Ατμοηλεκτρικοι Σταθμοι Οδηγος Επιλυσης - ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΣΚΗΣΗ 2 ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΤΜΟΥ-ΝΕΡΟΥ ΣE ΚΥΚΛΟ RANKINE Στο διάγραµµα T-s των υδρατµών έχει σηµειωθεί κύκλος Rankine µε ή χωρίς υπερθέρµανση, όπως φαίνεται στο Σχήµα 1. Η λειτουργία γίνεται µεταξύ των πιέσεων Ρ1 και Ρ3, ενώ η θερµοκρασία υπερθέρµανσης είναι Τ5. Ο παραγόµενος ατµός έχει παροχή D και χρησιµοποιείται για την κίνηση ατµοστροβίλου. Στο διάγραµµα έχει σηµειωθεί η διαδροµή για πραγµατικό ατµοστρόβιλο (συνεχής γραµµή 5→10) και για ιδανικό ατµοστρόβιλο (διακεκοµµένη γραµµή 5→7 και 4→9). Να τεθεί: x=Αριθµός γραµµάτων ονόµατος σπουδαστή y=Αριθµός γραµµάτων επωνύµου σπουδαστή z=Αριθµός µητρώου σπουδαστή Να ληφθούν: D=50+3x+5y+0,01z, σε t/h.

P1=0,3+0,2x+0,1y, σε atü.

P3=45+x+3y, σε atü.

T5=320+6x+y, σε °C.

Σχήµα 1: ∆ιάγραµµα T-s

ΑΣΚΗΣΗ 2: ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΤΜΟΥ-ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ RANKINE

25

και να υπολογιστούν: 1. Οι τιµές των θερµοδυναµικών µεγεθών (T, P, vˆ , h, s, x) στα σηµεία 1 έως 10 3 του κύκλου και µε µονάδες αντίστοιχα °C, bar, dcm /Kg, KJ/Kg, KJ/Kg·°K, -. Όλες οι τιµές που θα βρεθούν να καταχωρηθούν σε συγκεντρωτικό Πίνακα.

2. Η προσδιδόµενη ποσότητα θερµότητας Q για την παραγωγή του ατµού µε ή χωρίς υπερθέρµανση, σε KJ/h.

3. Η ισχύς ιδανικού ατµοστροβίλου W T′ µε ή χωρίς υπερθέρµανση, σε ΜW. 4. Η ισχύς πραγµατικού ατµοστροβίλου WT µε υπερθέρµανση, ισεντροπικός βαθµός απόδοσης αυτού είναι ηi=0,82, σε MW.

εάν

ο

5. Ο θερµικός βαθµός αποδόσεως του κύκλου ηth µε ή χωρίς υπερθέρµανση.

6. Η απορριπτόµενη θερµότητα Qc στο περιβάλλον από τον συµπυκνωτή µε ή χωρίς υπερθέρµανση, σε KJ/h.

7. Η ισχύς της αντλίας Ν, σε ΚW. ∆ίνεται ειδική θερµότητα νερού: cp=4,187 KJ/Kg·°C ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Τα µεγέθη D και Τ5 θα στρογγυλοποιηθούν σε ακέραιους αριθµούς. Η πίεση Ρ1 θα έχει µέχρι ένα δεκαδικό ψηφίο.

2. Το όνοµα και επώνυµο θα γράφονται ακριβώς όπως είναι στην φοιτητική ταυτότητα του σπουδαστή.

3. Στην λύση της Άσκησης κάθε σπουδαστής θα παραθέσει σύντοµη θεωρία (έως 2 σελίδες) σχετική µε το θέµα της Άσκησης.

ΒΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΗΣ ΒΗΜΑ 1: ∆εδοµένα υπολογισµών ΒΗΜΑ 2: Μετατροπή σχετικών πιέσεων σε απόλυτες πιέσεις. ΒΗΜΑ 3: Επεξήγηση σηµείων κύκλου Rankine. ΒΗΜΑ 4: Θερµοδυναµικά µεγέθη. ΒΗΜΑ 5: Προσδιδόµενη θερµότητα για παραγωγή ατµού. ΒΗΜΑ 6: Ισχύς ιδανικού ατµοστροβίλου. ΒΗΜΑ 7: Ισχύς πραγµατικού ατµοστροβίλου.

ΑΤΜΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟΙ ΣΤΑΘΜΟΙ (Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ)

26

ΒΗΜΑ 8: Θερµικός βαθµός αποδόσεως κύκλου Rankine. ΒΗΜΑ 9: Απορριπτόµενη θερµότητα στο περιβάλλον. ΒΗΜΑ 10: Ισχύς αντλίας.

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ 1. ∆Ε∆ΟΜΕΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ Η Άσκηση θα επιλυθεί µε τις παρακάτω τιµές των παραµέτρων x, y, z: x=7 y=12 z=5000 Τα δεδοµένα του προβλήµατος τα οποία υπολογίζονται µε βάση τις τιµές x, y, z είναι τα εξής:

−

Παροχή ατµού: D = 50+3x+5y+0,01z = 50 + 3·7 + 5·12 + 0,01·5000 = 181 t/h

− − −

Χαµηλή πίεση: P1 = 0,3+0,2x+0,1y = 0,3 + 0,2·7 + 0,1·12 = 2,9 atü Υψηλή πίεση: P3 = 45+x+3y = 45 + 7 + 3·12 = 88 atü Θερµοκρασία υπέρθερµου ατµού: T5 = 320+6x+y = 320 + 6·7 + 12 = 374°C

2. ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΠΙΕΣΕΩΝ ΣΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΠΙΕΣΕΙΣ Η ακριβής µετατροπή των σχετικών πιέσεων που µετρούν τα µανόµετρα στις εγκαταστάσεις σε απόλυτες πιέσεις που χρειαζόµαστε στους υπολογισµούς γίνεται ως εξής: Γνωρίζουµε ότι µια τεχνική ατµόσφαιρα (at) ορίζεται ως: 2

1 at = 1 Kp/cm

και µια φυσική ατµόσφαιρα (atm) που είναι η πίεση στην επιφάνεια της θάλασσας ή αλλιώς η ατµοσφαιρική πίεση, είναι: 1 atm = 1,013 bar

ΑΣΚΗΣΗ 2: ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΤΜΟΥ-ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ RANKINE

27

Το bar είναι µονάδα πίεσης και ορίζεται ως εξής: 5

2

1 bar = 10 N/m

Για να αποφεύγεται η σύγχυση των σχετικών µε τις απόλυτες πιέσεις µετράµε τις σχετικές πιέσεις µε atü. Το σύµβολο atü είναι το ίδιο το at, µε την διαφορά ότι έχει προστεθεί το γράµµα ü το οποίο δείχνει ότι οι πιέσεις µετρούνται πάνω από την ατµοσφαιρική πίεση. Σηµείωση: Το σύµβολο ü είναι από την Γερµανική λέξη über=υπεράνω.

Εποµένως, εάν στην πρώτη σχέση από τις παραπάνω που ορίζει το at µετατρέ2 2 ψουµε τα Kp σε N και τα cm σε m , και χρησιµοποιήσουµε την τρίτη σχέση που ορίζει το bar, προκύπτει η σχέση: 1 atü = 0,981 bar 2

Εάν το µανόµετρο δείχνει τις σχετικές πιέσεις σε at (ή Kp/cm ), τότε για σχετική πίεση µανοµέτρου x σε atü, η απόλυτη πίεση P σε bar είναι : P = x [atü] + 1[atm] = x·0,981bar + 1,013bar ⇒ ⇒ P = 0,981·x + 1,013, σε bar

(1)

Εάν το µανόµετρο δείχνει τις σχετικές πιέσεις σε bar, τότε για σχετική πίεση µανοµέτρου x σε bar, η απόλυτη πίεση P σε bar είναι: P = x [bar] + 1 [atm] = x bar + 1,013 bar ⇒ ⇒ P = x + 1,013, σε bar

(2)

Εφαρµόζοντας τους τύπους (1) και (2) για τις πιέσεις P1 και P3 της Άσκησης βρίσκουµε: (α) Εάν τα µανόµετρα δείχνουν σε at οι αντίστοιχες τιµές είναι: -

Απόλυτη πίεση P1 = 0,981·2,9 + 1,013 = 3,86 bar Απόλυτη πίεση P3 = 0,981·88 + 1,013 = 87,34 bar

(β) Εάν τα µανόµετρα δείχνουν σε bar οι αντίστοιχες τιµές είναι: -

Απόλυτη πίεση P1 = 2,9 + 1,013 = 3,91 bar Απόλυτη πίεση P3 = 88 + 1,013 = 89,01 bar

Για να απλοποιήσουµε τους υπολογισµούς της Άσκησης δεχόµεθα ότι τα µανόµετρα δείχνουν σε bar, οπότε στρογγυλοποιώντας τις τιµές, σύµφωνα µε την παρατήρηση της εκφώνησης, έχουµε τις εξής απόλυτες τιµές πίεσης: P1 = 3,9 bar P3 = 89 bar

28

ΑΤΜΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟΙ ΣΤΑΘΜΟΙ (Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ)

3. ΕΠΕΞΗΓΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΥΚΛΟΥ RANKINE Σχεδιάζουµε τον κύκλο Rankine σε διάγραµµα T-s και τοποθετούµε τα Σηµεία 1 έως 10, όπως δείχνει το Σχήµα 1. Για την καλύτερη κατανόηση του κύκλου θα δώσουµε µια σύντοµη περιγραφή κάθε χαρακτηριστικού σηµείου του διαγράµµατος, και θα αναφέρουµε την αντίστοιχη θέση του πάνω στο πραγµατικό κύκλωµα του Σταθµού όπως αυτό φαίνεται στο Σχήµα 1 της προηγούµενης Άσκησης 1.

-Σηµείο 1: Η θέση του σηµείου αυτού υποδηλώνει την κατάσταση του νερού στην αναρρόφηση της αντλίας. Το νερό εδώ έχει προκύψει από συµπύκνωση του ατµού στον συµπυκνωτή και έχει την πίεση και θερµοκρασία λειτουργίας του συµπυκνωτή. Στο διάγραµµα βρίσκεται πάνω στην κωδωνοειδή καµπύλη και χαρακτηρίζεται ως κορεσµένο νερό.

-Σηµείο 2: Η θέση του είναι στην κατάθλιψη της αντλίας, η οποία συµπιέζει το νερό και αυξάνει την πίεσή του από Ρ1 σε Ρ2. Η πίεση αυξάνει σηµαντικά, αλλά επειδή το νερό είναι ασυµπίεστο, δεν µεταβάλλεται αισθητά ούτε ο ειδικός όγκος, ούτε η θερµοκρασία του. Για τον λόγο αυτόν το Σηµείο 2 πάνω στο διάγραµµα βρίσκεται πολύ κοντά στο Σηµείο 1. Θεωρητικά η µεταβολή από 1 σε 2 είναι ισεντροπική, ενώ στην πραγµατικότητα γίνεται µε µικρή αύξηση της εντροπίας. Στο διάγραµµα το Σηµείο 2 βρίσκεται στην περιοχή του νερού αριστερά από την καµπύλη κορεσµένου νερού και χαρακτηρίζεται ως νερό υπό πίεση.

-Σηµείο 3: Η θέση του Σηµείου 3 είναι εντός του ατµολέβητα, συγκεκριµένα στο νερό του τυµπάνου. Η θερµοκρασία του νερού έχει αυξηθεί λόγω της καύσης, ενώ η πίεσή του είναι ίδια µε την πίεση του Σηµείου 2. Στο διάγραµµα βρίσκεται πάνω στην κωδωνοειδή καµπύλη και χαρακτηρίζεται ως κορεσµένο νερό. Η µεταβολή από 2 σε 3 ακολουθεί την γραµµή σταθερής πίεσης, κατά την οποία αυξάνει η θερµοκρασία και η ενθαλπία, καθώς και τα λοιπά θερµοδυναµικά µεγέθη, λόγω της παροχής θερµότητας στον ατµολέβητα.

-Σηµείο 4: Η θέση αυτού είναι επίσης εντός του ατµολέβητα, συγκεκριµένα στον ατµό του τυµπάνου. Ο ατµός προήλθε από εξάτµιση του νερού, η οποία γίνεται υπό σταθερή πίεση και θερµοκρασία. Μέσα στο τύµπανο συνυπάρχει νερό και ατµός, µε ίδια πίεση και θερµοκρασία, αλλά λόγω βαρύτητας το νερό διαχωρίζεται και µένει κάτω, ενώ ο ατµός µένει πάνω από το νερό. Η θερµοκρασία και η πίεση του ατµού του Σηµείου αυτού είναι ίδια µε του Σηµείου 3, γι’ αυτό η µεταβολή από 3 σε 4 είναι µια οριζόντια γραµµή. Λόγω της παροχής θερµότητας στον ατµολέβητα γίνεται αύξηση της ενθαλπίας, του ειδικού όγκου και της εντροπίας. Το Σηµείο 4 χαρακτηρίζεται ως κορεσµένος ατµός και βρίσκεται πάνω στον δεξιό κλάδο της κωδωνοειδούς καµπύλης.

-Σηµείο 5: Η θέση του Σηµείου 5 είναι στην έξοδο του ατµού από τον ατµολέβητα και στην είσοδο του ατµοστροβίλου, όπου ο ατµός έχει υψηλή πίεση και θερµοκρασία. Η πίεση είναι ίδια µε την πίεση του Σηµείου 4, ενώ η θερ-

ΑΣΚΗΣΗ 2: ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΤΜΟΥ-ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ RANKINE

29

µοκρασία έχει αυξηθεί µε την βοήθεια του υπερθερµαντήρα ατµού του ατµολέβητα, για τον λόγο αυτόν ο ατµός του Σηµείου 5 χαρακτηρίζεται ως υπέρθερµος ατµός. Στο διάγραµµα το εν λόγω σηµείο βρίσκεται στην δεξιά περιοχή της κωδωνοειδούς καµπύλης, η οποία καλείται περιοχή υπερθέρµων υδρατµών, και πάνω στην γραµµή σταθερής πίεσης. Λόγω της παροχής θερµότητας στον υπερθερµαντήρα έχει αυξηθεί, εκτός από την θερµοκρασία, η ενθαλπία, ο ειδικός όγκος και η εντροπία του ατµού.

-Σηµείο 6: Το Σηµείο 6 δεν εµφανίζεται πάντοτε σε κάθε κύκλο, καθόσον η µεταβολή από 5 σε 7 δεν τέµνει πάντοτε τον δεξιό κλάδο της κωδωνοειδούς καµπύλης. Εάν συµβαίνει όπως δείχνει το Σχήµα 1, τότε η θέση του είναι µέσα στον ατµοστρόβιλο. Είναι το σηµείο όπου ο ατµός από υπέρθερµος γίνεται κορεσµένος. Στο διάγραµµα βρίσκεται πάνω στον δεξιό κλάδο της κωδωνοειδούς καµπύλης και χαρακτηρίζεται ως κορεσµένος ατµός. Λόγω της απόδοσης έργου στον ατµοστρόβιλο έχει µειωθεί η πίεση και η θερµοκρασία του ατµού στο Σηµείο 6, ενώ έχει αυξηθεί ο ειδικός όγκος αυτού λόγω της εκτόνωσης του ατµού. Εάν πρόκειται για ιδανικό ατµοστρόβιλο η µεταβολή από 5 σε 6 είναι ισεντροπική, δηλαδή στο διάγραµµα φαίνεται ως µια κατακόρυφη γραµµή, ενώ σε πραγµατικό ατµοστρόβιλο γίνεται µε αύξηση της εντροπίας.

-Σηµείο 7: Η θέση του Σηµείου 7 είναι στην έξοδο ιδανικού ατµοστροβίλου, εάν αυτός λειτουργεί µε υπέρθερµο ατµό και µε την κατάσταση που έχει στο Σηµείο 5. Στο Σηµείο 7 ο ατµός έχει εκτονωθεί σε χαµηλή πίεση, µερικές φορές και χαµηλότερη της ατµοσφαιρικής. Στο διάγραµµα το Σηµείο αυτό µπορεί να βρίσκεται µέσα στην κωδωνοειδή καµπύλη, όπου χαρακτηρίζεται ως υγρός ατµός, ή εκτός αυτής δεξιά στην περιοχή των υπερθέρµων υδρατµών, όπου χαρακτηρίζεται ως υπέρθερµος ατµός. Λόγω της εκτόνωσης του ατµού µειώνεται, εκτός από την πίεση, η θερµοκρασία και η ενθαλπία του ατµού, ενώ αυξάνει ο ειδικός όγκος αυτού. Η εντροπία παραµένει ίδια µε αυτήν του Σηµείου 5 εάν πρόκειται για ιδανικό ατµοστρόβιλο, ενώ αυξάνει κατά την λειτουργία πραγµατικού ατµοστροβίλου. Η µεταβολή της ενθαλπίας από το 5 στο 7 ισοδυναµεί µε το παραγόµενο έργο του ιδανικού ατµοστροβίλου.

-Σηµείο 8: Το Σηµείο 8 βρίσκεται πάνω στον δεξιό κλάδο της κωδωνοειδούς καµπύλης και είναι το σηµείο τοµής αυτής µε την οριζόντια γραµµή σταθερής πίεσης και θερµοκρασίας που αντιστοιχεί στο Σηµείο 1. Έχει χαµηλή πίεση και θερµοκρασία, αλλά µεγάλη ενθαλπία, µεγάλη εντροπία και µεγάλο ειδικό όγκο. Ο ατµός στο Σηµείο αυτό χαρακτηρίζεται ως κορεσµένος ατµός.

-Σηµείο 9: Η θέση του Σηµείου 9 είναι στην έξοδο ιδανικού ατµοστροβίλου, εάν αυτός λειτουργεί µε κορεσµένο ατµό και µε την κατάσταση που έχει στο Σηµείο 4. Σηµειούται ότι η λειτουργία αυτή δεν προτιµείται στην πράξη. Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως, η πτώση της πίεσης στην περίπτωση ιδανικού ατµοστροβίλου γίνεται ισεντροπικά, δηλαδή η µεταβολή

30

ΑΤΜΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟΙ ΣΤΑΘΜΟΙ (Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ)

από 4 σε 9 είναι µια κατακόρυφη γραµµή. Το εν λόγω Σηµείο βρίσκεται πάντοτε µέσα στην κωδωνοειδή καµπύλη, και ο ατµός χαρακτηρίζεται ως υγρός ατµός.

-Σηµείο 10: Η θέση του Σηµείου 10 είναι στην έξοδο πραγµατικού ατµοστροβίλου, εάν αυτός λειτουργεί µε υπέρθερµο ατµό και µε την κατάσταση που έχει στο Σηµείο 5. Λόγω αύξησης της εντροπίας η µεταβολή δεν είναι κατακόρυφη αλλά κλίνει προς τα δεξιά, µε αποτέλεσµα το Σηµείο 10 να µετακινείται πολλές φορές εκτός της κωδωνοειδούς καµπύλης στην περιοχή των υπερθέρµων υδρατµών. Στο διάγραµµα βρίσκεται πάνω στην γραµµή σταθερής πίεσης και ανάλογα µε την θέση του χαρακτηρίζεται ως υγρός ατµός εάν είναι µέσα στην κωδωνοειδή καµπύλη, ή υπέρθερµος ατµός εάν είναι έξω από αυτήν. Ο ατµός µετά την έξοδό του από τον ατµοστρόβιλο, δηλαδή µε την κατάσταση που έχει στο Σηµείο 7 ή 9 ή 10, εισέρχεται στον συµπυκνωτή όπου ψύχεται µε την βοήθεια κρύου νερού και συµπυκνώνεται σε νερό. Η συµπύκνωση του ατµού γίνεται µε σταθερή πίεση και θερµοκρασία, γι’ αυτό η µεταβολή µέσα στον συµπυκνωτή παριστάνεται στο διάγραµµα ως µια οριζόντια γραµµή, η οποία συνδέεται µε το Σηµείο 1 και εποµένως ο κύκλος κλείνει ακριβώς στο Σηµείο 1.

4. ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στο Σχήµα 2 φαίνεται ο ίδιος θερµοδυναµικός κύκλος Rankine του προηγούµενου Σχήµατος, στον οποίο έχουµε τοποθετήσει αφενός όλα τα χαρακτηριστικά σηµεία και αφετέρου τις τιµές των χαρακτηριστικών πιέσεων και θερµοκρασιών όπως αυτές υπολογίζονται πιο κάτω. Συγκεκριµένα, για να εµπλουτίσουµε την Άσκηση σύµφωνα µε την απαίτηση της εκφώνησης, έχουµε σχεδιάσει διάφορους κύκλους µε κάποιες διαφοροποιήσεις µεταξύ τους, οι οποίοι είναι οι εξής: (i)

Κύκλος Rankine µε πραγµατικό ατµοστρόβιλο και υπέρθερµο ατµό, ο οποίος διαγράφεται µεταξύ των σηµείων: 1→2→3→4→5→10→1.

(ii)

Κύκλος Rankine µε ιδανικό ατµοστρόβιλο και υπέρθερµο ατµό, ο οποίος διαγράφεται µεταξύ των σηµείων: 1→2→3→4→5→7→1.

(iii) Κύκλος Rankine µε ιδανικό ατµοστρόβιλο και κορεσµένο ατµό, ο οποίος διαγράφεται µεταξύ των σηµείων: 1→2→3→4→9→1.

ΑΣΚΗΣΗ 2: ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΤΜΟΥ-ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ RANKINE

31

Είναι πρακτικά ευκολότερο να ξεκινήσουµε τους υπολογισµούς των θερµοδυναµικών µεγεθών από το Σηµείο 1, ήτοι:

Σηµείο 1 Το Σηµείο 1 βρίσκεται ακριβώς πάνω στην καµπύλη κορεσµένου νερού. Από τους πίνακες κορεσµένων υδρατµών (σελ. 207) βρίσκουµε ότι για πίεση νερού: P1=3,9 bar η αντίστοιχη είναι:

θερµοκρασία

Σχήµα 2

Τ1=142,70 °C ≈ 143 °C

Από τον ίδιο πίνακα προκύπτουν και τα λοιπά µεγέθη, ως εξής: 3 3 vˆ 1 =0,00108259m /Kg ≈ 1,083dcm /Kg

h1=600,81 KJ/Kg s1=1,7672 KJ/Kg⋅°K x1=0 Σηµείωση: Υπενθυµίζεται ότι για την µετατροπή των µονάδων του ειδικού όγκου ισχύει: 3

3

3

1 m /Kg = 10 dcm /Kg

Σηµείο 2 Το Σηµείο 2 βρίσκεται στην περιοχή αριστερά της καµπύλης κορεσµένου νερού και χαρακτηρίζει κατάσταση νερού υπό πίεση. Όπως έχουµε προαναφέρει η µεταβολή 1→2 θεωρούµε ότι είναι ισεντροπική, καθότι αφορά την αύξηση της πίεσης του νερού στην αντλία. Στην πραγµατικότητα η µεταβολή 1→2 γίνεται µε µικρή αύξηση της εντροπίας, οπότε το Σηµείο 2 µετακινείται ελαφρά δεξιότερα. Για το σηµείο αυτό γνωρίζουµε τα εξής µεγέθη:

ΑΤΜΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟΙ ΣΤΑΘΜΟΙ (Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ)

32

P2=89 bar s2=s1=1,7672 KJ/Kg⋅°K x2=0 Θεωρώντας το νερό ασυµπίεστο προκύπτει ότι: 3 vˆ 2 ≈ vˆ 1 =1,083 dcm /Kg

Η ενθαλπία θα υπολογιστεί µε βάση την γνωστή σχέση: h2=h1+ vˆ 1 ·∆P = 600,81

KJ/Kg

+ 1,083 dcm

3

/ Kg

· (89 – 3,9)

bar

-1

· 10 =

= 610,03 KJ/Kg -1

Σηµείωση: Ο συντελεστής 10 χρησιµοποιείται για την µετατροπή των µονάδων.

Η αύξηση της ενθαλπίας κατά vˆ 1 ·∆P ανεβάζει την θερµοκρασία κατά ∆Τ, ήτοι: ∆h=cp·∆T= vˆ 1 ·∆P ⇒ 3

⇒ ∆T = vˆ 1 ·∆P / cp =

1,083 dcm /Kg ⋅ (89 − 3,9) bar ⋅ 10 −1 4,187 KJ/Kg⋅°C

= 2,2°C

Άρα η θερµοκρασία του Σηµείου 2 είναι ως εξής: Τ2=Τ1+∆Τ = 142,70 + 2,2 = 144,90 °C ≈ 145 °C Σηµείο 3 Το Σηµείο 3 βρίσκεται και αυτό πάνω ακριβώς στην καµπύλη κορεσµένου νερού. Από τους πίνακες κορεσµένων υδρατµών (σελ. 210) και για πίεση νερού P3=89 bar βρίσκουµε ότι η θερµοκρασία είναι: Τ3=302,55°C ≈ 303 °C Από τον ίδιο πίνακα και διαβάζοντας τις στήλες µε τον χαρακτηρισµό ‘νερό’ προκύπτουν τα λοιπά µεγέθη, ήτοι: 3 3 vˆ 3 =0,00141474 m /Kg ≈ 1,415 dcm /Kg

h3=1.359,11 KJ/Kg ≈ 1.359,1 KJ/Kg s3=3,2789 KJ/Kg⋅°K ≈ 3,279 KJ/Kg⋅°K x3=0

ΑΣΚΗΣΗ 2: ΘΕΡΜΟ∆ΥΝΑΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΑΤΜΟΥ-ΝΕΡΟΥ ΣΕ ΚΥΚΛΟ RANKINE

33

Σηµείο 4 Το Σηµείο 4 βρίσκεται πάνω ακριβώς στην καµπύλη κορεσµένου ατµού και επίσης είναι σηµείο της γραµµής σταθερής πίεσης, η οποία περνά από τα Σηµεία 2, 3, 4 και 5. Συνεπώς το Σηµείο 4 έχει την ίδια πίεση και θερµοκρασία µε το Σηµείο 3, ήτοι: P4=89 bar Τ4=302,55°C Τα λοιπά θερµοδυναµικά µεγέθη προκύπτουν κατευθείαν από τον ίδιο πίνακα κορεσµένων υδρατµών (σελ. 210) διαβάζοντας τις στήλες µε τον χαρακτηρισµό ‘ατµός’, ήτοι: 3 3 vˆ 4 =0,02076 m /Kg = 20,76 dcm /Kg

h4=2.744,53 KJ/Kg s4=5,6855 KJ/Kg⋅°K x4=1 Σηµείο 5 Το σηµείο 5 βρίσκεται στην περιοχή υπερθέρµων υδρατµών και επίσης πάνω στην γραµµή σταθερής πίεσης, η οποία είναι: P5=89 bar Η θερµοκρασία του υπέρθερµου ατµού είναι γνωστή από την εκφώνηση της Άσκησης: Τ5=374°C Επειδή το Σηµείο 5 χαρακτηρίζει κατάσταση ατµού ισχύει: x5=1 Από τους πίνακες υπερθέρµων υδρατµών (σελ. 222-224) βρίσκουµε τα θερµοδυναµικά µεγέθη του Σηµείου 5, το οποίο ορίζεται µε βάση την πίεση Ρ5=89 bar και την θερµοκρασία Τ5=374°C. Όµως, τα στοιχεία αυτά δεν συµπεριλαµβάνονται ως έχουν στον πίνακα και γι’ αυτό απαιτείται η εφαρµογή της πολλαπλής γραµµικής παρεµβολής. Αναζητούµε στον πίνακα τα πλησιέστερα (γειτονικά) στοιχεία µε αυτά που έχουµε ως δεδοµένα και βρίσκουµε ότι η πίεση 89 bar είναι µεταξύ των τιµών 80 και 90 bar, καθώς και η θερµοκρασία 374°C είναι µεταξύ των τιµών 370 και 380°C, οι οποίες υπάρχουν όλες στον πίνακα. Για να πραγµατοποιήσουµε σωστά τις γραµµικές παρεµβολές σχεδιάζουµε σε µεγέθυνση την γειτονιά του Σηµείου 5, όπως φαίνεται στο Σχήµα 3. Σηµείωση: Τα Σηµεία 11, 12, 13, …, 19 του Σχήµατος 3 αφορούν την γειτονιά του Σηµείου 5 και δεν εµφανίζονται στο Σχήµα 2, πλην του Σηµείου 5, η δε αρίθµησή τους γίνεται συνέχεια αυτών του Σχήµατος 2 προκειµένου να µην συγχέονται.

34

ΑΤΜΟΗΛΕΚΤΡΙΚΟΙ ΣΤΑΘΜΟΙ (Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΠΡΑΞΗΣ)

Είναι προφανές ότι οι οριζόντιες γραµµές του Σχήµατος 3 είναι γραµµές σταθερής θερµοκρασίας, ενώ οι καµπύλες είναι γραµµές σταθερής πίεσης. Με πρώτη γραµµική παρεµβολή µεταξύ των Σηµείων 11 και 13 θα βρούµε τα στοιχεία του Σηµείου 12. Με δεύτερη γραµµική παρεµβολή µεταξύ των Σηµείων 17 και 19 θα βρούµε τα στοιχεία του Σηµείου 18 και τέλος µε τρίτη γραµµική παρεµβολή µεταξύ των Σηµείων 12 και 18 θα βρούµε τα ζητούµενα στοιχεία του Σηµείου 5. Για την πραγµατοποίηση των γραµµικών παρεµβολών συµβουλευόµαστε τους τύπους που δίνονται παρακάτω, επιλέγοντας κάθε φορά τον σωστό τύπο για φθίνουσα ή αύξουσα συνάρτηση. Για την εκτέλεση των υπολογισµών ανατρέχουµε στους Πίνακες υδρατµών και διαβάζουµε τα θερµοδυναµικά µεγέθη για όλα τα γνωστά γειτονικά σηµεία 11, 13, 17, 19 του Σηµείου 5, ήτοι: Σηµείο 11: Πίεση 80 bar, θερµοκρασία 370°C (σελ. 222). h11=3.051,73 KJ/Kg s11=6,2325 KJ/Kg⋅°K 3 vˆ 11 =0,0318155 m /Kg = 3

= 31,82 dcm /Kg Σηµείο 13: Πίεση 80 bar, θερµοκρασία 380°C (σελ. 222). h13=3.081,79 KJ/Kg s13=6,2789 KJ/Kg⋅°K 3 vˆ 13 =0,0326848m /Kg = 3

Σχήµα 3

= 32,68 dcm /Kg

Σηµείο 17: Πίεση 90 bar, θερµοκρασία 370°C (σελ. 224). h17=3.026,01 KJ/Kg s17=6,1465 KJ/Kg⋅°K 3 3 vˆ 17 =0,0275795 m /Kg = 27,58 dcm /Kg