DERIVADAS - UNIDAD IV

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UNIDAD 4 DERIVADAS Estoy bien, estudio bien

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DERIVADAS

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Con el desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante conozca y aplique los conceptos básicos referentes a las derivadas, creando conciencia de la importancia que en la actualidad tiene este concepto en las matemáticas y en la vida cotidiana.

OBJETIVOS – PROBLEMAS

Manejar, entender y aplicar la noción de derivada en distintos campos de la vida cotidiana.

EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA

¿Cuál es el concepto de Derivada? ¿Cómo puede aportar la Derivada en la vida cotidiana?

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REFERENTES TEÓRICOS DERIVADA Y SUS APLICACIONES

En 1604, en la cumbre de su carrera científica, Galileo llegó a la conclusión de que para un movimiento rectilíneo en el que la velocidad aumenta proporcionalmente a la distancia recorrida, la ley del movimiento debía ser precisamente aquella que él había descubierto en la investigación de la caída de los cuerpos. Entre 1695 y 1700.Ninguno de los números mensuales de las actas Eruditorum de Leipzig se publicó sin artículos de Leibniz, de los hermanos Bernoulli o del Marqués L`Hôpital que trataban, con notación ligeramente distintas de la de hoy día en uso, problemas más variados de cálculo diferencial cálculo integral y del cálculo de variaciones. Así en el espacio de casi precisamente un siglo el cálculo infinitesimal o como se le suele llamar ahora en ingles “Calculus”, el instrumento de calcular por excelencia, fue forjado; y casi tres siglos de uso constante no han agotado este instrumento incomparable.

“NICHOLAS BOURBAKI”

Si bien el concepto de función es fundamental, que es importante el uso de los límites y la continuidad y que el estudio de las cotas superiores es esencial, todo lo que hemos visto hasta ahora es un preparación para las ideas brillantes que vienen en adelante y que son el arma fundamental del cálculo infinitesimal, definiremos primero las definiciones matemáticas precisa y discutiremos su significado en términos de problemas matemáticos PRINCIPIO GEOMETRICO DE LA DERIVADA:

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Recordemos inicialmente que: La recta secante toca la curva en dos puntos La recta tangente toca la curva en un punto Euclides: En sus estudios geométricos, este sabio de la antigüedad, consideraba la tangente como la recta que tocaba a una curva circular en un punto. El problema era que se limitaba a círculos y no consideraba otro tipo de curvas.

La tangente a un círculo en un punto dado, se construye definiendo un punto P sobre la curva, así se forma el segmento OP, entonces la recta perpendicular al segmento OP, se le llama recta tangente a la curva en el punto P.

Arquímedes: Otro de los sabios de la antigüedad que se intereso por determinar .Como se puede obtener la pendiente de una recta tangente de una curva en un punto dado? Los intentos fueron parciales.

En la edad media con la aparición de la Geometría analítica, cuyo gestor Renato Descartes (1.596 – 1.659) se pudo obtener la tangente de cierta curva como la parábola y la elipse, pero dichos métodos fueron muy limitados y vagos como para poder aplicarlos en forma general. La solución dada inicialmente se atribuye a Leibniz, quien trabajo en la determinación de la recta tangente de una curva en un punto determinado.

El proceso que vamos a analizar se centra en determinar la pendiente de la recta tangente en un punto dado de cualquier curva que es la grafica de la función y = f(x), la grafica siguiente nos ilustra dicho análisis.

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Como se observa en la grafica, se presenta una recta secante que pasa por los puntos P y Q. Para hallar la recta tangente, hacemos que el punto P quede fijo y el punto Q se desplace por la curva hasta llegar a P. Cuando P y Q coinciden, se obtiene la recta tangente en el punto P. Para que esto ocurra, x se va reduciendo; tendiendo a cero.

Por la definición dependiente: Según la grafica donde obtenemos que

y

,

y

, de

, así para obtener la pendiente en el punto P, se debe hacer que x → 0 y aplicar el límite al cociente, por lo que obtenemos que la pendiente de la recta en un punto de una curva es:

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Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta tangente de la curva , en el punto P (5, 31) Solución: Para hallar la pendiente solo se requiere calcular m, lo cual se puede hacer aplicando la expresión dada anteriormente:

, luego como

, entonces

pendiente de la recta tangente de la curva

, es decir que la , en el punto P (5, 31) es 10.

PRINCIPIO FÍSICO DE LA DERIVADA: Desde épocas antiguas, los científicos se han preocupado por analizar la naturaleza y específicamente el movimiento. Por ejemplo Keppler se preocupo por el movimiento de los planetas. Galileo y Newton, se preocuparon por el movimiento de los cuerpos. Todos ellos tuvieron que ver con el concepto de la Velocidad.

Inicialmente se trabajaba lo que se denomina la velocidad promedio, que se determina conociendo dos puntos de la distancia y el tiempo en recorrer dicha distancia O Nuestra situación se centra en determinar la velocidad en un instante dado; es decir, cuando el cambio en el tiempo sea lo más cercano posible a cero.

La grafica nos ilustra que cuando h (cambio del tiempo) se hace muy pequeño, los dos puntos se acercan de tal manera que coinciden y así se obtiene la velocidad en un punto determinado, lo que se conoce como la velocidad instantánea. El término h es análogo a x en el análisis de la pendiente

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Así la velocidad instantánea será:

Donde:

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Ejemplo: Un objeto cae libremente por efecto de la gravedad, la función que determina el movimiento está dada por: ¿Cual será la velocidad a los 3 seg Del inicio de la caída?

Solución:

, luego cuando han transcurrido 3 seg la velocidad en ese instante es

DEFINICIÓN: La función es derivable en a si

En este caso el límite se designa por y recibe el nombre de derivada de en a (Decimos también que es derivable si es derivable en a para todo a en el dominio de .

Nótese que el símbolo hace referencia a una notación funcional donde para cualquier función designamos por como la función cuyo dominio es el conjunto de todos los números tales que es derivable en y cuyo valor tal numero es

La funcion

recibe el nombre de derivada de

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De acuerdo a nuestra definición de derivada podemos decir que: Se define la tangente a la grafica de en como la recta que pasa por

y

tiene como pendiente . Esto quiere decir que la tangente en solo esta definida si es diferenciable en .

Se define la velocidad instantanea de una particula en que se mueve a lo largo de una curva como la derivada de la funcion s en el punto , esto es . La derivada de en se puede denotar con cualquiera de las siguientes expresiones

DEFINICION: La función f(x) es diferenciable en c (a, b), si f’(c) existe; además, y = f(x) es diferenciable en el intervalo (a, b), siempre y cuando f(x) sea diferenciable en todos los puntos del intervalo dado.

TEOREMA: Si es diferenciable en un punto a, entonces DEMOSTRACION:

Esto es

es continua en a

y por lo tanto

Observación: El reciproco de la anterior definición NO siempre se cumple; es decir, si una función es continua NO necesariamente es derivable.

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EJEMPLO: Verificar si la función siguiente manera

es continúa y derivable en

siendo

definida de la

Solución: Recordemos que para que una función siguientes condiciones

sea continua en un punto

se deben cumplir las

1. La existencia de 2.

3.

1° paso: se verifican las tres condiciones de continuidad esto es 

existe debido a que condición (1) de continuidad

es decir cumple la



Entonces cumple la condición 2 de continuidad 

Así que cumple la condición 3 de continuidad.

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2° paso: Ahora se verifica la condición de derivada en un intervalo cercano a 2 por la derecha y por la izquierda, si el resultado es igual por los caminos podemos decir que la función es derivable en ese punto, de lo contrario afirmaremos que la función no es derivable en ese punto. Esto es Deben ser iguales

Por lo tanto Por lo anterior, podemos concluir que la función en el punto .

es continua, pero no diferenciable

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PROPIEDADES DE LA DERIVADA En esta sección mostraremos una serie de propiedades que nos permitirán calcular la derivada de algunas funciones sin tener que emplear la definición

NOMBRE DERIVADA DE UNA CONSTANTE DERIVADA DE UNA POTENCIA DERIVADA DE UNA COSNTANTE POR UNA FUNCIÓN DERIVADA DE UNA SUMA O UNA DIFERENCIA

FORMA GENERAL Si entonces donde k es una constante Si entonces

DERIVADAD DE UN PRODUCTO

Sí

DERIVADA DE UN COCIENTE

Sí

Sí

Sí

EJEMPLO , , entonces entonces

entonces

, entonces

entonces

entonces

entonces

entonces Entonces

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DERIVADA DE UNA FUNCION COMPUESTA( Regla de la cadena)

Sí

entonces

DERIVADA DE FUNCIONES TRASCENDENTALES: NOMBRE Derivada de la función

FORMA GENERAL Si ; entonces

Derivada de la función

Si

; entonces

Derivada de la función

Si

; entonces

Derivada de la función

Si

; entonces

Derivada de la función

Si

; entonces

Derivada de la función

Si

; entonces

NOMBRE Derivada de la función

FORMA GENERAL Si entonces

Derivada de la función

Si

entonces

Derivada de la función

Si

entonces

entonces

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Derivada de la función

Si

Derivada de la función

Si

entonces

Derivada de la función

Si

entonces

entonces

EJERCICIOS RESUELTOS: 1. Emplear la definición de derivada para calcular la derivada de la función: A. B. SOLUCIÓN: A.

B.

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2. Calcular la derivada de las siguientes funciones empleando las propiedades de la derivada: A.

D.

B.

E.

C. SOLUCION:

F.

A. Sabemos que

B. Si

, por lo tanto si

, entonces

C. Si

D. Si

E. Si

F. Si

, entonces

, entonces

, entonces

, entonces

, entonces

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DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLICITA:

Toda función se puede expresar de dos formas: - Explícitamente y = f(x); es decir, la variable independiente se puede separar de la variable dependiente.

- Implícitamente f(x, y) = k, en este caso la variable independiente NO se puede separa fácilmente o en caso extremos no se puede separa de la variable dependiente.

Las funciones que se presentan a continuación están dadas implícitamente:

Para resolver derivadas de funciones implícitas, se propone a continuación los pasos que se consideran pertinentes realizar: 1. Definir en la ecuación la función y la variable, para saber respecto a que variable se debe derivar.

2. Derivar los dos miembros de la ecuación, teniendo en cuenta todos los principios de la derivación.

3. Agrupar los términos que contengan el diferencial común de dicho diferencial.

4. Despejar de la expresión obtenida 5. Finalmente se obtiene la derivada

, para obtener el factor

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EJEMPLOS: 1. Calcular

de la función

Solución: Tenemos inicialmente que:

(Aplicando la regla de la cadena) (Aplicando la regla de la cadena y la derivada de un producto)

Así tenemos que si

, entonces al derivar implícitamente

se obtiene que

, luego al despejar

obtenemos que

, por tanto 2. Calcular la derivada con respecto a la variable x de la función Solución:

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Así obtenemos al derivar implícitamente la función que

, luego

obtenemos

De donde finalmente tenemos que

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD - Taller de Ejercicios - Evaluación Unidad.

RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE Computador Acceso a internet

, de donde

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BIBLIOGRAFIA Larson, R; Hostetler, R. Calculo. España. Mcgraw-HILL 1992. Demana, F; Waits, B; Foley,G; Kennedy, D Precálculo, Grafico, Numérico, Algebraico. México Pearson Educación 7°Ediccion 2007. Fonseca, L. Espiral 11° Serie De Matemática. Grupo Editorial Norma. Bogotá 2006. Mesa, M. Símbolos 11° Matemática Aplicada; Editorial Voluntad; Bogotá 2006 Cifuentes, J. Hipertexto- Matemática 11°;Editorial Santillana 2010. Leithold, Luis. El Cálculo. 7° Edición México: Oxford 1998 Ayres, Frank. Mendelson, Elliot. Calculo Diferencial. Mcgrawhill: Bogotá 2001 Leithold, Luis. Matemáticas Previas Al Cálculo : Funciones, Gráficas Y Geometría Analítica, Con Ejercicios Para Calculadora Y Graficadora. 3a.Ed. -- México : Oxford University Press,, 1998 Stewart, James. Cálculo Conceptos Y Contextos, Bogotá Thomson,1999 Edwards C.H Jr Y .Penney, David, Cálculo Diferencial E Integral -- 4a.Ed Pearson Educación 1997 Warner, Stefan. Cálculo Aplicado, Thomson Learning, México 2002, México Purcell, Edwin J, Cálculo Con Geometría Analítica. Prentice Hall México 1993 Hughes, Deborah. Calculo. Compañía Editorial Continental, S. A México 2000. Larson, Ron, Hostetler, P. Cálculo. Mcgraw-Hill México 2006 Swokowski, Earl. Cálculo Con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana,, México 1989. Allendoerfer, Carl. Oakley Cletus. Matemáticas Universitarias. Mcgraw-Hill Latinoamericana S.A, Bogota 1990, C2000. Escudero T. Rafael. Matemáticas Y Su Relación Con Las Ciencias De La Vida. Ediciones Universidad Del Norte Uninorte, Bogotá 2000

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