Hoofdstuk 1 : De stelling van Pythagoras A. Stelling van Pythagoras : 1) voorbeeld:
We stellen vast:
52 = 32 + 42
2) algemeen: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. 2 2 2 in ∆ABC is Aˆ = 90° ⇒ BC = AB + AC
Wanneer we de lengten voorstellen door kleine letters, kunnen we de eigenschap korter noteren als:
in ∆ABC is Aˆ = 90° ⇒ a 2 = b 2 + c 2
- vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 1 / 13
3) bewijs: Gegeven: ∆ABC met Aˆ = 90° 2 2 2 Te bewijzen: a = b + c Bewijs:
We construeren ∆DCE zodat ∆ABC ≅ ∆DCE en ABED een rechthoekig trapezium is. W e tonen eerst aan dat ∆ BCE rechthoekig is.
( ) = 180° − (Cˆ + Bˆ ) overeenkomstige hoeken bij ∆ABC ≅ ∆DCE
Cˆ 3 = 180° − Cˆ1 + Cˆ 2 gestrekte hoek 1
= 180° − 90° = 90°
som van scherpe hoeken in rechth. driehoek
W e berekenen de oppervlakte van het trapezium op 2 manieren:
1) SABED = S∆ABC + S∆DCE + S∆BCE bc bc a 2 = + + 2 2 2 2bc + a 2 = 2
2) SABED = =
( grote basis + kleine basis ) ⋅ hoogte (b + c ) ⋅ (b + c )
2
2
(b + c ) =
2
2 b2 + 2bc + c 2 = 2 - vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 2 / 13
Uit 1) en 2) volgt:
2bc + a 2 b 2 + 2bc + c 2 = 2 2 ⇔ 2bc + a 2 = b 2 + 2bc + c 2 ⇔ a2 = b2 + c 2
wwmb
A1, nrs. 5, 12, 13, 14, 15, 24, 33, 52 en 69
OEFENINGEN
5
Bereken x. Afronden tot op 2 decimalen.
x 2 = 72 + 242 ⇔ x = 72 + 242 ⇔ x = 25
x 2 + 62 = 142 ⇔ x 2 = 142 − 62 ⇔ x = 142 − 62 ⇔ x = 12,65
x 2 + 52 = 132 ⇔ x 2 = 132 − 52 ⇔ x = 132 − 52 ⇔ x = 12
- vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 3 / 13
12
Hieronder
2 1) In ∆BCD met Cˆ = 90° : BD = 22 + 42
⇔ BD = 22 + 42 ⇔ BD = 4,47 → M De lengte van de ladder is 4,47 m. 2 2) In ∆ABE met Aˆ = 90° : AE + 32 = M 2
2
2
⇔ AE = M − 32 ⇔ AE =
2
M − 32
⇔ AE = 3,32 De ladder steunt tegen de muur op 3,32 m hoogte.
- vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 4 / 13
13
Bereken x.
De grootste afstand is de diagonaal. 2 In ∆ACD met Dˆ = 90° : AC = 602 + 1102
⇔ AC = 602 + 1102 ⇔ AC = 125,30 De grootste afstand die je in rechte lijn kan afleggen is 125,30 m.
14
Bereken x.
In ∆ADT met Aˆ = 90° : DT
2
= 62 + 42
⇔ DT = 62 + 42 ⇔ DT = 7,21 → D In ∆ABT met Aˆ = 90° : BT
2
= 62 + 32
⇔ BT = 6 2 + 3 2 ⇔ BT = 6,71 → B
- vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 5 / 13
2 In ∆ABC met Bˆ = 90° : AC = 32 + 42
⇔ AC = 32 + 42 ⇔ AC = 5 In ∆ACT met Aˆ = 90° : CT
2
= 52 + 62
⇔ CT = 52 + 62 ⇔ CT = 7,81 → C
DT + BT + CT + ( 6.0,15 ) = D + B + C + ( 6.0,15 ) = 22,63 Er is 22,63 m kabel nodig. 24 m kabel is dus voldoende.
15
Bereken x.
2 In ∆ABC met Bˆ = 90° : AC = 82 + 82
⇔ AC = 82 + 82 ⇔ AC = 11,31 → A 2
1 In ∆AMT met Mˆ = 90° : h + ⋅ A = 142 2 2
1 ⇔ h = 14 − ⋅ A 2 2
M
2
2
1 ⇔ h = 14 − ⋅ A 2 ⇔ h = 12,81
2
2
De hoogte van de piramide is 12,81 cm. - vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 6 / 13
24
Bereken x. 2 In ∆ABC met Aˆ = 90° : BC = 12 + 12
⇔ BC = 12 + 12 ⇔ BC = 1,41 → B
2 2 In ∆BCD met Bˆ = 90° : CD = B + 22
⇔ CD =
2
B + 22
⇔ CD = 2,45 → C
2 2 In ∆CDE met Dˆ = 90° : CE = C + 32
⇔ CE =
2
C + 32
⇔ CE = 3,87
33
Bereken
1 ⋅ 26 = 13 2 In ∆ABD met Dˆ = 90° : BD =
2
AD + 132 = 262 2
⇔ AD = 262 − 132 ⇔ AD = 262 − 132 ⇔ AD = 22,52
- vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 7 / 13
44 − 28 =8 2 BE = 44 − 8 = 36 AE =
In ∆BDE met Eˆ = 90° :
In ∆ADE met Eˆ = 90° :
2
⇔ AD = 82 + 152
⇔ ED = 392 − 362
2
⇔ AD = 82 + 152
⇔ ED = 392 − 362
⇔ AD = 17
ED + 362 = 392
2
⇔ ED = 15
In ∆BMO met Mˆ = 90° : 2
M
BM + 42 = 52 2
⇔ BM = 52 − 42 ⇔ BM = 52 − 42 ⇔ BM = 3 AB = 2. BM = 2.3 = 6
- vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 8 / 13
In ∆BCD met Dˆ = 90° : 2
DB + 152 = 392 2
⇔ DB = 392 − 152 ⇔ DB = 392 − 152 ⇔ DB = 36 AD = 56 − 36 = 20 2 In ∆ACD met Dˆ = 90° : AC = 202 + 152
⇔ AC = 202 + 152 ⇔ AC = 25
52
Bereken
2 In ∆ABC met Aˆ = 90° : x 2 + 62 = (18 − x )
⇔ x 2 + 36 = 324 − 36 x + x 2 ⇔ 36 x = 324 − 36 ⇔ 36 x = 289 289 36 ⇔ x =8 ⇔x=
- vlaf@telenet.be -
De stukken zijn 8 en 10 m.
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 9 / 13
69
Bereken
km 1 ⋅ s = 4 000 km s 75 km 1 TW = 300 000 ⋅ s = 5 000 km s 60 SW = 300 000
2 In ∆STW met Sˆ = 90° : ST + 40002 = 50002
⇔ ST
2
= 50002 − 40002
⇔ ST = 50002 − 40002 ⇔ ST = 3000 De satellieten bevinden zich op 3000 km van elkaar.
- vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 10 / 13
B. Omgekeerde stelling van Pythagoras : 1) voorbeeld: De 3-4-5 regel in de bouw: zie video Dobbit tv.
2) algemeen: Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden, dan is deze driehoek rechthoekig.
in ∆ABC is a 2 = b 2 + c 2 ⇒ Aˆ = 90°
OEFENINGEN
8
A1, nrs. 8, 9, 26, 27 en 30
Bereken
1) 162 ≠ 122 + 132
∆ABC is niet rechthoekig
2) 782 = 722 + 302
∆ABC is rechthoekig in C
3) 292 = 202 + 212
∆ABC is rechthoekig in B
- vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 11 / 13
Bereken
9
242 ≠ 112 + 212
∆PQR is niet rechthoekig
De muren zullen niet loodrecht op elkaar staan.
26
Bereken
In ∆ABC : Bˆ = 180° − 75° − 30° = 75° ⇓ basishoeken zijn gelijk ∆ABC is gelijkbenig ⇓ AC = 34
In ∆ACD : 342 = 162 + 302 ⇓ omgekeerde stelling van Pythagoras Dˆ = 90° - vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 12 / 13
27
Bereken
In ∆BCD met Bˆ = 90° : 2
BD + 702 = 742 2
⇔ BD = 742 − 702 ⇔ BD = 742 − 702 ⇔ BD = 24
In ∆ABD : 262 = 102 + 242 2
BD + 702 = 742 ⇓ omgekeerde stelling van Pythagoras Dˆ = 90° BC ⊥ BD en AD ⊥ BD ⇓ als twee rechten loodrecht staan op een derde rechte, dan zijn ze onderling evenwijdig AD // BC
30
Bereken
In ∆ABC met Aˆ = 90° :
(13 − x )
2
= ( 9 − x ) + 82 2
⇔ 169 − 26 x + x 2 = 81 − 18 x + x 2 + 64 ⇔ −26 x + 18 x = 81 + 64 − 169 ⇔ −8 x = −24 −24 ⇔x= −8 De latten moeten met 3 cm ingekort worden. ⇔ x =3 - vlaf@telenet.be -
Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen
pagina 13 / 13