corso di teoria dei circuiti prof. Marco Storace Tracce delle lezioni del corso

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7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

7.3Relazionitrafasoriesinusoidi

Abbiamovistochelarispostaforzataauningressoditiposinusoidale1 `e ancoraunasinusoideconlastessafrequenzadellaforzante.Dunque,una voltaesauritasilarispostaliberadelcircuito(→ dopo5τmax,dove τmax `elamassimacostanteditempo),tuttelevariabilielettrichediuncircuito evolvonooscillandosinusoidalmenteconlastessafrequenza.

Poich´el’informazionesullafrequenza`elastessapertuttelevariabili delcircuito,intalicondizioni(regimesinusoidale)possiamocondensarele informazionirelativeaognivariabileinduesoliparametri:ampiezzae fase ⇒ bastaconoscereilfasore.

Consideriamounagenericasinusoide:

u(t)= U cos(ωt + φ)(7.7)

U ampiezza(valoremassimo); ω pulsazione(ω =2πf = 2π T con f frequenza e T periodo).

Associamol’informazioneinteressantealfasore:

U Uejφ [= U (cos φ + j sin φ)](7.8)

dove U `eilfasoreriferitoalvaloremassimodellasinusoide; U `eilmodulo di U; φ `efasedi U.Avoltesiusanoifasoririferitiaivaloriefficaci ⇒ intal caso |U| = ueff = U √2

Rappresentazionegrafica: U cos(φ) U sin(φ) U φ

ω = Im{s}

σ = Re{s}

Ilvettore ˙ U ruotanelpianocomplessoconvelocit`aangolare ω (senso antiorario).Comesiritornaa u(t)datoilsuofasore(cio`ecomesipassadal dominiodeifasorialdominiodeltempo)?

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152 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

supponiamochecisiaunsoloingresso;sesonodipi`u,bastaapplicareilprincipio sovrapposizione

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Ingenerale:

u(t)= Re ˙ Uejωt = Re Uejφejωt = Re Uej(ωt+φ)

= Re {U[cos(ωt + φ)+ j sin(ωt + φ)]}

= U cos(ωt + φ) (7.9)

Casoparticolare:

U sin(ωt)= U cos(ωt π 2 )

= Im Uejωt

= Re{ Ue j π 2 = jU ⇒ilfasorediunseno`eimm.puro

ejωt} = Im Uejωt (7.10)

Esistedunqueunacorrispondenzabiunivocatraunagenericavariabilediun circuitoincondizionidiregimesinusoidaleeunfasore.

Interpretazionegrafica:laproiezionedelvettore U sull’asserealefornisce l’andamentoneltempodellavariabile u(t).

N.B.:poich´eilcoseno`eunafunzionepari(→ cos( α)=cos(α))

u(t) t 2π ω U cos(φ) ( 2π 2φ ω ) T U cos(φ) φ
= Re
= Im{s} A
σ
{s} ω
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 153

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

⇒ possiamolimitarciavederecosasuccedenelprimocaso(assumo pulsazionepositiva)

Propriet`a:

• ilfasoreassociatoa du dt `e jωU.Dimostrazione:

• Sesirappresentanopi`ufasorisullostessodiagrammafasoriale:

φ ω uejφ Re Im φ ω uejφ Re Im
du dt = ωU sin(ωt + φ)(7.11) = ωU cos ωt + φ π 2 (7.12) ↔ fasore ωUejφ e j π 2 = j = jωUejφ = jω ˙ U (7.13)
Re Im ˙ Ua ˙U b φa φb
φa = φb ⇒ Ua e Ub sidiconoinfase.
φb + π>φa >φb ⇒ Ua `einanticiporispettoa Ub
154 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Se
Se
(ricordarsichela rotazione`eantioraria).

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

7.4Relazionitopologicheerelazionicostitutiveneldominiodeifasori

• LeggidiKirchhoff

LedueleggidiKirchhoffrestanovalide:bastasostituireaivettori delletensioni(dilatoonodali)edellecorrenti(dilatoocicliche)i corrispondentivettoridifasori.

Ilperch´e`eovvio:leleggidiKirchhoffnondipendonodaicomponenti presentinelcircuito ⇒ nonpossonodipenderedalfattocheesisteun ingressosinusoidale!

• Relazionicostitutive(dominiodeltempo)(dominiodeifasori)

Re Im ˙ Ub ˙U a φb φa φb+π Se φb π<φa <φb ⇒ ˙ Ua `einritardorispettoa ˙ Ub Se |φa φb| = π 2 ⇒ Ua e Ub sonoinquadratura. Se |φa φb| = π ⇒ ˙ Ua e ˙ Ub sonoinopposizionedifase(oincontrofase).
– Cortocircuito v(t)=0 V =0(7.14) – Circuitoaperto i(t)=0 I =0(7.15) – Generatoreindipendenteditensione v(t)= Re{ ˙ Vejωt} = E cos(ωt + φV ) ˙ V = EejφV (7.16) – Generatoreindipendentedicorrente i(t)=Re{ ˙ Iejωt} = A cos(ωt + φI ) ˙ I = AejφI (7.17) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 155
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa – Resistore v(t)= Ri(t) V = RI (7.18) – CCVS(idemperglialtri) v2(t)= Ri1(t) ˙ V2 = R ˙ I1 (7.19) v1(t)=0 ˙ V1 =0(7.20) – Trasformatoreideale v1 = nv2 V1 = nV2 (7.21) i1 = i2 n I1 = I2 n (7.22) – Condensatore i(t)= C dv dt I = jωCV (7.23) – Induttore v(t)= L di dt ˙ V = jωL ˙ I (7.24) – Induttoriaccoppiati v1(t)= L1 di1 dt + M di2 dt V1 = jω L1I1 + MI2 (7.25) v2(t)= M di1 dt + L2 di2 dt ˙ V2 = jω M ˙ I1 + L2 ˙ I2 (7.26) Componentiadinamici ⇒ larelazionerestainvariata. Componentidinamici ⇒ d dt → jω 7.5Impedenzaeammettenzadiunbipolo L’impedenza Z diunbipolo`eunafunzionecomplessarazionaledellapulsazionecomplessa s = σ + jω (→ nelcasodiregimesinusoidaleavremo σ =0),definitadalrapportodeifasoridellatensioneedellacorrente: Z(s)= V I = |Z|ejφz (7.27) 156 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

`eunnumerocomplesso,manon`eunfasore(⇒ noncivailpuntino).

Definizioneanalogavaleperl’ammettenza Y diunbipolo:

Impedenzaeammettenzahannolostessoruolo,rispettivamente, dellaresistenzaedellaconduttanzadiunbipoloadinamico(→ Z(s)`edefinitase esistebasecorrentee Y (s)`edefinitaseesistebasetensione).

Nelcasodiregimesinusoidale:

)(7.29)

R(ω)resistenza; X(ω)reattanza; G(ω)conduttanza; B(ω)suscettanza.Lo

sfasamentotraifasoridellatensioneedellacorrentediunbipolocoincide conlafasedell’impedenza:

Peranalogia,unbipolosidicepuramentecapacitivose ∠Z(jω)= ∠Y (jω)= π 2 (→ I anticipainquadratura V ).

Unbipolosidicepuramenteinduttivose ∠Z(jω)= ∠Y (jω)= π 2 (→ V anticipainquadratura I).

Y (s)= ˙ I ˙ V (7.28)
Z(jω)= R(ω)+ jX(ω
Y (jω)= G(ω)+ jB(ω
)(7.30)
Re Im ˙ I ˙V ∠Z(jω)=φz
⇒    Z(jω)= V jωC ˙ V = 1 jωC = j 1 ωC = 1 ωC e j π 2 ⇒ φz = π 2 Y (jω)= jωC (7.31)
• Condensatore:
⇒    Z(jω)= jωLI I = jωL = ωLej π 2 ⇒ φz = π 2 Y (jω)= 1 jωL (7.32)
• Induttore
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 157

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa •

7.6Connessioneinserieeinparallelo

Resistore ⇒ Z(jω)= R = Rej0 Y (jω)= 1 R (7.33)
∠Z(jω)= ∠Y (jω)=0(→ ˙ V e ˙ I sonoinfase).
Bipoloresistivo-induttivo → 0 < ∠Z(jω) < π 2 (→ V anticipa I). • Bipoloresistivo-capacitivo → 0 > ∠Z(jω) > π 2 (→ I anticipa V ).
Unbipolosidicepuramenteresistivose
•
Z1(s)= 1 Y1(s) Z2(s)= 1 Y2(s) ≡ Z(s)= Z1(s)+ Z2(s) Y (s)= Y1(s)Y2(s) Y1(s)+Y2(s) Z1(s) Z2(s) ≡ Y (s)= Y1(s)+ Y2(s) Z(s)= Z1(s)Z2(s) Z1(s)+Z2(s) Esempio7.6.1. Z(jω) L C R Nell’esempiosiha C||R ⇒ Z(jω) jωL Zeq(jω) Zeq(jω)= R · 1 jωC R + 1 jωC = R 1+ jωRC (7.34) ⇒ L `einseriea Zeq: 158 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Alvariaredi ω,ilbipolocambiatipodicomportamento.Poich´e

• resistivo-capacitivose X(ω) < 0

• resistivose X(ω)=0

• resistivo-induttivose X(ω) > 0

7.7Estensionediregole,propriet`aemetodideicircuitiadinamicialregimesinusoidale

Lamaggiorpartedelledefinizioniedeirisultatidimostratinelcaso deicircuiti adinamicipossonoesserefacilmenteestesialcasodicircuitidinamicioperanti inregimesinusoidale.

• Peresempio,imodelliequivalentidiTh´evenineNortondiunbipolo sono:

+
eq(jω)=
+
1+ jωRC = = jωL +
1 jωRC 1+ ωRC 2 = = R 1+ ωRC 2 R(ω)[Ω] +jω L R2C 1+ ωRC 2 X(ω)[Ω] (7.35)
Z(jω)= jωL
Z
jωL
R
R
R(ω) ≥ 0 ∀ω,ilbipolo`editipo:
ETH (jω) + ZTH (jω) I V ANR(jω) 1 YNR(jω) I V
Esempio7.7.1. MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 159
Entrambiimodellipossonoesserecalcolatimedianteirispettiviteoremi.

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

˙ ETH =tensionedicircuitoaperto:sicalcolaconlaregoladelpartitore ditensione,tenendocontodelfattoche

ZTH sicalcolapassivandoilgeneratoreditensioneecalcolandol’impedenzaequivalentealparallelo

Convieneragionaresull’ammettenza,datochecisonobipoliinparallelo.

• RimaneovviamentevalidoilteoremadiTellegen(riguardalatopologia, comeleleggidiKirchhoff).

• Lerappresentazionididoppibipolipossonoesserefacilmentegeneralizzate:

–

matrice(reale)diresistenza[R] → matrice(complessa)diimpedenza[Z]

matrice(reale)diconduttanza[G] → matrice(complessa)diammettenza[Y ]

Lealtrematrici(ibrideeditrasmissione)mantengonolostessosimbolo,mailoroelementisonofunzionicomplessedi s (o jω inregime sinusoidale),dettefunzionidirete.

N.B.:comenelcasoadinamico,ciascunamatrice`edefinibileseildoppio bipoloammettelarelativabasedidefinizione(→ basecorrenteper[Z], basetensioneper[Y ],ecc.).

E + R1 R2 C I V
R2||C = Zeq = 1 Yeq = 1 1 R2 + jωC ⇒ ETH = E Zeq(jω) R1 + Zeq(jω) (7.36)
R1||R2||C: ZTH (jω)= 1 YTH (jω) = 1 1 R1 + 1 R2 + jωC (7.37)
–
160 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

• Lecondizionidisimmetriaereciprocit`asiestendonoimmediatamente aldominiodeifasori.

• Valgonoilprincipiodisostituzioneequellodisovrapposizione ⇒ teoremadirappresentazionediN-porte(→ all’internosonoammessianche componentidinamici,purch´elinearietempo-invarianti,oltreaquelli adinamicieallesorgentiimpressive).

• Valeilteoremadireciprocit`a:uncircuitocompostodasolicomponentireciproci(→ inclusicondensatori,induttori,induttorimutuamente accoppiati)`eancorareciproco.

• Valgonoimetodidianalisi

• Valgonoleregolediconnessionedibipoliedoppibipoli.

7.8Funzioniditrasferimento

Dataunarelazioneingresso/uscitache,neldominiodeltempo,lega una grandezzadiuscitax(t)eunadiingressou(t),passandoaldominiodei fasorie’possibilericavareilrapporto T (ω)trailfasoredixequellodi u.Ingenerale, T (ω)`eunafunzionedaldominiorealeaquellocomplesso. Nelcasoparticolareincuixeusianounacorrenteeunatensionesu un bipoloerispettinolaconvenzionenormale, T (ω)coincideconl’impedenzao l’ammettenzadelbipolostesso.

Esempio7.8.1. Datalarelazioneingresso/uscita:

lacorrispondentefunzioneditrasferimento`e:

7.9Analisideicircuitiinregimesinusoidale

Essendoincondizionidiregime,nonabbiamopi`udaconsiderarerisposte transitorien´econdizioniiniziali.

Datoilcircuitodaanalizzare,esprimiamotuttelegrandezzeelettriche neldominiodeifasori ⇒ ricaviamoilfasoredellavariabilecheciinteressa ottenere ⇒ ritorniamoneldominiodeltempo.

MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 161

RC dv dt
+ αv = ra(t)(7.38)
T (ω)= V A = r α + jωRC = r(α jωRC) α2 +(ωRC)2 (7.39)

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

.Lacondizionedistabilit`a(necessariaper conseguireunregime)`edunque

λ = α+1

Esempio7.9.1. e(t) + R i v C vx αi L e(t)= E cos(ωt) t< 0 0 t> 0 α = 1(7.40) Regimesinusoidaleper t< 0: Esisteunarelazionealgebricatracandidate: i = e v R ⇒ iL = α e v R (7.41) ⇒ 1solavariabiledistato. i = e v R i(α +1)= C dv dt ⇒ RC α +1 dv dt + v = e(t)eq.distato(7.42) Lafrequenzalibera`e
RC
α
α>
t<
sinusoidale ⇒
RC α +1 dv dt + v = e(t) ⇒ V jω RC α +1 +1 = E (7.43) Con ˙ V ↔ v;jω ˙ V ↔ dv dt e ˙ E = Eej0 = E ↔ e(t). ⇐⇒ ˙ V = E α +1 α +1 + jωRC = E α +1 α +1 jωRC α +1 2 + ωRC 2 (7.44) ⇒ v(t)=Re{Vejωt =} = E α +1 α +1 2 + ωRC 2 Re α +1 jωRC cos(ωt)+ j sin(ωt) = E α +1 α +1 2 + ωRC 2 α +1 cos(ωt)+ ωRC sin(ωt) (7.45) 162 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
+1 > 0 ⇔
1.Per
0horegime
passoaldominiodeifasori:
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa ⇒ v(0 )= E α +1 2 α +1 2 + ωRC 2 = v(0+)(7.46) Per t> 0l’ingresso`enullo ⇒ c’`esololarispostalibera: v(t)= Aeλt = v(0+)e λt (7.47) Esempio7.9.2. e(t) + R iR C i1 i2 v1 v2 i1 i2 = g1 gM 0 g2 v1 v2 (7.48) R,g1,g2,gM ,C> 0; e(t)= E sin(ωt) · 1(t)+ φ0 · δ(t); v2(0 )=0. v2 + R i2 + C dv2 dt = e(t) i2 = g2v2 (7.49) v2 1+ g2R + RC dv2 dt = e(t)eq.distato(7.50) ⇒ Frequenzalibera: λ = 1+g2R RC (⇒ circuitostabile);ricaviamo v2(0+) integrandol’equazionedistatotra0 e0+ ⇒ v2(0+)= φ0 RC v2(t) t>0 = Aeλt + v2p1(t)+ v2p2(t)(7.51) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 163
v2p1 siricavatramiteifasori; v2p2 =0(impulsonulloper t> 0).Dall’equazionedistato: ˙ V2 = E 1+ Rg2 + jωRC ,con ˙ E = jE ⇐⇒ V2 = jE 1+ Rg2 jωRC 1+ Rg2 2 + ωRC 2 = = E ωRC + j 1+ Rg2 1+ Rg2 2 + ωRC 2 ⇒ v2p1(t)=Re V2ejωRC = = E 1+ Rg2 2 + ωRC 2 Re{[ωRC + j(1+ Rg2)](cos(ωt)+ j sin(ωt))} = = E 1+ Rg2 sin(ωt) ωRC cos(ωt) 1+ Rg2 2 + ωRC 2 ⇒ v2p1(0+)= EωRC 1+ Rg2 2 + ωRC 2 (7.52) Orasiricavailcoefficiente A utilizzandolacondizioneiniziale: ⇒ v2(0+)= A + v2p1(0+)= φ0 RC ⇐⇒ A = φ0 RC + EωRC 1+ Rg2 2 + ωRC 2 (7.53) Corrente iR aregime?Variabilenondistato ⇒ lasiricavaalgebricamente: iR v2≡v2p1 = e v2p1 R = 1 R E sin(ωt) E 1+ Rg2 sin(ωt) ωRC cos(ωt) 1+ Rg2 2 + ωRC 2 (7.54) Esempio7.9.3. 164 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Con a(t)= A sin(ωt).Determinare:

• i1,i2,i per t< 0

• frequenzelibereper t> 0

• statodelcircuitoin0+ etensione v(0+)

• i2(t)per t> 0

Per t< 0ilcircuitoequivalea

⇒ lacorrentetendeapassarenelramoaimpedenzaminima,percui i1(t)= i2(t)=0e i(t)= a(t).Valoredellecandidatein0 : i1(0 )= i2(0 )=0.

Per t> 0ilcircuitoequivalea:

N.B.Ho“perso”unacandidata ⇒ nell’equazionedistatocompareladerivata dell’ingresso.

a(t) L1 i1 R i2 L2 i t =0 v n :1
a(t) L1 i1 R i2 L2 i
a(t) L1 i1 R i2 L2 nv v HountaglioLA
a(t)= i1 + i2 legamealgebricodovutoaltaglioLA L1 di1 dt = Ri2 + L2 di2 dt (7.55) ⇒ L1 + L2 di2 dt + Ri2 = L1 da dt eq.distato(7.56)
⇒ unasolavariabiledistato.
R L1
L2
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 165
Frequenzalibera λ =
+
.
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa i2(t)`econtinuanell’origine ⇒ i2(0+)= i2(0 )=0 v(0+)= 1 n Ri2(0+) =0 +L2 di2 dt 0+ (7.57) Dall’equazionedistatosiricavache L1 + L2 di2 dt 0+ + R2 i2(0+) =0 = L1 da dt 0+ ⇒ v(0+)= 1 n L2 di2 dt 0+ = 1 n L1L2 L1 + L2 da dt 0+ (7.58) Ma da dt = Aω cos(ωt) ⇒ da dt 0+ = Aω ⇒ v(0+)= 1 n L1L2 L1+L2 Aω Oraricaviamo i2(t)per t> 0: i2(t)= Keλt + i2p(t)(7.59) i2p(t)lasiricavausandoifasori;dall’equazionedistatosiha: jω L1 + L2 + R I2 = jωL1A ⇐⇒ ˙ I2 = jωL1A R + jω L1 + L2 = jωL1A R jω L1 + L2 R2 + ω2 L1 + L2)2 (7.60) Ma ˙ A = jA ⇒ ˙ I2 = ωL1A[R jω(L1 + L2)] R2 + ω2(L1 + L2)2 (7.61) ⇒ i2p(t)=Re ˙ I2ejωt = = ωL1A R2 + ω2 L1 + L2 2 Re R jω(L1 + L2) cos(ωt)+ j sin(ωt) = = ωL1A R2 + ω2 L1 + L2 2 R cos(ωt)+ ω L1 + L2 sin(ωt) (7.62) Oratroviamo K imponendolacondizionein0+: i2(0+)= K + ωL1AR R2 + ω2 L1 + L2 2 =0 ⇒ i2(t) t>0 = ωL1A R2 + ω2 L1 + L2 2 Reλt + R cos(ωt)+ ω L1 + L2 sin(ωt) (7.63) 166 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

E costante; a(t)= A sin(ωt)circuitoaregime.Determinare

Applichiamoilprincipiodisovrapposizione:

• Terminediregimestazionario(dovutoall’ingressocostante): v1pe(t)= K ⇒ (sostituisconell’equazionedistato) K = ER1 R1+R2 .Potevamo vederloancheconsiderandoilcircuitoequivalente“incontinua”con

• Terminediregimesinusoidale(dovutoad a(t)):

Esempio7.9.4. E + v1 C1 R1 v2 C2 a(t) R2 i2
v1(t)e v2(t). E = v1 + R2i2 (anelloesterno) v1 R1 + C1 dv1 dt + a(t) i2 =0 (7.64) ⇒ v1 1 R1 + 1 R2 + C1 dv1 dt = E R2 a(t)(7.65)
a(t)=0: E + v1PE R1 R2
jωC1 + R1 + R2 R1R2 V1 = A = jA ⇐⇒ ˙ V1 = jAR1R2 R1 + R2 + jωC1R1R2 = = AR1R2 j R1 + R2 + ωC1R1R2 R1 + R2 2 + ωC1R1R2 2 (7.66) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 167

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

(t)(aregime).

7.10Potenzainregimesinusoidale

• Potenzaistantaneaepotenzaattiva Siano v(t)= V cos(ωt + φV )e i(t)= I cos(ωt + φI )latensioneela correnteaicapidiungenericobipolo(odellaportadiunN-porte) operanteinregimesinusoidale:

⇒ v1ps(t
V1ejωt = = AR1R2Re ωC1R1R2 + j R1 + R2 cos(ωt)+ j sin(ωt) R1 + R2 2 + ωC1R1R2 2 = = AR1R2 R1 + R2 2 + ωC1R1R2 2 ωC1R1R2 cos(ωt) R1 + R2 sin(ωt) (7.67)
pe
t
ps
Per v2
t
C2 dv2 dt = a(t)(taglioCA ⇒ frequenzaliberanulla) jωC2 ˙ V2 = ˙ A = jA ⇐⇒ ˙ V2 = A ωC2 ⇒ v2(t)=Re V2ejωt = A ωC2 cos(ωt) (7.68)
)=Re
Quindi v1(t)= v1
(
)+ v1
(
)ho:
Z(jω) V I V = Z(jω)I (7.69) ⇐⇒ VejφV = |Z|ejφZ IejφI (7.70) = |Z(jω)|Iej(φZ +φI ) (7.71) Uguagliandomoduliefasi,siottiene: V = |Z(jω)|I (7.72) φV = φZ + φI ⇐⇒ φZ = φV φI (7.73) 168 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Lapotenzaistantaneaassorbitadalbipolo`e:

p(t)= v(t)i(t)= V cos(ωt + φV )I cos(ωt + φI )(7.74)

Sapendochecos(α)cos(β)= 1 2 cos(α β)+ 1 2 cos(α+β),sipu`oriscrivere:

p(t)= VI 2 cos(φV φI )+ VI 2 cos(2ωt + φV + φI )(7.75)

Ilterminecostante`e,inmodulo, ≤ VI 2 (ampiezzadellasinusoide). Tenendocontodella(7.73),sipu`oscrivere:

p(t)= VI 2 cos(φZ )+ VI 2 cos[(2ωt +2φI )+ φZ ](7.76)

Infine,poich´ecos(α + β)=cos(α)cos(β) sin(α)sin(β),siha:

p(t)= VI 2 cos(φZ )[1+cos(2ωt +2φI )] VI 2 sin(φZ )sin(2ωt +2φI )

patt(t)+ preatt(t) (7.77)

Definiamo

P = VI 2 cos(φZ )=potenzaattiva(7.78)

Q = VI 2 sin(φZ )=potenzareattiva(7.79)

patt(t)potenzaattivaistantanea:potenzaistantaneadissipatadalbipolo(→ `equellamisuratadalcontatoredicasa).Ilsuovaloremedio`ela potenzaattiva P 2

patt(t)

preatt(t)potenzareattivaistantanea:potenzascambiatadall’alimentatoreconilcampoelettromagneticodelbipolo.Havalormedionulloe ampiezza Q (potenzareattiva).

P P 2π ω
t
169
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Vediamocosasipu`odireperbipolinotevoli:

• Resistore: Z(jω)= R ` Ereale ⇒ φZ =0 ⇒

attiva(`eundissipatorepuro,nonimmagazzinaenergia).

• Condensatore: Z(jω)=

potenzareattiva(`euncomponenteconservativo:nondissipaenergia, pu`osoloimmagazzinarlaperpoirestituirla).

Quando p(t)(= preatt(t)) > 0 ⇒ ilcondensatoreassorbeenergiadall’alimentatore;quando p(t) < 0 ⇒ ilcondensatoresicomportadageneratore(p `elapotenzaassorbita)erestituisceenergiaall’alimentatore (essendopassivononpu`omaicederepi`uenergiadiquellaaccumulata). Questopalleggiodienergiaavvieneduevolteinunperiodo 2π ω .

• Induttore: Z(jω)= jωL

reattiva.

Valgonolestesseconsiderazionifatteperilcondensatore,maneiquarti diperiodoincuil’induttoreassorbeenergia,ilcondensatorelarestituisceeviceversa.Ancheinquestocasol’energiaimmagazzinata`e sempre ≥ 0(componentepassivo).

Dunque,l’informazionesulsegnodiQ`edatadasin(φZ ).Seun’impedenza `editiporeattivo-induttivo ⇒ φZ ∈ [0, π 2 ] ⇒ Q ≥ 0;se`editiporeattivocapacitivo ⇒ φZ ∈ [ π 2 , 0] ⇒ Q ≤ 0.

170 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

Q Q 2π ω preatt(t) t
assorbesolopotenza
p = RI 2 2 = V 2 2R (7.80)
jωC = j 1 ωC ⇒ φZ = π 2 ⇒ assorbesolo
Q = VI 2 = ωCV 2 2 = I 2 2ωC (7.81)
1
φZ = π 2 ⇒ assorbeanch’essosolopotenza
Q = VI 2 = ωLI 2 2 = V 2 2ωL (7.82)
⇒

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

7.11Potenzacomplessadiunbipolo

` Eunnumerocomplessodefinitocome P + jQ: Re

Im P

Q P+jQ

⇒ l’angolodelvettore P + jQ rispettoall’assereale`e φz (ossia,lafasedi P + jQ `e φ

Siamoincondizionidiregimesinusoidale ⇒ lapotenzacomplessaproverr`a dalprodottotrailfasoredellatensioneequellodellacorrente.Soche

Lafasenon`equellachevorremmo(φz) ⇒ consideriamoquest’altroprodotto:

φz Q P = sin(φz) cos(φz) =tan(φz)(7.83)
2
i(t) ↔ I = IejφI e V = ZI = |Z|I V ej(φz +φI ) . Proviamoaconsiderareilprodottopi`uovvio: ˙ V ˙ I = Vej(φz +φI )IejφI = VIej(φz +2φI ) (7.84)
˙ V ˙ I ∗ = Vej(φz +φI )Ie jφI = VIejφz = VI cos(φz)+ j sin(φz) =2(P + jQ) (7.85)
P + jQ = V I ∗ 2 = VI 2 ejφz = Veff Ieff ejφz (7.86)
⇒ noncompareilfattore 1 2 . Esempio7.11.1. n> 1; R,g> 0; v(0 )=0 e(t) + R e nv i1 n :1 vx i2 gvx C v MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 171
z).Ilmodulodi P + jQ `e VI
Dunquepossiamoconcluderechelapotenzacomplessa`e:
Seconsideriamofasorilegatiaivaloriefficaci

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa vx = v(n 1) i2 = gvx C dv dt = = g(n 1)v C dv dt

• Relazioneingresso/uscitaper v (equazionedistato):

1 = g(n 1)v + C dv dt

(t)= Ri1 + nv

• Frequenzalibera

• v(t)per e(t)= E 1(t)eper t> 0.

Dalla(7.87)(bilanciodellediscontinuit`a)sihache v(0+)= v(0 )=0; integraleparticolare:`eunacostante K ⇒ sostituendonella(7.87) ricaviamo K = nE Rg(n 1)+n2

• v(t)per e(t)= φδ(t)per t> 0.Dalla(7.87)ricaviamo v(0+) = v(0 ) eintegrandola(7.87)tra0 e0+ siha v(0+)= nφ RC .L’integrale particolare`enullo ⇒ v(t)= nφ RC eλt

• per e(t)= E cos(ωt),inregimesinusoidale,determinarelapotenzareattivaassorbitadalcondensatoreequellacomplessaassorbita dalgeneratorepilotato.Dalla(7.87)(passandoaifasori)ricaviamo: Condensatore:

⇒ ne
2
dt (7.87)
ni
e
(t)=[Rg(n 1)+ n
]v + RC dv
λ = Rg(n
(7.88)
1)+ n2 RC
⇒
K =0 ⇐⇒ A = K v(t)= nE Rg(n 1)+ n2 (1 e λt) (7.89)
v(t)= Aeλt + K
v(0+)= A +
˙ V = nE [Rg(n 1)+ n2]+ jωRC (7.90) QC =Im ˙ V ˙ I ∗ 2 = 1 2 Im | ˙ V |2 1 jωC ∗ = 1 2 ωC|V |2 = = ωC 2 (nE)2 [Rg(n 1)+ n2]2 +(ωRC)2 < 0 OK,perch´e`euncondensatore (7.91) 172 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa Generatorepilotato:

Q> 0(Vc e Is sonopositiviperipotesi) ⇒ bipoloditipoinduttivo (resistivo-induttivo).

Teorema4 (Boucherot). SidimostraapartiredalteoremadiTellegen: datidueinsiemidigrandezzecompatibiliconunostessografo(→ talida soddisfarneleleggidiKirchhoff) ⇒ ivettoricorrispondentiataliinsiemi sonoortogonali.

Unicaipotesi:convenzionenormale(degliutilizzatori).Selevariabili sonotensioniecorrentidilato ⇒ v · i =0

l h=1 vhih =0.

Incondizionidiregimesinusoidaleabbiamoachefareconifasori,che comevistorispettanoleleggidiKirchhoffcomelegrandezzerealicuisono associati.Dobbiamoverificareseancheicomplessiconiugatideifasoridelle correntirispettanoleKCL.Perlatiincidentiuntaglio,dallaKCLabbiamo:

Dunqueancheicomplessiconiugatideifasorisonocompatibiliconil grafo.ApplichiamoilteoremadiTellegenagliinsiemi

Px + jQx = 1 2 V (gVx)∗ = = V 2 g(n 1)V ∗ ≡ Px g 2 (n 1)|V |2 (7.92) Esempio7.11.2. v(t) + i(t) v(t)= Vc cos(ωt) ↔ VC i(t)= Is sin(ωt)+ Ic cos(ωt) ↔−jIs + IC Vc,Is,Ic > 0 Determinarelapotenzacomplessaassorbitadalbipoloedirese`edi tipo induttivoocapacitivo. P + jQ = V I ∗ 2 = VC 2 (Ic + jIs) ⇐⇒ P = VcIc 2 Q = VcIs 2 (7.93)
⇐⇒
h Ih =0 ⇐⇒ h Re{Ih} =0 h Im{ ˙ Ih} =0 ⇐⇒ h I ∗ h =0(7.94)
{ ˙ Vh} e { ˙ I ∗ h}: 1 2 l h=1 VhI ∗ h =0 ⇐⇒ l h=1 Ph + jQh =0(7.95) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 173

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

TeoremadiBoucherot(7.96)

Ph potenzeattive assorbite dailati; Qh potenzereattive assorbite dailati.

Ilprimorisultato`eunpo’scontato(lapotenzaattiva`elegataalla potenza effettivamentedissipatadalcircuito).Ilsecondo`emenointuitivo ecostituisce ilcuoredelteoremadiBoucherot.

Esempio7.11.3. E + R1 R2 C

Potenzareattivaerogatadalgeneratoreditensione? QE + QC + QR1 + QR2 =0perBoucherot(potenzeassorbite) ⇒ poich´e QR1 = QR2 =0, lapotenzareattiva erogata dalgeneratorecoincidecon QC .Calcoliamo l’equivalenteTh´evenindelbipoloconnessoalcondensatore:

• Determinarelapotenzaattiva P elapotenzareattiva Q erogatedai generatori.

ApplichiamoilteoremadiBoucherot(convenzionenormale):lapotenzacomplessaassorbita`eugualeallapotenzacomplessaerogatadai generatori.Applichiamoilprincipiodisovrapposizione:

⇐⇒        l h=1 Ph =0 l h=1 Qh
←
=0
E R2 R1+R2 + R1R2 R1+R2 I V C ⇒ Qc = ωC|V |2 2 = ωC 2 ER2 R1+R2 2 ωCR1R2 R1+R2 2 +1 (7.97)
A C R L
E
Esempio:
+
174 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

• Determinare,seesiste,larelazionefra E e A chefacomportareiltripolo comepuramenteresistivo.Bastachesia

7.12Problemadelrifasamento

Eun’applicazionedelteoremadiBoucherot.Supponiamodiavereungeneratoreditensionesinusoidaleinparalleloaun’impedenza Z(jω)ediessere incondizionidiregime(→ possiamousareifasori):

– passiviamo ˙ E ⇒ A C PA + jQA = 1 2 ˙ A jωC A∗ = j | ˙ A|2 2ωC ⇒ PA =0 QA = A2 2ωC (7.98) – passiviamo A ⇒ R L + E Possiamogi`adistinguere PE e QE ,datoche L assorbesolopotenza reattivae R solopotenzaattiva: PE + jQE = E 2 2 1 R + j 1 ωL ⇒ PE = 1 2 |E|2 R jQE = 1 2 ˙ E E∗ jωL = j |E|2 2ωL (7.99) Complessivamente,dunque,siha: P = PA + PE = 1 2 E 2 R Q = QA + QE = A2 2ωC + E 2 2ωL (7.100)
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Q =0 ⇐⇒ A2 2ωC = E 2 2ωL ⇐⇒ A = C L E
`
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 175

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Supponiamochel’impedenzasiaditiporesistivoinduttivo(⇒ φz > 0): `elasituazionepi`ufrequente(lamaggiorpartedegliutilizzatoridomestici presentaun’impedenzaditiporesistivo-induttivo).

Potenzacomplessaassorbitadalgeneratore:

g 2 (comeovvio,inbaseal teoremadiBoucherot).

Potenzacomplessaassorbitadalcarico Z(jω):

Il rifasamento consistenelmodificareilcircuitoinmodotalechesia nulla Qg,ossialapotenzareattivaassorbitadalgeneratore.Aggiungiamo uncomponentelacuinaturafisicasiacomplementarerispettoaquelladel carico:avendosupposto Z ditiporesistivo-induttivo ⇒ aggiungiamoun condensatoreinparallelo:

Dobbiamodeterminareilvaloredi C taleche Qg =0.Perilteorema diBoucherot: Qg + QC + QZ =0.Imponiamo Qg =0 ⇒ deveessere QC + QZ =0.Potenzareattivaassorbitadalcondensatore?

V
Z
+ I g
(jω)
Pg + jQg = ˙ V ( ˙ I ∗ g ) 2 (7.101)
V I∗
V + I gR I C C I Z Z(jω)
IC = jωCV ⇒ jQC = V I ∗ C 2 = jωC |V |2 2 ⇐⇒ QC = ωC|V |2 2 (7.102)
˙ IZ = V Z(jω) (7.103) ⇒ ˙ V ˙ I ∗ Z 2 = ˙ V 2 ˙ V Z(jω) ∗ = | ˙ V |2 2 1 |Z|ejφZ ∗ = = | ˙ V |2 2|Z|ejφZ = PZ + jQZ ⇐⇒ QZ = |V |2 2|Z| sin(φZ ) (7.104) 176 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Potenzareattivaassorbitadalcarico?

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Questo`eilvaloredicapacit`adaimporreperrifasareilcarico.Tuttigliutilizzatoridomestici(solitamenteresistivo-induttivi)possiedonouncondensatore dirifasamentotalepercuilapotenzaassorbitadalcarico`eeffettivamente soloquellacheserveperfarlifunzionare(potenzaattivaistantanea).

Vogliamo QC + QZ =0 ⇐⇒− ωC|V |2 2 + |V |2 2|Z| sin(φz)=0 ⇐⇒ C = sin(φz) ω|Z| (7.105)
E + A C B R i L vL αi Determinare C taledarifasare Z(jω). V R I I L I(α +1) αI Z(jω)= V I = R + jωL(α +1)(7.106) E + I E C I Z(jω) ˙ IE = ˙ E jωC + 1 R + jωL(α +1) = = E jωC + R jωL(α +1) R2 + ω2L2(α +1)2 (7.107)
e(t)`euncoseno(⇒ ˙ E = E),imponiamoIm{ ˙ IE } =0(dato chelapotenzacomplessaassorbitadalparallelodi C e Z(jω)`e EI∗ E 2 = PE + jQE e QE =0 ⇐⇒ EI ∗ E `eunnumeroreale): ωC = ωL(α +1) R2 + ω2L2(α +1)2 ⇐⇒ C = L(α +1) R2 + ω2L2(α +1)2 (7.108) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 177
Esempio7.12.1.
Perrifasare,se

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Ingenerale,bastaimporrecheilcaricorifasatosiapuramenteresistivo (⇒ abbiaparteimmaginarianulla).Inrealt`a,unmodellopi`urealisticodi lineadicaricosarebbe:

Dunque,dituttalapotenzaattivaerogatada

,unapartevienedissipata da

All’Enelconviene(perragionidimanutenzionedellalineaedicostidi gestione),farsiche Pr siaminima ⇒ che

⇒ il condensatoredirifasamentoserveancheaquesto:

Dunqueilrifasamento`eimportanteperduemotivi:l’utenteevitadi assorbirepotenzachenon`eingradodiusareel’Enelevitasprechi(⇒ la leggeimponeilrifasamentodeicarichi).Questo`eimportanteperi contratti: seconl’Enelsottoscriviamoilcontrattoperunassorbimentomassimodi 3kW ⇒ vogliamopoterlisfruttaretuttialmeglio.

7.13Lineeadaltatensione

Inunastazioneelettricaivaloridelletensionichevengonoprodotteconvertendoinenergiaelettricaenergiatermica(centralitermoelettriche),potenziale(centraliidroelettriche)odialtrogeneresonodell’ordinedi105 V.Negli impiantidomesticioindustriali,letensionisonodell’ordinedelcentinaiodi Volt.Perch`eallorasitrasportal’energiaelettricasulineeadaltatensione, dell’ordinedi104 V?

Vg + r I r C I C Z I Z
con r “moltopiccola”.
r
Ir = IC + IZ ⇒ Pr = r|Ir|2 2 = r|IC + IZ |2 2 (7.109)
V
:
˙ Ir| siapi`upiccolopossibile
Re Im IC ˙ Vg ˙ IZ ˙ IZ+ ˙ IC |IC + IZ | < |IZ |⇒ Pr siriduce.Inoltre Vg e Ir sonoinfase ⇒ ilcarico
|
complessivo`epuramenteresistivo(nonassorbepotenzareattiva).
178 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa V + Zl I m Z V m

L’impedenzadilinea,ingenerale,sar`a Zl = R + jX.Ilcaricodissipauna potenzaattiva Pm = 1 2 VmIm cos ϕ.Poich`esivuolemettereadisposizionedell’utenteunacertaquantit`adipotenzaattiva,supponiamoche Pm siafissata, cos`ıcome R (dipendedalmaterialeusatoperlalinea).Perridurrealminimo icostidimanutenzione,convienerendereminimalapotenzadissipatasulla linea.Vediamoquantovale:

Ma Im siricavadall’espressionedellapotenzaattivadissipatadalcarico: Im = 2Pm Vm cos ϕ .Sostituendo,siottiene:

Dunque,fissate Pm e R,lapotenzadissipatasullalinea`eminimase cos ϕ → 1(percui`eobbligatoriorifasareicarichi)ese Vm `epi`uelevato possibile,ilchespiegal’utilizzodellealtetensionisullelinee.

7.14Massimotrasferimentodipotenzaattiva(adattamentoenergetico)

Questo`eunproblemadualerispettoalrifasamento.Consideriamo unalineadidistribuzionedell’energiaelettricaounoscillatoreounqualunque altrocircuitoelettronicorappresentabilemedianteuncircuitoequivalentedi Th´eveninfattocos`ı:

Zg

V g

+

A B

Questo`eunmodelloancorapi`uaccuratodiunalineadidistribuzioneelettrica.

Pl = 1 2 RI 2 m (7.110)
Pl = 1 2 R 4P 2 m V 2 m cos2 ϕ = 2RP 2 m V 2 m cos2 ϕ (7.111)
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 179

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Ilproblemadelmassimotrasferimentodipotenzaattivariguarda l’impedenzadicarico ZC dacollegareaquestobipolo:sivuolfareinmodoche ZC assorbalamassimapotenzaattiva.Inaltritermini,siconsiderano ˙ Vg, Zg e

ω fissiecisichiededunquequantodevevalere Zc inmododaassorbirela massimapotenzaattiva.Vogliamocio`etrovarela Zc ottimale.

Peripotesil’impedenza ZC `einserieelaretefunzionaincondizionidi regimesinusoidale.

Conlaconvenzionenormale(degliutilizzatori),chiamiamo I e V ifasori dellacorrenteedellatensioneaicapidelcarico ⇒ siha:

V g + Zg I Zc V ˙ V = ˙ Vg Zc Zc + Zg ˙ I = V Zc = Vg Zc + Zg ⇒ lapotenzacomplessaassorbitada Zc `e ˙ V ˙ I ∗ 2 = ˙ VgZc 2(Zc + Zg) ˙ V ∗ g (Zc + Zg)∗ = V 2 g Zc 2|Zc + Zg|2 (7.112) Lapotenzaattiva`e P = Re V 2 g Zc 2|Zc + Zg|2 = V 2 g 2|Zc + Zg|2 Re Zc (7.113) Ingeneralesipu`oscrivere Zc = Rc + jXc e Zg = Rg + jXg ⇒ Zc + Zg = Rc + Rg + j Xc + Xg ⇒|Zc + Zg|2 = Rc + Rg 2 + Xc + Xg 2 (7.114) Perci`o P = V 2 g 2 1 Rc + Rg 2 + Xc + Xg 2 Rc (7.115) Ilsistemadidistribuzione`enoto ⇒ Rg e Xg sono“datiditarga”.Bisogna trovare Rc e Xc talichelapotenza P siamassima ⇒ occorrerisolvereun problemadimassimorispettoaduevariabili. 180 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Ilmassimorispettoa Xc siindividuasubito(ildenominatoredi P deve essereminimo ⇒ imponiamoche(Xc + Xg )2 (≥ 0)sianullo):bastaimporre Xc = Xg

⇒ P = V 2 g 2 · Rc Rc + Rg 2 (7.116)

Oraderiviamorispettoa Rc pertrovarelacondizionedimassimo:

dP dRc = V 2 g 2 Rc + Rg 2 2Rc Rc + Rg Rc + Rg 4 = V 2 g 2 Rc + Rg 2Rc Rc + Rg 3 = = V 2 g 2 Rg Rc Rc + Rg 3 =0

⇐⇒ Rc = Rg

• Se Rc <Rg ⇒ dP dRc > 0( ⇐⇒ P cresce)

• Se Rc >Rg ⇒ dP dRc < 0( ⇐⇒ P decresce)

(7.117)

⇒ Rc = Rg `eunmassimoper P : Pmax = V 2 g 8Rg .Dunquela Zc ottimale`edata

da Zc = Rg jXg = Z ∗ g ⇒ dataunacerta Zg,l’impedenzadicarico Zc che consentediottenerela massimapotenzaattivaassorbita `eparialcomplesso coniugatodella Zg stessa.

Questovuoldirecheancheilgeneratore`eincondizioniottimali,poich´e vedeuncarico“rifasato”(unpuroresistore):

V g Zc + Zg = Rc + Rg =2Rg

Zc = Z ∗ g `elacondizionediadattamentoenergetico.

181
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
182 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa

Capitolo8

Regimemultifrequenziale

Spessooccorrestudiarecircuitidinamicilinearilecuisorgentiimpressive sonosinusoidiconpulsazioni ω1, ω2,...diversetraloro.Seitransitori sisonoesauriti,siusadirecheuncircuitoinquestasituazioneoperain regimemultifrequenziale.Lostudiodiquestoregimesibasasulprincipiodi sovrapposizione.

Lapresenzadisorgentiimpressivecostantiesinusoidalidifrequenze diversepu`oesseredovutaa:

1.presenzaeffettivaditalisorgenti

2.presenzadiuna(opi`u)sorgenteimpressivaperiodica non sinusoidale, chepu`oesserescomposta,mediantelacosiddetta“seriediFourier”, nellasommadisorgentisinusoidalidifrequenzeunamultiplaintera dell’altra.

Valuteremoentrambiicasi.

Nota: ilregimestazionarioocostante(“continua”)sipu`oconseguire(a transitoriesauriti)soloseilcircuitodinamico`easintoticamentestabile1 (→ tuttelefrequenzeliberehannopartereale < 0)etuttelesorgentiimpressive sonocostanti.Losipu`ovederecomenelcasoparticolarediregimesinusoidale per s = jω =0.Nelcasodiregimecostantetutteleimpedenze,ammettenze erapportiditensioneecorrentesononecessariamentereali.

Nota: nelcasodiingressoperiodico non sinusoidale,lasoluzionearegime sar`aunaformad’ondaconlostessoperiodo,maconprofilodiverso.L’unica formad’ondadicuisimantieneancheilprofilo(→ aparteampiezzaefase) `elasinusoide,comevisto.

183
1condizionedasoddisfareperconseguirequalunquetipodiregime

8.1Caso1

Sirisolveapplicandoilprincipiodisovrapposizione

Esempio8.1.1. e(t)= E sin(ωt) a(t)= A cos(2ωt)

Corrente

Determinarelecostanti IC1, IS1, IC2, IS2.Usiamoilprincipiodisovrapposizione:

8.Regimemultifrequenziale
e(t) + R iR C a(t)
iR “diregime”: iR(t)= IC1 cos(ωt)+ IS1 sin(ωt)+ IC2 cos(2ωt)+ IS2 sin(2ωt)
e(t) + R i1 v1 C E = Ee j π 2 ˙ I1 = V1 R = E R R R + 1 jωC = jωCE 1+ jωRC = ωCE 1 jωRC 1+ ωRC 2 ⇒ i1(t)=Re ˙ I1ejωt = = ωCE 1+ ωRC 2 Re 1 jωRC cos(ωt)+ j sin(ωt) = = ωCE 1+ ωRC 2 cos(ωt)+ ωCR sin(ωt) (8.1) a(t) R i2 C a(t) 184 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
e(t)

8.2Caso2

Valutiamoorailsecondocaso,ossiaquellorelativoallapresenzadiuna(o pi`u)sorgenteimpressivaperiodica.

8.Regimemultifrequenziale R I 2 1 j2ωC V A a(t)=Re Aej2ωt ↔ A = A Partitoredicorrente: ˙ I2 = 1 j2ωC R + 1 j2ωC == 1 1+ j2ωRC ⇐⇒ ˙ I2 = A 1 2ωRC 1+ 2ωRC 2 (8.2) ⇒ i2(t)=Re I2ej2ωt = =Re A 1+ 2ωRC 2 1 j2ωRC cos(2ωt)+ j sin(2ωt) = = A 1+ 2ωRC 2 cos(2ωt)+2ωRC sin(2ωt) (8.3) Sovrapponiamoglieffetti ⇒ iR(t)= i1(t)+ i2(t) ⇒ IC1 = ωCE 1+ ωRC 2 IS1 = ωC 2RE 1+ ωRC 2 (8.4) IC2 = A 1+ 2ωRC 2 IS2 = 2ωARC 1+ 2ωRC 2 (8.5)
Unaqualsiasifunzioneperiodica f (t)diperiodo T (→ pulsazione ω = 2π T efrequenza 1 T )pu`oesseredescrittatramiteilcosiddettosviluppoinseriedi Fourier: f (t)= a0 + +∞ k=1 [ak cos(kωt)+ bk sin(kωt)]= = a0 + +∞ k=1 Ak cos(kωt + φk)= = 1 2 +∞ k=−∞ Akejkωt (8.6) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 185

LosviluppoinseriediFourierconsentedianalizzarequalunquecircuitolinearecongrandezzeimpresseperiodiche,applicandoilprincipiodi sovrapposizione.

8.Regimemultifrequenziale dove: a0 =<f>= 1 T T 0 f (t) dt (8.7)
Valormediodiunafunzioneperiodica x(t)diperiodo T : <x>= 1 T T 0 x(t) dt  = 1 T t+T t x(τ ) dτ   (8.8) Valoreefficacediunafunzioneperiodica x(t)diperiodo T : xeff = 1 T T 0 x2(t) dt definizionegenerale(8.9) (⇒ nelcasodi x(t)sinusoidalediampiezza X,siha xeff = X √2 )
x(t): xeff = <x>2 + +∞ k=1 ak √2 2 + bk √2 2 = <x>2 + +∞ k=1 Ak √2 2 = = <x>2 + +∞ k=1 | ˙ Ak| √2 2 (8.10) Esempio8.2.1. e(t) + R iR a(t) C vc 186 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Teorema5 (Valoreefficace). ApplichiamolosviluppoinseriediFourierper

Circuitoaregimecon e(t)e a(t)periodici.Determinare:

• valormedio <vc > (sulperiodo)

• valormedio <iR > (sulperiodo)

• valoredi A (seesiste)percui(fissato E)siha <vc >=0

DallosviluppoinseriediFourierdeduciamocheilsolocontributoaivalorimedidellevariabili(aregime)vienedalvalormediodiogniingresso (applicandoilprincipiodisovrapposizioneeconsiderandountermine per voltadellosviluppoinseriediFourier,tuttiiterminisinusoidaliforniscono uncontributonullo).Talevalore`ecostante ⇒ essendoaregimepossiamo considerareuncircuitoequivalenteinregimestazionariofattocos`ı:

t t a(t) e(t) E A T 4 T 2 T
8.Regimemultifrequenziale
<e> + <vR > R <iR > <a> <vc > ⇒<iR >= <a>, <vC >=<e> <vR >=<e> R<iR >=< e> +R<a>.Calcoliamo <e> e <a>: <e> = 1 T T 0 e(t) dt = 1 T T 2 + T 4 E 2 = 3E 8 <a> = 1 T T 0 a(t) dt = 1 T T ( A) 2 = A 2 (8.11) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 187
8.Regimemultifrequenziale ⇒<iR >= A 2 <vC >= 3 8 E AR 2 <vC >=0 ⇐⇒ A = 3 4 E R (8.12) Esempio8.2.2. e1(t) + i1 i2 + e2(t) v1 v2 v1 = Ri1 i2 = αi1 + gv2 e1(t)= E1 cos(ωt) e2(t)= E2 cos(2ωt) T = 2π ω Determinare: • i1eff e i2eff • Potenzamediaassorbitanelperiodo T daltripolo i1 = v1 R = e1 R = E1 R cos(ωt) ⇒ i1eff = 1 T T 0 i2 1(t) dt = 1 R e1eff = E1 √2R i2 = αi1 + ge2(t)= α E1 R cos(ωt)+ gE2 cos(2ωt) (8.13) Sfruttiamoilteoremadelvaloreefficace: I2eff = αE1 √2R 2 + gE2 √2 2 Potenzaistantaneaassorbitadaltripolo: p(t)= v1i1 + v2i2 = Ri2 1 + αv2i1 + gv 2 2 = = e2 1 R + αe2 e1 R + ge 2 2 (8.14) 188 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
8.Regimemultifrequenziale Potenzamedia: <p> = 1 T T 0 e2 1 R dt + α R T 0 e1e2 dt + g T 0 e 2 2 dt = = 1 T E 2 1 T 2R +0+ gE 2 2 T 2 = E 2 1 2R + gE 2 2 2 (8.15) Esempio8.2.3. i1(t)= I1 sin(ωt) i2(t)= I2 cos(2ωt) i3(t)= I3 sin(3ωt) (8.16) i1 i2 i3 v(t) C Determinareilvaloreefficace veff dellatensione v(t)nelperiodo T Applichiamoilprincipodisovrapposizione 1. i1 ↔ I1 = I1e j π 2 = jI1 ⇒ V1 = ˙ I1 jωC 2. i2 ↔ ˙ I2 = I2 =⇒ ˙ V2 = I2 j2ωC 3. i3 ↔ ˙ I3 = jI3 =⇒ ˙ V3 = I3 j3ωC ⇒ v(t)= v1 + v2 + v3 = I1 ωC cos(ωt)+ I2 2ωC sin(2ωt) I3 3ωC cos(3ωt) Sovrapponiamoicontributi,dunqueilvaloreefficace`e V = V1 + V2 + V3 = ˙ I1 jωC + ˙ I2 j2ωC + ˙ I3 j3ωC Oppure: veff = |V1|2 2 + |V2|2 2 + |V3|2 2 = = 1 √2 I1 ωC 2 + I2 2ωC 2 + I3 3ωC 2 (8.17) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 189
8.Regimemultifrequenziale Esempio8.2.4. E0 + L v R I sin(ωt) Retearegime,valoreefficacedi v(t)? Applichiamoilprincipiodisovrapposizione: 1.Passiviamoilgeneratoredicorrente E0 + v0 R ⇒ v0 = E0 2.Passiviamoilgeneratoreditensione L v1 R I sin(ωt) I sin(ωt) ↔ ˙ I = jI v1(t)=Re ˙ V1ejωt ˙ V1 = jI jωLR R + jωL = | ˙ V1|ejφ →|V1| = |ωLR| |R + jωL| I = ωLR R2 + ωL 2 I Dunque,perilteoremadelvaloreefficace,siha veff = E 2 0 + 1 2 |V1|2 = E 2 0 + 1 2 ωLRI 2 R2 + ωL 2 190 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti

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