Ejercicios de Limites

´ gico de Costa Rica Instituto Tecnolo ´ tica Escuela de Matema

´ lculo Diferencial e Integral Ca II Semestre de 2004

Ejercicios sobre l´ımites Determinaci´ on de l´ımites de una funci´ on dada su gr´ afica Considere las funciones siguientes y sus representaciones gr´aficas. En cada caso, y si existen, determine a partir de la gr´afica los l´ımites que se indican. (a)

y 3

lim f (x)

x→−3+

(b) lim f (x) x→−1

2

1.

(c) lim f (x) x→2

1 x -3

-2

-1

1

2

3

4

5

(e)

(a)

3

(b)

2 1

1

-1,5

2.

(d) f (−1); f (2) lim f (x)

x→+∞

lim f (x)

x→−∞

lim f (x)

x→−3/2

(c) lim f (x) x→3/2

1,5 -1

(d) f (3/2) (e)

(a)

2

lim f (x)

x→+∞

lim f (x)

x→−∞

(b) lim f (x) x→−2

1

(c) lim f (x) -2

-1

1

x→−1

3

2

(d) lim f (x)

3.

x→0

-1

(e) lim f (x) x→2

(f) lim f (x) x→3

(g)

1

lim f (x)

x→+∞

(a)

(b) lim f (x)

2,5

x→−2

2 -2

4.

lim f (x)

x→−∞

(c) lim f (x)

-1

x→−1

1

(d) lim f (x) x→0

(e) lim f (x)

-2

x→1

(f)

(a)

lim f (x)

x→+∞

lim g(x)

x→−∞

(b) lim g(x) x→−3

3

(c) lim g(x) x→−1

1

5.

-1

-2

1

(d) lim g(x)

2

-3

x→0

4

(e) lim g(x) x→1

-2

(f) lim g(x) x→2

(g)

(a) 2

lim g(x)

x→+∞

lim h(x)

x→−∞

(b) lim h(x) x→−3

6.

-3

(c) lim h(x) x→−2

-2

(d) lim h(x)

-2

x→0

(e)

2

lim h(x)

x→+∞

(a)

lim f (x)

x→−∞

(b) lim f (x) x→−2

2

(c) lim f (x)

7.

x→0

1

(d) lim f (x) x→2

-2

2

(e)

lim f (x)

x→+∞

Construcci´ on de la gr´ afica de una funci´ on conociendo sus l´ımites En cada caso siguiente considere los datos indicados sobre la funci´on f y dibuje una gr´afica que la represente.

1.

• Dh = IR − {−2, 2}

• f (−3) = 1 • lim h(x) = −∞

• lim h(x) = −∞

• lim h(x) = −2

•

•

• Df = IR − 0 • lim f (x) = +∞

• lim f (x) = 0 • f (x) = 1, ∀x ∈]0, 1[

• f (2) = 2; f (3) = 1 • lim f (x) = +∞

• Dg =] − ∞, 1[∪]2, +∞[ • lim g(x) = 4

•

• lim g(x) = +∞

•

lim h(x) = −∞

x→−∞ x→−3

2.

x→−∞

3.

6.

lim g(x) = +∞

x→−1+

lim h(x) = +∞

x→+∞

x→+∞

x→2+

• Df = IR−] − 2, 2[ • lim f (x) = +∞

• lim f (x) = −3 • f (−4) = −2

• f (−2) = f (2) = 0 • lim f (x) = −2

• Dg = IR − [0, 1]

• lim g(x) = −∞

• f (−3) = f (2) = 0

•

• lim g(x) = −∞

• f (3) = 3; f (4) = 5; f (5) = 4

•

• lim h(x) = +∞

x→1−

lim g(x) = 3

x→+∞

lim h(x) = 4

x→−4

x→1+

x→0−

lim h(x) = 5

x→−2+

x→−∞

• lim f (x) = 2

x→2+

• lim h(x) = −∞

•

• lim f (x) = −∞

• lim f (x) = 2

• lim f (x) = 4

• f (3) = 3 y f (−2) = 1.

x→2−

x→0

x→3+

lim h(x) = 2

x→+∞

• Df = IR − {0} • lim f (x) = +∞ x→−∞

lim f (x) = +∞

x→−2−

lim f (x) = −∞

x→−2+

x→3−

• limitex+∞f (x) = −2

x→−2

•

x→+∞

x→−2−

• Df = IR • lim f (x) = −2

•

lim g(x) = 5

x→+∞

x→−2−

• Dh =] − 3, +∞[−{−2, 3} • lim h(x) = 0 •

8.

x→2+

•

x→3

7.

x→−2+

x→0−

lim g(x) = −∞

x→−∞

5.

lim h(x) = +∞

• lim g(x) = +∞

x→−∞

• 4.

x→−2−

x→2−

• lim h(x) = +∞

• lim f (x) = 1

• lim f (x) = 1

• lim f (x) = −1

• f (2) = 1 • lim f (x) = 3

x→0− x→0+

• lim f (x) = 0 x→2−

3

x→2+

x→+∞

Calcule los siguientes l´ımites (si existen). En caso de que no existan, justifique su respuesta. √ 3 5y − 15 x3 + 2x2 − 5x − 6 1 − sen r − 1 √ 20. lim 1. lim 3 39. lim 9 2y − 5 2 y→3 1 − x→2 x + x − 4x − 4 r→0 r √ sen z x2 + x − 6 2 − 6 3a + 64 40. lim 2. lim 3 21. lim z→0 z + sen z x→−3 x + 2x2 − 3x a→0 5a t − sen (2t) √ 41. lim a3 − b − ab + a2 3 − 4 k + 82 t→0 t + sen (3t) 3. lim 22. lim √ b→a2 2a3 − 2ab + b − a2 k→−1 3 k + 28 − 3 1 − cos3 n 42. lim 2w3 − 4aw2 + 2a2 w 4h n→0 sen 2 n 4. lim 4 23. lim √ w→a w + aw 3 − 2a2 w 2 h→0 5 3h − 1 + 1 tan y − sen y √ 43. lim 2z 3 − 3z 2 + z 4 y→0 sen 3 y 1 − 4t − 3 5. lim √ 24. lim 2 z→−3 √ √ z−6+z t→−2 1 + 3 2t + 3 2 − 1 + cos a 44. lim √ a3 − 3a2 − a + 3 a→0 sen 2 a y − |y − 2| 6. lim 2 25. lim a→3 a − 2a − 3 y→4 1 − cos t y−4 45. lim 2 t→0 t2 a − 25 2a − 6 √ 7. lim √ 26. lim a→5 2 − a − 1 1 − cos r a→3 4|a − 3| 46. lim √ √ r→0 r2 x− a |t| − 1 ¶ µ 8. lim 27. lim 1 x→a x−a t→−1 t + 1 47. lim cot x − √ x→0 sen x 2− y−3 |x − 2| − 5 9. lim sec(2z) · tan(3z) 28. lim y→7 y 2 − 49 48. lim x→−3 6 − 2|x| z→0 4z √ 3− 5+t x |y + 3| − |2y + 1| √ 10. lim 49. lim 29. lim t→4 1 − 5 − t x→3 3 − x y→2 y2 − 4 √ √ 3x − a − x + a 2x5 + 3x7 |3z − 2| 11. lim 50. lim 30. lim x→a x→−∞ x−a 2x8 z→2/3 |6z − 2| − 2 x+1 √ w→−1 3w + 6w 2 + 3

12. lim

r−3 13. lim √ r→3 2r + 3 − 3 √ 1 + 8a − 3 14. lim √ a→1 4a − 2 9 − 6x + x2 15. lim √ x→3 18 − 3x − 3 √ 3 10 − x − 2 16. lim x→2 x2 − 2x √ 3 1 + ct − 1 17. lim t→0 t √ √ 3d2 − 5d − 2 − 1 − 5d √ √ 18. lim d→−1 d2 − d − 3 − d2 √ 1+x−1 19. lim √ 3 x→0 1+x−1

5 31. lim x→−5/4 |6x + 15/2| |2 − 5x| + 14/3 32. lim |4 − 3x| x→4/3 |3z + 1| − z 2 + 5 z→−4 2z − 1 + |5 − z|

33. lim 34. lim

sen (1 − x) x−1

35. lim

sen (x − 1) √ x−1

x→1

x→1

36.

lim

x→π/4

sen x − cos x 1 − tan x

tan x − sen x x→0 x3

37. lim

x2 + x sen x x→0 cos x − 1

38. lim

4

x3 + x2 − 6x x→2 x3 − 3x2 + 4

51. lim 52.

lim (4x3 + 5x2 − x − 2)

x→+∞

53. lim

x→1

1 3 − x2 1 − x3

x2 + x + 3 x→+∞ −x3 + 1 x 55. lim − x→0 1 − cos x

54.

lim

56.

2x2 − 3x − 4 √ x→+∞ x4 + 1

57.

x2 + 1 x→−∞ x

58.

2x5 − x3 + 4x x→−∞ 5x5 + 3x2

59.

lim lim lim lim

x→−∞

³p

´

x2 − 2x − 1 + x

60.

lim

x→+∞

sen (1/x) 1/x

75.

66.

67.

lim

lim

81. lim ln x→1+

√ 1 + z 2 − 5 − 2z + 16z 2 2z + 3

72.

lim

b→+∞

3b + x

−

b3 3b2

74.

p

lim x( 1 +

x→−∞

x2

95. lim

x+1 ln2 x

x→1

¶

a−3

Ã

5

97.

x2 − 1 lim √ x→+∞ 3x + 5x4

98.

x2 − 1 lim √ x→−∞ 3x + 5x4

99.

85.

lim

y→+∞

8

2

Ã

8 − w3 86. lim ln w4 + 2 w→2 w − 2w µ ¶ |b| − 1

87. lim

b→−1

5 4

100.

y − 1 + 3y 2

!

101.

102.

lim

e

103.

lim

x→+∞

3−x lim √ x→−∞ 2x2 − 1 lim

x→+∞

lim

x→−∞

lim

x→+∞

4x3 − 1

2 µ ¶ x + 5x + 6

89.

3−x lim √ 2x2 − 1

x→+∞

b+1

2 ³ ´x + x − 2

k→+∞

1 3

x+1

5

1

3x 3 − 2x 3 + 1 96. lim √ x→−∞ 2x 43 + 2x − 2 3 x5 3

!

³ ´ 4 − 2y + y

88. − x)

ln3 x x2

³ ´ √a − 9

−4

t5 + t2 − 1 73. lim t→+∞ 3t5 − t

¶

4 sen (3x − 3)

t3 + 1 84. lim ln t→3 t+1

!

94. lim

x→0+

ex x→1 ln x a→9

1 + x + x2 ´ √ − 1 − x + x2 b2

x→2+

82. lim

83. lim e

³p

Ã

x→−3

x2 − 9

93. lim ln2 (x − 2)

x 80. lim ln + −2 + x x→2 µ

1 2

92. lim

2 7

µ

3z 2

x→−∞

µ ¶ −1

4+x

1 79. lim x→+∞ log3 2x

− 5z + 1 lim √ 3 z→+∞ z6 + 1 − z √ √ k 2 − k − −k 70. lim k→−∞ 2k + 1 71.

x→−4−

x→0

√ 4 4 r − r + r2 68. lim r→−∞ r3 − r 69.

1 7

lim

78. lim

− 4 + 2w 3w − 1 − 2w2 w→1/2 z→−∞

x→0

µ ¶cot |x|

2w2

√

2

µ ¶ 5

77.

3x ln(x − 2)

91. lim (e x + 1)

x→3

sen (2t) 2 cos(2t) − 2

lim

x→2+

x−3

76. lim 5

x2 − 3 62. lim √ x→−∞ 3 3 x3 + 1 x 63. lim x→0+ 1 − cos x √ 3 2t2 + 3 − t √ 64. lim t→+∞ 4t + 5 − 1 h→0−

90. lim

³ ´ 1

x4 − 3 61. lim x→+∞ 2x3 + x

65. lim

w6 + w2 − 2 w→−∞ w 5 + w 3 − w lim

³p

4x2 − 6 −

³p

4x2 − 6 −

e3x + 2x 1

3x 35

104.

lim 2 ln(x − 6)

x→+∞

p

´

p

´

4x2 + x 4x2 − x

Continuidad de funciones Para cada una de las siguientes funciones, determine si es continua en todos los reales.   

   −x

ex si x < 1 4 si x = 1 1. f (x) =   −x + e + 1 si x > 1 (

2. f (x) =

si x≤0 si 0 < x < 1 6. f (x) =   √x si x>1 x2

   

1 si x < 0 x 7. h(x) = 0 si x = 0    ln x si x > 0

x2 si x ≤ 0 3 x − 2 si x > 0

    

−x si x < −1 2 si x = −1 3. f (x) =  −x2 + 2 si −1 < x < 1    2 si x>2

    

8. f (x) =

  

4. f (x) =

−x si x ≤ −1 −x2 + 2 si −1 < x < 1   2 si x≥1  3   2x

5. g(x) =

 

0 x

    (

9. f (x) =

si x < −1 si x = −1 si x > −1

2 1 −x + 2 x−2

si si si si

x<0 x=0 0<x<2 x≥2

ex si x < 0 √ x si x ≥ 0

Determine los valores de a y c (si es posible) de modo que f sea continua: (

1. f (x) = (

2. f (x) =

(

3x + 7 si x ≤ 4 ax − 1 si 4 < x

5. f (x) =

   x−1

ax − 1 si x < 2 ax2 si 2 ≤ x

  

x si cx + a si 3. f (x) =   −2x si

2x + a si x < 1 5 si x ≥ 1

6. f (x) =

si x < 1 a si x = 1   x2 + a si x > 1    −3 sen x

x≤1 1<x<4 4≤x

si x ≤ − π2 π a sen x + c si − 2 < x < 7. f (x) =   cos x si x ≥ π2

   x + 2c

  sen 2 (4x)

si x < −2 3ax + a si −2 ≤ x ≤ 1 4. f (x) =   3x − 2a si 1<x

8. f (x) =

6



x2 a

si x 6= 0 si x = 0

π 2