3 ∗ Γύλακε Laplace
123
Γίλεηαη: g = 10 m/s2 . Λύζε α) Γηα λα είλαη ηα ειαηήξηα ζην θπζηθό ηνπο κήθνο ζα πξέπεη ε ειεθηξνκαγλεηηθή δύλακε λα είλαη ειθηηθή επνκέλσο κεηαιιηθή ξάβδνο θαη αγσγόο ζα πξέπεη λα δηαξξένληαη από νκόξξνπα ξεύκαηα, ζα πξέπεη επίζεο ε ζπληζηακέλε δύλακε λα είλαη κεδεληθή. ηε ζέζε θπζηθνύ κήθνπο αζθνύληαη ζηνλ αγσγό δπν δπλάκεηο ην βάξνο ηνπ θαη ε ειεθηξνκαγλεηηθή δύλακε πνπ ηνπ αζθεί ε ξεπκαηνθόξνο ξάβδνο. Θα ηζρύεη ινηπόλ F=0
=mg
=mg
=
=
= =100A β) Αλ αληηζηξαθεί ε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηε ξάβδν ηόηε ε δύλακε κεηαμύ ξάβδνπ θαη αγσγνύ ζα είλαη απσζηηθή. ηε λέα ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ αγσγνύ ηζρύεη ε ζρέζε F=0 =0 kx= kx=
k=
=
Γ6 Σα θάησ άθξα ησλ ξάβδσλ ελώλνληαη κε γελλήηξηα ΖΔΓ Δ=20V θαη εζσηεξηθήο αληίζηαζεο r=1Ω. Αγσγόο ΚΛ, κήθνπο L=1m, κάδαο m=0,4Kg θαη αληίζηαζεο R=2Ω, εθάπηεηαη ζηηο δύν ξάβδνπο ρσξίο ηξηβέο. ην ρώξν εθαξκόδεηαη νξηδόληην νκνγελέο καγλεηηθό πεδίν, νη δπλακηθέο γξακκέο ηνπ νπνίνπ είλαη θάζεηεο ζηνλ αγσγό, α) Να ππνινγηζηεί ην κέηξν ηεο έληαζεο Β ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ώζηε ν αγσγόο ΑΓ λα ηζνξξνπεί ζε νξηδόληηα ζέζε. β) Πξνο πνηα θαηεύζπλζε θαη κε πνηα αξρηθή επηηάρπλζε ζα θηλεζεί ν αγσγόο ΑΓ αλ αληηζηξαθεί ε θνξά ησλ δπλακηθώλ γξακκώλ ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ; Γίλεηαη: g=10 m/s2. θαη θ=30° Λύζε α) Σν θύθισκα δηαξξέεηαη από ξεύκα έληαζεο = = =10A Η=
=
k=1,75N/m.
Β
Β Α
Β
R Γ
φ (E,r)
Β
Β
φ
FL
Β
Ο αγσγόο ΑΓ δέρεηαη δύλακε Laplace από ην καγλεηηθό πεδίν, ε FL x FL y φ θνξά ηεο νπνίαο πξνζδηνξίδεηαη κε ηνλ θαλόλα ησλ ηξηώλ δαθηύισλ ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ θαη είλαη αληίξξνπε ηνπ βάξνπο ηνπ αγσΒ Β γνύ. wx φ Γηα λα ηζνξξνπεί ν αγσγόο πξέπεη λα ηζρύεη: wy φ FX= 0 mgεκθ = Fy=FLεκθ mg = FL Β = = =0,4T. mg β) Αλ αληηζηξαθεί ε θνξά ησλ δπλακηθώλ γξακκώλ, αληηζηξέθεηαη θαη ε θνξά ηεο FL νπόηε γίλεηαη νκόξξνπε ηνπ βάξνπο ηνπ αγσγνύ θαη ν αγσγόο ζα θηλεζεί πξνο ηε βάζε ηνπ θεθιηκέλνπ επηπέδνπ. Ζ αξρηθή επηηάρπλζε ηνπ ζα ππνινγηζηεί από ην ζεκειηώδε λόκν ηεο κεραληθήο, ζπλεπώο: FX=mgεκθ+ = mα α= 0,4 m/s2.
www.iwn.gr
ηώδνο Φ. - Αλησλάξαο Γ.
4∗Δπαγσγή
195
γ) Ζ ζεξκόηεηα πνπ απνδίδεη ε αληίζηαζε R ζε ρξόλν t=5min. Απ : α) 2 Α, β) 10 V, γ) 6∙
J
Δπαγσγή Λπκέλα Πξνβιήκαηα Γ1Γύν ράιθηλα νξηδόληηα ζύξκαηα Α1x1 θαη Α2x2 κεγάινπ K Α1 x1 κήθνπο θαη ακειεηέαο αληίζηαζεο είλαη παξάιιεια θαη απέρνπλ κεηαμύ ηνπο απόζηαζε L=1m. Σα άθξα ηνπο Α1, Α2 ελώλνB υ R1 ληαη κέζσ αληηζηάηε R=5Ω. Αγσγόο ΚΛ, κήθνπο L=1m θαη αληί- R L F ζηαζεο R1=3Ω ηνπνζεηείηαη κε ηνλ άμνλά ηνπ θάζεην ζηα ζύξκαηα θαη θηλείηαη κε ζηαζεξή ηαρύηεηα π = 8 m/s κε ηελ x2 A2 Λ επίδξαζε ζηαζεξήο δύλακεο ⃗ κέηξνπ F = 6 N, ε νπνία είλαη νκόξξνπε ηεο ηαρύηεηαο θαη θάζεηε ζηνλ άμνλα ηνπ αγσγνύ. Ζ δηάηαμε βξίζθεηαη ζε πεξηνρή πνπ επηθξαηεί νκνγελέο καγλεηηθό πεδίν έληαζεο Β=2Σ. α) Πόζε ΖΔΓ αλαπηύζζεηαη ζηνλ αγσγό ΚΛ; β) Πόζε είλαη ε δηαθνξά δπλακηθνύ VΚΛ; γ) Δθηόο από ηε δύλακε ⃗ πνηεο άιιεο δπλάκεηο ελεξγνύλ πάλσ ζηνλ αγσγό ΚΛ θαηά ηε δηεύζπλζε ηεο θίλεζεο θαη πόζν είλαη ην κέηξν θάζε κηαο; δ) Με πνην ξπζκό κεηαθέξεηαη ελέξγεηα ζηνλ αγσγό ΚΛ κέζσ ηνπ έξγνπ ηεο ⃗ ; ε) Με πνην ξπζκό κεηαηξέπεηαη ελέξγεηα ζε ζεξκηθή, ιόγσ θαηλνκέλνπ Joule; ζη) Με πνην ξπζκό κεηαηξέπεηαη ελέξγεηα ζε ζεξκηθή ελέξγεηα; Λύζε α) ηνλ αγσγό ΚΛ αλαπηύζζεηαη κε πνιηθόηεηα πνπ θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα θαη κε κέηξν =ΒπL=2∙8∙1=16V β) Ζ έληαζε ηνπ επαγσγηθνύ ξεύκαηνο δίλεηαη από ηε ζρέζε: Η= = = 2A ε θνξά ηνπ ξεύκαηνο θαίλεηαη ζην ζρήκα. Ζ δηαθνξά δπλακηθνύ =ΗR=2∙5=10V K Α1 I x1 γ) Ζ δύλακε Laplace πνπ αζθείηαη ζηνλ αγσγό είλαη αληίξυ R1 B ξνπε ηεο ηαρύηεηαο θαη έρεη κέηξν =BIL=2∙2∙1=4N F R L L επεηδή π=ζηαζεξή ηζρύεη ε ζρέζε F=0 Όκσο είλαη F- =6F I 4=2≠0 ζπλεπώο ππάξρεη θαη ηξηβή νιίζζεζεο επνκέλσο x2 F=0 F- -Σ=0 Σ= F- =6-4=2Ν A2 Λ δ) Μέζσ ηνπ έξγνπ ηεο δύλακεο F ζηνλ αγσγό κεηαθέξεηαη ελέξγεηα κε ξπζκό =Fπζπλ0°=6∙8∙1=48J/s ε) O ξπζκόο κεηαηξνπήο ηεο ελέξγεηαο ζε ζεξκηθή πάλσ ζηηο αληηζηάζεηο δίλεηαη από ηε ζρέζε = = 8=32J/s. ζη) =-Σπ=-2∙8=-16J/s. = +| |=32+16=48 J/s. K Γ x1 Γ2Σα άθξα Γ θαη Γ δύν παξάιιεισλ νξηδόληησλ ζηδεξνηξν- r R B ρηώλ Γx1 θαη Γx2, νη νπνίεο έρνπλ ακειεηέα σκηθή αληίζηαζε, L ζπλδένληαη κε έλα ακπεξόκεηξν εζσηεξηθήο αληίζηαζεο r = 2 F Α Ω. Δπάλσ ζην επίπεδν ησλ δύν ζηδεξνηξνρηώλ εξεκεί, ηνx2 Δ Λ www.iwn.gr
.ηώδνο Φ. -Αλησλάξαο Γ.
196
4∗Δπαγσγή
πνζεηεκέλνο θάζεηα πξνο ηε δηεύζπλζή ηνπο, άιινο επζύγξακκνο αγσγόο ΚΛ κήθνπο L = 1 m, ν νπνίνο κπνξεί λα νιηζζαίλεη ρσξίο ηξηβέο. Ο αγσγόο ΚΛ έρεη κάδα m = 2 kg θαη αληίζηαζε R = 2 Ω. Σε ρξνληθή ζηηγκή t = 0 αξρίδεη λα ελεξγεί ζην κέζν ηνπ αγσγνύ ΚΛ εμσηεξηθή δύλακε ⃗ , θάζεηε ζηνλ άμνλά ηνπ, παξάιιειε ζηε δηεύζπλζε ησλ ζηδεξνηξνρηώλ θαηά ηελ θαηεύζπλζε Γx1. Ο αγσγόο θηλείηαη κε ζηαζεξή επηηάρπλζε α = 2 m/s2. Σν ζύζηεκα ησλ ζηδεξνηξνρηώλ θαη ηνπ αγσγνύ βξίζθεηαη κέζα ζε νκνγελέο καγλεηηθό πεδίν ηνπ νπνίνπ ε έληαζε Β = 1 Σ είλαη θάζεηε ζην επίπεδν ησλ ζηδεξνηξνρηώλ. α) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο από ηηο νπνίεο είλαη δπλαηό λα ππνινγηζηνύλ θάζε ζηηγκή i) ε έληαζε ηνπ ξεύκαηνο. ii) ε αιγεβξηθή ηηκή ηεο εμσηεξηθήο δύλακεο . β) Να ππνινγίζεηε ην θνξηίν πνπ πεξλάεη από ην ακπεξόκεηξν θαηά ηε δηάξθεηα ηνπ 3 νπ δεπηεξνιέπηνπ. γ) Να βξείηε ηελ κεηαβνιή ηεο νξκήο ηεο ξάβδνπ από t1 = 2 s κέρξη t2 = 4 s. δ) Σε ρξνληθή ζηηγκή t2 = 4 s λα βξείηε ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ηνπ ελέξγεηαο. Λύζε α) Καηά ηελ θίλεζε ηνπ αγσγνύ αλαπηύζζεηαη επαγσγηθή ηάζε ζηα άθξα ηνπ κε πνιηθόηεηα πνπ θαίλεηαη ζηα ζρήκα. =ΒπL=BLαt. K Γ I x έληαζε ηνπ ξεύκαηνο πνπ πξνθύπηεη δίλεηαη από ηε ζρέζε: υ r FL R B I= Η= = αt = 2t I=0,5t L F =ΒΗL=1∙1∙0,5t=0,5t N Α I ε αιγεβξηθή ηηκή ηεο εμσηεξηθήο δύλακεο πξνθύπηεη από ηε y Δ Λ ζρέζε =mα F- = mα F=0,5t + 2∙2 => F= (SI) )Σνθνξηίν Q πνπ πεξλάεη από ην ακπεξόκεηξν. ππνινγίδεηαη από ηε γξαθηθή παξάζηαζε Η=f(t) Q= = ∙1=1,25C Ι(Α) γ) Ζ κεηαβνιή ηεο νξκήο ηεο ξάβδνπ από t1 = 2 s κέρξη t2 = 4 s Β ζα βξεζεί από ηηο ζρέζεηο: 1,5 =α =2∙4=8m/s θαη =α =2∙2=4m/s Α - =m -m =2∙8-2∙4=8kgm/s 1 δ) Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ηνπ ελέξγεηαο δίλεηαη από Q ηε ζρέζε: Δ Γ 0 2 3 t(s) =F∙π ζπλ0=F∙π= mα∙π==2∙2∙2∙4=32J/s = Γ3Γύν νξηδόληηνη παξάιιεινη αγσγνί Αx θαη Γy, ακειεηέαο σκηθήο αληίζηαζεο, απέρνπλ κεηαμύ ηνπο ζηαζεξή απόζηαζε L = 1 m. Μεηαμύ ησλ άθξσλ Α θαη Γ ζπλδέεηαη, κέζσ ελόο δηαθόπηε δ, πεγή ζπλερνύο ξεύκαηνο κε ΖΔΓ E=8 V θαη εζσηεξηθή αληίζηαζε r =1Ω. Αγσγόο κήθνπο L=1m, κάδαο m = 0,4 kg θαη σκηθήο αληίζηαζεο R =3Ω έρεη ηα Α δ x Κ άθξα ηνπ Κ, Λ πάλσ ζηνπο παξάιιεινπο αγσγνύο Αx θαη B Γy θαη είλαη θάζεηνο ζ’ απηνύο. Ζ όιε δηάηαμε βξίζθεηαη ζε (Ε,r) R L θαηαθόξπθν νκνγελέο καγλεηηθό πεδίν έληαζεο Β =1Σ. Αξρηθά ν αγσγόο ΚΛ είλαη αθίλεηνο θαη βξίζθεηαη ζε κηθξή απόζηαζε από ηελ πεγή. Σε ρξνληθή ζηηγκή t =0 θιείλεη ν y Λ Γ δηαθόπηεο δ θαη ν αγσγόο ΚΛ αξρίδεη λα θηλείηαη ρσξίο ηώδνο Φ. -Αλησλάξαο Γ.
www.iwn.gr
452
9 ∗ Κξνύζε θαη Ταιάλησζε
α) O ρξόλνο θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο Μ από ηελ αθξαία ζέζε κέρξη ηε ζέζε ηζνξξνπίαο είλαη Τ/4 άξα γηα ηόζν ρξόλν ζα θηλεζεί θαη ην ζώκα κάδαο m κέρξη λα ζπγθξνπζηεί κε ην ζώκα κάδαο Μ. Ηζρύεη:
√
√
θαη
. Τo ζώκα κάδαο m θάλεη ειεύζεξε πηώζε πξηλ ηε ζύγθξνπζε. Άξα ( ) . β) Ζ πεξίνδνο ηαιάλησζεο ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο ζα είλαη ίζε κε √
√
θαη ε θπθιηθή ζπρλόηεηα ίζε κε
. γ) Ζ ηαρύηεηα ηνπ Μ πξηλ από ηε θξνύζε είλαη θαη ε κέγηζηε ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο Μ, άξα . Ζ θξνύζε είλαη πιαζηηθή ζπλεπώο από ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο νξκήο ησλ δπν ζσκάησλ ζηνλ άμνλα θαηά ηελ θξνύζε ηζρύεη: . Δπεηδή ε θξνύζε γίλεηαη ζηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ ηαιαλησηή απηή ζα είλαη θαη ε κέγηζηε ηαρύηεηα κεηά ηελ θξνύζε ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο. Σπλεπώο . Β) α) Αθνύ ε θξνύζε ζα γίλεη ζε αθξαία ζέζε όπνπ π=0, κεηά ηελ θξνύζε από ηε ΑΓΟ πάιη ε ηαρύηεηα ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο ζα είλαη κεδέλ ,ζπλεπώο ην πιάηνο ηαιάλησζεο ζα παξακείλεη ην ίδην . β) Τν κέηξν ηνπ κέγηζηνπ ξπζκνύ κεηαβνιήο ηεο νξκήο ζπκβαίλεη όηαλ ν ηαιαλησηήο βξίζθεηαη | (όηαλ ην πιάηνο ηνπ ζηηο αθξαίεο ζέζεηο, άξα:| | | ζπζζσκαηώκαηνο είλαη ) θαη (όηαλ ην πιάηνο ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο είλαη ). Γ6 Ηδαληθό ειαηήξην είλαη ηνπνζεηεκέλν ζηε βάζε πιάγηνπ επηπέδνπ, γσλίαο θ=30 0, κε ην θαηώηεξν άθξν ηνπ κόληκα ζηεξεσκέλν. Σην ειεύζεξν άθξν m1 ηνπ ειαηεξίνπ είλαη ζηεξεσκέλν ζώκα κάδαο m2=3kg. θαη ην (+) υ0 ζύζηεκα ηζνξξνπεί. Από ηελ θνξπθή ηνπ πιάγηνπ επηπέδνπ θηλείηαη πξνο ηα θάησ ζώκα κάδαο m 1 =1kg κε αξρηθή m2 Θ.Ι ηαρύηεηα κέηξνπ π0=6m/s, ε νπνία έρεη ηε δηεύζπλζε ηνπ s άμνλα ηνπ ειαηεξίνπ. Τν ζώκα κάδαο m 1 δηαλύεη επάλσ k ζην πιάγην επίπεδν δηάζηεκα s=2,8m θαη ζπγθξνύεηαη κεησπηθά θαη ειαζηηθά κε ην ζώκα κάδαο m 2 . Μεηά ηελ θξνύφ=300 ζε ε κέγηζηε επηπιένλ ζπζπείξσζε ηνπ ειαηεξίνπ είλαη x2=0,4m. Να ππνινγίζεηε: α) ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο κάδαο m 1 ακέζσο πξηλ ηελ θξνύζε. β) ηα κέηξα ησλ ηαρπηήησλ ησλ δύν ζσκάησλ, αθξηβώο κεηά ηελ θξνύζε. γ) ηε ζηαζεξά ηνπ ειαηεξίνπ. δ) ηε κέγηζηε ηηκή ηεο δύλακεο πνπ αζθεί ην ειαηήξην ζην ζώκα κάδαο m2 Γίλεηαη: .Τξηβέο δελ ππάξρνπλ. Λύζε Σηώδνο Φ. - Αλησλάξαο Γ.
www.iwn.gr
9 ∗ Κξνύζε θαη Ταιάλησζε
453
α) Από ην ζεώξεκα κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο γηα ην ζώκα κάδαο m1 πξνθύπηεη (από ηε ζέζε βνιήο κέρξη ιίγν πξηλ ηελ θξνύζε): =√ από όπνπ κε αληηθαηάζηαζε κε: =√ =√ =8m/s. β) Ζ θξνύζε πνπ αθνινπζεί είλαη θεληξηθή θαη ειαζηηθή κε ην ζώκα κάδαο m2 λα είλαη αξρηθά αθίλεην άξα νη ηαρύηεηεο κεηά από ηε θξνύζε ζα είλαη: θαη . Παξαηεξνύκε όηη ην ζώκα κάδαο m1 ζα θηλεζεί κε ηαρύηεηα αληίζεηεο θνξάο ελώ ην δεύηεξν ζώκα m2 ζα θηλεζεί πξνο ηα θάησ κε ηαρύηεηα . γ) Ζ ζηαζεξά ηνπ ειαηεξίνπ ππνινγίδεηαη από ηελ δηαηήξεζε ηεο ελέξγεηαο ηαιάλησζεο ηνπ ζώκαηνο m2: επεηδή (ειαζηηθή θξνύζε θαη έηζη δελ αιιάδεη ε ζέζε ηζνξξνπίαο). δ) Ζ κέγηζηε ηηκή ηεο δύλακεο πνπ αζθεί ην ειαηήξην ζην ζώκα κάδαο m2 αληηζηνηρεί ζηε κέγηζηε ζπκπίεζε ηνπ ειαηεξίνπ, άξα είλαη: όπνπ ε απόζηαζε ηεο ζέζεο ηζνξξνπίαο από ηε Θ.Φ.Μ. Αιιά γηα ηε ζέζε ηζνξξνπίαο έρνπκε . Άξα . Γ7Σην δηπιαλό ζρήκα, ηα δύν αθίλεηα ζώκαηα κάδαο m2=1,5kg θαη m3=3kg είλαη ειεύζεξα λα θηλεζνύλ ζε ιείν νξηδόληην δάπεδν θαη ζπλδένληαη κεηαμύ ηνπο κε ειαηήξην ζηαζεξάο k=3000N/m. Έλα βιήκα κάδαο m1=0,5 kg, πνπ θηλείηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα κέηξνπ π1=40m/s, ζπγθξνύεηαη m3 κεησπηθά κε ην ζώκα κάδαο m2 θαη ζθελώλεηαη ζε απηό. m1 υ1 m2 k Να ππνινγίζεηε: α) ηελ θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο ακέζσο κεηά ηελ θξνύζε, β) ηε κέγηζηε ζπζπείξσζε ηνπ ειαηεξίνπ, γ) ην πνζνζηό ηεο αξρηθήο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηνπ βιήκαηνο πνπ έρεη κεηαηξαπεί ζε δπλακηθή ελέξγεηα ηνπ ειαηεξίνπ ηε ζηηγκή ηεο κέγηζηεο ζπζπείξσζεο ηνπ. Λύζε α) Ακέζσο κεηά ηελ πιαζηηθή θξνύζε ηνπ βιήκαηνο κε ην ζώκα δεκηνπξγείηαη ην ζπζζσκάησκα πνπ θηλείηαη κε ηαρύηεηα . Δθαξκόδνπκε ηελ Α.Γ.Ο. γηα ην βιήκα θαη γηα ην ζπζζσκάησκα ακέζσο κεηά από ηελ θξνύζε θαη έρνπκε: = (1) θαη ε θηλεηηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζζσκαηώκαηνο ακέζσο κεηά ηε θξνύζε είλαη . β) Σηελ ζπλέρεηα αξρίδεη ην ειαηήξην λα ζπκπηέδεηαη νπόηε, ιόγν ησλ απσζηηθώλ δπλάκεσλ πνπ αζθεί ην ειαηήξην ζηα άθξα ηνπ, ην ζπζζσκάησκα αξρίδεη λα εθηειεί επηβξαδπλόκελε θίλεζε θαη ην ζώκα επηηαρπλόκελε .Έζησ όηαλ ε ζπκπίεζε ηνπ ειαηεξίνπ είλαη κέγηζηε θαη ίζε κε νη ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ θαη είλαη αληίζηνηρα θαη . Τελ ζηηγκή απηή ηζρύεη όηη , γηαηί:
www.iwn.gr
Σηώδνο Φ. -Αλησλάξαο Γ.
11 ∗ Δμαλαγθαζκέλεο Μεραληθέο Σαιαληώζεηο
559
. β) Η ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο πνπ ηαιαληώλεηαη ζε ζρέζε κε ηνλ ρξόλν ππνινγίδεηαη από ην ηύπν από όπνπ κε αληηθαηάζηαζε έρνπκε (S.I) θαη ε δύλακε αληίζηαζεο: είλαη ίζε κε . γ) Δθόζνλ ην ζώκα πεξλά από ηε Θ.Ι ν ζηηγκηαίνο ξπζκόο παξαγσγήο ελέξγεηαο από ηελ εμσηεξηθή δύλακε είλαη ίζνο κε ηνλ ζηηγκηαίν ξπζκό θαηαλάισζεο ελέξγεηαο από ηελ δύλακε αληίζηαζεο , | | άξα: από όπνπ κε αληηθαηάζηαζε έρνπκε . ηνπ ζπζηήκαηνο ειαηήξην-ζώκα, ππνινγίδεηαη από ην ηύπν: δ) Η γσληαθή ηδηνζπρλόηεηα √ , άξα ε ζπρλόηεηα πεξηζηξνθήο ηνπ √ δίζθνπ πνπ είλαη πξέπεη λα απμεζεί γηα λα έρνπκε ζπληνληζκό. Γ3Έλα ζώκα κάδα ηαιαληώλεηαη θαηά ηελ δηεύζπλζε ηνπ άμνλα x κε ηελ επίδξαζε κηαο δύλακεο επαλαθνξάο ηεο κνξθήο , όπνπ x ε απνκάθξπλζε από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο, ηεο δύλακεο αληίζηαζεο ηεο κνξθήο , όπνπ π ε ηαρύηεηά ηνπ θαη κηαο εμσηεξηθήο δύλακεο ηεο κνξθήο . Μόιηο ζηαζεξνπνηεζεί ε θαηάζηαζε, θάπνηα ζηηγκή πνπ ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ θηλνύκελν πξνο ηελ ζεηηθή θαηεύζπλζε, ζέηνπκε θαη κεηξάκε ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ην νπνίν βξίζθνπκε . α) Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ηεο απνκάθξπλζεο, ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο επηηάρπλζεο ηνπ ζώκαηνο ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν. β) Κάπνηα ζηηγκή ην ζώκα θαηεπζύλεηαη πξνο ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ, επξηζθόκελν ζε απνκάθξπλζε . Γηα ηε ζηηγκή απηή λα βξεζνύλ: γ) Η θηλεηηθή θαη ε δπλακηθή ελέξγεηα ηαιάλησζεο. δ) Οη ξπζκνί κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο θαη δπλακηθήο ελέξγεηαο. ε) Η ηζρύο ηεο δύλακεο αληίζηαζεο θαη ν ξπζκόο κε ηνλ νπνίν κεηαθέξεηαη ελέξγεηα ζην ζώκα κέζσ ηεο εμσηεξηθήο δύλακεο . δ) Αλ κεηώζνπκε ηελ ζπρλόηεηα ηεο εμσηεξηθήο δύλακεο ζηελ ηηκή ην πιάηνο ηαιάλησζεο ζα απμεζεί, ζα κεησζεί ή ζα παξακείλεη ζηαζεξό; Λύζε α) Η εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο, αθνύ γηα ην ζώκα πεξλά από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε θαηεύζπλζε πξνο ηελ ζεηηθή θνξά, ζα είλαη ηεο κνξθήο , όπνπ ε γσληαθή ζπρλόηεηα , αθνύ ην ζώκα ζα ηαιαληώλεηαη κε ηε ζπρλόηεηα ηνπ δηεγέξηε (εμσηεξηθή δύλακε). Άξα (S.I), ε εμίζσζε ηεο ηαρύηεηαο είλαη: (S.I) θαη ε εμίζσζε ηεο επηηάρπλζεο είλαη ε: (S.I). β) Από ηελ εμίζσζε ηεο απνκάθξπλζεο έρνπκε: άξα , άξα από ηε ζρέζε √ , αιιά επεηδή ε ηαρύηεηα έρεη αξλεηηθή ηηκή ηζρύεη: θαη . √ √ γ) Οπόηε γηα ηηο ελέξγεηεο έρνπκε: (√ )
θαη
.
δ) Οη δεηνύκελνη ξπζκνί είλαη: √
√
νπόηε θαη
. Η επηηάρπλζε ηνπ ζώκαηνο
είλαη: www.iwn.gr
ηώδνο Φ. - Αλησλάξαο Γ.
560
11 ∗ Δμαλαγθαζκέλεο Μεραληθέο Σαιαληώζεηο
κε θνξά πξνο ηε ζέζε ηζνξξνπίαο. Έηζη
|
| | |
. √ √ ε) Η ηζρύο ηεο δύλακεο απόζβεζεο ππνινγίδεηαη από ην ηύπν: . ( √ ) Δμάιινπ ν ξπζκόο κε ηνλ νπνίν κεηαθέξεηαη ελέξγεηα ζην ζώκα κέζσ ηεο εμσηεξηθήο δύλακεο, είλαη ίζνο κε ηελ ηζρύ ηεο δύλακεο . από όπνπ γηα , θαη , έρνπκε: √ √ √ . Πξάγκα πνπ ζεκαίλεη όηη έρεη θαηεύζπλζε πξνο ηε ζέζε ηζνξξνπίαο, ζπλεπώο: | || | . √ √ √ δ) Η ηδηνζπρλόηεηα ηνπ ηαιαλησηή είλαη: √
√
ελώ ε αξρηθή ζπρλόηεηα ηνπ δηεγέξηε ήηαλ
(ήηαλ δειαδή κεγαιύηεξε από ηελ ηδηνζπρλόηεηα). Μεηώλνληαο θαη άιιν ηε ζπρλόηεηα ηνπ δηεγέξηε, ζηελ ηηκή πνπ είλαη ε ηδηνζπρλόηεηα ηνπ ζπζηήκαηνο, ζα απμεζεί ην πιάηνο ζύκθσλα κε ηελ θακπύιε ζπληνληζκνύ. Γ4ύζηεκα κάδα - ειαηήξην εθηειεί εμαλαγθαζκέλε ηαιάλησζε πιάηνπο κε ηε βνήζεηα εμσηεξηθήο αξκνληθήο δύλακεο ηεο κνξθήο (S.I.). Η κάδα ηνπ ζώκαηνο είλαη . Καηά ηε δηάξθεηα ηεο ηαιάλησζεο αζθείηαη ζην ζώκα δύλακε αληίζηαζεο, ε νπνία κεηαβάιιεηαη ζύκθσλα κε ηε ζρέζε , όπνπ ε αιγεβξηθή ηηκή ηεο ηαρύηεηαο ηνπ ζώκαηνο θαη ε ζηαζεξά απόζβεζεο. Η ηδηνπεξίνδνο ηνπ ζπζηήκαηνο ηζνύηαη κε ηελ πεξίνδν ηεο εμαλαγθαζκέλεο ηαιάλησζεο θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ε εμσηεξηθή πεξηνδηθή δύλακε απνθηά ηε κέγηζηε ζεηηθή ηηκή ηεο, ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε ζεηηθή ηαρύηεηα. Να ππνινγίζεηε: α) ηε ζηαζεξά ηνπ ειαηεξίνπ, β) ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο ηε ρξνληθή ζηηγκή s, γ) ηε ζηαζεξά απόζβεζεο . δ) ηελ ελέξγεηα πνπ ράλεηαη ζην πεξηβάιινλ ιόγσ ηεο αληίζηαζεο, ζηε ρξνληθή δηάξθεηα κηαο πεξηόδνπ ηεο εμαλαγθαζκέλεο ηαιάλησζεο. Λύζε α) Η κάδα ηνπ ζώκαηνο είλαη θαη επεηδή βξηζθόκαζηε ζε συν2ωt θαηάζηαζε ζπληνληζκνύ, έρνπκε . β) Ιζρύεη , άξα ε κέγηζηε ηαρύηεηα ηνπ ηαια- +1 λησηή είλαη ίζε κε θαη επεηδή ηε + + + ρξνληθή ζηηγκή πνπ ε εμσηεξηθή πεξηνδηθή δύλακε απνθηά ηε κέγηT/8 T/2 T t ζηε ζεηηθή ηηκή ηεο, δει. γηα , ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο ηνπ κε ζεηηθή ηαρύηεηα δελ έρνπκε αξρηθή θάζε. Άξα ε εμίζσζε απνκάθξπλζεο δίλεηαη από ηε ζρέζε -1 θαη ε εμίζσζε ηαρύηεηαο είλαη . Άξα γηα ηε ρξνληθή ζηηγκή ηζρύεη: . ηώδνο Φ. - Αλησλάξαο Γ.
www.iwn.gr
606
12 ∗ Σύλζεζε κεραληθώλ ηαιαληώζεσλ-Γηαθξόηεκα
β) Όηαλ ηζρύεη
θαη επεηδή
έρνπκε
√ √
,
άξα ηζρύεη
(
√
) √
.
( ) γ) Τε ρξνληθή ζηηγκή ) ( θαη
(
. ( )
) (
( √ )
) ( √
√ )
. √ Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ππνινγίδεηαη από ην ηύπν: . ( √ )( √ ) δ) Η δύλακε επαλαθνξάο δίλεηαη από ην ηύπν κε θαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο δύλακεο επαλαθνξάο ζε ζπλάξηεζε κε ηελ απνκάθξπλζε θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα. Γ4Έλα ζώκα εθηειεί θίλεζε πνπ πξνέξρεηαη από ηε ζύλζεζε δύν απιώλ αξκνληθώλ ηαιαληώζεσλ, ίδηαο δηεύζπλζεο, ίδηνπ πιάηνπο , πνπ πξαγκαηνπνηνύληαη γύξσ από ην ίδην ζεκείν κε παξαπιήζηεο ζπρλόηεηεο θαη ( ). Οη δύν ηαιαληώζεηο έρνπλ αξρηθή θάζε κεδέλ. Η απνκάθξπλζε ζε ζπλάξηεζε κε ην ρξόλν ηεο ζύλζεηεο θίλεζεο πνπ παξνπζηάδεη δηαθξνηήκαηα (S.I) είλαη: α) Να ππνινγηζζνύλ νη ζπρλόηεηεο θαη θαη ην πιάηνο ησλ δύν ηαιαληώζεσλ. β) Να γξαθνύλ νη εμηζώζεηο απνκάθξπλζεο – ρξόλνπ ησλ δύν επηκέξνπο ηαιαληώζεσλ. γ) Να ππνινγηζηεί πόηε κεδελίδεηαη ην πιάηνο ηνπ δηαθξνηήκαηνο ζην ρξνληθό δηάζηεκα από 0 έσο 1s. δ) Να ππνινγηζζεί πόζεο θνξέο κεδελίδεηαη ε απνκάθξπλζε ηεο ζύλζεηεο θίλεζεο ζε ρξόλν ίζν κε ηελ πεξίνδν ησλ δηαθξνηεκάησλ. ε) Να γίλεη ην δηάγξακκα ηεο ζπληζηακέλεο ηαιάλησζεο γηα ρξνληθό δηάζηεκα από 0 έσο 1s. Λύζε : α) Οη επί κέξνπο ηαιαληώζεηο , έζησ όηη έρνπλ x(m) ηηο κνξθέο: 0,2 () ( ) θαη ( ) ( ) κε , νπόηε ε ζπληζηακέλε θίλεζε ζα δίλεηαη από ηνλ 0 t(s) ηύπν: 0,25 0,75 () () () () -0,2 ( ) ( ). Σπγθξίλνληαο ην ηύπν απηό κε ηνλ ηύπν: () πνπ δίλεηαη, έρνπκε όηη : θαη (1) θαη (2). Σηώδνο Φ. - Αλησλάξαο Γ.
www.iwn.gr
12 ∗ Σύλζεζε κεραληθώλ ηαιαληώζεσλ-Γηαθξόηεκα
607
Αλ πξνζζέζνπκε ηηο δύν ηειεπηαίεο ζρέζεηο θαηά κέιε έρνπκε θαη κεηά από αληηθαηάζηαζε ζηε (2) . Άξα νη ζπρλόηεηεο θαη δίλνληαη από ηνπο ηύπνπο: θαη . β) Αθνύ έρνπκε ππνινγίζεη ην πιάηνο θαη ηηο ζπρλόηεηεο ηαιάλησζεο ησλ επί κέξνπο ηαιαληώζεσλ κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηηο εμηζώζεηο απηώλ , άξα έρνπκε: () ( ) θαη ( ) ( ) . γ) Τν πιάηνο ηνπ δηαθξνηήκαηνο δίλεηαη από ηνλ ηύπν: | | | | ( ) ( ) κε . . Άξα γηα λα βξνύκε πνπ κεδελίδεηαη ην πιάηνο ηνπ δηαθξνηήκαηνο ζην ρξνληθό δηάζηεκα από έσο βάδνπκε ηηκέο ζην θαη έρνπκε γηα , γηα , γηα , άξα ζην δηάζηεκα από κέρξη , νη ρξνληθέο ζηηγκέο πνπ έρνπκε κεδεληζκό ηνπ πιάηνπο ηνπ δηαθξνηήκαηνο είλαη νη θαη . δ) Η γσληαθή ζπρλόηεηα ηεο ζύλζεηεο θίλεζεο ̅ είλαη ίζε κε ̅ , άξα ε πεξίνδνο . ηεο ζύλζεηεο θίλεζεο ̅ είλαη ίζε κε ̅ Άξα ζε κία πεξίνδν ηνπ δηαθξνηήκαηνο πνπ είλαη ίζε κε o αξηζκόο (ην 2 κπαίλεη ζηνλ ηύπν γηαηί έρνπκε 2 κεδεληησλ κεδεληζκώλ είλαη ίζνο κε ̅ ζκνύο αλά πεξίνδν ηεο ζύλζεηεο θίλεζεο) ε) Τν δηάγξακκα πνπ δεηείηαη θαίλεηαη ζην παξαπάλσ ζρήκα. Γ5Έλα ζώκα εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν απιέο αξκνληθέο ηαιαληώζεηο (1) θαη (2) πνπ εμειίζζνληαη ζηελ ίδηα δηεύζπλζε θαη γύξσ από ηελ ίδηα ζέζε ηζνξξνπίαο. Οη δύν ηαιαληώζεηο έρνπλ κεδεληθή αξρηθή θάζε, ίζα πιάηε θαη γσληαθέο ζπρλόηεηεο θαη αληίζηνηρα. Η ζπληζηακέλε ηαιάλησζε πνπ εθηειεί ην ζώκα εκθαλίδεη δηαθξνηήκαηα. α) Να γξάςεηε ηηο ρξνληθέο εμηζώζεηο ησλ ζπληζησζώλ ηαιαληώζεσλ θαη ηελ εμίζσζε ηεο ζπληζηακέλεο ηαιάλησζεο πνπ εθηειεί ην ζώκα. β) Να ππνινγίζεηε ηελ πεξίνδν ηεο ηαιάλησζεο πνπ εθηειεί ην ζώκα θαη ηε ρξνληθή δηάξθεηα κεηαμύ δύν δηαδνρηθώλ κεδεληζκώλ ηνπ πιάηνπο ηεο ηαιάλησζεο. γ) Να ππνινγίζεηε ηνλ αξηζκό ησλ ηαιαληώζεσλ ζε ρξόλν ίζν κε κία πεξίνδν ηνπ δηαθξνηήκαηνο. δ) Να ππνινγίζεηε πνηα ρξνληθή ζηηγκή κεδελίδεηαη ην πιάηνο ηεο ηαιάλησζεο ηνπ ζώκαηνο γηα πξώηε θνξά κεηά ηε ρξνληθή ζηηγκή . ε) Αλ ε κάδα ηνπ ζώκαηνο είλαη λα ππνινγηζηεί ε κέγηζηε ελέξγεηα ηεο ζύλζεηεο ηαιάλησζεο. ζη) Aλ ε γσληαθή ζπρλόηεηα ηεο πξώηεο ηαιάλησζεο κεηαβιεζεί ζε πνηνο είλαη ν λένο αξηζκόο ησλ κεγίζησλ ηνπ πιάηνπο (δηαθξνηήκαηα) ζηε ρξνληθή δηάξθεηα ησλ . Λύζε α) Οη δύν ζπληζηώζεο απιέο αξκνληθέο ηαιαληώζεηο έρνπλ κεδεληθή αξρηθή θάζε θαη ίζα πιάηε. Σπλεπώο νη ρξνληθέο εμηζώζεηο απνκάθξπλζεο ησλ δύν ζπληζησζώλ ηαιαληώζεσλ έρνπλ ηε κνξθή: (S.I) θαη (S.I). Δπεηδή νη ζπληζηώζεο ηαιαληώζεηο έρνπλ ίζα πιάηε θαη δηαθνξεηηθέο ζπρλόηεηεο, ε εμίζσζε ηεο ζπληζηακέλεο ηαιάλησζεο είλαη ηεο κνξθήο: www.iwn.gr
Σηώδνο Φ. -Αλησλάξαο Γ.
Φπζηθή Γ΄ ιπθείνπ (πξνζαλαηνιηζκνύ)
873
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαγνηηιζμόρ-Μαγνηηική Ροή Μαγνητικό πεδίο νλνκάδεηαη θάζε πεξηνρή ηνπ ρώξνπ κέζα ζηνλ νπνίν αζθείηαη δύλακε ζε θάζε καγλήηε ή ζε θηλνύκελν ειεθηξηθό θνξηίν. Μαγλεηηθή ξνή (κνλόκεηξν κέγεζνο) n φ B
S
θ είλαη ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ε θάζεηε ζηελ επηθάλεηα κε ηελ έληαζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ. Όηαλ θ =0° (επηθάλεηα θάζεηε ζηηο δπλακηθέο γξακκέο) έρνπκε ζπλ0° = 1 θαη Φmax = B·S. Όηαλ θ = 90° (επηθάλεηα παξάιιειε ζηηο δπλακηθέο γξακκέο) έρνπκε ζπλ90° = 0 θαη Φmin= 0. Αλ Φ=0 ή Φ=C≠0 ηόηε =0
ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο καγλεηηθήο ξνήο
Αλ Φ=αt+β (α θαη β ζηαζεξέο) ηόηε = = = =α αλ α>0 ε καγλεηηθή ξνή απμάλεηαη. αλ α<0 ε καγλεηηθή ξνή κεηώλεηαη
Μαγνηηικό πεδίο πεςμαηοθόπων αγωγών καγλεηηθό πεδίν επζύγξακκνπ ξεπκαηνθόξνπ αγσγνύ κεγάινπ κήθνπο.
όπνπ
I
B(r) r
καγλεηηθό πεδίν ζην θέληξν θπθιηθνύ ξεπκαηνθόξνπ αγσγνύ.
www.iwn.gr
ε
καγλεηηθή ζηαζεξά θαη ε απόιπηε καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα ηνπ θελνύ. Η ζρέζε κπνξεί λα γξαθηεί θαη σο Β=
Η ζρέζε γξαθηεί θαη σο Β=
=
κπνξεί λα =
. ηώδνο Φ. -Αλησλάξαο Γ
874
Φπζηθή Γ΄ ιπθείνπ (πξνζαλαηνιηζκνύ) Αλ, δηαζέηνπκε Ν νκνεπίπεδνπο θαη νκόθεληξνπο θπθιηθνύο ξεπκαηνθόξνπο αγσγνύο ίδηαο αθηίλαο r
Ν
B r I
Μαγλεηηθό πεδίν ζσιελνεηδνύο l
I
I
δ ( Ε,r)
Σν πειίθν εθθξάδεη ηνλ αξηζκό ησλ ζπεηξώλ αλά κνλάδα κήθνπο ηνπ ζσιελνεηδνύο, νπόηε : Β 4π κ n κ0 n Η έληαζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ θνληά ζηα άθξα ηνπ ζσιελνεηδνύο απνδεηθλύεηαη όηη έρεη κέηξν ίζν κε ην κηζό ηνπ κέηξνπ ηεο έληαζεο ζην θέληξν Β ηνπ ζσιελνεηδνύο Β 2
Β καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα
Σν πειίθν κ>>1 ηδεξνκαγλεηηθά( κ>1 Παξακαγλεηηθά( Cr) κ<1 Γηακαγλεηηθά (C, Cu) Β0=ε έληαζε καγλεηηθνύ πεδίνπ ζην θελό Β= ε έληαζε καγλεηηθνύ πεδίνπ όηαλ ππάξρεη θάπνην πιηθό Δύναμη Laplace (Λαπλάρ)
δύλακε Laplace
νλνκάδνπκε
(ζρεηηθή) καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα κ ηνπ πιηθνύ Η καγλεηηθή δηαπεξαηόηεηα δείρλεη πόζεο θνξέο κεηαβάιιεηαη ε έληαζε ηνπ καγλεηηθνύ πεδίνπ ιόγσ ηεο παξνπζίαο ηνπ ππξήλα πιηθνύ θαη είλαη θαζαξόο αξηζκόο θ ε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ν αγσγόο κε ηηο δπλακηθέο γξακκέο, l ην κήθνο ηνπ αγσγνύ θαη ην ξεύκα πνπ ηνλ δηαξξέεη.
Οξηζκόο έληαζεο νκνγελνύο καγλεηηθνύ πεδίνπ Μαγλεηηθή δύλακε αλάκεζα ζε δπν παξάιιεινπο αγσγνύο
ℓ I2
I1 F2
B1
Ρεύκαηα Οκόξξνπα: Έιθνληαη Ρεύκαηα Αληίξξνπα: Απσζνύληαη
l
α
.ηώδνο Φ. - Αλησλάξαο Γ.
www.iwn.gr