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1. TEORIA DE CONJUNTOS 1.1. IDEA DE CONJUNTO Un conjunto es la agrupación o reunión de varios objetos llamados elementos, pudiendo ser estos ideales o reales. Todo conjunto se denota generalmente con una letra mayúscula, siendo representados por signos de conexión (llaves, paréntesis) donde cada elemento de un conjunto es separado por una coma.
A= {Los alumnos de secretariado computarizado del 1º ciclo}
RELACION DE EPERTENECIA (
)
Nos indica si un objeto es elemento de un conjunto que sea analizado. Ejemplo
Sea B={ a, e, i, o, u }, a ∈ B y c ∉ B CARDINAL DE UN CONJUNTO (CAR, n) El cardinal de un conjunto nos indica la cantidad de elementos diferentes que tenga un conjunto. Ejemplo Sea B={ a, e, i, o, u }, indicar su cardinal Sea M={ 3,2,8,8,8,8}, indicar su cardinal 1.2. DETERMINACION DE UN CONJUNTO Por Extensión Es cuando se nombra a cada uno de los elementos de un conjunto A= {a, e, i o, u} Por Comprensión Es cuando mediante una regla practica o propiedad se determina a todos los elementos de un conjunto. A= {x / x son las vocales} Página 2
Ejemplos: B = {x/x∈ N; 2 < x < 8} Se lee: El conjunto B formado por todas las “x”, tal que “x” es un número natural entre 2 y 8. C = {x/x∈ N: 1≤ x < 10; x es par} Se lee: El conjunto C formado por……………….
DE COMPRENSIÓN A EXTENSIÓN Para pasar un conjunto que está por comprensión a extensión, es necesario realizar los siguientes pasos que veremos en el ejemplo: Dado el siguiente conjunto, determinarlo por extensión.
C= {x+2/x∈ N: 1≤ x < 10; x es par} Paso 1: El intervalo siempre es el primer paso. De éste se obtienen los valores de x
1 ≤ x < 10,x: 1; 2; 3;4;5;6;7;8;9
Paso 2: De los valores obtenidos en el paso 1, se filtran o se escogen los que son pares X es par,x: 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 6 ; 7; 8 ; 9 x: 2; 4; 6; 8 Paso 3: Finalmente, se reemplazan los valores en: x+2;
2+2=4;
4+2=6; 6+2= 8;
8+2=10
Por lo tanto, el conjunto determinado por extensión es: C= {4; 6; 8; 10} EJERCICIOS Determinar por extensión el siguiente conjunto: P = { x +1 /x∈ N; 4≤ x≤ 15; “x” es par} a) {5;7;9;11;13} b) {2;4;6,8} c) {4;6;8;10;12;14} d) {5;7;9;11;13;15} e) N.A.
Determina por extensión el siguiente conjunto: B = {2 x +1 /x∈ N; 1≤ x≤ 10; “x” es impar} a) {2;3;7} Página 3
b) {1;3;5;7;9} c) {3;7;11;15;19} d) {3;7;11;15} e) N.A. Determina por extensión el siguiente conjunto: A = { x +4 /x∈ N; 2≤ x≤ 11; “x” es impar} a) {7;9; 11; 13; 15} b) {9; 11; 13; 15} c) {7;9; 11; 13} d) {2; 4; 6; 8;10} e) N.A. Del conjunto A = {x∈ N: 1 < x < 5}, la suma de sus elementos es: a) 12 b) 8 c) 11 d) 9 e) 10
Si M = {3;5;7;9;11}, al transformar el conjunto por comprensión tenemos: A. M = {x/ x∈ N∧x < 6} B. M = {2x +1)/ x∈ N∧ 1≤ x < 6} C. M = {2x - 1)/ x∈ N∧ 1< x < 6} a) Sólo II b) Sólo I c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo II y III
Si A = {4x/ x∈ N, 3≤ x < 6}; entonces por extensión será: a) A = {3; 4; 5} b) A = {4; 4; 4} c) A = {12; 16} d) A = {12; 16; 20} e) N.A. Si: B = {x3 – 1/ x∈ N; 2≤ x≤ 5}; entonces por extensión será: a) B = {2; 3; 4; 5} b) B = {2; 3; 4}
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c) B = {7;26; 63} d) B = {7; 26; 63; 124} 1.3. COMPARACIONES ENTRE CONJUNTO a. Inclusión (⊂): Se dice que un conjunto está incluido, es decir dentro de otro conjunto, si solo si todos los elementos del primer conjunto son también elementos del segundo conjunto A ⊂ B ⇔ (∀ x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B)
b. Iguales: Solo si tienen los mismos elementos. (A = B) ⇔ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A) c. Disjuntos: Cuando no tienen ningún elemento en común d. Equipotentes: Es cuando tienen la misma cantidad de elementos (cardinales iguales)
1.4. OPERACIONES CON CONJUNTOS Unión o Reunión La unión de 02 conjuntos se denota por A U B, y está formado por los elementos de ambos Intersección La intersección de 02 conjuntos se denota por A ∩ B, y está formado por los elementos comunes de ambos Diferencia La diferencia de 02 conjuntos se denota por A- B, y está formado por los elementos que le pertenecen solamente la conjunto A, pero no le pertenecen al conjunto B Diferencia Simétrica La diferencia simétrica de 02 conjuntos se denota por A ∆ B, y está formado por todos los elementos menos los comunes
Complemento El complemento de un conjunto se denota por A´’, y está formado por los elementos del universo pero que no le pertenecen al conjunto A
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RESOLVER LOS SIGUIENTES EJEMPLOS Colocar Verdadero O Falso Donde Corresponda (V) o (F) B= {x/x∈ Z+; x es par < 20} ⊂ A = {1, 2,3,... ,20}
………….
P= {x/x∈ Z+; 5 ≤ x < 20}
⊄
M = {3,... ,20}
…………
P= {x2/x∈ Z+; 1 ≤ x ≤ 3}
⊄
R = {3,4, 5, 7, 9}
………….
B= {2x-1/x∈ Z+; 3 < x < 7} ⊂ C = {1,3, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 15} ………… Colocar Verdadero o Falso Donde Corresponda (V) o (F) A = {1, 3, 5, 7, 1,7, 9} 1∈A……
1,3∈A……
7,1∈A….
,7∉A…..
7∉A..
5, 1,7∈A…
1∉A…
3,9∉A…
PROBLEMAS 1. Si en un total de 50 alumnos de primer ingreso, 30 estudian Basic, 25 Pascal y 10 estudian ambos lenguajes. ¿Cuántos alumnos de primer ingreso estudian solo pascal?, ¿Cuántos alumnos de primer ingreso no estudian ningún curso mencionado?
2. Una compaña tiene 350 empleados, de los cuales 160 obtuvieron un aumento de salario, 100 fueron promovidos y 60 fueron promovidos y obtuvieron un aumento de salario. a) ¿Cuántos empleados obtuvieron un aumento pero no fueron promovidos? b) ¿Cuántos empleados fueron promovidos pero no obtuvieron un aumento? c) ¿Cuántos empleados no obtuvieron ni aumento de salarios ni fueron promovidos? 3. En la última olimpiada se realizaron 15 pruebas contando con la participación de 50 atletas observándose al final: 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce, 7
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conquistaron medallas de oro y plata, 6 de plata y bronce, 8 de oro y bronce ¿Cuántos no conquistaron medallas?
4. En un grupo de 165 estudiantes, 8 toman cálculo, psicóloga y computación; 33 toman cálculo y computación; 20 toman cálculo y psicóloga; 24 toman psicóloga y computación; 79 están en cálculo; 83 están en psicóloga y 63 toman computación. a) ¿Cuántos estudiantes toman exclusivamente psicóloga? b) ¿Cuántos estudiantes toman solamente dos materias? c) ¿Cuántos estudiantes toman cálculo y computación? d) ¿Cuántos estudiantes toman al menos una de las tres materias? e) ¿Cuántos estudiantes no toman ninguna de estas asignaturas? 5. De 150 alumnos, 104 no postulan a la UNI, 109 no postulan a la San Marcos y 70 no postulan a ninguna a ninguna de estas dos universidades ¿Cuántos postulan a ambos? 6. En un salón del instituto estudian 140 estudiantes, al ser preguntados por la preferencia de los cursos de Raz. Matemático y Raz. Verbal el resultado fue el siguiente: 70 prefieren estudiar Raz.
Matemático y 90 prefieren estudiar Raz. Verbal, 20 no
prefieren estos cursos. ¿Cuántas prefieren ambos cursos?
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2. TANTO POR CIENTO Es el número de unidades tomadas de una cantidad considerada como equivalente a 100 Ejemplo, si decimos que una fiesta el 20% son mujeres significa: Que de cada 100 personas son mujeres (es decir 20 partes de 100) Equivalencias:
•
20% equivales a =
•
10% equivales a =
•
Calcular el 25% de 36
•
Calcular el 70% de 90
•
7 que tanto por ciento es de 28%
Completa la siguiente tabla:
10%
12,5%
20%
25%
1 33 % 3
12 3 30 120 4,8
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OPERACIONES CON EL TANTO POR CIENTO Adición
Multiplicación
•
20%A + 15%A =
-) 3(20%A) =
•
15%A + 25%A =
-) 5(10%A) =
Sustracción
División
•
35%A – 10%A =
-) 35%A/7 =
•
65%B – 16%B =
-) 40%A/8 =
DESCUENTOS SUCESIVOS Se explicar con una aplicación: Ej.: Un artículo cuesta 1er precio: 5% de descuento
2875,
y
tiene
los
siguientes
descuentos
sucesivos:
2do precio: 3% de descuento 3er precio: 1% de descuento Cada uno de estos descuentos no se aplican sobre la misma cantidad, sino que se aplican sobre el saldo que queda después de haber aplicado el descuento anterior. Es decir que para calcular el último precio de este artículo de este ejemplo debemos hacer lo siguiente:
1er precio: 2875 - 2875*0.05 = 2732.25 2do precio: 2732.25 – 2732.25*0.03 = 2650.28 3er precio: 2650.25 – 2650.28*0.01 = 2623.78
AUMENTOS SUCESIVOS Se demostrara con una aplicación: Página 9
Dos aumentos sucesivos del 40% y del 80% aplicados a un mismo artículo cuyo precio es 50000, equivalen a.
APLICACIONES COMERCIALES PV = PC + G
PV = PC – P
PV = Precio de venta
PF = Precio Fijado
PC = Precio costo
R = Rebaja
G = Ganancia
P= Perdida
PV = PF – R
EJERCICIOS 1. Juan tiene que pagar $ 90.000. Si le rebajan el 5% de su deuda, ¿cuánto tiene que pagar todavía? a) $ 450
b) $ 4.550
c) $ 85.500
d) $ 89.500
e) $ 94.550
2. Un metro de tela me cuesta $ 1.500. ¿A cómo tengo que venderlo para ganar el 20% de lo que costó? a) $ 1.800
b) $ 1.200
c) $ 1.300
d) $ 1.000
e) $ 350
3. Pedro tenía $ 80.000. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿cuánto le queda? a) $ 16.000
b) $ 28.000
c) $ 52.000
d) $ 54.400
e) $ 78.000
4. Un artículo se sube de $ 1.500 a $ 1.800. ¿Cuál es el porcentaje de alza? a) 5%
b) 10%
c) 15%
d) 20%
e) 25%
5. Compré 90 libros y vendí el 60% de ellos. ¿Cuántos libros me quedan? a) 54
6.
b) 45
c) 36
d) 32
e) 30
El radio de la base de un cilindro circular recto se aumenta en un 20%, mientras que la altura disminuye en un 12%. Determinar en qué porcentaje varía el volumen, especificando si este aumenta o disminuye. RTA: Aumenta 26,72%. Página 10
7.
Una magnitud variable aumentó, en una primera etapa, en el 30% de su valor y, en una segunda, disminuyó en el 20% del valor que tenía al finalizar la primera etapa. Cuál era el valor inicial de tal magnitud si al finalizar la segunda etapa era de 8.840? RTA: 8.500.
8.
Determinar el descuento único equivalente a dos descuentos sucesivos del 40 y del 25%. RTA: 55%.
9.
El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre. a) Calcula el precio final tras las dos subidas.
10. El precio de un libro, 12 €, primero sube el 5 %, después sube el 10 % y, finalmente, baja el 15%. a) ¿Cuál es su precio final? ¿Es igual que el inicial?
3. TEORIA DE ECUACIONES Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al menos este presente una variable que ahora recibirá el nombre de incógnita.
Clasificación de las ecuaciones A las ecuaciones de acuerdo al número de soluciones podemos clasificarlas en: 1. Ecuaciones Compatibles: son aquellas que poseen al menos una solución. Estas se clasifican a. Compatible Determinada: una ecuación es compatible determinada, si es posible determinar la cantidad de sus soluciones. b. Compatible indeterminada: una ecuación es compatible indeterminada si no es posible determinar la cantidad de sus soluciones
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2. Ecuación Incompatible: son aquellas ecuaciones que no poseen soluciones, su conjunto solución es el vacio. C.S. = Ø
3. Ecuaciones Equivalentes: son aquellas ecuaciones que presentan el mismo conjunto solución
Ecuaciones Lineales Se dice que una ecuación es de primer grado cuando la variable (x) no está elevada a ninguna potencia, es decir, su exponente es 1. Una ecuación de primer grado tiene la forma canónica:
; con a diferente de cero. Su solución es la más sencilla:
RESOLVER
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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
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RESOLVERLOS SISTEMAS DE ECUACIONES CON 02 VARIABLES.
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SISTEMA DE ECUACIONES CON 03 VARIABLES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
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Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita y que se expresa en la forma canónica:
Donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente. Solución de una ecuación cuadrática La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas, dadas por la fórmula general:
,
Donde el símbolo "±" indica que los dos valores
y
DISCRIMINANTE DE UNA ECUACION CUADRATICA Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):
Podremos saber el número y naturaleza de las soluciones: 1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo 2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero 3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo
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PROPIEDADES DE LAS RAICES DE UNA ECUACION
, de raíces
Sea la ecuación
se cumplen los siguientes dos
aspectos: Suma de raíces
Producto de raíces
PROPIEDADES DE LAS RAICES
La ecuación
, de raíces
son simétricas , si la suma es igual a
, de raíces
son reciprocas, si el producto es igual
cero.
La ecuación a la unidad.
Construcción de una ecuación conociendo sus raíces X2 - (X1 + X2 ) X + (X1 . X2 ) = 0
RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICOS :
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-) -) Calcular “m” de la ecuación (m-2)X2 + (5-m)X – 6 =0 para que la suma de sus raíces sea igual a 2/3. -) Determinar el valor de “K” en la ecuación (K-1)X2 + 5(X-2) =K(X-1) si tiene raíces simétricas.
4. DESIGUALDADES E INECUACIONES Una desigualdad es aquella comparación que se establece entre dos números reales, mediante los símbolos; ≥, ≤, >, <. Luego, si a y b ͼ R a < b dice que a es menor que b a > b dice que a es mayor que b (estos dos son conocidos como desigualdades estrictas) a ≤ b significa que a es menor o igual que b a ≥ b significa que a es mayor o igual que b.
Teoría de Inecuaciones Una inecuación es una expresión de la forma: ax + b ≥ 0. La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las ecuaciones.
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Resolver y la solución se representar en la recta numérica :
El binomio elevado al cuadrado es siempre positivo, pero al tener delante el signo menos. resultará que el demnominador será siempre negativo.
M u l t i p l i c a n d o p−o1r:
(− - ∞ , − 1 ]
(1, + ∞)
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Resolver 1. 5x - 3x < -8 – 6
2.
3.
4. - 2x + 3 > - 3x – 1
5. 5(x + 6) - 5 > - 10
Sistema de ecuaciones de primer grado Sean las ecuaciones Resolver a)
5x + 6 < 3x – 8 y 3x > 2
b)
c)
d)
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5. GEOMETRIA ANALITICA Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Plano cartesiano: está formado por dos rectas perpendiculares entre sí denominadas ejes de las abscisas(X) y ejes de las ordenadas (Y), que se cruzan en el origen de coordenadas (0,0)
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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Sean los puntos A(X1 , Y1) y B(X2 ,Y2) hallar la distancia “d”
Ejemplo: Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).
CORDENADAS DEL PUNTO MEDIO: S e a e l s e g m e n t o A(X1 , Y1) y B(X2 ,Y2) , las coordenadas del punto medio es M(X0 ,Y0) X0 = Semisuma de las abscisas Y0 = Semisuma de las ordenadas
Área de un triangulo Para hallar el área de un triangulo es necesario conocer las coordenadas de los vértices del triangulo Ejemplito Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A (-3,-1); B (0,3); C (3,4) y D (4,-1). Hallar también el área del triangulo formado por los vértices BCD
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5. 1
ECU ACI O N DE LA RECT A
Pendiente De Una Recta La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX.
La pendiente m = Tg(α)
P e n d i e n t e d a d o s d o s p u n t o s P1(X1, Y1) y P2(X2 ,Y2)
Ecuación de la recta
Ejemplo. a) Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).
b) Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.
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c) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (- 3. I) y es paralela a la recta determinada por los dos puntos (0, - 2) y (5, 2) .
d) Hallar la distancia de Q(–3, 4) a la siguiente recta: 2x + 3y = 4 e) Hallar el punto de intersección de las rectas:
6 x - 5 y = - 27 8x+7y=5
f)
Determinar la pendiente de la recta, cuya ecuación es y=mx+5, para que pase por el punto de intersección de las rectas, representadas por las ecuaciones: y = -3x- 5, y = 4x + 2.
g) Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas: 5 x - 3 y = - 2 y 8 x + 7 y = 44 y es perpendicular a la recta que está definida por la ecuación: y = 2/3x + 1
5.2. ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA Se llama circunferencia al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.
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Ecuación
De
La
Circunferencia
Con
Centro
En
El
Origen
De
Coordenadas Si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas la ecuación queda reducida a:
Ejemplo a) Escribir la ecuación de la circunferencia de centro (3, 4) y radio2
b) Dada la circunferencia de ecuación x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0, hallar el centro y el radio
c)
d ) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (2,3) y que pasa por el punto (5,1)
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5.3.
ECUACION DE LA PARABOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
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A. Ecuación De La Parábola Con Eje Focal Paralelo Al Eje “Y”
B. Ecuación De La Parábola Con Eje Focal Paralelo Al Eje “Y” y Vértice En El Origen De Coordenadas. La ecuación de una parábola con vértice en V (0,0) y foco en F (0, p) es
C. ecuación de la parábola con eje focal paralelo al eje “x” La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h+p, k) es
. D. La ecuación de una parábola con vértice en V (0,0) y foco en F (p,0) es
,
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EJEMPLO Trazar la gráfica y hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en (-2,4) y foco en (-2,3). Solución Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa el eje de la parábola es vertical, además abre hacia abajo y p= -1, entonces la ecuación está dada por: ( X + 2 )2 = -4 ( Y- 4 )
La directriz es y= 5.La gráfica se muestra en la figura 3.
2. Determina las ecuaciones de las parábolas que tienen:
a. De directriz x = -3, de foco (3, 0).
b. De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).
3. Determina la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).
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