Ðñüëïãïò
Ç Δυναμική Ý÷åé ãñáöôåß ìå óêïðü íá âïçèÞóåé ôïõò ìáèçôÝò íá êáôáíïÞóïõí ôéò áñ÷Ýò êáé ôéò åöáñìïãÝò ôçò Μηχανικής. ÃñÜøáìå áõôü ôï âéâëßï ãéá äύï ëüãïõò. Ðñþôïí, ðéóôåýïõìå üôé ç ðáéäáãùãßá ðïõ Ý÷ïõìå áíáðôýîåé έπειτα áðü ðïëëÜ ÷ñüíéá äéäáóêáëßáò ìðïñåß íá ùöåëÞóåé êáé Üëëïõò. Äåýôåñïí, ôá âéâëßá Μηχανικής ðñÝðåé íá ðáñÝ÷ïõí Ýíá ðëáßóéï ðïõ èá âïçèÞóåé ôéò ó÷ïëÝò íá áíôéìåôùðßóïõí ôçí ðñüêëçóç ôçò åíóùìÜôùóçò áñéèìçôéêþí ìåèüäùí στην ύλη τους. Ãéá ôçí ðñïåôïéìáóßá ôùí Üñèñùí Ý÷ïõìå öõóéêÜ áíôëÞóåé áðü ôην åìðåéñßα ðïëëþí åðéóôçìüíùí êáé ìç÷áíéêþí, ðïõ Ý÷ïõí óõíåéóöÝñåé óôç èåùñßá ôçò ìç÷áíéêÞò êáé óôéò ðïëëÝò åöáñìïãÝò της. ÅðéðëÝïí, ìáò ùöÝëçóå σημαντικά ç ðñïóðÜèåéá ðïëëþí αναγνωρισμένων óõããñáöÝùí, οι οποίοι áó÷ïëÞèçêáí ìå ôï áíôéêåßìåíï ðñéí áðü åìÜò. Ôï âéâëßï ðåñéÝ÷åé Ýíáí áñéèìü ðñïáéñåôéêþí Üñèñùí, ôá ïðïßá óõìâïëßæïíôáé ìå áóôåñßóêï (*). Ìðïñåßôå íá áãíïÞóåôå ïðïéïäÞðïôå áðü áõôÜ ôá Üñèñá ÷ùñßò ðñüâëçìá óôç ìåëÝôç ôçò õðüëïéðçò ΣôáôéêÞò.
ÅêôåôáìÝíç ÅîÝôáóç ÐáñáäåéãìÜôùí Ãéá íá âïçèÞóïõìå ôïõò ìáèçôÝò íá êáôáíïÞóïõí ôá ëåðôÜ óçìåßá ôçò ανάλυσης ôùí ðñïâëçìÜôùí ôçò ìç÷áíéêÞò, åîåôÜæïõìå ëåðôïìåñÝóôáôá êÜèå ðáñÜäåéãìá. ¼ðïõ åßíáé äõíáôü, óõãêñßíïõìå ôïí áñéèìü ôùí άãíωóôùí ìå ôïν áñéèìü ôùí äéáèÝóéìùí åîéóþóåùí, Ýôóé åðéóçìáßíïõìå ôç óçìαóßá ìéáò åíïðïéçìÝíçò ìåèüäïõò ανάλυσης. ÐïëëÜ ðáñáäåßãìáôá ðåñéëáìâÜíïõí Ýíá ÷áñáêôçñéóôéêü üðùò Ðñüóèåôá Ó÷üëéá, ¢ëëåò ÌÝèïäïé Áíáëýóåùò, ê.ëð., ãéá íá õðåíèõìßóïõìå óôïõò áíáãíþóôåò ìáò üôé Ýíá ðñüâëçìá Ý÷åé óõíÞèùò ðåñéóóüôåñåò áðü ìίá áðïäåêôÞ ìÝèïäï ëýóηò.
ÐñïóåêôéêÜ ÅðéëåãìÝíá ÐñïâëÞìáôá Αðü ôá ðéï óçìáíôéêÜ óçìåßá åíüò âéâëßïõ Μηχανικής ðñÝðåé íá åßíáé ôá ðñïâëÞìáôá ðïõ ðåñéÝ÷åé. Ãéá ôïν ëüãï áõôü, Ý÷ïõìå åðéëÝîåé ôá ðñïâëÞìáôÜ ìáò ðïëý ðñïóåêôéêÜ, þóôå íá ðáñïõóéÜóïõìå ìéá éóïññïðçìÝíç åéêüíá. ¸÷ïõìå ðåñéëÜâåé ðïëëÜ ðñïâëÞìáôá ç ëýóç ôùí ïðïßùí åßíáé ó÷åôéêÜ áðëÞ, Ýôóé þóôå íá âïçèÞóïõìå ôïν ìáèçôÞ íá êáôáíïÞóåé ôéò ôå÷íéêÝò επίλυσής τους. Åðéðñüóèåôá, ðïëëÜ áðü αυτά έ÷ïõí ó÷Ýóç ìå ñåáëéóôéêÝò ìç÷áíéêÝò åöáñìïãÝò êáé ðéóôåýïõìå üôé èá ðñïêáëÝóïõí ôï åíäéáöÝñïí ôùí ìáèçôþí. Ïé áóôåñßóêïé (*) ðïõ óõíïäåýïõí ìåñéêÜ áðü ôá ðñïâëÞìáôá õðïäçëþíïõí üôé ãéá την επίλυσή τους áðáéôïýíôáé ðñï÷ùñçìÝíåò ãíþóåéò, ôéò ïðïßåò ìðïñåß íá ìçν äéáèÝôåé ï áíáãíþóôçò.
vii
viii
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
ÅíïðïéçìÝíç Áíôéìåôþðéóç ôçò Áíάλυσηò Éóïññïðßáò Ðéèáíþò, ç åêìÜèçóç ôçò ÷ñÞóη ôùí äéáãñáììÜôùí åëåõèÝñïõ óþìáôïò åßíáé áðü ôá ðéï óðïõäáßá åñãáëåßá ôçò óôáôéêÞò ãéá ôçí áíÜëõóç ðñïâëçìÜôùí éóïññïðßáò. ¸÷ïõìå êáôáëÜâåé ìå ôçí ðÜñïäï ôïõ ÷ñüíïõ üôé ïé ìáèçôÝò äåí êáôáíïïýí ðëÞñùò ôç ìÝèïäï áõôÞ, Ýùò üôïõ áíôéìåôùðßóïõí ôçí ðñüêëçóç ôçò ανάλυσης åíüò óõóôÞìáôïò ðïõ áðïôåëåßôáé áðü Ýíáí áñéèìü óõíäåäåìÝíùí óùìÜôùí. Óõíåðþò, áíôéìåôùðßæïõìå ôçí áíÜëõóç éóïññïðßáò ìå Ýíáí åíïðïéçìÝíï ôñüðï. Ç åíïðïéçìÝíç áõôÞ ðáñïõóßáóç Ý÷åé äïêéìáóôåß óå áßèïõóåò äéäáóêáëßáò ãéá ðïëëÜ ÷ñüíéá êáé ç áíùôåñüôçôÜ ôçò Ý÷åé ãßíåé áðïäåêôÞ áðü ðïëëïýò êáèçãçôÝò. ¼ðùò óå ðïëëÜ Üëëá âéâëßá, ï ìáèçôÞò äéäÜóêåôáé ðñþôá ôïí ôñüðï ó÷åäßáóçò ôùí äéáãñáììÜôùí åëåõèÝñïõ óþìáôïò ðñïôïý ðñï÷ùñÞóåé óôçí áíÜëõóç éóïññïðßáò. ¼ìùò, Ýíá áðü ôá éäéáßôåñá ÷áñáêôçñéóôéêÜ ôïõ âéâëßïõ áõôïý åßíáé üôé ï ìáèçôÞò áíáðôýóóåé ôéò éêáíüôçôÝò ôïõ óôç ãñáöÞ åîéóþóåùí áíáëýïíôáò ðñïó÷åäéáóìÝíá äéáãñÜììáôá åëåõèÝñïõ óþìáôïò. Óõãêñßíïõìå óõíå÷þò ôïí áñéèìü ôùí áãíþóôùí óå Ýíá äéÜãñáììá åëåõèÝñïõóþìáôïò ìå ôïí áñéèìü ôùí áíåîάñôηôùí åîéóþóåùí éóïññïðßáò, ðñïôïý ãñÜøïõìå Ýóôù êáé ìßá åîßóùóç éóïññïðßáò. Ìå ôïí ôñüðï áõôü, ï ìáèçôÞò ìáèáßíåé íá åêôéìÜ ôéò äéáöïñÝò ìåôáîý ìίáò ïñãáíùìÝíçò ανάλυσης êáé ôçò Üóêïðçò ãñáöÞò åîéóþóåùí.
ÁñéèìçôéêÝò ÌÝèïäïé (ÐñïáéñåôéêÞ ÊÜëõøç) ¸÷ïõìå ðåñéëÜâåé Ýíáí áñéèìü ðñïâëçìÜôùí Δυναμικής ðïõ áðáéôïýí áñéèìçôéêÞ Þ êáôÜ ðñïóÝããéóç ëýóç ìå ôç âïÞèåéá αριθμομηχανής ÷åéñüς Þ H/Y. Ôá ðñïâëÞìáôá áõôÜ óõìâïëßæïíôáé ìå ôï åéêïíßäéï ìéáò äéóêÝôáò Ç/Õ ( ).
Åõ÷áñéóôßåò ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá ôùí ðïëëþí ÷ñüíùí ðïõ ÷ñåéáóôÞêáìå ãéá ôç óõããñáöÞ ôïõ âéâëßïõ áõôïý, åß÷áìå ôçí áìÝñéóôç âïÞèåéá êáé óõìðáñÜóôáóç ðïëëþí áîéïèáýìáóôùí áíèñþðùí. Áíáãíùñßæïõìå éäéáßôåñá τη συμβολή του Mu-Jen Yang êáé του Äñ Nagesh Sonti σôçí åîÝôáóç ôùí áðáíôÞóåùí ôùí ðñïâëçìÜôùí, καθώς και των óõíáäÝëöων ìáò óôï ÔìÞìá Åðéóôçìþí êáé Ìç÷áíïëïãßáò êáé ôου ðñïóùðéêού ôïõ Harper Collins. ×ñùóôïýìå åðßóçò ðïëëÜ óôïõò áêüëïõèïõò êñéôÝò ãéá ôéò ðïëëÝò êáé ÷ñÞóéìåò ðñïôÜóåéò ôïõò: Anil K. Bajaj, Purdue University Duane Castaneda, University of Alabama — Birmingham Scott G. Danielson, North Dakota State University Richard N. Downer, University of Vermont Howard Epstein, University of Connecticut Ralph Flori, University of Missouri — Rolla Robert A. Freeman, University of Texas — Austin Li-Sheng Fu, Ohio State University S. C. Cambrell, Jr., University of Alabama Norman W. Garrick, University of Connecticut Edward E. Hornsey, University of Missouri — Rolla Cecil O. Huey, Clemson University Vernal H. Kenner, Ohio State University Thomas J. Kozik, Texas A & M
E. Harry Law, Clemson University Dahsin Liu, Michigan State University Mohammad Mahinfalah, North Dakota State University Mark Mear, University of Texas — Austin Satish Nair, University of Missouri — Columbia Saeed B. Niku, California Poly Tech William W. Predebon, Michigan Tech University Robert Price, Louisiana Tech University R. K. Raju, Auburn University Robert Seabloom, University of Washington — Seattle John M. Vance, Texas A & M Dennis Vandenbrik, Western Michigan University Carl Vilmann, Michigan Tech University Arthur N. Willoughby, Morgan State University
Περιεχόμενα
13.2 Κινηματική: Συντεταγμένες Τροχιάς (Κάθετης-Εφαπτομένης) 13.3 Κινηματική: Πολικές και Κυλινδρικές Συντεταγμένες 13.4 Μέθοδος Δυνάμεως-Μάζας-Επιταχύνσεως: Καμπυλόγραμμες Συντεταγμένες 13.5 Αριθμητική Λύση: Γενικευμένες Συντεταγμένες
Ðñüëïãïò
Δυναμική ÊåöÜëáéï 11 ÅéóáãùãÞ óôç Δυναμική 11.1 ÅéóáãùãÞ 11.2 Παραγώγιση Διανυσματικών Συναρτήσεων 11.3 Θέση, Ταχύτητα και Επιτάχυνση ενός Σημείου 11.4 Νευτώνεια Μηχανική
ÊåöÜëáéï 13 Κίνηση Υλικών Σημείων: Καμπυλόγραμμες Συντεταγμένες 13.1 Εισαγωγή
101 111 122
1 1 3 4 6
ÊåöÜëáéï 12 Δυναμική του Υλικού Σημείου: Ορθοκανονικό Σύστημα Συντεταγμένων 11 12.1 ÅéóáãùãÞ 12.2 Κινηματική-Ορθοκανονικές Συντεταγμένες 12.3 Εξισώσεις Κινήσεως 12.4 Μέθοδος Δυνάμεως-Μάζας-Επιαχύνσεως: Διαγράμματα Μάζας-Επιταχύνσεως 12.5 Δυναμική της Ευθυγράμμου Κινήσεως 12.6 Επαλληλία Ευθυγράμμων Κινήσεων 12.7 Διαγράμματα Κινήσεως με τη Μέθοδο του Εμβαδού 12.8 Αριθμητική Ολοκλήρωση μιας Εξισώσεως Κινήσεως 12.9 Αριθμητική Επίλυση Συζευγμένων Εξισώσεων Κίνησης
89
11 11 25 26 28 40 48 57 75
89 89
ÊåöÜëáéï 14 Αρχές Έργου-Ενέργειας και ΏσεωςΟρμής για ένα Υλικό Σημείο 14.1 Εισαγωγή 14.2 Έργο μιας Δυνάμεως 14.3 Αρχή Έργου και Κινητικής Ενέργειας 14.4 Συντηρητικές Δυνάμεις και Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας 14.5 Ισχύς και Απόδοση 14.6 Αρχή Ώσεως και Ορμής 14.7 Αρχή Γωνιακής Ώσεως και Ροπής 14.8 Κίνηση στο Χώρο Υπό την Επίδραση Δυνάμεως Βαρύτητας
133 133 133 139 150 162 167 176 184
ÊåöÜëáéï 15 Δυναμική Συστημάτων Υλικών Σημείων 199 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8
Εισαγωγή Κινηματική Σχετικής Κινήσεως Κινηματική Περιορισμένης Κινήσεως Εξισώσεις Κινήσεως του Κέντρου Μάζας Αρχές Έργου - Ενέργειας Αρχή Ώσεως και Ορμής Αρχή Γωνιακής Ώσεως και Ορμής Πλαστική Κρούση
199 199 201 212 227 230 232 246
v
vi
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
15.9 Ωστική Κίνηση 15.10 Ελαστική Κρούση 15.11 Ροή Μάζας
ÊåöÜëáéï 16 Επίπεδη Κινηματική Απαραμόρφωτων Σωμάτων 16.1 Εισαγωγή στην Κίνηση Απαραμόρφωτων Σωμάτων 16.2 Περιστροφή Γύρω από Σταθερό Άξονα 16.3 Κινηματική Επιπέδου Κινήσεως 16.4 Μέθοδος της Σχετικής Ταχύτητας 16.5 Στιγμιαίο Κέντρο για Ταχύτητες 16.6 Η Μέθοδος Σχετικής Επιτάχυνσης 16.7 Απόλυτες και Σχετικές Παράγωγοι των Διανυσμάτων 16.8 Κίνηση σε Σχέση με Ένα Περιστρεφόμενο Πλαίσιο Αναφοράς
248 261 270
281 281 283 291 298 310 320 332 335
ÊåöÜëáéï 17 Επίπεδη Κινητική Απαραμόρφωτων Σωμάτων: Μέθοδος Δυνάμεως - Μάζας Επιταχύνσεως 353 17.1 Εισαγωγή 17.2 Ροπή Μάζας της Αδράνειας - Σύνθετα Σώματα 17.3 Γωνιακή Ορμή ενός Απαραμόρφωτου Σώματος: Επίπεδη Κίνηση 17.4 Εξισώσεις Επίπεδης Κίνησης 17.5 Η Μέθοδος ΔΕΣ-ΔΜΕ 17.6 Διαφορικές Εξισώσεις Κινήσεως
353 353 364 367 370 396
ÊåöÜëáéï 18 Επίπεδη Κινητική Απαραμόρφωτων Σωμάτων: Μέθοδος Έργου-Ενέργεια και Ώσεως-Ορμής 415 18.1 Εισαγωγή Μέρος Α: Μέθοδος Έργου-Ενέργειας 18.2 Έργο και Ισχύς ενός Ζεύγους 18.3 Κινητική Ενέργεια ενός Στερεού σε Επίπεδη Κίνηση 18.4 Αρχή Έργου - Ενέργειας και Συντήρηση της Μηχανικής Ενέργειας Μέρος Β: Μέθοδος Ώσεως-Ορμής 18.5 Ορμή ενός Απαραμόρφωτου Σώματος σε Επίπεδη Κίνηση 18.6 Αρχές Ώσεως - Ορμής 18.7 Κρούση Στερεών
ÊåöÜëáéï 19 Κίνηση Απαραμόρφωτου Σώματος σε Τρεις Διαστάσεις 19.1 Εισαγωγή
415 416 416 418 420 416 438 440 454
467 467
19.2 Κινηματική 19.3 Μέθοδος Ώσεως - Ορμής 19.4 Μέθοδος Έργου - Ενέργειας 19.5 Μέθοδος Δυνάμεως - Μάζας - Επιταχύνσεως 19.6 Κίνηση ενός Συμμετρικού ως προς Κάποιον Άξονα Σώματος
ÊåöÜëáéï 20 Ταλαντώσεις 20.1 Εισαγωγή 20.2 Ελεύθερη Ταλάντωση Υλικών Σημείων Χωρίς Απόσβεση 20.3 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Υλικών Σημείων Χωρία Απόσβεση 20.4 Ελεύθερες Ταλαντώσεις Υλικών Σημείων με Απόσβεση 20.5 Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Υλικών Σημείων με Απόσβεση 20.6 Ταλαντώσεις Απαραμόρφωτου Σώματος 20.7 Μέθοδος Ενέργειας και η Αρχή του Rayleigh
467 484 491 510 522
541 541 542 552 560 568 576 583
ÐáñÜñôçìá Δ Áπόδειξη της Εξισώσεως Σχετικής Ταχύτητας για Κίνηση των Απαραμόρφωτων Σωμάτων
591
ÐáñÜñôçìá Ε Αριθμητική Παραγώγηση
593
Ε.1 ÅéóáãùãÞ Ε.2 Τύποι Κεντρικής Διαφοράς με Σφάλμα της Τάξεως του (Δx)2 E.3 Τύποι Προηγούμενης και Επόμενης Διαφοράς με Σφάλμα της Τάξεως του (Δx)2
593 593 595
ÐáñÜñôçìá ΣΤ Μαζικές Ροπές και Γινόμενα Αδρανείας 597 ΣΤ.1 ÅéóáãùãÞ 597 ΣΤ.2 Ανασκόπηση της Ροπής Αδρανείας της Μάζας 597 ΣΤ.3 Ροπές Αδρανείας Λεπτών Ελασμάτων 598 ΣΤ.4 Μαζική Ροπής Αδράνειας με Ολοκλήρωση 599 ΣΤ.5 Γινόμενα Αδρανείας Μάζας & Θεωρήματα των Παράλληλων Αξόνων 607 ΣΤ.6 Γινόμενα Αδρανείας με Ολοκλήρωση: Λεπτές Πλάκες 608 ΣΤ.7 Τανυστής Αδρανείας & Ροπή Αδρανείας Γύρω από Τυχαίο Άξονα 608 ΣΤ.8 Κύριες Ροπές και Κύριοι Άξονες Αδρανείας 609
ÁðáíôÞóåéò στα Ζυγά Προβλήματα ÅõñåôÞñéï
623 631