ðñïâëçìáôá 2.68-2.81 71
75 kN
60 kN 75 kN 60 kN (ã)
(ä)
y 60 kN
75 kN
45 kN 45 kN
45 kN
45 kN
Ã
75 kN
Ä
C1
60 kN
0,20 m
(æ)
(å)
C4
A
B
Ó÷. Ð2.69
2.71
2.72
Áí C1=260 N.m êáé C2=250 N.m, íá âñåßôå ôï ìÝãåèïò ôçò óõíïëéêÞò ñïðÞò ôùí C1 êáé C2 ùò ðñïò: á) ôï óçìåßï Á êáé â) ôïí Üîïíá ìå êáôåýèõíóç áðü ôï óçìåßï È ðñïò ôï óçìåßï B. Íá âñåßôå ôï μέτρο P ôùí äõíÜìåùí ðïõ åíåñãïýí óôç ñÜâäï ÃD áí ôï æåýãïò ðïõ ó÷çìáôßæïõí åßíáé éóïäýíáìï ìå ôï æåýãïò ðïõ åíåñãåß óôç ñÜâäï AB. z
40 Í 200 mm
B
A
16 kN
20 kN
40 Í
300 mm
400 mm
Ã
O
P
1,5 m y
20 kN m m
x
16 kÍ
40 0
P
Ä
Ó÷. Ð2.72
x
Ó÷. Ð2.70
Óôï Ýëáóìá ìå äéáóôÜóåéò 0,15 m åðß 0,2 m åíåñãïýí ôÝóóåñá æåýãç C1= 1,2N.m, C2=2,4 N.m, C3=1,8 N.m êáé C4=4,2 N.m, ôá ïðïßá ìðïñïýí í' áR íôéêáôáóôáèïýí áðü Ýíá éóïäýíáìü ôïõò æåýãïò C . á) Íá õðïëïãßóåôå ôï R ìÝτρο êáé ôçí êáôåýèõíóç ôïõ C , â) Íá âñåßôå ôï μέτρο ôùí äýï ìéêñüôåñùí ðáñÜëëçëùí äõíÜìåùí ðïõ åíåñãïýí óôï Ýëáóìá êáé ðïõ åßíáé éóïäýíáìåò ìå R R ôï æåýãïò C και ã) Ôï C ìðïñåß í' áíôéêáôáóôáèåß áðü äýï äõíÜìåéò, ìéá åê ôùí ïðïßùí åßíáé ç P = 32i -24j N ðïõ åíåñãåß óôï óçìåßï Ä. Íá âñåßôå ôéò óõíôåôáãìÝíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá åíÝñãåéáò ôçò Üëëçò äõíÜìåùò ôÝìíåé ôïí Üîïíá x.
z
C3
0,15 m
2m
2m x
Ó÷. Ð2.73
z A
m
Ä
Ã
E 3m Æ x
C1
C2
4m
B
O
12
2.70
C2
È
Ó÷. Ð2.71
y
72 ðñïâëçìáôá 2.68-2.81 2.73
Íá âñåßôå ôï ìÝãåèïò êáé ôá óõíçìßôïíá êáôåõèýíóåùò ôïõ διáíõóìáôéêïý æåýãïõò ðïõ åßíáé éóïäýíáìï ìå á) Ôéò äýï äõíÜìåéò ôùí 16 kN, â) Ôéò äýï äõíÜìåéò ôùí 20 kN êáé ã) Ìå ôéò ôÝóóåñéò äõíÜìåéò ôïõ ó÷Þìáôïò.
2.74
Áí C1 = 18 N.m, C2 = 10 N.m êáé C3 = 24 N.m, íá âñåßôå ôï διáíõóìáôéêü æåýãïò ðïõ åßíáé éóïäýíáìï ìå ôá ôñßá æåýãç ðïõ åíåñãïýí óôï êéâþôéï ôá÷õôÞôùí. z
60
C2
120
60
Ä
B C3
x
40
140 ÄéáóôÜóåéò óå mm
Ôï ôñõðÜíé áóêåß óôï ôåôñÜðëåõñï Ýëáóìá Ýíá æåýãïò C. Ãéá íá ðáñáìåßíåé ôï Ýëáóìá áêßíçôï ðñÝðåé íá áóêçèåß åðÜíù ôïõ Ýíá ßóï êáé áíôßèåôï æåýãïò áðü ôéò ôÝìíïõóåò äõíÜìåéò óôïõò êï÷ëßåò (âßäåò) ðïõ óõãêñáôïýí ôï Ýëáóìá óôïí ðÜãêï. (Ïé ôÝìíïõóåò äõíÜìåéò åßíáé äõíÜìåéò óôï åóùôåñéêü ôùí êï÷ëéþí ðïõ åíåñãïýí ðáñÜëëçëá ìå ôï Ýëáóìá.) Áí êáé õðÜñ÷ïõí ôÝóóåñéò ôñýðåò óôï Ýëáóìá, íá õðïèÝóåôå üôé ìüíï ïé äýï áð' áõôÝò Ý÷ïõí êï÷ëßåò. á) Óå ðïéåò ôñýðåò èá âÜæåôå ôéò äýï âßäåò þóôå íá åëá÷éóôïðïéçèïýí ïé ôÝìíïõóåò äõíÜìåéò; â) Áí ç ìÝãéóôç åðéôñåðüìåíç ôÝìíïõóá äýíáìç ðïõ ìðïñåß í'áíôÝîåé êÜèå âßäá åßíáé 40 N, íá âñåßôå ôï μέτρο ôïõ ìÝãéóôïõ æåýãïõò C ðïõ ìðïñåß í' áóêçèåß áðü ôï ôñõðÜíé.
2.76
Íá ëýóåôå ôï ðñ. 2.66 áðïäå÷üìåíïé üôé ïé äýï äõíÜìåéò ôùí 80 Í ðïõ áóêïýíôáé óôç ëáâÞ ôïõ åýêáìðôïõ êëåéäéïý áðïôåëïýí æåýãïò.
2.77
Ïé äύï äõíÜìåéò μέτρου P åßíáé éóïäýíáìåò ìå Ýíá áñéóôåñüóôñïöï æåýãïò ìåãÝèïõò 10 Nm. á) Íá âñåßôå ôï P ως óõíÜñôçóç ôïõ è. â) ×ñçóéìïðïéþíôáò ôï áðïôÝëåóìá ôïõ (á) ìÝñïõò, íá ó÷åäéÜóåôå Ýíá äéÜãñáììá ôïõ P ùò ðñïò ôï è ãéá ôéò èåôéêÝò ôéìÝò ôïõ P. Íá ÷áñáêôçñßóåôå üëåò ôéò óçìáíôéêÝò ôéìÝò.
2.78
¸íá æåýãïò ìåãÝèïõò 480 N.m áóêåßôáé óôï ôìÞìá Á ôïõ êéíçôÞñéïõ Üîïíá (ï êéíçôÞñéï Üîïíáò Ý÷åé åëåýèåñåò óõíäÝóåéò óôá óçìåßá B êáé Ã). Íá õðïëïãßóåôå ôç ñïðÞ ôïõ áóêïýìåíïõ æåýãïõò ùò ðñïò ôï ôìÞìá ÃÄ üôáí ï êéíçôÞñéïò Üîïíáò âñßóêåôáé óôç èÝóç ðïõ äåß÷íåé ôï ó÷Þìá.
420 mm
P 360 mm
Ó÷. Ð2.75
2.75
P
è
80mm
Ã
90 mm
Ó÷. Ð2.74
è
E
A
18 0
C1
120 mm
y
Ä
Ó÷. Ð2.77 z o
30 o
40
à B Åðßðåäï ôïõ BÃÄ
x o
30
y Åðßðåäï ôïõ ABÃ
A 480 N.m
Ó÷. Ð2.78
ðñïâëçìáôá 2.68-2.81 73
2.79
Ï âñá÷ßïíáò ABÃÄ ôïõ âéïìç÷áíéêïý ñïìðüô âñßóêåôáé ó' Ýíá êÜèåôï åðßðåo äï ðïõ ó÷çìáôßæåé ìéá ãùíßá 35 ìå ôï åðßðåäï yz. Ï âñá÷ßïíáò ÃÄ ó÷çìáôßæåé o ìéá ãùíßá 30 ìå ôïí êÜèåôï Üîïíá z. ¸íá áñèñùôü êëåéäß ðïõ åöáñìüæåôáé óôï óçìåßï Ä áóêåß Ýíá æåýãïò ìåãÝèïõò 70 N.m óôïν âñá÷ßïíá ÃÄ óôçí êáôåýèõíóç ðïõ áðåéêïíßæôáé óôï ó÷Þìá. á) Íá âñåßôå ôï διáíõóìáôéêü æåýãïò ðïõ áíôéðñïóùðåýåé ôï äåäïìÝíï æåýãïò. â) Íá âñåßôå ôç ñïðÞ ôïõ æåýãïõò ùò ðñïò ôïí Üîïíá z. Ã
B
Ä 70 N.m 0,8 m
A o
30
1,2 m
O
o
35 x
y
Ó÷. Ð2.79 2.80
Ôï ó÷Þìá áðåéêïíßæåé ôï ìéóü ìéáò åëåýèåñçò óõíäÝóåùò, ðïõ ïíïìÜæåôáé óýíäåóç Hooke. Óôç óýíäåóç åíåñãïýí ôñßá æåýãç, üðùò öáßíåôáé êáé óôï ó÷Þìá: (1) Ôï æåýãïò åéóáãùãÞò ðïõ áðïôåëåßôáé áðü äõíÜìåéò μέτρου P, (2) ôï æåýãïò åîáãùãÞò CO êáé (3) ôï æåýãïò μέτρου R ðïõ ó÷çìáôßæåôáé áðü ôéò áíôéäñÜóåéò ôùí εδράνων. Íá õðïëïãßóåôå ôï R êáé ôï CO, áí ç óõíéóôáìÝíç áõôþí ôùí æåõãþí åßíáé ìçäÝí êáé ôï P = 1600 Í.
2.81
Ï Üîïíáò ôïõ ôéìïíéïý ôïõ óõóôÞìáôïò äéåõèýíóåùò âñßóêåôáé óôï åðßðåäï xz. Ï óùëÞíáò AB ôïõ ìç÷áíéóìïý êéíÞóåùò åßíáé óõíäåäåìÝíïò ìå ôï óáóß ôïõ ï÷Þìáôïò óôá óçìåßá A êáé B. ¼ôáí ôï ôéìüíé ãõñßæåé, óôï óýóôçìá åíåñãïýí ôá ôñßá æåýãç ôïõ ó÷Þìáôïò: Ôï æåýãïò ôùí 3 N.m ðïõ áóêåßôáé áðü ôïí ïäçãü óôï ôéìüíé, ôá äýï æåýãç ôùí 1,8 N.m (Ýíá óå êÜèå ôñï÷ü) êáé ôï æåýãïò ðïõ ó÷çìáôßæåôáé áðü ôéò äýï äõíÜìåéò ìåãÝèïõò F ðïõ áóêïýíôáé óôá óçìåßá A êáé B. Íá õðïëïãßóåôå ôï F êáé ôç ãùíßá è (ôï μέτρο êáé ôçí êáôåýèõíóç ôùí áíôéäñÜóåùí ôùí εδράνων), áí ôï óõíéóôÜìåíï æåýãïò ðïõ áóêåßôáé óôïν ìç÷áíéóìü äéåõèýíóåùò åßíáé ìçäÝí.
100 mm
z
CO
z
3 N.m
R
360 mm
R
P
è
150 mm
o
F
25
Á Â
o
30
1,8 N.m
F
x y P
Ó÷. Ð2.80
45
o
è y
x 1,8 N.m
Ó÷. Ð2.81
74 êåöáëáÉï 2: âáÓÉêåÓ ðñáÎåÉÓ ìå ÄÕÍáìÉêá ÓÕÓôçìáôá
2.8 ÁíôéêáôÜóôáóç ìίáò ÄõíÜìåùò ìå ìίá Äýíáìç êáé Ýíá Æåýãïò (Ροπή) Ó' áõôÞ ôçí παράγραφο èá åîçãÞóïõìå ðώò ìðïñïýìå í' áëëÜîïõìå ôçí åõèåßá åíÝñãåéáò ìίáò äõíÜìåùò. Ãéá íá ãßíåé áõôü, áíôéêáèéóôïýìå ôç äåäïìÝíç äýíáìç ì' Ýíá éóïäýíáìï óýóôçìá*, ðïõ áðïôåëåßôáé áðü ìίá äýíáìç êé Ýíá æåýãïò êáé ïíïìÜæåôáé éóïäýíáìï óýóôçìá äõíÜìåùò-æåýãïõò. Áõôü ôï èÝìá áðïôåëåß ôç âÜóç ôïõ åðüìåíïõ êåöαëáίïõ, üðïõ åîåôÜæïõìå ôéò óõíéóôáìÝíåò συστήματος των δυνάμεων. Ôï ó÷. 2.18 (á) äåß÷íåé ìéá äýíáìç P ðïõ áóêåßôáé óôï óçìåßï B. Áò åîåôÜóïõìå ôþñá ôï ðñüâëçìá áíôéêáôáóôÜóåùò ôçò óõãêåêñéìÝíçò äõíÜìåùò ìå ìéá Üëëç äýíáìç ðïõ í' áóêåßôáé óôï óçìåßï A, ôï ïðïßï âñßóêåôáé óå áðüóôáóç e áðü ôï óçìåßï B. Áí ïé äõíÜìåéò Þôáí åëåýèåñá διáíýóìáôá, ôüôå ç P èá ìðïñïýóå íá ìåôáêéíçèåß áðü ôï B óôï A. ¼ìùò, áí áëëÜîïõìå ôçí åõèåßá åíÝñãåéáò ìéáò äõíÜìåùò, áëëÜæïõìå êáé ôç ñïðÞ ôçò. Ãé' áõôü ëïéðüí ðñÝðåé í' áíáðôýîïõìå ìéá åéäéêÞ äéáäéêáóßá, þóôå í' áëëÜæïõìå ôçí åõèåßá åíÝñãåéáò ìéáò äõíÜìåùò ÷ùñßò íá åðçñåÜæïõìå ôç ñïðÞ ôçò, äçëáäÞ ÷ùñßò íá ìåôáâÜëëïõìå ôçí åîùôåñéêÞ ôçò åðßäñáóç ó' Ýíá óôåñåü. Ç ìåôáêßíçóç ôçò äõíÜìåùò P áðü ôï óçìåßï B óôï A ãßíåôáé óå äýï óôÜäéá, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷. 2.18. Óôï 1ο σôÜäéï ôïðïèåôïýìå äýï ßóåò êáé áíôßèåôåò äõíÜìåéò óôï óçìåßï A, äçìéïõñãþíôáò Ýôóé Ýíá óýóôçìá ôñéþí ðáñÜëëçëùí äõíÜìåùí ôï ïðïßï éóïäõíáìåß ìå ôçí áñ÷éêÞ äýíáìç. Óôï 2ο σôÜäéï âñßóêïõìå ôï æåýãïò ðïõ ó÷çìáôßæïõí ïé äýï äõíÜìåéò. Ôï ó÷. 2.18 (ä) äåß÷íåé ôï éóïäýíáìï óýóôçìá äõíÜìåùò-æåýãïõò.
y
y
Ñ
Ñ e A
e
A
x
Â
Ñ Â
x
Ñ (á) Áñ÷éêÞ δýíáìç
(â) ÓôÜäéï 1: Ôïðïèåôïýìå ßóåò êáé áíôßèåôåò äõíÜìåéò óôï óçìåßï Á
y
y Æåýãïò
Ñ
Ñ
T
C =Pe
e A
Â
x
x
A
Ñ (ã) ÓôÜäéï 2: Âñßóêïõìå ôï æåýãïò
(ä) Éóïäýíáìï óýóôçìá äõíÜìåùò-æåýãïυò
Ó÷. 2.18 T
Ôï æåýãïò ðïõ ó÷çìáôßæåôáé ì' áõôüí ôïí ôñüðï óõìâïëßæåôáé ìå C êáé ïíïìÜæåôáé æåýãïò ìåôáêéíÞóåùò. (Ìéá ðéï áêñéâÞò ïíïìáóßá èá Þôáí: ôï æåýãïò ðïõ ðñÝðåé íá ÷ñçóéìïðïéçèåß üôáí ìéá äýíáìç ìåôáêéíåßôáé áðü ìéá åõèåßá åíÝñãåéáò óå Üëëç.) Ôï æåýãïò ìåôáêéíÞóåùò åßíáé áíáãêáßï ãéá íá äéïñèþóïõìå ôç ìåôáâïëÞ óôç ñïðÞ ìéáò äõíÜìåùò üôáí áëëÜæåé ç åõèåßá åíÝñãåéÜò ôçò. Ôï μέτρο ôïõ æåýãïõò ìåôáêéíÞóåùò óôï ó÷. 2.18(ä) åßíáé Pe êáé Ý÷åé äåîéüóôñïöç êáôåýèõíóç. Áí óõãêñßíïõìå ôá ó÷. 2.18 (á) êáé (ä), ðáñáôçñïýìå üôé ç äýíáìç P ðïõ áñ÷éêÜ åíåñãïýóå óôï óçìåßï B Ý÷åé áíôéêáôáóôáèåß áðü ìéá äýíáìç (ßäéïõ μέτρου êáé êáôåõèýíóåùò) êé Ýíá æåýãïò. * Ï üñïò éóïäýíáìï, ðïõ ÷ñçóéìïðïéåßôáé åäþ, áíáöÝñåôáé óôçí åîùôåñéêÞ åðßäñáóç ó' Ýíá óôåñåü, üðùò ôçí åîåôÜóáìå óôην Παρ. 2.3.
2.8 ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ìÉáÓ ÄÕÍáìåÙÓ ìå ìÉá ÄÕÍáìç êáÉ åÍá ÆåÕÃïÓ (ΡΟΠΗ) 75
Ç äéáäéêáóßá ðïõ åöáñìüæåôáé óôï ó÷. 2.18 äåí ðåñéïñßæåôáé óôï åðßðåäï xy. Ëåéôïõñãåß áíåîÜñôçôá áðü ôïí ðñïóáíáôïëéóìü ôçò P êáé ôç èÝóç ôùí óçìåßùí A êáé B, åðåéäÞ ç P êáé ôï óçìåßï A ïñßæïõí ðÜíôá Ýíá ìïíáäéêü åðßðåäï. Óôï ó÷. 2.18 åðéëÝîáìå ôï åðßðåäï x - y ãéá íá ãßíåé ðåñéóóüôåñï êáôáíïçôÞ ç äéáäéêáóßá. Áêïëïõèåß ðåñéëçðôéêÜ ç äéáäéêáóßá ðïõ ðåñéãñÜöåôáé óôï ó÷. 2.18. 1. Ç "íÝá" äýíáìç (ðïõ áóêåßôáé óôï óçìåßï A) Ý÷åé ôï ßäéï ìÝãåèïò êáé êáôåýèõíóç ìå ôçí áñ÷éêÞ äύíáìç (ðïõ áóêåßôáé óôï óçìåßï B). Áðëώς ìåôáêéíïýìå ôç äýíáìç áðü ôï B óôï A. 2. Ôï åðßðåäï ôïõ æåýãïõò ìåôáêéíÞóåùò ðåñéÝ÷åé ôçí áñ÷éêÞ äýíáìç (ðïõ áóêåßôáé óôï óçìåßï B) êáé ôï íÝï óçìåßï (óçìåßï A). 3. Ôï æåýãïò ìåôáêéíÞóåùò éóïýôáé ìå ôç ñïðÞ ôçò áñ÷éêÞò äõíÜìåùò (ðïõ áóêåßôáé óôï óçìåßï B) ùò ðñïò ôï íÝï óçìåßï (óçìåßï A). ¼ôáí áëëÜæïõìå ôçí åõèåßá åíÝñãåéáò ìéáò äõíÜìåùò, äåí åßíáé óõíÞèùò åýêïëï í' áêïëïõèÞóïõìå áêñéâþò ôç äéáäéêáóßá ðïõ ðåñéãñÜöåôáé óôï ó÷. 2.18. Ç ÷ñÞóç ôùí äýï ßóùí êáé áíôßèåôùí äõíÜìåùí (2ο σôÜäéï) åßíáé áðáñáßôçôç ãéá ôçí áðüäåéîç ôçò äéáäéêáóßáò, äåí åßíáé üìùò áíáãêáßï íá ÷ñçóéìïðïéåßôáé êÜèå öïñÜ ðïõ áëëÜæïõìå ôçí åõèåßá åíÝñãåéáò ìéáò äõíÜìåùò. Áñêåß íá ìåôáêéíÞóïõìå ôçí áñ÷éêÞ äýíáìç óôï óçìåßï ðïõ ðñÝðåé êáé ìåôÜ íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå ôï æåýãïò ìåôáêéíÞóåùò (ôç ñïðÞ ôçò áñ÷éêÞò äõíÜìåùò ùò ðñïò ôï íÝï óçìåßï). ¸ôóé, ìáò äßíåôáé ç äõíáôüôçôá íá ðÜìå áðåõèåßáò áðü ôçí áñ÷éêÞ äýíáìç óôï ó÷. 2.18(á) óôï éóïäýíáìï óýóôçìá äõíÜìåùò-æåýãïõò óôï ó÷. 2.18(ä). Åöüóïí åðéëÝîáìå ôï åðßðåäï x - y ãéá åðßðåäï ôïõ æåýãïõò ìåôáêéíÞóåùò, åßíáé åõêïëüôåñï íá åðåîçãÞóïõìå ôç äéáäéêáóßá ÷ñçóéìïðïéþíôáò áñéèìçôéêü óõìâïëéóìü ãéá ôéò äõíÜìåéò êáé ôï æåýãïò ìåôáêéíÞóåùò. ¼ôáí ôï åðßðåäï ôïõ æåýãïõò ìåôáêéíÞóåùò äåí ôáõôßæåôáé ìå êÜðïéï åðßðåäï óõíôåôáãìÝíùí, ôüôå åßíáé åõêïëüôåñï íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå διáíõóìáôéêü óõìâïëéóìü, üðùò êáé óôï ó÷. 2.19. Ó' áõôÞí ôçí ðåñßðôùóç, ôï διáíõóìáôéêü-æåýãïò CT, ðïõ áíôéðñïóùðåýåé ôï æåýãïò ìåôáêéíÞóåùò, äßíåôáé áðü ôçí áêüëïõèç ó÷Ýóç: (2.20)
T
C = MA = rAB H P T
Åßíáé åõêïëüôåñï íá äåßîïõìå üôé ôï διÜíõóìá C áóêåßôáé óôï óçìåßï A, áëëÜ äåí ðñÝðåé íá îå÷íÜìå üôé ôá æåýãç (óõìðåñéëáìâáíïìÝíùí ôùí æåõãþí ìåôáêéíÞóåùò) åßíáé åëåýèåñá διáíýóìáôá. Ô ÐñÝðåé íá åðéóçìÜíïõìå üôé ôï διáíõóìáôéêü æåýãïò C , ðïõ áíôéðñïóùðåýåé ôï æåýãïò ìåôáêéíÞóåùò, åßíáé êÜèåôï óôç äýíáìç P, üðùò öáßíåôáé êáé óôï ó÷. 2.19 (â). ÓõìðåñáóìáôéêÜ ëïéðüí ìéá äýíáìç ðïõ áóêåßôáé óå êÜðïéï äåäïìÝíï óçìåßï ìðïñåß ðÜíôá í' áíôéêáôáóôáèåß áðü ìéá äýíáìç ðïõ áóêåßôáé ó' ïðïéïäÞðïôå Üëëï óçìåßï êé áðü Ýíá διáíõóìáôéêü æåýãïò ðïõ åßíáé êÜèåôï óôç äýíáìç. Ôï áíôßóôñïöï åßíáé åðßóçò áëçèÝò: Ìéá äýíáìç êé Ýíá διáíõóìáôéêü æåýãïò ðïõ åßíáé êÜèåôá ìåôáîý ôïõò ìðïñïýí í' áíôéêáôáóôáèïýí áðü ìίá ìüíï äýíáìç áíôéóôñÝöïíôáò ôç äéáäéêáóßá ôïõ ó÷. 2.18.
P
z
B y rAB A x (á) Áñ÷éêÞ äýíáìç
z
C =rAB H P T
P
A x (â) Éóïäýíáìï óýóôçìá äõíÜìåùò-æåýãïõò
Ó÷. 2.19
y
ÐáñÜäåéãìá 2.10 Óôï μηχανολογικό åîÜñôçìá ôïõ ó÷. (á) í' áíôéêáôáóôÞóåôå ôï áóêïýìåíï öïñôßï ôùí 150 kN óôï óçìåßï A ìå 1) Ýíá éóïäýíáìï óýóôçìá äõíÜìåùò-æåýãïõò ìå ôç äýíáìç í' áóêåßôáé óôï óçìåßï B êáé 2) äýï ïñéæüíôéåò äõíÜìåéò, ðïõ ç ìéá í' áóêåßôáé óôï óçìåßï B êáé ç Üëëç óôï óçìåßï Ã. Á 150 kN 80 mm 40 mm 40 mm
B
80 mm
à (á)
Ëýóç ÌÝñïò 1 Ðñþôá ìåôáêéíïýìå ôç äýíáìç ôùí 150 kN óôï óçìåßï B êáé ìåôÜ ÷ñçóéìïðïéïýìå ôï æåýãïò ìåôáêéíÞóåùò ðïõ éóïýôáé ìå ôç ñïðÞ ôçò äõíÜìåùò ôùí 150 kN, óôï ó÷. (á), ùò ðñïò ôï óçìåßï B, η οποία êáé äßíåôáé áðü ôçí áêüëïõèç ó÷Ýóç: T C = MB = -150(0,080 + 0,040) = -18 kN.m
Ôï áñíçôéêü ðñüóçìï äåß÷íåé üôé ç öïñÜ ôïõ æåýãïõò åßíáé äåîéüóôñïöç. Ôï ó÷. (â) áðåéêïíßæåé ôï éóïäýíáìï óýóôçìá äõíÜìåùò-æåýãïõò.
A
40 mm 40 mm
150 kN.m
B Ã
18 kN.m
(â)
ÌÝñïò 2
Ôï äåîéüóôñïöï æåýãïò ôùí 18 kN.m ôïõ ó÷. (â) ìðïñåé í' áíôéêáôáóôáèåß áðü äýï äõíÜìåéò ôùí 450 kN, áðü ôéò ïðïßåò ç ìéá í' áóêåßôáé óôï óçìåßï B êáé ç Üëëç óôï óçìåßï Ã, üðùò öáßíåôáé óôï ó÷. (ã). (Ôï æåýãïò ðïõ áíôéðñïóùðåýïõí áõôÝò ïé äýï äõíÜìåéò åßíáé: 450 (0,040) = 18 kN.m ìå äåîéüóôñïöç êáôåýèõíóç.) Ïé äýï äõíÜìåéò ðïõ áóêïýíôáé óôï óçìåßï B ìðïñïýí í' áíôéêáôáóôáèïýí ìå ôï óýóôçìá ôïõ ó÷. (ä). ÁõôÞ åßíáé êáé ç áðÜíôçóç, åöüóïí êáôáöÝñáìå í' áíôéêáôáóôÞóïõìå ôçí áñ÷éêÞ äýíáìç ìå äýï ïñéæüíôéåò äõíÜìåéò, ìίá óôï óçìåßï B êáé ìίá óôï óçìåßï Ã, üðùò ìáò åß÷å æçôçèåß.
A
A
450 kN 40 mm 40 mm
150 kN
B Ã 450 kN (ã)
76
600 kN
B 450 kN
Ã
40 mm (ä)
ÐáñÜäåéãìá 2.11 Í' áíôéêáôáóôÞóåôå ôï ó÷. (á) ì' Ýíá éóïäýíáìï óýóôçìá äõíÜìåùò-æåýãïõò üðïõ ç äýíáìç èá åíåñãåß óôï óçìåßï A, áí F = 100 N êáé C = 12 N.m.
z E
m
Ä C
0, 4
Ëýóç Ãéá íá ìåôáêéíÞóïõìå ôç äýíáìç F áðü ôï B óôï A ðñÝðåé íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõT ìå ôï æåýãïò ìåôáêéíÞóåùò C . Êáôüðéí, ðñïóèÝôïõìå áõôü ôï æåýãïò ìå ôï äåäïìÝíï διáíõóìáôéêü æåýãïò C êáé ðáßñíïõìå ôï óõíéóôÜìåíï διáíõóìáôéêü æåýR R ãïò C . ¸ôóé, ôï óõíéóôÜìåíï διáíõóìáôéêü-æåýãïò C êáé ç äýíáìç F ðïõ âñßóêåôáé óôï óçìåßï A è' áðïôåëÝóïõí ôï æçôïýìåíï óýóôçìá äõíÜìåùò-æåýãïõò. ÅðåéäÞ áõôü ôï ðñüâëçìá åßíáé ôñéþí äéáóôÜóåùí, åßíáé åõêïëüôåñï íá ÷ñçóéìïðïéÞóïõìå διáíõóìáôéêÝò ìåèüäïõò ãéá ôç ëýóç ôïõ. ÃñÜöïíôáò ôçí F óôç διáíõóìáôéêÞ ôçò ìïñöÞ ðáßñíïõìå:
A
F
O
y
0,2 m 0,4 m
x
(á)
0, 4i + 0, 2k F = 100mBE = 100 BE = 100 c m 0, 4472 BE = - 89, 44i + 44, 72k N Ôï διÜíõóìá θέσης áðü ôï A στο B åßíáé: rAB = 0,4j - 0,2k m. Åöüóïí ôï æåýãïò ìåôáêéíÞóåùò éóïýôáé ìå ôç ñïðÞ ôçò äõíÜìåùò F ùò ðñïò ôï óçìåßï A, Ý÷ïõìå:
i j k 0 0, 4 - 0, 2 - 89, 44 0 44, 72 17 , 89 i 17 , 89 j = + + 35, 78k N $ m
C T = M A = rAB # F =
Ôï διáíõóìáôéêü æåýãïò C ôïõ ó÷. (á) óôç διáíõóìáôéêÞ ôïõ ìïñöÞ åßíáé:
0, 4i + 0, 4j + 0, 2k C = 12mDB = 12 DB = 12 c m 0, 6 DB = 8i + 8j - 4k N $ m T
ÐñïóèÝôïõìå ôï C ìå ôï C (ðñÝðåé íá èõìüìáóôå üôé ôá διáíõóìáôéêÜ æåýãç åßíáé åëåýèåñá διáíýóìáôá) êáé ðáßñíïõìå ôï óõíéóôÜìåíï διáíõóìáôéêü æåύãïò:
z 31,8 N.m
F=100N
C = C + C = 25,89i + 25,89j + 31,78k N.m R
T
R C =48,5 N.m
2 1 A
C R = (25, 89) 2 + (25.89) 2 + (31, 78) 2 = 48, 5 N $ m
25,9 N.m
25,9 N.m
O
y
R
Ôï ìÝãåèïò C äßíåôáé áðü: Ôï ó÷. (â) áðåéêïíßæåé ôï éóïäýíáìï óýóôçìá äõíÜìåùò-æåýãïõò. Áîßæåé íá R óçìåéùèåß üôé ç äýíáìç åíåñãåß óôï óçìåßï A êáé ôï διáíõóìáôéêü æåýãïò C R åßíáé åëåýèåñï διÜíõóìá. Ôï C ôïðïèåôÞèçêå óôï óçìåßï O ãéá åõêïëüôåñç áíáðáñÜóôáóç.
x (â)
77