Matematicas II 1. Ángulos 1.1. Clasificación 1.1.1. Por la posición de sus lados 1.1.1.1. Opuestos por el vértice En Geometría euclidiana dadas dos rectas r y s, del plano, que se cortan en el punto P, dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semirrectas opuestas a los lados del otro.
En la figura los ángulos a, c y b, d son opuestos por el vértice. Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes. 1.1.1.2.
Adyacentes Ángulos adyacentes son aquellos ángulos que tienen el vértice y un lado en común, al tiempo que sus otros dos lados son semirrectas opuestas. De allí resulta que los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°), sin poseer ningún punto interior en común.
1.1.1.3.
Formado por 2 rectas secantes o dos paralelas en forma transversal. En geometría euclidiana, los ángulos entre paralelas son los ocho ángulos formados por dos rectas paralelas y una transversal a ellas. Se clasifican según su congruencia.
Las parejas de ángulos: <1 y <5; <2 y <6; <4 y <8; <3 y <7 se llaman ángulos correspondientes, y son congruentes. Las parejas de ángulos: <1 y <7; <2 y <8 se llaman ángulos alternos externos, y son congruentes. Las parejas de ángulos: <4 y <6; <3 y <5 se llaman ángulos alternos internos, y son congruentes.
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, de modo que, de los ocho ángulos formados entre dos paralelas y una transversal, hay únicamente dos distintos, que son adyacentes.
NOTAS: En matemáticas, dos figuras de puntos son congruentes si tienen los lados iguales y el mismo tamaño (o también, están relacionados por un movimiento) si existe una isometría que los relaciona: una transformación que es de translaciones, rotaciones y reflexiones. Por así decirlo, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas. Las partes coincidentes de las figuras congruentes se llaman homólogas o correspondientes.
Un ejemplo de movimiento o congruencia semejante a ellas. La última no es ninguna de las dos cosas. Nótese que los movimientos cambian propiedades de las figuras homogéneas y confluentes como la posición de estas, pero dejan inalteradas otras como las distancias y los ángulos.
En la geometría euclidiana, la congruencia es fundamental; es lo equivalente a igualdad matemática en aritmética y álgebra. En geometría analítica, la congruencia puede ser definida así: dos figuras determinadas por puntos sobre un sistema de coordenadas cartesianas son congruentes si y solo si, para cualquier par de puntos en la primera figura, la distancia euclidiana entre ellos es igual a la distancia euclidiana entre los puntos correspondientes en la segunda figura. Una definición más formal: dos subconjuntos A y B de un espacio euclídeo Rn son llamados congruentes si existe una isometría f: Rn → Rn (un elemento del grupo euclideo E(n)) con f(A) = B.
1.1.2. Por la suma de sus medidas 1.1.2.1. Suplementarios Dos ángulos y son ángulos suplementarios si suman 180° (grados sexagesimales).
Un ángulo tiene suplementario si es menor que 180°. Para obtener el ángulo suplementario de un determinado ángulo , se restará a 180°, de manera que: = 180° -
1.1.2.2.
Complementarios Los ángulos complementarios son aquellos ángulos cuyas medidas suman 90° (grados sexagesimales). Si dos ángulos complementarios son consecutivos, los lados no comunes de los dos forman un ángulo recto.
Así, para obtener el ángulo complementario de α, teniendo α una amplitud de 70°, se restará α de 90°: β = 90° – 70° = 20° El ángulo β (beta) es el complementario de α (alfa). Sabiendo esto, dichos ángulos formarán siempre un triángulo rectángulo puesto que los ángulos en un triángulo rectángulo son uno de 90° y los otros dos deben sumar 90 con el del cateto adyacente y se multiplica por la hipotenusa (180°(grados totales de un triángulo)-90°=90°). 1.2. Triángulos 1.2.1. Características Los triángulos son una serie de figuras geométricas que cuentan con tres vértices. Estos tipos de polígonos llevan su nombre que deriva de la palabra latina “triangulus” que hace referencia a sus tres lados. Al referirnos a los triángulos estamos hablando de figuras geométricas que se cierran, que cuentan con tres vértices y tres lados respectivamente. 1.2.2. Clasificación Existen diferentes tipos de triángulos como son: Equilátero Isósceles Escaleno
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Por la amplitud de sus ángulos los triángulos se clasifican en:
Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa. Triángulo oblicuángulo: cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos. Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°). Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°.
Rectángulo
Obtusángulo
Acutángulo
Oblicuángulos
1.2.3. Semejanza de triángulos Es la variación en tamaño entre dos objetos o cuerpos pero sus formas son idénticas. Se dice que dos figuras geométricas son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Por ejemplo, dos mapas a escalas distintas son semejantes, pues la forma de los continentes no cambia, pero si el tamaño.
1.2.4. Propiedades de triángulos 1.2.4.1. Centros del triángulo Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo: Baricentro o Centroide: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados. Además, la circunferencia circunscrita contiene los puntos de intersección de la mediatriz de cada lado con las bisectrices que pasan por el vértice opuesto. Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos. Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas. Exincentros son los centros de las circunferencias exinscritas. Se encuentra en la intersección de una bisectriz interior y dos bisectrices exteriores de los ángulos. El único caso en que los cuatro primeros centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero. 1.2.4.2. Cálculo de los lados y los ángulos de un triángulo En general, hay varios métodos aceptados para calcular la longitud de un lado y la medida de un ángulo. Mientras que ciertos métodos pueden ser adecuados para calcular los valores de un triángulo rectángulo, otros pueden ser requeridos en situaciones más complejas. Para resolver triángulos (en general) se suele utilizar los teoremas del seno y del coseno, para el caso especial de triángulos rectángulos se utiliza generalmente el Teorema de Pitágoras.
2. Congruencia de triángulos 2.1. Postulados de congruencia Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen sean congruentes con los del otro triángulo. Postulados de congruencia
Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que los dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida.
Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos).
Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo. 2.2. Teoremas de congruencia Teorema AAL (Ángulo, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos y un lado, no comprendido entre los ángulos, tienen la misma medida y longitud, respectivamente. 2.3. Congruencia de triángulos rectángulos
Criterio HC (Hipotenusa, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y el cateto de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. Criterio CC (Cateto, Cateto). Dos triángulos rectángulos son congruentes si los catetos de uno de los triángulos tienen la misma medida que los catetos correspondientes del otro. Criterio HA (Hipotenusa, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si la hipotenusa y un ángulo agudo de uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. Criterio CA (Cateto, Ángulo). Dos triángulos rectángulos son congruentes si el cateto un ángulo agudo (el adyacente o el opuesto) de
uno de los triángulos tienen la misma medida que los correspondientes del otro. 2.4. Criterios de congruencia de triángulos Los criterios de congruencia de triángulos nos dicen que no es necesario verificar la congruencia de los 6 pares de elementos ( 3 pares de lados y 3 pares de ángulos), bajo ciertas condiciones, podemos verificar la congruencia de tres pares de elementos.
2.4.1. L A L Dos triángulos son congruentes si son respectivamente iguales dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. b ≡ b’ c ≡ c’ α ≡ α’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
2.4.2. L L L Dos triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente iguales. a ≡ a’ b ≡ b’ c ≡ c’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
2.4.3. A L A Dos triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también congruentes. A estos ángulos se los llama adyacentes al lado. b ≡ b’ α ≡ α’ β ≡ β’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
Cuarto criterio de congruencia: LLA Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y los ángulos opuestos al mayor de los lados también son congruentes. a ≡ a’ b ≡ b’ β ≡ β’ → triáng ABC ≡ triáng A’B'C’
2.5. Características de triángulos semejantes Dos triángulos rectángulos son semejantes si cumple con al menos uno de los criterios siguientes: Si uno tiene un ángulo agudo de igual amplitud que un ángulo agudo del otro. Si uno tiene los dos catetos proporcionales con los del otro. Si uno tiene un cateto y la hipotenusa proporcionales con los del otro. 2.6. Criterios de semejanza de triángulos 2.6.1. Criterio aa (ángulo, ángulo). Si dos de sus ángulos son semejantes 2.6.2. Criterio lal (lado, ángulo, lado). Si dos de sus lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. 2.6.3. Criterio lll (lado, lado, lado). Si sus tres lados son proporcionales. Recuperado el 7 de enero de 2014 de http://postuladodecongruenciadetriangulos.blogspot.mx/ y http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Triangulos_congruencia.html
3. Los Polígonos En geometría, un polígono es una figura plana compuesta por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano. Estos segmentos son llamados lados, y los puntos en que se intersecan se llaman vértices.
3.1. Etimología La palabra polígono deriva del griego antiguo πολύγωνος (polúgonos), a su vez formado por πολύ (polú) ‘muchos’ y γωνία (gōnía) ‘ángulo’, aunque hoy en día los polígonos son usualmente entendidos por el número de sus lados. 3.2. Elementos de un polígono En un polígono se pueden distinguir los siguientes elementos geométricos:
Lado (L): es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.
Vértice (V): es el punto de intersección (punto de unión) de dos lados consecutivos.
Diagonal (d): es el segmento que une dos vértices no consecutivos.
Perímetro (P): es la suma de las longitudes de todos los lados del polígono.
Semiperímetro (SP): es la mitad del perímetro.
Ángulo interior (AI): es el ángulo formado, internamente al polígono, por dos lados consecutivos.
Ángulo exterior (AE): es el ángulo formado, externamente al polígono, por un lado y la prolongación de un lado consecutivo.
Interior de un polígono es el conjunto de todos los puntos que están en el interior de la región que delimita dicho polígono. El interior es un abierto del plano.
Exterior de un polígono es el conjunto de los puntos que no están en la poligonal (frontera) ni en el interior. El exterior es un abierto del plano.
Si el complemento (exterior) de una región poligonal es inconexo, este constará de varios fragmentos conexos llamados componentes. Uno y solo uno de los componentes es ilimitado; todos los demás son limitados, a estos últimos se llaman huecos. Cada hueco con su frontera es un polígono.
3.3. Clasificaci贸n
Según las propiedades que cumpla el contorno del polígono, es posible realizar las siguientes clasificaciones.
Simple, si ningún par de aristas no consecutivas se corta. Equivalentemente, su frontera tiene un solo contorno.
Complejo o Cruzado, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan.
Convexo, si todo segmento que une dos puntos cualesquiera del contorno del polígono yace en el interior de este. Todo polígono simple y con todos sus ángulos internos menores que 180º es convexo.
No convexo, si existe un segmento entre dos puntos de la frontera del polígono que sale al exterior del mismo. O si existe una recta capaz de cortar el polígono en más de dos puntos.
Cóncavo, si es un polígono simple y no convexo.
Equilátero, si tiene todos sus lados de la misma longitud.
Equiángulo, si tiene todos sus ángulos interiores iguales.
Regular, si es equilátero y equiángulo a la vez.
Irregular, si no es regular. Es decir, si no es equilátero o equiángulo.
Cíclico, si existe una circunferencia que pasa por todos los vértices del polígono. Todos los polígonos regulares son cíclicos.
Ortogonal o Isotético, si todos sus lados son paralelos a los ejes cartesianos x o y.
Alabeado, si sus lados no están en el mismo plano.
Estrellado, si se construye a partir de trazar diagonales en polígonos regulares. Se obtienen diferentes construcciones dependiendo de la unión de los vértices: de dos en dos, de tres en tres, etc.
Reticular es simple y, al representarlo en un reticulado, cada vértice yace exactamente en un vértice de cuadrado unitario del reticulado (en este caso funciona la fórmula de Pick).
Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono_(geometr%C3%ADa)
3.4. Propiedades y elementos de los polĂgonos
3.4.1. Radio
3.4.2. Apotema
3.4.3. Diagonales
3.4.4. NĂşmero de diagonales desde un vĂŠrtice y de diagonales totales
3.5. Relaciones y propiedades de los ĂĄngulos en los polĂgonos regulares
3.5.1. Central
3.5.2. Interior
3.5.3. Exterior
3.5.4. Suma de ángulos centrales Es igual a 360° 3.5.5. Suma de ángulos interiores
3.5.6. Suma de ángulos exteriores