04 vergelijkingen en ongelijkheden

Hoofdstuk 4 : Vergelijkingen en ongelijkheden A. Een vergelijking oplossen van de eerste graad met één onbekende : 1) voorbeeld :

1 1 −5 x− = x +1 3 2 2 ⇕ op gelijke noemer zetten 2 3 −15 6 x− = x+ 6 6 6 6 ⇕ noemer weglaten (LL en RL maal 6) 2 x − 3 = −15 x + 6 ⇕

termen overbrengen (x in LL, rest in RL)

2 x + 15 x = 6 + 3 ⇕ 17 x = 9 ⇕ x=

factor overbrengen 9 17

 9  V =  17 

We noemen dit een vergelijking van de eerste graad, omdat de exponent van x gelijk is aan 1.

In het voorbeeld hebben we de gegeven vergelijking herschreven in de vorm 17x = 9. We kunnen elke eerstegraadsvergelijking schrijven in de vorm ax = b, waarbij a ϵ IR0 en b ϵ IR.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 1 / 40

2) definities : Een vergelijking van de eerste graad met één onbekende x is elke uitdrukking van de vorm ax = b, met a ϵ IR0 en b ϵ IR. Een oplossing van een vergelijking van de eerste graad met één onbekende x is elk reëel getal waardoor je x mag vervangen om een ware uitspraak te bekomen.

3) speciale vergelijkingen : vb1.

3 x + 5 = 2 ( x + 1) + x ⇕ 3x + 5 = 2x + 2 + x ⇕

3 x − 2x − x = 2 − 5 ⇕ V =∅

0 x = −3

Er bestaat geen enkel reëel getal dat vermenigvuldigd met nul gelijk is aan -3, de oplossingsverzameling is dus leeg.

Zo'n vergelijking noemen we vals.

vb2.

3 x + 2 = 2 ( x + 1) + x ⇕ 3x + 2 = 2x + 2 + x ⇕

3 x − 2x − x = 2 − 2 ⇕ 0x = 0

V =ℝ

Alle reële getallen zijn hier een oplossing.

Zo'n vergelijking noemen we onbepaald.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 2 / 40

A3, nrs. 4 (oneven), 29, 36 en bordopgave

OEFENINGEN

Los de volgende vergelijkingen op.

4

3 7 = 2 8 16 x 12 7 ⇔ − = 8 8 8 ⇔ 16 x − 12 = 7

3) 5 ( x − π ) = 0

⇔ 16 x = 7 + 12 ⇔ 16 x = 19

⇔x=

1) 2 x −

⇔x=

7)

19 16

⇔ 5 x − 5π = 0 ⇔ 5 x = 0 + 5π ⇔ 5 x = 5π

19  V =  16 

5π 5 ⇔ x=π

5) − 3 x − 2 = 5 x + 6 ⇔ −3 x − 5 x = 6 + 2 ⇔ −8 x = 8 8 −8 ⇔ x = −1 ⇔x=

V = {−1} V = {π }

3 x + 6 2 = −2 3 x

⇔ 3 x + 2 3 x = −6 2 ⇔ 3 3 x = −6 2 ⇔x=

−6 2 3 3

−2 2 3 −2 2   V =   3 

⇔x=

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 3 / 40

29

Los de vergelijkingen op.

⇔ x = −3 5 + 5 ⇔ x = −2 5

{

V = −2 5

−2 1 3 x+ = x 2 4 3 −8 6 9 ⇔ x+ = x 12 12 12 ⇔ −8 x + 6 = 9 x ⇔ −8 x − 9 x = − 6 ⇔ −17 x = −6 −6 ⇔x= −17 6 ⇔x= 17 6 V =   17 

2) π x + 3 = 7

1) x − 5 = −3 5

}

1  1  2 2  x −  = x + 3 5 2 3 1 1 2 2 ⇔ x− = x+ 2 6 3 5 15 5 20 12 x− x+ ⇔ = 30 30 30 30 ⇔ 15 x − 5 = 20 x + 12

3)

⇔ πx = 7 − 3 ⇔ πx = 4 4 ⇔x= π  4  V =   π 

4)

⇔ 15 x − 20 x = 12 + 5 ⇔ −5 x = 17 −17 ⇔x= 5 −17  V =    5 

- vlaf@telenet.be -

2 3 ( x − 6) + 4 = (3 − 4 x ) 3 2 2 12 9 12 ⇔ x− +4= − x 3 3 2 2 4 24 24 27 36 ⇔ x− + = − x 6 6 6 6 6 ⇔ 4 x − 24 + 24 = 27 − 36 x ⇔ 4 x + 36 x = 27 ⇔ 40 x = 27 27 ⇔x= 40  27  V =    40  5)

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 4 / 40

6) x 2 + 5 = x 3 + 6 ⇔ x 2 − x 3 = 6−5 ⇔x

(

⇔x=

)

2 − 3 =1 1 2− 3

  1 V =    2 − 3 

2x 1 = (16 x − 1) 9 9 2 x 16 1 ⇔ 2x − = x− 9 9 9 18 x 2 x 16 1 ⇔ − = x− 9 9 9 9 ⇔ 18 x − 2 x = 16 x − 1 ⇔ 18 x − 2 x − 16 x = −1 ⇔ 0 x = −1

7) 2 x −

V =∅ 8) 3 x − ( x + 3) = 2 x − 3 ⇔ 3x − x − 3 = 2x − 3 ⇔ 3 x − x − 2 x = −3 + 3 ⇔ 0x = 0 V =ℝ

36

Los de vergelijkingen op.

1)

x− 3 x+ 3 3 + = x− 3 9 3

⇔

x 3 x 3 3 − + + = x− 3 3 9 9 3

⇔

3x 3 3 x 3 9x 3 3 − + + = − 9 9 9 9 9 9

⇔ 3x − 3 3 + x + 3 = 9x − 3 3 ⇔ 3 x + x − 9 x = −3 3 + 3 3 − 3 ⇔ −5 x = − 3 ⇔x=

− 3 −5

⇔x=

3 5

- vlaf@telenet.be -

 3  V =    5    Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 5 / 40

2 ( x + π ) x + π 3 (π − x ) − = 5 4 10 2 x + 2π x + π 3 π − 3 x ⇔ − = 5 4 10 2 x 2π x π 3π 3 x ⇔ + − − = − 5 5 4 4 10 10 8 x 8π 5 x 5π 6π 6 x ⇔ + − − = − 20 20 20 20 20 20 ⇔ 8 x + 8π − 5 x − 5π = 6π − 6 x ⇔ 8 x − 5 x + 6 x = 6 π − 8π + 5 π ⇔ 9 x = 3π 2)

3π 9 π ⇔x= 3 ⇔x=

 π  V =    3 

 3  3 ( x + 1) = 2 −3 + x  2 

3)

⇔ 3 x + 3 = −6 + 3 x ⇔ 3 x − 3 x = −6 − 3 ⇔ 0 x = −6 − 3 V =∅

x  3 x 2x − = 5  − 4 + 20  6  2 3 3x 2x 5x ⇔ − = − 20 + 20 2 3 6 9x 4x 5x ⇔ − = 6 6 6 ⇔ 9x − 4x = 5x ⇔ 9x − 4x − 5x = 0 ⇔ 0x = 0 4)

V =ℝ

1) 4x −

x − 3 4 x − 12 = 5 5 ⇕

x 3 4 x 12 4x − + = − 5 5 5 5 ⇕ 20 x x 3 4 x 12 − + = − 5 5 5 5 5 ⇕ 20 x − x + 3 = 4 x − 12

⇕ 15 x = −15 ⇕ x=

−15 15

⇕ x = −1 V = {−1}

⇕ 20 x − x − 4 x = −12 − 3 - vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 6 / 40

2)

3 ( x − 1) 5

−

2 (1 − 4 x ) 7

=x+

x +1 5

⇕ 3x − 3 2 − 8x x +1 − =x+ 5 7 5 ⇕ 3x 3 2 8x x 1 − − + =x+ + 5 5 7 7 5 5 ⇕ 21x 21 10 40 x 35 x 7 x 7 − − + = + + 35 35 35 35 35 35 35 ⇕ x x−2 x +1 21x − 21 − 10 + 40 x = 35 x + 7 x + 7 3) + =5− 2 3 2 ⇕ ⇕ 21x + 40 x − 35 x − 7 x = 7 + 21 + 10 x x 2 x 1 + − =5− − ⇕ 2 3 3 2 2 19 x = 38 ⇕ ⇕ 3 x 2 x 4 30 3 x 3 + − = − − 38 6 6 6 6 6 6 x= 19 ⇕ ⇕ 3 x + 2 x − 4 = 30 − 3 x − 3 x=2 ⇕ V = {2}

3 x + 2 x + 3 x = 30 − 3 + 4 ⇕ 8 x = 31 ⇕ x=

31 8

 31 V =  8 - vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 7 / 40

4)

x − 2 12 − x 5 x − 36 − = −1 3 2 4 ⇕

x 2 x 5x − −6+ = − 9 −1 3 3 2 4 ⇕ 4 x 8 72 6 x 15 x 108 12 − − + = − − 12 12 12 12 12 12 12 ⇕ 4 x − 8 − 72 + 6 x = 15 x − 108 − 12 ⇕ 4 x + 6 x − 15 x = −108 − 12 + 8 + 72 ⇕ −5 x = −40 ⇕ x=

−40 −5

⇕ x =8 V = {8}

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 8 / 40

B. Vraagstukken : A3, nrs. 6, 7, 30, 31, 33, 45, 72, 73 en 74

OEFENINGEN

6

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking: 2. (18 + x ) = 48 + x

aantal jaar: x

⇔ 36 + 2 x = 48 + x ⇔ 2 x − x = 48 − 36 ⇔ x = 12 V = {12}

antwoord: Over 12 jaar zal Jean dubbel zo oud zijn als Lode.

7

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking: 2π x = 4 ( x + 1)

straal cirkel: x zijde vierkant: x + 1

⇔ 2π x = 4 x + 4 ⇔ 2π x − 4 x = 4

⇔ ( 2π − 4 ) x = 4 ⇔x=

4 2π − 4

 4  V =   2π − 4 

antwoord: De straal van de cirkel is 1,75 m.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 9 / 40

30

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende: lengte (zie afbeelding): x

opstellen en oplossen van de vergelijking: 50x + ( 60 − x ) .5 = 45 ( 60 − x ) ⇔ 50 x + 300 − 5 x = 2700 − 45 x ⇔ 50 x − 5 x + 45 x = 2700 − 300 ⇔ 90 x = 2400 ⇔x=

80 3

 80  V =  3 

antwoord: De lengte is 26,67 m.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 10 / 40

31

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking:

lengte paal: x

1 1 x − x = 50 3 5 5 3 750 ⇔ x− x= 15 15 15 ⇔ 5 x − 3 x = 750 ⇔ 2 x = 750 750 ⇔x= 2 ⇔ x = 375 V = {375}

antwoord: De lengte van de paal is 375 cm.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 11 / 40

33

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking: 5 x − 15 = 4 x + 10

aantal leerlingen: x

⇔ 5 x − 4 x = 10 + 15 ⇔ x = 25 V = {25}

antwoord: 1) Er zitten 25 leerlingen in de klas.

2) Totaal bedrag: 5 x − 15 = 5.25 − 15 = 110 Bedrag per leerling: 110 : 25 = 4,40 Elke leerling betaalt 4,40 euro.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 12 / 40

38

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking:

eerste getal: x tweede getal: 37 − x

( x + 5 ) . ( 37 − x + 8 ) = x. ( 37 − x ) + 300 ⇔ ( x + 5 ) . ( 45 − x ) = 37 x − x 2 + 300 ⇔ 45 x − x 2 + 225 − 5 x = 37 x − x 2 + 300 ⇔ 45 x − 5 x − 37 x = 300 − 225 ⇔ 45 x − 5 x − 37 x = 300 − 225 ⇔ 3 x = 75 ⇔ x = 25 V = {25}

antwoord: De getallen zijn 25 en 12.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 13 / 40

45

Los de volgende vergelijkingen op.

Vpiramide =

1 ⋅ Sgrondvlak . h 3

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking:

zijde grondvlak: x hoogte: 2 x

1 2 ⋅ x ⋅ 2 x = 500 3 500.3 ⇔ x3 = 2 500.3 ⇔x=3 2 ⇔ x = 9,09 V = {9,09}

antwoord: De zijde van het grondvlak is 9,09 cm.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 14 / 40

72

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking:

leeftijd Boris: x

x 3 = x + 24 5 ⇔ 5 x = 3 ( x + 24 )

leeftijd vader: x + 24

⇔ 5 x = 3 x + 72 ⇔ 5 x − 3 x = 72 ⇔ 2 x = 72 72 2 ⇔ x = 36 ⇔x=

V = {36}

antwoord: Boris is 36 jaar.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 15 / 40

73

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende: tijd op autosnelweg: x tijd in bebouwde kom: 2 − x

opstellen en oplossen van de vergelijking: 110 x + 45 ( 2 − x ) = 187,5 ⇔ 110 x + 90 − 45 x = 187,5 ⇔ 65 x = 187,5 − 90 187,5 − 90 ⇔x= 65 3 ⇔x= 2 3  V =  2

antwoord: Hij reed 1,5 h op de autosnelweg en 0,5 h in de bebouwde kom.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 16 / 40

74

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking:

aantal kaarten: x x −1 4 x −2 aantal hoopjes van 5 kaarten: 5 aantal hoopjes van 4 kaarten:

x −1 x − 2 = +2 4 5 x 1 x 2 ⇔ − = − +2 4 4 5 5 5x 5 4 x 8 40 ⇔ − = − + 20 20 20 20 20 ⇔ 5 x − 5 = 4 x − 8 + 40 ⇔ 5 x − 4 x = −8 + 40 + 5 ⇔ x = 37 V = {37}

antwoord: Er zitten 37 kaarten in de stapel.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 17 / 40

C. Formules omvormen : A3, nrs. 13, 14, 15, 49, 50, 51 en 52

OEFENINGEN

13

Los de volgende vergelijkingen op.

2A h 2A h= b

1) b =

2) r 2 =

A

π

⇔r =

A

π

3) r = 3 I

100I pt 100I t= kp

4) k =

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 18 / 40

14

Los de volgende vergelijkingen op.

1) F = 1,8.25 + 32 = 77 25°C = 77°F

2) 1,8C = F − 32 ⇔C =

F − 32 1,8

86 − 32 = 30 1,8 86°F = 30°C

3) C =

15

Los de volgende vergelijkingen op.

(

1) A = π r2 2 − π r12 = π r2 2 − r12

(

)

)

2) A = π 22 − 12 = π ( 4 − 1) = 3π

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 19 / 40

3) A = π r2 2 − π r12 ⇔ π r12 = π r2 2 − A

π 4,52 − 25 4) r1 = = 3,51 π r1 = 3,51 cm

π r22 − A ⇔r = π 2 1

⇔ r1 =

49

π r22 − A π

Los de volgende vergelijkingen op.

1) F = A.p F A= p

- vlaf@telenet.be -

3I 3I ⇔r = πh πh 3I h= 2 πr

2) r 2 =

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 20 / 40

3) h =

A 2 (l + b)

A A =l +b ⇔ l = −b 2h 2h

50

Los de volgende vergelijkingen op.

iPod

240 = 30 8 R = 30 Ω

1) R =

4) I =

230 = 0,5 460 I = 0,5 A

5) I =

2) U = R.I

3) U = 0,030.50 = 1,5 U = 1,5 V

- vlaf@telenet.be -

U R

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 21 / 40

51

Los de volgende vergelijkingen op.

1) I = Szijvlak . b =

(( 2a ) (

2

)

+ π a 2 .b

)

= 4a 2 + π a2 .b = ( 4 + π ) a2b

52

2) b =

( 4 + π ) a2

3) a 2 = ⇔a=

I

I (4 + π )b I (4 + π )b

Los de volgende vergelijkingen op.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 22 / 40

1 1 1 = − v f b f 1 b ⇔ = − v bf bf 1 b−f ⇔ = v bf bf ⇔v = b−f

1)

- vlaf@telenet.be -

1 1 1 = − b f v f 1 v ⇔ = − b fv fv 1 v −f ⇔ = b fv fv ⇔b= v −f

2)

1 1 1 = + f v b 1 b v ⇔ = + f bv bv 1 b+v ⇔ = f bv bv ⇔f = b+v

3)

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 23 / 40

D. Een ongelijkheid oplossen van de eerste graad met één onbekende : 1) voorbeeld :

4− x x + 4 x −8 + ≤ 6 2 2 ⇕ 4 x x 4 x 8 − + + ≤ − 6 6 2 2 2 2 ⇕ 4 x 3 x 12 3 x 24 − + + ≤ − 6 6 6 6 6 6 ⇕ 4 − x + 3 x + 12 ≤ 3 x − 24 ⇕ − x + 3 x − 3 x ≤ −24 − 4 − 12 ⇕ − x ≤ −40 ⇕ x ≥ 40 V = [ 40, +∞[

40

ℝ

Als we in een ongelijkheid beide leden vermenigvuldigen met of delen door eenzelfde negatief getal, dan keert de orde om.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 24 / 40

2) speciale ongelijkheden : vb1.

3 x + 5 ≤ 2 ( x + 1) + x ⇕ 3x + 5 ≤ 2x + 2 + x ⇕

3 x − 2x − x ≤ 2 − 5 ⇕ 0 x ≤ −3 V =∅ Zo'n ongelijkheid noemen we een valse ongelijkheid.

vb2.

3 x + 2 ≤ 2 ( x + 5) + x ⇕ 3 x + 2 ≤ 2 x + 10 + x ⇕

3 x − 2 x − x ≤ 10 − 2 ⇕ 0x ≤ 8 V =ℝ Zo'n ongelijkheid noemen we een onbepaalde ongelijkheid.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 25 / 40

A3, nrs. 54 en 60

OEFENINGEN

Los de volgende ongelijkheden op.

54

1) x + 3 > 11 ⇔ x > 11− 3 ⇔ x>8 V = ]8, +∞[

1 x>2 2 ⇔ x > 2⋅ 2 4)

⇔ x>4 V = ]4, +∞[

7) 7 <

−1 x 4

1 x < −7 4 ⇔ x < −7.4 ⇔ x < −28 ⇔

2) x − 5 < −6 ⇔ x < −6 + 5 ⇔ x < −1 V = ]−∞,−1[

12 7 12 ⇔x≥ −3.7 −4 ⇔x≥ 7

5) − 3 x ≤

 −4  V = , +∞   7 

3) 3 x ≤ −9 −9 ⇔x≤ 3 ⇔ x ≤ −3 V = ]−∞,−3 ]

6) − 3 ( x + 1) ≥ −12 ⇔ −3 x − 3 ≥ −12 ⇔ −3 x ≥ −12 + 3 ⇔ −3 x ≥ −9 −9 −3 ⇔ x ≤3 ⇔x≤

V = ]−∞,3 ]

8) − 2 x + 9 > −3 ( x − 4) ⇔ −2 x + 9 > −3 x + 12 ⇔ −2 x + 3 x > 12 − 9 ⇔ x>3

V = ]−∞,−28[

V = ]3, +∞[

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 26 / 40

x  1 x − 2 > 3  + 1  6  2 1 x ⇔ x− 2 > +3 2 2 x 2 2 x 6 ⇔ − > + 2 2 2 2 ⇔ x −2 2 > x +6

x + 2 x − 3 2x + 4 + > 4 6 3 x 2 x 3 2x 4 ⇔ + + − > + 4 4 6 6 3 3 3x 6 2x 6 8 x 16 ⇔ + + − > + 12 12 12 12 12 12 ⇔ 3 x + 6 + 2 x − 6 > 8 x + 16

9)

10)

⇔ 3 x + 2 x − 8 x > 16 − 6 + 6 ⇔ −3 x > 16 −16 ⇔x< 3

⇔ x−x >6+2 2 ⇔ 0x > 6 + 2 2 V =∅

 −16  V =  −∞,   3 

60 1)

Los de volgende ongelijkheden op.

(

)

2 x 2− 3 ≤ 3

⇔ 2x − 6 ≤ 6 − 3 x ⇔ 2x + 3 x ≤ 6 + 6 ⇔ 5x ≤ 2 6 ⇔x≤

2 6 5

 2 6  V =  −∞, 5  

(

2−x 3

)

3 x − 14 2 x − 1 8 x − 4 + > 5 3 15 3 x 14 2 x 1 8 x 4 ⇔ − + − > − 5 5 3 3 15 15 9 x 42 10 x 5 8x 4 ⇔ − + − > − 15 15 15 15 15 15 ⇔ 9 x − 42 + 10 x − 5 > 8 x − 4 2)

⇔ 9 x + 10 x − 8 x > −4 + 42 + 5 ⇔ 11x > 43 43 ⇔ x> 11  43  V =  , +∞   11 

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 27 / 40

3) − 2 3 + 2 ( x − 1) < 7 − 3 (1− 2 x ) ⇔ −2 [3 + 2 x − 2] < 7 − 3 + 6 x ⇔ −6 − 4 x + 4 < 7 − 3 + 6 x ⇔ −4 x − 6 x < 7 − 3 − 4 + 6 ⇔ −10 x < 6 6 ⇔ x> −10 −3 ⇔ x> 5  −3  V = , +∞   5 

- vlaf@telenet.be -

2 1 1 (3 x − 4) − (1− 2 x ) > (3 x − 7) 3 4 2 6 x 8 1 2x 3 x 7 ⇔ − − + > − 3 3 4 4 2 2 24 x 32 3 6 x 18 x 42 ⇔ − − + > − 12 12 12 12 12 12 ⇔ 24 x − 32 − 3 + 6 x > 18 x − 42 4)

⇔ 24 x + 6 x − 18 x > −42 + 32 + 3 ⇔ 12 x > −7 −7 ⇔ x> 12  −7  V = , +∞   12 

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 28 / 40

E. Stelsels van ongelijkheden : voorbeeld :

3 x − 1 < 5  2 x + 1 ≥ −8

2 x + 1 ≥ −8

3x − 1 < 5 ⇕ 3x < 5 + 1

⇕ 2 x ≥ −8 − 1

⇕ 3x < 6

⇕ 2 x ≥ −9

⇕

⇕

x<

6 3

x≥

⇕ x<2

−9 2

 −9  V2 =  , +∞  2 

V1 = ]−∞,2[

V1 :

V2 :

V:

−9 2

2

−9 2

2

−9 2

2

ℝ ℝ ℝ

 −9  V =  ,2   2 

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 29 / 40

A3, nr. 25

OEFENINGEN

25

Los de volgende stelsels van ongelijkheden op.

3 x > 6 1)  4 x < 20 3x > 6 6 ⇔ x> 3 ⇔ x>2

4 x < 20 20 ⇔x< 4 ⇔ x <5

V1 = ]2, +∞[

V1 :

V2 :

V:

V2 = ]−∞,5[

2

5

2

5

2

5

ℝ ℝ ℝ

V = ]2,5[

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 30 / 40

16 ≥ −2 x 2)  −3 ≤ 3 x

16 ≥ −2 x ⇔ 2 x ≥ −16 −16 ⇔x≥ 2 ⇔ x ≥ −8

− 3 ≤ 3x ⇔ −3 x ≤ 3 3 −3 ⇔ x ≥ −1 ⇔x≥

V1 = [−8, +∞[

V1 :

V2 :

V:

V2 = [−1, +∞[

−8

−1

−8

−1

−8

−1

ℝ ℝ ℝ

V = [ −1, +∞[

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 31 / 40

3 x − 15 < 0 3)  8 − 2 x > 0

3 x − 15 < 0 ⇔ 3 x < 15

8 − 2x > 0 ⇔ −2 x > −8 −8 ⇔x< −2 ⇔ x<4

15 3 ⇔ x <5 ⇔x<

V1 = ]−∞, 5[

V1 :

V2 :

V:

V2 = ]−∞, 4[

4

5

4

5

4

5

ℝ ℝ ℝ

V = ]−∞,4[

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 32 / 40

 x − 2 > 5 4)  3 − x > 7

3− x > 7 ⇔ −x > 7 − 3 ⇔ −x > 4

x −2>5 ⇔ x >5+2 ⇔ x>7

⇔ x < −4

V1 = ]7, +∞[ V2 = ]−∞,−4[

V1 :

V2 :

V:

−4

7

−4

7

−4

7

ℝ ℝ ℝ

V =∅

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 33 / 40

3 x − 7 ≤ 2 5)  5 − 2 x ≤ 1

3x − 7 ≤ 2 ⇔ 3x ≤ 2 + 7 ⇔ 3x ≤ 9

5 − 2x ≤ 1 ⇔ − 2 x ≤ 1− 5 ⇔ −2 x ≤ −4 −4 −2 ⇔ x≥2

9 3 ⇔ x ≤3 ⇔x≤

⇔x≥

V2 = [2, +∞[

V1 = ]−∞,3 ]

V1 :

V2 :

V:

2

3

2

3

2

3

ℝ ℝ ℝ

V = [ 2,3]

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 34 / 40

5 < x + 5 6) 5 < x + 5 ≤ 10 ⇔   x + 5 ≤ 10

5< x +5 ⇔ −x < 5 − 5 ⇔ −x < 0

x + 5 ≤ 10 ⇔ x ≤ 10 − 5 ⇔ x ≤5

⇔ x>0

V2 = ]−∞,5 ] V1 = ]0, +∞[

V1 :

V2 :

V:

0

5

0

5

0

5

ℝ ℝ ℝ

V = ]0,5]

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 35 / 40

3 x > 2 x − 2 7) 3 x > 2 x − 2 > x ⇔  2 x − 2 > x

3 x > 2x − 2 ⇔ 3 x − 2 x > −2 ⇔ x > −2

2x − 2 > x ⇔ 2x − x > 2 ⇔ x>2

V1 = ]−2, +∞[

V1 :

V2 :

V:

V2 = ]2, +∞[

−2

2

−2

2

−2

2

ℝ ℝ ℝ

V = ]2, +∞[

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 36 / 40

 1 3 5  x + < 3 4 6 8)   1 1 7  x − 2 ≥ x − 3 4  2

1 3 5 x+ < 3 4 6 4x 9 10 ⇔ + < 12 12 12 ⇔ 4 x + 9 < 10 ⇔ 4 x < 10 − 9 ⇔ 4x < 1 1 ⇔x< 4

1 1 7 x −2≥ x − 2 3 4 6 x 24 4 x 21 ⇔ − ≥ − 12 12 12 12 ⇔ 6 x − 24 ≥ 4 x − 21 ⇔ 6 x − 4 x ≥ −21 + 24 ⇔ 2x ≥ 3 3 ⇔x≥ 2

 1 V1 =  −∞,   4 

V1 :

V2 :

V:

3  V2 =  , +∞   2 

1 4

3 2

1 4

3 2

1 4

3 2

ℝ ℝ ℝ

V =∅

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 37 / 40

F. Vraagstukken oplossen met een ongelijkheid :

22

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende: aantal jaren: x

opstellen en oplossen van de ongelijkheid: 15 + x + 17 + x > 100 ⇔ x + x > 100 − 15 − 17 ⇔ 2 x > 68 68 2 ⇔ x > 34 ⇔x>

V = ]34, +∞[

antwoord: Over 35 jaar zullen ze samen meer dan 100 jaar zijn.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 38 / 40

23

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende: lengte (zie afbeelding): x

opstellen en oplossen van de ongelijkheid: 2. ( 90 + 80 − x ) ≥ 2. (150 + x ) ⇔ 170 − x ≥ 150 + x ⇔ − x − x ≥ 150 − 170 ⇔ −2 x ≥ −20 −20 ⇔x≤ −2 ⇔ x ≤ 10 V = ]−∞,10]

antwoord: De lengte x moet minstens 10 zijn.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 39 / 40

26

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de ongelijkheid:

breedte: x

 2 ( x + 80 ) ≤ 240   80 x ≥ 3000

2 ( x + 80) ≤ 240 ⇔ 2 x + 160 ≤ 240 ⇔ 2 x ≤ 240 − 160 ⇔ 2 x ≤ 80 80 ⇔x≤ 2 ⇔ x ≤ 40

80 x ≥ 3000 3000 ⇔x≥ 80 ⇔ x ≥ 37,5 V2 = [37,5; +∞[

V1 = ]−∞,40 ]

antwoord: De mogelijke afmetingen kunnen variëren van 37,5 tot en met 40 m.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 40 / 40