6-Ε-82 PAGES Μαθημ Ανάλ & Matlab

Banach Stefan 30-3-1892 ∫Ú·ÎÔ‚›·, ∞˘ÛÙÚ›·-√˘ÁÁ·Ú›· (ÙÒÚ· ¶Ôψӛ·)/ 31-8-1945 Lvov, (ÙÒÚ· √˘ÎÚ·Ó›·) √ Banach ·ÚÔ˘Û›·Û ÙË Û‡Á¯ÚÔÓË ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÈ΋ ·Ó¿Ï˘ÛË Ô˘ ¤Î·Ó ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ Û˘ÓÂÈÛÊÔÚ¤˜ ÛÙË ıˆڛ· ÙˆÓ ÙÔÔÁÚ·ÊÈÎÒÓ ¢È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎÒÓ ¯ÒÚˆÓ. ∂ÈϤÔÓ, Û˘Ó¤‚·Ï ÛÙË ıˆڛ· ÙˆÓ Ì¤ÙÚˆÓ, Ù˘ ÔÏÔÎÏ‹ÚˆÛ˘, Ù˘ ıˆڛ·˜ ÙˆÓ Û˘ÓfiψÓ, Î·È ÛÙȘ ÔÚıÔÁÒÓȘ ÛÂÈÚ¤˜. ™ÙË ‰È·ÙÚÈ‚‹ ÙÔ˘, ÁÚ·Ì̤ÓË ÙÔ 1920, ÔÚ›˙ÂÙ·È ·ÍȈ̷ÙÈο ·˘Ùfi Ô˘ Û‹ÌÂÚ· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ¯ÒÚÔ˜ Banach. ∏ ȉ¤· ·ÚÔ˘ÛÈ¿ÛÙËÎÂ Î·È ·fi ¿ÏÏÔ˘˜ ÙËÓ ›‰È· ÂÚ›Ô˘ ÂÚ›Ô‰Ô, ÁÈ· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ô Norbert Wiener ÂÈÛ‹Á·Á ÙËÓ ¤ÓÓÔÈ·, ·ÏÏ¿ ‰ÂÓ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÈ ıˆڛ·. ∆Ô fiÓÔÌ· «ÃÒÚÔ Banach» ÂÈÓÔ‹ıËΠ·fi ÙÔÓ Fréchet. ÕÏÁ‚Ú˜ Banach ¤¯Ô˘Ó Â›Û˘ ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘. ŒÓ·˜ ¯ÒÚÔ˜ Banach Â›Ó·È ¤Ó·˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ‹ ÌÈÁ·‰ÈÎfi˜ normed ‰È·Ó˘ÛÌ·ÙÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ô˘ ¤¯ÂÈ ÔÏÔÎÏËÚˆı› ˆ˜ ÌÂÙÚÈÎfi˜ ¯ÒÚÔ˜ Ì ̤ÙÚÔ: ‰ (x, y) = || x-y || ∏ ÏËÚfiÙËÙ· Â›Ó·È ÛËÌ·ÓÙÈ΋, ηıÒ˜ ·˘Ùfi ÛËÌ·›ÓÂÈ fiÙÈ ÔÈ ·ÎÔÏÔ˘ı›Â˜ Cauchy Û ¯ÒÚÔ˘˜ Banach Û˘ÁÎÏ›ÓÔ˘Ó. ∏ ¿ÏÁ‚ڷ Banach Â›Ó·È Â›Û˘ ¤Ó·˜ ¯ÒÚÔ˜ Banach, fiÔ˘ ÈÛ¯‡ÂÈ: || Xy || ≤ || x ||. || Y || ∏ ÛËÌ·Û›· Ù˘ Û˘Ì‚ÔÏ‹˜ Banach Â›Ó·È fiÙÈ ·Ó¤Ù˘Í ÌÈ· Û˘ÛÙËÌ·ÙÈ΋ ıˆڛ· Ù˘ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÈ΋˜ ·Ó¿Ï˘Û˘, ∏ ıˆڛ· ÙÔ˘ ÁÂÓÈ·ÙËΠ·fi ÙÔ˘˜ Volterra, Fredholm Î·È Hilbert. ∏ ıˆڛ· Banach ‰ËÌÈÔ‡ÚÁËÛ ÌÈ· ÛÂÈÚ¿ ·fi ıÂÌÂÏÈÒ‰Ë ÛÙÔȯ›· ÛÙÔ˘˜ normed ÁÚ·ÌÌÈÎÔ‡˜ ¯ÒÚÔ˘˜, Î·È ÔÏÏ¿ ÛËÌ·ÓÙÈο ıˆڋ̷ٷ ¤¯Ô˘Ó Û‹ÌÂÚ· ÙÔ fiÓÔÌ¿ ÙÔ˘. À¿Ú¯ÂÈ ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Hahn-Banach ÁÈ· ÙËÓ Â¤ÎÙ·ÛË Ù˘ Û˘Ó¯ԇ˜ ÁÚ·ÌÌÈ΋˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛ˘, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Banach-Steinhaus ÁÈ· ÔÈÎÔÁ¤ÓÂȘ Ô˘ ÔÚÈÔıÂÙÔ‡ÓÙ·È ·fi ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂȘ, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· Banach-Alaoglu, ÙÔ ıÂÒÚËÌ· ÙÔ˘ ÛÙ·ıÂÚÔ‡ ÛËÌ›Ԣ Banach Î·È ÙÔ ·Ú¿‰ÔÍÔ-Tarski ·ÔÛ‡ÓıÂÛ˘ ÌÈ·˜ Ì¿Ï·˜. ∆Ô ·Ú¿‰ÔÍÔ Banach-Tarski ÂÌÊ·Ó›ÛÙËΠ۠¤Ó· ÎÔÈÓfi paper ÙˆÓ ‰‡Ô Ì·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÙÔ 1926 ÛÙÔ Mathematicae Fundamenta Ì ٛÙÏÔ "Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes". ∆Ô ·ÈÓÈÁÌ·ÙÈÎfi ·Ú¿‰ÔÍÔ ‰Â›¯ÓÂÈ fiÙÈ Ë Ì¿Ï· ÌÔÚ› Ó· ‰È·ÈÚÂ›Ù·È Û ˘ÔÛ‡ÓÔÏ· Ô˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÙÔÔıÂÙËıÔ‡Ó Ì·˙› ÁÈ· Ó· οÓÔ˘Ì ‰‡Ô Ì¿Ï˜ ·ÓÔÌÔÈfiÙ˘˜ Ì ÙËÓ ·Ú¯È΋. ∆Ô ·Í›ˆÌ· Ù˘ ÂÈÏÔÁ‹˜ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ ÁÈ· Ó· ηıÔÚ›ÛÂÈ ÙËÓ ·ÔÛ‡ÓıÂÛË Î·È ÙÔ ÁÂÁÔÓfi˜ fiÙÈ Â›Ó·È Û ı¤ÛË Ó· ‰ÒÛÂÈ ¤Ó· Ù¤ÙÔÈÔ ÌË-‰È·ÈÛıËÙÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ¤Î·Ó ÌÂÚÈÎÔ‡˜ Ì·ıËÌ·ÙÈÎÔ‡˜ Ó· ·ÌÊÈÛ‚ËÙÔ‡Ó ÙË ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ·ÍÈÒÌ·ÙÔ˜. ∆Ô Banach-Tarski ·Ú¿‰ÔÍÔ ‹Ù·Ó ÌÈ· ÛËÌ·ÓÙÈ΋ Û˘Ì‚ÔÏ‹ ÛÙÔ ¤ÚÁÔ Ô˘ ÂÈÙÂÏÂ›Ù·È ÁÈ· ÙËÓ ·ÍȈ̷ÙÈ΋ ıˆڛ· ÙˆÓ Û˘ÓfiψÓ. ∏ ·ÓÔÈÎÙ‹ ¯·ÚÙÔÁÚ¿ÊËÛË Banach ÙÔ˘ 1929 ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› Â›Û˘ Û˘ÓÔÏÔıˆÚËÙÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ, ÁÈ· Ó· ÂÚÌËÓ‡ÛÂÈ ÙȘ ¤ÓÓÔȘ Ô˘ ÂÈÛ‹Á·ÁÂ Ô Baire Ì ÙË ‰È·ÙÚÈ‚‹ ÙÔ˘ ÙÔ 1899.

25. ¶ƒ√°ƒ∞ªª∞∆π™ª√™ ª∂ MATLAB 25.1 ™ÙÔȯ›· ª·ıËÌ·ÙÈ΋˜ §ÔÁÈ΋˜ (ÕÏÁ‚ڷ Boole) £˘Ì›˙Ô˘Ì ηÙ' ·Ú¯‹Ó fiÙÈ ÏÔÁÈ΋ ϤÁÂÙ·È ÌÈ· ÚfiÙ·ÛË fiÙ·Ó ÌÔÚԇ̠̠۷ʋÓÂÈ· Î·È ¯ˆÚ›˜ ÙËÓ ·Ú·ÌÈÎÚ‹ Èı·ÓfiÙËÙ· Ï¿ıÔ˘˜ Ó· ÙË ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÔ˘Ì ·ÏËı‹ ‹ „¢‰‹. ø˜ Û‡ÓÔÏÔ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ıˆÚԇ̠ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ G ÙˆÓ ÏÔÁÈÎÒÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ (.¯. "ÙÔ ·Ï‡ÚÈ Â›Ó·È ¿ÛÚÔ" Î·È "fiÏ· Ù· ·˘ÙÔΛÓËÙ· Â›Ó·È Ì·‡Ú·", Â›Ó·È ÏÔÁÈΤ˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ ÔÈ Ôԛ˜ fï˜ Â›Ó·È „¢‰Â›˜). ∞Ó ÌÈ· ÚfiÙ·ÛË Â›Ó·È ·ÏËı‹˜, ÙË Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì ∞ (·ÏËı‹˜) ‹ ∆ (true) ‹ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 1. ∞Ó Â›Ó·È „¢‰‹˜ ÙË Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì æ („¢‰‹˜) ‹ F (false) ‹ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 0. ™ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ G ÙˆÓ ÏÔÁÈÎÒÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ ÔÚ›˙Ô˘Ì ‰‡Ô ‰ÈÌÂÏ›˜ Ú¿ÍÂȘ: ∆Ë Û‡˙¢ÍË Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì "§" ‹ "AND" ‹ "Ø" ηÈ, ∆Ë ‰È¿˙¢ÍË Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì "V" ‹ "OR" ‹ "+". √Ú›˙Ô˘Ì Â›Û˘ Î·È ÌÈ· ÌÔÓÔÌÂÏ‹ Ú¿ÍË ¿ÚÓËÛ˘ Ô˘ Û˘Ì‚ÔÏ›˙Ô˘Ì Ì "√Ãπ ∞" – ‹ "–∞" ‹ "∞". √È ÏÔÁÈΤ˜ ‰ÈÌÂÏ›˜ Ú¿ÍÂȘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: ñ ∏ Û‡˙¢ÍË ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Â›Ó·È ·ÏËı‹˜ ÌfiÓÔ ·Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ·ÏËı›˜. ™' fiϘ ÙȘ ¿ÏϘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Â›Ó·È „¢‰‹˜. ¢ËÏ·‰‹:

∞§µ ‹ ∞Ø µ = ‹ ∞ ∞ND B

1

·Ó

∞=1

ηÈ

µ=1

0

·Ó

∞=1

ηÈ

µ=0

0

·Ó

∞=0

ηÈ

µ=1

0

·Ó

∞=0

ηÈ

µ=0

740

ª∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞¡∞§À™∏ ∫∞π MATLAB

ñ ∏ ‰È¿˙¢ÍË ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ Â›Ó·È „¢‰‹˜ ÌfiÓÔÓ ·Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È „¢‰Â›˜. ™' fiϘ ÙȘ ¿ÏϘ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ·ÏËı‹˜. ¢ËÏ·‰‹: ∞Vµ ‹ ∞+ µ = ‹ ∞ OR B

1

·Ó

∞=1

ηÈ

µ=1

1

·Ó

∞=1

ηÈ

µ=0

1

·Ó

∞=0

ηÈ

µ=1

0

·Ó

∞=0

ηÈ

µ=0

– ñ ∏ ÌÔÓÔÌÂÏ‹˜ Ú¿ÍË Ù˘ ¿ÚÓËÛ˘ ÔÚ›˙ÂÈ fiÙÈ Ë ·ÓÙ›ıÂÙË ÚfiÙ·ÛË ∞ ÌÈ·˜ ÚfiÙ·Û˘ ∞, Â›Ó·È ·ÏËı‹˜ ·Ó Ë ÚfiÙ·ÛË ∞ Â›Ó·È „¢‰‹˜ Î·È ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊ·. ¢ËÏ·‰‹: – ∞ ‹ √Ãπ (∞) ‹ = ¡√∆ (∞)

1

·Ó

∞=0

0

·Ó

∞=1

∆Ô Û‡ÓÔÏÔ G Â›Ó·È ÎÏÂÈÛÙfi ˆ˜ ÚÔ˜ ÙȘ ÙÚÂȘ ·˘Ù¤˜ Ú¿ÍÂȘ, ÁÈ·Ù› ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi ÙˆÓ Ú¿ÍÂˆÓ Î·È ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ G, Â›Ó·È ·˘Ù·fi‰ÂÎÙÔ fiÙÈ Ë Û‡˙¢ÍË Î·È Ë ‰È¿˙¢ÍË ‰‡Ô ÚÔÙ¿ÛˆÓ, ηıÒ˜ Î·È Ë ¿ÚÓËÛË ÌÈ·˜ ÚfiÙ·Û˘ Â›Ó·È Â›Û˘ ÚfiÙ·ÛË. ÕÚ·, ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ G. πÛ¯‡Ô˘Ó ÔÈ È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ·ÓÙÈÌÂÙ¿ıÂÛ˘ Î·È ÙÔ˘ ÚÔÛÂÙ·ÈÚÈÛÌÔ‡ ÛÙȘ Ú¿ÍÂȘ Ù˘ Û‡˙¢Í˘ Î·È Ù˘ ‰È¿˙¢Í˘.

1. ∞ Ø µ = µ Ø ∞ Î·È ∞ + µ = µ + ∞ ¢ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠ÙÔ˘˜ ›Ó·Î˜ Û˘Ó‰˘·ÛÌÒÓ (·ÏËı›·˜) ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙˆÓ ÚÔÙ¿ÛÂˆÓ ∞ Î·È µ. ¶ÚˆÙÔÁÂÓ›˜ ∆È̤˜

¶·Ú¿ÁˆÁ˜ ∆È̤˜

∞

µ

∞Ø µ

µØ ∞

∞+µ

µ+∞

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

∞fi Ù· ˙‡ÁË ÙˆÓ ÛÙËÏÒÓ (3, 4) Î·È (5, 6) ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÔÓÙ·È ÔÈ ·Ú·¿Óˆ Û¯¤ÛÂȘ.

¶ƒ√°ƒ∞ªª∞∆π™ª√™ M∂ ªATLAB

741

2. ∞ Ø (µ + °) = ∞ Ø µ + ∞ Ø ° Î·È ∞ + (µ Ø °) = (∞ + µ) Ø (∞ + °) ¢ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙÔÈ¯Ô˘˜ ›Ó·Î˜ ·ÏËı›·˜. ¶ÚˆÙÔÁÂÓ›˜ ∆È̤˜

¶·Ú¿ÁˆÁ˜ ∆È̤˜

∞

µ

°

µ+°

∞Ø(µ+°)

∞ص

∞Ø°

∞ص+∞Ø°

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

∞fi ÙȘ ÛًϘ 5 Î·È 8 ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ: ∞Ø(µ+°)=∞ص+∞Ø°. ¶ÚˆÙÔÁÂÓ›˜ ∆È̤˜

¶·Ú¿ÁˆÁ˜ ∆È̤˜

∞

µ

°

µØ°

∞+(µØ°)

∞+µ

∞+° (∞+µ)Ø(∞+°)

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

∞fi ÙȘ ÛًϘ 5 Î·È 8 ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ: ∞+(µØ°)=∞ص+∞Ø°. √Ú›˙Ô˘Ì ÙÒÚ· ‰‡Ô ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ ÛÙÔȯ›· Û1 Î·È Û2 ÙÔ˘ Û˘ÓfiÏÔ˘ G, Ù¤ÙÔÈ· ÒÛÙÂ: – – Û1 = ∞ Ø ∞ Î·È Û2 = ∞ + ∞ , ∀∞ G

742

ª∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞¡∞§À™∏ ∫∞π MATLAB

∞Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ: – Î·È ∞ + Û1 = ∞ – – – ¢ËÏ·‰‹: ∞ Ø (∞ + ∞ ) = ∞ Î·È ∞ + (∞ Ø ∞ ) = ∞ . ∞ Ø Û2 = ∞

™¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ›Ó·Î˜ ·ÏËı›·˜: ¶ÚˆÙÔÁÂÓ›˜ ∆È̤˜

¶·Ú¿ÁˆÁ˜ ∆È̤˜

∞ 1

– ∞ 2

– Û2 = ∞+∞

∞ØÛ2

– Û1 = ∞Ø∞

∞+Û1

3

4

5

6

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

·fi ÙȘ ÛًϘ 4 Î·È 1 ¤¯Ô˘ÌÂ: Î·È ·fi ÙȘ ÛًϘ 6 Î·È 1 ¤¯Ô˘ÌÂ: ∂›Û˘: – ∞ + ∞= 1

– ∞ Ø Û2 = ∞ Ø (∞ + ∞ ) = ∞ – – ∞ + Û1 = ∞ + (∞ Ø ∞ ) = ∞ – ∞ Ø ∞= 0

∞˘Ùfi ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È ·fi ÙȘ ÛًϘ 3 Î·È 5 ÙÔ˘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ˘ ›Ó·Î· ·ÏËı›·˜. ™‡Ìʈӷ Ì ٷ ·Ú·¿Óˆ, ÙÔ Û‡ÓÔÏÔ G, ÂÊԉȷṲ̂ÓÔ Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Û‡˙¢Í˘, ‰È¿˙¢Í˘ Î·È ¿ÚÓËÛ˘, Î·È Ù· ‰È·ÎÂÎÚÈ̤ӷ ÛÙÔȯ›· 1 Î·È 0, ·ÔÙÂÏ› ÌÈ· ¿ÏÁ‚ڷ Boole, Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÛÙÔÓ ÚÔÁÚ·ÌÌ·ÙÈÛÌfi.

25.2 ™¯ÂÛÈ·ÎÔ› §ÔÁÈÎÔ› ∆ÂÏÂÛÙ¤˜ – Relational Operators ∆Ô ML, fiˆ˜ Î·È ¿ÏϘ ÁÏÒÛÛ˜ Î·È ÚÔÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÚÔÁÚ·ÌÌ·ÙÈÛÌÔ‡, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ› ÙÔ˘˜ ·ÎfiÏÔ˘ıÔ˘˜ ÙÂÏÂÛÙ¤˜: ∆ÂÏÂÛÙ‹˜ == ~= <= < >= >

∞ÁÁÏÈÎfi˜ fiÚÔ˜

∂ÏÏËÓÈÎfi˜ fiÚÔ˜

equal not equal less than or equal less than greater than or equal greater than

›ÛÔ˜/Ë/Ô ¿ÓÈÛÔ˜/Ë/Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜/Ë/Ô ‹ ›ÛÔ˜/Ë/Ô ·fi... ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜/Ë/Ô ·fi... ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜/Ë/Ô ‹ ›ÛÔ˜/Ë/Ô ·fi... ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜/Ë/Ô ·fi...

∏ ¯Ú‹ÛË ÏÔÁÈÎÒÓ ÂÓÙÔÏÒÓ ÛÙÔ ML ‰›ÓÂÈ ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· 1 (=true=·ÏËı¤˜) ‹ 0 (=false=„¢‰¤˜) ·Ó¿ÏÔÁ·.

¶ƒ√°ƒ∞ªª∞∆π™ª√™ M∂ ªATLAB

743

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞∆∞ >>1==5 ↵ ans=0

(„¢‰¤˜)

>>3<8 ↵ ans=1

(·ÏËı¤˜)

>>3+5=8 ↵ ans=1

(·ÏËı¤˜)

>>3~=8 ↵ ans=1

(·ÏËı¤˜)

√È Û¯ÂÛÈ·ÎÔ› ÙÂÏÂÛÙ¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·È ÛÙÔ˘˜ ÌÈÁ·‰ÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ì ÙËÓ ›‰È· ÏÔÁÈ΋ Ô˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜, ÌfiÓÔ Ô˘ Ô ¤ÏÂÁ¯Ô˜ Á›ÓÂÙÈ· ηٿ ̤ÚË. ¢ËÏ·‰‹ ÂϤÁ¯ÔÓÙ·È ¯ˆÚÈÛÙ¿ Ù· Ú·ÁÌ·ÙÈο Î·È ¯ˆÚÈÛÙ¿ Ù· Ê·ÓÙ·ÛÙÈο ̤ÚË. ∞Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô ¤ÏÂÁ¯ÔÈ Â›Ó·È ·ÏËı›˜ ÙfiÙÂ Ô Û˘ÓÔÏÈÎfi˜ ¤ÏÂÁ¯Ô˜ Â›Ó·È ·ÏËı‹˜, ·ÏÏÈÒ˜ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È „¢‰¤˜.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ >>3+8+5i==11+5i ↵ ans=1

(∞ÏËı‹˜)

>>3+5i==3+6i ↵ ans=0

(梉‹˜. ∆· Ú·ÁÌ·ÙÈο ̤ÚË ›Û·, Ù· Ê·ÓÙ·ÛÙÈο fï˜ Â›Ó·È ¿ÓÈÛ·)

>>3+5i==2+5i ↵ ans=0

(梉‹˜. ∆· Ú·ÁÌ·ÙÈο ̤ÚË Â›Ó·È ¿ÓÈÛ·, ¤ÛÙˆ Î·È ·Ó Ù· Ê·ÓÙ·ÛÙÈο Â›Ó·È ›Û·)

>>3+5i==2-3i ↵ ans=0

(梉‹˜. ∫·È Ù· ‰‡Ô ̤ÚË Â›Ó·È ¿ÓÈÛ·)

√È Û¯ÂÛÈ·ÎÔ› ÙÂÏÂÛÙ¤˜ fiÙ·Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÁÈ· Û‡ÁÎÚÈÛË ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ ‹/Î·È ÈÓ¿ÎˆÓ Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ó Ù· ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ı¤ÛˆÓ.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 1 ¡· Û˘ÁÎÚÈıÔ‡Ó Ù· ‰È·Ó‡ÛÌ·Ù· · = [1 2 4 8] Î·È ‚ = [1, 2 , 8, 4]. °Ú¿ÊÔ˘ÌÂ: >>a=[1 2 4 8]; ↵ >>b=[1,2,8,4]; ↵ >>a==b ↵ ans=1 1 0 0

744

ª∞£∏ª∞∆π∫∏ ∞¡∞§À™∏ ∫∞π MATLAB

∏ ·¿ÓÙËÛË ÛÙÔ ML (1, 1, 0, 0) ÛËÌ·›ÓÂÈ ˆ˜ Ë Û‡ÁÎÚÈÛË ¤‰ÂÈÍ ˆ˜ Ù· ÛÙÔȯ›· ÛÙȘ ı¤ÛÂȘ 1 Î·È 2 Â›Ó·È ›Û· (1=·ÏËı‹˜) ÂÓÒ ÛÙȘ ı¤ÛÂȘ 3 Î·È 4 Â›Ó·È ¿ÓÈÛ· (0=„¢‰¤˜).

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 2 √ ›Ó·Î·˜ ∞ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ÙÔ˘ ›Ó·Î· µ; 1 –2 4 6 ∞=

0

3

5 7

1 –2 1 µ=

4 –1 0 6

3

4

0

6 –1

7

0

8

1

™ÙËÓ ÔıfiÓË Ù˘ ÂÈÎfiÓ·˜ 25-1 Ê·›ÓÔÓÙ·È ÔÈ ÂÓÙÔϤ˜ ηٷ¯ÒÚËÛ˘, ÂϤÁ¯Ô˘ Î·È Ù· ·ÔÙÂϤÛÌ·Ù·.

∂ÈÎfiÓ· 25-1

∏ ·¿ÓÙËÛË ÙÔ˘ ML ‰ËÏÒÓÂÈ ˆ˜ ηӤӷ ·fi Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÚÒÙ˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÙÔ˘ ›Ó·Î· a ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÙÔ˘ ›Ó·Î· b. [∏ Û¯¤ÛË a<b Â›Ó·È „¢‰‹˜ (=0) ÁÈ· Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ÚÒÙ˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜.] ∞fi Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ÁÚ·ÌÌ‹˜ ÙÔ˘ ›Ó·Î· a ÙÔ 1Ô Î·È ÙÔ 3Ô Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÔ˘ ›Ó·Î· b (=1= ·ÏËı‹˜ Ë Û¯¤ÛË a<b), ÂÓÒ ÙÔ 2Ô Î·È 4Ô ‰ÂÓ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚ·. ªÂ ÙËÓ ›‰È· ÏÔÁÈ΋ ÙÔ ML Ì·˜ ·¿ÓÙËÛ ˆ˜ Ù· ÛÙÔȯ›· 1Ô, 2Ô Î·È 3Ô Ù˘ ÙÚ›Ù˘ ÁÚ·Ì‹˜ ÙÔ˘ ›Ó·Î· a Â›Ó·È (1=·ÏËı¤˜) ÌÈÎÚfiÙÂÚ· ÙˆÓ ·ÓÙ›ÛÙÔȯˆÓ ÙÔ˘ ›Ó·Î· b, ÂÓÒ ÙÔ 4Ô ‰ÂÓ Â›Ó·È.

25.3 §ÔÁÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ – ™¯ÂÛȷΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ √ ML ‰¤¯ÂÙ·È ·ÓÙ› ÙˆÓ Û¯ÂÛÈ·ÎÒÓ-ÏÔÁÈÎÒÓ ÙÂÏÂÛÙÒÓ (==, ~=, <=, <, >=, >) Û¯ÂÛȷΤ˜-ÏÔÁÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· Ì·ıËÌ·ÙÈ΋ ¯Ú‹ÛË, ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ fï˜ Û‡ÓÙ·ÍË. √È Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ Î·È Ë ·ÓÙÈÛÙÔȯ›· ÙÔ˘˜ Ì ÙÔ˘˜ ÙÂÏÂÛÙ¤˜ ›ӷÈ:

¶ƒ√°ƒ∞ªª∞∆π™ª√™ M∂ ªATLAB

745

™˘Ó¿ÚÙËÛË

∆ÂÏÂÛÙ‹˜

∞ÁÁÏÈÎfi˜ fiÚÔ˜

∂ÏÏËÓÈÎfi˜ fiÚÔ˜

eq ne le lt ge gt

== ~= <= < >= >

equal not equal less than or equal less than greater than or equal greater than

›ÛÔ˜/Ë/Ô ¿ÓÈÛÔ˜/Ë/Ô ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜/Ë/Ô ‹ ›ÛÔ˜/Ë/Ô ·fi... ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜/Ë/Ô ·fi... ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜/Ë/Ô ‹ ›ÛÔ˜/Ë/Ô ·fi... ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜/Ë/Ô ·fi...

∏ Û‡ÓÙ·ÍË ÙˆÓ ÏÔÁÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Á›ÓÂÙ·È Ì ÙË Û˘Ó¿ÚÙËÛË Î·È Ì¤Û· Û ·Ú¤ÓıÂÛË Ù· Û˘ÁÎÚÈÓfiÌÂÓ· ÔÚ›ÛÌ·Ù·, ¯ˆÚÈṲ̂ӷ Ì ÎfiÌÌ·.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ eq(x, y) ne(a, b) le(d, e) lt(k, m)

(ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: x==y) (ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: a~=b) (ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: d<=e) (ÈÛÔ‰‡Ó·Ì·: k<m)

25.4 §ÔÁÈΤ˜ ™˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ is...

To ML ‰È·ı¤ÙÂÈ ¤Ó·Ó ÌÂÁ¿ÏÔ ·ÚÈıÌfi ÏÔÁÈÎÒÓ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ Ô˘ ·Ú¯›˙Ô˘Ó Ì "is". ∆Ô ML ÂϤÁ¯ÂÈ ·Ó Ù· ‰‡Ô ÂÏÂÁ¯fiÌÂÓ· ÔÚ›ÛÌ·Ù· Â›Ó·È "fiÙÈ ¤¯ÂÈ ÁÚ·Ê› ÌÂÙ¿ ÙÔ is". ¶.¯. isequal(a, b)

∂ϤÁ¯ÂÈ ·Ó ÙÔ a Â›Ó·È ›ÛÔ (ηı' ÔÏÔÎÏËÚ›·Ó) Ì ÙÔ b. ¢ËÏ·‰‹ ·Ó a Â›Ó·È ¤Ó· ‰È¿Ó˘ÛÌ· Î·È b ¤Ó· ¿ÏÏÔ, Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË isequal ÂϤÁ¯ÂÈ ·Ó fiÏ· Ù· ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ a Â›Ó·È ›Û· Ì ÙÔ˘ b Î·È ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 1 ·Ó Â›Ó·È ‹ 0 ·Ó ‰ÂÓ Â›Ó·È fiÏ·.

25.4.1 ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ischar(a) ∏ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÂϤÁ¯ÂÈ ·Ó ÙÔ fiÚÈÛÌ· a Â›Ó·È ·ÏÊ·ÚÈıÌËÙÈÎfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ‹ fi¯È.

¶∞ƒ∞¢∂π°ª∞ 1 ŒÛÙˆ Ô ›Ó·Î·˜ a=['ı¤ÛË 11' 4 sin(4)]. ∏ ÂÓÙÔÏ‹ Î·È ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ›ӷÈ: >>a=['ı¤ÛË 11'

4

sin(4)] ↵

>>ischar(a) ↵ ans=1

¢ËÏ·‰‹ Ô ›Ó·Î·˜ a Â›Ó·È ·ÏÊ·ÚÈıÌËÙÈÎfi˜ (1 = ·ÏËı¤˜).