05 eerstegraadsfuncties

Hoofdstuk 5 : Eerstegraadsfuncties

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 1 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 2 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 3 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 4 / 33

OEFENINGEN

7

A4, nrs. 7, 22 (1,3), 9, 10, 56, WB, 59, 11, en 61 (1,2)

Welke grafieken stellen functies voor?

- vlaf@telenet.be -

geen functie

functie

geen functie

functie

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 5 / 33

geen functie

22

functie

Teken de grafiek van de volgende functies door middel van twee goed gekozen punten.

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 6 / 33

9

Gegeven is de functie f ( x ) = − x 2 − 1. Welke uitspraken zijn waar?

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 7 / 33

10

Gegeven is de functie f ( x ) = − x 2 − 1. Welke uitspraken zijn waar?

56

Gegeven is de functie f ( x ) = − x 2 − 1. Welke uitspraken zijn waar?

1) f (4) = 2.4 − 5 = 3

2) g (3) =

−2 ⋅ 3 = −2 3

3 ) h (−2) =

2 = −1 −2

4) f (−6) = 2.(−6) − 5 = −17  −3  −2  −3  5) g   = ⋅   = 1  2  3  2  6) h (6) =

- vlaf@telenet.be -

2 1 = 6 3 Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 8 / 33

7 ) f −1 (13) = 9 2 x − 5 = 13 ⇔ 2 x = 13 + 5 ⇔ 2 x = 18 18 2 ⇔ x=9 ⇔x=

10) f −1 (−21) = −8 2 x − 5 = −21 ⇔ 2 x = −21 + 5 ⇔ 2 x = −16 −16 2 ⇔ x = −8 ⇔x=

WB

4 8) g −1   = −2  3 

9) h−1 (2) = 1 2 =2 x x 1 ⇔ = 2 2 ⇔ x =1

−2 4 x= 3 3 ⇔ −2 x = 4 4 −2 ⇔ x = −2 ⇔x=

11) g −1 (2) = −3

12) h−1 (−10) =

−2 x=2 3 3 −2 ⇔ x = −3 ⇔ x = 2⋅

−1 5

2 = −10 x ⇔ 2 = −10 x ⇔ −10 x = 2 2 ⇔x= −10 −1 ⇔x= 5

Bepaal van elke functie het domein, het beeld en de verzameling nulpunten.

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 9 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 10 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 11 / 33

59

Gegeven is de functie f ( x ) = − x 2 − 1. Welke uitspraken zijn waar?

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 12 / 33

11

Gegeven is de functie f ( x ) = − x 2 − 1. Welke uitspraken zijn waar?

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 13 / 33

61

Gegeven is de functie f ( x ) = − x 2 − 1. Welke uitspraken zijn waar?

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 14 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 15 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 16 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 17 / 33

OEFENINGEN A4, nrs. 19, 20, 22(2), 65, 28, 72a, 70, 26 en 74(1,2,4) - vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 18 / 33

19

Gegeven is de functie f ( x ) = − x 2 − 1. Welke uitspraken zijn waar?

1) rico k = −4

3 4 −2 rico m = 3 rico l =

2) k ( x ) = −4 x 3 x 4 −2 m( x ) = x 3 l(x) =

20

Bepaal telkens het voorschrift van de functie f ( x ) = ax waarvan de grafiek gaat door het punt ...

1) het punt (1, 4) f (x) = 4x  −5  2) het punt 1,  7  −5 f (x) = x 7

- vlaf@telenet.be -

3) het punt (3, 0) f (x) = 0 4) het punt (−3,−4) f (x) =

4 x 3

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 19 / 33

22

Teken de grafiek van de volgende functies door middel van twee goed gekozen punten.

2) f ( x ) = 2

65

Teken de grafiek van de volgende functies door middel van twee goed gekozen punten.

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 20 / 33

28

Bepaal voor elke functie de verzameling nulpunten en controleer grafisch (met Geogebra).

1) f ( x ) =

−1 x +2 4

2) f ( x ) =

−1 x +2=0 4 −1 ⇔ x = −2 4 ⇔ x = −2.(−4)

3 x −5 = 0 2 3 x=5 2 5.2 ⇔x= 3 ⇔

⇔ x=8 f −1 {0} = {8}

72

3 x −5 2

10 3 3 10 3  f −1 {0} =    3    ⇔x=

x ≈ 5,77

Stel een tekentabel op voor elk van onderstaande functies.

2x + 7 = 0

1) f ( x ) = 2 x + 7

⇔ 2 x = −7

−7 2

−

2) f ( x ) =

0

⇔x=

+

2 x −8 3

12

−

- vlaf@telenet.be -

0

−7 2

+

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

2 x −8 = 0 3 2 ⇔ x=8 3 3 ⇔ x = 8⋅ 2 ⇔ x = 12

pagina 21 / 33

− 2 x − 12 = 0

3) f ( x ) = −2 x − 12

⇔ −2x = 12

−6

+

0

−

4) f ( x ) = 4 − 7 x 4 7 +

70

0

12 −2 ⇔ x = −6 ⇔x=

−

4 − 7x = 0 ⇔ − 7 x = −4 −4 ⇔x= −7 4 ⇔x= 7

De grafiek van een functie met voorschrift f ( x ) = mx + q is gegeven.

Aan welke voorwaarden moeten m en q voldoen?

m < 0

m > 0

m = 0

q > 0

q < 0

q > 0

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 22 / 33

26

De

1) we noemen f de functie voor de trein en g die voor het vliegtuig. x f (x) = 200 x g(x ) = +2 700

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 23 / 33

3) Met het vliegtuig.

74

Bepaal de eventuele snijpunten van de grafieken van de volgende lineaire functies.

1) f ( x ) = −3 x + 1 en g ( x ) = 6 x + 1 f (x ) = g(x ) ⇔ −3 x + 1 = 6 x + 1 ⇔ − 3 x − 6 x = 1− 1

f (0 ) = −3.0 + 1 = 1

zo kan het ook: g (0 ) = 6.0 + 1 = 1

dus: snijpunt is (0,1)

dus: snijpunt is (0,1)

⇔ −9 x = 0 0 −9 ⇔ x = 0 V = {0}

⇔x=

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 24 / 33

2) f ( x ) = 2 en g ( x ) = x + 1 f (x ) = g(x ) ⇔ 2 = x +1 ⇔ − x = 1− 2 ⇔ −x = −1 ⇔ x =1

4) f ( x ) =

V = {1}

f (1) = 2

zo kan het ook: g (1) = 1 + 1 = 2

dus: snijpunt is (1,2)

dus: snijpunt is (1,2)

−1 1 −1 1 x − en g ( x ) = x+ 3 5 3 4

f (x ) = g(x ) −1 1 −1 1 ⇔ x− = x+ 3 5 3 4 −20 x 12 −20 x 15 ⇔ − = + 60 60 60 60 ⇔ −20 x − 12 = −20 x + 15 ⇔ −20 x + 20 x = 15 + 12 ⇔ 0 x = 27 V =∅ dus: er zijn geen snijpunten, de rechten zijn evenwijdig.

Bereken in oefening 26 voor welke afstand reizen met het vliegtuig even veel tijd kost als reizen met de trein. f (x ) = g(x ) x x = +2 200 700 7x 2x 2800 ⇔ = + 1400 1400 1400 ⇔ 7 x = 2 x + 2800 ⇔

⇔ 7 x − 2 x = 2800 ⇔ 5 x = 2800 2800 5 ⇔ x = 560 ⇔x=

V = {560}

Voor een afstand van 560 km kosten beide vervoermiddelen even veel tijd.

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 25 / 33

L. Vergelijking opstellen van een rechte door een punt met een gegeven richtingscoëfficiënt : 1) algemeen: ɺɺ ficient ɺɺ m is: Een vergelijking van de rechte door een punt ( x1, y 1 ) met richtingscoef y − y 1 = m ( x − x1 )

2) voorbeeld: Bepaal de vergelijking van de rechte door (3,4) met rico m =

2 .

3

y − y 1 = m ( x − x1 ) 2 ⇔ y − 4 = ( x − 3) 3 2 ⇔ y −4 = x −2 3 2 ⇔ y = x −2+4 3 ⇔ y=

2 x +2 3

M. Vergelijking opstellen van een rechte door twee gegeven punten : 1) algemeen:

Een vergelijking van de rechte door twee punten ( x1, y 1 ) en ( x 2 , y 2 ) is: y − y1 = hierin

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

y 2 − y1 ɺɺ cie ɺɺ nt. is de richtingscoeffi x2 − x1

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 26 / 33

2) voorbeeld: Bepaal de vergelijking van de rechte door (3,4) en (-1,2) y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

2−4 ( x − 3) − 1− 3 1 ⇔ y − 4 = ( x − 3) 2 1 3 ⇔ y −4= x− 2 2 1 3 ⇔ y = x− +4 2 2 ⇔ y −4=

⇔ y=

1 5 x+ 2 2

OEFENINGEN A4, nrs. 40, 42 (1,2), 43, 64 (5,6), 67 (C,D), 41, 29 en 44

40

Welke grafieken stellen functies voor?

1) y − y 1 = m ( x − x1 )

2) y − y 1 = m ( x − x1 )

⇔ y + 7 = 2 ( x − 4)

⇔ y + 2 = 0 ( x + 1)

⇔ y + 7 = 2x − 8

⇔ y +2=0

⇔ y = 2x − 8 − 7

⇔ y = −2

⇔ y = 2 x − 15

voorschrift: f ( x ) = −2 voorschrift: f ( x ) = 2 x − 15 - vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 27 / 33

3) y − y1 = m ( x − x1 )  3 ⇔ y + 2 = −1 x −   4 ⇔ y + 2 = −x + ⇔ y = −x +

3 4

3 − 2 4

voorschrift: f ( x ) = −x +

42

3 − 2 4

Welke grafieken stellen functies voor?

1) y − y 1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

5−4 ( x + 3) 1+ 3 1 y − 4 = ( x + 3) 4 1 3 y −4= x + 4 4 1 3 y = x+ +4 4 4 1 19 y= x+ 4 4

⇔ y −4=

2) y − y 1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

2 − 0  1 x −  1   2 0− 2  1 ⇔ y = −4  x −   2 ⇔ y −0 =

⇔ y = −4 x + 2 voorschrift: f ( x ) = −4 x + 2

- vlaf@telenet.be -

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

voorschrift: f ( x ) =

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

1 19 x+ 4 4

pagina 28 / 33

43

Welke grafieken stellen functies

rechte k gaat door (−6,0) en (0,−4) : y − y1 = ⇔ y −0 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

−4 − 0 ( x + 6) 0+6

−2 ( x + 6) 3 −2 ⇔y= x −4 3 ⇔y=

voorschrift: k ( x ) =

−2 x−4 3

rechte l gaat door (−6,1) en (0,4) : y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

4 −1 ( x + 6) 0+6 1 y − 1 = ( x + 6) 2 1 y −1= x + 3 2 1 y = x + 3 +1 2 1 y = x+4 2

⇔ y −1= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

voorschrift: l ( x ) =

- vlaf@telenet.be -

 −9   15  2,  : rechte m gaat door 0, en   4   4  y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

15 9 + 9 4 4 ( x − 0) ⇔y+ = 4 2−0 9 ⇔ y + = 3x 4 9 ⇔ y = 3x − 4 voorschrift: m( x ) = 3 x −

9 4

1 x+4 2

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 29 / 33

64

67

Welke grafieken stellen functies voor?

5) m =

y 2 − y1 20 − 0 −5 = = x 2 − x1 −8 − 0 2

6) m =

y 2 − y1 0 − 0 = =0 x2 − x1 4 − 0

Welke grafieken stellen functies voor?

−1 2 −1 2) f ( x ) = x 2

C 1) m =

3) f (−2) = 1 f (0) = 0 −1 2 −5 f (5) = 2 f (1) =

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 30 / 33

5 3 5 2) f ( x ) = x 3 −10 3) f (−2) = 3 f (0) = 0

D 1) m =

5 3 25 f (5) = 3 f (1) =

41

Welke grafieken stellen functies voor?

1) 190 − 2,25.52 = 73 Het vast bedrag is 73 euro.

2) f ( x ) = 52 x + 73

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 31 / 33

29

Welke grafieken stellen functies voor?

1) De grafiek bevat de punten (4,0) en (0,1). y − y1 = ⇔ y −0 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

1− 0 ( x − 4) 0−4

−1 ( x − 4) 4 −1 ⇔y= x +1 4 ⇔y=

voorschrift: f ( x ) =

−1 x +1 4

5  2) De grafiek bevat de punten  ,0 en (0,−4).  8  y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

5  −4 − 0  x −  5   8 0− 8 32  5 ⇔y=  x −  5 8 ⇔ y −0 =

⇔y=

32 x−4 5

voorschrift: f ( x ) =

- vlaf@telenet.be -

32 x −4 5

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 32 / 33

44

Welke grafieken stellen functies voor?

2) f (0) = −4.0 + 10 = 10 Er zat 10 dl in de fles.

y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

2 − 8  1 − x  1   2 2− 2  1 ⇔ y − 8 = −4  x −   2

⇔ y −8 =

⇔ y − 8 = −4 x + 2 ⇔ y = −4 x + 2 + 8 ⇔ y = −4 x + 10

3) f (0) = 0 ⇔ −4 x + 10 = 0 ⇔ −4 x = −10 −10 −4 5 ⇔x= 2 Na 2,5 uren is de fles leeg, ⇔x=

dus om 11.40 uur.

voorschrift: f ( x ) = −4 x + 10

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 33 / 33