Matematica Basica

MATEMÁTICA BÁSICA ECUACIONES POLINÓMICAS

ECUACIONES

Mat. ANDRÉS YNOÑÁN JIMÉNEZ -1-

PRESENTACIÓN

El curso de Matemática Básica pertenece al plan de estudios de la escuela de Ingeniería Civil de la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo, estos apuntes se han redactado para complementar las clases de la primera parte de la asignatura mencionada, de manera que se logre profundizar en los aspectos teóricos; para el mejor aprovechamiento de las clases, se recomienda dar una lectura al tema correspondiente antes de las mismas.

Deseándoles éxitos en su carrera de futuros ingenieros, quedo a vuestra disposición para cualquier crítica, sugerencia, comentario que deseen hacer sobre este material.

EL AUTOR

-2-

ÍNDICE PRESENTACIÓN………………………………………………………………………..2 ÍNDICE…………………………………………………………………………………….3 ÍNDICE DE FIGURAS …………………………………………………………………..5 LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS………………………………………….6 INTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………7 CAPÍTULO I: EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES 1.1.

Los enteros y los números racionales………………………………………...8

1.2.

Los Números Reales………………….………………………………………...9

1.3.

Orden…………………………………….……………………………………….10

1.4.

Expresiones decimales………………………………………………………...11

1.5.

Valor Absoluto…………………………..……………………………………….12

1.6.

EJERCICIOS PROPUESTOS……….………………………………………...14

CAPÍTULO II: NÚMEROS COMPLEJOS 2.1.

Operaciones Racionales con Números Complejos………………………….17

2.2.

Representación Geométrica…………………………………………………….20

2.3.

Operaciones con Números Complejos en Forma Polar……………………..22

2.4.

Extracción de raíces de un número Complejo……………………………...24

2.5.

Raíces n-ésimas de la unidad………………………………………………...28

2.6.

EJERCICIOS PROPUESTOS…………………………………………………..30

-3-

CAPÍTULO III: ECUACIONES POLINÓMICAS 3.1.

Ecuaciones…………………..…………………………………………………….34

3.2. Ecuación Lineal………………..…………………………………………………..35 3.3. Ecuación cuadrática……….………………………………………………………36 3.4. Polinomios…………….…………………………………………………………….39 3.5. Raíces Racionales de un polinomio con coeficientes enteros……………….42 3.6 EJERCICIOS PROPUESTOS…………………………………………………….51

REFERENCIAS…………………………………………………………………….........59

-4-

ÍNDICE DE FIGURAS

1. Diagrama de Argand……………………………………………………………..17 2. Conjugado de un número complejo……………………………………………19 3. Coordenadas polares de un número complejo……………………………….20 4. Raíces cúbicas de la unidad…………………………………………………….28

-5-

LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS

: y : o

 : entonces  : si, y sólo si

 : para todo  : existe algún !: existe un único

 : es equivalente a  : es subconjunto de  : intersección  : unión  : por lo tanto : valor absoluto, ó modulo.

i   1 : unidad imaginaria Re(z ) : parte real de z Im(z ) : parte imaginaria de z

R : Números reales.

C : Números complejos

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INTRODUCCIÓN En la formación en ingeniería, la Matemática desempeña un rol capital, y el sostén de la estructura de conocimientos a adquirir lo constituye la Matemática Básica.

Si bien el presente trabajo está basado en las clases que el autor impartió durante los semestres 2010-I y 2011-I en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo, se ha profundizado en algunos temas (que por falta de tiempo no se llegan a cubrir) con el propósito de fundamentar más la teoría y que sirvan de fuente de consulta no sólo durante el semestre en curso sino para ulteriores necesidades; ya que a lo largo de su carrera, los estudiantes siempre encuentran algunos vacíos.

El tema central del trabajo son las Ecuaciones Polinómicas, cuya importancia estriba en que toda ecuación algebraica puede transformarse en una de éstas. Lo mismo se aplica para las inecuaciones que pueden reducirse a comparar una expresión algebraica con cero. Pues bien el problema consiste en hallar los ceros de un polinomio con coeficientes racionales; aunque en muchos problemas, los coeficientes son obtenidos por medio de mediciones, por tanto tendrán que aproximarse a números racionales.

Se ha pretendido que la teoría presentada sea suficiente para abordar este problema y se ha ilustrado con numerosos ejemplos tratando de sistematizar el procedimiento, combinando en un mismo problema hasta tres recursos para hacerlo más eficiente; a ello contribuyen la Regla de Descartes y los límites o cotas de las raíces para restringir a un intervalo la localización de esas raíces, descartando las que caen fuera de esos límites y reduciendo el número de ensayos para comprobar si son o no raíces racionales.

El material consta de tres capítulos. El primero trata del conjunto de los números reales dotado con una estructura de campo y una relación de orden. El segundo, del conjunto de los números complejos, base para el estudio de las ecuaciones Polinómicas, enfatizando en la extracción de raíces y analizando las raíces n-ésimas de la unidad. El tercer capítulo trata de las ecuaciones Polinómicas, donde el Teorema de las raíces racionales no proporciona las “otras raíces”; en realidad, este problema no es sencillo, se incluye la Regla de Descartes y la acotación de raíces, que son temas no muy tratados, pero que no son restrictivos respecto a la naturaleza de los coeficientes y a las raíces del polinomio, y valen, por tanto, para analizar cualesquiera de éstos.

-7-

CAPÍTULO I EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

Lord Kelvin afirmaba: “Cuando aquello de lo que se está hablando puede medirse y expresarse con números, se sabe algo acerca del mismo; pero cuando no puede medirse, cuando no puede expresarse en números, el conocimiento es de calidad pobre e insatisfactorio.”

Con esta frase Kelvin quiso destacar que los sistemas numéricos son herramientas indispensables para comprender el mundo en que vivimos.

Se podría preguntar si contamos con un sistema numérico adecuado para satisfacer las demandas del mundo donde nos desarrollamos.

Los conjuntos N de los números naturales, Z (del alemán zahlen) de los números enteros y Q de los números racionales, proporcionan medios para el establecimiento de modelos en muchas áreas de razonamiento cuantitativo como el contar, comparar, ordenar, medir codificar, etc. Si tenemos en cuenta que N  Z  Q, podría pensarse que los números racionales son lo último en sistemas numéricos, sin embargo son insuficientes para medir todas las longitudes, por lo que hay que introducir los números irracionales I. La unión de Q e I forma el conjunto de los números reales que se denota con R, es decir, R=Q  I. El conjunto R de los números reales representa un paso importante en el desarrollo de los conceptos y métodos cuantitativos, siendo lo suficientemente rico para satisfacer nuestras necesidades así como para describir y realizar razonamientos acerca de procesos de aproximación.

1.1.

Los enteros y los números racionales.

Los números más simples son los números naturales

1, 2, 3, 4, 5,6,...

Con ellos podemos contar nuestros libros, nuestros amigos, nuestro dinero; si agregamos sus inversos aditivos y el cero, obtenemos los enteros: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

Cuando tratamos de medir longitudes, pesos o voltajes, los enteros son inadecuados. Están demasiado espaciados para dar la suficiente precisión. Llegamos a considerar los cocientes (razones) de los enteros, como números, tales como

4  6 19 17 15  14 , , , , , 5 7 4 2 3 1

-8-

m Los números que se pueden escribir en la forma

n , donde m y n son enteros y n  0 , se

llaman números racionales. ¿Sirven los números racionales para medir todas las longitudes? No. Este sorprendente hecho fue descubierto por los antiguos griegos, demostraron que a pesar de que

2 mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen longitudes

unitarias, no puede escribirse como cociente de dos enteros. Por tanto, (no racional). También lo son

1.2.

2 es un irracional

3, 5 , 3 2 ,  .

Los Números Reales Considérese al conjunto de todos los números (racionales e irracionales) que pueden medir longitudes, junto con sus inversos aditivos y el cero. Esos números se llaman números reales.

Las cuatro operaciones aritméticas: Dados dos números reales x , y podemos

sumarlos o multiplicarlos para obtener dos nuevos números reales x  y y x. y .La adición y la multiplicación tienen las siguientes propiedades de campo.

PROPIEDADES DE CAMPO x y  yx xy  yx 1. Conmutativas.

2. Asociativas. x  ( y  z )  ( x  y)  z x( yz )  ( xy ) z 3. Distributiva. x( y  z)  xy  xz 4. Elementos Neutros. Hay dos números distintos, 0 y 1, que satisfacen las identidades x0  x x.1  x y 5. Inversos. Cada número tiene un inverso aditivo (opuesto),

x  (  x)  0

Además, cada número x , excepto cero, tiene un inverso

 x , que satisface

multiplicativo

(recíproco),

1

x , que satisface x.x 1  1 .

La sustracción y la división se definen por:

x  y  x  ( y )

y

x  x. y 1 y

-9-

PRINCIPIO DE SUSTITUCIÓN : “En cualquier proposición concerniente a los números reales, todo número real puede ser reemplazado por su igual sin alterar el valor veritativo de tal proposición” Como ejemplo, para los casos de adición y multiplicación se tiene Si a=b y c=d, entonces a+c=b+d Si a=b y c=d, entonces ac=bd TEOREMA: Sean a y b números reales, entonces:

ab  0  a  0  b  0

1.3.

Orden. Los números reales distintos de cero se separan en forma adecuada en dos conjuntos disjuntos –Los números reales positivos y los números reales negativos.

Esto permite introducir la relación de orden < (“es menor que”) mediante

x  y  y  x es positivo

Se acepta que

x  y y y  x significan lo mismo.

Entonces, si –3<-1, también –1>-3.

La correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos sobre una recta puede ser utilizada para ilustrar geométricamente la relación de orden <. La relación

x  y establece que al graficar en una recta, el número x se encuentra a la izquierda del número y.

PROPIEDADES DE ORDEN 1. Tricotomía. Si x y y son números, se cumple una y sólo una de las siguientes propiedades: x y o x y o x y 2. Transitividad. x  y y y  z  x  z x  y  xz  yz 3. Aditiva.

4. Multiplicativa. Si z  0 y x  y  xz  yz Si z  0 y x  y  xz  yz Obsérvese que R, provisto de una relación de igualdad (=); dos operaciones: adición y multiplicación; y una relación de orden ya no es un simple conjunto, sino lo que se conoce como el sistema de los números reales.

- 10 -

1.4.

Expresiones decimales.

Todo número racional admite representación decimal que puede obtenerse mediante el algoritmo de la división. Por ejemplo

3  0,375 8 5  1,6666...

3 13  1.181818...

11 También los números irracionales pueden expresarse como decimales. Por ejemplo

2  1,41421356...

3  1,7320508...

  3,14159265...

La representación decimal de un número racional o bien es finita o se repite en ciclos regulares hasta infinito. Un decimal finito puede ser considerado como uno en el que se repiten ceros como en

3  0,375  0,375000...

8

Por tanto, todo número racional puede escribirse como un decimal periódico. Es un hecho notable que el inverso también es cierto. Todo decimal periódico representa un número racional. Esto es obvio en el caso de un decimal finito (por ejemplo,

2135 2,135= 1000 ).

EJEMPLO. Los decimales periódicos son racionales. Demuestre que

x  0,167167167...

y

y  0,2434343...

Representan sendos números racionales.

Solución: Restamos x de 1000x para después despejar x.

1000x=167,167167... x=

0,167167...

999x=167

x

167 999

- 11 -

En forma similar,

100y = 24,3434343... y = 0,2434343...

99y = 24,1 24,1 241 y  99 990 m En general, el primer paso consiste en multiplicar un decimal periódico z por 10 si los decimales que se repiten en cada ciclo constan de m dígitos.

Las representaciones decimales de números irracionales no se repiten en ciclos.

Recíprocamente, un decimal no periódico debe representar un número irracional. Por ejemplo, 0,101001000100001...

2,010011000111...

1,20878877888777... representan números irracionales.

R Números racionales

Q

(decimales periódicos)

1.5.

Números irracionales

I

(decimales no periódicos)

Valor Absoluto.

Definición Sea a  R . El valor absoluto de un número real a se denota por a y se define

a aa0 a 0a0 a  a  a  0 Ejemplos: 1.

2.

3.

12  12  4  (4)  4 1  2  (1  2 )  2  1

, pues 1  2  0 - 12 -

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO 1.

ab  a b

2.

a a  b b

3.

ab  a  b

Desigualdad triangular

Interpretación Geométrica Una de las mejores formas de pensar en el valor absoluto consiste en hacerlo como distancia (no dirigida). En particular, el origen. En forma semejante,

xa

es la distancia entre a y

es la distancia entre x y a .

4  4

-4

a

4 4

0

4

3  (2)   2  3  5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

xa  a x

a

x

Definición La distancia entre dos puntos P y Q cuyas coordenadas son a y b respectivamente se define por

d ( P, Q)  a  b EJEMPLOS - 13 -

1. Determina la distancia entre los puntos P y Q cuyas coordenadas son –2 y 5 respectivamente.

d ( P, Q)   2  5   7  7 Calcula d (Q, P) y compara el resultado anterior.

2. ¿Cuáles son los puntos que se encuentran a 3 unidades del punto Q cuya coordenada es 5?

Sea x la coordenada de los puntos que verifica tal condición.

Se sabe que

d ( P, Q)  x  5

y esta distancia es de 3 unidades, es decir

x 5  3

Por definición de valor absoluto esta ecuación admite dos posibilidades:

x 5  3 x 8

ó

x  5  3 x2

Gráficamente se trata de encontrar los puntos que distan 3 unidades del punto Q. 3

x

3

5

x

Es fácil identificar cuáles son esos números, 2 y 8 son los únicos números que distan 3 unidades del número 5.

3. Determina el conjunto de puntos que equidistan del punto 3 en menos de 2 unidades.

Solución: Sean x las coordenadas de los puntos que satisfacen la condición dada,

d ( P, Q)  2  x  3  2  2  x  3  2  1  x  5 Los números reales que verifican tal condición se encuentran en el intervalo 1;5 .

1.6.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Simplifique a)  43(6  13)  2(5  9)

1 2

1  1 1 

b)       3  5 2  3 5 

3 0,625 4 2 d) 0,572(5 ) 11 c)

- 14 -

5 7 0,98 1 3 7   2 4 8 1 3 7   2 4 8 2 1 3 2 4 3 3 2 4 2  3 16 1

e)

f)

g)

h) i)



5   1     2 2 2

0,5  0,666...  0,0555... 9

10 3,111...  2,0666...  1  1  1  1   1  k) 1  1  1  1  ...1    3  4  5  6   n  2 72  50  8 l) j)



2

2. ¿Cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles irracionales?

3.

 

4 0,375



1 2

Es la suma de dos números irracionales, necesariamente irracional?

4. Cambie los decimales periódicos por una razón entre enteros  0,123123123...  0,217171717...  2,56565656...  0,39999999...  3,2272727...

5. Encuentre un número racional entre y

17 37

52 .

111

6. ¿Cuál es el cociente de dividir la fracción decimal periódica 1,0111..., entre la fracción decimal periódica 0,0909...?

7. Halle el valor de



1 3  3 2 5 2 



5 2



2 1 2 1

2









2

9. Determina el valor de 0,916  3,6 10. Determina las coordenadas de los puntos que se encuentran a 5 unidades del punto Q cuya coordenada es –3.

11. Encuentra el conjunto de todos los puntos que distan a lo más en 2 unidades del punto Q cuya coordenada es 5 12. Encuentra el conjunto de todos los puntos que distan por lo menos 2 unidades del punto Q cuya coordenada es 5 13. Las edades de los alumnos de una clase oscilan entre 16 años 2 meses y 18 años 7meses. Determina un intervalo en el que estén contenidas estas edades (en meses); asimismo encuentra un intervalo en el que estén las edades de sus padres, suponiendo que éstos tienen el doble de meses de vida que sus hijos.

8. Halla lo que le falta a la mitad de del triple de los 4/7 de la octava parte de 28/3 para ser igual al doble de las 2/5 partes de la cuarta parte de 35.

- 15 -

CAPÍTULO II NÚMEROS COMPLEJOS Las extensiones graduales de los sistemas de números permiten realizar las operaciones racionales involucrando números y también la nueva operación de extraer la raíz de un número positivo. Sin embargo no todas las operaciones pueden llevarse a cabo en el dominio de los números reales. Por ejemplo es imposible extraer la raíz cuadrada de un número negativo.

Mientras que la ecuación x 2  1  0 es resuelta en el dominio de Q: x  1 , y la ecuación x 2  2  0 es resuelta en el dominio de R: x   2 , la ecuación x 2  1  0 no tiene raíces reales. Así, ecuaciones aparentemente similares de grado dos,

x 2  1  0, y x 2  1  0 resultan ser extremadamente diferentes en cuanto a sus propiedades: una tiene dos soluciones, la otra no tiene solución! Esta situación puede ser rectificada introduciendo un nuevo tipo de los así llamados números complejos que extienden el conjunto de los números reales (así como el conjunto de números racionales extiende el conjunto de los enteros, etcétera).

Introduciendo el símbolo i , llamado unidad imaginaria, que satisface la ecuación

x2 1  0 : i 2  1  0 o i 2  1 Considerando el conjunto de todos los binomios de la forma

a  bi donde a, b son números reales arbitrarios, conviniendo en llevar a cabo las operaciones de adición, sustracción y multiplicación de estos binomios de acuerdo con las reglas ordinarias del álgebra con la única condición adicional:

i.i  i 2  1





El conjunto C  a  bi / a, b  R, i 2  1 es llamado el conjunto de los números complejos. Con respecto al número complejo z  a  bi , el número a se llama la parte real de z y se denota a=Re(z), y el número b se llama la parte imaginaria de z y se denota por b=Im( z ). El número complejo a  bi puede también ser representado por el par ordenado (a, b) y ploteado como un punto en un plano (llamado plano de Argand), a éste número complejo se le llama el afijo del punto. Como cada punto del plano se determina completamente por el radio vector de este punto, a cada número complejo le corresponde un vector determinado, situado en el plano y que va del origen al punto que corresponde al número complejo. De esta manera, los números complejos pueden representarse tanto por puntos como por vectores. Así el número complejo i  0  1.i es identificado con el punto (0,1) y con el vector unitario en la

16

dirección del eje Y. En el plano de Argand el eje X es llamado eje real y el eje Y, eje imaginario.

Dos números complejos a  bi y

c  di son iguales si

a  c y b  d . Para los

números complejos no existen los conceptos de “mayor” y ”menor” .

Los números reales son considerados como un caso especial de los números complejos. Esto significa que si la parte imaginaria de un número complejo es 0, en lugar de z  a  0i se escribe z  a y no se distinguirá entre este número complejo y el número real a . En particular, un número complejo es igual a cero si y sólo sí sus partes real e imaginaria son iguales a cero; a  bi  0  a  0  b  0 Un número complejo en el que la parte real es cero puede también ser escrito como z  bi y es llamado un número imaginario puro. El término “número imaginario” es ordinariamente usado para señalar que el número complejo z  a  bi no es real, esto es, que tiene una parte imaginaria no nula b  0 .

Fig. 1. Plano de Argand 2.1)

Operaciones Racionales con Números Complejos.

La suma y la diferencia de dos números complejos se definen sumando o sustraendo sus partes real e imaginarias

(a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d )i Por ejemplo: (1  i)  (4  7i)  (1  4)  (1  7)i  5  6i El producto de números complejos es definido de modo que las leyes conmutativas y distributivas usuales se verifican:

(a  bi)(c  di)  a(c  di )  (bi)(c  di)  ac  adi  bci  bdi 2  (ac  bd )  (ad  bc)i

17

EJEMPLO 1.

(1  3i )(2  5i )  (1)(2  5i)  3i (2  5i )  2  5i  6i  15(1)  13  11i El producto de dos o más factores puede ser encontrado por multiplicación sucesiva.

Las potencias naturales de un número complejo, por ejemplo (a  bi) 2 , (a  bi) 3 y en general (a  bi ) n pueden ser encontradas por medio de fórmulas para el cuadrado de una suma, el cubo de una suma y, generalmente, por el teorema del binomio. Es entonces conveniente hacer uso de la regla general para elevar la unidad imaginaria i a cualquier potencia entera positiva. Puesto que:

i 2  1, i 3  i, i 4  1 Y después:

i 4nk  i k

EJEMPLO: Encuentre (a) i 98 ,

(b) i 259 .

(a) 98=4(24)+2, entonces i 98  i 2  1 (b) 259=4(64)+3, y así i 259  i 3  i EJEMPLO: Calcular (2  3i) 3 .

Usando la fórmula para el cubo de una suma:

(2  3i) 3  8  36i  54i 2  27i 3  8  36i  54  27i  46  9i .

_

Complejo conjugado Del número z  a  bi , es z  a  bi 

Obviamente z  z El producto de dos números complejos conjugados es un número real no negativo: _

z z  (a  bi)(a  bi)  a 2  b 2 _

El número

z z  a 2  b2  z es llamado el módulo del número complejo a  bi . El

módulo de un número complejo es su distancia al origen.

18

La división de números complejos es muy similar a la racionalización del denominador de una expresión racional. Para encontrar el cociente de dos números complejos se multiplica numerador y denominador (  0 ) por el conjugado del denominador. El _

_

_

_

z zw zw 1 w w procedimiento siempre funciona:  _  2 , w  0 . En particular  _  2 w ww w w ww w EJEMPLO 2.

 1  3i 2  5i  1  3i  1  3i 2  5i 13  11i 13 11  .    i 2  5i 2  5i 2  5i 22  52 29 29 _

La interpretación geométrica del complejo conjugado es mostrado en la figura 2: z es la reflexión de z con respecto al eje real.

Figura 2. Conjugado de un número complejo PROPIEDADES DE LA CONJUGADA: _

1.

zz

2. z  w  z  w 3. zw  z w

19

z z   w w

4. 

En conclusión, todas las operaciones racionales, excepto la división por cero puede ser llevada a cabo con números complejos y el resultado es siempre un número complejo. Por lo tanto los números complejos forman un campo numérico llamado el campo de los números complejos. La diferencia esencial que presenta con relación al campo de los números reales consiste en que no es ordenado. En efecto, si fuera ordenado, con i  0 , caben dos posibilidades: i  0 ó i  0 .

En el primer caso, i.i  0.i  i 2  0  1  0 , lo que es absurdo.

En el segundo caso,  i  0  i.i  0.i  i 2  0  1  0 , lo que también es absurdo.

2.2)

Representación Geométrica.

Para obtener el vector que representa la suma o la diferencia de dos o varios números se deben sumar o restar los vectores que representan estos números según las reglas de las operaciones con los vectores como la regla del paralelogramo o de la poligonal.

FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA. La expresión de un número complejo z  a  bi se llama forma algebraica o binómica; si en lugar de las coordenadas cartesianas del punto que representa al número complejo (a, b) , se introducen sus coordenadas polares (r , ) con r  0 , se tienen las relaciones a  r cos  , b  rsen ; como en la figura 3.

Figura 3. Coordenadas polares de un número complejo Por tanto z  a  bi  r cos   (rsen )i , así se puede escribir cualquier número complejo en la forma:

z  r (cos   isen ) donde

r  z  a 2  b2

NOTACIONES ALTERNATIVAS:

y

tan  

b a

r (cos   isen )  rcis  r  rei

20

El ángulo  es llamado el argumento de z y se escribe   arg( z ) . Note que arg( z ) no es único; cualesquiera dos argumentos de z difieren en un entero múltiplo de 2 .

NOTA. Para dos números conjugados se cumple que son simétricos con respecto al eje real, sus módulos son iguales y sus argumentos se diferencian en el signo.

EJEMPLO 3. Escribir los siguientes números en forma polar (o trigonométrica). (a)

z 1  i

(b)

w  3 i

(c)

3i

(d) -10

SOLUCIÓN: (a)

r  z  12  12  2 y tan  1 , así se puede tomar    4 .

 

Por lo tanto la forma polar es z  2  cos

(b)

r  w  3 1  2 se toma  

y

 4

 isen

  4

tan   1 / 3 . Puesto que w está en el cuarto cuadrante,

 6     w  2 cos  isen  6 6  

(c)

r  3 , puesto que el afijo está en el eje Y,    / 2 .

   3i  3 cos  isen  2 2  (d)

r  10 , por estar en la parte negativa del eje X,     10  10cos   isen  EJEMPLO 4: Escribir las expresiones binomias y trigonométricas de los seis afijos que ocupan los vértices de un exágono regular de lado 4. El primer vértice coincide con el origen y el primer lado coincide con el eje real.

21

SOLUCIÓN: Se sugiere hacer un diagrama del exágono, los seis afijos son: 1. 0+0i

0(cos0°+isen0°)=0cis0°

2. 4+0i

4(cos0°+isen0°)

3. 6  2 3i

4 3 (cos 30  isen30)

4. 4  4 3i

8(cos 60  isen60) = 860

5.

0  4 3i

6.  2  2 3i 2.3)

4 3 (cos 90  isen90) 4(cos120  isen120)

Operaciones con Números Complejos en Forma Polar

La forma polar de los números complejos da una idea para multiplicar y dividir.

Sean:

z1  r1 (cos 1  isen1 )

z2  r2 (cos  2  isen 2 )

dos números complejos

escritos en forma polar. Entonces

z1 z2  r1r2 (cos 1  isen1 )(cos  2  isen 2 )

 r1r2 (cos 1 cos  2  sen1sen 2 )  i( sen1 cos  2  cos 1sen 2 )  r1r2 cos(1   2 )  isen (1   2 )

Esta fórmula dice que para multiplicar dos números complejos se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Geométricamente el vector que representa el producto z1 z 2 se obtiene haciendo girar el primer vector un ángulo igual al argumento del segundo, en sentido anti horario, y alargándolo después por el módulo del segundo vector. En particular, al multiplicar un número z por i , el vector que representa al número z gira un ángulo  / 2 sin alterar su longitud.

Un argumento similar muestra que para dividir dos números complejos se dividen los módulos y se restan los argumentos. Geométricamente el vector que 22

representa el cociente z1 / z2 , se obtiene haciendo girar al vector que representa al número z1 el ángulo arg( z2 ) en sentido horario, contrayéndolo después z 2 veces.

z1 r1  cos(1   2 )  isen (1   2 ) z2 r2

z2  0

En particular, tomando z1  1 y z2  z , (y por lo tanto 1  0 y  2   ), se tiene:

z  r (cos   isen ) 

1 1  (cos   isen ) , que se ilustra en la figura. z r

EJEMPLO 5: Encuentre el producto de los números 1  i y SOLUCIÓN: Se tiene:

3  i en forma polar.

   1  i  2  cos  isen  4 4      3  i  2 cos  isen  6 6  

        (1  i )( 3  i )  2 2  cos    isen     4 6   4 6

     2 2  cos  isen  12 12  

23

El uso iterado de la fórmula para el producto muestra como calcular potencias de un número complejo.

Si

z  r (cos   isen )

entonces

z 2  r 2 (cos 2  isen 2 )

y

z 3  zz 2  r 3 (cos 3  isen3 )

TEOREMA.(de De Moivre´s) Si z  r (cos   isen ) y n es un entero positivo, entonces:

z n  r (cos  isen )  r n (cos n  isenn ) n

Para elevar a la enésima potencia de un número complejo, se eleva a la enésima potencia el módulo y se multiplica el argumento por n . En notación compacta:

z  rcis   z n  r n cis n EJEMPLO 6:

3(cos 43  isen43)5  243(cos 215  isen215)  243cis 215 .

n n El teorema también es válido para potencias enteras negativas: z  r cis(-n )

Si el número estuviera dado en su forma algebraica o binómica, se escribe primero en su forma polar y se eleva a la potencia necesaria usando De Moivre´s. Esta relación es muy importante su efectividad en la resolución de diversos problemas.

EJEMPLO 7: Hallar cos 2 y sen2 en términos de sen y cos SOLUCIÓN. Por De Moivre´s: (cos  isen ) 2  cos 2  isen2 Desarrollando el primer miembro:

(cos  isen ) 2  cos 2   2icossen  i 2 sen 2  cos 2   sen 2  i(2cossen ) .

Igualando las partes reales e imaginarias:

cos 2  cos 2   sen 2

2.4)

y sen2  2sencos

Extracción de raíces de un número Complejo.

El teorema de De Moivre´s puede ser usado para encontrar las n raíces de un número complejo. Una n-raíz del número complejo z es un número complejo

w tal que wn  z .

Escribiendo estos dos números en forma polar como:

w  s(cos   isen )

y

z  r (cos   isen ) 24

Usando De Moivre´s:

s n (cos n  isenn )  r (cos   isen ) s n  r  s  r 1/ n cos n  cos 

y

senn  sen

Puesto que el seno y el coseno tienen periodo 2 se sigue que:

n    2k   

  2k n

    2k     2k w  r 1/ n cos   isen  n   n 

Así

  

Puesto que esta expresión da diferentes valores de w para k=0, 1, 2, …, n-1, se tiene lo siguiente: RAÍCES DE UN NÚMERO COMPLEJO: Sea

z  r (cos   isen ) y sea n un

entero positivo. Entonces z tiene las n raíces distintas:

    2k     2k wk  r1/ n cos   isen  n   n 

  , 

k=0, 1, 2, …, n-1

Note que cada una de las n raíces de z tiene módulo wk  r

1/ n

. Así todas las

n raíces de z caen en una circunferencia de radio r 1/ n en el plano complejo.

También, puesto que los argumentos de cada raíz enésima sucesiva excede al argumento de la raíz previa por 2 / n , las n raíces de z están igualmente espaciadas sobre esta circunferencia.

EJEMPLOS: 1. Encontrar todos los valores de las raíces (a)

4

 16 ,

(b)

3

27 .

Solución. (a) En forma polar el número complejo -16 es:

 16  16(cos   isen ) Usando la fórmula con n=4:

  2k   2k   wk  4  16  4 16  cos  isen , 4 4  

para k=0, 1, 2 y 3:

25

   w0  2 cos  isen   2 (1  i ) 4 4  3 3   w1  2 cos  isen   2 (1  i ) 4 4   5 5   w2  2 cos  isen    2 (1  i ) 4 4   7 7   w3  2 cos  isen   2 (1  i ) 4 4   (b)

27  27(cos 0  isen0) , con n=3 la fórmula da:

2k 2k   wk  3 27  3 cos  isen  3 3   w0  3  1 w1  3    2  1 w2  3    2

3  i 2  3  i 2 

2. Encuentre las seis raíces de -8 y grafíquelas SOLUCIÓN:  8  8(cos   isen ) , aplicando la fórmula con n=6

  2k   2k   wk  81/ 6  cos  isen  , para k=0,1,2,3,4,5 se tiene: 6 6    3 1     w0  81/ 6  cos  isen   2   i  6 6 2 2       w1  81/ 6  cos  isen   2i 2 2   5 5  3 1   w2  81/ 6  cos  isen  i    2   6 6    2 2   7 7   w3  81/ 6  cos  isen   2   6 6    3 3   w4  81/ 6  cos  isen    2i 2 2    11 11   w5  81/ 6  cos  isen   2  6 6   

3 1   i 2 2 

3 1   i 2 2  26

3. Calcular (a )4  8  8 3i ,

(b)

3

27i

SOLUCION: (a) calculando r  (8) 2  (8 3 ) 2  16 ,

tan   Así:

8 3 4  3,   IIIC    240  8 3

 8  8 3i  16cos 240  isen 240 ,

entonces para n=4,

k=0,1,2,3.

240  360k 240  360k   wk  161/ 4  cos  isen   2cos(60  90k )  isen (60  90k ) 4 4  

w0  2cos 60  isen 60  1  3i

w1  2cos 150  isen150   3  i

w2  2cos 240  isen 240  1  3i w3  2cos 330  isen330  3  i (b)

wk  271/ 3 (cos

27i  27(cos 90  isen90) , con n=3, y haciendo variar k=0, 1, 2.

90  360k 90  360k  isen )  3cos(30  120k )  isen(30  120k ) 3 3 w0  3cos 30  isen30 

3 3 3  i 2 2 3 3 3 w1  3cos 150  isen150    i 2 2 w2  3cos 270  isen 270  3i 27

2.5)

Raíces n-ésimas de la unidad.

Las soluciones de la ecuación x n  1 , donde n  Z  , se llaman las raíces nésimas de la unidad y están dadas por:

wk  cos

2k 2k  isen  ei ( 2 k / n ) , k=0, 1, 2,…, n-1. n n

2 2  isen  e i ( 2 / n ) , entonces, puesto que wk  w k las n n n raíces de la unidad son: w0  1, w, w2 , w3 ,..., wn 1 ; esto significa que todas las Si hacemos w  cos

raíces de la unidad son expresadas como potencias de w  w1 , es decir, w1 genera todas las n-ésimas raíces de la unidad, de aquí que w1 recibe el nombre de raíz primitiva de la unidad de orden n. Geométricamente estas raíces representan los n vértices de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio unidad con centro en el origen.

PROPIEDAD: La suma de las n raíces de la unidad es cero:

1  w  w2  w3  ...  wn 1  0 EJEMPLO 1: Resolver x 3  1  0 Solución: x 3  1  x 3  cis (2k )  x  cis (2k )

1/ 3

 cis (2k / 3), k  0,1,2

w0  cis 0  w0  1

1 3 w  cis (2 / 3)    i 2 2 1 3 w2  cis (4 / 3)    i 2 2

Fig. 4. Raíces cúbicas de la unidad 28

CONSECUENCIAS: 1.

Los afijos de las raíces cúbicas de la unidad son los vértices de un triángulo equilátero inscrito en la circunferencia de radio unitario. Fig. 4.

2. w2  w1 3. Se comprueba fácilmente que: w 2  w2 , es decir una raíz es el cuadrado de la otra, sin considerar la solución w0  1 .

4. 1  w  w 2  0 5. w3  1 , lo que implica que:

w 3k  1 .

El ejemplo también se pudo resolver como ecuación algebraica por factorización:

x 3  1  0  ( x  1)( x 2  x  1)  0 x 1  0



x2  x 1  0

La segunda es una ecuación cuadrática y la fórmula cuadrática arroja las mismas soluciones que las encontradas.

EJEMPLO 2: Si 1  w  w 2  0 , hallar (1  w)(1  w2 )(1  w3 )(1  w4 )(1  w5 ) .

Solución. Multiplicando la ecuación por w  1  0 ,

(w  1)(1  w  w2 )  0.(w  1) w3  1  0

w3  1 En este caso, w3  1 , lo cual no implica que w  1 , puesto que se impuso la condición: w  1, en este caso w  1 cumple con la última ecuación pero no con la original, ya que se tendría que 1  1  12  0 (absurdo). Esta es una solución “extraña” que aparece cuando se multiplica por una cantidad (en este caso w  1 si no se hubiera impuesto la condición) que es igual a cero; he ahí la razón por la que se condiciona que el factor a multiplicar ambos lados de una ecuación sea distinto de cero.

Ahora bien w  1 no es solución de 1  w  w 2  0 , pero la siguiente relación

w3  1 , que se dedujo, es válida y reglas de la potenciación son válidas también, por tanto: w 4  w, w5  w 2 , reemplazando en:

29

(1  w)(1  w2 )(1  w3 )(1  w4 )(1  w5 ) se tiene:

(1  w)(1  w 2 )(1  1)(1  w)(1  w 2 ) (1  w) 2 (1  w 2 ) 2 (2) (1  2 w  w 2 )(1  2 w 2  w 4 )(2) 2(1  w  w 2  w)(1  w 2  w 2  w 4 ) 2(0  w)(1  w 2  w 2  w) 2( w)(0  w 2 ) 2w 3 2

Otra forma de resolver el ejercicio es utilizar el carácter cíclico o circular de las soluciones. Se deduce de la relación 1  w  w 2  0

w  w 2  w3  0  w3  w  w 2  1 1  w  w 2 1  w 2  w Reemplazando en:

(1  w)(1  w2 )(1  w3 )(1  w4 )(1  w5 ) ,

resulta

 w 2 ( w)(1  1)(1  w)(1  w 2 ) w 3 (2)( w 2 )( w) 2w 3  2

2.6)

EJERCICIOS PROPUESTOS.

1)

Calcular: i 9 , i 23 , i 2012, i 3

2)

Realice las siguientes operaciones: a) (2  3i)(3  2i)  (2  3i)(3  2i) b)

4  i 5  3i  2i 3i

c)

1 1  4i 4i 30

d)

(1  i)(3  i) (1  i)(3  i)  3i 3i

1   i 2 

e) 2i 3)

Ubique en el plano complejo los afijos de los siguientes números:

3  2i, 3, 2  4i, 3i,  1  2i,  4,  2  3i,  4i 4)

Dados los números Hallar:

5)

z  2  3i, v  3  i, w  1  2i .

 zw  Re( z  vw), Im   v 

Efectuar lo indicado para los números z  2  3i, v 

(a) z  3v , (b)

1  4i, w  3  5i : 3

z  v , (c) z  w w

i 

n! n!

n!1

6)

Resuelva y justifique por qué hay más de una solución

7)

Calcular n:

8)

Encontrar un valor para la expresión:

9)

Escriba los siguientes números complejos en su forma polar:

i 16n!1

i

(1  i) n  32i

2 i i5 i

2  2i, 2  2i, 6i,  5,  3  i,  2i, 1  3i, sen 48  icos 48, cos 111  isen111

10) Efectúe: (a) 2(cos 12  isen12).4(cos 37  isen37) (b) 3(cos









 isen ).(cos  isen ) 5 5 7 7

(c) 6(cos 19  isen19).8(cos 31  isen31).

(d)

1 (cos 40  isen 40) 24

2 3  2i 1 i 31

 1  3i  4(cos 23  isen 23)5 8(cos 12  isen12)2  , (b) E  11) Calcular:(a)   2(cos15  isen15)7 128(cos 4  isen 4)  1 i  10

 1 3  i  2  6i , (e)    2 2  



(c) (1  i) , (d) 20



60

8

, (f) (1  i) 3

 1  3i   12) Efectuar la potencia en forma algebraica y trigonométrica:    2  13) Si w  ( 3  1)  ( 3  1)i , donde arctan(2  3 ) 

6

5  . Hallar Re( w12 ) 12

14) Sean los números complejos:

z1  sen15  (cos 15)i z3   cos

Calcule:

 4

 isen



( z1  z 4 ) 2 z3

4

z 2   cos z4 

4 

 4

 isen

 4

2 2  i 2 2

z2 Por la forma polar. z1

15) Indicar el argumento principal e interpretar geométricamente: E=1+cos20°+isen20° 16) Calcular: E 

(1  i) n , donde n  Z  n2 (1  i)

17) Uno de los vértices de un octógono regular coincide con el afijo del complejo z  2 cos15  2isen15 . Hallar los vértices restantes (o una fórmula que permita calcularlos).

18) Utilizando la fórmula de De Moivre´s demostrar lo siguiente:

sen3x  3 cos 2 xsenx  sen 3 x cos 3x  cos 3 x  3 cos xsen 2 x 19) Calcular la primera raíz de

4

 81

20) Determinar y representar gráficamente las raíces que se indican: (a)

6

 1 , (b)

3

8 , (c)

3

 i , (d) 4 1  i , (e)

3

 2  2i , (f)

3

3 i 32

21) Sabiendo que los complejos 1, w, w 2 satisfacen la relación x 3  1 , verificar:

(1  w2 )4  w, 100

100

22) Reducir:

(1-w  w2 )(1  w-w2 )  4

z  ik ,

z  ik

k 0

k 1

23) Calcular z 4 ; siendo z 

a , aR sen  isen

24) Sabiendo que n=3k, demostrar que: n

n

 1 3   1 3        2 2 i   2  2 i  2    

33

CAPÍTULO III ECUACIONES POLINÓMICAS Las cantidades algebraicas (números o letras) que están unidas entre sí por los signos de las operaciones algebraicas (, , :,

, etc) y por los signos del orden de sucesión

de estas operaciones (signos de agrupación) se llaman expresiones algebraicas. La igualdad de dos expresiones algebraicas que es válida para cualesquiera valores que se asignen a sus variables se llama identidad, y si la igualdad sólo es válida para algunos valores, se llama ecuación.

Transformar una identidad es obtener una expresión algebraica de otra, idénticamente igual a ella; la cual puede realizarse de diferentes maneras, según sea el fin de la transformación. Por ejemplo, el dar a la expresión una forma más reducida y cómoda para el reemplazo de sus valores numéricos o para las transformaciones posteriores: reducción a una forma cómoda para la solución de ecuaciones, el cálculo de logaritmos, etc.

Una ecuación se llama algebraica, si sus dos miembros son expresiones algebraicas (racionales o irracionales). Uno de ellos puede ser constante.

El capítulo trata con énfasis las ecuaciones polinómicas, cuya importancia estriba en que toda ecuación algebraica mediante transformaciones puede ser llevada a una ecuación de la forma P( x)  0 , que tiene las mismas raíces que la dada (y, posiblemente, algunas extrañas). Aquí el primer miembro es un polinomio. Por ejemplo, la ecuación

x 1 x2  6 x3  1 3( x  2) x Se transforma sucesivamente del siguiente modo:





x x  1  x 2  6  3x( x  2)  3( x  2)( x  3) x 2  x  x x 2  6  3x 2  6 x  3x 2  15 x  18 x x 2  6  5 x 2  20 x  18 x 2 ( x 2  6 x)  25 x 4  200 x 3  580 x 2  720 x  324 24 x 4  200 x 3  586 x 2  720 x  324  0

3.1.-

Ecuaciones en una variable.

Sea E(x) una expresión algebraica, a la igualdad E(x)=0 o a cualquier otra que se pueda reducir a ella se le llama ecuación. Por ejemplo, si E ( x)  3x 2  2 x  1 .

Entonces 3x 2  2 x  1 =0 es una ecuación.

34

El valor real  , se llamará raíz ó solución ó cero de E(x)=0, si y sólo si E(  )=0, así por ejemplo se tiene que una raíz (un cero) de 3x 2  2 x  1 es –1.

Conjunto solución de una ecuación es aquel cuyos elementos son todas las raíces (ceros) de ella. Para nuestra ecuación 3x 2  2 x  1 =0, su conjunto solución es CS={1;1/3}.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución. Por ejemplo las x + 3=4 ecuaciones y son equivalentes, pues ambas 3(2 x  1)  5x  2 tienen CS={1}.

Si una ecuación tiene CS=  se dice que ésta es incompatible, de lo contrario la ecuación es compatible. Será indeterminada, si es una identidad (la igualdad es siempre verdadera) de lo contrario se llamará ecuación determinada. Así  



3.2.

x 2  2 x =0, 1  0, x x2 1 x 1  x 1

CS={0;2}

EC. COMPATIBLE DETERMINADA

CS= 

EC. INCOMPATIBLE (IG. IMPOSIBLE)

CS=R-{-1}

EC. COMPATIBLE INDETERMINADA

Ecuación lineal.

Es toda igualdad de la forma ax  b  0 , con a  0 ; o que se puede reducir a ella.

Tiene una única raíz o solución x  

b . a

Ejemplos 1. Resolver:

2x 1 x  1 3 2

Solución:

2(2 x  1)  3 x  6 4 x  2  3x  6 7x  8 x8 7

2. Resolver: ( y  1)( y  2)  (4 y  1)(3 y  5)  6  8 y  11( y  3)( y  7) Solución: 35

y 2  y  2  (12 y 2  17 y  5)  6  8 y  11( y 2  4 y  21) y 2  y  2  12 y 2  17 y  5  6  8 y  11 y 2  44 y  231  11 y 2  18 y  3  11 y 2  36 y  231 18 y  234 234 y  13 18 3. Al tratar de resolver 2x+8=3x-5-x, resulta un absurdo 0=-13, lo cual es falso independientemente del valor de x, por lo tanto CS= 

1 3 4 2  x 2 x

4. Resolver Solución:

x  0;

5 1    x  10 x 2

5. La siguiente ecuación

1  0 no tiene solución, pues como x  0; entonces x

1  0  1  x.0  1  0 Absurdo x

3.3

Ecuación cuadrática.

Es toda igualdad que se puede reducir a la forma general:

ax 2  bx  c  0;

con a  0

Ejemplos: 2 1. 2 x  4 x  5 =0 2 2. 3x  4 x  0 2 3. 5x  5  0

Métodos de Solución : 

Por Factorización. Se basa en el Teorema

ab  0  a  0  b  0

2 Resuelva 6 x  13x  6  0

Solución: 36

6 x 2  13x  6  (3x  2)(2 x  3)  0

 3x  2  0 

x2

3

2x  3  0

 

x3

2

CS={2/3;3/2}



Por la fórmula cuadrática. Se basa en el método de completar cuadrados y permite obtener en forma inmediata las soluciones

x

b  2a

2 2 donde   b  4ac es el discriminante de la ecuación ax  bx  c  0

Resolver

x 2  8x  12  0

En este caso

a  1, b  8, c  12

Aplicando la fórmula

x

 (8)  (8) 2  4(1)(12) 2(1)

x

8  64  48 8  16 8  4   2 2 2

x

8 4 84  6 x  2 2 2

CS={2,6}

EL MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS Dada la Ecuación x 2  6 x  7  0

x 2  6x  7 x 2  6 x  9  7  9 (se suma 9 en ambos miembros) Nótese que, Luego

x 2  6 x  9  ( x  3) 2 ( x  3) 2  16

37

x  3  4 x  3  4  x  3  4 x 1

resultando



x  7

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Sean x1 , x2 las raíces de una ecuación cuadrática, se cumple:

x1  x2  

b a

x1.x2 

y

c a

NATURALEZA DE LAS RAÍCES 

Si   0 , tiene dos raíces reales diferentes.



Si   0 , sólo tiene una raíz real.



Si   0 , tiene dos raíces complejas conjugadas.

Ejemplo. Sin resolver las ecuaciones dadas, analiza la naturaleza de sus raíces.

2 a) x  2 x  6  0

En este caso   (2)  4(1)(6)  20  0 , en este caso la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas (no tiene raíces reales) 2

2 b) 15x  8x  12  0

  (8) 2  4(15)(12)  784  0 , entonces la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.

c) Realiza el mismo análisis con las siguientes ecuaciones 1.

4 x 2  12 x  9  0

2.

x2  x 1  0

FORMACIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA CONOCIENDO SUS RAÍCES Sean x1 , x2 sus raíces, entonces una ecuación cuadrática es: ( x  x1 )( x  x2 )  0 .

38

De aquí

x 2  ( x1  x2 ) x  x1 x2  0

Por ejemplo, si



x 2  ( raíces ) x   raíces  0

x1  3  x2  7 son tales raíces, entonces una ecuación será: x 2  10 x  21  0

3.4.

Polinomios. n

La expresión

a n x n  a n1 x n1  ...  a 2 x 2  a1 x  a0   ai x i

es llamada

i 0

polinomio de grado n en la variable x , si el coeficiente principal a n  0 ,

n  Z 0 ; ai  R , a 0 es llamado término independiente.

Un polinomio de grado cero es cualquier constante diferente de cero.

El número cero (0) es un polinomio cuyo grado no está definido.

NOTACIÓN: P( x), Q( x) .

Ejemplo P( x)  2 x 2  3x  1 es un polinomio de segundo grado.

Evaluación: Para x  2,

P(2)  2.2 2  3(2)  1  3

Para x  1,

P(1)  2.12  3(1)  1  0

El polinomio P(x) se anula para x  1

(se hace cero), x  1 es una RAÍZ o un CERO del polinomio.

Para x  1, Para x  1 / 2,

P(1)  2(1) 2  3(1)  1  6 P(1 / 2)  2(1 / 4)  3 / 2  1  0 , x  1 / 2 es otro CERO del

polinomio.

Dependiendo de su grado, un polinomio puede tener varias raíces, una o ninguna.

Expresando en su forma factorizada P(x)

P( x)  2 x 2  3x  1  (2 x  1)( x  1) se puede advertir: dónde se anulará?

La respuesta es obvia: Existe una relación entre la factorización de un polinomio y el cálculo de sus raíces.

NOTA: P( x)  x 2  1 no tiene raíces (reales)

39

x 2  0;

x  R

x 1  1  0 P( x)  0; x  R 2

TEOREMA DEL RESTO. El residuo R de dividir P(x) entre x  a , es R  P(a) Ejemplo Si P( x)  2 x 2  3x  1 , al dividir entre x  1 , R  P(1)  6 Verificando por Ruffini 2 -1 2

-3

1

-2

5

-5

6

DEFINICIÓN: Se llaman “raíces” de un polinomio P(x) a aquellos valores

x  x0 que hacen CERO a P(x) ; i.e. P( x0 )  0 También se les llama CEROS de P(x) , y son las soluciones de la ecuación

P( x )  0 TEOREMA DEL FACTOR. x  a es un factor de P(x) si y sólo si x  a es una RAÍZ de P(x)

[ P( a )  0 ]

Ejercicio Demuestre que x  3 es un factor del polinomio x 3  2 x 2  23x  60 , y hallar los otros factores.

OBSERVACIÓN. Existe una manera práctica de comprobar si x  1 es una raíz de P( x)  0 , lo será si la suma de coeficientes del polinomio es cero.

Puesto que para que x  1 sea raíz, P(1)  0

NÚMERO DE RAÍCES DE UN POLINOMIO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA. Un polinomio de una variable con coeficientes reales tiene tantas raíces como el grado del mismo, siempre y cuando se recuenten adecuadamente las raíces múltiples y las complejas (siempre aparecen conjugadas) posibles.

TEOREMA. Todo polinomio con coeficientes reales puede ser escrito como una constante real multiplicada por un producto de factores lineales y de factores cuadráticos irreducibles, todos ellos con coeficientes reales.

40

Ejemplo. Sabiendo que P( x)  x 3  5x 2  x  5

tiene a 5 como una raíz,

entonces por la división sintética x 3  5x 2  x  5  ( x  5)( x 2  1) se advierte que las otras dos raíces son i y  i Otra factorización del polinomio es ( x  5)( x 2  1)  ( x  5)( x  i)( x  i) donde todos los factores son lineales pero los coeficientes ya no son reales.

REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES Verifiquemos el siguiente resultado: Las raíces de la ecuación P(x)  0 son obtenidas de las raíces de P( x)  0 cambiándoles de signo. Por ejemplo es fácil comprobar que el polinomio

P( x)  x 4  6 x 3  3x 2 26 x  24 tiene las raíces 1, -2, 3 y 4. Mientras que P( x)  x 4  6 x 3  3x 2 26 x  24 tiene las raíces

-1, 2, -3 y -4.

ENUNCIADO DE LA REGLA El número de raíces positivas ( n  ) es igual al número de variaciones de signo en los coeficientes de P(x) , ó es menor que esta cantidad en un número par.

El número de raíces negativas ( n  ) es igual al número de variaciones de signo en los coeficientes de P( x) , ó es menor que esta cantidad en un número par.

El polinomio con coeficientes reales debe estar ordenado para analizar las variaciones de signo de sus coeficientes.

Ejemplo:

P( x)  x 4  6 x3  3x 2 26 x  24

n  3 ó 1

P( x)  x 4  6 x3  3x 2 26 x  24

n  1 (una raíz negativa es segura )

Ya se vio que P(x) tiene tiene exactamente tres raíces positivas y una raíz negativa.

En general, el número de raíces complejas ( n c ) de un polinomio de grado n es

nc  n  (n  n ) Ejemplo:

P( x)  2 x3  7 x 2 10 x  20 P( x)  2 x3  7 x 2 10 x  20

n  2 ó 0 n  1 (una raíz negativa es segura ) 41

OBSERVACIONES: a) La razón de disminuir en número par es por incluir las raíces complejas que siempre aparecen en pares conjugados. b) Si los coeficientes de un polinomio P(x) son reales y positivos, la ecuación P( x)  0 no tiene raíces positivas: n  0 . c) Si los coeficientes de un polinomio completo y ordenado P(x) alternan su signo, entonces la ecuación P( x)  0 no tiene raíces negativas.

Ejemplo: Probar que la ecuación dos raíces complejas.

4 x 4  3x 3  x  10  0

tiene exactamente

Solución:

P( x)  4 x 4  3x3  x  10

n  1

P( x)  4 x 4  3 x 3  x  1

n  1

nc  4  (n  n )  2

3.5.

Raíces Racionales de un polinomio con coeficientes enteros.

TEOREMA. Dado un polinomio P(x) de grado n, con coeficientes enteros, tal que a n  0 y a0  0 . Si P(x) tiene una raíz racional x  p

q

, tal que p y q

son PESI (no tienen divisores comunes), entonces: p es divisor del término independiente a 0 q es divisor del coeficiente principal a n En notación simbólica el Teorema se expresa así: . 

. 

P p q   0  MCD(p, q)  1  a0  p  a n  q Corolario. Si a n  1 , todas las raíces racionales son enteras.

Para resolver ecuaciones polinómicas, se empleará el método de Ruffini con el objetivo de factorizar el polinomio, eligiendo las posibles raíces racionales según el teorema, serán raíces aquellas cuyo residuo sea cero. Intentar con todas las candidatas a raíces puede demandar mucho trabajo, la regla de los signos de Descartes será útil y el número de raíces posibles irá disminuyendo en cada aplicación de Ruffini, para ello se hará un breve análisis después de efectuar cada división, hay que considerar que las raíces pueden repetirse, por 42

lo que a veces se debe intentar con cada valor posible más de una vez. Se recomienda factorizar por Ruffini hasta que el cociente quede de grado dos, puesto que como cuadrática ya se tiene el análisis completo de sus soluciones.

Después de factorizar el polinomio, las soluciones son inmediatas y resultan de igualar cada factor a cero, según el teorema que establece:

ab  0  a  0  b  0 Se aclara que el teorema sólo proporciona las raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros; pero al haber más números irracionales que racionales, “en cierto sentido”, en general para resolver una ecuación polinómica se deberán hacer aproximaciones numéricas –que no es el tema a tratar aquí. Un caso excepcional es el de la ecuación cuadrática, para la que hay una fórmula que expresa sus dos soluciones.

EJEMPLOS: 1) Resolver: 8x 3  10 x 2  11x  2  0 Solución:

P( x)  8x 3  10 x 2  11x  2,

n  1

P( x)  8x3  10 x 2  11x  2,

n  2 ó 0

p   (1,2), q   (1,2,4,8), p  1 1 1    (1,2, , , ) q  2 4 8  Se ve que con seguridad existe una única raíz positiva y una vez obtenida, se analizará la según la expresión resultante.

Debido a que la suma de coeficientes 8 - 10 - 11 - 2  0 , el valor 1 no es raíz, intentando con el valor entero 2, se obtiene por Ruffini:

8 2 8

-10

-11

-2

16

12

2

6

1

0

el cociente es un polinomio cuadrático (cuyas raíces no son positivas:

n  0 ), fácilmente factorizable por aspa: 8x 2  6 x  1  (4 x  1)(2 x  1) .

43

Se tiene entonces

8 x 3  10 x 2  11x  2  0 ( x  2)(4 x  1)(2 x  1)  0 CS  2, - 1/4, - 1/2 2) Determinar si existen raíces racionales de P( x)  x 2  3x  1.

SOLUCIÓN: Dado que P( x)  x 2  3x  1 , n  0 , ó también debido a que se intercalan los signos de los coeficientes del polinomio.

Entonces n  2 ó 0 .

p   1, q   1, n  0 

p  1, si fuera el caso tendría que ser raíz doble, lo cual es q

falso puesto que el polinomio no es un cuadrado perfecto; por tanto las raíces serán: o irracionales, o complejas, y no tendrá raíces racionales.

En este caso por ser la ecuación de segundo grado, el signo del discriminante   5 > 0 asegura que deben ser dos raíces reales, la fórmula cuadrática reporta las 2 soluciones irracionales.

3) Resolver x3 

19 2 10 x  12 x   0 3 3

SOLUCIÓN: El teorema exige que los coeficientes sean enteros.

Transformando la ecuación (multiplicando por 3) resulta la equivalente:

3x 3  19 x 2  36 x  10  0

P( x)  3x3  19 x 2  36 x  10, P( x)  3x  19 x  36 x  10, 3

2

n  3 ó 1 n  0

Se podía deducir que no tiene raíces negativas porque los signos del polinomio P(x) se alternan.

p   (1,2,5,10), q   (1,3), n  0 

p  1 2 5 10   1,2,5,10, , , ,  q  3 3 3 3

Ninguno de los valores enteros anula el polinomio, intentando con 1/3,

44

3 1/3 3

-19

36

-10

1

-6

10

-18

30

0

resulta el cociente: 3x 2  18x  30 , que es cuadrático, con n  0 . Se tiene:

3 x 3  19 x 2  36 x  10  0 1 2   x  (3x  18 x  30)  0 3  1  3 x  ( x 2  6 x  10)  0 3  Los ceros del segundo factor los da la fórmula cuadrática:

x

6 4  3i 2

CS  1/3, 3  i, 3 - i 4) Analizar las soluciones de 2 x 4  9 x3  15x 2  13x  6  0 SOLUCIÓN: En la ecuación P( x)  0 , se puede ver que n  0

P( x)  2 x 4  9 x3  15x 2  13x  6,

n  4 ó 2 ó 0

p   (1,2,3,6), q   (1,2), n  0 

p  1 3   1,2,3,6, ,  q  2 2

2 -1 2

9

15

13

6

-2

-7

-8

-5

7

8

5

1

x  1 es una cota superior (ya que todos los coeficientes del cociente y el residuo son positivos), las posibles raíces se reducen a las siguientes

p  3   2,3,6,  q  2 45

2 -2 2

9

15

13

6

-4

-10

-10

-6

5

5

3

0

Puede suceder que la raíz encontrada sea múltiple, para ello se sigue intentando dividir por este mismo valor, este no es el caso, para este ejemplo, ya que según el cociente obtenido, el conjunto de posibles

p  3   3,  q  2

raíces racionales se reduce a

Al intentar con el valor -3, no cumple;

2 -3/2 2

5

5

3

-3

-3

-3

2

2

0

Por lo que:

2 x 4  9 x3  15 x 2  13x  6  0 3  ( x  2) x  (2 x 2  2 x  2)  0 2  Las soluciones de la ecuación cuadrática son x1, 2 

 1  3i R 2

La ecuación polinómica tiene 2 soluciones reales:  2,3 / 2, y las dos soluciones complejas conjugadas mostradas.

5) Analizar los ceros de 4 x 5  16 x 4  17 x 3  19 x 2  13x  3  0 SOLUCIÓN:

P( x)  4 x 5  16 x 4  17 x 3  19 x 2  13x  3  0,

n  5 ó 3 ó 1

Y por la alternancia de los signos de los coeficientes del polinomio completo,

n  0 

p  1 1 3 3  1, 3, , , ,  q  2 4 2 4 46

4 3 4

-16

17

-19

13

-3

12

-12

15

-12

3

-4

5

-4

1

0

Según los coeficientes del cociente, se reduce el espectro de posibilidades, y las raíces se buscaran dentro del conjunto:

n  0 

p 1 1    , , q 2 4 

4 1/2 4 1/2 4

-4

5

-4

1

2

-1

2

-1

-2

4

-2

0

2

0

2

0

4

0

Luego:

4 x 5  16 x 4  17 x 3  19 x 2  13x  3  0 2

1  ( x  3) x   (4 x 2  4)  0 2  CS  3, 1/2, i, -i

6) Resolver: 2 x 4  5x 3  x 2  5x  3  0 SOLUCIÓN:

P( x)  2 x 4  5 x 3  x 2  5 x  3, P( x)  2 x 4  5 x 3  x 2  5 x  3,

n  3 ó 1 n  1

Con la seguridad que hay una raíz negativa, ésta se buscará dentro del conjunto,

p  1 3    (1, 3, , ) , puesto que -1 no cumple: q  2 2 

47

2 -3 2 1/2 2

5

-1

5

-3

-6

3

-6

3

-1

2

-1

1

0

1

0

2

0

0

Siendo -3 una raíz; y de los coeficientes obtenidos, en la división respectiva, además de que ya no habrán raíces negativas, se deduce que la única raíz racional posible es ½, y al hacer la división, se comprueba que efectivamente lo es; en todos estos ejemplos se aprecia que el conjunto de posibles ceros va disminuyendo con cada paso dado, evitándose hacer las comprobaciones con todos los valores que arroja el teorema, he ahí la importancia de la teoría.

Finalmente la ecuación queda factorizada así:

2 x 4  5x 3  x 2  5x  3  0 1  ( x  3) x  (2 x 2  2)  0 2  Cuya solución es: CS  - 3, 1/2, i, -i 7) Analizar los ceros de

x 6  x 5  2x 3  4x 2  0

SOLUCIÓN: Antes de aplicar la regla de Descartes, se separan las raíces nulas:

x 6  x 5  2 x 3  4 x 2  x 2 ( x 4  x 3  2 x  4)  0

x 2  0  x 4  x 3  2x  4  0 Trabajando con la segunda ecuación, sea P( x)  x 4  x 3  2 x  4

P( x)  x 4  x 3  2 x  4,

n  1

P( x)  x 4  x 3  2 x  4, n  1 El número de raíces complejas de P(x) será nc  4  (n  n )  2

.

Las raíces racionales (enteras por ser el polinomio mónico) se encuentran dentro del conjunto

 (1,2,4).

Puesto que 1 no es, se

ensaya con 2, advirtiendo que el polinomio P(x) no es completo.

48

1 2 1

-1

0

-2

-4

2

2

4

4

1

2

2

0

Las posibilidades se reducen, debido al resultado de los coeficientes de la división, al conjunto  1,2 1 -1 1

1

2

2

-1

0

-2

0

2

0

La ecuación se ha transformado en:

x 6  x5  2x 3  4x 2  0 x 2 ( x  2)( x  1)( x 2  2)  0





CS  0, 2, - 1, 2i, 2i

8) Analizar los ceros del polinomio P( x)  3x 4  4 x 3  1 SOLUCIÓN: La suma se coeficientes es cero, por tanto 1 es una raíz.

3 1 3 1 3

-4

0

0

1

3

-1

-1

-1

-1

-1

-1

0

3

2

1

2

1

0

De la tercera fila se observa que la suma de coeficientes es cero nuevamente, por eso nuevamente 1 es raíz, resultando:

3x 4  4 x 3  1  0 ( x  1) 2 (3x 2  2 x  1)  0 El segundo factor es una cuadrática con discriminante negativo, por lo que, el polinomio presenta una raíz doble x  1 y dos raíces complejas.

49

Habiendo ejemplificado bastante, para evitar el engorroso trabajo de ensayar con las posibles raíces racionales, a continuación se presenta un método para decidir cuándo detener la búsqueda de raíces mayores o menores que la raíz que acaba de comprobarse, lo que aunado a las técnicas expuestas hará más eficiente el trabajo.

LÍMITES SUPERIOR E INFERIOR. Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales

k1  0 y los términos del tercer renglón de la

con coeficiente principal positivo. Si

división sintética de P(x) entre x  k1 son todos positivos o cero, entonces k1 es un límite superior de las raíces reales de P(x) . Si k 2  0 y los términos del tercer renglón de la división sintética de P(x) entre x  k2 alternan de signo, entonces k 2 es un límite inferior de las raíces reales de P(x) .

Por ejemplo analizando el polinomio P( x)  2 x 4  8x 3  5x 2  12 x  12 , n  3 ó 1 ;

P( x)  2 x 4  8x3  5x 2  12 x  12,

n  1

p   (1,2,3,4,6,12), q   (1,2), p  1 3    (1,2,3,4,6,12, , ) q  2 2  Comprobando si 4 es una raíz:

2 4 2

-8

5

12

-12

8

0

20

128

0

5

32

116

Los elementos del último renglón verifican la condición, luego 4 es un límite superior,

 

1 3 2 2

el conjunto de posibles valores positivos se reduce a 1,2,3, ,  . Ensayando con -2:

2 -2 2

-8

5

12

-12

-4

24

-58

92

-12

29

-46

80

Por alternarse los signos del tercer renglón, -2 es una cota inferior; y las posibles

raíces negativas pertenecen al conjunto  1,1/ 2,3 / 2. Al intentar con cada uno de 50

estos valores, ninguno da residuo cero, por lo que la raíz negativa será irracional. De entre las positivas, 1 no es raíz, intentando con 2, se tiene:

2 2 2 2 2

Resultando:

-8

5

12

-12

4

-8

-6

12

-4

-3

6

0

4

0

-6

0

-3

0

2 x 4  8x 3  5x 2  12 x  12  ( x  2) 2 (2 x 2  3)



3 3 ,  verifican Descartes, n  3 , 2 2

Cuyas raíces: CS  2,



n  1, aunque la

raíz negativa es irracional y entre las positivas hay dos racionales (puesto que x  2 es de multiplicidad 2) y una irracional. Este ejemplo ilustra el hecho que los límites o cotas de las raíces reales reducen el espectro de posibles raíces racionales.

3.6.

EJERCICIOS PROPUESTOS. 1) Resuelva las siguientes ecuaciones a) 12-(5x-4)=3x-(4x+1)-x

b)

2x 1  2 x  3x  3 4

c)

(2 x  1)( x  5)  ( x  3)(2 x  7)

2 d)

x 3  x2 x2

2) Resuelva las ecuaciones siguientes a) (x-35)(x+8)=0 b)

(2x+5)(3x-7)=(3x-7)(4x-9)

c)

(x+3)(x-3)=16

51

3) Resuelva 2 a) 4 x  3x  1  0 2 b) 100 x  20 x  0

c)

2 x 2  x  21  0

2 d) 3x  7 x  4  0

2 e) 48( x  3)  400  0

4) Resolver

a)

1 1 1   2 x 25  2 x 4 x

b)

1 3 x 1

2 c)

3 x x2

2 5) Dada la ecuación 2 x  nx  2  0 , n  R

a) ¿Cuál es el discriminante de la ecuación? b) ¿Qué valor debe darse a n para que la ecuación admita una sola raíz (doble)?

2 6) a) Si una de las raíces de la ecuación x  6 x    0 es 2, determina la otra raíz.

2 b) ¿Encuentre  en la ecuación x  22 x  7  0 para que una de sus

1 raíces sea 3 ?

7) Fórmese sendas ecuaciones cuadráticas si sus raíces son: a)

x1  5; x2  3

b) x1  1; x2  0 c)

x1  3  5; x2  3  5

52

v0 a una velocidad final v f en v f  v0 a t . Encuentre un tiempo t ; su aceleración a se calcula por

8) Si un cuerpo cambia de velocidad inicial

fórmulas para la velocidad final, velocidad inicial y el tiempo.

KT 2 P V , K es una constante, P es presión, T 9) En la siguiente fórmula es tiempo y V es volumen. a) Despeja el volumen. b) Despeja el tiempo. c) Halla el valor de K si para T=5 y V=4, P=25 10) Un científico descubre una fórmula para calcular la fuerza F aplicada durante un tiempo t necesaria para abrir un hoyo de área A y de masa

Km A t 2 , donde K es una constante. m, la cual es a) Si para m=10, A=81 y t=3 se encuentra que F=20, hallar el valor de dicha constante. b) Despeja A. c) Despeja t.

11) Hallar los valores indicados del polinomio dado, por dos métodos: usando Ruffini y usando el teorema del resto.

P( x)  2 x 4  3x 3  2 x 2  x  7;

P(-2 ), P( 3 )

12) Considere P( x)  x 3  x 2  17 x  15 . Determine si cada uno de los números 2 y -5 son ceros del polinomio 13) Encuentre los ceros y sus multiplicidades respectivas de los polinomios dados: a) g ( x)  ( x  1)( x  1)( x  2)( x  2) b) f ( x)  x 3  2 x 2  9 x  18 c) f ( x)  x 4  4 x 2 - 45 d) f ( x)  ( x  5) 3 ( x  4)( x  1) 2 e) f ( x)  ( x 2  9) 3 53

f)

f ( x)  ( x 2  5x  6) 2

14) Una piedra arrojada hacia abajo, con una velocidad inicial de 34.3 m/s recorre una distancia de s metros, donde s(t )  4.9t 2  34.3t , donde t está en segundos. Si una piedra es lanzada hacia abajo con esa velocidad inicial desde una altura de 294 m , en cuanto tiempo la piedra golpeará el suelo.

15) Use el cero dado para obtener los otros ceros del polinomio

5x 3  28x 2  45x  18 , un cero es -3/5 16) Probar que ( x  1) y ( x  2) son factores del polinomio:

P( x)  x 4  2 x 3  7 x 2  8x  12 . Hallar los factores restantes.

17) Probar que x 5  x 4  2 x 3  2 x 2  x - 1 es divisible por: a) x 2  1 b) ( x  1) 2 c) ( x  1) 3 18) Divida para determinar si ( x  1) y ( x  3) son factores de:

x 3  2 x 2  5x  6 19) Una viga descansa sobre dos puntos A y B y tiene una carga aplicada concentrada en su centro. Sea y = la deflexión, en pies, de la viga a una distancia de x pies de A. Bajo ciertas condiciones, esta deflexión es dada por y 

1 3 1 x  x.

13 14

Encuentre los ceros del polinomio en el intervalo [0;2].

54

20) Encuentre un polinomio de tercer grado, que tenga los siguientes ceros: 1, 3i, y -3i 21) Encuentre un polinomio de grado 5 con -1 como un cero de multiplicidad 3; 4 como un cero de multiplicidad 1, y 0 como un cero de multiplicidad 1.

22) Suponga que un polinomio de grado 6 con coeficientes racionales tiene

 2  5i,  2i, y 1 - 3 como tres de sus ceros, encuentre los restantes.

23) Encuentre un polinomio de grado mínimo con coeficientes racionales que tenga a 1 - 2 y a 1  2i como dos de sus ceros.

24) Analizar el polinomio 6 x 6  2 x 2  5x según la regla de descartes.

25) Indicar todas las posibilidades respecto a la naturaleza de las raíces de la ecuación siguiente, por medio de la regla de descartes. a) 2 x 6  3x 4  2 x 2  9  0 b) x 6  1  0 c)

x5 1  0

d) x 9  4 x 7  6 x 6  4 x 4  8  0 26) Demostrar que la ecuación 3x 5  x 4  2x  8  0 tiene por lo menos dos raíces complejas y por lo menos una raíz negativa, pero ninguna raíz positiva.

7 6 3 2 27) Demostrar que la ecuación x  4 x  2 x  9 x  6  0 tiene por lo menos cuatro raíces complejas y por lo menos una raíz positiva, pero ninguna raíz negativa.

6 4 2 28) Demostrar que la ecuación 2 x  5x  4 x  8  0 tiene exactamente cuatro raíces complejas.

29) Enumere todos los posibles ceros racionales del polinomio: a) P( x)  2 x 4  3x 3  x  8 b) P( x)  10 x14  3x 6  5x  6 30) Qué dice la regla de los signos de Descartes acerca del número de ceros positivos, y negativos del polinomio.

7 2 a) 6 x  2 x  5x  4

55

b) F ( p)  3 p18  2 p 4  5 p 2  p  3 c)

g ( z )   z 10  8z 7  z 3  6 z  1

31) Considere f ( x)  2 x 3  5x 2  4 x  3 . Encuentre las soluciones de cada ecuación: (a) f ( x)  0 , (b) f ( x  1)  0 , (c) f ( x  2)  0 , (d) f (2 x)  0 32) Use el teorema de los ceros racionales y la ecuación x 4  12  0 para mostrar que

4

12 es irracional.

33) Resolver las siguientes ecuaciones polinómicas, haciendo uso de los recursos dados en el presente capítulo. a) 6 x 7  19 x 6  20 x 5  12 x 4  x 3  2 x 2  0 b) 2 x 4  x 3  5x 2  7 x  6  0 c) x 3  4 x 2  27 x  90  0 d) x 4  2 x 2  9  0 e) x 4  2 x3  13x 2  14 x  24  0 f)

4 x3  14 x2  10 x  3  0

g) x 5  4 x 4  4 x 3  34 x 2  45x  18  0 h)

5 4 2 3 11 2 3 x  x  x  2x  3 3 6 2

i)

6 x 4  23x 3  3x 2  32 x  12  0

j)

x 5  2 x 4  18x 3  8x 2  41x  30  0

4 3 2 k) 6 x  35x  62 x  35x  6  0

34) El momento flexor de una viga está dado por

M (d )  0.1d 4  2.2d 3  15.2d 2  32d , donde d es la distancia uno de los extremos de la viga. Encuentre los valores de d , donde el momento flexor es cero. (Sug. Elimine los decimales multiplicando por 10).

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REFERENCIAS A. Libros [1] L. Leithold, “Álgebra Superior”. México: CECSA, 1985.

[2] J. Stewart, “Calculus, concepts and context”. 4a ed. Thomson, 2009.

[3] V. V. Zaitsev, V. V. Ryzhkov, and M. I. Skanavi, “Elementary mathematics”. Moscú: Mir, 1978 G. Manuales [4]

Bell Telephone Laboratories Technical Staff, Transmission Communications, Bell Telephone Laboratories, 1995.

System

for

H. Apuntes de clases [ 5] “Complementos de Álgebra”, M. Samper. Apuntes Esquemáticos. Universidad de Piura, 1986.

[ 6] “Biomatemática”, J.A. Ynoñán. Notas de clase, Escuela preuniversitaria de Medicina-USAT, Setiembre del 2007.

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