UNIVERSIDAD DE CARTAGENA SISTEMA INTEGRADO DE RETENCIÓN DE ESTUDIANTES
UNIDAD 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD Estoy bien, estudio bien
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LÍMITES Y CONTINUIDAD
PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD A través del desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante identifique los componentes necesarios de los límites, permitiendo así la fundamentación básica indispensable para el entendimiento de los límites en la matemática.
OBJETIVOS – PROBLEMAS El estudiante entenderá la definición tanto formar como informal de limite la cual utilizara para resolver problemas que requieran su aplicación.
EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA ¿Cuál es el concepto de Límite? ¿Cuáles son las aplicaciones del límite? ¿Qué es Límite? ¿Qué es Continuidad?
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REFERENTES TEÓRICOS Límite y continuidad A veces en medio de una conversación ardua y amena llega a ésta la palabra límite, es cuando nos preguntamos si en realidad conocemos el verdadero significado de esta palabra, a pesar que se escuchan las frases como “estuviste al límite de perder el vuelo”, “ tú has llegado al límite de mi paciencia”, “ El atleta llego al límite de su resistencia” entre otras. Para dar solución a estos interrogantes de dar el significado de esta palabra comenzaremos definiendo algunos conceptos previos. Sucesión Una sucesión se define como una función
Ejemplo 1. La sucesión enteros positivos
, tal que
tiene como elementos los recíprocos de los números
La sucesión para la cual
Tiene como elementos
Los elementos de las sucesiones (1) y (2) son los mismos, sin embargo, las sucesiones no son iguales.
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Interpretación geométrica de límite Daremos una idea intuitiva de límite de funciones mediante algunas graficas. Para ello comenzaremos con una función particular:
Observe que esta función no está definida cuando ; esto es no existe. Sin embargo, la función esta definida para cualquier otro número real. Se pueden investigar los valores para los cuales esta función cuando se aproxima a 1, pero sin llegar a ser 1. Podríamos preguntarnos ¿Por qué se desea considerar estos valores de función? Miremos estos ejemplos
Ejemplo 2: el punto
esta sobre la curva que tiene como ecuación
Sea otro punto sobre esta curva, diferente de P. cada una de las figuras 1 y 2 muestran una porción de la grafica de la ecuación y la recta secante que pasa por Q y P, donde Q esta cerca de P. en la figura 1, las coordenadas de x de Q es menor que 1, y en la figura 2 es mayor que 1. Suponga que es la pendiente de la recta P. Entonces
La cual es la ecuación . Además, son distintos. Conforme x se aproximan cada vez mas a 1, los valores de se acercan cada vez más a numero que se definirá como la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P.
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Ejemplo 3.Sea
la función definida por
La grafica de se muestra en la figura siguiente. Excepto en , la función tiene los mismos valores de la función definida por la ecuación . En consecuencia, como el hecho de que no tiene nada que ver con lo que ocurre en , se puede aplicar el siguiente argumento para la función , esto es dado existe un tal que
De modo que . Note que de la función y el valor de la función existe para
por lo que para esta función, el límite , pero no son iguales.
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Definición formal de límite de una función real Sea f x una función definida en cada numero de un intervalo abierto que contiene a a
excepto posiblemente en mismo valor a . El límite de f x , conforme x se aproxima
hacia a es L .lo que se escribe como el límite de f x cuando x tiende a a es L . Simbólicamente se escribe tal que si
lim f x L , es decir, para todo x a
, existe un
,
entonces
Existe una simbología especial para representar los acercamientos de x hacia a por la izquierda y por la derecha. Así, lim f x L , se lee límite cuando x tiende a a por la izquierda de f x es L .
x a
lim f x L , se lee límite cuando x tiende a a por la derecha de f x es L .
x a
Para hallar los límites por la izquierda o por la derecha de una función, se pueden usar las mismas técnicas utilizadas para obtener los límites comunes.
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Nota Si los límites laterales son iguales, entonces el límite de la función existe. Si los límites laterales son diferentes, entonces, el límite de una función no existe. Esto es lim f x L lim f x L y lim f x L x a
x a
x a
A continuación mostraremos algunas propiedades de los límites de una función real.
Propiedades de los límites de una función real Si c es una constante y los límites lim f x y lim g x existen, entonces se cumplen las xa
xa
siguientes propiedades: 1. El límite de una función es único. Esto es lim f x L1 y lim f x L2 L1 L2 x a
x a
2. El límite de una constante es igual a la constante. lim c c x a
3. Si f x mx b, con m y b constante. lim f x lim mx b ma b x a
x a
4. El límite de una suma es igual a la suma de los límites. lim f x g x lim f x lim g x x a
x a
x a
5. El límite de un producto es igual al producto de los límites. lim f x g x lim f x lim g x x a
x a
x a
6. El límite de un cociente es igual al cociente de los límites. lim x a
f x f x lim x a , siempre que lim g x 0 x a g x lim g x x a
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7. El límite de la potencia de una función es igual a la potencia del límite de la función:
lim f x lim f x , n n
x a
8.
x a
n
El límite de la raíz enésima de una función es igual a la raíz enésima del límite de la función. lim n f x n lim f x , n , (si n es par, entonces, lim f x 0 ). x a
x a
x a
Límites infinitos Si una función f x crece o decrece sin cota cuando x tiende a un valor a , entonces, se dice que lim f x no existe. xa
Para notar que el límite de una función f x crece sin cota, cuando x tiende a un valor
a , se escribe lim f x x a
De igual manera, si el límite de una función f x decrece sin cota, cuando x tiende a un valor a , se escribe lim f x x a
Límites en el infinito: En los límites infinitos se presenta un caso especial, en la cual la función f x crece o decrece sin cota. Otro caso especial en el estudio de los límites se presenta cuando la variable x crece o decrece sin cota. Teniendo en cuenta estas variaciones, se pueden plantear los siguientes límites: lim f x L
x
lim f x L
x
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Estos límites se llaman límites en el infinito.
Cuando se calculan límites en el infinito se presentan dos casos: k 0 y x x n
a) Caso 1. límites de la forma lim
k 0 siempre y cuando x n esté x x n lim
definido. b) Caso 2. Límites en el infinito de una función racional. reciben el nombre de límites en el infinito. Para calcular el límite de estas funciones, se divide el numerador y el denominador de la función entre la potencia de mayor grado.
Los límites de funciones racionales para los cuales se presenta la indeterminación
A partir de este proceso se presentan tres casos:
P x , si el grado de Px es mayor que el grado de Qx . x Q x P x lim 0 , si el grado de Px es menor que el grado de Qx . x Q x
lim
lim
x
P x m , si el grado de Px es igual al grado de Qx , siendo m y n los Q x n
coeficientes de los términos de mayor grado de Px y Qx , respectivamente.
Continuidad Se dice que una funcion es continua en a si y solo si se satidafcen las siguientes condiciones: i. ii. iii.
existe existe
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Si una o más de estas tres condiciones no se cumplen en a, entonces se dice que esta función es discontinua en a. Una función f x es continua en un intervalo abierto a, b , si f x es continua en todos los puntos del intervalo a, b .
Una función f x es continua en un intervalo cerrado a, b si: 1. 2.
f x es continua en el intervalo abierto a, b lim f x f a y lim f x f b
x a
x b
Ejemplo 4. Sea f la función definida por
Verifiquemos su continuidad. (i) , por la forma como está definida la función. (ii) (iii) Las condiciones (i) y (ii) se satisfacen, pero la condición (iii) no se cumple. Por lo tanto, la función f es discontinua en 1.
Ejemplo 5. Sea f la función definida por Veamos que está definida y además cumple con la definición de continuidad. (i)
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Como esta función no satisface la condición (i), se dice que f es discontinua en 2. Con lo cual la discontinuidad es esencial por que no existe. Este caso se llama discontinuidad infinita. Nota La función n es continua en el número si contenga a y si para cualquier
esta bien definida en algún intervalo abierto que existe tal que
Ejemplo 6. Determinar los números en los que la siguiente función es continua:
Solución: tomemos la función
tal que
y
Como h es una función polinomica, es continua en todo número real que tomemos. Pero g es continua solo para cualquier valor real positivo, en consecuencia de esto f es continua para cada valor x real, tal que , esto se da cuando , esto es . Por tanto f es continua en el intervalo abierto (-3,3). ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD -
Taller de Ejercicios
-
Evaluación Unidad.
RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE Computador Acceso a internet
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BIBLIOGRAFÍA
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