NOTEDELDOCENTE
• Questetraccesonoilrisultatodellarielaborazionediappunti,dispense,librididiversiautori.Inparticolare,leprincipalifonti
sonostateledispensedelProf.Amedeo Premoli(PolitecnicodiMilano)egliappuntidelProf.MauroParodi(Universit`a degliStudidiGenova).Aentrambivail mioringraziamento.
• Glistudentichetrovasseroimprecisioni,errori,lacunenelletraccesonoinvitatiasegnalarmeli.Ringrazioinparticolareiseguentistudentiperlesegnalazionineglianni scorsi:MassimilianoMostes
2.13Applicazionedellateoriadeigrafiaicircuiti..........29
2.14LeggediKirchhoffdelletensioni(KVL)(1847).........30
2.15LeggediKirchhoffdellecorrenti(KCL)(1847).........32
2.16FormulazionialternativedelleleggidiKirchhoff........32
2.17RiepilogosumatricivarieeleggidiKirchhoff.........34
2.18Grafodiuncomponente.....................35
2.19TeoremadiTellegen(odellepotenzevirtuali)(1952).....38
2.20Esercizi..............................40
2.20.1Esercizio2foglio1....................40
2.20.2Esercizio3foglio1....................40
Capitolo1 Introduzione.
Icircuitielettrici(oretielettriche)chestudieremonell’ambitodel corsosono daintendersicome modelli disistemifisici:
1.Naturali(es.neurone)
2.Artificiali(es.apparatiperlagenerazione,iltrasportoeilconsumo dell’energiaelettrica,apparatiperlagenerazione,acquisizione,memorizzazione,trasmissione,elaborazioneeutilizzodell’informazionecontenutainsegnalielettrici)
Modello ⇔ Astrazionematematica,sistemadiequazioniingradodiriprodurre(almenoincertecondizioni)ilcomportamentodialtrisistemi o fenomeni.
Unbuonmodello`eilrisultatodiuncompromessotralafedelt`aalsistema damodellareelasemplicit`adelmodellostesso ⇒ bisognausareil“rasoiodi Ockham”.
Servonointuito,esperienzaeconoscenzaperricavareilmodellopi`uadeguatoallasituazione.Inparticolare,occorreconoscere:
• legrandezzefisichemisurabili(variabili“osservabili”delsistema)
• leleggifisiche(→ equazionimatematiche)cheleganotaligrandezze (→ verifichesperimentali)
Verificadelmodello :simulazionealcalcolatoreosoluzioneanaliticadelle equazioni ⇒ confrontocongliesperimenti ⇒ modifichealmodello.
Sistemiartificialichepi`uciinteressano:sistemielettricifisici(lineeelettriche,motori,apparecchi,altoparlanti,strumentimusicali,ecc.)
2categoriedimodelliperifenomeni elettrici
1.Introduzione.
aparametriconcentrati (→ teoriadelle retielettricheodeicircuiti) ← NOI
aparametridistribuiti (→ teoriadelle linee)
Noiciconcentriamosuicircuitiaparametriconcentrati.Inaltricorsi(relativiperesempioaicampielettromagnetici)vedretecometrattareimodelli aparametridistribuiti.Ilricorsoauntipodimodellioall’altrodipende dal rapportotralalunghezzad’ondadeisegnalielettriciingiocoeledimensioni delcircuito.Quasituttoquellochediremoapropositodeicircuitia parametri concentratiNONVALEperquelliaparametridistribuiti.
Imodelliaparametriconcentratidisistemielettricifisici(⇔ circuiti)si ottengonoda:
modelli deicomponentifisiciodiloroinsiemi: componenti +
modoincuiicomponentifisicisonocollegati: topologia
1.1Componente
Uncomponente`eunoggettolimitatodaunasuperficiechiusa,detta superficielimitedelcomponente,dacuiesconoalmeno2 terminali,chehannoper estremoun morsetto
I terminali hannoformageometricataledafacilitarelaconnessionecon altricomponenti.Sonocostituitioalmenoricopertidamaterialeconduttore (rame,stagno,oro,...).I morsetti consentonodidefinireuncollegamento. L’insieme“terminale+morsetto”sidice“polo”.
Uncircuitopi`ucomplesso(⇒ costituitodapi`umaglie)rispettoaquello difigura1.1(b)sidicepi`ucorrettamente“reteelettrica”.Uncomponentea dueterminalisidicebipolo,unoatretripolo,unoaquattroquadripolo,ecc.
Esistonoanchedispositiviaunsolopoloomonop`oli(antenne),manon liincludiamonellostudiodeicircuiti(coinvolgonoproblemidi propagazione elettromagnetica).
Anoinoninteressaci`ocheaccade dentro lasuperficielimite:gli eventielettromagnetici cheavvengonoall’internodelcomponentenonvengono studiatiindettaglio,nell’ambitodellateoriadeicircuiti.Essiriguardanola teoriadeicampielettromagneticierichiederebbero,perpoteresserecaratterizzati,l’usodi variabili 1 appropriate,laconoscenzadelle
Bipolo: Tripolo: Figura1.2:
governanoilcomportamentoditalivariabili(leggidiMaxwelledequazioni costitutivedeimateriali)eladefinizionediopportuni parametri checonsentanodiconoscereconprecisioneilcomportamentodeimaterialidicuiil componente`ecostituito(conducibilit`a σ,costantedielettrica ǫ,permeabilit`a magnetica µ).
Datuttoquesto ⇒ modellosemplificato 2 (⇒ livellodidescrizionediverso daquelloutilizzatodachistudiaicampielettromagnetici).
1.2Variabilidescrittive
Anoiinteressanolegrandezzefisiche misurabili checaratterizzanoilcomponente dall’esterno.Essevengonodettevariabilidescrittive etipica-
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
1.Introduzione.
mentesono tensioni e correnti.Cariche3 eflussi4 andrebberougualmente beneinlineadiprincipio,masonopi`udifficilidamisurare.
Corrente: `eunavariabilereale i ∈ℜ,funzioneingeneraledeltempo t (i = i(t)). ` Eassociabilea(⇔ misurabilein)ciascunterminalesecondouna certa convenzione (questoconcettosar`aprecisatonelseguito).
Figura1.3:Lacorrentediunterminalesipu`omisurareconun amperometro
Lacorrentesimisuraconunamperometro:sitrattadiuncomponente (bipolo)conterminalicollassati(→ sivedonosoloimorsetti).Usandoun amperometroideale,lamisuranonalterailcircuito(⇒ nonfacaderetensione).Unaltrotipodirappresentazioneperlacorrenteassociataaun terminale`elaseguente:
Scaladivaloritipicaincircuiti“normali”(elettrodomestici,PC,etc.): µA(10 6 A)omA(10 3 A).
Tensione :`eanch’essaunavariabilereale,ingenerefunzionedeltempo (v = v(t)). ` Eassociabilea(⇔ misurabilesu)ognicoppiadimorsettisecondo una convenzione dadefinireapriori.
Latensionesimisuraconunvoltmetro(sitrattadiunbipoloconterminalicollassati);usandounvoltmetroidealelamisuranonalterailcircuito (nonassorbecorrente).Scaladivaloritipiciditensione:VomV.
3Lacaricaelacorrentesonolegatedaunarelazionedifferenziale: i = dq dt .Unit`adi misuraS.I.:[q]= C;[i]= C s = A
4Ilflussoelatensionesonolegatedaunarelazionedifferenziale: v = dΦ dt .Unit`adi misuraS.I.:[Φ]= Wb;[v]= Wb s = V .
Uncomponente`ecaratterizzatodallegamecheesistetralevariabilidescrittive,ossiadallaleggecostitutivao equazionedescrittiva delcomponente.
1.3Bipolo
Nelcasodiun bipolo qualisono tutteesole (→ indipendenzaecompletezza ⇒ Ockham `econtento!) levariabilinecessarieacaratterizzarlo?
Inaltritermini,qualivariabiliservonoperdefinireilmodello(componente)?
ConsiderounasuperficiediGausschecontengasoloilterminalesuperiore:
Analogamente: i3 = i4.Selasuperficie(diGauss)coincideconla superficielimitedelcomponente
v2 .Dunque,peraverevariabiliindipendenti(tutte e sole levariabili cheservono)bisognascegliereunasolacorrenteeunasolatensione. Lepossibiliconvenzionisonodue:
CONVENZIONENORMALE(oconvenzionedegliutilizzatori)
CONVENZIONENON-NORMALE(oconvenzionedeigeneratori)
1.4Potenza
Aquestopunto`epossibiledefinireun’altragrandezzaelettricafondamentale, dopo i e v
potenza
1.Introduzione.
Seinvecerispettanolaconvenzionenon-normale ⇒ lapotenza erogata dalbipolo`e pE (t)= v(t) i(t),mentrequella assorbita dalbipolo`e pA(t)= pE (t).
Hp.:convenzionedegliutilizzatori ⇒ inuntempo δt ilbipoloassorbe un’energia δw = p · δt chepu`oessere(inparteointoto):
1.dissipata ⇒ nonpu`opi`uessereusatainsensoelettrico(vienetipicamentetrasformataincalore,comenellestufeelettriche);
2.accumulata;
3.scambiata(→ assorbitaeceduta).
Globalmente,l’energiaassorbitadalbipolo`eparia:
w = t −∞ p(τ ) dτ
Lostrumentoutilizzatopermisurarelapotenzasichiamawattmetro.
1.5LeggidiKirchhoff
Ancheinuncircuitosemplice,letensionielecorrentidescrittivedei componentipossonoesserenumerose. ` Enecessariomisurarletutte?
Siconsideriuncircuitocostituitoda solibipoli.Siconsiderioraunpercorsochiuso(maglia)checoinvolgaalcunibipolidelcircuitoeglisiassegni un’orientazione(peresempioinsensoorario):
Misurandocontrevoltmetriletensionidescrittivedeitrebipoliinteressatidallamagliaindicatainfigura,sitrovachelasomma algebrica delle tensioni,definitarispettoall’orientamentodellamaglia(segno“+”sela tensione`econcordeallamaglia,segno“ ”se`ediscorde),`enulla.Inaltri termini,lasommadelletensioniconcordiconlamaglia`eugualeallasomma diquellediscordi: v1 + v3 = v2.
Esistedunqueun vincoloalgebrico chelimitailnumerodelletensionida misurare:talevincoloprendeilnomedi LeggediKirchhoffdelletensioni (KVL).
Unvincoloanalogoesisteperlecorrenti:bastaconsiderarelecorrenti descrittivedeibipoliincidentiunostessonodo:
LeggediKirchhoffdellecorrenti (KCL):lasommadellecorrentientrantinelnodocoincideconlasommadellecorrentiuscentidalnodo(`euna conseguenzadelteoremadiGauss).Nell’esempiosiha: i4 + i7 = i1 + i2.
Igraficonsentonodienunciarequesteleggiinformarigorosa.
Capitolo2 Grafi
Questoargomentononriguarda direttamente icircuitielettrici,maun settoredellamatematicaapplicata(teoriadeigrafi).Sarannointrodottigli elementiessenzialidiquestateoriautilinell’analisideicircuiti.
Uncircuito`ecostituitodadiversicomponentiinterconnessitra loro.Per capirecomefunzionailcircuitonelsuocomplesso,ossiaricavareleespressioni analitichedituttelevariabilidescrittive,sar`anecessarioconoscereduecose:
• la naturadeicomponenti (→ ilegamitralevariabilidescrittivedi ciascuncomponentepresodipers´e),ossial’equazionedescrittivadi ciascuncomponente;
• ilmodoincuitalicomponentisonointerconnessitraloro,ossiala topologiadelcircuito.
Perquantoriguardaleequazionidescrittive,sivedrannoinseguitoquelle deicomponenticheciinteressanopi`udavicino.
Perquantoriguardal’analisidellatopologiadelcircuito,invece,sipu`o ricorrereallateoriadeigrafi:intalmodoilcircuitoviene“privato”dellaproprianaturafisicaevieneanalizzatocomepurainterconnessionedi elementi.
2.1Elementifondamentali
Esempio: n =4,l =6
(arco)=latooramo (pallinonero)=nodo
Ciascunlato`eassociatoaduenodi distinti (sivedalafigura).Senonsi `einteressatiall’ordineconcuiiduenodisonoassociatiaunlato ⇒ grafo nonorientato(comeinfigura).
Se,invece,sivuoledareunsignificatoall’ordinedeinodinellacoppia associataaunlato ⇒ grafoorientato:
Siassociaunversodipercorrenzaaognilato(⇒ si orienta)tramitefrecce
N.B.: iversidipercorrenzadeiramisonosceltiinmodoarbitrario,in genere,perch`enondipendonodallarealt`afisica.Unavoltascelto ilversodi unramo ⇒ tuttiglisviluppisuccessividevonorispettarequestascelta.
• Sepi`urami(lati)colleganolastessacoppiadinodi ⇒ sidicechesono inparallelo.Es.:ilati e e f dell’esempio.
• Unlato`eassociatoaduenodi;unnodo`eassociatoauncertonumero dilati(# ≥ 2,apartecasilimitedinodi“appesi”).Ilnumero#si diceordinedelnodo.
2.2Equivalenzatragrafi
Nonbisognafarsitrarreiningannodallarappresentazionegrafica diungrafo: bisognaastrarrelesoleinformazioniinteressanti,lasciandodapartequelle legateallageometria.Esempio:
Definizione: duegrafinonorientativengonodettiequivalentise,stabilita unacorrispondenzabiunivocasiatrainodidelprimoedelsecondo, siatrailati,ilaticorrispondentirisultanoassociatiacoppiedinodi corrispondenti.
Ladefinizionesiestendeimmediatamenteancheaigrafiorientati:in questocasoiramicorrispondentidevonoessere orientatinellostessoverso
2.3Percorsi
Datiduenodidistintidiungrafo,vienedetto percorso unacatenadi lati adiacenti(→ chehannoincomuneunnodo)colleganteiduenodi,detti estremi delpercorso ⇒ unpercorsoindividuaunasuccessionealternatadi nodielati.Ciascunnodoeciascunramosiincontranounavoltasolanel percorsoenonsonoammessediramazioni(⇒ siincontrano k latie k 1 nodiintermedi ). L’orientazionenonconta.Esempio(ipercorsisonosegnati contrattodiscontinuo):
Percorso1 → 3: {a, 2,c, 4,f } 3lati,2nodiinterni
Percorso1 → 3: {b, 4,e} 2lati,1nodointerno
2.4Sottografi,alberiecoalberi
Ledefinizionicheseguonoprescindonodall’eventualeorientazionedeilati.
Unsottoinsiemedeglielementi(nodielati)diungrafovienedetto sottografo.Peresempio,unpercorso`eunsottografo.Ilrestodelgrafo viene dettosottografocomplementare.
Unsottografochecontenga solo nodidiordinedue`edetto maglia (`euna figurachiusa).Inaltritermini, unamaglia`eunpercorsoconidueestremi coincidenti.Esempio(lemagliesonoidentificatedatrattodiscontinuo):
Albero :`eunsottografocontenente unoeunsolo percorsotraognicoppiadinodidelgrafo ⇒ `eunsottografocontenente tuttiinodi delgrafo enoncontenente alcunamaglia (sivedailparagrafo2.7). Alcuniesempisonoriportatiinfigura2.1.
Ilsottografocomplementarediunalbero`edetto coalbero.
Efacileverificare(sivedaladefinizionedipercorso)che ognialberodi ungrafocon n nodie l lati`ecostituitoda n 1 lati(→ ilcoalberoneha l n +1).Nell’esempio, n =4e l =6 ⇒ l’alberohasempretrelati.
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
2.5Graficonnessiesconnessi
Grafoconnesso :grafoincuiesistesempreunpercorsocheuniscedue nodiqualsiasi.
GrafosconnessoGrafoconnesso
cerniere
Grafoconnessoincernieratoin3ein4
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
2.Grafi a. b. c. d. Figura2.1:Esempidialbero.L’alberoevidenziatonelgrafob.`edetto albero astella:tuttiilatiesconodallostessonodo.Incasocontrario → grafo sconnesso ⇒ ungrafosconnesso`eseparato completamenteindueopi`uparti(→ `emenointeressante:siriduceadueo pi`ucasipi`usemplici).
Unnodosidice cerniera se,eliminandolo,restanoduesottografisconnessi.
2.6Grafiplanari
Ungrafosidiceplanarequandopu`oesseretracciatosuunpianosenzaincroci trailati(aparteinodi).Altrimentisidicenonplanare.
Esempio2.6.1.
Sembra nonplanare,ma esisteungrafoequivalente senzaincrocifrailati ⇒ `e planare
Grafononplanare(nonsi riescea“sbrogliarlo”)
2.7Maglieecocicli(tagli)
` Egi`astatadefinitauna maglia (percorsochiusoconinodiestremicoincidenti);lungounamagliasiincontrano k nodie k lati.Unamagliaconsente duepercorsicompletamentedistintitraognicoppiadinodiappartenentialla maglia.Esempio:
d e f a c
23 4 b
Versodipercorrenza (orariooantiorario)
⇒ magliaorientata
1
3nodie3lati
2 → 4: {d, 3,f }
oppure {c}
Anelloesterno :maglia(unica)alcuiesternononesistonoaltriramin´e nodi →{a,d,e,b}
Anellointerno :magliaalcuiinternononesistonoaltriramin´enodi → {e,f },{d,f,c},{a,b,c}
Aognimagliapu`oessereassociatounversodipercorrenza(orariooantiorario) ⇒ magliaorientata(comelamaglia {c,d,f } dell’esempioprecedente).
Sidice taglio (ocociclo)diungrafounqualsiasisottoinsiemedirami necessariesufficienti,serimossi,aseparareilgrafoinduesottografiseparati (ossiaarendereilgrafosconnesso).Ognitagliopartizionainduel’insieme deinodidelgrafo.Seunodeidueinsiemicontieneunsolonodo ⇒ siparla di taglionodale (sivedailprimoesempioinfigura2.2).Aognitagliopu`o essereassociatounverso(uscentedaltagliooentranteneltaglio) ⇒ taglio orientato(comeiltaglio {a,c,e,f } nelsecondoesempioinfigura2.2).
2.8Basidimaglieeditagli
Peranalizzareungrafo, non `enecessarioindividuare tutte lemagliee tutti itaglipossibili.Bastaindividuareunsottoinsiemedimaglieindipendentie unsottoinsiemeditagliindipendenti.Ingenerale,unamagliadipende da altreduesecontiene solo latiappartenentiaunaoall’altra(unesempio`e mostratoinfigura2.3).
Comesipossonotrovaretuttelemaglieindipendenti(⇒ basedimaglie) etuttiitagliindipendenti(⇒ baseditagli )?Sipu`opartiredaunalbero.
Lemagliecontenentiunoeunsololatodicoalberocostituisconouna base (magliefondamentali) ⇒ l n +1magliefondamentali(=numerodilati dicoalbero).Stessodiscorsovaleperitaglicontenentiunoeun sololatodi albero(taglifondamentali) ⇒ n 1taglifondamentali(=numerodilatidi albero).Aognibase(dimaglieeditagli),`epossibileassociareunamatrice nelmododescrittoneiparagrafiseguenti.
S1 e S2 rappresentanosuperficichiuseche intersecanoiramidiuntaglio.Ciascunadiessecontieneunsottoinsiemedei nodidelgrafocorrispondente.
Anelloesterno: {a,b,d}
Anellointerno1: {a,b,c}
Anellointerno2: {c,d}
2.9Matricedimaglie
b d c a
lineacontinua:albero
lineatratteggiata:coalbero
Inquestoesempio l =4e n =3,percuiilnumerodimagliefondamentali `e l n +1=2.Siordinanoilati partendodaquellidicoalbero:(⇒ a,d,b,c) esiorientaognimagliafondamentalecomel’unicolatodicoalberoinessa contenuto.
Aquestopuntosiassociaaognimagliafondamentaleunvettorerigai cuielementisonotantiquantisonoilatidelgrafoeilcuivalore `e:
-1 seillatoappartieneallamagliaeilsuoverso`ediscorderispettoalversodellatodi coalberocontenutonellamaglia
0 seillatononappartieneallamaglia
1 seillatoappartieneallamagliaeilsuoverso`econcordeconquellodellatodicoalbero contenutonellamaglia
⇒ Nell’esempio,lamatricedimaglie`e:
Lecolonnedellamatricecorrispondonoatuttiilatidelgrafo,ordinati comespecificato.Lerighecorrispondonoallemagliefondamentali,ossiaai latidicoalbero(presinellostessoordinedelleprime l n +1colonne).
Percomesonostaiordinatiilati,leprime l n +1colonnedi B formano unamatriceidentit`a.Laconfermadelfattochelemaglieconsideratesonoindipendenti`echelerighedi B sonolinearmenteindipendenti(perlapresenza dellamatriceidentit`a).Tuttelealtremagliedipendonodaquelleconsiderate: infattilemagliefondamentalicoinvolgonotuttiilatidelgrafo(nonesistono colonnedi B nulle) ⇒ tuttelealtremagliedipendonodaquellefondamentali (sivedailparagrafo2.8perladefinizionedimaglieindipendenti).
2.10Matriceditagli
b d c a
lineacontinua:albero lineatratteggiata:coalbero
Perquantoriguardaicocicli,sifaunragionamentoanalogo.Nelcaso raffiguratoquisopra,cisono n 1=2taglifondamentali.Siordinanoilati comenelcasodellamatricedimaglie(ossia partendodaquellidicoalbero)esi orientaognitagliofondamentalecomel’unicolatodialberoinessocontenuto → vettorecostruitoanalogamenteaprima.
⇒ Nell’esempio,lamatriceditagli`e:
Inquestocaso,lerighedellamatricecorrispondonoaitaglifondamentali, ossiaailatidialbero(ordinaticomeleultime n 1colonne).
Perilrestovalgonolestesseconsiderazionifatteper B.
Propriet`a:
BAT =0 (sonomatriciortogonali)
Balb = [Acoa]T
Esempio2.10.1.
Cosasipu`odirediquestografo?
• ` Econnesso.
• ` Eincernierato(nelnodo1).
• Ilati a e b sonoinparallelo.
• l =8latie n =6nodi
n 1=5latidialbero ⇒ 5taglifondamentali.
l n +1=3latidicoalbero ⇒ 3magliefondamentali.
Provare,peresercizio,aindividuareunalberoearicavarelecorrispondentimatricidimaglieeditagli.
2.11Basidianellietaglinodaliematricedi incidenza
` Epossibiledefinirebasidimagliecostituitedasolianelli(solopergrafi planari):bastascartarneunoqualsiasi ⇒ nerestano l n +1.
` Eanchepossibiledefinirebasicostituitedasolitaglinodali(perqualsiasi grafo):bastascartarneunoqualsiasi(ilnodoscartatovienedettonododi riferimento) ⇒ nerestano n 1.
Lamatricediunabaseditaglinodali,moltousatanellapratica,prende ilnomedi matricediincidenza (ridotta),che`emoltosemplicedacostruire. Esempio2.11.1.
2.GrafiLamatricesicostruisceassociandoaognitagliodellabaseunvettoreriga (⇒ lamatriceha n 1righe).Lecolonnesonoassociateatuttiilatidel grafo,ordinatiapiacere(⇒ l colonne).Glielementidiogniriga(identificata dalnodocorrispondentealtaglionodale)valgono:
1seillatocorrispondenteallacolonnaentranelnodo corrispondenteallariga -1seesce
0senon`ecoinvoltodaltaglionodale
Quindituttiitaglinodalihannoorientazioneentrante ⇒ lacostruzione dellamatrice`epi`usemplicechenelcasogenerale.
Propriet`adi M:
Data M,siriescearicostruireilgrafo!Bastadisegnareinodienumerarli eispezionarelecolonnedi M:ilativannodisegnaticollegandolecoppiedi nodicorrispondentiaelementinonnulliinognicolonna,conlaconvenzione stabilita.Seinunacolonnac’`eunsoloelementononnullo,illatoinquestione terminanelnododiriferimento.
Lamatricediincidenza completa siottieneaggiungendolarigarelativa alnododiriferimento(→ linearmentedipendentedallealtre).
2.12Riepilogo
• Basedimaglie (l n +1magliefondamentali=numerodilatidi coalbero) ⇒ matricedimaglie B = Il n+1 | Balb
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
2.Grafi
• Baseditagli (n 1taglifondamentali=numerodilatidialbero)
⇒ matriceditagli A =[Acoa | In 1]
• casoparticolare: Baseditaglinodali ⇒ matricediincidenza (ridotta) M
• Propriet`a:
BAT =0
Balb = [Acoa]T
2.13Applicazionedellateoriadeigrafiaicircuiti
Finoranonsi`efattoriferimentoagrandezzeelettriche:siintroduconoora.
Aogninodo k diungrafo`epossibileassociareunavariabilereale(funzionedeltempo)detta potenzialeelettrico (uk(t)).Perognicoppiadinodi distinti,la tensione elettricavienedefinitadalladifferenzadeipotenzialinei nodi.
Seinodi1e2sono unitidaunlato: (latoorientatocomelatensione)
Ingenerale,perungrafodi n nodi,sonodunquedefinibili n × (n 1)
tensioni.Perfortunaingenerenon`enecessarioprenderletutte inconsiderazione!Bastaconsiderarele l ≤ n × (n 1)tensioni(diramo)definite
tranodiconnessidaunlato ⇒ definiamoilvettoredelletensionidilato
nota :siccomeognitensione`edefinitacomedifferenzatraduepotenziali ⇒ letensioninoncambianosesisommaunacostantearbitrariaatuttii potenziali.
Aognilato j diungrafo`epossibileassociareunavariabilereale(funzione deltempo)dettacorrente(elettrica) ij (t).
Convenzionegrafica:
Lecorrentiassociateailatidiungrafovengonodette correntidilato
esonoraggruppatenelvettorecolonna i(t)=
2.14LeggediKirchhoffdelletensioni(KVL) (1847)
Datounsottoinsiemequalsiasideinodidiungrafo,sidefinisceunasequenza ordinataechiusadicoppiedinodi(peresempio,nelgrafodifigura2.4si`e sceltalasequenza(3, 2),(2, 5),(5, 4),(4, 1),(1, 3)).Lasommadelletensioni definitesutalesequenza`enulla.
Letensioni v32(t), v25(t), v54(t), v41(t), v13(t)sonoorientateinmodochela frecciadiciascunatoccalacodadellaprecedente ⇒ percorsochiusoorientato insensoorario.
Siverificaoralavalidit`adellaKVL:
N.B.:selasequenzachiusadicoppiedinodiindividuaunamagliae B `elamatricediunaqualsiasibasedimaglie,sipu`oscrivereche B v(t)=0 (l n +1KVLindipendenti),dove v(t)`eilvettoredelletensionidilato. OvviamenteleKVLindipendentichesiottengonoinquestomododipendonodallasceltadell’albero.
Esempio2.14.1.
2.15LeggediKirchhoffdellecorrenti(KCL) (1847)
Lasommaalgebricadellecorrenticheattraversanounqualsiasitagliodiun grafo`enulla.Se A `elamatricediunaqualsiasibaseditagli ⇒ Ai(t)=0 (n 1KCLindipendenti)(i(t)`eilvettoredellecorrentidilato).
2.16Formulazionialternativedelleleggidi Kirchhoff
Sipu`odareunaformulazionealternativadelleequazionidiKirchhoffsfruttandolapropriet`ainbaseallaqualeperunaqualsiasisceltadialbero (→ baseditaglifondamentaliebasedimagliefondamentali)siha: BAT =0.
(t)`eilvettoredelletensionidilato,mentre vT (t)rappresentail cosiddetto vettoredelletensioniditaglio (lecuicomponentisono arbitrarie).
Dalconfrontotrailprimoel’ultimoterminedellasequenzadiequazioni
⇒ v(t)= AT vT (t).
QuestesonoKVLinformaridondante(l equazioniinvecedi l n +1). Ingenerale,letensioniditaglio non hannounriscontrofisicoimmediato.
DiscorsodualevaleperleKCL.Basedimagliefondamentali
⇒ A adim. i(t) [A]
=0 [A]
= ABT adim. iC (t) [A]
dove i(t)`eilvettoredellecorrentidilato,mentre iC (t)rappresentailcosiddetto vettoredellecorrenticicliche (lecuicomponentisono arbitrarie).
Dalconfrontotrailprimoel’ultimoterminedellasequenzadiequazioni
⇒ i(t)= BT iT (t).
QuestesonoKCLinformaridondante(l equazioniinvecedi n 1).
Nelcasoparticolaredella matricediincidenza (⇒ baseditaglinodali), ilvettoredelletensioniditaglioassumeunsignificatofisicobenpreciso evienedetto vettoredelletensionidinodo (rispettoalnododi
DunqueleleggidiKirchhoffperlamatricediincidenzasipossonoesprimerecos`ı:
Mi(t)=0
v(t)= M T e
nell’ipotesidilatiorientaticomeletensioni.
2.17RiepilogosumatricivarieeleggidiKirchhoff
KVL:#equaz.
Bv(t)=0,dove B `euna matricedimagliee v(t) ilvettoredelletensionidi lato.
v(t)= AT vT (t),dove A `e unamatriceditaglie vT (t) `eilvettoredelletensionidi taglio.
v(t)= M T e(t),dove M `ela matricediincidenzaridottae e(t)`eilvettoredelle tensionidinodo(rispettoal riferimento).
l n +1(magliefondamentali ⇔ base dimaglie).
l (ridondanti. ` Epossibileriportarsia l n +1equazionieliminando n 1componentidel vettore vT (t)).
l (idem).
2.Grafi
KCL:#equaz.
Ai(t)=0,dove A `eunamatriceditaglie i(t)ilvettore dellecorrentidilato.
Mi(t)=0
i(t)= BT iC (t),dove iC (t) `eilvettoredellecorrenti cicliche.
n 1(taglifondamentali ⇔ basedi tagli).
n 1(taglinodali ⇔ baseditagli nodali).
l (ridondanti. ` Epossibileriportarsia n 1equazionieliminando l n +1componentidel vettore iC (t)).
Ilvettore e costituisceunaparticolaresceltadelletensioniditaglionel casoincuilabaseditaglisiacostituitadataglinodali.
Ingenerale vT (t)(cos`ıcome iC (t))`earbitrarioenonhaunsignificato fisicopreciso.
2.18Grafodiuncomponente
Lasceltapi`ucomune`equellarelativaallaconvenzionenormale(degli utilizzatori),conletensioniriferiteaunnododiriferimento(detto anche comune):
Questa`elasceltastandard,maneesistonoaltre.Ingeneralevabeneun qualunquealbero,peresempio:
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
descrittive: N 1tensionie N 1correnti(sono tutte e sole levariabili necessarieesufficientiacaratterizzarel’N -polo).Tuttelealtresiricavano comecombinazionilinearidiqueste(tramiteKCLeKVL).Eccoperch`enel casodeibipoli(N =2)bastanoduevariabilidescrittiveeperch`enonsi consideranocomponentiaunpolo:
i ≡ 0
nonsipu`odefinireunatensione,inoltre i ≡ 0 ⇒ hasensostudiareun’antenna solodalpuntodivistapropagativo(→ campielettromagnetici).
2.Grafi
Curiosit` a:
Potenzaassorbitadaun N -polo?
Percalcolarlabisognariportareletensioniecorrentidescrittiveallascelta convenzionale(→ grafoastella):
potenzaassorbita (quellaerogatahasegnoopposto).
Esempio2.18.1.
Determinarelapotenzaassorbitadal(entrantenel)4-terminaliin figura. Esprimereilrisultatointerminidellevariabilidescrittiveinfigura,ordinando rispettoalletensioni v1, v2 e v3.
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Percalcolarelapotenzaentrantebisognariferirsialgrafoastella (→ si sceglie unnododiriferimento):
2.19TeoremadiTellegen(odellepotenzevirtuali)(1952)
Teorema1. Datounsistemadivariabili(correntidilato) i′ euninsieme divariabili(tensionidilato) v′′ compatibili 1 conunostessografo,la
1OssiatalidarispettarnelaKVLperunabasedimaglieelaKCLperunabasedi tagli ⇔ ciascuninsiemedipers´esoddisfaleequazionitopologichediunqualsiasicircuito associatoatalegrafo,percuiidueinsiemipossonoancheriguardareduecircuitidiversi.
sommadellepotenze virtuali associateataliinsiemieassorbite(secondo laconvenzionenormale)datuttiilatidelgrafo`eidenticamentenulla:
Dimostrazione. SiusalamatricediincidenzaperesprimereKCLeKVL:
Bilanciodellepotenzevirtualiassorbitedatuttiilatidelgrafo:
N.B.: i′ e v′′ possonoappartenereaduecircuiticompletamentediversi traloro:bastacheigraficorrispondentisianoequivalenti,anche nelleorientazioni.InoltreilteoremadiTellegennonprecisaselecomponentideivettori i′ e v′′ debbanoesserefunzionideltempoocostanti,realiocomplesse: basta chesianoinsiemidifunzionicompatibiliconlostessografo.Sinoti infineche l’unicaipotesidelteorema(oltreallacompatibilit`adi i′ e v′′ conunostessografo)riguardailricorsoallaconvenzionenormale(odegliutilizzatori). QuestorendeilteoremadiTellegenunodeipi`ugeneraliditutta lateoriadei circuiti(linearienon).
Corollario
Lasommadellepotenzeassorbitedailatidiunareteelettrica`eidenticamentenulla.Inquestocasoletensionielecorrentivengonoassociateauno stessocircuitoeilcorollariononfacheesprimereilprincipiodiconservazione dell’energia.
Notastorica:ilteoremadiTellegen`estatoformulatounsecolopi`u tardirispettoalleleggidiKirchhoff,puressendovistrettamentelegato.In partequesto`edovutoalfattochel’applicazionedellateoriadeigrafiai circuiti`esuccessivaalledueleggidiKirchhoff.
2.20Esercizi
2.20.1Esercizio2foglio1
10bipoli ⇒ ognibipolocorrispondeaunlato
1tripolo ⇒ ognitripolocorrispondeaduelati ⇒ cisono10+2lati.
Grafo:
l =12lati
n =8nodi
Servono l equazionitopologiche:
l n +1=5equazionidimaglia(→ sipossonoconsiderareglianelli,per esempioquelliinterni), n 1=7equazionidinodo; Servonoinoltre l equazionideicomponenti.
2.20.2Esercizio3foglio1
Sidisegnanoidueinsiemidivariabilidescrittivesullostessocomponente:
2.GrafiCapitolo3 Bipoliadinamiciecircuiti elementari
3.1Generalit`a
Nellelezioniprecedentisonostatiintrodottiinmodomoltogeneraleicomponentidiuncircuitoed`estatadefinitaun’astrazionematematicadelcircuito, dettagrafo,tramitelaqualericavaretutteleinformazionipossibili sulla topologiadelcircuitostesso.
Inparticolare,datouncircuitoassociatoaungrafocon n nodie l lati,`e possibileindividuare2l variabili: l correnti(i(t))e l tensioni(v(t))dilato. Siccome risolvere uncircuitosignificadeterminarel’andamentoneltempo dellecorrentiedelletensionidilato,intotalesiavranno2l incognite.
Quanteequazionisihanno?La topologia delcircuitofornisceleKVL (l n +1)eleKCL(n 1),cheintotalesono l ⇒ mancanoaltre l equazioni, perrendereilproblemadeterminato.Queste l equazionivengonofornite dalla natura deicomponenticheformanolareteesonoleequazionicostitutivedeicomponentistessi.Lerelazionicostitutivedeicomponentifisici comunementeusatisuggerisconounaclassificazionedeicomponentistessiin tregrandiclassi,indipendentil’unadall’altra:
dinamico(conmemoria)oadinamico(oresistivoosenzamemoria)
tempo-varianteo tempo-invariante
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
componente
Uncomponentesidice adinamico selasua relazionecostitutivanoncontienederivatee/o integralidellevariabilidescrittiverispettoal tempo.
Uncomponentesidice tempo-invariante sela suarelazionecostitutivanoncambianeltempo. Levariabilidescrittivedipendono(ingenerale) daltempo,mailmodoincuisonolegatetraloro no.
Uncomponentesidice lineare se,datiduevettoriammissibili(compatibiliconilgrafo)divariabilidescrittive,ancheunalorocombinazione lineare`eunvettoreammissibile. Esempio3.1.1.
lineareononlineare
Relazionecostitutiva(informaimplicita,cio`edeltipo
f (i,v)=0enon v = f (i)o i = f (v)): αv(t) βi(t)+ γ =0
⇒ i(t)= α β v(t)+ γ β (formaesplicita)
α, β e γ sistemanoledimensionifisiche: α β = g,conduttanza,
γ
β = I0,corrente.
Noncompaionoderivatee/ointegralirispettoaltempodellevariabili descrittive ⇒ adinamico.Illegametralevariabilidescrittivenoncambianel tempo ⇒ tempo-invariante.
Ilcomponente`elinearese:
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
⇒ Non`esoddisfattalarelazionecostitutiva ⇒ nonlineare (amenoche nonsia I0 =0).
Esempio3.1.2.
Relazionecostitutiva(formaimplicita): αt2v(t)+ βetv(t) dv dt γi3(t) δ d2i dt2 + ǫ t =0
Compaionolederivaterispettoaltempo ⇒ dinamico.Il legametra v e i cambianeltempo(termini t2 , et,1/t) ⇒ tempo-variante.Esisteunterminenonlineare(i3(t)) ⇒ non lineare. Esempio3.1.3.
3-polo → 2equazionidescrittive:
Dinamico,tempoinvariante(icoefficientidelle variabilisonocostanti),nonlineare(laprima equazione`enonlineare,laseconda`elineare).
Icomponentidegliesempiavevanorelazionicostitutivepiuttostofantasiose!Primadiintrodurreicomponentichesarannousatinel corso,si specificaunaquartapropriet`aimportantediuncomponente.
3.2Basedidefinizione
Unbipolopu`oesseredefinitosu basetensione (se`epossibileassegnareliberamentelatensioneriuscendoadeterminareunivocamentelacorrente),su basecorrente (se`epossibileassegnareliberamentelacorrenteriuscendoa determinareunivocamentelatensione),su nessunabase (senon`epossibile assegnareliberamenten`elacorrenten`elatensione),suentrambelebasi.
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
Pi`uingenerale,un N -polopu`oammetterebasetensione(→ assegnate tutte letensioni ⇒ tuttelecorrenti),basecorrente(viceversa),nessunabaseo basemista (assegnandoliberamenteunpo’ditensionidescrittiveeunpo’di correntidescrittiveperuntotaledi N 1variabilidescrittive → siricavano univocamentetuttelealtre N 1variabilidescrittive).
3.3Classificazioneinterminienergeticidiun bipolo
Si`egi`avistoche,utilizzandolaconvenzionenormale,ilprodotto v(t)i(t)= p(t)`elapotenzaassorbitadalbipolo.Dunque:
vi> 0 ⇒ p> 0 ⇒ ilbipoloassorbepotenza(positiva) vi< 0 ⇒ p< 0 ⇒ ilbipoloassorbepotenzanegativa(⇔ eroga potenzapositiva)
Sullabasediquesteconsiderazionigenerali`epossibileclassificare ilcomportamentoenergeticodiunbipolo:
• inerte → p(t) ≡ 0 ⇔ t −∞ p(τ )dτ ≡ 0 ∀t e ∀ situazioneelettrica ⇔ la caratteristica i-v giacesuunodegliassi.
• dissipativo(opassivo) → p(t) ≥ 0 ⇔ t −∞ p(τ )dτ ≥ 0 ∀t e ∀ situazione ⇔ lacaratteristicagiacenelIenelIIIquadrante(assicompresi)
• strettamenteattivo → p(t) ≤ 0 ⇔ t −∞ p(τ )dτ ≤ 0 ∀t e ∀ situazione ⇔ lacaratteristicagiacenelIIenelIVquadrante(assicompresi)
• attivo → p(t)pu`oesseresiapositivasianegativa ⇔ lacaratteristica giaceinalmenounquadrantedispariealmenounquadrantepari.
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
3.4Componentinotevoli
3.4.1Resistore R v
i leggecostitutiva: v(t)= Ri(t) (leggediOhm) R `eunparametrodetto resistenza.
[R]= v i = V A = Ohm (Ω)
Ordinidigrandezza:dai µΩai MΩ.
Graficamente: i
Propriet`a:
v α
R =tan α
• Salvodiversoavviso,sisupporr`a R> 0 ⇒ lacaratteristicastanel primoeterzoquadrante ⇒ componentedissipativo.Sefosse R< 0 ⇒ componentestrettamenteattivo(assorbepotenzanegativa ⇔ eroga potenzapositiva).
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
• Se R `eindipendentedaltempo ⇒ laleggecostitutivanoncambianel tempo ⇒ componentetempo-invariante.Tipicamentesisupporr`ache R siacostante(componenteideale).Neicomponentirealiilvaloredi R pu`ocambiareconlatemperatura,perusura,ecc.
• Sesiassegnaliberamente i ⇒ siricavaunivocamente v ⇒ esistelabase corrente.Ma`everoancheilviceversa ⇒ esisteanchelabasetensione. Dunque,purch´e R =0e R →∞,esistonoentrambelebasi.
→ bipololimitedetto cortocircuito
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
• inerte;
• esistebasecorrente(perogni i sihaunasola v);
• nonesistebasetensione(non`epossibileassegnarlaliberamente);
2.Se
→ bipololimitedetto circuitoaperto
• inerte;
• esistebasetensione(perogni v sihaunasola i);
• nonesistebasecorrente(non`epossibileassegnarlaliberamente);
3.4.2Generatoreidealeditensione(sorgenteimpressivaditensione)
Sidefiniscegeneratore ideale ditensioneunbipoloincuisianotalatensione traimorsetti,qualsiasisialacorrentecheloattraversa.
leggecostitutiva:
dove e(t)`elatensione impressa[V ]
Esempinelcaso e(t)=costante:pileeaccumulatori(finch´enonsiscaricano!).
Esempionelcasodi e(t)variabileneltempo:preseditensionediusodomestico:
e(t)= Ecos (ωt + φ) ω =pulsazione= 2π T =2πf f =50Hz (reteelettricaitaliana).
Graficamente:
Sipu`opensarealtempocomeaunparametrochefamuovereorizzontalmente (overticalmente)lacaratteristica v = e(t).
Propriet`a:
• attivo(unquadranteparieunodispari);
• ingenerale,tempo-variante;
• esistesolobasecorrente(non`epossibileassegnareliberamente v);
• nonlineare:
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
3.4.3Generatoreidealedicorrente(sorgenteimpressivadicorrente)
Bipoloincui`enotalacorrentecheloattraversa,qualsiasisialatensionetra imorsetti.
Propriet`a:
• attivo;
• tempo-variante(ingenerale);
• esistesolobasetensione;
• nonlineare;
•
3.5ModellidiTh´evenineNorton
Unbipoloadinamicogenerico,chenonsian´eimpressivon´elineare(→ non ricadeinquellivistifinora),pu`oessererappresentatotramiteduemodelli equivalenti:ilmodellodiTh´evenin(utilizzabilequandoesistala basecorrente)equellodiNorton(utilizzabilequandoesistala basetensione).I generatoriidealieilresistoresonocasiparticolari.
3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
RTH + v
Th´evenin: v = eTH + RTH i (KVL) eTH (t)
Norton: i = aNR + GNRv (KCL) 1 GNR
- aNR(t) v
RTH i KVL
i eTH v
i GNRv
aNR i KCL
Seesistonoentrambelebasi,allora`epossibilepassaredaunmodelloall’altro:
Esercizio: Verificarepereserciziochelapotenzaminimaassorbibiledaunbipolonon lineareenonimpressivoconresistenzainternapositiva`e:
Figura3.1:Igrafideicircuitiequivalentisonoorientaticomeletensioni.3.Bipoliadinamiciecircuitielementari
ImodelliequivalentidiTh´evenineNortonpossonoesserevistianchecome sorgenti nonideali ditensioneedicorrente,rispettivamente(tengonoconto difattoriresistiviinterniaidispositivifisici).
3.6Connessioneinserieeinparallelodibipoli 3.6.1Connessioneinserie
Laregolaesemplificatainfigura3.2`edeltuttogenerale:duebipolisono connessiinseriesesonogli unici bipoliincidentilostessonodo,cio`ese da