6-E-132__pages__Apeirost log

23. ∆∞ °ƒ∞ºπ∫∞ ∆√À MATLAB ∆Ô ·Î¤ÙÔ ÙÔ˘ ML ¤¯ÂÈ ÙË ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ· Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ›, Ó· ÂÌÊ·Ó›˙ÂÈ Î·È Ó· ÂÎÙ˘ÒÓÂÈ ÁÚ·ÊÈΤ˜ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ fiÏˆÓ ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ·ÏÏ¿ Î·È ·˘ÙÒÓ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÔ‡Ó ÔÈ ¯Ú‹ÛÙ˜. ¢È·ı¤ÙÂÈ ÏËıÒÚ· Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Î·È ÂÓÙÔÏÒÓ ÁÈ· ÙÔÓ ÛÎÔfi ·˘Ùfi Û ‰ÈۉȿÛٷ٘ Î·È ÙÚÈۉȿÛٷ٘ ·ÂÈÎÔÓ›ÛÂȘ. ∞˜ ÙȘ ‰Ô‡ÌÂ, ÍÂÎÈÓÒÓÙ·˜ ·fi ÙȘ ÈÔ ·Ϥ˜.

23.1 ∏ ÂÓÙÔÏ‹ plot ∏ ÂÓÙÔÏ‹ ·˘Ù‹ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË, Û ‰ÈۉȿÛÙ·ÙÔ ¯ÒÚÔ (Â›‰Ô) ÌÈ·˜ ηÌ‡Ï˘, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ˙‡ÁË ÙÈÌÒÓ (x, y). ∏ Û‡ÓÙ·ÍË Ù˘ ›ӷÈ: >>plot(x, y) ↵

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 1 ŒÛÙˆ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ٷ x, y Ì ÌÔÚÊ‹ ÈÓ¿ÎˆÓ ›ÛÔ˘ Ï‹ıÔ˘˜ ÛÙÔȯ›ˆÓ. x=[0, 1, 2, 3, 4, 5] y=[0, 2, 8, 18, 32, 50] ∫·È ı¤ÏÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ (¿ÁÓˆÛÙ˘) Ô˘ ÂÚÓ¿ ·fi Ù· ÛËÌ›· (0, 0), (1, 2), (2, 8), (3, 18), (4, 32) Î·È (5, 50). ∏ ÂÓÙÔÏ‹ Î·È Ë ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 23-1. ¶·Ú·ÙËÚ›ÛÙ ˆ˜ ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· ¤ÁÈÓ fi¯È Ì ÔÌ·Ï‹ ηÌ‡ÏË ·ÏÏ¿ Ì ÙÂıÏ·Ṳ̂ÓË ÁÚ·ÌÌ‹ ·fi ÙÔ ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÛÙÔ ¿ÏÏÔ. ∞˘Ùfi ÔÊ›ÏÂÙ·È ÛÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Ë plot ¤ÓˆÛ ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ ÛËÌ›· Î·È fi¯È Û˘Ó¯¤˜ ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡. ∞Ó Ù· ÛËÌ›· ‹Ù·Ó ÂÚÈÛfiÙÂÚ· ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· ı· ‹Ù·Ó ÈÔ ÔÌ·Ïfi. ∞˜ ‰Ô‡Ì ÙÒÚ· ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ÌÈ·˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ Ì ÈÔ ÔÌ·Ï‹ ÂÌÊ¿ÓÈÛË. ŒÛÙˆ ˆ˜ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ·Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÁÚ·ÊÈο ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = sin(x) Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ –  , 4 + .

2 2 £· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘Ì ÚÒÙ· ÙÔÓ ›Ó·Î· ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x Ì ¤Ó· ÌÈÎÚfi ‚‹Ì· (.¯.

0.02). ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ı· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô ›Ó·Î· ÙÈÌÒÓ Ù˘ f(x) Î·È ÌÂÙ¿ ı· οÓÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË. √È ÂÓ¤ÚÁÂȘ Î·È ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 23-2.

712

∞¶∂πƒ√™∆π∫√™ §√°π™ª√™ π & MATLAB

∂ÈÎfiÓ· 23-1

∂ÈÎfiÓ· 23-2

∆∞ °ƒ∞ºπ∫∞ ∆√À MATLAB

713

23.1.1 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË linspace ∞Ó Ì·˜ ÂӉȷʤÚÂÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x Î·È fi¯È ÙÔ ‚‹Ì·, ÌÔÚԇ̠ӷ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ (›Ó·Î·) ÙˆÓ ÛËÌ›ˆÓ x ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË linspace.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ ∞˜ οÓÔ˘Ì ÙË ÁÚ·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˘ ¿ÛÎËÛ˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ 500   ˘ԉȷÛÙ‹Ì·Ù· ÙÔ˘ ¶.√. Ù˘. ∞˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ ˆ˜ ÙÔ ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ – , 4 + 2 2 Ú¤ÂÈ Ó· ¯ˆÚÈÛÙ› Û 500 ÙÌ‹Ì·Ù·. ÕÚ· ı· ¯ÚÂÈ·ÛÙԇ̠501 ÛËÌ›·. ™ÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 23-3 Ê·›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ÂÓÙÔϤ˜ Î·È ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ·.

∂ÈÎfiÓ· 23-3

23.1.2 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË logspace ∂›Ó·È ·ÚfiÌÔÈ· Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ linspace, ÌfiÓÔ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÛËÌ›· Ô˘ ·¤¯Ô˘Ó ÏÔÁ·ÚÈıÌÈο. ∏ Û‡ÓÙ·Í‹ Ù˘ ›ӷÈ: logspace(a, b, n)

fiÔ˘ 10a Â›Ó·È ÙÔ ÚÒÙÔ ÛËÌ›Ô, 10b ÙÔ ÙÂÏÂ˘Ù·›Ô Î·È ˘ÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·È n-Û˘ÓÔÏÈο ÛËÌ›·.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ >>logspace(1, 3, 10) ↵

714

∞¶∂πƒ√™∆π∫√™ §√°π™ª√™ π & MATLAB

ı· ÂÌÊ·Ó›ÛÂÈ Ù· ÛËÌ›·: 10(=101=10a) 215.44 359.38

16.681 599.48

27.826 46.416 1000 (=103=10b)

77.426

129.15

23.2 ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ °Ú·ÊÈÎÒÓ ∆Ô ML ‰È·ı¤ÙÂÈ ·ÚÎÂÙ¤˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ÂÈÙÚ¤Ô˘Ó ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ·ÚÔ˘Û›·ÛË ÙÔ˘ ÁÚ·Ê‹Ì·ÙÔ˜. ∆¤ÙÔȘ ›ӷÈ: xlabel(‘...‘) ylabel(‘...‘) legend(‘...‘) title(‘...‘) grid ‹ grid on

∂ÌÊ·Ó›˙ÂÈ Ù›ÙÏÔ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ x ∂ÌÊ·Ó›˙ÂÈ Ù›ÙÏÔ ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ y ∂ÌÊ·Ó›˙ÂÈ ˘fiÌÓËÌ· ÁÈ· ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· ∂ÌÊ·Ó›˙ÂÈ Ù›ÙÏÔ ÛÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· ∂ÌÊ·Ó›˙ÂÈ ϤÁÌ· ÛÙÔÓ ¯ÒÚÔ Û¯Â‰›·Û˘. ªÂ grid off ‰ÂÓ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙÔ ϤÁÌ· ∂ÌÊ·Ó›˙ÂÈ ¤Ó· ΛÌÂÓÔ ÛÙË ı¤ÛË (x, y) text(x, y, ‘...‘) figure(n) ∞ÓÔ›ÁÂÈ ¤Ó· ·Ú¿ı˘ÚÔ Ì ·ÚÈıÌfi ÁÈ· ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ· hold ‹ hold on ¶·ÁÒÓÂÈ ÙÔ ÙÚ¤¯ÔÓ ·Ú¿ı˘ÚÔ ÁÚ·ÊÈÎÒÓ ÁÈ· Ó· ۯ‰ȷÛÙÔ‡Ó Î·È ¿ÏϘ ·Ú·ÛÙ¿ÛÂȘ. ªÂ hold off ÍÂ·ÁÒÓÂÈ axis ™Ù·ıÂÚÔÔ›ËÛË ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ axis equal °È· ηÓÔÓÈÎfi Û‡ÛÙËÌ· Û˘ÓÙÂÙ·Á̤ӈÓ. ¢ËÏ·‰‹ Ë t t ‚·ıÌÔÓfiÌËÛË ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ Â›Ó·È ›ÛË | i | = | j | axis off ¢È·ÁÚ·Ê‹ ÙˆÓ ·ÍfiÓˆÓ axis ([xmin, xmax, ymin, ymax] √Ú›˙ÂÈ fiÚÈ· ÛÙÔ˘˜ ¿ÍÔÓ˜. ∞˜ ‰Ô‡Ì Ì ¤Ó· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÙË ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ·˘ÙÒÓ. ∞˜ ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì ˆ˜ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ·Ú·ÛÙ‹ÛÔ˘Ì ÁÚ·ÊÈο ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË f(x) = sin(x) Ì ‰›Ô ÔÚÈÛÌÔ‡ ÙÔ [–2, 4] Î·È ˆ˜ ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· x Ô Ù›ÙÏÔ˜ "ÙÈ̤˜ x" ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ y Ô Ù›ÙÏÔ˜ "y=f(x)=sin(x)", ÛÙÔ fiÏÔ ÁÚ¿ÊËÌ· Ô Ù›ÙÏÔ˜ "°Ú·ÊÈ΋ ·Ú¿ÛÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘ ËÌ›ÙÔÓÔ x", ÙÔ ˘fiÌÓËÌ· "sin(x)=ËÌ(x)" Î·È Ù¤ÏÔ˜, Ó· ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Î·È ÙÔ ϤÁÌ· ÙÈÌÒÓ. ¢Â¯fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ¤Ó· ‚‹Ì· 0.03 Â›Ó·È ÈηÓÔÔÈËÙÈÎfi. ™ÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 23-4 Ê·›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ÂÓÙÔϤ˜ Î·È ÙÔ ÁÚ¿ÊËÌ·. £· ·Ú·ÙËÚ‹ÛÂÙ ˆ˜ Û ·Ï·ÈfiÙÂÚ˜ ÂΉfiÛÂȘ ÔÈ ÂÓÙÔϤ˜ xlabel, ylabel, title Î·È legend ‰ÂÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÌÊ·Ó›ÛÔ˘Ó ¯·Ú·ÎÙ‹Ú˜ ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ·fi ÙÔ˘˜ Ï·ÙÈÓÈÎÔ‡˜. °È' ·˘Ùfi ÛÙȘ ·Ï·ÈfiÙÂÚ˜ ÂΉfiÛÂȘ Ú¤ÂÈ Ì ÙÔ Ï‹ÎÙÚÔ ↑ Ó· Â·Ó·Ê¤ÚÔ˘Ì ÙȘ Û¯ÂÙÈΤ˜ ÂÓÙÔϤ˜ Î·È ı· Û˘ÌÏËÚÒÛÔ˘Ì ÌÂÙ¿ ÙÔ ÂÏÏËÓÈÎfi ΛÌÂÓÔ, ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÁÏÒÛÛ·˜, Ë ÔÔ›· Ú¤ÂÈ Ó· Â›Ó·È ÂÏÏËÓÈ΋, .¯. Arial Greek. ¢ËÏ·‰‹ ÔÈ ÂÓÙÔϤ˜ Ú¤ÂÈ Ó· Á›ÓÔ˘Ó ·˘Ù¤˜ Ô˘ Ê·›ÓÔÓÙ·È ÛÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 23-5.

26. ¶ƒ√°ƒ∞ªª∞∆π™ª√™ ª∂ MATLAB 26.1 ™ÙÔȯ›· ª·ıËÌ·ÙÈ΋˜ §ÔÁÈ΋˜ (ÕÏÁ‚ڷ Boole) £˘Ì›˙Ô˘Ì ηÙ' ·Ú¯‹Ó fiÙÈ ÏÔÁÈ΋ ϤÁÂÙ·È ÌÈ· ÚfiÙ·ÛË fiÙ·Ó ÌÔÚԇ̠̠۷ʋÓÂÈ· Î·È ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ·Ú·ÌÈÎÚ‹ Èı·ÓfiÙËÙ· Ï¿ıÔ˘˜ Ó· ÙË ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÔ˘Ì ·ÏËı‹ ‹ „¢‰‹. ø˜ Û‡ÓÔÏÔ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ıˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ G ÙˆÓ ÏÔÁÈÎÒÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ (.¯. "ÙÔ ·Ï‡ÚÈ Â›Ó·È ¿ÛÚÔ" Î·È "fiÏ· Ù· ·˘ÙÔΛÓËÙ· Â›Ó·È Ì·‡Ú·", Â›Ó·È ÏÔÁÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ fï˜ Â›Ó·È „¢‰Â›˜). ∞Ó ÌÈ· ÚfiÙ·ÛË Â›Ó·È ·ÏËı‹˜, ÙË Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì ∞ (·ÏËı‹˜) ‹ ∆ (true) ‹ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 1. ∞Ó Â›Ó·È „¢‰‹˜ ÙË Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì æ („¢‰‹˜) ‹ F (false) ‹ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 0. ™ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ G ÙˆÓ ÏÔÁÈÎÒÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ ÔÚ›˙Ô˘Ì ‰‡Ô ‰ÈÌÂÏ›˜ Ú¿ÍÂȘ: ∆Ë Û‡˙¢ÍË Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì "§" ‹ "AND" ‹ "Ø" ηÈ, ∆Ë ‰È¿˙¢ÍË Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì "V" ‹ "OR" ‹ "+". √Ú›˙Ô˘Ì Â›Û˘ Î·È ÌÈ· ÌÔÓÔÌÂÏ‹ Ú¿ÍË ¿ÚÓËÛ˘ Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì "√Ãπ ∞" – ‹ "–∞" ‹ "∞". √È ÏÔÁÈΤ˜ ‰ÈÌÂÏ›˜ Ú¿ÍÂȘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ñ ∏ Û‡˙¢ÍË ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Â›Ó·È ·ÏËı‹˜ ÌfiÓÔ ·Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ·ÏËı›˜. ™' fiϘ ÙȘ ¿ÏϘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Â›Ó·È „¢‰‹˜. ¢ËÏ·‰‹:

∞§µ ‹ ∞Ø µ = ‹ ∞ ∞ND B

1

·Ó

∞=1

ηÈ

µ=1

0

·Ó

∞=1

ηÈ

µ=0

0

·Ó

∞=0

ηÈ

µ=1

0

·Ó

∞=0

ηÈ

µ=0

782

∞¶∂πƒ√™∆π∫√™ §√°π™ª√™ π & MATLAB

ñ ∏ ‰È¿˙¢ÍË ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Â›Ó·È „¢‰‹˜ ÌfiÓÔÓ ·Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È „¢‰Â›˜. ™' fiϘ ÙȘ ¿ÏϘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ·ÏËı‹˜. ¢ËÏ·‰‹: ∞Vµ ‹ ∞+ µ = ‹ ∞ OR B

1

·Ó

∞=1

ηÈ

µ=1

1

·Ó

∞=1

ηÈ

µ=0

1

·Ó

∞=0

ηÈ

µ=1

0

·Ó

∞=0

ηÈ

µ=0

– ñ ∏ ÌÔÓÔÌÂÏ‹˜ Ú¿ÍË Ù˘ ¿ÚÓËÛ˘ ÔÚ›˙ÂÈ fiÙÈ Ë ·ÓÙ›ıÂÙË ÚfiÙ·ÛË ∞ ÌÈ·˜ ÚfiÙ·Û˘ ∞, Â›Ó·È ·ÏËı‹˜ ·Ó Ë ÚfiÙ·ÛË ∞ Â›Ó·È „¢‰‹˜ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. ¢ËÏ·‰‹: – ∞ ‹ √Ãπ (∞) ‹ = ¡√∆ (∞)

1

·Ó

∞=0

0

·Ó

∞=1

∆Ô Û‡ÓÔÏÔ G Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ÙÚÂȘ ·˘Ù¤˜ Ú¿ÍÂȘ, ÁÈ·Ù› ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Î·È ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ G, Â›Ó·È ·˘Ù·fi‰ÂÎÙÔ fiÙÈ Ë Û‡˙¢ÍË Î·È Ë ‰È¿˙¢ÍË ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛˆÓ, ηıÒ˜ Î·È Ë ¿ÚÓËÛË ÌÈ·˜ ÚfiÙ·Û˘ Â›Ó·È Â›Û˘ ÚfiÙ·ÛË. ÕÚ·, ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ G. πÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ·ÓÙÈÌÂÙ¿ıÂÛ˘ Î·È ÙÔ˘ ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÌÔ‡ ÛÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ Û‡˙¢Í˘ Î·È Ù˘ ‰È¿˙¢Í˘.

1. ∞ Ø µ = µ Ø ∞ Î·È ∞ + µ = µ + ∞ ¢ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠ÙÔ˘˜ ›Ó·Î˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌÒÓ (·ÏËı›·˜) ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ ∞ Î·È µ. ¶ÚˆÙÔÁÂÓ›˜ ∆È̤˜

¶·Ú¿ÁˆÁ˜ ∆È̤˜

∞

µ

∞Ø µ

µØ ∞

∞+µ

µ+∞

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

∞fi Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ÛÙËÏÒÓ (3, 4) Î·È (5, 6) ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·È ÔÈ ·Ú·¿Óˆ Û¯¤ÛÂȘ.