3.2 Técnicas de conteo

3. Teoría de la Probabilidad

3.2 Técnicas de conteo 3.2.1. Introducción 3.2.2. Regla multiplicativa 3.2.3. Permutaciones 3.2.4. Combinaciones 3.2.5. Ejercicios 3.2.5.1. Ejercicios Resueltos 3.2.5.2. Ejercicios Propuestos

Vázquez, H. 2009

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3.2.1 Introducción: Suponga que usted es el Jefe de Personal de una Compañía, y que el principal accionista está otorgando 3 becas para estudiar un postgrado en el extranjero, para los ingenieros del área de producción de la empresa, ¿Cómo seleccionaría usted a los 3 futuros becados, si en el área de producción existen 5 ingenieros? Pues bien, no se preocupe, en esta sección se tratan algunas técnicas para solucionar este tipo de problemas.

Se ha visto que un paso muy importante de los problemas probabilísticos es la enumeración de todos los posibles eventos dentro de un espacio muestral. Cuando estos eventos no son muchos su enumeración resulta fácil, pero cuando el espacio muestral consta de un número grande de elementos, su enumeración resulta complicada. Las técnicas de conteo resuelven éste problema. Para poder responder las preguntas de cuántos o cuáles se puede proceder de dos formas:  

Enlistar todas las posibilidades.

Determinar el número sin tener que listarlas.

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Para listar las posibilidades, los diagramas de árbol (tratados en el subtema 4.3.1) son los más útiles, y para determinar el número existen diferentes procesos de multiplicación dentro de la teoría probabilística que brindan una buena herramienta.

A continuación se ejemplifica el método del diagrama de árbol y posteriormente, un método matemático denominado “Regla de la multiplicación”, para determinar el número de opciones posibles de un espacio muestral, sin necesidad de tener que enlistar todas las posibles opciones. ⇒ Diagrama de Árbol: Usted ya sabe que el diagrama de árbol consiste en enlistar todas las opciones posibles para un espacio muestral. Analice el siguiente ejemplo: Ejemplo: Una persona tiene tres pantalones diferentes y 4 camisas diferentes. ¿ De cuántas maneras puede vestirse en forma diferente Con el diagrama de árbol se pueden enlistar las opciones:

Observe y Analice: El diagrama de árbol inicia con opciones de la primera selección “pantalón” y cada una de ellas se relaciona con las opciones de la segunda selección “camisa”, de aquí que, cada tipo de pantalón se puede relacionar con los 4 tipos de camisa, por lo tanto se tiene un total de (3) (4) = 12 opciones o formas.

Si se analizan los dos ejemplos pasados, se puede deducir que, para calcular el total de opciones o posibilidades bastará con multiplicar las opciones de la primera selección con las de la segunda selección, éste concepto se encuentra establecido en la teoría probabilística como “regla de la multiplicación” o “principio multiplicativo”, el cual se enuncia a continuación.

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3.2.2 Regla multiplicativa.

Principio de la Multiplicación: El procedimiento siguiente constituye una estrategia básica para el conteo. Divide un proceso de selección entero S en una secuencia finita de subselecciones s1, s2,… sk de tal manera que la selección de S se obtiene multiplicando las opciones de cada subselección. Este principio multiplicativo se define de la siguiente forma: Si una operación de selección puede ser realizada en n1 formas, una segunda selección en n2, y una tercera selección en n3, y así sucesivamente, el número de todas las selecciones posibles es:

n ( s ) n1n2 ....nn Ejemplo: Una cafetería ofrece un menú de 2 sopas, 5 sandwiches, 3 postres, y 3 bebidas. ¿Cuántas posibles selecciones para comer hay, si cada comida consiste en una sopa, un sandwich, un postre, y una bebida?

Solución: Se puede elegir 2 sopas diferentes, una vez elegida la sopa se puede elegir uno de 5 sandwiches , una vez elegido el sandwich y la sopa se tiene 3 postres diferentes, hasta este momento se ha elegido sopa sandwich y postre, por último se tendrá que seleccionar una bebida de las 3 que existen, de tal manera que el número de elecciones es simplemente la multiplicación de las opciones posibles, esto es: n(S) = (2) (5) (3) (3) = 90.

Por lo tanto se tienen 90 diferentes manera de elegir una comida.

3.2.3. Permutaciones: A través de la regla multiplicativa se puede obtener, como ya se trató, el número total de posibilidades, pero, frecuentemente interesa calcular el número posible de arreglos de un grupo de objetos. Se está ahora interesado no sólo en calcular el total de posibilidades sino también en la secuencia en que aparecen los elementos.

En este tipo de problemas el orden de selección de los elementos hace diferente cada selección aunque consten de los mismos. Por ejemplo, si se habla de las placas de automóviles, aunque dos placas tengan las mismas letras y números, en orden diferente son placas diferentes. Una placa ABC123 no es la misma placa que CBA321 aunque ambas placas tengan los mismos elementos. A este tipo de elecciones o arreglos se les llama permutaciones. La permutación se define como: Un arreglo de” r” objetos seleccionados de un grupo de “n” objetos distintos, donde r < n , y el orden es importante, se llama una permutación de “n” objetos tomando “r” a la vez.

El número de permutaciones posible está definido por la siguiente fórmula:

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n Pr 

n! ( n  r )!

Donde: n= total de objetos r= número de objetos a permutar nPr

se lee el número de arreglos posibles de “r” objetos de un total de “n” .

Recuerde: a) n! se lee “n” factorial y está definido por: n! = n (n-1)(n-2) . . .1 Ejemplo: 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120; 3! 4! = (3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)=144 b) 0! = 1 Analice el siguiente ejemplo para comprender el concepto de permutación: Ejemplo: Calcular el número de permutaciones de las letras a, b, c, tomadas de dos en dos.

Solución: Si se obtienen los arreglos posibles tomando de dos en dos letras: ab, ba, ac, ca, bc, cb, en total serían 6 arreglos posibles Aplicando la fórmula de permutaciones de “n” objetos tomando “r” a la vez: n=3, r = 2 3P2=

3! / ( 3 - 2 ) != 6 formas o arreglos

Ejemplo: ¿Cuántos números de tres dígitos, tomando los números del 1 al 9 se pueden hacer, si no se puede repetir el mismo número?

Solución: Primero se tiene que considerar que el número 238 es diferente al 832, aunque estos dos números tengan los mismos elementos. En este caso el orden de los elementos hace diferente cada selección, por lo que tenemos una permutación de 9 objetos tomando 3 : 9P3

= 9 ! / 6 ! = 504.

Observe y Analice: Utilizando el principio de la multiplicación, se debe considerar que para el primer dígito se tienen 9 números disponibles, para el segundo solamente 8 debido que el Vázquez, H. 2009

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número que se toma para el primer dígito no se puede tomar para el segundo, de la misma manera para el tercer dígito tenemos 7 opciones, ya que no se pueden volver a utilizar el número del primer dígito ni del segundo. Por lo que el planteamiento sería el que sigue: n(S) = (9) (8) (7) = 504.

Existe un caso particular dentro de las permutaciones, que es, permutar “n” de “n” objetos a la vez, es decir, obtener los arreglos posibles de todos los objetos a la vez.

La fórmula para obtener el número de éstos arreglos está dado por: nPn

= n!

Ejemplo: Calcular el número de arreglos posibles de las letras a, b, c.

Solución: Si se obtienen los posibles arreglos de las 3 letras a la vez, se tiene: (a, b, c) ( a, c, b) (b, a, c) (c, a, b) (b, c, a) (c, b, a) lo cual representa 6 posibles arreglos Si se aplica la fórmula de P ( n, n): 3P3=

3! = 6 formas posibles.

Ejemplo: ¿De cuantas formas se pueden colocar en una fila 5 pelotas de diferentes colores?

Solución: Como se quiere todos los arreglos posibles de las 5 pelotas, se aplicará P(n, n) n=5 5P5= 5! = 120 posibles arreglos para la cinco pelotas.

Observe y Analice: Este problema se puede resolver también aplicando el principio multiplicativo: La primera posición puede ser ocupada por cualquiera de las pelotas, por lo tanto hay 5 formas de llenar la primera posición, cuando esto haya ocurrido, únicamente habrá 4 formas de ocupar la segunda posición, después habrá 3 formas de llenar la tercera, 2 de llenar la cuarta y solamente 1 forma para la última posición. Por lo tanto el número de arreglos posibles de las 5 pelotas en la fila son: n(S)= (5)(4)(3)(2)(1) = 120 posibles arreglos

3.2.4. Combinaciones: En los casos anteriores se mencionó que el orden de elección de los elementos marcaba la diferencia entre una selección y otra. De tal manera que en un número de tres dígitos, si el orden era diferente aunque tuviera los mismos elementos los números eran diferentes. Ejemplo 238 no es igual a 382, aunque ambos números constan de los mismos elementos. Existen casos donde el orden de los elementos no marca diferencia alguna entre selecciones. Por ejemplo, si se quiere elegir un helado de dos sabores, es lo mismo pedir primero una bola de fresa y luego una de Vázquez, H. 2009

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chocolate, que primero una de chocolate y después una de fresa. Es decir el orden en que se eligen los elementos no marca la diferencia entre ambos helados, sigue siendo el mismo helado. Este principio se encuentra enunciado a continuación: El número posible de combinaciones de “n” elementos tomando “r” de ellos, en donde el orden carece de importancia, denotado como nCr es :

n Cr 

n! r ! ( nr )!

Ejemplo: ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de 4 personas si todas van a desempeñar el mismo puesto, y hay 11 candidatos?: Solución: El orden de elección de las personas no importa porque el puesto es el mismo para todas. De tal manera que tenemos un caso de combinación.

11C4

= 11 ! / (4 !(7 !)) = 330.

Ejemplo: ¿Cuántas diferentes manos de póquer puede haber consistiendo en 5 cartas, de una baraja legal de 52 cartas. ?

Solución: El orden de las cartas no hace diferente la mano de póquer, por lo que se tiene una combinación.

52C2

= 52 ! / ( 5 !( 47 !)) = 2,598.960.

Es muy común que se tengan dificultad en identificar cuando es una combinación y cuando una permutación, se debe recordar que el factor de decisión es el orden de los elementos. Si el orden es de primordial importancia tenemos una combinación, en caso contrario es una combinación…

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Selecciones Conjuntas: Este se puede considerar un caso especial de combinaciones. Se presenta cuando se tiene un conjunto con subconjuntos perfectamente definidos, y se debe seleccionar “n” elementos de cada subconjunto. Por ejemplo, en una tienda se tienen 5 lavadoras y 3 secadoras, y se necesita elegir dos lavadoras y dos secadoras para exhibición. De tal manera que el número total de selecciones posibles es la multiplicación de las dos combinaciones. Analice los siguientes ejemplos.

Ejemplo: Un grupo de ballet tiene 4 versiones del Lago de los Cisnes, 5 versiones del Cascanueces, y 3 versiones de Coppelia. ¿Cuántos programas diferentes hay, si un programa consiste en 2 versiones de cada obra?

Solución: Como debe haber 2 versiones de cada obra, por lo tanto:   

2 de las cuatro versiones del Lago de los Cisnes se pueden elegir 4C2 2 de las tres versiones del Cascanueces se pueden elegir 5C2 2 de las tres versiones de Coppelia se pueden elegir 3C2

El número total de programas diferentes se calculará a través del principio multiplicativo, puesto que cada selección se puede relacionar con cada una de las otras opciones: 4C2

x 5C2 x 3C2= (4 ! /2 !2 !) (5 !/2 !3 !) (3 !/2 !1 !)= (6)(10)(3)= 180.

Ejemplo: De un total de 5 matemáticos y 7 físicos, se forma un comité de 2 matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas maneras puede formarse si: a) Puede pertenecer a él cualquier físico y matemático b) Un físico determinado debe pertenecer al comité c) Dos matemáticos determinados no deben pertenecer al comité Solución: Como se quiere formar un comité de 5 personas, de los cuales 2 deben ser matemáticos y 3 físicos, entonces: a) 3 físicos de un total de 7, se pueden elegir 7C3 2 matemáticos de un total de 5, se pueden elegir 5C2 El número de formas de selección será: 7C3 x 5C2 = 350 b) 2 matemáticos de un total de 5, se pueden elegir 5C2 Si un físico debe de pertenecer al comité, por lo tanto sólo quedan 2 por seleccionar 2 físicos de un total de 6, se pueden elegir 6C2 El número total de formas será: 5C2 x 6C2 = 150 c) 3 físicos de un total de 7, se pueden elegir 4C3 Si dos matemáticos no pueden pertenecer al comité, entonces únicamente quedan 3 ellos para seleccionar:

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3 físicos de un total de 7, se pueden elegir 7C3 2 matemáticos de un total de 3, se pueden elegir, 3C2 El número total de formas será: 7C3 x 3C2 = 105

3.2.5. Ejercicios 3.2.5.1 Ejercicios Propuestos 1. En un estudio médico, se clasifica a los pacientes de acuerdo con el tipo de sangre que tengan: A, B, AB, O; y también de acuerdo con su tipo de presión sanguínea: baja, normal o alta. ¿ De cuantas maneras distintas se puede clasificar un paciente? Realice un diagrama de árbol.

Solución: Como cada tipo de sangre puede tener presión baja, normal o alta, por lo tanto, se aplica el principio de multiplicación: n(S) = (4)(3)=12 formas de clasificar al paciente.

2. Las letras A, B, C, se van a utilizar como prefijos de un inventario, ¿cuántos prefijos de tres letras son posibles. ?

Solución: Para el primer prefijo se tiene tres letras, para el segundo 3 letras, y para el tercero tres letras, de tal manera el número de prefijos de tres letras, se calculará por medio del principio de multiplicación: n(S) = (3) (3) (3) = 27.

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3. Para el caso anterior, suponga que para el primer prefijo pueden estar las tres letras, para los otros dos prefijo solamente B y C, de tal manera que: ¿Cuántos prefijos de tres letras bajo las condiciones mencionadas son posibles ?

Solución: Como en el caso anterior para primer prefijo se cuenta con tres letras para el segundo dos y para el tercero dos. La solución es: n(S) =(3) (2) (2) =12.

Si lo que se quiere conocer son los prefijos posibles, tendríamos que realizar un diagrama de árbol que quedaría de la siguiente manera: Opciones:

4. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra impureza, (suponga que todas las palabras tienen significado) y las letras no pueden repetirse?

Solución: Este caso es una permutación , donde se tiene 8 elementos ( las ocho letras de la palabra) y los 8 elementos se van a elegir. Para la primera selección se tiene las 8 letras disponibles, para la segunda 7, la tercera 6, la cuarta 5, la quinta 4, la sexta 3, la séptima 2, y octava 1. De aquí que sea una permutación de “n” objetos a la vez: 8P8=

8! = 40320

Este ejercicio también se puede resolver utilizando el principio de la multiplicación tenemos : n(S) = (8) (7) (6) (5) (4) (3) (2) (1) = 40320.

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Aplicando la fórmula nPr 8P8

= 8 ! = 40320.

5. Si veinte pinturas participan en una exposición de arte, ¿ de cuántas maneras los jueces pueden otorgar un primer y un segundo lugar?

Solución: Como de 20 pinturas se tiene que seleccionar un primer y segundo lugar, entonces, el orden es de importancia, por lo tanto, es una permutación “r” de “n” objetos.

20P2=

20! / ( 20 - 2 ) ! = 380 formas posibles.

6. De cuantas maneras puede una persona seleccionar tres libros de una lista de 8 best - seller ?

Solución: En este caso, se puede analizar que el orden en que se seleccionen los tres libros no es importante, por lo tanto se trata de una combinación “r” de “n” objetos 8C3=

8! / 3! ( 8 - 3)! = 56 posibles formas de seleccionar 3 libros de 8.

7. De cuantas maneras se puede elegir 3 ingenieros del área de producción, de un total de 14, para formar una comisión que elabore una estrategia para elevar la calidad en el producto?

Solución: Como el orden no importa en la selección de los 3 ingenieros, por lo tanto es una combinación: 14C3=

14! / 3! ( 14 - 3 )! = 364 formas.

8. Entre los 10 nominados para obtener dos grados honorarios en una universidad, hay siete hombres y tres mujeres. ¿En cuantas formas se pueden otorgar los grados honorarios a a) dos de los nominados. b) dos de los nominados varones; c) uno de los varones y una de las mujeres; d) ninguno de los nominados varones.

Solución: Sabiendo que existen 10 nominados, 7 hombres y 3 mujeres: a) Dos de los dominados De 10 nominados, 2 de ellos se pueden elegir: posibles formas.

10C2

= 10! / 2! ( 10-2)! =45

b) Dos de los dominados varones: De 7 hombres nominados, 2 de ellos se pueden elegir: 7C2(7,2)= 7! / 2! ( 72)! = 21 formas

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c) Uno de los varones y una de las mujeres De 7 hombres, 1 de ellos se puede seleccionar: 7C1 De 3 mujeres, 1 de ellas se puede seleccionar: 3C1 El número de formas pedido será: 7C1 x 3C1 = [7! / 1! (7-1)!] [3! / 1! (3- 1)! ] =(7)(3)=21 formas posibles d) Ninguno de los nominados varones Por lo tanto se quiere seleccionar 2 nominados mujeres De 3 mujeres, 2 de ellas se pueden seleccionar: 3C2=3! / 2! ( 3-2)! = 3 formas posibles.

3.2.5.1 Ejercicios Propuestos 1. Las letras A, B, y C se van a utilizar como prefijos para números de inventario: ¿Cuántos prefijos diferentes de dos letras se pueden utilizar?

2. Una compañía de construcción, construye dos estilos de casa-habitación : colonial y contemporáneo, utiliza tres colores de pintura gris, verde y blanco. ¿Cuántas casa diferentes pueden construir?

3. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un presidente, un vicepresidente, un secretario, y un tesorero para un comité ejecutivo, de entre 11 miembros del comité. ?

4. Una marca de pantalones de mezclilla para mujer se pueden ordenar en siete tallas diferentes, tres colores diferentes y tres estilos diferentes ¿Cuántos pantalones diferentes se tendrían que pedir si una tienda quisiera un pantalón de cada tipo?

5. Un corredor de bolsa recibe el mismo número de órdenes de compra y venta de títulos de sus clientes. Elabore un diagrama de árbol que muestre, en relación con las tres órdenes siguientes que reciba el corredor, cuántas pueden ser órdenes de compra u órdenes de venta. a) En cuántos casos puede haber Exactamente dos órdenes de venta; b) Exactamente una orden de venta; c) Exactamente tres órdenes de compra: d) Exactamente tres órdenes de venta.

6. ¿De cuantas maneras distintas puede un jefe de personal, de una determinada empresa, seleccionar 2 laboratoristas de entre 7 solicitantes y 3 obreros de entre 9 solicitantes?

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7. Un fabricante de autos ofrece un modelo deportivo con 3 tipos de llantas, con o sin estéreo, con motor de gasolina o diesel, y 3 tipos de volantes. Cuántas opciones posibles existen para un comprador?

8. Un cuarto de hotel puede ocuparse con reservación por correo, por teléfono o sin reservación. La política del hotel consiste en que las reservaciones por correo pueden pagarse en efectivo, cheque o tarjeta de crédito; las reservaciones telefónicas pueden liquidarse en efectivo o con tarjeta de crédito; y el alojamiento sin previa reservación se debe pagar en efectivo. Trace un diagrama de árbol que muestre las seis formas en que es posible obtener una habitación del hotel y pagar alojamiento.

9. Un fabricante de yates ofrece el modelo deportivo para pesca con 2,3 o 4 camarotes; con o sin puente de flotación, con motor de gasolina o diesel, y en varios colores de casco diferentes. Si existen 72 opciones posibles abiertas a un comprador, ¿de cuántos colores se dispone para el casco?

10. Un estudio de investigación de las mujeres que compran acciones con capital mancomunado, las entrevistas se clasificaron en siete categorías de objetivos de inversión, cinco categorías de lugares de residencia y dos categorías de posición ocupacional. ¿En cuántas formas puede clasificarse a una mujer que compra acciones con capital mancomunado?

11. El Wall Street Journal publica una lista diaria de los 10 valores o títulos más activamente negociados en la American Stock Exchange (Bolsa de Valores Norteamericana). Un inversionista desea elaborar una lista de tres de estos títulos, en orden de importancia, para posible compra. ¿Cuántas permutaciones habrá con tres de los 10 títulos negociados cierto día en dicha bolsa de valores?

12. El representante de un sindicato desea hablar con tres de los 10 trabajadores inmiscuidos en un procedimiento que es motivo de una queja. a) Si es importante el orden de las entrevistas, ¿en cuantas formas puede planear las tres entrevistas el representante del sindicato? b) Si no importa el orden de las entrevistas, ¿en cuantas maneras puede planearlas el representante del sindicato?

13. ¿En cuantas formas puede acomodar un juez a seis corredores en la línea de partida de una carrera?

14. Calcule el número de formas en que un ejecutivo puede elegir a 3 de 15 empleados para un ascenso.

15. Calcule el número de formas en que un capataz puede escoger a 12 de 18 trabajadores para asignarles trabajo en tiempo extra.

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16. Supóngase que una caja contiene una docena de focos eléctricos que incluye dos unidades defectuosas. ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar tres focos, de manera que a) no se incluya ninguno de los focos defectuoso; b) se incluya una de las unidades defectuosas. c) se incluyan ambos focos defectuosos.

17. El "doble" (la apuesta combinada para dos carreras) consiste en seleccionar los ganadores de las dos primeras carreras. Si hay 10 caballos en la primera carrera y 13 en la segunda ¿Cuántas posibilidades hay de ganar el "doble"?

18. Un estudiante tiene siete libros que le gustaría colocar en un portafolio, pero sólo caven cuatro. Sin tener en cuenta cómo los ordene ¿cuántas formas hay de colocar cuatro libros en el portafolio?

19. Un producto (por ejemplo hardware para un sistema de computadora) se puede embarcar a través de cuatro aerolíneas diferentes, y cada aerolínea puede transportar los embarques por tres rutas distintas ¿Cuántas formas distintas de embarcar el producto existen?

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