Hoofdstuk 2 : De reële getallen A. Rationaal getal : 1) voorbeelden :
−4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
−3 4
4 1
5 7
0,7
− 2,25
7 10
−225 100
0,127272727... 7 55
periode 110
− 1,213 213 213 213... −404 333
periode 110
2) definitie : Een rationaal getal is een getal dat geschreven kan worden als een breuk van gehele getallen.
B. Decimale schrijfwijze van een rationaal getal : 1) begrensd :
vb.
7 = 0,7 10
11 1375 = = 1,375 8 1000
De decimale schrijfwijze is begrensd: we krijgen een decimaal getal.
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 1 / 33
2) onbegrensd : 26 11
17 12
26 11 -22 2,3636 40 -33 70 -66 40 -33 70 -66 4
17 12 -12 1,4166 50 -48 20 -12 80 -72 80 -72 8
26 = 2,3636... 11
17 = 1,4166... 12
zuiver repeterende decimale vorm, d.w.z.: de periode komt onmiddellijk na de komma
gemengd repeterende decimale vorm, d.w.z.: de periode komt NIET onmiddellijk na de komma
De decimale schrijfwijze is onbegrensd: we krijgen een repeterende decimale vorm.
C. Irrationaal getal : 1) voorbeelden : 0,123456789101112131415161718192021... 1,414 213 562 419 339 166 281...
( 2)
3,141 592 653 589 793 238 462 643... (�) Deze getallen hebben een niet-repeterende decimale vorm (→ geen periode). We noemen ze irrationale getallen.
- vlaf@telenet.be -
De reĂŤle getallen - theorie & oefeningen
pagina 2 / 33
2) definitie :
Een irrationaal getal is een getal met een niet-repeterende decimale vorm.
D. De verzameling IR :
ℝ
1) voorbeeld :
ℝ\ℚ
ℚ 1,66... −12
0
3 4
3,1415926... −0,12345678...
Rationale en irrationale getallen vormen samen de verzameling IR. We noemen IR de verzameling van de reële getallen.
2) definitie :
Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal.
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 3 / 33
E. De reële getallen op een getallenas : We kunnen alle reële getallen voorstellen op een getallenas.
Voor de rationale getallen kunnen we de stelling van Thales gebruiken, voor de irrationale getallen gebuiken we de stelling van Pythagoras. Stelling van Thales: "Bij een evenwijdige projectie blijven de verhoudingen bewaard". Merk op: elk punt van de getallenas komt overeen met een getal en elk getal komt overeen met een punt. We noemen het getal de abscis van zo'n punt.
F. Deelverzamelingen van IR : 1) de positieve reële getallen :
ℝ
0 ℝ + = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}
2) de negatieve reële getallen :
ℝ
0 ℝ − = {x ∈ ℝ | x ≤ 0} - vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 4 / 33
3) de strikt positieve reële getallen :
ℝ
0 ℝ +0 = {x ∈ ℝ | x > 0} 4) de strikt negatieve reële getallen :
ℝ
0 ℝ −0 = {x ∈ ℝ | x < 0}
G. Intervallen in IR : 1) gesloten interval :
3
4
5
6
7
ℝ
[ 4,7] = {x ∈ ℝ | 4 ≤ x ≤ 7} we lezen: "Het gesloten interval (met grenzen) 4 (en) 7"
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 5 / 33
2) open interval :
3
4
5
6
7
ℝ ℝ
]4,7[ = {x ∈ ℝ | 4 < x < 7} we lezen: "Het open interval (met grenzen) 4 (en) 7"
3) halfopen (of halfgesloten) interval :
3
4
5
6
7
ℝ ℝ
]4,7] = {x ∈ ℝ | 4 < x ≤ 7} we lezen: "Het open gesloten interval (met grenzen) 4 (en) 7"
3
4
5
6
7
ℝ ℝ
[ 4,7[ = {x ∈ ℝ | 4 ≤ x < 7} we lezen: "Het gesloten open interval (met grenzen) 4 (en) 7"
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 6 / 33
4) plus oneindig en min oneindig : IR bevat geen grootste of kleinste getal. De grootste niet te bereiken grens noemen we plus oneindig: De kleinste niet te bereiken grens noemen we min oneindig:
Dus:
ℝ + = [0, +∞[
ℝ − = ]−∞,0]
ℝ +0 = ]0, +∞[
ℝ −0 = ]−∞,0[
+∞ −∞
ℝ = ]−∞, +∞[
H. Rekenen in IR : Voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen in IR, gelden dezelfde eigenschappen en rekenregels als in Q.
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 7 / 33
OEFENINGEN
8
Los
9
Los
A2, nrs. 8, 9, 11, 14, 15 en 56
Het reeĂŤl getal r dat bij een punt P op de getallenas hoort, noemen we de abscis van P. We noteren dan: abs(P)=r
Dus: abs (C ) = 3, abs ( D ) = 8, enzovoort. - vlaf@telenet.be -
De reĂŤle getallen - theorie & oefeningen
pagina 8 / 33
11
Los
- vlaf@telenet.be -
De reĂŤle getallen - theorie & oefeningen
pagina 9 / 33
14
Los
- vlaf@telenet.be -
De reĂŤle getallen - theorie & oefeningen
pagina 10 / 33
15
Los
1) [2,15 ; 2,25[ 2) [3,1775 ; 3,1785[
56
Los
abs (P ) = 8 + 1 abs (Q ) = 12 + 1 abs (R ) = −
(
)
10 − 1
= − 10 + 1 - vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 11 / 33
I. Machten in IR : 1) voorbeelden :
23 = 2.2.2 = 8 2
−2 = −2 ⋅ −2 = 4 3 3 3 9
π 4 = π.π.π.π = 97,4091... 170 = 1
81 = 8
2) definitie van nde macht : De nde macht van een reëel getal a is het product van n factoren, allemaal gelijk aan a.
∀n ∈ ℕ \ {0,1}, ∀a ∈ ℝ : a n = a . ... . a n factoren
De eerste macht van een reëel getal a is steeds gelijk aan a zelf.
∀a ∈ ℝ : a1 = a De nulde macht van een van nul verschillend reëel getal is steeds gelijk aan 1.
∀a ∈ ℝ 0 : a 0 = 1
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 12 / 33
3) definitie van -nde macht : 3
−3
vb. 2
1 1 = = 2 8
−4
2 3
4
3 81 = = 2 16
De -nde macht van een reëel getal a is de nde macht van het omgekeerde van a. n
∀ a ∈ ℝ 0 , ∀ n ∈ ℕ : a −n
1 = a
J. Eigenschappen van machten met gehele exponent : 1) gelijksoortige machten vermenigvuldigen : gelijksoortige machten zijn machten met hetzelfde grondtal
vb. π 3 .π 2 = π 5 = ... Om gelijksoortige machten te vermenigvuldigen, behouden we het grondtal en tellen we de exponenten op.
∀x ∈ ℝ 0 , ∀m, n ∈ ℤ : x m .x n = x m +n
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 13 / 33
2) gelijksoortige machten delen :
vb. π 5 : π 2 = π 3 = ... Om gelijksoortige machten te delen, behouden we het grondtal en trekken we de exponenten van elkaar af.
∀x ∈ ℝ 0 , ∀m, n ∈ ℤ : x m : x n = x m−n 3) macht van een product :
(
vb. π ⋅ 2
5
)
= π5 ⋅
5
( ) 2
= ...
Om een macht van een product te nemen, verheffen we elke factor tot die macht. n
∀x, y ∈ ℝ 0 , ∀n ∈ ℤ : ( x.y ) = x n .y n 4) macht van een breuk (quotiënt): 4
4 2 2 vb. = 4 = ... 3 3
Om een macht van een breuk te nemen, verheffen we teller en noemer tot die macht. n
n x x ∀x, y ∈ ℝ 0 , ∀n ∈ ℤ : = n y y
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 14 / 33
5) macht van een macht : 3
vb. π 2 = π 6 = ... Om een macht van een macht te nemen, behouden we het grondtal en vermenigvuldigen we de exponenten.
∀x ∈ ℝ 0 , ∀m, n ∈ ℤ : ( x
OEFENINGEN
16
m n
)
= x m .n
A2, nr. 16 en 66
Los
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 15 / 33
66
Los
1) (2 x
−2 2
)
⋅ xy = 2 ( x 3
2
−2
0
2) ( xy ) ⋅ ( xy ) −1
3)
(2 x )
(2 x
−2 2
)
=
2
22 ( x −2 ) −2
- vlaf@telenet.be -
)
−4
3
1
3
xy = 4 x x y = 4 x
= 1.x −2 y −2 =
2−1 x −1
x −1 3 y 4) ⋅ 3 y −1 x
−2 2
4y 3 y = 4x y = 3 x
−4+1
3
−3
3
1 x2y 2
2−1 x −1 x3 x3 −1−2 −1−(−4) −3 3 = 2 −4 = 2 x =2 x = 3 = 2 x 2 8 −2
x −1 (3 y ) x −1 3−2 y −2 −1− −2 −2− −1 = 3−2−1 x ( )y ( ) = −1 ⋅ −2 = −1 ⋅ −2 3y x 3y x x x = 3−3 xy −1 = 3 = 3 y 27 y
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 16 / 33
K. De vierkantswortel in IR : 1) voorbeelden :
vb.
9 = 3, want 32 = 9 maar ook: (-3)2 = 9, wat nu ? → we spreken af: 9 = 3 en - 9 = −3
25 = 5 en - 25 = −5
positieve vierkantswortel Opmerking:
negatieve vierkantswortel
−9 = DIT KAN NOOIT!
DE VIERKANTSWORTEL UIT EEN STRIKT NEGATIEF (≠0) REËEL GETAL BESTAAT NIET !!! 2) definitie : In al wat volgt, bedoelen we telkens de "positieve vierkantswortel" uit een positief reëel getal, tenzij anders vermeld.
De vierkantswortel van een reëel getal a is een positief reëel getal b waarvan de tweede macht gelijk is aan a.
∀a, b ∈ ℝ + : a = b ⇔ b 2 = a - vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 17 / 33
L. Hoofdeigenschap van de vierkantswortel in IR : Uit de definitie volgt:
vb.
2
( 9)
(
=9
16
2
)
= 16
Het kwadraat van de vierkantswortel van een reëel getal is het getal zelf.
+
∀a ∈ ℝ :
- vlaf@telenet.be -
2
( a)
=a
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 18 / 33
M. Rekenregels van de vierkantswortel in IR : 1) vierkantswortel van een product :
vb.
4.25 = 4. 25
9.4 = 9. 4
De vierkantswortel van een product is gelijk aan het product van de vierkantswortels.
∀a, b ∈ ℝ + : a.b = a. b 2) vierkantswortel van een breuk (quotiënt) :
vb.
4 4 = 25 25
1 1 = 9 9
Om de vierkantswortel van een breuk te nemen, nemen we de vierkantswortel van de teller en van de noemer.
a a ∀a ∈ ℝ , ∀b ∈ ℝ : = b b +
+ 0
3) vierkantswortel van een macht : 2
vb. 9 =
2
( 9)
6
4 =
6
( 4)
De vierkantswortel van een macht is gelijk aan de macht van de vierkantswortel.
+
n
∀a ∈ ℝ , ∀n ∈ ℕ : a = - vlaf@telenet.be -
n
( a)
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 19 / 33
N. De derdemachtswortel in IR : 1) voorbeelden :
vb. 3 8 = 2, want 23 = 8 3
1000 = 10, want 103 = 1000
3
-1000 = −10, want (-10) = −1000
3
2) definitie : De derdemachtswortel van een reëel getal a is het reëel getal b waarvan de derdemacht gelijk is aan a.
∀a, b ∈ ℝ : 3 a = b ⇔ b 3 = a OEFENINGEN
30
A2, nrs. 30, 31, 70 (kol 2), 33 (kol 2), 72 (kol 2), 34, 35 (kol 2), 36 (kol 2), 39, 40, 41, 44, 45 en A1, nr. 38
Vereenvoudig.
1)
20 = 22.5 = 22 . 5 = 2 5
2)
48 = 24.3 = 24 . 3 = 22 3 = 4 3
3)
72 = 23.32 = 22.2.32 = 2.3. 2 = 6 2
24 =
2
( 22 )
= 22
4) 1200 = 24.3.52 = 22.5. 3 = 20 3 5)
288 = 25.32 = 24.2.32 = 22.3. 2 = 12 2
6)
405 = 34.5 = 32. 5 = 9 5
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 20 / 33
31
Vereenvoudig. Alle letters stellen strikt positieve getallen voor.
1) a 4 b 2c = a 2 b c 2) 16a5 b 5 = 24.a 4a.b 4 .b = 22.a 2 b 2 ab = 4a 2 b 2 ab 3)
44a 44 = 22.11.a 44 = 2a 22 11
4)
45a 7 b 3c 4 = 32.5.a 6 .a.b 2 .b.c 4 = 3a3 bc 2 5ab
5)
8a 3 8a 3 22.2.a 2 .a 2a 2a = = = 50 100 b100 b b 50 b
6)
27 27 32.3 3 3 = = 2 5 = 2 5 4 10 a 4 b10 ab ab a b
70 6) 7)
Vereenvoudig. Alle letters stellen strikt positieve getallen voor.
4
(−9a2b2 )
2
= (−9a 2 b 2 ) = 81a 4 b 4
a 24 b10 = a12 b 5 = a12b 4 b = a 6 b 2 b
8) 16 + 25 + 49 = 90 = 2.32.5 = 3 10
a+b ≠ a + b
9) 16a + 32b = 16 (a + 2b ) = 4 a + 2b 10)
25a9 − 16a9 = 9a 9 = 9a8a = 3a 4 a
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 21 / 33
33
Vereenvoudig. Alle letters stellen strikt positieve getallen voor.
6) 2 18 + 3 2 − 5 8 + 98 = 2 2.32 + 3 2 − 5 22.2 + 72.2 = 6 2 + 3 2 − 10 2 + 7 2 =6 2
7)
28 x + 2 7 x − 112 x = 22.7 x + 2 7 x − 24.7 x = 2 7x + 2 7x − 4 7x =0
8) 7 18 xy − 2 8 xy − 3 2 xy = 7 32.2 xy − 2 22.2 xy − 3 2 xy = 21 2 xy − 4 2 xy − 3 2 xy = 14 2 xy
9) a 5b + 45a 2 b − 125a 2 b = a 5b + 32.5.a 2 b − 52.5.a 2 b = a 5b + 3a 5b − 5a 5b = −a 5b 10) a 8 + 2 a + a 2 − 27a = a 22.2 + 2 a + a 2 − 32.3a = 2a 2 + 2 a + a 2 − 3 3a = 3a 2 + 2 a − 3 3a
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 22 / 33
Bereken en vereenvoudig.
72
(
6) 5 − 5
2
)
= 52 − 2.5 5 +
2
( ) 5
= 25 − 10 5 + 5 = 30 − 10 5 7)
(
7 + 14
2
2
) = ( 7)
+ 2. 7. 14 +
(
14
2
)
= 7 + 2 72.2 + 14 = 7 + 14 2 + 14 = 21 + 14 2
8)
30.
(
)
6 + 125 = 30. 6 + 30. 125 = 5.2.3.2.3 + 5.2.3.53 = 5.22.32 + 5 4.2.3 = 6 5 + 25 6
9)
4 + 16.
(
)
( 20 − 4 3 ) = ( 20 ) − 20.4 3 = ( 20 ) − 4 2 .5.3
20 − 4 3 = 20.
2
2
2
= 20 − 8 15
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 23 / 33
10) 3 2.
(
)
(
2 − 4 − 2 3. 3 3 − 2 6
)
= 3 2. 2 − 3 2.4 − 2 3.3 3 + 2 3.2 6 = 3. 22 − 12 2 − 6. 32 + 4 32.2 =6
− 12 2 − 18
+ 12 2
= −12
34
Bereken en vereenvoudig.
z = 20 + 180 + 20 = 22.5 + 22.32.5 + 22.5 =2 5 +6 5 +2 5 = 10 5 2
(
SABCD = z = 10 5
35
2
)
2
= 10 .
2
( 5)
= 100.5 = 500
Werk uit en vereenvoudig. Alle letters stellen strikt positieve getallen voor.
6) 12a 3 . 3a = 22.3.a 3 .3.a = 22.32.a 4 = 6a 2 7)
b b 2 .5.2.3.a 2 .a 3 . 30a b = = b 2 .6.a 2 = ab 6 5a 5a
8)
45ab. 48a3 b 3 = 32.5.ab.24.3.a3 b 3 = 32.5.a 4 .24.3.b 4 = 12a 2b 2 15
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 24 / 33
2a 2 . 8a. 9a = 2.a 2 .23.a.32.a = 24.a 4 .32 = 12a 2
9)
(
)
a3 b 4 . −2 a 6 b 5 . a 7 b3 = −2 a 3 b 4a 6 b 5a7 b3 = −2 a16 b12
10)
= −2a8 b 6 Werk uit en vereenvoudig.
36
(
)(
)
6) 4 2 + 5 . 2 2 − 3 5 = 8. 22 − 12 10 + 2 10 − 3. 52 = 16 − 10 10 − 15 = 1− 10 10
7)
(
216 + 150 . 2 6 − 3 24
(
23.33 + 2.3.52 . 2 6 − 3 23.3
=
)(
)
)(
(
)( 6)
= 6 6 +5 6 . 2 6 −6 6
(
= 11 6. −4
)
)
= −44.6 = −264 8)
(
)(
) (
13 + 10 . 13 − 10 =
2
) (
13 −
10
2
)
= 13 − 10 =3
(
)(
)
2
9) 2 − 11 . 2 + 11 = 2 −
(
2
)
11
= 4 − 11 = −7
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 25 / 33
( )( ) = (−5 + 3 2 ).(−5 − 3 2 ) = (−5) − (3 2 )
10) 3 2 − 5 . −3 2 − 5
2
2
= 25 − 18 =7
39
Vereenvoudig
1) ribbe = 3 1000 = 10 De ribbe meet 10 cm. 2) ribbe = 3 125 = 5 De ribbe meet 5 cm.
40 2
- vlaf@telenet.be -
−2
4
−4
De reële getallen - theorie & oefeningen
10
−10
pagina 26 / 33
Bereken zonder rekentoestel.
41 1)
3
4) 3 1 000 000 = 100
27 = 3
5) 3 −27000 = −30
2) 3 −1 = −1 3)
3
1 1 = 8 2
6)
3
−125 −5 = 27 3
44 4 ⋅ π ⋅ r 3 = 220 3 220.3 ⇔ r3 = 4π 220.3 ⇔r =3 4π ⇔ r = 3,74 De straal meet 3,74 cm.
45 12z 3 = 3,3 3,3 ⇔ z3 = 12 3,3 12 ⇔ z = 0,65 ⇔z=3
De ribbe meet 65 mm. - vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 27 / 33
38
Pythagoras in ∆ABC met Bˆ = 90° : AB + a 2 = ( 2a ) 2
2
⇔ AB = ( 2a ) − a 2 2
2
2
⇔ AB = 4a 2 − a 2 2
⇔ AB = 3a 2 ⇔ AB = 3a 2 ⇔ AB = a 3
O. Ontbinden in factoren : 1) voorbeelden :
5 x 3 y + 10 xy 2 = 5 xy ( x 2 + 2 y )
2a + 3 2b = 2.(a + 3b )
a 4 − 9b 2 = (a 2 + 3b).(a 2 − 3b)
(
)(
4 x 2 − 13 = 2 x + 13 . 2 x −
13 ) 2
25 x 2 − 40 xy 3 + 16 y 6 = (5 x − 4 y 3 )
5 x 2 + 2 5 xy + y 2 =
(
5x + y
gemeenschappelijke factoren vooropzetten
2
)
een verschil van twee kwadraten
een drieterm die het kwadraat van een tweeterm is
ax + 2ay + bx + 2by = a ( x + 2y ) + b ( x + 2y ) = ( x + 2y )(a + b ) - vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
groeperen pagina 28 / 33
2) algemeen : Een veelterm ontbinden in factoren betekent de veelterm schrijven als een product
A2, nrs. 47 (E), 49 (E), 51 (E), 52 (E), 92, 88 (3,4) en 89 (6)
OEFENINGEN
47 2)
Ontbind in factoren.
7 x − 7 = 7 ( x − 1)
4) a (a + 2) + 5 (a + 2) = (a + 2)(a + 5) 6) ( x + 4)( x + 1) + 5 ( x + 1) = ( x + 1)( x + 4 + 5) = ( x + 1)( x + 9) 8) ( y + 3)( x + 1) − (2y − 5)( x + 1) = ( x + 1)( y + 3 − (2y − 5)) = ( x + 1)( y + 3 − 2y + 5) = ( x + 1)(−y + 8) 10) ( x − y ) − 4 ( x − y ) = ( x − y )(1− 4) = ( x − y )(−3) = −3 ( x − y )
49
Ontbind in factoren.
(
)(
) (
)(
2) 9a 6 − 8 = 3a3 + 8 3a3 − 8 = 3a3 + 2 2 3a3 − 2 2
)
2
4) ( x − 3 y ) − 9 y 2 = ( x − 3 y + 3 y )( x − 3 y − 3 y ) = x ( x − 6 y ) 2
6) 9a 2 − 30ab + 25b 2 = (3a − 5b)
2
8) 2 x 2 + 12 xy + 18 y 2 = 2 ( x 2 + 6 xy + 9 y 2 ) = 2 ( x + 3 y ) 10) 6 x 2 − 2 6 xy 3 + y 6 = - vlaf@telenet.be -
(
6x − y 3
2
)
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 29 / 33
51
Ontbind de volgende viertermen door de termen per twee te groeperen.
2) 3a − 3b + ax − bx = 3 (a − b ) + x (a − b ) = (a − b )(3 + x ) 4) xy − yz − xt + zt = y ( x − z ) − t ( x − z ) = ( x − z )( y − t ) 6) x 3 + 2 x 2 + 9 x + 18 = x 2 ( x + 2) + 9 ( x + 2) = ( x + 2)( x 2 + 9) 8)
3 − x − xy 2 + 3y 2 =
(
)
3 − x + y2
(
) (
3−x =
)
3 − x (1 + y 2 )
10) a 2 − 6b − 3ab + 2a = a (a − 3b) + 2 (a − 3b) = (a − 3b )(a + 2)
52
Ontbind in factoren.
2) x 3 + bx 2 − a 2 x − a 2b = x 2 ( x + b) − a 2 ( x + b ) = ( x + b)( x 2 − a 2 ) = ( x + b)( x + a )( x − a) 4) 18 x 4 y − 12 x 3 y 3 + 8 x 2 y 5 = 2 x 2 y (9 x 2 − 6 xy 2 + 4 y 4 ) 6) 16 − x 8 = (4 + x 4 )( 4 − x 4 ) = (4 + x 4 )(2 + x 2 )(2 − x 2 ) = (4 + x 4 )(2 + x 2 ) 2
(
2+x
)(
2−x
)
2
8) ( x − y 2 ) − ( x 2 + y 2 ) = ( x − y 2 + ( x 2 + y 2 ))( x − y 2 − ( x 2 + y 2 )) = ( x − y 2 + x 2 + y 2 )( x − y 2 − x 2 − y 2 ) = ( x + x 2 )( x − x 2 − 2y 2 ) = x (1+ x )( x − x 2 − 2y 2 ) 2
10) x 2 − y 2 + 1− 2 x = x 2 − 2 x + 1− y 2 = ( x − 1) − y 2 = ( x − 1 + y )( x − 1− y )
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 30 / 33
91
Ontbind in factoren door de termen te groeperen.
2) x 2 + 2 xy + 3 xz − 4 x − 8 y − 12z = x ( x + 2y + 3z ) − 4 ( x + 2y + 3z ) = ( x + 2y + 3z )( x − 4) 4) x 2 + y 2 − z 2 − t 2 + 2 xy + 2zt = ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − (z 2 − 2zt + t 2 ) 2
2
= ( x + y ) − (z − t )
= ( x + y + (z − t ))( x + y − (z − t )) = ( x + y + z − t )( x + y − z + t )
6) x 6 − 2 x 5 + x 4 − 4 x 2 + 8 x − 4 = x 4 ( x 2 − 2 x + 1) − 4 ( x 2 − 2 x + 1) = ( x 2 − 2 x + 1)( x 4 − 4) 2
= ( x − 1) ( x 2 + 2)( x 2 − 2)
(
2
)(
= ( x − 1) ( x 2 + 2) x + 2 x − 2
92 1)
)
Ontbind in factoren.
27 x 2 + 18y 2 = 3 3 x 2 + 3 2y 2 = 3
(
3 x 2 + 2y 2
)
2) 25 x 2 − 16 y 2 + 5 x + 4 y = (5 x + 4 y )(5 x − 4 y ) + 5 x + 4 y = (5 x + 4 y )(5 x − 4 y + 1) 2
2
2
2
3) x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 = ( x 2 − y 2 ) = (( x + y )( x − y )) = ( x + y ) ( x − y )
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 31 / 33
Bij ontbinden in factoren: nooit breuken binnen de haakjes! 4)
5)
5 3 5 5 45 3 20 3 60 2 2 x y + xy 3 − x 2 y 2 = x y+ xy − x y 36 36 36 4 9 3 5 = xy (9 x 2 + 4 y 2 − 12 xy ) 36 5 2 xy (3 x − 2y ) = 36
3 2 4 4 9 2 16 4 1 x − y = x − y = (9 x 2 − 16 y 4 ) 4 3 12 12 12 1 = (3 x + 4 y 2 )(3 x − 4 y 2 ) 12
6) x 2 ( x 2 − 3 x ) + 3 x ( x 2 − 3 x ) = ( x 2 − 3 x )( x 2 + 3 x ) = x ( x − 3) x ( x + 3) = x 2 ( x − 3)( x + 3)
7) ( x 2 + 8)(2 x + 3) − 6 x (2 x + 3) + (2 x + 3) = (2 x + 3)( x 2 + 8 − 6 x + 1) = (2 x + 3)( x 2 − 6 x + 9) 2
= (2 x + 3)( x − 3) 2
8) 4 x 2 + 4 xy + y 2 + 2 x + y = (2 x + y ) + (2 x + y ) = (2 x + y )(2 x + y + 1)
9) 3 x − y − 9 x 2 + 6 xy − y 2 = 3 x − y − (9 x 2 − 6 xy + y 2 ) 2
= 3 x − y − (3 x − y )
= (3 x − y )(1− (3 x − y )) = (3 x − y )(1− 3 x + y )
- vlaf@telenet.be -
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 32 / 33
10)
3 x 2 z − y 5 + xy 2 z − 3 xy 3 = 3 x ( xz − y 3 ) + y 2 ( xz − y 3 ) = ( xz − y 3 )
88 3)
(
3x + y 2
)
Ontbind de volgende veeltermen in factoren.
6 x 2 + 2 = 2. 3 x 2 + 2 = 2
(
)
3x 2 + 1
4) 14a 2 b 2 + 21a 2b − 35a 3 b = 2. 7a 2 b 2 + 3. 7a 2b − 5. 7a 3 b = 7a 2 b
89 6)
(
2b + 3 − 5a
)
Ontbind in factoren door de termen per twee te groeperen.
8 − xy + 2y − 2 x = 2 2 − xy + 2y − 2 x = 2 (2 + y ) − x (2 + y )
(
= (2 + y )
- vlaf@telenet.be -
2−x
)
De reële getallen - theorie & oefeningen
pagina 33 / 33