35
S
OM FYSIKSTUDERENDE MED EN KÆMPE INTERESSE I ATOMER OG KVANTEFYSIK, HAVDE JEG SLET IKKE FORESTILLET MIG, AT MIT BACHELORPROJEKT SKULLE HANDLE OM TRÆKFUGLE. MEN MANGE TRÆKFUGLE BRUGER JORDENS MAGNETFELT TIL AT NAVIGERE EFTER, OG DET VISER SIG FAKTISK, AT MEKANISMEN FOR DISSE FUGLES KOMPAS-SANS KAN BESKRIVES UTROLIGT GODT MED KVANTEMEKANIK.
Et Biologisk Kompas Det er snart 50 år siden, at de første forsøg viste, at visse trækfugle kan navigere vha. Jordens magnetfelt - og alligevel ved vi ikke præcis, hvordan fuglenes “kompas-sans” virker. Det bedste bud på mekanismen bag kompas-sansen er i øjeblikket en model af Schulten et al fra år 2000, hvor nogle elektroners spin vekselvirker med Jordens magnetfelt via Zeeman-effekten. Rent fysisk skulle dette spin-system være en del af cryptochrome-proteinerne, der findes i fuglens øjne. De første forsøg der påviste kompas-sansen, blev udført ved at lukke en fugl inde i et tragtformet bur, foret med kradsefølsomt papir (rettepapir til en skrivemaskine). Fuglen begyndte så at kradse i væggen for at komme ud og lavede dermed tydelige mærker på papiret. Dette forsøg blev gentaget med flere fugle (rødkælke), og en statistisk analyse viste, at fuglene foretrak en bestemt retning - der var signifikant flest kradsemærker på papiret for en bestemt retning. Omvendt viste det sig, at hvis der blev skærmet af for Jordens magnetfelt, havde fuglene ingen foretrukken retning. Yderligere forsøg har bl.a. vist, at fuglenes kompas-sans kun fungerer, når de er udsat for grønt eller blåt lys, men ikke når der kun er rødt lys til rådighed - det kræver altså lys med en vis energi at aktivere mekanismen. Cryptochrome-proteiner i fuglens øjne spiller som sagt en afgørende rolle for kompas-sansen, som det også fremgår af en undersøgelse på bananfluer; det er nemlig ikke kun fuglene, der har
36
Hjerneblod l
3/2014
cryptochrome, men faktisk har mange forskellige dyr og planter (inklusiv mennesker) dette. I et forsøg blev bananfluer lukket ind i midten af et rør, således at de kun kunne bevæge sig i to forskellige retninger. Det viste sig så, at man ved at lave et statisk magnetfelt henover røret, kunne få bananfluerne til at foretrække en bestemt retning: dvs. bananfluerne var ligeligt fordelte i røret, når der ikke var noget magnetfelt tilstede, men havde en signifikant anderledes - og asymmetrisk - fordeling, når der var et statisk magnetfelt. Forsøget blev derefter gentaget med muterede bananfluer, som alle manglede cryptochrome, og i dette tilfælde var bananfluerne ligeligt fordelte, uanset om der var et magnetfelt tilstede eller ej! Det skal desuden nævnes, at kompas-sansen ikke fungerer som et “normalt kompas”, der både kan kende forskel nord, syd, øst og vest, men derimod et “hældningskompas”, der blot giver information om vinklen mellem fuglens synsretning og magnetfeltet (dette er en konsekvens af, at systemet kun afhænger af magnetfeltet gennem et skalarprodukt - men det er også konsistent med diverse eksperimenter). Model for kompas-sansen Tilbage i år 2000 præsenterede Schulten et al en model for mekanismen bag kompas-sansen, hvor et molekyle [AB] spaltes ved fotoeksitation, altså ved absorption af lys, i et radikalpar [A+]• +[B-]•. I denne model antages det så, at både [A+]• og [B-]• har én magnetisk kerne, som hver vekselvirker med den uparrede elektron på radikalet. Denne vekselvirkning mellem en elektron og en atomkerne kaldes hyperfinvekselvirkningen. Hvis elektronerne befinder sig i et magnetfelt, vil de desuden også vekselvirke med dette, og denne vekselvirkning er kendt som Zeeman-vekselvirkningen. Da vi har et radikalpar, dvs. to spin-1/2-partikler, vil systemet kunne befinde sig i to “slags” tilstande: en singlet (med spin 1/2 − 1/2 = 0)
Spin spin er en rent kvantemekanisk egenskab, som elektroner og andre partikler har. Dét, at spin er et rent
kvantemekanisk fænomen, betyder bl.a. at man ikke kan finde nogen analogi i klassisk fysik - spin er altså en meget abstrakt egenskab. Alle typer af en bestemt slags partikel vil have samme spin, for det er en egenskab ved partiklen på lige fod med masse og ladning. F.eks. har alle elektroner spin 1/2 (i enheder af naturkonstanten ! ), ligesom de alle har samme masse og ladning.
Man kan opfatte spinnet som en vektor, og oftest er man interesseret i projektionen af spinnet ind på en bestemt akse (typisk z-aksen) - men denne projektion er kvantiseret, dvs. kan kun antage helt bestemte værdier: for en spin-1/2-partikel kan denne projektion kun være +1/2 (ofte kaldet spin op) eller −1/2 (spin ned). Desuden kan man lægge spin sammen, lidt ligesom man lægger vektorer sammen: har man to spin-1/2-partikler kan de tilsammen danne et totalt spin på enten 0 eller 1, og disse “koblede” spin-tilstande kaldes hhv. singlet og triplet - forskellen på singlet- og triplet-tilstande er altså primært, at de har forskellige værdier af det totale spin. Spinnet giver desuden også anledning til et magnetisk moment: med andre ord betyder det, at en elektron f.eks. kan opfattes som en lille stangmagnet, hvor magnetens nordpol peger i samme retning som “spin-vektoren”. På grund af dette kan elektroner vekselvirke med et ydre magnetfelt gennem deres spin (ligesom vi ved at to magneter kan tiltrække eller frastøde hinanden), og denne vekselvirkning kaldes Zeeman-effekten.
Figur 1: Mekanisme for kompas-sansen: Ved fotoeksitation dannes et radikalpar i en singlet-tilstand, som kan omdannes til en triplet-tilstand (eller omvendt). Fra både singlet- og triplet-tilstande kan radikalparret rekombinere og danne forskellige produkter.
37
Radikal
Et radikal er et atom eller molekyle med en uparret elektron, og man angiver typisk den uparrede elektron med “•”. Et eksempel kan være et klor-atom, Cl•, der kun har 7 elektroner i yderste skal, og dermed ikke opfylder oktetreglen. Klor vil derfor hurtigt reagere med andre stoffer, for enten tage en ekstra elektron og blive til en klorid-ion, Cl-, eller dele sin uparrede elektron med et andet atom eller molekyle (der også har en uparret elektron) og derved lave en kovalent binding. Radikaler er generelt meget reaktive.
eller en triplet (med spin 1/2 + 1/2 = 1) - der vil faktisk være flere forskellige singlet- og triplet-tilstande, især når man også betragter spinnet af de to atomkerner. Desuden behøver systemet ikke nødvendigvis befinde sig i enten en singlet- eller triplet-tilstand, men det er faktisk muligt, at det befinder sig i en superposition, altså en slags “blanding” af de mulige tilstande. Ifølge denne radikalpar-model vil nye radikalpar dannes i en singlettilstand, og de forskellige vekselvirkninger vil have den effekt, at singlet- og triplet-tilstandene bliver “blandet sammen” (eller med andre ord vil det sige, at singlet kan omdannes til triplet og omvendt). Når radikalparret befinder sig i singlet-tilstande, vil der være mulighed for, at det rekombinerer, altså at radikalparret går sammen og danner et enkelt molekyle igen, som vi i dette tilfælde kalder “singlet-produkt”. Ligeledes vil der fra triplet-tilstande kunne dannes et “triplet-produkt”. Forholdet mellem singlet- og triplet- produkt vil dermed afhænge af sandsynligheden for, at systemet befinder sig i henholdvis singlet- og triplet-tilstande, og denne sandsynlighed vil igen afhænge af de enkelte vekselvirkninger - herunder Zeeman-vekselvirkningen (mellem elektronerne og et magnetfelt). Forholdet mellem mængden af det dannede singlet- og triplet-produkt vil dermed være et direkte udtryk for, hvordan fuglen vender i forhold til magnetfeltet.
38
Hjerneblod l
3/2014
Matematisk Beskrivelse Den matematiske beskrivelse af systemet er ikke simpel, og særligt for læseren, der ikke allerede har lært en del kvantemekanik, vil jeg anbefale, i første omgang at springe dette afsnit over. Beskrivelsen er givet ved den stokastiske Liouville-ligning, der ser således ud (uden diffusion): " " ∂ρ i !ˆ " kS ! ˆ kT ! ˆ (1) = − H, ρ − PS , ρ − PT , ρ ∂t ! 2 2 − + +
Her er i den imaginære enhed (i2 = −1), ! den reducerede Planck-konstant, kS og kT er rekombinationsrater (rater for dannelse af hhv. singlet- og ˆ S og P ˆ T projektionsoperatorer triplet-produkt), P for hhv. singlet- og triplet-tilstandene, tæthedsma! ρ = p |ψ ⟩ ⟨ψ | j j j tricen, ρ, er givet ved (hvor |ψj ⟩ er j de rene kvantetilstande, og pj sandsynligheden for at systemet er i tilstand|ψj ⟩ ). Derudover er kommutatoren og anti-kommutatorerne defineret som: [A, B]± = AB ± BA ˆ , er defineret som: Og hamiltonoperatoren, H ˆ = 2µB H
2 ! j=1
ˆ j · B + 2µB S
2 ! j=1
ˆ j · Aj · ˆIj S
Det første led er Zeeman-vekselvirkningerne og ˆ j og det andet hyperfinvekselvirkningerne. Her er S ˆIj operatorer for hhv. elektron- og kerne-spin, B magnetfeltet og Aj en tensor, der så at sige “bestemmer” hyperfinvekselvirkningen for den j’te kerne.
Figur 2: Modellens afhængighed af både magnetfeltets vinkel (i grader) samt styrke. Der ses en tydelig vinkelafhængighed bl.a. ved 0.05mT, der svarer nogenlunde til Jordens magnetfelt (som dog varierer alt efter, hvor man befinder sig).
Egenværdier og Egentilstande
En bestemt type ligninger, kaldet egenværdi-ligninger, er meget vigtige i forbindelse med kvantemekanik. Der er tale om ligninger på formen: ˆ = λv Av
Her er Aˆ en operator (f.eks. en matrix eller en differentialoperator), v en vektor, og λ et tal kaldet en egenværdi til operatoren Aˆ . Alle vektorer v, som er en løsning til egenværdi-ligningen kaldes egenvektorer til operatoren, og har hver sin tilknyttede egenværdi (flere egenvektorer kan dog godt have samme egenværdi). Schrödinger-ligningen fra kvantemekanik er et eksempel på en egenværˆ = Eψ ), hvor operatoren kaldes hamiltonoperatoren di-ligning ( Hψ og egenvektorerne er de forskellige tilstande systemet kan befinde sig i. Her er egenvektorerne ikke “vektorer” i traditionel forstand, men bølgefunktioner, og kaldes normalt egentilstande til hamiltonoperatoren. Egenværdierne til disse tilstande er den energi, som systemet vil have, når det befinder sig i den tilsvarende egentilstand.
39
Den størrelse, som det er interessant at beregne vha. ovenstående, er triplet-udbyttet, der her kan defineres som den andel af radikalparrene, der rekombinerer til triplet-produkt. Hvis de to rekombinationsrater er ens, kS = kT = k, kan tripletudbyttet defineres således ved hjælp af løsningen til (1): ! ∞ " # ˆ T ρ dt ΦT = k Tr P 0
=
16 $ 16 $
1 ˆ T |m⟩ ⟨m| P ˆ S |n⟩ ⟨n| P 4 n=1 m=1 ×
k2 k 2 + (ωn − ωm )2
Her er |n⟩ egentilstande til hamiltonoperatoren, mens !ωn er egenværdierne. Kan et system, beskrevet ved disse ligninger, så fungere som kompas? Systemets afhængighed af magnetfeltet ligger i hamiltonoperatoren, hvor Zeeman-leddet indeholder et skalarprodukt mellem spin-operatoren og magnetfeltet. Da skalarproduktet som bekendt afhænger af en vinkel mellem de to vektorer, må vi forvente, at selve tripletudbyttet også afhænger af denne vinkel, og dette kan undersøges ved at beregne tripletudbyttet for forskellige B-vektorer - se fig. 2 for resultatet af en sådan beregning.
Videreudvikling af Modellen Selvom denne model umiddelbart er et godt bud på mekanismen bag kompas-sansen, er der mange muligheder for at udvide den: hvorfor skal det f.eks. kun være to elektroner og to kerner, der indgår i mekanismen - hvilken effekt vil det have at tilføje flere kerner? Og modellen indeholder kun vekselvirkninger mellem elektroner og magnetfelt, men kernerne vil også vekselvirke med magnetfeltet. Det er nu nemt nok at forstå, hvorfor vekselvirkningen med kernen udelades: bidraget fra den vil være proportional med kernens reciprokke masse, og dermed mange
40
Hjerneblod l
3/2014
tusinde gange mindre end bidraget fra en elektron (den reciprokke elektronmasse indgår i μB i hamiltonoperatoren). Derudover er der magnetiske vekselvirkninger mellem de to elektroner, idet spinnet fra elektronerne udgør magnetiske dipoler - dvs. hver elektron kan opfattes som en lille stangmagnet med både en nord- og sydpol. Ligesom to stangmagneter vil tiltrække/frastøde hinanden, alt efter hvordan de vender, får vi en tilsvarende effekt for de to elektroner, som afhænger af retningen på elektronernes spin. Desuden vil Pauli-princippet fra kvantemekanik også have en effekt (gennem det der kaldes exchange- vekselvirkningen) - en konsekvens af dette princip kan (meget groft!) forklares således: to elektroner kan aldrig befinde sig i præcis den samme tilstand (altså samme energi, position, osv.). En længere og mere fuldstændig beskrivelse af princippet vil handle om, hvorvidt et system er symmetrisk eller anti-symmetrisk under ombytning af to identiske partikler. I mit projekt har jeg også undersøgt, hvordan inkluderingen af disse vekselvirkninger påvirker systemet, og generelt set vil de bare mere eller mindre ødelægge systemets mulighed for at fungere som kompas. Men det skal lige bemærkes, at man kan se bort fra disse vekselvirkninger, når elektronerne ikke befinder sig alt for tæt på hinanden - det giver også god mening hvis vi f.eks. bruger analogien med to stangmagneter: tiltrækningen eller frastødningen mellem dem vil være størst, når de er tæt på hinanden. Elektromagnetisk Stråling Tidligere i år blev der udgivet en artikel, der beskrev en lang række forsøg med rødkælke foretaget i udkanten af en by (ved University of Oldenburg). Det specielle ved, at forsøgene blev foretaget i en by, er, at der vil være en stor mængde elektromagnetisk stråling tilstede (fra alle mulige forskellige elektriske apparater). Det viste sig nemlig, at denne stråling “blokerede” for fuglenes kompas-sans, således at fuglene ikke var i stand til at finde vej! Og det var på trods af, at strålingsitensiteten lå langt under grænseværdierne - der var tale om relativt svag stråling! Det skal så
Figur 3: Systemets afhængighed af vinklen i forhold til magnetfeltet ændres markant af stråling (her 2MHz), og kompas-sansen vil derfor ikke længere fungere!
lige bemærkes, at det ikke er stråling fra f.eks. mobiltelefoner, der påvirker fuglene, men stråling i frekvensområdet ca. 50 kHz til 5 MHz, som bl.a. stammer fra AM-radio-signaler. Jeg har derfor lavet nogle beregninger på modellen, hvor jeg har tilføjet elektromagnetisk stråling, for at se, om det også kan ødelægge kompas-sansen ifølge denne model. Nogle af mine resultater er vist på fig. 3, hvor den røde kurve svarer til fig. 2 ved et magnetfelt på 0.05mT. Når systemet bliver udsat for elektromagnetisk stråling, kan dette ændre resultatet fuldstændig, som det fremgår af den blå kurve - men det sker kun indenfor et bestemt frekvensinterval (nær systemets resonansfrekvenser), hvilket jo er konsistent med, at fuglene som sagt kun blev forstyrret af frekvenser mellem 50 kHz og 5 MHz. Dét, at fugles kompas-sans kan påvirkes så kraftigt af selv meget små mængder stråling, er efter min mening ret foruroligende. Ikke mindst fordi cryptochrome-proteinerne - ud over at være involveret i nogle dyrs kompas-sans - spiller en rolle i regulering af døgnrytmen, så det er meget nærliggende at tro, at for store mængder stråling
kan være skyld i bl.a. søvnproblemer hos mennesker
Videre Læsning
For mere information omkring trækfugles kompas-sans og radikalparmekanismen, vil jeg anbefale at læse artiklen af Thorsten Ritz, Salih Adem og Klaus Schulten: A model for photoreceptor-based magnetoreception in birds., Biophysical Journal (78:707-718, februar 2000).
41
Clau s Nielsen, 23 Ă…r kandi d at stu derende i fy sik b achelor i fy sik og matematik
42
Hjerneblod l
3/2014
www.xkcd.com
43