Wiskunde 3e jaar

Hoofdstuk 1 : De stelling van Pythagoras A. Stelling van Pythagoras : 1) voorbeeld:

We stellen vast:

52 = 32 + 42

2) algemeen: In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.

2 2 2 in ∆ABC is Aˆ = 90° ⇒ BC = AB + AC

Wanneer we de lengten voorstellen door kleine letters, kunnen we de eigenschap korter noteren als:

in ∆ABC is Aˆ = 90° ⇒ a 2 = b 2 + c 2

- vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 1 / 13

3) bewijs: Gegeven: ∆ABC met Aˆ = 90° 2 2 2 Te bewijzen: a = b + c Bewijs:

We construeren ∆DCE zodat ∆ABC ≅ ∆DCE en ABED een rechthoekig trapezium is.

W e tonen eerst aan dat ∆ BCE rechthoekig is.

( ) = 180° − (Cˆ + Bˆ ) overeenkomstige hoeken bij ∆ABC ≅ ∆DCE

Cˆ 3 = 180° − Cˆ1 + Cˆ 2 gestrekte hoek 1

= 180° − 90° = 90°

som van scherpe hoeken in rechth. driehoek

W e berekenen de oppervlakte van het trapezium op 2 manieren:

1) SABED = S∆ABC + S∆DCE + S∆BCE bc bc a 2 = + + 2 2 2 2bc + a 2 = 2

2) SABED = =

( grote basis + kleine basis ) ⋅ hoogte (b + c ) ⋅ (b + c )

2

2

(b + c ) =

2

2 b2 + 2bc + c 2 = 2 - vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 2 / 13

Uit 1) en 2) volgt:

2bc + a 2 b 2 + 2bc + c 2 = 2 2 ⇔ 2bc + a 2 = b 2 + 2bc + c 2 ⇔ a2 = b2 + c 2

wwmb

A1, nrs. 5, 12, 13, 14, 15, 24, 33, 52 en 69

OEFENINGEN

5

Bereken x. Afronden tot op 2 decimalen.

x 2 = 72 + 242 ⇔ x = 72 + 242 ⇔ x = 25

x 2 + 62 = 142 ⇔ x 2 = 142 − 62 ⇔ x = 142 − 62 ⇔ x = 12,65

x 2 + 52 = 132 ⇔ x 2 = 132 − 52 ⇔ x = 132 − 52 ⇔ x = 12

- vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 3 / 13

12

Hieronder

2 1) In ∆BCD met Cˆ = 90° : BD = 22 + 42

⇔ BD = 22 + 42 ⇔ BD = 4,47 → M De lengte van de ladder is 4,47 m.

2 2) In ∆ABE met Aˆ = 90° : AE + 32 = M 2

2

2

⇔ AE = M − 32 ⇔ AE =

2

M − 32

⇔ AE = 3,32 De ladder steunt tegen de muur op 3,32 m hoogte.

- vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 4 / 13

13

Bereken x.

De grootste afstand is de diagonaal.

2 In ∆ACD met Dˆ = 90° : AC = 602 + 1102

⇔ AC = 602 + 1102 ⇔ AC = 125,30 De grootste afstand die je in rechte lijn kan afleggen is 125,30 m.

14

Bereken x.

In ∆ADT met Aˆ = 90° : DT

2

= 62 + 42

⇔ DT = 62 + 42 ⇔ DT = 7,21 → D In ∆ABT met Aˆ = 90° : BT

2

= 62 + 32

⇔ BT = 6 2 + 3 2 ⇔ BT = 6,71 → B

- vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 5 / 13

2 In ∆ABC met Bˆ = 90° : AC = 32 + 42

⇔ AC = 32 + 42 ⇔ AC = 5 In ∆ACT met Aˆ = 90° : CT

2

= 52 + 62

⇔ CT = 52 + 62 ⇔ CT = 7,81 → C

DT + BT + CT + ( 6.0,15 ) = D + B + C + ( 6.0,15 ) = 22,63 Er is 22,63 m kabel nodig. 24 m kabel is dus voldoende.

15

Bereken x.

2 In ∆ABC met Bˆ = 90° : AC = 82 + 82

⇔ AC = 82 + 82 ⇔ AC = 11,31 → A 2

1  In ∆AMT met Mˆ = 90° : h +  ⋅ A  = 142 2  2

1  ⇔ h = 14 −  ⋅ A  2  2

M

2

2

1  ⇔ h = 14 −  ⋅ A  2  ⇔ h = 12,81

2

2

De hoogte van de piramide is 12,81 cm.

- vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 6 / 13

24

Bereken x.

2 In ∆ABC met Aˆ = 90° : BC = 12 + 12

⇔ BC = 12 + 12 ⇔ BC = 1,41 → B

2 2 In ∆BCD met Bˆ = 90° : CD = B + 22

⇔ CD =

2

B + 22

⇔ CD = 2,45 → C

2 2 In ∆CDE met Dˆ = 90° : CE = C + 32

⇔ CE =

2

C + 32

⇔ CE = 3,87

33

Bereken

1 ⋅ 26 = 13 2 In ∆ABD met Dˆ = 90° : BD =

2

AD + 132 = 262 2

⇔ AD = 262 − 132 ⇔ AD = 262 − 132 ⇔ AD = 22,52

- vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 7 / 13

44 − 28 =8 2 BE = 44 − 8 = 36 AE =

In ∆BDE met Eˆ = 90° :

In ∆ADE met Eˆ = 90° :

2

⇔ AD = 82 + 152

⇔ ED = 392 − 362

2

⇔ AD = 82 + 152

⇔ ED = 392 − 362

⇔ AD = 17

ED + 362 = 392

2

⇔ ED = 15

In ∆BMO met Mˆ = 90° : 2

M

BM + 42 = 52 2

⇔ BM = 52 − 42 ⇔ BM = 52 − 42 ⇔ BM = 3 AB = 2. BM = 2.3 = 6

- vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 8 / 13

In ∆BCD met Dˆ = 90° : 2

DB + 152 = 392 2

⇔ DB = 392 − 152 ⇔ DB = 392 − 152 ⇔ DB = 36 AD = 56 − 36 = 20 2 In ∆ACD met Dˆ = 90° : AC = 202 + 152

⇔ AC = 202 + 152 ⇔ AC = 25

52

Bereken

2 In ∆ABC met Aˆ = 90° : x 2 + 62 = (18 − x )

⇔ x 2 + 36 = 324 − 36 x + x 2 ⇔ 36 x = 324 − 36 ⇔ 36 x = 289 289 36 ⇔ x =8 ⇔x=

- vlaf@telenet.be -

De stukken zijn 8 en 10 m.

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 9 / 13

69

Bereken

km 1 ⋅ s = 4 000 km s 75 km 1 TW = 300 000 ⋅ s = 5 000 km s 60 SW = 300 000

2 In ∆STW met Sˆ = 90° : ST + 40002 = 50002

⇔ ST

2

= 50002 − 40002

⇔ ST = 50002 − 40002 ⇔ ST = 3000 De satellieten bevinden zich op 3000 km van elkaar.

- vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 10 / 13

B. Omgekeerde stelling van Pythagoras : 1) voorbeeld: De 3-4-5 regel in de bouw: zie video Dobbit tv.

2) algemeen: Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden, dan is deze driehoek rechthoekig.

in ∆ABC is a 2 = b 2 + c 2 ⇒ Aˆ = 90°

OEFENINGEN

8

A1, nrs. 8, 9, 26, 27 en 30

Bereken

1) 162 ≠ 122 + 132

∆ABC is niet rechthoekig

2) 782 = 722 + 302

∆ABC is rechthoekig in C

3) 292 = 202 + 212

∆ABC is rechthoekig in B

- vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 11 / 13

Bereken

9

242 ≠ 112 + 212

∆PQR is niet rechthoekig

De muren zullen niet loodrecht op elkaar staan.

26

Bereken

In ∆ABC : Bˆ = 180° − 75° − 30° = 75° ⇓ basishoeken zijn gelijk ∆ABC is gelijkbenig ⇓ AC = 34

In ∆ACD : 342 = 162 + 302 ⇓ omgekeerde stelling van Pythagoras Dˆ = 90° - vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 12 / 13

27

Bereken

In ∆BCD met Bˆ = 90° : 2

BD + 702 = 742 2

⇔ BD = 742 − 702 ⇔ BD = 742 − 702 ⇔ BD = 24

In ∆ABD : 262 = 102 + 242 2

BD + 702 = 742 ⇓ omgekeerde stelling van Pythagoras Dˆ = 90° BC ⊥ BD en AD ⊥ BD ⇓ als twee rechten loodrecht staan op een derde rechte, dan zijn ze onderling evenwijdig AD // BC

30

Bereken

In ∆ABC met Aˆ = 90° :

(13 − x )

2

= ( 9 − x ) + 82 2

⇔ 169 − 26 x + x 2 = 81 − 18 x + x 2 + 64 ⇔ −26 x + 18 x = 81 + 64 − 169 ⇔ −8 x = −24 −24 ⇔x= −8 De latten moeten met 3 cm ingekort worden. ⇔ x =3 - vlaf@telenet.be -

Stelling van Pythagoras - theorie & oefeningen

pagina 13 / 13

Hoofdstuk 2 : De reële getallen A. Rationaal getal : 1) voorbeelden :

−4 − 3 − 2 − 1 0 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

−3 4

4 1

5 7

0,7

− 2,25

7 10

−225 100

0,127272727...

7 55

periode 110

− 1,213 213 213 213... −404 333

periode 110

2) definitie : Een rationaal getal is een getal dat geschreven kan worden als een breuk van gehele getallen.

B. Decimale schrijfwijze van een rationaal getal : 1) begrensd :

vb.

7 = 0,7 10

11 1375 = = 1,375 8 1000

De decimale schrijfwijze is begrensd: we krijgen een decimaal getal.

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 1 / 33

2) onbegrensd : 26 11

17 12

26 11 -22 2,3636 40 -33 70 -66 40 -33 70 -66 4

17 12 -12 1,4166 50 -48 20 -12 80 -72 80 -72 8

26 = 2,3636...

11

17 = 1,4166...

12

zuiver repeterende decimale vorm, d.w.z.: de periode komt onmiddellijk na de komma

gemengd repeterende decimale vorm, d.w.z.: de periode komt NIET onmiddellijk na de komma

De decimale schrijfwijze is onbegrensd: we krijgen een repeterende decimale vorm.

C. Irrationaal getal : 1) voorbeelden : 0,123456789101112131415161718192021...

1,414 213 562 419 339 166 281...

( 2)

3,141 592 653 589 793 238 462 643... (�)

Deze getallen hebben een niet-repeterende decimale vorm (→ geen periode).

We noemen ze irrationale getallen.

- vlaf@telenet.be -

De reĂŤle getallen - theorie & oefeningen

pagina 2 / 33

2) definitie :

Een irrationaal getal is een getal met een niet-repeterende decimale vorm.

D. De verzameling IR :

ℝ

1) voorbeeld :

ℝ\ℚ

ℚ 1,66... −12

0

3 4

3,1415926... −0,12345678...

Rationale en irrationale getallen vormen samen de verzameling IR. We noemen IR de verzameling van de reële getallen.

2) definitie :

Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal.

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 3 / 33

E. De reële getallen op een getallenas : We kunnen alle reële getallen voorstellen op een getallenas.

Voor de rationale getallen kunnen we de stelling van Thales gebruiken, voor de irrationale getallen gebuiken we de stelling van Pythagoras.

Stelling van Thales: "Bij een evenwijdige projectie blijven de verhoudingen bewaard".

Merk op: elk punt van de getallenas komt overeen met een getal en elk getal komt overeen met een punt. We noemen het getal de abscis van zo'n punt.

F. Deelverzamelingen van IR : 1) de positieve reële getallen :

ℝ

0 ℝ + = {x ∈ ℝ | x ≥ 0}

2) de negatieve reële getallen :

ℝ

0 ℝ − = {x ∈ ℝ | x ≤ 0} - vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 4 / 33

3) de strikt positieve reële getallen :

ℝ

0 ℝ +0 = {x ∈ ℝ | x > 0} 4) de strikt negatieve reële getallen :

ℝ

0 ℝ −0 = {x ∈ ℝ | x < 0}

G. Intervallen in IR : 1) gesloten interval :

3

4

5

6

7

ℝ

[ 4,7] = {x ∈ ℝ | 4 ≤ x ≤ 7} we lezen: "Het gesloten interval (met grenzen) 4 (en) 7"

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 5 / 33

2) open interval :

3

4

5

6

7

ℝ ℝ

]4,7[ = {x ∈ ℝ | 4 < x < 7} we lezen: "Het open interval (met grenzen) 4 (en) 7"

3) halfopen (of halfgesloten) interval :

3

4

5

6

7

ℝ ℝ

]4,7] = {x ∈ ℝ | 4 < x ≤ 7} we lezen: "Het open gesloten interval (met grenzen) 4 (en) 7"

3

4

5

6

7

ℝ ℝ

[ 4,7[ = {x ∈ ℝ | 4 ≤ x < 7} we lezen: "Het gesloten open interval (met grenzen) 4 (en) 7"

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 6 / 33

4) plus oneindig en min oneindig : IR bevat geen grootste of kleinste getal.

De grootste niet te bereiken grens noemen we plus oneindig: De kleinste niet te bereiken grens noemen we min oneindig:

Dus:

ℝ + = [0, +∞[

ℝ − = ]−∞,0]

ℝ +0 = ]0, +∞[

ℝ −0 = ]−∞,0[

+∞ −∞

ℝ = ]−∞, +∞[

H. Rekenen in IR : Voor het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen in IR, gelden dezelfde eigenschappen en rekenregels als in Q.

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 7 / 33

OEFENINGEN

8

Los

9

Los

A2, nrs. 8, 9, 11, 14, 15 en 56

Het reeĂŤl getal r dat bij een punt P op de getallenas hoort, noemen we de abscis van P. We noteren dan: abs(P)=r

Dus: abs (C ) = 3, abs ( D ) = 8, enzovoort.

- vlaf@telenet.be -

De reĂŤle getallen - theorie & oefeningen

pagina 8 / 33

11

Los

- vlaf@telenet.be -

De reĂŤle getallen - theorie & oefeningen

pagina 9 / 33

14

Los

- vlaf@telenet.be -

De reĂŤle getallen - theorie & oefeningen

pagina 10 / 33

15

Los

1) [2,15 ; 2,25[ 2) [3,1775 ; 3,1785[

56

Los

abs (P ) = 8 + 1 abs (Q ) = 12 + 1 abs (R ) = −

(

)

10 − 1

= − 10 + 1 - vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 11 / 33

I. Machten in IR : 1) voorbeelden :

23 = 2.2.2 = 8 2

−2    = −2 ⋅ −2 = 4  3  3 3 9

π 4 = π.π.π.π = 97,4091...

170 = 1

81 = 8

2) definitie van nde macht : De nde macht van een reëel getal a is het product van n factoren, allemaal gelijk aan a.

∀n ∈ ℕ \ {0,1}, ∀a ∈ ℝ : a n = a . ... . a

n factoren

De eerste macht van een reëel getal a is steeds gelijk aan a zelf.

∀a ∈ ℝ : a1 = a De nulde macht van een van nul verschillend reëel getal is steeds gelijk aan 1.

∀a ∈ ℝ 0 : a 0 = 1

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 12 / 33

3) definitie van -nde macht : 3

−3

vb. 2

 1 1 =   =  2  8

−4

 2     3 

4

3 81 =   =  2  16

De -nde macht van een reëel getal a is de nde macht van het omgekeerde van a. n

∀ a ∈ ℝ 0 , ∀ n ∈ ℕ : a −n

 1 =    a 

J. Eigenschappen van machten met gehele exponent : 1) gelijksoortige machten vermenigvuldigen : gelijksoortige machten zijn machten met hetzelfde grondtal

vb. π 3 .π 2 = π 5 = ...

Om gelijksoortige machten te vermenigvuldigen, behouden we het grondtal en tellen we de exponenten op.

∀x ∈ ℝ 0 , ∀m, n ∈ ℤ : x m .x n = x m +n

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 13 / 33

2) gelijksoortige machten delen :

vb. π 5 : π 2 = π 3 = ...

Om gelijksoortige machten te delen, behouden we het grondtal en trekken we de exponenten van elkaar af.

∀x ∈ ℝ 0 , ∀m, n ∈ ℤ : x m : x n = x m−n 3) macht van een product :

(

vb. π ⋅ 2

5

)

= π5 ⋅

5

( ) 2

= ...

Om een macht van een product te nemen, verheffen we elke factor tot die macht. n

∀x, y ∈ ℝ 0 , ∀n ∈ ℤ : ( x.y ) = x n .y n 4) macht van een breuk (quotiënt): 4

4  2  2 vb.   = 4 = ...  3  3

Om een macht van een breuk te nemen, verheffen we teller en noemer tot die macht. n

n  x  x ∀x, y ∈ ℝ 0 , ∀n ∈ ℤ :   = n y  y 

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 14 / 33

5) macht van een macht : 3

vb.  π 2  = π 6 = ...

Om een macht van een macht te nemen, behouden we het grondtal en vermenigvuldigen we de exponenten.

∀x ∈ ℝ 0 , ∀m, n ∈ ℤ : ( x

OEFENINGEN

16

m n

)

= x m .n

A2, nr. 16 en 66

Los

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 15 / 33

66

Los

1) (2 x

−2 2

)

⋅ xy = 2 ( x 3

2

−2

0

2) ( xy ) ⋅ ( xy ) −1

3)

(2 x )

(2 x

−2 2

)

=

2

22 ( x −2 ) −2

- vlaf@telenet.be -

)

−4

3

1

3

xy = 4 x x y = 4 x

= 1.x −2 y −2 =

2−1 x −1

x −1  3 y  4) ⋅  3 y −1  x 

−2 2

4y 3 y = 4x y = 3 x

−4+1

3

−3

3

1 x2y 2

2−1 x −1 x3 x3 −1−2 −1−(−4) −3 3 = 2 −4 = 2 x =2 x = 3 = 2 x 2 8 −2

x −1 (3 y ) x −1 3−2 y −2 −1− −2 −2− −1 = 3−2−1 x ( )y ( ) = −1 ⋅ −2 = −1 ⋅ −2 3y x 3y x x x = 3−3 xy −1 = 3 = 3 y 27 y

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 16 / 33

K. De vierkantswortel in IR : 1) voorbeelden :

vb.

9 = 3, want 32 = 9 maar ook: (-3)2 = 9, wat nu ? → we spreken af: 9 = 3 en - 9 = −3

25 = 5 en - 25 = −5

positieve vierkantswortel Opmerking:

negatieve vierkantswortel

−9 = DIT KAN NOOIT!

DE VIERKANTSWORTEL UIT EEN STRIKT NEGATIEF (≠0) REËEL GETAL BESTAAT NIET !!!

2) definitie : In al wat volgt, bedoelen we telkens de "positieve vierkantswortel" uit een positief reëel getal, tenzij anders vermeld.

De vierkantswortel van een reëel getal a is een positief reëel getal b waarvan de tweede macht gelijk is aan a.

∀a, b ∈ ℝ + : a = b ⇔ b 2 = a - vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 17 / 33

L. Hoofdeigenschap van de vierkantswortel in IR : Uit de definitie volgt:

vb.

2

( 9)

(

=9

16

2

)

= 16

Het kwadraat van de vierkantswortel van een reëel getal is het getal zelf.

+

∀a ∈ ℝ :

- vlaf@telenet.be -

2

( a)

=a

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 18 / 33

M. Rekenregels van de vierkantswortel in IR : 1) vierkantswortel van een product :

vb.

4.25 = 4. 25

9.4 = 9. 4

De vierkantswortel van een product is gelijk aan het product van de vierkantswortels.

∀a, b ∈ ℝ + : a.b = a. b 2) vierkantswortel van een breuk (quotiënt) :

vb.

4 4 = 25 25

1 1 = 9 9

Om de vierkantswortel van een breuk te nemen, nemen we de vierkantswortel van de teller en van de noemer.

a a ∀a ∈ ℝ , ∀b ∈ ℝ : = b b +

+ 0

3) vierkantswortel van een macht : 2

vb. 9 =

2

( 9)

6

4 =

6

( 4)

De vierkantswortel van een macht is gelijk aan de macht van de vierkantswortel.

+

n

∀a ∈ ℝ , ∀n ∈ ℕ : a = - vlaf@telenet.be -

n

( a)

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 19 / 33

N. De derdemachtswortel in IR : 1) voorbeelden :

vb. 3 8 = 2, want 23 = 8 3

1000 = 10, want 103 = 1000

3

-1000 = −10, want (-10) = −1000

3

2) definitie : De derdemachtswortel van een reëel getal a is het reëel getal b waarvan de derdemacht gelijk is aan a.

∀a, b ∈ ℝ : 3 a = b ⇔ b 3 = a OEFENINGEN

30

A2, nrs. 30, 31, 70 (kol 2), 33 (kol 2), 72 (kol 2), 34, 35 (kol 2), 36 (kol 2), 39, 40, 41, 44, 45 en A1, nr. 38

Vereenvoudig.

1)

20 = 22.5 = 22 . 5 = 2 5

2)

48 = 24.3 = 24 . 3 = 22 3 = 4 3

3)

72 = 23.32 = 22.2.32 = 2.3. 2 = 6 2

24 =

2

( 22 )

= 22

4) 1200 = 24.3.52 = 22.5. 3 = 20 3 5)

288 = 25.32 = 24.2.32 = 22.3. 2 = 12 2

6)

405 = 34.5 = 32. 5 = 9 5

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 20 / 33

31

Vereenvoudig. Alle letters stellen strikt positieve getallen voor.

1) a 4 b 2c = a 2 b c 2) 16a5 b 5 = 24.a 4a.b 4 .b = 22.a 2 b 2 ab = 4a 2 b 2 ab 3)

44a 44 = 22.11.a 44 = 2a 22 11

4)

45a 7 b 3c 4 = 32.5.a 6 .a.b 2 .b.c 4 = 3a3 bc 2 5ab

5)

8a 3 8a 3 22.2.a 2 .a 2a 2a = = = 50 100 b100 b b 50 b

6)

27 27 32.3 3 3 = = 2 5 = 2 5 4 10 a 4 b10 ab ab a b

70 6) 7)

Vereenvoudig. Alle letters stellen strikt positieve getallen voor.

4

(−9a2b2 )

2

= (−9a 2 b 2 ) = 81a 4 b 4

a 24 b10 = a12 b 5 = a12b 4 b = a 6 b 2 b

8) 16 + 25 + 49 = 90 = 2.32.5 = 3 10

a+b ≠ a + b

9) 16a + 32b = 16 (a + 2b ) = 4 a + 2b 10)

25a9 − 16a9 = 9a 9 = 9a8a = 3a 4 a

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 21 / 33

33

Vereenvoudig. Alle letters stellen strikt positieve getallen voor.

6) 2 18 + 3 2 − 5 8 + 98 = 2 2.32 + 3 2 − 5 22.2 + 72.2 = 6 2 + 3 2 − 10 2 + 7 2 =6 2

7)

28 x + 2 7 x − 112 x = 22.7 x + 2 7 x − 24.7 x = 2 7x + 2 7x − 4 7x =0

8) 7 18 xy − 2 8 xy − 3 2 xy = 7 32.2 xy − 2 22.2 xy − 3 2 xy = 21 2 xy − 4 2 xy − 3 2 xy = 14 2 xy

9) a 5b + 45a 2 b − 125a 2 b = a 5b + 32.5.a 2 b − 52.5.a 2 b = a 5b + 3a 5b − 5a 5b = −a 5b 10) a 8 + 2 a + a 2 − 27a = a 22.2 + 2 a + a 2 − 32.3a = 2a 2 + 2 a + a 2 − 3 3a = 3a 2 + 2 a − 3 3a

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 22 / 33

Bereken en vereenvoudig.

72

(

6) 5 − 5

2

)

= 52 − 2.5 5 +

2

( ) 5

= 25 − 10 5 + 5 = 30 − 10 5 7)

(

7 + 14

2

2

) = ( 7)

+ 2. 7. 14 +

(

14

2

)

= 7 + 2 72.2 + 14 = 7 + 14 2 + 14 = 21 + 14 2

8)

30.

(

)

6 + 125 = 30. 6 + 30. 125 = 5.2.3.2.3 + 5.2.3.53 = 5.22.32 + 5 4.2.3 = 6 5 + 25 6

9)

4 + 16.

(

)

( 20 − 4 3 ) = ( 20 ) − 20.4 3 = ( 20 ) − 4 2 .5.3

20 − 4 3 = 20.

2

2

2

= 20 − 8 15

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 23 / 33

10) 3 2.

(

)

(

2 − 4 − 2 3. 3 3 − 2 6

)

= 3 2. 2 − 3 2.4 − 2 3.3 3 + 2 3.2 6 = 3. 22 − 12 2 − 6. 32 + 4 32.2 =6

− 12 2 − 18

+ 12 2

= −12

34

Bereken en vereenvoudig.

z = 20 + 180 + 20 = 22.5 + 22.32.5 + 22.5 =2 5 +6 5 +2 5 = 10 5 2

(

SABCD = z = 10 5

35

2

)

2

= 10 .

2

( 5)

= 100.5 = 500

Werk uit en vereenvoudig. Alle letters stellen strikt positieve getallen voor.

6) 12a 3 . 3a = 22.3.a 3 .3.a = 22.32.a 4 = 6a 2 7)

b b 2 .5.2.3.a 2 .a 3 . 30a b = = b 2 .6.a 2 = ab 6 5a 5a

8)

45ab. 48a3 b 3 = 32.5.ab.24.3.a3 b 3 = 32.5.a 4 .24.3.b 4 = 12a 2b 2 15

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 24 / 33

2a 2 . 8a. 9a = 2.a 2 .23.a.32.a = 24.a 4 .32 = 12a 2

9)

(

)

a3 b 4 . −2 a 6 b 5 . a 7 b3 = −2 a 3 b 4a 6 b 5a7 b3 = −2 a16 b12

10)

= −2a8 b 6 Werk uit en vereenvoudig.

36

(

)(

)

6) 4 2 + 5 . 2 2 − 3 5 = 8. 22 − 12 10 + 2 10 − 3. 52 = 16 − 10 10 − 15 = 1− 10 10

7)

(

216 + 150 . 2 6 − 3 24

(

23.33 + 2.3.52 . 2 6 − 3 23.3

=

)(

)

)(

(

)( 6)

= 6 6 +5 6 . 2 6 −6 6

(

= 11 6. −4

)

)

= −44.6 = −264 8)

(

)(

) (

13 + 10 . 13 − 10 =

2

) (

13 −

10

2

)

= 13 − 10 =3

(

)(

)

2

9) 2 − 11 . 2 + 11 = 2 −

(

2

)

11

= 4 − 11 = −7

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 25 / 33

( )( ) = (−5 + 3 2 ).(−5 − 3 2 ) = (−5) − (3 2 )

10) 3 2 − 5 . −3 2 − 5

2

2

= 25 − 18 =7

39

Vereenvoudig

1) ribbe = 3 1000 = 10 De ribbe meet 10 cm.

2) ribbe = 3 125 = 5 De ribbe meet 5 cm.

40 2

- vlaf@telenet.be -

−2

4

−4

De reële getallen - theorie & oefeningen

10

−10

pagina 26 / 33

Bereken zonder rekentoestel.

41 1)

3

4) 3 1 000 000 = 100

27 = 3

5) 3 −27000 = −30

2) 3 −1 = −1 3)

3

1 1 = 8 2

6)

3

−125 −5 = 27 3

44 4 ⋅ π ⋅ r 3 = 220 3 220.3 ⇔ r3 = 4π 220.3 ⇔r =3 4π ⇔ r = 3,74 De straal meet 3,74 cm.

45 12z 3 = 3,3 3,3 ⇔ z3 = 12 3,3 12 ⇔ z = 0,65 ⇔z=3

De ribbe meet 65 mm.

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 27 / 33

38

Pythagoras in ∆ABC met Bˆ = 90° : AB + a 2 = ( 2a ) 2

2

⇔ AB = ( 2a ) − a 2 2

2

2

⇔ AB = 4a 2 − a 2 2

⇔ AB = 3a 2 ⇔ AB = 3a 2 ⇔ AB = a 3

O. Ontbinden in factoren : 1) voorbeelden :

  

5 x 3 y + 10 xy 2 = 5 xy ( x 2 + 2 y )

2a + 3 2b = 2.(a + 3b )

a 4 − 9b 2 = (a 2 + 3b).(a 2 − 3b)

(

)(

4 x 2 − 13 = 2 x + 13 . 2 x −

 13 )   2

25 x 2 − 40 xy 3 + 16 y 6 = (5 x − 4 y 3 )

5 x 2 + 2 5 xy + y 2 =

(

5x + y

gemeenschappelijke factoren vooropzetten

2

)

een verschil van twee kwadraten

  

een drieterm die het kwadraat van een tweeterm is

ax + 2ay + bx + 2by = a ( x + 2y ) + b ( x + 2y )   = ( x + 2y )(a + b ) - vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

 groeperen  pagina 28 / 33

2) algemeen : Een veelterm ontbinden in factoren betekent de veelterm schrijven als een product

A2, nrs. 47 (E), 49 (E), 51 (E), 52 (E), 92, 88 (3,4) en 89 (6)

OEFENINGEN

47 2)

Ontbind in factoren.

7 x − 7 = 7 ( x − 1)

4) a (a + 2) + 5 (a + 2) = (a + 2)(a + 5) 6) ( x + 4)( x + 1) + 5 ( x + 1) = ( x + 1)( x + 4 + 5) = ( x + 1)( x + 9) 8) ( y + 3)( x + 1) − (2y − 5)( x + 1) = ( x + 1)( y + 3 − (2y − 5)) = ( x + 1)( y + 3 − 2y + 5) = ( x + 1)(−y + 8) 10) ( x − y ) − 4 ( x − y ) = ( x − y )(1− 4) = ( x − y )(−3) = −3 ( x − y )

49

Ontbind in factoren.

(

)(

) (

)(

2) 9a 6 − 8 = 3a3 + 8 3a3 − 8 = 3a3 + 2 2 3a3 − 2 2

)

2

4) ( x − 3 y ) − 9 y 2 = ( x − 3 y + 3 y )( x − 3 y − 3 y ) = x ( x − 6 y ) 2

6) 9a 2 − 30ab + 25b 2 = (3a − 5b)

2

8) 2 x 2 + 12 xy + 18 y 2 = 2 ( x 2 + 6 xy + 9 y 2 ) = 2 ( x + 3 y ) 10) 6 x 2 − 2 6 xy 3 + y 6 = - vlaf@telenet.be -

(

6x − y 3

2

)

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 29 / 33

51

Ontbind de volgende viertermen door de termen per twee te groeperen.

2) 3a − 3b + ax − bx = 3 (a − b ) + x (a − b ) = (a − b )(3 + x ) 4) xy − yz − xt + zt = y ( x − z ) − t ( x − z ) = ( x − z )( y − t ) 6) x 3 + 2 x 2 + 9 x + 18 = x 2 ( x + 2) + 9 ( x + 2) = ( x + 2)( x 2 + 9) 8)

3 − x − xy 2 + 3y 2 =

(

)

3 − x + y2

(

) (

3−x =

)

3 − x (1 + y 2 )

10) a 2 − 6b − 3ab + 2a = a (a − 3b) + 2 (a − 3b) = (a − 3b )(a + 2)

52

Ontbind in factoren.

2) x 3 + bx 2 − a 2 x − a 2b = x 2 ( x + b) − a 2 ( x + b ) = ( x + b)( x 2 − a 2 ) = ( x + b)( x + a )( x − a) 4) 18 x 4 y − 12 x 3 y 3 + 8 x 2 y 5 = 2 x 2 y (9 x 2 − 6 xy 2 + 4 y 4 ) 6) 16 − x 8 = (4 + x 4 )( 4 − x 4 ) = (4 + x 4 )(2 + x 2 )(2 − x 2 ) = (4 + x 4 )(2 + x 2 ) 2

(

2+x

)(

2−x

)

2

8) ( x − y 2 ) − ( x 2 + y 2 ) = ( x − y 2 + ( x 2 + y 2 ))( x − y 2 − ( x 2 + y 2 )) = ( x − y 2 + x 2 + y 2 )( x − y 2 − x 2 − y 2 ) = ( x + x 2 )( x − x 2 − 2y 2 ) = x (1+ x )( x − x 2 − 2y 2 ) 2

10) x 2 − y 2 + 1− 2 x = x 2 − 2 x + 1− y 2 = ( x − 1) − y 2 = ( x − 1 + y )( x − 1− y )

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 30 / 33

91

Ontbind in factoren door de termen te groeperen.

2) x 2 + 2 xy + 3 xz − 4 x − 8 y − 12z = x ( x + 2y + 3z ) − 4 ( x + 2y + 3z ) = ( x + 2y + 3z )( x − 4) 4) x 2 + y 2 − z 2 − t 2 + 2 xy + 2zt = ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − (z 2 − 2zt + t 2 ) 2

2

= ( x + y ) − (z − t )

= ( x + y + (z − t ))( x + y − (z − t )) = ( x + y + z − t )( x + y − z + t )

6) x 6 − 2 x 5 + x 4 − 4 x 2 + 8 x − 4 = x 4 ( x 2 − 2 x + 1) − 4 ( x 2 − 2 x + 1) = ( x 2 − 2 x + 1)( x 4 − 4) 2

= ( x − 1) ( x 2 + 2)( x 2 − 2)

(

2

)(

= ( x − 1) ( x 2 + 2) x + 2 x − 2

92 1)

)

Ontbind in factoren.

27 x 2 + 18y 2 = 3 3 x 2 + 3 2y 2 = 3

(

3 x 2 + 2y 2

)

2) 25 x 2 − 16 y 2 + 5 x + 4 y = (5 x + 4 y )(5 x − 4 y ) + 5 x + 4 y = (5 x + 4 y )(5 x − 4 y + 1) 2

2

2

2

3) x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 = ( x 2 − y 2 ) = (( x + y )( x − y )) = ( x + y ) ( x − y )

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 31 / 33

Bij ontbinden in factoren: nooit breuken binnen de haakjes!

4)

5)

5 3 5 5 45 3 20 3 60 2 2 x y + xy 3 − x 2 y 2 = x y+ xy − x y 36 36 36 4 9 3 5 = xy (9 x 2 + 4 y 2 − 12 xy ) 36 5 2 xy (3 x − 2y ) = 36

3 2 4 4 9 2 16 4 1 x − y = x − y = (9 x 2 − 16 y 4 ) 4 3 12 12 12 1 = (3 x + 4 y 2 )(3 x − 4 y 2 ) 12

6) x 2 ( x 2 − 3 x ) + 3 x ( x 2 − 3 x ) = ( x 2 − 3 x )( x 2 + 3 x ) = x ( x − 3) x ( x + 3) = x 2 ( x − 3)( x + 3)

7) ( x 2 + 8)(2 x + 3) − 6 x (2 x + 3) + (2 x + 3) = (2 x + 3)( x 2 + 8 − 6 x + 1) = (2 x + 3)( x 2 − 6 x + 9) 2

= (2 x + 3)( x − 3) 2

8) 4 x 2 + 4 xy + y 2 + 2 x + y = (2 x + y ) + (2 x + y ) = (2 x + y )(2 x + y + 1)

9) 3 x − y − 9 x 2 + 6 xy − y 2 = 3 x − y − (9 x 2 − 6 xy + y 2 ) 2

= 3 x − y − (3 x − y )

= (3 x − y )(1− (3 x − y )) = (3 x − y )(1− 3 x + y )

- vlaf@telenet.be -

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 32 / 33

10)

3 x 2 z − y 5 + xy 2 z − 3 xy 3 = 3 x ( xz − y 3 ) + y 2 ( xz − y 3 ) = ( xz − y 3 )

88 3)

(

3x + y 2

)

Ontbind de volgende veeltermen in factoren.

6 x 2 + 2 = 2. 3 x 2 + 2 = 2

(

)

3x 2 + 1

4) 14a 2 b 2 + 21a 2b − 35a 3 b = 2. 7a 2 b 2 + 3. 7a 2b − 5. 7a 3 b = 7a 2 b

89 6)

(

2b + 3 − 5a

)

Ontbind in factoren door de termen per twee te groeperen.

8 − xy + 2y − 2 x = 2 2 − xy + 2y − 2 x = 2 (2 + y ) − x (2 + y )

(

= (2 + y )

- vlaf@telenet.be -

2−x

)

De reële getallen - theorie & oefeningen

pagina 33 / 33

Hoofdstuk 3 : Goniometrie A. Goniometrische waarden van een scherpe hoek : 1) definities :

sinus scherpe hoek =

overstaande rechthoekszijde schuine zijde

cosinus scherpe hoek =

aanliggende rechthoekszijde schuine zijde

tangens scherpe hoek =

overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde

b sin Bˆ = a

cos Bˆ =

c sin Cˆ = a

b cos Cˆ = a

c a

tanBˆ =

b c

c tanCˆ = b −1

We stellen vast: sin Bˆ = cos Cˆ ; sin Cˆ = cos Bˆ ; tan Bˆ = (tan Cˆ )

Sinus, cosinus en tangens noemen we de goniometrische waarden van een hoek.

2) geheugensteuntje : "SOS CASTOA".

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 1 / 16

B. Verband tussen sinus, cosinus en tangens : 1) afleiding :

sin =

overstaande rechthoekszijde schuine zijde

def. sin

cos =

aanliggende rechthoekszijde schuine zijde

def. cos

overstaande rechthoekszijde sin schuine zijde = aanliggende rechthoekszijde cos schuine zijde =

overstaande rechthoekszijde schuine zijde ⋅ schuine zijde aanliggende rechthoekszijde

=

overstaande rechthoekszijde aanliggende rechthoekszijde

def. tan = tan 2) algemeen:

tanBˆ =

sin Bˆ cos Bˆ

OEFENINGEN

- vlaf@telenet.be -

sin Cˆ tanCˆ = cos Cˆ

B6, nrs. 2, 3, 4, 8 en 9

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 2 / 16

2

Zet de decimale getallen om in onvereenvoudigbare breuken.

3

Vul aan.

2

Pythagoras : AB = 82 + 62 ⇒ AB = 82 + 62 = 10 6 3 = 10 5 8 4 cos α = = 10 5 6 3 tan α = = 8 4 sin α =

10 15

2

Pythagoras : BC + 82 = 172 2

⇔ BC = 172 − 82 ⇒ BC = 172 − 82 = 15 15 17 8 cos α = 17 15 tan α = 8 Merk op: Cosinus en sinus zijn steeds kleiner dan 1, omdat de schuine zijde steeds groter is dan een rechthoekszijde. sin α =

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 3 / 16

4

Vul aan.

1) sin α =

3 4

3) cos α =

α ≈ 49°

5 3

onmogelijk, want

- vlaf@telenet.be -

2) cos α =

2 3

α ≈ 48°

4) tan α =

5 4

α ≈ 51°

5 >1 3

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 4 / 16

8

1 Bereken met je rekentoestel en rond af op 5 decimalen.

a) sin52°53 ' = 0,79741 b) cos18°20' 37 " = 0,94919 c) tan78°53 ' 27 " = 5,09273

2 Bepaal, indien mogelijk, de scherpe hoek α in zestigdelige graden.

a) sin α = 0,682

α = 43°

b) cos α = 0,69466

α = 46°

c) tanα = 1,37638

α = 54°

d) sin α = 1,39

/

e) cos α = 0,24

α = 76°6' 48"

f) tanα = 57,5

α = 89°0'13"

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 5 / 16

9

Bere

3 In ∆ABC : tan Aˆ1 = ⇒ Aˆ1 = 30°57'50" 5 ˆ = 15 ⇒ C ˆ = 33°35'33" In ∆ACD : sinC 1 1 7 ˆ = 5 ⇒C ˆ = 59°2'10" of ook: Cˆ 2 = 180° − 90° − 30°57'50" In ∆ABC : tanC 2 2 3 15 In ∆ACD : cos Dˆ = ⇒ Dˆ = 56°24' 27" 7

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

idem

pagina 6 / 16

C. Grondformule van de goniometrie : 1) algemeen :

sin2 Bˆ + cos2Bˆ = 1 sin2 Cˆ + cos2Cˆ = 1

2) bewijs : We leveren het bewijs voor hoek B. Voor de andere hoek verloopt het bewijs op dezelfde manier.

Gegeven: ∆ABC met Aˆ = 90° Te bewijzen: sin2Bˆ + cos2Bˆ = 1 Bewijs: sin2Bˆ + cos2Bˆ 2

b c =  +  a a

2

def sin en cos

b2 c 2 = 2+ 2 a a b2 + c 2 = a2 a2 = 2 a =1

OEFENINGEN

- vlaf@telenet.be -

Pythagoras

wwmb

B6, nrs. 11 (1,2), 14 (1,3), 16, 49, 50, 17, 20, 22, 25, 44 en 55

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 7 / 16

Bere

11

sin2 α + cos2 α = 1

1)

2

sin α cos α 3 ⇔ tan α = 5 4 5 3 ⇔ tan α = 4

3 ⇔   + cos2 α = 1 5 3 ⇔ cos α = 1 −   5

tan α =

2

2

3 ⇔ cos α = 1 −   5 4 ⇔ cos α = 5

2)

2

sin2 α + cos2 α = 1 2

 1 ⇔ sin α +   = 1 7 2

 1 ⇔ sin α = 1 −   7

2

2

 1 ⇔ sin α = 1 −   7 ⇔ sin α =

- vlaf@telenet.be -

2

tan α =

sin α cos α

4 3 ⇔ tan α = 7 1 7 ⇔ tan α = 4 3

4 3 7

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 8 / 16

14

Vereenvoudig.

1)

tan75° =

1,5 b

1,5 tan75° ⇔ b = 0,40 ⇔b=

sin75° =

1,5 c

1,5 sin75° ⇔ c = 1,55

⇔c=

Bˆ = 90° − 75° = 15°

3)

a 2 + 2,42 = 3,62 ⇔ a 2 = 3,62 − 2,42 ⇔ a = 3,62 − 2,42 ⇔ a = 2,68

- vlaf@telenet.be -

2,4 cos Aˆ = 3,6 ⇔ Aˆ = 48°11' 23" 2,4 sin Bˆ = 3,6 ⇔ Bˆ = 41°48 '37 "

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 9 / 16

16

Vereenvoudig.

in ∆ACD: cos 26°37' =

AC 32,6

⇔ AC = 32,6.cos 26°37' ⇔ AC = 29,15 → A in ∆ABC: tan53°14' =

AB A

⇔ AB = A .tan53°14 ' ⇔ AB = 39,01

in ∆ABC: cos 53°14 ' =

A BC

A cos53°14 ' ⇔ BC = 48,69

⇔ BC =

De zijden zijn 29,15 cm, 39,01 cm en 48,69 cm lang.

49

Vereenvoudig.

AE =

78 − 40 = 19 2

19 cos Aˆ = ⇔ Aˆ = 53°34 '35 " 32 Aˆ = Bˆ = 53°34 '35" 360° − 2.53°34'35" Cˆ = Dˆ = 2 = 126°25 ' 25" - vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 10 / 16

in ∆ADE: DE = 322 − 192 = 25,75 → A

SABCD =

( 78 + 40 ) . A 2

= 1519,18

De hoeken zijn 53°34'35" en 126°25'25" en de oppervlakte bedraagt 1519,18 cm2 .

50

Ontbind in factoren.

In ∆ADE : sin57° =

DE

25 ⇔ DE = 25.sin57° ⇔ DE = 20,97 → D

SABCD = AB . DE = 30. D = 629,00

17

Vereenvoudig.

tan83° =

3 3 ⇔h= ⇔ h = 0,368 h tan83°

Het vliegtuig bevindt zich op 368 m hoogte.

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 11 / 16

20

Vereenvoudig.

tan α =

2,5 ⇔ α = 2°51' 45" 50

De hellingshoek van de bodem is 2°51'45" .

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 12 / 16

22

Vereenvoudig.

8 BD

in ∆BCD: tan18°24 ' = ⇔ BD =

8 tan18°24 '

⇔ BD = 24,05 → B in ∆BDE: tan 49° =

DE B

⇔ DE = B .tan 49° ⇔ DE = 27,67 → D CE = 8 + D = 35,67

Het gebouw is 35,67 m hoog.

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 13 / 16

25

Vereenvoudig.

6 4 ⇔ α = 56°18 '36 "

in ∆ABE: tan α =

in ∆ABE: BE = 62 + 42 = 7,21 → B

5 B ⇔ β = 34°44'11"

in ∆BCE: tan β =

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 14 / 16

44

Vereenvoudig.

1) In ∆ABF : sin10° =

AB

235 ⇔ AB = 235.sin10° ⇔ AB = 40,81 → A

De oefenschans is 40,81 m hoog.

2) In ∆BCF : CF = 2352 + 302 ⇔ CF = 236,91 → C

A In ∆CDF : sin Fˆ = C ⇔ Fˆ = 9°55 '7 " Pieter skiet naar beneden onder een hoek van 9°55'7".

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 15 / 16

55

Vereenvoudig.

1) In ∆ABC: AS =

1 1 ⋅ AC = ⋅ 42 + 62 = 3,61 → A 2 2

In ∆AST : TS = 102 − A

2

= 9,33

2) In ∆AMT : TM = 102 − 22 = 9,80 = 3) In ∆AMT : sin ATM

2 = 11°32'13 " ⇔ ATM 10

= 2.11°32'13 " = 23°4 ' 26 " ATB

= 4) In ∆AST : sin ATM

A = 21°8'3" ⇔ ATM 10

= 2.21°8'3 " = 42°16 '7" ATC

- vlaf@telenet.be -

Goniometrie - theorie & oefeningen

pagina 16 / 16

Hoofdstuk 4 : Vergelijkingen en ongelijkheden A. Een vergelijking oplossen van de eerste graad met één onbekende : 1) voorbeeld :

1 1 −5 x− = x +1 3 2 2 ⇕ op gelijke noemer zetten 2 3 −15 6 x− = x+ 6 6 6 6 ⇕ noemer weglaten (LL en RL maal 6) 2 x − 3 = −15 x + 6 ⇕

termen overbrengen (x in LL, rest in RL)

2 x + 15 x = 6 + 3 ⇕ 17 x = 9 ⇕ x=

factor overbrengen 9 17

 9  V =  17 

We noemen dit een vergelijking van de eerste graad, omdat de exponent van x gelijk is aan 1.

In het voorbeeld hebben we de gegeven vergelijking herschreven in de vorm 17x = 9. We kunnen elke eerstegraadsvergelijking schrijven in de vorm ax = b, waarbij a ϵ IR0 en b ϵ IR.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 1 / 40

2) definities : Een vergelijking van de eerste graad met één onbekende x is elke uitdrukking van de vorm ax = b, met a ϵ IR0 en b ϵ IR. Een oplossing van een vergelijking van de eerste graad met één onbekende x is elk reëel getal waardoor je x mag vervangen om een ware uitspraak te bekomen.

3) speciale vergelijkingen : vb1.

3 x + 5 = 2 ( x + 1) + x ⇕ 3x + 5 = 2x + 2 + x ⇕

3 x − 2x − x = 2 − 5 ⇕ V =∅

0 x = −3

Er bestaat geen enkel reëel getal dat vermenigvuldigd met nul gelijk is aan -3, de oplossingsverzameling is dus leeg.

Zo'n vergelijking noemen we vals.

vb2.

3 x + 2 = 2 ( x + 1) + x ⇕ 3x + 2 = 2x + 2 + x ⇕

3 x − 2x − x = 2 − 2 ⇕ 0x = 0

V =ℝ

Alle reële getallen zijn hier een oplossing.

Zo'n vergelijking noemen we onbepaald.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 2 / 40

A3, nrs. 4 (oneven), 29, 36 en bordopgave

OEFENINGEN

Los de volgende vergelijkingen op.

4

3 7 = 2 8 16 x 12 7 ⇔ − = 8 8 8 ⇔ 16 x − 12 = 7

3) 5 ( x − π ) = 0

⇔ 16 x = 7 + 12 ⇔ 16 x = 19

⇔x=

1) 2 x −

⇔x=

7)

19 16

⇔ 5 x − 5π = 0 ⇔ 5 x = 0 + 5π ⇔ 5 x = 5π

19  V =  16 

5π 5 ⇔ x=π

5) − 3 x − 2 = 5 x + 6 ⇔ −3 x − 5 x = 6 + 2 ⇔ −8 x = 8 8 −8 ⇔ x = −1 ⇔x=

V = {−1} V = {π }

3 x + 6 2 = −2 3 x

⇔ 3 x + 2 3 x = −6 2 ⇔ 3 3 x = −6 2 ⇔x=

−6 2 3 3

−2 2 3 −2 2   V =   3 

⇔x=

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 3 / 40

29

Los de vergelijkingen op.

⇔ x = −3 5 + 5 ⇔ x = −2 5

{

V = −2 5

−2 1 3 x+ = x 2 4 3 −8 6 9 ⇔ x+ = x 12 12 12 ⇔ −8 x + 6 = 9 x ⇔ −8 x − 9 x = − 6 ⇔ −17 x = −6 −6 ⇔x= −17 6 ⇔x= 17 6 V =   17 

2) π x + 3 = 7

1) x − 5 = −3 5

}

1  1  2 2  x −  = x + 3 5 2 3 1 1 2 2 ⇔ x− = x+ 2 6 3 5 15 5 20 12 x− x+ ⇔ = 30 30 30 30 ⇔ 15 x − 5 = 20 x + 12

3)

⇔ πx = 7 − 3 ⇔ πx = 4 4 ⇔x= π  4  V =   π 

4)

⇔ 15 x − 20 x = 12 + 5 ⇔ −5 x = 17 −17 ⇔x= 5 −17  V =    5 

- vlaf@telenet.be -

2 3 ( x − 6) + 4 = (3 − 4 x ) 3 2 2 12 9 12 ⇔ x− +4= − x 3 3 2 2 4 24 24 27 36 ⇔ x− + = − x 6 6 6 6 6 ⇔ 4 x − 24 + 24 = 27 − 36 x ⇔ 4 x + 36 x = 27 ⇔ 40 x = 27 27 ⇔x= 40  27  V =    40  5)

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 4 / 40

6) x 2 + 5 = x 3 + 6 ⇔ x 2 − x 3 = 6−5 ⇔x

(

⇔x=

)

2 − 3 =1 1 2− 3

  1 V =    2 − 3 

2x 1 = (16 x − 1) 9 9 2 x 16 1 ⇔ 2x − = x− 9 9 9 18 x 2 x 16 1 ⇔ − = x− 9 9 9 9 ⇔ 18 x − 2 x = 16 x − 1 ⇔ 18 x − 2 x − 16 x = −1 ⇔ 0 x = −1

7) 2 x −

V =∅ 8) 3 x − ( x + 3) = 2 x − 3 ⇔ 3x − x − 3 = 2x − 3 ⇔ 3 x − x − 2 x = −3 + 3 ⇔ 0x = 0 V =ℝ

36

Los de vergelijkingen op.

1)

x− 3 x+ 3 3 + = x− 3 9 3

⇔

x 3 x 3 3 − + + = x− 3 3 9 9 3

⇔

3x 3 3 x 3 9x 3 3 − + + = − 9 9 9 9 9 9

⇔ 3x − 3 3 + x + 3 = 9x − 3 3 ⇔ 3 x + x − 9 x = −3 3 + 3 3 − 3 ⇔ −5 x = − 3 ⇔x=

− 3 −5

⇔x=

3 5

- vlaf@telenet.be -

 3  V =    5    Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 5 / 40

2 ( x + π ) x + π 3 (π − x ) − = 5 4 10 2 x + 2π x + π 3 π − 3 x ⇔ − = 5 4 10 2 x 2π x π 3π 3 x ⇔ + − − = − 5 5 4 4 10 10 8 x 8π 5 x 5π 6π 6 x ⇔ + − − = − 20 20 20 20 20 20 ⇔ 8 x + 8π − 5 x − 5π = 6π − 6 x ⇔ 8 x − 5 x + 6 x = 6 π − 8π + 5 π ⇔ 9 x = 3π 2)

3π 9 π ⇔x= 3 ⇔x=

 π  V =    3 

 3  3 ( x + 1) = 2 −3 + x  2 

3)

⇔ 3 x + 3 = −6 + 3 x ⇔ 3 x − 3 x = −6 − 3 ⇔ 0 x = −6 − 3 V =∅

x  3 x 2x − = 5  − 4 + 20  6  2 3 3x 2x 5x ⇔ − = − 20 + 20 2 3 6 9x 4x 5x ⇔ − = 6 6 6 ⇔ 9x − 4x = 5x ⇔ 9x − 4x − 5x = 0 ⇔ 0x = 0 4)

V =ℝ

1) 4x −

x − 3 4 x − 12 = 5 5 ⇕

x 3 4 x 12 4x − + = − 5 5 5 5 ⇕ 20 x x 3 4 x 12 − + = − 5 5 5 5 5 ⇕ 20 x − x + 3 = 4 x − 12

⇕ 15 x = −15 ⇕ x=

−15 15

⇕ x = −1 V = {−1}

⇕ 20 x − x − 4 x = −12 − 3 - vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 6 / 40

2)

3 ( x − 1) 5

−

2 (1 − 4 x ) 7

=x+

x +1 5

⇕ 3x − 3 2 − 8x x +1 − =x+ 5 7 5 ⇕ 3x 3 2 8x x 1 − − + =x+ + 5 5 7 7 5 5 ⇕ 21x 21 10 40 x 35 x 7 x 7 − − + = + + 35 35 35 35 35 35 35 ⇕ x x−2 x +1 21x − 21 − 10 + 40 x = 35 x + 7 x + 7 3) + =5− 2 3 2 ⇕ ⇕ 21x + 40 x − 35 x − 7 x = 7 + 21 + 10 x x 2 x 1 + − =5− − ⇕ 2 3 3 2 2 19 x = 38 ⇕ ⇕ 3 x 2 x 4 30 3 x 3 + − = − − 38 6 6 6 6 6 6 x= 19 ⇕ ⇕ 3 x + 2 x − 4 = 30 − 3 x − 3 x=2 ⇕ V = {2}

3 x + 2 x + 3 x = 30 − 3 + 4 ⇕ 8 x = 31 ⇕ x=

31 8

 31 V =  8 - vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 7 / 40

4)

x − 2 12 − x 5 x − 36 − = −1 3 2 4 ⇕

x 2 x 5x − −6+ = − 9 −1 3 3 2 4 ⇕ 4 x 8 72 6 x 15 x 108 12 − − + = − − 12 12 12 12 12 12 12 ⇕ 4 x − 8 − 72 + 6 x = 15 x − 108 − 12 ⇕ 4 x + 6 x − 15 x = −108 − 12 + 8 + 72 ⇕ −5 x = −40 ⇕ x=

−40 −5

⇕ x =8 V = {8}

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 8 / 40

B. Vraagstukken : A3, nrs. 6, 7, 30, 31, 33, 45, 72, 73 en 74

OEFENINGEN

6

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking: 2. (18 + x ) = 48 + x

aantal jaar: x

⇔ 36 + 2 x = 48 + x ⇔ 2 x − x = 48 − 36 ⇔ x = 12 V = {12}

antwoord: Over 12 jaar zal Jean dubbel zo oud zijn als Lode.

7

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking: 2π x = 4 ( x + 1)

straal cirkel: x zijde vierkant: x + 1

⇔ 2π x = 4 x + 4 ⇔ 2π x − 4 x = 4

⇔ ( 2π − 4 ) x = 4 ⇔x=

4 2π − 4

 4  V =   2π − 4 

antwoord: De straal van de cirkel is 1,75 m.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 9 / 40

30

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende: lengte (zie afbeelding): x

opstellen en oplossen van de vergelijking: 50x + ( 60 − x ) .5 = 45 ( 60 − x ) ⇔ 50 x + 300 − 5 x = 2700 − 45 x ⇔ 50 x − 5 x + 45 x = 2700 − 300 ⇔ 90 x = 2400 ⇔x=

80 3

 80  V =  3 

antwoord: De lengte is 26,67 m.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 10 / 40

31

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking:

lengte paal: x

1 1 x − x = 50 3 5 5 3 750 ⇔ x− x= 15 15 15 ⇔ 5 x − 3 x = 750 ⇔ 2 x = 750 750 ⇔x= 2 ⇔ x = 375 V = {375}

antwoord: De lengte van de paal is 375 cm.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 11 / 40

33

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking: 5 x − 15 = 4 x + 10

aantal leerlingen: x

⇔ 5 x − 4 x = 10 + 15 ⇔ x = 25 V = {25}

antwoord: 1) Er zitten 25 leerlingen in de klas.

2) Totaal bedrag: 5 x − 15 = 5.25 − 15 = 110 Bedrag per leerling: 110 : 25 = 4,40 Elke leerling betaalt 4,40 euro.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 12 / 40

38

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking:

eerste getal: x tweede getal: 37 − x

( x + 5 ) . ( 37 − x + 8 ) = x. ( 37 − x ) + 300 ⇔ ( x + 5 ) . ( 45 − x ) = 37 x − x 2 + 300 ⇔ 45 x − x 2 + 225 − 5 x = 37 x − x 2 + 300 ⇔ 45 x − 5 x − 37 x = 300 − 225 ⇔ 45 x − 5 x − 37 x = 300 − 225 ⇔ 3 x = 75 ⇔ x = 25 V = {25}

antwoord: De getallen zijn 25 en 12.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 13 / 40

45

Los de volgende vergelijkingen op.

Vpiramide =

1 ⋅ Sgrondvlak . h 3

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking:

zijde grondvlak: x hoogte: 2 x

1 2 ⋅ x ⋅ 2 x = 500 3 500.3 ⇔ x3 = 2 500.3 ⇔x=3 2 ⇔ x = 9,09 V = {9,09}

antwoord: De zijde van het grondvlak is 9,09 cm.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 14 / 40

72

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking:

leeftijd Boris: x

x 3 = x + 24 5 ⇔ 5 x = 3 ( x + 24 )

leeftijd vader: x + 24

⇔ 5 x = 3 x + 72 ⇔ 5 x − 3 x = 72 ⇔ 2 x = 72 72 2 ⇔ x = 36 ⇔x=

V = {36}

antwoord: Boris is 36 jaar.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 15 / 40

73

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende: tijd op autosnelweg: x tijd in bebouwde kom: 2 − x

opstellen en oplossen van de vergelijking: 110 x + 45 ( 2 − x ) = 187,5 ⇔ 110 x + 90 − 45 x = 187,5 ⇔ 65 x = 187,5 − 90 187,5 − 90 ⇔x= 65 3 ⇔x= 2 3  V =  2

antwoord: Hij reed 1,5 h op de autosnelweg en 0,5 h in de bebouwde kom.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 16 / 40

74

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de vergelijking:

aantal kaarten: x x −1 4 x −2 aantal hoopjes van 5 kaarten: 5 aantal hoopjes van 4 kaarten:

x −1 x − 2 = +2 4 5 x 1 x 2 ⇔ − = − +2 4 4 5 5 5x 5 4 x 8 40 ⇔ − = − + 20 20 20 20 20 ⇔ 5 x − 5 = 4 x − 8 + 40 ⇔ 5 x − 4 x = −8 + 40 + 5 ⇔ x = 37 V = {37}

antwoord: Er zitten 37 kaarten in de stapel.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 17 / 40

C. Formules omvormen : A3, nrs. 13, 14, 15, 49, 50, 51 en 52

OEFENINGEN

13

Los de volgende vergelijkingen op.

2A h 2A h= b

1) b =

2) r 2 =

A

π

⇔r =

A

π

3) r = 3 I

100I pt 100I t= kp

4) k =

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 18 / 40

14

Los de volgende vergelijkingen op.

1) F = 1,8.25 + 32 = 77 25°C = 77°F

2) 1,8C = F − 32 ⇔C =

F − 32 1,8

86 − 32 = 30 1,8 86°F = 30°C

3) C =

15

Los de volgende vergelijkingen op.

(

1) A = π r2 2 − π r12 = π r2 2 − r12

(

)

)

2) A = π 22 − 12 = π ( 4 − 1) = 3π

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 19 / 40

3) A = π r2 2 − π r12 ⇔ π r12 = π r2 2 − A

π 4,52 − 25 4) r1 = = 3,51 π r1 = 3,51 cm

π r22 − A ⇔r = π 2 1

⇔ r1 =

49

π r22 − A π

Los de volgende vergelijkingen op.

1) F = A.p F A= p

- vlaf@telenet.be -

3I 3I ⇔r = πh πh 3I h= 2 πr

2) r 2 =

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 20 / 40

3) h =

A 2 (l + b)

A A =l +b ⇔ l = −b 2h 2h

50

Los de volgende vergelijkingen op.

iPod

240 = 30 8 R = 30 Ω

1) R =

4) I =

230 = 0,5 460 I = 0,5 A

5) I =

2) U = R.I

3) U = 0,030.50 = 1,5 U = 1,5 V

- vlaf@telenet.be -

U R

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 21 / 40

51

Los de volgende vergelijkingen op.

1) I = Szijvlak . b =

(( 2a ) (

2

)

+ π a 2 .b

)

= 4a 2 + π a2 .b = ( 4 + π ) a2b

52

2) b =

( 4 + π ) a2

3) a 2 = ⇔a=

I

I (4 + π )b I (4 + π )b

Los de volgende vergelijkingen op.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 22 / 40

1 1 1 = − v f b f 1 b ⇔ = − v bf bf 1 b−f ⇔ = v bf bf ⇔v = b−f

1)

- vlaf@telenet.be -

1 1 1 = − b f v f 1 v ⇔ = − b fv fv 1 v −f ⇔ = b fv fv ⇔b= v −f

2)

1 1 1 = + f v b 1 b v ⇔ = + f bv bv 1 b+v ⇔ = f bv bv ⇔f = b+v

3)

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 23 / 40

D. Een ongelijkheid oplossen van de eerste graad met één onbekende : 1) voorbeeld :

4− x x + 4 x −8 + ≤ 6 2 2 ⇕ 4 x x 4 x 8 − + + ≤ − 6 6 2 2 2 2 ⇕ 4 x 3 x 12 3 x 24 − + + ≤ − 6 6 6 6 6 6 ⇕ 4 − x + 3 x + 12 ≤ 3 x − 24 ⇕ − x + 3 x − 3 x ≤ −24 − 4 − 12 ⇕ − x ≤ −40 ⇕ x ≥ 40 V = [ 40, +∞[

40

ℝ

Als we in een ongelijkheid beide leden vermenigvuldigen met of delen door eenzelfde negatief getal, dan keert de orde om.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 24 / 40

2) speciale ongelijkheden : vb1.

3 x + 5 ≤ 2 ( x + 1) + x ⇕ 3x + 5 ≤ 2x + 2 + x ⇕

3 x − 2x − x ≤ 2 − 5 ⇕ 0 x ≤ −3 V =∅ Zo'n ongelijkheid noemen we een valse ongelijkheid.

vb2.

3 x + 2 ≤ 2 ( x + 5) + x ⇕ 3 x + 2 ≤ 2 x + 10 + x ⇕

3 x − 2 x − x ≤ 10 − 2 ⇕ 0x ≤ 8 V =ℝ Zo'n ongelijkheid noemen we een onbepaalde ongelijkheid.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 25 / 40

A3, nrs. 54 en 60

OEFENINGEN

Los de volgende ongelijkheden op.

54

1) x + 3 > 11 ⇔ x > 11− 3 ⇔ x>8 V = ]8, +∞[

1 x>2 2 ⇔ x > 2⋅ 2 4)

⇔ x>4 V = ]4, +∞[

7) 7 <

−1 x 4

1 x < −7 4 ⇔ x < −7.4 ⇔ x < −28 ⇔

2) x − 5 < −6 ⇔ x < −6 + 5 ⇔ x < −1 V = ]−∞,−1[

12 7 12 ⇔x≥ −3.7 −4 ⇔x≥ 7

5) − 3 x ≤

 −4  V = , +∞   7 

3) 3 x ≤ −9 −9 ⇔x≤ 3 ⇔ x ≤ −3 V = ]−∞,−3 ]

6) − 3 ( x + 1) ≥ −12 ⇔ −3 x − 3 ≥ −12 ⇔ −3 x ≥ −12 + 3 ⇔ −3 x ≥ −9 −9 −3 ⇔ x ≤3 ⇔x≤

V = ]−∞,3 ]

8) − 2 x + 9 > −3 ( x − 4) ⇔ −2 x + 9 > −3 x + 12 ⇔ −2 x + 3 x > 12 − 9 ⇔ x>3

V = ]−∞,−28[

V = ]3, +∞[

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 26 / 40

x  1 x − 2 > 3  + 1  6  2 1 x ⇔ x− 2 > +3 2 2 x 2 2 x 6 ⇔ − > + 2 2 2 2 ⇔ x −2 2 > x +6

x + 2 x − 3 2x + 4 + > 4 6 3 x 2 x 3 2x 4 ⇔ + + − > + 4 4 6 6 3 3 3x 6 2x 6 8 x 16 ⇔ + + − > + 12 12 12 12 12 12 ⇔ 3 x + 6 + 2 x − 6 > 8 x + 16

9)

10)

⇔ 3 x + 2 x − 8 x > 16 − 6 + 6 ⇔ −3 x > 16 −16 ⇔x< 3

⇔ x−x >6+2 2 ⇔ 0x > 6 + 2 2 V =∅

 −16  V =  −∞,   3 

60 1)

Los de volgende ongelijkheden op.

(

)

2 x 2− 3 ≤ 3

⇔ 2x − 6 ≤ 6 − 3 x ⇔ 2x + 3 x ≤ 6 + 6 ⇔ 5x ≤ 2 6 ⇔x≤

2 6 5

 2 6  V =  −∞, 5  

(

2−x 3

)

3 x − 14 2 x − 1 8 x − 4 + > 5 3 15 3 x 14 2 x 1 8 x 4 ⇔ − + − > − 5 5 3 3 15 15 9 x 42 10 x 5 8x 4 ⇔ − + − > − 15 15 15 15 15 15 ⇔ 9 x − 42 + 10 x − 5 > 8 x − 4 2)

⇔ 9 x + 10 x − 8 x > −4 + 42 + 5 ⇔ 11x > 43 43 ⇔ x> 11  43  V =  , +∞   11 

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 27 / 40

3) − 2 3 + 2 ( x − 1) < 7 − 3 (1− 2 x ) ⇔ −2 [3 + 2 x − 2] < 7 − 3 + 6 x ⇔ −6 − 4 x + 4 < 7 − 3 + 6 x ⇔ −4 x − 6 x < 7 − 3 − 4 + 6 ⇔ −10 x < 6 6 ⇔ x> −10 −3 ⇔ x> 5  −3  V = , +∞   5 

- vlaf@telenet.be -

2 1 1 (3 x − 4) − (1− 2 x ) > (3 x − 7) 3 4 2 6 x 8 1 2x 3 x 7 ⇔ − − + > − 3 3 4 4 2 2 24 x 32 3 6 x 18 x 42 ⇔ − − + > − 12 12 12 12 12 12 ⇔ 24 x − 32 − 3 + 6 x > 18 x − 42 4)

⇔ 24 x + 6 x − 18 x > −42 + 32 + 3 ⇔ 12 x > −7 −7 ⇔ x> 12  −7  V = , +∞   12 

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 28 / 40

E. Stelsels van ongelijkheden : voorbeeld :

3 x − 1 < 5  2 x + 1 ≥ −8

2 x + 1 ≥ −8

3x − 1 < 5 ⇕ 3x < 5 + 1

⇕ 2 x ≥ −8 − 1

⇕ 3x < 6

⇕ 2 x ≥ −9

⇕

⇕

x<

6 3

x≥

⇕ x<2

−9 2

 −9  V2 =  , +∞  2 

V1 = ]−∞,2[

V1 :

V2 :

V:

−9 2

2

−9 2

2

−9 2

2

ℝ ℝ ℝ

 −9  V =  ,2   2 

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 29 / 40

A3, nr. 25

OEFENINGEN

25

Los de volgende stelsels van ongelijkheden op.

3 x > 6 1)  4 x < 20 3x > 6 6 ⇔ x> 3 ⇔ x>2

4 x < 20 20 ⇔x< 4 ⇔ x <5

V1 = ]2, +∞[

V1 :

V2 :

V:

V2 = ]−∞,5[

2

5

2

5

2

5

ℝ ℝ ℝ

V = ]2,5[

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 30 / 40

16 ≥ −2 x 2)  −3 ≤ 3 x

16 ≥ −2 x ⇔ 2 x ≥ −16 −16 ⇔x≥ 2 ⇔ x ≥ −8

− 3 ≤ 3x ⇔ −3 x ≤ 3 3 −3 ⇔ x ≥ −1 ⇔x≥

V1 = [−8, +∞[

V1 :

V2 :

V:

V2 = [−1, +∞[

−8

−1

−8

−1

−8

−1

ℝ ℝ ℝ

V = [ −1, +∞[

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 31 / 40

3 x − 15 < 0 3)  8 − 2 x > 0

3 x − 15 < 0 ⇔ 3 x < 15

8 − 2x > 0 ⇔ −2 x > −8 −8 ⇔x< −2 ⇔ x<4

15 3 ⇔ x <5 ⇔x<

V1 = ]−∞, 5[

V1 :

V2 :

V:

V2 = ]−∞, 4[

4

5

4

5

4

5

ℝ ℝ ℝ

V = ]−∞,4[

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 32 / 40

 x − 2 > 5 4)  3 − x > 7

3− x > 7 ⇔ −x > 7 − 3 ⇔ −x > 4

x −2>5 ⇔ x >5+2 ⇔ x>7

⇔ x < −4

V1 = ]7, +∞[ V2 = ]−∞,−4[

V1 :

V2 :

V:

−4

7

−4

7

−4

7

ℝ ℝ ℝ

V =∅

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 33 / 40

3 x − 7 ≤ 2 5)  5 − 2 x ≤ 1

3x − 7 ≤ 2 ⇔ 3x ≤ 2 + 7 ⇔ 3x ≤ 9

5 − 2x ≤ 1 ⇔ − 2 x ≤ 1− 5 ⇔ −2 x ≤ −4 −4 −2 ⇔ x≥2

9 3 ⇔ x ≤3 ⇔x≤

⇔x≥

V2 = [2, +∞[

V1 = ]−∞,3 ]

V1 :

V2 :

V:

2

3

2

3

2

3

ℝ ℝ ℝ

V = [ 2,3]

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 34 / 40

5 < x + 5 6) 5 < x + 5 ≤ 10 ⇔   x + 5 ≤ 10

5< x +5 ⇔ −x < 5 − 5 ⇔ −x < 0

x + 5 ≤ 10 ⇔ x ≤ 10 − 5 ⇔ x ≤5

⇔ x>0

V2 = ]−∞,5 ] V1 = ]0, +∞[

V1 :

V2 :

V:

0

5

0

5

0

5

ℝ ℝ ℝ

V = ]0,5]

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 35 / 40

3 x > 2 x − 2 7) 3 x > 2 x − 2 > x ⇔  2 x − 2 > x

3 x > 2x − 2 ⇔ 3 x − 2 x > −2 ⇔ x > −2

2x − 2 > x ⇔ 2x − x > 2 ⇔ x>2

V1 = ]−2, +∞[

V1 :

V2 :

V:

V2 = ]2, +∞[

−2

2

−2

2

−2

2

ℝ ℝ ℝ

V = ]2, +∞[

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 36 / 40

 1 3 5  x + < 3 4 6 8)   1 1 7  x − 2 ≥ x − 3 4  2

1 3 5 x+ < 3 4 6 4x 9 10 ⇔ + < 12 12 12 ⇔ 4 x + 9 < 10 ⇔ 4 x < 10 − 9 ⇔ 4x < 1 1 ⇔x< 4

1 1 7 x −2≥ x − 2 3 4 6 x 24 4 x 21 ⇔ − ≥ − 12 12 12 12 ⇔ 6 x − 24 ≥ 4 x − 21 ⇔ 6 x − 4 x ≥ −21 + 24 ⇔ 2x ≥ 3 3 ⇔x≥ 2

 1 V1 =  −∞,   4 

V1 :

V2 :

V:

3  V2 =  , +∞   2 

1 4

3 2

1 4

3 2

1 4

3 2

ℝ ℝ ℝ

V =∅

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 37 / 40

F. Vraagstukken oplossen met een ongelijkheid :

22

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende: aantal jaren: x

opstellen en oplossen van de ongelijkheid: 15 + x + 17 + x > 100 ⇔ x + x > 100 − 15 − 17 ⇔ 2 x > 68 68 2 ⇔ x > 34 ⇔x>

V = ]34, +∞[

antwoord: Over 35 jaar zullen ze samen meer dan 100 jaar zijn.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 38 / 40

23

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende: lengte (zie afbeelding): x

opstellen en oplossen van de ongelijkheid: 2. ( 90 + 80 − x ) ≥ 2. (150 + x ) ⇔ 170 − x ≥ 150 + x ⇔ − x − x ≥ 150 − 170 ⇔ −2 x ≥ −20 −20 ⇔x≤ −2 ⇔ x ≤ 10 V = ]−∞,10]

antwoord: De lengte x moet minstens 10 zijn.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 39 / 40

26

Los de volgende vergelijkingen op.

keuze van de onbekende:

opstellen en oplossen van de ongelijkheid:

breedte: x

 2 ( x + 80 ) ≤ 240   80 x ≥ 3000

2 ( x + 80) ≤ 240 ⇔ 2 x + 160 ≤ 240 ⇔ 2 x ≤ 240 − 160 ⇔ 2 x ≤ 80 80 ⇔x≤ 2 ⇔ x ≤ 40

80 x ≥ 3000 3000 ⇔x≥ 80 ⇔ x ≥ 37,5 V2 = [37,5; +∞[

V1 = ]−∞,40 ]

antwoord: De mogelijke afmetingen kunnen variëren van 37,5 tot en met 40 m.

- vlaf@telenet.be -

Vergelijkingen en ongelijkheden - theorie & oefeningen

pagina 40 / 40

Hoofdstuk 5 : Eerstegraadsfuncties

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 1 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 2 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 3 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 4 / 33

OEFENINGEN

7

A4, nrs. 7, 22 (1,3), 9, 10, 56, WB, 59, 11, en 61 (1,2)

Welke grafieken stellen functies voor?

- vlaf@telenet.be -

geen functie

functie

geen functie

functie

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 5 / 33

geen functie

22

functie

Teken de grafiek van de volgende functies door middel van twee goed gekozen punten.

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 6 / 33

9

Gegeven is de functie f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; 1. Welke uitspraken zijn waar?

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 7 / 33

10

Gegeven is de functie f ( x ) = − x 2 − 1. Welke uitspraken zijn waar?

56

Gegeven is de functie f ( x ) = − x 2 − 1. Welke uitspraken zijn waar?

1) f (4) = 2.4 − 5 = 3

2) g (3) =

−2 ⋅ 3 = −2 3

3 ) h (−2) =

2 = −1 −2

4) f (−6) = 2.(−6) − 5 = −17  −3  −2  −3  5) g   = ⋅   = 1  2  3  2  6) h (6) =

- vlaf@telenet.be -

2 1 = 6 3 Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 8 / 33

7 ) f −1 (13) = 9 2 x − 5 = 13 ⇔ 2 x = 13 + 5 ⇔ 2 x = 18 18 2 ⇔ x=9 ⇔x=

10) f −1 (−21) = −8 2 x − 5 = −21 ⇔ 2 x = −21 + 5 ⇔ 2 x = −16 −16 2 ⇔ x = −8 ⇔x=

WB

4 8) g −1   = −2  3 

9) h−1 (2) = 1 2 =2 x x 1 ⇔ = 2 2 ⇔ x =1

−2 4 x= 3 3 ⇔ −2 x = 4 4 −2 ⇔ x = −2 ⇔x=

11) g −1 (2) = −3

12) h−1 (−10) =

−2 x=2 3 3 −2 ⇔ x = −3 ⇔ x = 2⋅

−1 5

2 = −10 x ⇔ 2 = −10 x ⇔ −10 x = 2 2 ⇔x= −10 −1 ⇔x= 5

Bepaal van elke functie het domein, het beeld en de verzameling nulpunten.

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 9 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 10 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 11 / 33

59

Gegeven is de functie f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; 1. Welke uitspraken zijn waar?

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 12 / 33

11

Gegeven is de functie f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; 1. Welke uitspraken zijn waar?

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 13 / 33

61

Gegeven is de functie f ( x ) = â&#x2C6;&#x2019; x 2 â&#x2C6;&#x2019; 1. Welke uitspraken zijn waar?

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 14 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 15 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 16 / 33

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 17 / 33

OEFENINGEN A4, nrs. 19, 20, 22(2), 65, 28, 72a, 70, 26 en 74(1,2,4) - vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 18 / 33

19

Gegeven is de functie f ( x ) = − x 2 − 1. Welke uitspraken zijn waar?

1) rico k = −4

3 4 −2 rico m = 3 rico l =

2) k ( x ) = −4 x 3 x 4 −2 m( x ) = x 3 l(x) =

20

Bepaal telkens het voorschrift van de functie f ( x ) = ax waarvan de grafiek gaat door het punt ...

1) het punt (1, 4) f (x) = 4x  −5  2) het punt 1,  7  −5 f (x) = x 7

- vlaf@telenet.be -

3) het punt (3, 0) f (x) = 0 4) het punt (−3,−4) f (x) =

4 x 3

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 19 / 33

22

Teken de grafiek van de volgende functies door middel van twee goed gekozen punten.

2) f ( x ) = 2

65

Teken de grafiek van de volgende functies door middel van twee goed gekozen punten.

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 20 / 33

28

Bepaal voor elke functie de verzameling nulpunten en controleer grafisch (met Geogebra).

1) f ( x ) =

−1 x +2 4

2) f ( x ) =

−1 x +2=0 4 −1 ⇔ x = −2 4 ⇔ x = −2.(−4)

3 x −5 = 0 2 3 x=5 2 5.2 ⇔x= 3 ⇔

⇔ x=8 f −1 {0} = {8}

72

3 x −5 2

10 3 3 10 3  f −1 {0} =    3    ⇔x=

x ≈ 5,77

Stel een tekentabel op voor elk van onderstaande functies.

2x + 7 = 0

1) f ( x ) = 2 x + 7

⇔ 2 x = −7

−7 2

−

2) f ( x ) =

0

⇔x=

+

2 x −8 3

12

−

- vlaf@telenet.be -

0

−7 2

+

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

2 x −8 = 0 3 2 ⇔ x=8 3 3 ⇔ x = 8⋅ 2 ⇔ x = 12

pagina 21 / 33

− 2 x − 12 = 0

3) f ( x ) = −2 x − 12

⇔ −2x = 12

−6

+

0

−

4) f ( x ) = 4 − 7 x 4 7 +

70

0

12 −2 ⇔ x = −6 ⇔x=

−

4 − 7x = 0 ⇔ − 7 x = −4 −4 ⇔x= −7 4 ⇔x= 7

De grafiek van een functie met voorschrift f ( x ) = mx + q is gegeven.

Aan welke voorwaarden moeten m en q voldoen?

m < 0

m > 0

m = 0

q > 0

q < 0

q > 0

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 22 / 33

26

De

1) we noemen f de functie voor de trein en g die voor het vliegtuig. x f (x) = 200 x g(x ) = +2 700

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 23 / 33

3) Met het vliegtuig.

74

Bepaal de eventuele snijpunten van de grafieken van de volgende lineaire functies.

1) f ( x ) = −3 x + 1 en g ( x ) = 6 x + 1 f (x ) = g(x ) ⇔ −3 x + 1 = 6 x + 1 ⇔ − 3 x − 6 x = 1− 1

f (0 ) = −3.0 + 1 = 1

zo kan het ook: g (0 ) = 6.0 + 1 = 1

dus: snijpunt is (0,1)

dus: snijpunt is (0,1)

⇔ −9 x = 0 0 −9 ⇔ x = 0 V = {0}

⇔x=

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 24 / 33

2) f ( x ) = 2 en g ( x ) = x + 1 f (x ) = g(x ) ⇔ 2 = x +1 ⇔ − x = 1− 2 ⇔ −x = −1 ⇔ x =1

4) f ( x ) =

V = {1}

f (1) = 2

zo kan het ook: g (1) = 1 + 1 = 2

dus: snijpunt is (1,2)

dus: snijpunt is (1,2)

−1 1 −1 1 x − en g ( x ) = x+ 3 5 3 4

f (x ) = g(x ) −1 1 −1 1 ⇔ x− = x+ 3 5 3 4 −20 x 12 −20 x 15 ⇔ − = + 60 60 60 60 ⇔ −20 x − 12 = −20 x + 15 ⇔ −20 x + 20 x = 15 + 12 ⇔ 0 x = 27 V =∅ dus: er zijn geen snijpunten, de rechten zijn evenwijdig.

Bereken in oefening 26 voor welke afstand reizen met het vliegtuig even veel tijd kost als reizen met de trein. f (x ) = g(x ) x x = +2 200 700 7x 2x 2800 ⇔ = + 1400 1400 1400 ⇔ 7 x = 2 x + 2800 ⇔

⇔ 7 x − 2 x = 2800 ⇔ 5 x = 2800 2800 5 ⇔ x = 560 ⇔x=

V = {560}

Voor een afstand van 560 km kosten beide vervoermiddelen even veel tijd.

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 25 / 33

L. Vergelijking opstellen van een rechte door een punt met een gegeven richtingscoëfficiënt : 1) algemeen: ɺɺ ficient ɺɺ m is: Een vergelijking van de rechte door een punt ( x1, y 1 ) met richtingscoef y − y 1 = m ( x − x1 )

2) voorbeeld: Bepaal de vergelijking van de rechte door (3,4) met rico m =

2 .

3

y − y 1 = m ( x − x1 ) 2 ⇔ y − 4 = ( x − 3) 3 2 ⇔ y −4 = x −2 3 2 ⇔ y = x −2+4 3 ⇔ y=

2 x +2 3

M. Vergelijking opstellen van een rechte door twee gegeven punten : 1) algemeen:

Een vergelijking van de rechte door twee punten ( x1, y 1 ) en ( x 2 , y 2 ) is: y − y1 = hierin

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

y 2 − y1 ɺɺ cie ɺɺ nt. is de richtingscoeffi x2 − x1

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 26 / 33

2) voorbeeld: Bepaal de vergelijking van de rechte door (3,4) en (-1,2) y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

2−4 ( x − 3) − 1− 3 1 ⇔ y − 4 = ( x − 3) 2 1 3 ⇔ y −4= x− 2 2 1 3 ⇔ y = x− +4 2 2 ⇔ y −4=

⇔ y=

1 5 x+ 2 2

OEFENINGEN A4, nrs. 40, 42 (1,2), 43, 64 (5,6), 67 (C,D), 41, 29 en 44

40

Welke grafieken stellen functies voor?

1) y − y 1 = m ( x − x1 )

2) y − y 1 = m ( x − x1 )

⇔ y + 7 = 2 ( x − 4)

⇔ y + 2 = 0 ( x + 1)

⇔ y + 7 = 2x − 8

⇔ y +2=0

⇔ y = 2x − 8 − 7

⇔ y = −2

⇔ y = 2 x − 15

voorschrift: f ( x ) = −2 voorschrift: f ( x ) = 2 x − 15 - vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 27 / 33

3) y − y1 = m ( x − x1 )  3 ⇔ y + 2 = −1 x −   4 ⇔ y + 2 = −x + ⇔ y = −x +

3 4

3 − 2 4

voorschrift: f ( x ) = −x +

42

3 − 2 4

Welke grafieken stellen functies voor?

1) y − y 1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

5−4 ( x + 3) 1+ 3 1 y − 4 = ( x + 3) 4 1 3 y −4= x + 4 4 1 3 y = x+ +4 4 4 1 19 y= x+ 4 4

⇔ y −4=

2) y − y 1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

2 − 0  1 x −  1   2 0− 2  1 ⇔ y = −4  x −   2 ⇔ y −0 =

⇔ y = −4 x + 2 voorschrift: f ( x ) = −4 x + 2

- vlaf@telenet.be -

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

voorschrift: f ( x ) =

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

1 19 x+ 4 4

pagina 28 / 33

43

Welke grafieken stellen functies

rechte k gaat door (−6,0) en (0,−4) : y − y1 = ⇔ y −0 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

−4 − 0 ( x + 6) 0+6

−2 ( x + 6) 3 −2 ⇔y= x −4 3 ⇔y=

voorschrift: k ( x ) =

−2 x−4 3

rechte l gaat door (−6,1) en (0,4) : y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

4 −1 ( x + 6) 0+6 1 y − 1 = ( x + 6) 2 1 y −1= x + 3 2 1 y = x + 3 +1 2 1 y = x+4 2

⇔ y −1= ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

voorschrift: l ( x ) =

- vlaf@telenet.be -

 −9   15  2,  : rechte m gaat door 0, en   4   4  y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

15 9 + 9 4 4 ( x − 0) ⇔y+ = 4 2−0 9 ⇔ y + = 3x 4 9 ⇔ y = 3x − 4 voorschrift: m( x ) = 3 x −

9 4

1 x+4 2

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 29 / 33

64

67

Welke grafieken stellen functies voor?

5) m =

y 2 − y1 20 − 0 −5 = = x 2 − x1 −8 − 0 2

6) m =

y 2 − y1 0 − 0 = =0 x2 − x1 4 − 0

Welke grafieken stellen functies voor?

−1 2 −1 2) f ( x ) = x 2

C 1) m =

3) f (−2) = 1 f (0) = 0 −1 2 −5 f (5) = 2 f (1) =

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 30 / 33

5 3 5 2) f ( x ) = x 3 −10 3) f (−2) = 3 f (0) = 0

D 1) m =

5 3 25 f (5) = 3 f (1) =

41

Welke grafieken stellen functies voor?

1) 190 − 2,25.52 = 73 Het vast bedrag is 73 euro.

2) f ( x ) = 52 x + 73

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 31 / 33

29

Welke grafieken stellen functies voor?

1) De grafiek bevat de punten (4,0) en (0,1). y − y1 = ⇔ y −0 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

1− 0 ( x − 4) 0−4

−1 ( x − 4) 4 −1 ⇔y= x +1 4 ⇔y=

voorschrift: f ( x ) =

−1 x +1 4

5  2) De grafiek bevat de punten  ,0 en (0,−4).  8  y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

5  −4 − 0  x −  5   8 0− 8 32  5 ⇔y=  x −  5 8 ⇔ y −0 =

⇔y=

32 x−4 5

voorschrift: f ( x ) =

- vlaf@telenet.be -

32 x −4 5

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 32 / 33

44

Welke grafieken stellen functies voor?

2) f (0) = −4.0 + 10 = 10 Er zat 10 dl in de fles.

y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

2 − 8  1 − x  1   2 2− 2  1 ⇔ y − 8 = −4  x −   2

⇔ y −8 =

⇔ y − 8 = −4 x + 2 ⇔ y = −4 x + 2 + 8 ⇔ y = −4 x + 10

3) f (0) = 0 ⇔ −4 x + 10 = 0 ⇔ −4 x = −10 −10 −4 5 ⇔x= 2 Na 2,5 uren is de fles leeg, ⇔x=

dus om 11.40 uur.

voorschrift: f ( x ) = −4 x + 10

- vlaf@telenet.be -

Eerstegraadsfuncties - theorie & oefeningen

pagina 33 / 33

Hoofdstuk 6 : Analytische meetkunde A. Herhaling: Vergelijking van een rechte opstellen : 1) door een punt met een gegeven richtingscoëfficiënt: ɺɺ ficient ɺɺ m is: Een vergelijking van de rechte door een punt ( x1, y 1 ) met richtingscoef y − y 1 = m ( x − x1 )

vb. Bepaal de vergelijking van de rechte door ( −2,5 ) met rico m = 3 . y − y1 = m ( x − x1 ) ⇔ y − 5 = 3 ( x − (−2)) ⇔ y − 5 = 3 ( x + 2) ⇔ y − 5 = 3x + 6 ⇔ y = 3x + 6 + 5 ⇔ y = 3 x + 11

2) door twee gegeven punten: Een vergelijking van de rechte door twee punten ( x1, y 1 ) en ( x 2 , y 2 ) is: y − y1 = hierin

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

y 2 − y1 ɺɺ cie ɺɺ nt. is de richtingscoeffi x2 − x1

vb. Bepaal de vergelijking van de rechte door ( 2, −1) en ( −3,4 ) . y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

4 +1 ( x − 2) −3 − 2 ⇔ y + 1 = −1( x − 2) ⇔ y − (−1) =

⇔ y + 1 = −x + 2 ⇔ y = −x + 2 − 1 ⇔ y = −x + 1 - vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 1 / 16

OEFENINGEN

12

B7, nrs. 12, 15, 16, 19 en 17

Welke grafieken stellen functies voor?

1) m =

y 2 − y1 8−0 8 = = =8 x2 − x1 0 − (−1) 1

2) m =

y 2 − y 1 −2 − 0 −2 = = x2 − x1 6−3 3

3) m =

y 2 − y1 5−5 0 = = =0 x2 − x1 −2 − 3,5 −5,5

5 1 3 − y 2 − y1 1 = 6 3 =6= 4) m = 1  1 1 2 x2 − x1 − −  2  2  5) m =

15

y 2 − y 1 −2 − 3 − 5 = = rico PQ bestaat niet. x 2 − x1 7−7 0

Welke grafieken stellen functies voor?

- vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 2 / 16

16

Welke grafieken stellen functies voor?

1) y − y 1 = m ( x − x1 )

2) y − y 1 = m ( x − x1 )

−1 ( x − (−4)) 2 −1 ⇔ y −1= ( x + 4) 2 −1 x −2 ⇔ y −1= 2 −1 ⇔y= x − 2 +1 2

⇔ y − 2 = −2 ( x − (−1))

⇔ y −1=

⇔ y − 2 = −2 ( x + 1) ⇔ y − 2 = −2 x − 2 ⇔ y = −2 x − 2 + 2 ⇔ y = −2 x

4) y − y 1 = m ( x − x1 )

−1 ⇔ y= x −1 2

⇔ y − (−2) = 2 ( x − 0) ⇔ y + 2 = 2x

3) y − y 1 = m ( x − x1 ) 1 1 = ( x − 2) 3 5 1 1 2 ⇔ y− = x− 3 5 5 1 2 1 ⇔ y = x− + 5 5 3 ⇔y−

⇔ y=

1 1 x− 5 15

⇔ y = 2x − 2 5) y − y1 = m ( x − x1 ) ⇔ y − (−2) = 0 ( x − 3) ⇔ y +2=0 ⇔ y = −2

6) y − y 1 = m ( x − x1 ) ⇔ y − 0 = −3 ( x − 0) ⇔ y = −3 x

- vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 3 / 16

19

Welke grafieken stellen functies voor?

1) y − y 1 = ⇔ y −0 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

8−0 ( x − (−1)) 0 − (−1)

8 ⇔ y = ( x + 1) 1 ⇔ y = 8x + 8

3) y − y1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

−2 − 3 ( x − 7) 7−7 −5 ⇔ y −3 = ( x − 7) 0 Dit is een rechte // y-as ⇔ y −3 =

x=7 2) y − y 1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

5 1 −   1 1 ⇔ y − = 6 3  x − −   2  3 1  1   − −  2  2 1 1 1 ⇔ y − =  x +  3 2  2 1 1 1 = x+ 3 2 4 1 1 1 ⇔y = x+ + 2 4 3 ⇔y−

⇔ y=

- vlaf@telenet.be -

4) y − y 1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

1,5 − 4 ( x − 3,5) −2 − 3,5 5 7 ⇔ y − 4 =  x −  11 2 5 35 ⇔ y −4= x− 11 22 5 35 ⇔ y = x− +4 11 22 ⇔ y −4=

⇔ y=

5 53 x− 11 22

1 7 x+ 2 12

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 4 / 16

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

5) y − y 1 =

5−5 ( x − 3,5) −2 − 3,5 ⇔ y − 5 = 0 ( x − 3,5)

6) y − y 1 =

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

5 − (−10) ( x − 2) − 1− 2 ⇔ y + 10 = −5 ( x − 2)

⇔ y −5 =

⇔ y − (−10) =

⇔ y −5 = 0

⇔ y + 10 = −5 x + 10 ⇔ y = −5 x + 10 − 10

⇔ y =5

⇔ y = −5 x Dit is een rechte // x-as

17

Welke grafieken stellen functies voor?

r gaat door (0,0) en (1,3) y − y1 =

3−0 ( x − 0) 1− 0

⇔ y −0 = ⇔y=

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

3 x 1

⇔ y = 3x

s gaat door (0,−4) en s // x-as y = −4

y − y1 =

t gaat door (0,0) en (−2,2) y − y1 = ⇔ y −0 = ⇔y=

y 2 − y1 ( x − x1 ) x 2 − x1

2−0 ( x − 0) −2 − 0

2 x −2

⇔ y = −x - vlaf@telenet.be -

u gaat door (−5,1) en (1,5)

⇔ y −1=

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

5 −1 ( x − (−5)) 1− (−5)

2 ⇔ y − 1 = ( x + 5) 3 2 10 ⇔ y −1= x + 3 3 2 10 ⇔y = x+ +1 3 3 ⇔ y=

2 13 x+ 3 3

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 5 / 16

B. Lengte en midden van een lijnstuk berekenen : 1) afstand tussen twee gegeven punten berekenen: De afstand tussen twee punten P ( x1, y 1 ) en Q ( x2 , y 2 ) wordt berekend met de formule: 2

2

PQ = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y 1 )

vb. Bereken AB met co ( A ) = (1,2 ) en co ( B ) = ( −3,5 ) .

2

2

AB = ( x 2 − x1 ) + ( y 2 − y 1 ) 2

2

= (−3 − 1) + (5 − 2) =5

2) coördinaat van het midden van een lijnstuk berekenen: Als co (P ) = ( x1, y 1 ) en co (Q ) = ( x 2 , y 2 ) en M het midden is van [PQ ], dan is:  x + x 2 y1 + y 2  co (M ) =  1 ,   2 2 

vb. Bereken de coördinaat van het midden M van [ AB ] als co ( A ) = (1,2 ) en co ( B ) = ( −3,5 ) .

1 + (−3) 2 + 5   co (M ) =  ,  2 2   7 = −1,   2

- vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 6 / 16

B7, nrs. 2 (2,4), 6 (2,3), 38, 40, 43 en 45

OEFENINGEN

Bereken de afstand tussen de punten A en B met de afstandsformule.

2

2

2) A (2,−4) en B (−2,1)

2

AB = (−2 − 2) + (1 + 4) = 41 ≈ 6,40 2

−3 1   −5  4) A  ,  en B 2,   2 2   2 

2

 85 −3   −5 1 + − = ≈ 4,61 AB = 2 −     2   2 2  2

Bepaal de coördinaat van het midden M van het lijnstuk [AB].

6

−1 + 7 5 − 2   3  co (M ) =  ,  = 3,   2 2   2 

2) A (−1,5) en B (7,−2)

3) A (−1,−3) en B (−7,−5)

 −1− 7 −3 − 5  co (M ) =  ,  = (−4,−4)  2 2 

Bepaal

38

2

2

AB = (4 + 3) + (1 + 2) = 58 2

2

BC = (1− 4) + (8 − 1) = 58 2

2

AC = (1 + 3) + (8 + 2) = 2 29

2

AC

(

2 29

2

)

?

= ?

=

2

AB + BC

(

58

2

) ( +

2

58

2

)

!

116

=

116

∆ABC is gelijkbenig met tophoek Bˆ en ∆ABC is rechthoekig in B. - vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 7 / 16

40

Bepaal

 4 − 2 −3 + 1 , co (M ) =   = (1,−1)  2 2  −2 − 3 1− 1 −5  co (N ) =  , ,0  =   2 2   2   4 − 3 −3 − 1  1   ,−2 , = co (P ) =    2  2   2 2

−5  53 2 MN =  − 1 + (0 + 1) =  2  2 2

 1 5 2 NP =  +  + (−2 − 0) = 13  2 2  2

1  5 2 MP =  − 1 + (−2 + 1) =  2  2 Omtrek =

43

53 5 + 13 + ≈ 8,36 2 2

Bepaal

1) S is het midden van diagonaal [ AC ] −5 + 2 −2 + 2  −3  co (S ) =  , ,0  =   2 2   2  2) S is ook het midden van diagonaal [BD ]. Stel co (D ) = ( x, y )      −3 ,0 = −3 + x , 4 + y   2   2 2 

- vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 8 / 16

− 3 + x −3 = 2 2 ⇔ −3 + x = −3 ⇔ x = −3 + 3

4+y =0 2 ⇔ 4+y =0 ⇔ y = −4

Dus:

en:

⇔ x=0 co (D ) = (0,−4)

45

Bepaal

1) ∆ABC is rechthoekig in A 2

2

⇔ BC = AB + AC ⇔

2 2

2

2

( (x − 6) + (2 + 4) ) = ( (6 − 0) + (−4 + 1) ) + ( (x − 0) + (2 + 1) ) 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

⇔ ( x − 6) + (2 + 4) = (6 − 0) + (−4 + 1) + ( x − 0) + (2 + 1) ⇔ x 2 − 12 x + 36 + 36 = 36 + 9 + x 2 + 9 ⇔ −12 x + 36 = 9 + 9 ⇔ −12 x = 9 + 9 − 36 ⇔ −12 x = −18 −18 ⇔x= −12 3 ⇔x= 2

2) ∆ABC is gelijkbenig in A ⇔ AB = AC 2

2

2

2

⇔ (6 − 0) + (−4 + 1) = ( x − 0) + (2 + 1) 2

2

2

2

⇔ (6 − 0) + (−4 + 1) = ( x − 0) + (2 + 1) ⇔ 36 + 9 = x 2 + 9 ⇔ x 2 = 36 ⇔ x = 6 ∨ x = −6 - vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 9 / 16

C. Algemene vergelijking van een rechte : 1) voorbeelden : vergelijkingen van rechten die reeds aan bod kwamen

vergelijking in de vorm ax + by + c = 0

y = −2 x

2 x + 1y + 0 = 0

−1 x+2 4

1 x + 1y − 2 = 0 4

y =1

0 x + 1y − 1 = 0

x = −3

1x + 0 y + 3 = 0

y=

2) algemeen : Elke rechte heeft een vergelijking van de vorm ax + by + c = 0.

We noemen deze een algemene vergelijking van de rechte.

OEFENINGEN

23

B7, nrs. 23, 24, 25, 26, 53, 54, 56 en 58

Bepaal ⇔ −2 y = −x − 2 ⇔ 2y = x + 2 x+2 ⇔y= 2 x 2 ⇔y= + 2 2 1 ⇔ y = x +1 2

rico a = - vlaf@telenet.be -

1 2

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 10 / 16

⇔ −2 y = −3 x −3 ⇔y= x −2 3 ⇔y= x 2 3 rico b = 2 −2 y = −4 x − 4 3 2 ⇔ y = 4x + 4 3 3 ⇔ y = (4 x + 4) 2 ⇔ y = 6x + 6 ⇔

rico c = 6 d // y ⇔ y =0

24

rico d bestaat niet rico e = 0

Bepaal

- vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 11 / 16

25

Bepaal

26

Bepaal

1) rico =

−1 , dus de ballon daalt.

160

- vlaf@telenet.be -

1 x + 40 y − 25 = 0 4 −1 ⇔ 40 y = x + 25 4 −1 5 ⇔y= x+ 160 8

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 12 / 16

1 ⋅ 0 + 40 y − 25 = 0 4 ⇔ 40 y = 25

2) x = 0 ⇔

25 40 5 ⇔y= 8 ⇔ y = 0,625 ⇔y=

De ballon vloog boven Oostende op een hoogte van 625 m.

1 ⋅ (−40) + 40 y − 25 = 0 4 ⇔ −10 + 40 y − 25 = 0

3) x = −40 ⇔

⇔ 40 y = 25 + 10 ⇔ 40 y = 35 35 40 7 ⇔y= 8 ⇔ y = 0,875 ⇔y=

De ballon vloog op 40 km ten westen van Oostende op een hoogte van 875 m.

1 x + 40.0 − 25 = 0 4 1 ⇔ x = 25 4 ⇔ x = 25.4

4) y = 0 ⇔

⇔ x = 100 De ballon landt 100 km ten oosten van Oostende.

- vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 13 / 16

53

Bepaal

4) s ↔ x = −2

1) p ↔ y = 4

2) q ↔ y =

−2 x 5

5) y − y 1 =

3) y − y 1 = m ( x − x1 ) −1 ( x − 5) 2 −1 5 ⇔ y +4= x+ 2 2 −1 5 ⇔y= x + −4 2 2 −1 −3 ⇔y= x+ 2 2 −1 −3 r ↔y= x+ 2 2 ⇔ y +4=

- vlaf@telenet.be -

y 2 − y1 ( x − x1 ) x2 − x1

1 1 − 1 2 4 ( x + 2) ⇔y− = 4 −2 + 2 3 1 3 ⇔ y − = ( x + 2) 4 16 1 3 3 x+ ⇔y− = 4 16 8 3 3 1 x+ + ⇔y= 16 8 4 3 5 x+ ⇔y= 16 8 3 5 t↔y= x+ 16 8

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 14 / 16

54

Bepaal

2 1) 2.3 − 3 ⋅ − 4 = 0 ⇒ A ∈ r 3 10 2.(−3) − 3 ⋅ − 4 ≠ 0 ⇒ B ∉ r 3 1 2 ⋅ − 3 ⋅ (−1) − 4 = 0 ⇒ C ∈ r 2 4 −4 2⋅ − 3⋅ −4 = 0⇒ D ∈r 3 9 Dus B ligt niet op r.

 −4 0,  3

, ( 2 ,0), (−4, − 4 ),  5 , 1,  1 , −7   2 3   4 6

2) 2.0 − 3 y − 4 = 0 ⇔ −3 y = 4 ⇔ y =

  7 −3  ,  en     8 4 

−4 3

2 x − 3.0 − 4 = 0 ⇔ 2 x = 4 ⇔ x = 2 2.(−4) − 3 y − 4 = 0 ⇔ −8 − 3 y − 4 = 0 ⇔ −3 y = 12 ⇔ y =

12 ⇔ y = −4 −3

1 5 2 x − 3 ⋅ − 4 = 0 ⇔ 2 x − 1− 4 = 0 ⇔ 2 x = 5 ⇔ x = 3 2 1 1 1 7 2 ⋅ − 3 y − 4 = 0 ⇔ − 3 y − 4 = 0 ⇔ − 3 y = 4 − ⇔ −3 y = 4 2 2 2 7 −1 −7 ⇔y= ⋅ ⇔y= 2 3 6 −3 9 9 7 7 2x − 3 ⋅ − 4 = 0 ⇔ 2x + − 4 = 0 ⇔ 2x = 4 − ⇔ 2x = ⇔ x = 4 4 4 4 8

- vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 15 / 16

58

Bepaal

1) De rechte gaat door de punten (0,5000) en (7000,2000) : 2000 − 5000 ( x − 0) 7000 − 0 −3 ⇔ y − 5000 = x 7 −3 ⇔y= x + 5000 7 y − 5000 =

2) Op de landingsplaats is het vliegtuig 0 meter hoog, dus y = 0 : −3 0= x + 5000 7 3 ⇔ x = 5000 7 7 ⇔ x = 5000 ⋅ 3 ⇔ x ≈ 11667 11667 − 7000 = 4667 De landingsplaats ligt op 4667 m van het voetbalveld.

- vlaf@telenet.be -

Analytische meetkunde - theorie & oefeningen

pagina 16 / 16

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormigheden A. Gelijkvormige veelhoeken : 1) voorbeeld :

We stellen vast: Aˆ = Aˆ ', Bˆ = Bˆ ', Cˆ = Cˆ ', Dˆ = Dˆ ' en Eˆ = Eˆ '

A'B ' AB

=

B 'C ' BC

=

C 'D ' CD

=

D 'E ' DE

=

A'E ' AE

=2

Deze veelhoeken zijn gelijkvormig.

We noemen 2 de gelijkvormigheidsfactor of schaalfactor.

Bij congruente driehoeken is de gelijkvormigheidsfactor gelijk aan 1.

2) definitie : Twee veelhoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige hoeken even groot zijn en de overeenkomstige zijden evenredig zijn. "evenredig zijn" betekent: dezelfde verhouding hebben.

 Aˆ = Aˆ ', Bˆ = Bˆ ', Cˆ = Cˆ ', Dˆ = Dˆ ' en Eˆ = Eˆ '  ABCDE ∼ A ' B ' C ' D ' E ' ⇔  A ' B ' B 'C ' C 'D ' D 'E ' A'E '  = = = =  AB BC CD DE AE - vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 1 / 28

3) oppervlakte van gelijkvormige figuren :

De verhouding van de oppervlakten van twee gelijkvormigige figuren is gelijk aan het kwadraat van de gelijkvormigheidsfactor.

B. Gelijkvormige driehoeken : 1) definitie :

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige hoeken even groot zijn en de overeenkomstige zijden evenredig zijn.

 Aˆ = Aˆ ', Bˆ = Bˆ ', Cˆ = Cˆ '  ∆ABC ∼ ∆A ' B ' C ' ⇔  A ' B ' B 'C ' A 'C '  = =  AB BC AC Bij de notatie moeten we uit de volgorde van de letters de overeenkomstige hoeken kunnen afleiden!

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 2 / 28

2) kenmerken van gelijkvormige driehoeken : Zoals er congruentiekenmerken voor driehoeken bestaan, zo zijn er voor driehoeken drie gelijkvormigheidskenmerken.

ZZZ ZZZ

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als de overeenkomstige zijden evenredig zijn.

Z Z H Z Z

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als twee paar overeenkomstige zijden evenredig zijn en hun ingesloten hoeken even groot zijn.

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 3 / 28

HH

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als twee paar overeenkomstige hoeken even groot zijn.

OEFENINGEN

11

B5, nrs. 11, 12, 13, 14, 15, 16, 59, 17, 18 en 69

Bereken x.

1 2

- vlaf@telenet.be -

Z Z H Sˆ1 = Sˆ2 overstaande hoeken   Z Z AS BS  ⇒ ∆ABS ∼ ∆CDS 4 = =  CS DS 3 

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 4 / 28

Aˆ = Xˆ = 65°  HH  ⇒ ∆ABC ∼ ∆XYZ Bˆ = Yˆ = 40° 

EH GH

=

FH EH

=

EF GE

=

4 3

ZZZ ZZZ ⇒ ∆EHG ∼ ∆FHE

  HH  ⇒ ∆PQR ∼ ∆TSR bij PQ // ST en snijlijn PT  

Rˆ1 = Rˆ 2 overstaande hoeken Pˆ = Tˆ wisselende binnenhoeken

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 5 / 28

12

Bereken x.

1

2

/

1 2

Aˆ = Eˆ gegeven Bˆ1 = Bˆ2 overstaande hoeken

 HH  ⇒ ∆ABC ∼ ∆EBD 

/ - vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 6 / 28

PQ SR

13

=

PR SP

=

QR RP

=

5 4

ZZZ ZZZ ⇒ ∆PRS ∼ ∆RQP

Bereken x.

PQ

Pˆ = Aˆ = 40°

AB PQ

=

PR AC

3,6 5 3 3,6.5 ⇔ PQ = 3 ⇔ PQ = 6 ⇔

- vlaf@telenet.be -

=

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 7 / 28

14

Bereken x.

UV XY

=

VW YZ

⇔

UV 7

=

9 6

9.7 6 21 ⇔ UV = 2 ⇔ UV =

AC PR

=

BC QR

⇔

AC 25

=

16 20

PQ AB

=

QR BC

16.25 20 ⇔ AC = 20 ⇔ AC =

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

⇔

PQ 12

=

20 16

20.12 16 ⇔ PQ = 15 ⇔ PQ =

pagina 8 / 28

15

Bereken x.

AD AB

=

AB AC

⇔

x 4 = 4 3

4.4 3 16 ⇔x= 3 ⇔x=

DB BC

=

AB AC

⇔

y 4 = 6 3

4.6 3 ⇔y =8 ⇔y=

16

Bereken x.

1 a) in ∆ABC en ∆APQ :   HH  ⇒ ∆ABC ∼ ∆APQ bij PQ // BC en snijlijn AB  

Aˆ = Aˆ gemeenschappelijk Pˆ = Bˆ overeenkomstige hoeken

1 b)

PQ BC

=

AP AB

⇔

x 2 = 7 5

2.7 5 14 ⇔x= 5 ⇔x=

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 9 / 28

2 a) in ∆ABC en ∆APQ :   HH  ⇒ ∆ABC ∼ ∆APQ bij PQ // BC en snijlijn AB  

Aˆ = Aˆ gemeenschappelijk Pˆ = Bˆ overeenkomstige hoeken

AB AP

=

BC PQ

⇔

x+4 5 = 4 4

⇔ x+4=5 ⇔ x =5−4 ⇔ x =1

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 10 / 28

1

2

2 b) in ∆ABC en ∆AQP :   HH  ⇒ ∆ABC ∼ ∆AQP bij PQ // BC en snijlijn BQ  

Aˆ1 = Aˆ 2 overstaande hoeken Bˆ = Qˆ wisselende binnenhoeken

BC QP

=

AB AQ

⇔

x 3

=

6 2

6. 3

⇔x=

2

⇔ x =3

59

Bereken x.

S∆ABC =

24

12.5 = 30 2

S∆XYZ = 120 k2 =

10

120 =4 30

k = 4 =2 XZ = k . AC = 2.5 = 10

XY = k . AB = 2.12 = 24

Pythagoras: YZ = - vlaf@telenet.be -

2

XY + XZ

2

= 242 + 102 = 26

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 11 / 28

Bereken x.

17

1

2

in ∆DPQ en ∆BCQ :   HH  ⇒ ∆DPQ ∼ ∆BCQ bij AD // BC en snijlijn BD  

Qˆ1 = Qˆ 2 overstaande hoeken Dˆ = Bˆ wisselende binnenhoeken

k=

DP BC

=

1 P is midden van [ AD] en AD = BC 2 2

S∆DPQ 1  1 = k2 =   = S∆CQB 4 2

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 12 / 28

18

Bereken x.

(2 cijfers na de komma)

in ∆ABC en ∆DBE : Bˆ = Bˆ gemeenschappelijk  HH  ⇒ ∆ABC ∼ ∆DBE ˆ ˆ A = D 90°  DE AC

=

BD BA

⇔

DE 1,82

=

⇔ DE =

2,03 + 4,55 2,03 2,03 + 4,55 ⋅ 1,82 2,03

⇔ DE = 5,90 De boom is 5,90 m hoog.

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 13 / 28

69

Bereken x.

(2 cijfers na de komma)

in ∆ABC en ∆AED : Aˆ1 = Aˆ 2 overstaand Cˆ = Dˆ 90° BC ED

=

AC AD

⇔

BC 1,6

=

⇔ BC =

 HH  ⇒ ∆ABC ∼ ∆AED 

18 − 2,6 2,6

18 − 2,6 ⋅ 1,6 2,6

⇔ BC = 9,48 De toren is 9,48 m hoog.

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 14 / 28

C. De evenwijdige projectie : 1) definitie :

• We noemen E' het beeld van E door de projectie p en we noteren: pa ( E ) = E ' b

• We noemen a de projectieas en b de projectierichting.

• Punten die tot de projectieas behoren, worden op zichzelf afgebeeld. Daarom noemen we ze dekpunten.

• Een evenwijdige projectie is een transformatie van het vlak omdat elk punt van het vlak door een evenwijdige projectie juist één beeld heeft.

∀X ∈ a : pab ( X ) = X ∀X ∉ a : pab ( X ) = X ' met X ' ∈ a en XX '// b

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 15 / 28

2) projectiebeeld van een lijnstuk :

Het beeld van een lijnstuk door een evenwijdige projectie is een lijnstuk of een punt.

Terwijl de lengte van een lijnstuk bij spiegelingen, verschuivingen en draaiingen bewaard bleef, is dit bij de evenwijdige projectie NIET het geval.

Alleen wanneer het lijnstuk evenwijdig is met de projectieas, blijft de lengte bewaard.

3) projectiebeeld van een rechte :

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 16 / 28

Het beeld van een rechte door een evenwijdige projectie is een rechte (de projectieas) of een punt (snijpunt van de projectieas en de rechte).

4) projectiebeeld van een vlakke figuur :

Het beeld van een vlakke figuur door een evenwijdige projectie is een lijnstuk.

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 17 / 28

B5, nr. 39, 40, 41, 96, 97 en 98

OEFENINGEN

39

Bereken x.

[DC ] B

[ AD ] b C

40

Bereken x.

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 18 / 28

41

Bereken x.

Ja, alle rechten evenwijdig met AB.

96

Bereken x.

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 19 / 28

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 20 / 28

97

Bereken x.

98

Bereken x.

Bij de richting van AC of BD.

Bij de richting van AB of BC.

D. De stelling van Thales : 1) algemeen:

We stellen vast: AB CD

=

A'B' C 'D'

De evenwijdige projectie behoudt de verhouding van twee lijnstukken die op eenzelfde rechte liggen.

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 21 / 28

2) bewijs: Gegeven:

rechten a, b en c A, B,C, D ∈ c

pab ([ AB ]) = [ A ' B ']

pab ([CD ]) = [C ' D ']

Te bewijzen:

AB CD

=

A'B ' C 'D '

Bewijs: We tekenen door A en C de rechten p en q die evenwijdig zijn met a en die BB' en DD' snijden in respectievelijk E en F. in ∆ABE en ∆CDF :   HH   ⇒ ∆ABE ∼ ∆CDF  bij BB '// DD ' en snijlijn c  ⇓ definitie gelijkvormige driehoeken

Aˆ = Cˆ overeenkomstige hoeken bij p // q en snijlijn c Bˆ = Dˆ overeenkomstige hoeken

AB CD

=

AE CF

⇓ A E B ' A ' en C F D ' C ' zijn AB CD

- vlaf@telenet.be -

=

A'B ' C 'D '

▱

wwmb

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 22 / 28

3) toepassing: Het maakt niet uit in welke richting je scant, de code kan steeds gelezen worden.

Dat is mogelijk omdat de verhoudingen van de diktes van de witte en zwarte strepen gelijk blijven.

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 23 / 28

B5, nrs. 44, 45, 46, 47 en 103

OEFENINGEN

44

Bereken x.

Thales: TU QR

=

ST PQ

⇔

TU 10

=

16 12

16.10 12 40 ⇔ TU = 3 ⇔ TU =

45

Bereken x.

Thales: EC AE

=

DB AD

⇔

x 2 = 4,5 3

2.4,5 3 ⇔ x =3 ⇔x=

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 24 / 28

Thales: BD DA

=

BE EC

⇔

x 3 = 4 5

3.4 5 12 ⇔x= 5 ⇔x=

Thales: BD DA

=

BE EC

⇔

x 5 = 7,2 x

⇔ x 2 = 5.7,2 ⇔ x = 5.7,2 ⇔x=6

Thales: BE BC

=

AD AC

⇔

x 12 = 12 18

12 ⋅ 12 18 ⇔ x =8 ⇔x=

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 25 / 28

Thales: EC BC

=

DA BA

⇔

x 1,5 = 4 6

1,5 ⋅4 6 ⇔ x =1 ⇔x=

Pythagoras: AB = 82 + 62 = 10 Thales: DA BA

=

EA AC

⇔

x 2,5 = 10 6

2,5 ⋅ 10 6 25 ⇔x= 6 ⇔x=

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 26 / 28

46

Bereken x.

Thales: BF FC

=

AE ED

⇔

BF 25

=

40 20

40 ⋅ 25 20 ⇔ BF = 50 ⇔ BF =

De lengte van [BF ] is 50 m.

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 27 / 28

47

Bereken x.

103

Bereken x.

- vlaf@telenet.be -

Gelijkvormigheden - theorie & oefeningen

pagina 28 / 28

Hoofdstuk 8 : Stelsels van vergelijkingen A. Een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden : 1) voorbeeld :

 x + y −5 = 0   x − y −1= 0 ⇕ .... ⇕  x =3  y =2 V = {( 3,2 )} 2) definitie :

 ax + by + c = 0   a ' x + b ' y + c ' = 0 is een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden met a, b, c, a ', b ', c ' ∈ ℝ

- vlaf@telenet.be -

Stelsels van vergelijkingen - theorie & oefeningen

pagina 1 / 8

B. Een stelsel oplossen : 1) grafisch :

- vlaf@telenet.be -

Stelsels van vergelijkingen - theorie & oefeningen

pagina 2 / 8

2) algebraĂŻsch met de combinatiemethode :

- vlaf@telenet.be -

Stelsels van vergelijkingen - theorie & oefeningen

pagina 3 / 8

- vlaf@telenet.be -

Stelsels van vergelijkingen - theorie & oefeningen

pagina 4 / 8

OEFENINGEN

13

B8, nr. 13 (1, 2, 4 en 6) en 30

Bereken x.

 6y = 6 ⇔  3x − 2y = 9

 a = −2 ⇔  3a − 4b = 1

 y =1 ⇔  3x − 2 = 9

 a = −2 ⇔  − 6 − 4b = 1

 y =1 ⇔  3x = 11

 a = −2 ⇔  − 4b = 1 + 6

 y =1  ⇔ 11 x =  3

 a = −2 ⇔  − 4b = 7

 11   V =  ,1   3  

 a = −2  ⇔ −7 b =  4  −7   V =  −2,   4  

- vlaf@telenet.be -

Stelsels van vergelijkingen - theorie & oefeningen

pagina 5 / 8

 6 x + 8y = 16 ⇔  − 6x − 9 y = −27

 36v + 7w = 165 ⇔  − 63v − 7w = −273

 − y = −11 ⇔  2x + 3 y = 9

 − 27v = −108 ⇔  9v + w = 39

 y = 11 ⇔  2x + 33 = 9

v =4 ⇔  36 + w = 39

 y = 11 ⇔  2x = −24

v =4 ⇔  w = 39 − 36

 y = 11 ⇔  x = −12

v =4 ⇔  w =3

V = {( −12,11)}

V = {( 4,3 )}

- vlaf@telenet.be -

Stelsels van vergelijkingen - theorie & oefeningen

pagina 6 / 8

30

Bereken x.

 6 x = 12 ⇔  2x − 3 y = 5

 − 4x + 14y = 2 ⇔  4x − 3 y = 9

x=2 ⇔  4 − 3y = 5

 11y = 11 ⇔  4x − 3 y = 9

 x=2 ⇔  − 3y = 5 − 4

 y =1 ⇔  4x − 3 = 9

 x=2 ⇔  − 3y = 1

 y =1 ⇔  4x = 9 + 3

 x=2  ⇔ −1 y =  3

 y =1 ⇔  4 x = 12

 −1   V =  2,    3  

 y =1 ⇔  x =3 V = {( 3,1)}

- vlaf@telenet.be -

Stelsels van vergelijkingen - theorie & oefeningen

pagina 7 / 8

 15x − 9 y = 33 ⇔  − 15x + 25 y = 95  16 y = 128 ⇔  5 x − 3y = 11  y =8 ⇔  5 x − 24 = 11  y =8 ⇔  5 x = 11 + 24  y =8 ⇔  5 x = 35  y =8 ⇔  x =7 V = {( 7,8 )}

- vlaf@telenet.be -

Stelsels van vergelijkingen - theorie & oefeningen

pagina 8 / 8