .

Skriv «Kurve(a cos ðtÞ, b sin ðtÞ, t, 0, c)» i algebrafeltet. Du har nå laget en parameterframstilling med parameteren t.

Beskriv hvordan formen til kurven avhenger av verdiene til a, b og c.

Lag andre parameterframstillinger som avhenger av a, b og c.

I en parameterframstilling er x, y og z funksjoner av en parameter, ofte kalt t. I R1 brukte vi parameterframstillinger for rette linjer i planet. Nå skal vi utvide til kurver.

Kurver i planet:

En kurve k i xy-planet er gitt ved parameterframstillingen x ¼tþ1 k: , t 2 ½ 2, 2 y ¼ t2 Hver verdi for t gir én verdi for x og én verdi for y. Vi lager en verditabell, og så tegner vi punktene ðx, yÞ i et koordinatsystem: y

y y = x2 – 2x + 1

–1

Punktene ser ut til å ligge på en parabel med bunnpunkt i ð1, 0Þ.

Uttrykket x ¼ t þ 1 kan vi skrive om til t ¼ x 1. Setter vi dette inn i ut-

trykket for y, får vi y ¼ t2 ¼ ðx 1Þ2 ¼ x2 2x þ 1. 1

Parameterframstillingen gir altså samme kurve som andregradsfunksjonen –1

y ¼ x2 2x þ 1. Figuren til venstre viser grafen fra t ¼ 2 til t ¼ 2.

Kurver i planet 403

Reflekter og diskuter!

Kan ulike parameterframstillinger gi samme kurve?

Hvordan kan vi se av parameterframstillingen på forrige side at grafen er grafen til y ¼ x2 forskjøvet én enhet til høyre?

Men hvorfor bruke parameterframstilling hvis vi kan erstatte den med en funksjon? For det første er parameterframstillinger nyttige når vi ønsker å uttrykke to variabler som funksjon av en tredje, for eksempel posisjon i x- og y-retning som funksjon av tiden t. For det andre kan en parameterframstilling gi ulike y-verdier for samme x-verdi. Med andre ord kan vi ikke alltid erstatte parameterframstillingen med ett enkelt funksjonsuttrykk.

EKSEMPEL 29 En kurve s er gitt ved parameterframstillingen x ¼ cos ðtÞ der t 2 ½0, 2 s: y ¼ sin ðtÞ a

Tegn kurven.

Bestem parameterframstillingen for en sirkel med sentrum i ð3, 1Þ og radius 3.

Løsning: a Vi bruker GeoGebra og skriver inn kommandoen «s=Kurve(cos ðtÞ; sin ðtÞ, t, 0, 2 Þ», som vist på figuren.

Parameterframstillingen gir en sirkel med radius 1 og sentrum i origo.

404 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Oppgaver: 6.60–6.61

Vi tar utgangspunkt i parameterframstillingen for s. For å øke radien til 3 multipliserer vi x og y med 3. Vi flytter sentrum til ð3, 1Þ ved å legge 3 til x og 1 til y. Parameterframstillingen blir x ¼ 3 þ 3 cos ðtÞ l: y ¼ 1 þ 3 sin ðtÞ

EK SEMPEL 30 Claus fisker med stang. Posisjonen til kroken t sekunder etter kastet er gitt ved parameterframstillingen x ¼ 11t l: y ¼ 2,3 þ 8t 4,9t2 der x er horisontal avstand og y er høyde over vannflaten. Enheten på aksene er meter. a

Hvor lang tid tar det før kroken treffer vannflaten?

Tegn kurven som viser krokens bevegelse etter kastet.

Løsning: a Kroken treffer vannflaten når y ¼ 0. Vi løser likningen med CAS: 1

Her passer kun den positive løsningen. Kroken treffer vannflaten etter om lag 1,9 sekunder. b

Vi tegner kurven i GeoGebra med kommandoen «I=Kurveð11t, 2:3 þ 8t 4:9t2 , t, 0, 1:88Þ».

y, m 6 5 4 3 2

1 0

x, m 1

Kurver i planet 405

EKSEMPEL 31 Bevegelsen til to maur er gitt ved parameterframstillingene m1 og m2 . 8 8 <x ¼ t 1 < x ¼ 1 t2 2t þ 2 2 m2 : m1 : 2 :y ¼ t þ 6 : y¼t 3 Her er x og y posisjon målt i centimeter, og t er tiden i sekunder. Begge parameterframstillingene gjelder for t 2 ½0, 5 . a

Tegn kurver som viser posisjonen til hver maur som funksjon av tiden.

Bestem skjæringspunktet mellom kurvene.

Vis at maurene ikke kolliderer.

Finn den minste avstanden mellom maurene.

Løsning: a Vi tegner kurvene i GeoGebra med kommandoene 1 2 «m1 =Kurve t 2t þ 2, t, t, 0, 5 » 2 2 «m2 =Kurve t 1, t þ 6, t, 0, 5 » 3 b

Vi bruker knappen «Skjæring mellom to objekt» og finner skjæringspunktet ð2, 4Þ. Se illustrasjonen til høyre.

Maurene kolliderer hvis de er i skjæringspunktet ð2, 4Þ samtidig.

y, cm

6 5

(2, 4)

4 3 2 1 –1

x, cm 5

Maur 1 er i ð2, 4Þ når y ¼ t ¼ 4, altså etter 4 sekunder. Maur 2 er i ð2, 4Þ når x ¼ t 1 ¼ 2, altså etter 3 sekunder. Maurene er ikke i skjæringspunktet samtidig og kolliderer derfor ikke. d

Vi lar ~ d være vektoren fra maur 1 til maur 2. 1 2 2 ~ d ¼ ðt 1Þ t 2t þ 2 , t þ 6 t 2 3 1 5 ¼ t2 þ 3t 3, t þ 6 2 3 Avstanden mellom maurene er j~ dj. sffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2ffi 2 1 5 j~ dj ¼ t2 þ 3t 3 þ t þ 6 2 3 Vi tegner grafen til j~ dj, slik det er vist til høyre, og bruker knappen «Ekstremalpunkt» til å finne bunnpunktet. Bunnpunktet er ð3,96, 1,2Þ. Dette betyr at den minste avstanden er 1,2 cm og den har vi etter om lag 4 sekunder.

y cm

7 6

|d|(t)

5 4 3 2 1

(3.96, 1.2) 0

Oppgaver: 6.62–6.65

406 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Oppgaver 6.60 Kurven k er gitt ved parameterframstillingen 8 <x ¼ 1t 1 2 k: : y ¼ t2 2

Hvor lang tid tar det før ballen treffer gulvet?

Hvor langt beveger ballen seg i horisontal retning før den treffer gulvet?

Når er ballen på sitt høyeste?

Hvor høyt går ballen?

Fyll ut verditabellen. t

2 1 0 1 2

Skisser kurven k.

Finn nullpunktene til k.

Vis at kurven også kan skrives som f ðxÞ ¼ 4x2 þ 8x þ 2, x 2 ½ 2, 0

6.61 En kurve k er gitt ved parameterframstillingen x ¼ 2 cos ðtÞ þ 1 k: y ¼ sin ðtÞ a

Tegn kurven med et digitalt hjelpemiddel.

Bestem punktet med parameterverdi t ¼ .

Finn skjæringspunktene med y-aksen.

6.62 Grace kaster en basketball. Posisjonen til basketballen etter t sekunder er gitt ved parameterframstillingen x ¼ 6,4t k: y ¼ 4,9t2 þ 4t þ 1,7

6.63 To partikler beveger seg langs baner gitt ved parameterframstillingene x ¼tþ1 x ¼ t2 2t p1 : p2 : y ¼4 t y ¼t 1 der parameteren t 2 ½0, 4 står for tid og måles i sekunder. Enheten på aksene er meter. a

Tegn banen til hver av partiklene.

Finn skjæringspunktet mellom banene.

Finn den minste avstanden mellom partiklene.

6.64 To vannscootere beveger seg langs kurvene b1 og b2 gitt ved 8 < x ¼ 12t b1 : : y ¼ 3 sin t 10 8 < x ¼ 150 14t b2 : 1 :y ¼ 5 t 2 Parameteren t 2 ½0, 10 står for tid og er gitt i sekunder. a

Tegn banen til hver vannscooter i GeoGebra.

Her går x-aksen langs gulvet på banen, mens y-aksen går loddrett oppover fra der Grace står når hun kaster ballen. Enheten er meter på begge aksene.

Finn posisjonen til hver vannscooter etter 5 sekunder.

Finn skjæringspunktet mellom kurvene.

Vurder om vannscooterne kolliderer.

Hva er den minste avstanden mellom vannscooterne?

Tegn kurven som viser ballens bane i lufta.

Kurver i planet 407

6.65 Et fast punkt på en sirkel som ruller langs den innvendige ytterkanten av en større sirkel, følger en kurve som kalles en hyposykloide. Figuren til høyre illustrerer situasjonen. Vi lar R være radius i den største sirkelen og r radius i den minste. Posisjonen til et fast punkt på den minste sirkelen er da gitt ved 8 R r > > t < x ¼ ðR rÞ cos ðtÞ þ rcos r k: R r > > : y ¼ ðR rÞ sin ðtÞ rsin t r Vi plasserer koordinatsystemet med origo i sentrum av den største sirkelen. Vinkelen t angir posisjonen til den minste sirkelen. a

Lag glidere for R og r og tegn kurven som viser banen til det faste punktet. Se skjermbildet fra GeoGebra nedenfor. Prøv med ulike verdier for R og r.

Vis at hvis

Hva må forholdet

R er et helt tall, så er kurven en lukket kurve uten endepunkter. r R være for at punktet skal bevege seg langs en horisontal linje? r

408 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.9 Linjer og kurver i rommet UTFORSK Du trenger: GeoGebra 1

Velg «Vis grafikkfelt 3D» i GeoGebra.

Lag en glider for v fra 0 til 10 med animasjonstrinn på 0,02. v . Lag et punkt med koordinatene 3 cos v, 3 sin v, 2

Linjer og kurver i rommet:

Trykk på «play»-knappen på glideren og observer hvordan punktet beveger seg. Høyreklikk på punktet og velg «Vis sporing».

Forklar bevegelsen til punktet.

Eksperimenter med andre uttrykk for koordinatene til punktet. Klarer du å lage en spiral som på figuren?

Parameterframstillinger for linjer i rommet skriver vi på samme måte som i planet, men med z-koordinaten i tillegg. Som eksempel ser vi på linja l gitt ved 8 <x ¼ 2 þ t l: y ¼ t : z ¼ 3 þ 2t Parameterframstillingen viser at l har retningsvektor ~ v ¼ ½1, 1, 2 . t ¼ 0 gir punktet ð2, 0, 3Þ, mens t ¼ 1 gir punktet ð3, 1, 1Þ.

P A R A M E T E R F R A M S T I L L I N G FO R E N L I N J E En parameterframstilling for en linje l gjennom punktet ðx0 , y0 , z0 Þ med retningsvektor ~ v ¼ ½a, b, c er 8 < x ¼ x0 þ at l: y ¼ y0 þ bt : z ¼ z0 þ ct

En rett linje har uendelig mange parameterframstillinger.

Punktet ðx0 , y0 , z0 Þ kan være et hvilket som helst punkt på linja. Som retningsvektorer kan vi bruke alle vektorer som er parallelle med ~ v. Derfor finnes det uendelig mange parameterframstillinger for den samme linja. Verdien til t i et gitt punkt vil variere fra én framstilling til en annen.

Linjer og kurver i rommet 409

EKSEMPEL 32 Finn en parameterframstilling for linja l gjennom punktene Að 4, 1, 3Þ og Bð2, 0, 1Þ.

Løsning: Som retningsvektor ~ v kan vi bruke vektoren mellom punktene: ! ~ v ¼ AB ¼ ½2 ð 4Þ, 0 1, 1 3 ¼ ½6, 1, 4 Med punktet Bð2, 0, 1Þ som utgangspunkt blir parameterframstillingen 8 < x ¼ 2 þ 6t l: y ¼ t : z ¼ 1 4t Grafisk løsning: Vi definerer punktene A og B i algebrafeltet i GeoGebra og bruker kommandoen «LinjeðA, BÞ». GeoGebra tegner linja og skriver parameterframstillingen på formen X ¼ ð 4, 1, 3Þ þ ð6, 1, 4Þ.

Med vår skrivemåte svarer dette til 8 < x ¼ 4 þ 6t l: y ¼ 1 t : z ¼ 3 4t Begge parameterframstillingene er riktige. Den eneste forskjellen er hvilket punkt vi bruker som utgangspunkt.

Oppgaver: 6.66–6.67

410 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

EK SEMPEL 33 a

Tegn linja l gitt ved parameterframstillingen 8 x ¼3þt > > < 2 l: y ¼ 1 þ t > 3 > : z ¼4 t

En linje m skjærer y-aksen i 2 og går gjennom punktet ð12, 8, 2Þ. b

Undersøk om l og m skjærer hverandre, og finn skjæringspunktet ved regning.

Løsning: a Vi tegner linja i GeoGebra med kommandoen «Kurveð3 þ t, 1 þ 23 t, 4 t, t, 100, 100Þ». GeoGebra krever at vi angir en grense for t-verdiene, så vi passer på å bruke store nok tall til at linja fyller koordinatsystemet.

Først finner vi en parameterframstilling for linja m. Linja går gjennom punktene ð0, 2, 0Þ og ð12, 8, 2Þ. Vektoren mellom punktene er ½12 0, 8 ð 2Þ, 2 0 ¼ ½12, 10, 2 ¼ 2½6, 5, 1 Med punktet ð0, 2, 0Þ og retningsvektor ½6, 5, 1 får vi parameterframstillingen 8 < x ¼ 6s m: y ¼ 2 þ 5s : z¼s

Linjer og kurver i rommet 411

Linjene l og m skjærer hverandre hvis det finnes verdier for t og s som gir samme punkt. Vi setter først x-koordinaten til l lik x-koordinaten til m: 3 þ t ¼ 6s t ¼ 6s 3 Så setter vi y-koordinaten til l og m lik hverandre og bruker at t ¼ 6s 3: 2 1 þ t ¼ 2 þ 5s 3 2 1 þ ð6s 3Þ ¼ 2 þ 5s 3 1 þ 4s 2 ¼ 2 þ 5s s ¼ 1 s¼1 Hvis s ¼ 1, er t ¼ 6s 3 ¼ 6 1 3 ¼ 3. Vi undersøker om linjene har samme z-koordinat når s ¼ 1 og t ¼ 3: Når t ¼ 3, har l z-koordinat 4 t ¼ 4 3 ¼ 1. Når s ¼ 1, har m z-koordinat s ¼ 1. Dette betyr at linjene skjærer hverandre. Av parameterframstillingen til m finner vi at skjæringspunktet er ð6 1, 2 þ 5 1, 1Þ ¼ ð6, 3, 1Þ.

Oppgaver: 6.68–6.69

Reflekter og diskuter! For rette linjer i planet kan vi bruke likningsframstilling, for eksempel 2x þ y ¼ 3. Hvorfor kan vi ikke bruke likningsframstilling for rette linjer i rommet?

Vinkelen mellom to linjer

To linjer som skjærer hverandre, spenner ut et plan. Vinkelen mellom linjene er mellom 0 og 90 , mens vinkelen mellom retningsvektorene til linjene kan være mellom 0 og 180 .

u vm

I figurene til høyre tenker vi oss et plan med to linjer l og m sett ovenfra. vm I den øverste figuren er vinkelen u mellom retningsvektorene ~ vl og ~ den samme som vinkelen mellom linjene. I den nederste figuren peker retningsvektoren ~ vm i motsatt retning. Her er vinkelen u mellom retningsvektorene større enn 90 , og da er vinkelen mellom linjene v ¼ 180 u.

m vm

vl v = 180° – u

412 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

V I NK E L M E L LO M T O L I N J E R La u være vinkelen mellom retningsvektorene til to linjer og la v være vinkelen mellom linjene. Hvis u 90 , er v ¼ u. Hvis u > 90 , er v ¼ 180 u.

Men hva med vinkelen mellom to linjer som ikke skjærer hverandre? Jo, da tenker vi oss at vi parallellforskyver den ene linja til den treffer den andre. Så finner vi vinkelen på samme måte som over.

EK SEMPEL 34 Linja l går gjennom origo og punktet ð 5, 1, 2Þ. Linja m skjærer z-aksen i 2 og x-aksen i 3. Finn vinkelen mellom linjene.

Løsning: Linja l går gjennom punktene ð0, 0, 0Þ og ð 5, 1, 2Þ. En retningvektor for linja l er derfor ~ vl ¼ ½ 5, 1, 2 . Linja m går gjennom punktene ð0, 0, 2Þ og ð3, 0, 0Þ. En retningsvektor for linja er derfor v~m ¼ ½3 0, 0 0, 0 2 ¼ ½3, 0, 2 . Vi definerer retningsvektorene i algebrafeltet i GeoGebra og finner vinkelen mellom dem med kommandoen «Vinkel»:

Oppgave: 6.70

Vi ser at vinkelen mellom retningsvektorene er 164,2 . Vinkelen mellom linjene er derfor 180 164,2 ¼ 15,8 .

Linjer og kurver i rommet 413

Vinkel mellom linje og plan For å finne vinkelen mellom en linje og et plan finner vi først vinkelen mellom retningsvektoren til linja og normalvektoren til planet. Den øverste figuren til høyre viser planet og linja l. Vinkelen mellom normalvektoren til planet ~ n/ og retningsvektoren til linja ~ vl kaller vi u. Vinkelen mellom planet og linja er da v ¼ 90 u. Men hva om normalvektoren ~ n/ eller retningsvektoren ~ vl peker i motsatt retning? Den nederste figuren til høyre viser situasjonen når ~ n/ peker i motsatt retning. ~ Hvis u er vinkelen normalvektoren til planet n/ og retningsvektoren til linja ~ vl , er vinkelen mellom planet og linja v ¼ u 90 . I begge tilfellene er vinkelen mellom linja og planet j90 uj.

na vl

v = 90° – u

l vl v = u – 90°

a u

l na

V I NK E L M E L LO M P L A N O G L I NJ E La u være vinkelen mellom normalvektoren til et plan og retningsvektoren til en linje. Vinkelen mellom linja og planet er da v ¼ j90 uj.

EKSEMPEL 35 Finn vinkelen mellom planet gitt ved likningen 1 : x y þ 2z 5 ¼ 0 2 og linja l gitt ved 8 x ¼ 3t > > < y ¼1 t l: > > :z ¼ 1t 3 1 Likningen til planet viser at en mulig normalvektor er n~ ¼ 1, , 2 . 2 Parameterframstillingen til linja l viser at en mulig retningsvektor 1 er v~m ¼ 3, 1, . 3

Løsning:

Vi definerer de to vektorene i algebrafeltet i GeoGebra, slik det er vist i margen til høyre, og finner vinkelen mellom dem med kommandoen «Vinkel». Vinkelen mellom normalvektoren til planet og retningsvektoren til linja er 104,6 . Vinkelen mellom linja og planet er j90 104,6 j ¼ 14,6 .

Oppgave: 6.71

414 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Avstand fra punkt til linje Avstanden fra et punkt P til en linje l er lengden av den korteste vektoren fra P til linja. Denne vektoren står normalt på linja. Vi lar ~ vl være retningsvektoren til linja. Hvis Q er punktet på linja l som ligger ! ! vl ¼ 0. Dette bruker vi til å nærmest P, er PQ ? ~ vl og skalarproduktet PQ ~ ! bestemme punktet Q og finne lengden av PQ .

EK SEMPEL 36 Finn avstanden fra punktet Pð 5, 0, 1Þ til linja l gitt ved 8 < x ¼ 5 þ 5t l: y ¼ 2t : z ¼ 3 þ 4t

Løsning:

! Vi bruker CAS og definerer punktet P, et punkt Q på linja l, PQ og ! vl ¼ 0. retningsvektoren ~ vl til linja l. Så bestemmer vi parameteren t slik at PQ ~ ! Til slutt finner vi lengden av PQ for denne t-verdien. 1

Avstanden fra punktet P til linja l er

pffiffiffiffiffiffiffiffi 2 145 1,61. 15

Linjer og kurver i rommet 415

Alternativ løsning: ! j PQ j er en funksjon av parameteren t. En annen mulighet er derfor å finne ekstremalpunktet til denne funksjonen i CAS: 1

pffiffiffiffiffiffiffiffi 8 2 145 . Ekstremalpunktet er , 45 15 pffiffiffiffiffiffiffiffi 2 145 1,61. Avstanden fra punktet P til linja l er 15 For å finne avstanden mellom to parallelle linjer finner vi et punkt på den ene linja og regner som i forrige eksempel. I oppgave 6.151 på side 438 viser vi hvordan vi kan finne avstanden mellom to ikke-parallelle linjer.

Kurver i rommet En parameterframstilling der både x, y og z er lineære funksjoner av parameteren t, gir en rett linje. Vi kan også bruke parameterframstillinger til å definere kurver.

EKSEMPEL 37 En kurve k er gitt ved parameterframstillingen 8 < x ¼ 2t k: y ¼ 3t : z ¼ t2 þ 3t 7 a Tegn kurven for t 2 0, . 2 b Bestem skjæringspunktene med xy-planet.

Oppgaver: 6.72–6.73

416 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Løsning: a Vi definerer kurven i algebrafeltet i GeoGebra med kommandoen 7 «Kurve 2t , 3t, t2 þ 3t, t, 0, ». 2 b

Kurven skjærer xy-planet når z ¼ 0: z¼0 t þ 3t ¼ 0 2

tðt 3Þ ¼ 0 t¼0_¼3 Parameterverdien t ¼ 0 gir punktet ð1, 0, 0Þ, og t ¼ 3 gir punktet ð23 , 3 3, 32 þ 3 3Þ ¼ ð8, 9, 0Þ. Skjæringspunktene med xy-planet er ð1, 0, 0Þ og ð8, 9, 0Þ.

I fysikk vil vi ofte uttrykke posisjonen til et objekt som funksjon av tiden t. Da kan vi bruke en parameterframstilling.

EK SEMPEL 38 Et proton med høy fart beveger seg på skrå inn i et magnetfelt. De elektromagnetiske kreftene gir protonet en skruebevegelse gitt ved parameterframstillingen k: 8 6 < x ¼ 0,5 cos ð7,2 10 tÞ 6 k: y ¼ 0,5 sin ð7,2 10 tÞ : z ¼ 5 4 105 t Her er x, y og z avstanden i meter fra et bestemt punkt i magnetfeltet etter t sekunder. 1 a Tegn en kurve som viser posisjonen til protonet det første sekundet 100 000 etter at det treffer magnetfeltet. b

Tegn inn posisjonen til protonet etter 2 10 6 sekunder.

Løsning: a Vi definerer kurven k i algebrafeltet i GeoGebra og tilpasser aksene som vist på figuren øverst på neste side. b

Vi definerer punktet P ¼ kð2 10 6 Þ i algebrafeltet. GeoGebra tegner punktet på kurven.

Linjer og kurver i rommet 417

Oppgaver: 6.74–6.75

Skruebevegelsen i forrige eksempel oppstår fordi kraften som virker på protonet, F ¼ q ~ v ~ B, er vinkelrett både på fartsretningen og magnetfeltet. Hvis protonet treffer magnetfeltet vinkelrett, fortsetter det i en sirkelbevegelse. Hvis det i stedet treffer magnetfeltet på skrå, får vi en skruebevegelse.

Oppgaver 6.66 En linje l går gjennom punktene Að 1, 2, 4Þ og Bð5, 0, 6Þ. a

Vis at en mulig parameterframstilling for linja l er 8 < x ¼ 1 þ 3t l: y ¼ 2 t : z ¼4þt

Sett opp en annen parameterframstilling for linja l.

Bruk GeoGebra til å kontrollere at parameterframstillingene i a og b gir den samme linja.

6.68 Tegn linja gitt ved parameterframstillingene: 8 8 x ¼4þt > > < <x ¼ t 1 t y ¼ 1 þ a l: c l: y ¼ 2t > : 2 > z¼5 : z ¼ 2 2t 8 8 x¼t > > < < x ¼ 3 pffiffiffi y ¼5 t b l: d l: y ¼ 5 2t > : 2 > :z ¼ t z¼tþ2 3

Að1, 2, 1Þ, Bð4, 1, 5Þ

6.69 Linjene l og m er gitt ved 8 ( x ¼1þt > < x ¼ 5 2s 1 l: y ¼ t m: y ¼ 3 þ 4s > 2 : z ¼1þs z ¼4 t

Að 5, 0, 2Þ, Bð 1, 3, 3Þ

Að4, 2, 6Þ, Bð0, 0, 0Þ

Finn skjæringspunktet med xy-planet for hver av linjene.

Að3, 3, 1Þ, Bð3, 3, 4Þ

Vis at linjene skjærer hverandre, og finn skjæringspunktet.

6.67 Finn en parameterframstilling for linja l gjennom punktene:

418 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.70 Linjene l og m er gitt ved 8 8 x ¼ 4 þ 2t > < <x ¼ 5 s 1 m: y ¼ 4s l: y ¼ t > : 3 : z ¼3 s z¼t a

Finn en retningsvektor til hver av linjene.

Finn vinkelen mellom retningsvektorene.

Finn vinkelen mellom linjene.

Finn vinkelen mellom hver av linjene og z-aksen.

6.71 Planet er gitt ved likningen 1 1 : x y þ 2z ¼ 5 2 3 Finn vinkelen mellom planet og 8 x ¼ 2t > > < y ¼ 2 þ t a linja l: > > :z ¼ 1 þ 1t 2 8 < x ¼ t b linja m: y ¼ 1 þ 3t : z ¼ 5 þ 2t c

y-aksen

6.72 a Finn avstanden fra punktet ð2, 4, 1Þ til linja l gitt ved 8 <x ¼ 7 t l: y ¼ 1 þ 2t : z ¼ 2t b

Finn avstanden fra punktet ð3, 0, 0Þ til linja m gitt ved 8 < x ¼ 3 þ 4t m: y ¼ 1 t : z ¼ 6 þ 2t

Finn avstanden fra origo til linja l gitt ved 8 x ¼ t > > < y ¼1þt l: > > :z ¼ 3 þ 1t 4 4

6.73 Finn avstanden fra punktet Pð4, 2, 3Þ til hver av koordinataksene. 6.74 Et elektron beveger seg i et magnetfelt. Posisjonen til elektronet etter t sekunder er gitt ved parameterframstillingen 8 6 < x ¼ 1,4 cos ð4,7 10 tÞ t 2 ½0, 10 5 e: y ¼ 1,4 sin ð4,7 106 tÞ : 5 z ¼ 10 9,6 10 t Her er x, y og z avstanden i meter fra et bestemt punkt i magnetfeltet. a

Tegn en kurve som viser bevegelsen til elektronet.

Finn posisjonen til elektronet etter 4 10 6 sekunder.

6.75 To partikler beveger seg i baner gitt ved parameterframstillingene: 8 8 2 <x ¼ t < x ¼ 5 sin ðtÞ t p2 : y ¼ 8 cos ðtÞ þ 10 p1 : y ¼ 10 0,5 : : z ¼ t2 z ¼ 1,5t2 þ 10t Parameteren t angir tid og har enheten sekunder. Aksene har enheten meter. a

Tegn banen til hver av partiklene.

Finn skjæringspunktene mellom partikkelbanene og yz-planet.

Finn den minste avstanden mellom partiklene.

Vektorfunksjoner 419

6.10 Vektorfunksjoner UTFORSK Jobb sammen to og to Du trenger: GeoGebra 1

Vis algebrafeltet og «grafikkfelt 3D» i GeoGebra.

Skriv inn kurven og vektorene som er vist på figuren nedenfor.

Kurven er en modell for posisjonen til et småfly etter t sekunder. Vektorene r~2 og r~4 viser posisjonen etter 2 og 4 sekunder. 3

Vi skal tegne inn to nye vektorer på kurven. Skriv inn v2 ¼ Vektor(r(2),r(2)+r'(2)) v4 ¼ Vektor(r(4),r(4)+r'(4)) Diskuter hva disse vektorene forteller om bevegelsen til flyet.

Regn ut jv2 j og jv4 j og gi en praktisk tolkning av svaret.

Skriv inn a2 ¼ Vektor(r(2),r(2)+r''(2)). Denne vektoren er så kort at du må zoome inn på kurven ved t ¼ 2 for å se den. Diskuter hva denne vektoren forteller om bevegelsen.

Vi har nå sett flere eksempler på bruk av parameterframstillinger for å angi posisjon som funksjon av tiden. En annen mulighet er å bruke vektorfunksjoner. I en vektorfunksjon er vektorkoordinatene funksjoner av en variabel. Vektorfunksjoner er særlig nyttige når vi vil beregne både posisjon, fart og akselerasjon.

Vektorfunksjoner:

420 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Vi tenker oss at vi sitter høyt bak mål på en fotballkamp og ser et hjørnespark.

Parameterframstillingen nedenfor er en modell for posisjonen til ballen t sekunder etter sparket: 8 < x ¼ 18t t 2 ½0, 2 l: y ¼ 6t 2,3t2 : z ¼ 10t 4,9t2 Her er origo hjørnet av banen der hjørnesparket tas fra. Vektoren fra origo til ballens posisjon t sekunder etter sparket kaller vi en posisjonsvektor ~ rðtÞ: ~ rðtÞ ¼ ½18t, 6t 2,3t2 , 10t 4,9t2 Posisjonsvektoren er en vektorfunksjon av parameteren t. Den forteller akkurat det samme som parameterframstillingen, og kurven til vektorfunksjonen er den samme som kurven til parameterframstillingen. Etter ett sekund er posisjonsvektoren ~ rð1Þ ¼ ½18 1, 6 1 2,3 12 , 10 1 4,9 12 ¼ ½18, 3,7, 5,1 Figuren viser kurven sammen med posisjonsvektoren etter ett sekund, ~ rð1Þ. z

10 5

20 10

r (1) 5

–5

35 x

Vektorfunksjoner 421

Fart er endring i posisjon per tidsenhet. Dette betyr at vi kan derivere posisjonsvektoren og få fartsvektoren ~ vðtÞ. ~ vðtÞ ¼ ~ r 0 ðtÞ ¼ ½ð18tÞ0 , ð6t 2,3t2 Þ0 , ð10t 4,9t2 Þ0 ¼ ½18, 6 4,6t, 10 9,8t Etter ett sekund er fartsvektoren ~ vð1Þ ¼ ~ r 0 ð1Þ ¼ ½18, 6 4,6 1, 10 9,8 1 ¼ ½18, 1,4, 0,2 Farten er lengden av fartsvektoren. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j~ vð1Þj ¼ 182 þ 1,42 þ 0,22 18,1 Etter ett sekund har ballen farten 18,1 m=s. Akselerasjon er endring i fart per tidsenhet. Akselerasjonsvektoren ~ aðtÞ er derfor den deriverte av fartsvektoren og den dobbeltderiverte av posisjonsvektoren. ~ r 00 ðtÞ ¼ ½180 , ð6 4,6tÞ0 , ð10 9,8tÞ0 ¼ ½0, 4,6, 9,8 aðtÞ ¼ ~ v 0 ðtÞ ¼ ~ Vi tegner kurven på nytt med både ~ rð1Þ, ~ vð1Þ og ~ að1Þ: z

y 30

15 20

10 5

r (1) 5

–5

v (1)

a (1) 15

Figuren viser at fartsvektoren ~ v er en tangent til kurven. Slik er det alltid. Akselerasjonsvektoren ~ a peker nedover på grunn av tyngdekraften, men også innover mot dødlinja, fordi ballen «skrur».

V E KT O R FU NK S J O N E R Hvis ~ rðtÞ er posisjonsvektoren som funksjon av tiden t, er fartsvektoren ~ vðtÞ ¼ ~ r 0 ðtÞ akselerasjonsvektoren ~ aðtÞ ¼ ~ v 0 ðtÞ ¼ ~ r 00 ðtÞ

I teksten over så vi på en kurve i rommet. Hvis bevegelsen kun er langs to akser, klarer vi oss med vektorfunksjoner i planet. Regningen ellers blir den samme.

422 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

EK SEMPEL 39 Du står i en gymsal og kaster en ball på skrå oppover. Vi ser bort fra luftmotstanden. Posisjonsvektoren til ballen er gitt ved rðtÞ ¼ ½5t, 2 þ 6t 4,9t2 Her er y-koordinaten høyden til ballen, mens x-koordinaten er den horisontale avstanden. Parameteren t er tiden i fra ballen blir kastet, målt i sekunder.

Hvor lang tid tar det før ballen treffer underlaget?

Tegn kurven som viser ballens posisjon etter t sekunder.

Finn ballens maksimale høyde og tegn fartsvektoren i dette punktet.

Finn farten idet ballen blir kastet.

Løsning: a Ballen treffer underlaget når y ¼ 0. I margen har vi løst likningen 2 þ 6t 4,9t2 ¼ 0 med CAS. Ballen treffer underlaget etter omtrent 1,5 sekunder. b

Vi skriver «r=Kurve(5t, 2 þ 6t 4:9t2 , t, 0, 1:5)» i GeoGebra og tegner kurven i grafikkfeltet, se figuren nedenfor.

I toppunktet er fartsvektoren horisontal. Vi finner fartsvektoren og bestemmer t slik at y-komponenten blir null. ~ vðtÞ ¼ ~ r 0 ðtÞ ¼ ½5, 6 9,8t y-komponenten er null når 6 9,8t ¼ 0. 6 9,8t ¼ 0 6 t¼ 9,8 t 0,61 Ballen er på sitt høyeste etter 0,61 sekunder. For å tegne inn fartsvektoren i riktig posisjon skriver vi «v=Vektor(r(0.61),r(0.61)+r'(0.61))» i algebrafeltet. ym

4 3 2 r 1

xm 0

Legg merke til at vi også kunne derivert y-koordinaten til posisjonsvektoren ~ rðtÞ og funnet ekstremalpunktet til denne. Likningen blir den samme.

Vektorfunksjoner 423

For å finne farten idet ballen blir kastet, regner vi ut lengden av ~ vð0Þ. ~ vð0Þ ¼ ½5 0, 6 9,8 0 ¼ ½5, 6

Farten j~ vj kalles også banefarten.

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 52 þ 62 pffiffiffiffiffi ¼ 61

j~ vð0Þj ¼

7,8 Ballen har utgangsfarten 7,8 m=s.

EKSEMPEL 40 Sekundviseren på en klokke er 2 cm lang og beveger seg med jevn fart. Posisjonen til tuppen av viseren etter t sekunder er gitt ved posisjonsvektoren ~ t , 2 cos t , t 2 ½0, 60 rðtÞ ¼ 2 sin 30 30 a

Tegn posisjonsvektoren og fartsvektoren etter 40 sekunder sammen med kurven som viser bevegelsen. Kommenter retningen.

Vis at akselerasjonsvektoren alltid står vinkelrett på fartsvektoren.

Løsning: a Vi definerer kurven og tegner inn posisjonsvektoren ~ rðtÞ og fartsvektoren ~ vðtÞ, som vist på figuren:

Vi ser at posisjonsvektoren peker samme retning som sekundviseren etter 40 sekunder, og at fartsvektoren er en tangent til kurven.

Oppgave: 6.76

424 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Vi definerer ~ rðtÞ, ~ vðtÞ og ~ aðtÞ med CAS. Så regner vi ut skalarproduktet. 1

Skalarproduktet ~ vðtÞ ~ aðtÞ ¼ 0. Det betyr at akselerasjonsvektoren ~ aðtÞ står vinkelrett på fartsvektoren ~ vðtÞ. Dette resultatet gjelder generelt. Ved sirkelbevegelse med jevn fart er akselerasjonsvektoren rettet inn mot sentrum av sirkelen.

Oppgave: 6.77

I det siste eksempelet modellerer vi et kast i rommet med vektorfunksjoner.

EK SEMPEL 41 I baseball kastes ballen med en fart opp mot 170 km=t og med mye rotasjon, slik at den «skrur» i lufta. Vi plasserer et koordinatsystem med origo et sted på banen. Pitcheren kaster ballen fra posisjonen ð0, 2, 1,6Þ, målt i meter fra origo. Etter t sekunder er ballens posisjon gitt ved modellen ~ rðtÞ ¼ ½2 0,94t þ 4,1t2 , 44t, 1,6 þ 1,3t 4,9t2 ,

t 2 ½0, 0,7

Tegn kurven som viser ballens posisjon etter t sekunder.

Bestem farten etter 0,6 sekunder.

Vis at ballen har konstant akselerasjon.

Vektorfunksjoner 425

Løsning: a Vi skriver «r=Kurve(2 0:94t þ 4:1t2 , 44t, 1:6 þ 1:3t 4:9t2 , t, 0, 0:7Þ» og velger «Vis grafikkfelt 3D».

Legg merke til at aksene er stilt inn ulikt, slik at det ser ut som om banen krummer mer enn den gjør i virkeligheten. b

Vi definerer posisjonsvektoren ~ rðtÞ og fartsvektoren ~ vðtÞ med CAS. Så finner vi farten ved å regne ut lengden av fartsvektoren når t ¼ 0,6. 1

Farten etter 0,6 sekunder er 44,4 m=s. c

Vi definerer akselerasjonsvektoren ~ aðtÞ med CAS. 1

Akselerasjonsvektoren ~ aðtÞ ¼ ½8,2, 0, 9,8 er uavhengig av tiden t og derfor konstant.

Oppgaver: 6.78–6.79

426 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Oppgaver 6.76 Siri kaster en ball på skrå oppover langs et horisontalt underlag. Posisjonsvektoren til ballen er gitt ved ~ rðtÞ ¼ ½4t, 1,8 þ 7t 4,9t2

Tegn kurven som viser ballens posisjon etter t sekunder.

6.78 Khuram sparker en fotball hardt fra midtbanemerket mot motstanderens mål. På grunn av luftmotstand og motvind mister ballen noe fart i lufta. Vi plasserer et koordinatsystem med origo midt på banen, og slik at y-aksen peker rett mot målet 55 meter lenger framme. Ballens posisjon t sekunder etter sparket er da gitt ved posisjonsvektoren ~ rðtÞ ¼ ½0,8t, 18t 0,3t2 , 14t 4,9t2

Finn farten idet ballen blir kastet.

Tegn kurven til ballen.

Når er ballen på sitt høyeste?

Hvor lang tid tar det før ballen treffer underlaget?

Finn ballens maksimale høyde og tegn fartsvektoren i dette punktet.

I hvilken avstand fra midtbanemerket lander ballen?

Hvor høyt går ballen?

Vis at akselerasjonsvektoren hele tiden er rettet nedover.

Når er farten til ballen størst? Hva er farten da?

Hvor langt fra Siri lander ballen?

6.79 En hangglider stiger raskt i møte med kraftige luftstrømmer nedenfra. Posisjonen til hangglideren t sekunder etter at den begynner å stige, er gitt ved ~ rðtÞ ¼ ½5 cos ðtÞ,5 sin ðtÞ; t2 , t 2 ½0, 3

Her viser y-koordinaten høyden til ballen og x-koordinaten den horisontale avstanden fra Siri. Enheten på aksene er meter.

6.77 Espen jogger med konstant fart på en sirkelformet bane. Vi plasserer et koordinatsystem med origo i sentrum av banen. Posisjonen til Espen etter t sekunder er gitt ved posisjonsvektoren ~ rðtÞ ¼ 30sin t , 30cos t , t 2 ½0, 40 20 20

Enheten på aksene er i meter, og origo er der hangglideren først møter luftstrømmen. a

Tegn kurven som viser posisjonen til hangglideren de tre første sekundene.

Tegn inn fartsvektoren etter 2 sekunder. Hvor høy er farten da?

Hvor lang tid bruker Espen på en runde?

Tegn kurven som viser bevegelsen til Espen.

Vis at fartsvektoren er en tangent til kurven.

Tegn inn akselerasjonsvektoren etter 2 sekunder.

Finn farten til Espen.

Finn akselerasjonen.

Vis at akselerasjonsvektoren endrer retning, men at akselerasjonen er konstant. Bestem akselerasjonen.

Vis at akselerasjonsvektoren og fartsvektoren er ortogonale.

Mønster og oversikt 427

MØ NS T E R O G O V E R S IKT Avstand mellom punkter

Vektorprodukt

Avstanden mellom punktene ðx1 , y1 , z1 Þ og ðx2 , y2 , z2 Þ qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi er d ¼ ðx2 x1 Þ2 þ ðy2 y1 Þ2 þ ðz2 z1 Þ2 .

Definisjon: Vektorproduktet ~ a og retning slik at

Lengden av en vektor

j~ a

~ bj ¼ j~ aj j~ bj sin ﬀð~ a, ~ bÞ

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi j~ uj ¼ ½a, b, c ¼ a2 þ b2 þ c2

Regneregler for vektorer

På koordinatform:

Addisjon: ½x1 , y1 , z1 þ ½x2 , y2 , z2 ¼ ½x1 þ x2 , y1 þ y2 , z1 þ z2 Subtraksjon: ½x1 , y1 , z1 ½x2 , y2 , z2 ¼ ½x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 Multiplikasjon med tall: k ½x, y, z ¼ ½kx, ky, kz

Parallelle vektorer

~ b er en vektor med lengde

~ a ~ b står normalt på både ~ a og ~ b og følger høyrehåndsregelen ½x1 , y1 , z1

½x2 , y2 , z2 ¼

½y1 z2 z1 y2 , z1 x2 x1 z2 , x1 y2 y1 x2 ex

Areal

~ u k~ v ,~ u ¼ t ~ v

Parallellogram utspent av ~ u og ~ v: ~ ~ A ¼ ju vj

Skalarprodukt Definisjon: ~ u ~ v ¼ j~ uj j~ vj cos ﬀð~ u, ~ vÞ På koordinatform: ½x1 , y1 , z1 ½x2 , y2 , z2 ¼ x1 x2 þ y1 y2 þ z1 z2

Trekant utspent av ~ u og ~ v: 1 u ~ vj A ¼ j~ 2

Volum ~: Parallellepiped utspent av ~ u, ~ v og w ~j V ¼ jð~ u ~ vÞ w

Ortogonale vektorer ~ u ?~ v ,~ u ~ v¼0

Vinkel mellom vektorer cos ﬀð~ u, ~ vÞ ¼

~ u ~ v ~ juj j~ vj

w v

~: Pyramide med trekantet grunnflate, utspent av ~ u, ~ v og w 1 ~ V ¼ ð~ u ~ vÞ w 6

v y –(u, v)

w v u

428 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Pyramide med parallellogram som grunnflate, ~: utspent av ~ u, ~ v og w 1 ~ u ~ vÞ w V ¼ ð~ 3

Linjer i rommet Linje gjennom ðx0 , y0 , z0 Þ med retningsvektor ½a, b, c : 8 < x ¼ x0 þ a t l: y ¼ y0 þ b t : z ¼ z0 þ c t

Vinkel mellom to linjer

u er vinkelen mellom retningsvektorene til linjene. v er vinkelen mellom linjene. u

90 ) v ¼ u

u > 90 ) v ¼ 180 u u

Vektorfunksjoner Plan

~ rðtÞ er posisjonsvektoren

Likning for et plan gjennom punktet ðx0 , y0 , z0 Þ med normalvektor ½a, b, c :

~ vðtÞ ¼ ~ r 0 ðtÞ er fartsvektoren

aðx x0 Þ þ bðy y0 Þ þ cðz z0 Þ ¼ 0 Avstand fra punktet ðx1 , y1 , z1 Þ til planet gitt ved likningen ax þ by þ cy þ d ¼ 0: D¼

jax1 þ by1 þ cz1 þ dj pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2 þ b2 þ c2

~ r 00 ðtÞ er akselerasjonsvektoren aðtÞ ¼ ~ v 0 ðtÞ ¼ ~

Avgjør om påstandene stemmer 1 ~ u ~ v ¼ ~ v þ~ u 2 ½0, 3, 4 ¼ 5 3

To vektorer er parallelle hvis skalarproduktet av vektorene er null.

Hvis ~ u ~ v ¼ j~ uj j~ vj, er ~ ujj~ v.

Hvis skalarproduktet av to vektorer er null, er vektorene ortogonale.

For å bestemme likningen for et plan trenger vi koordinatene til minst tre punkter i planet.

Gitt vinkelen u mellom normalvektoren til et plan og retningsvektoren til en linje.

Det finnes bare ett plan som går gjennom de samme tre punktene i rommet.

Vinkelen mellom linja og planet er da v ¼ j90 uj.

Vinkelen mellom en linje og et plan kan være 100 .

Hvis et plan tangerer en kuleflate, vil vektoren fra tangeringspunktet til sentrum i sirkelen være en normalvektor til planet.

Vinkelen mellom to plan v er vinkelen mellom normalvektorene til to plan. Vinkelen mellom planene er da v hvis v

180 v hvis v > 90

Vinkel mellom plan og linje

Kuleflate Kuleflate med radius r og sentrum i ðx0 , y0 , z0 Þ: ðx x0 Þ2 þ ðy y0 Þ2 þ ðz z0 Þ2 ¼ r2

10 Akselerasjonsvektoren er den dobbeltderiverte av posisjonsvektoren.

Test deg selv 429

Test deg selv Med hjelpemidler

Uten hjelpemidler

6.80 Gitt punktene Að1, 1, 2Þ, Bð9, 1, 8Þ og Cð4, 6, tÞ. ! ! a Bestem AB og j AB j. ! ! b Bestem t slik at AB ? AC .

6.83 En trekant ABC er gitt ved punktene Að1, 0, 0Þ, Bð4, 3, 4Þ og Cð4, 3, 4Þ. ! ! ! ! a Bestem AB , AC og AB AC . b

Finn ﬀB og arealet av 4ABC.

La punktet C være ð4, 6, 2Þ i resten av oppgaven.

Finn en likning for planet gjennom A, B og C.

Finn avstanden fra origo til planet .

Finn skjæringspunktene med planet og koordinataksene.

Et annet plan er parallelt med og går gjennom Pð 2, 0, 0Þ. Finn en likning for .

Finn avstanden mellom planene og .

Finn en parameterframstilling for skjæringslinja mellom og yz-planet. pffiffiffi Vis at avstanden fra origo til planet er 2.

La D være gitt ved Dð0, 0, 3Þ. Regn ut volumet av tetraederet ABCD.

Finn volumet av pyramiden OABC der O er origo.

6.84

6.81 a Vis at likningen x2 þ y2 þ z2 6x þ 2y ¼ 15 er likningen for en kuleflate med sentrum i Sð3, 1, 0Þ og radius 5. b

Finn en parameterframstilling for en linje l som går gjennom sentrum av kula og har retningsvektor ~ v ¼ ½3, 0, 4 .

Finn skjæringspunktene mellom linja l og kuleflaten.

Finn en likning for tangentplanet til kuleflaten i hvert av skjæringspunktene.

Klaus kaster frisbee. En modell for kastet er gitt ved posisjonsvektoren ~ rðtÞ ¼ ½11t, 3t 1,2t2 , 0,95t3 þ 2,6t2 0,43t þ 1,2

6.82 Gitt punktene Að2, 1, 3Þ og Bð3, 4, 2Þ. ! ! Bestem et punkt C slik at AB jj AC .

Vi plasserer et koordinatsystem med origo der Klaus står når han kaster. Parameteren t er antall sekunder etter kastet. Enheten på aksene er meter. Underlaget er flatt. a

Tegn kurven til frisbeen for t 2 ½0, 2,8 .

Tegn inn fartsvektoren etter ett sekund. Hvor høy fart har frisbeen da?

Bestem akselerasjonsvektoren etter ett sekund.

Når er frisbeen på sitt høyeste, og hvor høyt er den da?

430 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Oppgaver 6.1 Punkter i rommet

6.89 Finn avstanden fra punktet Q ¼ ð3, 5, 12Þ til

6.85 Tegn punktene i et koordinatsystem:

xy-planet

x-aksen

xz-planet

z-aksen

ð3, 0, 0Þ

ð 3, 1, 4Þ

ð2, 2, 1Þ

ð0, 2, 2Þ

6.90 Skriv ned koordinatene til alle punkter som ligger to enheter fra yz-planet, én enhet fra xz-planet og fire enheter fra xy-planet.

6.86 Finn koordinatene til punktene på figuren: z

6.91 Finn avstanden mellom punktene:

3 2

–3

B –2

D –1

–1 –2 –3 –2

y A

6.87 Avgjør om punktene ligger i noen av akseplanene eller på noen av koordinataksene: 3 a ð2, 3, 1Þ c 0, , 0 5 b

ð0, 1, 10Þ

ð3, 0, 0,01Þ

6.88 Avstanden fra et punkt P til origo er 5. Bestem koordinatene til P når a

P ligger på x-aksen

P ligger på z-aksen

P ligger i xy-planet og avstanden til x-aksen er 3 pffiffiffi P har x-koordinat 1 og y-koordinat 2 2

ð2, 0, 1Þ og ð0, 2, 0Þ

ð 3, 1, 2Þ og ð3, 2, 6Þ

ð1, 1, 1Þ og ð2, 2, 4Þ pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi ð0, 0, 0Þ og ð 10, 10, 10Þ

6.92 Punktet P har koordinater gitt ved P ¼ ð8t, 2t, 6t 4,9t2 Þ. a

Bestem P når t ¼ 0,5, og når t ¼ 1,22.

P er posisjonen til en fotball t sekunder etter at den blir sparket. Vi plasserer et koordinatsystem med origo i ballens utgangsposisjon. Enheten på aksene er meter. b

Hvor lang tid tar det før ballen lander?

Hvor langt fra utgangsposisjonen lander ballen?

Oppgaver 431

6.2 Vektorer i rommet 6.93

1 3 og B 1, 2, . Gitt punktene A 3, 2, 2 2 ! ! a Bestem AB og BA . ! ! b Tegn AB og BA ut fra origo.

6.94 Finn vektoren fra punktet A til punktet B: a

Að1, 4, 7Þ og Bð2, 0, 3Þ

Að 9, 2, 5Þ og Bð 4, 4, 2Þ

Að0, 8, 1Þ og Bð2, 3, 1Þ 1 1 1 1 7 A , 2, og B , , 3 4 6 4 12

~ v ¼ ½1, 1, 3

b ~ a ¼ ½5, 3, 4

Vis at vektorene ikke er parallelle for t ¼ 1.

Bestem t slik at vektorene er parallelle.

6.99 Gitt vektorene ~ u ¼ ½ 1, 3, 2 og ~ v ¼ ½2, 6, 4 . a

Bestem k slik at ~ u ¼ k~ v.

Bestem l slik at ~ v ¼ l~ u.

Regn ut k l og kommenter svaret.

6.100 Gitt punktene Að1, 2, 3Þ og Bð2t, t, tÞ. pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ! a Vis at j AB j ¼ 6t2 6t þ 14. ! b Forklar at j AB j er minst der funksjonen

6.95 Regn ut lengden av vektorene: a

6.98 Vi har vektorene ~ u ¼ ½2, 3, 5 og ~ v ¼ ½t þ 1, 2t, 3t þ 1 .

f ðtÞ ¼ 6t2 6t þ 14

~ b ¼ ½0, 1, 2 pffiffiffi pffiffiffi d ~ u ¼ ½ 2, 3, 2

har sitt bunnpunkt.

Finn bunnpunktet til f ðtÞ ved derivasjon.

Vis at den korteste avstanden mellom pffiffiffi 5 2 . punktene A og B er 2

6.96 Gitt vektorene ~ a ¼ ½2, 7, 3 og ~ b ¼ ½5, 2, 1 . Regn ut: 2~ 1 a ~ a þ 2~ b c ~ a þ~ b e b ~ a 3 3 1 b ð~ a þ~ bÞ d ð~ b ~ aÞ f 2ð~ b þ~ aÞ 2

6.97 Avgjør om ~ ujj~ v. Hvis ~ ujj~ v, bestem k slik at ~ u ¼ k v. a

~ u ¼ ½3, 6, 9 og ~ v ¼ ½1, 2, 3

3 b ~ u ¼ ½ 5, 10, 3 og ~ v ¼ 1, 2, 5 c

~ u ¼ ½1, 4, 0 og ~ v ¼ ½ 2, 8, 2

d ~ u ¼ ½ 2, 3, 4 og ~ v ¼ ½4, 6, 8

6.101 Bestem t slik at vektor ~ v er kortest mulig, og finn j~ vj for denne verdien av t. a

~ v ¼ ½t, 1, 1 t

b ~ v ¼ ½2, 3, t 4

~ v ¼ ½t þ 1, 2t, 2t þ 1

d ~ v ¼ ½ t, 2t, 4

6.102 Vi har punktene Pðt 3, t, 2t 4Þ og Qð3t, t þ 1, t 2Þ. ! Bestem t og j PQ j når a

punktene ligger like langt fra xz-planet

avstanden mellom punktene er kortest ! PQ k ½8, 4, 3

432 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.3 Skalarprodukt

6.108 Punktene Að1, 1, 2Þ, Bð5, 3, 1Þ og Cðt þ 3, t, 2Þ danner en trekant.

6.103 Regn ut ~ u ~ v når j~ uj ¼ 4, j~ vj ¼ a

180

3 og ﬀð~ v, ~ uÞ er 2 e 150 f

6.104 Bestem skalarproduktet ~ u ~ v når a

~ u ¼ ½ 3, 2, 3 og ~ v ¼ ½5, 1, 2

b ~ u ¼ ½10, 2, 1 og ~ v ¼ ½6, 4, 7 ~ u ¼ ½1, 2, 3 og ~ v ¼ ½ 3, 2, 1 1 1 3 1 2 d ~ u¼ , , og ~ v¼ , ,2 3 2 4 2 3 c

6.105 Undersøk om vektorene er ortogonale: a

~ u ¼ ½ 1, 4, 7 og ~ v ¼ ½4, 2, 2

b ~ u ¼ ½3, 4, 1 og ~ v ¼ ½2, 1, 10 ~ u ¼ ½0, 1, 1 og ~ v ¼ ½15, 1, 1 4 1 og ~ v ¼ ½5, 1, 6 d ~ u ¼ , 2, 5 3

For hvilke verdier av t er 4ABC rettvinklet?

6.109 Gitt vektoren ~ a ¼ ½1, 2, 4 . Finn en vektor ~ b slik at ~ a ?~ b når a ~ b er parallell med xy-planet b ~ b er parallell med yz-planet c

~ b står vinkelrett på y-aksen

d ~ b ikke er parallell med noen av akseplanene, og j~ bj ¼ 6

6.110 Gitt ~ a ¼ ½4, 3, 4 . Finn en vektor ~ b slik at a

~ b er parallell med yz-planet og ~ a ~ b¼0

5 j~ bj ¼ og ~ a ~ b¼0 2

6.106 Bestem t slik at ~ u ?~ v når a

~ u ¼ ½t, 2t, 3 og ~ v ¼ ½ 5, 3, 2

b ~ u ¼ ½t, 2t, 4 og ~ v ¼ ½3, 1, 1 c

e~z

e~x

e~y

e~z

e~y

e~x e~z

~ v ¼ ½2, t þ 1, 0 u ¼ ½t , 8, 2 og ~

6.107 Regn ut vinkelen mellom vektorene: ~ u ¼ ½7, 4, 8 og ~ v ¼ ½5, 1, 2

b ~ u ¼ ½4, 2, 3 og ~ v ¼ ½6, 8, 9 ~ u ¼ ½1, 1, 1 og ~ v ¼ ½ 3, 2, 0 pffiffiffi d ~ u ¼ ½2, 2, 0 og ~ v ¼ ½1, 1, 2

6.111 Bruk definisjonen til å bestemme vektorproduktene:

d ~ u ¼ ½4, t2 , 2 og ~ v ¼ ½1, 2, 11

6.4 Vektorprodukt

6.112 Skriv ~ u og ~ v som en sum av enhetsvektorer. Bruk definisjonen av vektorproduktet sammen med regnereglene til å skrive vektorproduktet ~ u ~ v på koordinatform. Kontroller utregningen med CAS. a

~ u ¼ ½1, 1, 0 og ~ v ¼ ½0, 1, 1

b ~ u ¼ ½2, 0, 0 og ~ v ¼ ½ 2, 0, 1

Oppgaver 433

6.113 Regn ut vektorproduktene: a

½2, 0, 1

½1, 1, 3

½ 4, 1, 3

½2, 0, 4

6.118 c

½1, 3, 2

½5, 0, 1

½3, 2, 0 ½1, 6, 2

6.114 Bruk vektorprodukt til å finne en vektor ~ v som står normalt på a ~ a ¼ ½4, 5, 9 og ~ b ¼ ½3, 2, 2 b ~ u ¼ ½2, 1, 4 og z-aksen

6.115

1 ~ , b ¼ ½2, 1, 1 2 ~ b. Vis uten å regne ut ~ c at ~ c k ½5, 0, 10 .

Gitt vektorene ~ a ¼ 1, 2, og ~ c ¼~ a

6.116 Gitt punktene Að0, 2, 3Þ, Bð1, 1, 2Þ og Cð4, 2, 1Þ. ! ! Regn ut vektorproduktet AB AC . Hva forteller resultatet om punktene A, B og C? 6.117 Vi skal utlede formelen for vektorprodukt på koordinatform: ½x1 , y1 , z1

½x2 , y2 , z2 ¼

Dreiemomentet måles i newtonmeter (Nm) og er gitt ved ~ ¼~ r ~ F, der ~ F er kraften og ~ r er vektoren fra rotasjonssenteret til punktet som kraften virker på. Se også oppgave 6.32 på side 377. Nicolai strammer hjulboltene på bilen sin med en felgnøkkel, som vist på bildet. Boltene skal trekkes til med et dreiemoment på 120 Nm, og kraften på felgnøkkelen virker 40 cm fra bolten. a

Hvilken kraft skal Nicolai bruke vinkelrett på armen på felgnøkkelen for å stramme med riktig dreiemoment?

Hvor mye reduseres dreiemomentet hvis vinkelen mellom kraften som Nicolai bruker, og armen er 120 ?

½y1 z2 z1 y2 , z1 x2 x1 z2 , x1 y2 y1 x2 a

Skriv begge vektorene som en sum av enhetsvektorer.

Forklar at x1 e~x

x2 e~x ¼ ~ 0.

Forklar at x1 e~x

y2 e~y ¼ x1 y2 e~z .

Utled formelen for vektorproduktet på koordinatform.

6.119 Gitt vektorene ~ a ¼ ½3, t, 1 , ~ b ¼ ½s2 , 2, 3 og ~ c ¼ ½1, 2, 1 . a

Bruk CAS til å bestemme s og t slik at ~ a k~ b.

Bruk CAS til å bestemme s og t slik at ~ a

~ b k~ c.

434 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.5 Areal og volum

6.123 Gitt punktene Að3, 4, 2Þ, Bð 1, 4, 2Þ og Cð 3, 4, 5Þ.

6.120 Figuren viser et tetraeder:

Velg et punkt D på z-aksen og skriv opp koordinatene til D.

Vis at volumet av tetreaderet ABCD er 24.

Forklar hvorfor volumet av tetraederet er uavhengig av hvor på z-aksen du plasserer D.

D = (3, 2, 4) y

A = (1, 1, 2)

C = (6, 4, 1)

B = (5, 0, 0)

Finn arealet av grunnflaten ABC i tetraederet.

Finn volumet av tetraederet.

6.121 Gitt punktene Að0, 0, 0Þ, Bð4, 2, 1Þ, Cð2, 3, 1Þ og Dð6, 1, 5Þ. a

Tegn tetraederet ABCD.

Finn volumet av tetraederet.

Finn volumet av parallellepipedet utspent ! ! ! av AB , AC og AD .

6.122 En trekant ABC er gitt ved punktene Að3, 0, 5Þ, Bð5, 3, 4Þ og Cð0, 5, 3Þ. a b c d e

Illustrer trekanten i et koordinatsystem. ! ! Bestem AB og BC . ! ! Regn ut AB BC og finn vinkel B. ! ! Regn ut AB BC og bestem arealet av 4ABC. Regn ut volumet av tetraederet ABCO, der O ¼ ð0, 0, 0Þ:

6.124 a Tegn tre punkter A, B og C i xy-planet, slik at punktene ikke ligger på samme linje. x

Bestem koordinatene til et punkt D slik at ABCD blir et parallellogram og AD skjærer BC.

Arealsetningen for trekanter sier at vi finner arealet av trekanten ved å ta produktet av to sider i trekanten, multiplisere med sinus til vinkelen mellom sidene og så dividere med to. c

Bruk arealsetningen til å vise at arealet av parallello ! ! grammet ABCD er gitt ved A ¼ j AB AC j.

6.125 C

a¥b q

D a A

1 G h, 3 der G er grunnflaten i pyramiden og h er høyden. Bruk formelen til å vise at volumet av tetraederet 1 a ~ bÞ ~ c . på figuren er V ¼ ð~ 6 Formelen for volumet av en pyramide er V ¼

Oppgaver 435

6.6 Plan

6.130 Avgjør om påstandene stemmer:

6.126 Finn en likning for et plan gjennom punktet P og med normalvektor ~ n når

Planet ax þ by þ cz þ d ¼ 0 går gjennom origo bare hvis d ¼ 0.

Planet x þ y þ z ¼ 9 skjærer x-aksen i ð3, 0, 0Þ.

Pð1, 2, 4Þ og ~ n ¼ ½ 2, 2, 3

Planet 2x y 4 ¼ 0 er parallelt med xy-planet.

Pð0, 7, 1Þ og ~ n ¼ ½3, 1, 0 1 1 3 Pð6, 2, 4Þ og ~ n¼ , , 3 2 4

Likningene 3x 6y þ z ¼ 21 og z x þ 2y þ 7 ¼ 0 gir samme plan. 3 I punktet der et plan skjærer y-aksen, er y-koordinaten null.

c d

Pð 5, 1, 10Þ og ~ n ¼ ½0, 1, 0 6

6.127 Undersøk om planet er parallelt med noen av koordinataksene: a

xþy ¼4

z ¼ 2

2x þ y z ¼ 2

3y 2z ¼ 0

6.128 Finn en normalvektor til planet gjennom punktene. Bruk normalvektoren til å finne likningen for planet: a

ð 3, 1, 1Þ, ð4, 2, 0Þ og ð3, 5, 1Þ

ð0, 0, 0Þ, ð7, 0 3Þ og ð1, 4, 2Þ

6.129 Planet er gitt ved 1 : 2x y þ z ¼ 3 3 a Finn skjæringspunktene mellom planet og koordinataksene. b

Finn vinkelen mellom planet og xy-planet.

Finn vinkelen mellom planet og z-aksen.

Et plan med normalvektor ½3, 1, 0 er parallelt med z-aksen.

6.131 Planet er gitt ved 4x 6y þ 3z 12 ¼ 0. a

Vis at skjærer koordinataksene i ð3, 0, 0Þ, ð0, 2, 0Þ og ð0, 0, 4Þ.

Finn avstanden fra origo til .

Finn vinkelen mellom og z-aksen.

6.132 La være planet gitt ved likningen : 3x 3y 2z þ 6 ¼ 0 a

Finn koordinatene til skjæringspunktene mellom og koordinataksene.

Regn ut arealet av trekanten med de tre skjæringspunktene som hjørner.

Finn en likning til et plan gjennom origo slik at står normalt på og yz-planet.

6.133 Et plan er gitt ved : 6x þ 2y þ 3z 6 ¼ 0 a

Finn skjæringspunktene mellom og koordinataksene.

Lag en skisse av .

Finn avstanden fra punktet Pð3, 2, 3Þ til .

Høyden fra P ned på planet skjærer planet i et punkt Q. Finn koordinatene til Q.

436 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.7 Kuleflater 6.134 Bestem likningen for en kuleflate med a b

sentrum i ð 4, 1, 0Þ og radius 10 pffiffiffi sentrum i ð3, 2, 5Þ og radius 3

6.135 En kuleflate har sentrum i punktet ð3, 3, 8Þ og tangerer z-aksen. Bestem likningen for kuleflaten.

6.136 Finn sentrum og radius i kuleflaten gitt ved likningen a

x þ y þ z 10x þ 6y þ 30 ¼ 0

3 13 ¼0 x2 þ y2 þ z2 x þ 2y þ z þ 2 16

6.139 En flate er gitt ved likningen x2 2x þ y2 þ 4y þ z2 6z ¼ 2 a

Forklar hvorfor likningen beskriver en kuleflate. Finn sentrum og radius i kula.

En kuleflate k har sentrum i ð 1, 3, 2Þ og radius 3. b

Finn likningen til kuleflaten.

Avgjør om punktet Pð2, 3, 2Þ ligger på kuleflaten.

Avgjør om punktet Qð 1, 3, 6Þ ligger inni kula.

6.140 En kuleflate tangerer xy-planet i punktet pffiffiffi pffiffiffi 2 2, 2 2, 0 og z-aksen i punktet P. Bestem likningen til kuleflaten og koordinatene til P.

6.141 En flate K er gitt ved likningen x2 2x þ y2 þ 4y þ z2 6z þ 10 ¼ 0

6.137 En kuleflate er gitt ved likningen x2 6x þ y2 þ 2y þ z2 þ 1 ¼ 0 a

Finn sentrum og radius i kuleflaten.

Vis at punktet ð1, 0, 2Þ ligger på kuleflaten.

Avgjør om origo ligger inni kula.

6.138 En kuleflate er gitt ved likningen x2 6x þ y2 þ z2 4z 12 ¼ 0 a

Finn sentrum og radius i kula.

Hva er koordinatene til kuleflatens høyeste punkt, altså det punktet med størst z-verdi?

Vis at Pð6, 0, 6Þ ligger på kuleflaten, og finn en likning for tangentplanet til kuleflaten i P.

Vis at K er en kuleflate, og finn sentrum og radius i K.

Planet z ¼ 4 skjærer kuleflaten. Skjæringskurven blir en sirkel. Finn sentrum og radius i sirkelen.

6.8 Kurver i planet 6.142 En kurve k er gitt ved parameterframstillingen x ¼ cos ðtÞ þ 1 k: y ¼ sin ðtÞ 2 a

Tegn kurven med et digitalt hjelpemiddel.

1 Bestem punktet med parameterverdi t ¼ . 2

Finn skjæringspunktene med koordinataksene.

Oppgaver 437

6.143 Posisjonen til en ball t sekunder etter at den blir kastet, er gitt ved parameterframstillingen x ¼ 7t k: y ¼ 4,9t2 þ 9t þ 1,7

6.145 y E

Her går x-aksen langs et flatt underlag og y-aksen loddrett opp fra underlaget. Enheten på aksene er meter. a

Tegn kurven som viser ballens bane i lufta.

Hvor høyt går ballen?

Vis at akselerasjonsvektoren er vinkelrett på fartsvektoren når ballen er på sitt høyeste punkt.

Hvor lang tid tar det før ballen lander?

6.144 Kurven k er gitt ved parameterframstillingen x ¼ 2t k: , t 2 ½ 2, 2 y ¼ 3 t2 a

Fyll ut verditabellen: t

En edderkopp sitter i ro på hjulet til en sykkel som triller med konstant fart mot høyre. Hjulet har radius 0,5 meter. Vi plasserer et koordinatsystem med edderkoppen i origo, se figuren. a

Tegn en skisse som viser hvordan du tror edderkoppen vil bevege seg når hjulet triller rundt én gang.

Edderkoppen vil bevege seg langs en kurve som kalles en sykloide. Posisjonen til etterkoppen når hjulet har rotert t radianer, er gitt ved parameterframstillingen x ¼ 0,5 t sin ðtÞ E: y ¼ 0,5 1 cos ðtÞ

Enheten langs aksene er meter.

Tegn kurven som viser edderkoppens bevegelse fram til hjulet har rotert to hele ganger.

Hva er posisjonen til edderkoppen når hjulet har rotert radianer? 3 Hvor langt beveger hjulet seg mellom hver gang edderkoppen er i sin laveste posisjon?

0 1 2

d b

Skisser kurven k.

Finn nullpunktene til k.

Uttrykk kurven som en funksjon f ðxÞ.

6.146 To partikler beveger seg langs baner gitt ved parameterframstillingene x ¼ 2t x ¼ t2 þ 2 p p1 : : 2 3 y¼t y ¼t 1 der parameteren t 2 ½ 2, 2 står for tid og måles i sekunder. Enheten på aksene er meter. a

Tegn banen til hver av partiklene.

Finn skjæringspunktet mellom banene.

Finn den minste avstanden mellom partiklene.

438 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

6.9 Linjer og kurver i rommet 6.147 Finn en parameterframstilling for linja l gjennom punktene: a

Að5, 2, 3Þ og Bð2, 1, 3Þ

Að 1, 1, 3Þ og Bð 4, 0, 7Þ 1 Að0, 1, 6Þ og B 2, , 1 3

c d

Að3, 0, 0Þ og Bð1, 0, 3Þ

6.148 Tegn linja gitt ved parameterframstillingene: 8 1 2t <x ¼ 1 a l: y ¼ t : 4 z ¼3 t 8 x ¼ 2t > < b l: y ¼ 1 þ 3t > :z ¼ 1t 2 8 <x ¼ 0 c l: y ¼ 4 t : z¼t 8 < x ¼ t pffiffiffi d l: y ¼ 1 þ 3t : z¼0 6.149 Linjene l og m er gitt ved 8 8 x ¼1þt > > < < x ¼ 5 2s 1 l: y ¼ t m: y ¼ 3 þ 4s > : 2 > : z ¼1þs z ¼4 t a

Finn skjæringspunktet med xy-planet for hver av linjene.

Vis at linjene skjærer hverandre, og finn skjæringspunktet.

6.150 En linje l går gjennom punktene Að2, 2, 1Þ og Bð6, 0, 1Þ. Sindre har kommet fram til parameterframstillingen 8 < x ¼ 2 þ 4t l: y ¼ 2 þ 2t : z ¼ 1 þ 2t Helene har kommet fram til parameterframstillingen 8 < x ¼ 6 2t l: y ¼ t : z ¼1 t a

Er begge parameterframstillingene riktige?

Hva har Helene gjort annerledes enn Sindre?

Sindre mener at Helenes parameterframstilling er feil, siden den ikke gir samme punkt som hans egen for t ¼ 1. Hva vil du si til Sindre?

6.151 Vi skal finne avstanden mellom to ikke-parallelle linjer. Linjene l og m er gitt ved parameterframstillingene 8 8 < x ¼ 3 þ 5s < x ¼ 2 þ 2t m: y ¼ 4 þ s l: y ¼ 2 3t : : z ¼ 1 2s z ¼3þt a

Vis at en vektor mellom de to linjene kan skrives som ~ v ¼ ½ 2t þ 5s þ 1, 3t þ s þ 6, t 2s 2 .

Forklar at j~ vj er minst når ~ v står normalt på både l og m.

Bestem s og t slik at ~ v står normalt på både l og m.

Finn avstanden mellom linjene l og m.

6.152 Linjene l og m er gitt ved 8 8 x ¼3 t > > < <x ¼ 4 s 1 l: y ¼ 1 þ t m: y ¼ 2s > : 2 > : z ¼1þs z ¼ t a

Finn vinkelen mellom linjene.

Finn vinkelen mellom hver av linjene og z-aksen.

Finn avstanden mellom linjene.

Oppgaver 439

6.153 En linje l er gitt ved parameterframstillingen 8 < x ¼ t l: y ¼ t : z ¼6þt a

6.10 Vektorfunksjoner 6.157

Finn skjæringspunktene mellom l og kuleflaten gitt ved likningen ðx 3Þ2 þ y2 þ ðz 2Þ2 ¼ 52 .

Finn avstanden fra origo til l.

6.154 Et plan er gitt ved likningen: : 4x 3y þ 8z þ 12 ¼ 0 a

En linje l står normalt på og går gjennom punktet Qð1, 0, 4Þ. Finn en parameterframstilling for l.

Bestem koordinatene til skjæringspunktet R mellom l og .

John kaster dart. Posisjonen til dartpila t sekunder etter kastet er gitt ved posisjonsvektoren ~ rðtÞ ¼ ½7,6t, 1,8 þ 1,3t 4,9t2

6.155 Et plan er gitt ved : x þ 2y 3z 11 ¼ 0 Linja l er gitt ved 8 < x ¼ 6 þ 2t l: y ¼ 1 þ t : z ¼ 7 t a

Finn skjæringspunktet mellom l og .

Avgjør hvor l skjærer xy-planet.

Bestem vinkelen mellom l og .

6.156 To partikler beveger seg i baner gitt ved parameterframstillingene: 8 8 < x ¼ 2 sin ðtÞ < x ¼ sin ðtÞ p2 : y ¼ 2 cos ðtÞ p1 : y ¼ cos ðtÞ : : z¼t z¼t Parameteren t angir tid. a

Tegn banen til hver av partiklene.

Vis at avstanden mellom partiklene er konstant, og finn denne avstanden.

Her viser y-koordinaten høyden til ballen og x-koordinaten den horisontale avstanden. Enheten på aksene er meter. a

Finn utgangsfarten til pila.

Pila treffer blinken 173 cm over gulvet. Hvor langt er kastet?

Hva er farten til pila idet den treffer blinken?

Vis at akselerasjonen er konstant.

Vis at akselerasjonsvektoren og fartsvektoren er ortogonale idet pila er på sitt høyeste.

6.158 Krzysztof jogger opp tre etasjer i en vindeltrapp. Vi plasserer et koordinatsystem med origo der trappen begynner, slik at z-aksen peker opp langs sentrum av trappeløpet. Posisjonen til Krzysztof etter t sekunder er gitt ved 2 2 ~ t , 3 sin t , 0,4t , t 2 ½0, 21 rðtÞ ¼ 3 cos 7 7 a

Hvor fort jogger Krzysztof?

Tegn kurven som viser bevegelsen hans.

Hvor lang tid bruker han på én etasje?

440 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Hvor høy er hver etasje?

Hva er diameteren i vindeltrappen?

Vis at akselerasjonen er konstant.

Vis at akselerasjonsvektoren og fartsvektoren er ortogonale.

6.160 Posisjonen til et elektron som beveger seg i et magnetfelt, er gitt ved posisjonsvektoren

6.159

~ rðtÞ ¼ ½1,7cos ð6,2 106 tÞ, 1,7sin ð6,2 106 tÞ, 8,2 105 t Parameteren t angir tid i sekunder, og enheten på aksene er meter. a

y E

En edderkopp klamrer seg fast til hjulet på en sykkel som beveger seg med konstant fart. Hjulet har radius 0,5 meter. Vi plasserer et koordinatsystem med edderkoppen i origo. Etter t sekunder er posisjonen til edderkoppen, punkt E på figuren, gitt ved posisjonsvektoren 1 1 ~ 16t sin ð16tÞ , 1 cos ð16tÞ rðtÞ ¼ 2 2 a

Tegn kurven som viser edderkoppens posisjon.

Finn farten til sykkelen.

Vis at farten til edderkoppen er null hver gang den er i sitt laveste punkt.

Vis at den høyeste farten til edderkoppen er det dobbelte av farten til sykkelen.

Tegn en kurve som viser bevegelsen til elektronet 1 sekundene. de første 100 000 1 sekund. Finn posisjonen til elektronet etter 50 000

Bestem fartsvektoren og farten til elektronet 1 etter sekund. 50 000

Vis at farten til elektronet er konstant.

Blandede oppgaver 6.161 La Að1, 0, 0Þ, Bð0, 1, 0Þ og Cð0, 0, 1Þ være hjørnene i en trekant. a

Tegn 4ABC i et koordinatsystem.

Finn en likning for planet gjennom hjørnene i trekanten.

Finn volumet av tetraederet OABC. Hvordan kan du finne volumet uten å bruke vektorregning?

6.162 Gitt vektorene ~ a¼ Bestem ~ c slik at

3 1 , 1, og ~ b ¼ ½1, 3, 2 . 4 4

~ a þ~ c ¼~ b

~ c ~ b ¼ ~ a

2~ c ¼~ a þ~ b

d ~ a þ~ b þ~ c ¼~ 0

Oppgaver 441

6.163 Planet er gitt ved likningen : x y þ 2z 4 ¼ 0 a

Er planet parallelt med noen av aksene? Bestem vinkelen mellom planet og xy-planet.

En linje l går gjennom punktet Pð1, 1, 0Þ og står normalt på . Finn en parameterframstilling for l.

Finn skjæringspunktet mellom l og .

Finn en parameterframstilling for skjæringslinja m mellom og xz-planet.

6.164 Punktene Að0, 0, 0Þ, Bð4, 0, 3Þ og Cðt, 4, 0Þ danner en trekant 4ABC. a

Bestem det minste arealet 4ABC kan ha.

Bestem t slik at ﬀB ¼ 60 .

6.167 Et plan er gitt ved likningen : 4x 3y þ 8z þ 12 ¼ 0 1 ligger i . a Avgjør om punktet P 2, 0, 2 b

Finn skjæringspunktet mellom og y-aksen.

Finn avstanden fra punktet Qð1, 0, 4Þ til .

Et plan er gitt ved : x þ y þ z ¼ 0 d

Bestem en parameterframstilling for skjæringslinja m mellom og .

6.168 La Að3, 0, 0Þ, Bð0, 1, 0Þ og Cð0, 0, 5Þ være hjørnene i en trekant. a

Tegn 4ABC i et koordinatsystem.

1 1 2 ~ ~ Vi har vektorene u ¼ 3, , 2 og v ¼ 1, , . 2 6 3

Finn likningen for planet gjennom hjørnene i trekanten.

Finn volumet av tetraederet OABC.

Undersøk om vektorene er parallelle ved å

Finn avstanden fra O til .

Bestem ﬀBAC.

6.165

løse likningen ~ u ¼ t~ v

løse likningen ~ v ¼ t~ u

regne ut forholdene mellom tilsvarende vektorkoordinater

6.166

! Finn et uttrykk for j AB j når a

Að2, t, t 1Þ og Bðt, 0, 2Þ

Að t, t, 0Þ og Bðt þ 1, 2, 3Þ

Að2t 1, t, 1Þ og Bðt, 2t, 2Þ

Að0, t, 1Þ og Bðs, 1 þ t, 0Þ

6.169 Bruk CAS til å bestemme s og t slik at ~ a og ~ b er parallelle: a

~ a ¼ ½s þ 2, s 1, s þ 1 og ~ b ¼ ½t 1, 3t, t

b ~ a ¼ ½2s, s 1, s og ~ b ¼ ½t, 2t, t þ 1

6.170 En flate c1 er gitt ved likningen c1 : x2 2x þ y2 þ 4y þ z2 þ 5z ¼ 2 a

Forklar hvorfor likningen beskriver en kuleflate. Finn sentrum og radius i kuleflaten c1 .

Finn likningen for en kuleflate c2 med sentrum i ð2, 1, 3Þ og radius r ¼ 3.

Vis at punktet Pð2, 1, 6Þ ligger på kuleflaten c2 .

442 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Finn likningen for tangentplanet til kuleflaten c2 i punktet P.

En linje er gitt ved parameterframstillingen 8 < x ¼ 4 þ 4t l: y ¼ 1 þ t : z ¼ 4 þ 3t

6.175 En trekant ABC er gitt ved punktene Að2, 0, 0Þ, Bð0, 4, 0Þ og Cð0, 0, 3Þ. a

Tegn trekanten i et koordinatsystem.

Finn koordinatene til skjæringspunktene mellom l og kuleflaten c2 .

Finn likningen for planet gjennom hjørnene i trekanten.

Finn volumet av tetraederet OABC.

Finn avstanden fra sentrum i kuleflaten c2 til l.

Finn avstanden fra O til .

Bestem vinkelen mellom og xy-planet.

6.171 Hvis ~ u ¼ s~ v og ~ v ¼ t~ u, hva er da s t? 6.172 Et plan er gitt ved likningen : x þ y þ z ¼ 0 a

Bestem vinkelen mellom og xy-planet.

Finn en parameterframstilling for skjæringslinja l mellom og yz-planet.

Bestem likningen for et plan som står normalt på og yz-planet, og som går gjennom origo.

6.173 Gitt punktene Að2p 1, 1, q þ 2Þ og Bðq, 1 3p, 5pÞ. Bruk CAS til å bestemme p og q slik at ! a AB er parallell med y-aksen ! b AB k ½4, 3, 2 pffiffiffi ! ! c AB er parallell med xy-planet og j AB j ¼ 5 6.174 Et plan er gitt ved likningen : 28x 21y 12z þ 42 ¼ 0 a

Finn koordinatene til skjæringspunktene mellom planet og koordinataksene.

Bestem arealet av trekanten med de tre skjæringspunktene som hjørner.

Bestem vinkelen mellom og xy-planet.

Finn en likning til et plan gjennom origo slik at står normalt på og yz-planet.

6.176 La Að2, 0, 0Þ, Bð0, 1, 0Þ og Cð0, 0, 3Þ være hjørnene i en trekant. a

Tegn 4ABC i et koordinatsystem.

Bestem arealet av 4ABC.

Finn en likning for planet gjennom hjørnene i trekanten.

Bestem volumet av tetraederet gjennom hjørnene i trekanten og origo.

Bestem avstanden fra origo til planet.

6.177 Et plan er gitt ved likningen : 3x þ 2y þ 3z 6 ¼ 0 Et punkt P har koordinatene ð3, 2, 5Þ. a

Lag en skisse av planet og punktet i et koordinatsystem.

Finn avstanden fra P til .

En kuleflate er gitt ved likningen x2 6x þ y2 4y þ z2 10z þ 13 ¼ 0 c

Bestem sentrum S og radius i kuleflaten.

Avgjør om planet skjærer kuleflaten.

Oppgaver 443

6.178 Et plan går gjennom punktet Að0, 0, 1Þ slik at vektorene ~ u ¼ ½ 1, 1, 0 og ~ v ¼ ½ 1, 0, 1 er parallelle med planet. a

Finn en likning for planet.

6.180 En kuleflate er gitt ved likningen x 2 þ y 2 þ z2 ¼ 1 Vi lar et generelt punkt P på kuleflaten være bestemt av vinklene s og t, som vist på figuren: z

En linje l går gjennom punktet Bð2, 2, 4Þ og har retningsvektoren ~ vl ¼ ½1, 1, 1 . b

Sett opp en parameterframstilling for linja.

Finn skjæringspunktet mellom linja og planet.

En linje m gjennom origo står normalt på linja l og skjærer l i punktet P. Finn koordinatene til P.

P(x, y, z)

6.179 En flate i rommet er gitt ved likningen

c1 : x2 þ y2 þ z2 8x 6y þ 4z ¼ 13 a

Vis at c1 er en kuleflate, og finn sentrum og radius i kula.

En annen kuleflate c2 har sentrum i Sð 1, 2, 3Þ og radius 3. b

Skriv opp likningen til kuleflaten c2 .

Skjæringskurven mellom kuleflaten c2 og planet z ¼ 2 danner en sirkel. Finn radius i sirkelen.

En linje l er gitt ved parameterframstillingen 2 3 x ¼ 1 þ 2t 6 7 l: 4 y ¼ 2 t 5 z ¼ 3 þ 2t Vis at skjæringspunktene mellom l og c2 er Að1, 1, 5Þ og Bð 3, 3, 1Þ.

Finn en likning for tangentplanet til c2 i A.

En annen linje m er gitt ved parameterframstillingen 2 3 x ¼ 1 þ s 6 7 m: 4 y ¼ 1 5 z ¼ 3 þ 2s Finn avstanden mellom de to linjene l og m.

La A være et punkt på kuleflaten slik at s ¼ 0 og t ¼ 45 . La B være et punkt på kuleflaten slik at s ¼ 135 og t ¼ 60 . pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi 3 2 2 2 2 , 0, og B ¼ , , . a Vis at A ¼ 2 2 4 4 2 b

La O være sentrum av kuleflaten og finn ! ! vinkelen v mellom OA og OB .

Bruk v til å bestemme avstanden langs kuleflaten fra A til B.

En sirkel på kuleflaten med samme omkrets som kuleflaten kaller vi en storsirkel. d

Storsirkelen gjennom A og B ligger i et plan . Finn en likning til .

Bestem likningen for et plan som står normalt på , og som går gjennom punktene ð0, 0, 1Þ og origo.

444 KAPITTEL 6 – VEKTORER OG ROMGEOMETRI

Øv til eksamen 6.181 (Eksamen R2 våren 2021) Et plan inneholder punktene Að1, 1, 3Þ, Bð1, 2, 1Þ og Cð 1, 3, 2Þ. a

Bestem en likning for planet .

Bestem skjæringspunktene mellom planet og hver av de tre koordinataksene.

Avgjør hvilken av de tre koordinataksene som danner den minste vinkelen med planet .

6.182 (Eksamen R2 våren 2020) Vi har punktene Að 1, 3, 2Þ, Bð2, 2, 1Þ, Cð0, 1, 0Þ og Tð5, 3, 8Þ. ! ! ! ! a Bestem AB og AC . Vis at AB AC ¼ ½0, 5, 5 . b

Bestem volumet av pyramiden ABCT.

Bestem likningen for planet som inneholder punktene A, B og C.

6.183 (Eksamen R2 høsten 2021) Vi har gitt tre punkter Að2, 0, 1Þ, Bð0, 1, 2Þ og Cð 3, 2, 1Þ. ! ! a Bestem AB og AC . ! ! b Vis at AB AC er parallell med ~ n ¼ ½1, 6, 1]. c

Bestem en likning for planet som punktene A, B og C ligger i.

Punktet Tð2 þ t, t2 þ 4, 1 þ tÞ danner sammen med A, B og C pyramiden ABCT. d

Bestem volumet av pyramiden når t ¼ 2.

Bestem t slik at volumet blir

26 . 3

6.184 (Eksamen R2 våren 2021) Et plan er gitt ved likningen : x þ y þ t z ¼ 4 , t 6¼ 0 La A være skjæringspunktet mellom og x-aksen, B skjæringspunktet mellom og y-aksen og C skjæringspunktet mellom og z-aksen. a

Bestem koordinatene til A, B og C uttrykt ved t.

En pyramide er avgrenset av planet , xy-planet, xz-planet og yz-planet. b

Bestem t slik at volumet av pyramiden blir 10.

En kuleflate K har sentrum i Sð 1, 2, 1Þ og radius r ¼ 2. c

Bruk CAS til å bestemme t slik at planet tangerer kuleflaten K.

6.185 (Eksamen R2 høsten 2021) En kuleflate K har sentrum i Sð 1, 3, 4Þ og radius r. En linje l går gjennom punktene Að 4, 0, 0Þ og Bð2, 0, 8Þ. a

Bestem skjæringspunktene mellom kuleflaten og linja når r ¼ 5.

Bruk CAS til å bestemme den minste verdien av r som gjør at det er skjæringspunkt mellom linja l og kuleflaten K.

Planet er bestemt av punktet Cð0, 1, 0Þ og de to skjæringspunktene du fant i oppgave a. c

Bestem en likning for planet .

Anta nå at r d

Begrunn at likningen for planet er uavhengig av hvilken radius vi valgte for kuleflaten K i oppgave a.

Oppgaver 445

6.186 (Eksamen R2 høsten 2020) Et plan er gitt ved likningen : 2x 3y þ 7z ¼ 5 , t 6¼ 0 En kuleflate har sentrum i Sð8, 5, 0Þ og tangerer planet .

6.189 (Eksamen R2 våren 2020) Vi har punktene Að 1, 1, 2Þ, Bð3, 4, 1Þ, Cð5, 3, 1Þ og Dð5, 6, 4Þ.

Planet går gjennom A, B, og C.

Linja l går gjennom A og D.

Bestem radien til kuleflaten.

Et plan går gjennom punktene Að1, 2, 5Þ, Bð5, 2, 1Þ og Cðt, 1, 4Þ. En kuleflate har sentrum i Tð7, 6, 3Þ og radius r ¼ 2. b

Bestem eksakte verdier for t slik at planet tangerer kuleflaten.

6.187 (Eksamen R1 våren 2021) Posisjonen ~ r til en partikkel ved et tidspunkt t (målt i sekunder) er gitt ved ~ rðtÞ ¼ ½t2 7t þ 11, t3 6t2 þ 8t 1

En kuleflate har radius 8 og sentrum S som ligger på l. Kuleflaten tangerer . Bestem de mulige koordinatene til S.

6.190 (Eksamen R2 våren 2019) Punktene Pð2, 4, 3Þ og Qð0, 0, 0Þ ligger på en kuleflate K slik at PQ er en diameter til kuleflaten. a

Vis at kuleflaten K er gitt ved likningen ðx 1Þ2 þ ðy 2Þ2 ðz þ 1Þ2 ¼ 9

Tegn grafen til ~ r i et koordinatsystem.

Planet er gitt ved : x y þ z ¼ 7

Bestem banefarten til partikkelen etter 1 sekund.

Ved hvilket tidspunkt er banefarten lavest i løpet av de 5 sekundene?

6.188 (Eksamen R1 våren 2020) Posisjonene r~1 og r~2 (målt i meter) til to partikler ved tidspunkt t (målt i sekund) er gitt ved r~1 ðtÞ ¼ ½t2 2, t3 2t , 2 t 2 r~2 ðtÞ ¼ ½2t 1, 4t 4t2 , 2

Tegn grafene til r~1 og r~2 i et koordinatsystem.

Bestem banefarten til partiklene når t ¼ 1.

Ved hvilke tidspunkter har de to partiklene samme fartsretning?

Hva er den minste avstanden mellom partiklene i løpet av de fire sekundene?

Bestem eksakt den minste avstanden mellom kuleflaten K og planet .

Et plan er gitt ved likningen : 2x þ y þ t ðz 3Þ ¼ 1 c

Vis at avstanden mellom sentrum i kuleflaten K og planet er gitt ved j5 4tj dðtÞ ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 5 þ t2

Bestem eksakte verdier for t slik at planet tangerer kuleflaten K.

6.191 (Eksamen R2 våren 2018) Gitt punktene Að0, 0, 0Þ, Bð1, t þ 2, 3tÞ, Cð0, 4, t þ 1Þ og Dðt 3, 8, 1Þ, der 0 t 10. a

Bestem arealet av trekanten ABC for t ¼ 2.

Bruk CAS til å bestemme t slik at arealet til trekanten ABC blir lik 6.

Bestem t slik at volumet av pyramiden ABCD blir størst mulig.

446 Python på 1–2–3

Python på 1–2–3 Innhold til og fra skjerm

Tester if – elif – else

Skrive til skjerm: print 1

print('Matematikk')

Matematikk Skrive ut tekst og variabler 1 tall = 11/7 2 print(f'Verdien av tall er nå {tall}.') Verdien av tall er nå 1.5714285714285714.

1 2 3 4 5 6 7

tall = int (input('Skriv inn et tall: ')) if tall > 0: print('Du tastet inn et positivt tall.') elif tall == 0: print('Du tastet inn 0.') else: print('Du tastet inn et negativt tall.')

Skriv inn et tall: -5 Du tastet inn et negativt tall.

Løkker Avrunding Hvis du vet hvor mange ganger en løkke skal kjøre, 1 tall = 11/7 2 print(f'Verdien av tall er nå {tall:.3f}.') bruker du for-løkke: Verdien av tall er nå 1.571. Hente inn opplysninger fra brukeren: input 1 tall = float(input('Skriv inn et tall: '))

x=3

for i in range(5):

print(x, end=' ')

x = 2*x

3 6 12 24 48

Bygge opp utsagn Betydning

Hvis du ikke vet hvor mange ganger en løkke skal kjøre, bruker du en while-løkke:

er lik

grense = 7

er ikke lik

x=1

er mindre enn

while x < grense:

er mindre enn eller lik

print(f'{x} er mindre enn {grense}')

er større enn

x *= 2

er større enn eller lik

Relasjon

1 er mindre enn 7 2 er mindre enn 7 4 er mindre enn 7

Python på 1–2–3 447

Funksjoner 1

def f(x): return x**2 - 8*x +1

2 3

print(f(4))

-15

Lister Opprette tom liste 1

liste = []

Legge til et element i lista 1

liste.append(5)

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00

Verditabellen lagres i lister: 1 2

Plukke ut elementer med løkke Direkte med for-løkke:

1.00 0.71 0.44 0.19 -0.04 -0.25 -0.44 -0.61 -0.76 -0.89 -1.00

def f(x): return x**2 - 3*x + 1

xstart = 0

xslutt = 1

xsteg = 0.1

xverdier = []

abcdefgh

yverdier = []

Med indeksmengde:

x = xstart

y = f(x)

1 2 3

1 2 3 4

liste = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h'] for bokstav in liste: print(bokstav, end=' ')

liste = ['a', 'b', 'c', 'd', 'e', 'f', 'g', 'h'] for i in range(len(liste)): element = liste[i] print(element, end=' ')

abcdefgh

Verditabell Verditabellen skrives ut: def f(x): 2 return x**2 - 3*x + 1 3 xstart = 0 1

xslutt = 1

xsteg = 0.1

x = xstart

y = f(x)

while x <= xslutt: 9 print(f'{x:6.2f} {y:6.2f}') 10 x = x + xsteg 11 y = f(x) 8

while x <= xslutt:

xverdier.append(x)

yverdier.append(y)

x = x + xsteg

y = f(x)

448 Python på 1–2–3

Graf 0

Tegne punkter:

-20

import matplotlib.pyplot as plt

xverdier = [0, 5, 10, 20, 23]

-40

yverdier = [4, 10, 13, 4, 8]

-60

plt.plot(xverdier, yverdier, 'o')

-80

plt.show()

-100 -120 -140

-10.0 -7.5 -5.0 -2.5 10

2.5

5.0

7.5 10.0

Tegne funksjonsgraf med NumPy:

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

def f(x): return -x**2 - 4*x + 1

4 0

5.0

10.0

15.0

20.0

Tegne funksjonsgraf med egen kode: 1

import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):

return -x**2 - 4*x + 1

x = np.arange(-10, 10, 0.1)

y = f(x)

plt.plot(x, y)

plt.show() 0 -20

xstart = -10

xslutt = 10

-40

xsteg = 0.1

-60

xverdier = []

-80

yverdier = []

-100

x = xstart

y = f(x)

while x <= xslutt:

xverdier.append(x)

yverdier.append(y)

x = x + xsteg

y = f(x)

plt.plot(xverdier, yverdier)

plt.show()

-120 -140 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5

2.5

5.0

7.5 10.0

Python på 1–2–3 449

Hvis du vil endre grafens utseende, kan du erstatte de siste to linjene med dette:

Math Kommando

Betydning

Eksempel

math.sqrt()

kvadratrot

math.sqrt(88)

18 plt.ylim(-10, 10) # Grenser for y

math.pi

3,141 59 . . .

45 * math.pi * 3.4**2

19 plt.grid()

math.e

e 2,71828 . . .

math.e

math.exp()

math.exp(4)

math.log()

math.log(4)

math.sin()

sinus

math.sin(0)

math.acos()

cosinus invers

math.acos(0)

16 plt.plot(xverdier, yverdier, label="f'(x)") 17 plt.xlim(-10, 10) # Grenser for x

# Rutenett # Grafforklaring 21 akser = plt.gca() # Akser i origo 22 akser.spines['bottom'].set_position('zero') 23 akser.spines['left'].set_position('zero') 20 plt.legend()

24 akser.spines['top'].set_visible(False) 25 akser.spines['right'].set_visible(False) 26 plt.show()

Løse likninger

10.0 f(x)

Halveringsmetoden:

7.5

5.0

2.5 -10.0 -7.5 -5.0 -2.5 -2.5

2.5

5.0

7.5

10.0

-5.0 -7.5

a=0

b=2

m = (a + b)/2

nøyaktighet = 0.0001

Koden laster inn datasettet i fila «filnavn.csv» og lagrer verdiene i kolonnene merket med «x» og «y» i hver sin liste. 1

import pandas as pd

while (b - a) > nøyaktighet: if f(m) == 0: break

9 10

Laste inn datasett (Pandas)

return x**2 - 2

-10

def f(x):

elif f(a) * f(m) > 0: a=m

11 12

else: b=m

13 14 15

m = (a + b)/2 print(m)

1.414215087890625

df = pd.read_csv('filnavn.csv', sep=';', comment='#', decimal='.')

x = df['x'].tolist()

y = df['y'].tolist()

Derivasjon 1 2 3 4 5

def f(x): return x**2 - 3*x + 1 def fder(x, deltax): return (f(x + deltax) - f(x))/deltax print(fder(4, 0.0001))

5.000099999996621

450 Python på 1–2–3

Integrasjon Rektangler, venstresidig: 1 import math 2 def 3 4 5 6 7 8

f(x): return math.sin(x) a=0 # nedre grense b = math.pi # øvre grense n = 1000 # antall oppdelinger deltax = (b - a)/n x=a

4 3 2 1 0 -1

9 integral = 0 10 while x < b:

areal = f(x) * deltax # rektangel 12 integral = integral + areal 13 x = x + deltax 14 print(f'Integralet av f fra {a:.2f} til {b:.2f}: {integral:.3f.}')

-2 0

Integralet av f fra 0.00 til 3.14: 2.000. Rektangler, høyresidig: 11 areal = f(x + deltax) * deltax

xstart = ystart = 3 xslutt = 4 delta_x = 1 2

11 areal = (f(x) + f(x + deltax))/2 * deltax

while x <= xslutt: x = x + delta_x 11 y = y + 9

1 import matplotlib.pyplot as plt 2 import numpy as np 4 def 5 6 7 8

f(x, A, c, fi, d): return A*np.sin(c*x + fi) + d xdata = [0, 2, 4, 6, 8, 10] ydata = [0.11, -0.61, 4.06, -1.27, 1.09, 3.35] (popt, pcov) = opt.curve_fit(f, xdata, ydata)

9 (A, c, fi, d) = popt 10 print(f'f(x) = {A}sin({c}x + {fi}) + {d}') 11 xverdier = np.linspace(0, 10, 1000) 12 yverdier = f(xverdier, A, c, fi, d) 13 plt.plot(xdata, ydata, 'o') 14 plt.plot(xverdier, yverdier) 15 plt.show()

Setter opp startverdier.

x = xstart y = ystart

Regresjon

3 import scipy.optimize as opt

5 7

11 areal = f(x + deltax/2) * deltax

Modellering

Trapes:

Midtpunkt:

Bygger opp funksjonsverdiene. Modellen beskriver hvordan endringen i y er. Endringen er forskjellig fra modell til modell.

Eksempler på modeller: Lineær vekst: y = y + delta_x * a Eksponentiell vekst: y = y + delta_x * k * y Logistisk vekst: y = y + delta_x * k * y * (1 - y/B) Newtons avkjølingslov: y = y + delta_x * k * (T - y) Newtons andre lov, fall med luftmotstand: y = y + delta_x * (g - k/m*y)

GeoGebra på 1–2–3 451

GeoGebra på 1–2–3 Tallfølger I en aritmetisk tallfølge definerer vi det første leddet a1 og differansen d i CAS og skriver det n-te leddet som en funksjon av n. Da kan vi finne et hvilket som helst ledd i tallfølgen, for eksempel a8 : 1

Rekker Vi finner summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke ved å definere a1 og d (linje 1 og 2). Så definerer vi an som en funksjon av n (linje 3). Vi bruker enten kommandoen «Sum( <Uttrykk>, <Variabel>, <Start>, <Slutt> )» (linje 4) eller formelen for summen av en aritmetisk rekke til å lage en en funksjon for summen, sn . Legg merke til at når vi skriver «Sum(a(n),n,1,4)» viser GeoGebra 4 P dette som aðnÞ (linje 4). n¼1

1 4 2

I en geometrisk rekke definerer vi a1 og k i CAS og skriver det n-te leddet som en funksjon av n. Da kan vi finne et hvilket som helst ledd i tallfølgen, for eksempel a5 : 1

3 6 4

Vi finner summen av de n første leddene i en geometrisk rekke ved å definere a1 og k (linje 1 og 2). Vi definerer an som en funksjon av n (linje 3). Så bruker vi enten kommandoen «Sum( <Uttrykk>, <Variabel>, <Start>, <Slutt> )» (linje 4) eller formelen for summen av en geometrisk rekke til å lage en en funksjon for summen, sn (linje 5).

452 GeoGebra på 1–2–3

Da kan vi for eksempel finne summen av de åtte første leddene (linje 6): 1

Bestemt integral Vi finner det bestemte integralet med kommandoen «Integral( <Funksjon>, <Start>, <Slutt> )»: 1

Areal mellom to grafer Vi finner arealet mellom to grafer med kommandoen «IntegralMellom( <Funksjon>, <Funksjon>, <Start>, <Slutt> )»: 1

Trappesum Vi finner nedre trappesum med kommandoen «SumUnder( <Funksjon>, <Start>, <Slutt>, <Antall rektangler> )» og øvre trappesum med kommandoen «SumOver( <Funksjon>, <Start>, <Slutt>, <Antall rektangler> )»: 1

Delbrøkoppspalting Vi bruker kommandoen «Delbrøkoppspalting()» til å dele opp brøker: 1

Ubestemt integral Vi finner det ubestemte integralet med kommandoen «Integral(Funksjon)»: 1

Volum av omdreiningslegeme Vi finner volumet av omdreiningslegemet når vi dreier grafen til f om x-aksen fra for eksempel x ¼ 0 til x ¼ 1 ved å skrive « Integralðf 2 ,0,1Þ»: 1

GeoGebra på 1–2–3 453

Tegne omdreiningslegeme Vi kan tegne et omdreiningslegeme i GeoGebra med kommandoen «Overflate( <Funksjon>, <Vinkel> )». Hvis vi bruker vinkelen 2 og viser «Grafikkfelt 3D» fra hovedmenyen, vises omdreiningslegemet:

I Grafikkfelt 3D kan vi bruke knappen

og tegne

vektoren mellom punktene A og B. Da får vi vektoren skrevet opp i algebrafeltet:

Legg merke til at alle vektorer tegnes med startpunkt i origo når vi finner eller definerer dem i CAS.

Løse differensiallikninger Vi finner den generelle løsningen av en differensiallikning med kommandoen «LøsODE()»: 1

Hvis vi har initialbetingelser, kan vi finne den spesielle løsningen ved å legge inn ðx0 , yðx0 ÞÞ og ðx0 , y 0 ðx0 ÞÞ:

Vektorprodukt Vi finner vektorproduktet mellom vektorene ~ u og ~ v med kommandoen «Vektorprodukt(u,v)»: 1

Vektorer Vi bruker små bokstaver når vi skriver inn en vektor med vektorkoordinater. Vi finner en vektor mellom punktene A og B med kommandoen «Vektor(A,B)»: 1

Avstander i rommet Vi finner avstanden mellom to punkter med kommandoen «Avstand()»: 1

2 2 3

454 GeoGebra på 1–2–3

Vi finner avstanden mellom to linjer slik:

Plan Vi finner likningen for et plan med kommandoen «Plan()»: 1

–

Vi finner et plan som står normalt på en vektor og går gjennom et punkt, med kommandoen «Normalplan()»: 1

Lengde av en vektor Vi finner lengden av en vektor med kommandoen «Lengde()»: 1

Løse vektorlikninger Vi finner verdiene av s og t slik at ~ u ¼ ½t, 2, 5 og ~ v ¼ ½ 3, 6, s er parallelle, ved å løse en vektorlikning: 1

Vektorfunksjon for kurve i rommet Vi tegner kurver eller linjer i rommet med kommandoen «Kurve()»:

FASIT Kapittel 1 1.1 a første omløp, tredje kvadrant b andre omløp, andre kvadrant

1.7 pffiffiffi 2 a 2 pffiffiffi 2 b 2

pffiffiffi 3 c 2 1 d 2

1 e 2 pffiffiffi 3 f 2

c tredje omløp, fjerde kvadrant

1.2 a sin u ¼ 0,92, cos u ¼ 0,4, og 0,92 ¼ 2,3 tan u ¼ 0,4 b v ligger i tredje kvadrant.

b tan 37 0,75, cos 143 0,8, sin 143 0,6, tan 143 0,75, cos 53 0,6, sin 53 0,8 og tan 53 1,33

1.4 a 2sin u þ 2cos u

c sin u

1.5 A1, B2, D2, D3 A2, B3, C2, D1 A3, B1, C1, C3

b 90

d 135

a — b

5 13

12 13 12 e 13

f g

12 13

5 13

1.14 a v 1,29

b v 1,63

1 c 3 1 d 15

pffiffiffi 1 3 , cos 480 ¼ , a sin 480 ¼ 2 2 pffiffiffi tan 480 ¼ 3 pffiffiffi pffiffiffi 2 2 , cos 585 ¼ , b sin 585 ¼ 2 2 tan 585 ¼ 1

1.16 a 10

b 22,5

1.17 a 30

c 99,69

b 1620

d 1

1 c sin ð 210 Þ ¼ , 2

1.18 2 a 1 120 , 3 13 2 130 , 18 5 3 75 , 12

1.9

pffiffiffi 3 , 2 pffiffiffi 3 tan ð 210 Þ ¼ 3

1.10 pffiffiffi pffiffiffi 2þ 6 a 4 pffiffiffi pffiffiffi 2 6 b 4 pffiffiffi pffiffiffi 2þ 6 c 4

e 15

1.13 4,38

1.15 14 a 9 5 b 6

cos ð 210 Þ ¼

1.6

c 60

pffiffiffi 1 3 , sin 150 ¼ , cos 150 ¼ 2 2 pffiffiffi 3 tan 150 ¼ 3 sin 180 ¼ 0, cos 180 ¼ 1, tan 180 ¼ 0 pffiffiffi pffiffiffi 2 2 , cos 135 ¼ , sin 135 ¼ 2 2 tan 135 ¼ 1 pffiffiffi 1 3 , sin 330 ¼ , cos 330 ¼ 2 2 pffiffiffi 3 tan 330 ¼ 3

b 3cos u 2sin u

7 6

1.12 a 180

1.3 a —

1.8

c w ligger i første kvadrant. d z ligger i andre kvadrant.

1.11 3 a 2 b 3

c 240

b Et eksempel er halv tre (14:30). Det finnes mange løsninger. c 150 ,

5 6

456 Fasit

1.19 a u ¼ 45 eller u ¼ 135

b u ¼ 210 eller u ¼ 330

1.25 a 78,46 eller 281,54

b 24,83 eller 155,17

c 57,32 eller 122,68

c u ¼ 90

d 155,17 eller 204,83

1.20

e 122,68 eller 237,32

5 7 eller v ¼ a v¼ 4 4 b v ¼ 240 eller v ¼ 300 c v¼

f 78,46 eller 101,54

1.26 a v ¼ 41,41 , v ¼ 318,59

3 2

b v ¼ 1,87, v ¼ 1,87 c v ¼ 19,47 , v ¼ 160,53

1.21 a u ¼ 0,33 eller u ¼ 2,82

d ingen løsning

b u ¼ 38,68 eller u ¼ 141,32 c u ¼ 5,86 eller u ¼ 3,56

þn 4 b v ¼ 45 , v ¼ 225 a v¼

d ingen løsning

1.22 a v ¼ 53 , v ¼ 127 b v ¼ 40 , v ¼ 140 c v ¼ 74 , v ¼ 434 , v ¼ 106 , v ¼ 466 d v ¼ 0,93, v ¼ 2,21 e v ¼ 3,84, v ¼ 5,58 f v ¼ 1,29; v ¼ 1,85

1.23 1 11 a u ¼ , u ¼ 6 6 b u ¼ 135 , u ¼ 225

5 c v¼ ,v¼ 4 4

1.28 a v ¼ 30 , v ¼ 210 1 2 b v ¼ , v ¼ 3 3 c v ¼ 180 , v ¼ 0 1.29 a v ¼ 0,46, v ¼ 3,61 b v ¼ 146,31 , v ¼ 326,31 c v ¼ 2,19, v ¼ 0,95 d v ¼ 160,2 , v ¼ 19,8

1 5 c u ¼ , u ¼ 3 3

1.24 a v ¼ 33 , v ¼ 327 b v ¼ 50 , v ¼ 310 , v ¼ 410 , v ¼ 670

1.27

c v ¼ 19 , v ¼ 19

1.30 a v ¼ 0,37, v ¼ 3,51 b v ¼ 2,48, v ¼ 0,66 c v ¼ 142 , v ¼ 322 d v ¼ 125 , v ¼ 55

d v ¼ 0,57; v ¼ 5,71

1.31

e v ¼ 0,87, v ¼ 7,15, v ¼ 5,41, v ¼ 11,69

6 a x¼ ,x¼ 5 5 2 5 b x¼ ,x¼ 7 7 4 9 c x¼ ,x¼ 5 5

f v ¼ 0,33, v ¼ 0,33

1.32 1 7 , x ¼ , 12 12 13 19 x ¼ , x ¼ 12 12 b x ¼ 10 , x ¼ 70 , x ¼ 190 , x ¼ 250 a x¼

c x¼

5 11 , x ¼ 24 24

1.33 a x ¼ 4, x ¼ 8 5 7 b x¼ , x¼ 2 2 3 c x¼ , x¼ 4 4 1.34 a x ¼ 30 , x ¼ 50 , x ¼ 150 , x ¼ 170 1 3 11 7 b v ¼ , v ¼ , v ¼ , v ¼ 4 4 6 6 1.35 a

pffiffiffiffiffi 15 4

1.36 sin x ¼

pffiffiffiffiffi 15 15

pffiffiffi pffiffiffi 2 6 2 6 , tan x ¼ 7 5

1.37

pffiffiffiffiffi 2 21 , a sin u ¼ , cos u ¼ 5 5 pffiffiffiffiffi 2 21 2 tan u ¼ ; cos v ¼ , 21 3 pffiffiffi pffiffiffi 5 5 sin v ¼ , tan v ¼ 3 2 b —

1.38

pffiffiffi 1 3 , cos u ¼ 2 2 1 b sin u 0,87, cos u ¼ 2

a sin u ¼

1.39 sin v ¼

pffiffiffi pffiffiffi 2 5 5 , cos v ¼ 5 5

Kapittel 1 457

1.40 sin v ¼

4 3 og cos v ¼ 5 5

1.41 3 3 4 a tan u ¼ , sin u ¼ , cos u ¼ 4 5 5 12 12 5 b tan v ¼ , sin v ¼ , cos v ¼ 5 13 13

1.42 sin 2 v Her er det flere måter å forenkle uttrykket på.

1.43 cos v

1.46 pffiffiffi pffiffiffi 2þ 6 a 4 pffiffiffi pffiffiffi 2 6 b 4 1.47 pffiffiffi a 3cos v

c cos v sin v

b 2cos v

1.51

pffiffiffi 3sin v þ cos v

1.52 sin u þ cos u

1.61 a x ¼ 45 , x ¼ 135 , x ¼ 315 , x ¼ 225 3 1 b x ¼ , x ¼ 4 4 1.62 a x ¼ 210 eller x ¼ 330 b x ¼ 45 , x ¼ 135

pffiffiffi 3sin x cos x

1.53

1.63 a x ¼ 1,33, x ¼ 4,47, x ¼ 2,03, x ¼ 5,17

1.54 a 0 < 3x < 180

b x ¼ 1,33, x ¼ 4,47, x ¼ 2,03, x ¼ 5,18

b — 2 3 4sin 2 x d —

1.44 1 1.45 pffiffiffi pffiffiffi 2þ 6 a 4 pffiffiffi pffiffiffi 2þ 6 b 4

1.50 a 3

Vi får én hundredel avvik for én av vinklene på grunn av avrunding i deloppgave a.

1.64 c

pffiffiffi 3þ2

1.55 4cos 3 u 3cos u 1.56 a —

pffiffiffi c 3 2

3tan u tan 3 u 1 3tan 2 u

1.57 a x ¼ 180 5 b x¼ , x¼ 6 6 b 0

1.48 a sin ð90 uÞ ¼ cos u, og cos v ¼ sin v 2 b sinus og cosinus av komplementvinkler 1.49 a sin ð uÞ ¼ sin u, og cos ð180 vÞ ¼ cos v b sinus og cosinus av supplementvinkler

1.58 a x ¼ 210 eller x ¼ 330 5 1 b x ¼ eller x ¼ 3 3 1.59 a x ¼ 45 , x ¼ 225 1 7 b x ¼ , x ¼ 6 6 1.60 a x ¼ 12,5 eller x ¼ 102,5 b x ¼ 1, x ¼ 7

1 3 3 7 a x ¼ , x ¼ , x ¼ , x ¼ 2 4 2 4 b x ¼ 90 , x ¼ 300 , x ¼ 270 , x ¼ 240

1.65 1 7 , x ¼ 12 12 b x ¼ 30 , x ¼ 120 , x ¼ 210 , x ¼ 300 a x¼

Avgjør om påstandene stemmer 7 usann 4 sann 1 usann 2 sann

5 usann

3 sann

6 sann

8 sann

1.66

pffiffiffi 1 3 , a sin 30 ¼ , cos 30 ¼ 2 2 pffiffiffi 3 tan 30 ¼ 3

pffiffiffi 1 3 b sin 210 ¼ , cos 210 ¼ , 2 2 pffiffiffi 3 tan 210 ¼ 3

458 Fasit

1.67 4 a 9 1.68 a 900 1.69 cos x ¼

1.75 b

1 12

b 72

5 4

c 135

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 2 10 3 10 , tan x ¼ 7 20

1.70 a Minste verdi er 1, og største verdi er 2.

7 19 , x ¼ , 24 24 31 43 x ¼ , x ¼ 24 24 b x ¼ 116,57 , x ¼ 71,57 , x ¼ 63,43 , x ¼ 108,43 a x¼

1.76 pffiffiffi 3þ3 a 4 pffiffiffi pffiffiffi 2 6 b 4

4 3

b 1,63

1.71 a x ¼ 15 , x ¼ 105 , x ¼ 195 , x ¼ 285

1.78 a 0,530

c 0,530

b 0,848

d 0,848

1.82 a 150 , 390 , 510

c 0,71

b x ¼ 75 , x ¼ 255

b 32,03 c 62,67 , 41,78

1.73 a x ¼ 26,74 , x ¼ 153,26 b x ¼ 107,46 , x ¼ 252,54 c x ¼ 71,57 , x ¼ 251,57

1.74 a — b AB ¼ 6sin 2x, CD ¼ 6cos 2 x c —

pffiffiffi 27 3 11,69 d Arealet er 4 når x ¼ 30 .

c sin 254 0,961, cos 254 0,276 og tan 254 3,487

c 210 , 390 , 570

1.77 a 0,65

1.72 a 53,36

b sin 146 0,559, cos 146 0,829 og tan 146 0,675

b 330 , 390 , 690

b Minste verdi er 0, og største verdi er 4.

c x ¼ 90 , x ¼ 180 , x ¼ 270

1.81 a sin 56 0,829, cos 56 0,559 og tan 56 1,483

1.79 — 1.80 a sin 0 ¼ 0, cos 0 ¼ 1, tan 0 ¼ 0 pffiffiffi 1 3 , b sin 30 ¼ , cos 30 ¼ 2 2 pffiffiffi 3 tan 30 ¼ 3 c sin 270 ¼ 1, cos 270 ¼ 0, tan 270 er ikke definert d sin 360 ¼ 0, cos 360 ¼ 1, tan 360 ¼ 0 pffiffiffi 1 3 e sin 300 ¼ , cos 300 ¼ , 2 2 pffiffiffi tan 300 ¼ 3 pffiffiffi pffiffiffi 2 2 , f sin 225 ¼ , cos 225 ¼ 2 2 tan 225 ¼ 1

1.83 a 300 , 240 , 600 , 660 b 120 , 240 , 480 , 600 c 120 , 300 , 480 , 660

1.84 2 a 3 b 12

9 4

4 15

1.85 a 600

c 72

b 135

d 420

1.86 r¼3 1.87 a gjør om fra grader (input) til radianer (output) b — c —

1.88 a 2,5 3 b 1 20 5 c 14

2 27

Kapittel 1 459

1.89

pffiffiffi pffiffiffi 2 2 , cos ¼ , tan ¼ 1 a sin ¼ 2 2 4 4 4 pffiffiffi 1 pffiffiffi 3 , cos ¼ , tan ¼ 3 b sin ¼ 2 3 3 2 3 pffiffiffi 7 1 7 3 c sin ¼ , cos ¼ , 2 6 2 6 pffiffiffi 7 3 tan ¼ 3 6 pffiffiffi pffiffiffi 5 5 2 2 d sin , ¼ , cos ¼ 2 2 4 4 5 tan ¼1 4 pffiffiffi 11 1 11 3 , e sin ¼ , cos ¼ 2 6 2 6 pffiffiffi 11 3 tan ¼ 3 6 pffiffiffi 10 10 1 3 f sin ¼ , cos ¼ , 2 3 3 2 10 pffiffiffi ¼ 3 tan 3

1.90 a 1 7,5 , 24 7 2 70 , 18 3 45 , 4 b Et eksempel er kvart over fire (16:15). Det finnes mange løsninger.

1.91 5 7 eller v ¼ 4 4 2 b v ¼ eller v ¼ 3 3 c v ¼ 90 a v¼

d ingen løsning

1.92

þ n 2 4 b v ¼ 45 , x ¼ 315

a v¼

1 7 c v ¼ , v ¼ 4 4

1.93 a v ¼ 60 eller v ¼ 300

1.101 a for eksempel x ¼

b ingen løsning eller x ¼

5 7 c v ¼ eller v ¼ 6 6

b v ¼ 64,62 , v ¼ 295,38 c ingen løsning

1.95 Løsningen Amir har funnet, er riktig, men Charlotte har rett i at det finnes flere løsninger. Det finnes uendelig mange løsninger. 1.96 a v ¼ 66 eller v ¼ 114 b v ¼ 66 eller v ¼ 294 c v ¼ 24 eller v ¼ 156 d v ¼ 24 eller v ¼ 336

1.97 a — b v ¼ 1,895

1.98

a v ¼ þn 4 b v ¼ 135 , v ¼ 315 3 7 c v ¼ , v ¼ 4 4

1.99 1 7 a v ¼ , v ¼ 6 6 b v ¼ 300 , v ¼ 120

1.100 a x ¼ 2,78, x ¼ 1,94, x ¼ 0,36, x ¼ 1,21 b x ¼ 51,32 , x ¼ 308,68 c x ¼ 1,29; x ¼ 4,43

16 þ 16n 3

7 þn 24 eller x ¼ þ n 24 2 þ n c for eksempel x ¼ 36 3 17 2 þ n eller x ¼ 36 3

b for eksempel x ¼

1.94 a v ¼ 0,59; v ¼ 2,55

8 þ 16n 3

1.102 60 1.103 a x ¼ 67,5 eller x ¼ 157,5 2 4 b x¼ , x¼ 3 3 1.104 21 4 b u ¼ 6 eller u ¼ 18 a u¼

13 19 37 , u ¼ , u ¼ 24 24 24 43 eller u ¼ 24

c u¼

1.105 pffiffiffi 6 a 3

pffiffiffi 2 2

1.106

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 21 21 , tan x ¼ sin x ¼ 5 2

1.107 sin v ¼

5 5 , tan v ¼ 13 12

1.108 a x ¼ 60 , x ¼ 120 , x ¼ 240 , x ¼ 300 b x ¼ 45 , x ¼ 135 , x ¼ 225 , x ¼ 315

460 Fasit

1.109 Minste verdi er 3, og største verdi er 5.

1.118 —

1.110

1.119 a —

4 3 sin v ¼ og cos v ¼ 5 5

1.111 5 5 a tan u ¼ , sin u ¼ 12 13 pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 3 10 10 , cos v ¼ b sin v ¼ 10 10 pffiffiffi 2 c cos w ¼ , tan w ¼ 1 2

1.112

pffiffiffi pffiffiffi 2 5 5 , cos u ¼ tan u ¼ 2, sin u ¼ 5 5

1.113

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 51 51 , tan v ¼ 10 7 pffiffiffi 1 2 b sin y ¼ , tan y ¼ 4 3 a sin v ¼

1.114 ﬀ u ¼ 60 1.115 a tan v tan ðv þ 90 Þ ¼ 1: b — c tan ðv þ 90 Þ ¼

1 tan v

b v¼ c

1.127

þ n , x ¼ 1:25 þ n 4 b x ¼ 1,11, x ¼ 1,77, x ¼ 4,25, x ¼ 4,91

a x¼

c x ¼ 60 , x ¼ 120 , x ¼ 240 , x ¼ 300

1.128 x¼

1.120 a —

1.129 Hun mister løsningen x ¼ 90 þ n 360 når hun dividerer med cos x på begge sider i likningen.

b 15 c 24

1.121 — 1.122 tan x 1.123

pffiffiffi pffiffiffi 2 2 2 , tan x ¼ , 3 4 pffiffiffi 4 2 7 sin 2x ¼ , cos 2x ¼ , 9 9 pffiffiffi 4 2 tan 2x ¼ 7 b x ¼ 1,91, x ¼ 2,8

a cos x ¼

1.124 a 2sin x b cos x sin x

d — e —

1.125 a —

1.116 a cos 2v ¼ 1 2sin 2 v

b —

b — pffiffiffi pffiffiffi 6 2 c 4

1.117 1 7 5 11 a v ¼ , v ¼ , v ¼ , v ¼ 6 6 6 6 b u ¼ 90 , u ¼ 210 ; u ¼ 270 ; u ¼ 330

c AC ¼

1.130 pffiffiffi 1 3 sin x þ cos x a 2 2 b x ¼ eller x ¼ 6 2 1.131 a x ¼ 22,5 , x ¼ 67,5 , x ¼ 202,5 eller x ¼ 247,5 5 11 b x ¼ , x ¼ 6 6 1.132 a v ¼ 30 , v ¼ 45 , v ¼ 150 , v ¼ 315 b v ¼ þn 4 1.133 v ¼ 45 , v ¼ 120 , v ¼ 225 , v ¼ 300

4sin 2x 8cos x ¼ sin 3x 3 4sin 2 x

1.126 a sin x þ b 0

7 þ n eller þn 12 12

pffiffiffi 3cos x

1.134 1 2 4 5 u ¼ , u ¼ , u ¼ , u ¼ 3 3 3 3 1.135 a — pffiffiffi 2 b 2 pffiffiffi c 2sin x 3cos x d —

Kapittel 1 461

1.136 a x ¼ 30 þ n 360

b x ¼ 26,6 þ n 180 _ x ¼ 63,4 þ n 180 c x ¼ 15 þ n 180 _ x ¼ 75 þ n 180

1.137 a L ¼ f93,7 , 273,7 g c L ¼ f0 , 180 g

b sin 2x ¼

pffiffiffi 4 5 1 og cos 2x ¼ 9 9

d identitet

b ikke identitet

e ikke identitet

c identitet

1.148 135,6

pffiffiffi 3 2

1.141 pffiffiffiffiffi 2 10 a 7

c cos x

1.142 a x ¼ 60 þ n 360 _ x ¼ 120 þ n 360 b x ¼ 15,7 þ n 180 _ x ¼ 25; 7 þ n 180

1.152 a x ¼ 45 þ n 360 eller x ¼ 135 þ n 360

b x ¼ 20 þ n 180 eller x ¼ 10 þ n 180 3 c x¼ , x¼ 2 2 d x ¼ 30 eller x ¼ 150

c x ¼ 22,5 þ n 90

1.153 Minste verdi er 4, og største verdi er 1.

1.143 a L ¼ f15 , 75 , 195 , 255 g

1.154 —

b L ¼ f60 , 300 g

1.144 — 1.145 — 1.146 —

1.160 a sin 2x ¼ 2sin xcos x og cos 2x ¼ cos 2 x sin 2 x

þ n eller x ¼ n 3 b x ¼ þ n 2 eller x ¼ n 2 c x ¼ þn 4 2 a x¼

5 12 og tan x ¼ 13 5 120 119 , cos 2x ¼ b sin 2x ¼ 169 169

pffiffiffiffiffi 3 10 31 b og 20 49

1.159 —

1.161

a cos x ¼

1.140

2 þ n 2 eller x ¼ þ n 2 3 3 2 2 b x¼ þ n eller x ¼ þn 3 3 c x ¼ þn 3 a x¼

b —

1.150 pffiffiffi 3 2 1.151

1.139 —

a —

1.158

1.149 a L ¼ f60 , 120 g 1 5 b x ¼ , x ¼ , 12 12 13 17 x ¼ , x ¼ 12 12

b L ¼ f60 , 240 g

1.138 pffiffiffi 5 a 3

1.147 a identitet

1.155 — 1.156 — 1.157 a — b Største verdi er 6, og minste verdi er 2.

1.162 a — b Største verdi er 3, og minste verdi er 1.

1.163

pffiffiffi 2 og 2 pffiffiffi 3 tan ð 30 Þ ¼ 3 sin 225 ¼

1.164 a x ¼ 15 , x ¼ 105 , x ¼ 195 , x ¼ 285 b x ¼ 60 , x ¼ 300

1.165 3 1 a x ¼ 0, x ¼ , x ¼ 5 5 9 b x¼ , x¼ , x¼ 2 10 10 1 c x ¼ 0,46, x ¼ 2

462 Fasit

1.166 x ¼ 30 , x ¼ 90 , x ¼ 330 1.167 a Første kvadrant: Tangens er positiv. Andre kvadrant: Tangens er negativ. Tredje kvadrant: Tangens er positiv. Fjerde kvadrant: Tangens er negativ. b —

1.168 — 1.169 a x ¼ 45 þ n 180 eller x ¼ þn 4 b x ¼ n 180 , x ¼ 60 þ n 180

1.176

a v 2 0, 2

pffiffiffi 3 3 b v ¼ , Fmaks ¼ 4 3

1.177 a — b V 9,93 c —

pffiffiffi 6 d cos x ¼ . Det gir x 35,26 . 3

1.178 a ff A þ ff B ¼ 3x, slik at ff x < 60 b — c — d —

1.170 —

e ingen maksimalverdi, F ! 1

1.171

1.179 —

1 5 a x ¼ eller x ¼ 12 12 1 5 b x ¼ , x ¼ 3 3

Kapittel 2

1.172 a cos 2 x sin 2 x

2.1 —

b cos 2x

1.173 x ¼ 30 , x ¼ 45 , x ¼ 150 , x ¼ 315 1.174 1 2 4 5 x ¼ , x ¼ , x ¼ , x ¼ 3 3 3 3 1.175 a — b — c v 1,91 radianer 109,47 Tmaks 236,95

2.2 — 2.3

5 , L¼ 6 6

2.5 a x 0,340 _ x ¼ 2,802 b x ¼ 1,269 _ x ¼ 4,914

2.6 — 2.7 — 2.8 Grafen til h er forskjøvet 3 enheter mot venstre i forhold til f . 2.9 — 2.10 For hver funksjonsverdi på f er verdien på g halvert. Siden f er en parabel, er g det også, men bredere. 2.11 — 2.12 a Når p varierer, forskyves grafen til g vertikalt. Positiv p fører til forskyvning oppover. b Når q varierer, forskyves grafen til g horisontalt. Positiv p fører til forskyvning mot venstre.

2.13 — 2.14

2.4 3 _x ¼ 4 4 3 b x ¼0_x ¼ _x ¼ _x ¼ 2 2 11 c x ¼ _x ¼ 6 6 a x¼

3 gðxÞ ¼ 2 sin x þ2 2

2.15 — 2.16 for eksempel f ðxÞ ¼ 3 sin ð2x 4Þ þ 1 eller f ðxÞ ¼ 3 sin ð2,0x 4,1Þ þ 1

Kapittel 2 463

2.17 For hånd:

f ðxÞ ¼ 23 sin

2 1,4 þ 30 365

Regresjon: f ðxÞ ¼ 23,45 sin ð0,0169x 1,335Þ þ 29,3

2.28 — 2.29 a 12 cos 4x b 6 cos ð3xÞ c 2xsin x þ x2 cos x

2.18

f ðxÞ ¼ 11,7sin

2 x þ 1,7444 þ 12,57 365

2.30 a 3x2 cos x x3 sin x b 4 cos 2 x 2

2.19

f ðxÞ ¼ 3 sin 2x 4

f ðxÞ ¼ 3 sin

2.22 for eksempel f ðxÞ ¼ 3 sin ð xÞ þ 4

ð2xÞ ffi b f 0 ðxÞ ¼ psinffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

cos ð2xÞ

c f ðxÞ ¼ 9cos xðsin x 2Þ2

2.32 a 6 sin 3x b 8 cos xð2 sin x þ 3Þ3

2.23 a — b f ðxÞ ¼ 5 sin ð2x þ 0,927Þ 1

2.24 a f ðxÞ ¼ 10 e 0,2x sin ðx 0,927Þ b —

1 c pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi tan 2x cos 2 x

2.33 a 3 cos 2 x sin x b sin 2x þ 2x cos 2x xcos x sin x x2 1 d sin 2 x c

c —

a x ¼ 0, x ¼

1 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 cos 2 x tan x

2.31 a f 0 ðxÞ ¼ 2x2 cos ð2xÞ þ 2x sin ð2xÞ

xþ þ1 6 3

2.25

e tan x

2.20 3 4 a¼ , b¼ , d¼1 5 5 2.21

c 3ðcos x þ 1Þ2 sin x

3 5 b x ¼ , x ¼ 4 12

2.26 f ðxÞ ¼ 13 sin ð2x þ 2,747Þ Vf ¼ ½ 13, 13 2.27 ingen løsning for k > 17 eller k < 17 én løsning for k ¼ 17 eller k ¼ 17 to løsninger for 17 < k < 17

2.34

2.36 Nullpunkter: ð0, 0Þ og ð , 0Þ pffiffiffi Toppunkt: ,3 3 3 Vendepunkt: ð , 0Þ pffiffiffi 5 Bunnpunkt: , 3 3 3 2.37 a 12,33 timer, altså 12 timer og 20 minutter. Det er avstanden mellom for eksempel to forekomster av høyvann. b Første bunnpunkt er ð0,166, 67Þ. Det betyr at etter 0,166 timer, dvs. 10 minutter, er første tidspunkt for lavvann. Vanndybden er da på 67 cm. Etter 12 timer og 20 minutter gjentar det seg. Første toppunkt er ð6,334, 283Þ. Det betyr at etter 6,334 timer, dvs. 6 timer og 20 minutter, er vanndybden på sitt høyeste. Den er da på 283 cm. Etter 12 timer og 20 minutter gjentar det seg. c Ekstremalpunktene på f 0 ðxÞ er ð3,250, 55,0Þ og ð9,417, 55,0Þ. Vanndybden forandrer seg mest etter 3,250 timer, dvs. 3 timer og 15 minutter, og etter 9,417 timer, dvs. 9 timer og 25 minutter. Da forandrer vanndybden seg med henholdsvis 55 og 55 centimeter per time.

2.38 a f ðxÞ ¼ e 0,4t 0,508 sin ð2,2t þ 1,3927Þ

1 1: Bruk at sin x cos x ¼ sin 2x. 2 2: Bruk produktregelen direkte.

b —

2.35 Toppunkter for x ¼ 0,125 þ n 2 . Bunnpunkter for x ¼ 3,016 þ n 2 . Grafen er sammenhengende, og derfor fallende fra toppunkt til bunnpunkt og stigende fra bunnpunkt til toppunkt.

d skjæringspunkter ð0,086, 0,491Þ, ð2,942, 0,157Þ, ð5,798, 0,0410Þ

c toppunkter ð0; 0,5Þ, ð2,85, 0,160Þbunnpunkter ð1,427, 0,282Þ, ð4,283, 0,090Þ

464 Fasit

2.39 a A ¼ 6,3, y ¼ 11,6 er likevektslinja, perioden er 365. b Lengste dag er x ¼ 165, dvs. ca. 14. juni. Korteste dag er x ¼ 349, dvs. ca. 15. desember. c Daglengden øker mest for x ¼ 73,77, dvs. ca. 14./15. mars. Da øker den med 6,51 min=dag. d x ¼ 107 eller x ¼ 223, altså 17. april eller 11. august.

2.40 a — b 16,1 C, x ¼ 236 c x ¼ 4 og x ¼ 97

b x-verdiene til skjæringspunktene mellom grafen til f og linja y ¼ 180 er x ¼ 1,53, x ¼ 9,65, x ¼ 13,81 og x ¼ 21,92. Av grafen ser vi at vannstanden er lavere enn 180 cm over sjøkartnull før kl. 01:32, mellom kl. 09:39 og kl. 13:49 og etter kl. 21:55. c Største endring er i vendepunktene. Grafen til f har sine vendepunkter på likevektslinja. Første skjæringspunkt er ð2,52, 150Þ, altså kl. 02:31. Deretter gjentar dette seg for hver halve periode, altså etter 6 timer og 8 minutter.

d —

Avgjør om påstandene stemmer 4 sann 6 usann 1 sann

e f 0 ðxÞ ¼ 0,11cos ð0,017x þ 3,85Þ

2 sann

f 0,07 grader per dag og 0,09 grader per dag

3 usann

g x ¼ 143. 0,11 grader per dag

2.43 a f ðxÞ ¼ 3 sin x þ 4 b f ðxÞ ¼ 3 cos x þ4 2

2.41 a 0,52 m=s b Akselerasjonen er 0,27 m=s2 . I dette tilfellet vil nok arbeidsforholdene føre til at mange føler ubehag.

2.42 a Perioden er 12,3 h. Det betyr at det er 12 timer og 16 minutter mellom for eksempel hver gang det er høyvann. Amplituden er 62 cm. Det betyr at forskjellen mellom likevektslinja og største vannstand er 62 cm, og derfor 124 cm mellom lavvann og høyvann. Likevektslinja er y ¼ 150 cm. Det betyr at gjennomsnittsvannstanden er 150 cm over sjøkartnull.

5 sann

7 usann

2.47 a Likevektslinje: y ¼ 1 Amplitude: 4 Periode: 3 þ n , 5 b Toppunkter: 8 7 Bunnpunkter: þ n , 3 8 c — 2.48

þ k 2 , þ k 2 a L¼ 2 3 7 19 31 43 , , , b 24 24 24 24 c 45 , 135 , 225 , 315 11 , d L¼ 2 6

2.49 a 6 og 2

b 1 og 1

2.50 a kl. 18:39

2.44 a 6 cos 2x

b Likevektslinje: y ¼ 19 Amplitude: A ¼ 4 Periode: 360. kl. 19

b 4xcos x 2x2 sin x

c 16. mars og 16. september

sin x cos x c pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi sin 2 x þ 1 1 þ sin 2x d cos 2 x

d t ¼ 180, altså ca. 1. juli

2.45 —

2.52 —

2.46

7 4 , , , a L¼ 6 3 6 3

2.53 —

b L ¼ f2,574 þ k 2 , 6,089 þ k 2 g

2.54 —

2.51 —

2.55 —

Kapittel 2 465

2.56 a —

2.66 a f ðxÞ ¼ 2,6 sin ðx þ 5,1072Þ

b Grafen til g er forskjøvet med 5 enheter til høyre i forhold til grafen til f .

c Toppunkt: ð2,7467; 2,6Þ Bunnpunkt: ð5,888, 2,6Þ d ð1,176, 0Þ og ð4,317, 0Þ

2.57 —

e —

2.67

2.58 f ðxÞ ¼ ðx 3Þ2 þ 2

2.59

gðxÞ ¼ 6 sin x þ3 2

2.60 a — 1 3 mot høyre i forhold til grafen til f .

b Grafen til g er forskjøvet med

2.61 3 2 7 gðxÞ ¼ sin ð x Þ þ 4 3 6 4

2.62

2 a y ¼ 11sin x 1,3178 365 2 x 2,889 b y ¼ 11cos 365

2.63 2 sin ð2x Þ þ 2 2.64 a —

b f ðxÞ ¼ 3 cos x þ4 2

c Toppunkt: ð2, 7Þ, ð6, 7Þ Bunnpunkt: ð0, 1Þ, ð4, 1Þ, ð8, 1Þ

2.65

b x ¼ 1,176 eller x ¼ 4,317

f ðxÞ ¼ 3 sin 2x þ2 3

x þ4 4 2 x þ4 b f ðxÞ ¼ 3 cos 4 a f ðxÞ ¼ 3 sin

2.68 a Amplitude: 2 Periode: 3 Likevektslinje: y ¼ 2 b —

2.69 a 2 1 3 5 b ,0 , , 0 og ,0 2 2 2 c Toppunkter: ð1, 1,5Þ, ð3, 1,5Þ Bunnpunkter: ð0, 1,5Þ, ð2, 1,5Þ 1 3 ,0 , ,0 Vendepunkter: 2 2 5 og ,0 2 d — 2.70

2 x 2,41 þ 8 y ¼ 8sin 365

2.71 y ¼ 6,188 sin ð0,0167x 1,307Þ þ 12,20

2.74 a Amplitude: 3 Likevektslinje: y ¼ 1 Periode: 2 2 þ 2n, 4 , z 2 Z b Toppunkter: 3 1 Bunnpunkter: þ 2n, 2 , z 2 Z 3 c — 2.75 a Periode: Likevektslinje: y ¼ 1 Amplitude: 3 5 2, 4 b Toppunkt: 4 3 Bunnpunkt: 2, 2 4 c — 2.76 a f ðxÞ ¼

b gðxÞ ¼ 5 sin ðx þ 2,214Þ þ 3 c hðxÞ ¼ 10 sin ðx þ 0,927Þ 4

2.77

x þ 0,927 þ 1 a f ðxÞ ¼ 5 sin 12 f ðxÞ ¼ 5 cos x 0,644 þ 1 12 pffiffiffi pffiffiffi 7 b gðxÞ ¼ 2 sin 2x þ 2 12 pffiffiffi pffiffiffi 13 þ 2 gðxÞ ¼ 2 cos 2x 12

2.73 y ¼ 9,8 sin

2 x 1,8 þ 7,3 365

2.78 f ðxÞ ¼ 1,645 sin ðx þ 1,332Þ 2.79

2.72 y ¼ 10,329 sin ð0,0189x 2,180Þ þ 3,01

pffiffiffi 5 sin ðx þ 2,678Þ

11 13 23 25 35 , , , , , 18 18 18 18 18 18 4 b x ¼ n 2 _ x ¼ þ n 2 , n 2 Z 3 a L¼

466 Fasit

2.80

7 4 a L¼ , , , 6 3 6 3 b L ¼ f2,574 þ k 2 , 6,089 þ k 2 g

2.81 a Likevektslinje: y ¼ 0 pffiffiffiffiffi 13 Amplitude: 2 Periode: 2 pffiffiffiffiffi 13 b Toppunkt: 3,423, 2 pffiffiffiffiffi 13 Bunnpunkt: 0,281, 2 c — 2.82 2 þn 6 3 þn b x¼ 8 5 c L ¼ 0, , , 4 4

b Regn ut f 00 ðxÞ. Finn nullpunktene for denne. Lag fortegnslinje. Der fortegnet til f 00 ðxÞ skifter, er det et vendepunkt. Regn ut funksjonsverdiene til vendepunktene.

2.86 — 2.87 — 2.88 1 2 2.89 1

a x¼

2.90 a 12 cos 4x b 2 cos 2 x 2 sin2 x c 3ðcos x þ 1Þ2 sin x

d ingen løsning

d tan x

2.83 a L ¼ f60 , 300 g 4 3 b L¼ , , , 3 2 3 2 c x ¼ þ n 2 _ x ¼ þ n 2 2

2.91 a 10 cos 5x

2.84 5 þ n eller x ¼ þn 12 12 b x ¼ 240 c L ¼ 0, 2 a x¼

b 3e3x cos x e3x sin x c 6 cos 2 2x sin 2x

2.92 3 a cos 3x 4 tan x b sin x þ cos x xcos x sin x c x2 2.93

2.85 a f 0 ðxÞ ¼ 4 cos x sin x þ cos x Bunnpunkter: ð3,394, 0,875Þ og ð6,031, 0,875Þ 3 , 4 og ,2 Toppunkter: 2 2

þ n 2 eller x ¼ þ n 2 2 2 5 þ n 2 eller x ¼ 6 eller x ¼ þ n 2 6 b —

a x¼

c Toppunkter: ð1:571, 0Þ, ð3:591, 1:516Þ, ð5:834, 1:516Þ Bunnpunkter: ð0:875, 0:220Þ, ð2:267, 0:220Þ, ð4:712, 0Þ d —

2.94 Toppunkt: ð0,554, 4,114Þ Bunnpunkt: ð2,124, 0,855Þ Nullpunkt: ,0 2 Vendepunkter: ð2,675, 0,443Þ, ð1,107, 2,115Þ 2.95 a —

3 0, , , 2 2 Bunnpunkt: ð0, 0Þ Toppunkt: ð0,955, 0,7698Þ Bunnpunkt: ð2,186, 0,7698Þ Toppunkt: ð , 0Þ Bunnpunkt: ð4,097, 0,7698Þ Toppunkt: ð5,327, 0,7698Þ

b Nullpunkter:

2.96 a —

, 4 , ð4,712, 2Þ 2 7 Bunnpunkter: 3,394, , 8 7 6,031, 8 c Vendepunkter: ð0,704, 2,486Þ, ð2,437, 2,486Þ, ð4,024, 1,421Þ, ð5,401, 1,421Þ b Toppunkter:

2.97 a — b x2 c —

5 , , , 2 4 4

Kapittel 2 467 pffiffiffi 5 , 1þ 2 , d Toppunkter: 8 pffiffiffi 13 , 1þ 2 8 pffiffiffi , 1 2 , Bunnpunkter: 8 pffiffiffi 9 , 1 2 8 e —

2.98

2.104 f ðxÞ ¼ 3 sin ð x 2Þ þ 1

b 8, 2

2.105 a 1,0996

c —

b 141,8 pffiffiffi c 2ðsin x þ cos xÞ ¼ 2 sin x þ 4

2.106

5 5 5 , , Toppunkter: , 3 8 3 8 1 1 Bunnpunkter: 0, , , 2 2

2.99 pffiffiffi x ¼ gir omkrets þ 2 3. 6 3 2.100 a —

3 ,4 , ,6 2 2 Bunnpunkter: ð0,167, 1,917Þ, ð2,974, 1,917Þ

b Toppunkter:

, a L¼ 3 , b L¼ 2

5 3 3 2

b kl. 03:48 (x ¼ 3,81) og kl. 21:43 (x ¼ 21,72Þ.

2.108 a Amplitude: 4 Likevektslinje: y ¼ 2 Periode: 8 3 x b gðxÞ ¼ 4 sin þ2 4 4 c —

c kl. 12:46 (x ¼ 12,76)

d —

a x¼

b — c —

2.115 0,463 2,034 3,605 5,176

2.107 —

2.102 a —

2.103 a f 0 ðxÞ ¼ 6 sin x cos x cos x þ n 2 , 4 , Toppunkter: 2 þ n 2 , 6 2 Bunnpunkter: ð0,167 þ n 2 , 1,92Þ, ð2,975 þ n 2 , 1,92Þ

e —

2.116 a —

e x ¼1þn 8

c Toppunkt: ð0,355, 1Þ Bunnpunkt: ð0,773, 1Þ

d ð2, 5Þ, ð4, 5Þ, ð6, 5Þ, ð8, 5Þ, ð10, 5Þ

c L ¼ f1,893, 5,034g

2.101 —

b —

2.114 a 5

2.109 2 þn 12 3 b ingen løsning c L ¼ f0,307, 4,011g

2.110 x ¼ þ n 2 6

f 2 timer og 14 minutter pffiffiffi 3 g 4 2 sin x þ 20 12 4

2.117 — 2.118

x¼ , y¼ 2 2

2.120 a L ¼ f10 , 130 , 250 , 110 , 230 , 350 g

2.112 —

b L ¼ f0 , 120 , 240 g

x þ5 2 3 x þ5 b f ðxÞ ¼ 2 cos 2 2 a f ðxÞ ¼ 2 sin

e —

2.119 3 5 , [ , L ¼ 0, [ 3 2 2 3

2.111 k¼3

2.113

d kl. 06:46 (x ¼ 6,76), stiger med 7,0 grader per time, dvs. 0,12 grader per minutt

468 Fasit

2.121 a

2.126 0

f (x)

5 b x ¼ 0, x ¼ 5 ln 2 c e 0,2x ð5 cos x sin xÞ d Toppunkt: ð1,373, 3,725Þ Bunnpunkt: ð4,515, 1,987Þ e — f —

2.122 a f 0 ðxÞ ¼ cos x 1 f faller i hele definisjonsmengden.

a x ¼ þ n 2 3 _ x ¼ þ n 2 3 _ x ¼n b f er voksende i hele intervallet. Ingen ekstremalpunkter. g er voksende for x < 1, for x mellom 2,094 og 4,189 og for x > 5,236 og synkende ellers. Grafen til g har toppunkt i ð1,047, 1,913Þ og ð4,189, 5,055Þ og bunnpunkter i ð2,094, 1,228Þ og ð5,236, 4,370Þ.

b f 00 ðxÞ ¼ sin x Vendepunkt: ð0, 1Þ

c —

2.127 a PQ ¼

2.123

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2a2 2a2 cos v

2.124 a —

2.128 a 0,16 m=s på vei inn i fjorden

b kl. 11:08 og kl. 18:52

b 15,7 m

c Bunnpunkt: ð3, 14,3Þ. Laveste temperatur er kl. 03:00. Da er den 14 C. Toppunkt: ð15, 25,7Þ. Høyeste temperatur er kl. 15:00. Da er den 26 C.

c På 26,0 m er farten 0,18 m=s på vei inn i fjorden. På 57,4 m er farten 0,03 m=s på vei ut av fjorden.

b — c f stiger for x 2 ½0, 0, 615i [ h2,52, 3, 142i [ h3,757, 5,668i og faller ellers. d Toppunkter: ð0,615, 9,355Þ, ð3,142, 1Þ, ð5,668, 9,355Þ Bunnpunkter: ð2,526, 0,645Þ, ð3,757, 0,645Þ e —

2.133

2 5 5 11 , , , 3 3 6 6 5 , , b L¼ 3 3 a L¼

2.134

5 7 11 , , , 6 6 6 6 , b L¼ 3 a L¼

c v ¼ 147,5

b a ¼ 2, b ¼ 2, c ¼ 1

2.136

b —

2.125 a —

b kl. 11:52

2.135 a 2

1 3 1 , , Vendepunkt: og 4 2 4 2

d kl. 03:12 og kl. 14:48

2.132 a f ðxÞ ¼ 530 þ 322 sin ð0,24x þ 3,1Þ

A ¼ 386,2 m2

d —

2.129 1 a sin 2x 3 b 4xsin ðx2 þ 2Þ cos ðx2 þ 2Þ

a a ¼ 3, b ¼

3 2

b —

2.137

1 3 ,1 , 1 og 2 2 1 5 Bunnpunkter: , 3 og , 3 2 2 5 1 b ð0, 1Þ, , 0 , , 0 , 6 6 7 11 ,0 , ,0 6 6 a Toppunkter:

c —

2.130 a 2 cos 2x

2.138 a f ðtÞ ¼ 442,9 sin ð0,52t þ 1,16Þ þ 1108,49

b cos xðcos x 2x sin xÞ

b oktober

2.131 1 5 13 ,0 , ,0 , ,0 , a 3 3 3 17 25 29 ,0 , ,0 , ,0 3 3 3 b —

Kapittel 3 469

Kapittel 3 3.1 a 64, 4096

3.12 a — c 268 435 456

b an ¼ 4n 1

b 63

3.13 a an ¼ 7n 2

3.2 a konstant differanse d ¼ 6 b 92

c 19

3.14 5115 a 39,96 128

b sn ¼

7n 3n 2 2

3.4 a —

3.16 Stine har rett. Vi trenger 9 ledd: c nei

3.5 a a r¼ 1 k

b —

3.6 194 er med i følgen. 321 er ikke med i følgen. 3.7 a an ¼ 5 2n 1 eller an ¼ 5 ð 2Þn 1 b 80 eller 80

3.8 a 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536, 3072, 6144, 12 288, 24 576, 49 152, 98 304, 196 608, 393 216, 786 432, 1 572 864 b 2, 10, 50, 250, 1250, 6250

3.9 2 5 11 23 47 95 191 383 767 1535

4 þ 12 þ 36 þ 108 þ 324 þ 972 þ 2916 þ 8748 þ 26 244 ¼ 39 364

3.17 209

3.11 a 1250 7n2 15n 2 c 55 ledd b

3.29 a 4

b eksisterer ikke

3.30 a 2 < x < 2

2x 2 x

3.32 Ja, maksimal mengde i kroppen blir 6,7 mg.

3.20 a an ¼ 3 4n 1 b sn ¼ ðr þ 1Þn 1

3.33 —

b 419,2 tonn

3.22 a 3,6 mg rett etter sjette tablett

3.24 18 286,85 kr

d alle punkter unntatt 1

1 2 c x ¼ 1 (2 er ikke i konvergensområdet.)

3.19 156 slag

3.23 37 733,70 kr

c —

b —

b x<

b etter ellevte tablett

3.10 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521 843 1364 2207 3571 5778 9349

3.28 a —

3.31 a —

3.18 a1 ¼ 1, d ¼ 5

3.21 a 42,6 tonn

b —

b 5 ledd

3.15 60 399 887 kr

b 6144

3.26 a 60 524 kr 3.27 ca. 22 år

c ja (a20 ¼ 122)

3.3 —

3.25 —

3.34 18 m 3.35 a —

c x ¼ 2 ln 2

b x > ln 2

3.36 a konvergent for alle x 2 sin x b sðxÞ ¼ 1 cos x c x ¼ 0,761 þ n 2

470 Fasit

3.37 a k¼

xþ1 x 2

b x<

1 2

3.50 an ¼ 3n2 þ 4n

3.60 a 535 b

3.51 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1

3.38 a — b for eksempel

4 9

3.39 a x er trønder ) x er nordmann

3.52 an ¼ 4n þ 2

d Trekanten er likesidet ) Trekanten er likebeint e x ¼ 7 ) x2 ¼ 49

3.40 —

3.61 a —

3.54 an ¼ 3n2 3n þ 1 3.55 Differansen av differansene er ikke konstant.

3.56 a —

4 sann

b x2h

b 41

c 301

, 1i [ h3, !i

3.45 —

3.58 —

3.46 —

3.59 a ca. 140 000–150 000 kr

Tn ¼

c ingen løsning

3.62 — 3.63 a 2, 5, 8

d 7

c 29

x2 4x þ 4 x2 4x þ 3

b 147 164,50 kr c 2 943 270 kr

3.65 — 3.66 20 ganger 3.67 — 3.68 a — n2 þ 3n þ 2 2 c 36 kvadrater i figur nummer 7, altså F7 ¼ 36 b Fn ¼

3.48 nðn þ 1Þ 2

3.49 an ¼ 3n2 3n þ 2

5 7 11 , , 2 [ [ 6 6 6 6

3.64 an ¼ 4n þ 2

3.44 —

3.47 n ¼ 41

6 usann

b x 2 0,

b an ¼ 13 3n

3.57 a R n f2g

3.43 —

1 . e2

1 har ingen løsning 3 i konvergensområdet.

2 sann

3.42 —

1 1 þ ln x

sðxÞ ¼

3.53 —

Avgjør om påstandene stemmer 1 sann 3 usann 5 sann

3.41 —

1 1 , e3 e

3 sðxÞ ¼ 1 har løsning x ¼

b 2x 3 ¼ 5 , x ¼ 4 c x<8(x<2

1 x2

Kapittel 3 471

3.69 a aritmetisk rekke, konstant differanse mellom etterfølgende ledd

3.79 a —

b an ¼ 4n 2

3.80 a 26,42 tonn

c 242

b 4,0 %

c 254 300 kr

c minst 16 dager

b 5,6 tonn

3.70 an ¼ 4n þ 1 3.71 a 242

b 728

43 16

3.72 a1 ¼ 3 og d ¼ 2 3.73 a — b a1 ¼ 5, k ¼ an ¼ 5 ð 3Þ

3.74 a an ¼ 2n 5

b 436,20 kr

3.88 a konvergerer mot 120

3.82 a —

d 152 219 kr

b 42 926 kr

e 18 911 kr

3.83 a 4 þ 4 0,6 þ 4 0,62 c Mengden er forsvarlig.

3.75 an ¼ 2n þ 5

3.84 a k¼x x 2 h 1, 1i

3.76 a aritmetisk rekke, konstant differanse mellom hvert ledd: d ¼ 14 8 ¼ 8 2 ¼ 6

b —

b an ¼ 6n 4

1 c x¼ 2 1 d p> 2

c sn ¼ 3n2 n

3.85

d bn ¼ 4 2n

b divergerer (konvergerer ikke) 15 7 e4 31,77 d konvergerer mot e 1

c konvergerer mot

3.89 97 m 101,5 m 6

1 ex 1

3.91 a — b — c konvergent for x 2 h

3.77 a1 ¼ 2, k ¼ 3 og d ¼ 5

9 konvergerer rekka mot summen . 5

3.78 a 145 824, 143 386, 140 990

3.86

c 1,5 %

c —

a x 2 h0, !i

Ettersom 1 <

a —

e2n 2

3.90

d 6

b 148 303

¼ e4 2n

b an ¼

b 9,22 b s20 ¼ 320

3.81 a Avbetaling tilsvarer 14 786 kr og er derfor billigere enn kontant, som tilsvarer 15 000 kr.

c 4800 kr n 1

3.87 a Dette er en geometrisk rekke der det er en fast kvotient mellom et ledd og leddet foran i rekka: a k¼ n an, 1

2 < 1, 3

43 99

, 0i [ h2, !i

x 1 d s¼ x 2 e 1 x¼3 2 ingen løsning

3.92 a — b an ¼ 3n 7

3.93 —

c s17 ¼ 340

472 Fasit

3.94 a (

d (

b ingen av delene

e )

c ,

3.107 a 1 41

3.116 —

2 231 b 1 — 2 Følgen konvergerer mot null.

3.95 —

3.108 a geometrisk rekke

3.96 —

b x2h

, 1i [ h1, !i

e SðxÞ ¼ 1 har ingen løsning i konvergensområdet. SðxÞ ¼ 3 har løsning x ¼ 3.

3.109 —

3.99 —

3.110 —

3.100 —

3.111 a aritmetisk an ¼ 3n 4 a70 ¼ 206

3.101 an ¼ 2n2 þ 3n

b Fn ¼ n2 þ 2n þ 3 c F9 ¼ 102

3.112 a —

3.103 1, 2, 7, 142, 60 487, 10 976 031 502 3.104 a F5 ¼ 31

3 3 x

3.113 a x>0

3.105 an ¼ 4n2 2n þ 2

1 1 e x b ingen løsning

3.123 a —

3 5

c 32

1 xþ2 d sðxÞ ¼ 1 har løsning x ¼ 3. 1 sðxÞ ¼ har ingen løsning 3 i konvergensområdet.

3.115 b

b —

b x 2 h 4, 2i

3.114 —

a 3

b 707 452,60 kr

3.124 a a1 ¼ 1, k ¼ x þ 3

sðxÞ ¼

b 344 314 kr

b 4372

3.122 a 110 372,63 kr

9 d sðxÞ ¼ 4 gir x ¼ . 4 sðxÞ ¼ 2 har ingen løsning i konvergensområdet.

b Fn ¼ n2 þ n þ 1

3.106 a 67 216 kr

3.121 a 68

b 3 < x < 3 c

d 3n 1

3.120 —

b 1275

3.102 a —

b 2n2

3.119 a Rekka er geometrisk ettersom det er samme kvotient mellom alle ledd: a k¼ 1 . an, 1 4 2 1 2 25 k¼ ¼ 5 ¼ ¼ 5 2 1 5 2 5 5 2n 1 b an ¼ 2 5 c — 25 d s¼ 6

d —

3.98 —

c an ¼ 2 3n 1

3.118 —

c —

3.97 —

3.117 a an ¼ 4n 2

18 5

Kapittel 4 473

3.125

3.136 a 2 < x < 2 2 b xþ2 1 c sðxÞ ¼ har ingen løsning. 4

7 8 b 12 m nordover a anþ1 ¼ an

3.126 —

3 sðxÞ ¼ 4 har løsning x ¼ . 2

3.127 a 1 —

3.137 —

2 46 3 650 b

1 — 2

1 2048

3 16

1 1 220

c —

3.128 134 431,42 kr 3.129 a x2h b x¼2

3.130 — 3.131 — 3.132 — 3.133 — 3.134 — 3.135 —

, 1i [ h1, !i

3.147 a 210 3.148

b 14

a x2

1 2 ,e e2

b x¼e

3.149 —

3.138 a —

Kapittel 4

b konvergerer mot 40

4.1 Svaret avhenger av valg av metode.

3.139 a 64 012 kr

a 10,56

b 600 299 kr

b 11,07 c 11,24

3.140 — 3.141 a —

b 3360

c 0,83

3.142 19 3.143 16 27 3.144 a 42 013,2

c 0,90 %

4.2 34 11,33 a 3 b Det bestemte integralet gir det eksakte arealet av området. Svarene i forrige oppgave viser at vi stadig øker antall rektangler for å få en stadig mer nøyaktig verdi av arealet, og når n ! 1, vil arealet være gitt ved det bestemte integralet. 4.3 a 0,67

b 0,72

c ln 2

b 47 måneder

4.4 3.145

a konvergerer for x ¼ , 3 divergerer for x ¼ 6 b 4 c r>

3.146 —

1 2

a 40

b 56

c 2

4.5 a 3e 3

c 24

b 2 ln 2

15 4

2 3

4.6 Svaret avhenger av valg av metode. 4,04 med n ¼ 1000.

474 Fasit

4.7 Svaret avhenger av valg av metode. 59,96 med n ¼ 1000.

4.19 a C

c 2 r þ C

b 2x þ C

d r þ C

4.8 a Med venstre trappesum: 8,98. Med høyre trappesum: 9,02.

4.20 1 er ikke kontinuerlig x2 i intervallet ½ 1, 1 .

b 9,00

4.9 a —

4.26 2

4.21 a ex þ C

b 9

b 4ex þ C c x4 þ x3 þ x2 þ x þ C

4.10 15

1 d 2x2 þ 2ex þ e3x þ C 3

b 42

4.12 a F 0 ðxÞ ¼ 15x2 þ 2x þ 6 b 990

4 3

4.14 ca. 1,1 4.15 1 x3 x2 þ 2x 2

4.16 65 a 12

14 c 3

140 b 3

4.17

1 2 x þC 2

4.18 a 2t2 þ C 1 b t5 þ C 5

4.27 areal 6 4.28 R4 R2 f ðxÞ d x f ðxÞ d x 0

4.29 a 1 b 1 c 2 e Arealer over og under x-aksen er like store, men integralet har motsatt fortegn.

4.23 a 2 cos x þ C 1 3 b x 3 þ x2 þ sin x 4x þ C 3 2 c sin 3x þ C 1 d 2 cos 2x þ x þ C 2

4.31

4.24

1 a cos x þ C b 4 sin x 3 cos x þ C

4.33 a ð2x 1Þex þ C b ð2x 1Þe2x þ C

8 sin x þ C 2 1 d sin ð2t Þ þ C ¼ 2 1 sin ð2t Þ þ C 2

c a 8x þ C

13 4,33 3

4.22 1 1 a t5 þ t2 þ e3t þ C 5 3 1,05 þC b 2000 ln 1,05 1 1 c x þ ln x þ C 4 2 2t d 3e þ C

4.13 b 6

d 2

4.11 a F 0 ðxÞ ¼ 9x2 þ 6x þ 3

a 8

a —

3 2 x þC 2 1 d x3 þ C 3

c 3x4 þ C d 5 ln jxj þ C

4.25 a — 1 b x 2 þ 2 ln jxj þ C 2 c —

4.30 Grafen skal ligge under x-aksen mellom x ¼ 1 og x ¼ 0 og over x-aksen mellom x ¼ 0 og x ¼ 3.

a —

7 6

17 6

4.32 a — b ð0, 2Þ og ð5, 8Þ 125 20,8 6

4.34 x5 1 ln x a þC 5 5 1 1 x e3x þ C b 3 3 c ðx 2 2x þ 2Þex þ C

4.35 —

Kapittel 4 475

4.36 1 1 a sin 3x xcos 3x þ C 9 3 b ð2 x2 Þcos x þ 2xsin x þ C 1 1 c xcos 2x sin 2xð 4x2 þ 2Þ þ C 2 8

4.44 1 a ðx þ 1Þ4 þ C 4 1 b 3 ln x þ ðln xÞ2 þ C 2 ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 3 10 p 4 c ð2x3 1Þ þ C 9

4.37 1 1 a x 3 ln x þC 3 3 b t cos t þ sin t þ C

4.45 a 0

b ln jx 2j þ C

4.38 a 2x2 ð2 ln x 1Þ þ C

b ð4x 3Þex þ C 1 c ðln x þ 1Þ þ C x

4.39 a xsin x þ cos x þ C 1 b ðsin x cos xÞex þ C 2 c ð2x2 þ x 5Þsin x þ ð4x þ 1Þcos x þ C 4.40 x ln x x þ C 4.41 Antes metode gir 2ðx 1Þex þ C.

3 x4 e þC 2

c ex

4.47 2 1 2 ðx 1Þex þ C 2 4.48 3e3x þ C 4.49 1 a ln jt2 þ 4t 5j þ C 2 b sin ðt2 þ 3Þ þ C 3 c cos ð t 2Þ þ C

c 2 ln jx 3j ln jx þ 3j þ C

2 þx

þC

4.55 1 a x 2 þ 3x þ 2 2 ln jx 1j þ 5 ln jx 2j þ C 3 b x 2 9x þ 9 ln jx þ 1j þ C 2 1 3 c x þ ln jxj þ ln jx 2j þ C 2 2 4.56 a integrasjonsregler for polynom, integrere ledd for ledd b integrasjon ved delbrøkoppspalting c delvis integrasjon

b 2 ln jx 2j ln jx 1j þ C

4.43 a ex þ C

1 ln j2x 1j þ C 2

4.50 a ln jx 1j þC ln jx 1j ln jx þ 1j þ C ¼ ln jx þ 1j

4.42 1 a sin 3x þ C 3 1 b cos ð5x þ 2Þ þ C 5 1 c ðx þ 4Þ3 þ C 3

4.54 a 5 lnðj x 4jÞ þ 3x þ C 5 b 4 lnðj x þ 2jÞ þ x2 þ x þ C 2 2 c lnðj x þ 2jÞ þ x 3x þ C

b 2 ln 10

4.46 a ln jx þ 1j þ C

c ðx 2 2x þ 1Þex þ C

4.53 ln jx2 5x þ 6j þ C ¼ ln jx 3j þ ln jx 2j þ C

4.51 a 2 ln jt 1j þ 3 ln jt þ 2j þ C 3 1 b ln t þ ln jt 4j þ C 2 2 2 c ln j4t 1j þ C 4.52 2 ln jx2 4j þ C ¼ 2 ln jx þ 2j þ 2 ln jx 2j þ C

d delvis integrasjon e integrasjon ved delbrøkoppspalting eller integrasjon ved variabelskifte

4.57 1 a x4 þ x2 þ C 4 1 3 b ln jx 1j þ ln jx 3j þ C 2 2 c sin x x cos x þ C d ðx 2 2x þ 2Þex þ C e

1 ln ðx2 þ 2Þ þ C 2

4.58 De ulike metodene vil gi ulike konstanter, C, men er alle riktige framgangsmåter. Avgjør om påstanden stemmer 8 usann 5 sann 1 sann 2 sann

6 sann

3 sann

7 usann

4 sann

9 usann 10 sann

476 Fasit

4.59 18,5

4.67

4.60

b k¼6

a Begge arealene er lik

Funksjon

Antiderivert

x2 þ 2x 2

1 3 x þ x2 2x 3

3x2 þ 2x 1

x3 þ x 2 x

x2 þ 2x 1

1 3 x þ x2 x 3

3x2 þ x 2

1 x þ x2 2x 2 3

4.75 a 27,54

1 2 k . 4

b 24,73 c Svaret avhenger av hvilken metode som er brukt. Det eksakte svaret er 3e3 þ 3e þ 26 26,10.

4.68 a A ¼ 2, B ¼ 2 og C ¼ 1 b ln 3 3 ln 2 þ 2

4.76 5,27

4.69 4 a b a¼3

4.77 a 15 8 b 2,67 3

a x¼

c k 2,7, k 0,5 eller k 2,2

4.61 1 a x4 þ x2 þ C 4 3 b e2x þ 3 x þ C 2 2 c cos 3x þ C 3

d Integralene i de ulike intervallene gir samme areal.

4.62

a 9,20

Uttrykk b:

f ðxÞ d x

4.70 Svaret avhenger av hvilken metode som er brukt. Det eksakte svaret er 22 ln 2 6 9,25. Rc

f ðxÞ d x

4.63 1 4x a e ð4x 1Þ þ C 16 1 3 b x ln jxj þC 3 1 3 ðx 1Þ5 þ C c 15 4.64 3 a x 2 þ 2x þ C 2 1 b e2x þ C 2 ffiffiffiffiffi 5 p 5 c x x3 þ C 8

a —

4.66 Metoden med trapes gir svar null, det samme som at den eksakte verdien er null.

4.78 Svaret avhenger av hvor mange rektangler som er brukt i tilnærmingen. Det eksakte svaret er 114. 4.79 a —

b 8

c 9,25

4.80 a —

b 4

4.71 a 0,5

4.81 a F 0 ðxÞ ¼ 10x þ 4

b n ¼ 10 gir med venstre trappesum 0,45 og med høyre trappesum 0,55. n ¼ 50 gir med venstre trappesum 0,49 og med høyre trappesum 0,51.

b 27

b 9,24

4.82 1 3 x þ 4x 9

c 0,5

4.83 4.72 4 a 3

a 4 b e 1

c 12

5 2

16 5,33 3

4.84 4.73 a 4

b 12

c e þ 2

4.65 1 b 2

c ln 2

4.74 Svaret avhenger av hvilken metode som er brukt. Det eksakte svaret er

1 . 3

1 2

a 8

4.85 a —

b 1

c 4

4.86 a 8 b

e8 e2 3

484 5

Kapittel 4 477

4.87 1 1 a F 0 ðxÞ ¼ x2 þ x þ 2 4 3 b 4

4.96 pffiffi pffiffiffi pffiffi a 2 xe x 2e x þ C 2 pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi b 3x3 cos 3 x þ 6sin 3 x þ 6cos 3 x þ C 4.97

4.88 a 7x þ C

1 10 c x þC 10

b 10x 2 þ C

4.89 a 3 ln jxj þ C 1 b e4x þ C 4 4.90 2 a þC x 1 þC b 2x2

a —

28 3

4 3

c 3ex e x þ C

c 2 ln jx 2j þ C

4.91 1,72x 0,8x þC þC c 1500 a ln 1,72 ln 0,8 1,35x b 200 þC ln 1,35 4.92 a 3 sin x þ C 1 b sin x þ cos x þ C c 3 cos ð2x 3Þ þ C 4.93 pffiffiffiffiffi a 2 x3 þ C 2 pffiffiffiffi3ffi 1 b x þ þC 3 x2 2x c e þ C 4.94 a — 1 b x 2 þ 4 ln jxj þ C 2 4.95 x 1 a þ sin x cos x þ C 2 2 x6 x6 ln x þ C b 6 36

7 2

4.106 a ð2x þ 1Þcos x þ 2 sin x þ C

4.107 a ðx 2Þex þ C

4.108 x x 2ðx 3Þcos þ 4 sin þ C 2 2

3 2 c 2

7 d Integralet er , som er det samme 2 som arealet vi fant i a. Når arealet ligger over x-aksen, er arealet og integralet det samme.

4.100 e 2

4.109 Det gir et enklere integral på høyre side enn det integralet vi startet med. 4.110 1 1 a ln jxj þ þC 3x3 3 b ðx 3 3x2 þ 6x 6Þex þ C c xððln xÞ2 2 ln x þ 2Þ þ C

4.101 a 6 ln 6 4 ln 4 4 1,21 b 2e þ 6 ln 6 14 2,19

4.102 a 0 b 8 c I a finner vi integralet som gir positiv verdi over x-aksen og negativ verdi under x-aksen. Det viser at området over og under er like store, slik at det totale integralet er null. Når vi beregner et areal med integralregning, bruker vi kun absoluttverdien av integralet, og arealet blir dermed åtte.

4.103 a —

4.105 A–1, B–5, C–2, D– 3, E–4

b ð2x 1Þe2x þ C

4.99 a areal lik

b 9

b x2 ð2 ln jxj 1Þ þ C

4.98 a —

4.104 a —

9 2

4.111 x ln x x þ C 4.112 1 3 a 2x ln x þC 3 1 2 1 2 þC b x ðln xÞ ln x þ 2 2 4.113 a — 1 b ðsin x þ cos xÞex þ C 2 c — 4.114 Det ser ut til at Stig har integrert faktorene i et produkt hver for seg, på samme måte som vi integrerer hvert av leddene hver for seg i en sum.

478 Fasit

4.115 1 a ð2x þ 5Þ4 þ C 8 1 b ð5 xÞ6 þ C 6

4.124 1 1 a ln jxj þ ln jx þ 2j þ C 2 2 b ln jxj þ ln jx 2j þ C 1 c ðln jxj ln jx þ 6jÞ þ C 6

4.116 1 a cos ð2x þ 5Þ þ C 2 2 b sin ð t 4Þ þ C 1 c ð5 xÞ6 þ C 6

4.125 a ln jx 2j þ 2x þ C b 4 ln jx þ 2j þ 12 x2 2x þ C c ln jx þ 2j ln jx 3j þ C

4.126 a A ¼ 2 og B ¼ 2 x þC b 2 ln x þ 1

4.117 a x2 þ 2 ln j2x þ 1j þ C b 10e

þC

4.127 a ln jx 2j 2 ln jx þ 3j þ C

4.118 2 þC a 2 x b 2 ln jx2 þ xj þ C

c ex þ C

c 2 ln jxj ln jx 1j þ 4 ln jx þ 1j þ C

4.128

4.119 1 a sin 3 x þ C 3 1 b tan 2 x þ C 2

c ln jsin xj þ C

4.120 a 3

b ln

7 3

c 2

b 1 c ln ðe þ 1Þ ln 2 ¼ ln

eþ1 2

4.122 pffiffiffiffiffi R a f ðxÞ d x ¼ x2 þ 1 þ C pffiffiffi b 2 1 4.123 a ln jx þ 3j þ C b ln j4 xj þ C 1 ln j5x þ 2j þ C 5

pffiffiffi 2

1 7 a x ln jxj þ ln jx þ 2j þ C 2 2 b 1 ln jx 1j þ 4 ln jx 2j þ x2 þ 3x þ C 2 c 3 ln jx 1j þ 8 ln jx 2j þ x þ C

4.129 a ln jx 1j þ ln jx 2j þ C b ln jx 2 3x þ 2j þ C

4.121 a e 1

b ln jx þ 1j þ 2 ln jx 3j þ C

c Reglene for logaritmer gir at ln jx 1j þ ln jx 2j ¼ ln ðx 1Þðx 2Þ ¼ ln ðx 2 3x þ 2Þ.

4.130 Lucas har integrert med delbrøkoppspalting. Vi kan i tillegg integrere ved variabelskifte, som gir løsningen ln jx2 4j þ C. 4.131 a ln jxj þ x þ C 1 b þC x e þ1 c ex ln ðex þ 1Þ þ C

4.132 a ax þ C 1 b xa þ 1 þ C aþ1 4.133 211 a 5

c cos x þ C

b 2

c 1

4.134 a k ¼ 1 eller k ¼ 3 b k ¼ 2 eller k ¼ 4

4.135 a 2ex ðx 1Þ þ C 1 1 b sin 3x xcos 3x þ C 3 3 1 1 c x 3 ln jxj þC 3 3 4.136 a 4

b 4

4.137 a 2 b 6 c Integralet gir negativ verdi under x-aksen, men et areal må vi tolke til en positiv verdi.

4.138 1 Arealet er e5 148. e 4.139 — 4.140 Svaret avhenger av antall trapeser. Med 100 trapeser får vi 0,75. 4.141 — 4.142 pffiffiffi 8 a e7x þ 2 x þ C 7 1 2 b e x þ C 2 1 3x c e þC 3

Kapittel 4 479

4.143 a Arealet b

4.152 a 18

9 2

b 32

4.145 29 a ¼ 7,25 4 33 b ¼ 8,25 4 c Arealet i A er mindre enn arealet i B fordi hele området under grafen ikke er dekket. d —

4.146 Svaret avhenger av metoden. 85 ¼ 10,625. Eksakt svar er 8

a 2

þ3 b 3

4.148 a —

b 2

4.149 3 4.150 a ax2 3x þ C 1 1 b ax3 bx2 þ C 3 2 pffiffiffi c 2a x þ C 5 d x 2 þ ae x þ C 2 4.151 e2

c 18 d Summen av de to rekkene er den samme som øvre trappesum og nedre trappesum når 1x ¼ 1. Ettersom grafen til f er lineær, blir gjennomsnittet av summene det samme som arealet vi fant i a.

3 4

4.162 Eksakt areal er

4.153 a A ¼ 1, B ¼ 2 og C ¼ 3

4.163 a 3,5

b 11

ln jx 1j þ 2 ln jx 2j 3 ln jx 3j þ C

c 7,5

4.154 a 2 ln jx þ 1j þ 3 ln jx 2j þ C 1 1 b ln jx 1j ln jx þ 1j þ C 2 2

4.164 a

4.155 a 3

4.147

1 4,44 ln 2 0,15 1,07 b ln 1,15 0,5 c 0,72 ln 0,5

a 3þ

b 21 og 15

9 . Integralet er likt med arealet. 2

4.144 a —

4.161

9 2

4.156 1 a ln jx3 þ 1j þ C 3 1 b ln jx4 þ 2xj þ C 2 1 c ln j2ex þ 2j þ C 2 4.157 (arealet av en kvart sirkel) 4 4.158 — 4.159 a x3 4x b 2x3 þ x 2 þ 1 c x4 þ x3 þ x2 þ x þ 2

4.160 1 2 x x þ 1 ex þ C 2

11 6

2 . 3

ðx2 þ x 2Þ cos x þ ð2x þ 1Þ sin x þ C 2 pffiffiffiffi3ffi 2 b x ln jxj þC 3 3

4.165 2

a ex þ C

b —

c e 1

4.166 a ¼ 38 4.167 a — b — c — d 9 e Integralet blir tilnærmet lik 2, eksakt areal er 2.

4.168 f ðxÞ ¼ x2 2x 3 4.169 —

480 Fasit

4.170 2x þC a ln 2 1,17x b þC ln 1,17

4.178 —

5.9 a 2 ð1 e 4 Þ

4.179 a etter litt over 16,5 timer

5.10 a —

c e 2x þ C 2 pffiffiffi d xx ln x þ C 3

b —

b — 2 c ðe e 2 Þ 11,39 2

c ca. 15,2

4.180 a 22

4.171 1 1 a x 3 þ x2 þ ln jxj þ C 3 3 1 1 b x 2 ðln x Þ þ C 2 2 7 c 3

5.11 2 2

b 2

Kapittel 5

5.12 1C, 2D, 3B, 4A

5.1 a 50 b De første 10 s sykler han 50 m.

4.172 a sin x þ ln jxj þ C 1 1 b x e2x þ C 2 2

c 325 d Prøveturen tar 40 s, og han har syklet 325 m.

c ln jx2 2x 3j þ C

4.173 a — pffiffiffi pffiffiffi 5 2 2 , , b og 2 4 2 4 pffiffiffi c 2 2

pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b 4 2x2 1 þ C

xþ1 c ln þC xþ3

5.3 a —

b ca. 1,86 m3

b —

5.15 — 5.16 — 5.17 a — b —

b ca. 3540

e 15,74 cm

5.6 a —

b ca. 7662 kr 2

5.14 416 15

c 43,74 cm2

5.7 a f ðtÞ ¼ 500 1,04t

4.177

5.13 3 10

5.5 a —

b 48 millioner kr

4.176 —

a —

b 0,17 liter

d 130,33 cm3 ¼ 130,33 ml

c I løpet av to uker får personen i seg totalt ca. 3540 strålingsenheter.

4.175 a 2

5.2 a 1,7 liter

5.4 8058,6 Hjertet har slått om lag 8060 ganger under hele løpeturen.

4.174 1 1 a x 3 þ 3x þ e2x þ C 3 2 2 b cos ðx Þ þ C 1 1 c e2 þ þ C 4 4

5.8 —

b —

c 4 millioner kr

5.18 a 8 2 5.19 — 5.20 — 5.21 —

b 4 2

Kapittel 5 481

5.22 a —

5.27 —

5.38 a f ðxÞ ¼ 27,56x2 þ 206,22x þ 4802

b 7,6 g

b 4896

c 18,8 cm d I oppgave b bruker vi modellen innenfor det gitte dataområdet. I oppgave c bruker vi modellen til å beskrive utvikling ut over dataområdet. Vi regner oftest at anslaget er sikrest innenfor et gitt dataområde, så oppgave b er det sikreste.

5.23 a lðvÞ ¼ 0,071v2 þ 0,0074v 1,3425 b lðvÞ ¼ 0,0078v2,0038

5.28 —

c ca. 124

5.29 —

d ca. 30 541

I 2020 avtar tilflyttingen med 124 personer per år. Den totale tilflyttingen til kommunen fra 2014 til 2020 er 30 541 personer.

5.30 a — b f ðxÞ 0,2sin ð5,0x þ 4,7Þ

e ca. 5090 personer

5.31 a —

5.39 —

c 0,36 s

b ymaks ¼ 0,35 m

c Andregradsmodell: 109 m Potensmodell: 114 m d Begge modellene stemmer bra med målingene, men vi trenger målinger for høyere fart for å avgjøre dette. Kun potensmodellen gir bremselengde null når farten er null. Potensmodellen er tilnærmet lik 0,008v 2 . Derfor er bremselengden

5.40 a ca. 22 800 kr

5.32 —

5.41 a 26 000 m ¼ 26 km

5.33 a —

b f ðxÞ ¼ 5sin

x 100 2

b 80 m=s

c 20 km

c —

5.42 ca. 1780

tilnærmet proporsjonal med v .

5.24 a —

Avgjør om påstandene stemmer 8 sann 5 usann 1 usann 2 sann

6 usann

9 sann

b i mars 2012

3 usann

7 sann

10 usann

c —

4 sann

d f 0 ð10Þ ¼ 30. I 2020 vokser folketallet i Norge med 30 000 personer per år.

b ca. 950 kr

5.43 a —

b ca. 625 personer

5.44 ca. 91,5 tonn

e —

5.34 a sylinder

b 54

5.45 ca. 7,5 minutter

5.25 a —

5.35 a 100 m

b 2 m=s2

5.46 a —

b ca. 170 000 kr

b 1084 c Det totale salget av spinner i løpet av 52 uker er om lag 28 974. d ca. 557.

5.26 k 0,015

5.36 100 2 m a 3

b 18 000 m

b f ð91Þ 216 057 liter c ca. 16 618 500 liter

5.37 a —

5.47 a f ðtÞ ¼ 150 000 1,006t

16 3,35 15

d ca. 4,7 liter

482 Fasit

5.48 a 391 innbyggere

5.61 a TðxÞ ¼ 5132x 2 98x þ 80

5.70 a —

c —

b 3163 innbyggere

b TðxÞ ¼ 78,5 0,99

b 55,6 m=s

d 42 s

c 395 innbyggere

5.49 a 21

c 11,5 C, som er lavere enn romtemperaturen.

b ðln 7 ln 3Þ

5.62 —

5.50 4

5.63 —

5.51 a —

b 2

8 2 1 3

5.64 a — b —

5.52 6 2

c f ðxÞ ¼ er frekvensen til tonen fra utgangstangenten 1,05946x .

5.53

d Frekvensen øker med ca. 5,95 % for hvert trinn.

a —

b —

c —

5.54 40 a 3

752 b 15

5.55 a —

c —

b ca. 42

d ca. 973

8 3

f — g Tolv trinn. Tonen har samme navn som tonen fra utgangstangenten. h Tonene høres ut som samme tone, men den med høyest frekvens klinger lysere. I musikk kaller vi sammenhengen mellom to toner et intervall, og dette intervallet kalles en oktav.

5.56 —

5.65 —

5.57 a —

e —

b 1

16 105

5.58 — 5.59 a lineær modell etter Ohms lov

5.66 — 5.67 — 5.68 —

5.71 — 5.72 — 5.73 a 857 126. Det viser den samlede produksjonen i perioden 2020–2030. b 860 693. Det er tilnærmet likt fordi x 1,04x ¼ eðln 1,04Þ e0,04x .

5.74 diameter ¼ høyde ¼ 7,64 cm 5.75 — 5.76 a 2,3 dl b Hver innbygger drakk totalt ca. 82 liter melk i 2021.

5.77 a — b ca. 324 enheter c ca. 16 400 enheter

5.78 a sylinder b 4 5.79 — 5.80 a f ðxÞ ¼ 26,9sin ð0,595x þ 3,1Þ þ 60,5 b 701,3 mm

b f ðxÞ 7,6I

5.69 a f 0 ðxÞ ¼ 5e 5x og g 0 ðxÞ ¼ 2cos x

5.60 —

b for eksempel y ¼ e x

c Nedbøren øker raskest når x 5,31, altså i mai–juni. Da øker den med ca. 16 mm per måned.

c for eksempel y ¼ sin x eller y ¼ cos x

d ca. 60,6 mm per måned

d det finnes uendelig mange løsninger

Kapittel 5 483

5.81 a vðxÞ ¼ 0,0353x 2 þ 0,920x þ 3,81 b —

5.82 1: y1 ¼ 101,7 0,895x 2: y2 ¼ 0,44x2 þ 6,21x þ 62,71 3: y3 ¼ 1,90x þ 60,1

5.83 —

pffiffiffi b 2 1

b oktober c 15 547,46. Dette er det samlede energiforbruket for boligen i 2019.

5.93 Potensmodell: f ðxÞ ¼ x2

d ca. 13 941 kr

5.94 a —

5.105 a 0,715 dm3 7 dl vann

b —

c 0,05 Nm

b ca. 0,1 dm3

5.95 —

5.84 f ðxÞ ¼ 2x

a —

5.104 a EðtÞ ¼ 442,88sin ð0,52t þ 1,16Þ þ 1108,49

5.92 ca. 840 mm

c 6,3 kg

5.85

5.91 60 188

c þ1 2 2

5.86 — 5.87 — 5.88 a — b 2

pffiffiffi pffiffiffi 1 5 1,48 c ln 5 2 þ 2 4

c ca. 3,37 dm2 d ca. 3,75 dm2

5.96 2 e

5.106 ca. 6,8 s

5.97 a f ðxÞ ¼ 2 300 000 0,955x b ca. 8,4 millioner liter

b 27 % per år

5.98 —

5.108 a gðxÞ ¼ 60,28 þ 51,42 sin ð0,51x þ 0,62Þ

5.99 Areal: 6,145 5.100 1 a 6

5.89 a y 0 ¼ 2e 2x , y 0 ¼ 2 y b —

5.102

c —

a Lars har rett

e y ¼ e 3x er også en løsning på likningen.

5.90 a eksempelvis f ðxÞ ¼ 0,39x2 þ 5,45x 0,64 b ca. 103 c Bilen kjører totalt ca. 103 m de første åtte sekundene.

b Perioden er 12,54. Det tar om lag 12 timer mellom hver gang vannstanden er på sitt høyeste (flo), og om lag 12 timer mellom hver gang vannstanden er på sitt laveste (fjære).

5.101 1 a a¼ 2

d —

5.107 a ca. 107 000 tonn

c 148 tilsvarer likevektslinja, altså vannstanden midt mellom flo og fjære.

b a¼3

3 10

130 tilsvarer amplituden, altså på det høyeste er vannet 278 cm over sjøkartnull og på det laveste 18 cm over sjøkartnull.

5.103 a —

d kl. 02:27, kl. 12:13 og kl. 15:00

b 16 2

5.109 a —

256 4 14 2 og 3 256 4 32 2 Vg ¼ 3 d F ¼ 16 2 , altså uavhengig av h. c Vf ¼

e k¼4

b 40 2

c 126 2

5.110 a —

c —

b —

d ca. 138 slag per minutt

484 Fasit

5.111 a 16,6 timer

Kapittel 6

b 15,2

6.1 —

c etter ca. 8,6 timer d etter 17 timer

5.112 ca. 26,5

6.10 ! 35 5 a AB ¼ , 7, og 6 2 ! 35 5 BA ¼ , 7, 6 2 b —

6.2 Að3, 1, 2Þ

6.11 pffiffiffi pffiffiffiffiffi a 50 ¼ 5 2

Bð 2, 2, 1Þ Cð1, 2, 1Þ

5.113 a f ð30Þ ¼ 0,16. Farten er 0,16 m=s innover i fjorden.

6.3 a xz-planet

b 16 m og 47 m

b yz-planet

c Størst fart ut av fjorden: 1,0 m=s når x ¼ 0, altså ved overflaten

c ingen av delene

Størst fart inn i fjorden: 0,18 m=s ved 26 meters dybde

b 10

6.12 k¼8

d z-aksen, i xz-planet og i yz-planet e xy-planet

f Det går mest sjøvann ut av fjorden på dette tidspunktet.

6.4 a for eksempel ð0, 1, 1Þ

1 1 1 , , 5 2 10

c ½5, 3, 3

d ½1, 7, 5 e ½1, 12, 6

c for eksempel ð0, 0, 1Þ d for eksempel ð0, 1, 0Þ

6.5

b 3n 1 trekanter

a 3

b 7

pffiffiffiffiffi 14

pffiffiffiffiffi 53 d 2

c 32 0,5 ¼ 4,5

6.14 5 11 3 a , , 3 12 4 7 5 3 , , b 6 24 8

9 9 , 2 2

7 5 3 , , 3 12 4

14 5 3 , , 3 6 2

b for eksempel ð1, 0, 1Þ

5.114 a 1, 3, 9 og 27 trekanter

6.15

d 6,75, 10,125

6.6

e OðnÞ ¼ 2 1,5n

a ð2, 0, 1Þ

7 , 3, 5 2 9 1 , ,0 d 4 2

f Omkretsen går mot uendelig. g Arealet går mot null.

6.13 a ½6, 4, 8

f i alle akseplanene og på alle aksene

d — e Om lag 7,3 m2 =s. Forteller antall kubikkmeter sjøvann som går ut av fjorden.

pffiffiffiffiffi 14 pffiffiffiffiffiffiffiffi 105 d 4 c

b ð1, 2, 5Þ

a ~ a ¼ 2~ b

d ~ a ¼ 10~ b

b ikke parallelle

~ e ~ v ¼ w

1 c ~ u¼ ~ v 2

f ikke parallelle

6.16 6.7 a 0,9 m 6.8 a —

b —

c 4,2 m

c —

d 3

6.9 a ½2, 3, 2

c ½1, 8, 2

b ½2, 1, 5

d ½ 2, 5, 1

a t¼

4 b t ¼ og s ¼ 2 3

2 3

6.17 a 4

b 2

c 34

d 0

6.18 a 3

b 6

c 0

d 6

Kapittel 6 485

6.19 a ortogonale

6.31 a 1,1 10 15 N

c 0 eller 180

b ikke ortogonale

b 90

c ortogonale

6.32 a 90 på armen

6.20 for eksempel ½0, 4, 3 og ½3, 5, 0

9 7 b k ¼ 8 a k¼

c k ¼ 3 eller k ¼ 2

6.22 a 29,2

c 84,1

b 90

d 142,8

c —

b 9,8 Nm

b k<3

c k>3

6.24 —

c e~z

d ~ 0

6.26 — 6.27 a ½3, 0, 6

b 14

e —

b ½ 6, 3, 2

6.28 a ½ 8, 6, 13

c ½14, 16, 7

b ½ 2, 2, 4

6.29 t¼3

3 1 3, , 2 2

c x þ 6y þ 4 ¼ 0 d 5x þ 8y þ 2z

9 ¼0 5

6.43 a — ! b P og Q er i planet, slik at PQ ? ~ n. c —

d 90 og 270 3 (t ¼ eller t ¼ ) 2 2 e —

e Nei, vi får andre tall i likningen, men alle likningene kan forenkles til 2x y þ z 1 ¼ 0.

6.35 a 30

d —

6.44 a Punktet ligger i planet. b — c ~ n ¼ ½2, 1, 4 b 120

d ð3, 0, 0Þ, ð0, 6, 0Þ og

6.36 a t ¼ 4 eller t ¼ 4

e —

b —

6.45 a nei

6.37 11 3

b parallelt med x-aksen

3 0, 0, 2

d parallelt med z-aksen

6.38 25 a 6

25 2

6.46 a z¼6 b x¼3

a 12

6.40 —

c parallelt med y-aksen og z-aksen

6.39 6.30 a k ¼ 2 og t ¼ 1 5 12 b k ¼ og t ¼ 2 5 ﬀ ða, bÞ ¼ 180

6.42 a 2x þ 4y þ 3z þ 5 ¼ 0

c 0 og 180 (t ¼ 0 eller t ¼ 2 )

6.34 87 b e~y

d Begge har volum 14.

b x þ 4y 3z 19 ¼ 0

6.33 a 90 og 270 3 (t ¼ eller t ¼ ) 2 2 b 0 og 180 (t ¼ 0 eller t ¼ 2 ) Da er ~ ajj~ b og ~ c ¼~ 0.

6.21

6.25 a e~y

6.41 a 42 c 28

d ortogonale

6.23 a k¼3

9 2

c y ¼ 4

486 Fasit

6.47 a ~ n ¼ ½2, 2, 3 x þ 2y þ 3z 7 ¼ 0

6.55

b ~ n ¼ ½11, 4, 5 11x þ 4y þ 5z 15 ¼ 0

6.56 a sentrum i ð 3, 1, 1Þ og radius 5 1 b sentrum i , 0, 2 og radius 1 2

x þ ðy 4Þ þ z ¼ 16 2

c ~ n ¼ ½12, 4, 3 12x þ 4y 3z 12 ¼ 0 d ~ n ¼ ½0, 0, 1 z¼4

b —

1 x þ z ¼ 0 2

c x ¼ 1 og x ¼ 11 pffiffiffi d 5 2 6 1,07

6.49 a 80,4

b 61,9

c 90

6.50 30,8 med x-aksen, 22,6 med y-aksen og 50,2 med x-aksen 6.51 pffiffiffi 7 6 2,86 a 6 pffiffiffiffiffi 21 b 0,65 7

c 1

d etter 0,41 s

b 1,12 s

e 2,52 m over gulvet

c 7,2 m

6.63 a —

b b1 ¼ ð60, 3Þ, b2 ¼ ð80, 2,5Þ d Nei, men så nært at det kommer an på størrelsen. e 0,79 m

2 11 81 ðx 3Þ2 þ ðy 1Þ2 þ z ¼ 2 4

6.65 a —

6.59 x þ y þ z ¼ 18 og x þ y þ z ¼ 0

6.66 a —

6.60 a

b for eksempel 8 < x ¼ 5 6t l: y ¼ 2t : z ¼ 6 2t

6.52 a for eksempel ð1, 1, 1Þ, ð2, 1, 0Þ, ð0, 1, 2Þ

3 2

1 2

b —

c —

6.67 a l:

b l:

6.54 2

a ðx 5Þ þ ðy 1Þ þ ðz þ 2Þ ¼ 9 b ðx þ 2Þ2 þ y2 þ ðz 7Þ2 ¼ 16 c x 2 þ y2 þ z2 ¼ 2 d x2 þ y2 þ ðz 3Þ2 ¼ 9

b — 2 2

pffiffiffi 2

og x ¼

2 þ 2

b —

c —

d —

c x¼

c 0,35 m

c ð6,8, 4,9Þ

6.58

pffiffiffi d 3 1,73

6.53 a — d d b , 0, 0 , 0, , 0 og a b d 0, 0, c

b ð3, 2Þ

6.64 a —

6.57 a z ¼ 2 og z ¼ 10

6.48

6.62 a —

pffiffiffi 2 c l:

d —

6.61 a —

d l:

b ð 1, 0Þ pffiffiffi 3 1,37 og c y¼ 2 pffiffiffi 3 y¼ 0,37 2

6.68 —

8 < x ¼ 1 þ 3t y ¼2 t : z ¼ 1 þ 4t 8 < x ¼ 5 þ 4t y ¼ 3t : z ¼2þt 8 < x ¼ 2t y¼t : z ¼ 3t 8 <x ¼ 3 y¼3 : z ¼ 1 þ 5t

6.69 a l : ð5, 2, 0Þ m : ð7, 7, 0Þ b ð3, 1, 2Þ

c 2

Kapittel 6 487

6.70

1 a ~ vl ¼ 2, , 1 og v~m ¼ ½ 1, 4, 1 3 b 116,9

6.78 a —

6.83 ! ! a AB ¼ ½3, 3, 4 , AC ¼ ½3, 3 4 ! ! AB AC ¼ 16

b 2,9 s c 49 m

c 63,1

b ﬀ B 59,0 , A ¼ 15

d 10 m

d l : 63,7 , m : 76,4

c 4x þ 3z þ 4 ¼ 0

e idet ballen blir sparket, 22,8 m=s

4 5 e 4x þ 3z 8 ¼ 0

6.71 a 20,4

b 18,7

c 9,2

6.72 pffiffiffiffiffiffiffiffi 410 6,75 a 3 pffiffiffiffiffiffiffiffi 4 861 5,59 b 21 pffiffiffiffiffiffiffiffi 957 c 0,94 33

6.79 a — pffiffiffiffiffi b 41 m=s ¼ 6,4 m=s c — d j~ aðtÞj ¼

pffiffiffiffiffi 29 m=s 5,4 m=s

Avgjør om påstandene stemmer 8 usann 5 sann 1 sann 2 sann

6 usann

9 sann

3 usann

7 sann

10 sann

6.73 pffiffiffiffiffi x-aksen: 13

4 sann

y-aksen: 5 pffiffiffi z-aksen: 2 5

6.80 ! ! a AB ¼ ½8, 0, 6 , j AB j ¼ 10 b t ¼ 2

6.74 a — b ð1,40, 0,07, 6,16Þ

6.75 a — b p1 : ð0, 10, 0Þ p2 : ð0, 18, n2 2 Þ, n 2 Z c 6,37 m

6.76 a —

d 4,3 m

b 8,1 m=s

e —

c etter 0,71 s

f 6,6 m

6.77 a 40 s

d 4,7 m=s

b —

e 0,74 m=s2

c —

f —

12 5 g 13 f

c 3x þ 5y þ 4z 10 ¼ 0 10 5 d , 0, 0 , ð0, 2, 0Þ og 0, 0, 3 2 8 x ¼ 0 > < e l: y ¼ 0 þ 2t > :z ¼ 5 5t 2 2 f —

6.84 a — b 11,2 m=s c ~ a ¼ ½0, 2,4, 0,5 d etter 1,74 s 3,32 m over underlaget

6.85 — 6.86 Að1, 3, 0Þ Bð 1, 3, 2Þ Cð3, 1, 1Þ Dð 2, 2, 1Þ

6.87 a ingen av delene b i yz-planet

50 g V¼ 3

c på y-aksen og i xy-planet og yz-planet

6.81 ! ! a AB ¼ ½8, 0, 6 , j AB j ¼ 10 8 < x ¼ 3 þ 3t b l: y ¼ 1 : z ¼ 4t

d i xz-planet

c ð0, 1, 4Þ og ð6, 1, 4Þ d 3x þ 4z þ 16 ¼ 0 og 3x þ 4z 34 ¼ 0

6.82 for eksempel Cð4, 7, 1Þ

6.88 a ð5, 0, 0Þ eller ð 5, 0, 0Þ b ð0, 0, 5Þ eller ð0, 0, 5Þ c ð4, 3, 0Þ, ð4, 3, 0Þ, ð 4, 3, 0Þ eller ð 4, 3, 0Þ pffiffiffi d ð1, 2 2, 4Þ

6.89 a 12 b 5

c 13 pffiffiffiffiffi d 34

488 Fasit

6.90 ð2, 1, 4Þ, ð2, 1, 4Þ, ð2, 1, 4Þ, ð2, 1, 4Þ, ð 2, 1, 4Þ, ð 2, 1, 4Þ, ð 2, 1, 4Þ og ð 2, 1, 4Þ 6.91 a 3 pffiffiffiffiffi b 53

pffiffiffiffiffi 19 pffiffiffiffiffi d 30

6.99 a k ¼ 2 1 b l¼ 2 c k l ¼ 1. Dette gjelder generelt hvis ~ u ¼ k~ v og ~ v ¼ l~ u.

6.100

6.92 a ð4, 1, 1,8Þ og ð9,8, 2,4, 0,03Þ

pffiffiffi 1 5 2 , 2 2

a —

b —

d —

b 1,2 s

6.101

pffiffiffi 1 6 uj ¼ a t ¼ , j~ 2 2 pffiffiffiffiffi b t ¼ 4, j~ vj ¼ 13

c 10,1 m

6.93 ! a AB ¼ ½ 2, 4, 1 og ! BA ¼ ½2, 4, 1

c 143,2

b 61,1

d 45

6.108 t ¼ 3 _ pffiffiffi 6 2 t¼ 2 _ pffiffiffi 6 2 t¼ 2 _ 15 t¼ 2 6.109 a for eksempel ½2, 1, 0

1 c t ¼ , j~ vj ¼ 1 3 d t ¼ 0, j~ vj ¼ 4

b —

6.107 a 40,9

b for eksempel ½0, 4, 2 c for eksempel ½ 4, 0, 1

6.94 a ½1, 4, 10

c ½2, 5, 2

b ½5, 6, 3

6.95 pffiffiffiffiffi a 11 pffiffiffi b 2

1 7 1 , , 6 4 3

pffiffiffi 5

6.102

pffiffiffiffiffi ! 1 41 a t ¼ og j PQ j ¼ 2 2 pffiffiffiffiffi ! 2 b t ¼ og j PQ j ¼ 10 3 pffiffiffiffiffi ! 1 89 c t ¼ og j PQ j ¼ 2 2

d 3

6.96 a ½12, 3, 5 7 5 b , , 2 2 2 c ½3, 9, 2

d ½ 3, 9, 2 8 11 1 e , , 3 3 3 f ½ 14, 10, 8

6.103 a 3

pffiffiffi c 3 2

pffiffiffi e 3 3

b 0

d 6

f 4,60

6.104 a 7 b 61

6.97 a parallelle, ~ u ¼ 3~ v

c 10 5 d 3

b parallelle, ~ u ¼ 5~ v

6.105 a ikke ortogonale

c ortogonale

c ikke parallelle

b ortogonale

d ortogonale

1 d parallelle, ~ u¼ ~ v 2

6.98 a —

b t¼3

6.106 a t ¼ 6

c t ¼ 2

b t¼4

d t ¼ 3 eller t ¼ 3

d for eksempel ½ 2, 1, 1

6.110 a for eksempel ½0, 4, 3 3 b for eksempel , 2, 0 2

6.111 a e~y

b e~x

c e~z

d e~x

6.112 a ½1, 1, 1

b ½0, 2, 0

6.113 a ½ 1, 5, 2

c ½4, 6, 7

b ½4, 22, 2

d ½6, 9, 30

6.114 a ½ 8, 19, 7

b ~ v ¼ ½ 1, 2, 0

6.115 — 6.116 ! ! ~ AB AC ¼ 0 Punktene ligger på en rett linje.

Kapittel 6 489

6.117 a x1 e~x þ y1 e~y þ z1 e~z og x2 e~x þ y2 e~y þ z2 e~z

6.127 a parallelt med z-aksen

b —

c parallelt med x-aksen og y-aksen

c —

d parallelt med x-aksen

b ikke parallelt

6.137 a Sð3, 1, 0Þ og r ¼ 3

d —

6.128 a x þ 4y þ 11z 12 ¼ 0

6.118 a 300 N

b — c nei

b 12x 17y þ 28z ¼ 0

b reduseres med 16 Nm

6.119 2 3 b s ¼ 1 _ s ¼ 1 og t ¼ 2 a s ¼ 3 _ s ¼ 3 og t ¼

6.120 pffiffiffiffiffiffiffiffi 374 a 2

b 7

6.136 a Sð5, 3, 0Þ og r ¼ 2 1 3 b S , 1, og r ¼ 1 2 4

6.129 3 , 0, 0 , ð0, 3, 0Þ og ð0, 0, 9Þ a 2 b 81,52 c 8,48

6.138 a S ¼ ð3, 0, 2Þ og r ¼ 5 b ð3, 0, 7Þ c 3x þ 4z 42 ¼ 0

6.139 a S ¼ ð1, 2, 3Þ og r ¼ 4

6.130 1 sann

3 usann

5 usann

b ðx þ 1Þ2 þ ðy 3Þ2 þ ðz 2Þ2 ¼ 9

2 usann

4 sann

6 sann

c ja d nei

6.121 40 b 3

a —

c 80

6.122 a — ! ! b AB ¼ ½2, 3, 1 , BC ¼ ½ 5, 2, 1

c 3, 81,6

pffiffiffiffiffiffiffiffi 411 10,1 d ½ 1, 7, 19 , A ¼ 2 46 e 3

6.123 — 6.124 — 6.125 — 6.126 a 2x þ 2y þ 3z þ 10 ¼ 0

6.131 a — pffiffiffiffiffi 12 61 1,54 b 61 c 22,6

6.140 pffiffiffi pffiffiffi ðx 2 2Þ2 þ ðy 2 2Þ2 þ ðz 4Þ2 ¼ 16, Pð0, 0, 4Þ

6.132 a ð 2, 0, 0Þ, ð0, 2, 0Þ og ð0, 0, 3Þ pffiffiffiffiffi b 22 4,7 c 2y þ 3z ¼ 0

6.142 a —

b ð1, 1Þ

6.133 a ð1, 0, 0Þ, ð0, 3, 0Þ og ð0, 0, 2Þ

6.143 a —

c —

b —

b 5,8 m

d 2,0 s

c 1 15 12 24 d , , 7 7 7

6.144 a

6.134 a ðx þ 4Þ2 þ ðy 1Þ2 þ z2 ¼ 100 2

b ðx 3Þ þ ðy 2Þ þ ðz þ 5Þ ¼ 3

b 3x þ y 7 ¼ 0 1 1 3 c xþ yþ z 6¼0 3 2 4 d y¼1

6.141 a Sð1, 2, 3Þ og r ¼ 2 pffiffiffi b Sð1, 2, 4Þ og r ¼ 3

6.135 ðx 3Þ2 þ ðy 3Þ2 þ ðz þ 8Þ2 ¼ 18

c ð0, 2Þ

1 4

1 2

490 Fasit b —

pﬃﬃ 3

og x ¼ 2 2 ln x d f ðxÞ ¼ 3 ln 2 c x¼2

6.145 a —

6.161 a —

b l: 48,2 , m: 65 pffiffiffi 2 c 5

b xþyþz 1¼0

6.153

b —

pffiffiffi 3 1 , c E¼ ð0,091, 0,25Þ 4 4 6 d m 3,14 m

6.146 a — b ð2, 1Þ og ð2,31, 1,57Þ c 1,09 m

6.147 8 <x ¼ 2 t a l: y ¼ 1 þ t : z¼3 8 < x ¼ 4 3t b l: y ¼ t : z ¼ 7 þ 4t 8 < x ¼ 6t c l: y ¼ 1 2t : z ¼ 6 15t 8 < x ¼ 3 þ 2t d l: y ¼ 0 : z ¼ 3t

b — 60 123 c s¼ , t¼ 79 79 5 pffiffiffiffiffiffiffiffi 395 1,26 d 79

pffiffiffi b 2 6

14 14 14 , , 3 3 3

b 1

6.157 a 7,7 m=s

d —

b 2,37 m

e —

c —

6.162 a ~ c¼

1 7 , 2, 4 4

b ~ c¼

7 9 , 2, 8 8

7 9 d ~ c ¼ , 4, 4 4

c 49,8

6.156 a —

1 6

1 7 c ~ c ¼ , 2, 4 4

6.154 8 < x ¼ 1 4t a l: y ¼ 3t : z ¼ 4 þ 8t 249 120 36 b , , 89 89 89

6.163 a nei, 35,3 8 <x ¼ 1 þ t b l: y ¼ 1 t : z ¼ 2t 5 1 4 c , , 3 3 3 8 < x ¼ 2t d m: y ¼ 0 : z ¼2 t 6.164 a 10

c 7,9 m=s

b ð3, 1, 2Þ

6.151 a —

a ð0, 0, 0Þ og

b ð 8, 8, 0Þ

6.149 a l: ð5, 2, 0Þ, m: ð7, 7, 0Þ

b —

6.155 a ð2, 3, 5Þ

6.148 —

6.150 a ja

6.152 a 74,2

6.158 a 2,7 m=s

d 2,8 m

f —

b —

e 6m

g —

b t 3,07

6.165 a t ¼ 3 1 b t¼ 3

c 7s

6.159 a —

c —

b 8 m=s

d —

6.160 a — b ~ rð1Þ ¼ ð 0,16, 1,69, 16,4Þ c ~ vð1Þ ¼ ð9,8 105 , 1,05 107 , 8,2 105 Þ d —

6.166 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a 3t2 10t þ 13 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b 5t2 þ 14 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi c 2t2 2t þ 2 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi d s2 þ 2

c —

Kapittel 6 491

6.167 a ja b ð0, 4, 0Þ pffiffiffiffiffi 40 89 4,24 c 89 8 < x ¼ 12 11t d m: y ¼ 12 þ 12t : z ¼ t

6.168 a — b 5x þ 15y þ 3z 15 ¼ 0 c

5 2

pffiffiffiffiffiffiffiffi 15 259 0,93 259 e 60,8 d

6.169 a s ¼ 2 og t ¼ 1 1 b s ¼ og t ¼ 2 3

6.173 1 1 og q ¼ 3 3 1 b p ¼ og q ¼ 3 3 2 4 1 c p ¼ og q ¼ eller p ¼ og 3 3 3 11 q¼ 3

a p¼

6.174 3 7 a , 0, 0 , ð0, 2, 0Þ og 0, 0, 2 2 1 b 4 c 71,7 d 4y þ 7z ¼ 0

6.175 a — b 6x þ 3y þ 4z 12 ¼ 0

b ðx 2Þ2 þ ðy þ 1Þ2 þ ðz 3Þ2 ¼ 9 c — d z¼6 e ð4, 1, 4Þ og ð0, 0, 1Þ pffiffiffi 5 2 f 2

6.171 s t ¼1 6.172 a 54,7 8 <x ¼ 0 b l: y ¼ t : z ¼ t c y z ¼0

1 1 5 , , 3 3 3 2 2 4 , , 3 3 3

6.179 a Sð4, 3, 2Þ og r ¼ 4 b ðx þ 1Þ2 þ ðy 2Þ2 þ ðz 3Þ2 ¼ 9 pffiffiffi c 2 2 d — e 2x y þ 2z 11 ¼ 0 f 2

6.180 a — b v ¼ 68,8 c 1,2 pffiffiffi d x þ ð 6 þ 1Þy z ¼ 0 pffiffiffi e ð 6 þ 1Þx y ¼ 0

c 4

pffiffiffiffiffi 12 61 1,54 61 e 59,2 d

6.170 pffiffiffiffiffi 5 53 a S 1, 2, og r ¼ 2 2

6.176 a — 7 b 2 c 3x þ 6y þ 2z 6 ¼ 0 d 1 e

6 7

6.177 a — pffiffiffiffiffi b 22 c S ¼ ð3, 2, 5Þ og r ¼ 5 d Planet skjærer kuleflaten.

6.181 a 3x þ 4y þ 2z 13 ¼ 0 13 15 b , 0, 0 , 0, , 0 og 3 4 13 0, 0, 2 c z-aksen 6.182 ! a AB ¼ ½3, 1, 1 ! AC ¼ ½1, 2, 2 b 5 c y z ¼1

6.183 ! a AB ¼ ½ 2, 0, 2 ! AC ¼ ½ 5, 1, 1 b ½2, 12, 2 ¼ 2 ½1, 6, 1

6.178 a xþyþz 1¼0 8 <x ¼ 2 þ t b l: y ¼ 2 þ t : z ¼4þt

c x þ 6y z 8 ¼ 0 d

41 3

e t¼

pffiffiffi pffiffiffi 6 6 _t ¼ 2 2

492 Fasit

6.184

a Að4, 0, 0Þ, Bð0, 4, 0Þ og C 0, 0, 16 16 b t ¼ _t ¼ 15 15 pffiffiffi pffiffiffi 2 3 3 2 3 3 c t¼ _t ¼ 3 3

6.185 a ð 3,4, 0, 0,8Þ og ð1,4, 0, 7,2Þ b 3 c 4x þ 16y þ 3z 16 ¼ 0 d —

6.186 pffiffiffiffiffi 2 62 0,508 a 31 149 b t¼ _ t ¼ 17 17

4 t

6.187 a — b 5,1 lengdeenheter/s

6.190 a — pffiffiffi b 3 3 3

c 3,18 s

c —

6.188 a — b v1 ¼ 2,2 m=s og v2 ¼ 12,2 m=s c ved t ¼ 0,28 s og t ¼ 0,65 s d 0,95 m

6.189 ð 13, 15, 2Þ eller ð11, 13, 6Þ

pffiffiffiffiffi pffiffiffiffiffi 6 15 þ 20 6 15 þ 20 d t¼ _t ¼ 7 7

6.191 13 a 2 b t ¼ 1,8 _ t ¼ 7,85 _ t ¼ 9,29 c t¼7

STIKKORD A absolutt vinkelmål 21 akselerasjon 423 akselerasjonsvektor 423 akseplan 349 akser 349 amplitude 87 analysens fundamentalsetning 220 annuitetslån 158 antiderivert 221 areal 381 aritmetisk følge 135 aritmetisk rekke 145 avstand 352, 396

F fart 423 fartsvektor 423 formel – eksplisitt 140, 143 – rekursiv 140 forskyvning 81 – horisontal 81 – vertikal 81 frie svingninger 316 – med demping 319 følge 134 – aritmetisk 135 – geometrisk 137

B bestemt integral 219 bevis – direkte 175 – indirekte 175 buelengde 20

G generell løsning 29 geometrisk følge 137 geometrisk rekke 149 gjennomsnitt 282 grunnstilling 10 gyldighetsområde 305

D delbrøkoppspalting 241, 251 delvis integrasjon 241 derivasjon 105 direkte bevis 175 divergere 167 E eksplisitt formel 140, 143 ekstrapolere 305 ekvivalens 173 enhetsformelen 40 enhetssirkelen 10 Eulers formel 311

H harmonisk svingning 87 horisontal forskyvning 81 horisontal strekking 84 høyrehåndsregelen 373 I identitet, trigonometrisk 40 implikasjon 173 indirekte bevis 175 induksjon 178 induksjonsbevis 178

integral – bestemt 219 – ubestemt 226 integrasjon 206 – brøk med lineær nevner 248 – delvis 241 – ved delbrøkoppspalting 251 – ved variabelskifte 246 interpolere 305 K komplementvinkler 14 konvergensområde 169 konvergere 167 koordinat 348 koordinatakse 349 kuleflate 400 – radius 400 – sentrum 400 kurver 404 kurvetilpasning 93 kvadrant 12 L lengde av vektor 360 likevektslinje 75 løsning, generell 29 lån – annuitets- 158 – serie- 158 M mengde, samlet 280–281 modellere 314 modelleringsalgoritme 311 moteksempel 182 motsatte vinkler 11

494 Stikkord N nedre trappesum 207 Newtons 2. lov 314 Newtons avkjølingslov 311 normal 368 normalvektor 388 nåverdi 160 O omdreiningsfigur 287 omdreiningslegeme 287 omløp 12 ortogonale vektorer 368 P parallelle vektorer 363 parallellepiped 381 parameter 353 parameterframstilling 404 periode 75 plan 388, 396 posisjonsvektor 422 problemløsning 53, 186, 243, 394 programmering 311–312, 315 – rekursiv 141

R radianer 21 regneregler for vektorer 361 regresjon 93, 291 rekke 145 – aritmetisk 145 – geometrisk 149 rekursiv formel 140 rekursiv programmering 141 rekursjon 141 retningsvektor 410 S samlet mengde 280–281 serielån 158 skalarprodukt 367 sluttverdi 156 strekking 84 – horisontal 84 – vertikal 84 supplementvinkel 15 T tallfølge 134 tangentplan 400 tetraeder 384 tilnærmingsverdi 207 trappesum – nedre 207 – øvre 210 trigonometrisk identitet 40

U ubestemt integral 226 V variabelskifte 241, 246 vektor 360–361 – lengde 360 – ortogonale 368 – parallelle 363 – regneregler 361 vektorfunksjon 421 vektorkoordinater 358 vektorprodukt 373 vertikal forskyvning 81 vertikal strekking 84 vinkel 370 – motsatt 11 vinkelpunkt 10 volum 382 Ø øvre trappesum 210

LÆREPLAN Utdrag fra læreplan i matematikk for realfag (matematikk R) (MAT03-02)

Kjerneelement Utforsking og problemløsing Utforsking i matematikk R handler om å lete etter mønstre, finne sammenhenger og diskutere seg fram til en felles forståelse. Utforsking handler om å legge mer vekt på strategiene og framgangsmåtene enn på løsningene. Algoritmisk tenking er viktig i prosessen med å utvikle strategier og framgangsmåter for å løse problemer og innebærer å bryte ned et problem i delproblemer som kan løses systematisk. Videre innebærer det å vurdere om delproblemene best kan løses med eller uten digitale verktøy. Problemløsing i matematikk R handler om å utvikle en metode for å løse et ukjent problem. Det handler også om å analysere og omforme kjente og ukjente problemer, løse dem og vurdere om og når løsningene er gyldige.

Modellering og anvendelser En modell i matematikk R er en beskrivelse av virkeligheten i matematisk språk. Kjerneelementet handler om hvordan modeller i matematikk brukes for å beskrive natur og samfunn. Modellering i matematikk R er å lage slike modeller. Det handler også om å vurdere gyldigheten av og begrensingene til modellene, å vurdere modellene i lys av de opprinnelige situasjonene og å vurdere om de kan brukes i andre situasjoner. Anvendelser i matematikk R handler om kunnskap om hvordan matematikk anvendes i ulike situasjoner, både i og utenfor faget.

Resonnering og argumentasjon Resonnering i matematikk R handler om å kunne følge, vurdere og forstå matematiske tankerekker. Det innebærer å forstå at matematiske regler og resultater ikke er tilfeldige, men har klare begrunnelser. Videre handler det om å utforme egne resonnementer både for å forstå og for å løse problemer. Argumentasjon i matematikk R handler om å begrunne og bevise gyldigheten til framgangsmåter, resonnementer og løsninger.

Representasjon og kommunikasjon Representasjoner i matematikk R er måter å uttrykke matematiske begreper, sammenhenger og problemer på. Representasjoner kan være konkrete, kontekstuelle, visuelle, verbale og symbolske. Det handler også om å forklare og begrunne valg av representasjonsform. Videre handler det om å oversette mellom matematiske representasjoner og språket i andre kontekster og om å veksle mellom ulike representasjoner. Kommunikasjon i matematikk R handler om å bruke matematisk språk i samtaler, argumentasjon og resonnementer.

496 Læreplan

Abstraksjon og generalisering Abstraksjon i matematikk R handler om et formelt symbolspråk og formelle resonnementer. Generalisering i matematikk R handler om å oppdage sammenhenger og strukturer og om å ikke bli presentert for en ferdig løsning. Videre handler det om å utforske begreper og symboler for å uttrykke resultater og sammenhenger ved å bruke algebra og hensiktsmessige representasjoner.

Matematiske kunnskapsområder De matematiske kunnskapsområdene danner kunnskapsgrunnlaget som elevene trenger for å utvikle matematisk forståelse gjennom å utforske sammenhenger innenfor og mellom kunnskapsområdene. Kunnskapsområdene i matematikk R er knyttet til matematisk teori og reelle anvendelser.

Kompetansemål etter matematikk R2 Mål for opplæringen er at eleven skal kunne

utforske egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker

utforske rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne framgangsmåter

gjøre rede for integral som en grenseverdi av en følge av summer, og tolke betydningen av denne grenseverdien i ulike situasjoner

gjøre rede for analysens fundamentalteorem og gjøre rede for konsekvenser av teoremet

utvikle algoritmer for å beregne integraler numerisk, og bruke programmering til å utføre algoritmene

gi eksempler på ulike situasjoner som kan modelleres ved å bruke ulike matematiske funksjoner, og modellere og analysere slike situasjoner ved å bruke reelle datasett

anvende derivasjon og integrasjon til å analysere og tolke egne matematiske modeller av reelle datasett

analysere og tolke ulike funksjoner ved å bruke derivasjon og integrasjon, og anvende integrasjon til å beregne ulike mål av omdreiningslegemer

anvende parameterframstillinger til kurver og bruke parameterframstillinger til å løse naturvitenskapelige problemer inkludert problemer knyttet til fart og akselerasjon

utforske og forstå regneregler for vektorer i rommet, og bruke vektorer til å beregne ulike størrelser i rommet

utforske egenskaper ved radianer og trigonometriske funksjoner og identiteter og anvende disse egenskapene til å løse praktiske problemer

analysere og forstå matematiske bevis, forklare de bærende ideene i et matematisk bevis og utvikle egne bevis