Математическое моделирование в экономике by International University

М о сква 20 12

учебно-методическое посо бие

Международный университет в Москве

Э.Ф. Казанцев

Математическое моделирование в экономике

ББК 65.23; 65.050 К 14

Рекомендовано Учебно-методическим советом Международного университета в Москве в качестве учебно-методического пособия для студентов, обучающихся по экономическим и управленческим специальностям и направлениям

К 14

К а з а н ц е в Э.Ф. Математическое моделирование в экономике. Учебнометодическое пособие для экономических и управленческих специальностей. – М.: Издательский дом Международного университета в Москве, 2012. – 104 с.

Учебно-методическое пособие посвящено некоторым вопросам математического моделирования в экономике. Приведены простейшие математические модели эволюционной экономики и сформулирован физический подход к моделированию. Может быть использовано как рабочая тетрадь при самостоятельной работе студента и как справочник для менеджера и экономиста по прикладной математике. Для студентов, обучающихся по экономическим и управленческим специальностям.

Содержание П р е д и с л о в и е . ................................................................................... 5 1. Введение в моделирование.............................................................. 6 1.1. Понятия ортодоксальной и эволюционной экономики............. 6 1.2. Классификация моделей............................................................ 12 1.3. Некоторые особенности моделирования динамических систем....................................................................... 16 1.4. Физический подход к моделированию..................................... 23 2. Простейшие динамические модели в экономике....................... 31 2.1. Модель экспоненциального роста............................................ 31 2.2. Модель конкуренции................................................................. 34 2.3. Модель саморегуляции.............................................................. 41 3. Модель экономической структуры общества............................. 45 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Поведенческие функции в экономике...................................... 45 Модель Лоренца......................................................................... 54 Модель Парето........................................................................... 59 Примеры реконструкции ЭСО в СССР и России..................... 61

4. Информационные модели в экономике....................................... 74 4.1. Понятие динамической информации........................................ 74 4.2. Финансовые модели ................................................................. 85 5. Биофизическая модель развития экономики.............................. 89 5.1. Некоторые закономерности развития экономической системы................................................................... 89 5.2. Основные понятия физики, биологии и экономики................ 95 5.3. Рутина как аналог генетической информации......................... 96 5.4. Модели экономической эволюции при постоянных и переменных рутинах...................................................................... 99 Лит ература..................................................................................... 102

П р едисловие Главная цель любой фундаментальной науки – уметь предвидеть (прогнозировать) результат той или иной деятельности на достаточно продолжительном промежутке времени. В естественных науках, имеющих дело с объективными законами природы, задача сводится к нахождению данных законов, выражении их в виде определенных алгоритмов (чаще всего аналитические с помощью математических формул) и указанию условий их применимости (системы ограничений). Экономика, не попадающая в перечень естественных наук, в лучшем случае может быть названа наукой гуманитарной, что подразумевает наличие в ней большой доли субъективного (случайного) компонента. Но априори не отрицается и присутствие некоторых объективных закономерностей, а тем более использование математического инструмента исследования. Невольно напрашивается сравнение с броуновским движением: субъективная компонента – это хаотическое движение частиц, а объективная – это их направленное движение. Для «гуманитарного» понимания сути явления приводят следующую аналогию: представьте себе огромного быка, связанного длинной веревкой с осликом. Бык совершает беспорядочные, хаотические прыжки в разные стороны и маленький ослик не в силах ему помешать. Но «у ослика есть идея» – он хочет домой в родной загон. И в конце концов, ослик приведет быка домой. Так вот, если у экономики есть этот «маленький ослик с идеей» и ученым удастся его «вычислить», то экономику можно «привести» в нужное, будем надеяться приличное, место. Данной задачей с недавнего времени и занялись физики. Материал, представленный ниже, позволит экономистам освоить язык на котором разговаривают физики и познакомиться с рядом моделей, ими разработанных.

1. Введение в моделирование

1.1. Понятие ортодоксальной и эволюционной экономики Мы являемся свидетелями зарождения нового научного направления – физической экономики. Почему физики занялись экономикой? Ответ очевиден: события последних лет в мире, и особенно в России, оказались неожиданными даже для многих профессиональных экономистов. У физиков возникло естественное желание понять причины происходящего и объяснить их на принятом в естественных науках языке – это и является целью предлагаемых лекций. Мы не претендуем на обзор состояния экономической науки в целом, ибо оно не простое. Тем не менее, полезно сказать несколько слов для того, чтобы определить место обсуждаемых математических моделей в современной теоретической экономике. Название «физическая экономика» предложил экономист Линден Ларуш. Он известен как сподвижник президента США Р. Рейгана и создатель так называемой рейганомики, в которой роль государства существенно усилилась. Сейчас Ларуш – лидер одного из направлений экономики, в русле которого работает ряд институтов и общественных организаций. Под словом «физическая» Ларуш понимает экономику, построенную по образу и подобию точных и естественных наук. Таковая еще далеко не построена, но некоторые результаты уже есть – о них и пойдет речь ниже. В теоретической экономике существует несколько направлений. Наиболее развита классическая экономика («майн-

Математическое моделирование в экономике

стрим», в монографии Нельсона и Уинтера она именуется также ортодоксальной). Она хорошо оснащена математически и сейчас представляет замкнутое внутри себя направление, со своим специфическим понятийным аппаратом, своей аксиоматикой и методологией. Это направление обособлено от естественных наук, в том числе и от физики. Такое положение теоретической экономики вызывает негативную реакцию и со стороны современных экономистов по следующим причинам. Во-первых, самоизоляция препятствует развитию любой науки и сейчас, во время интеграции наук и развития смежных дисциплин, это особенно ощутимо. Во-вторых, классическая экономика не смогла ни предвидеть, ни объяснить развитие реальной экономической ситуации за последние десятилетия. Об этом упоминали Нельсон и Уинтер еще 30 лет назад, и события последнего времени подтверждают справедливость их замечания. В-третьих, в естественных науках накоплен богатый опыт построения и исследования динамических моделей развивающихся систем, к которым относится и человеческое общество. В результате появились альтернативные (неортодоксальные) направления в экономике. Их объединяет общая идея о том, что теоретическая экономика не должна обособляться от других естественных наук, а напротив, должна развиваться вместе с ними и использовать их достижения. В том же русле развивается эволюционная экономика. Это направление было начато работами Шумпетера. В России оно представлено работами В.И. Маевского. Эволюционная экономика даже по названию относится к развивающимся системам. По сравнению с другими неортодоксальными направлениями она имеет наибольший «стаж» и более развита. Эволюционная экономика отличается от ортодоксальной, вопервых, аксиоматикой и во-вторых, предметом исследования. Исходные положения классической (ортодоксальной) экономики сводятся к следующему: 1) люди (и производители, и потребители) поступают разумно и преследуют свои цели. Цель производителей – максимум

Э.Ф. Казанцев

прибыли, цель потребителей – максимальное удовлетворение потребностей; 2) рыночное равновесие, то есть баланс спроса и предложения товаров, денег и труда, реализуется в результате баланса целей производителей и потребителей. В математических моделях этого направления цели формулируются в виде целевых функций и дополнительных условий; 3) предметом ортодоксальной экономики является рыночное равновесие при фиксированных параметрах. Поэтому ортодоксальную экономику можно назвать статической. Неравновесные процессы рассматриваются преимущественно вблизи равновесия, когда результат процесса предопределен. Исходные положения эволюционной (неортодоксальной) экономики заключаются в следующем: 1) люди поступают в соответствии с поведенческими реакциями. Иногда это поведение можно интерпретировать как стремление к максимуму прибыли, иногда нельзя. Существует и другие мотивации поведения – религиозная, нравственная, политическая и т.п. В математических моделях эволюционной экономики поведенческие реакции формализуются в виде функций спроса, предложения, доходов и расходов; 2) рыночное равновесие достигается в результате балансов спроса и предложения, а также доходов и расходов. Однако эти функции меняются со временем в связи с развитием науки и техники. Поэтому равновесие никогда не наступает, хотя система постоянно стремится к нему. Отсюда и название – эволюционная экономика; 3) при построении эволюционной экономики разумно опираться на теорию развивающихся систем и биологическую эволюцию. В связи с последним полезно напомнить основные положения теории биологических развивающихся систем. Развитие происходит неравномерно. Периоды плавной эволюции чередуются с кризисными этапами. В течение плавных периодов

Математическое моделирование в экономике

происходит совершенствование вида за счет отбора наиболее приспособленных особей. В кризисных стадиях образуются новые формы и/или осуществляется переход в другое стационарное состояние. Для описания этих стадий выбираются модели различных типов. Так, при описании плавных стадий используются адиабатические приближения. В этом случае принимается, что система находится вблизи одного и того же устойчивого состояния, но параметры его медленно меняются со временем. При описании кризисных явлений строится модель, описывающая бифуркацию, то есть переход в другое состояние. Как ортодоксальная, так и эволюционная экономика основаны на рыночных отношениях, и поэтому обе они относятся к так называемым рыночным экономикам. Фактически положения 1–3 эволюционной экономики принимаются и в других неортодоксальных экономиках: физической и синергетической. Поэтому их можно рассматривать как варианты эволюционной экономики. Упомянутые подходы в теории развивающихся сис тем не противоречат, а скорее, дополняют друг друга. Поясним это на примере из классической физики. При решении задач механики можно, с одной стороны, использовать уравнения Ньютона. В этом случае необходимо задать поле сил, что делается, исходя из конкретных условий, и всегда содержит гипотетический элемент. В экономике (и других развивающихся системах) аналогом поля сил являются поведенческие реакции. С другой стороны, можно использовать принцип минимума действия. При этом необходимо задать форму лагранжиана, что тоже делается, исходя из условий задачи, и также содержит гипотетический элемент. Эти подходы эквивалентны в том смысле, что, задав лагранжиан, можно вывести уравнения движения и форму силового поля (и наоборот). В экономике аналогом действия являются целевые функции. Задавшись ими, можно «вывести» соответствующие им поведенческие функции (что, правда, не всегда просто). Однако, здесь эквивалентность под-

Э.Ф. Казанцев

ходов отнюдь не означает, что результаты моделирования будут полностью совпадать. Последнее возможно только в случае, когда гипотезы о форме поведенческих функций полностью соответствуют гипотезам о целевом функционале. Выбор того или другого подхода определяется тем, какой из них более удобен для решения конкретной задачи. В задачах управления техническими средствами используется второй подход. Там целевой функционал задается в однозначной форме. Это возможно, так как техническое устройство работает на основе хорошо изученных законов физики, химии и других естественных наук. Задача инженера – подстроить параметры устройства так, чтобы цель была достигнута с наименьшими затратами (средств, энергии и т.п.). В этом случае второй подход вполне конструктивен. В живых развивающихся системах «вывести» поведенческие функции из первых принципов физики невозможно и успех зависит от того, в какой форме проще и удобнее формулировать гипотезы, соответствующие реальному поведению системы. Здесь преимущества имеет первый подход. Сформулировать вид поведенческих функций на основе эмпирических данных можно сравнительно просто. При этом удается описать и предсказать ряд «неожиданных» явлений, таких как появление нескольких устойчивых стационарных состояний, переход между состояниями, появление неустойчивых состояний и возникновение хаоса. Для описания этих явлений в рамках второго подхода необходимо заранее подобрать «лагранжиан» в соответствующей форме. Сделать это априори (не зная динамических уравнений) очень трудно. В эволюционной экономике применяются оба подхода. Результаты, полученные разными методами, в значительной мере перекрываются. Некоторые из них легко получить в рамках одного подхода, но трудно в рамках другого. Ниже мы приведем примеры решения актуальных задач экономики России, используя преимущественно первый подход.

Математическое моделирование в экономике

Сказанное выше относится к математической и теоретической экономике и противоречит представлению о том, что экономика – наука гуманитарная. Реально гуманитарное направление в экономике существует, и более того, благодаря усилиям политиков и средств массовой информации именно оно наиболее известно широкой публике. В этой среде часто фигурируют не строгие утверждения, а догмы и мифы. Приведем некоторые из них. 1) рыночное равновесие единственно. В действительности попытки доказать это утверждение не увенчались успехом. Далее мы покажем, что современная Россия может существовать по крайней мере в двух устойчивых состояниях, и это обстоятельство играет важную роль; 2) эмиссия денег всегда ведет к инфляции. Это утверждение также бездоказательно. При определенных условиях возможен и обратный эффект, и примеры таких ситуаций мы обсудим ниже, 3) государство не должно вмешиваться в экономику; рыночные отношения («невидимая рука Адама Смита») способны сами все урегулировать. Это утверждение также не обосновано теоретически и неверно. Ниже мы покажем, что государственное регулирование является необходимым условием существования и развития государства, особенно в критических ситуациях, что в современной России чрезвычайно важно. Мы остановились на этом, дабы подчеркнуть, что ортодоксальная экономика оказалась изолированной не только от естественных наук, но и от актуальных проблем практической макроэкономики. В такой ситуации внедрение в экономику физической методологии представляется вполне оправданным. Из изложенного следует, что в экономической науке сложилась дискуссионная ситуация, и это нашло отражение и в предлагаемых лекциях – они тоже дискуссионны. Далее будут использоваться упрощенные физические (и математические) образы и понятия. Экономические термины мы также постараемся объяснить на

Э.Ф. Казанцев

языке, доступном широкому кругу читателей. Более строгое и подробное изложение данной проблемы можно найти в прилагаемом списке литературы.

1.2. Классификация моделей В настоящее время выделяют три основных направления в моделировании: а) формальные модели – когда под конкретную ситуацию подбирается некоторая математическая модель, и если результаты решения этой модели дают хороший прогноз, она объявляется законом. Недостаток формальных моделей заключается в том, что рассматриваемые ситуации чаще всего не отражают общесистемных закономерностей, а являются частными случаями или даже исключениями из правил. Примерами таких формальных моделей служат: 1) законы Менделя, относящиеся к редкому случаю наследования качественных признаков организма и не дающие ответа на более фундаментальный вопрос о наследовании количественных признаков; 2) математические модели в экологии, которые основаны на умении записать математическими символами некоторые взаимодействия между отдельными частями экосистемы. К сожалению, мы располагаем пока очень ограниченным числом эмпирических законов для описания таких взаимодействий, поэтому модели получаются слишком грубыми с большим числом подгоночных параметров. В целом можно сказать, что формальные модели не адекватны общесистемной ситуации и далеки от установления фундаментальных системных закономерностей. б) физические модели полностью основаны на законах физики, поэтому применимы и дают неплохие результаты в случае приведения «живой» системы в «неживое» состояние. Здесь полностью исключается мысль о наличии в «живых системах»

Математическое моделирование в экономике

какой-либо особой специфики, не укладывающейся в физические представления. Примерами физических моделей служат многие разделы биофизики: молекулярная биология, радиобиология, рентгеноструктурный анализ, теория фотосинтеза, диффузионные теории и т.д. Биофизика строго стоит на страже физических представлений, препятствуя любым попыткам проникновения в традиционную науку «псевдонаук». в) теория систем использует язык и приемы теории информации, теории игр, исследования операций и др. В своей основе теория систем преследует благородную цель – рассматривать систему во всем многообразии составляющих ее связей. Однако в итоге получаются те же недостатки, что и отмеченные для формальных моделей: пока у нас нет достаточного числа эмпирических законов, описывающих эти связи. Модели в теории систем получаются слишком «искусственными», хотя и достаточно «гибкими» благодаря обилию мелких блоков, составляющих систему, которые в принципе всегда можно исследовать более детально. С развитием вычислительной техники теория систем приобретает все большую популярность, но может наступить момент, когда искусственно созданная модель окажется «умней» и эффективней, чем ее реальный прообраз. Видимо, такая ситуация уже наступила в шахматной игре, но это не приблизило нас к пониманию механизма человеческого мышления, тем более – к пониманию феномена жизни. Долгое время понятие «модель» относилось только к материальным объектам (модель плотины, самолета, человеческой фигуры). Постепенно под моделью стали понимать некий объект-заместитель, который может заменять объект-оригинал, воспроизводя интересующие нас свойства и характеристики оригинала, причем имея существенные преимущества, удобства (доступность, наглядность и т.д.). В дальнейшем было понято, что моделями могут служить не только реальные объекты, но и абстрактные, идеальные построения. Типичным примером абстрактной модели является математическая модель. Модели

Э.Ф. Казанцев

могут быть качественно различными, образуя иерархию моделей (например, основные понятия → идея → гипотеза → теория → закон → принцип). Можно сказать, что модель есть способ существования знаний. Цель может также рассматриваться как модель. Действительно, всякая как трудовая (рабочий, крестьянин, студент), деятельность человека, так и нетрудовая (отдых, игры, чтение, коллекционирование и т.п.) имеет цель. То есть организующим началом любой деятельности является цель – образ желаемого будущего, или модель состояния, на реализацию которого и направлена деятельность. Любая деятельность без цели бессмысленна. Существенно, что модель является не просто образом (заменителем оригинала), а целевым отображением. Пример: туристы пришли на стоянку, где есть только бревна. Для одного бревно – это модель будущего стола или стула, для другого – дрова, третий видит в бревне будущую скульптуру, четвертый подсчитывает количество колец и т.д. Таким образом, у одного объекта оригинала может быть множество моделей в зависимости от цели. Поэтому модели можно разделить на следующие основные типы: • познавательная модель – это форма организации и представления знаний; средство соединения новых знаний с имеющимися (здесь модель приближается к реальности); • прагматическая модель – это средство управления и организации практической деятельности (здесь реальность приближается к модели). Таким образом, познавательные модели отражают существующее, а прагматические – желаемое. В хронологическом плане модели можно разделить на статические и динамические: статические модели – это конкретное состояние – «моментальная фотография» системы; динамические модели – это процесс изменения состояния, функционирования системы.

Математическое моделирование в экономике

Если рассмотреть вопрос, из чего строятся модели, то здесь они распадаются на следующие классы: 1) абстрактные модели (идеальные модели нашего сознания, мышления): а) образная модель. На ранних этапах работы человеческого мозга видимо играют роль неязыковые формы мышления типа «эмоции», «интуиция», «подсознание», «образное мышление» и т.д. Это внутренние модели нашего мозга, ведущие к иррациональной форме общения (искусство, гипноз, телепатия, мимика и т.д.); б) языковая модель (вербальная) характеризуется еще некоторой (достаточно большой) неоднозначностью. Приблизи тельность – неотъемлемое свойство языковых моделей, придающее прелесть человеческим общениям (Тютчев: «Мысль изреченная есть ложь»); в) математические модели обладают максимальной точностью. Однако нематематизированность науки еще не означает ее «ненаучность» – это видимо временное явление. 2) материальные модели (реальные, вещественные) включают: а) прямое отображение (фотография, модель самолета, макет здания, протез, выкройка и т.д.); б) косвенное отображение (например, электромеханическая аналогия – колебания; часы – аналог времени). Здесь возникла новая наука – синектика – генерирование идей путем поиска аналогий поставленной задаче; в) условное отображение (например, деньги, удостоверение личности, чертежи, карты); г) знаковые модели используют в специальных науках – типа теории связи, теории информации, радиотехнике и т.д. Здесь в качестве модели используются сигналы, названные кодом. В этой области возникла особая наука – семиотика (от греческого «знак»). Семиотика изучает три группы отношений:

Э.Ф. Казанцев

•

синтаксис (от греческого «построение», «порядок») изучает отношения между знаками, позволяющие отличать их и строить из них сложные конструкции; • семантика (от греческого «обозначение») изучает изначальный смысл знаков; • прагматика (от греческого «дело», «действие») изучает отношение между знаками и теми, кто их использует. В целом можно сказать, что модель есть системное отображение оригинала. Из всех перечисленных выше подходов, к настоящему моменту, доминируют математические модели.

1.3. Некоторые особенности моделирования динамических систем а) проблема устойчивости модели Математические модели динамических систем основаны на дифференциальных уравнениях вида: du i t

1 Fi u j , Wi

(1)

где ui(t) – динамические переменные (например, численность особей в популяции, концентрации реагирующих веществ и т.д.); t – время; F i – нелинейные функции, описывающие их взаимодействие (независимые явно от времени); τi – характерные времена изменения переменных ui ; i – количество строк, j – количество столбцов. Обычно i = j = n. Уравнения (1) являются детерминированными (динамическими), то есть при задании конкретного вида функции Fi их решения, вообще говоря, однозначно определяются начальными условиями. Казалось бы, в такой ситуации ничего неожиданного быть не должно. Тем не менее, такие неожиданности здесь воз-

Математическое моделирование в экономике

никают, когда решения динамических уравнений теряют устойчивость. С устойчивостью динамических систем связана и проблема необратимости процессов. Состояния системы u i (0), при которых все функции Fi [ui(0)] = 0 называются стационарными (независящими от времени). В этом случае все производные (1) также равны нулю. 0 Однако малые отклонения от стационарных значений u ic u i u i изменяются со временем и их изменение можно описать системой линейных дифференциальных уравнений (процедура линеаризации будет дана позже): du ic dt

a ij u cj ,

wFi (при uj = uj(0)). wu j

где aij

Решение данной системы имеет вид: u ic

D ij e

O jt

Коэффициенты α пропорциональны начальным отклонениям: α ~ u΄(0) и малы в меру малости последних. Величины λj являются решениями алгебраического (характеристического) уравнения: det |aij – δijλj| = 0 где δij – символ Кронекера: δij = 0, если i ≠ j; δij = 1, если i = j. Величины λj играют центральную роль в теории устойчивости и называются числами Ляпунова. Если числа Ляпунова отрицательны (λ < 0), то все u ic убывают со временем, поэтому состояние системы устойчиво. В этом случае система стремится обратно к стационарному состоянию, если ее немного отклонить от него. Если хотя бы одно из чисел Ляпунова положительно, то стационарное состояние неустойчиво. Действительно, предел величины u΄ = α × eλt (где λ > 0) при α → 0 и t → ∞ определяется фактором eλt. Суть дела в том, что экспоненциальная зависимость возрастает столь сильно, что компенсировать ее уменьшением

Э.Ф. Казанцев

α – задача абсурдная. В общем случае числа Ляпунова могут быть комплексными. Тогда устойчивость определяется знаком действительной части λ. Подчеркнем важное свойство неустойчивости: числа Ляпу нова являются характеристическими (собственными) числами системы; они не зависят от начальных условий. Таким образом, неустойчивость (или устойчивость) есть внутреннее свойство исследуемой системы, а не результат внешнего воздействия. Особенность его в том, что оно проявляется только при наличии малых внешних воздействий. Рассмотрим простейший пример системы двух линеаризированных уравнений: du1 dt

au1 bu 2 ;

du 2 dt

cu1 du 2 .

Общее решение данной системы: u1 = Aeλt; u2 = Beλt. Подставляя полученные решения в исходную систему, получим: a O

d O

или λ2 – (a + d)λ + (ad – bc) = 0. Решение этого квадратного уравнения дает значения чисел Ляпунова λ1, 2, при которых существуют ненулевые решения системы (1): O 1, 2

a d r 2

a d 2 4

bc ad .

Математическое моделирование в экономике

Возможны шесть типов состояний равновесия в зависимости от вида корней характеристического уравнения: 1) устойчивый узел (λ 1 и λ 2 действительны и отрицательны); 2) неустойчивый узел (λ1 и λ2 действительны и положительны); 3) неустойчивое седло (λ 1 и λ 2 действительны и разных знаков); 4) устойчивый фокус (λ1 и λ2 комплексны и Re λ < 0); 5) неустойчивый фокус (λ1 и λ2 комплексны и Re λ > 0); 6) «нейтральный» центр (λ1 и λ2 чисто мнимые). Первые пять типов состояний равновесия являются грубыми: их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнения (1) и их производных первого порядка. Шестое состояние ни устойчивое, ни неустойчивое. Но при малом изменении параметров системы состояние системы становится неустойчивым. б) иерархия времен При рассмотрении динамических уравнений (1) мы сталкиваемся с проблемой исследования многомерных систем, содержащих огромное число переменных. Здесь на помощь приходят методы редукции, то есть сведения системы большого числа дифференциальных уравнений к более простой системе из меньшего числа уравнений – к так называемой базовой модели. Целью базовых моделей является описание (предсказание) «неожиданных» явлений. Высокая точность описания не требуется, важно лишь, чтобы в модели сохранялись качественные черты явления. От базовой модели также требуется, чтобы она была «грубой». Это означает, что при малом изменении параметров и слабом расширении базовой системы, решения должны меняться мало.

Э.Ф. Казанцев

Метод редукции основан на временной иерархии процессов, происходящих в системе. Последнее означает, что характерные времена τi в (1) существенно различны и их можно разделить на три группы: 1) процессы, времена которых совпадают с характерными временами интересующего нас явления; 2) медленные (по сравнению с первыми) процессы; 3) быстрые (по сравнению с первыми) процессы. Благодаря такому делению, все медленно изменяющиеся переменные мы можем считать постоянными и равными их начальным значениям. А быстро изменяющиеся переменные успевают принять некоторые стационарные состояния. В результате останутся процессы, имеющие примерно одинаковые скорости и их, как правило, немного. При редукции системы требуется выполнение теоремы Тихонова: стационарное состояние редуцируемого уравнения должно быть устойчиво (λ > 0). После исследования базовой модели ее расширяют до полной, которая называется имитационной. Рассмотрим систему (1), состоящую из двух уравнений: dx dt

dy 1 P( x , y ) ; Wx dt

1 Q( x , y ) . Wy

Пусть τx >> τy. Согласно теореме Тихонова данную систему можно редуцировать до одного уравнения: dx dt

1 P ( x , y ( x)) , Wx

где y(x) – решение алгебраического уравнения Q(x, y) = 0. Особые точки системы удобно находить с помощью метода изоклин. Уравнение изоклин легко получить из уравнения: dy dx

Q( x , y ) P( x , y )

где A – const.

Математическое моделирование в экономике

Линии с уравнениями P(x, y) = 0; Q(x, y) = 0 называются главными изоклинами. Точки их пересечения соответствуют стационарным состояниям, поскольку при этом обе производные dx dt

dy dt

а) в случае линейных систем вида: dx dt

ax by;

dy dt

cx dy

изоклины представляют собой пучок прямых, проходящих через начало координат: cx dy ax by

( Aa c) x ; d Ab

A или y

б) в случае нелинейных систем вида: du1 dt

u1 u1u 2 au1 ;

du 2 dt

u 2 u1u 2 u 2 'u1

изоклины вертикалей (∆u 1 = 0) определяются из условия: 2 u1 u1u 2 au1 0 или u1(1 – u2 – au1) = 0 и соответствуют линиям: u1 = 0; u2 = 1 – au1. Изоклины горизонталей (∆u2 = 0) определяются условием: 2 u 2 u1u 2 au 2 0 или u2(1 – u1 – au2) = 0 и соответствуют линиям: u2 = 0; u1 = 1 – au2. 1

Из рис. 1 видно, что при a система имеет четыре ста3 ционарных состояния. Первое расположено при u1 = u2 = 0 и неустойчиво, так как оба числа Ляпунова положительны и равны 1 (λ = ±1). Это – неустойчивый узел. Второе расположено на биссектрисе: u 1 = u 2 = (1 + a) –1 и тоже неустойчиво (типа седла). Имеются два устойчивых состояния (типа узла): при u1

1 a

3; u 2

0 и при u 2

отрицательны.

1 a

3; u1

0 ; в них оба числа Ляпунова

Э.Ф. Казанцев

Рис. 1. Изоклины симметричной системы

Метод изоклин дополняет наглядную картину фазовых траекторий, так как изоклины также изображаются в фазовой плоскости. в) в общем случае для системы (1) изоклины дают траекторию движения изображающей точки (рис. 2).

Рис. 2. Фазовые портреты системы второго порядка общего типа: а) при τx ≈ τy; б) при τx >> τy

Математическое моделирование в экономике

Движение изображающей точки по траектории дает представление о развитии процесса во времени, даже если точное решение системы (1) неизвестно или не может быть выражено в аналитической форме. При этом можно наглядно проиллюстрировать теорему Тихонова. Если τx >> τy, то траектории во всех точках, кроме лежащих на горизонтальной изоклине Q(x, y) = 0, практически вертикальны, поскольку ∆y >> ∆x. Поэтому изображающая точка быстро, за время τy, попадает на горизонтальную изоклину и затем медленно (за время τx) движется к стационарному состоянию согласно редуцированному уравнению. Формально траектория плавная, но на ней имеется очень крутой поворот в точке (x1, y2). Редуцированное уравнение этот крутой поворот не описывает, так как начальное значение переменной y1 в этом уравнении не фигурирует, важно лишь значение x1. Иными словами, редуцированная система «забывает» о начальном значении y. Таким образом, редуцированная система правильно описывает процесс на ограниченном, но наиболее важном для данной задачи временном интервале (если наша задача – описать медленный процесс, а не быстрый). Другими словами, при редукции сложной системы количество информации сокращается, но сохраняется ценная информация, а не ценная забывается. В неживых системах такая ситуация встречается редко, а в живых наблюдается практически всегда. Отсюда следует на первый взгляд парадоксальный вывод: построение математических моделей живых самоорганизующихся систем – задача более простая, чем моделирование процессов в неживой природе.

1.4. Физический подход к моделированию а) принцип наименьшего действия Математический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем в XVIII веке, позволяет находить экстремум функций только

Э.Ф. Казанцев

одной (максимум двух) переменных. Однако реальные системы, как правило, содержат большее число переменных. Поэтому остро стояла проблема – получить общие методы вычисления экстремума для задач с большим числом степеней свободы. Эта проблема была решена независимо физиком Лагранжем и математиком Эйлером. Физическую систему полностью определяет задание функции координат и скоростей L( x , y , y ) , которая называется функцией Лагранжа (лагранжиан). Интеграл от функции Лагранжа называется действием: x2

³ L( x , y , y )dx ,

(2)

где x1 и x2 – начальное и конечное состояния системы. Многовековой опыт развития физики позволил Гамильтону сформулировать принцип наименьшего действия, играющий фундаментальную роль в современной физике: «Между двумя состояниями x1 и x2 система движется таким образом, чтобы действие было минимальным». На математическом языке эта задача звучит так: требуется найти такую функцию y(x), чтобы выражение (2), называемое функционалом, было минимальным. Данная задача решается с помощью вариационного исчисления. Введем основные понятия. Пусть функция y(x) дает минимальное из возможных значений функционала S. Пусть y*(x) – другая функция, отличная от y(x) на бесконечно малую величину в каждой точке интервала [x1x2]. Обозначим: δy = y*(x) – y(x).

(3)

Операция δ называется варьированием – это бесконечно малое изменение функции при данном значении аргумента x. Варьирование отличается от дифференцирования тем, что в нем аргумент x не изменяется.

Математическое моделирование в экономике

Запишем (3) в виде: δ = y*(x) – y(x) = εφ(x),

(4)

где φ – произвольная функция, а параметр ε → 0. Свойства варьирования: а) δx = 0;

(5)

б) d Gy G dy ; dx

(6)

в) G y ( x)dx

³ Gy( x)dx.

(7)

При нахождении экстремума функции одной переменной в математическом анализе мы приравниваем первую производную нулю ( y cx 0). В этой точке скорость изменения функции равняется нулю, и эта точка называется стационарной. Аналогично поступают и в вариационном исчислении. Условие стационарности функционала: δS = 0.

(8)

Вычислим вариацию функционала, используя свойство в):

³ GLdx .

GS G Ldx

Распишем δL по формуле (4): GL

L( x , y , y x ) L( x , y , y x )

L( x , y HM, y x HM x ) L( x , y , y x ) .

Разложим L* в ряд Маклорена по степеням ε и отбросим члены малости выше ε2 и выше: GL L( x , y , y x ) L( x , y , y x )

§ wL · wL wL wL HM HM x ... H ¨¨ M M x ¸¸ . wy wy x w w y y x © ¹

Э.Ф. Казанцев

Таким образом, условие стационарности функционала (8) будет выглядеть так: x

2 § wL · wL M x ¸¸ dx 0 . H ¨¨ M w w y y x ¹ x1 ©

(9)

Второе слагаемое в (9) проинтегрируем по частям: x2

wL wL M x dx M w yx w yx

M x1

d wL dx . dx w y x

(10)

Так как мы закрепили функцию y (x) в точках x1 и x2, то в этих точках φ = 0 и первое слагаемое в (9) исчезает. Таким образом: GS H

§ wL

d wL · ¸M( x)dx 0 . ¸ x ¹

³ ¨¨© wy dx wy

Так как φ(x) – произвольная функция, то подынтегральное выражение можно приравнять к нулю: wL d wL wy dx wy x

(11)

Это уравнение, определяющее условие минимизации функционала S, называется уравнением Эйлера – Лагранжа. Строго говоря, еще надо показать, что δ2L > 0. Но, как правило, это условие выполняется автоматически. Таким образом, зная функцию Лагранжа конкретной системы, мы всегда можем найти уравнения движения этой системы. б) законы сохранения Законы поведения физических систем непосредственно связаны со свойствами нашего пространства и времени. Например, изотропность и однородность пространства и времени означает, что функция Лагранжа свободно движущейся точки не мо& жет содержать в явном виде ни радиус-вектор точки r , ни вре-

Математическое моделирование в экономике

мя t не может зависеть в явном виде от направления вектора v . Поэтому функция Лагранжа свободно движущейся точки имеет единственно возможный вид (m – масса материальной точки): L

mv 2

и называется кинетической энергией (Т) данной системы. Соответственно, уравнение Эйлера – Лагранжа для свободно движущейся точки имеет вид: d wL dt wv

Откуда следует, что

wL wv

const . Но поскольку

wL являетwv

ся функцией только скорости, то отсюда следует, что ν = const. Это уравнение составляет содержание так называемого закона инерции: в однородном и изотропном пространстве свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Рассмотрим теперь систему материальных точек, взаимодействующих только друг с другом, но ни с какими посторонними телами; такую систему называют замкнутой. Взаимодействие между точками может быть описано прибавлением к функции Лагранжа свободно движущихся точек определенной функции координат (–U), называемой потенциальной энергией системы: L = T(ν) – U(y).

(12)

Этот вид функции Лагранжа показывает, что время не только однородно, но и изотропно, т.е. его свойства одинаковы по обоим направлениям. В самом деле, замена t на –t оставляет функцию Лагранжа, а следовательно, и уравнение движения неизменными. В этом смысле все движения, происходящие по законам физики, обратимы. Подставляя функцию Лагранжа (12) в уравнение (11), найдем уравнение движения системы взаимодействующих частиц:

Э.Ф. Казанцев

dv dt

wU , wr § wU ·

¸¸ F которое называется уравнением Ньютона; вектор ¨¨ © wr ¹ называется силой, действующей на отдельную точку. В силу однородности времени функция Лагранжа замкнутой системы не зависит явно от времени. Поэтому полная производная функции Лагранжа по времени может быть записана следующим образом: dL w L w L y y dt w y w y

(если бы L зависела явно от времени, то к правой стороне данноwL wL , ). Заменяя производные wy wt d wL , согласно уравнению Эйлера – Лагранжа, на получим: dt w y dL d wL wL d §wL · y ¨ y y ¸ dt dt w y w y dt ¨© w y ¸¹

го равенства добавился бы член

или · d § wL ¨ y L ¸¸ 0 . dt ¨© w y ¹

Отсюда видно, что величина Е E

wL L const w y

(13)

остается неизменной при движении замкнутой системы. Эта величина E называется энергией, а (13) выражает закон сохранения энергии. Системы, энергия которых сохраняется, называют консервативными. Заметим, что y

wL w y

wT w y

2T .

Математическое моделирование в экономике

Подставляя это значение в (13), найдем: E = T + U. Таким образом, энергия системы может быть представлена в виде суммы кинетической и потенциальной энергии. В силу однородности пространства свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого в пространстве. Изменение функции Лагранжа L в результате бесконечного малого изменения координат (y → y + ε) при неизменных скоростях частиц есть GL

wL Gy wy

wL . wy

Ввиду произвольности ε требование δL = 0 эквивалентно требованию wL wy

т.е. сумма сил, действующих на частицы замкнутой системы, равна нулю. В силу уравнения Эйлера – Лагранжа получим отсюда: d § wL · ¨ ¸ dt © wv ¹

d mv 0 . dt

(14)

Таким образом, мы приходим к выводу, что в замкнутой & & системе векторная &величина P mv остается неизменной при движении. Вектор P называется импульсом, а (14) выражает закон сохранения импульса. Разложим потенциальную функцию U(y) в ряд Маклорена: U ( y)

U (0) U c(0) y

k 2 D 3 E 4 y y y ... , 2! 3! 4!

(15)

где k = U΄΄(0); α = U΄΄΄(0); β = U΄΄΄΄(0). При соответствующем выборе начала координат и переопределении входящих коэффициентов первые два слагаемых

Э.Ф. Казанцев

в (15) можно положить равными нулю. Рассмотрим сначала перk 2

вый из оставшихся, неисчезающий член U ( y ) # y 2 . В этом случае функция Лагранжа имеет вид: L

my ky . 2 2

(16)

Подставляя (15) в (9) получим соответствующее уравнение движения: y Z 2 y 0; Z 2

k . m

(17)

Мы получили так называемое линейное уравнение осциллятора, решение которого может быть представлено в виде: y = A cos(ωt + δ).

(18)

В этом случае говорят о линейных, гармонических колебаниях.

2. Простейшие динамические модели в экономике

2.1. Модель экспоненциального роста В качестве объекта исследования рассмотрим биологические системы. Рассмотрим популяцию особей (клетки, люди, животные, растения). Предположим, что за каждое поколение количество особей удваивается: N = N0 2n,

(19)

где n = t/τ, t – текущее время, τ – время удвоения числа особей, N0 – исходное количество особей. Сперва прологарифмируем данное выражение: ln N = = ln N0 + ln 2t/τ, а затем пропотенцируем его: e

ln N

t ln N 0 ln 2 W

и введем параметр ε: H N = N0 eεt.

ln N 0

t ln 2 W

N0 e

ln 2/W

ln 2 . Окончательно получим: W

(20)

Это так называемый закон экспоненциального роста, или закон Мальтуса. Под N можно понимать число особей, их биомассу m размеры объекта R.

так:

Э.Ф. Казанцев

В дифференциальной форме закон Мальтуса записывается dN dt

H N,

(21)

что отражает наблюдаемую зависимость скорости роста от количества особей. Проинтегрируем уравнение (21):

dN N

³ Hdt ;

отсюда ln N = εt + C. Выберем постоянную интегрирования C = ln N0. ln N

ln N

e 0e . Далее потенцируем: e В результате получим тот же закон Мальтуса:

N = N0 eεt. Из уравнения (21) виден смысл параметра ε: H

dN / dt , N

(22)

это удельная скорость роста, которая может принимать в различных ситуациях различные значения (рис. 3).

Рис. 3. Экспоненциальная кривая (ε1 > ε2 > ε3)

Математическое моделирование в экономике

То есть чем больше удельная скорость роста, тем круче выглядит экспонента. Фактически ε = ε1 – ε2, где ε1 – удельная скорость размножения особей, ε 2 – удельная скорость их отмирания и результирующая кривая будет зависеть от разности этих альтернатив. Чтобы рост живой материи отвечал экспоненциальному закону, необходимо выполнение соответствующего, довольно уникального, условия. Назовем его условием оптимальной среды: во-первых, экспоненциальный рост возможен только при наличии нелимитированного количества необходимого субстрата и энергии. Сюда относятся и питательные вещества, и свет, и вода, и оптимальные значения температуры среды, ее химического состава, давления, влажности и т.д. То есть живая материя должна быть помещена в некий идеальный резервуар с неограниченными запасами вещества и энергии. Во-вторых, содержимое этого резервуара должно быть доступным любой клетке живой материи, и никакие внешние силы или взаимодействия между клетками не должны ограничивать свободное размножение клеток. Если условие оптимальной среды нарушается, то характер роста живой материи отклоняется от экспоненциального и может принимать самые разнообразные и даже уродливые формы. (Как писал Хлебников: «сотри случайные черты и ты увидишь мир прекрасен».) В этой связи мы можем сформулировать аналог закона инерции в физике: если на живой объект не действуют никакие внешние силы (и выполняется условие оптимальной среды), то он «движется» по экспоненциальной кривой. То есть рост живого объекта есть его «движение». Обращает на себя внимание всеобщность закона экспоненциального роста: в биологии – рост биомассы, в космологии – Большой Взрыв, в экономике – инфляция, в физике – радиоактивный распад.

Э.Ф. Казанцев

2.2. Модель конкуренции а) внутривидовая конкуренция Если для популяции особей одного вида наблюдается недостаток продуктов питания, то отдельные особи будут конкурировать между собой за эти продукты. Так как вероятность встречи двух особей пропорциональна N2, то условие конкуренции может быть учтено добавлением в уравнение (21) слагаемого типа (–γN2): d1 2 İ1 J1 , dt

(23)

где γ – параметр внутривидовой конкуренции. Уравнение (23) носит название уравнения Ферхюльста и его решение есть логистическая (s-образная) кривая (рис. 4).

Рис. 4. Логистическая кривая

б) межвидовая конкуренция Рассмотрим популяцию, состоящую из особей двух видов: зайцев и волков. Зайцы (x) питаются растительной пищей, которой имеется всегда в достаточном количестве. Поэтому зайцы размножаются по закону:

Математическое моделирование в экономике

dx dt

H1 x .

(24)

Волки (y) могут питаться только зайцами, поэтому если нет зайцев, волки вымирают: dy dt

H 2 y .

(25)

Убыль зайцев пропорциональна вероятности их встречи с волками, т.е. в уравнение (24) надо добавить слагаемое (–γxy) (γ – параметр межвидовой конкуренции, знак минус учитывает убыль численности зайцев). Прирост волков пропорционален вероятности их встречи с зайцами, т.е. в уравнение (25) надо добавить слагаемое (+γxy), знак плюс учитывает рост численности волков. Таким образом, система уравнений, описывающих сложившуюся ситуацию, имеет вид: dx dt

½ H1 x J xy ° ° ¾. ° H 2 y J xy ° ¿

dy dt

(26)

Полученная система уравнений называется моделью Лот ки – Вольтерра, или моделью «хищник – жертва». Найдем решения системы (26) в состоянии равновесия x0 0 и y (так называемые стационарные состояния), т.е. будем считать, что x и y не зависят от времени: dx dt

dy dt

(27)

тогда дифференциальные уравнения (26) переходят в алгебраические: H1 x

H2 y

0 0 J x y ½° ¾. 0 0° Jx y ¿

(28)

Э.Ф. Казанцев

Решения стационарной системы: x

H2 0 ;y J

H1 . J

(29)

Далее предположим, что отклонения численности волков и зайцев от стационарных значений малы: x x c(t ) ½° ¾, 0 y y c(t )°¿ 0

x y

(30)

y΄ << y0, x΄ << x0. Подставим (29) и (30) в уравнение (26) и отбросим произведения переменных величин как величины второго порядка малости. В результате получим: dx' dt dy' dt

½ H 2 y c° °. ¾ ° H1 xc ° ¿

(31)

Проделанная процедура называется линеаризацией уравнений (26), то есть избавление от нелинейных членов типа (~ x΄· y΄). Продифференцируем первое уравнение в (31) по времени и подставим в него второе уравнение из (31): 2

d x' dt

H 2 H1 x c .

Обозначим: ε2ε1 = ω2.

(32)

В итоге получим: 2

d x' dt

Z x' 0 .

(33)

Математическое моделирование в экономике

Это уравнение линейного осциллятора, решением которого является синусоида. Такое же уравнение получается и для y. Только решения для x и y будут с разной амплитудой и сдвинуты на фазе (рис. 5).

Рис. 5. Популяционные волны (y – хищник, x – жертва)

Из рис. 5 легко видеть, что уменьшение количества зайцев через некоторое время повлечет за собой уменьшение количества волков, и наоборот. Такое явление в природе наблюдается и называется популяционными волнами. Запишем уравнение (33) опять в виде двух уравнений (переопределив x΄ = ε2x, y΄ = y): dx dt

dy dt

Z x

и разделим второе уравнение на первое: dy dx

Z x. y

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные: y dy = –ω2x dx.

Э.Ф. Казанцев

Интегрируем обе части: y2 = –ω2x2 + C и представим полученное выражение в таком виде: 2

y x 1. C (C / Z 2 )

Это набор эллипсов в координатах (x, y) (рис. 6).

Рис. 6. Фазовый портрет системы (31)

Плоскость переменных x и у называется фазовой плоскостью. Решения уравнений (31) на этой плоскости образуют интегральные кривые, которые называются фазовыми траекториями. Через каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна траектория. Обозначив стрелками направления движения (dx/dt > 0 – по часовой стрелке), получаем полный фазовый портрет линейного осциллятора. Состоянию равновесия (стационарному состоянию) соответствует точка

dy dt

динат (x = 0; y = 0).

dx dx

0 , в нашем случае это начало коор-

Математическое моделирование в экономике

Состояние равновесия, к которому не стремится ни одна траектория, называется особой точкой типа центр (изолированная особая точка). Скорость движения изображающей точки вдоль фазовой траектории (фазовая скорость) для гармонического осциллятора не зависит от траектории. Период обращения всегда равен: T

2S . Z

Для системы уравнений (26) особая точка (центр) оказывается неустойчивой. Поэтому недостатком модели (31) является неустойчивость решений, заложенная в экспоненциальном законе роста. Модель можно усовершенствовать, предположив, что изза ограниченности ресурсов численность популяции не может расти бесконечно, т.е. в систему (31) надо добавить слагаемое, учитывающее конкуренцию внутри вида за продукты питания: dx dt

H 1 x J xy E 11 x

dy dt

H 2 y J xy E 22

½ ° ° ¾ . 2° y ° ¿

(34)

После линеаризации получаем уравнение: dy dx

2E y Z x . y

Делаем замену переменных: y = xz, и переменные разделяются: zdz

z 2E z Z

dx . x

(35)

Для решения данного уравнения рассмотрим три случая: а) β2 < ω2 (малое затухание). После интегрирования (35) и перехода к старым переменным находим:

Э.Ф. Казанцев

2 2

y 2Exy Z x

C1 exp(

E 2

Z E

arctg

y Ex 2

Z E x

Фазовый портрет в данном случае представляет собой логарифмические спирали, скручивающиеся к точке равновесия (х = 0; у = 0), которая называется устойчивым фокусом (рис. 7).

Рис. 7. Фазовый портрет системы (34)

Численность хищников и жертв совершает во времени затухающие колебания. Решение устойчиво. б) если β2 > ω2 (сильное затухание), то процесс будет затухающим, но не периодическим. Состояние системы характеризуется наличием устойчивого узла. Изменение знака β (отрицательное трение) приводит к неустойчивому узлу; 2

d x dt

в) рассмотрим системы, описываемые уравнением 2

Z x

0 , – это отклонение маятника от положения рав-

новесия в верхней точке (система с отталкивающей силой). Уравнение интегральных кривых:

Математическое моделирование в экономике

dy dx

Z x ; y

(36)

после разделения переменных и интегрирования получим: y2 –ω2x2 = c. Это семейство гипербол.

Рис. 8. Фазовый портрет системы (34)

Состояние равновесия (х = 0; у = 0) в этом случае называется седлом (рис. 8). Движение в окрестности седла, очевидно, неустойчиво. Включение в эту систему трения (как положительного, так и отрицательного) не изменит принципиально фазового портрета. 2.3 Модель саморегуляции Впервые модель саморегуляции была предложена французскими учеными Жакобом и Моно (триггерная модель) на примере взаимодействия двух генов в живой клетке (рис. 9).

Э.Ф. Казанцев

Рис. 9. Триггерная модель Жакоба – Моно

Транскрипцией белка (E) со структурного гена (G) управляет специальный участок – оперон (О), который бывает в двух состояниях: открытом и закрытом. В открытом состоянии идет образование матричной РНК. Закрытие оперона (репрессия) происходит в результате соединения оперона со специальным белком-репрессором (ra), за синтез которого отвечает ген-регулятор (R). Активность белка-репрессора зависит от корепрессора (Р), который является продуктом цитоплазмы (S) и несет информацию о том, сколько субстракта нужно клетке (Е – система) для синтеза белка со структурного гена. Триггерный механизм экспрессии гена возникает, когда две системы синтеза белков Е1 и Е2 связаны альтернативно. Пусть х1 и х2 – концентрация корепрессоров; А – активность ферментов метаболизма клетки (S – субстрат); n – порядок химической реакции. Триггерная модель описывается следующей системой уравнений:

Математическое моделирование в экономике

dx1 dt dx 2 dt

½ x1 ° (1 ° ¾. A2 ° x2 ° n (1 x1 ) ¿ n x2 )

(37)

Фазовый портрет системы (37) показан на рис. 10.

Рис. 10. Фазовый портрет триггерной модели

При n = 1 (мономолекулярная реакция) система имеет одну особую точку типа устойчивого узла: триггерного эффекта не возникает. При n = 2 (бимолекулярная реакция) и А < 2 фазовый портрет системы тот же, триггерный эффект также не возникает (недостаточно активен метаболизм). При n =2 и А ≥ 2 появляются три стационарных состояния (триггер): точки 1 и 2 – устойчивые состояния;

Э.Ф. Казанцев

точка 3 – неустойчивое состояние (типа седла), (точка бифуркации). Генетическая система, следуя за субстратом, переключается из состояния 1 в состояние 2 через неустойчивое состояние 3. Роль триггерных систем выходит за рамки чисто молекулярных моделей. На основе триггерной модели Д.С. Чернавский сформулировал общесистемную теорему: «Любая система из одного устойчивого состояния может перейти в другое устойчивое состояние только через состояние хаоса». Потеря устойчивости – есть необходимое условие усложнения формы развивающейся системы, т.е. вариабельность, хаос есть плата за развитие. Область фазового пространства, в которую со временем стремятся все неустойчивые состояния, называется странным аттрактором. Динамическое поведение системы, обладающей странным аттрактором, представляется непредсказуемым, стахостическим.

3. Модель экономической структуры общества

3.1. Поведенческие функции в экономике а) функция спроса В экономическом аспекте поведенческие реакции людей в первую очередь отражаются так называемой функцией спроса Q(U, р). Она представляет собой зависимость количества товара Q, приобретаемого в единицу времени, от имеющихся средств U и цены р. Средства U, предназначенные для приобретения товаров, либо совпадают с полными накоплениями потребителя, либо определяются его доходами (у) в единицу времени (если накопления почему-либо отсутствуют). Во втором случае функция спроса зависит от дохода y и цены р. В обоих случаях качественные свойства функции потребления одинаковы. Важно, что функция Q(U, p) не изменяется при пропорциональном изменении цены р средств U и доходов у, что, в частности, используется при деноминации денег (то есть Q(U, p) – функция нулевого ранга). Поэтому она зависит от одной переменной – покупательной способности r, которая равна отношению r = U/p. Различают функции спроса на товары и услуги первой необходимости QI и товары долговременного пользования QII (плюс элитные товары). К первым относятся пища, одежда, жилище, тепло и транспорт. Ко вторым – большинство промышленных товаров народного потребления. Граница между товарами I и II категории условна и в разных странах различна. К элитным

Э.Ф. Казанцев

товарам и услугам относятся предметы роскоши, а также предметы и услуги, символизирующие авторитет и власть (имидж). Функция спроса на товары первой необходимости QI (r) приведена на рис. 11. Величина QI, 0 (r) представляет собой прожиточный минимум, обеспечивающий существование. Он определяется, скорее, физиологическими потребностями, но не «человеческим фактором». Отказаться от приобретения товаров первой категории при наличии даже малых средств люди не могут. При достижении значения QI, 0 (r) функция спроса растет медленно. Этот рост связан с изменением ассортимента, престижем и т.п., то есть с тем, что называется «человеческим фактором».

Рис. 11. Зависимость функции спроса на товары первой необходимости (I категории) QI от покупательной способности накоплений r = U/p (U – имеющиеся денежные средства, р – цена)

Отсюда следует, что при r = 0 функция QI (r) = 0 и далее возрастает, но медленнее, чем линейно, то есть является всюду выпуклой (что и показано на рис. 11). Ее удобно представить в аналитической форме:

Математическое моделирование в экономике

ª r º QI,0 « H1 r » . ¬« r rI,0 ¼»

(38)

Параметр ε1 отражает наличие товаров одного вида, отличающихся по качеству и цене. Он мал и при небольших r мало влияет на вид QI (r). Функция спроса на товары второй категории QII (r), график которой приведен на рис. 12а, аналитически описывается формулой вида Q II

ª º r rmin H 1 (r rmin )» , 4(r rmin ) «Q II,0 (r rmin ) rII, 0 «¬ »¼

(39)

0 ɩɪɢ x d 0 где 4( x) °® . ° ¯ 1 ɩɪɢ x ! 0

Функция QII обладает следующими свойствами: 1) она имеет пороговый характер. Это значит, что при недостатке средств (или высокой цене, т.е. при r < rmin) люди отказываются приобретать товары II категории; 2) функция практически не насыщаема. Это свойство в эволюционной экономике играет важную роль. Поэтому обсудим его детальнее. Товары всех категорий (и особенно, второй) разнообразны. Спрос на определенный товар насыщаем и даже может падать с ростом покупательной способности за счет вытеснения его товарами той же категории. Это происходит при появлении новых товаров, функционально тождественных уже имеющимся. Как правило, качество новых товаров выше. Часто, однако, вытеснение происходит без повышения качества, за счет рекламы и моды. Функция спроса на агрегированный продукт включает все товары, в том числе и новые. Ненасыщаемость этой функции – следствие обновления ассортимента или, что то же, эволюции техники и экономики. Без этого ненасыщаемость может и отсутствовать.

Э.Ф. Казанцев

Рис. 12. (а) Зависимость функции спроса на товары II категории QII от покупательной способности r (современная Россия);

p 1/ r. (б) Зависимость функции спроса от условной цены ~ Прямая линия отражает пороговый характер функции спроса II категории. Штриховая – отступление от линейной формы, соответствующее ненасыщаемости

При больших значениях r потребление товаров и услуг II категории плавно переходит в элитарное потребление. Важная характеристика функции QII (r) – крутизна подъема, т.е. ее поведение вблизи значения r = rmin. Этот параметр отражает чувствительность спроса к изменению цены и/или накоплений. Мерой чувствительности в экономике считается специальная величина – эластичность спроса по покупательной способности Er. В данном случае Er

r dQ Q dr

d ln Q . d ln r

(40)

Величина Er согласно (30) при r = rmin формально бесконечна. При r = 2rmin E r (r | 2rmin ) #

r (r rmin )(r rmin rII, 0 )

2rII, 0 rmin rII, 0

(41)

Математическое моделирование в экономике

Таким образом, эластичность функции QII(r) определяется параметром rII, 0 . Эластичность спроса по цене E ~p связана с эластичностью по r соотношением E ~p

~ p dQ Q d~p

Er .

(42)

Часто используют представление функции спроса как зависимость Q от условной цены ~p (которая обратно пропорциональна покупательной способности: ~p p / U 1 / r ) в простейшей линейной форме. Этой форме соответствует зависимость QII(r) в виде QII

QII, 0 (1 rmin ~ p ),

(43)

приведенная на рис. 12б в координатах ~p , Q. Важно, что выражение (43) не описывает свойство ненасыщаемости, поэтому его можно использовать лишь в ограниченном интервале значений p. Для сравнения на рис. 12б штрихом представлено выражение (40), учитывающее ненасыщаемость. Параметры функции QII (r) отражают разные стороны «человеческого фактора», то есть зависят от обычаев, сложившихся в обществе, рекламы, моды, пропаганды и т.п. Параметр rmin отражает границу между потреблением товаров I и II категорий. Величина rII, 0 характеризует поведение среднего класса. Люди этого слоя довольствуются товарами II категории среднего достоинства и не стремятся подражать элите. Это значит, что функция QII (r) ведет себя сравнительно плавно и полого. В России средний слой практически отсутствует. Люди, едва добившиеся экономического успеха, стараются вести себя как «новые русские», подражая элите, и тратят средства на «имидж». Это значит, что функция QII (r) поднимается достаточно круто. Такому поведению способствует пропагандистский лозунг, брошенный в начале реформ: «стыдно быть бедным». Как упоминалось, такое поведение является коллективным. От него

Э.Ф. Казанцев

не может отказаться даже человек, в личном плане достаточно скромный. Параметр QII, 0 описывает уровень жизни состоятельных людей в стране. В развитых странах это уровень жизни среднего слоя, в России – уровень жизни людей, подражающих «новым русским». Величина ε2 отражает рост спроса на элитные товары с увеличением накопленных средств. Она тоже различна в разных странах в зависимости от сложившейся обстановки. Функцию спроса (и/или ее параметры) можно определить несколькими методами: 1) в социологии применяются методы опроса. Они дают прямую, но часто искаженную информацию и весьма трудоемки. В настоящее время в России функцию спроса невозможно получить только методами опроса. 2) метод косвенных оценок основан на использовании статистических данных о доходах, ценах на разные товары и об объемах их производства. Эта информация более доступна и позволяет оценить некоторые параметры функций спроса. 3) метод экспертных оценок широко применяется и в экономике, и в социологии. Он аналогичен консилиуму врачей при постановке диагноза. Собирается консилиум экономистов и социологов, и им предлагается оценить параметры функций спроса в данной стране, опираясь на свой опыт и интуицию. Часто эксперты делают оценки независимо друг от друга. Если большинство оценок совпадает, то эту величину можно принять за близкую к реальной. Используя все три метода, можно воссоздать функцию спроса на товары первой необходимости QI, 0 достаточно однозначно. При этом оперируют такими величинами, как «прожиточный минимум» (ему соответствует параметр QI, 0) и «продовольственная корзина». Затраты на питание в России составляют примерно половину всех затрат (включая одежду и коммунальные услуги).

Математическое моделирование в экономике

Поэтому можно принять, что покупательная способность, соответствующая «корзине», равна параметру rI, 0. Параметры функции спроса Q II ( r) определить сложнее, и здесь большую роль играют экспертные оценки. Удобно ввести суммарную функцию Q (r): Q (r) = QI (r) + QII (r),

(44)

которая представлена на рис. 13. По оси ординат отложен суммарный спрос на товары I и II категорий. Можно сказать, что это спрос на суперагрегированный продукт. Соотношение товаров разных категорий в суперагрегате зависит от покупательной способности. Из рисунка 13 видно, что при r < rmin спросом пользуются лишь товары первой необходимости. При r > rmin потреб ляются товары как I, так и II категории (а также элитные). Для дальнейшего важно отметить, что функция QI (r) всюду выпуклая, функция QII (r) выпуклая лишь в области своего существования, но в интервале 0 < r < ∞ она, строго говоря, не выпуклая, а имеет сигмоидный характер. Функция Q (r) в общем случае не является всюду выпуклой.

Рис. 13. Суммарная функция спроса Q(r) = QI(r) + QII(r)

Э.Ф. Казанцев

б) производственная функция Производственная функция F(r, n, τ) определяется как количество продукта F, произведенного за единицу времени τ в зависимости от числа людей n, занятых в производстве, и от вложенных средств. За единицу времени принимают длительность производственного цикла (ее называют временем оборота τ). Вложенные средства, идущие на погашение производственных затрат, называются оборотными и исчисляются в денежных единицах. В экономике принято разделять средства, вложенные в труд (т.е. зарплату) Т и капитал К. Под последним понимаются средства, вложенные в новое оборудование. Такое разделение удобно при решении вопроса, что выгоднее: увеличивать производительность труда за счет новых технологий или за счет интенсификации труда и/или увеличения числа работающих. Традиционные затраты на исходный продукт (сырье), энерго обеспечение и транспорт (не связанные с инновациями) при таком подходе следует отнести к «труду», поскольку эти затраты преследуют цель не замещения труда, а обеспечения его необходимыми условиями. В начале XX века была предложена эмпирическая формула Кобба – Дугласа: F (r, n, τ) = Kα T 1 – α

(45)

где α << 1 – эмпирический параметр, а величина Т = n (Р + Р*).

(46)

Здесь Р – зарплата и Р* – традиционные издержки в расчете на одного работающего. Из (45) следует, что производственная функция возрастает с увеличением Т медленнее, чем линейно, так, что отношение F/T падает. Смысл этого прост: при наличии производственных мощ-

Математическое моделирование в экономике

ностей (т.е. при Т порядка К) количество произведенного продукта пропорционально вкладываемым средствам. Однако при заданной и постоянной технологии и увеличении традиционных затрат рост производительности замедляется. В действительности рост количества продукта, производимого одним работающим, не только замедляется, но и имеет верхний предел, который определяется уровнем технологии и организации производства. Формулой Кобба – Дугласа этот эффект не описывается. В дальнейшем мы будем использовать другую, более простую форму производственной функции:

F (V , n , W)

~§ V · nF ¨ , W ¸ ©n ¹

V ° n pnW ° ® ° ° Fmax ¯

r r d Fmax ɩɪɢ nW nW r t Fmax ɩɪɢ nW

(47)

где Fmax – максимальное количество продукта, производимого одним работающим, V – оборотные средства и V/n – оборотные средства в расчете на одного работающего. Здесь r = V/p. В (47) принято, что при малых оборотных средствах и неполном использовании производственных мощностей функция F(r) растет пропорционально r, но до некоторого предела, определяемого уровнем технологии, организацией производства и физическими способностями работающих. Производственная функция F(r) представлена на рис. 14. Роль «человеческого фактора» в производственной функции тоже существенна. Она проявляется в отношении к труду, его организации и рабочей дисциплине. Эти факторы отражаются параметрами Fmax и τ.

Э.Ф. Казанцев

Рис. 14. Зависимость производственной функции от вложенных (оборотных) средств r. Наклонный участок отражает рост производства при увеличении вкладываемых средств. Этот рост ограничен сверху. Величина Fmax – максимально возможный уровень производства (при данном уровне технологии), когда производственные мощности задействованы полностью

3.2. Модель Лоренца Под экономической структурой общества (ЭСО) понимается распределение элементов общества (то есть семей) по ликвидным накоплениям ρ (U). Здесь U – накопления (в условных единицах) и ρ (U) – доля людей, накопления которых находятся в пределах от U до U + ∆U (т.е. плотность распределения). Ликвидными считаются накопления в денежных единицах и ценных бумагах, которые могут быстро и без потерь конвертироваться в деньги. Имущество, то есть машина, квартира, дома и т.п., не входит в ликвидные накопления. Используется также другая, близкая по смыслу характеристика – распределение семей по доходам ρ (у), где у – доходы семей в единицу времени.

Математическое моделирование в экономике

Распределения ρ (U) и ρ (у) различны, хотя и связаны друг с другом (см. ниже). Функции ρ (U) и ρ (у) можно найти, используя упомянутые выше методы (опрос, анализ данных и экспертные оценки). В развитых странах, где налоговая система хорошо организована, распределение по доходам непосредственно определяется по налоговым декларациям. Распределение по накоплениям можно получить из анализа вкладов. В России эти методы дают заведомо неверные результаты, поэтому более эффективны метод реконструкции ЭСО по косвенным данным и экспертным оценкам. В социологии вместо распределений ρ (U) и ρ (у) используется так называемая кривая Лоренца. Она представлена на рис. 15 и построена следующим образом. Общество разбивается на ряд частей, содержащих одинаковое количество элементов (семей или людей). Принято разбивать на 5 частей (тогда каждая часть называется квинтилией) или на 10 частей (децилий). Отрезок абсциссы разбивается на соответствующее число интервалов. В каждой части помещаются элементы, накопления которых больше минимального и меньше максимального (для данной части). Эти накопления откладываются по оси ординат. В результате получается ломаная линия. Соответствующая ей непрерывная линия представляет собой кривую Лоренца. По построению кривая Лоренца представляет собой зависимость накоплений U(N) от числа семей N, имеющих накопления от U U

и ниже. Обратная функция N (U ) dN dU

³ U(u' )du' , отсюда: 0

U(U )

1 . dU ( N ) / dN

(48)

Этим определяется связь кривой Лоренца U (N) с распределением по накоплениям. Аналогично можно построить кривую Лоренца по доходам.

Э.Ф. Казанцев

Рис. 15. Кривая Лоренца: 1 – линия абсолютного равенства, 2 – отклонение от абсолютного равенства, 3 – фактическое распределение дохода в США (1959 г.), 4 – линия абсолютного неравенства

В социологии кривая Лоренца используется для характеристики экономической поляризации общества. Для этого вводится индекс поляризации (индекс Джини), равный отношению средних накоплений в наиболее богатой децилии к накоплениям в наиболее бедной. Принято, что если это отношение больше 15, то в обществе возникает социальная напряженность. Роль ЭСО в экономике до недавнего времени недооценивалась. Ниже мы покажем, к каким последствиям это приводит. Распределение по доходам ρ (у) получить проще, однако достоверность его в области больших доходов спорна. Д.С. Чернавским предложена математическая модель, позволяющая реконструировать ρ (U) по косвенным данным. Эта модель, будучи динамической, может давать тренд эволюции ЭСО, однако основное ее назначение – служить инструментом реконструкции ЭСО. В модели использовано уравнение баланса доходов и расходов семей с учетом случайных факторов:

Математическое моделирование в экономике

dU dt

P (U ) QI (U ) QII (U ) g[(t ) ,

(49)

где QI (U) и QII (U) – функции спроса, P (U) – доходы семьи, ξ(t) – случайная функция единичной амплитуды, g – коэффициент, отражающий величину случайных потерь (или приобретений). Функция доходов P(U) зависит от рода деятельности и потому различна для разных групп общества. Для рабочих и служащих, получающих фиксированную зарплату, величина Р постоянна и от U не зависит. Зарплата разных групп населения различна. Условно можно выделить две группы: низко- и высокооплачиваемые. Информация о распределении по зарплате доступна, и она используется в модели в качестве косвенных данных. Доход предпринимателей зависит от вложенных средств и в первом приближении пропорционален им: P (U) = A[1 + aξ(t)]U + P0.

(50)

Здесь AU – разность между выручкой и издержками, то есть прибавочная стоимость. Параметр А – коэффициент добавочной стоимости. Значения А, вообще говоря, различаются для разных людей (т.е. А тоже является распределенным параметром), но эти различия невелики (т.е. это распределение достаточно узкое). Характерное значение А играет роль косвенного признака, и информация об этой величине тоже доступна. P0 – малый постоянный доход. До реформ все люди, в том числе и занимавшиеся активной деятельностью, числились на службе и получали зарплату P0, малую по сравнению с их реальными доходами. Величина aξ(t) отражает случайные процессы при производстве и/или реализации товара. Для реконструкции ρ (U) достаточно решить уравнение (49) для каждой группы населения и затем полученные результаты усреднить по группам. Уравнение (49) является ланжевеновским и эквивалентно уравнению Фоккера – Планка:

Э.Ф. Казанцев

wU i (U ) wt

w wU

wV (U ) 1 w U i (U ) ® 2 wU w U ¯

ª 2 wU i (U ) º½ «Gi wU U i (U )» ¾ , (51) ¬ ¼¿

где ρi (U) – распределение по накоплениям в i-й группе; U

V (U )

³ >P(U' ) Q (U' ) Q I

II (U '

)@ dU ' .

(52)

Величину V(U), как и в статистической физике, называют потенциалом, хотя в данном случае никакого отношения к энер2 гии она не имеет. Gi AaU g – аналог коэффициента диффузии. Информацию о коэффициентах а и g удается получить преимущественно методом экспертных оценок. Свойства функций спроса QI (U) и QII (U) уже обсуждались выше. Стационарное решение уравнения (49) имеет вид ª 2V (U ) º , U i (U ) U i ,0 exp « 2 » G ¼ ¬

(53)

где ρi, 0 – нормировочный коэффициент, такой, что U i (U )dU vi (νi – доля данной группы в обществе). Для групп с постоянными доходами ρi (U) – унимодальное распределение, близкое к нормальному. Максимум его соответствует минимуму «потенциала» U, то есть нулю подынтегрального выражения в (52). Для низкооплачиваемых групп населения, где Р = Р1 < QI, 0 эта точка соответствует пересечению линии Р1 = const с функцией Q(U). Люди этих групп тратят все доходы на товары первой необходимости. Для высокооплачиваемых (Р = Р2 > QI, 0) это точка пересечения линии Р2 = const с функцией Q (U) = QI (U) + QII (U). Люди этих групп тратят доходы не только на повседневные нужды, но и на приобретение товаров второй категории. Для групп, занимающихся предпринимательской деятельностью, максимумы ρi (U) приходятся на точки пересечения функции Р3(U) = AU + P0 и функции спроса Q (U). На рисунке 16 приведены графики этих функций. Видно, что точек пересечения может быть несколько.

Математическое моделирование в экономике

Рис. 16. Функции доходов P(U) и спроса Q(U) групп людей, имеющих малый постоянный доход Р1 < QI, 0 (низкооплачиваемые), высокий постоянный доход Р2 > QI, 0 (высокооплачиваемые) и малый постоянный доход Р0 и доход от активной деятельности, пропорциональный вложенным средствам U: • – устойчивые стационарные состояния; + – неустойчивые состояния.

Точки, помеченные +, соответствуют минимумам «потенциала» и точки • – максимумам. Функция ρ (U) имеет два максимума: при U1 и U2. Первый относится к предпринимателям, которые не смогли получить стартовый капитал (их образ жизни соответствует низкооплачиваемым слоям населения). Второй максимум – к удачливым бизнесменам (их образ жизни такой же, как и у высокооплачиваемых слоев населения).

3.3. Модель Парето Из рисунка 16 видно, что может возникнуть третья группа активного населения, где накопления превышают величину U3.

Э.Ф. Казанцев

В рамках модели в этой группе вообще не существует стационарного состояния, поскольку доходы всегда превышают расходы, учитываемые функцией потребления QII (U). Эту группу можно условно назвать «убегающий хвост» по аналогии с похожим явлением в физике. Реально доходы и накопления этой группы либо ограничиваются государством, либо переводятся в другие страны (с чем и связан отток капитала), либо переводятся в другие формы накоплений (драгоценности, предметы роскоши и т.п.). С учетом этих факторов распределение в области «хвоста» можно рассматривать как стационарное. Однако выражением (53) оно уже не описывается. В экономике с этим явлением столкнулись уже сравнительно давно. Известный экономист Парето на основании эмпирических данных предложил в области «хвоста» использовать распределение типа U i (U )

F U

(54)

где ν – показатель порядка; ν = 1–2. Распределения типа Парето имеют место не только в экономике, но и в биологии, и физике в неравновесных процессах. В экономике наиболее распространено распределение Парето с показателем ν ≅ 2. Именно это распределение в области «хвоста» мы будем использовать ниже. Представляют интерес некоторые следствия, так называемого, закона Парето: а) 20% населения владеют 80% капитала; б) 80% стоимости запасов на складе составляет 20% номен клатуры запаса; в) 20% усилий приносят 80% результата; г) 80% работы выполняют 20% работников; д) за 80% результата отвечает 20% причин; е) за 20% рабочего времени выполняется 80% работы. В заключение раздела отметим, что по свойствам функция ρ ( U) похожа на распределение частиц в потенциальном поле V (U) при «температуре» kT = G2. Иными словами, люди стре-

Математическое моделирование в экономике

мятся скопиться в областях минимума «потенциала». Возникает вопрос: почему же люди со свободой воли, желаний и стремлений ведут себя, как бездушные молекулы (круглые шары)? Ответ прост: разумеется, люди не круглые шары (хотя чем-то и похожи), поэтому их желания и стремления необходимо учитывать, что, собственно, и делается при формулировании функции спроса. После этих (и только после этих) замечаний можно сказать, что для описания поведения людей разумно использовать методы развития, применяемые в физике. Последнее тоже не удивительно: эти методы для того и были созданы, чтобы можно было их применять для решения разных задач в весьма различных областях науки.

3.4. Примеры реконструкции ЭСО в СССР и России а) модель эволюции ЭСО Изложенная выше математическая модель использовалась для реконструкции ЭСО в Советском Союзе и России в период от 1987 г. до наших дней. За это время параметры модели изменялись, что позволило проследить динамику ЭСО. Приведем и обсудим результаты. В Советском Союзе до распада и реформ частное предпринимательство было формально запрещено. Во время перестройки часть запретов была снята, но на ЭСО это не успело серьезно повлиять. Реально группа низкооплачиваемых, но активных людей существовала. В нее входили работники торговли и снабжения, а также «владельцы» теневых предприятий. Дело в том, что торговля и снабжение требуют наличия нерегламентированного резерва средств. Такие запасы были запрещены законом. Тем не менее, страна жила, и следовательно, резервы порядка

Э.Ф. Казанцев

30–40 тыс. руб. у торговых работников были. Торговля во всех странах сопряжена с риском. В Советском Союзе риск имел криминальный характер. Поэтому доля людей, занятых торговлей, была несколько меньше, чем в развитых странах и чем в России в настоящее время. В условиях плановой экономики цены р были относительно стабильны, поэтому покупательная способность r = U/р была пропорциональна накоплениям. Поскольку ЭСО в Советском Союзе формировалась много лет, мы приняли ее стационарной. Структура приведена на рис. 17. Видно, что она бимодальна и горбы раздвинуты достаточно сильно, так что отношение положений максимумов составляет D = UII/UI ≅ 70. Ниже мы покажем, что бимодальность ЭСО имеет очень важное значение в переходных процессах.

Рис. 17. Экономическая структура общества в СССР до реформ (1987 г.)

Главную роль в бимодальной ЭСО играли два параметра: зарплата (для большинства людей она была ниже QI, 0) и порог приобретения товаров II категории rmin (он был достаточно высоким). Группы, входящие в первый и второй горб, отличались

Математическое моделирование в экономике

по социальному составу и функциям: в группу «богатых» преимущественно входили работники торговли, науки, культуры, а также офицеры. Средний класс практически отсутствовал. До реформ «убегающий хвост» тоже отсутствовал. Для сравнения на рис. 18 приведена ЭСО в развитых странах, рассчитанная по той же методике. Она унимодальна, иными словами, основная часть общества (независимо от характера доходов) входит в так называемый средний слой. Этот результат связан с тем, что зарплата в развитых странах выше, чем QI, 0, а пороговое значение rmin ниже, чем в Советском Союзе.

Рис. 18. Экономическая структура общества в развитых странах, реконструированная с помощью модели (сплошная кривая). Распределение по ликвидным накоплениям в Японии по данным из литературы (штриховая линия)

ЭСО в Японии (см. рис. 18) получена на основе анализа банковских вкладов. Видно, что имеет место качественное согласие. Эти результаты мы привели для демонстрации того, что модель может работать в широком диапазоне параметров и при разных параметрах выдает качественно различные результаты. ЭСО в России в 1993 и 1995 гг. (рис. 19) рассчитаны по модели. По оси абсцисс отложены накопления в условных единицах, поскольку цены в этот период менялись очень быстро.

Э.Ф. Казанцев

За единицу принята стоимость «продовольственной корзины». В этих единицах накопления U фактически совпадают с покупательной способностью r.

Рис. 19. Экономическая структура общества в России в 1993 и 1995 гг.

В годы реформ параметры как доходов, так и расходов существенно изменялись, в связи с чем изменилась и структура общества. При этом поляризация общества увеличилась и кроме того, начиная с 1992–1993 гг. в ЭСО появился «убегающий хвост». Согласно нашим оценкам, в «хвост» входит очень небольшая группа людей, которой принадлежит более половины всех ликвидных средств страны. Наиболее богатую часть этих людей сейчас называют олигархами. Были оценены доходы этой группы и сделан вывод: основная часть доходов утекает за рубеж, поскольку вкладывать их в экономику России невыгодно. Объем оттока капитала в 1992–1995 гг., по оценкам, составлял около 20 млрд долл. в год. В последующие годы экономическая поляризация общества в России возрастала. На рис. 20 приведена ЭСО в России в 1999 г. По оси абсцисс отложено отношение накоплений U к величине месячного прожиточного минимума U0. «Убегающий хвост» на рис. 20а не заметен в связи с малочисленностью этой группы.

Математическое моделирование в экономике

Более четко он проявляется в величинах (U/U0) (рис. 20б), где принято, что распределение в области «хвоста» подчиняется закону Парето: §U U ¨¨ ©U0

· U0 ¸| . ¸ 2 ¹ U

(55)

Видно, что «убегающий хвост» распространяется на несколько порядков в интервале от U1/U0 = 103 до U2/U0 = 106. Для сравнения на рис. 20в приведено распределение по доходам ρ(у/у 0) в России примерно в то же время. Оно также бимодально, хотя «богатый» горб выражен менее ярко, чем в распределении по накоплениям. Смысл этого прост: в рамках модели у людей, имеющих доход, хотя бы немного превышающий величину QI, 0 накапливаются средства и они попадают в «богатый» горб. Бимодальность четко проявляется в распределении величины (у/y0) ρ(у/y0), представленной на рис. 20г. Люди, доход которых превышает QII, 0, попадают в «хвост». В литературе прямая информация о «хвосте» отсутствует. На рис. 20г принято, что в «хвосте» имеет место распределение типа Парето (с ν = 2), простирающееся от у/у0 = e6 до у/у0 = e14. Этот интервал качественно соответствует приведенному выше интервалу накоплений при условии, что годовой доход составляет примерно 10% от накоплений. За последние годы (1999–2001) распределения по накоп лениям и доходам качественно не изменились. Увеличились лишь величины U0 и у0 за счет повышения минимальных доходов (в денежном выражении). В современной России U1 = 300 тыс. долл. и U 2 = U max = 300 млн долл. В области U > U 2 распределение теряет смысл, поскольку за этим пределом остается небольшое число людей (порядка 30 семей), накопления которых порядка миллиарда долларов. В распределении по доходам убегающий «хвост» простирается от у = 30 тыс. долл. в год до у = 30 млн долл. в год.

Э.Ф. Казанцев

Рис. 20. (а) Экономическая структура общества в России в 1999 г. По оси абсцисс отложен lg(U/U0), где U0 – месячный прожиточный минимум, по оси ординат – ρ(U/U0), т.е. число семей в интервале ∆lg(U/U0) = 3,16 млн; (б) по оси ординат отложена величина (U/U0)ρ(U/U0) (т.е. первый момент распределения) в условных единицах; (в) распределение семей по доходам ρ(U/U0). По оси абсцисс – ln(у/у0), где у0 – доход, соответствующий прожиточному минимуму, по оси ординат – число людей в интервале ∆lg(у/у0) = 1%; (г) по оси ординат отложена величина (у/у0)ρ(у/у0) – первый момент распределения. Принято, что в интервале ln(у/у0) от 6 до 13 имеет место распределение Парето с показателем ν = 2.

Математическое моделирование в экономике

б) модель эмиссии денег Широко распространено мнение о том, что денежная эмиссия всегда ведет к инфляции. Это мнение верно отнюдь не всегда. Оно верно в унимодальном обществе в случае, когда эмитированные средства распределяются равномерно. Тогда распределение ρ(U) смещается вправо и рыночные цены увеличиваются, то есть имеет место ценовая инфляция. В бимодальном обществе возможна иная ситуация, когда эмиссия адресуется в определенный слой общества и ведет не к повышению, а напротив, к понижению цен. Такую эмиссию можно назвать безынфляционной. Этот случай подробно рассмотрен Д.С. Чернавским. Приведем основные результаты. Если эмитированные деньги адресуются в правый край левого горба в достаточном количестве, то эти люди переходят в левый край правого горба. Максимум последнего смещается влево, что согласно изложенному выше должно привести к падению цен на товары второй категории. Реально адресатом могут быть работники бюджетной сферы (образования, науки, культуры, медицины), офицеры, квалифицированные рабочие, короче, те слои общества, которые до реформы входили в «богатый» горб. Положительный эффект адресной эмиссии возможен при соблюдении следующих достаточно жестких условий: 1) эмитируемые средства попадут по адресу; 2) в стране имеется запас товаров и/или запас производст венных мощностей, позволяющий быстро увеличить выпуск товаров вслед за повышением спроса на них. Первое условие целиком зависит от соблюдения правовых норм и в конечном счете, от эффективности государственного управления. В криминальной обстановке оно, разумеется, невыполнимо. Второе условие зависит от состояния промышленности и на определенных стадиях развития (или деградации) вполне может реализоваться. В 1995 г. оно фактически было выполне-

Э.Ф. Казанцев

но – имелся запас товаров, производственных мощностей, но при этом платежеспособный спрос был низок и выпуск промышленных товаров продолжал снижаться. Именно в этот момент адресная эмиссия могла бы повысить спрос и оживить экономику. На рис. 21 приведены результаты расчетов возможного изменения ЭСО в 1995 г. за счет адресной эмиссии. Видно, что уже сравнительно умеренная эмиссия могла бы привести к ощутимым результатам: оживлению промышленности на 30% при снижении цен на 40%. Столь оптимистические оценки выглядят нереально, но демонстрируют возможность адресной эмиссии без повышения цен (то есть безынфляционной эмиссии). Эти результаты мы приводим в подтверждение положения, что адресная эмиссия в бимодальном обществе отнюдь не всегда приводит к инфляции и возможен положительный эффект от адресной эмиссии. Сейчас положение изменилось, но тем не менее вопрос об адресной эмиссии остается актуальным.

Рис. 21. (а) Влияние адресной эмиссии на ЭСО в 1995 г. при различных объемах эмиссии: 1 – эмиссия отсутствует; 2 – эмиссия 30 млрд руб.; 3 – 40 млрд руб., 4 – 50 млрд руб. Вычислено с использованием модели. (б) Зависимость прибыли от цены при соответствующих объемах эмиссии

Математическое моделирование в экономике

в) динамическая модель макроэкономики России Представленная здесь модель описывает динамику развития России в рамках рыночной экономики с возможностью государственного регулирования (модель Д.С. Чернавского). Модель хорошо описывает динамику основных макроэкономических показателей в период с 1992 по 2009 г. Из модели следует, что резкий спад экономики в 1992–1995 гг. (то есть кризис) произошел в результате либерализации цен в начале 1992 г. Затем положение стабилизировалось, но на низком уровне. С помощью модели, осенью 1997 г. был предсказан дефолт августа 1998 г. (с точностью до месяца), а после дефолта, с высокой точностью, просчитана динамика всех основных макроэкономических показателей. Модель реализована в виде большой компьютерной программы, представить которую здесь не представляется возможным, поэтому кратко осветим основные теоретические результаты, которые следуют из модели. Они сводятся к следующему: 1) самодостаточная страна в условиях свободного рынка может находиться не в одном равновесном состоянии, а в нескольких устойчивых состояниях. Эти состояния отличаются по производству (величине внутреннего валового продукта – ВВП), потреблению и использованию ресурсов, в том числе производственных мощностей. Среди них можно выделить: (а) высокопроизводительное (ВП) состояние, в котором мощности задействованы полностью. (б) низкопроизводительное (НП) состояние, в котором мощности используются лишь частично; (в) натуральное хозяйство, в котором обрабатывающая промышленность практически отсутствует. Было показано, что Россия в результате кризиса в течение 1992–1997 гг. перешла из ВП состояния в НП и оставалась в нем до 1999 г. 2) было показано, что, оказавшись в НП состоянии, страна сама по себе, т.е. за счет рыночной самоорганизации, не может

Э.Ф. Казанцев

перейти в ВП состояние. Для этого необходимо вмешательство государства и использование мер нерыночного характера. Следует подчеркнуть, эти результаты противоречат известному догмату либеральной экономики о том, что в условиях свободного рынка экономика сама (без вмешательства государства) перейдет в единственно возможное и наиболее благоприятное состояние равновесного рынка. На самом деле этот тезис либеральной экономики не обоснован и неверен. 3) было показано, что в современной России сырьевые отрасли (включая металлургию) занимают особое положение. Их продукция преимущественно экспортируется, и цена ее зависит от конъюнктуры на мировом рынке. Эта цена (с учетом курса доллара) существенно выше равновесной цены на внутреннем рынке. Внутренние цены отчасти формируются в результате договоренности с правительством, отчасти назначаются волюнтаристически, отчасти соответствуют мировым ценам. В любом случае цены сырья и энергоносителей не соответствуют балансу спроса и предложения на внутреннем рынке России. 4) было показано, что переход в ВП состояние возможен в результате изменения параметров, влияющих на издержки производства. Наиболее важные из них: цены сырья и энергии, транспортные тарифы и параметры налогообложения. Уменьшение упомянутых параметров примерно в полтора раза может вывести экономику России на траекторию развития, ведущую к ВП состоянию. 5) помимо параметрического (то есть изменения макроэкономических параметров), возможно динамическое переключение за счет целевой эмиссии, адресованной предприятиям обрабатывающей промышленности. В обоих случаях переключение имеет пороговый характер. Именно при недостаточном сокращении издержек или недостаточном объеме адресной эмиссии наступает временное оживление экономики, но затем она возвращается в НП состояние.

Математическое моделирование в экономике

В свете изложенного актуальным является вопрос: встала ли экономика России на путь развития или она испытывает малые колебания, оставаясь в НП состоянии? Ответ модели на этот вопрос: Первый вывод касается оживления экономики в 2000 г. В 2000 г. появились радужные ожидания выхода из депрессии. Из модели следует, что эти ожидания не были оправданны. Пере ход в ВП состояние, тем не менее, остается реальной возможностью, но для этого нужны серьезные меры государственного регулирования. Второй вывод касается налоговой системы. Существующая система создана без учета российских реалий, и в частности, учета распределений населения по накоплениям и доходам. В результате налоги всех типов реально взимаются с относительно бедной части населения, т.е. с людей, получающих зарплату и непосредственно участвующих в производстве. С экономической точки зрения такая система антиоптимальна. Оправданием ее может служить лишь то, что собирать налоги с бедных проще, чем с богатых (что в современной России, увы, действительно так). Однако такая налоговая стратегия отнюдь не способствует выходу из депрессии. Таким образом, существующая налоговая система нуждается в серьезном реформировании. Отметим, однако, что даже оптимальная налоговая система сама по себе недостаточна для перехода в ВП состояние. Кроме нее необходимы другие меры, о которых речь шла выше. Третий вывод касается роли государства в экономике. Переход из НП в ВП состояние возможен только при решающей роли государства. Это опять же противоречит либеральным догмам, но роль государства надо ограничивать лишь в стационарном состоянии. Переходный период – это период прямого государственного вмешательства во все экономические сферы: эмиссия, госзаказ, контроль за ценами, налоговое регулирование и т.д. В значительной мере это касается государственной поддержки и развития российского ОПК.

Э.Ф. Казанцев

Четвертый вывод касается защиты частного бизнеса от домогательства «недобросовестных акционеров». Захваты предприятий длятся уже давно, и до сих пор Правительство не прокомментировало эту ситуацию. Редкий представитель правоохранительных органов встает на защиту захваченных предприятий, наоборот, именно с их помощью проводятся необоснованные проверки и возбуждаются уголовные дела. Эта ситуация требует немедленного вмешательства со стороны государства. Может создаться впечатление, что если «хорошо подумать», то те же результаты можно получить и без модели. Однако, возникают ситуации, в которых «подумать» нужно очень хорошо (именно с такой столкнулись сейчас). В них математическая модель – инструмент мышления (помогающий думать). Главное достоинство математической модели – дисциплина мысли, что характерно для физики в целом. В настоящий момент в экономике это свойство также очень важно. Для всех развивающихся систем характерно чередование стадий спокойного развития («русла») со стадиями бурного, хаотического развития («джокер» или «перемешивающийся слой»). В стадии хаоса система приобретает новые качества – возникает новая информация. Каждый кризис чем-то похож на предыдущие, но и в чем-то существенно отличается (поскольку появляется новая информация). В течение спокойной стадии основная цель – прогноз развития событий, по возможности на длительный срок. В стадии перемешивающегося слоя горизонт прогнозирования сокращается. В частности из-за того, что на правительственном уровне принимаются решения, последствия которых не всегда известны. Актуальной становится другая задача – построить модель, которая является инструментом поддержки принятия решения на уровне руководства. Иными словами, цель такой модели не долговременный прогноз при постоянных условиях, а ответы на вопросы, что произойдет в обозримое время если будет принято такое-то решение.

Математическое моделирование в экономике

г) понятие устойчивого развития До недавнего времени человеческое общество развивалось весьма бурно. Однако рост не может продолжаться бесконечно долго. Возникает вопрос, как будет развиваться общество далее? Этот вопрос сейчас интенсивно обсуждается в рамках концепции, так называемого, общества «устойчивого развития». Рассмотрим перспективы «развития» в этом обществе. Основные параметры «устойчивого мира»: а) численность населения не увеличивается; б) добыча полезных ископаемых исчерпана, остается только переработка отходов; в) используется только энергия солнца. Нетрудно видеть, что в данной ситуации термин «развитие» приобретает совсем иной смысл. Целью общества уже является не «удовлетворение постоянно растущих потребностей», а «выживание». Технический прогресс с необходимостью должен остановиться. Есть основание предполагать, что в ближайшее время наряду с проблемой деградации окружающей среды возникнет проблема психических и психосоматических заболеваний в результате переполнения информацией. Этот эффект в медицине известен, хотя изучен еще слабо. В любом случае цели экономической и социальной безопасности носят общегосударственный характер и технический прогресс должен контролироваться и финансироваться государством, но не частным капиталом. В таких условиях рынок ценных бумаг потеряет свою основную функцию – аккумуляцию средств с целью финансирования технического прогресса и в итоге должен исчезнуть. Накопительная ценность денег понизится. Конъюнктурная ценность будет зависеть от того, в какой мере индивидуальное поведение людей будет ограничено обществом. Строго говоря, данный вопрос является дискуссионным и требует более подробного рассмотрения.

4. Информационные модели в экономике

4.1. Понятие динамической информации а) основные определения В развивающихся системах выделяют эффекторную и информационную подсистемы. Эффекторная – материальная, описывает процессы, обеспечивающие существование и функционирование системы (организма, предприятия, общества и т.д.). Здесь задействованы большие материальные и энергетические потоки. Информационная – почти не требует материальных затрат – она ставит диагноз эффекторной системе и предлагает методы исправления недостатков. Но эта система сама не гарантирована от недостатков (ошибок). Поэтому нужна третья подсистема – «головная», которая следит за работой первых двух и в случае необходимости принимает решение о коррекции дефектов – осуществляет внешнее управление. Характерные времена функционирования информационной подсистемы значительно меньше, чем эффекторной, поэтому она должна реагировать на изменение ситуации быстрее. То есть при описании эффекторной системы мы исключаем информационную. Однако, при подходе к бифуркации информационная система, будучи быстрой, первой выходит их равновесия. Например, сигнал неблагополучия в организме – боль.

Математическое моделирование в экономике

Мы принимаем анальгин, боль исчезает, но это может быть опасно. В экономике аналогичным сигналом может служить резкое изменение цен. Это сигнал потери устойчивости в информационной системе. Тогда надо поставить новую цель – описать поведение системы, включая стадию хаоса, т.е. в этом случае исключать быстрые переменные нельзя и необходимо исследовать полную модель. В экономике информационные функции выполняет финансовая подсистема. Сигнал о нарушении межпродуктового баланса выражается в финансовой форме (изменение цен – нарушение равновесия Вальраса), поэтому нужна корректировка цен. Если и это не помогает и цены продолжают расти, то вмешивается «головная» подсистема – государство. Екатерина Великая каждое утро интересовалась – какова цена на хлеб (базовый продукт – главный индикатор стабильности государства). В связи с выше сказанным, нам необходимо более подробно рассмотреть вопрос о сущности понятия информация. Традиционная теория информации занимается проблемами передачи и хранения информации. Вопрос о том, каким образом генерируется информация и какова ее ценность, стал изучаться недавно. В начале стало понятно, что ценность информации зависит от цели. Раньше считалось, что цель ставится извне, а информация нужна для того, чтобы достигнуть цели наискорейшим и оптимальным путем. То есть считалось, что объект, принимающий информацию, разумное существо, способное стремиться к цели (т.е. человек). Ситуация изменилась с появлением синергетики. Объектами изучения синергетики являются процессы самоорганизации. Выяснилось, что возникновение информации определяется внутренними свойствами системы и связано с наличием, так называемого, «перемешивающего слоя». Наша цель разобраться в этих новых понятиях. Начнем с понятия информации.

Э.Ф. Казанцев

Определение, данное Н. Винером (1958 г.): «информация есть информация, а не материя и не энергия». Здесь главное, что отсутствует материальное (вещественное или полевое) происхождение информации. Затем было огромное количество неконструктивных определений. Наконец, наиболее конструктивное определение дал Г. Кастлер (1967 г.): «Информация есть запомненный выбор одного варианта из нескольких возможных и равноправных». Слово «выбор» можно понимать как процесс и как результат процесса. Мы будем понимать – как результат процесса. Данное определение позволяет ввести меру количества информации. Запомненный выбор связан с так называемой макроинформацией, о которой мы поговорим позже, а пока будем говорить просто «информация». б) количество информации Данная величина введена К. Шеноном (1948 г.) на примере текстового сообщения, содержащего N символов: IN

¦p

log p i ,

(56)

где M – число букв в алфавите; pi – частота встречаемости i-й бук вы в языке; знак «–» поставлен для того, чтобы IN была положительна, так как log pi < 0 (pi < 1). Если в качестве примера взять бросание монеты (M = 2 – «орел» или «решка»), N = 1, pi = 1/2, тогда I = –1/2 log2 1/2 – 1/2 log2 1/2 = –1/2(–1 – 1) = 1. 0 ≤ I ≤ 1. Это максимальное количество информации называется «бит». Если использовать натуральный логарифм, то единица информации называется «нат». 1 бит = 1,44 нат. Текст можно рассматривать, как результат выбора определенного варианта расстановки букв.

Математическое моделирование в экономике

Формула (56) отражает количество информации, но не ее ценность. Бессмысленное сочетание букв дает прежнее количество информации, а ее ценность – нулевая. Поэтому (56) называют информационной тарой (емкостью). П р и м е р . Текст на русском языке содержит Nr букв кириллицы (33 буквы). Перевод текста на английский язык содержит Na букв латинского алфавита (26 букв). Число вариантов в первом случае – 33Nr, во втором – 26Na. Тары разные, но количество ценной информации – одинаково (если смысл не искажен). Определение количества информации было дано раньше, чем определение самой информации, это привело к ряду недоразумений. Но (56) дает хороший инструмент для решения некоторых технических вопросов, если нас не интересует ценность информации. в) ценность информации Ценность информации зависит от цели, поэтому есть несколько способов количественного определения ценности информации. а) если цель наверняка достижима, причем несколькими путями, то ценность информации возможно определить по уменьшению материальных и временных затрат, благодаря использованию информации. П р и м е р . Предметный и алфавитный каталог в библиотеке сокращает время составления списка литературы. б) может быть, что достижение цели необязательно, тогда мерой ценности информации является величина V

log

P или V p

P p , 1 p

(57)

где p – вероятность достижения цели до получения информации; P – после. Априорная вероятность p зависит от информационной тары. Апостериорная вероятность P может быть и больше и меньше p.

Э.Ф. Казанцев

Если P ≤ p, то ценность информации отрицательна и называется дезинформацией. в) согласно (57) ценность информации зависит от p, то есть от того, какой предварительной (априорной) информацией мы уже располагаем. Предварительная осведомленность называется тезариусом. г) ценность информации субъективна. П р и м е р : наша цель – узнать прогноз погоды, а по радио передают спортивные новости. Для нас эта информация нулевая, а для кого-то – ценная. Или, например, наборщик в типографии переставил буквы так, что текст потерял смысл. Здесь ценность претендует на объективность. Но это не так. Осмысленность текста зависит от тезариуса. Если наборщик набрал «трах-тибитох-тах-тах», для одних это бессмыслица, а для других (Хоттабыч) – смысл есть. Таким образом, следует строго отличать понятие «информация» и «ценная информация», иначе получим недоразумение. г) рецепция и генерация информации Рецепция информации – это выбор, продиктованный свыше, то есть по указанию кого-либо или чего-либо. Речь идет о выборе, сделанном на основании информации, которую человек принимает (reception – принятие). На языке теории динамических систем рецепция информации означает перевод системы в одно определенное состояние (переключение). Такое переключение за счет сторонних сил называется силовым. Другой способ переключения – параметрический. Это когда параметры системы изменяются настолько, что ее состояние становится неустойчивым и она спонтанно попадает в другое устойчивое состояние. В физике применяется силовая рецепция, в биологии – параметрическая (изменение температуры, рН и др.). Генерация информации – это выбор, сделанный случайно, без подсказки извне.

Математическое моделирование в экономике

д) иерархия информационных уровней Для восприятия ценной информации необходимо владеть языком и знаниями, то есть обладать тезариусом. П р и м е р . Ребенок, получая информацию от родителей, учится говорить (овладевает языком). Затем он оказывается перед выбором специальности. И так далее, человек в дальнейшем может неоднократно выбирать. При этом новые выборы возможны только на основе прежних. Каждый выбор делается либо случайно (генерация информации), либо под влиянием внешних событий (рецепция информации). Каждый раз выбор делается с какой-то целью, которая и определяет ценность информации. Таким образом, тезариус – это информация, содержащаяся в системе на данном уровне, необходимая для рецепции (или генерации) информации на следующем уровне. На языке теории динамических систем это означает, что в развивающейся системе необходимость выбора возникает, когда она приходит в неустойчивое состояние, то есть находится в точке бифуркации (пусть это будет 1 уровень). После сделанного выбора система развивается устойчиво вплоть до следующей бифуркации. Здесь снова делается выбор, но уже из другого множества вариантов (2 уровень). Это множество зависит от результата первого выбора. Если система в своем развитии еще не дошла до первого этапа, то вопрос о выборе варианта на втором этапе вообще теряет смысл. Таким образом, информация первого уровня является тезариусом для второго и всех последующих уровней. Все вышесказанное верно при генерации информации. При рецепции информации (извне) ситуация несколько сложнее. На низшем уровне (рецепции языка) необходимый для этого тезариус у ребенка присутствует от рождения (родители). Но на более высоких уровнях информация, поступающая со стороны, имеет отношение ко всем уровням, а не только к данному.

Э.Ф. Казанцев

П р и м е р . Имеется учебник по математике. Ценность информации находящаяся в книге зависит от того, кто читает эту книгу. Для школьника ценность этой информации нулевая, он еще не готов ее воспринимать. Для профессора ценность данной информации тоже нулевая, так как он ее уже хорошо знает. Для студента – она (ценность информации) максимальна. Особый случай – когда множество вариантов на следующем уровне еще не сформировано, хотя цель поставлена. Это случай ученого. В отличие от трех рассмотренных случаев он не только знает учебник, но и может ставить вопросы, ответы на которые в учебнике отсутствуют. Ученый получает большое количество информации извне. При достаточном тезариусе он может рецептировать эту информацию (различных уровней) и поставить правильный вопрос. Когда вопрос поставлен (множество сформулировано), та же посторонняя информация может помочь выбрать вариант, то есть генерировать ценную информацию («Меня посетила чужая идея», или И. Ньютон: «Я видел дальше других, потому что стоял на плечах гигантов»). е) условная и безусловная информация Объект, зафиксировавший информацию, является ее носителем. Информация может существовать только в зафиксированном состоянии. Отсюда возникает необходимость деления информации на условную и безусловную. Условной является информация, содержащаяся в искусственной таре (в алфавите, коде, словарном запасе слов). Ценной данная информация может быть, только если ею владеет несколько объектов (человек), то есть эта информация связана с коллективным поведением (общественной деятельностью). Безусловной является информация о реально происходящих событиях. Она не нуждается в согласовании и может рецептироваться информационной системой без участия человека.

Математическое моделирование в экономике

П р и м е р . В такое-то время, в таком-то месте произошло землетрясение. Эта информация зафиксирована с помощью приборов во многих местах. Рецепция события не содержит элемента случайности. Еще п р и м е р . Один астроном открыл новую звезду – это безусловная информация. Другой астроном ничего не открывал, но придумал для звезды интересное название – это генерация условной информации. Часто бывает так, что второй астроном оказывается более популярен, чем первый, и ему приписывается честь открытия. Разделить условную и безусловную информацию очень трудно: – условная информация имеет тенденцию к унификации, что приводит к возрастанию ее ценности и эффективности; – унифицированная условная информация часто воспринимается как безусловная. П р и м е р . На нижнем уровне традиционная математика (школьная) воспринимается как безусловная («иначе быть не может»). На более высоких уровнях (студенты) существуют различные математики (непрерывная, дискретная, вероятностная). Выбор математического аппарата – акт генерации ценной условной информации. В естественных науках: эксперимент – это генерация безусловной информации, теория – это генерация условной информации. Успех теории зависит от тезариуса общества. ж) макро- и микроинформация Макроинформация – это запомненный выбор. На физическом языке «запомнить» (зафиксировать) информацию означает привести систему в определенное устойчивое состояние. Простейшая запоминающая система содержит два устойчивых состояния и называется триггер (переключатель). Свойством запоминания могут обладать только макроскопические системы, состоящие из многих атомов. Один атом за-

Э.Ф. Казанцев

помнить не может, так как находится только в одном устойчивом (основном) состоянии. Наименьшая по размерам самая простая система, которая может запомнить один вариант из двух возможных – это молекула, способная находиться в двух различных (изомерных) устойчивых состояниях. П р и м е р . Оптические изомеры, обладающие свойством вращать вправо и влево плоскость поляризации света. Это сахара, аминокислоты, содержащие 10–20 атомов. Вероятность перехода W из одного устойчивого состояния в другое зависит от высоты барьера F, разделяющего эти состояния: W

10 e

F kT

, Т = 300 К, kT ≈ 0,03 эВ.

Время запоминания τ = W–1; при F = 1,5 эВ τ = 3×105 лет. Граница между макро- и микрообъектами проходит на уровне 10–7 см – это область наноэлектроники. Микроинформация – это не запомненный выбор. Свойство забывать свои микросостояния – это фундаментальное свойство так называемых эргодических систем, которые характеризуются молекулярным хаосом и которые являются предметом исследования термодинамики. з) перемешивающий слой Любое развитие можно представить как чередование динамических и хаотических стадий. Последняя называется стадией перемешивающего слоя. Иногда эти стадии называются: русла и джокеры. П р и м е р 1. Рассмотрим китайский бильярд (с выпуклой стенкой и с двумя лунками) Пока скорость шарика велика (его энергия больше барьера, разделяющего лунки), шарик не «чувствует» лунок и движется как на плоском бильярде (хаотический слой). Когда энергия шарика становится меньше энергии барьера, шарик скатывается в лунку (динамический слой).

Математическое моделирование в экономике

П р и м е р 2. Рассмотрим две колоды из N карт: красные – N1 и черные – N2. Первая колода: p1N1 – красные карты, q1N1 – черные карты, p и q – частоты встречаемости карт, p + q = 1. Вторая колода: p2N2 – красные карты, q2N2 – черные карты, N = N1 + N2 – число карт, p = p1 + p2, q = q1 + q2. Если колоды не перемешивать, то энтропия: S = S1 + S2 = –N1(p1 log p1 + q1 log q1) – N2(p2 log p2 + q2 log q2). Если колоды перемешать, то красных карт будет: p1N1 + + p2N2 = pN, откуда p + q2N2 = qN, откуда q

p1 N 1 p 2 N 2 , черных карт будет: q N + 1 1 N q1 N 1 q 2 N 2 . N

Вычислим энтропию в перемешанной колоде: ~ S

N ( p log p q log q ) ( p1 N 1 p 2 N 2 ) log

q N q N p1 N 1 p 2 N 2 (q1 N 1 q 2 N 2 ) log 1 1 2 2 . N N

Заметим, что если (q1 = q2), то S S , то есть перемешивание ничего не дает. Пусть p1 ≠ p2, тогда можно выделить «перемешивающий слой»: ~ S S

( p1 N 1 p 2 N 2 ) log

(q1 N 1 q2 N 2 ) log

p1 N 1 p 2 N 2 N

q1 N 1 q2 N 2 N

N 1 ( p1 log p1 q1 log q1 ) N 2 ( p 2 log p 2 q2 log q2 ) .

Пусть N1, N2, p1 – константы, а p2 – переменная. Найдем ~

минимум функции ( S S ) :

Э.Ф. Казанцев

~ d (S S ) dp 2 2 ~ d (S S ) 2

d p2

N 2 log

(q1 N 1 q 2 N 2 ) p 2 , ( p1 N 1 p 2 N 2 )q 2

p1 N 1 N 2 q1 N 1 N 2 . p 2 ( p1 N 1 p 2 N 2 ) q 2 (q1 N 1 q 2 N 2 )

Условие экстремума

~ d (S S ) dp 2

0. Нетрудно видеть, что

точка экстремума p 1 = p 2. Вторая производная положительна при любых p2, то есть это точка минимума. ~ ~ Таким образом, при p2 ≠ p1, S t S , то есть S t S . Это означает что энтропия системы возрастает. Данное доказательство теоремы Больцмана впервые дал Крылов (1948 г.). и) информационные системы Информационная система способна: воспринимать (рецептировать), запоминать и генерировать макроинформацию. Термодинамическая система не может генерировать мак роинформацию и следовательно, не является информационной системой. Кроме того, информационная система способна: использовать информацию для достижения цели и, обрабатывая информацию, извлекать из нее ценную. Последние условия соответствуют системам высокой сложности. Итак, необходимые условия существования информационной системы: а) система должна быть мультистабильной (n ≥ 2) и может быть осуществлен выбор одного из устойчивых состояний, б) выбранное состояние может считаться запомненным, если оно сохраняется достаточно долго. То есть оно должно быть устойчивым (действительные части всех чисел Ляпунова – отрицательны), в) системы, способные генерировать информацию, должны содержать перемешивающий слой.

Математическое моделирование в экономике

4.2. Финансовые модели Различные области знаний объединяют законы эволюции условной информации. Деньги – один из ярчайших примеров условной информации. В современном обществе уже разразился мировой финансовый кризис. Как он будет развиваться далее, желательно понять не только на вербальном уровне, но и на языке математических моделей. Традиционное определение денег как универсального товара уже не конструктивно: а) товар должен иметь потребительскую ценность, то есть использоваться сам по себе для какой-либо цели. Бумажные деньги и банковские карточки никакой потребительской ценности сами по себе не имеют; б) спрос на товар должен уравновешиваться предложением (равновесие Вальраса). Рынок денег и ценных бумаг существует, но существенно отличается от рынка реальных товаров. Основное отличие в том, что равновесие на этом рынке неустойчиво и может сильно меняться под влиянием неэкономических факторов; в) основное понятие классической экономики – функция полезности. Какова полезность денег и следует ли этот «товар» включать в функцию полезности – вопрос дискуссионный. Более конструктивно представляется следующее положение: деньги – это условная информация. Сформулируем основные условия определения денег как условной информации: а) количество денег должно быть пропорционально количеству производимой продукции:

¦X p i

m или W

¦X

pi W

где m – количество денег, τ – время оборота капитала, ∑Xi – количество товара в год, pi – цена, Q = ВВП.

Э.Ф. Казанцев

Величина m

¦X p W i

m Q

называется коэффициентом монетизации и в развитых странах составляет 0,3–0,5. Тиражирование денег должно быть исключено, вернее – подконтрольно государству. б) ценность денег (как информации) зависит от цели. Такие цели у людей присутствуют: – поддержать свое существование, – накопить деньги впрок (накопительная цель), – конъюнктурная цель – ростовщичество (несправедливое завышение процента) или финансовые пирамиды. Опасный признак надвигающегося кризиса – концентрация капитала. Концентрация капитала уже сейчас демонстрирует свои негативные стороны. Здесь ярким примером служат так называемые «финансовые пузыри». Схема основных потоков товаров и денег в современной экономике может быть представлена в следующем виде: Финансовые спекуляции

Потребители

Банк Производство

Торговля

денег.

Здесь: жирные линии – потоки товаров, пунктирные – потоки

Математическое моделирование в экономике

Финансовые пузыри (спекуляции) требуют оборотных средств, которые изымаются из реального сектора экономики – это и является одной из основных причин близости финансового кризиса. Кроме того, существует несколько национальных валют и они, в принципе, антагонистичны друг другу – это еще более усугубляет финансовый кризис. Рассмотренные выше ситуации могут быть представлены в виде динамических математических моделей. а) модель генерации (эмиссии) и изъятия (ремиссии) денег в одной отдельной стране с одной (национальной) валютой: dm dt

здесь: Q = ВВП; m – денежная масса, p – цена. Нетрудно видеть, что мы использовали простую логистическую модель, в которой есть одно неустойчивое состояние при m = 0 и одно устойчивое – при m = pQ. б) модель «финансовых пузырей»: dm dt

m WQ

ª mº «Q 1 G » , p¼ ¬

здесь: δ × m – часть средств, которая исключается из реального сектора экономики. Параметр δ сильно флюктуирует, что приводит к появлению в фазовом пространстве хаотической области типа странного аттрактора. В экономике это проявляется в виде хаотичности поведения фондового рынка.

Э.Ф. Казанцев

в) модель взаимодействия валют: du1 dt

c1u1 b12 u1u 2 a1u1 ,

du 2 dt

c 2 u 2 b21u1u 2 a 2 u 2 ,

1 , c2 W1

b12

E12 1 G1

, b21 W1Q1

1 , W2 E 21 1 G 2

, W 2 Q2

1 1 G1 1 E12 , a 2 W1Q1

Здесь: u1

m1 , u2 p1

1 1 G 2 1 E 21 . W 2 Q2

m2 – покупательные способности ваp2

лют, β12, β21 – доли валют, находящиеся в обращении в другой стране (коэффициент валютной экспансии). В данной модели возможны три варианта развития: а) сохранение устойчивого финансового равновесия (мирное сосуществование валют); б) вытеснение чужой валюты за счет развития реального сектора экономики (то есть увеличения ВВП). При этом можно достичь полной глобализации, сохраняя устойчивое равновесие, минуя перемешивающий слой; в) наращивание финансовой экспансии (США). При этом неизбежно нарушение устойчивого равновесного состояния и возникновение перемешивающего слоя. На этом пути глобализация неизбежна, но цена ее очень высока (война).

5. Биофизическая модель развития экономики

5.1. Некоторые закономерности развития экономической системы а) биологические аналогии Механизмы стабилизации в живой природе достаточно хорошо изучены. Главный принцип регулирования численности популяций – это конкуренция (модель «хищник – жертва»). Другой принцип – это сосуществование различных видов (модель «хозяин – паразит»). Вместе с тем, в дикой природе имеют место и альтруистические отношения между отдельными организмами. Все эти случаи взаимоотношений в биологической системе поддаются математическому моделированию, демонстрируют хорошее совпадение теории с экспериментом, а главное, прогнозируют возможные варианты дальнейшего развития системы. Такие системы мы называем самоорганизующимися. Экономическую систему, в принципе, можно назвать «живой и самоорганизующийся» и применить к ней те же принципы моделирования, как и в биологической системе. Однако принципиальным отличием экономической системы от биологической является присутствие в ней человека, как социального существа. Именно социальная составляющая выделяет человека из биологического сообщества, придавая ему новые свойства: – нестационарность (изменчивость) отдельных параметров системы; – уникальность и непредсказуемость поведения системы; – способность изменять свою структуру;

виям;

Э.Ф. Казанцев

– формировать новые варианты поведения; – способность приспосабливаться к изменяющимся усло-

– способность и стремление к цели. Главной особенностью самоорганизующихся развивающихся систем является наличие в них неустойчивых нелинейных процессов, далеких от термодинамического равновесия. Современная физика утверждает, что процессы неустойчивости одинаковы во всех сложных системах: физических, химических, биологических и экономических. Физический подход в экономике не претендует на полное описание сложной экономико-социальной системы, а дополняет экономический анализ моделями неустойчивых процессов, к которым, бесспорно, относятся и кризисные процессы. Такие модели хорошо зарекомендовали себя в биологии, поэтому биологические аналогии успешно применяются и в экономике. Продолжая идеи И. Шумпетера, в работах Р. Нельсона и С. Уинтера аналогия с биологическими системами прослеживается особенно явно: – вводится экономический аналог естественного отбора: рынок определяет какие фирмы рентабельны, а какие нет, и стремится отсеять последние; – используется ламаркистский подход: рассматривается наследование благоприобретенных признаков и своевременная изменчивость под воздействием неблагоприятной обстановки; – вводится аналог биологического понятия «ген»: «рутина» – нормальное и предсказуемое поведение фирмы; – вводится понятие «поиск» как процесс изменения рутин – аналог мутации в биологической эволюционной теории. В итоге, механизм экономической конкуренции аналогичен естественному отбору генотипов с дифференциальной скоростью изменения коэффициента размножения в биологической теории эволюции. Современный финансовый кризис явно продемонстрировал «паразитирующую» роль «финансовых пузы-

Математическое моделирование в экономике

рей». Естественно напрашивается аналогия современной экономической системы капитализма с моделью «живого организма», пронизанного «паразитами» – спекулянтами. Для живой системы паразиты являются неотъемлемой частью. Отсюда вытекает довольно неприятный вывод: экономическая система капитализма не может существовать без «паразитов» – «финансовых пузырей», что мы и наблюдаем в настоящее время – «накачка» банковской системы денежными вливаниями. По-видимому, назрел вопрос, должно ли человечество и дальше развиваться по законам дикой природы, или «человек разумный» способен найти другие, более человеческие формы своей организации? Хотя, как заметил Д.С. Чернавский, «и волку ничто человеческое не чуждо». б) циклические процессы в экономике 1) Физические циклы Каждый человек испытывает на себе действие многочисленных природных ритмов, как экзогенных, так и эндогенных: суточных, лунных, годовых. Любая экономическая система (семья, предприятие, государство) приспосабливается к этим ритмам, и мы практически их не замечаем, считая явлением привычным и очевидным. Однако есть ритмы, выпадающие из масштаба человеческого восприятия, это ритмы более длинного периода. К таким ритмам относятся циклы солнечной активности, их длительность порядка 11 лет. Впервые на данное явление обратил внимание А.Л. Чижев ский, который установил многочисленные корреляции между циклами солнечной активности и биологическими процессами на Земле. А. Чижевский собрал и проанализировал материал по истории человечества за 2500 лет, охватывающий историю более 80 стран и народов. Статистический анализ исторических событий с участием народных масс показал, что в годы минимальной

Э.Ф. Казанцев

солнечной активности наблюдается минимум массовых движений (5%) и наоборот, в годы максимальной солнечной активности происходило более 60% социальных катаклизмов. А. Чижевский одним из первых обратил внимание на такие факторы исторического процесса, как моры, засухи, эпидемии, роль войн в уменьшении численности населения, волнообразные колебания климата. В последующих своих исследованиях А. Чижевский показал причинную зависимость от солнечной активности следующих физических явлений на Земле: напряженности магнетизма, количества ультрафиолетовой радиации; радиоактивности окружающей среды; степени ионизации верхних слоев атмосферы, количества озона в воздухе, частоты бурь и ураганов, количества осадков. А. Чижевский установил связь с солнечной активностью таких феноменов, как эпидемии, психопатические массовые истерии, частота преступлений, частота несчастных случаев и т.д. Неблагоприятные в физиологическом отношении изменения окружающей среды усугубляют отрицательные моменты жизнедеятельности людей: у части населения усиливается угнетенное состояние психики, обостряется раздражительность и негативные реакции, что с большой вероятностью ведет к негативным социальным последствиям. 2) Экономические циклы Исследованию цикличности экономических процессов посвящено огромное количество работ. Вокруг экономических циклов большого периода до сих пор не затихают жаркие дискуссии, причем интерес к этой проблематике также носит периодический характер. Циклы с периодом 15–25 лет носят имя С. Кузнеца – известного американского экономиста, лауреата Нобелевской премии, выходца из России, который является создателем теории строительных циклов, связанных с периодическим массовым обновлением жилых и производственных помещений. Главной причиной цикличности С. Кузнец считал демографические процессы.

Математическое моделирование в экономике

Однако наибольший интерес вызывают дискуссии вокруг проблемы длинных волн с периодом 40–60 лет. В литературе эти циклы принято называть циклами Кондратьева (К-циклы). Русский экономист Н. Кондратьев, исследуя с помощью методов математической статистики динамические ряды большого числа экономических показателей (индекс цен, уровень заработной платы, объем внешней торговли, добыча угля, золота и др.), выявил наличие длинных волн конъюнктуры в мировой капиталистической экономике. В начале 20-х годов Кондратьев пришел к выводу о том, что циклические движения представляют собой процесс отклонений от состояния равновесия. Фазы роста больших циклов, по Кондратьеву, обусловлены внедрением технических изобретений, развитием новых отраслей промышленности. Жизненный цикл многих созданий человека – концепций, принципов, институтов, технологий, продуктов и т.д. – тесно связан с волнами Кондратьева. Кстати, в модели Д.С. Чернавского есть решения типа кондратьевских циклов. Выдающуюся роль в разработке проблем цикличности сыграл И. Шумпетер, который был одним из первых экономистов, пытавшихся построить целостную, логически связанную теорию экономического развития, основанную на исследовании микроэкономических основ динамики макроэкономической системы. И. Шумпетер считал основной движущей силой развития экономики предпринимателей и уделял много внимания особенностям их поведения: способности идти на риск, придумывать новые технологические идеи, разрабатывать новые, не использовавшиеся ранее комбинации. Принимая те или иные решения, руководители, как правило, имеют определенную точку зрения об их последствиях. Таким образом, они рассуждают об объекте управления в терминах причинно-следственных связей (возможно, неосознанно). В настоящее время разработан ряд теоретических схем и моделей экономических циклов, различающихся исследуемыми факторами, периодичностью и амплитудой соответствующих

Э.Ф. Казанцев

колебательных режимов. Изучены случаи, когда классические и неоклассические модели экономического роста приводят к циклическим решениям. В рамках этих моделей могут быть объяснены колебания основных макроэкономических переменных: национального дохода, капитала, занятости и т.д. Общим недостатком таких моделей является то, что описываемые ими колебательные процессы имеют строго периодический характер, что не всегда соответствует реальным экономикостатистическим данным. Более сложные циклические процессы рассматриваются в так называемых моделях перекрывающихся поколений. В этих моделях в каждый момент времени действуют два поколения индивидов: молодое и старое, выбор которых не всегда совпадает. Модели перекрывающих поколений позволяют исследовать динамику сложных систем в условиях неопределенности. В рамках данного направления получены интересные результаты, связывающие поведение детерминированных циклов и равновесие солнечных пятен. Таким образом, кроме явления неустойчивости экономические, биологические и физические системы, по-видимому, связывают еще более фундаментальные процессы синхронных изменений, пока что неизвестной природы (эволюционное направленное движение и периодические циклы), приводящие стохастическое поведение людей в некоторую упорядоченную форму. Следует заметить, что ритмы и циклы, наблюдаемые в живой и неживой природе, могут восприниматься как фатальная неизбежность, перед которой человек бессилен. Однако, это далеко не так. Любые взлеты и падения, кризисные ситуации и бифуркации в экономической системе порождаются самим человеком. И только от человека зависит, что с нами будет в дальнейшем: процветание или упадок, прогресс или катастрофа, упование на милость всесильной Природы или разумное восприятие ее мудрости. Все в руках человека («поэтому их надо так часто мыть»).

Математическое моделирование в экономике

5.2. Основные понятия физики, биологии и экономики Исторический опыт становления естественнонаучного знания, в частности физики, показывает, что фундаментальная наука должна начинаться с построения системы так называемых основных понятий. Только тогда может быть пройден трудный, но необходимый для науки путь: основные понятия → гипотезы → теории → законы → … → фундаментальные принципы. К сожалению, до сих пор такие науки, как экономика или биология механически используют основные понятия физики, а именно: математическая (материальная) точка, пространство, движение, скорость, ускорение и др., в то время как совершенно очевидно, что, например, физическое понятие движения (перемещение тел относительно друг друга) неадекватно понятию «движения» в экономике или биологии. Отдельные примеры, демонстрирующие, как физические представления (модели) дают неплохое описание некоторых экономических явлений, лишний раз подтверждают тот печальный факт, что люди часто ведут себя в экономике, как бездушные физические объекты. Целью данного раздела является построение основных понятий теоретической экономики. При анализе основ экономической теории мы будем использовать богатый методологический опыт физики, но на основе экономических, отличных от физических, основных понятий. Подобная программа была нами реализована при построении основных понятий теоретической биологии. И этот опыт нам будет крайне полезен, так как многие процессы и явления в экономике близки к аналогичным в биологии, особенно если их выделить в «чистом» виде, временно изолировав от сопутствующих процессов и явлений («в первом приближении»). Хорошо известно насколько биологические процессы сложнее физических, а экономические – в той же степени, сложнее биологических. Поэтому в поведении человеческого сообщества мы выделяем

Э.Ф. Казанцев

пять достаточно самостоятельных систем: экономическую, социальную, экологическую, политическую и административную. Ниже речь пойдет об экономической системе, все остальные системы рассматриваются как начальные и граничные условия ее функционирования. Существует два варианта экономики: рыночный и плановый. Сейчас пытаются создать гибрид этих двух вариантов – планово-рыночную экономику, что, в принципе, не влияет на постановку нашей проблемы. Можно, в первом приближении, рассматривать их как независимые друг от друга подсистемы. Теория плановой экономики достаточно успешно развивается в рамках моделей Леонтьева и Канторовича. Предметом нашего исследования будет рыночная экономика. Именно здесь мы попытаемся сформулировать новые основные понятия. В своих рассуждениях мы будем постоянно проводить параллель с физикой и биологией.

5.3. Рутина как аналог генетической информации а) «математическая (материальная) точка» В физике «математическая точка» действительно материальна. Ею может быть и электрон, и ракета, и Солнце, и галактика. Единственной характеристикой «математической точки» в физике служит ее масса. В биологии за «математическую точку» мы приняли геном, основной характеристикой которого является генетическая информация, содержащаяся в этом геноме. То есть «масса генома» оказывается нематериальна. Нельсон и Уинтер, проведя параллель с генетикой, предположили, что в экономике аналогом генетической информации служит понятие «рутина» («программа», «информация»),

Математическое моделирование в экономике

соответствующая стабильному состоянию фирмы. Таким образом, фирма (предприятие, организация и др.) – это «математическая точка» экономики, а ее основная характеристика – «рутина» (аналог массы в физике) – это программа (информация, технология), которой владеет данная фирма. То есть, «рутина» («масса» фирмы) тоже оказывается нематериальна. Мутации генома соответствует изменение в структуре «рутины» (изменение технологии). Интересно, что направленное изменение технологий в сторону их совершенствования очевидно и не вызывает сомнений, в то время как вопрос о направленных мутациях в генетике до сих пор является дискуссионным. Кстати, «рутины – программы» остаются даже тогда, когда фирма, как материальный объект, исчезает. В этой связи имеет самостоятельный интерес изучение структуры «рутины», как сложного объекта, что может сыграть эвристическую роль при более детальном анализе «материальной точки» биологии – генома. Само понятие «информация» имеет глубокий, нетривиальный смысл. Совершенствование технологий является, с одной стороны, стремлением людей к использованию научных достижений (новаций), с другой – превращать эти достижения в доход. Данные представления послужили исходным пунктом развития нового направления в современной экономике – эволюционной экономики. б) «пространство» Грубо говоря, наша экономика занимается переработкой и перераспределением природных ресурсов в «пространстве» человеческого сообщества. Данное сообщество обладает двумя характерными особенностями: а) оно экспоненциально увеличивает свою численность («демографический взрыв») и соответственно, – объем производимой продукции; б) оно распределено по двумерной поверхности Земного шара. Данное обстоятельство позволяет нам принять за понятие «экономического про-

Э.Ф. Казанцев

странства», в котором «движется» «материальная точка» экономики – фирма, – двумерное, экспоненциально расширяющееся, человеческое сообщество с производимой им продукцией. Таким образом, «экономическое пространство» оказывается материальным. в) «движение» Отделив экономическую систему от сопутствующих ей других систем, мы, во-первых, максимально упростили ситуацию, а во-вторых, максимально приблизили нашу задачу к аналогичной в биологии. Такая же процедура была проделана и с биологической системой – мы поместили живую материю в некий идеальный резервуар с неограниченным источником питательных веществ и энергии, с оптимальными температурой и давлением и исключили все внешние воздействия. Это позволило установить, что «свободное движение» генома представляет собой экспоненциальный рост биомассы – аналог закона инерции в физике. Отсюда нетрудно видеть, что основной формой «свободного движения» фирмы в рыночной экономике является экспоненциальный рост объема производимой продукции. Таким образом, все сказанное выше, можно коротко резюмировать так: – в физике материальная точка (масса) движется равномерно и прямолинейно в трехмерном нематериальном пространстве (гравитация); – в биологии «материальная точка» (геном) с нематериальной «массой» (информационное содержание генома) «движется» по экспоненциальному закону в трехмерном материальном пространстве (биомасса); – в экономике «материальная точка» (фирма) с нематериальной «массой» («рутина», «программа», «информация») «движется» по экспоненциальному закону в двумерном материальном пространстве (производимая продукция).

Математическое моделирование в экономике

Понятия «скорость» и «ускорение» принимаем традиционно, соответственно, как первая и вторая производная по времени.

5.4. Модели экономической эволюции при постоянных и переменных рутинах а) постоянные «рутины» (технологии) Для простоты будем рассматривать экономическую систему с распределением продукции, производимой фирмой, по двумерной территории в виде круга радиуса R (рынок). «Свободный рост» такой системы («движение») описывается уравнением Мальтуса: dR dt

DR ,

(58)

где коэффициент α имеет смысл удельной скорости роста, t – время. Изменение свободного роста происходит благодаря взаимодействию «рутин», функционирующих на рынке. Из общих соображений будем считать, что «ускорение движения» пропорционально «массе рутин» (I) и обратно пропорционально «расстоянию» R между «рутинами» (так как наше «пространство» двумерно): 2

d R dt

1 , R

(59)

где γ – константа взаимодействия между «рутинами». В принципе, параметры α и γ состоят из двух частей: α = α1 – α2; γ = γ1 – γ2. Знак «+» указывает на антагонистический характер взаимодействия (отталкивание), знак «–» – на притяжение (поглощение). Эти две силы, инфляционное «раздувание» системы и отталкивающего (или притягивающего) характера взаимодействие между

100

Э.Ф. Казанцев

фирмами, будут определять общий вид «движения» экономической системы. Если ввести понятие плотности «рутин» ρ = I/S, S = πR2, то уравнения (58) и (59) можно свести к следующим: U

2DU , D

D SJU

(60)

или U 2DU 2JSU2 2D 2U

0 . ,

(61)

Уравнения (60) являются ньютоновским приближением уравнений Эйнштейна общей теории относительности в двумерном пространстве. В принципе, модель допускает тензорное представление, что, на наш взгляд, более адекватно экономической ситуации. Данным примером мы хотели показать, насколько сложны даже самые элементарные процессы в экономической системе. б) переменные «рутины» (технологии) На больших промежутках времени технологии существенно меняются. С одной стороны, новые технологии преследуют потребности рынка и тогда, независимо от энергозатрат, спросом пользуется «модная» продукция. С другой стороны, реальность жизни требует энергосберегающих технологий. Поэтому одновременно протекают два процесса: а) случайный поиск новых технологий с различной энергетической эффективностью; б) направленное движение технологий в сторону их энергосбережения. Другими словами, процесс технологической эволюции может быть рассмотрен, как два сопутствующих явления: а) первое соответствует случайному диффузионному блужданию «рутин» в энергетическом пространстве и может быть представлено потоком согласно закону Фика:

Математическое моделирование в экономике

101

w f E , t

, wE

здесь D – коэффициент диффузии; б) второе – направленному сдвигу «рутин» в сторону минимума их энергии, с потоком q2 = ν f (E, t), здесь ν – средняя скорость направленного движения в сторону минимума энергии. Подставляя данные потоки в уравнение неразрывности (закон сохранения), получим уравнение эволюции «рутин»: w f E , t

w f E , t

, D Q 2 wt wE wE 2

(62)

где f (E, t) – функция распределения фирм по энергиям их «рутин». Первое слагаемое в (62) соответствует микроэволюции «рутин», а второе – их макроэволюции. В правую часть уравнения (62) следует добавить слагаемое, соответствующее внешнему источнику, случайным образом меняющему количество фирм на рынке. Для решения полученных уравнений (61) и (62) необходимо также задать начальные и граничные условия, то есть учесть влияние на экономическую систему других систем – экологической, социальной, политической и административной.

Литература 1. Ларуш Л. Физическая экономика как платоновская эпистемологическая основа всех отраслей человеческого знания. М.: Научная книга, 1997. 2. Нельсон Р.Р., Уинтер С.Дж. Эволюционная теория экономических изменений. М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. 3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. 4. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Ижевск: Удмурт ский университет, 2000; Там же. Трофимов В.В. Геометрический анализ больших экономических системе. 5. Занг В.Б. Синергетическая экономика: Бремя и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. 6. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. М.: Наука, 1973. 7. Лебедев В.В. Математическое моделирование социальноэкономических процессов. М.: Изограф, 1997. 8. Samuelson P.A. Foundations of Economic Analysis. Cambridge, Mass.: Harvard Univ. Press, 1947. 9. Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ, 1963. 10. Хикс Дж.Р. Стоимость и капитал. М.: Прогресс, 1988. 11. Алле М. Экономика как наука. М.: Научн.-изд. центр «Наука для общества»; Изд. центр РГГУ, 1995. 12. Schumpeter J.A. The Theory of Economic Development. Cambridge, Mass.: Harvard Univ. Press, 1934 [Шумпетер И. Теория экономического развития. М.: Прогресс, 1982]. 13. Saviotti Р.Р., Mani G.S. J. Evol. Econ. V. 5, 369 (1995). 14. Silverberg G., Verspagen В. Evolution und Selbstorganisation in der Ökonomie // Selbstorganisation. Jahrbuch fur Komplexität in den Natur-Sozial- und Geisterwissenschaften, Bd. 9 / Hrsg. F. Schweitzer, G. Silverberg). Berlin: Duncker & Humbolt, 1998. 15. Маевский В.И. Введение в эволюционную экономику. М.: Япония сегодня, 1997.

Математическое моделирование в экономике

103

16. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. Динамическая модель закрытого общества. Препринт ФИАН № 36. М.: ФИАН, 1999. 17. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. Базовая динамическая модель экономики России. Препринт ФИАН № 1. М.: ФИАН, 2000. 18. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996. 19. Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. Успехи физических наук. 2002. 172. № 9 (1045–1066). 20. Перегудов Ф.Н., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ. М.: Высшая школа, 1989. 21. Самуэльсон П.А. Экономика. М.: Машиностроение, 1993. 22. Фишер С., Дорнбуш Р., Шмалензи Р. Экономика. М.: Дело, 1993. 23. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе. 4-е изд. М.: Дело, 1994. 24. Чернавский Д.С. и др. Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. Т. 4(3), 67 (1996). 25. Chernavskii D.S., Starkov N.I., Scherbakov A.V. J. Moscow Phys. Soc. V. 9, 89 (1999). 26. Chernavskii D.S. et al. The dynamics of the economic society structure // Mathematical Models of Non-Linear Excitations, Transfer, Dynamics, and Control in Condensed Systems and Other Media / Eds. L.A. Uvarova, A.E. Arinstein, A.V. Latyshev. New York: Kluwer Acad. / PlenumPubl., 1999. 27. Айвазян С.А. Экономика и математические методы. Т. 33 (3–4), 74 (1997). 28. Малинецкий Г.Г. Управление риском: Риск. Устойчивое развитие. Синергетика / Под ред. И.М. Макарова и др. М.: Наука, 2000. 29. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000. 30. Чернавский Д.С. Синергетика и информация. Динамическая теория информации. М.: УРСС. 2004. 31. Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Мате матическая биофизика. М.: Наука, 1984. 32. Казанцев Э.Ф. Технологии исследования биосистем. М.: Ма шиностроение, 1999.

Эдуард Федорович Казанцев

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ Учебно-методическое пособие

Корректор К.Ю. Шарапова-Антонова Компьютерная верстка В.Е. Иванов Подписано в печать 25.09.2012 Формат 60×90/16. Усл.-печ. л. 6,5 Тираж 150 экз. Издательский № 467

Автономная некоммерческая организация высшего профессионального образования академия «МЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ В МОСКВЕ» 125040, Москва, Ленинградский просп., 17 Телефоны: (495) 946-00-83, 946-03-29 http://www.interun.ru e-mail: rio@interun.ru