5
Το Ολοκλήρωμα
Ο Αρχιμήδης (287–212 π.χ.)
Αρχιµήδης ο Συρακούσιος ήταν ο µεγαλύτερος µαθηµατικός της της αρχαιότητας από τον αρχαίας περιόδου από τον πέµπτο αιώνα π.χ. έως τον δεύτερο αιώνα µ.χ., οπότε άνθισαν οι σπόροι των σύγχρονων µαθηµατικών στις ελληνικές κοινότητες οι οποίες κατά κύριο λόγο ϐρίσκονταν
στις ακτές της Μεσογείου. Υπήρξε διάσηµος στην εποχή του για τις µηχανικές εφευρέσεις του–την επονοµαζόµενη κοχλία του Αρχιµήδη για την άντληση νερού, µηχανισµούς µε τροχαλίες και µοχλούς («∆ώστε µου ένα µέρος για να σταθώ και ϑα µετακινήσω ολόκληρη τη Γη»), ένα πλανητάριο το οποίο αναπαριστούσε την κίνηση των ουράνιων σωµάτων µε τέτοια ακρίβεια ώστε έδειχνε τις εκλείψεις του ηλίου και του ϕεγγαριού, αλλά και µηχανές πολέµου που τροµοκρατούσαν τους Ρωµαίου στρατιώτες στην πολιορκία των Συρακουσών, κατά τη διάρκεια της οποίας σκοτώθηκε ο Αρχιµήδης. Λέγεται ωστόσο ότι για τον ίδιο τον Αρχιµήδη ήταν απλά τρόποι για να διασκεδάζει εφαρµόζοντας τη γεωµετρία και ότι τα γραπτά του ήταν αφιερωµένα σε µαθηµατικές εξερευνήσεις. Ο Αρχιµήδης πραγµατοποίησε πολλούς υπολογισµούς εµβαδού και όγκου για τους οποίους χρησιµοποιούµε πλέον λογισµό–από εµβαδά κύκλων, σφαιρών και τµηµάτων κωνικών τοµών, µέχρι όγκους κώνων, σφαιρών, ελλειψοειδών και παραβολοειδών. Είχε αποδειχθεί νωϱίτερα στα Στοιχεία του Ευκλείδη ότι ο εµβαδόν A ενός κύκλου είναι ανάλογο του τετραγώνου της ακτίνας του r, έτσι A = πr2 για µια σταθερά αναλογίας π. Αλλά ο Αρχιµήδης ήταν αυτός ο οποίος προσέγγισε µε ακρίβεια την τιµή του π, δείχνοντας ότι ϐρίσκεται ανάµεσα στην 10 τιµή 3 71 και του κάτου ορίου 3 71 . Ο Ευκλείδης είχε αποδείξει επίσης ότι ο όγκος V µιας σφαίρας ακτίνας r δίνετε από τον τύπο V = µr3 (µ σταθερά), αλλά ο Αρχι-
µήδης ανακάλυψε και απέδειξε ότι µ = 4π/3. Επίσης ανακάλυψε γνωστούς πλέον τύπους του όγκου V = πr2 h και V = 13 πr2 h για τον κύλινδρο και τον κώνο, αντίστοιχα, µε ϐάση ακτίνας r και ύψους h. Υπήρχε ανέκαθεν η υποψία ότι ο Αρχιµήδης δεν είχε ανακαλύψει αρχικά του τύπους του εµβαδού και του όγκου µέσω των επιχειρηµάτων τα οποία χρησιµοποίησε για να του εδραιώσει και τα οποία ϐασίζονται στα όρια. Το 1906 ανακαλύφθηκε εκ νέου και σχεδόν τυχαία µα αρχιµήδεια πραγµατεία µε τίτλο Η Μέθοδος, η οποία ϑεωρούνταν χαµένη από την αρχαιότητα. Σάυτή ο συγγραφέας περιέγραφε µια «µέθοδο ανακάλυψης» η οποία ϐασίζεται στην χρήση απειροστών σχεδόν όπως χρησιµοποιήθηκαν για την εφεύρεση και την διερεύνηση του λογισµού κατά τον δέκατο έβδοµο και τον δέκατο όγδοο αιώνα. Εις µνήµην των τύπων του για τη σφαίρα και τον κύλινδρο, ο Αρχιµήδης Ϲήτησε να χαραχτεί στο µνήµα του µια σφαίρα εγγεγραµµένη σ΄έναν κυκλικό κύλινδρο. Αν το ύψος του κυλίνδρου είναι h = 2r, µπορείτε να επιβεϐαιώσετε ότι οι συνολικές επιφάνειες, A C και AS του κυλίνδρου και της σφαίρας, και των όγκων τους VC και VS , σχετίζονται µε τον τύπο του Αρχιµήδη
AS = 32 A C και VS = 23 VC ; Με αυτόν τον τρόπο οι όγκοι και τα εµβαδά της σφαίρας και του κυλίνδρου έχουν τον ίδιο λόγο 2 : 3.
h
r
347
348
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Το Ολοκλήρωμα
5.1 Εισαγωγή Από το Κεφάλαιο 1 έως 4 ασχοληθήκαµε µε τον διαφορικό λογισµό, ο οποίος είναι ένα από τα δύο στενά συνδεδεµένα µεταξύ τους µέρη του λογισµού. Ο διαφορικός λογισµός επικεντρώνεται στην έννοια της παραγώγου. Υπενθυµίζουµε ότι το αρχικό κίνητρο για την παράγωγο ήταν το πρόβληµα του προσδιορισµού του τι σηµαίνει για µια ευθεία γραµµή να είναι εφαπτοµένη στην γραφική παράσταση µιας συνάρτησης και ο υπολογισµός της κλίσης της (Σχήµα 5.1.1). Αντίθετα, η σηµασία της παραγώγου πηγάζει από τις εφαρµογές της σε ποικίλα προβλήµατα που αρχικά µπορεί να ϕαίνεται ότι έχουν µικρή σχέση µε τις εφαπτόµενες. Ολοκληρωτικός Λογισµός ϐασίζεται στην έννοια του ολοκληρώµατος. Ο ορισµός του ολοκληρώµατος προκύπτει από το πρόβληµα του ορισµού και του υπολογισµού του εµβαδού µιας περιοχής η οποία ϐρίσκεται ανάµεσα στην γραφική παράστασης µια συνάρτησης ϑετικών τιµών f και των άξονα του x πάνω σε ένα κλειστό διάστηµα [a, b]. Το εµβαδό της επιφάνειας R του Σχήµατος 5.1.2 δίνετε από το ολοκλήρωµα της f από a στο b, και συµβολίζεται µε
y Κλίση m = ? y = f(x) P(x, f(x))
x
x
ΣΧΗΜΑ 5.1.1 Το πρόβλημα της εφαπτόμενης έχει κεντρικό ρόλο στον διαφορικό λογισμό.
Z
y
y = f(x)
R Εμβαδόν A = ? a
b
x
f (x) dx.
(1)
a
Αλλά το ολοκλήρωµα, όπως και η παράγωγος, είναι σηµαντικό λόγω των εφαρµογών του σε πολλά προβλήµατα που µπορεί αρχικά να ϕαίνεται ότι δεν έχουν σχέση µε τον αρχικό προβληµατισµό ο οποίος το δηµιουργεί µεταξύ άλλων, προβλήµατα κίνησης και επιτάχυνσης, αύξησης πληθυσµού, όγκου, µήκους τόξου, εµβαδού, και κέντρου ϐάρους. Το ϐασικό ϑεώρηµα αυτού του κεφαλαίου είναι το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα του λογισµού της Ενότητας 5.6. Παρέχει µια Ϲωτικής σηµασίας σύνδεση µεταξύ της διαδικασίας της παραγώγισης και της ολοκλήρωσης, η οποία µας παρέχει µια αποτελεσµατική µέθοδο για τον υπολογισµό των τιµών των ολοκληρωµάτων. Αποδεικνύεται ότι, για να εφαρµοστεί αυτό το ϑεώρηµα στον υπολογισµό του ολοκληρώµατος στην (1), χρειάζεται να ϐρούµε όχι την παράγωγο της συνάρτησης f (x) αλλά µάλλον µια νέα συνάρτηση F(x) της οποία η παράγωγος είναι η f (x):
F ′ (x) = f (x).
ΣΧΗΜΑ 5.1.2 Το πρόβλημα του εμβαδού δίνει το κίνητρο για το αόριστο ολοκλήρωμα.
b
(2)
΄Ετσι χρειαζόµαστε κάνουµε την «παραγώγιση αντίστροφα.» Εποµένως ξεκινάµε στην Ενότητα 5.2 µε την διερεύνηση της αντιπαράγώγισης.
5.2 Αντιπαράγωγος και Προβλήματα Αρχικών Τιμών Η γλώσσα της µεταβολής είναι η ϕυσική γλώσσα για την διατύπωση των περισσοτέρων επιστηµονικών νόµων και αρχών. Για παράδειγµα, ο νόµος του Newton για την ψύξη λέει ότι ο ϱυθµό µεταβολής της ϑερµοκρασίας T ενός σώµατος είναι ανάλογος της διαφοράς ανάµεσα στην T και στην ϑερµοκρασία του περιβάλλοντος υλικού (Σχήµα 5.2.1). ∆ηλαδή,
dT = −k(T − A), (1) dt όπου k είναι µια ϑετική σταθερά και A, η οποία υποτίθεται ότι είναι σταθερά, είναι η ϑερµοκρασία του περιβάλλοντος. Οµοίως, ο ϱυθµός µεταβολής του πληθυσµού P µε σταθερό ϱυθµό γέννησης και ϑανάτου είναι ανάλογος µε το µέγεθος του πληθυσµού :
dP = kP dt
(k σταθερά).
(2)
Ο νόµος της αποστράγγισης του Torricelli (Σχήµα 5.2.2) µας δίνει ότι ο ϱυθµός µεταϐολής του ϐάθους y του νερού σε µια δεξαµενή αποστράγγισης είναι ανάλογος µε την τετραγωνική ϱίζα του y, έτσι,
dy √ = −k y dt
(k σταθερά).
(3)
Τα µαθηµατικά µοντέλα του πραγµατικού κόσµου συχνά εµπεριέχουν εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους άγνωστων συναρτήσεων. Τέτοιες εξισώσεις, όπως αυτές από την (1) έως (3), ονοµάζονται διαφορικές εξισώσεις.
Αντιπαράγωγος και Προβλήματα Αρχικών Τιμών ΕΝΟΤΗΤΑ 5.2
349
Θερμοκρασία A Όγκος V
y
Θερμοκρασία T
ΣΧΗΜΑ 5.2.1 Ο νόμος
ΣΧΗΜΑ 5.2.2 Ο νόμος
της ψύξης του Newton (Εξίσωση (1) ) περιγράφει την ψύξη μιας καυτής πέτρας σε κρύο νερό.
της αποστράγγισης του Torricelli, (Εξίσωση (3) ) περιγράφει την αποστράγγιση μιας κυλινδρικής δεξαμενής νερού.
Αντιπαράγωγος Το απλούστερο είδος διαφορικής εξίσωσης έχει την µορφή
dy = f (x), dx
(4)
όπου f είναι µια δοσµένη (γνωστή) συνάρτηση και η συνάρτηση y(x) είναι άγνωστη. Η διαδικασία της εύρεσης µιας συνάρτησης από την παράγωγό της είναι το αντίθετο της παραγώγισης και γιάυτό ονοµάζεται αντιπαραγώγηση. Αν µπορούµε να ϐρούµε µια συνάρτηση y(x) της οποίας η παράγωγος είναι η f (x),
y′ (x) = f (x), τότε λέµε ότι η y(x) είναι η αντιπαράγωγος της f (x).
ΟΡΙΣΜΟΣ
Αντιπαράγωγος
Μια αντιπαράγωγος της συνάρτησης f είναι µια συνάρτηση F τέτοια ώστε
F ′ (x) = f (x) όπου η f (x) ορίζεται. Στο πίνακα του Σχήµατος 5.2.3 ϐλέπουµε ορισµένα παραδείγµατα συναρτήσεων, κάθε µια από τις οποίες αντιστοιχίζεται µε µια αντιπαράγωγο της. Στο Σχήµα 5.2.4 παρουσιάζεται η διαδικασία της παραγώγισης και αντιπαραγώγισης, ξεκινώντας από την ίδια συνάρτηση f και πηγαίνοντας και προς τις δύο κατευθύνσεις. Στο Σχήµα 5.2.5 ϐλέπουµε ότι παραγώγιση «αναιρεί» το αποτέλεσµα της αντιπαραγώγισης—η παράγωγος της αντιπαραγώγου της f (x) είναι η αρχική συνάρτηση f (x).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΄Εστω η συνάρτηση f (x) = 3x2 , η F(x) = x3 είναι µια αντιπαραγωγος της f (x), όπως και οι συναρτήσεις
G(x) = x3 + 17,
H(x) = x3 + π,
και
K(x) = x3 −
√ 2.
Πράγµατι, η J(x) = x3 + C είναι η αντιπαράγωγος της f (x) = 3x2 για κάθε επιλογή της σταθεράς C . ◗ ΄Ετσι µια συνάρτηση έχει πολλές αντιπαραγώγους, ενώ µια συνάρτηση µπορεί να έχει µόνο µια παράγωγο. Αν η F(x) είναι µια αντιπαράγωγος της f (x), τότε είναι και η F(x) + C για κάθε επιλογή της σταθεράς C . Το αντίθετο αυτής της δήλωσης είναι πιο ήπιο : Αν η F(x) είναι µια αντιπαράγωγος της f (x) στο διάστηµα I , τότε κάθε αντιπαράγωγος της f (x) στο I είναι της µορφής F(x) + C . Αυτό προκύπτει άµεσα από το Πόρισµα 2 του ϑεωρήµατος της µέσης τιµής της Ενότητας 4.3, σύµφωνα µε οποίο δύο συναρτήσεις µε την ίδια παράγωγο σε ένα διάστηµα διαφέρουν µόνο κατά µια σταθερά στο διάστηµα αυτό. ΄Ετσι οι γραφικές παραστάσεις οποιωνδήποτε δύο αντιπαραγώγων F(x) + C1 και F(x) + C2 της ίδιας συνάρτησης f (x) στο ίδιο διάστηµα I είναι «παράλληλες» µε την
350
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Το Ολοκλήρωμα έννοια που παρουσιάζεται στα Σχήµατα. 5.2.6 έως 5.2.8. ΄Εχουµε δει ότι η σταθερά
C είναι η κάθετη απόσταση µεταξύ της καµπύλης y = F(x) και της y = F(x) + C για κάθε σηµείο x στο I . Αυτό αποτελεί την γεωµετρική αναπαράσταση του Θεωρήµατος 1.
ΘΕΩΡΗΜΑ 1
Η Πιο Γενική Αντιπαράγωγος
Αν F ′ (x) = f (x) σε κάθε σηµείο του ανοικτού διαστήµατος I , τότε κάθε αντιπαράγωγος G της f στο I έχει την µορφή G(x) = F(x) + C, (5) όπου C είναι σταθερά. ΄Ετσι αν F είναι είναι οποιοδήποτε αντιπαράγωγος τη f στο διάστηµα I , τότε η πιο γενική αντιπαράγωγος της f στο I έχει την µορφή F(x) + C , όπως δίνεται στην εξίσωση (5). Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων της συνάρτησης f (x) ονοµάζεται αόριστο ολοκλήρωµα της f ως προς x και συµβολίζεται µε
Z
f (x) dx.
Σύµφωνα µε το Θεώρηµα 1, γράφουµε
Z
(6)
f (x) dx = F(x) + C,
όπου F(x) είναι οποιαδήποτε αντιπαράγωγος της f (x). Εποµένως,
Z
f (x) dx = F(x) + C αν και µόνο αν F ′ (x) = f (x). R
Το σύµβολο του ολοκληρώµατος είναι κατασκευασµένο σας ένα ανοιγµένο κεφαλαίο S . Είναι, στην πραγµατικότητα, ένα µεσαιωνικό S ,που χρησιµοποιήθηκε Rαπό τον Leibniz ως συντοµογραφία για τη λατινική λέξη summa («sum»). Θεωρούµε το . . . dx ως ένα σύµβολο και, συµπληρώνουµε το «κενό» µε τον τύπο της συνάρτησης της οποίας ϑέλουµε την αντιπαράγωγο. Μπορούµε να ϑεωρήσουµε ότι το διαφορικό dx ορίζει την ανεξάρτητη µεταβλητή x και στην συνάρτηση f (x) και στην αντιπαράγωγο της.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Τα στοιχεία του Σχήµατος 5.2.3 µε χρήση του αόριστου ολοκληΑντιπαράγωγος F(x)
Αντιπαραγωγία
Συνάρτηση
Αντιπαράγωγος
f (x)
F(x)
1
x x2 1 4 x 4 sin x − 12 cos 2x
2x x3 cos x sin 2x
Συνάρτηση f(x)
Παραγώγιση
Παράγωγος f '(x)
F(x)
Αντιπαραγώγιση
Παραγώγιση
f(x)
ΣΧΗΜΑ 5.2.3 Ορισμένοι
ΣΧΗΜΑ 5.2.4 Παραγώγιση
ΣΧΗΜΑ 5.2.5 Η παραγώγιση αναιρεί το
Αντιπαράγωγοι.
και αντιπαραγώγιση είναι αντίθετες.
αποτέλεσμα της αντιπαραγώγισης.
8
Γραμμικά Συστήματα και Μήτρες 8.1 Εισαγωγή στην Γραμμική ΄Αλγεβρα
Τ
ο κύριο ϑέµα της γραµµικής άλγεβρας είναι η λύση συστηµάτων (αλγεβρικών) γραµµικών εξισώσεων. Στο Λύκειο για την επίλυση συστηµάτων δύο και τριών γραµµικών εξισώσεων χρησιµοποιήσατε την µέθοδο της απαλοιφής, περιορίζοντας την προσοχή σας σε συστήµατα τα οποία έχουν µια και µόνο λύση και ϐρίσκοντας εφαρµογές σε «πραγµατικά προβλήµατα» τα οποία έχουν µια και µόνο «απάντηση». Σε αυτή την ενότητα ϑα παρουσιάσουµε ένα µέρος της ϐασικής ορολογίας της γραµµικής άλγεβρας, εξετάζοντας τη στοιχειώδη τεχνική της απαλοιφής από µια ελαφρώς πιο γενική άποψη. Στις επόµενες ενότητες εφαρµόζουµε την ίδια τεχνική για την επίλυση συστηµάτων πολλών γραµµικών εξισώσεων µε πολλούς αγνώστους. Οι εφαρµογές της µεθόδου της απαλοιφής είναι ποικίλες και σηµαντικές, επειδή πολλά µαθηµατικά προβλήµατα εµπλέκουν την επίλυση γραµµικών συστηµάτων. Ας ϑυµηθούµε ότι αν a, b, και c είναι σταθερές µε a και b όχι και οι δύο µηδέν, τότε η γραφική παράσταση της εξίσωσης
ax + by = c
(1)
είναι µια ευθεία γραµµή στο επίπεδο xy. Για αυτόν το λόγο, µια εξίσωση της µορφής (1) ονοµάζεται γραµµική εξίσωση των µεταβλητών x και y. Παρόµοια, µια εξίσωση η οποία µπορεί να γραφεί στην µορφή
ax + by + cz = d
(2)
ονοµάζεται γραµµική των τριών µεταβλητών x, y, και z (παρόλο που το γράφηµα της ϐρίσκεται στο χώρο xyz και είναι επίπεδο και όχι γραµµή). ΄Ετσι οι εξισώσεις
3x − 2y = 5 και x − 7y + 5z = −11 είναι γραµµικές, επειδή περιέχουν µόνο πρώτες δυνάµεις των µεταβλητών τους. Αντίθετα, οι εξισώσεις √ x + y + xy = 5 και x2 + y3 + z = 1 δεν είναι γραµµικές, επειδή δεν µπορούν να γραφούν χωρίς µεγαλύτερες δυνάµεις, ϱίζες και γινόµενα.
Δύο Εξισώσεις με Δύο Αγνώστους ΄Ενα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων (επίσης ονοµάζεται γραµµικό σύστηµα) είναι απλά µια πεπερασµένη συλλογή γραµµικών εξισώσεων κάποιων µεταβλητών. Πολλές ϕορές αναφερόµαστε στις µεταβλητές µε τον όρο «άγνωστοι» του συστήµατος. ΄Ετσι λοιπόν, ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους x και y µπορεί να γραφεί στην µορφή
617
Εισαγωγή στην Γραμμική ΄Αλγεβρα ΕΝΟΤΗΤΑ 8.1
619
Αποτελεί ϑεµελιώδη αρχή της γραµµικής άλγεβρας (την οποία ϑα αποδείξουµε στην Ενότητα 8.3) ότι όσες εξισώσεις και όσοι άγνωστοι κι αν εµφανίζονται σε ένα γραµµικό σύστηµα πάντα ϑα υπάρχουν αυτές οι τρεις περιπτώσεις : ΄Ενα γραµµικό σύστηµα m γραµµικών εξισώσεων µε n αγνώστους είτε έχει µια µοναδική λύση , ή δεν έχει λύση, ή έχει άπειρες λύσεις. Είναι αδύνατο, για παράδειγµα, για ένα γραµµικό σύστηµα να έχει ακριβώς δύο λύσεις ή να έχει ακριβώς 17 λύσεις.
Η Μέθοδος της Απαλοιφής Τα τρία επόµενα παραδείγµατα µας δείχνουν πως µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την στοιχειώδη µέθοδο της απαλοιφής για να λύσουµε ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Το να λύσουµε ένα σύστηµα σηµαίνει να προσδιορίσουµε πιο είναι το σύνολό των λύσεων του. Η ϐασική ιδέα της µεθόδου είναι : •
Αρχικά, προσθέτουµε ένα κατάλληλο πολλαπλάσιο της πρώτης γραµµής στην δεύτερη. Η ιδέα είναι να διαλέξουµε το πολλαπλάσιο µε τέτοιο τρόπο ώστε να απαλείψουµε των άγνωστο x από την δεύτερη εξίσωση.
•
Στην συνέχεια, η νέα εξίσωση περιέχει µόνο τη µεταβλητή y, έτσι λύνουµε απευϑείας ως προς y.
•
Τελικά, προσδιορίζουµε την τιµή του x µε «αναδροµική αντικατάσταση» της τιµής του y στην πρώτη εξίσωση.
Στα Παραδείγµατα 3 έως 5 παρουσιάζουµε την µέθοδο στις τρεις περιπτώσεις που αντιστοιχούν στα Σχήµατα 8.1.1 έως 8.1.3 (αντίστοιχα).
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Για να λύσουµε το σύστηµα 5x + 3y = 1 x − 2y = 8,
(7)
πρώτα εναλλάσσουµε τις δύο εξισώσεις
x − 2y = 8 5x + 3y = 1. Στην συνέχεια πολλαπλασιάζουµε την πρώτη εξίσωση µε −5 και προσθέτουµε τους όρους που προκύπτουν στη δεύτερη (χωρίς να αλλάξουµε την πρώτη εξίσωση). ΄Ετσι, το αποτέλεσµα είναι
x − 2y = 8 13y = −39.
(8)
Τώρα η δεύτερη εξίσωση δίνει αµέσως την τιµή του y = −3, και µε αναδροµική αντικατάσταση της τιµής αυτής στην πρώτη εξίσωση έχουµε
x = 2y + 8 = 2(−3) + 8 = 2. Θεωρώντας προφανές (προς το παρόν) ότι τα συστήµατα (7) και (8) έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων, καταλήγουµε ότι το αρχικό σύστηµα (7) έχει την µοναδική λύση x = 2, y = −3.
◗
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Για να λύσουµε το σύστηµα 2x + 6y = 4 3x + 9y = 11, αρχικά πολλαπλασιάζουµε την πρώτη εξίσωση µε
(9) 1 2
και έτσι έχουµε
x + 3y = 2 3x + 9y = 11. Στην συνέχεια πολλαπλασιάζουµε την πρώτη εξίσωση µε −3 και προσθέτουµε κάθε αντίστοιχο όρο της στην δεύτερη εξίσωση. ΄Αρα
x + 3y = 2 0 = 5.
(10)
618
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8
a 1 x + b 1 y = c1 a 2 x + b 2 y = c2 .
(3)
Λέγοντας λύση του συστήµατος (3) εννοούµε ένα Ϲευγάρι τιµών (x, y)—συνήθως πραγµατικών αριθµών—οι οποίες ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Οι τιµές x = 2, y = −1 αποτελούν λύση του συστήµατος 2x − y = 5 x + 2y = 0
(4)
επειδή ικανοποιούνται και οι δυο εξισώσεις 2(2)−(−1) = 5 και (2)+2(−1) = 0. Οι τιµές x = 3, y = 1 ικανοποιούν την πρώτη Εξίσωση (4) αλλά δεν ικανοποιούν την δεύτερη. ΄Ετσι οι (3, 1) δεν είναι λύση του συστήµατος (4). ◗ y
L1
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Το γραµµικό σύστηµα L2
x+ y=1 2x + 2y = 3
x
(5)
δεν έχει λύση, επειδή αν x + y = 1, τότε 2x + 2y = 2, και έτσι 2x + 2y , 3. Βλέπουµε λοιπόν ότι δύο αριθµοί που ικανοποιούν την πρώτη Εξίσωση της (5) δεν ικανοποιούν ταυτόχρονα και την δεύτερη. ◗ ΄Ενα γραµµικό σύστηµα ϑα λέµε ότι είναι συµβιβαστό αν έχει τουλάχιστον µία λύση και ασυµβίβαστο εάν δεν έχει καµία. ΄Αρα, το σύστηµα του Παραδείγµατος 1 είναι συµβιβαστό ενώ το σύστηµα του Παραδείγµατος 2 είναι ασυµβίβαστο.
ΣΧΗΜΑ 8.1.1 Δύο τεμνόμενες ευθείες: μοναδική λύση.
Οι Τρεις Πιθανότητες ΄Οταν δίνεται ένα σύστηµα γραµµικών εξισώσεων, η ερώτηση που προκύπτει είναι : Ποιο είναι το σύνολο όλων των λύσεων του συστήµατος ; Πιο σύντοµα, ποιο είναι το σύνολο λύσεων του συστήµατος ; Στην περίπτωση ενός γραµµικού συστήµατος
y
a 1 x + b 1 y = c1 a 2 x + b 2 y = c2
L2
L1
x
δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις γνώσεις µας από την ϐασική γεωµετρία για να διακρίνουµε τις πιθανές λύσεις για το σύνολο λύσεων. Αν καµία Εξίσωση στο (6) δεν έχει στο αριστερό µέρος της και τους δύο συντελεστές µηδέν, τότε οι γραφικές τους παραστάσεις στο επίπεδο xy είναι δύο ευθείες γραµµές L1 και L2 . Τότε πρέπει να ισχύει ακριβώς ένα από τα επόµενα.
ΣΧΗΜΑ 8.1.2 Δύο
•
Οι ευθείες L1 και L2 τέµνονται σε ένα µόνο σηµείο (όπως στο Σχήµα 8.1.1).
παράλληλες ευθείες: καμία λύση.
•
Οι ευθείες L1 και L2 είναι παράλληλες (όπως στο Σχήµα 8.1.2).
Οι ευθείες L1 και L2 ταυτίζονται— πρακτικά είναι η ίδια γραµµή (όπως στο Σχήµα 8.1.3). ΄Ενα Ϲευγάρι (x, y) πραγµατικών αριθµών αποτελεί λύση του συστήµατος (6) αν και µόνο αν το σηµείο (x, y) στο σύστηµα συντεταγµένων ϐρίσκεται πάνω και στις δύο ευθείες L1 και L2 . Στην περίπτωση αυτή ϐλέπουµε από το Σχήµα 8.1.1, ότι υπάρχει ακριβώς ένα τέτοιο σηµείο. Στην περίπτωση του Σχήµατος 8.1.2, δεν υπάρχει τέτοιο σηµείο, και στην περίπτωση του Σχήµατος 8.1.3, υπάρχουν άπειρα τέτοια σηµεία— κάθε σηµείο της ευθείας L1 = L2 είναι ένα τέτοιο σηµείο. Εποµένως ϐλέπουµε ότι υπάρχουν µόνο τρεις πιθανότητες για ένα γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους : ΄Εχει είτε •
y
(6)
L1 = L2
x
ΣΧΗΜΑ 8.1.3 Δύο ευθείες που ταυτίζονται: άπειρες λύσεις.
•
ακριβώς µια λύση,
•
καµία λύση, ή
•
άπειρες λύσεις.
620
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8
Η νέα εξίσωση µας δίνει, 0 = 5. Τι όµως σηµαίνει αυτό ; Αν γράψουµε το σύστηµα (10) έχουµε
x + 3y = 2 0x + 0y = 5. Επειδή προφανώς το 0 δεν είναι ίσο µε το 5, δεν υπάρχουν τιµές x και y που να ικανοποιούν την δεύτερη εξίσωση. Εποµένως δεν υπάρχουν ούτε τιµές που να ικανοποιούν και τις δύο εξισώσεις ταυτόχρονα. Από αυτό συµπεραίνουµε ότι το αρχικό σύστηµα ◗ (9) δεν έχει λύσεις.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Αν αντί του συστήµατος (9), είχαµε ξεκινήσει στο Παράδειγµα 4 µε το σύστηµα,
2x + 6y = 4 3x + 9y = 6
(11)
και είχαµε εφαρµόσει τους ίδιους µετασχηµατισµούς, ϑα είχαµε ϐρει, αντί του (10) το σύστηµα
x + 3y = 2 0 = 0.
(12)
Εδώ, 0 = 0 είναι η συντοµογραφία για την εξίσωση
0x + 0y = 0, η οποία ικανοποιείται για όλες τις τιµές x και y. ΄Οσο αφορά τους περιορισµούς ή τις συνθήκες για το x και y, µια από τις αρχικές δύο εξισώσεις εξαφανίστηκε, αφήνοντάς µας µε την εξίσωση x + 3y = 2. (13) Φυσικά αυτό δεν αποτελεί έκπληξη, γιατί κάθε Εξίσωση στο (11) είναι πολλαπλάσιο της εξίσωσης του (13). Κατά κάποιο τρόπο είχαµε ήδη από την αρχή µία µόνο εξίσωση. Σε κάθε περίπτωση µπορούµε να αντικαταστήσουµε στην (13) το y µε οποιαδήποτε τιµή ϑέλουµε και στην συνέχεια να λύσουµε ως προς x. ΄Ετσι το σύστηµά µας στην (11) έχει άπειρες λύσεις. Για να τις εκφράσουµε, ας γράψουµε όπου y = t, όπου t είναι µια νέα παράµετρος την οποία ϑα χρησιµοποιήσουµε για να ϐρούµε τα Ϲεύγη των λύσεων (x, y). Τότε η Εξίσωση (13) µας δίνει x = 2 − 3t, έτσι οι άπειρες του συστήµατος (11) είναι :
x = 2 − 3t,
y=t
καθώς η αυθαίρετη παράµετρος t µπορεί να πάρει όλες τις τιµές στο σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Για παράδειγµα, αν t = 2 τότε έχουµε την λύση (−4, 2), και αν t = −3 έχουµε την λύση (11, −3). ◗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Υπάρχει µια σχετική ευελιξία στο πώς παραµετροποιούνται οι άπειρες λύσεις ενός συστήµατος. Για παράδειγµα, ϑα µπορούσαµε να παραµετροποιήσουµε τις λύσεις του συστήµατος (11) διαφορετικά, γράφοντας x = s στην (13), παίρνοντας έτσι µια διαφορετική παραµετροποίηση
x = s,
y = 13 (2 − s)
η οποία δίνει τις ίδιες λύσεις. Για παράδειγµα, οι τιµές της παραµέτρου s = −4 και s = 11 µας δίνουν τις προηγούµενες λύσεις (−4, 2) και (11, −3) του αρχικού συστήµατος (13). ◗
Σχόλιο Αυτά τα τρία παραδείγµατα επεξηγούν τα ϐασικά χαρακτηριστικά της µεϑόδου της απαλοιφής, στην οποία «µετασχηµατίζουµε» ένα γραµµικό σύστηµα εφαρµόζοντας µια ακολουθία ϐηµάτων που δεν αλλάζουν τις λύσεις του συστήµατος. Κάθε ένα από αυτά τα ϐήµατα αποτελείται από έναν από τους τρεις στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς: 1. Πολλαπλασιάζουµε µια εξίσωση µε µια µη µηδενική σταθερά. 2. Εναλλάσσουµε δύο εξισώσεις. 3. Προσθέτουµε ένα πολλαπλάσιο µιας εξίσωσης σε µια άλλη εξίσωση.