Οικονομική Ανάλυση & Βέλτιστες Επενδυτικές Αποφάσεις
39
Πίνακας 1.4 Πίνακας Συντελεστών Πληρωμής Προεξόφλησης
Συντελεστής
Σύμβολο
Τύπος
Χρηματοροή M=?
Ανατοκισμού
(Μ/Π, i, Ν)
(1 + 𝑖)𝑁
0
1
...
2
N
Π Μ
Προεξόφλησης
(Π/Μ, i, Ν)
1 (1 + 𝑖)𝑁
0
1
...
2
N
Π=?
Ανάκτησης Κεφαλαίου
(Ε/Π, i, Ν)
Παρούσας Αξίας Ράντας
(Π/Ε, i, Ν)
Συσσώρευσης Κεφαλαίου Μελλοντικής Αξίας Ράντας
(Ε/Μ, i, Ν)
(Μ/Ε, i, Ν)
𝑖 ∙ (1 + 𝑖)𝑁 (1 + 𝑖)𝑁 − 1 (1 + 𝑖)𝑁 − 1 𝑖 ∙ (1 + 𝑖)𝑁 𝑖 (1 + 𝑖)𝑁 − 1 (1 + 𝑖)𝑁 − 1 𝑖
Ε=?
0
1
Ε=?
2
...
N
Π
0
Ε 1
Ε 2
...
N
Π=?
M
0
Ε=? 1
2
Ε=? ...
N
M=?
0
Ε 1
Ε 2
...
N
Όπου: Μ = Μελλοντική αξία, Π = Παρούσα αξία, Ε = Ετήσια/περιοδική αξία (δόση), Ν = πλήθος περιόδων, i = Επιτόκιο (ΣΗΜ: Οι υπολογισμένες τιμές των παραπάνω συντελεστών για διάφορα i% βρίσκονται στους πίνακες του Παραρτήματος)
«Με τη πάροδο του χρόνου, το χρήμα, αν επενδυθεί παράγει χρήμα, αν όχι, χάνει την αξία του».
40
Οικονομική και Τεχνική Βελτιστοποίηση Έργων Μηχανικού
1.5 Εφαρμογή των συντελεστών προεξόφλησης σε Excel & MatLab
1.5.1 Οι συναρτήσεις Excel: FV, PV & PMT Η συνάρτηση για μελλοντικές τιμές FV (Future Value) Η συνάρτηση για μελλοντικές τιμές FV (Future Value) στο Excel υπολογίζει τους δύο συντελεστές: Ανατοκισμού (Μ/Π) και Μελλοντικής Αξίας Ράντας (Μ/Ε). Η συνάρτηση FV συντάσσεται ως εξής: M = FV (Rate ; Nper ; Pmt ; Pv ; Type ) Όπου τα ορίσματα της συνάρτησης (μπορεί να αντιστοιχούν σε κελιά) περιέχουν: 1. 2. 3. 4. 5.
Rate = το επιτόκιο (interest rate) ανά περίοδο (I%) Nper = το συνολικό πλήθος των περιόδων πληρωμής (N) Pmt = την περιοδική δόση που θα καταβάλλεται (E) Pv = την παρούσα αξία που καταβλήθηκε (Π) Type =0/1 πως εξοφλείται: στο τέλος/αρχή της περιόδου (προεπιλογή 0).
Αν η δόση Pmt παραλείπεται θα πρέπει να υπάρχει ποσό στο κεφάλαιο Pv (Μ/Π) και αντίστροφα, αν το κεφάλαιο Pv είναι 0, θα πρέπει να έχει τιμή η δόση Pmt (Μ/Ε).
Η συνάρτηση για παρούσες τιμές PV (Present Value) Η συνάρτηση για παρούσες τιμές PV (Present Value) στο Excel υπολογίζει τους δύο συντελεστές: Προεξόφλησης (Π/Μ) και Παρούσας Αξίας Ράντας (Π/Ε). Η συνάρτηση PV συντάσσεται ως εξής: Π = PV (Rate ; Nper ; Pmt ; Fv ; Type ) Όπου τα ορίσματα της συνάρτησης (μπορεί να αντιστοιχούν σε κελιά) περιέχουν: 1. 2. 3. 4. 5.
Rate = το επιτόκιο (interest rate) ανά περίοδο (I%) Nper = το συνολικό πλήθος των περιόδων πληρωμής (N) Pmt = την περιοδική δόση που θα καταβάλλεται (E) Fv = τη μελλοντική αξία που θα επιτευχθεί (Μ) Type =0/1 πως εξοφλείται: στο τέλος/αρχή της περιόδου (προεπιλογή 0).
Αν η δόση Pmt παραλείπεται θα πρέπει να υπάρχει ποσό στο κεφάλαιο Fv (Π/Μ) και αντίστροφα, αν το κεφάλαιο Fv είναι 0, θα πρέπει να έχει τιμή η δόση Pmt (Π/Ε).
Οικονομική Ανάλυση & Βέλτιστες Επενδυτικές Αποφάσεις
41
Η συνάρτηση για περιοδικές τιμές PMT (Payment) Η συνάρτηση για περιοδικές τιμές (δόσεις) PMT (Payment) στο Excel υπολογίζει τους δύο συντελεστές: Ανάκτησης Κεφαλαίου (Ε/Π) και Συσσώρευσης Κεφαλαίου (Ε/Μ). Η συνάρτηση PMT συντάσσεται ως εξής: Ε = PMT (Rate ; Nper ; Pv ; Fv ; Type ) Όπου τα ορίσματα της συνάρτησης (μπορεί να αντιστοιχούν σε κελιά) περιέχουν: 1. 2. 3. 4. 5.
Rate = το επιτόκιο (interest rate) ανά περίοδο (I%) Nper = το συνολικό πλήθος των περιόδων πληρωμής (N) Pv = την παρούσα αξία που καταβλήθηκε (Π) Fv = τη μελλοντική αξία που θα συσσωρευτεί (Μ) Type =0/1 πως εξοφλείται: στο τέλος/αρχή της περιόδου (προεπιλογή 0).
Παραδείγματα Λυμένα στο Excel Α) Ανατοκισμός (Μ/Π): Πόσα χρήματα θα πάρω μετά 20 έτη (Μ) αν καταθέσω σήμερα 917,00€ (Π) και το επιτόκιο είναι 15%;
Β) Μελλοντική Αξία Ράντας (Μ/Ε): Τι ποσό (Μ) θα συγκεντρωθεί σε 12 έτη, αν βάζω στο ταμιευτήριο κάθε χρόνο 1.000€ (Ε) και ο λογαριασμός ταμιευτηρίου έχει επιτόκιο 15%;
Γ) Προεξόφληση (Π/Μ): Αν κάποιος μου υποσχεθεί σε 20 χρόνια 20.185,00€ (Μ) και το επιτόκιο είναι 10%, τότε είναι σαν να μου έδινε σήμερα (Π) ποιο ποσό;
42
Οικονομική και Τεχνική Βελτιστοποίηση Έργων Μηχανικού
Δ) Παρούσα Αξία Ράντας Π/Ε): Σε ποιο σημερινό ποσό (Π) θα αντιστοιχούσε ένα Ετήσιο έσοδο (δόση) 7.048,00€ (Ε) επί μια 20-ετία αν το επιτόκιο είναι 10%;
Ε) Ανάκτηση Κεφαλαίου (Ε/Π): Ποια θα είναι η Ετήσια δόση (Ε) που θα πληρώνω αν πάρω σήμερα ένα δάνειο 7.725,00€ (Π) με εξόφληση σε 10 έτη και με επιτόκιο 5%;
ΣΤ) Συσσώρευση Κεφαλαίου(Ε/Μ): Ποιο θα είναι το Ετήσιο ποσό (δόση) (Ε) που θα δίνω ώστε να συγκεντρωθούν 100.000€ (Μ) μετά από 35 έτη όταν το επιτόκιο είναι 5%;
162
Οικονομική και Τεχνική Βελτιστοποίηση Έργων Μηχανικού
3.10.2
Προβλήματα Βέλτιστης Κάλυψης Όλων των Κόμβων
Τα προβλήματα ελαχιστοποίησης της κάλυψης όλων των κόμβων ενός δικτύου συναντώνται πολύ συχνά σε εργασίες υποδομής. Για παράδειγμα όταν σε έναν οικισμό πρέπει να εγκατασταθεί δίκτυο ύδρευσης σε όλες τις κατοικίες, ποια διαδρομή θα χρειαστεί το ελάχιστο κόστος σωληνώσεων και εκσκαφών; Όταν σε μια αγροτική περιοχή σχεδιάζεται η οδική σύνδεση απομονωμένων αγροικιών, ποια είναι η συντομότερη ή οικονομικότερη διαδρομή που μπορεί να χαραχτεί; Τα ίδια ερωτήματα τίθενται και στη σχεδίαση δικτύων ηλεκτροδότησης, τηλεφωνικών δικτύων, δικτύων Η/Υ, και άλλων δικτύων μεταφοράς και διανομής. Και σε αυτά τα προβλήματα, ανάλογα πάντα με το ζητούμενο, οι κλάδοι αντιπροσωπεύουν τις αντίστοιχες μονάδες «κόστους» μετάβασης από τον κάθε κόμβο στους άλλους. Π.χ.: για ελάχιστη απόσταση, οι κλάδοι θα είναι χιλιομετρικές αποστάσεις, για ελάχιστο χρόνο, οι κλάδοι θα είναι απαιτούμενοι χρόνοι, για ελάχιστο κόστος, οι κλάδοι θα είναι χρηματικά ποσά, κ.λ.π. Η μέθοδος επίλυσης είναι σχετικά απλή. Πρώτα διατάσσουμε όλους τους κλάδους του δικτύου κατά αύξουσα σειρά «κόστους» (αν 2 κλάδοι είναι ίσοι δεν έχει σημασία η σειρά), και στη συνέχεια επιλέγουμε με τη σειρά από τον μικρότερο προς το μεγαλύτερο όσους κλάδους δεν δημιουργούν κλειστό βρόγχο (δηλ. δεν επιστρέφουν σε κόμβο που έχει ήδη συνδεθεί). Για να εξηγήσουμε καλύτερα τη λειτουργία της μεθόδου βέλτιστης κάλυψης, θα λύσουμε το παρακάτω πρόβλημα.
Το Πρόβλημα της Βέλτιστης Κάλυψης Μια ομάδα εξοχικών κατοικιών πρόκειται να υδροδοτηθεί. Οι απαιτούμενες εργασίες και υλικά με βάση την απόσταση και το έδαφος έχουν υπολογιστεί σε χιλιάδες € και δίνονται στο παρακάτω σχήμα, όπου ο κάθε κλάδος αντιπροσωπεύει το κόστος σύνδεσης δυο κόμβων (κατοικιών). Ποια είναι η οικονομικότερη κάλυψη υδροδότησης όλων των κατοικιών;
Επιχειρησιακή Έρευνα & Βελτιστοποίηση
163
Εικόνα 3.13 Το πρόβλημα βέλτιστης κάλυψης
Επίλυση του Προβλήματος Ζητείται να βρεθεί η ελάχιστη κάλυψη όλων των κόμβων του δικτύου.
Αρχικό Βήμα Δημιουργούμε έναν πίνακα και καταγράφουμε όλους τους κλάδους του δικτύου σε αύξουσα σειρά κόστους. Πίνακας 3.6 Πίνακας ταξινόμησης όλων των κλάδων
α/α 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Κλάδος (3,4) (4,6) (1,3) (1,4) (3,6) (6,7) (2,3) (4,7) (6,8) (3,5) (5,6) (2,5) (7,8) (5,8) (1,2)
«Κόστος» 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 9 10 10 12 12
ΕΠΙΛΟΓΗ Ναι Ναι Ναι Όχι – κλείνει βρόγχο Όχι – κλείνει βρόγχο Ναι Ναι Όχι – κλείνει βρόγχο Ναι Ναι Όχι – κλείνει βρόγχο Όχι – κλείνει βρόγχο Όχι – κλείνει βρόγχο Όχι – κλείνει βρόγχο Όχι – κλείνει βρόγχο
Επιχειρησιακή Έρευνα & Βελτιστοποίηση
171
2. Η Κατανομή των Αφίξεων. Οι πελάτες φτάνουν στο σύστημα είτε με γνωστή σταθερή συχνότητα ή σε τυχαίους χρόνους. Στην περίπτωση των τυχαίων αφίξεων μετράμε το μέσο αριθμό αφίξεων λ στη μονάδα του χρόνου και τις προσεγγίζουμε με τη στατιστική κατανομή Poisson.
Η Κατανομή Poisson Όταν μας δίνεται ότι οι αφίξεις έχουν μέσο όρο λ ανά μονάδα χρόνου και ακολουθούν κατανομή Poisson, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα να έχουμε Χ (1, 2, …, λ κλπ.) αφίξεις ανά μονάδα χρόνου από το τύπο:
PX =
e− λ ⋅ λ X X!
3.5
Για να γίνει πιο κατανοητός ο ρόλος της κατανομής Poisson παραθέτουμε τον παρακάτω πίνακα με τις τιμές και τα διαγράμματα για διάφορες τιμές των λ & Χ. Πιθανότητα Ρ|Χ|, για Χ Αφίξεις ανά Χρον. Μον. Ρ|Χ=0| Ρ|Χ=1| Ρ|Χ=2| Ρ|Χ=3| Ρ|Χ=4| Ρ|Χ=5| Ρ|Χ=6|
Διάγραμμα Κατανομής Poisson
Μέσος Όρος Αφίξεων λ ανά Χρον. Μον.
λ=1
λ=2
λ=3
0.367879 0.367879 0.183940 0.061313 0.015328 0.003066 0.000511
0.135335 0.270671 0.270671 0.180447 0.090224 0.036089 0.012030
0.049787 0.149361 0.224042 0.224042 0.168031 0.100819 0.050409
0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0
0,3
0,25
0,25
0,2
0,2 0,15 0,1
0,15 0,1
0,05
0,05
0
0
Εικόνα 3.17 Κατανομές Poisson.
172
Οικονομική και Τεχνική Βελτιστοποίηση Έργων Μηχανικού
Από τις παραπάνω τιμές προκύπτει, για παράδειγμα, ότι: Αν έχουμε κατά μέσο όρο 2 αφίξεις την ώρα, η πιθανότητα να έρθουν 4 πελάτες είναι 9% (λ=2, Ρ|Χ=4|). Αν έχουμε κατά μέσο όρο 3 αφίξεις την ώρα, η πιθανότητα να μην έρθει κανένας είναι 5% (λ=3, Ρ|Χ=0|). Αν έχουμε κατά μέσο όρο 1 άφιξη την ώρα, η πιθανότητα να έρθουν 6 ή περισσότεροι πελάτες είναι σχεδόν 0% (λ=1, Ρ|Χ=6|).
3.11.2 Εξυπηρέτηση – Εκθετική Κατανομή Οι πελάτες εξυπηρετούνται μέσα σε κάποιο χρονικό διάστημα από τις μονάδες εξυπηρέτησης. Τα χαρακτηριστικά του συστήματος εξυπηρέτησης είναι: 1. Ο Χρόνος Εξυπηρέτησης. Ο χρόνος εξυπηρέτησης μπορεί είτε να είναι σταθερός, οπότε η εξυπηρέτηση γίνεται με σταθερή συχνότητα, ή όπως συμβαίνει συνήθως, να έχει τυχαίες διακυμάνσεις, οπότε μετράμε το μέσο αριθμό πελατών μ που εξυπηρετούνται στη μονάδα του χρόνου και προσεγγίζουμε το χρόνο εξυπηρέτησης με την εκθετική κατανομή. 2. Οι Μονάδες Εξυπηρέτησης. Μπορεί να υπάρχει: Α) μια μόνο μονάδα εξυπηρέτησης, οπότε οι πελάτες εξυπηρετούνται σειριακά, Β) πολλές παράλληλες μονάδες εξυπηρέτησης, οπότε ο πελάτης εξυπηρετείται από την πρώτη διαθέσιμη, Γ) πολλές διαδοχικές μονάδες εξυπηρέτησης, οπότε ο πελάτης προσέρχεται διαδοχικά σε κάθε στάδιο.
Η Εκθετική Κατανομή Όταν μας δίνεται ο μέσος αριθμός πελατών μ που εξυπηρετούνται ανά μονάδα χρόνου και ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την Εκθετική κατανομή, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ο χρόνος εξυπηρέτησης Τ να υπερβεί ένα δεδομένο χρόνο t από τον τύπο:
P T > t = e− µ⋅t
3.6
Για να γίνει πιο κατανοητός ο ρόλος της Εκθετικής κατανομής παραθέτουμε τον παρακάτω πίνακα με τις τιμές και τα διαγράμματα για διάφορες τιμές των μ & t.
184
Οικονομική και Τεχνική Βελτιστοποίηση Έργων Μηχανικού
Τα είδη που ανήκουν στην κατηγορία C δεν απαιτούν ιδιαίτερη προσοχή (συχνά είναι μικρά και φθηνά) και μπορούν να καλυφθούν συνήθως με μια αγορά π.χ. ετήσια, ή με απλές αγορές συγκεκριμένης ποσότητας που δεν επηρεάζουν το έργο
% Aξίας Aποθέματος vs. % Υλικών Εικόνα 3.22 Διάγραμμα: Ποσοστό % Aξίας Aποθέματος vs Ποσοστό % Υλικών, για τη διαίρεση σε κατηγορίες A,B,C.
3.12.6 Διατήρηση Αποθεμάτων JIT Η μέθοδος JIT (Just-In-Time) υλοποιεί την ιδέα του να έχουμε τις πρώτες ύλες τη στιγμή που πρέπει στο μέρος που πρέπει και στη ποσότητα που απαιτείται. Με την τακτική JIT μειώνονται σημαντικά ή μηδενίζονται οι ανάγκες για αποθέματα. Με τη μέθοδο αυτή πλησιάζουμε αρκετά την ιδανική καμπύλη αναπλήρωσης που είδαμε στη αρχή αλλά και με πολύ χαμηλότερα επίπεδα αποθέματος. Οι προϋποθέσεις που πρέπει να πληρούνται για την υιοθέτηση τέτοιων συστημάτων είναι: • • • • • • •
Το σταθερό χρονοδιάγραμμα, Η μειωμένη πολυπλοκότητα, Τα ακριβή αρχεία – βάσεις δεδομένων, Ο πλήρης έλεγχος εισερχομένων, υλικών, κιβωτίων (κωδικοί), Η ύπαρξη τοπικών προμηθευτών και η αυστηρή επιλογή τους, Η ποιότητα των υλικών δηλ. το μηδαμινό ποσοστό ελαττωμάτων (<1:1.000.000), και, Η προμήθεια υλικού να ρυθμίζεται από τη ζήτηση του επόμενου χρήστη/σταδίου και με το ελάχιστο δυνατό απόθεμα.
Επιχειρησιακή Έρευνα & Βελτιστοποίηση
185
3.12.7 Μοντέλα Βελτιστοποίησης Παραγγελιών Για να βρεθεί η βέλτιστη λύση στην οργάνωση των αποθεμάτων θα πρέπει να ισορροπηθούν δυο αντικρουόμενες επιθυμίες. Η μείωση του κόστους αποθήκευσης και η μείωση του κόστους παραγγελιών. Όμως τα δύο μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα.
Εικόνα 3.23 Διάγραμμα συνολικού κόστους σε συνάρτηση της παραγγελθείσας ποσότητας
Τα ετήσιο συνολικό κόστος διατήρησης αποθεμάτων Κ είναι το άθροισμα του ετήσιου Κόστους Αγοράς ΚΑ, του ετήσιου Κόστους Διαχείρισης Παραγγελιών ΚΠ & του ετήσιου Κόστους Διατήρησης Αποθεμάτων ΚΔ, και η ελαχιστοποίηση του βασίζεται στις μεθόδους & μοντέλα παραγγελιών που εφαρμόζει κάθε επιχείρηση. Τα μοντέλα αυτά υπολογίζουν την ποσότητα Q ή/και τον χρόνο/περίοδο Τ της παραγγελίας ώστε να μειώνεται το συνολικό κόστος. Τα δύο πιο γνωστά μοντέλα είναι το Μοντέλο Παραγγελίας Σταθερής Ποσότητας και το Μοντέλο Παραγγελίας Σταθερής Περιόδου.
𝛫 = 𝛫𝐴 + 𝛫𝛥 + 𝛫𝛱
3.11
Μοντέλο Παραγγελίας Σταθερής Ποσότητας Το μοντέλο Σταθερής Ποσότητας βρίσκει τη βέλτιστη (οικονομικότερη) ποσότητα παραγγελίας Q* που θα ζητείται από τον προμηθευτή καθώς και το όριο αποθέματος R, κάτω από το οποίο θα αποστέλλεται η παραγγελία, έτσι ώστε να καλύπτεται ο χρόνος παράδοσης L. Το μοντέλο σταθερής ποσότητας βασίζεται στη συνεχή παρακολούθηση του αποθέματος και προτιμάται για τα πιο ακριβά υλικά (που έχουν μικρότερα αποθέματα), ή για πιο σημαντικά υλικά για την παραγωγική διαδικασία (π.χ. ανταλλακτικά), καθώς τα αποθέματα