Números Reales - Unidad I

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UNIDAD 1 NÚMEROS REALES Estoy bien, estudio bien


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NÚMEROS REALES

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD Con el desarrollo de esta unidad se busca que el estudiante se familiarice con los conceptos básicos que permiten introducirlo en los conceptos de los números reales..

OBJETIVOS – PROBLEMAS ¿Qué son los números reales?

EVALUACIÒN DIAGNÒSTICA

Concepto de Números ¿Cómo están estructurados los números reales? ¿Cuáles son las características de los números reales?


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REFERENTES TEÓRICOS NUMEROS REALES.

Hablar de los números reales en general es habar de un campo denso y completo en el cual nos vemos sumergidos de manera común, al momento de sacar una cuenta, verificar cuantos artículos se vendieron al hablar de cambios de temperaturas, presión entre otras. Para dar un concepto de un número real primeros comenzaremos definiendo algunos conjuntos que hacen parte de los números reales y que a la vez son de vital importancia en la construcción de nuestra teoría. Numero natural Un número natural simbolizado por , se define como el conjunto { } tal que entre dos números naturales consecutivo no puede existir otro numero natural. En la ecuación podemos notar que a es un numero natural el cual es igual a 36.

Pero el avance de la matemática en el transcurrir de los tiempos se llegó al siguiente ( ), de antemano interrogante en donde tendrá solución la ecuación esta ecuación no tiene solución no tiene solución en el campo de los números naturales por ende, se introduce un nuevo conjunto el cual definiremos a continuación. Numero Entero El conjunto de los números enteros simbolizado por se define por como el conjunto { }. Aquí observamos por extensión dado por que la ecuación ( ) tiene solución en los enteros es decir el valor de a es -12. Aquí notamos que la ciencia encontró solución a la primera situación pero ahora el interrogante seria el siguiente para que conjunto tiene solución la ecuación ( ), ya que esta ecuación no pertenece a los números enteros y mucho menos a los


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numero naturales, entonces definiremos un conjunto en el cual la ecuación ( ) tenga solución Números Racionales El conjunto de los números racionales los cuales se simbolizan con la letra {

comprensión como

se define

} por tal razón la ecuación ( ) tiene

solución en este conjunto y es cuando

.

Nota. Recordemos algunas propiedades fundamentales de los números racionales 

Dos fracciones

La suma o resta de dos fracciones

son equivalentes cuando

.

esta dada por la siguiente propiedad

. Respectivamente. 

La multiplicación o división de dos fracciones Y

esta dada por

. Respectivamente.

Todo número racional puede ser expresado de dos formas mediante su expresión racional y mediante su expresión decimal. Veamos la forma de expresar un número racional de manera decimal, simplemente se divide el numerado con el denominador y se obtendrán cualquiera de los tres casos de números decimales siguientes.   

Exacta Tiene un numero finito de cifras decimales. Periódica pura la parte decimal se repite indefinidamente formando un periodo. Periódica mixta la parte decimal tiene una cifra que no se repite seguida por otra que se repite indefinidamente.


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Números Irracionales Hay números cuya expresión decimales no se ajusta a ningunas de las antes acá mencionadas, esto es que presentan infinitas cifras decimales no periódicas, lo cual nos permite deducir que soluciones de la forma , no se puede encontrar en √ ninguno de los conjuntos anteriormente mencionados, con lo cual se vio la necesidad de expresar el conjunto de los números irracionales. Luego podemos decir que el conjunto de los números irracionales denotado con la letra es el conjunto de los números que presentan infinitas cifras decimales no periódicas, tales como

√ .

A continuación daremos algunos criterios referentes a los números irracionales   

La suma de dos números irracionales da como resultado otro número irracional (Clausurativa con respecto a la suma). La suma de un número irracional con un número racional da como resultado un número irracional. Los números irracionales no son cerrado con la multiplicación ni la división. Esto es la multiplicación de dos números irracionales no es necesariamente un numero irracional

Números Reales El conjunto de los números reales simbolizado con se define como la unión que existe entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales esto es . También se definen los números reales como el conjunto de todos los valores que forman la recta numérica. Teniendo en cuenta este argumento podemos decir que un número real es mayor que un numero real si y solo si el número real se enuentra a la derecha del número real en la recta numérica. A continuación daremos algunas propiedades de los números reales En los números reales, hay unas operaciones definida con los signos reciben el nombre de suma y multiplicación respectivamente. Sean números reales cualesquiera, entonces se cumplen las siguientes propiedades

las cuales


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Suma     

Cerrada bajo la suma, es decir si La suma es conmutativa, esto es ( ) ( La suma es asociativa, eso es ) Existencia del único elemento neutro en la suma (0), ( ) ( ) Inverso aditivo (-a) .

Producto    

Cerrada bajo la multiplicación, El producto es conmutativo, ( ) ( El producto es asociativo, ) Existencia del único elemento neutro en la multiplicación (1),

Inverso aditivo en el producto excepto para cero ( )

. El producto es distributivo con respecto a la suma esto es

( )

( ) (

)

Luego de evidenciar estas propiedades fundamentales en los números , nos vemos en la necesidad de mostrar algunas propiedades que nos permitan mostrar el orden en este conjunto, por lo cual se mencionan algunas propiedades importantes de orden en los números reales. Orden       

Reflexiva, para cualquier se tiene que Antisimétrica, para cualquier , si Transitiva, , para cualquier , si para cualquier , si para cualquier si entonces para cualquier si entonces para cualquier , tales que si

.


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para cualquier

para cualquier

, tal que si

.

, entonces

Exponente Si

y

se tiene

  

((

))

 

(

( )

Si

)

entonces

(

)

, donde

.

Nota: si el exponente es un número racional no entero, entonces se considera un radical.

Logaritmo Cuando hablamos del logaritmo no estamos refiriendo a la operación opuesta a la exponencial la cual se define a continuación. Si tal que ) al número al cual hay que elevar entonces se llama logaritmo de b en base a ( la base para obtener el número b, esto es . Unas de las bases más utilizadas cuando se habla de la función logaritmo son las de base 10 y las de base de Euler, A continuación mostraremos algunas propiedades referentes al logaritmo. Para todo tal que siguientes propiedades   

entonces se cumplen las


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 

(

( )

)

Valor absoluto El valor absoluto de un número real

( )

se define como la función

{ Observemos que el valor absoluto de un número real siempre será mayor o igual a cero. Una de las propiedades más utilizada con el valor absoluto utilizando la condición de orden es la siguiente   

Si Si Si

se tiene que se tiene que se tiene que

. .

Ley de los signos Recordemos que la ley de los signos en los números reales únicamente es utilizada en el producto (multiplicación y división) lo cual nos dice que si al realizar una multiplicación o división de factores este presenta factores con signo negativo para todo , entonces el resultado de esta operación será negativo, de lo contrario el resultado es positivo.


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Ejemplos Ejemplo 1. En el siguiente cuadro diga en cuál de los subconjuntos de los números reales tiene solución las ecuaciones planteadas (

( )

( )

( )

( )

Las respuestas son las que aparecen en rojo Ecuación

En donde tiene solución

Explicación Porque Porque Porque

Porque

Porque

√ √

Porque Porque

En general si el resultado es positivo y es un número entero, entonces será un número real, y además será un número racional. Si es un numero positivo y este no es entero, pero se puede escribir de manera finita periódica entonces necesariamente es racional de lo contrario será un numero irracional. Si el resultado es un numero negativo automáticamente podemos afirmar que no es un numero natural, si además este número negativo tiene decimales podemos asumir que no es un numero entero, y si este número tiene decimales periódicos finitos entonces es un numero racional de lo contrario es decir si es un numero decimal infinito no periódico entonces es un numero irracional Ejemplo 2. Realizar las siguientes operaciones a.

b.

(

)

c. (

)

(

)


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Solución. a. Ahora aplicamos la propiedad de los números fraccionario esto es

b. (

)

lo primero que hay que realizar en esto ejercicios es comenzar las operaciones del paréntesis más interno hacia afuera esto es (

)

(

(

)

)

Ahora aplicamos la ley de los signos para así poder resolver la multiplicación de donde obtenemos (

(

)

)

(

)

(

)

c. (

)

(

)

Lo primero que se hace es resolver los que está dentro del paréntesis, observemos que aquí lo primero que se aplica es la ley de los signos lo demás queda igual (

)

(

)

(

)

(

)

.

Note que la ley de los signo es una de las propiedades más utilizadas para desarrollar operaciones en los números reales.


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Ejemplo 3. Ordenar de mayor a menor los siguientes números reales

Lo primero que hay que hacer es encontrar el mínimo común múltiplo entre los ( ) denominadores de las fracciones esto es así que lo que se hace es modificar la fracción a una homogénea esto es

Luego ordenando de mayor a menor seria

Ejemplo 4. Se desea saber cuánto pesa una mezcla de harina, polvo para hornear, azúcar, mantequilla para esto ante de mezclar estos ingrediente por separados y se obtuvieron estos resultados. Harina

polvo para hornear

mantequilla

s

; azúcar

;

Solución El problema se resume en aplicar una suma de fracciones para saber en general cuánto pesa esta mezcla esto es ( ) ( ) ( ) ( )

Aquí realizamos la suma agrupando de dos en dos esto es (

)

(

)


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Entonces la mezcla pesa

kilogramos.

Ejemplo 5. Encontrar el valor de x que satisface la ecuación

Solución a.

aquí lo que hacemos es aplicar logaritmo a ambos lados esto es

de donde

aquí comenzaremos aplicando a propiedad del logaritmo esto es entonces la igualdad inicial se e transforma en de donde se obtiene que

es decir

de donde

Ejemplo 6 Encontrar los valores de x que satisfagan los ejercicios siguientes a. Solución a.

aplicando la propiedad del valor absoluto se tienen dos casos


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del primero se obtiene que y del segundo obtenemos que por lo tanto la solución de la ecuación serán los números mayores que -2 y los números menores de -6. Aplicamos la propiedad de valor absoluto obtenemos que de donde se tienen que despejando x que es decir lo cual nos dice que la solución está dada por los x que son mayores o iguales a menos dos pero menores o iguales a ocho. para resolver esta inecuación primero debemos conocer cuál es el valor absoluto de los términos que me están delimitando la inecuación esto es ; así las cosas la ecuación queda replanteada de la siguiente manera 4 Esto es es decir la solución de la ecuación son todos los valores que son mayores o iguales a menos cinco pero que también son menores o igual a 6.

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD -

Taller de Ejercicios

-

Evaluación Unidad.

RECURSOS PARA EL APRENDIZAJE  Computador  Acceso a internet


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BIBLIOGRAFIA  Larson, R; Hostetler, R. Calculo. España. Mcgraw-HILL 1992.  Demana, F; Waits, B; Foley,G; Kennedy, D Precálculo, Grafico, Numérico, Algebraico. México Pearson Educación 7°Ediccion 2007.  Fonseca, L. Espiral 11° Serie De Matemática. Grupo Editorial Norma. Bogotá 2006 .  Mesa, M. Símbolos 11° Matemática Aplicada; Editorial Voluntad; Bogotá 2006  Cifuentes, J. Hipertexto- Matemática 11°;Editorial Santillana 2010.  Leithold, Luis. El Cálculo. 7° Edición México: Oxford 1998  Ayres, Frank. Mendelson, Elliot. Calculo Diferencial. Mcgrawhill: Bogotá 2001  Leithold, Luis. Matemáticas Previas Al Cálculo : Funciones, Gráficas Y Geometría Analítica, Con Ejercicios Para Calculadora Y Graficadora. 3a.Ed. -- México : Oxford University Press,, 1998  Stewart, James. Cálculo Conceptos Y Contextos, Bogotá Thomson,1999  Edwards C.H Jr Y .Penney, David, Cálculo Diferencial E Integral -- 4a.Ed Pearson Educación 1997  Warner, Stefan. Cálculo Aplicado, Thomson Learning, México 2002, México  Purcell, Edwin J, Cálculo Con Geometría Analítica. Prentice Hall México 1993  Hughes, Deborah. Calculo. Compañía Editorial Continental, S. A México 2000.  Larson, Ron, Hostetler, P. Cálculo. Mcgraw-Hill México 2006  Swokowski, Earl. Cálculo Con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericana,, México 1989.  Allendoerfer, Carl. Oakley Cletus. Matemáticas Universitarias. Mcgraw-Hill Latinoamericana S.A, Bogota 1990, C2000.


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 Escudero T. Rafael. Matemáticas Y Su Relación Con Las Ciencias De La Vida. Ediciones Universidad Del Norte Uninorte, Bogotá 2000  Pérez G, Javier. Calculo Diferencial e integral. Universidad de Granada. 2006.  Rondon , D Jorge. Calculo Diferencial. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. 2010.  Spivark, Michael. Cálculo Infinitesimal. Editorial Reverte S.A 1996. -


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