Les grands principes de l'actuariat by INFOPRO DIGITAL

L’actuariat s’est profondément transformé ces dernières années pour devenir une fonction centrale de l’entreprise d’assurance. Depuis l’entrée en vigueur de la directive Solvabilité 2 au 1er janvier 2016, les exigences prudentielles sont devenues la norme, bouleversant les repères construits au ﬁl des ans au proﬁt d’une approche économique de la mesure des risques s’appuyant sur une réglementation entièrement rénovée. Quels sont les principes de l’actuariat ? Quels domaines couvre-t-il ? Comment ceux qui n’en sont pas experts peuvent-ils comprendre ses rouages pour assurer une meilleure complémentarité des savoirs ? L’objectif de cette deuxième édition est toujours d’établir une passerelle entre les métiers, en rendant

la matière actuarielle accessible aux professionnels non spécialistes ainsi qu’aux étudiants en assurance. La recette est la même : pour l’assurance vie, l’assurance non-vie, la gestion actif passif et la maîtrise des risques, un langage simple, des références juridiques incorporées, des illustrations chiffrées à plusieurs niveaux de lecture. Mais elle dispose désormais d’un recul concret de 3 ans sur l’application de la directive Solvabilité 2, avec une mise à jour des articles des différents codes et des exigences de reporting, au 1er janvier 2019. Avec la révolution du Big data, le métier de l’actuaire évolue. Ce nouvel ouvrage ouvre donc une porte à la data science, à ses principes et son langage, pour qu’elle puisse être abordée par le public.

Edith Bocquaire, économiste et actuaire, bénéﬁcie d’une expérience de plus de 30 ans à des postes de direction en assurances de personnes. Consultante et membre du jury pour l’admission de nouveaux actuaires à l’Institut des Actuaires, elle a enseigné en MBA et Master à l’Ecole nationale d’assurances (ENASS) et dispensé des formations en entreprises. Elle est notamment spécialisée en protection sociale, assurance santé et dépendance. Marion Le Camus - Paradis est actuaire. Forte d’une expertise en ALM assurance, elle s’est consacrée à l’enseignement de l’actuariat pour former de futurs spécialistes au Master 218 de l’Université Paris Dauphine ainsi qu’au Master et au MBA de l’Ecole nationale d’assurances. Reconnue pour sa pédagogie, elle a également animé de nombreuses formations professionnelles. Elle travaille aujourd’hui au sein de la fonction actuarielle d’un grand bancassureur.

2e édition

RÉFÉRENCES

LES GRANDS PRINCIPES DE L’ACTUARIAT LES GRANDS PRINCIPES DE L’ACTUARIAT

2e édition

FONDAMENTAUX

LES

RÉFÉRENCES

LES GRANDS PRINCIPES DE L’ACTUARIAT

Vie, Non-vie Gestion actif passif Maîtrise des risques

Préface de Pierre Petauton

Édith Bocquaire Marion Le Camus - Paradis

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9 782354 743215

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SOMMAIRE Préface �� 5 Remerciements �� 7 Introduction �� 9 Avant-propos �� 11 Sommaire ��13

Première partie L’ACTUARIAT VIE Chapitre I – L es principes de tarification...................................................................................................................................... 21 Chapitre II – L es principes de provisionnement.........................................................................................................................85 Chapitre III – L es principes de partage des risques .............................................................................................................. 165

Deuxième partie L’ACTUARIAT NON VIE Chapitre I – L es principes de tarification................................................................................................................................... 203 Chapitre II – L es principes de provisionnement...................................................................................................................... 255 Chapitre III – L es principes de partage des risques................................................................................................................ 295

Troisième partie LA GESTION ACTIF PASSIF ET LA MAÎTRISE DES RISQUES Chapitre I – L es principes de la gestion actif passif...............................................................................................................331 Chapitre II – L es principes de maîtrise des risques sous Solvabilité 1 - Les Normes IFRS..................................... 365 Chapitre III – L es principes de maîtrise des risques sous Solvabilité 2.......................................................................... 385

Quatrième partie QUEL ACTUARIAT POUR DEMAIN ? Chapitre unique................................................................................................................................................................................... 447

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Les grands principes de l'actuariat ANNEXES Annexe I – Glossaire........................................................................................................................................................................... 459 Annexe II – Principaux symboles actuariels en assurance vie.......................................................................................... 469 Annexe III – T ables de mortalité TF-TH 00-02, TGF-TGH 05 (extraits)........................................................................... 473 Annexe IV – Principales lois de probabilité en assurance non vie et estimateurs.....................................................481 Annexe V – L ois de maintien en incapacité-invalidité – Arrêté du 24 décembre 2010......................................... 485 Annexe VI – Principales formules ou lois en actif passif et finance.............................................................................. 493 Annexe VII – Courbes des taux zéro coupon (IA) et sans risque (EIOPA) 31/12/2017-chocs sur les taux prévus par les articles 166 -167 du règlement délégué.................................................. 497 Bibliographie/Sitographie................................................................................................................................................................ 503 Table des matières............................................................................................................................................................................... 505 Index alphabétique..............................................................................................................................................................................521

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Les principes de provisionnement

II – R ente viagère sans ou avec réversion – Cas des contrats se dénouant en rente Exemple : Soit une rente viagère de 10 000 € chaque année pour un assuré d’âge 60 ans et son conjoint de 55 ans à la souscription, avec un taux technique de contrat de 1,25 %.

A – Provision mathématique de rente viagère individuelle La tarification pure de la rente viagère R payable d’avance, pour un assuré d’âge x, au taux technique i, est calculée au chapitre 1 sur les principes de tarification. Soit dans l’exemple :

La provision mathématique se réduit à l’engagement de l’assureur puisque l’assuré ne paie plus de primes. Les frais de commercialisation a sont précomptés à la mise en place de la rente, mais l’assureur doit garder chaque année le montant g lui permettant de financer ses frais de règlement. Aussi, la provision mathématique est-elle calculée systématiquement à la prime d’inventaire :

(VAP = valeur actuelle probable)

- Par exemple, à la fin de la 4e année, la provision mathématique est égale au produit de la rente, soit 10 000  €, par l’annuité viagère de paiement d’avance à l’âge 64 ans, soit 24,5714, majorée du chargement supplémentaire de 3 %, soit 10 000 € * 24,8714 * 1,03 = 253 086 €. - Si la rente de 10 000 € est payable à terme échu, l’annuité viagère à 64 ans devient 23,5714 €, soit 24,2785, après majoration de 3 %. La provision s’établit alors à 242 785 €. Lorsque la rente viagère est fractionnée, le calcul est le même sauf à appliquer à l’annuité les coefficients de majorations approchés à l’annuité à terme échu non fractionnée :

Par exemple, si la rente est payable trimestriellement d’avance, k = 4, l’annuité pure devient 23,5714 + 5/8 = 24,1964, soit après majoration 24,9223. La provision s’établit alors à 249 223 €. www.reglementation-assurance.com

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L’actuariat vie

(PM = provisions mathématiques)

B – Provision mathématique de rente viagère à terme échu ou d’avance, réversible Le principe de calcul de la provision est le même pour les rentes réversibles où il s’agit de reconstituer l’annuité viagère restante et de la majorer du chargement de gestion g. Comme dans l’exemple abordé au chapitre 1 sur les principes de tarification, il convient d’utiliser les deux tables correspondant aux générations de naissance 1955 et 1960. Les annuités individuelles ax et ay sont déterminées à partir des nombres de commutation correspondant à ces tables. L’annuité viagère portant sur deux têtes d’âge x et y qui doivent être vivantes simultanément se calcule ainsi :

L’annuité réversible est le total des trois annuités précédentes pondérées par les valeurs de h et de γ = 1-2h. Elle est calculée à l’âge atteint lors du calcul de la provision, puis majorée du coefficient g. Si la rente viagère est revalorisée d’un certain pourcentage, la provision mathématique est automatiquement augmentée dans les mêmes proportions.

III – Temporaire décès – cas d’un contrat lié à un emprunt Dans le cadre d’un emprunt, immobilier par exemple, l’assurance en cas de décès est demandée par la banque. Le montant assuré en cas de décès est, à la souscription, égal au montant emprunté puis il décroît au fur et à mesure des remboursements effectués par l’assuré. La tarification peut suivre le niveau du capital de la période pour l’âge atteint, auquel cas il n’y a pas de provision à constituer. Mais si la prime est nivelée, une partie devra être provisionnée pour faire face au risque sur toute la période. Exemple : Dans l’exemple vu au chapitre 1 sur les principes de tarification, le capital de 100 000 € est emprunté au taux de 3 % et remboursé par annuités constantes pendant 8 ans à terme échu. Le capital décroît comme ci-après :

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Les principes de provisionnement

Le calcul de prime nivelée conduit à un montant de prime pure de 180,89 € par an. Mais lorsque cette prime est inférieure au coût du risque dès la 5e année, l’assureur n’a pas la certitude que l’assuré ira au bout du contrat. Le taux technique est nul.

L’assureur est en perte les 5 premières années. Il ne peut rien provisionner. Il ne pourrait rattraper sa perte que si l’assuré paie sa prime pendant 8 ans. Or, celui-ci n’y a plus intérêt. Aussi, cette tarification nivelée ne peut être proposée sans risque.

IV – Vie entière – cas du contrat « obsèques » L’exemple du contrat obsèques est représentatif du calcul des provisions mathématiques d’un contrat vie entière. Le contrat peut être rachetable ou mis en valeur de réduction parce que la prime comporte une composante épargne.

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L’actuariat vie Exemple :

Avec la table TH 00-02, introduite dans le tableur, et un chargement de gestion de 0,4 % du capital par année, d’acquisition de 10 % et d’anti-sélection de 10 %,

La provision mathématique d’inventaire se déroule à partir des éléments de tarification à l’origine :

(VAP = valeur actuelle probable)

Par exemple, à la fin de la cinquième année, la provision mathématique est égale à l’engagement d’inventaire de l’assureur 8 585,13 €, soit l’engagement pur de 8 201,82 € auquel on rajoute les frais de gestion, égaux à 0,4 %  * 10 000 * 9,5828 = 383,31 €, dont on déduit le produit de la prime d’inventaire soit 689 € par l’annuité de paiement résiduelle 9,5828 soit 6 603,84 €. La valeur de réduction se déduit de la provision mathématique. Si, à la fin de la 5e année, l’assuré ne paie plus ses primes, il peut continuer à être assuré pour un capital réduit égal à :

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Les principes de provisionnement

(PM = provisions mathématiques)

Section IV – É tudes de cas I – É pargne individuelle en euros et unités de compte A – Cas d’un contrat multi-supports en vie universelle Dans un contrat exprimé en unités de compte, le cours de celles-ci peut varier à la hausse comme à la baisse. C’est l’assuré et non l’assureur qui supporte le risque de placement, sauf s’il investit sur le fonds en euros proposé la plupart du temps comme support sur ce type de contrats. En cas de décès, le montant de la provision mathématique peut se retrouver inférieur au cumul des versements nets investis sur le contrat. Le principe de la vie universelle consiste à garantir au souscripteur que le capital versé en cas de décès ne peut être inférieur à une certaine somme qui peut être : - le cumul des versements nets : c’est la garantie plancher ; - le cumul des versements nets cliqueté au plus haut de l’épargne du contrat : c’est la garantie cliquet ; - le cumul des versements nets indexé à un taux d’évolution annuel : c’est la garantie indexée ; - un montant forfaitaire. La garantie décès peut être tarifée de deux manières : - tarification a priori : l’assureur fixe un taux de frais sur encours lui permettant de couvrir ce risque (il supporte alors le risque de décès et le risque de volatilité des unités de compte). Cette tarification induit un provisionnement assez complexe. Un cas est présenté au troisième chapitre de la partie actuariat vie ; - tarification a posteriori, à la prime de risque : chaque période (généralement le mois), l’assureur calcule une prime naturelle, sur la base du capital sous risque. Le capital sous risque est la différence positive entre la garantie décès et la provision mathématique du contrat. Dans le cas d’une garantie décès plancher, la garantie décès correspond au cumul des versements nets diminué lors des rachats dans les mêmes proportions que l’épargne. L’application au capital sous risque du taux de prime mensuel donne la prime correspondant à la garantie décès. Cette prime est directement prélevée sur la PM du contrat. Ce fonctionnement suppose un contrôle régulier (en général mensuel) du capital sous risque (CSR).

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L’actuariat vie Exemple de la garantie plancher : Soit un multi-supports aux caractéristiques suivantes :

Le chargement mensuel équivalent est égal (1 - 0,96 % / 12 )12 – 1.

(TMG = taux moyen garanti ; PB = participation aux bénéfices)

À la souscription, l’assuré répartit son versement sur les supports comme indiqué ci-dessus. Ces supports connaissent les évolutions suivantes :

Les mouvements sur le contrat sont les suivants :

Pour le calcul, l’hypothèse est qu’il n’y a pas de frais d’arbitrage et que le prélèvement mensuel des frais en fin de mois s’effectue au taux de 0,96 % / 12 = 0,08 %. Une participation aux bénéfices complémentaire est attribuée le dernier jour de l’année.

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Les principes de provisionnement

La provision mathématique (PM) est déroulée. Lorsqu’elle est inférieure aux versements diminués, lors des rachats, dans les mêmes proportions que l’épargne, la garantie plancher décès intervient. Elle augmente avec les versements de 02/ 2007 mais diminue en 08/ 2009 avec le rachat partiel. Pour calculer les prélèvements, les qx sont calculés à partir de la table de mortalité, TH 00-02 puis mensualisés :

Par exemple à 41 ans, le qx mensuel est égal à (1+ 0,2642 % )1/1 2 – 1 = 0,02199 %. Les versements nets de frais de 2005 et 2007 sont ventilés entre les différents fonds.

Par exemple, le 30/11/2005 les 98 000 € : 10 0 000 € * (1 –  2 %) sont ventilés à 50 % sur le fonds en euros, soit 49 000  €, et à 25 % sur les unités de compte (UC), soit 24 500 € chacune. Compte tenu de la valeur de l’UC A, le versement sur l’UC A permet d’acheter 24 500 / 221,59 = 110,56456 UC A. Le versement sur l’UC B permet d’acheter 24 500 / 551,57 = 44,41866 UC B. De la même manière, le rachat de 2009 équivaut à des sorties sur les fonds.

Le rachat du 25/08/2009 est réparti à parts égales sur les  fonds : - 10 000 € sur le fonds en euros, -10 000 € / 225,01 € = - 44,4424692 UC A, -10 000 € / 715,39 € = -13,9783894 UC B.

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L’actuariat vie

Les arbitrages de 2006 et 2008 du fonds en euros vers l’UC A créent de nouvelles unités de compte.

Par exemple, l’arbitrage de 25 000 € du 25/02/2006 crée 25 000 / / 237,16 = 105,414065 UC A nouvelles, par débit du fonds euros de 25 000 €. L’arbitrage du 25/08/2008 crée 10 000 / / 235,49 = 42,4646482 UC A nouvelles, par débit du fonds euros de 10 000 €. La provision mathématique est déroulée ensuite avec les entrées et sorties, la valorisation des unités de compte au cours des SICAV, et la progression de l’épargne sur le fonds en euros au taux minimum garanti (complété en fin d’année par la participation aux bénéfices).

L’épargne évolue constamment. Dès le 01/12/2005, l’épargne s’est valorisée sur les UC : sur l’UC A elle devient 110,56456 * 223,71 € = 24 734,40 € ; sur l’UC B elle devient 44,41866 * 562,59€ = 24 989,49 €. La revalorisation sur le fonds en euros s’effectue de la façon suivante. Par exemple sur 49 000 € investis sur le fonds en euros, le taux minimal garanti rapporte  1 % par an, soit sur une journée 49 000 € * ((1,01)1/365 – 1) = 1,34 €. L’épargne totale s’élève à 49 001,34 € + 24 734,40 € + 24 989,49 € = 98 725,23 €. Le montant de la garantie plancher GDCP est égal au versement net investi, soit 98 000 €. Le déroulé de l’épargne sur les périodes ci-dessus est fonction des versements (ici, pas de versements), des rachats nets (ici, pas de rachats), des arbitrages (ici, l’arbitrage du 25/02/2006 ne modifie pas l’épargne totale mais la répartition par supports), à la revalorisation de l’épargne dans la période ainsi qu’aux prélèvements des frais sur encours. Si le prélèvement du coût de la garantie plancher existe (ici pas de prélèvement puisque la provision mathématique est supérieure à la garantie plancher), il est déduit également. En fin de mois sont prélevés les frais sur encours mensuels (ici, pas de prélèvement au 1/12/2005) et en fin d’année est ajoutée la participation aux bénéfices. Le mécanisme est explicité ci-après :

Au 31/12/2005, la revalorisation sur le fonds en euros avec le taux minimum garanti est 49 000 € 31/365 – 1) = 41,43 €. Avec le taux de rendement brut de 3 %, la revalorisation globale est de * ((1,01) 49 000 * ((1,03)31/365 – 1) = 123,17 €. La participation aux bénéfices brute complémentaire au TMG s’élève donc à 123,17 € – 41,43 € = 81,74 €. En fin de période, les frais sont prélevés sur la provision mathématique et la participation aux bénéfices. Pour la calculer, il faut refaire le calcul précédent avec un taux de rendement net égal à (1,03) * (1 – 0,0096) – 1 = 2,0112 %.

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Les principes de provisionnement La revalorisation globale nette est de 49 000 €* ((1,020112 %)31/365 – 1) = 82,94 €. Les frais sur encours prélevés sur la provision mathématique et la participation aux bénéfices s’élèvent donc à 123,17 € - 82,94 € = 40,23 €. NB : Le même mécanisme s’applique aux unités de compte A et B pour lesquelles les frais sur encours se traduisent par la diminution d’un nombre d’unités de compte égal à (0,9558 %/12) * nombre d’UC détenues. Il convient de calculer le niveau de garantie décès à couvrir. Dans le cas d’une garantie « plancher » simple, tant que l’épargne est supérieure au capital décès garanti, aucun prélèvement n’est effectué. Pour la garantie plancher simple, d’après le graphique présenté au début de l’exemple, l’épargne devient inférieure aux versements nets, de septembre 2008 à juillet 2009. En août 2009, un rachat partiel de 30 000 € diminue le niveau de la garantie plancher. En vie universelle, le coût du décès étant prélevé sur la PM, il augmente le capital sous risque et donc le coût du décès prélevé. Soit : CDC = coût du décès  GDC = garantie décès  CSR = capital sous risque = Max (0, GDC – PM avant coût du décès)  CSR ’= CSR après coût du décès Si GDC > PM CDC = qx * CSR’ CDC = qx * (CSR + CDC) CDC (1 – qx) = qx * CSR CDC = CSR * qx /(1 – qx) C’est pourquoi, il faut appliquer qx / (1 – qx) au capital sous risque et non qx.

(PM = provision mathématique ; CDC = coût du décès ; GDCP = garantie décès plancher ; CSR = capital sous risque)

Il faut donc calculer un capital sous risque soit 124 000 € – 123 717,52  € = 282,48 €, sur lequel est appliqué le taux de prime qx / ( 1– qx). Ainsi, la prime prélevée au 30/09/2008 est égale à 0,02707 % / (1 – 0,02707 %) * 282,48 € = 0,0765 €. Elle est répartie proportionnellement à l’épargne détenue sur chaque support.

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L’actuariat vie Les calculs de coûts de garanties plancher sur les contrats en unités de compte nécessitent une grande précision dans les calculs. Au 25/08/2009, la garantie plancher égale au total des versements, soit 124 000 €, est diminuée du « rachat partiel dans les mêmes proportions que l’épargne ». La PM totale étant de 129 390 €, la nouvelle garantie plancher devient : 124 000 € – (30  000 / 129 390 * 124 000) = 95 249,75 €. Cette formule revient à rechercher à quelle part des versements nets correspond le rachat partiel. Exemple de la garantie décès cliquet : Si l’assuré opte pour la garantie décès cliquet, la garantie décès est égale à la plus haute valeur atteinte par la provision mathématique. Le mécanisme présenté précédemment est applicable, mais le capital sous risque se recalcule différemment et le prélèvement est beaucoup plus fréquent.

(TMG = taux moyen garanti ; PB = participation aux bénéfices)

B – Cas d’un contrat euro croissance Le fonds euro croissance doit apporter une garantie sur les versements, qui ne peut être inférieure à 100 % au terme d’une détention minimale de 8 ans à compter de la date du premier versement. Toute sortie avant la date d’échéance se fait sur la base de la valorisation de la provision de diversification. Schématiquement, la provision technique de diversification peut être constituée de deux façons à partir de 90 % du dernier indice TECn publié par la Banque de France. La première option consiste à actualiser sur cette base chaque engagement de l’assuré correspondant à l’échéance de sa garantie. La seconde option est calculée à partir de la duration moyenne du passif, correspondant à la duration des engagements au passif de la comptabilité auxiliaire d’affectation. Dans cette méthode, il convient de justifier en permanence à partir d’un calcul, client par client, de la duration moyenne. La première solution est la plus respectueuse des volontés du client, mais elle nécessite un outil informatique adapté, la seconde plus simple de mise en œuvre, mutualise la cohorte. Ces deux techniques permettent de ventiler la provision mathématique, exprimée en euros, et la provision de diversification,

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Les principes de provisionnement exprimée en nombre de parts, dont la valeur est fluctuante. Le nombre de parts, quant à lui, est recalculé en fonction des versements. L’objectif de la loi « Pacte » présentée par le gouvernement en 2018 est de simplifier drastiquement l’assurance-vie eurocroissance, et de la rendre plus attractive. En ce sens, une mesure très importante figure dans le projet de loi : la mutualisation des valeurs de rachat pour l’ensemble des souscripteurs d’un support eurocroissance. Cela se traduira par une performance commune à tous les clients pour un fonds eurocroissance. D’autres mesures sont prévues comme : - le délai de transfert d’actifs des fonds en euros vers l’euro-croissance serait prolongé au-delà de fin 2018 ; - permettre d’intégrer des fonds eurocroissance aux contrats d’épargne-retraite (sans gestion de double cantonnement). Exemple : Cet exemple tient compte des évolutions contenues dans la loi « Pacte ». En particulier, dans un souci de simplification et de lisibilité, elle vise à avoir un même rendement annuel pour chaque détenteur d’un contrat, quelle que soit sa date de souscription. C’est le cas dans cet exemple simplifié. Soit un portefeuille composé de 3 contrats souscrits. Les caractéristiques de chaque contrat sont :

Les conditions du contrat et garanties minimum de l’assureur (en cas de mauvaise performance des actifs) sont les suivantes : - la valeur liquidative doit être au minimum de 5. En cas de mauvaise performance des actifs, l’assureur doit quand même maintenir le niveau de la valeur liquidative à un minimum de 5 ; - le taux d’engagement sur la durée du contrat : 100 %. Un taux d’engagement à 100% signifie une garantie sur les versements de 100 %. Un versement de 100 sur 10 ans avec un taux d’engagement de 100 % signifie que l’assureur s’engage à servir au moins 100 x 100 % = 100 au bout des 10 ans ; - le taux de couverture de l’actif : 75 %. Le taux de couverture est le pourcentage d’actif de couverture par rapport à la valeur boursière totale des actifs. Par exemple, un taux de couverture de 75 % veut dire que l’assureur achète pour 100 x 75 % = 75 d’actifs de couverture. L’assureur achète des actifs pour une valeur de 100 (correspondant à la prime versée par l’assuré). L’assureur investit dans 2 catégories d’actifs : - des actifs de couverture (typiquement, des obligations de durée 10 ans permettant de s’assurer de la garantie des 100 promis dans 10 ans). Par hypothèse, cet actif rapporte 2 % par an ; - des actifs dynamiques (typiquement, des actions permettant de servir un rendement intéressant à l’assuré). Par hypothèse, cet actif rapporte 5 % par an.

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LES GRANDS PRINCIPES DE L’ACTUARIAT LES GRANDS PRINCIPES DE L’ACTUARIAT

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FONDAMENTAUX

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RÉFÉRENCES

LES GRANDS PRINCIPES DE L’ACTUARIAT

Vie, Non-vie Gestion actif passif Maîtrise des risques

Préface de Pierre Petauton

Édith Bocquaire Marion Le Camus - Paradis

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