Κεφάλαιο 9
Επίδραση του χρόνου στην εντατική κατάσταση των πετρωμάτων Η ενότητα αυτή ασχολείται με τη μελέτη της συμπεριφοράς των πετρωμάτων που βρίσκονται κάτω από εντατική κατάσταση, η οποία μεταβάλλεται με τον χρόνο. Η μελέτη της συμπεριφοράς των πετρωμάτων ως συνάρτηση του χρόνου παρουσιάζει σημαντικό ενδιαφέρον τόσο για τη Μηχανική Πετρωμάτων όσο και για τη Γεωφυσική και άλλες Γεωεπιστήμες. Στις προηγούμενες ενότητες, εξετάσθηκε η εντατική και παραμορφωσιακή κατάσταση διαφόρων υλικών ανεξάρτητα από τον χρόνο. Υπάρχουν, όμως, υλικά που, κάτω από σταθερή εντατική κατάσταση, εμφανίζουν συνεχώς αυξανόμενη παραμόρφωση. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ερπυσμός (creep) και παρατηρείται στα περισσότερα τεχνητά και φυσικά υλικά, συμπεριλαμβανομένων και των πετρωμάτων. Τα υλικά στα οποία το φαινόμενο αυτό εμφανίζεται εντονότερο χαρακτηρίζονται ως βισκώδη ή πλαστικά. Οι μετατοπίσεις του πετρώματος στις παρειές, στην οροφή και στο πάτωμα υπογείων ανοιγμάτων που παρατηρούνται μετά την εξόρυξη οφείλονται κατά κανόνα στον ερπυσμό των υλικών που περιβάλλουν το άνοιγμα. Για τη στατική εξέταση της συμπεριφοράς του πετρώματος θεωρείται ότι το εντατικό πεδίο παραμένει σταθερό και ότι οι παραμορφώσεις δεν μεταβάλλονται ως συνάρτηση του χρόνου. Για τη μελέτη του φαινομένου του ερπυσμού, μελετάται η μεταβολή της παραμόρφωσης ενός σώματος ως συνάρτηση του χρόνου για διάφορες εντατικές καταστάσεις και έτσι προκύπτει μία οικογένεια καμπυλών που περιγράφει την επίδραση του χρόνου στην παραμορφωσιακή κατάσταση ενός σώματος.
207
Επίδραση του χρόνου
208
ς ή γραμμικό ής ς δευτερογενής ή ν ε ογ κό ωτ βατι ρ π τα με
τρ επ ιτογε ιτα νή χυ ς ή νό με νο ς
ε
εο εr to
t1
χρόνος
t2
t3
t
Σχήμα 9.1: Ιδανική καμπύλη ερπυσμού για πετρώματα
9.1 Τυπικό διάγραμμα ερπυσμού Μία τυπική καμπύλη ερπυσμού που αναφέρεται σε πετρώματα δίνεται στο σχήμα 9.1 και παριστάνεται με τη γενική σχέση: ϵ = f (t)
(9.1)
Το διάγραμμα ανηγμένης παραμόρφωσης - χρόνου που προκύπτει, συνήθως αντιστοιχεί σε μία από τις καρτεσιανές συνιστώσες ή σε μία από τις κύριες συνιστώσες της ανηγμένης παραμόρφωσης ή στην ογκομετρική παραμόρφωση και συνήθως αναφέρεται σε σταθερή επιβαλλόμενη τάση. Παρόλο που στα φυσικά φαινόμενα οι τάσεις μεταβάλλονται με τον χρόνο, όταν οι μεταβολές αυτές δεν είναι δυναμικές και απότομες μπορεί να θεωρηθούν μικρές ή αμελητέες σε κάποιο παράθυρο χρόνου. Η καμπύλη ερπυσμού μπορεί να διαιρεθεί σε τρία τμήματα για την καλύτερη ανάλυση του φαινομένου: • Το πρώτο τμήμα αντιστοιχεί στον λεγόμενο πρωτογενή ή μεταβατικό ερπυσμό (primary or transient creep) και ξεκινά από ελαστική παραμόρφωση ϵo . Η παραμόρφωση αυτή προέρχεται από την αρχική επιβολή φορτίου στο υλικό και θεωρείται ότι συμβαίνει σε μηδενικό χρόνο. Ο πρωτογενής ερπυσμός χαρακτηρίζεται από το ότι, όταν η εξωτερική καταπόνηση παύσει ακαριαία, τότε η καμπύλη ανηγμένης παραμόρφωσης - χρόνου τείνει ασυμπτωτικά στο μηδέν, επομένως και η παραμένουσα παραμόρφωση τείνει ασυμπτωτικά στο μηδέν (σχήμα 9.1).
9.1 Τυπικό διάγραμμα ερπυσμού
ε
209
σΔ
σΔ >σΓ>σΒ>σΑ
σΓ
σΒ σΑ
t Σχήμα 9.2: Επίδραση της εντατικής κατάστασης στην καμπύλη ερπυσμού πετρώματος • Η καμπύλη του δεύτερου τμήματος έχει περίπου σταθερή κλίση και ο ερπυσμός στο τμήμα αυτό ονομάζεται δευτερογενής ή σταθερός ερπυσμός (steady state creep). Ο δευτερογενής ερπυσμός χαρακτηρίζεται από το ότι, όταν η εξωτερική καταπόνηση παύσει ακαριαία, τότε η παραμένουσα ανηγμένη παραμόρφωση τείνει ασυμπτωτικά σε μία σταθερή τιμή ϵr (σχήμα 9.1). • Το τρίτο τμήμα της καμπύλης αντιστοιχεί σε επιταχυνόμενο ή τριτογενή ερπυσμό (tertiary creep), ο οποίος οδηγεί γρήγορα στην αστοχία του υλικού. Στην πράξη, μελετώνται μόνο ο πρωτογενής και ο δευτερογενής ερπυσμός, καθώς, όταν η παραμόρφωση φθάσει στο στάδιο του επιταχυνόμενου ερπυσμού, δύσκολα αποφεύγεται η αστοχία του υλικού. Παρόλο που η εντατική κατάσταση ενός υλικού θεωρείται σταθερή, κατά την εξέταση του φαινομένου του ερπυσμού το μέγεθος του φορτίου που δέχεται ένα υλικό επηρεάζει την εμφάνιση ή και την ανάπτυξη του φαινομένου αυτού. Στο σχήμα 9.2 παρουσιάζεται η επίδραση του μεγέθους του φορτίου, στην περίπτωση μονοαξονικής καταπόνησης, στη διαμόρφωση των καμπυλών ανηγμένης παραμόρφωσης - χρόνου. Από τις πειραματικές καμπύλες που αντιστοιχούν σε διαφορετικά δοκίμια κατασκευασμένα από το ίδιο πέτρωμα φαίνεται ότι: • όσο μεγαλύτερη είναι η τάση (ή το εντατικό πεδίο) που επιβάλλεται σε
Επίδραση του χρόνου
210
ένα δοκίμιο, τόσο γρηγορότερα επιτυγχάνεται η ανάπτυξη της πλήρους καμπύλης ερπυσμού, και • σε χαμηλές εντατικές καταστάσεις ο ερπυσμός είναι πολύ μικρός. Επίσης, από το σχήμα 9.2, προκύπτουν έμμεσα και τα πρακτικά προβλήματα που παρουσιάζονται σε πειράματα ερπυσμού. Όταν η εφαρμοζόμενη τάση είναι χαμηλή, τα αποτελέσματα εμφανίζονται σε μεγάλο σχετικά χρόνο, ενώ, όταν η τάση είναι υψηλή, η αστοχία του υλικού επιτυγχάνεται συνήθως σε μικρότερο χρόνο.
9.2 Εμπειρικοί νόμοι ερπυσμού Η καμπύλη του σχήματος 9.1 μπορεί να αποδοθεί μαθηματικά από μία εξίσωση της μορφής: ϵt = ϵo + ϵ1 (t) + V t + ϵ3 (t)
(9.2)
όπου ϵo = η αρχική ελαστική ανηγμένη παραμόρφωση, ϵ1 (t) = ο μεταβατικός ερπυσμός, για to < t < t1 , V t = ϵ2 (t) = ο σταθερός ερπυσμός, για t1 < t < t2 , και ϵ3 (t) = ο τριτογενής ερπυσμός, για t2 < t < t3 . Δύο από τους εμπειρικούς νόμους που έχουν προταθεί για την παράσταση του μεταβατικού ερπυσμού είναι: • Ο λογαριθμικός νόμος (Griggs 1939 - Πηγή: Jaeger and Cook 1979): ϵ(t) = A ln(t)
(9.3)
• Ο εκθετικός νόμος (Cottrell 1952 - Πηγή: Jaeger and Cook 1979): ϵ(t) = Atn
0<n<1
(9.4)
Οι σταθερές A στους παραπάνω νόμους εξαρτώνται από τις πλευρικές τάσεις και τη θερμοκρασία. Από μαθηματική άποψη καμία από τις παραπάνω σχέσεις δεν αποδίδει σωστά το φαινόμενο του μεταβατικού ερπυσμού, διότι, όταν t → 0, οι ρυθμοί ερπυσμού (ταχύτητες ερπυσμού), vo = ∂ϵ(t)/∂t, που προκύπτουν από τις σχέσεις [9.3] και [9.4], τείνουν στο άπειρο. Επίσης, οι σχέσεις αυτές αυξάνουν συνεχώς με τον χρόνο, χωρίς να τείνουν σε μία σταθερή τιμή. Προς αντικατάσταση των παραπάνω σχέσεων προτάθηκαν
Κεφάλαιο 10
Ευστάθεια Ανοιγμάτων Η ενότητα αυτή εξετάζει την εντατική κατάσταση στο πέτρωμα μετά την όρυξη υπογείων ανοιγμάτων (stability of underground openings), καθώς επίσης και τις συνθήκες ευστάθειας των ανοιγμάτων αυτών. Στην ενότητα αυτή περιλαμβάνεται η μελέτης της ευστάθειας γεωτρήσεων. Στο παρόν κεφάλαιο η σχετική ανάλυση γίνεται κυρίως σε δύο διαστάσεις χρησιμοποιώντας απλοποιημένα (ελαστικά) πρότυπα συμπεριφοράς του πετρώματος κάτω από εντατικά πεδία.
10.1
Επί τόπου εντατικό πεδίο
Η όρυξη ενός ανοίγματος στη μάζα του πετρώματος επιφέρει τη μεταβολή του εντατικού πεδίου του αδιατάρακτου πετρώματος (ground stresses) λόγω της ανακατανομής των τάσεων γύρω από το άνοιγμα, με σκοπό την αποκατάσταση της στατικής ισορροπίας του συστήματος. Οι επί τόπου τάσεις διακρίνονται σε αρχικές (virgin or insitu stresses) και επιφερόμενες (induced or redistributed stresses) λόγω της διαταραχής του εντατικού πεδίου. Οι αρχικές τάσεις διακρίνονται σε: • βαρυτικές τάσεις (gravitational stresses), που οφείλονται στη δράση του πεδίου βαρύτητας • τεκτονικές τάσεις (tectonic stresses), που οφείλονται σε τεκτονικές δυνάμεις (σημειώνεται ότι ένα τεκτονικά ενεργό τμήμα του πετρώματος είναι δυνατό να μην επιδεικνύει σεισμική δράση, καθώς η βραχόμαζα μπορεί να αντιδρά βισκοελαστικά στις τεκτονικές τάσεις) • παραμένουσες τάσεις (residual stresses), που μπορεί να δημιουργηθούν λόγω φυσικών ή και χημικών διεργασιών που λαμβάνουν χώρα σε πε215
Ευστάθεια Ανοιγμάτων
216
γ1
h1
γ2
h2 h
γ3
h
h3
γ4
h4 n
dy
σv = γh = Σγi hi i=1
dx
Σχήμα 10.1: Κατακόρυφες τάσεις σε στοιχειώδες σώμα ριορισμένους όγκους πετρωμάτων, όπως για παράδειγμα κατά την ανομοιόμορφη ψύξη μάγματος. Οι τάσεις που οφείλονται στο πεδίο βαρύτητας μπορούν να υπολογιστούν εύκολα από την ισορροπία των δυνάμεων στον κατακόρυφο άξονα. Οι υπόλοιπες τάσεις που ενδεχόμενα ασκούνται σε ένα πέτρωμα είναι συνήθως δυνατό να προσεγγισθούν από μετρήσεις επί τόπου. Οι κατακόρυφες τάσεις που ασκούνται σε ένα στοιχειώδες σώμα πετρώματος που βρίσκεται σε ορισμένο βάθος, h, από την επιφάνεια της γης, λόγω και μόνο της ύπαρξης της μάζας των υπερκειμένων, αποδεικνύεται ότι ισούται με το βάρος των υπερκειμένων. Ουσιαστικά, πρόκειται για το βάρος μίας στήλης υπερκειμένων σχηματισμών με διατομή ίση με τη διατομή του στοιχειώδους τμήματος και ύψος την απόσταση (h) του τμήματος από την επιφάνεια (σχήμα 10.1). Επομένως, οι κατακόρυφες τάσεις είναι δυνατό να υπολογισθούν από τη σχέση: σv = γh (10.1) όπου σv = η κατακόρυφη θλιπτική τάση, γ = το μοναδιαίο βάρος του μέσου και h = η απόσταση από την επιφάνεια. Όταν τα υπερκείμενα αποτελούνται από πολλά στρώματα με διαφορετικά μοναδιαία βάρη, τότε το βάρος των υπερκειμένων υπολογίζεται σύμφωνα με τη σχέση (σχήμα 10.1): σv =
n ∑
γi hi
(10.2)
i=1
όπου n = ο αριθμός των διαφορετικών στρωμάτων, γi = το μοναδιαίο βάρος κάθε στρώματος και hi = το πάχος κάθε στρώματος.
10.1 Επί τόπου εντατικό πεδίο
217
Οι οριζόντιες τάσεις που υφίσταται το στοιχειώδες αυτό σώμα σε βάθος (h) θεωρούνται συνάρτηση των κατακόρυφων τάσεων σύμφωνα με τη σχέση: σh = kσv
(10.3)
όπου σh = η οριζόντια θλιπτική τάση και k = ο συντελεστής πλευρικών τάσεων ή συντελεστής πλευρικής ώθησης ή συντελεστής ουδέτερης ώθησης (earth pressure coefficient) που είναι μία σταθερά που εξαρτάται από τον τύπο του εντατικού πεδίου. Σε ελαστικές συνθήκες, η σχέση [10.3] προκύπτει από την εξίσωση [6.15] με τις συνθήκες ϵx = 0 (επειδή το περιβάλλον πέτρωμα δεν επιτρέπει την παραμόρφωση ενός στοιχειώδους κύβου) και σx = σy = σh (επειδή η οριζόντια τάση θεωρείται σταθερή στο επίπεδο). Επομένως: σh =
ν σv 1−ν
(10.4)
όπου ν ο λόγος του Poisson. Ο λόγος του Poisson λαμβάνει θεωρητικά τιμές στο διάστημα 0 ≤ ν ≤ 0.5. Επομένως, ο συντελεστής πλευρικής ώθησης (ή συντελεστής πλευρικών τάσεων) λαμβάνει τιμές στο διάστημα 0 ≤ k ≤ 1. Σε συνθήκες υψηλών οριζόντιων γεωστατικών τάσεων ο συντελεστής πλευρικής ώθησης μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε τιμές, ακόμη και k > 1. Σε περιοχές μεταλλευτικού ενδιαφέροντος, όπου συνήθως κυριαρχούν οι τεκτονικές τάσεις, έχουν αναφερθεί συντελεστές πλευρικής ώθησης της τάξεως του 2. Η τιμή k = 0 αντιπροσωπεύει συνήθως πετρώματα σε μικρά βάθη, ενώ η τιμή k = 1 χρησιμοποιείται σε μεγάλα βάθη, όπου τα πετρώματα επιδεικνύουν πλαστική συμπεριφορά (ν = 0.5). Όταν ν = 0.25, τότε προκύπτει ότι k = 1/3 (δηλαδή σh = 1/3σv ) που είναι μία συνηθισμένη τιμή για τις πλευρικές πιέσεις σε διάφορα βάθη. Από τον ορισμό της σταθεράς k προκύπτει ότι, όταν είναι γνωστός ο λόγος του Poisson για ένα πέτρωμα (π.χ. ν = 0.25), τότε είναι δυνατό να υπολογιστεί η τιμή της σταθεράς k (π.χ. k = 1/3). Αν η εντατική κατάσταση επί τόπου είναι τέτοια ώστε σh = kσv , τότε το υλικό αυτό δεν υφίσταται πλευρική παραμόρφωση (ϵx = 0). Αν, όμως, το πέτρωμα αυτό βρεθεί σε ένα διαφορετικό εντατικό πεδίο, όπου σh′ = kσv′ , τότε θα παραμορφωθεί πλευρικά, όπως προβλέπεται από τις αντίστοιχες καταστατικές εξισώσεις. Για τον λόγο αυτό η σταθερά k συχνά αναφέρεται (ιδιαίτερα στην Εδαφομηχανική) με τον όρο συντελεστής ουδέτερης ώθησης.
218
Ευστάθεια Ανοιγμάτων
10.2 Υπόγεια ανοίγματα σε ισότροπο, ομοιογενές και ελαστικό μέσο Το πρόβλημα του αναλυτικού υπολογισμού των τάσεων γύρω από ανοίγματα κάτω από την επιφάνεια της Γης είναι πολύπλοκο και απαιτεί γνώσεις πολλών παραμέτρων που σχετίζονται τόσο με την επιτόπου εντατική κατάσταση, όσο και με τις ιδιότητες του πετρώματος και της βραχομάζας. Πολλές φορές, όμως, η μελέτη ενός ανοίγματος με τη θεώρηση ότι το περιβάλλον μέσο είναι ομοιογενές, ελαστικό και ισότροπο, δίνει κάποια προσεγγιστικά αποτελέσματα που πολλές φορές δεν απέχουν πολύ από την πραγματικότητα. Στη συνέχεια δίνεται μία πρώτη προσέγγιση στο πρόβλημα του υπολογισμού της εντατικής κατάστασης γύρω από υπόγειο άνοιγμα, με βάση τις ακόλουθες παραδοχές: • Το πέτρωμα θεωρείται ελαστικό (ακολουθεί τον νόμο του Hooke), ομοιογενές και ισότροπο. • Το άνοιγμα έχει γίνει σε ένα αδιατάρακτο (άπειρης έκτασης) μέσο. Η συνθήκη αυτή πληρούται, όταν το πλησιέστερο σύνορο του μέσου (π.χ. ένα άλλο άνοιγμα ή μία ασυνέχεια) βρίσκεται σε απόσταση μεγαλύτερη από το τριπλάσιο της μεγαλύτερης διάστασης του ανοίγματος. • Το άνοιγμα έχει μήκος πολύ μεγαλύτερο από τις διαστάσεις της διατομής του και η κατανομή των τάσεων κατά τον επιμήκη άξονα είναι ανεξάρτητη του μήκους. Μ’ αυτήν την παραδοχή πληρούνται οι συνθήκες για τη μελέτη του συστήματος με τη θεώρηση της επίπεδης ανηγμένης παραμόρφωσης. • Ο επιμήκης άξονας του ανοίγματος είναι οριζόντιος. • Η διατομή του ανοίγματος μπορεί να παρασταθεί με ένα απλό γεωμετρικό σχήμα (π.χ. κύκλο, έλλειψη, τετράγωνο, κλπ). • Οι δύο άξονες αναφοράς της διατομής έχουν οριζόντια και κάθετη διεύθυνση αντίστοιχα. • Οι κατακόρυφες τάσεις που υφίσταται το άνοιγμα είναι ίσες με το βάρος των υπερκειμένων και υπολογίζονται από τη σχέση σv = γh = ρgh, ενώ οι οριζόντιες τάσεις υπολογίζονται από τη σχέση σh = kσv (όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας).
10.2 Υπόγεια ανοίγματα
219
σθθ σrr
r
τrθ θ
α
Σχήμα 10.2: Σχηματική παράσταση κυκλικού ανοίγματος κάτω από δισδιάστατο εντατικό πεδίο
10.2.1
Εντατική κατάσταση γύρω από κυκλικά ανοίγματα
Η μεταφορά του προβλήματος σε δύο διαστάσεις, δηλαδή η μελέτη της κατανομής των τάσεων σε επίπεδο κάθετο προς τον επιμήκη άξονα ενός ανοίγματος, ισοδυναμεί με τη μελέτη των τάσεων γύρω από ένα άνοιγμα σε επίπεδη πλάκα που υφίσταται την επίδραση ενός ομοιόμορφου δισδιάστατου εντατικού πεδίου. Για την περίπτωση μίας κυκλικής διατομής, από τη θεωρία ελαστικότητας προκύπτει ότι οι εξισώσεις (σε πολικές συντεταγμένες r, θ) για την εφαπτομενική σθθ , την ακτινική σrr και τη διατμητική τάση τrθ , μετά τη δημιουργία του ανοίγματος (σχήμα 10.2) δίνονται από τις σχέσεις που ανέπτυξε ο Kirsch (1898), όπως αναφέρεται από τους Mahtab και Grasso (1992): ][
[
]
][
[
]
a2 σh − σv 4a2 3a4 σh + σv 1− 2 + 1 − 2 + 4 cos 2θ ⇔ σrr = 2 r 2 r r [ [ ] [ ] ] 2 2 3a4 P a 4a σrr = (1 + k) 1 − 2 − (1 − k) 1 − 2 + 4 cos 2θ 2 r r r [
][
]
[
][
(10.5)
]
σh + σv a2 σh − σv 3a4 σθθ = 1+ 2 − 1 + 4 cos 2θ ⇔ 2 r 2 r [ [ ] [ ] ] 2 P a 3a4 σθθ = (1 + k) 1 + 2 + (1 − k) 1 + 4 cos 2θ 2 r r
(10.6)
Ευστάθεια Ανοιγμάτων
220 ][
[
]
σv − σh 2a2 3a4 τrθ = 1 + 2 − 4 sin 2θ ⇔ 2 r r [ ] 2 2a 3a4 P τrθ = (1 − k) 1 + 2 − 4 sin 2θ 2 r r
(10.7)
όπου a = η ακτίνα του κυκλικού ανοίγματος, r = η απόσταση από το κέντρο του ανοίγματος, θ = η γωνία ως προς τον οριζόντιο άξονα, P = η κατακόρυφη αρχική τάση (P = σv ), k = ο συντελεστής πλευρικών τάσεων. Όπως προκύπτει από τα παραπάνω, η εντατική κατάσταση σε δύο διαστάσεις στο χώρο γύρω από το άνοιγμα (με την παραδοχή της επίπεδης τάσης) δίνεται με τη βοήθεια του τανυστή:
σθθ τrθ 0 σij = τθr σrr 0 0 0 0
(10.8)
Το σύστημα αναφοράς του τανυστή αυτού είναι οι άξονες r, θ όπως αυτοί προσδιορίζονται για κάθε σημείο (βλέπε σχήμα 10.2). Οι αντίστοιχες εξισώσεις για την ακτινική, ur , και εφαπτομενική, uθ , μετατόπιση δίνονται από τις σχέσεις (Brady and Brown 1993): [
{
a2 P a2 (1 + k) − (1 − k) 4(1 − ν) − 2 ur = − 4Gr r [
[
]
}
]
cos 2θ
P a2 a2 uθ = − (1 − k) 2(1 − 2ν) + 2 sin 2θ 4Gr r
(10.9)
]
(10.10)
όπου G το μέτρο διάτμησης (βλέπε ενότητα 6.2.4) και ν ο λόγος Poisson του υλικού. Σημειώνεται ότι οι παραπάνω σχέσεις αναφέρονται σε συνθήκες επίπεδης τάσης. Οι αντίστοιχες σχέσεις για συνθήκες επίπεδης παραμόρφωσης μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας την εξίσωση [6.31] (Mahtab and Grasso 1992). Από την αξιολόγηση των παραπάνω εξισώσεων προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα: • η κατανομή του εντατικού πεδίου γύρω από το άνοιγμα είναι ανεξάρτητη από τις ελαστικές σταθερές του υλικού