Hoofdstuk 4 : Vergelijkingen en ongelijkheden A. Een vergelijking oplossen van de eerste graad met één onbekende : 1) voorbeeld :
1 1 −5 x− = x +1 3 2 2 ⇕ op gelijke noemer zetten 2 3 −15 6 x− = x+ 6 6 6 6 ⇕ noemer weglaten (LL en RL maal 6) 2 x − 3 = −15 x + 6 ⇕
termen overbrengen (x in LL, rest in RL)
2 x + 15 x = 6 + 3 ⇕ 17 x = 9 ⇕ x=
factor overbrengen 9 17
9 V = 17
We noemen dit een vergelijking van de eerste graad, omdat de exponent van x gelijk is aan 1. In het voorbeeld hebben we de gegeven vergelijking herschreven in de vorm 17x = 9. We kunnen elke eerstegraadsvergelijking schrijven in de vorm ax = b, waarbij a ϵ IR0 en b ϵ IR.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 1 / 40
2) definities : Een vergelijking van de eerste graad met één onbekende x is elke uitdrukking van de vorm ax = b, met a ϵ IR0 en b ϵ IR. Een oplossing van een vergelijking van de eerste graad met één onbekende x is elk reëel getal waardoor je x mag vervangen om een ware uitspraak te bekomen.
3) speciale vergelijkingen : vb1.
3 x + 5 = 2 ( x + 1) + x ⇕ 3x + 5 = 2x + 2 + x ⇕
3 x − 2x − x = 2 − 5 ⇕ V =∅
0 x = −3
Er bestaat geen enkel reëel getal dat vermenigvuldigd met nul gelijk is aan -3, de oplossingsverzameling is dus leeg. Zo'n vergelijking noemen we vals.
vb2.
3 x + 2 = 2 ( x + 1) + x ⇕ 3x + 2 = 2x + 2 + x ⇕
3 x − 2x − x = 2 − 2 ⇕ 0x = 0
V =ℝ
Alle reële getallen zijn hier een oplossing. Zo'n vergelijking noemen we onbepaald. - vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 2 / 40
A3, nrs. 4 (oneven), 29, 36 en bordopgave
OEFENINGEN
Los de volgende vergelijkingen op.
4
3 7 = 2 8 16 x 12 7 ⇔ − = 8 8 8 ⇔ 16 x − 12 = 7
3) 5 ( x − π ) = 0
⇔ 16 x = 7 + 12 ⇔ 16 x = 19
⇔x=
1) 2 x −
⇔x=
7)
19 16
⇔ 5 x − 5π = 0 ⇔ 5 x = 0 + 5π ⇔ 5 x = 5π
19 V = 16
5π 5 ⇔ x=π
5) − 3 x − 2 = 5 x + 6 ⇔ −3 x − 5 x = 6 + 2 ⇔ −8 x = 8 8 −8 ⇔ x = −1 ⇔x=
V = {−1} V = {π }
3 x + 6 2 = −2 3 x
⇔ 3 x + 2 3 x = −6 2 ⇔ 3 3 x = −6 2 ⇔x=
−6 2 3 3
−2 2 3 −2 2 V = 3
⇔x=
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 3 / 40
29
Los de vergelijkingen op.
⇔ x = −3 5 + 5 ⇔ x = −2 5
{
V = −2 5
−2 1 3 x+ = x 2 4 3 −8 6 9 ⇔ x+ = x 12 12 12 ⇔ −8 x + 6 = 9 x ⇔ −8 x − 9 x = − 6 ⇔ −17 x = −6 −6 ⇔x= −17 6 ⇔x= 17 6 V = 17
2) π x + 3 = 7
1) x − 5 = −3 5
}
1 1 2 2 x − = x + 3 5 2 3 1 1 2 2 ⇔ x− = x+ 2 6 3 5 15 5 20 12 x− x+ ⇔ = 30 30 30 30 ⇔ 15 x − 5 = 20 x + 12
3)
⇔ πx = 7 − 3 ⇔ πx = 4 4 ⇔x= π 4 V = π
4)
⇔ 15 x − 20 x = 12 + 5 ⇔ −5 x = 17 −17 ⇔x= 5 −17 V = 5
- vlaf@telenet.be -
2 3 ( x − 6) + 4 = (3 − 4 x ) 3 2 2 12 9 12 ⇔ x− +4= − x 3 3 2 2 4 24 24 27 36 ⇔ x− + = − x 6 6 6 6 6 ⇔ 4 x − 24 + 24 = 27 − 36 x ⇔ 4 x + 36 x = 27 ⇔ 40 x = 27 27 ⇔x= 40 27 V = 40 5)
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 4 / 40
6) x 2 + 5 = x 3 + 6 ⇔ x 2 − x 3 = 6−5 ⇔x
(
⇔x=
)
2 − 3 =1 1 2− 3
1 V = 2 − 3
2x 1 = (16 x − 1) 9 9 2 x 16 1 ⇔ 2x − = x− 9 9 9 18 x 2 x 16 1 ⇔ − = x− 9 9 9 9 ⇔ 18 x − 2 x = 16 x − 1 ⇔ 18 x − 2 x − 16 x = −1 ⇔ 0 x = −1
7) 2 x −
V =∅ 8) 3 x − ( x + 3) = 2 x − 3 ⇔ 3x − x − 3 = 2x − 3 ⇔ 3 x − x − 2 x = −3 + 3 ⇔ 0x = 0 V =ℝ
36
Los de vergelijkingen op.
1)
x− 3 x+ 3 3 + = x− 3 9 3
⇔
x 3 x 3 3 − + + = x− 3 3 9 9 3
⇔
3x 3 3 x 3 9x 3 3 − + + = − 9 9 9 9 9 9
⇔ 3x − 3 3 + x + 3 = 9x − 3 3 ⇔ 3 x + x − 9 x = −3 3 + 3 3 − 3 ⇔ −5 x = − 3 ⇔x=
− 3 −5
⇔x=
3 5
- vlaf@telenet.be -
3 V = 5 Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 5 / 40
2 ( x + π ) x + π 3 (π − x ) − = 5 4 10 2 x + 2π x + π 3 π − 3 x ⇔ − = 5 4 10 2 x 2π x π 3π 3 x ⇔ + − − = − 5 5 4 4 10 10 8 x 8π 5 x 5π 6π 6 x ⇔ + − − = − 20 20 20 20 20 20 ⇔ 8 x + 8π − 5 x − 5π = 6π − 6 x ⇔ 8 x − 5 x + 6 x = 6 π − 8π + 5 π ⇔ 9 x = 3π 2)
3π 9 π ⇔x= 3 ⇔x=
π V = 3
3 3 ( x + 1) = 2 −3 + x 2
3)
⇔ 3 x + 3 = −6 + 3 x ⇔ 3 x − 3 x = −6 − 3 ⇔ 0 x = −6 − 3 V =∅
x 3 x 2x − = 5 − 4 + 20 6 2 3 3x 2x 5x ⇔ − = − 20 + 20 2 3 6 9x 4x 5x ⇔ − = 6 6 6 ⇔ 9x − 4x = 5x ⇔ 9x − 4x − 5x = 0 ⇔ 0x = 0 4)
V =ℝ
1) 4x −
x − 3 4 x − 12 = 5 5 ⇕
x 3 4 x 12 4x − + = − 5 5 5 5 ⇕ 20 x x 3 4 x 12 − + = − 5 5 5 5 5 ⇕ 20 x − x + 3 = 4 x − 12
⇕ 15 x = −15 ⇕ x=
−15 15
⇕ x = −1 V = {−1}
⇕ 20 x − x − 4 x = −12 − 3 - vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 6 / 40
2)
3 ( x − 1) 5
−
2 (1 − 4 x ) 7
=x+
x +1 5
⇕ 3x − 3 2 − 8x x +1 − =x+ 5 7 5 ⇕ 3x 3 2 8x x 1 − − + =x+ + 5 5 7 7 5 5 ⇕ 21x 21 10 40 x 35 x 7 x 7 − − + = + + 35 35 35 35 35 35 35 ⇕ x x−2 x +1 21x − 21 − 10 + 40 x = 35 x + 7 x + 7 3) + =5− 2 3 2 ⇕ ⇕ 21x + 40 x − 35 x − 7 x = 7 + 21 + 10 x x 2 x 1 + − =5− − ⇕ 2 3 3 2 2 19 x = 38 ⇕ ⇕ 3 x 2 x 4 30 3 x 3 + − = − − 38 6 6 6 6 6 6 x= 19 ⇕ ⇕ 3 x + 2 x − 4 = 30 − 3 x − 3 x=2 ⇕ V = {2}
3 x + 2 x + 3 x = 30 − 3 + 4 ⇕ 8 x = 31 ⇕ x=
31 8
31 V = 8 - vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 7 / 40
4)
x − 2 12 − x 5 x − 36 − = −1 3 2 4 ⇕
x 2 x 5x − −6+ = − 9 −1 3 3 2 4 ⇕ 4 x 8 72 6 x 15 x 108 12 − − + = − − 12 12 12 12 12 12 12 ⇕ 4 x − 8 − 72 + 6 x = 15 x − 108 − 12 ⇕ 4 x + 6 x − 15 x = −108 − 12 + 8 + 72 ⇕ −5 x = −40 ⇕ x=
−40 −5
⇕ x =8 V = {8}
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 8 / 40
B. Vraagstukken : A3, nrs. 6, 7, 30, 31, 33, 45, 72, 73 en 74
OEFENINGEN
6
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende:
opstellen en oplossen van de vergelijking: 2. (18 + x ) = 48 + x
aantal jaar: x
⇔ 36 + 2 x = 48 + x ⇔ 2 x − x = 48 − 36 ⇔ x = 12 V = {12}
antwoord: Over 12 jaar zal Jean dubbel zo oud zijn als Lode.
7
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende:
opstellen en oplossen van de vergelijking: 2π x = 4 ( x + 1)
straal cirkel: x zijde vierkant: x + 1
⇔ 2π x = 4 x + 4 ⇔ 2π x − 4 x = 4
⇔ ( 2π − 4 ) x = 4 ⇔x=
4 2π − 4
4 V = 2π − 4
antwoord: De straal van de cirkel is 1,75 m.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 9 / 40
30
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende: lengte (zie afbeelding): x
opstellen en oplossen van de vergelijking: 50x + ( 60 − x ) .5 = 45 ( 60 − x ) ⇔ 50 x + 300 − 5 x = 2700 − 45 x ⇔ 50 x − 5 x + 45 x = 2700 − 300 ⇔ 90 x = 2400 ⇔x=
80 3
80 V = 3
antwoord: De lengte is 26,67 m.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 10 / 40
31
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende:
opstellen en oplossen van de vergelijking:
lengte paal: x
1 1 x − x = 50 3 5 5 3 750 ⇔ x− x= 15 15 15 ⇔ 5 x − 3 x = 750 ⇔ 2 x = 750 750 ⇔x= 2 ⇔ x = 375 V = {375}
antwoord: De lengte van de paal is 375 cm.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 11 / 40
33
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende:
opstellen en oplossen van de vergelijking: 5 x − 15 = 4 x + 10
aantal leerlingen: x
⇔ 5 x − 4 x = 10 + 15 ⇔ x = 25 V = {25}
antwoord: 1) Er zitten 25 leerlingen in de klas. 2) Totaal bedrag: 5 x − 15 = 5.25 − 15 = 110 Bedrag per leerling: 110 : 25 = 4,40 Elke leerling betaalt 4,40 euro.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 12 / 40
38
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende:
opstellen en oplossen van de vergelijking:
eerste getal: x tweede getal: 37 − x
( x + 5 ) . ( 37 − x + 8 ) = x. ( 37 − x ) + 300 ⇔ ( x + 5 ) . ( 45 − x ) = 37 x − x 2 + 300 ⇔ 45 x − x 2 + 225 − 5 x = 37 x − x 2 + 300 ⇔ 45 x − 5 x − 37 x = 300 − 225 ⇔ 45 x − 5 x − 37 x = 300 − 225 ⇔ 3 x = 75 ⇔ x = 25 V = {25}
antwoord: De getallen zijn 25 en 12.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 13 / 40
45
Los de volgende vergelijkingen op.
Vpiramide =
1 ⋅ Sgrondvlak . h 3
keuze van de onbekende:
opstellen en oplossen van de vergelijking:
zijde grondvlak: x hoogte: 2 x
1 2 ⋅ x ⋅ 2 x = 500 3 500.3 ⇔ x3 = 2 500.3 ⇔x=3 2 ⇔ x = 9,09 V = {9,09}
antwoord: De zijde van het grondvlak is 9,09 cm.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 14 / 40
72
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende:
opstellen en oplossen van de vergelijking:
leeftijd Boris: x
x 3 = x + 24 5 ⇔ 5 x = 3 ( x + 24 )
leeftijd vader: x + 24
⇔ 5 x = 3 x + 72 ⇔ 5 x − 3 x = 72 ⇔ 2 x = 72 72 2 ⇔ x = 36 ⇔x=
V = {36}
antwoord: Boris is 36 jaar.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 15 / 40
73
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende: tijd op autosnelweg: x tijd in bebouwde kom: 2 − x
opstellen en oplossen van de vergelijking: 110 x + 45 ( 2 − x ) = 187,5 ⇔ 110 x + 90 − 45 x = 187,5 ⇔ 65 x = 187,5 − 90 187,5 − 90 ⇔x= 65 3 ⇔x= 2 3 V = 2
antwoord: Hij reed 1,5 h op de autosnelweg en 0,5 h in de bebouwde kom.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 16 / 40
74
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende:
opstellen en oplossen van de vergelijking:
aantal kaarten: x x −1 4 x −2 aantal hoopjes van 5 kaarten: 5 aantal hoopjes van 4 kaarten:
x −1 x − 2 = +2 4 5 x 1 x 2 ⇔ − = − +2 4 4 5 5 5x 5 4 x 8 40 ⇔ − = − + 20 20 20 20 20 ⇔ 5 x − 5 = 4 x − 8 + 40 ⇔ 5 x − 4 x = −8 + 40 + 5 ⇔ x = 37 V = {37}
antwoord: Er zitten 37 kaarten in de stapel.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 17 / 40
C. Formules omvormen : A3, nrs. 13, 14, 15, 49, 50, 51 en 52
OEFENINGEN
13
Los de volgende vergelijkingen op.
2A h 2A h= b
1) b =
2) r 2 =
A
π
⇔r =
A
π
3) r = 3 I
100I pt 100I t= kp
4) k =
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 18 / 40
14
Los de volgende vergelijkingen op.
1) F = 1,8.25 + 32 = 77 25°C = 77°F
2) 1,8C = F − 32 ⇔C =
F − 32 1,8
86 − 32 = 30 1,8 86°F = 30°C
3) C =
15
Los de volgende vergelijkingen op.
(
1) A = π r2 2 − π r12 = π r2 2 − r12
(
)
)
2) A = π 22 − 12 = π ( 4 − 1) = 3π
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 19 / 40
3) A = π r2 2 − π r12 ⇔ π r12 = π r2 2 − A
π 4,52 − 25 4) r1 = = 3,51 π r1 = 3,51 cm
π r22 − A ⇔r = π 2 1
⇔ r1 =
49
π r22 − A π
Los de volgende vergelijkingen op.
1) F = A.p F A= p
- vlaf@telenet.be -
3I 3I ⇔r = πh πh 3I h= 2 πr
2) r 2 =
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 20 / 40
3) h =
A 2 (l + b)
A A =l +b ⇔ l = −b 2h 2h
50
Los de volgende vergelijkingen op.
iPod
240 = 30 8 R = 30 Ω
1) R =
4) I =
230 = 0,5 460 I = 0,5 A
5) I =
2) U = R.I
3) U = 0,030.50 = 1,5 U = 1,5 V
- vlaf@telenet.be -
U R
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 21 / 40
51
Los de volgende vergelijkingen op.
1) I = Szijvlak . b =
(( 2a ) (
2
)
+ π a 2 .b
)
= 4a 2 + π a2 .b = ( 4 + π ) a2b
52
2) b =
( 4 + π ) a2
3) a 2 = ⇔a=
I
I (4 + π )b I (4 + π )b
Los de volgende vergelijkingen op.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 22 / 40
1 1 1 = − v f b f 1 b ⇔ = − v bf bf 1 b−f ⇔ = v bf bf ⇔v = b−f
1)
- vlaf@telenet.be -
1 1 1 = − b f v f 1 v ⇔ = − b fv fv 1 v −f ⇔ = b fv fv ⇔b= v −f
2)
1 1 1 = + f v b 1 b v ⇔ = + f bv bv 1 b+v ⇔ = f bv bv ⇔f = b+v
3)
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 23 / 40
D. Een ongelijkheid oplossen van de eerste graad met één onbekende : 1) voorbeeld :
4− x x + 4 x −8 + ≤ 6 2 2 ⇕ 4 x x 4 x 8 − + + ≤ − 6 6 2 2 2 2 ⇕ 4 x 3 x 12 3 x 24 − + + ≤ − 6 6 6 6 6 6 ⇕ 4 − x + 3 x + 12 ≤ 3 x − 24 ⇕ − x + 3 x − 3 x ≤ −24 − 4 − 12 ⇕ − x ≤ −40 ⇕ x ≥ 40 V = [ 40, +∞[
40
ℝ
Als we in een ongelijkheid beide leden vermenigvuldigen met of delen door eenzelfde negatief getal, dan keert de orde om.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 24 / 40
2) speciale ongelijkheden : vb1.
3 x + 5 ≤ 2 ( x + 1) + x ⇕ 3x + 5 ≤ 2x + 2 + x ⇕
3 x − 2x − x ≤ 2 − 5 ⇕ 0 x ≤ −3 V =∅ Zo'n ongelijkheid noemen we een valse ongelijkheid.
vb2.
3 x + 2 ≤ 2 ( x + 5) + x ⇕ 3 x + 2 ≤ 2 x + 10 + x ⇕
3 x − 2 x − x ≤ 10 − 2 ⇕ 0x ≤ 8 V =ℝ Zo'n ongelijkheid noemen we een onbepaalde ongelijkheid.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 25 / 40
A3, nrs. 54 en 60
OEFENINGEN
Los de volgende ongelijkheden op.
54
1) x + 3 > 11 ⇔ x > 11− 3 ⇔ x>8 V = ]8, +∞[
1 x>2 2 ⇔ x > 2⋅ 2 4)
⇔ x>4 V = ]4, +∞[
7) 7 <
−1 x 4
1 x < −7 4 ⇔ x < −7.4 ⇔ x < −28 ⇔
2) x − 5 < −6 ⇔ x < −6 + 5 ⇔ x < −1 V = ]−∞,−1[
12 7 12 ⇔x≥ −3.7 −4 ⇔x≥ 7
5) − 3 x ≤
−4 V = , +∞ 7
3) 3 x ≤ −9 −9 ⇔x≤ 3 ⇔ x ≤ −3 V = ]−∞,−3 ]
6) − 3 ( x + 1) ≥ −12 ⇔ −3 x − 3 ≥ −12 ⇔ −3 x ≥ −12 + 3 ⇔ −3 x ≥ −9 −9 −3 ⇔ x ≤3 ⇔x≤
V = ]−∞,3 ]
8) − 2 x + 9 > −3 ( x − 4) ⇔ −2 x + 9 > −3 x + 12 ⇔ −2 x + 3 x > 12 − 9 ⇔ x>3
V = ]−∞,−28[
V = ]3, +∞[
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 26 / 40
x 1 x − 2 > 3 + 1 6 2 1 x ⇔ x− 2 > +3 2 2 x 2 2 x 6 ⇔ − > + 2 2 2 2 ⇔ x −2 2 > x +6
x + 2 x − 3 2x + 4 + > 4 6 3 x 2 x 3 2x 4 ⇔ + + − > + 4 4 6 6 3 3 3x 6 2x 6 8 x 16 ⇔ + + − > + 12 12 12 12 12 12 ⇔ 3 x + 6 + 2 x − 6 > 8 x + 16
9)
10)
⇔ 3 x + 2 x − 8 x > 16 − 6 + 6 ⇔ −3 x > 16 −16 ⇔x< 3
⇔ x−x >6+2 2 ⇔ 0x > 6 + 2 2 V =∅
−16 V = −∞, 3
60 1)
Los de volgende ongelijkheden op.
(
)
2 x 2− 3 ≤ 3
⇔ 2x − 6 ≤ 6 − 3 x ⇔ 2x + 3 x ≤ 6 + 6 ⇔ 5x ≤ 2 6 ⇔x≤
2 6 5
2 6 V = −∞, 5
(
2−x 3
)
3 x − 14 2 x − 1 8 x − 4 + > 5 3 15 3 x 14 2 x 1 8 x 4 ⇔ − + − > − 5 5 3 3 15 15 9 x 42 10 x 5 8x 4 ⇔ − + − > − 15 15 15 15 15 15 ⇔ 9 x − 42 + 10 x − 5 > 8 x − 4 2)
⇔ 9 x + 10 x − 8 x > −4 + 42 + 5 ⇔ 11x > 43 43 ⇔ x> 11 43 V = , +∞ 11
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 27 / 40
3) − 2 3 + 2 ( x − 1) < 7 − 3 (1− 2 x ) ⇔ −2 [3 + 2 x − 2] < 7 − 3 + 6 x ⇔ −6 − 4 x + 4 < 7 − 3 + 6 x ⇔ −4 x − 6 x < 7 − 3 − 4 + 6 ⇔ −10 x < 6 6 ⇔ x> −10 −3 ⇔ x> 5 −3 V = , +∞ 5
- vlaf@telenet.be -
2 1 1 (3 x − 4) − (1− 2 x ) > (3 x − 7) 3 4 2 6 x 8 1 2x 3 x 7 ⇔ − − + > − 3 3 4 4 2 2 24 x 32 3 6 x 18 x 42 ⇔ − − + > − 12 12 12 12 12 12 ⇔ 24 x − 32 − 3 + 6 x > 18 x − 42 4)
⇔ 24 x + 6 x − 18 x > −42 + 32 + 3 ⇔ 12 x > −7 −7 ⇔ x> 12 −7 V = , +∞ 12
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 28 / 40
E. Stelsels van ongelijkheden : voorbeeld :
3 x − 1 < 5 2 x + 1 ≥ −8
2 x + 1 ≥ −8
3x − 1 < 5 ⇕ 3x < 5 + 1
⇕ 2 x ≥ −8 − 1
⇕ 3x < 6
⇕ 2 x ≥ −9
⇕
⇕
x<
6 3
x≥
⇕ x<2
−9 2
−9 V2 = , +∞ 2
V1 = ]−∞,2[
V1 :
V2 :
V:
−9 2
2
−9 2
2
−9 2
2
ℝ ℝ ℝ
−9 V = ,2 2
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 29 / 40
A3, nr. 25
OEFENINGEN
25
Los de volgende stelsels van ongelijkheden op.
3 x > 6 1) 4 x < 20 3x > 6 6 ⇔ x> 3 ⇔ x>2
4 x < 20 20 ⇔x< 4 ⇔ x <5
V1 = ]2, +∞[
V1 :
V2 :
V:
V2 = ]−∞,5[
2
5
2
5
2
5
ℝ ℝ ℝ
V = ]2,5[
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 30 / 40
16 ≥ −2 x 2) −3 ≤ 3 x
16 ≥ −2 x ⇔ 2 x ≥ −16 −16 ⇔x≥ 2 ⇔ x ≥ −8
− 3 ≤ 3x ⇔ −3 x ≤ 3 3 −3 ⇔ x ≥ −1 ⇔x≥
V1 = [−8, +∞[
V1 :
V2 :
V:
V2 = [−1, +∞[
−8
−1
−8
−1
−8
−1
ℝ ℝ ℝ
V = [ −1, +∞[
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 31 / 40
3 x − 15 < 0 3) 8 − 2 x > 0
3 x − 15 < 0 ⇔ 3 x < 15
8 − 2x > 0 ⇔ −2 x > −8 −8 ⇔x< −2 ⇔ x<4
15 3 ⇔ x <5 ⇔x<
V1 = ]−∞, 5[
V1 :
V2 :
V:
V2 = ]−∞, 4[
4
5
4
5
4
5
ℝ ℝ ℝ
V = ]−∞,4[
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 32 / 40
x − 2 > 5 4) 3 − x > 7
3− x > 7 ⇔ −x > 7 − 3 ⇔ −x > 4
x −2>5 ⇔ x >5+2 ⇔ x>7
⇔ x < −4
V1 = ]7, +∞[ V2 = ]−∞,−4[
V1 :
V2 :
V:
−4
7
−4
7
−4
7
ℝ ℝ ℝ
V =∅
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 33 / 40
3 x − 7 ≤ 2 5) 5 − 2 x ≤ 1
3x − 7 ≤ 2 ⇔ 3x ≤ 2 + 7 ⇔ 3x ≤ 9
5 − 2x ≤ 1 ⇔ − 2 x ≤ 1− 5 ⇔ −2 x ≤ −4 −4 −2 ⇔ x≥2
9 3 ⇔ x ≤3 ⇔x≤
⇔x≥
V2 = [2, +∞[
V1 = ]−∞,3 ]
V1 :
V2 :
V:
2
3
2
3
2
3
ℝ ℝ ℝ
V = [ 2,3]
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 34 / 40
5 < x + 5 6) 5 < x + 5 ≤ 10 ⇔ x + 5 ≤ 10
5< x +5 ⇔ −x < 5 − 5 ⇔ −x < 0
x + 5 ≤ 10 ⇔ x ≤ 10 − 5 ⇔ x ≤5
⇔ x>0
V2 = ]−∞,5 ] V1 = ]0, +∞[
V1 :
V2 :
V:
0
5
0
5
0
5
ℝ ℝ ℝ
V = ]0,5]
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 35 / 40
3 x > 2 x − 2 7) 3 x > 2 x − 2 > x ⇔ 2 x − 2 > x
3 x > 2x − 2 ⇔ 3 x − 2 x > −2 ⇔ x > −2
2x − 2 > x ⇔ 2x − x > 2 ⇔ x>2
V1 = ]−2, +∞[
V1 :
V2 :
V:
V2 = ]2, +∞[
−2
2
−2
2
−2
2
ℝ ℝ ℝ
V = ]2, +∞[
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 36 / 40
1 3 5 x + < 3 4 6 8) 1 1 7 x − 2 ≥ x − 3 4 2
1 3 5 x+ < 3 4 6 4x 9 10 ⇔ + < 12 12 12 ⇔ 4 x + 9 < 10 ⇔ 4 x < 10 − 9 ⇔ 4x < 1 1 ⇔x< 4
1 1 7 x −2≥ x − 2 3 4 6 x 24 4 x 21 ⇔ − ≥ − 12 12 12 12 ⇔ 6 x − 24 ≥ 4 x − 21 ⇔ 6 x − 4 x ≥ −21 + 24 ⇔ 2x ≥ 3 3 ⇔x≥ 2
1 V1 = −∞, 4
V1 :
V2 :
V:
3 V2 = , +∞ 2
1 4
3 2
1 4
3 2
1 4
3 2
ℝ ℝ ℝ
V =∅
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 37 / 40
F. Vraagstukken oplossen met een ongelijkheid :
22
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende: aantal jaren: x
opstellen en oplossen van de ongelijkheid: 15 + x + 17 + x > 100 ⇔ x + x > 100 − 15 − 17 ⇔ 2 x > 68 68 2 ⇔ x > 34 ⇔x>
V = ]34, +∞[
antwoord: Over 35 jaar zullen ze samen meer dan 100 jaar zijn.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 38 / 40
23
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende: lengte (zie afbeelding): x
opstellen en oplossen van de ongelijkheid: 2. ( 90 + 80 − x ) ≥ 2. (150 + x ) ⇔ 170 − x ≥ 150 + x ⇔ − x − x ≥ 150 − 170 ⇔ −2 x ≥ −20 −20 ⇔x≤ −2 ⇔ x ≤ 10 V = ]−∞,10]
antwoord: De lengte x moet minstens 10 zijn.
- vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 39 / 40
26
Los de volgende vergelijkingen op.
keuze van de onbekende:
opstellen en oplossen van de ongelijkheid:
breedte: x
2 ( x + 80 ) ≤ 240 80 x ≥ 3000
2 ( x + 80) ≤ 240 ⇔ 2 x + 160 ≤ 240 ⇔ 2 x ≤ 240 − 160 ⇔ 2 x ≤ 80 80 ⇔x≤ 2 ⇔ x ≤ 40
80 x ≥ 3000 3000 ⇔x≥ 80 ⇔ x ≥ 37,5 V2 = [37,5; +∞[
V1 = ]−∞,40 ]
antwoord: De mogelijke afmetingen kunnen variëren van 37,5 tot en met 40 m. - vlaf@telenet.be -
Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen
pagina 40 / 40