Matematika za državnu maturu A viša razina

SADRŽAJ PREDGOVOR ..................................................................................................................7 REPETITORIJ FORMULA ......................................................................................9 1. ARITMETIKA I ALGEBRA ................................................................................11 2. GEOMETRIJA ......................................................................................................17 3. RAVNINSKA TRIGONOMETRIJA ....................................................................22 4. ANALITIČKA GEOMETRIJA.............................................................................25

ZADATCI .........................................................................................................................31 1. DIO PRVI (Zagrijavanje i razgibavanje)...............................................................33 2. DIO DRUGI (Trening) ..........................................................................................69 3. DIO TREĆI (Utakmica).......................................................................................115

POSTUPCI RJEŠAVANJA ZADATAKA .......................................................169

Npr.

(a ± b)2 =

a 2 ± 2ab + b 2

(a ± b)3 =

a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b 3

a 2 - b 2 = (a - b )(a + b )

(

a 3 ± b3 = ( a ± b ) a 2 ± ab + b2

)

Korijeni

(n a )p = n a p , n a p = n⋅m a p⋅m , n a − p = −n a p , n m a = m n a = m⋅n a , n a ⋅ n b = n a ⋅ b m

n

n

a÷ b=

n

a n n⋅ p n ⋅b = a p ⋅ n b , am = a n , a b

Racionaliziranje nazivnika

n

b

a bn−r , b n

a r

=

p a b ±c d

=

(

p a b ∓c d 2

2

a b−c d

);

a b ≠c d ≠0

Aritmetička i geometrijska sredina

x1 + x 2 + ... + x n−1 + x n n

A( x1 ,..., x n ) =

G (x1 , ... , xn ) = n x1 ⋅ x 2 ⋅ ... ⋅ xn −1 ⋅ xn

xi > 0

i = 1, ... , n

Uvijek vrijedi da je A ≥ G .

Kvadratna jednadžba − b ± b 2 − 4ac 2a c x1 ⋅ x 2 = a≠0 a

ax 2 + bx + c = 0 ⇒ x1,2 =

x1 + x 2 = − b 2 - 4ac > 0 2

b , a

različiti realni brojevi

b - 4ac = 0

jedan (dvostruki) realni korijen

b 2 - 4ac < 0

konjugirano kompleksni korijeni

12

c= p+ q Euklidov teorem:

a 2 = p ⋅ c, b 2 = q ⋅ c, v 2 = p ⋅ q ab = cv Iz svega slijedi a 2 + b 2 = c 2 što je Pitagorin teorem. pravokutnik P = a ⋅b

d = a2 + b2 O = 2(a + b ) paralelogram

P = a ⋅ va

O = 2(a + b )

trapez

a+c ⋅v 2 O = a+b+c+d P=

O kružnici i krugu

P = r 2π O = 2rπ l=

( )

OA ⋅ OB = OC

2

OA ⋅ OB = OC ⋅ OD

rπα 180

19

d=

a2 + b2 + c2

O = 2( ab + ac + bc )

O = 2rπ (r + v )

V = abc

V = r 2 πv O piramidi i stošcu

Oplošje O= B+ P

Volumen

1 V = ⋅ B⋅v 3 Primjeri: pravilna četverostrana piramida i stožac

O = rπ (r + s )

a -brid baze b -bočni brid h -bočna visina v -visina piramide

V=

r 2 πv 3

O = a 2 + 2ah V=

a2 ⋅v 3

O krnjoj piramidi i krnjem stošcu

Bav - velika piramida Bxy - mala piramida V = Bav - B xy Bav a 2 v 2 = = B xy x 2 y 2

21

Površina trokuta koji je određen točkama P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ) i P3 ( x 3 , y 3 ) je P=

1 x1 ( y 2 − y 3 ) + x 2 ( y 3 − y1 ) + x 3 ( y1 − y 2 ) .

2

Uvjet da su tri točke na istom pravcu je x 2 - x1 y 2 - y1 = x 3 - x1 y 3 - y1

ili PΔ = 0

Pravac

Eksplicitni oblik jednadžbe pravca

y = kx + l Koeficijent smjera k = tg a , a l je odsječak na osi y.

Implicitni (opći) oblik jednadžbe pravca Ax + By + C = 0,

k =−

A , B

l=−

C B

uz B ≠ 0

Segmentni oblik jednadžbe pravca x y + =1 m n

uz m ≠ 0 i n ≠ 0

gdje je n odsječak na y - osi, a m odsječak na x - osi.

Jednadžba pravca kroz jednu točku y − y1 = k ⋅ (x − x1 )

Jednadžba pravca kroz dvije točke y − y1 =

26

y 2 − y1 ⋅ (x − x1 ) x 2 − x1

uz x1 ≠ x2

Površina segmenta parabole koji je određen točkama P1 ( x, y ) i P2 ( x, −2 ) glasi P=

4 xy .

3

Diferencijalni i integralni račun

( f ( x ) ± g ( x ) )' = f ' ( x ) ± g ' ( x ) ( f ( x ) ⋅ g ( x ) )' = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ' ( x ) '

⎛ f ( x) ⎞ f '( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g '( x) ; g ( x) ≠ 0 ⎜ ⎟ = g2 ( x) ⎝ g ( x) ⎠

( f ⎡⎣ g ( x )⎤⎦ ) = f ' ⎡⎣ g ( x )⎤⎦ ⋅ g ' ( x ) '

C = const. ( konstanta ) , C ' = 0

( xn ) = n ⋅ xn −1 '

( sin x )' = cos x ; ( cos x )' = − sin x ; ( tg x )' = ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ; F ' ( x ) = f ( x ) ∫ C ⋅ f ( x ) dx = C ⋅ ∫ f ( x ) dx

∫ ( f ( x ) ± g ( x ) ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx b

∫

b

f ( x ) dx = F ( x ) I = F ( b ) − F ( a ) a

a b

a

∫

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx

b

c

b

a

c

a

∫

a

b

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

∫x 30

n

dx =

1 n +1 x +C n +1

1 cos2 x

19. Navedite mjere nekog središnjeg šiljastog kuta i njemu pripadnog obodnoga kuta.

Odgovor: središnji kut = _____________°, obodni kut = ________________° 20. Dijete visine 120 cm stoji ispred reflektora na udaljenosti od 2 m. Kolika je visina njegove sjene na zidu koji je od reflektora udaljen 7.5 m?

Odgovor:_____________________________metara 21.

y

1 0 1

x

a) U koordinativnom sustavu nacrtan je pravac p. Odredite mu jednadžbu.

Odgovor:_____________________________ b) U istom koordinativnom sustavu nacrtajte pravac y = 2 x + 4 . c) Pravac p i pravac y = 2 x + 4 sijeku se u točki A. Na grafu označite točku A i napišite njezine koordinate.

Odgovor: A(__________, __________) d) Odredite koordinate točke B u kojoj pravac y = 2 x + 4 siječe os apscisa.

Odgovor: B(__________, __________) e) Izračunajte površinu trokuta ABC.

38

41. Odredite koeficijente a, b, c kvadratne funkcije f ( x ) = ax 2 + bx + c čiji je graf prikazan na slici.

y

1 0 1

x

Odgovor: a = _________, b = _________, c = _________ 42. Napišite 5 kao umnožak nekih dvaju kompleksnih brojeva kojima su i realni i imaginarni dijelovi različiti od 0.

Odgovor:_____________________________ 43. Odmorišta A i B nalaze se na dvama susjednim brežuljcima. Put između njih prikazan je na slici: A

B

68° 20 m

16 m 45°25' 27 m

Koliki put treba prijeći da bi se iz mjesta A stiglo do mjesta B? (Zaokružite konačan rezultat na cijeli broj metara).

Odgovor:_____________________________ m 44. Ukupan broj dijagonala konveksnoga deseterokuta dan je formulom n ( n − 3) . Za konveksne mnogokute odredite: d (n) = 2

45

79. Kad je pećnica uključena 5 minuta doseći će temperaturu 55 °C. Kad je uključena 10 minuta temperatura će joj biti 87 °C. Pretpostavimo da temperatura pećnice linearno ovisi o vremenu.

a) Odredite linearnu funkciju koja opisuje kako temperatura pećnice ovisi o vremenu.

Odgovor:_____________________________ b) Kolika je temperatura pećnice nakon pola sata?

Odgovor:_____________________________ c) Kolač treba staviti u pećnicu kada joj je temperatura 175 °C. Koliko minuta nakon uključenja pećnice treba u nju staviti kolač (vrijeme zaokružite na cijeli broj)?

Odgovor:_____________________________ 0.05 = 0.1 A: 0.2 B: 0.5 C: 2 D: 5

80.

⎡ 19 ⎤ 81. Koliko je prirodnih brojeva u intervalu ⎢ 2, ⎥ ? ⎣ 3⎦ A: 3 B: 4 C: 5 D: 6

82. ( x + 1)( x − 2 ) =

A: x 2 − 2 B: x 2 − x − 2 C: x 2 − 3x − 2 D: x 2 + x − 2

56

100. Odredite površinu i opseg lika sa slike.

Odgovor: Površina je _____________________________ Opseg je _____________________________ 101. Turistički autobus za razgledavanje grada uveo je novi način plaćanja karata.

Prvi putnik koji uđe u autobus plaća 83 kn, a svaki sljedeći 3 kn manje.

a) Koliko je svoju kartu platio osmi putnik?

Odgovor:_____________________________ kn b) Odredite formulu C(n) za cijenu (u kunama) koju je platio n-ti putnik.

Odgovor: C(n) = _____________________________ c) Koji je po redu ušao putnik koji je platio 32 kn?

Odgovor:_____________________________ d) Koliki je najveći mogući broj putnika koji pri ulasku u autobus moraju platiti kartu?

Odgovor:_____________________________ 102. Na kojoj je slici prikazan kompleksan broj –2 + i?

A: 61

1) Koja je od ovih funkcija linearna?

Odgovor: _________________________ 2) Neka je x0 realan broj za koji je f ( x0 ) = g ( x0 ) .

Kolika je vrijednost f ( x0 ) ?

Odgovor: _________________________

506.

1) Zadani su kompleksni brojevi z1 = 2i i z2 = 2 − 3i.

Koliki je realni dio kompleksnoga broja koji je rezultat dijeljenja broja z1 brojem z2?

Odgovor: _________________________ 2) Zadani su kompleksni brojevi z1 = (a + 5)(2 − i) i z2 = 3− 2bi, za a , b ∈ » .

Odredite b tako da brojevi z1 i z2 budu jednaki.

Odgovor: _________________________

4.9 ⎞ ⎛ 507. Ulaganjem 2 000.00 kn u banku nakon n godina dobiva se 2000 ⋅ ⎜ 1 + ⎟ ⎝ 100 ⎠ kuna.

1) Koliki je iznos na računu nakon 4 godine?

n

Odgovor: _________________________ kn 2) Za koliko bi godina iznos na tom računu narastao od 2 000.00 kn na 10 000.00 kn?

Odgovor: _________________________

508.

1) Ako je α + β =

3π π 1 , 0 < β ≤ i sin β = koliko je cos α ?

4 2 3

163

20.

x

1.2

2

5.5 7.5

reflektor

dijete

zid

120 cm = 1.2 m Iz sličnosti trokuta dobivamo omjer: 1.2 x = 2 7.5

⇒

21.

2 x = 1.2 ⋅ 7.5 ⇒

x = 4.5 m

y A (0, 4)

1 B (–2, 0)

C (4, 0) 0 1

x

a) Pravac očito prolazi točkama (0, 4) i (4, 0) pa možemo upotrijebiti jednadžbu pravca kroz dvije točke: y −y y − y1 = 2 1 ⋅ ( x − x1 ) x2 − x1

y−4 =

0−4 ⋅ ( x − 0) 4−0

⇒

y = −x + 4

177

44.

a) d ( n ) = b) 119 =

n1,2 =

n ( n − 3) 2

n ( n − 3) 2

d (10 ) =

⇒ ⇒

10 ⋅ (10 − 3) = 35 2

n 2 − 3n − 238 = 0

3 ± 32 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −238 ) 2 ⋅1

=

3 ± 31 2

Važan je samo pozitivan n ⇒ n = 17 pa vidimo da je riječ o 17-erokutu.

Na analogan način nalazimo (rješavajući sličnu kvadratnu jednadžbu) necjelobrojna rješenja za n što znači da NE postoji n-terokut koji bi imao 185 dijagonala. c)

n ( n − 3) < 50 2

n1,2 =

3 ± 409 2

⇒ ⇒

n 2 − 3n − 100 < 0 pozitivan n ≈ 11.6

To znači da 11-erokut ima manje, a 12-erokut više od 50 dijagonala. Naravno, svi n-terokuti "manji" od 11 zadovoljavaju uvjet zadatka.

45. U sendviču je 23 (po masi) osnovna dijela od čega su njih 20 ugljikohidrati, a 3 su bjelančevine. Ako je ugljikohidrata 87.6 grama, onda je taj osnovni dio 87.6 : 20, a to je 4.38. Bjelančevina tada mora biti 3 · 4.38 = 13.14 grama.

Odgovor: B 1 1 ⎛ ⎞3

1 ⎛ 12 ⎞ 3

1

2

⎛ ⎛ 1 ⎞2 ⎞ 3 ⎛ 1 ⎞ 3 1 46. ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ ≠ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ 3 ⎝9⎠ ⎝ 3⎠ ⎝3 ⎠ ⎝⎝ ⎠ ⎠

Odgovor: B

185

507.

4

4.9 ⎞ ⎛ 1) 2000 ⎜ 1 + ⎟ ≈ 2421.76 kn ⎝ 100 ⎠ n

4.9 ⎞ ⎛ 2) 2000 ⎜ 1 + ⎟ = 10000 ⎝ 100 ⎠

(1 + 0.049 )n = 5 n=

log5 ≈ 33.644 godina što je približno 33 godine, 7 mjeseci i 22 dana. log1.049

508.

2 2 .

3 3π 3π 2 2 2 2 1 ⎛ 3π ⎞ cos α = cos ⎜ − β ⎟ = cos cos β + sin sin β = − ⋅ + ⋅ = 4 4 2 3 2 3 ⎝ 4 ⎠ 2 2 =− + .

3 6 2) cos2 x = sin 4 x + cos2 x ⋅ sin 2 x 1) β je iz prvog kvadranta pa je cos β = 1 − sin 2 β =

cos2 x − cos2 x ⋅ sin 2 x = sin 4 x

)

(

cos2 x ⋅ 1 − sin 2 x = sin 4 x cos4 x = sin 4 x

⇒ tg 4 x = 1

tg x1 = 1 ⇒ x1 = tg x2 = −1 ⇒

π 4

x2 =

+ kπ 3π + kπ 4

Zajedno napišemo rješenja: x =

π

π

+ k ⋅ ; k ∈» 4 2

509.

150

450

α

200

1800

313