´ gico de Costa Rica Instituto Tecnolo ´ tica Escuela de Matema
´ lculo Diferencial e Integral Ca II Semestre de 2004
Ejercicios sobre l´ımites Determinaci´ on de l´ımites de una funci´ on dada su gr´ afica Considere las funciones siguientes y sus representaciones gr´aficas. En cada caso, y si existen, determine a partir de la gr´afica los l´ımites que se indican. (a)
y 3
lim f (x)
x→−3+
(b) lim f (x) x→−1
2
1.
(c) lim f (x) x→2
1 x -3
-2
-1
1
2
3
4
5
(e)
(a)
3
(b)
2 1
1
-1,5
2.
(d) f (−1); f (2) lim f (x)
x→+∞
lim f (x)
x→−∞
lim f (x)
x→−3/2
(c) lim f (x) x→3/2
1,5 -1
(d) f (3/2) (e)
(a)
2
lim f (x)
x→+∞
lim f (x)
x→−∞
(b) lim f (x) x→−2
1
(c) lim f (x) -2
-1
1
x→−1
3
2
(d) lim f (x)
3.
x→0
-1
(e) lim f (x) x→2
(f) lim f (x) x→3
(g)
1
lim f (x)
x→+∞
(a)
(b) lim f (x)
2,5
x→−2
2 -2
4.
lim f (x)
x→−∞
(c) lim f (x)
-1
x→−1
1
(d) lim f (x) x→0
(e) lim f (x)
-2
x→1
(f)
(a)
lim f (x)
x→+∞
lim g(x)
x→−∞
(b) lim g(x) x→−3
3
(c) lim g(x) x→−1
1
5.
-1
-2
1
(d) lim g(x)
2
-3
x→0
4
(e) lim g(x) x→1
-2
(f) lim g(x) x→2
(g)
(a) 2
lim g(x)
x→+∞
lim h(x)
x→−∞
(b) lim h(x) x→−3
6.
-3
(c) lim h(x) x→−2
-2
(d) lim h(x)
-2
x→0
(e)
2
lim h(x)
x→+∞
(a)
lim f (x)
x→−∞
(b) lim f (x) x→−2
2
(c) lim f (x)
7.
x→0
1
(d) lim f (x) x→2
-2
2
(e)
lim f (x)
x→+∞
Construcci´ on de la gr´ afica de una funci´ on conociendo sus l´ımites En cada caso siguiente considere los datos indicados sobre la funci´on f y dibuje una gr´afica que la represente. 1.
• Dh = IR − {−2, 2}
• f (−3) = 1 • lim h(x) = −∞
• lim h(x) = −∞
• lim h(x) = −2
•
•
• Df = IR − 0 • lim f (x) = +∞
• lim f (x) = 0 • f (x) = 1, ∀x ∈]0, 1[
• f (2) = 2; f (3) = 1 • lim f (x) = +∞
• Dg =] − ∞, 1[∪]2, +∞[ • lim g(x) = 4
•
• lim g(x) = +∞
•
lim h(x) = −∞
x→−∞ x→−3
2.
x→−∞
3.
6.
lim g(x) = +∞
x→−1+
lim h(x) = +∞
x→+∞
x→+∞
x→2+
• Df = IR−] − 2, 2[ • lim f (x) = +∞
• lim f (x) = −3 • f (−4) = −2
• f (−2) = f (2) = 0 • lim f (x) = −2
• Dg = IR − [0, 1]
• lim g(x) = −∞
• f (−3) = f (2) = 0
•
• lim g(x) = −∞
• f (3) = 3; f (4) = 5; f (5) = 4
•
• lim h(x) = +∞
x→1−
lim g(x) = 3
x→+∞
lim h(x) = 4
x→−4
x→1+
x→0−
lim h(x) = 5
x→−2+
x→−∞
• lim f (x) = 2
x→2+
• lim h(x) = −∞
•
• lim f (x) = −∞
• lim f (x) = 2
• lim f (x) = 4
• f (3) = 3 y f (−2) = 1.
x→2−
x→0
x→3+
lim h(x) = 2
x→+∞
• Df = IR − {0} • lim f (x) = +∞ x→−∞
lim f (x) = +∞
x→−2−
lim f (x) = −∞
x→−2+
x→3−
• limitex+∞f (x) = −2
x→−2
•
x→+∞
x→−2−
• Df = IR • lim f (x) = −2
•
lim g(x) = 5
x→+∞
x→−2−
• Dh =] − 3, +∞[−{−2, 3} • lim h(x) = 0 •
8.
x→2+
•
x→3
7.
x→−2+
x→0−
lim g(x) = −∞
x→−∞
5.
lim h(x) = +∞
• lim g(x) = +∞
x→−∞
• 4.
x→−2−
x→2−
• lim h(x) = +∞
• lim f (x) = 1
• lim f (x) = 1
• lim f (x) = −1
• f (2) = 1 • lim f (x) = 3
x→0− x→0+
• lim f (x) = 0 x→2−
3
x→2+
x→+∞
Calcule los siguientes l´ımites (si existen). En caso de que no existan, justifique su respuesta. √ 3 5y − 15 x3 + 2x2 − 5x − 6 1 − sen r − 1 √ 20. lim 1. lim 3 39. lim 9 2y − 5 2 y→3 1 − x→2 x + x − 4x − 4 r→0 r √ sen z x2 + x − 6 2 − 6 3a + 64 40. lim 2. lim 3 21. lim z→0 z + sen z x→−3 x + 2x2 − 3x a→0 5a t − sen (2t) √ 41. lim a3 − b − ab + a2 3 − 4 k + 82 t→0 t + sen (3t) 3. lim 22. lim √ b→a2 2a3 − 2ab + b − a2 k→−1 3 k + 28 − 3 1 − cos3 n 42. lim 2w3 − 4aw2 + 2a2 w 4h n→0 sen 2 n 4. lim 4 23. lim √ w→a w + aw 3 − 2a2 w 2 h→0 5 3h − 1 + 1 tan y − sen y √ 43. lim 2z 3 − 3z 2 + z 4 y→0 sen 3 y 1 − 4t − 3 5. lim √ 24. lim 2 z→−3 √ √ z−6+z t→−2 1 + 3 2t + 3 2 − 1 + cos a 44. lim √ a3 − 3a2 − a + 3 a→0 sen 2 a y − |y − 2| 6. lim 2 25. lim a→3 a − 2a − 3 y→4 1 − cos t y−4 45. lim 2 t→0 t2 a − 25 2a − 6 √ 7. lim √ 26. lim a→5 2 − a − 1 1 − cos r a→3 4|a − 3| 46. lim √ √ r→0 r2 x− a |t| − 1 ¶ µ 8. lim 27. lim 1 x→a x−a t→−1 t + 1 47. lim cot x − √ x→0 sen x 2− y−3 |x − 2| − 5 9. lim sec(2z) · tan(3z) 28. lim y→7 y 2 − 49 48. lim x→−3 6 − 2|x| z→0 4z √ 3− 5+t x |y + 3| − |2y + 1| √ 10. lim 49. lim 29. lim t→4 1 − 5 − t x→3 3 − x y→2 y2 − 4 √ √ 3x − a − x + a 2x5 + 3x7 |3z − 2| 11. lim 50. lim 30. lim x→a x→−∞ x−a 2x8 z→2/3 |6z − 2| − 2 x+1 √ w→−1 3w + 6w 2 + 3
12. lim
r−3 13. lim √ r→3 2r + 3 − 3 √ 1 + 8a − 3 14. lim √ a→1 4a − 2 9 − 6x + x2 15. lim √ x→3 18 − 3x − 3 √ 3 10 − x − 2 16. lim x→2 x2 − 2x √ 3 1 + ct − 1 17. lim t→0 t √ √ 3d2 − 5d − 2 − 1 − 5d √ √ 18. lim d→−1 d2 − d − 3 − d2 √ 1+x−1 19. lim √ 3 x→0 1+x−1
5 31. lim x→−5/4 |6x + 15/2| |2 − 5x| + 14/3 32. lim |4 − 3x| x→4/3 |3z + 1| − z 2 + 5 z→−4 2z − 1 + |5 − z|
33. lim 34. lim
sen (1 − x) x−1
35. lim
sen (x − 1) √ x−1
x→1
x→1
36.
lim
x→π/4
sen x − cos x 1 − tan x
tan x − sen x x→0 x3
37. lim
x2 + x sen x x→0 cos x − 1
38. lim
4
x3 + x2 − 6x x→2 x3 − 3x2 + 4
51. lim 52.
lim (4x3 + 5x2 − x − 2)
x→+∞
53. lim
x→1
1 3 − x2 1 − x3
x2 + x + 3 x→+∞ −x3 + 1 x 55. lim − x→0 1 − cos x
54.
lim
56.
2x2 − 3x − 4 √ x→+∞ x4 + 1
57.
x2 + 1 x→−∞ x
58.
2x5 − x3 + 4x x→−∞ 5x5 + 3x2
59.
lim lim lim lim
x→−∞
³p
´
x2 − 2x − 1 + x
60.
lim
x→+∞
sen (1/x) 1/x
75.
66. 67.
lim
lim
81. lim ln x→1+
√ 1 + z 2 − 5 − 2z + 16z 2 2z + 3
72.
lim
b→+∞
3b + x
−
b3 3b2
74.
p
lim x( 1 +
x→−∞
x2
95. lim
x+1 ln2 x
x→1
¶
a−3
Ã
5
97.
x2 − 1 lim √ x→+∞ 3x + 5x4
98.
x2 − 1 lim √ x→−∞ 3x + 5x4
99.
85.
lim
y→+∞
8
2
Ã
8 − w3 86. lim ln w4 + 2 w→2 w − 2w µ ¶ |b| − 1
87. lim
b→−1
5 4
100.
y − 1 + 3y 2
!
101. 102.
lim
e
103.
lim
x→+∞
3−x lim √ x→−∞ 2x2 − 1 lim
x→+∞
lim
x→−∞
lim
x→+∞
4x3 − 1
2 µ ¶ x + 5x + 6
89.
3−x lim √ 2x2 − 1
x→+∞
b+1
2 ³ ´x + x − 2
k→+∞
1 3
x+1
5
1
3x 3 − 2x 3 + 1 96. lim √ x→−∞ 2x 43 + 2x − 2 3 x5 3
!
³ ´ 4 − 2y + y
88. − x)
ln3 x x2
³ ´ √a − 9
−4
t5 + t2 − 1 73. lim t→+∞ 3t5 − t
¶
4 sen (3x − 3)
t3 + 1 84. lim ln t→3 t+1
!
94. lim
x→0+
ex x→1 ln x a→9
1 + x + x2 ´ √ − 1 − x + x2 b2
x→2+
82. lim
83. lim e
³p
Ã
x→−3
x2 − 9
93. lim ln2 (x − 2)
x 80. lim ln + −2 + x x→2 µ
1 2
92. lim
2 7
µ
3z 2
x→−∞
µ ¶ −1
4+x
1 79. lim x→+∞ log3 2x
− 5z + 1 lim √ 3 z→+∞ z6 + 1 − z √ √ k 2 − k − −k 70. lim k→−∞ 2k + 1 71.
x→−4−
x→0
√ 4 4 r − r + r2 68. lim r→−∞ r3 − r 69.
1 7
lim
78. lim
− 4 + 2w 3w − 1 − 2w2 w→1/2 z→−∞
x→0
µ ¶cot |x|
2w2
√
2
µ ¶ 5
77.
3x ln(x − 2)
91. lim (e x + 1)
x→3
sen (2t) 2 cos(2t) − 2
lim
x→2+
x−3
76. lim 5
x2 − 3 62. lim √ x→−∞ 3 3 x3 + 1 x 63. lim x→0+ 1 − cos x √ 3 2t2 + 3 − t √ 64. lim t→+∞ 4t + 5 − 1 h→0−
90. lim
³ ´ 1
x4 − 3 61. lim x→+∞ 2x3 + x
65. lim
w6 + w2 − 2 w→−∞ w 5 + w 3 − w lim
³p
4x2 − 6 −
³p
4x2 − 6 −
e3x + 2x 1
3x 35
104.
lim 2 ln(x − 6)
x→+∞
p
´
p
´
4x2 + x 4x2 − x
Continuidad de funciones Para cada una de las siguientes funciones, determine si es continua en todos los reales.
−x
ex si x < 1 4 si x = 1 1. f (x) = −x + e + 1 si x > 1 (
2. f (x) =
si x≤0 si 0 < x < 1 6. f (x) = √x si x>1 x2
1 si x < 0 x 7. h(x) = 0 si x = 0 ln x si x > 0
x2 si x ≤ 0 3 x − 2 si x > 0
−x si x < −1 2 si x = −1 3. f (x) = −x2 + 2 si −1 < x < 1 2 si x>2
8. f (x) =
4. f (x) =
−x si x ≤ −1 −x2 + 2 si −1 < x < 1 2 si x≥1 3 2x
5. g(x) =
0 x
(
9. f (x) =
si x < −1 si x = −1 si x > −1
2 1 −x + 2 x−2
si si si si
x<0 x=0 0<x<2 x≥2
ex si x < 0 √ x si x ≥ 0
Determine los valores de a y c (si es posible) de modo que f sea continua: (
1. f (x) = (
2. f (x) =
(
3x + 7 si x ≤ 4 ax − 1 si 4 < x
5. f (x) =
x−1
ax − 1 si x < 2 ax2 si 2 ≤ x
x si cx + a si 3. f (x) = −2x si
2x + a si x < 1 5 si x ≥ 1
6. f (x) =
si x < 1 a si x = 1 x2 + a si x > 1 −3 sen x
x≤1 1<x<4 4≤x
si x ≤ − π2 π a sen x + c si − 2 < x < 7. f (x) = cos x si x ≥ π2
x + 2c
sen 2 (4x)
si x < −2 3ax + a si −2 ≤ x ≤ 1 4. f (x) = 3x − 2a si 1<x
8. f (x) =
6
x2 a
si x 6= 0 si x = 0
π 2