5
Το Ολοκλήρωμα
Ο Αρχιμήδης (287–212 π.χ.)
Αρχιµήδης ο Συρακούσιος ήταν ο µεγαλύτερος µαθηµατικός της της αρχαιότητας από τον αρχαίας περιόδου από τον πέµπτο αιώνα π.χ. έως τον δεύτερο αιώνα µ.χ., οπότε άνθισαν οι σπόροι των σύγχρονων µαθηµατικών στις ελληνικές κοινότητες οι οποίες κατά κύριο λόγο ϐρίσκονταν
στις ακτές της Μεσογείου. Υπήρξε διάσηµος στην εποχή του για τις µηχανικές εφευρέσεις του–την επονοµαζόµενη κοχλία του Αρχιµήδη για την άντληση νερού, µηχανισµούς µε τροχαλίες και µοχλούς («∆ώστε µου ένα µέρος για να σταθώ και ϑα µετακινήσω ολόκληρη τη Γη»), ένα πλανητάριο το οποίο αναπαριστούσε την κίνηση των ουράνιων σωµάτων µε τέτοια ακρίβεια ώστε έδειχνε τις εκλείψεις του ηλίου και του ϕεγγαριού, αλλά και µηχανές πολέµου που τροµοκρατούσαν τους Ρωµαίου στρατιώτες στην πολιορκία των Συρακουσών, κατά τη διάρκεια της οποίας σκοτώθηκε ο Αρχιµήδης. Λέγεται ωστόσο ότι για τον ίδιο τον Αρχιµήδη ήταν απλά τρόποι για να διασκεδάζει εφαρµόζοντας τη γεωµετρία και ότι τα γραπτά του ήταν αφιερωµένα σε µαθηµατικές εξερευνήσεις. Ο Αρχιµήδης πραγµατοποίησε πολλούς υπολογισµούς εµβαδού και όγκου για τους οποίους χρησιµοποιούµε πλέον λογισµό–από εµβαδά κύκλων, σφαιρών και τµηµάτων κωνικών τοµών, µέχρι όγκους κώνων, σφαιρών, ελλειψοειδών και παραβολοειδών. Είχε αποδειχθεί νωϱίτερα στα Στοιχεία του Ευκλείδη ότι ο εµβαδόν A ενός κύκλου είναι ανάλογο του τετραγώνου της ακτίνας του r, έτσι A = πr2 για µια σταθερά αναλογίας π. Αλλά ο Αρχιµήδης ήταν αυτός ο οποίος προσέγγισε µε ακρίβεια την τιµή του π, δείχνοντας ότι ϐρίσκεται ανάµεσα στην 10 τιµή 3 71 και του κάτου ορίου 3 71 . Ο Ευκλείδης είχε αποδείξει επίσης ότι ο όγκος V µιας σφαίρας ακτίνας r δίνετε από τον τύπο V = µr3 (µ σταθερά), αλλά ο Αρχι-
µήδης ανακάλυψε και απέδειξε ότι µ = 4π/3. Επίσης ανακάλυψε γνωστούς πλέον τύπους του όγκου V = πr2 h και V = 13 πr2 h για τον κύλινδρο και τον κώνο, αντίστοιχα, µε ϐάση ακτίνας r και ύψους h. Υπήρχε ανέκαθεν η υποψία ότι ο Αρχιµήδης δεν είχε ανακαλύψει αρχικά του τύπους του εµβαδού και του όγκου µέσω των επιχειρηµάτων τα οποία χρησιµοποίησε για να του εδραιώσει και τα οποία ϐασίζονται στα όρια. Το 1906 ανακαλύφθηκε εκ νέου και σχεδόν τυχαία µα αρχιµήδεια πραγµατεία µε τίτλο Η Μέθοδος, η οποία ϑεωρούνταν χαµένη από την αρχαιότητα. Σάυτή ο συγγραφέας περιέγραφε µια «µέθοδο ανακάλυψης» η οποία ϐασίζεται στην χρήση απειροστών σχεδόν όπως χρησιµοποιήθηκαν για την εφεύρεση και την διερεύνηση του λογισµού κατά τον δέκατο έβδοµο και τον δέκατο όγδοο αιώνα. Εις µνήµην των τύπων του για τη σφαίρα και τον κύλινδρο, ο Αρχιµήδης Ϲήτησε να χαραχτεί στο µνήµα του µια σφαίρα εγγεγραµµένη σ΄έναν κυκλικό κύλινδρο. Αν το ύψος του κυλίνδρου είναι h = 2r, µπορείτε να επιβεϐαιώσετε ότι οι συνολικές επιφάνειες, A C και AS του κυλίνδρου και της σφαίρας, και των όγκων τους VC και VS , σχετίζονται µε τον τύπο του Αρχιµήδη
AS = 32 A C και VS = 23 VC ; Με αυτόν τον τρόπο οι όγκοι και τα εµβαδά της σφαίρας και του κυλίνδρου έχουν τον ίδιο λόγο 2 : 3.
h
r
347