Πρόλογος Ελληνικής ΄Εκδοσης
Calculus Early Transcendentals, 7η ΄Εκδοση
Linear Algebra and Differential Equations, 3η ΄Εκδοση
΄Ενα σύγχρονο πρόγραµµα σπουδών για επιστήµονες και µηχανικούς περιλαµβάνει µελέτη ϑεµάτων από διάφορες περιοχές των Μαθηµατικών, όπως αυτή του Λογισµού, της Γραµµικής ΄Αλγεβρας και των ∆ιαφορικών Εξισώσεων. Στοχεύοντας να υπάρξει ακόµα ένα χρήσιµο εργαλείο προς αυτόν τον σκοπό, στα ϐιβλία Μαθηµατικά Ι και ΙΙ µεταφράστηκε και αναδιοργανώθηκε το περιεχόµενο δύο αναγνωρισµένων ξενόγλωσσων έργων που διδάσκονται εδώ και χρόνια σε πολλά ιδρύµατα του εξωτερικού. Το ϐιβλίο Μαθηµατικά Ι απευθύνεται σε ϕοιτητές των Ελληνικών Α.Ε.Ι. οι οποίοι σε ένα εξαµηνιαίο µάθηµα Μαθηµατικών ασχολούνται µε έννοιες από τον Απειροστικό Λογισµό αλλά και από την Γραµµική ΄Αλγεβρα. Για τον σκοπό αυτό µεταφράστηκαν κεφάλαια από δύο ϐιβλία των C. Henry Edwards και David E. Penney, τα Calculus Early Transcendentals και Linear Algebra and Differential Equations τα οποία ταξινοµήθηκαν στο 1ο και 2ο µέρος του ϐιβλίου. Στο 1ο µέρος του ϐιβλίου παρουσιάζονται τα 7 από τα 14 κεφάλαια του ϐιβλίου Calculus Early Transcendentals, που αφορούν συναρτήσεις µιας πραγµατικής µεταβλητής. Συγκεκριµένα, στο Κεφάλαιο 0 παρουσιάζονται κάποιες εισαγωγικές και προαπαιτούµενες µαθηµατικές έννοιες από το Παράρτηµα του πρωτοτύπου. Τα Κεϕάλαια 1 και 2 πραγµατεύονται την έννοια της συνάρτησης και της γραφικής της παράστασης, ενώ στην συνέχεια παρουσιάζεται η έννοια του ορίου. Τα Κεφάλαια 3 και 4 είναι αφιερωµένα στην έννοια της παραγώγου και των εφαρµογών της. Στα κεφάλαιά 5, 6 και 7 παρουσιάζονται τα ολοκληρώµατα, τεχνικές για τον υπολογισµό τους και εφαρµογές τους. Στο 2ο µέρος παρουσιάζονται 3 από τα 11 κεφάλαια του ϐιβλίου Linear Algebra and Differential Equations, µε κύριο στόχο να διαπραγµατευτούν τα ϐασικότερα ϑέµατα από την γραµµική άλγεβρα. Στο Κεφάλαιο 8 παρουσιάζονται τα γραµµικά συστήµατα και η ϑεωρία λογισµού των µητρών. Στο Κεφάλαιο 9 γίνεται µια αναλυτική παρουσίαση της ϑεωρίας των διανυσµατικών χώρων. Τέλος, στο Κεφάλαιο 10 παρουσιάζεται η ϑεωρία των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων µιας µήτρας. Σε όλα τα κεφάλαια υπάρχει πληθώρα ασκήσεων και προβληµάτων για την καλύτερη εξάσκηση και κατανόηση των εννοιών από τους ϕοιτητές. Επιπλέον για τα κεφάλαια 1 έως 7 στο τέλος κάθε ενότητας υπάρχουν ερωτήσεις σωστού λάθους και ϑέµατα προς συζήτηση, ενώ κάθε κεφάλαιο ολοκληρώνεται µε επανάληψη και επιπλέον προβλήµατα. Επίσης στο τέλος του ϐιβλίου µπορείτε να ϐρείτε τις απαντήσεις στις ερωτήσεις σωστού/λάθους καθώς και στα µονού αριθµού προβλήµατα. Στο ϐιβλίο αυτό, όπως και στο πρωτότυπο, γίνεται χρήση διαφορετικών συστηµάτων µέτρησης. Για το λόγο αυτό ϑα ήταν χρήσιµο οι ϕοιτητές να είναι εξοικειωµένοι τόσο µε το µετρικό σύστηµα MKS όσο και µε το Βρετανικό Μετρικό Σύστηµα. Το Μαθηµατικά Ι ολοκληρώνεται µε το τον δεύτερο τόµο, µε τίτλο Μαθηµατικά ΙΙ. Εκεί ϑα ακολουθήσουν τα κεφάλαια από το Calculus Early Transcendentals που αναφέρονται στις συναρτήσεις πολλών µεταβλητών καθώς και εκείνα τα κεφάλαια από το Linear Algebra and Differential Equations που πραγµατεύονται την ϑεωρία των διαφορικών εξισώσεων. Σεπτέµβριος 2014 Νίκος Ματζάκος nikmatz@gmail.com
v
Μέρος 1ο Απειροστικός Λογισμός Περιεχόμενα Πρόλογος από την Αγγλική ΄Εκδοση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ
vii
1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Πραγματικοί Αριθμοί και Ανισότητες 1 Επίπεδο Συντεταγμένων και Ευθεία Γραμμή 6 Επανάληψη στην Τριγωνομετρία 14 Μονάδες Μέτρησης και Μετατροπές 19 Βασικοί Τύποι από την ΄Αλγεβρα, την Γεωμετρία, και την Τριγωνομετρία 19
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΑ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Συναρτήσεις και Μαθηματικά Μοντέλα 24 Γραφικές Παραστάσεις Εξισώσεων και Συναρτήσεων 35 Πολυωνυμικές και Αλγεβρικές Συναρτήσεις 48 Υπερβατικές Συναρτήσεις 59 Προεπισκόπηση: Τι είναι ο Λογισμός; 71 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ορισμοί 76 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 76 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 77
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΛΟΓΙΣΜΟ 2.1 2.2 2.3 2.4
23
79
Εφαπτομένες και Πρόβλεψη Κλίσης 80 Η ΄Εννοια του Ορίου 91 Περισσότερα για τα ΄Ορια 103 Η ΄Εννοια της Συνέχειας 118 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ερωτήσεις και Συζήτηση 130 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 130 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 131
vii
viii
Περιεχόμενα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ
133 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10
Παράγωγος και Ρυθμός Μεταβολής 134 Βασικοί Κανόνες Παραγώγισης 147 Κανόνας Αλυσίδας 159 Παραγώγιση Αλγεβρικών Συναρτήσεων 167 Μέγιστα και Ελάχιστα Συναρτήσεων σε Κλειστό Διάστημα Εφαρμοσμένα Προβλήματα Βελτιστοποίησης 184 Παράγωγοι Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων 200 Εκθετικές και Λογαριθμικές Συναρτήσεις 210 Πεπλεγμένη Παραγώγιση και Σχετικοί Ρυθμοί 225 Διαδοχικές Προσεγγίσεις και η Μέθοδος του Newton 236 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ερωτήματα, και Ορισμοί 250 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 251 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 252
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9
175
257
Εισαγωγή 258 Μεταβολές, Διαφορικά, και Γραμμικές Προσεγγίσεις 258 Αύξουσες και Φθίνουσες Συναρτήσεις και Το Θεώρημα της Μέσης Τιμής 267 Το Κριτήριο της Πρώτης Παραγώγου και Εφαρμογές 278 Σχεδίαση Απλής Γραφικής Παράστασης 289 Παράγωγοι Ανώτερης Τάξης και Κυρτότητα 299 Σχεδίαση Γραφικής Παράστασης και Ασύμπτωτες 314 Απροσδιόριστες Μορφές και ο Κανόνας του L’Hopital 327 Περισσότερες Απροσδιόριστες Μορφές 335 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ερωτήματα, Ορισμοί, και Αποτελέσματα 341 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 342 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 343
347 Εισαγωγή 348 Αντιπαράγωγος και Προβλήματα Αρχικών Τιμών 348 Στοιχειώδεις Υπολογισμοί Εμβαδού 363 Αθροίσματα Riemann και Ολοκλήρωμα 375 Υπολογισμός Ολοκληρωμάτων 387 Το Θεμελιώδες Θεώρημα του Λογισμού 398 Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση 408 Εμβαδόν Επίπεδης Περιοχής 416 Αριθμητική Ολοκλήρωση 427 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ερωτήματα, Ορισμοί και Αποτελέσματα 444 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 445 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 446
Περιεχόμενα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9
449
Προσέγγιση Αθροίσματος Riemann 450 ΄Ογκος με τη Μέθοδο των Διατομών 461 ΄Ογκος με τη Μέθοδο των Κυλινδρικών Κελυφών 474 Μήκος Τόξου και Εμβαδόν Επιφάνειας εκ Περιστροφής 483 Δύναμη και ΄Εργο 494 Κέντρο Βάρους Επίπεδης Περιοχής και Καμπύλης 505 Ο Φυσικός Λογάριθμος ως Ολοκλήρωμα 514 Αντίστροφες Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 526 Υπερβολικές Συναρτήσεις 536 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ορισμοί και Τύποι 545 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 547 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 548
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8
ix
Εισαγωγή 554 Πίνακες Ολοκληρωμάτων και Απλές Αντικαταστάσεις 554 Ολοκλήρωση κατά Παράγοντες 559 Τριγωνομετρικά Ολοκληρώματα 566 Ρητές Συναρτήσεις και Μερικά Κλάσματα 573 Τριγωνομετρικές Αντικαταστάσεις 581 Ολοκληρώματα Τετραγωνικών Πολυωνύμων 586 Γενικευμένα Ολοκληρώματα 592 ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Στρατηγικές Ολοκλήρωσης 606 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: ΄Εννοιες: Ερωτήματα, και Τεχνικές 608 Στόχοι: Μέθοδοι και Τεχνικές 608 ΕΠΙΠΛΕΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 609
553
Μέρος 2ο Γραμμική ΄Αλγεβρα Περιεχόμενα Πρόλογος από την Αγγλική ΄Εκδοση
613
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΜΗΤΡΕΣ 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8
Εισαγωγή στα Γραμμικά Συστήματα 617 Μήτρες και Κλιμακωτή Μορφή 625 Ανηγμένη Κλιμακωτή Μορφή 635 Πράξεις Μητρών 642 Αντίστροφες Μήτρες 752 Ορίζουσες 665 Γραμμικές Εξισώσεις και Προσαρμογή Καμπύλης Θεωρία των Οριζουσών 687
617
680
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7
Ο Διανυσματικός Χώρος R3 695 Ο Διανυσματικός Χώρος R3 και Υπόχωροι 705 Γραμμικοί Συνδυασμοί και Ανεξαρτησία Διανυσμάτων 712 Βάσεις και Διάσταση ενός Διανυσματικού Χώρου 719 Ο Χώρος των Γραμμών και των Στηλών 726 Ορθογώνια Διανύσματα στον Rn 734 Γενική Διανυσματική Χώροι 741
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 10.1 10.2 10.3
695
749
Εισαγωγή στις Ιδιοτιμές 749 Διαγωνοποίηση Μητρών 757 Εφαρμογές Δυνάμεων Μητρών 764
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Σ/Λ
775
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
785
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ
843