Denne 8. utgaven er basert på de siste 10 års erfaringer. De viktigste endringene er:
Matematisk analyse bind 1 er en klassiker innen norsk matematikklitteratur. Bind 2 utdyper og viderefører teorien fra denne boka. Knut Sydsæter er professor emeritus i matematikk ved Økonomisk institutt, Universitetet i Oslo. Han har i samarbeid med Peter Hammond, Peter Berck, Arne Strøm og Atle Seierstad skrevet flere matematikkbøker for økonomer på norsk og engelsk. Bøkene er oversatt til 14 språk. I alt er disse bøkene solgt i ca. 300 000 eksemplarer.
MATEMATISK ANALYSE
www.gyldendal.no/akademisk
• En lang rekke nye økonomiske eksempler og oppgaver • Repetisjonsoppgaver til hvert kapittel (ca. 200 i alt) • Fasiten er forbedret og utvalgte oppgaver er merket med et symbol som betyr at utførligere svar finnes i en studentmanual som er fritt tilgjengelig på nettet. (http://folk.uio.no/knutsy/SMBindI)
Knut Sydsæter
Matematisk analyse bind 1 gir en innføring i matematisk analyse for studenter innen bedriftsøkonomiske og sosialøkonomiske fagområder.
Bind 1
Knut Sydsæter
MATEMATISK ANALYSE Bind 1 y
T Q = (a + h, f (a + h)) f f (a + h) − f (a) h P = (a, f (a)) x
Matematisk analyse
Matematisk analyse 1, 8. utg.
23. juni 2010, 18:19
Side 1
Matematisk analyse 1, 8. utg.
23. juni 2010, 18:19
Side 2
MATEMATISK ANALYSE BIND I
Knut Sydsæter
Matematisk analyse 1, 8. utg.
23. juni 2010, 18:19
Side 3
©Gyldendal Norsk Forlag AS 2010 8. utgave 2010 ISBN: 978-82-05-40742-8 Omslag: Gyldendal Akademisk Layout: Matematisk Sats Figurer: Matematisk Sats, Arne Strøm Papir: 80 g One Matt Trykk: Dimograf, Polen, 2010 Alle henvendelser om boken kan rettes til: Gyldendal Akademisk Postboks 6730 St. Olavs plass 0130 Oslo www.gyldendal.no/akademisk akademisk@gyldendal.no Det må ikke kopieres fra denne boken i strid med åndsverkloven eller avtaler om kopiering inngått med KOPINOR, interesseorganisasjon for rettighetshavere til åndsverk. Kopiering i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.
Matematisk analyse 1, 8. utg.
23. juni 2010, 18:19
Side 4
Forord I came to the position that mathematical analysis is not one of many ways of doing economic theory: It is the only way. Economic theory is mathematical analysis. Everything else is just pictures and talk. —R. E. Lucas, Jr. (2001)
Denne boka gir en innføring i matematisk analyse beregnet på studenter i bedriftsøkonomi og samfunnsøkonomi. Boka har kommet i en lang rekke utgaver. Dette er den åttende. Den stadige svekkelsen av studentenes forkunnskaper, egne erfaringer gjennom mange år, samarbeid med lærere ved Økonomisk institutt, tallrike innspill fra brukere, både studenter og lærere i mange land, tett samarbeid med professor Peter Hammond (tidligere professor i økonomi ved Stanford University), har til sammen bidratt til en lang rekke endringer og (forhåpentlig) forbedringer. I de to første kapitlene i boka gis det en innføring i elementær algebra beregnet på dem som har glemt “alt”. Dette stoff bør det i hovedsak være den enkeltes ansvar å repetere. Naturligvis er det fortsatt en del studenter som har solide forkunnskaper, og for dem vil de to første kapitlene og mange av de andre kunne virke irriterende elementære. Jeg håper imidlertid at også disse studentene vil finne ett og annet av interesse selv blant det stoffet de i hovedsak kan.1 Stoff med liten skrift, en del beviser og “mer krevende oppgaver” vil forhåpentlig kunne vekke interesse blant dem som finner det meste av det øvrige stoffet enkelt. Bruk av lommeregnere er nå et selvfølgelig og nyttig innslag i matematikkundervisningen på alle trinn. Men lommeregnere erstatter ikke behovet for god trening i elementær algebra. (Ved en eksamen (på hovedfagsnivå) nylig fikk en kandidat svaret 10/0.2 på en oppgave. Han la til at han trodde det var lik 50, men siden han ikke hadde lommeregner, kunne han ikke bekrefte det.) Eksemplene er naturligvis svært viktige. De fleste av dem er organisert slik at det på bakgrunn av teorien som nettopp er gjennomgått, stilles et klart problem som det så gis en løsning på. Jeg vil sterkt oppfordre leseren til å holde over løsningen og først forsøke å løse problemet selv. En gradvis avdekking av bokas løsning bør så sammenholdes med leserens eget forslag. I de økonomiske eksemplene har jeg stort sett beholdt de betegnelsene på variablene som økonomer vanligvis bruker. Ofte har studenter klaget over dette: “Matematikkbøkene i videregående er mye greiere, for variablene er nesten alltid x og y.” Poenget er naturligvis det at trening i å se matematikken anvendt med forskjellige betegnelser på variablene i betydelig grad letter overgangen til å lese de økonomibøkene studentene seinere skal 1
Studenter som ønsker en grundigere innføring i matematisk analyse anbefales boka til Lindstrøm (se referansene), som gir en usedvanlig god og presis innføring i “Kalkulus”.
v
Forord
Matematisk analyse 1, 8. utg.
23. juni 2010, 18:21
Side v
studere. Særlig viktig er det på et tidlig stadium å venne studentene til også å arbeide med problemer der det inngår parametre som ikke spesifiseres. Gode kunnskaper i elementær algebra er derfor uhyre viktig. (En episode fra en forelesning for økonomer i Harare illustrerer problemet. Etter å ha tatt flere eksempler på maksimering under bibetingelser med konkrete tall, som maks xy når 3x + 4y = 12, gikk jeg over til å studere problemet maks xy når px + qy = m. Etter en kort stund oppsto det stor uro i auditoriet. Jeg spurte en student hva grunnen var. Han sa: “Sir, we want numbers.” Jeg tror jeg etter hvert fikk overbevist de fleste i auditoriet om at bruk av parametre i slike problemer er nødvendig for å få økonomisk innsikt.) Oppgavene er en viktig del av boka. Seriøst arbeid med i alle fall et bredt utvalg av dem er helt essensielt for å forstå teorien. Leseren bør ta vare på sine løsninger fordi det i oppgavene seinere ofte refereres til tidligere oppgaver. Fasiten bak i boka er ganske omfattende. Men i tillegg er en god del oppgaver SM ⊃ som betyr at et mer utførlig svar gis i en Studentmanual som er forsynt med symbolet ⊂ fritt tilgjengelig på nettet:http://folk.uio.no/knutsy/SMBindI. (Noen få oppgaver har svar SM ⊃ .) bare i ⊂ Noen ord om systemet som brukes for referanser: Setning 14.5.2 er den andre setningen i det femte avsnittet i kapittel 14. Når vi refererer til et eksempel, en merknad eller en formel innen et avsnitt bruker vi bare ett nummer, som eksempel 4 eller formel (7). Når vi refererer til et eksempel, en merknad eller en formel fra et annet avsnitt bruker vi et en tredelt referanse. For eksempel vil (3.6.2) referere til formel 2 i avsitt 6 i kapittel 3. En del av teksten er satt med mindre skriftstørrelse for å markere at dette er stoff som ikke er av samme viktighet som resten. Avslutningen av et eksempel er markert med det spesielle symbolet , mens markerer slutten av et bevis. Mange av oppgavene er hentet fra eksamensoppgaver ved Økonomisk institutt, Universitetet i Oslo, og dessuten fra en lang rekke høyere uttdanningsinstitusjoner i Norge og Danmark, dels ved eksamener der jeg selv har vært sensor. Mange av dem er endret for å passe bedre til de (altfor) korte eksamener som nå har blitt så vanlige. Jeg har tillatt meg å bruke disse oppgavene uten eksplisitte referanser. Flere av avsnittene i kapittel 8 om “Renter og nåverdier” bygger på stoff skrevet av Håkan Lyckeborg for den svenske utgaven. Professor Fred Böker ved Universitetet i Göttingen, som har oversatt boka til tysk, har med usedvanlig årvåkenhet kommet med en lang rekke forslag til rettelser og forbedringer. Arne Strøm har vært bokstavelig talt uvurderlig ved fullføringen både av denne og de tidligere utgavene. Hans innsikt i matematikk og usedvanlige skarpe øyne har ryddet vekk en rekke feil og uklarheter. Hans kjennskap til finurlige aspekter ved det programmet som brukes, TeX, har også vært avgjørende. Arve Michaelsen, Matematisk Sats, har med profesjonalitet og estetisk sans laget layouten. Han har også tegnet de fleste av figurer. Til dem jeg har nevnt eksplisitt og til andre som på forskjellige måter har hjulpet til med denne utgaven av boka, retter jeg min beste takk. Denne takken går også til Økonomisk institutt, der jeg gjennom mange år hadde en meget god arbeidsplass. I bind II utdypes og videreføres teorien. Oslo i juni 2010 Knut Sydsæter knutsy@econ.uio.no
vi
Matematisk analyse 1, 8. utg.
Forord
23. juni 2010, 18:21
Side vi
Innhold
Hvorfor matematikk i økonomi? 1 Innledende emner. Elementær algebra 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
Tallsystemet Potenser med heltallige eksponenter Regneregler for reelle tall Potenser med brøkeksponenter Oversikt over brøkregning Ulikheter Intervaller. Absoluttverdier Repetisjonsoppgaver til kapittel 1
2 Innledende emner. Likninger 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
Enkle likninger Likninger med parametre Annengradslikninger To lineære likninger med to ukjente Noen viktige typer av likninger Noen logiske emner Matematiske bevis Litt mengdelære Repetisjonsoppgaver til kapittel 2
3 Funksjoner av én variabel 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5
Hva er en funksjon? Funksjoner av én variabel Grafer til funksjoner Lineære funksjoner Lineære modeller
1 1 3 7 11 15 19 24 26
29 29 32 34 39 41 43 48 50 55
57 57 58 64 66 72
3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
Kvadratiske funksjoner Polynomer Potensfunksjoner Eksponentialfunksjoner Logaritmefunksjoner Repetisjonsoppgaver til kapittel 3
4 Mer om funksjoner 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
Flytting av grafer Nye funksjoner fra gamle. Symmetri Inverse funksjoner I Inverse funksjoner II Grafer til likninger i to variabler Avstander i planet. Sirkler Det generelle funksjonsbegrepet Repetisjonsoppgaver til kapittel 4
5 Derivasjon 5.1 Stigningstallet til en kurve 5.2 Tangentens stigningstall og den deriverte 5.3 Voksende og avtakende funksjoner 5.4 Vekstrater og økonomiske tolkninger 5.5 Litt om grenser 5.6 Noen enkle derivasjonsregler 5.7 Derivasjon av summer, produkter og kvotienter 5.8 Kjerneregelen 5.9 Høyere ordens deriverte 5.10 Derivasjon av eksponentialfunksjoner
75 80 86 89 94 99
101 101 106 109 113 115 118 121 124
125 125 127 132 134 137 142 145 151 156 160 vii
Innhold
Matematisk analyse 1, 8. utg.
xi
23. juni 2010, 18:22
Side vii
5.11 Derivasjon av logaritmefunksjoner 5.12 Elastisiteter Repetisjonsoppgaver til kapittel 5
6 Kontinuitet. Grenser 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6
175
Kontinuerlige funksjoner 175 Mer om grenser 180 Kontinuitet og deriverbarhet 186 Ubestemte uttrykk. L’Hôpitals regel 190 Skjæringssetningen. Newtons metode 194 Uendelige tallfølger 198 Repetisjonsoppgaver til kapittel 6 200
7 Den deriverte i aksjon
201
7.1 7.2 7.3 7.4
Implisitt derivasjon Økonomiske anvendelser Derivasjon av den inverse Lineær approksimasjon. Differensialer 7.5 Polynomapproksimasjoner 7.6 Taylors formel Repetisjonsoppgaver til kapittel 7
8 Renter og nåverdier
201 206 209 211 216 219 223
227
8.1 Renteterminens lengde. Effektiv rente 8.2 Kontinuerlig forrentning 8.3 Nåverdien av en framtidig fordring 8.4 Geometriske rekker 8.5 Nåverdien av en betalingsstrøm 8.6 Annuitetslån. Serielån 8.7 Investeringsprosjekter Repetisjonsoppgaver til kapittel 8
9 Maksimums- og minimumsproblemer 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8
163 169 173
Innledning Enkle tester for ekstrempunkter Flere eksempler Ekstremverdisetningen Middelverdisetningen Noen flere økonomiske eksempler Lokale ekstrempunkter Vendepunkter Repetisjonsoppgaver til kapittel 9
10 Integrasjon
227 230 232 233 238 241 246 247
249 249 251 254 259 262 263 268 273 277
279
10.1 Ubestemte integraler 10.2 Arealproblemet. Det bestemte integralet
279 284
viii
Matematisk analyse 1, 8. utg.
10.3 Egenskaper ved det bestemte integralet 10.4 Økonomiske anvendelser av integrasjon 10.5 Om Lorenz-kurver og Gini-indekser 10.6 Delvis integrasjon 10.7 Variabelskifte. Integrasjon ved substitusjon 10.8 Mer kompliserte tilfeller 10.9 Utvidelser av integralbegrepet 10.10 Litt om differensiallikninger Repetisjonsoppgaver til kapittel 10
11 Funksjoner av flere variabler
289 293 300 302 305 307 311 316 321
323
11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6
Funksjoner av to variabler Partielle deriverte med to variabler Geometrisk representasjon Flater i rommet Funksjoner av flere variabler Partielle deriverte med flere variabler 11.7 Anvendelser av partielle deriverte i økonomi 11.8 Partielle elastisiteter Repetisjonsoppgaver til kapittel 11
12 Hjelpemidler for komparativ statikk 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12.10 12.11 12.12
323 326 331 337 340 343 347 349 351
353
En enkel kjerneregel Mer generelle kjerneregler Implisitt derivasjon langs nivåkurver Mer generelle tilfeller Implisitt elastisitering. Substitusjonselastisiteten Homogene funksjoner i to variabler Generelle homogene og homotetiske funksjoner Lineær approksimasjon. Tangentplan Differensialer Polynomapproksimasjoner. Taylors formel Systemer av likninger Differensiering Repetisjonsoppgaver til kapittel 12
13 Optimeringsproblemer med flere variabler
353 357 360 364 367 371 375 379 384 388 391 394 401
403
13.1 Nødvendige betingelser – to variabler 403 13.2 Tilstrekkelige betingelser – to variabler407 13.3 Lokale ekstrempunkter–to variabler 410 Innhold
23. juni 2010, 18:22
Side viii
13.4 Noen interessante eksempler 13.5 Ekstremverdisetningen og hvordan den brukes 13.6 Generaliseringer 13.7 Komparativ statikk og omhyllingssetningen Repetisjonsoppgaver til kapittel 13
414 420 424 428 431
14 Maksimering og minimering under bibetingelser 433 14.1 Lagranges multiplikatormetode 14.2 Tolkning av Lagrangemultiplikatorene 14.3 Flere løsningskandidater 14.4 Hvorfor Lagranges metode virker 14.5 Tilstrekkelige betingelser 14.6 Flere variabler og flere bibetingelser 14.7 Komparativ statikk Repetisjonsoppgaver til kapittel 14
A Summer. Induksjon
433 439 441 443 447 449 454 457
459
A.1 Summasjonsnotasjon A.2 Regneregler for summer. Newtons binomialformel A.3 Dobbeltsummer A.4 Induksjon
459
B Trigonometriske funksjoner
471
B.1 Viktige definisjoner og resultater B.2 Mer om trigonometriske funksjoner B.3 Integraler av trigonometriske funksjoner
463 467 468
471 477 480
C Geometriske formler og resultater 483 Svar til oppgavene
487
Litteratur
559
Det greske alfabetet
559
Saksregister
561
ix
Innhold
Matematisk analyse 1, 8. utg.
23. juni 2010, 18:22
Side ix