Universidad Fermín Toro Vice-Rectorado Académico Faculta de Ingeniería Escuela de Ingeniería Eléctrica
Diseños de Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Hernelys Linares C.I: 25141830
Estabilidad en los sistemas de control de tiempo discreto
La estabilidad se puede determinar a partir de la localización de los polos de lao cerrado en el plano Z o por las raíces de la ecuación características.
De la siguiente forma:
1. El sistema es estable, si los polos de lao cerrado las raíces de la ecuación característica quedan localizados dentro del círculo unitario en el plano Z. 2. Si un polo simple está ubicado en Z=1 o Z=-1, el sistema es marginalmente estable, lo mismo sucede si un par de polos conjugados complejos esta sobre el circulo unitario. Polos múltiples localizados sobre el círculo unitario dan como resultado un sistema inestable. 3. Los ceros de lazo cerrado no afectan la estabilidad del sistema y pueden estar ubicados en cualquier parte del plano Z.
Criterio de Estabilidad de Jury Metodo sencillo que termina si algunas de las raices de la ecuacion caracteristica estan sobre o fuera del circulo unitario, sin necesidad de encontrar las raices de Q(Z).
Para aplicar el criterio de Jury se considera la ecuacion caracteristica de las suguientes forma:
Donde todos los coeficientes son reales y bn > o.
Pasos para analizar el error en estado permanente para los sistemas de control en tiempo discreto
Verificar que el sistema corresponda a uno de lazo cerrado. Conocer la señal de entrada que alimentará al sistema. Conocer el tipo de la función de transferencia a lazo abierto. Determinar las constantes de los errores por medio de alguna técnica de cálculo o gráfica que lo permita.
Tiempo de levantamiento El tiempo de levantamiento en un sistema de control transitorio (subamortiguados y sobreamortiguados) de segundo orden, corresponde al tiempo necesario para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas que presentan comportamiento dominante como el de un sistema de segundo orden subamortiguado se utiliza de 0 a 100 por ciento; para casos en los que el comportamiento es como el de un sistema de 2do orden sobreamortiguado ó que presentan retrasos de transporte se prefiere los porcentajes de 10%a 90%por ciento. Sistema de segundo orden:
Sistema subamortiguado
Sistema Sobreamortiguado
Sobrepaso mĂĄximo En una curva de respuesta, el sobrepaso mĂĄximo (peak overshoot) corresponde al valor pico mĂĄximo de la misma, medido a partir de la unidad. TambiĂŠn puede definirse el valor mĂĄximo que adopta la respuesta del sistema sobre su valor final (en estado estable), este suele expresarse en porcentaje y estĂĄ definido mediante la expresiĂłn: đ?‘€đ?‘? % =
đ??śđ?‘Ąđ?‘? − đ??śâˆž đ??śâˆž
∗ 100%
La cantidad de sobrepaso mĂĄximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.
ÂżQuĂŠ diferencia(s) existe entre el cĂĄlculo y dibujo de las trazas del diagrama de Bode en tiempo continuo y en tiempo discreto? La utilizaciĂłn de las trazas de Bode en el anĂĄlisis y diseĂąo de sistemas de control es Ăştil por las siguientes razones: 1. La curva asintĂłtica de baja frecuencia de la traza de magnitud es indicativa de alguna de las constantes de los errores en estado estable, Kp ,Kv o Ka. 2. Las especificaciones de respuesta transitoria pueden ser traducidas en especificaciones de respuesta en frecuencia, como son: margen de ganancia, margen de fase, ancho de banda, etc. Estas especificaciones pueden trabajarse con cierta facilidad en las trazas de Bode. 3. El diseĂąo de controladores (compensadores) digitales para satisfacer especificaciones dadas (en tĂŠrminos de mĂĄrgenes de ganancia y fase) puede llevarse a cabo en las trazas de Bode de una manera sencilla.
Ejercicios N#1 đ?‘ƒ đ?‘§ = 1+
đ??ž1,5313 đ?‘§ + 0,5232 đ?‘§ − 1 đ?‘§ + 0,1303
Polinomio caracterĂstico:
đ?‘§ 2 − 1,1353đ?‘§ + 0,1353 + 1,3353đ??žđ?‘§ + 0,5940đ??ž = 0
đ?‘§ 2 + 1,3353đ??ž − 1,1353 đ?‘§ + 0,5940đ??ž + 0,1353 = 0
Con n=2 se requieren 2 condiciones:
P(1)>0;
đ?‘ƒ 1 = 12 + 1,3353đ??ž − 1,1353 + 0,5940đ??ž + 0,1353 = 1,9293đ??ž > 0;
P(-11)>0;
1 − 1,3353đ??ž + 1,1353 + 0,5950đ??ž + 0,1353 > 0;
đ??ž>0
â&#x2C6;&#x2019;0,7403đ??ž + 2,2706 > 0; đ??ž < 3,067
AsĂ por el criterio de routh, el rango de valores de K para la estabilidad es
0 < đ??ž < 3,067
â&#x2020;&#x2019; đ??ž â&#x2C6;&#x2C6; 0,3.067
đ??ž>0
N#2 ๐ ๐ ง = 27๐ ง 3 + 27๐ ง 2 + 9๐ ง + 1 = 0
La transformaciรณn bilineal se describe por
๐ ง=
๐ ๐ ค = 27
๐ ค+1 ๐ คโ 1
๐ ค+1 ๐ คโ 1
3
๐ ค+1 ๐ ๐ ค = 27 ๐ คโ 1
+ 2727
3
๐ ค+1 ๐ คโ 1
๐ ค+1 + 27 3 ๐ คโ 1
2
+9
2
+ 2
๐ ค+1 +1 ๐ คโ 1
9 ๐ ค+1 +1 ๐ คโ 1
Multiplicando por (w-1)3 resulta:
๐ ๐ ค = 27 ๐ ค + 1
3
๐ ค+1 2 + 27 +9 ๐ ค+1 ๐ คโ 1 + ๐ คโ 1 ๐ คโ 1
3
Resolviendo resulta:
๐ ๐ ค = 27 ๐ ค 3 + 3๐ ค 2 + 3๐ ค + 1 + 27 ๐ ค 2 + 2๐ ค + 1 ๐ ค โ 1 + 9 ๐ ค 3 โ ๐ ค 2 โ ๐ ค + 1
+๐ ค 3 โ 3๐ ค 2 + 3๐ ค โ 1 = 0
๐ ๐ ค = 27๐ ค 3 + 81๐ ค 2 + 81๐ ค + 27 + 27 ๐ ค 3 + ๐ ค 2 โ ๐ ค โ 1
+9 đ?&#x2018;¤ 3 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ + 1 + đ?&#x2018;¤ 3 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;¤ 2 + 3đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2019; 1
64đ?&#x2018;¤ 3 + 96đ?&#x2018;¤ 2 + 48đ?&#x2018;¤ + 8 = 0
Se divide entre 64:
đ?&#x2018;¤ 3 + 1,5đ?&#x2018;¤ 2 + 0,75đ?&#x2018;¤ + 0,125 = 0
Del criterio de Routh-Hortag
đ?&#x2018;¤3 đ?&#x2018;¤2
đ??´=
1 0,75 1,5 0,125
đ?&#x2018;¤1
đ??´ = 0,667
0
đ?&#x2018;¤0
đ??ľ = 0,125
0
1,5 0,75 â&#x2C6;&#x2019; 0,125 = 0,667; 1,5
đ??ľ=
0,125đ??´ â&#x2C6;&#x2019; 0 = 0,125 đ??´
Todos los elementos de la primera columna son positivos, el sistema es estable.
N#3
𝐸 𝑠 =𝑅 𝑠 −𝐶 𝑠 𝐷 𝑠
𝐶 𝑠 = 𝐸 ∗ 𝑠 𝐺𝐻 𝑠
1
2
Sustituimos 2 en 1 𝐸 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐸 ∗ 𝑠 𝐺𝐻 𝑠 𝐷 𝑠
𝐸 ∗ 𝑠 = 𝑅 ∗ 𝑠 − 𝐸 ∗ 𝑠 𝐺𝐻𝐷∗ 𝑠
𝐸 ∗ 𝑠 + 𝐸 ∗ 𝑠 𝐺𝐻𝐷∗ 𝑠 = 𝑅 ∗ 𝑠
𝐸 ∗ 𝑠 1 + 𝐺𝐻𝐷∗ 𝑠
𝐸∗ 𝑠 =
= 𝑅∗ 𝑠
𝑅∗ 𝑠 1 + 𝐺𝐻𝐷∗ 𝑠
Asi:
𝐸 𝑧 =
𝑅 𝑧 1 + 𝐺𝐻𝐷 𝑧
expresión del error
El error en estado estacionario es
𝑒𝑠𝑠 = lim 1 − 𝑧 −1 = lim 1 − 𝑧 −1 𝑧→1
𝑧→1
𝑅 𝑧 1 + 𝐺𝐻𝐷 𝑧
Para el error de aceleración:
𝑡2 𝑅 𝑧 = 1 − 𝑧 −1 𝑒𝑠𝑠 = lim 1 − 𝑧
−1
𝑧→1
= lim
𝑧→1
= lim
𝑧→1
1 − 𝑧 −1
1 − 𝑧 −1
𝑡2 1 − 𝑧 −1 3 1 + 𝐺𝐻𝐷 𝑧
𝑡2 2 + 1 − 𝑧 −1
1 2 1 + 𝐺𝐻𝐷 𝑧 𝑡2
2
3
= lim
𝑧→1
1 + 𝐺𝐻𝐷 𝑧
1 − 𝑧 −1
= lim
𝑧→1
→ 𝐾𝑎 = lim 1 − 𝑧 −1 𝑧→1
𝑡2 2 1 + 𝐺𝐻𝐷 𝑧
1 − 𝑧 −1
2
𝑡2 2 1 + 𝐺𝐻𝐷 𝑧
1 + 𝐺𝐻𝐷 𝑧 ;
𝑒𝑠𝑠 =
1 𝐾𝑎