corso di teoria dei circuiti prof. Marco Storace Tracce delle lezioni del corso

TRACCEDELLELEZIONIDELCORSO

NOTEDELDOCENTE

• Questetraccesonoilrisultatodellarielaborazionediappunti,dispense,librididiversiautori.Inparticolare,leprincipalifonti

sonostateledispensedelProf.Amedeo Premoli(PolitecnicodiMilano)egliappuntidelProf.MauroParodi(Universit`a degliStudidiGenova).Aentrambivail mioringraziamento.

• Glistudentichetrovasseroimprecisioni,errori,lacunenelletraccesonoinvitatiasegnalarmeli.Ringrazioinparticolareiseguentistudentiperlesegnalazionineglianni scorsi:MassimilianoMostes

2.13Applicazionedellateoriadeigrafiaicircuiti..........29

2.14LeggediKirchhoffdelletensioni(KVL)(1847).........30

2.15LeggediKirchhoffdellecorrenti(KCL)(1847).........32

2.16FormulazionialternativedelleleggidiKirchhoff........32

2.17RiepilogosumatricivarieeleggidiKirchhoff.........34

2.18Grafodiuncomponente.....................35

2.19TeoremadiTellegen(odellepotenzevirtuali)(1952).....38

2.20Esercizi..............................40

2.20.1Esercizio2foglio1....................40

2.20.2Esercizio3foglio1....................40

Capitolo1 Introduzione.

Icircuitielettrici(oretielettriche)chestudieremonell’ambitodel corsosono daintendersicome modelli disistemifisici:

1.Naturali(es.neurone)

2.Artificiali(es.apparatiperlagenerazione,iltrasportoeilconsumo dell’energiaelettrica,apparatiperlagenerazione,acquisizione,memorizzazione,trasmissione,elaborazioneeutilizzodell’informazionecontenutainsegnalielettrici)

Modello ⇔ Astrazionematematica,sistemadiequazioniingradodiriprodurre(almenoincertecondizioni)ilcomportamentodialtrisistemi o fenomeni.

Unbuonmodello`eilrisultatodiuncompromessotralafedelt`aalsistema damodellareelasemplicit`adelmodellostesso ⇒ bisognausareil“rasoiodi Ockham”.

Servonointuito,esperienzaeconoscenzaperricavareilmodellopi`uadeguatoallasituazione.Inparticolare,occorreconoscere:

• legrandezzefisichemisurabili(variabili“osservabili”delsistema)

• leleggifisiche(→ equazionimatematiche)cheleganotaligrandezze (→ verifichesperimentali)

Verificadelmodello :simulazionealcalcolatoreosoluzioneanaliticadelle equazioni ⇒ confrontocongliesperimenti ⇒ modifichealmodello.

Sistemiartificialichepi`uciinteressano:sistemielettricifisici(lineeelettriche,motori,apparecchi,altoparlanti,strumentimusicali,ecc.)

2categoriedimodelliperifenomeni elettrici

1.Introduzione.

aparametriconcentrati (→ teoriadelle retielettricheodeicircuiti) ← NOI

aparametridistribuiti (→ teoriadelle linee)

Noiciconcentriamosuicircuitiaparametriconcentrati.Inaltricorsi(relativiperesempioaicampielettromagnetici)vedretecometrattareimodelli aparametridistribuiti.Ilricorsoauntipodimodellioall’altrodipende dal rapportotralalunghezzad’ondadeisegnalielettriciingiocoeledimensioni delcircuito.Quasituttoquellochediremoapropositodeicircuitia parametri concentratiNONVALEperquelliaparametridistribuiti.

Imodelliaparametriconcentratidisistemielettricifisici(⇔ circuiti)si ottengonoda:

modelli deicomponentifisiciodiloroinsiemi: componenti +

modoincuiicomponentifisicisonocollegati: topologia

1.1Componente

Uncomponente`eunoggettolimitatodaunasuperficiechiusa,detta superficielimitedelcomponente,dacuiesconoalmeno2 terminali,chehannoper estremoun morsetto

I terminali hannoformageometricataledafacilitarelaconnessionecon altricomponenti.Sonocostituitioalmenoricopertidamaterialeconduttore (rame,stagno,oro,...).I morsetti consentonodidefinireuncollegamento. L’insieme“terminale+morsetto”sidice“polo”.

Uncircuitopi`ucomplesso(⇒ costituitodapi`umaglie)rispettoaquello difigura1.1(b)sidicepi`ucorrettamente“reteelettrica”.Uncomponentea dueterminalisidicebipolo,unoatretripolo,unoaquattroquadripolo,ecc.

Esistonoanchedispositiviaunsolopoloomonop`oli(antenne),manon liincludiamonellostudiodeicircuiti(coinvolgonoproblemidi propagazione elettromagnetica).

Anoinoninteressaci`ocheaccade dentro lasuperficielimite:gli eventielettromagnetici cheavvengonoall’internodelcomponentenonvengono studiatiindettaglio,nell’ambitodellateoriadeicircuiti.Essiriguardanola teoriadeicampielettromagneticierichiederebbero,perpoteresserecaratterizzati,l’usodi variabili 1 appropriate,laconoscenzadelle

leggifisiche che

1Campoelettrico E,campomagnetico H,induzioneelettrica D,induzionemagnetica B,densit`adicorrentediconduzione J ,densit`avolumetricadicarica ρ.

Bipolo: Tripolo: Figura1.2:

governanoilcomportamentoditalivariabili(leggidiMaxwelledequazioni costitutivedeimateriali)eladefinizionediopportuni parametri checonsentanodiconoscereconprecisioneilcomportamentodeimaterialidicuiil componente`ecostituito(conducibilit`a σ,costantedielettrica ǫ,permeabilit`a magnetica µ).

Datuttoquesto ⇒ modellosemplificato 2 (⇒ livellodidescrizionediverso daquelloutilizzatodachistudiaicampielettromagnetici).

1.2Variabilidescrittive

Anoiinteressanolegrandezzefisiche misurabili checaratterizzanoilcomponente dall’esterno.Essevengonodettevariabilidescrittive etipica-

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

Figura1.1:(a)esempiodicomponente;(b)esempiodicircuito.

2Chifosseinteressato,pu`oleggerel’appendicedeltesto“FondamentidiElettrotecnica”, diMartinellieM.Salerno,dovesimostracomenasconoimodelliche noiusiamo.

1.Introduzione.

mentesono tensioni e correnti.Cariche3 eflussi4 andrebberougualmente beneinlineadiprincipio,masonopi`udifficilidamisurare.

Corrente: `eunavariabilereale i ∈ℜ,funzioneingeneraledeltempo t (i = i(t)). ` Eassociabilea(⇔ misurabilein)ciascunterminalesecondouna certa convenzione (questoconcettosar`aprecisatonelseguito).

Figura1.3:Lacorrentediunterminalesipu`omisurareconun amperometro

Lacorrentesimisuraconunamperometro:sitrattadiuncomponente (bipolo)conterminalicollassati(→ sivedonosoloimorsetti).Usandoun amperometroideale,lamisuranonalterailcircuito(⇒ nonfacaderetensione).Unaltrotipodirappresentazioneperlacorrenteassociataaun terminale`elaseguente:

Scaladivaloritipicaincircuiti“normali”(elettrodomestici,PC,etc.): µA(10 6 A)omA(10 3 A).

Tensione :`eanch’essaunavariabilereale,ingenerefunzionedeltempo (v = v(t)). ` Eassociabilea(⇔ misurabilesu)ognicoppiadimorsettisecondo una convenzione dadefinireapriori.

Latensionesimisuraconunvoltmetro(sitrattadiunbipoloconterminalicollassati);usandounvoltmetroidealelamisuranonalterailcircuito (nonassorbecorrente).Scaladivaloritipiciditensione:VomV.

3Lacaricaelacorrentesonolegatedaunarelazionedifferenziale: i = dq dt .Unit`adi misuraS.I.:[q]= C;[i]= C s = A

4Ilflussoelatensionesonolegatedaunarelazionedifferenziale: v = dΦ dt .Unit`adi misuraS.I.:[Φ]= Wb;[v]= Wb s = V .

Uncomponente`ecaratterizzatodallegamecheesistetralevariabilidescrittive,ossiadallaleggecostitutivao equazionedescrittiva delcomponente.

1.3Bipolo

Nelcasodiun bipolo qualisono tutteesole (→ indipendenzaecompletezza ⇒ Ockham `econtento!) levariabilinecessarieacaratterizzarlo?

Inaltritermini,qualivariabiliservonoperdefinireilmodello(componente)?

ConsiderounasuperficiediGausschecontengasoloilterminalesuperiore:

Figura1.5:Latensionesuognicoppiadimorsettisipu`omisurare conun voltmetro

Analogamente: i3 = i4.Selasuperficie(diGauss)coincideconla superficielimitedelcomponente

v2 .Dunque,peraverevariabiliindipendenti(tutte e sole levariabili cheservono)bisognascegliereunasolacorrenteeunasolatensione. Lepossibiliconvenzionisonodue:

CONVENZIONENORMALE(oconvenzionedegliutilizzatori)

CONVENZIONENON-NORMALE(oconvenzionedeigeneratori)

1.4Potenza

Aquestopunto`epossibiledefinireun’altragrandezzaelettricafondamentale, dopo i e v

potenza

1.Introduzione.

Seinvecerispettanolaconvenzionenon-normale ⇒ lapotenza erogata dalbipolo`e pE (t)= v(t) i(t),mentrequella assorbita dalbipolo`e pA(t)= pE (t).

Hp.:convenzionedegliutilizzatori ⇒ inuntempo δt ilbipoloassorbe un’energia δw = p · δt chepu`oessere(inparteointoto):

1.dissipata ⇒ nonpu`opi`uessereusatainsensoelettrico(vienetipicamentetrasformataincalore,comenellestufeelettriche);

2.accumulata;

3.scambiata(→ assorbitaeceduta).

Globalmente,l’energiaassorbitadalbipolo`eparia:

w = t −∞ p(τ ) dτ

Lostrumentoutilizzatopermisurarelapotenzasichiamawattmetro.

1.5LeggidiKirchhoff

Ancheinuncircuitosemplice,letensionielecorrentidescrittivedei componentipossonoesserenumerose. ` Enecessariomisurarletutte?

Siconsideriuncircuitocostituitoda solibipoli.Siconsiderioraunpercorsochiuso(maglia)checoinvolgaalcunibipolidelcircuitoeglisiassegni un’orientazione(peresempioinsensoorario):

Misurandocontrevoltmetriletensionidescrittivedeitrebipoliinteressatidallamagliaindicatainfigura,sitrovachelasomma algebrica delle tensioni,definitarispettoall’orientamentodellamaglia(segno“+”sela tensione`econcordeallamaglia,segno“ ”se`ediscorde),`enulla.Inaltri termini,lasommadelletensioniconcordiconlamaglia`eugualeallasomma diquellediscordi: v1 + v3 = v2.

Esistedunqueun vincoloalgebrico chelimitailnumerodelletensionida misurare:talevincoloprendeilnomedi LeggediKirchhoffdelletensioni (KVL).

Unvincoloanalogoesisteperlecorrenti:bastaconsiderarelecorrenti descrittivedeibipoliincidentiunostessonodo:

LeggediKirchhoffdellecorrenti (KCL):lasommadellecorrentientrantinelnodocoincideconlasommadellecorrentiuscentidalnodo(`euna conseguenzadelteoremadiGauss).Nell’esempiosiha: i4 + i7 = i1 + i2.

Igraficonsentonodienunciarequesteleggiinformarigorosa.

Figura1.8:

Capitolo2 Grafi

Questoargomentononriguarda direttamente icircuitielettrici,maun settoredellamatematicaapplicata(teoriadeigrafi).Sarannointrodottigli elementiessenzialidiquestateoriautilinell’analisideicircuiti.

Uncircuito`ecostituitodadiversicomponentiinterconnessitra loro.Per capirecomefunzionailcircuitonelsuocomplesso,ossiaricavareleespressioni analitichedituttelevariabilidescrittive,sar`anecessarioconoscereduecose:

• la naturadeicomponenti (→ ilegamitralevariabilidescrittivedi ciascuncomponentepresodipers´e),ossial’equazionedescrittivadi ciascuncomponente;

• ilmodoincuitalicomponentisonointerconnessitraloro,ossiala topologiadelcircuito.

Perquantoriguardaleequazionidescrittive,sivedrannoinseguitoquelle deicomponenticheciinteressanopi`udavicino.

Perquantoriguardal’analisidellatopologiadelcircuito,invece,sipu`o ricorrereallateoriadeigrafi:intalmodoilcircuitoviene“privato”dellaproprianaturafisicaevieneanalizzatocomepurainterconnessionedi elementi.

2.1Elementifondamentali

Esempio: n =4,l =6

(arco)=latooramo (pallinonero)=nodo

Ciascunlato`eassociatoaduenodi distinti (sivedalafigura).Senonsi `einteressatiall’ordineconcuiiduenodisonoassociatiaunlato ⇒ grafo nonorientato(comeinfigura).

Se,invece,sivuoledareunsignificatoall’ordinedeinodinellacoppia associataaunlato ⇒ grafoorientato:

Siassociaunversodipercorrenzaaognilato(⇒ si orienta)tramitefrecce

N.B.: iversidipercorrenzadeiramisonosceltiinmodoarbitrario,in genere,perch`enondipendonodallarealt`afisica.Unavoltascelto ilversodi unramo ⇒ tuttiglisviluppisuccessividevonorispettarequestascelta.

• Sepi`urami(lati)colleganolastessacoppiadinodi ⇒ sidicechesono inparallelo.Es.:ilati e e f dell’esempio.

• Unlato`eassociatoaduenodi;unnodo`eassociatoauncertonumero dilati(# ≥ 2,apartecasilimitedinodi“appesi”).Ilnumero#si diceordinedelnodo.

2.2Equivalenzatragrafi

Nonbisognafarsitrarreiningannodallarappresentazionegrafica diungrafo: bisognaastrarrelesoleinformazioniinteressanti,lasciandodapartequelle legateallageometria.Esempio:

Definizione: duegrafinonorientativengonodettiequivalentise,stabilita unacorrispondenzabiunivocasiatrainodidelprimoedelsecondo, siatrailati,ilaticorrispondentirisultanoassociatiacoppiedinodi corrispondenti.

Ladefinizionesiestendeimmediatamenteancheaigrafiorientati:in questocasoiramicorrispondentidevonoessere orientatinellostessoverso

2.3Percorsi

Datiduenodidistintidiungrafo,vienedetto percorso unacatenadi lati adiacenti(→ chehannoincomuneunnodo)colleganteiduenodi,detti estremi delpercorso ⇒ unpercorsoindividuaunasuccessionealternatadi nodielati.Ciascunnodoeciascunramosiincontranounavoltasolanel percorsoenonsonoammessediramazioni(⇒ siincontrano k latie k 1 nodiintermedi ). L’orientazionenonconta.Esempio(ipercorsisonosegnati contrattodiscontinuo):

Percorso1 → 3: {a, 2,c, 4,f } 3lati,2nodiinterni

Percorso1 → 3: {b, 4,e} 2lati,1nodointerno

2.4Sottografi,alberiecoalberi

Ledefinizionicheseguonoprescindonodall’eventualeorientazionedeilati.

Unsottoinsiemedeglielementi(nodielati)diungrafovienedetto sottografo.Peresempio,unpercorso`eunsottografo.Ilrestodelgrafo viene dettosottografocomplementare.

Unsottografochecontenga solo nodidiordinedue`edetto maglia (`euna figurachiusa).Inaltritermini, unamaglia`eunpercorsoconidueestremi coincidenti.Esempio(lemagliesonoidentificatedatrattodiscontinuo):

Albero :`eunsottografocontenente unoeunsolo percorsotraognicoppiadinodidelgrafo ⇒ `eunsottografocontenente tuttiinodi delgrafo enoncontenente alcunamaglia (sivedailparagrafo2.7). Alcuniesempisonoriportatiinfigura2.1.

Ilsottografocomplementarediunalbero`edetto coalbero.

Efacileverificare(sivedaladefinizionedipercorso)che ognialberodi ungrafocon n nodie l lati`ecostituitoda n 1 lati(→ ilcoalberoneha l n +1).Nell’esempio, n =4e l =6 ⇒ l’alberohasempretrelati.

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

2.5Graficonnessiesconnessi

Grafoconnesso :grafoincuiesistesempreunpercorsocheuniscedue nodiqualsiasi.

GrafosconnessoGrafoconnesso

cerniere

Grafoconnessoincernieratoin3ein4

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

2.Grafi

a.

b.

c.

d.

Figura2.1:Esempidialbero.L’alberoevidenziatonelgrafob.`edetto albero astella:tuttiilatiesconodallostessonodo.

Incasocontrario → grafo sconnesso ⇒ ungrafosconnesso`eseparato completamenteindueopi`uparti(→ `emenointeressante:siriduceadueo pi`ucasipi`usemplici).

Unnodosidice cerniera se,eliminandolo,restanoduesottografisconnessi.

2.6Grafiplanari

Ungrafosidiceplanarequandopu`oesseretracciatosuunpianosenzaincroci trailati(aparteinodi).Altrimentisidicenonplanare.

Esempio2.6.1.

Sembra nonplanare,ma esisteungrafoequivalente senzaincrocifrailati ⇒ `e planare

Grafononplanare(nonsi riescea“sbrogliarlo”)

2.7Maglieecocicli(tagli)

` Egi`astatadefinitauna maglia (percorsochiusoconinodiestremicoincidenti);lungounamagliasiincontrano k nodie k lati.Unamagliaconsente duepercorsicompletamentedistintitraognicoppiadinodiappartenentialla maglia.Esempio:

d e f a c

23 4 b

Versodipercorrenza (orariooantiorario)

⇒ magliaorientata

1

3nodie3lati

2 → 4: {d, 3,f }

oppure {c}

Anelloesterno :maglia(unica)alcuiesternononesistonoaltriramin´e nodi →{a,d,e,b}

Anellointerno :magliaalcuiinternononesistonoaltriramin´enodi → {e,f },{d,f,c},{a,b,c}

Aognimagliapu`oessereassociatounversodipercorrenza(orariooantiorario) ⇒ magliaorientata(comelamaglia {c,d,f } dell’esempioprecedente).

Sidice taglio (ocociclo)diungrafounqualsiasisottoinsiemedirami necessariesufficienti,serimossi,aseparareilgrafoinduesottografiseparati (ossiaarendereilgrafosconnesso).Ognitagliopartizionainduel’insieme deinodidelgrafo.Seunodeidueinsiemicontieneunsolonodo ⇒ siparla di taglionodale (sivedailprimoesempioinfigura2.2).Aognitagliopu`o essereassociatounverso(uscentedaltagliooentranteneltaglio) ⇒ taglio orientato(comeiltaglio {a,c,e,f } nelsecondoesempioinfigura2.2).

2.8Basidimaglieeditagli

Peranalizzareungrafo, non `enecessarioindividuare tutte lemagliee tutti itaglipossibili.Bastaindividuareunsottoinsiemedimaglieindipendentie unsottoinsiemeditagliindipendenti.Ingenerale,unamagliadipende da altreduesecontiene solo latiappartenentiaunaoall’altra(unesempio`e mostratoinfigura2.3).

Comesipossonotrovaretuttelemaglieindipendenti(⇒ basedimaglie) etuttiitagliindipendenti(⇒ baseditagli )?Sipu`opartiredaunalbero.

Lemagliecontenentiunoeunsololatodicoalberocostituisconouna base (magliefondamentali) ⇒ l n +1magliefondamentali(=numerodilati dicoalbero).Stessodiscorsovaleperitaglicontenentiunoeun sololatodi albero(taglifondamentali) ⇒ n 1taglifondamentali(=numerodilatidi albero).Aognibase(dimaglieeditagli),`epossibileassociareunamatrice nelmododescrittoneiparagrafiseguenti.

S1 e S2 rappresentanosuperficichiuseche intersecanoiramidiuntaglio.Ciascunadiessecontieneunsottoinsiemedei nodidelgrafocorrispondente.

Anelloesterno: {a,b,d}

Anellointerno1: {a,b,c}

Anellointerno2: {c,d}

Figura2.2:Inquestaillustrazione,

Figura2.3:Esempiodigrafoincuil’anelloesternocontienesololati appartenentiaquelliinterni.

2.9Matricedimaglie

b d c a

lineacontinua:albero

lineatratteggiata:coalbero

Inquestoesempio l =4e n =3,percuiilnumerodimagliefondamentali `e l n +1=2.Siordinanoilati partendodaquellidicoalbero:(⇒ a,d,b,c) esiorientaognimagliafondamentalecomel’unicolatodicoalberoinessa contenuto.

Aquestopuntosiassociaaognimagliafondamentaleunvettorerigai cuielementisonotantiquantisonoilatidelgrafoeilcuivalore `e:

-1 seillatoappartieneallamagliaeilsuoverso`ediscorderispettoalversodellatodi coalberocontenutonellamaglia

0 seillatononappartieneallamaglia

1 seillatoappartieneallamagliaeilsuoverso`econcordeconquellodellatodicoalbero contenutonellamaglia

⇒ Nell’esempio,lamatricedimaglie`e:

Lecolonnedellamatricecorrispondonoatuttiilatidelgrafo,ordinati comespecificato.Lerighecorrispondonoallemagliefondamentali,ossiaai latidicoalbero(presinellostessoordinedelleprime l n +1colonne).

Percomesonostaiordinatiilati,leprime l n +1colonnedi B formano unamatriceidentit`a.Laconfermadelfattochelemaglieconsideratesonoindipendenti`echelerighedi B sonolinearmenteindipendenti(perlapresenza dellamatriceidentit`a).Tuttelealtremagliedipendonodaquelleconsiderate: infattilemagliefondamentalicoinvolgonotuttiilatidelgrafo(nonesistono colonnedi B nulle) ⇒ tuttelealtremagliedipendonodaquellefondamentali (sivedailparagrafo2.8perladefinizionedimaglieindipendenti).

2.10Matriceditagli

b d c a

lineacontinua:albero lineatratteggiata:coalbero

Perquantoriguardaicocicli,sifaunragionamentoanalogo.Nelcaso raffiguratoquisopra,cisono n 1=2taglifondamentali.Siordinanoilati comenelcasodellamatricedimaglie(ossia partendodaquellidicoalbero)esi orientaognitagliofondamentalecomel’unicolatodialberoinessocontenuto → vettorecostruitoanalogamenteaprima.

⇒ Nell’esempio,lamatriceditagli`e:

Inquestocaso,lerighedellamatricecorrispondonoaitaglifondamentali, ossiaailatidialbero(ordinaticomeleultime n 1colonne).

Perilrestovalgonolestesseconsiderazionifatteper B.

Propriet`a:

BAT =0 (sonomatriciortogonali)

Balb = [Acoa]T

Esempio2.10.1.

Cosasipu`odirediquestografo?

• ` Econnesso.

• ` Eincernierato(nelnodo1).

• Ilati a e b sonoinparallelo.

• l =8latie n =6nodi

n 1=5latidialbero ⇒ 5taglifondamentali.

l n +1=3latidicoalbero ⇒ 3magliefondamentali.

Provare,peresercizio,aindividuareunalberoearicavarelecorrispondentimatricidimaglieeditagli.

2.11Basidianellietaglinodaliematricedi incidenza

` Epossibiledefinirebasidimagliecostituitedasolianelli(solopergrafi planari):bastascartarneunoqualsiasi ⇒ nerestano l n +1.

` Eanchepossibiledefinirebasicostituitedasolitaglinodali(perqualsiasi grafo):bastascartarneunoqualsiasi(ilnodoscartatovienedettonododi riferimento) ⇒ nerestano n 1.

Lamatricediunabaseditaglinodali,moltousatanellapratica,prende ilnomedi matricediincidenza (ridotta),che`emoltosemplicedacostruire. Esempio2.11.1.

2.Grafi

• ` E planare → grafoequivalente:

Lamatricesicostruisceassociandoaognitagliodellabaseunvettoreriga (⇒ lamatriceha n 1righe).Lecolonnesonoassociateatuttiilatidel grafo,ordinatiapiacere(⇒ l colonne).Glielementidiogniriga(identificata dalnodocorrispondentealtaglionodale)valgono:

1seillatocorrispondenteallacolonnaentranelnodo corrispondenteallariga -1seesce

0senon`ecoinvoltodaltaglionodale

Quindituttiitaglinodalihannoorientazioneentrante ⇒ lacostruzione dellamatrice`epi`usemplicechenelcasogenerale.

Propriet`adi M:

Data M,siriescearicostruireilgrafo!Bastadisegnareinodienumerarli eispezionarelecolonnedi M:ilativannodisegnaticollegandolecoppiedi nodicorrispondentiaelementinonnulliinognicolonna,conlaconvenzione stabilita.Seinunacolonnac’`eunsoloelementononnullo,illatoinquestione terminanelnododiriferimento.

Lamatricediincidenza completa siottieneaggiungendolarigarelativa alnododiriferimento(→ linearmentedipendentedallealtre).

2.12Riepilogo

• Basedimaglie (l n +1magliefondamentali=numerodilatidi coalbero) ⇒ matricedimaglie B = Il n+1 | Balb

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

2.Grafi

• Baseditagli (n 1taglifondamentali=numerodilatidialbero)

⇒ matriceditagli A =[Acoa | In 1]

• casoparticolare: Baseditaglinodali ⇒ matricediincidenza (ridotta) M

• Propriet`a:

BAT =0

Balb = [Acoa]T

2.13Applicazionedellateoriadeigrafiaicircuiti

Finoranonsi`efattoriferimentoagrandezzeelettriche:siintroduconoora.

Aogninodo k diungrafo`epossibileassociareunavariabilereale(funzionedeltempo)detta potenzialeelettrico (uk(t)).Perognicoppiadinodi distinti,la tensione elettricavienedefinitadalladifferenzadeipotenzialinei nodi.

Seinodi1e2sono unitidaunlato: (latoorientatocomelatensione)

Ingenerale,perungrafodi n nodi,sonodunquedefinibili n × (n 1)

tensioni.Perfortunaingenerenon`enecessarioprenderletutte inconsiderazione!Bastaconsiderarele l ≤ n × (n 1)tensioni(diramo)definite

tranodiconnessidaunlato ⇒ definiamoilvettoredelletensionidilato

nota :siccomeognitensione`edefinitacomedifferenzatraduepotenziali ⇒ letensioninoncambianosesisommaunacostantearbitrariaatuttii potenziali.

Aognilato j diungrafo`epossibileassociareunavariabilereale(funzione deltempo)dettacorrente(elettrica) ij (t).

Convenzionegrafica:

Lecorrentiassociateailatidiungrafovengonodette correntidilato

esonoraggruppatenelvettorecolonna i(t)=

2.14LeggediKirchhoffdelletensioni(KVL) (1847)

Datounsottoinsiemequalsiasideinodidiungrafo,sidefinisceunasequenza ordinataechiusadicoppiedinodi(peresempio,nelgrafodifigura2.4si`e sceltalasequenza(3, 2),(2, 5),(5, 4),(4, 1),(1, 3)).Lasommadelletensioni definitesutalesequenza`enulla.

Letensioni v32(t), v25(t), v54(t), v41(t), v13(t)sonoorientateinmodochela frecciadiciascunatoccalacodadellaprecedente ⇒ percorsochiusoorientato insensoorario.

Siverificaoralavalidit`adellaKVL:

N.B.:selasequenzachiusadicoppiedinodiindividuaunamagliae B `elamatricediunaqualsiasibasedimaglie,sipu`oscrivereche B v(t)=0 (l n +1KVLindipendenti),dove v(t)`eilvettoredelletensionidilato. OvviamenteleKVLindipendentichesiottengonoinquestomododipendonodallasceltadell’albero.

Esempio2.14.1.

Figura2.4:Esempiodisequenzaordinataechiusadicoppiedinodi;il nodo6 `estatoesclusodallasequenza.

2.15LeggediKirchhoffdellecorrenti(KCL) (1847)

Lasommaalgebricadellecorrenticheattraversanounqualsiasitagliodiun grafo`enulla.Se A `elamatricediunaqualsiasibaseditagli ⇒ Ai(t)=0 (n 1KCLindipendenti)(i(t)`eilvettoredellecorrentidilato).

2.16Formulazionialternativedelleleggidi Kirchhoff

Sipu`odareunaformulazionealternativadelleequazionidiKirchhoffsfruttandolapropriet`ainbaseallaqualeperunaqualsiasisceltadialbero (→ baseditaglifondamentaliebasedimagliefondamentali)siha: BAT =0.

(t)`eilvettoredelletensionidilato,mentre vT (t)rappresentail cosiddetto vettoredelletensioniditaglio (lecuicomponentisono arbitrarie).

Dalconfrontotrailprimoel’ultimoterminedellasequenzadiequazioni

⇒ v(t)= AT vT (t).

QuestesonoKVLinformaridondante(l equazioniinvecedi l n +1). Ingenerale,letensioniditaglio non hannounriscontrofisicoimmediato.

DiscorsodualevaleperleKCL.Basedimagliefondamentali

⇒ A adim. i(t) [A]

=0 [A]

= ABT adim. iC (t) [A]

dove i(t)`eilvettoredellecorrentidilato,mentre iC (t)rappresentailcosiddetto vettoredellecorrenticicliche (lecuicomponentisono arbitrarie).

Dalconfrontotrailprimoel’ultimoterminedellasequenzadiequazioni

⇒ i(t)= BT iT (t).

QuestesonoKCLinformaridondante(l equazioniinvecedi n 1).

Nelcasoparticolaredella matricediincidenza (⇒ baseditaglinodali), ilvettoredelletensioniditaglioassumeunsignificatofisicobenpreciso evienedetto vettoredelletensionidinodo (rispettoalnododi

DunqueleleggidiKirchhoffperlamatricediincidenzasipossonoesprimerecos`ı:

Mi(t)=0

v(t)= M T e

nell’ipotesidilatiorientaticomeletensioni.

2.17RiepilogosumatricivarieeleggidiKirchhoff

KVL:#equaz.

Bv(t)=0,dove B `euna matricedimagliee v(t) ilvettoredelletensionidi lato.

v(t)= AT vT (t),dove A `e unamatriceditaglie vT (t) `eilvettoredelletensionidi taglio.

v(t)= M T e(t),dove M `ela matricediincidenzaridottae e(t)`eilvettoredelle tensionidinodo(rispettoal riferimento).

l n +1(magliefondamentali ⇔ base dimaglie).

l (ridondanti. ` Epossibileriportarsia l n +1equazionieliminando n 1componentidel vettore vT (t)).

l (idem).

2.Grafi

KCL:#equaz.

Ai(t)=0,dove A `eunamatriceditaglie i(t)ilvettore dellecorrentidilato.

Mi(t)=0

i(t)= BT iC (t),dove iC (t) `eilvettoredellecorrenti cicliche.

n 1(taglifondamentali ⇔ basedi tagli).

n 1(taglinodali ⇔ baseditagli nodali).

l (ridondanti. ` Epossibileriportarsia n 1equazionieliminando l n +1componentidel vettore iC (t)).

Ilvettore e costituisceunaparticolaresceltadelletensioniditaglionel casoincuilabaseditaglisiacostituitadataglinodali.

Ingenerale vT (t)(cos`ıcome iC (t))`earbitrarioenonhaunsignificato fisicopreciso.

2.18Grafodiuncomponente

Lasceltapi`ucomune`equellarelativaallaconvenzionenormale(degli utilizzatori),conletensioniriferiteaunnododiriferimento(detto anche comune):

Questa`elasceltastandard,maneesistonoaltre.Ingeneralevabeneun qualunquealbero,peresempio:

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

descrittive: N 1tensionie N 1correnti(sono tutte e sole levariabili necessarieesufficientiacaratterizzarel’N -polo).Tuttelealtresiricavano comecombinazionilinearidiqueste(tramiteKCLeKVL).Eccoperch`enel casodeibipoli(N =2)bastanoduevariabilidescrittiveeperch`enonsi consideranocomponentiaunpolo:

i ≡ 0

nonsipu`odefinireunatensione,inoltre i ≡ 0 ⇒ hasensostudiareun’antenna solodalpuntodivistapropagativo(→ campielettromagnetici).

Figura2.5:Questografosidice grafoastella ed`eorientatocomele tensioni.

Inognicasosihanno N nodie N 1lati ⇒ servono2(N 1)variabili

2.Grafi

Curiosit` a:

Potenzaassorbitadaun N -polo?

Percalcolarlabisognariportareletensioniecorrentidescrittiveallascelta convenzionale(→ grafoastella):

potenzaassorbita (quellaerogatahasegnoopposto).

Esempio2.18.1.

Determinarelapotenzaassorbitadal(entrantenel)4-terminaliin figura. Esprimereilrisultatointerminidellevariabilidescrittiveinfigura,ordinando rispettoalletensioni v1, v2 e v3.

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

Percalcolarelapotenzaentrantebisognariferirsialgrafoastella (→ si sceglie unnododiriferimento):

2.19TeoremadiTellegen(odellepotenzevirtuali)(1952)

Teorema1. Datounsistemadivariabili(correntidilato) i′ euninsieme divariabili(tensionidilato) v′′ compatibili 1 conunostessografo,la

1OssiatalidarispettarnelaKVLperunabasedimaglieelaKCLperunabasedi tagli ⇔ ciascuninsiemedipers´esoddisfaleequazionitopologichediunqualsiasicircuito associatoatalegrafo,percuiidueinsiemipossonoancheriguardareduecircuitidiversi.

2.Grafi

sommadellepotenze virtuali associateataliinsiemieassorbite(secondo laconvenzionenormale)datuttiilatidelgrafo`eidenticamentenulla:

Dimostrazione. SiusalamatricediincidenzaperesprimereKCLeKVL:

Bilanciodellepotenzevirtualiassorbitedatuttiilatidelgrafo:

N.B.: i′ e v′′ possonoappartenereaduecircuiticompletamentediversi traloro:bastacheigraficorrispondentisianoequivalenti,anche nelleorientazioni.InoltreilteoremadiTellegennonprecisaselecomponentideivettori i′ e v′′ debbanoesserefunzionideltempoocostanti,realiocomplesse: basta chesianoinsiemidifunzionicompatibiliconlostessografo.Sinoti infineche l’unicaipotesidelteorema(oltreallacompatibilit`adi i′ e v′′ conunostessografo)riguardailricorsoallaconvenzionenormale(odegliutilizzatori). QuestorendeilteoremadiTellegenunodeipi`ugeneraliditutta lateoriadei circuiti(linearienon).

Corollario

Lasommadellepotenzeassorbitedailatidiunareteelettrica`eidenticamentenulla.Inquestocasoletensionielecorrentivengonoassociateauno stessocircuitoeilcorollariononfacheesprimereilprincipiodiconservazione dell’energia.

Notastorica:ilteoremadiTellegen`estatoformulatounsecolopi`u tardirispettoalleleggidiKirchhoff,puressendovistrettamentelegato.In partequesto`edovutoalfattochel’applicazionedellateoriadeigrafiai circuiti`esuccessivaalledueleggidiKirchhoff.

2.20Esercizi

2.20.1Esercizio2foglio1

10bipoli ⇒ ognibipolocorrispondeaunlato

1tripolo ⇒ ognitripolocorrispondeaduelati ⇒ cisono10+2lati.

Grafo:

l =12lati

n =8nodi

Servono l equazionitopologiche:

l n +1=5equazionidimaglia(→ sipossonoconsiderareglianelli,per esempioquelliinterni), n 1=7equazionidinodo; Servonoinoltre l equazionideicomponenti.

2.20.2Esercizio3foglio1

Sidisegnanoidueinsiemidivariabilidescrittivesullostessocomponente:

2.Grafi

Capitolo3 Bipoliadinamiciecircuiti elementari

3.1Generalit`a

Nellelezioniprecedentisonostatiintrodottiinmodomoltogeneraleicomponentidiuncircuitoed`estatadefinitaun’astrazionematematicadelcircuito, dettagrafo,tramitelaqualericavaretutteleinformazionipossibili sulla topologiadelcircuitostesso.

Inparticolare,datouncircuitoassociatoaungrafocon n nodie l lati,`e possibileindividuare2l variabili: l correnti(i(t))e l tensioni(v(t))dilato. Siccome risolvere uncircuitosignificadeterminarel’andamentoneltempo dellecorrentiedelletensionidilato,intotalesiavranno2l incognite.

Quanteequazionisihanno?La topologia delcircuitofornisceleKVL (l n +1)eleKCL(n 1),cheintotalesono l ⇒ mancanoaltre l equazioni, perrendereilproblemadeterminato.Queste l equazionivengonofornite dalla natura deicomponenticheformanolareteesonoleequazionicostitutivedeicomponentistessi.Lerelazionicostitutivedeicomponentifisici comunementeusatisuggerisconounaclassificazionedeicomponentistessiin tregrandiclassi,indipendentil’unadall’altra:

dinamico(conmemoria)oadinamico(oresistivoosenzamemoria)

tempo-varianteo tempo-invariante

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

componente

Uncomponentesidice adinamico selasua relazionecostitutivanoncontienederivatee/o integralidellevariabilidescrittiverispettoal tempo.

Uncomponentesidice tempo-invariante sela suarelazionecostitutivanoncambianeltempo. Levariabilidescrittivedipendono(ingenerale) daltempo,mailmodoincuisonolegatetraloro no.

Uncomponentesidice lineare se,datiduevettoriammissibili(compatibiliconilgrafo)divariabilidescrittive,ancheunalorocombinazione lineare`eunvettoreammissibile. Esempio3.1.1.

lineareononlineare

Relazionecostitutiva(informaimplicita,cio`edeltipo

f (i,v)=0enon v = f (i)o i = f (v)): αv(t) βi(t)+ γ =0

⇒ i(t)= α β v(t)+ γ β (formaesplicita)

α, β e γ sistemanoledimensionifisiche: α β = g,conduttanza,

γ

β = I0,corrente.

Noncompaionoderivatee/ointegralirispettoaltempodellevariabili descrittive ⇒ adinamico.Illegametralevariabilidescrittivenoncambianel tempo ⇒ tempo-invariante.

Ilcomponente`elinearese:

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

⇒ Non`esoddisfattalarelazionecostitutiva ⇒ nonlineare (amenoche nonsia I0 =0).

Esempio3.1.2.

Relazionecostitutiva(formaimplicita): αt2v(t)+ βetv(t) dv dt γi3(t) δ d2i dt2 + ǫ t =0

Compaionolederivaterispettoaltempo ⇒ dinamico.Il legametra v e i cambianeltempo(termini t2 , et,1/t) ⇒ tempo-variante.Esisteunterminenonlineare(i3(t)) ⇒ non lineare. Esempio3.1.3.

3-polo → 2equazionidescrittive:

Dinamico,tempoinvariante(icoefficientidelle variabilisonocostanti),nonlineare(laprima equazione`enonlineare,laseconda`elineare).

Icomponentidegliesempiavevanorelazionicostitutivepiuttostofantasiose!Primadiintrodurreicomponentichesarannousatinel corso,si specificaunaquartapropriet`aimportantediuncomponente.

3.2Basedidefinizione

Unbipolopu`oesseredefinitosu basetensione (se`epossibileassegnareliberamentelatensioneriuscendoadeterminareunivocamentelacorrente),su basecorrente (se`epossibileassegnareliberamentelacorrenteriuscendoa determinareunivocamentelatensione),su nessunabase (senon`epossibile assegnareliberamenten`elacorrenten`elatensione),suentrambelebasi.

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

Pi`uingenerale,un N -polopu`oammetterebasetensione(→ assegnate tutte letensioni ⇒ tuttelecorrenti),basecorrente(viceversa),nessunabaseo basemista (assegnandoliberamenteunpo’ditensionidescrittiveeunpo’di correntidescrittiveperuntotaledi N 1variabilidescrittive → siricavano univocamentetuttelealtre N 1variabilidescrittive).

3.3Classificazioneinterminienergeticidiun bipolo

Si`egi`avistoche,utilizzandolaconvenzionenormale,ilprodotto v(t)i(t)= p(t)`elapotenzaassorbitadalbipolo.Dunque:

vi> 0 ⇒ p> 0 ⇒ ilbipoloassorbepotenza(positiva) vi< 0 ⇒ p< 0 ⇒ ilbipoloassorbepotenzanegativa(⇔ eroga potenzapositiva)

Sullabasediquesteconsiderazionigenerali`epossibileclassificare ilcomportamentoenergeticodiunbipolo:

• inerte → p(t) ≡ 0 ⇔ t −∞ p(τ )dτ ≡ 0 ∀t e ∀ situazioneelettrica ⇔ la caratteristica i-v giacesuunodegliassi.

• dissipativo(opassivo) → p(t) ≥ 0 ⇔ t −∞ p(τ )dτ ≥ 0 ∀t e ∀ situazione ⇔ lacaratteristicagiacenelIenelIIIquadrante(assicompresi)

• strettamenteattivo → p(t) ≤ 0 ⇔ t −∞ p(τ )dτ ≤ 0 ∀t e ∀ situazione ⇔ lacaratteristicagiacenelIIenelIVquadrante(assicompresi)

• attivo → p(t)pu`oesseresiapositivasianegativa ⇔ lacaratteristica giaceinalmenounquadrantedispariealmenounquadrantepari.

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

3.4Componentinotevoli

3.4.1Resistore R v

i leggecostitutiva: v(t)= Ri(t) (leggediOhm) R `eunparametrodetto resistenza.

[R]= v i = V A = Ohm (Ω)

Ordinidigrandezza:dai µΩai MΩ.

Graficamente: i

Propriet`a:

v α

R =tan α

• Salvodiversoavviso,sisupporr`a R> 0 ⇒ lacaratteristicastanel primoeterzoquadrante ⇒ componentedissipativo.Sefosse R< 0 ⇒ componentestrettamenteattivo(assorbepotenzanegativa ⇔ eroga potenzapositiva).

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

• Se R `eindipendentedaltempo ⇒ laleggecostitutivanoncambianel tempo ⇒ componentetempo-invariante.Tipicamentesisupporr`ache R siacostante(componenteideale).Neicomponentirealiilvaloredi R pu`ocambiareconlatemperatura,perusura,ecc.

• Sesiassegnaliberamente i ⇒ siricavaunivocamente v ⇒ esistelabase corrente.Ma`everoancheilviceversa ⇒ esisteanchelabasetensione. Dunque,purch´e R =0e R →∞,esistonoentrambelebasi.

→ bipololimitedetto cortocircuito

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

• inerte;

• esistebasecorrente(perogni i sihaunasola v);

• nonesistebasetensione(non`epossibileassegnarlaliberamente);

2.Se

→ bipololimitedetto circuitoaperto

• inerte;

• esistebasetensione(perogni v sihaunasola i);

• nonesistebasecorrente(non`epossibileassegnarlaliberamente);

3.4.2Generatoreidealeditensione(sorgenteimpressivaditensione)

Sidefiniscegeneratore ideale ditensioneunbipoloincuisianotalatensione traimorsetti,qualsiasisialacorrentecheloattraversa.

leggecostitutiva:

dove e(t)`elatensione impressa[V ]

Esempinelcaso e(t)=costante:pileeaccumulatori(finch´enonsiscaricano!).

Esempionelcasodi e(t)variabileneltempo:preseditensionediusodomestico:

e(t)= Ecos (ωt + φ) ω =pulsazione= 2π T =2πf f =50Hz (reteelettricaitaliana).

Graficamente:

Sipu`opensarealtempocomeaunparametrochefamuovereorizzontalmente (overticalmente)lacaratteristica v = e(t).

Propriet`a:

• attivo(unquadranteparieunodispari);

• ingenerale,tempo-variante;

• esistesolobasecorrente(non`epossibileassegnareliberamente v);

• nonlineare:

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

3.4.3Generatoreidealedicorrente(sorgenteimpressivadicorrente)

Bipoloincui`enotalacorrentecheloattraversa,qualsiasisialatensionetra imorsetti.

Propriet`a:

• attivo;

• tempo-variante(ingenerale);

• esistesolobasetensione;

• nonlineare;

•

3.5ModellidiTh´evenineNorton

Unbipoloadinamicogenerico,chenonsian´eimpressivon´elineare(→ non ricadeinquellivistifinora),pu`oessererappresentatotramiteduemodelli equivalenti:ilmodellodiTh´evenin(utilizzabilequandoesistala basecorrente)equellodiNorton(utilizzabilequandoesistala basetensione).I generatoriidealieilresistoresonocasiparticolari.

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

RTH + v

Th´evenin: v = eTH + RTH i (KVL) eTH (t)

Norton: i = aNR + GNRv (KCL) 1 GNR

- aNR(t) v

RTH i KVL

i eTH v

i GNRv

aNR i KCL

Seesistonoentrambelebasi,allora`epossibilepassaredaunmodelloall’altro:

Esercizio: Verificarepereserciziochelapotenzaminimaassorbibiledaunbipolonon lineareenonimpressivoconresistenzainternapositiva`e:

Figura3.1:Igrafideicircuitiequivalentisonoorientaticomeletensioni.

3.Bipoliadinamiciecircuitielementari

ImodelliequivalentidiTh´evenineNortonpossonoesserevistianchecome sorgenti nonideali ditensioneedicorrente,rispettivamente(tengonoconto difattoriresistiviinterniaidispositivifisici).

3.6Connessioneinserieeinparallelodibipoli 3.6.1Connessioneinserie

Laregolaesemplificatainfigura3.2`edeltuttogenerale:duebipolisono connessiinseriesesonogli unici bipoliincidentilostessonodo,cio`ese da