4__PAGES_Φυσική B’ Γενικού Λυκείου. Ομάδες Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών.

1• Οξηδόληηα βνιή

13

γίλεηαη κε ηελ αλάιπζε ηεο ηαρύηεηαο ζηνπο δύν εκηάμνλεο θαη όισλ ησλ άιισλ δηαλπζκάησλ. γ) Με ηε βνήζεηα ησλ λόκσλ ηνπ Νεύησλα θαη αλάινγα ηη ηζρύεη γηα ηνλ θάζε άμνλα, επηιέγνπκε θαη ηηο εμηζώζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ ηελ θάζε επί κέξνπο θίλεζε πάλσ ζηνπο δπν άμνλεο ( ε θαη ζηνπο ηξεηο άμνλεο ,όηαλ πξόθεηηαη γηα θίλεζε ζην ρώξν). Γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο ηαρύηεηαο θαη ηεο κεηαηόπηζεο, κεηά από ρξόλν t, γξάθνπκε ην δηαλπζκαηηθό άζξνηζκα ησλ ηαρπηήησλ ή ησλ κεηαηνπίζεσλ αληίζηνηρα, πνπ ζα είρε ην θηλεηό, αλ εθηεινύζε θάζε κία θίλεζε αλεμάξηεηα θαη γηα ρξόλν t. Ηζρύνπλ δειαδή νη ζρέζεηο ⃗ ⃗ ⃗ θαη ⃗ ⃗ ⃗ m υ x 0 Ο 1.3 Οπιδόνηια βολή Οξηδόληηα βνιή ιέγεηαη ε θίλεζε πνπ θάλεη έλα ζώκα όηαλ απηό βάιιεηαη g από θάπνην ζεκείν πνπ βξίζθεηαη ζε ύςνο h πάλσ από ην έδαθνο κε αξρηθή ηαρύηεηα πνπ έρεη δηεύζπλζε παξάιιειε ηνπ εδάθνπο, κε ηελ επίy δξαζε κόλν ηνπ βάξνπο ηνπ ζε πεξηνρή όπνπ ην g ζεσξείηαη ζηαζεξό θαη νη άιιεο αληηζηάζεηο ζεσξνύληαη ακειεηέεο. α) Σηνλ άμνλα x δελ αζθείηαη θακηά δύλακε επνκέλσο ηζρύεη: ΣFx=0 ζπλεπώο νη εμηζώζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ ηελ θίλεζε ζηνλ άμνλα x είλαη: = (1) θαη x= (2) β) Σηνλ άμνλα y αζθείηαη ην βάξνο ηνπ ζώκαηνο. ΣFy=w=mg. Ζ θίλεζε είλαη επζύγξακκε νκαιά επηηαρπλόκελε κε επηηάρπλζε g, ρσξίο αξρηθή ηαρύηεηα. (ειεύζεξε πηώζε). Οη εμηζώζεηο πνπ πεξηγξάθνπλ ηελ θίλεζε ζηνλ άμνλα y είλαη: m (3) θαη (4). υ0 x Ο y g Πξνζδηνξηζκόο ηεο ηαρύηεηαο ζε ηπραίν ζεκείν. t υ0 x Σε νπνηνδήπνηε ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηνπ ζώκαηνο ην δηάλπζκα ηεο θ φ υ υy ηαρύηεηαο π είλαη εθαπηόκελν ζηελ ηξνρηά, ελώ ην κέηξν ηεο πξνζ- y δηνξίδεηαη κε ηε βνήζεηα ηνπ ππζαγόξεηνπ ζεσξήκαηνο: π=√

=√

.

Ζ θαηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο πξνζδηνξίδεηαη από ηνλ ππνινγη- Ο ζκό ηεο εθαπηνκέλεο κίαο εθ ησλ δύν γσληώλ ζ θαη θ πνπ ζρεκαηίδεη ην δηάλπζκα π κε ηελ νξηδόληηα θαη ηελ θαηαθόξπθε g δηεύζπλζε αληίζηνηρα

y

υ0 d

x1

Β x

y1 t

Α

Πξνζδηνξηζκόο ζέζεο ζε ηπραίν ζεκείν. Ο πξνζδηνξηζκόο ηεο ζέζεο ηνπ ζώκαηνο γίλεηαη από ηηο ζπληεηαγκέλεο x θαη y ζηνπο δπν άμνλεο. Ζ απόζηαζε ηνπ ζώκαηνο d από ηε ζέζε εθηόμεπζεο (ζεκείν Ο) ππνινγίδεηαη κε ηε βνήζεηα ηνπ ππζαγόξεηνπ ζεσξήκαηνο ζην ηξίγσλν ΟΑΒ: √

www.iwn.gr

Αλησλάξαο Γ.- Σηώδνο Φ.

14

1• Οξηδόληηα βνιή

Σπλνιηθόο ρξόλνο θίλεζεο toι όηαλ δειαδή ην ζώκα θηάλεη ζην έδαθνο. Τε ρξνληθή ζηηγκή toι πνπ ην ζώκα θηάλεη ζην έδαθνο, ην ζώκα, ζηελ θαηαθόξπθε δηεύζπλζε βξίζθεηαη ζηε ζέζε y=h, ζπλεπώο ηζρύεη:

Ο

√ Ο ρξόλνο tνι είλαη ν ζπλνιηθόο ρξόλνο ηεο ζύλζεηεο ηεο θίλεζεο αιιά θαη ν ρξόλνο πνπ δηαξθεί θάζε κία από ηηο επηκέξνπο θηλήζεηο πάλσ ζηνπο δπν άμνλεο.

h

υ0

x

g tολ υ

0

Βειελεθέο s y Βειελεθέο νλνκάδεηαη ε κέγηζηε απόζηαζε πνπ δηαλύεη ην ζώκα ζηελ νξηδόληηα δηεύζπλζε. Τε ρξνληθή ζηηγκή t=tνι πνπ ην ζώκα θηάλεη ζην έδαθνο, ζηελ νξηδόληηα δηεύζπλζε απηό βξίζθεηαη ζηε ζέζε x =s, ζπλεπώο:

s

υy υ εδ

√ Ταρύηεηα ζώκαηνο ζην έδαθνο πεδ. Ζ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο θάζε ρξνληθή ζηηγκή είλαη ⃗= ⃗x+ ⃗y θαη έρεη κέηξν: √

√

√

(

)

√

√

√ Ζ θαηεύζπλζε ηεο ηαρύηεηαο πεδ πξνζδηνξίδεηαη από ηνλ ππνινγηζκό ηεο εθαπηνκέλεο κίαο εθ ησλ δύν γσληώλ ζ θαη θ πνπ ζρεκαηίδεη ην δηάλπζκα πεδ κε ηελ νξηδόληηα θαη ηελ θαηαθόξπθε δηεύζπλζε αληίζηνηρα. Η εμίζσζε ηξνρηάο. Οη εμηζώζεηο πνπ πξνζδηνξίδνπλ θάζε ρξνληθή ζηηγκή ηε ζέζε ελόο ζώκαηνο, ην νπνίν πξαγκαηνπνηεί νξηδόληηα βνιή είλαη: ζηνλ άμνλα x: (1) (2) ζηνλ άμνλα y: Λύλνπκε σο πξνο t ηελ (1) εμίζσζε θαη αληηθαζηζηνύκε ζηελ (2) νπόηε πξνθύπηεη: θαη

( )

Ζ ηειεπηαία εμίζσζε νλνκάδεηαη εμίζσζε ηξνρηάο θαη ζπλδέεη θάζε ρξνληθή ζηηγκή ηηο ζπληεηαγκέλεο ζέζεο ηνπ ζώκαηνο ζηνπο δύν εκηάμνλεο Ox θαη Oy. είλαη ηεο κνξθήο , δειαδή είλαη εμίζσζε παξαβνιήο. Απηό ζεκαίλεη πσο ε νξηδόληηα βνιή είλαη κηα θίλεζε πνπ πξαγκαηνπνηείηαη ζε παξαβνιηθή ηξνρηά. Παξάδεηγκα 1. Τν ζώκα ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο εθηνμεύεηαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 από ζεκείν Ο πνπ βξίζθεηαη ζε ύςνο h=45m πάλσ από ην έδαθνο κε νξηδόληηα ηαρύηεηα κέηξνπ =40m/s θαη εθηειεί Αλησλάξαο Γ.- Σηώδνο Φ.

www.iwn.gr

1• Οξηδόληηα βνιή

15

νξηδόληηα βνιή. υ0 x α) Να γξάςεηε ηηο εμηζώζεηο θίλεζεο ηνπ ζώκαηνο ζηνλ νξηΟ δόληην άμνλα x′νx θαη ζηνλ θαηαθόξπθν άμνλα y′νy. g β) Να ππνινγίζεηε ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ην κηθξό ζώκα θηάh λεη ζην έδαθνο. γ) Να βξείηε ην βειελεθέο ηεο νξηδόληηαο βνιήο, δειαδή ηελ νξηδόληηα απόζηαζε πνπ δηαλύεη ην ζώκα κέρξη λα θηάζεη y ζην έδαθνο. δ) Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα πνπ έρεη ην ζώκα όηαλ θηάλεη ζην έδαθνο. Γίλεηαη ε επηηάρπλζε ηεο βαξύηεηαο g=10m/ . Ζ αληίζηαζε ηνπ αέξα ζεσξείηαη ακειεηέα. Λύζε α) Σύκθσλα κε ηελ αξρή ηεο αλεμαξηεζίαο ησλ θηλήζεσλ, όηαλ έλα θηλεηό εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν ή πεξηζζόηεξεο θηλήζεηο, θαζεκία από απηέο εθηειείηαη εληειώο αλεμάξηεηα από ηηο ππόινηπεο. Όηαλ ην ζώκα εθηνμεύεηαη κε νξηδόληηα ηαρύηεηα π0, ζηνλ άμνλα x′νx δε δέρεηαη θάπνηα δύλακε, νπόηε εθηειεί επζύγξακκε νκαιή θίλεζε. Τελ ρξνληθή ζηηγκή t=0 είλαη x =0, άξα ε εμίζσζε θίλεζεο ζηνλ άμνλα x είλαη x=π0t x =40t (S.I) Σηνλ θαηαθόξπθν άμνλα y'0y ην ζώκα δέρεηαη κόλν ην βάξνο ηνπ. Σηνλ άμνλα απηόλ ε αξρηθή ηαρύυ0 ηεηα είλαη , άξα εθηειεί ειεύζεξε πηώζε (επίζεο είλαη Ο x ηελ ρξνληθή ζηηγκή t=0 , y = 0). Άξα ε εμίζσζε θίλεζεο είλαη g (S.I) h β) Σηνλ θαηαθόξπθν άμνλα ε εμίζσζε θίλεζεο είλαη ε y=5 . t υ Αλ ζέζνπκε ζηνλ ηύπν απηό όπνπ y=h, ζα βξνύκε ηε ρξνληθή 0 ζηηγκή t πνπ ην ζώκα θηάλεη ζην έδαθνο. Δίλαη θ y t= 3s. s υy υ γ) Σηνλ νξηδόληην άμνλα ε εμίζσζε θίλεζεο είλαη ε x =40t. εδ Αλ ζέζνπκε ζηνλ ηύπν απηό όπνπ t=3s, ζα βξνύκε ηε ζέζε ζηελ νπνία βξίζθεηαη ην ζώκα ζηνλ νξηδόληην άμνλα ηε ζηηγκή πνπ θηάλεη ζην έδαθνο. Ζ ζέζε απηή ηζνύηαη κε ηελ νξηδόληηα απόζηαζε s πνπ δηέλπζε ην ζώκα κέρξη λα θηάζεη ζην έδαθνο θαη νλνκάδεηαη βειελεθέο ηεο βνιήο. Δίλαη θαη ζηνλ άμνλα y δ) Τε ρξνληθή ζηηγκή t=3s ε ηαρύηεηα ζηνλ άμνλα x είλαη ίζε κε είλαη =gt=10∙3=30m/s. Τν κέηξν ηεο ηαρύηεηαο επνκέλσο βξίζθεηαη κε ην ππζαγόξεην Θεώξεκα άξα π=√

=√

=√

√

ηελ εθζ= = = . Παξάδεηγκα 2 Βνκβαξδηζηηθό αεξνπιάλν θηλείηαη ζε νξηδόληηα h θαηεύζπλζε κε ηαρύηεηα κέηξνπ =250m/s θαη ζε ύςνο h=720m από ην έδαθνο. Ξαθληθά αθήλεη βόκβα λα πέζεη γηα λα θηππήζεη άξκα κάρεο (ηαλθ) πνπ θηλείηαη ζην έδαθνο κε ηαρύηεηα κέηξνπ

=50m/s θαη ε γσλία ζ ππνινγίδεηαη από

Ο

Α

x

Δ

g

y www.iwn.gr

υ0

υ1 B

d

Γ

s Αλησλάξαο Γ.- Σηώδνο Φ.

74

1 Οκαιή θπθιηθή θίλεζε

κέηξν πνπ είλαη ίζν κε ην πειίθν ηνπ ηόμνπ Γs πνπ δηαλύεη ην πιηθό ζεκείν ζε ρξόλν Γt πξνο ην ρξόλν απηό: ⃗ . Ζ θαηεύζπλζή ηεο ηαρύηεηαο κεηαβάιιεηαη ζπλερώο, επεηδή θάζε ζηηγκή είλαη εθαπηόκελε ζηελ ηξνρηά, ζηε ζέζε όπνπ βξίζθεηαη ην πιηθό ζεκείν. Ζ κνλάδα κέηξεζεο ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο είλαη ην 1 m/s. Δπεηδή ε δηεύζπλζε ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο κεηαβάιιεηαη ζπλερώο, γηα απηό ιέκε όηη ε νκαιή θπθιηθή θίλεζε είλαη θίλεζε κεηαβαιιόκελε. Ζ γξακκηθή ηαρύηεηα εθθξάδεη ηνλ ξπζκό, κε ηνλ νπνίν ην θηλεηό δηαγξάθεη ηόμα θαηά κήθνο ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο θαη ε θαηεύζπλζή ηεο κεηαβάιΒ ιεηαη, θαζώο ην ζώκα θηλείηαη θαηά κήθνο ηεο θπθιηθήο ηξνυ ρηάο. Δs Αλ ζηνλ ηύπν ζέζνπκε t = Σ, ηόηε ην ηόμν πνπ ζα δηαλύζεη Δφ Α ην θηλεηό ζα έρεη κήθνο s = 2πR (ην κήθνο ηεο πεξηθέξεηαο ηεο R Ο θπθιηθήο ηξνρηάο), νπόηε: Πξνθεηκέλνπ λα πεξηγξάςνκε ηελ αιιαγή ζέζεσο ελόο θηλεηνύ ζηελ νκαιή θπθιηθή θίλεζε, ρξεζηκνπνηνύκε εθηόο από ην κήθνο Γs ηνπ ηόμνπ, θαη ηελ επίθεληξε γσλία Γθ, ε νπνία αληηζηνηρεί ζην ηόμν πνπ δηαγξάθεη ην θηλεηό ζε νξηζκέλν ρξνληθό δηάζηεκα. H ζρέζε ηνπ κήθνπο Γs ηνπ ηόμνπ κε Β ηελ αληίζηνηρε γσλία Γθ, είλαη: Γs=R∙Γθ s=R 0 57,3 Μνλάδεο κεηξήζεσο ηεο γσλίαο Γθ ζην S.I. είλαη νη κνλάδεο Α κεηξήζεσο γσληώλ, π.ρ. ην 1 rad (αθηίλην): όπνπ 1 rad είλαη ε R Ο γσλία πνπ αληηζηνηρεί ζε ηόμν κε κήθνο ίζν κε ηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ. Γειαδή αλ Γs = R ηόηε =1rad ζε κνίξεο ν 1rad=360/2π =57,3 . Γηα λα κεηαηξέςνπκε κία γσλία από αθηίληα ζε κνίξεο, ηελ πνιιαπιαζηάδνπκε κε ηνλ παξάγνληα 180/π. υΑ Α΄ Γηα λα κεηαηξέςνπκε κία γσλία από κνίξεο ζε αθηίληα, ηελ πνιυΒ ιαπιαζηάδνπκε κε ηνλ παξάγνληα π/180.

B΄ υΓ Γ΄ 1.6 Γωνιακή ηατύηηηα θ Αο ζεσξήζνπκε ην ζρήκα ηεο δηπιαλήο εηθόλαο όπνπ θαίλεηαη Α B Γ Ο έλαο δίζθνο πνπ πεξηζηξέθεηαη θαη ηα ζεκεία ηνπ θάλνπλ νκαιή θπθιηθή θίλεζε. Έζησ ηξία ζεκεία A, Β θαη Γ ηνπ δίζθνπ πνπ βξίζθνληαη πάλσ ζηελ ίδηα αθηίλα. ΢ε έλα κηθξό ρξνληθό δηάζηεκα, ηα ηξία ζεκεία βξίζθνληαη ζηηο ζέζεηο A′, Β′ θαη Γ′ αληίζηνηρα θαη ω έρνπλ δηαγξάςεη ηελ ίδηα γσλία ζ. Ωζηόζν ηα κήθε ησλ αληίζηνηρσλ ηόμσλ ΑΑ′, ΒΒ′, ΓΓ′ είλαη δηαθνξεηηθά κεηαμύ ηνπο, γεγνλόο R Β t+Δt πνπ ζεκαίλεη όηη ε γσληαθή ηαρύηεηα ( ) είλαη ε ίδηα γηα ηα ηξία Δφ Ο υ ζεκεία ελώ νη γξακκηθέο ηαρύηεηεο ησλ ζεκείσλ Α, Β, Γ, δηαθέΑt ξνπλ.

Αλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

www.iwn.gr

1 Οκαιή θπθιηθή θίλεζε

75

΢ηελ νκαιή θπθιηθή θίλεζε ινηπόλ, εθηόο από ηελ ηαρύηεηα (γξακκηθή) πνπ δίλεη ην ξπζκό κε ηνλ νπνίν δηαλύεη ην θηλεηό δηαζηήκαΟ R Α t Δφ ηα, ρξεηαδόκαζηε θαη έλα άιιν κέγεζνο πνπ λα δείρλεη κε ηη ξπζκό t+Δt ε επηβαηηθή αθηίλα δηαγξάθεη γσλίεο. Γηα απηό νξίδνπκε έλα λέν υ Β ω θπζηθό κέγεζνο πνπ ιέγεηαη γσληαθή ηαρύηεηα θαη ζπκβνιίδεηαη κε σ. Ολνκάδνπκε γσληαθή ηαρύηεηα ⃗ ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ πνπ εθηειεί θπθιηθή θίλεζε έλα δηάλπζκα, ην νπνίo έρεη δηεύζπλζε θάζεηε ζην επίπεδν ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο ηνπ, θνξά πνπ θαζνξίδεηαη από ηνλ θαλόλα ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ ή ηεο δεμηόζηξνθεο βίδαο θαη κέηξν ίζν κε ην πειίθν ηεο γσληαθήο κεηαηόπηζεο Γθ πξνο ηελ αληίζηνηρε ρξνληθή δηάξθεηα Γt . Μνλάδα κέηξεζεο; ζην S.I. είλαη ην 1 rad/s. Ζ θαηεύζπλζε ηεο γσληαω θήο ηαρύηεηαο ⃗​⃗ θαζνξίδεηαη κε ηνλ θαλόλα ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ. ΢πγθεθξηκέλα, θιείλνπκε ηα ηέζζεξα δάρηπια ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ, ω έηζη ώζηε λα δείρλνπλ ηε θνξά πεξηζηξνθήο ηνπ πιηθνύ ζεκείνπ ηόηε ν αληίρεηξαο ζα δείρλεη ηόηε ηελ θνξά ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο. Δπίζεο ε θνξά ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο κπνξεί ηζνδύλακα λα ω ζεσξεζεί όηη είλαη ε θνξά πνπ αληηζηνηρεί ζηελ θίλεζε ηνπ δεμηόζηξνθνπ θνριία, όηαλ απηόο πεξηζηξαθεί κε ηε θνξά πεξηζηξνθήο ηνπ θηλεηνύ. ω ΢ηελ νκαιή θπθιηθή θίλεζε, όρη κόλν ην κέηξν αιιά θαη ε δηεύζπλζε ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο παξακέλεη ζηαζεξή. ΢ρέζε γξακκηθήο θαη γσληαθήο ηαρύηεηαο ζηελ νκαιή θπθιηθή θίλεζε. Αλ ζηε ζρέζε

(β) (α) Κανόνας του δεξιού χεριού και της δεξιόστροφης βίδας.

αληηθαηαζηήζνπκε όπνπ t = Σ, ηόηε ε γσληαθή κεηαηόπηζε Γθ πνπ ζα δηα-

λύζεη ην θηλεηό ζε θάζε πεξίνδν είλαη έλαο θύθινο ,δειαδή έρεη ηηκή Γθ =2π rad νπόηε σ = =2π( =2πf. Καη από ηε ζρέζε ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο π = π=

πξνθύπηεη =σR

άξα ην κέηξν ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο ελόο πιηθνύ ζεκείνπ ηνπ ζώκαηνο θαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηνπ ηαρύηεηαο ζπλδένληαη κε ηε ζρέζε π=σR. ΢πλεπώο: Οκαιή θπθιηθή θίλεζε νλνκάδεηαη ε θπθιηθή θίλεζε ελόο θηλεηνύ, θαηά ηελ νπνία ζε ίζα ρξνληθά δηαζηήκαηα, δηαλύεη ίζα ηόμα. Γειαδή ην κέηξν ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο ηνπ θηλεηνύ θαη ην κέηξν ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο ηνπ θηλεηνύ παξακέλεη ζηαζεξό, θαηά ηε δηάξθεηα ηεο θίλεζεο.

www.iwn.gr

Αλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

76

Πεξηγξαθή ηεο νκαιήο θπθιηθήο θίλεζεο κε γξακκηθά κεγέζε: α) Γηαγξάκκαηα γξακκηθήο ηαρύηεηαο - ρξόλνπ (π- t) ΢ηελ νκαιή θπθιηθή θίλεζε ην κέηξν ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο είλαη ζηαζεξό, ζπλεπώο ην δηάγξακκα (π - t) ζα υ(t) είλαη κηα επζεία γξακκή, παξάιιειε ζηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ: υ0 Ζ ηαρύηεηα είλαη ζεηηθή όηαλ ην θηλεηό (πιηθό ζεκείν) θηλείηαη ζύκθσλα κε ηνλ θαλόλα ηνπ δεμηνύ ρεξηνύ θαη 0 αξλεηηθή αλ θηλείηαη αληίζεηα.

1 Οκαιή θπθιηθή θίλεζε

υ(t) υ(t)= υ0

t

0

t

υ0

υ(t)= υ0<0 Τπνινγηζκόο κεηαηόπηζεο Γs από ην δηάγξακκα π-t. Δίδακε πσο ην δηάγξακκα π-t ζηελ νκαιή θπθιηθή θίλευ(t) ζε έρεη ηελ κνξθή όπσο ζην δηπιαλό ζρήκα: Σν γξακκνζθηαζκέλν εκβαδό ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ ηζνύηαη κε Δ=(ΑΒ)(ΑΓ)=πoΓt. ΋κσο ην γηλόκελν π0∙Γt εθθξάδεη ηε κεηαβνιή Β Γ υ0 Γs ηνπ ηόμνπ ζην ρξνληθό δηάζηεκα Γt. ΢πκπεξαζκαηηθά: Δs Ζ κεηαηόπηζε Γs ηζνύηαη αξηζκεηηθά κε ην εκβαδό πνπ πεξηθιείεηαη Α Δ από ην δηάγξακκα π-t θαη ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ, ζηα ρξνληθά όξηα 0 t2 t1 ηεο θίλεζεο. Από ηνλ νξηζκό ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο έρνπκε: s(t) άξα s(t)= s0+υ0t (εμίζσζε ζέζεο - ρξόλνπ). ΢ηελ εηδηθή πεξίπησζε πνπ t0 =0 θαη s0=0, ε εμίζσζε ζέζεο - ρξόλνπ παίξλεη ηε κνξθή s= πt. s0

β) Γηαγξάκκαηα ζέζεο - ρξόλνπ (s-t) 0 Ζ εμίζσζε ζέζεο - ρξόλνπ ζηελ θπθιηθή νκαιή θίλεζε, έρεη ηε κνξθή . s(t) Θεσξώληαο σο αξρηθή ρξνληθή ζηηγκή ηελ t0=0, ε πξνεγνύκελε εμίζσζε γίλεηαη . Γηα ηελ πεξίπησζε απηή, ην δηάγξακκα s-t είλαη επζεία (εμίζσζε α΄ s(t)=υ0t βαζκνύ σο πξνο t), πνπ μεθηλά απ' ηε ζέζε s0 ηνπ άμνλα ησλ s. Αλ ε αξρηθή ζέζε είλαη ε s0 = 0, ε εμίζσζε ζέζεο - ρξόλνπ γίλεηαη . ΢ε απηή ηελ πεξίπησζε, ην δηάγξακκα s-t είλαη επζεία πνπ 0 μεθηλά από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

t

t

s

Τπνινγηζκόο ηεο γξακκηθήο ηαρύηεηαο π από ην δηάγξακκα s-t Σν δηάγξακκα s-t ζηελ επζύγξακκε νκαιή θίλεζε (ζηελ πεξίπησζε s2 πνπ s0=0) θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα. Από ην δηάγξακκα θαίλεηαη, όηη ην ζώκα ηε ρξνληθή ζηηγκή t1 βξίζθεηαη s1 ζηε ζέζε s1 θαη ηε ρξνληθή ζηηγκή t2 βξίζθεηαη ζηε ζέζε s2.

0 ΢ην νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ, ην πειίθν εθθξάδεη ηελ θιίζε ηεο επζείαο s-t. ΋κσο θαη άξα:

Αλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

t

B Γ

φ A

t1

t2

t

www.iwn.gr

1 Οκαιή θπθιηθή θίλεζε

77

Δπεηδή ην πειίθν ηζνύηαη κε ηε γξακκηθή ηαρύηεηα π, ζπκπεξαίλνπκε όηη: Ζ θιίζε ηεο επζείαο ζην δηάγξακκα s-t ζηελ επζύγξακκε νκαιή θίλεζε, ηζνύηαη κε ηελ γξακκηθή ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο. ω(t)

ω(t) 1.7 Περιγραθή ηης ομαλής κσκλικής κίνηζης με γωνιακά μεγέθη: ω0 ω0 α) Γηαγξάκκαηα γσληαθήο ηαρύηεηαο - ρξόλνπ (σ - t) ΢ηελ νκαιή θπθιηθή θίλεζε ε γσληαθή ηαρύηεηα είλαη ζηαζεξή, ζπλεπώο ην δηάγξακκα (σ- t) ζα είλαη κηα επζεία 0 0 t γξακκή, παξάιιειε ζηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ. Ζ γσληαθή ω0 ηαρύηεηα ζεσξείηαη ζεηηθή όηαλ ην θηλεηό θηλείηαη αληίζεηα ω0<0 ηεο θνξάο πεξηζηξνθήο ησλ δεηθηώλ ηνπ ξνινγηνύ θαη αξλεηηθή όηαλ ε θνξά πεξηζηξνθήο ηαπηίδεηαη κε ηελ θνξά πεξηζηξνθήο ησλ δεηθηώλ.

t

Τπνινγηζκόο ηεο γσληαθήο κεηαηόπηζεο Γζ από ην δηάγξακκα σ-t. Δίδακε πσο ην δηάγξακκα σ-t ζηελ νκαιή θπθιηθή θίλεζε έρεη ηελ δηπιαλή κνξθή. Σν γξακκνζθηαζκέλν εκβαδό ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ ηζνύηαη ω(t) κε . ΋κσο ην γηλόκελν σ0Γt (ηαρύηεηα επί ρξόλνο) εθθξάδεη ηε κεηαβνιή ηεο γσληαθήο κεηαηόπηζεο Γζ ζην Β Γ ρξνληθό δηάζηεκα Γt ω0 ΢πκπεξαζκαηηθά: Ζ γσληαθή κεηαηόπηζε Γζ ηζνύηαη αξηζκεηηθά κε ην εκβαδό πνπ Δθ Α Δ πεξηθιείεηαη από ην δηάγξακκα σ-t θαη ηνλ άμνλα ησλ ρξόλσλ, ζηα 0 t t ρξνληθά όξηα ηεο θίλεζεο.

1 2 Από ηνλ νξηζκό ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο έρνπκε:

t

θ(t)

(εμίζσζε ζέζεο - ρξόλνπ). ΢ηελ εηδηθή πεξίπησζε πνπ t0=0 θαη ζ0=0, ε εμίζσζε ζέζεο - ρξόλνπ παίξλεη ηε κνξθή ζ= σt.

θ(t)= θ0+ω t

θ0 β) Γηαγξάκκαηα ζέζεο - ρξόλνπ (ζ-t) Ζ εμίζσζε ζέζεο - ρξόλνπ ζηελ θπθιηθή νκαιή θίλεζε, έρεη ηε κνξθή 0 . Θεσξώληαο σο αξρηθή ρξνληθή ζηηγκή ηελ t0=0, ε πξνεγνύκελε εμίζσζε γίλεηαη Γηα ηελ πεξίπησζε απηή, ην δηάγξακκα ζ-t είλαη επζεία θ(t) (εμίζσζε α΄ βαζκνύ σο πξνο t), πνπ μεθηλά από ηε ζέζε ζ0 ηνπ άμνλα ησλ ζ. Αλ θαη ε αξρηθή ζέζε είλαη ε ζ0=0, ε εμίζσζε ζέζεο - ρξόλνπ γίλεηαη θ(t)=ω t ζ=σt. ΢ε απηή ηελ πεξίπησζε, ην δηάγξακκα s-t είλαη επζεία πνπ μεθηλά από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ.

0

t .

t

Τπνινγηζκόο ηεο γσληαθήο ηαρύηεηαο σ από ην δηάγξακκα ζ-t Σν δηάγξακκα ζ-t ζηελ νκαιή θίλεζε (ζηελ πεξίπησζε πνπ ζ0=0) είδακε πσο έρεη ηελ παξαθάησ κνξθή. www.iwn.gr

Αλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

1 Οκαιή θπθιηθή θίλεζε

123

Δ3Μηθξό ζώκα κάδαο είλαη δεκέλν ζην έλα άθξν κε εθηαηνύ θαη αβαξνύο λήκαηνο κήθνπο L=R=1 θαη εθηειεί θαηαθόξπθν θύθιν γύξσ από αθιόλεην ζεκείν Κ. Σε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ην ζώκα δηέξρεηαη από ην θαηώηεξν ζεκείν Α ηεο ηξνρηάο ηνπ κε ηαρύηεηα κέηξνπ ίζνπ κε = 4 / θαη βξίζθεηαη ζε ύςνο h πάλσ από ην έδαθνο, θόβεηαη ην λήκα. Να ππνινγίζεηε: α) Σν κέηξν ηεο θεληξνκόινπ επηηάρπλζεο ηνπ ζώκαηνο ειάρηζηα πξηλ θνπεί ην λήκα. β) Σν κέηξν ηεο ηάζεο ηνπ λήκαηνο ειάρηζηα πξηλ θνπεί ην λήκα. ΢ηε ζπλέρεηα ην ζώκα εθηειεί νξηδόληηα βνιή θαη πέθηεη ζην έδαθνο αθνύ έρεη δηαλύζεη νξηδόληηα απόζηαζε s (βειελεθέο ηεο βνιήο) ίζε κε ην ύςνο h. Γηα ηε ρξνληθή ζηηγκή ειάρηζηα πξηλ ην ζώκα ρηππήζεη ζην έδαθνο λα ππνινγίζεηε: γ) Σελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο ζε κέηξν θαη θαηεύζπλζε. δ) Σν ξπζκό κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ηνπ ελέξγεηαο. Γίλεηαη θαη όηη ε αληίζηαζε ηνπ αέξα ζεσξείηαη ακειεηέα. Λύζε α) Σν κέηξν ηεο θεληξνκόινπ επηηάρπλζεο ηνπ ζώκαηνο ειάρηζηα πξηλ θνπεί ην λήκα δίλεηαη από ηε ζρέζε: = = =16 / β) Δθαξκόδνπκε ηνλ δεύηεξν ζεκειηώδε λόκν ηνπ Νεύησλα ειάρηζηα πξηλ θνπεί ην λήκα νπόηε πξνθύπηεη: ΢F= m T-w= m T= m mg T=m( +g) T=1∙( +10) T=26N. γ) Ζ νξηδόληηα κεηαηόπηζε ηεο κπάιαο είλαη ίζε θαηά κέηξν κε ηελ αληίζηνηρε θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε ζπλεπώο ηζρύεη ε ζρέζε: x=y t= g 2 =g t= = =0,8s H ηαρύηεηα ζηνλ άμνλα x εθείλε ηε ζηηγκή είλαη = =4m/s H ηαρύηεηα ζηνλ άμνλα y εθείλε ηε ζηηγκή είλαη = Σε ρξνληθή ζηηγκή t γηα ην κέηξν ηεο ηαρύηεηαο π ηζρύεη : π=√

√

=√

=√

=8m/s

=4√ m/s θαη εθζ=

= =2.

δ) Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο θηλεηηθήο ελέξγεηαο ηε ζηηγκή πνπ θηάλεη ζην έδαθνο είλαη: = = =mg =1∙10∙8=80J/s Γ4Σν ζώκα ΢ κάδαο m=0,8kg αθήλεηαη από ύςνο h=5 m θαη κπνξεί λα γιηζηξά ρσξίο ηξηβή ζην εζσηεξηθό κέξνο ηεο απιαθσηήο ηξνρηάο ΑΒΓΓ όπσο θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα. Σν ηκήκα ΑΒ είλαη θακπύιν, ελώ ην ΒΓΓ είλαη θπθιηθό αθηίλαο R=1,6m.

A Να ππνινγίζεηε ζηελ αλώηαηε ζέζε Γ ηνπ θύθινπ: Δ α). ηελ ηαρύηεηα πνπ έρεη ην ζώκα ΢ β) ηελ θάζεηε δύλακε πνπ αζθείηαη ζην ζώκα ΢ από υ ηνλ νδεγό.

R γ) ηελ ειάρηζηε ηαρύηεηα πνπ πξέπεη λα έρεη ην ζώκα h Κ Γ ΢ ζηε ζέζε Γ γηα λα θάλεη κε αζθάιεηα ηελ αλαθύθισζε. Β δ) Να ππνινγίζεηε ην ειάρηζην ύςνο από ην νπνίν πξέπεη λα αθεζεί ην ζώκα ΢ ώζηε λα θάλεη κε αζθάιεηα ηελ αλαθύθισζε. ε) Να ππνινγίζεηε ζηελ θαηώηεξε ζέζε ηεο ηξνρηάο ηνπ ζώκαηνο ην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο νξκήο ηνπ (ζέζε Β). www.iwn.gr

Αλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

124

1 Οκαιή θπθιηθή θίλεζε

Γίλεηαη g=10m/ , ζεσξείζηε ην ζώκα ζεκεηαθό. Λύζε α) Δθαξκόδνπκε ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο Μεραληθήο ελέξγεηαο ζηα ζεκεία Α θαη Γ νπόηε πξνθύπηεη: + = A +mg = 0,8∙10∙5= Δ , θαη από ηε ζρέζε

m

0,8 =36 =6m/s. β) ΢ε θάζε ζεκείν ηεο θπθιηθήο ηξνρηάο ε ζπληζηακέλε δύλακε ζηε δηεύζπλζε ηεο επηβαηηθήο αθηίλαο παίδεη ην ξόιν ηεο θεληξνκόινπ δύλακεο ζπλεπώο ηζρύεη ΢F=m

υ N mg Κ

h

Γ

Β

νπόηε γηα ην ζεκείν Γ έρνπκε:

΢εκείν Γ: ΢

=m

w+ = m

m -w

0,8 -0,8∙10

10N.

γ) ΢ην αλώηεξν ζεκείν ηεο ηξνρηάο ηζρύεη ΢F= m w+ = m . Γηα λα κε πέθηεη ην ζώκα ζηε ζέζε Γ πξέπεη λα ηζρύεη πάληα Ν≥0 κε ειάρηζηε ηηκή Ν=0 , νπόηε ε παξαπάλσ ζρέζε γίλεηαη w+ = m

mg= m

=√ =√ =4m/s ε ειάρηζηε ηηκή ηεο ηα=√ ρύηεηαο, , ζην ςειόηεξν ζεκείν ηεο ηξνρηάο, ώζηε ην ζώκα λα δηαγξάςεη κε αζθάιεηα ηελ αλαθύθισζε. δ) Δθαξκόδνπκε ηελ αξρή δηαηήξεζεο ηεο Μεραληθήο ελέξγεηαο ζηα ζεκεία ειάρηζηνπ ύςνπο θαη ζεκείνπ Γ νπόηε πξνθύπηεη: mg = m

A

=gL

=

Δ υ N mg Κ

h

Γ

Β 2mg

=m

=

=4m.

=

ε) Τπνινγίδνπκε αξρηθά ηελ ηαρύηεηα ηνπ ζώκαηνο ζηε ζέζε Β όηαλ ην αθήλνπκε από ηε ζέζε Α: 2g = =2∙10∙5=100 =√ =10m/s = mg = m Ο ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο νξκήο ηνπ ζώκαηνο ζηελ θαηώηεξε ζέζε ηεο ηξνρηάο ηνπ ηζνύηαη αξηζκεηηθά ίζα κε ηελ ζπληζηακέλε δύλακε δειαδή ηελ Α θεληξνκόιo δύλακε ΢F= m∙ =0,8∙ =50kgm/ . φ Γ5Μηα κηθξή ζθαίξα κάδαο m=0,4kg εξεκεί ζην θάησ άθξν λήκαηνο κήθνπο ℓ=0,8m (ζέζε Α), ην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ είλαη δεκέλν ζε ζηαζεξό ζεκείν Ο, ην νπνίν H βξίζθεηαη ζε ύςνπο Ζ=2,6m από ην έδαθνο. Φέξλνπκε ηε ζθαίξα ζηε ζέζε Α, ώζηε ην λήκα λα γίλεη νξηδόληην θαη ηελ αθήλνπκε λα θηλεζεί. Σε ζηηγκή πνπ ην λήκα γίλεηαη θαηαθόξπθν θόβεηαη, νπόηε ηειηθά ε ζθαίΑλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

Β

l Γ Δ www.iwn.gr

172

2• Ορμή –Πλαστική κρούση

Γ5΢ώκα κε κάδα είλαη ηνπνζεηεκέλν ζην έλα άθξν νξηδόληηνπ ειαηεξίνπ ζηαζεξάο πνπ έρεη ην θπζηθό ηνπ κήθνο , ζην άιιν άθξν ηνπ νπνίνπ έρεη δεκέλν ζώκα κάδαο θαη ην ζύζηεκα ηζνξξνπεί ζε ιείν νξηδόληην επίπεδν. Βιήκα κάδαο πνπ θηλείηαη κε νξηδόληηα ηαρύηεηα ζπγθξνύεηαη κε ην ζώκα πιαζηηθά θαη ην ειαηήξην αξρίδεη λα ζπκπηέδεηαη, λα ππνινγίζεηε : α) ηελ κέγηζηε ζπκπίεζε ηνπ ειαηεξίνπ θαζώο θαη β) ηηο ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ όηαλ ην ειαηήξην απνθηήζεη θαη πάιη ην θπζηθό ηνπ κήθνο. (Η δηάξθεηα ηεο πιαζηηθήο θξνύζεο ζεσξείηαη ακειεηέα). Λύζε α) Ακέζσο κεηά ηελ πιαζηηθή θξνύζε ηνπ βιήκαηνο κε ην ζώκα δεκηνπξγείηαη ην ζπζζσκάησκα πνπ θηλείηαη κε ηαρύηεηα m2 m1 (+) k m υ0 . Δθαξκόδνπκε ηελ Α.Γ.Ο γηα ην βιήκα θαη γηα ην ζπζζσκάησκα ακέζσο κεηά από ηελ θξνύζε θαη έρνπκε m2 m1+m υ k από όπνπ κε αληηθαηάζηαζε πξνθύπηεη x (1). ΢ηελ ζπλέρεηα αξρίδεη ην ειαηήξην m1+m k m2 max υ1 λα ζπκπηέδεηαη νπόηε, ιόγν ησλ απσυ2 ζηηθώλ δπλάκεσλ πνπ αζθεί ζηα άθξα ηνπ, ην ζπζζσκάησκα αξρίδεη λα εθηεm2 m1+m ιεί επηβξαδπλόκελε θίλεζε θαη ην ζώk V1 V2 κα επηηαρπλόκελε. Έζησ όηαλ ε ζπκπίεζε ηνπ ειαηεξίνπ είλαη κέγηζηε θαη ίζε κε νη ηαρύηεηεο ησλ ζσκάησλ θαη είλαη αληίζηνηρα θαη . Σελ ζηηγκή απηή ηζρύεη όηη (2) , γηαηί: i) αλ ην ζώκα πιεζηάδεη θαη άιιν ην , άξα είκαζηε ζε θαηάζηαζε πξηλ από ηε κέγηζηε ζπκπίεζε θαη ii) αλ ην ζώκα απνκαθξύλεηαη από ην , άξα είκαζηε ζε θαηάζηαζε κεηά από ηε κέγηζηε ζπκπίεζε . Δθαξκόδσ ηελ Α.Γ.Ο γηα ην ζύζηεκα ησλ ζσκάησλ ακέζσο κεηά από ηελ θξνύζε θαη ηελ ζηηγκή ηεο κέγηζηεο ζπκπίεζεο θαη από όπνπ κε αληηθαηάζηαζε έρνπ. Δθαξκόδνπκε θαη ηελ Α.Γ.Μ.Δ κεηαμύ ησλ ίδησλ ζέζεσλ θαη έρνπκε: κε θαη κε αληηθαηάζηαζε έρνπκε . β) Μεηά ηελ κέγηζηε ζπκπίεζε ηα ζώκαηα απνκαθξύλνληαη θαη θηλνύληαη αλεμάξηεηα κε ηαρύηεηεο θαη , όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα , νη ηαρύηεηεο ηόηε δίλνληαη από ηνπο θιαζηθνύο ηύπνπο ηεο ειαζηηθήο θξνύζεο , δειαδή : θαη

Γ6΢ώκα κάδαο ζώκαηνο κάδαο βγαίλεη ζε ρξόλν Αλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

.

εθηνμεύεηαη νξηδόληηα κε ηαρύηεηα κέηξνπ , ελαληίνλ πνπ αξρηθά εξεκεί ζε νξηδόληην κε ιείν επίπεδν. Σν ζώκα κάδαο από ην ζώκα κάδαο κε ηαρύηεηα κέηξνπ . www.iwn.gr

4Θεξκνδπλακηθή – Θεξκηθέο κεραλέο

357

γ) Ζ ζεξκόηεηα πνπ απνξξόθεζε ην αέξην. α) T2=273+227=500°K. α) = nR β) ΓW=pΓV=p( γ) Q=ΓU+p(

)=p -

Λύζε nR

nRΓT = ∙ RΓT=3( - )=3∙(500-300)=600 J. =nR

- nR

= R(

-

)=2∙(500-300)=400 J.

)= nRΓT+ nRΓΣ= nRΓT+ nRΓΣ= nRΓT= ∙ RΓT= 5∙(500-300)=1000 J.

Γ5 Ηδαληθό αέξην πνζόηεηαο n=2/Rmol βξίζθεηαη αξρηθά ζηελ θαηάζηαζε Α, κε πίεζε p0, όγθν V0 θαη ζεξκνθξαζία T0=300K θαη εθηειεί ηελ αθόινπζε αληηζηξεπηή θπθιηθή δηεξγαζία ΑΒΓΑ. (ΑΒ): Ηζόρσξε ζέξκαλζε κέρξη πίεζε 2p0. (ΒΓ): Ηζόζεξκε εθηόλσζε κέρξη ηελ αξρηθή πίεζε p0. (ΓΑ): Ηζνβαξήο ζπκπίεζε κέρξη ηελ αξρηθή θαηάζηαζε. α) Να γίλεη ην δηάγξακκα (p-V). β) Να βξεζεί ε ζεξκνθξαζία . γ) Να βξεζεί ε ζεξκόηεηα . δ) Να βξεζεί ην ζπλνιηθό έξγν αλά θύθιν. ε) Να βξεζεί ε ζπλνιηθή ζεξκόηεηα πνπ απνξξόθεζε ην αέξην από ην πεξηβάιινλ. Γίλνληαη Cv=3R/2 θαη ln2=0,7. Λύζε α) Σν δηάγξακκα (p-V) θαίλεηαη ζην δηπιαλό ζρήκα. β) Ζ κεηαβνιή ΑΒ είλαη ηζόρσξε επνκέλσο ηζρύεη ε ζρέζε: p = =TB=600Κ. γ) Από ηνλ πξώην ζεξκνδπλακηθό λόκν Q=ΓU+W πξνθύπηεη =Γ +0 =Γ . ΋κσο Γ = nR nR nRΓT δ)

= nRΓT= ∙ R(600-300)=900J. = + + (1) =0 (2) =nR ln = R600ln2=1200∙0,7=840J.

2p0 p0 0

B

A V0

Γ T2 T1=T0 2V0 V

= nR W=nR( - ) W= R(300-600)=-600J άξα ε (1) γίλεηαη = + + =0+840-600=240J. ε) Δπεηδή ε κεηαβνιή είλαη θπθιηθή ηζρύεη Γ =0 από ηνλ πξώην ζεξκνδπλακηθό λόκν =Γ + =0+ =240J. =

Γ6 Οξηζκέλε πνζόηεηα ηδαληθνύ αεξίνπ βξίζθεηαη ζηελ θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο Α, κε όγθν θαη πίεζε pA / . Σν αέξην εθηειεί ηηο εμήο δηαδνρηθέο αληηζηξεπηέο κεηαβνιέο: 1. Ηζνβαξή εθηόλσζε από ηελ θαηάζηαζε Α ζηελ θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο Β, κε όγθν .

2. Ηζόζεξκε ζπκπίεζε από ηελ θαηάζηαζε Β ζηελ θαηάζηαζε ηζνξξνπίαο Γ, κε όγθν . α) Να παξαζηήζεηε γξαθηθά (πνηνηηθά) ηηο δύν κεηαβνιέο ζε άμνλεο p-V. β) Να ππνινγίζεηε ην έξγν ηνπ αεξίνπ θαηά ηελ ηζνβαξή κεηαβνιή ΑΒ. γ) Να ππνινγίζεηε ην έξγν ηνπ αεξίνπ θαηά ηελ ηζόζεξκε κεηαβνιή ΒΓ. www.iwn.gr

Αλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

358

4 Θεξκνδπλακηθή – Θεξκηθέο κεραλέο

δ) Να ππνινγίζεηε ην ζπλνιηθό πνζό ζεξκόηεηαο πνπ απνξξόθεζε ην αέξην. Γίλεηαη: R θαη ln2=0,7. Λύζε α) Ζ δεηνύκελε γξαθηθή παξάζηαζε θαίλεηαη ζην δηάγξακκα ηνπ δηπιαλνύ ζρήκαηνο. β.) Σν έξγν ηνπ αεξίνπ θαηά ηελ ηζόβαξε κεηαβνιή ΑΒ δίλεηαη p από ηελ ζρέζε : = ( - )= ( - )= = Γ pΓ )= J γ) Σν έξγν ηνπ αεξίνπ θαηά ηελ ηζόζεξκε κεηαβνιή ΒΓ δίλεηαη pA TB από ηελ ζρέζε : =nR ln =nR ln A B T A ln =800 ln =800(ln1-ln2)=800(ln = 0 V VA B V 0,7)= -560J. Από ηνλ λόκν ηεο ηζνβαξνύο κεηαβνιήο έρνπκε : =2 . δ) Σν ζπλνιηθό πνζό ζεξκόηεηαο πνπ απνξξόθεζε ην αέξην δίλεηαη από ηελ ζρέζε : = + = nRΓΣ+ nR ln = V+ ln = + ln =1000560=440J. Γ7 Κπιηλδξηθό δνρείν κε αδηαβαηηθά ηνηρώκαηα έρεη ηνλ άμνλά p ηνπ θαηαθόξπθν θαη θιείλεηαη κε έκβνιν πάλσ ζην νπνίν βξίζθνA p ληαη δηάθνξα ζηαζκά. ΢ην δνρείν πεξηέρεηαη = 1m3 πδξνγόλνπ, A ζε ζεξκνθξαζία ζA=27νC θαη πίεζε =125∙ N/m2. Αθαηξώληαο 2 TA ζηαζκά θάλνπκε ηελ πίεζε ίζε κε = /m (αηκνζθαηξηθή πίεζε). Να ππνινγηζηνύλ: B TB α) Ο όγθνο θαη ε ζεξκνθξαζία ηνπ αεξίνπ ζηελ ηειηθή θαηάζηαζε. pB β) Σν έξγν πνπ παξάρζεθε θαηά ηελ εθηόλσζή ηνπ.

0 VB V VA Θεσξήζηε θαηά πξνζέγγηζε γ = . (Άζθεζε 2.60 ζρνιηθoύ) Λύζε α) Δπεηδή ηα ηνηρώκαηα ηνπ δνρείνπ είλαη αδηαβαηηθά, ην αέξην δελ αληαιιάζεη ζεξκόηεηα κε ην πεξηβάιινλ άξα ε κεηαβνιή είλαη αδηαβαηηθή. Γηα ηελ αδηαβαηηθή κεηαβνιή ηζρύεη: = 125∙ ∙ =1∙ 125∙= = = = β) Δθαξκόδνπκε ηελ θαηαζηαηηθή εμίζσζε γηα ηελ αξρηθή θαη ηειηθή θαηάζηαζε: }

=

=

=

=25

.

=60Κ

Σν έξγν πνπ παξάγεηαη θαηά ηελ αδηαβαηηθή εθηόλσζε ηνπ αεξίνπ είλαη: W= = 2∙ J Γ8 Ζ θπθιηθή κεηαβνιή ηνπ ηδαληθνύ αεξίνπ κηαο ζεξκηθήο κεραλήο απνηειείηαη από: 1) κηα ηζόρσξε ζέξκαλζε κέρξη λα ηξηπιαζηαζηεί ε πίεζή ηνπ.

2) κηα ηζνβαξή εθηόλσζε κέρξη λα ηξηπιαζηαζηεί ν όγθνο ηνπ.

3) κηα ηζόρσξε ςύμε κέρξη λα απνθηήζεη ηελ αξρηθή πίεζε θαη Αλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

www.iwn.gr

5. Ζιεθηξηθό & Βαξπηηθό πεδίν

525

θαη έρνπκε , κε θνξά αληίζεηε ηεο αξρηθήο. γ) Σν ειεθηξόλην θηλνύκελν από ηε ζέζε Α ζηελ Β εθηειεί επηβξαδπλόκελε επζύγξακκε θίλεζε κε θαη ζηακαηά ζηηγεπηβξάδπλζε κηαία ζην Β , θαη ζηελ ζπλέρεηα επηζηξέθεη από ηε ζέζε Β ζηελ Α εθηειώληαο επηηαρπλόκελε επζύγξακκε θίλεζε κε ηελ ίδηα επηηάρπλζε . Άξα ηζρύνπλ θαη άξα

.

δ) To έξγν ηεο ειεθηξηθήο δύλακεο πνπ αζθείηαη ζην ειεθηξόλην θαηά ηελ κεηαθίλεζή ηνπ από ην Α ζην Β ππνινγίδεηαη από ηνλ ηύπν , θαη ην έξγν ηεο ειεθηξηθήο δύλακεο θαηά ηελ κεηαθίλεζε ηνπ ειεθηξνλίνπ από ην ζεκείν Α ζην Β θαη ζηελ ζπλέρεηα ζην Α είλαη ίζν κε . Γ9΢σκαηίδην κάδαο θαη θνξηίνπ επηηαρύλεηαη από ηάζε . α) Να ππνινγίζεηε ηελ ηαρύηεηα πνπ D απέθηεζε ην ζσκαηίδην εμαηηίαο ηεο V0 +++++++++++++++++++++ ηάζεο . Α υ0 ΢ηε ζπλέρεηα, ην ζσκαηίδην εηζέξρε+ +q ηαη ζε νκνγελέο ειεθηξηθό πεδίν, πνπ d Β δεκηνπξγείηαη κεηαμύ ησλ νξηδόληησλ πιαθώλ ελόο επίπεδνπ ππθλσηή, E θάζεηα ζηηο δπλακηθέο γξακκέο ηνπ ------------------------------------πεδίνπ. Οη νπιηζκνί ηνπ ππθλσηή y έρνπλ κήθνο , ελώ ε έL ληαζε ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ κεηαμύ ησλ νπιηζκώλ είλαη . Σν ζσκαηίδην δηαγξάθεη, εληόο ηνπ πεδίνπ, ηελ ηξνρηά πνπ θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα. Μεηά ηελ έμνδό ηνπ από ην πεδίν ηνπ ππθλσηή, ην ζσκαηίδην ρηππάεη ζην ζεκείν θζνξίδνπζαο νζόλεο ε νπνία απέρεη απόζηαζε από ην άθξν ηνπ ππθλσηή. Να ππνινγίζεηε: β) ην κέηξν ηεο επηηάρπλζεο πνπ απνθηά ην ζσκαηίδην θαηά ηελ θίλεζή ηνπ κέζα ζην νκνγελέο ειεθηξηθό πεδίν. γ) ην ρξόλν θίλεζεο ηνπ ζσκαηηδίνπ κέζα ζην ειεθηξηθό πεδίν ηνπ ππθλσηή θαη ηελ ηαρύηεηα εμόδνπ ηνπ ζσκαηηδίνπ ζε κέηξν θαη θαηεύζπλζε. δ) ηελ απόζηαζε (ΟΚ) ζηελ νζόλε, όπνπ Ο ην ζεκείν ηεο θζνξίδνπζαο νζόλεο πνπ βξίζθεηαη ζηελ πξνέθηαζε ηεο δηεύζπλζεο ηεο ηαρύηεηαο κε ηελ νπνία εηζέξρεηαη ην ζσκαηίδην ζην ειεθηξηθό πεδίν. Να ζεσξήζεηε ηηο βαξπηηθέο δπλάκεηο θαη ηελ αληίζηαζε ηνπ αέξα ακειεηέεο. Λύζε α) Ζ ηαρύηεηα πνπ απνθηά ην ζσκαηίδην ιόγσ ηεο ηάζεο θαη κε ηελ νπνία κπαίλεη κέζα ζην νκνγελέο ειεθηξηθό πεδίν πνπ παξάγεηαη ζην εζσηεξηθό ηνπ ππθλσηή , θάζεηα ζηηο δπλακηθέο γξακκέο, ππνινγίδεηαη από ηνλ ηύπν

www.iwn.gr

Αλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

5. Ζιεθηξηθό & Βαξπηηθό πεδίν

526

. β) H δύλακε πνπ αζθείηαη ζην ζσκαηίδην , πνπ είλαη ε ειεθηξηθή δύλακε ππνινγίδεηαη από ηνλ ηύπν θαη ε αληίζηνηρε επηηάρπλζε πνπ απνθηά απηό είλαη ίζε κε . γ) ΢ηνλ άμνλα επεηδή δελ αζθείηαη θακία δύλακε ε θίλεζε ηνπ θνξηίνπ είλαη νκαιή επζύγξακκε κε ηαρύηεηα , άξα γηα ηνλ ρξόλν θίλεζεο ηνπ θνξηίνπ κέζα ζην πεδίν ηζρύεη

D

+++++++++++++++++++++

d

Α + +q

υ0

F=qE

Β t1

E - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - υy y

x

Γ y1 θ

υ0 υ

O

Δ t

L

K

(1). Βγαίλνληαο από ην ειεθηξηθό πεδίν ην ζσκαηίδην έρεη ζηνλ άμνλα ηαρύηεηα θαη ζην άμνλα ηαρύηεηα , άξα ε ηαρύηεηα εμόδνπ από ην ειεθηξηθό πεδίν ππνινγίδεηαη από ηνλ ηύπν

√

√

ππνινγίδεηαη από ηνλ ηύπν δ) Ζ απόζηαζε

θαη ε γσλία

πνπ ζρεκαηίδεη κε ηνλ άμνλα

.

είλαη ίζε κε .

Γ10Σξία ζεκεηαθά ζώκαηα , θαη βξίζθνληαη ζε Σ1 Σ3 Σ2 επζεία, ζηηο ζέζεηο Α, Β θαη Γ ελόο νξηδνληίνπ κνλσηηθνύ επηπέδνπ κεγάισλ δηαζηάζεσλ. Γηα ηηο κεηαμύ ηνπο απνΒ Γ Α ζηάζεηο ηζρύεη . Οη κάδεο ησλ ζσκάησλ είλαη , , ελώ γηα ηα θνξηία ηνπο ηζρύεη: . α) Να ππνινγηζηεί ε ειεθηξηθή δπλακηθή ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ ηξηώλ θνξηίσλ. β) Πνην ή πνηα από ηα θνξηία ηνπ παξαπάλσ ζπζηήκαηνο δέρεηαη κεδεληθή ζπληζηακέλε δύλακε όηαλ βξίζθνληαη ζηηο ζέζεηο πνπ έρνπλ ηνπνζεηεζεί αξρηθά; Να δηθαηνινγήζεηε ηελ απάληεζή ζαο. γ) Αθήλνπκε ηα θνξηία θαη ειεύζεξα λα θηλεζνύλ ελώ ην παξακέλεη ζηελ αξρηθή ηνπ ζέζε. Να βξείηε ηα κέηξα ησλ ηαρπηήησλ ηνπο όηαλ ζα έρνπλ θηάζεη ζε πνιύ κεγάιε (άπεηξε) απόζηαζε. Δπαλαθέξνπκε ηα θνξηία ζηηο αξρηθέο ηνπο ζέζεηο. Αθηλεηνπνηνύκε ηα θαη ζηηο ζέζεηο Α θαη Γ θαη ηα θξαηάκε ζηαζεξά ζε απηέο θαη εθηνμεύνπκε ην κε νξηδόληηα ηαρύηεηα κέηξνπ (ζε δηεύζπλζε δηαθνξεηηθή από ηελ επζεία ζηελ νπνία βξίζθνληαη ηα ηξία θνξηία). √ δ) Πνηα είλαη ε ηαρύηεηα κε ηελ νπνία ην θηάλεη ζην άπεηξν; Γίλεηαη . Ζ επίδξαζε ηεο βαξύηεηαο, νη ηξηβέο θαη ε αληίζηαζε ηνπ αέξα ζεσξνύληαη ακειεηέα. Λύζε Αλησλάξαο Γ.- ΢ηώδνο Φ.

www.iwn.gr

768

Φπζηθή Β΄ ιπθείνπ (πξνζαλαηνιηζκνύ)

ζεκείσλ ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ εθθξάδεη ηε δηαθνξά κεηαμύ ησλ δπν ζέζεσλ ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο αλά κνλάδα θνξηίνπ Αλ έρνπκε πνιιά θνξηία ηόηε γηα ηνλ ππνινγηζκό ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο ηνπ ζπζηήκαηνο ιακβάλνπκε ππόςηλ όια ηα πηζαλά δεύγε όπσο ζηελ πεξίπησζή καο.U=k +k

Γπλακηθή ελέξγεηα ηξηώλ ζεκεηαθώλ θνξηίσλ

. Σρέζε κέηξνπ έληαζεο θαη δηαθνξάο δπλακηθνύ ζε νκνγελέο ειεθηξνζηαηηθό πεδίν Φσξεηηθόηεηα ππθλσηή ρσξεηηθόηεηα επίπεδνπ ππθλσηή ρσξεηηθόηεηα επίπεδνπ ππθλσηή κε δηειεθηξηθό Σρεηηθή δηειεθηξηθή ζηαζεξά ε κνλσηηθνύ πιηθνύ Δλέξγεηα θνξηηζκέλνπ ππθλσηή.

Δ=

C=

.

ε=

ή δηειεθηξηθή αληνρή

Γύλακε ηεο παγθόζκηαο έιμεο έληαζε ⃗ ελόο πεδίνπ βαξύηεηαο Γπλακηθό V ηνπ πεδίνπ βαξύηεηαο, ζε έλα ηνπ Αλησλάξαο Γ.- Σηώδνο Φ.

Γηειεθηξηθή αληνρή ηνπ δηειεθηξηθνύ νλνκάδεηαη ε ηηκή ηεο εληάζεσο ηνπ ειεθηξηθνύ πεδίνπ ζην εζσηεξηθό ηνπ, γηα ηελ νπνία ην δηειεθηξηθό παύεη λα είλαη κνλσηήο θαη γίλεηαη αγσγόο.

⃗

⃗

www.iwn.gr