7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
7.3Relazionitrafasoriesinusoidi
Abbiamovistochelarispostaforzataauningressoditiposinusoidale1 `e ancoraunasinusoideconlastessafrequenzadellaforzante.Dunque,una voltaesauritasilarispostaliberadelcircuito(→ dopo5τmax,dove τmax `elamassimacostanteditempo),tuttelevariabilielettrichediuncircuito evolvonooscillandosinusoidalmenteconlastessafrequenza.
Poich´el’informazionesullafrequenza`elastessapertuttelevariabili delcircuito,intalicondizioni(regimesinusoidale)possiamocondensarele informazionirelativeaognivariabileinduesoliparametri:ampiezzae fase ⇒ bastaconoscereilfasore.
Consideriamounagenericasinusoide:
u(t)= U cos(ωt + φ)(7.7)
U ampiezza(valoremassimo); ω pulsazione(ω =2πf = 2π T con f frequenza e T periodo).
Associamol’informazioneinteressantealfasore:
U Uejφ [= U (cos φ + j sin φ)](7.8)
dove U `eilfasoreriferitoalvaloremassimodellasinusoide; U `eilmodulo di U; φ `efasedi U.Avoltesiusanoifasoririferitiaivaloriefficaci ⇒ intal caso |U| = ueff = U √2
Rappresentazionegrafica: U cos(φ) U sin(φ) U φ
ω = Im{s}
σ = Re{s}
Ilvettore ˙ U ruotanelpianocomplessoconvelocit`aangolare ω (senso antiorario).Comesiritornaa u(t)datoilsuofasore(cio`ecomesipassadal dominiodeifasorialdominiodeltempo)?
1
152 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
supponiamochecisiaunsoloingresso;sesonodipi`u,bastaapplicareilprincipio sovrapposizione7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Ingenerale:
u(t)= Re ˙ Uejωt = Re Uejφejωt = Re Uej(ωt+φ)
= Re {U[cos(ωt + φ)+ j sin(ωt + φ)]}
= U cos(ωt + φ) (7.9)
Casoparticolare:
U sin(ωt)= U cos(ωt π 2 )
= Im Uejωt
= Re{ Ue j π 2 = jU ⇒ilfasorediunseno`eimm.puro
ejωt} = Im Uejωt (7.10)
Esistedunqueunacorrispondenzabiunivocatraunagenericavariabilediun circuitoincondizionidiregimesinusoidaleeunfasore.
Interpretazionegrafica:laproiezionedelvettore U sull’asserealefornisce l’andamentoneltempodellavariabile u(t).
N.B.:poich´eilcoseno`eunafunzionepari(→ cos( α)=cos(α))
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
⇒ possiamolimitarciavederecosasuccedenelprimocaso(assumo pulsazionepositiva)
Propriet`a:
• ilfasoreassociatoa du dt `e jωU.Dimostrazione:
• Sesirappresentanopi`ufasorisullostessodiagrammafasoriale:
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
7.4Relazionitopologicheerelazionicostitutiveneldominiodeifasori
• LeggidiKirchhoff
LedueleggidiKirchhoffrestanovalide:bastasostituireaivettori delletensioni(dilatoonodali)edellecorrenti(dilatoocicliche)i corrispondentivettoridifasori.
Ilperch´e`eovvio:leleggidiKirchhoffnondipendonodaicomponenti presentinelcircuito ⇒ nonpossonodipenderedalfattocheesisteun ingressosinusoidale!
• Relazionicostitutive(dominiodeltempo)(dominiodeifasori)
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
`eunnumerocomplesso,manon`eunfasore(⇒ noncivailpuntino).
Definizioneanalogavaleperl’ammettenza Y diunbipolo:
Impedenzaeammettenzahannolostessoruolo,rispettivamente, dellaresistenzaedellaconduttanzadiunbipoloadinamico(→ Z(s)`edefinitase esistebasecorrentee Y (s)`edefinitaseesistebasetensione).
Nelcasodiregimesinusoidale:
)(7.29)
R(ω)resistenza; X(ω)reattanza; G(ω)conduttanza; B(ω)suscettanza.Lo
sfasamentotraifasoridellatensioneedellacorrentediunbipolocoincide conlafasedell’impedenza:
Peranalogia,unbipolosidicepuramentecapacitivose ∠Z(jω)= ∠Y (jω)= π 2 (→ I anticipainquadratura V ).
Unbipolosidicepuramenteinduttivose ∠Z(jω)= ∠Y (jω)= π 2 (→ V anticipainquadratura I).
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa •
7.6Connessioneinserieeinparallelo
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Alvariaredi ω,ilbipolocambiatipodicomportamento.Poich´e
• resistivo-capacitivose X(ω) < 0
• resistivose X(ω)=0
• resistivo-induttivose X(ω) > 0
7.7Estensionediregole,propriet`aemetodideicircuitiadinamicialregimesinusoidale
Lamaggiorpartedelledefinizioniedeirisultatidimostratinelcaso deicircuiti adinamicipossonoesserefacilmenteestesialcasodicircuitidinamicioperanti inregimesinusoidale.
• Peresempio,imodelliequivalentidiTh´evenineNortondiunbipolo sono:
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
˙ ETH =tensionedicircuitoaperto:sicalcolaconlaregoladelpartitore ditensione,tenendocontodelfattoche
ZTH sicalcolapassivandoilgeneratoreditensioneecalcolandol’impedenzaequivalentealparallelo
Convieneragionaresull’ammettenza,datochecisonobipoliinparallelo.
• RimaneovviamentevalidoilteoremadiTellegen(riguardalatopologia, comeleleggidiKirchhoff).
• Lerappresentazionididoppibipolipossonoesserefacilmentegeneralizzate:
–
matrice(reale)diresistenza[R] → matrice(complessa)diimpedenza[Z]
matrice(reale)diconduttanza[G] → matrice(complessa)diammettenza[Y ]
Lealtrematrici(ibrideeditrasmissione)mantengonolostessosimbolo,mailoroelementisonofunzionicomplessedi s (o jω inregime sinusoidale),dettefunzionidirete.
N.B.:comenelcasoadinamico,ciascunamatrice`edefinibileseildoppio bipoloammettelarelativabasedidefinizione(→ basecorrenteper[Z], basetensioneper[Y ],ecc.).
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
• Lecondizionidisimmetriaereciprocit`asiestendonoimmediatamente aldominiodeifasori.
• Valgonoilprincipiodisostituzioneequellodisovrapposizione ⇒ teoremadirappresentazionediN-porte(→ all’internosonoammessianche componentidinamici,purch´elinearietempo-invarianti,oltreaquelli adinamicieallesorgentiimpressive).
• Valeilteoremadireciprocit`a:uncircuitocompostodasolicomponentireciproci(→ inclusicondensatori,induttori,induttorimutuamente accoppiati)`eancorareciproco.
• Valgonoimetodidianalisi
• Valgonoleregolediconnessionedibipoliedoppibipoli.
7.8Funzioniditrasferimento
Dataunarelazioneingresso/uscitache,neldominiodeltempo,lega una grandezzadiuscitax(t)eunadiingressou(t),passandoaldominiodei fasorie’possibilericavareilrapporto T (ω)trailfasoredixequellodi u.Ingenerale, T (ω)`eunafunzionedaldominiorealeaquellocomplesso. Nelcasoparticolareincuixeusianounacorrenteeunatensionesu un bipoloerispettinolaconvenzionenormale, T (ω)coincideconl’impedenzao l’ammettenzadelbipolostesso.
Esempio7.8.1. Datalarelazioneingresso/uscita:
lacorrispondentefunzioneditrasferimento`e:
7.9Analisideicircuitiinregimesinusoidale
Essendoincondizionidiregime,nonabbiamopi`udaconsiderarerisposte transitorien´econdizioniiniziali.
Datoilcircuitodaanalizzare,esprimiamotuttelegrandezzeelettriche neldominiodeifasori ⇒ ricaviamoilfasoredellavariabilecheciinteressa ottenere ⇒ ritorniamoneldominiodeltempo.
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 161
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
.Lacondizionedistabilit`a(necessariaper conseguireunregime)`edunque
λ = α+1
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Con a(t)= A sin(ωt).Determinare:
• i1,i2,i per t< 0
• frequenzelibereper t> 0
• statodelcircuitoin0+ etensione v(0+)
• i2(t)per t> 0
Per t< 0ilcircuitoequivalea
⇒ lacorrentetendeapassarenelramoaimpedenzaminima,percui i1(t)= i2(t)=0e i(t)= a(t).Valoredellecandidatein0 : i1(0 )= i2(0 )=0.
Per t> 0ilcircuitoequivalea:
N.B.Ho“perso”unacandidata ⇒ nell’equazionedistatocompareladerivata dell’ingresso.
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
E costante; a(t)= A sin(ωt)circuitoaregime.Determinare
Applichiamoilprincipiodisovrapposizione:
• Terminediregimestazionario(dovutoall’ingressocostante): v1pe(t)= K ⇒ (sostituisconell’equazionedistato) K = ER1 R1+R2 .Potevamo vederloancheconsiderandoilcircuitoequivalente“incontinua”con
• Terminediregimesinusoidale(dovutoad a(t)):
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
(t)(aregime).
7.10Potenzainregimesinusoidale
• Potenzaistantaneaepotenzaattiva Siano v(t)= V cos(ωt + φV )e i(t)= I cos(ωt + φI )latensioneela correnteaicapidiungenericobipolo(odellaportadiunN-porte) operanteinregimesinusoidale:
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Lapotenzaistantaneaassorbitadalbipolo`e:
p(t)= v(t)i(t)= V cos(ωt + φV )I cos(ωt + φI )(7.74)
Sapendochecos(α)cos(β)= 1 2 cos(α β)+ 1 2 cos(α+β),sipu`oriscrivere:
p(t)= VI 2 cos(φV φI )+ VI 2 cos(2ωt + φV + φI )(7.75)
Ilterminecostante`e,inmodulo, ≤ VI 2 (ampiezzadellasinusoide). Tenendocontodella(7.73),sipu`oscrivere:
p(t)= VI 2 cos(φZ )+ VI 2 cos[(2ωt +2φI )+ φZ ](7.76)
Infine,poich´ecos(α + β)=cos(α)cos(β) sin(α)sin(β),siha:
p(t)= VI 2 cos(φZ )[1+cos(2ωt +2φI )] VI 2 sin(φZ )sin(2ωt +2φI )
patt(t)+ preatt(t) (7.77)
Definiamo
P = VI 2 cos(φZ )=potenzaattiva(7.78)
Q = VI 2 sin(φZ )=potenzareattiva(7.79)
patt(t)potenzaattivaistantanea:potenzaistantaneadissipatadalbipolo(→ `equellamisuratadalcontatoredicasa).Ilsuovaloremedio`ela potenzaattiva P 2
patt(t)
preatt(t)potenzareattivaistantanea:potenzascambiatadall’alimentatoreconilcampoelettromagneticodelbipolo.Havalormedionulloe ampiezza Q (potenzareattiva).
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Vediamocosasipu`odireperbipolinotevoli:
• Resistore: Z(jω)= R ` Ereale ⇒ φZ =0 ⇒
attiva(`eundissipatorepuro,nonimmagazzinaenergia).
• Condensatore: Z(jω)=
potenzareattiva(`euncomponenteconservativo:nondissipaenergia, pu`osoloimmagazzinarlaperpoirestituirla).
Quando p(t)(= preatt(t)) > 0 ⇒ ilcondensatoreassorbeenergiadall’alimentatore;quando p(t) < 0 ⇒ ilcondensatoresicomportadageneratore(p `elapotenzaassorbita)erestituisceenergiaall’alimentatore (essendopassivononpu`omaicederepi`uenergiadiquellaaccumulata). Questopalleggiodienergiaavvieneduevolteinunperiodo 2π ω .
• Induttore: Z(jω)= jωL
reattiva.
Valgonolestesseconsiderazionifatteperilcondensatore,maneiquarti diperiodoincuil’induttoreassorbeenergia,ilcondensatorelarestituisceeviceversa.Ancheinquestocasol’energiaimmagazzinata`e sempre ≥ 0(componentepassivo).
Dunque,l’informazionesulsegnodiQ`edatadasin(φZ ).Seun’impedenza `editiporeattivo-induttivo ⇒ φZ ∈ [0, π 2 ] ⇒ Q ≥ 0;se`editiporeattivocapacitivo ⇒ φZ ∈ [ π 2 , 0] ⇒ Q ≤ 0.
170 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
7.11Potenzacomplessadiunbipolo
` Eunnumerocomplessodefinitocome P + jQ: Re
Im P
Q P+jQ
⇒ l’angolodelvettore P + jQ rispettoall’assereale`e φz (ossia,lafasedi P + jQ `e φ
Siamoincondizionidiregimesinusoidale ⇒ lapotenzacomplessaproverr`a dalprodottotrailfasoredellatensioneequellodellacorrente.Soche
Lafasenon`equellachevorremmo(φz) ⇒ consideriamoquest’altroprodotto:
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa vx = v(n 1) i2 = gvx C dv dt = = g(n 1)v C dv dt
• Relazioneingresso/uscitaper v (equazionedistato):
1 = g(n 1)v + C dv dt
(t)= Ri1 + nv
• Frequenzalibera
• v(t)per e(t)= E 1(t)eper t> 0.
Dalla(7.87)(bilanciodellediscontinuit`a)sihache v(0+)= v(0 )=0; integraleparticolare:`eunacostante K ⇒ sostituendonella(7.87) ricaviamo K = nE Rg(n 1)+n2
• v(t)per e(t)= φδ(t)per t> 0.Dalla(7.87)ricaviamo v(0+) = v(0 ) eintegrandola(7.87)tra0 e0+ siha v(0+)= nφ RC .L’integrale particolare`enullo ⇒ v(t)= nφ RC eλt
• per e(t)= E cos(ωt),inregimesinusoidale,determinarelapotenzareattivaassorbitadalcondensatoreequellacomplessaassorbita dalgeneratorepilotato.Dalla(7.87)(passandoaifasori)ricaviamo: Condensatore:
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa Generatorepilotato:
Q> 0(Vc e Is sonopositiviperipotesi) ⇒ bipoloditipoinduttivo (resistivo-induttivo).
Teorema4 (Boucherot). SidimostraapartiredalteoremadiTellegen: datidueinsiemidigrandezzecompatibiliconunostessografo(→ talida soddisfarneleleggidiKirchhoff) ⇒ ivettoricorrispondentiataliinsiemi sonoortogonali.
Unicaipotesi:convenzionenormale(degliutilizzatori).Selevariabili sonotensioniecorrentidilato ⇒ v · i =0
l h=1 vhih =0.
Incondizionidiregimesinusoidaleabbiamoachefareconifasori,che comevistorispettanoleleggidiKirchhoffcomelegrandezzerealicuisono associati.Dobbiamoverificareseancheicomplessiconiugatideifasoridelle correntirispettanoleKCL.Perlatiincidentiuntaglio,dallaKCLabbiamo:
Dunqueancheicomplessiconiugatideifasorisonocompatibiliconil grafo.ApplichiamoilteoremadiTellegenagliinsiemi
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
TeoremadiBoucherot(7.96)
Ph potenzeattive assorbite dailati; Qh potenzereattive assorbite dailati.
Ilprimorisultato`eunpo’scontato(lapotenzaattiva`elegataalla potenza effettivamentedissipatadalcircuito).Ilsecondo`emenointuitivo ecostituisce ilcuoredelteoremadiBoucherot.
Esempio7.11.3. E + R1 R2 C
Potenzareattivaerogatadalgeneratoreditensione? QE + QC + QR1 + QR2 =0perBoucherot(potenzeassorbite) ⇒ poich´e QR1 = QR2 =0, lapotenzareattiva erogata dalgeneratorecoincidecon QC .Calcoliamo l’equivalenteTh´evenindelbipoloconnessoalcondensatore:
• Determinarelapotenzaattiva P elapotenzareattiva Q erogatedai generatori.
ApplichiamoilteoremadiBoucherot(convenzionenormale):lapotenzacomplessaassorbita`eugualeallapotenzacomplessaerogatadai generatori.Applichiamoilprincipiodisovrapposizione:
• Determinare,seesiste,larelazionefra E e A chefacomportareiltripolo comepuramenteresistivo.Bastachesia
7.12Problemadelrifasamento
Eun’applicazionedelteoremadiBoucherot.Supponiamodiavereungeneratoreditensionesinusoidaleinparalleloaun’impedenza Z(jω)ediessere incondizionidiregime(→ possiamousareifasori):
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Supponiamochel’impedenzasiaditiporesistivoinduttivo(⇒ φz > 0): `elasituazionepi`ufrequente(lamaggiorpartedegliutilizzatoridomestici presentaun’impedenzaditiporesistivo-induttivo).
Potenzacomplessaassorbitadalgeneratore:
g 2 (comeovvio,inbaseal teoremadiBoucherot).
Potenzacomplessaassorbitadalcarico Z(jω):
Il rifasamento consistenelmodificareilcircuitoinmodotalechesia nulla Qg,ossialapotenzareattivaassorbitadalgeneratore.Aggiungiamo uncomponentelacuinaturafisicasiacomplementarerispettoaquelladel carico:avendosupposto Z ditiporesistivo-induttivo ⇒ aggiungiamoun condensatoreinparallelo:
Dobbiamodeterminareilvaloredi C taleche Qg =0.Perilteorema diBoucherot: Qg + QC + QZ =0.Imponiamo Qg =0 ⇒ deveessere QC + QZ =0.Potenzareattivaassorbitadalcondensatore?
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Questo`eilvaloredicapacit`adaimporreperrifasareilcarico.Tuttigliutilizzatoridomestici(solitamenteresistivo-induttivi)possiedonouncondensatore dirifasamentotalepercuilapotenzaassorbitadalcarico`eeffettivamente soloquellacheserveperfarlifunzionare(potenzaattivaistantanea).
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Ingenerale,bastaimporrecheilcaricorifasatosiapuramenteresistivo (⇒ abbiaparteimmaginarianulla).Inrealt`a,unmodellopi`urealisticodi lineadicaricosarebbe:
Dunque,dituttalapotenzaattivaerogatada
,unapartevienedissipata da
All’Enelconviene(perragionidimanutenzionedellalineaedicostidi gestione),farsiche Pr siaminima ⇒ che
⇒ il condensatoredirifasamentoserveancheaquesto:
Dunqueilrifasamento`eimportanteperduemotivi:l’utenteevitadi assorbirepotenzachenon`eingradodiusareel’Enelevitasprechi(⇒ la leggeimponeilrifasamentodeicarichi).Questo`eimportanteperi contratti: seconl’Enelsottoscriviamoilcontrattoperunassorbimentomassimodi 3kW ⇒ vogliamopoterlisfruttaretuttialmeglio.
7.13Lineeadaltatensione
Inunastazioneelettricaivaloridelletensionichevengonoprodotteconvertendoinenergiaelettricaenergiatermica(centralitermoelettriche),potenziale(centraliidroelettriche)odialtrogeneresonodell’ordinedi105 V.Negli impiantidomesticioindustriali,letensionisonodell’ordinedelcentinaiodi Volt.Perch`eallorasitrasportal’energiaelettricasulineeadaltatensione, dell’ordinedi104 V?
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa V + Zl I m Z V m
L’impedenzadilinea,ingenerale,sar`a Zl = R + jX.Ilcaricodissipauna potenzaattiva Pm = 1 2 VmIm cos ϕ.Poich`esivuolemettereadisposizionedell’utenteunacertaquantit`adipotenzaattiva,supponiamoche Pm siafissata, cos`ıcome R (dipendedalmaterialeusatoperlalinea).Perridurrealminimo icostidimanutenzione,convienerendereminimalapotenzadissipatasulla linea.Vediamoquantovale:
Ma Im siricavadall’espressionedellapotenzaattivadissipatadalcarico: Im = 2Pm Vm cos ϕ .Sostituendo,siottiene:
Dunque,fissate Pm e R,lapotenzadissipatasullalinea`eminimase cos ϕ → 1(percui`eobbligatoriorifasareicarichi)ese Vm `epi`uelevato possibile,ilchespiegal’utilizzodellealtetensionisullelinee.
7.14Massimotrasferimentodipotenzaattiva(adattamentoenergetico)
Questo`eunproblemadualerispettoalrifasamento.Consideriamo unalineadidistribuzionedell’energiaelettricaounoscillatoreounqualunque altrocircuitoelettronicorappresentabilemedianteuncircuitoequivalentedi Th´eveninfattocos`ı:
Zg
V g
+
A B
Questo`eunmodelloancorapi`uaccuratodiunalineadidistribuzioneelettrica.
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Ilproblemadelmassimotrasferimentodipotenzaattivariguarda l’impedenzadicarico ZC dacollegareaquestobipolo:sivuolfareinmodoche ZC assorbalamassimapotenzaattiva.Inaltritermini,siconsiderano ˙ Vg, Zg e
ω fissiecisichiededunquequantodevevalere Zc inmododaassorbirela massimapotenzaattiva.Vogliamocio`etrovarela Zc ottimale.
Peripotesil’impedenza ZC `einserieelaretefunzionaincondizionidi regimesinusoidale.
Conlaconvenzionenormale(degliutilizzatori),chiamiamo I e V ifasori dellacorrenteedellatensioneaicapidelcarico ⇒ siha:
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
Ilmassimorispettoa Xc siindividuasubito(ildenominatoredi P deve essereminimo ⇒ imponiamoche(Xc + Xg )2 (≥ 0)sianullo):bastaimporre Xc = Xg
⇒ P = V 2 g 2 · Rc Rc + Rg 2 (7.116)
Oraderiviamorispettoa Rc pertrovarelacondizionedimassimo:
dP dRc = V 2 g 2 Rc + Rg 2 2Rc Rc + Rg Rc + Rg 4 = V 2 g 2 Rc + Rg 2Rc Rc + Rg 3 = = V 2 g 2 Rg Rc Rc + Rg 3 =0
⇐⇒ Rc = Rg
• Se Rc <Rg ⇒ dP dRc > 0( ⇐⇒ P cresce)
• Se Rc >Rg ⇒ dP dRc < 0( ⇐⇒ P decresce)
(7.117)
⇒ Rc = Rg `eunmassimoper P : Pmax = V 2 g 8Rg .Dunquela Zc ottimale`edata
da Zc = Rg jXg = Z ∗ g ⇒ dataunacerta Zg,l’impedenzadicarico Zc che consentediottenerela massimapotenzaattivaassorbita `eparialcomplesso coniugatodella Zg stessa.
Questovuoldirecheancheilgeneratore`eincondizioniottimali,poich´e vedeuncarico“rifasato”(unpuroresistore):
V g Zc + Zg = Rc + Rg =2Rg
Zc = Z ∗ g `elacondizionediadattamentoenergetico.