Capitolo6
Componentiecircuitidinamici elementari
Parliamodicomponenti dinamici ⇒ lalororelazionecostitutivaconterr`a derivatee/ointegralidellevariabilidescrittiverispettoaltempo.
Cominciamointroducendoipi`usemplicieipi`uimportanti:condensatore einduttore.
6.1Condensatore
Ilcondensatore`eunbipololacuirappresentazionegrafica
richiamalastrutturadelcondensatorefisico,costituitodaduelamine moltosottiliedisuperficieampia,dimaterialeconduttore(es.alluminio) separatedaunsottilestratodimaterialeisolante(dielettrico):
lamineconduttrici (piastre)
v
i
dielettrico
107
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Equazionedescrittiva?Lacaricachesiaccumulasullepiastredelcondensatore`e q(t)= C v(t). C `eunparametrodettocapacit`a.Questapotrebbe esserel’equazionedescrittivaseusassimocomevariabilidescrittive tensione v ecarica q.Ma q `emisurabilemenosemplicementedellacorrente ⇒ deriviamo (i(t)= dq dt ): i(t)= C dv dt (6.1)
Notalatensione v(t) ⇒ ricaviamounivocamentelacorrentei(t) ⇒ esistebasetensione.Notalacorrente i(t) ⇒ nonricaviamounivocamentela tensione v(t) ⇒ nonesistebasecorrente.
Lamisura istantanea di v nond`aalcunainformazionesuieviceversa. Perricavare i o v occorreconoscereilmododivariareneltempodell’altra variabile ⇒ bisognamantenerne memoria
Supporremochesia C> 0(se C =0 ⇒ circuitoaperto)e C costante(⇒ componentetempo-invariante).Ordinidigrandezzatipici:
µF (10 6 F)
nF (10 9 F)
pF (10 12F)
Ilcondensatore`euncomponentelineareereciproco(laverificanon`e banaleerichiedeilricorsoalconcettodilavorovirtuale)
N.B.:Se v(t)=costante(ilcheaccade,peresempio,incondizionidi “regimestazionario” ⇐⇒ d dt ≡ 0o“regimecostante”o“continua”) ⇒ i(t) ≡ 0 ⇒ ilcondensatoreequivaleauncircuitoaperto.
6.1.1ModelloequivalentediTh´evenindiuncondensatorecarico
Supponiamodivolerdeterminarelatensione v(t)dauncertoistante t0 in poi.Perfarlo,dobbiamoconoscerelacondizioneiniziale v(t0).Seinfattisi integralarelazionecostitutiva,siha:
[C]= [q] [v] = Cb
V = As V = F (Farad)(6.2)
E
i ≡ 0 v ≡ E
+ R v C inregime ⇐⇒ stazionario E + R
108 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
`el’equazionediuncondensatorechein
`el’equazionediungeneratoreditensioneimpressivoagradino. Dunque,larappresentazioneequivalentediTh´evenindelcondensatore carico`e:
6.Componentiecircuitidinamicielementari t t0 i(τ )dτ = C t t0 dv dτ dτ = C v(t) v(t0 ) ⇐⇒ v(t)= t≥t0 1 C t t0 i(τ )dτ + v(t0 ) :=v0 (6.3) Sesiutilizzala“funzionegradinounitario”: 0123 1 2 3 1 t 1(t) discontinuit ` adiprimaspecie 1(t)= 0 t< 0 1 t ≥ 0 ⇒ sipu`oanchescriverela(6.3)cos`ı: v(t)= 1 C t t0 i(τ )dτ va(t) + v0 1(t t0) vb(t) ∀t (6.4) Questaequazionecorrispondeallaconnessioneinseriediduecomponenti: va(t)= 1 C t t0 i(τ )dτ (6.5)
t = t0 `e scarico (condizione
vb(t)= v0 · 1(t t0)(6.6)
inizialenulla);
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 109
6.Componentiecircuitidinamicielementari
6.2Funzionigeneralizzate(cenni)
Laderivatadelgradinounitarionon`edefinita,nell’origine.Sipu`odefinire unafunzione“generalizzata”(oggettodicorsidimatematicaavanzata)che corrispondeesattamentealladerivatadelgradino:
v0 1(t t0) + v′(t) v(t) i(t) dove v(t0 )= v0 e v′(t0 )=0.
Questa`elarappresentazionepi`ucomunementeusatapercondensatori carichi.
012 1 2 t δ(t) δ(t) d1(t) dt
T →0 di: t T 1 T T t T 1 2T T Quantovalel’areadiunimpulso? ` Ecalcolabilecome: +∞ −∞ δ(t)dt = 0+ 0 δ(t)dt =1(6.7) 110 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
impulsoidealeodeltadiDirac(discontinuit`adisecondaspecienell’origine). Sipu`opensarel’impulsoidealecomelim
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Sefosseunafunzionecontinuaoagradino
Propriet`a:
1.LadeltadiDirac`eanchenotacomeimpulsodiordine1o
⇒ ilsuointegraletra0 e0+ sarebbenullo.
Integrandorispettoa
⇒ δ
t)= t
t
0123 1 2 3 1 t δ( 1)(t) 45◦ Seinvecesideriva
12 1 2 t δ(2)(t) 2. t3 t1 δ(t t2) f (t)dt integralediconvoluzione = t+ 2 t2 δ(t t2) f (t)dt = f (t2) ∀t2 ∈ (t1,t3) 3.Impulsoditensionein t = t0: v(t)= φ0 δ(t t0) ⇐⇒ φ0 = t+ 0 t0 v(t)dt φ0:areadell’impulsoditensione(haledimensionidiunflusso[V · s]) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 111
δ(1)(t).
t ⇒ δ(0)(t)=1(t)gradinounitario;sesiintegra ancora
( 1)(
1(
)(funzionearampa,continua)
δ(1)(t)rispettoa t ⇒ δ(2)(t)(doppietto,condiscontinuit`aditerzaspecienell’origine).
6.Componentiecircuitidinamicielementari
:areadell’impulsodicorrente(haledimensionidiunacarica[A · s])
5.Sesihaun’equazionedifferenzialelineare non omogeneadeltipo:
Ognivoltachesideriva ⇒ siaumentadi1l’ordinediunaeventuale discontinuit`a ⇒ affinch´el’equazioneabbiasenso,iterminicongrado diderivazionepi`uelevatoperl’ingressonotoˆ u(t)eperlavariabile incognita x(t)(nell’esempio
,rispettivamente)devono averelostessogradodidiscontinuit`a.
Esempio:
L’ingresso`eunimpulsoenon`ederivato ⇒ dx dt deveessereunimpulso ⇒ x(t)deveessereunafunzioneagradino.
6.3ModelloequivalentediNortondiuncondensatorecarico
Bisognaesplicitare i(t)infunzionedi v(t) ⇒ siderival’equazione(6.4)a pagina109:
⇒ ilmodello`e: q
4.Impulsodicorrentein t = t0: i(t)= q0 · δ(t t0) ⇒ q0 = t+ 0 t0 i(t)dt q0
a0x(t)+ a1 dx dt + + an dnx dtn = b0 ˆ u(t)+ b1 dˆ u dt + + bm dm ˆ u dtm
bm dmu dtm e an dnx dt
n
a0x(t)+ a1 dx dt = b0δ(t)
dv dt = 1 C i(t)+ v0 δ(t t0) ⇐⇒ i(t)= C dv dt Cv0 q0 δ(t t0)(6.8)
0δ
t t0) C C dv dt v(t) i(t) 112 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
(
6.Componentiecircuitidinamicielementari
6.4Induttore
L’induttore`eunbipololacuirappresentazionegraficarichiamalastruttura dell’induttorefisico,costituitodaunavvolgimentodifiloconduttore attorno aunnucleodimaterialeferromagnetico.
Gliestremidelfilocostituisconoiterminalifisicidell’induttore.
Equazionedescrittiva: φ(t)= L i(t)`eilflussomagneticogeneratonel materialeferromagneticodaunacorrentenelfilo. L `eunparametrodetto induttanza.Derivando(v = dφ dt ): v(t)= L di dt (→ componentedinamico,conmemoria)(6.9)
Tipicamente L =`edell’ordinedei µHodeimH.
Inregimestazionario i `ecostante ⇒ v(t)=0 ⇒ l’induttoreequivale auncortocircuito.L’induttore`euncomponentelineareereciproco(la dimostrazionedellareciprocit`anon`ebanale,comeperilcondensatore)e ammettebasecorrente(nonbasetensione).
Modelliequivalentidiuninduttorecarico?
6.5Energia
Potenzaassorbitadacondensatoreeinduttore:
L v i i v
[L
]= V · s A = Wb A = H (Henry)(6.10)
i01(t t0) L v(t) i(t)
(´eilpi´uusato) φ0δ(t t0) L v(t) i(t) Modelloequivalente diTh´evenin
ModelloequivalentediNorton
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 113
Ilcondensatoreel’induttoresonocomponenti conservativi :conservano l’energiaassorbitaepossonorestituirlainunsecondomomento(non la dissipano).Vediamoperch`e.
Supponiamocheneltempolatensioneabbiaunaandamentoqualsiasi:
Questononvuoldirecheilcondensatorenonabbiaassorbitoenergiain
6.Componentiecircuitidinamicielementari p(t)= v(t)i(t)= Cv dv dt (6.11) p(t)= v(t)i(t)= Li di dt (6.12) ⇒ l’energiaassorbitatra t0 e t `e 1 2 C (v2(t) v2(t0)) ∆w = t t0 p(τ )dτ = 1 2 L (i2(t) i2(t0))
t v(t) tA tC tB ∆w [tA,tB ] = 1 2 C v 2(tB ) v 2(tA) =0(6.13)
[tA,tB ].Semplicementeilbilancio`epari: In[tA,tC ]ilcomponenteaccumulaenergia: ∆w [tA,tC ] = 1 2 C v 2(tC ) v 2(tA) > 0 v(tC ) >v(tA) (6.14) In[tC ,tB ]essorestituiscel’energiaaccumulata: ∆w [tC ,tB ] = 1 2 C v 2(tB ) v 2(tC ) < 0 v(tB ) <v(tC ) (6.15)
⇒ energianullaecondensatore (induttore)scarico. 114 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Ilbilanciocomplessivonullo.Quando v =0
In t0 = −∞ sisupponegeneralmentecheicomponentisianoscarichi,per cui:
0(6.16)
⇒ componentipassivi(possonorestituiresolol’energiaassorbita,manonne produconodipers´e).
Verificareperesercizio.Nelcasodicondizioniinizialinonnulle?Basta usareilmodelloequivalenteappropriato.
6.Componentiecircuitidinamicielementari
t −∞ p(τ )dτ ≥
v(t) i(t) C1 i1 C2 i2 ⇐⇒ C1 + C2 v i L1 i v1 L2 v2 ⇐⇒ i v L1 + L2 C1 i v1 C2 v2 ⇐⇒ C1C2 C1+C2 v i v(t) i(t) L1 i1 L2 i2 ⇐⇒ L1L2 L1+L2 v i
6.6Collegamentiinserieeinparallelodicondensatorieinduttori(scarichi)
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 115
6.Componentiecircuitidinamicielementari
6.7Stato
Lo“stato”diunareteelettricainundatoistante t0 `el’insiemedelleinformazionicheriassumonotuttalastoriadellareteantecedentea t0.Notitutti gliingressi(impressivi)da t0 inpoienotolostatoin t0 ⇒ `edeterminabile lostato ∀t>t0
DEFINIZIONE:datouncircuito,ilsuostatoinuncertoistante(iniziale) t0 `el’insiemedellecondizioniinizialiindipendenticheilsistemapu`oavere Notelecondizioniinizialiegliingressiper t>t0,possiamodeterminarelo stato ∀t>t0.
Levariabilidellareteelettricacuisiriferisconolecondizioniinzialiindipendentisidicono variabilidistato
Propriet`a:qualunquevariabilenondistatodellaretepu`oessere espressa algebricamente interminidellevariabilidistatoedegliingressi(pi`uloro eventualiderivate) ⇒ perrisolvereuncircuito,bastadeterminarnelostato.
L’analisipu`oesseredunquesemplificataseparandolainduefasidistinte: determinazionedellostato(risolvendoequazionidifferenziali)edeterminazione dituttoilresto(risolvendoequazionialgebriche).
Esempi:
• circuitoadinamico(incuisonoposteinevidenzalesorgentiimpressive, cio`egliingressi)
Datigliingressi ⇒ tutto`edeterminatoinogniistante ⇒ reteprivadi stato
+ +
Circuito adinamico
• a(t) C v(t) 116 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
variabiledistato.
Tipicamentesispecificano,comecondizioniiniziali,le tensionisuicondensatori ele correntinegliinduttori.Ingenerale,per`o,talivariabilisono solo candidate adiventarevariabilidistato,perch´enon`edettochesiano indipendenti.Esempitipici(casi“patologici”):
+ maglieCE cocicliLA
Intuttiquesticasiesistonovincolialgebricitralecandidate ⇒ unadi essenonpu`oesserevariabiledistato.
6.8Soluzionegeneraledeicircuitidinamici delprimoordine
Intendiamostudiarel’insiemedellesoluzionidiungenericocircuitocontenenteunsolocomponentedinamicoo,meglioancora,dotatodiunasola variabiledistato ⇒ pu`ocontenereuncondensatorelacuitensione`eeffettivamentevariabiledistato,ouninduttorelacuicorrente`eeffettivamente variabiledistato,oppure N variabilicandidateadiventarevariabilidistato e N 1relazionialgebricheindipendentichelelegano.
Supponiamoperilmomentodiavereachefareconcircuitichecontengano unsolocondensatoreoinduttoreeunavariabiledistato(lacandidata`e variabiledistato).
Peresaminareinmodomoltogeneralequesticircuiti,convienesuddividerliinduebipolicomplementari,ilprimocostituitodatuttiicomponenti adinamici(coincideconilcircuitodipartenzaunavoltarimossoilbipolo dinamico)eilsecondodalbipolodinamico(condensatoreoinduttore) ⇒ si parladicircuitiRCeRL,rispettivamente.
Ilbipoloadinamicopu`oessererappresentatomedianteilcorrispondente modelloequivalentediTh´evenine/oNorton:
a(t)= C dv dt ⇐⇒ v(t)= v(t0)+ 1 C t t0 a(τ )dτ (6.17) v
(t0)`elacondizioneinizialenecessariaperrisolvere ⇒ v(t)`euna
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 117
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Th´evenin(seesistebasecorrente) ⇒ v(t)=
TH (t)+ RTH i(t)
Norton(seesistebasetensione) ⇒ i(t)= aNR(t)+ GNRv(t)
Perdistinguereicontributidiciascungeneratoreindipendenteinternoal bipoloadinamico(ilcherisultaconvenienteperpoterapplicareilprincipio disovrapposizione),possiamoesprimere eTH (t)e aNR(t)nelmodoseguente:
)(6.18)
Ciascunterminenellasommatoriarappresentailcontributoalmodello equivalentediunsologeneratoreindipendenteˆ uk(t)internoalbipoloadinamico.Poich´e,comeanticipatoparlandodellevariabilidistato,tuttele variabilielettrichedelcircuitosipossonoottenerealgebricamenteunavolta notelevariabilidistato(vedremomegliocome),convienecostruire prima dituttol’equazione(differenziale)lacuiincognita`epropriolavariabiledi stato.Vediamocome(siomettonoipediciTHeNR).
• Modellocontrollatodallavariabiledistato
→ v ⇒ Norton:
Questasidiceequazionedistatoorelazioneingresso/uscita[a(t) ingresso;v(t)uscita]perlavariabiledistato v(t)
Formacanonica(isoliamo dv dt alprimomembro):
e
eTH
t)= p k=1 eTHk (t)= p k=1 bk ˆ uk
t
aNR(t)= p k=1 aNRk (t)= p k=1 bk ˆ uk(t
(
(
)(6.19)
a)Condensatore
a(t) R iR v i C a(t)+ iR + i =0 iR = v R i = C dv dt (6.20) ⇒ C dv dt + v R = a(t)(6.21)
dv dt = v RC a(t) C (6.22) 118 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
b)Induttore → i ⇒ Th´evenin: e(t) + R
vr L v i e(t)= vR + v vR = Ri v = L di dt
(6.23)
⇒ L di dt + Ri = e(t)(6.24)
Questaequazionesidiceequazionedistatoorelazioneingresso/uscita[e(t)ingresso;i(t)uscita]perlavariabiledistato i(t).
Formacanonica(isoliamo di dt ):
di dt = R L i + e(t) L (6.25)
• Modellocontrollatodallavariabilenondistato e(t) + R i v a(t) R L i v
Verificarepereserciziocheleequazionidistatoinformacanonicasono dv dt = v RC + e(t) RC e di dt = R L i R L a(t)
Lastrutturageneraledell’equazionedarisolvere`edunque:
)(6.26)
x(t)`elavariabiledistato;ˆ uk(t)sonogliingressi(sorgentiindipendenti).
Facendoilbilanciodellediscontinuit`a,sivedesubitochelavariabiledi stato`emenodiscontinuadegliingressi(omeglio,diquellopi`udiscontinuo).
Soluzionedell’equazione?Sipu`oragionareinduemodi:
dx dt =˙x = ax(t)+ p k=1 bk ˆ uk(t
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 119
Iltermine α dipendesolodacome`efattoilcircuito(tramiteilcoefficiente a)edallacondizioneiniziale x(t0)dellavariabiledistato.Si dice rispostaaingressonullo (ZIR:ZeroInputResponse).
Iltermine β dipendesolodacome`efattoilcircuito(tramiteicoefficienti a e b)edagliingressi.Nondipendedallostatoiniziale.Sidice rispostanellostatozero (ZSR:ZeroStateResponse).
Perognipossibilestatoiniziale x(t0)sihaunaeunasolasoluzione.
xOA(t)`elacosiddettasoluzioneomogeneaassociata(siottienepassivandotuttigliingressi).
1.Integriamol’equazionetra t0 e t,operandouncambiodivariabili: x(t)= ea(t t0 )x(t) derivo =⇒ x(t)= aea(t t0 )x(t)+ ea(t t0 )x(t) Sostituendonell’equazionedarisolvere,siottiene: ea(t t0 ) ax + ˙ x = aea(t t0 )x(t)+ p k=1 bk ˆ uk(t) ⇐⇒ ˙ x = e a(t t0 ) p k=1 bk ˆ uk(t) Oraintegriamotra t0 e t: ˜ x(t) ˜ x(t0)= p k=1 bk t t0 e a(τ t0 ) ˆ uk(τ )dτ Infineritorniamoa x(t): x(t)= e a(t t0 )x(t0) α + p k=1 bke at t t0 e aτ ˆ uk(τ )dτ β
6.Componentiecircuitidinamicielementari
x(t)= xOA(t)+ p k=1 xpk (t)
2.Unmodomoltopi`uadeguatoaicircuiticonsistenelrisolverel’equazione distatosfruttandoilprincipiodisovrapposizione:
120 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Itermini xpk sonodettiintegraliparticolari(ciascunocorrispondeaun ingressoquandoglialtrisonopassivati).
Cominciamoavederecomesiricavalasoluzioneomogeneaassociata.L’equazioneomogeneaassociataall’equazionedistatosiottiene azzerando(cio`epassivando)tuttelesorgentiimpressive(noni generatoripilotati),ossiagliingressi:
˙ x(t)= ax(t) ⇐⇒ ˙ x(t) ax(t)=0
Sostituendoora d(k)x dtk con λk,siottienelacosiddetta equazionecaratteristica:
λ a =0 ⇐⇒ λ = a
Lasoluzioneomogeneaassociata`e:
xOA(t)= Aeλ(t t0 ) rispostatransitoria
Lacostante A siricavaallafine,unavoltaottenutalasoluzionecompleta x(t),imponendolacondizioneiniziale x(t0)= x0 ⇒ larisposta transitoriadipende anche dalvaloreinizialedell’ingresso,percuinon coincideconlarispostaaingressonullodelmetodo1.Larispostatransitoriadiuncircuitovieneanchedettarispostaliberaomodonaturale delcircuitoperch´enondipendedaltipodiingresso:`eilmodonaturale concuiilcircuito“risponde”a qualsiasi sollecitazioneesterna.
Ilparametro λ vienedettofrequenzaliberadelcircuitoedeterminala
Affinch´elarispostatransitoriapossaesaurirsi,occorrechesia λ< 0.Intalcaso,arispostatransitoriaesaurita,sidicecheilcircuito raggiungeunregime.Iltipodiregimedipendedaltipodiingresso, comevedremo.Laquantit`a τ = 1 |λ| vienedetta costanteditempo del circuito.Graficamente:
stabilit`a: A> 0 A< 0 t xOA(t) λ< 0 stabilit ` aassoluta A> 0 A< 0 t xOA(t) λ =0 stabilit ` asemplice A> 0 A< 0 t xOA(t) λ> 0 instabilit ` a
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 121
6.Componentiecircuitidinamicielementari
N.B.:larispostalibera(transitoria)pu`oconsiderarsiesaurita(nelcaso λ< 0)dopocirca5τ ⇒ lacostanteditempofornisceunamisuradei tempidireazionedelcircuitoaprescinderedagliingressi.
Vediamooracomesiricavanogliintegraliparticolari xpk (t)dovutial k-esimoingressoˆ uk(t)peralcunitipisignificatividiingresso.
6.8.1Ingressocostante
Ciriduciamoalcasodiunsoloingressocostante(mettiamotuttiglialtria zeroperilprincipiodisovrapposizione).
˙ x(t)= ax(t)+ bˆ u ,conˆ u costante(6.27)
L’integraleparticolaredevesoddisfarequestaequazione.Pertrovarlo,cibasiamosuun criteriodisimilarit`a:vistocheilsistema`elineare,ciaspettiamo chelasoluzionesiasimileall’ingressocheladetermina ⇒ proviamoasupporrecheanchel’integraleparticolare xp(t)siaunacostante: xp(t)= K ⇒ sostituiamonella(6.27)ericaviamo K:
(purch´e a =0)(6.28)
Oraricaviamo A sfruttandol’informazionesullacondizioneiniziale:
τ t x
OA(t)
0=
⇐⇒
a ˆ u
⇒ x(t)= Aeλ(t t0 ) + K (6.29)
aK + bˆ u
K = b
x(t0)= A + K ⇐⇒ A = x(t0) K = x(t0)+ b a ˆ u (6.30) ⇒ x(t)= x(t0)+ b a ˆ u e λ(t t0 ) rispostatransitoria b a ˆ u integraleparticolare =(6.31) = x(t0)e λ(t t0 ) ZIR + b a ˆ u e λ(t t0 ) 1 ZSR (6.32) 122 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Seilcircuito`eassolutamentestabile,alloral’integraleparticolaresi dice rispostaaregime
Possiamoancheragionareinmododiverso.L’integraleparticolareindottodauningressocostante`e,comevisto,unacostante.Maallora unavolta esauritalarispostatransitoria,ossiaincondizionidiregime,tutte levariabilidelcircuito(distatooricavabilialgebricamentedaquelledistato)sono costanti ⇒ d dt =0(regimestazionario) ⇒ possorisolvereuncircuitoequivalente(adinamico)incuiilcondensatore`esostituitodauncircuitoapertoe l’induttoredauncortocircuito.
6.8.2Ingressoagradino
Inquestocasol’analisidelcircuitovienespezzataindueparti:unaprima parteconingressocostantenulloeunasecondaparteconingressocostante nonnulloecondizioniinzialicalcolatesullabasedellaprimaanalisi.
E + E v R i v C dv dt = E v R (6.33) ⇐⇒ dv dt + v RC = E RC (6.34) ⇒ λ = 1 RC < 0 (6.35)
Integraleparticolare: vp(t)= K ⇒ K RC ⇐⇒ K = E (6.36) Oppure:regimestazionario ⇒ E + E v R i vp(t) i ≡ 0(6.37) vp(t)= E (6.38)
Esempio6.8.1. Circuitoconingressocostante.
(⇒ circuitoassolutamentestabile)
Circuitoconingressoagradino. MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 123
Esempio6.8.2.
⇐⇒
• Soluzioneper t< 0
Calcoliamol’integraleparticolare e(t)=0eregimestazionario ⇒
•
Dunque,in0 latensione`enulla: v(0 )=0
t ≥ 0
Integraleparticolare: e(t)= E eregimestazionario ⇒
Perricavare A′ servelacondizioneiniziale,in t =0+.Esaminiamoil bilanciodellediscontinuit`a:
e(t) + E v R v(t) C e(t)= E 1(t)(6.39) dv dt + v RC = e(t) RC (6.40) v(t)= vOA(t)+ vp(t)(6.41) vOA(t)= Aeλt (6.42)
RC
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Eq.caratteristica: λ + 1
=0(6.43)
λ
= 1 RC (→ costanteditempo RC)(6.44)
R vp(t) ⇒ vp(t)=0(6.45) ⇒ v(t)= v(−∞) =A e λ t0→−∞ (t t0) (6.46)
Soluzioneper
E + R vp(t) ≡ E ⇒ v(t)= A′ e λt + E (6.47)
dv dt + v RC = e(t) RC (6.48) 124 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
6.8.3Ingressoimpulsivo
Inquestocasol’unicadifficolt`aconsistenelcalcolodellacondizioneiniziale.
Circuitoconingressoimpulsivo.
Larispostatransitorianoncambiarispettoaprima(nondipendedal tipo diingresso).
• Soluzioneper t< 0:integraleparticolare e(t):
Bilanciodellediscontinuit`a:
⇒ anche dv dt `eungradino ⇒ v(t
v(0 )=0(6.49)
v(0+)= A′ + E =0 ⇐⇒ A′ = E (6.50) ⇒ v(t)= E 1 e t RC (6.51)
Soluzionecomplessiva v(t)= E 1 e t RC · 1(t)(6.52)
e(t)haungradinoacavallodell’origine
) `econtinuaper t =0. ⇒ v(0+)=
⇒
•
Esempio6.8.3.
e(t)
R v(t) C e(t)=Φ0δ(t)(6.53)
+
e(t) ≡ 0 ⇒ vp(t)=0 ⇒ v(t) t<0 = v(−∞)e λ t0→−∞ (t t0) (6.54) ⇒ v
)=0(6.55)
t
e(t) ≡ 0 ⇒ vp(t)=0(6.56) ⇒ v(t)= Aeλt con A = v(0+)(6.57)
(0
• Soluzioneper t> 0:integraleparticolare e(
):
dv dt + v RC = e(t) RC (6.58) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
125
Ciaspettiamounasoluzioneparticolaresimileall’ingressoperilprincipio di similarit`a ⇒ l’integraleparticolaresar`aunasinusoideconlastessapulsazione ω,maingeneraleconfasedifferente:
⇒ ottenendo k1 e k2.Comevedremoprossimamente,sipu`oancheragionareinmododiverso(regimesinusoidalepermanenteefasori).
L’interruttoreideale`euncomponentetempo-variante:
6.Componentiecircuitidinamicielementari e(t)`eunimpulso ⇒ lo`eanche dv dt ⇒ v(t)`eungradino. ⇒ v(0+) = v(0 )(6.59) Integriamol’equazionedistatotra0 e0+: 0+ 0 dv dt dt v(0+ ) v(0 ) + 0+ 0 v RC dt =0 = Φ0 RC 0+ 0 δ(t) dt =1 ⇒ v(0+)= Φ0 RC (6.60) • Soluzionecomplessiva: v(t)= Φ0 RC e t RC · 1(t)(6.61) 6.8.4Ingressosinusoidale x(t)= ax(t)+ bˆ u(t)ˆ u(t)= U cos ωt (6.62)
xp(t)= k1 cos ωt + k2 sin ωt (6.63)
k1 e k2: k1ω sin ωt + k2ω cos ωt = ak1 cos ωt + ak2 sin ωt + bU cos ωt (6.64) ⇐⇒ k2ω = ak1 + bU k1ω = ak2 (6.65)
Sostituendonell’equazionedistatoricaviamo
6.8.5Circuiticoninterruttori
126 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Equazionecostitutiva:(circuitoaperto)
i =0per t< 0
v =0per t ≥ 0
Equazionecostitutiva:(cortocircuito)
v =0per t< 0
i =0per t ≥ 0
Perrisolverecircuiticontenentiinterruttoriideali,sispezzanuovamente l’analisiindue:circuitoprimadellacommutazione ⇒ condizioniimmediatamenteprimadellacommutazione ⇒ circuitodopolacommutazione.Ilproblemafondamentalestanelcapirechecosacambiadurantelacommutazione deltasto.
i t
=0 v
i t
v
=0
Circuitoconinterruttore R t =0 C v i v(0 )= V0 (6.66) Per t< 0tuttorestacom’`e(i =0) Dopolacommutazione(per t ≥ 0)siha: R v′ + V0 · 1(t) v(t) V0 · 1(t) + R C v′ Riprendendol’esempio6.8.2,ricaviamoimmediatamente v ′(t)= V0 1 e t RC (6.67) ⇒ v(t)= t≥0 v ′ + V0 = V0e t RC (6.68) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 127
Esempio6.8.4.
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Ritorniamoaquantodettoall’iniziodelparagrafo6.8apagina117e vediamochecosacambiaseilnumerodellecandidate`ediversodaquello dellevariabilidistato.Senelcircuitoabbiamo N candidatee N 1vincoli algebrici,nell’equazionedistatocompaionoanchederivatedegliingressi:
Quindinon`epi`uverochelavariabiledistato`epi`ucontinuadell’ingresso, inquesticasi,perch´e˙x vaabilanciare(interminididiscontinuit`a)iltermine diderivatamassimadiˆ u.
Perilrestosiprocedecomevisto(lederivatediˆ u vengonointerpretate comeingressias´estanti,cheavrannounpropriointegraleparticolare). Esempio6.8.5.
V0 t v(t) τ = RC
x(t)= ax(t)+ b1 ˆ u(t)+ b2 ˆ u(t) (6.69)
v1 C1 dv1 dt C1 v1 i0 v2 C2 C2 dv2 dt + E 1(t) A nC1 dv1 dt v1 n R v1 nR n :1 KVL(anelloesterno): v2 + E · 1(t)= v1 n (6.70) ⇒ duecandidate,maunasolavariabiledistato. KCL(nodoA): C2 dv2 dt = nC1 dv1 dt v1 nR (6.71) ma v2 = v1 n E 1(t)(6.72) ⇒ C2 n dv1 dt C2E δ(t)+ nC1 dv1 dt + v1 nR =0(6.73) ⇐⇒ C2 n + nC1 dv1 dt + v1 nR = C2E δ(t)(6.74) 128 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Questa`el’equazionedistato.Dalbilanciodellediscontinuit`asideduceche v1 haungradinotra0 e0+.L’ingressovero(E 1(t))comparederivato,nell’equazionedistato ⇒ lavariabiledistatohalostessogradodidiscontinuit`a dell’ingresso.
(0+)?Integriamol’equazionedistatotra0
vp(t)`el’integraleparticolaredovutoall’“ingresso”
Ineffettil’ingresso E 1(t)tienecontodellacondizioneinizialesu C2:
⇒ tuttovacomesenoncifosseroingressieffettivieicondensatorisi scaricasserosullaparteresistivadelcircuito.
6.8.6Variabilinondistato
Finoracisiamoconcentratisullevariabilidistato,omegliosullecandidate. Spessointeressaconoscereanchealtregrandezzedelcircuito, cio`etensionie correnti“nascoste”nelbipoloadinamico.
Perottenerle,possiamoragionarecos`ı:
1.risolviamoilcircuitorispettoallavariabiledistato MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 129
Frequenzalibera: λ = 1 nR n C2 + n2C1 = 1 R(C2 + n2C1) (6.75)
e0+: v1(0+) v1(0 ) =0 C2 n + nC1 +0= C2E (6.76) v1(0+)= nC2E C2 + n2C1 (6.77) v1(t)per t> 0: v1(t)= vOA(t)+ vp(t)(6.78)
C2Eδ
t)(secondomembro
⇒ `enullo(δ(t) ≡ 0per t> 0) ⇒ v1(t)= vOA(t)= Aeλt (6.79) v1(0+)= A = nC2E C2 + n2C1 (6.80) ⇒ v1(t)= nC2E C2 + n2C1 e λt (6.81)
v1
(
dell’equazionedistato)
2 E
con
v2 con v
v
1(t)
v2(0 )=0 ⇐⇒
(0 )= E
6.Componentiecircuitidinamicielementari
2.nelcircuitooriginario,sostituiamol’unicobipolodinamicoconlacorrispondentesorgenteimpressiva,inaccordoconilteoremadisostituzione.
3.risolviamoilcircuitoadinamicocos`ıottenuto Bip. adin.
i L
passo1):circuito dinamicodarisolvere C v ⇒ v(t) Bip. adin.
Bip. adin.
i(t)
passo2):applichiamoil principiodisovrapposizione + v(t) Bip. adin. i(t)
passo3) ⇒ ricaviamolevariabilinondistatorisolvendouncircuito adinamico.
Applicandoilprincipiodisovrapposizione,lagenericavariabile(uscita) delcircuitopu`oessereespressacos`ı(con x(t)indichiamo v(t)o i(t),aseconda deicasi):
Interminivettoriali,siha:
Questa`eun’equazionepuramentealgebricadetta equazionediuscita Nota:selecandidatesonovariabilidistatoeffettive,mentrelevariabilidi statosonopi`ucontinuedegliingressi,lealtrevariabilipossonoaverelostesso gradodidiscontinuit`adell’ingressopi`udiscontinuo(bastavederel’equazione (6.82)).
6.9Induttoriaccoppiati
Traidoppibipolidinamicieconservativisonomoltoimportantigliinduttori accoppiati(modelloidealizzatodicomponentifisicimoltodiffusi;p.es.il trasformatorereale).
⇒
y(t)= kx(t)+ d1 ˆ u1(t)+ d2 ˆ u2(t)+ + dp ˆ up(t)(6.82)
y(t)= kx(t)+ Dˆ u(t)(6.83)
130
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
L1 ed L2 sonopositive.Segnodi M:seipallininellarappresentazionedel componentesonoconcordi ⇒ M> 0(altrimenti M< 0).
Peravereleequazionidescrittivevereeproprie(interminidicorrentie tensioni),deriviamo:
Secisonocondizioniinizialinonnulle?Possiamo“scaricare”ciascun induttorecomesefosseas´estante.N.B.:ilmodellodiTh´evenin(quello menousato)`edefinibilesoloinvertendolamatrice(⇒ deveaveredet =0).
6.Componentiecircuitidinamicielementari v1 i1 L1 M i2 v2 L2 i1 L1 L2 M i2 v1 v2 Equazionidescrittive? Φ1(t) Φ2(t) = L1 M ML2 i1(t) i2(t) (6.84) L1 sidiceinduttanzaprimaria, L2 secondariaed M induttanzamutua (sonotutteespresseinHenry). i1 Concatenamentomutuodelflussodovutoa i1 φ2m(t)= Mi1(t) Flussoautoconcatenato (dovutoa i2) φ2a(t)= L2i2(t) i2 ⇒ Φ2(t)= Mi1(t)+ L2i2(t)(idemperΦ1)(6.85)
v1(t) v2(t) = L1 M ML2 di1 dt di2 dt (→ doppiobipolodinamico)(6.86)
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 131
scarichi,siottiene
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Checosasuccedeseinuncertoistante t2 siritornanellecondizioniche c’eranoin t0?Siverificafacilmentechel’energiaaccumulatatra t0 e t2 `e nulla ⇒ componenteconservativo(pu`osolorestituirel’energiaaccumulata, nondissipa).
Abbiamogi`adettoche L1 & L2 ≥ 0.Inoltre,perragionifisiche, M 2 potr`aalmassimoessereparia L1L2 (nelcasoincuiidueavvolgimentisiano talmentevicinidapoteressereconsideraticoincidenti)
Dunque w(t)`eunaformaquadraticaomogeneasemidefinitapositiva ⇒ w(t) ≥ 0 ∀t (→ nonpu`ogenerareenergia,restituiscesoloquellaassorbita) ⇒ ilcomponente`e passivo.Sipu`overificarechegliinduttoriaccoppiatisono uncomponentereciproco(nonbanale).
Esempio6.9.1.
Energiadissipatada R in[0, +∞)?
i1(0 )= i2(0 )= I0
Energiaimmagazzinatain[t0,t]: ∆w(t)= t t0 v1(τ )i1(τ )+ v2(τ )i2(τ ) dτ = = t t0 L1i1 di1 dτ + L2i2 di2 dτ + M i1 di2 dτ + i2 di1 dτ = d(i1i2) dτ dτ = = 1 2 L1i2 1 + 1 2 L2i2 2 + Mi1i2 t t0 Sesisupponecheinunistanteinfintamenteremotogliinduttorifossero
w(t)= 1 2 L1i2 1 + 1 2 L2i2 2 + Mi1 i2 = = 1 2 [i1,i2] L1 M ML2 i1 i2 (6.87)
⇒ L1L2 M 2 ≥ 0 ⇐⇒ det L1 M ML2 ≥
0(6.88)
i1 L1 i2 L2 M R
132 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Hp:
` El’energiainizialmenteimmagazzinatanegliinduttori:
6.9.1Modellidegliinduttori(mutuamenti)accoppiati
Permisurareilgradodiaccoppiamentotraidueinduttori,siintroduceil coefficientediaccoppiamento:
•|k| =1 ⇒ massimoaccoppiamentopossibile.Daunpuntodivista fisico,ci`osignificacheidueavvolgimentisonocos`ıvicinicheilflusso magneticogeneratodallacorrentediunoqualsiasidiessivienecompletamenteconcatenatoconl’altro ⇒∃ legamealgebricotraleduecorrenti ⇒ nonsonoentrambevariabilidistato.Questopu`oavveniresolose i dueavvolgimentisonocoincidenti(condizionelimite,nonraggiungibile nellapratica,detta accoppiamentostretto o critico).
• k =0 ⇒ accoppiamentonullo:idueinduttorinoninteragiscono ⇒ ildoppiobipolodegeneraindueinduttoridisaccoppiati,inquanto M =0.Daunpuntodivistafisicoci`osiottieneoconavvolgimentisufficientementelontanioconflussiconcatenatichesielidono reciprocamente(p.es.,conavvolgimentivicini,maconassiortogonali).
Introduciamounprimomodelloequivalentemoltousato:
Peridentificareiparametri,ricaviamoleequazionidescrittivedeldueporte:
6.Componentiecircuitidinamicielementari
w = 1 2 L1i2 1(0 )+ Mi1 (0 )i2(0 )+ 1 2 L2i2 2(0 )= = 1 2 (L1 + L2 2M) I 2 0 (6.89)
k =
√L1L2 Poich´e |M|≤ L1L2,k ∈ [ 1, 1](6.90)
M
v1 Ls i1 Lp n :1 i2 v2 ⇐⇒ v1 i1 L1 M i2 v2 L2
v1 Ls di1 dt Ls i1 nv2 Lp i2 n n :1 i2 v2 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 133
Ossia,ordinandoleinmododaconfrontarleconquelledegliinduttori accoppiati:
Relazioniinverse(ricavabilidaqueste):
Nota:
= ±1(accoppiamentocritico).Questoconferma
⇒ ledue correntisonolegatedaunarelazionealgebrica(nonsonoindipendenti) ⇒ nonpossonoessereentrambevariabilidistato(unasolalo`e).
Unsecondomodelloequivalente(validosoloperlaconfigurazionetripolare)`e:
v1 = Ls di1 dt + Lp di1 dt + 1 n di2 dt v2 = Lp n di1 dt + 1 n di2 dt (6.91)
6.Componentiecircuitidinamicielementari
v1 =(Ls + Lp) di1 dt + Lp n di2 dt v2 = Lp n di1 dt + Lp n2 di2 dt (6.92)
L1 = Ls + Lp L2 = Lp n2 M = Lp n (6.93)
Dalconfrontosideducefacilmenteche:
n = k L1 L2 (6.94) Lp = k2L1 (6.95) Ls =(1 k2)L1 (6.96)
Ls
⇐⇒ k
chelamatrice L1 M ML2 = Lp Lp n Lp n Lp n2 `esingolare,intalecondizione
=0
v1 i1 La Lc Lb i2 v2 Identificareiparametriperesercizio: L1 = La + Lc (6.97) L2 = Lb + Lc (6.98) M = Lc (6.99) 134 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
6.10Frequenzeliberenulle
Daun’ispezionedirettadelcircuito`epossibilevalutareseesistonofrequenze liberenulle.
Bastavedereseesistonoleseguenticonfigurazionicircuitali:
Inentrambiicasic’`eunlegamealgebricotra derivate dellevariabilidistato ⇒ hounafrequenzaliberanullaperciascunaconfigurazioneindipendente diquestotipo.
N.B.:nonbisognaconfonderequesteconfigurazioniconmaglieCEecocicliLA,incuisihaunlegamealgebricotracandidate ⇒ unavariabiledi statoinmeno.
Laterzafrequenzalibera`e 1 RC (si trovapassivandoilcircuito).
6.11Soluzionegeneraledeicircuitidinamici diordinesuperiorealprimo(cenni)
Ancheinquestocasosipu`oragionareinterminidicomponentecomplementare.Esisteunadimostrazionechegeneralizzaquellavistapercircuiti delprimoordine:ilmetodopartedallareinterpretazionedelcircuitodinamicocomeconnessionedi N tracondensatorieinduttoriedelcomponente complementare,ossiadiun N -porteadinamicocontenentetuttiesoliicomponentiadinamicidelcircuito.Nonconsideriamoesplicitamentelapresenza diinduttorimutuamenteaccoppiati:supponiamodisostituirlicon illoro modelloequivalente(nelcasodiaccoppiamentocritico ⇒ Ls =0 ⇒ c’`euna candidatadimeno).
Inquestomodo,sidimostraquantosegue.
Esempio6.10.1. a(t) R C1 C2 e(t) L 1magliaLE 1taglioCA ⇒ 2f.l.nulle
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 135
6.Componentiecircuitidinamicielementari
• Sel’N -porteadinamicoammettelabasedidefinizioneformatadatutte esolelecandidate(tensionisuicondensatoridiportaecorrentinegli induttoridiporta),alloral’equazionedistatodelsistema(informa canonica)`e:
con x vettoredistato(con N componenti),ˆ u vettoredegliingressi(con p componenti), A matriceditaglia N × N e B matriceditaglia N × p
• Sel’N -porteadinamicoNONammettelabasedidefinizioneformata datutteesolelecandidate,vuoldirecheesistonolegamialgebricitra almenoduedellecandidate ⇒ ilcircuitosidicedegenereopatologicoeilnumerodellevariabilidistatosiriducerispettoaquellodelle candidate.Inquesticasi,l’equazionedistatodelsistema(informa canonica)`e:
con x vettoredistato(con N ′(<N )componenti),ˆ u vettoredegliingressi(con p componenti), A matriceditaglia N ′ × N ′ e Bk matricidi taglia N ′ × p
Seˆ u(t)`enullo ⇒ ilcircuitosidiceautonomo(altrimenti → nonautonomo).
t
Ax
t)+ B ˆ u
t
x(
)=
(
(
)(6.100)
x(t)= Ax(t)+ B0 ˆ u(t)+ B1 ˆ u + B2 ˆ u(t)+ (6.101)
Esempio6.11.1. a(t) c dv dt v C v R1 R1 Av + v R2 v(A+1) R2 Av ia L i a(t)= Q0δ(t) v(0 )= E (6.102) i(0 )=0 A = 1(6.103) 136 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Equazionedelsecondoordine
Equazionidistato? a(t)= C dv dt + v R1 + v(A +1) R2 def = v Req (6.104) L di dt = Av (6.105) ⇐⇒ dv dt di dt = 1 Req C 0 A L 0 v i + a(t) C 0 (6.106) Lasecondacolonna`enulla ⇒∃ f.l.nulla.
Relazioneingresso/uscitaperleduevariabilidistato? C dv dt + v Req = a(t)(6.107)
6.Componentiecircuitidinamicielementari •
•
⇒ v dipendedaunasoladelledue
v = L A di dt (6.108) dv dt = L A d2i dt2 (6.109) ⇒ sostituisco: LC A d2i dt2 L RA di dt = a(t)(6.110)
` Eun’equazionedelprimoordine
frequenzeliberedelcircuito.
⇒ i dipendedaentrambelefrequenze libere. • v(0+)? C dv dt impulso + v Req gradino = Q0 · δ(t) impulso ⇒ v(0+) = v(0 )(6.111)
v(0+)integrotra0 e0+: ⇒ C v(0+) v(0 ) =E +0= Q0 (6.112) ⇐⇒ v(0+)= Q0 C + E (6.113) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 137
Perricavare
• Frequenzeliberedelcircuito?Lericavodallamatricedistatoodalle relazioniingresso/uscita.
Lapresenzadellafrequenzaliberanullanonpotevaesserededotta perispezioneperch´elamagliaLE,contieneungeneratoreditensione pilotato,nonindipendente.
LC A d2i dt2 impulso L RA di dt gradino = Q0 δ(t) impulso (6.114)
⇒
)= i(0 )
6.Componentiecircuitidinamicielementari • i(0+)?
⇒ i(t)`econtinua
i(0+
λ1 =0(6.115) λ2 = 1 CReq (6.116)
t)per t> 0 v(t)= voa + vp(t)= Aeλ2t +0= v(0+ ) E + Q0 C e t Req C (6.117)
i(t)per t> 0: Sipu`orisolverecome i(t)= A1eλ1t + A2eλ2t +0,ricavando A1 e A2 sulla basedi i(0+)= i(0 )=0edi di dt 0+ = A L v(0+). Oppure: Av = L di dt (6.118) ⇐⇒ i(t)= i(0+) =0 A L t 0+ v(τ ) dτ =(6.119) = A L E + Q0 C t 0+ e τ Req C dτ =(6.120) =+ A L E + Q0 C CReq e t Req C 1 (6.121) 138 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
• v(
•
6.11.1Altrenotesuicircuitidiordinesuperioreal primo
Equazionediuscita
Comenelcasodelprimoordine,tuttelevariabilinondistatodelcircuito possonoessereindividuateapartiredallevariabilidistatoedagliingressi mediantelacosiddetta equazionediuscita:
Sidimostraapplicandoilprincipiodisostituzione,comenelcasodel primo ordine.
Relazioneingresso/uscita
Ognisistemadifferenzialedi n equazioniscalaridelprimoordinecontenentile n variabilidistatonelruolodiincognite`eequivalenteaun’unicaequazione scalaredifferenzialediordine n (relazioneingresso/uscita)inun’unica grandezzaincognita,deltipo(applicandoilprincipiodisovrapposizione ⇒ consideriamounsoloingressopervolta):
Ilvaloredi C L percui iA =costanteper t> 0 iA = v(1+ A) R2 i = (6.122) = A +1 R2 E + Q0 C e t Req C + A L E + Q0 C ReqC 1 e t Req C = (6.123) = e t Req C A +1 R2 AReq C L E + Q0 C + A L E + Q0 C ReqC (6.124) iA =costante ⇐⇒ l’espressionetraparentesiquadresiannulla ⇐⇒ A +1 R2 = AReq C L (6.125) ⇐⇒ C L = A +1 AR2 Req (6.126)
6.Componentiecircuitidinamicielementari •
y(t)= Cx(t)+ Dˆ u(t)(6.127)
an dnx dtn + an 1 dn 1x dtn 1 + ··· + a1x + a0 = = bm dm ˆ u dtm + bm 1 dm 1 ˆ u dtm 1 + + b1 ˆ u + b0 (6.128) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 139
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Questaequazionesidice relazioneingresso/uscita peringressoˆ u euscita
x(t).Bisognasempreprestareattenzioneal bilanciodellediscontinuit`a (⇒ contano n e m).
Bilanciodellediscontinuit`a
Dall’equazionedistatovalidapercasinonpatologici
x(t)= Ax(t)+ B ˆ u(t)(6.129)
sidesumechelevariabilidistatosonosempre(percasinonpatologici) “pi`ucontinue”degliingressi,datochelediscontinuit`adevonobilanciarsie lediscontinuit`asuˆ u vengonobilanciateda˙x:seperesempioˆ u(t)contiene deigradini ⇒ liavremoanchesu˙x ⇒ x sar`aanaliticamentecontinua.Nei casipatologicibisognastaremoltoattenti(→ valutareil bilanciodelle discontinuit`a).Dall’equazionediuscitasidesumeinvecechelevariabili nondistatopossonoesserealtrettantodiscontinuedegliingressi.
Soluzionedell’equazionedistatoestabilit`adelcircuito
Comenelcasodelprimoordine,la soluzionedell’equazionedistato siricavageneralmentecomesommadellasoluzionedelsistemaomogeneo associato(rispostatransitoria)edegliintegraliparticolarirelativiaisingoli ingressi.
Inoltresiconsideral’equazionedifferenzialescalarediordine n inunasola incognita,pernondoverintrodurrelefunzionidimatrice.Dunque avremo sempreachefareconequazionidifferenzialideltipo(6.128)(econ n ≤ 2).
Lesoluzioniparticolarisiricavanoinbasealprincipiodisimilarit`a,come nelcasodelprimoordine.
Larispostatransitoria,ingenerale,risultaespressacomesommadimodi naturali:
Inquestaespressione,sonostateindicateconitermini λi lefrequenze liberedelcircuito.
Lefrequenzelibere,ingenerale,sononumericomplessi.Dunque,sene hounasola,comenelcasodeicircuitidelprimoordine,essadeveessere reale.Masenehodueopi`u ⇒ possonoessercifrequenzeliberecomplessee coniugate.
xi(t)= e λ1t k1 + k2t + k3t2 + ··· + kLtL 1 modonaturaleperlafrequenzalibera λ1, dimolteplicit`aL + ··· (6.130)
140 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Re
Sesupponiamoche λ1,2 sianocomplesseconiugate:
λ1, 2= σ ± jω (6.131)
⇒ e σt e ±jωt = e σt (cos(ωt) ± j sin(ωt))(6.132)
SeRe{λ1, 2} = σ< 0 ⇒ questoterminevaa0,neltempo.Se σ =0 ⇒ pernonaveredivergenza,bisognachesia L =1(altrimentiilpolinomiofa divergerelasoluzione) ⇒ tretipidicomportamentipossibili:
• Uncircuitosidice asintoticamentestabile se tutti isuoimodinaturalisiesaurisconoentrouncertotempo,ossiasetuttelefrequenze liberehannoparterealestrettamentenegativa:
• Uncircuitosidice semplicementestabile sealmenounmodonaturalenonsiesaurisceenessunmodonaturalediverge,ossianessuna frequenzaliberahaparterealepositivaealmenounahapartereale
++
+ + + + Im
+ + + +
Im Re
Figura6.1:Quadrodellefrequenzelibereperuncircuitodelquartoordine asintoticamentestabile.
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 141
6.Componentiecircuitidinamicielementari nulla.Quest’ultimadeveesseresemplice(cio`eamolteplicit`a1).Infatti,comegi`adetto,ognifrequenzalibera λ conmolteplicit`a L determina,nellarispostaliberadiunavariabiledistato,lapresenza diunaddendodeltipo eλt k1 + k2t + k3t2 + ··· + kLtL 1 .Poich´e
λ = σ ± jω ⇒ eλt = eσte±jωt = eσt(cos ωt ± j sin ωt),seesistela soluzioneconil+esisteanchequellaconil-(complessaconiugata) ⇒ lasoluzione`ereale.
Selafrequenzaliberahapartereale σ negativa ⇒ l’esponenziale eσt portatuttoazeroentrouncertotempo.
Se σ =0(⇒ frequenzaliberaaparterealenulla),iterminisinusoidali vengonomoltiplicatiperilterminepolinomiale ⇒ crescononeltempo, amenoche L nonsiaparia1.Eccoperch´elefrequenzeliberea parterealenullapossonoaverealpi´umolteplicit`a1,peraverestabilit`a semplice.
• Uncircuitosidice instabile se almenoun modonaturalediverge,ossia sealmenounafrequenzaliberahaparterealepositiva.
Casoparticolare:circuitidelsecondoordine
Nelcasodisistemidelsecondoordine,ingenerale,larispostaliberasar`adel tipo:
xOA(t)= C1e
• λ1 e λ2 sonolefrequenzeliberedelcircuitoenondipendonodagliingressi(→ lepossiamocalcolarenelcircuitopassivato).Sonogliautovalori dellamatricedistato A edeterminanoimodinaturalidievoluzione delcircuito.
N.B.:Non`edettochetuttelevariabilidistatosianosensibiliatutte le frequenzeliberedelcircuito(casopi`uovvio:selamatrice A `ediagonale ⇒ ognivariabiledistatoevolvesecondounapropriafrequenzalibera, senzarisentiredellealtre ⇒ levariabilidistatosonodisaccoppiate).
• C1 e C2 sonocoefficienticostanticheper(n =2)siricavanoinbase allecondizioniinizialisu x esu˙x (ossia x(0)e˙x(0)).
λ
sommadiduemodinaturali(6.133)
λ1t + C2e
2t
⇒ x(0) nota = xOA(0) C1+C2 + xp(0) nota (6.134) x(0) nota = λ1C1 + λ2C2 +˙xp(0) nota (6.135) 142 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
2equazioniin2incognite ⇒ sirisolve.Notarechelarispostalibera (→ C1 +C2)dipendeda xp(0) ⇒ noncoincideconlarispostaaingresso nullo.
Equazionidistato?Cisonotrecandidate,mac’`eunamagliaCE ⇒ solo duevariabilidistato.Assumiamochesiano v1
Sostituendola(6.142)nelleprimedue ⇒ ricaviamoleequazionidistato:
Esempio6.11.2. e(t) + A C1 v1 R1 v2 C2 R2 B v3 C3 v1(0 )= v2(0 )= v3(0 )=0 (6.136) e(t)= f (t) · 1(t), con f (0+) =0 (6.137) C1 = C2 = C3 = C (6.138) R1 = R2 = R (6.139)
NodoA KCL → C dv3 dt = v1 R1 + C dv1 dt (6.140) NodoB KCL → C dv3 dt = C dv2 dt + v2 R2 (6.141) MagliaCE KVL → e(t)= v1 + v2 + v3 ⇐⇒ dv3 dt = de dt dv1 dt dv2 dt (6.142)
e v2.
2C dv1 dt + C dv2 dt + v1 R = C de dt (6.143) C dv1 dt +2C dv2 dt + v2 R = C de dt (6.144) (6.143)-2(6.144) ⇒− 3C dv2 dt + v1 R 2 v2 R = C de dt (6.145) ⇐⇒ dv2 dt = v1 3RC 2 3 v2 RC + 1 3 de dt (6.146) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 143
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Dalla(6.144):
N.B.:abbiamoscartatounacandidata ⇒ nell’equazionedistatoc’`e de dt .Condizioniiniziali?Inbasealbilanciodellediscontinuit`aabbiamo v(0+) = v(0 ) ⇒ integriamol’equazionedistatotra0 e0+
Cosasappiamosu v1 e v2?Dalla(6.148)vediamocheabbiamolostessoordinemassimodiderivatasullostatoesull’ingresso ⇒ stessogradodi continuit`a ⇒ alpi`u v1 e v2 possonoavereunsaltoagradino,acavallodi0 ⇒
+ 0 di v1 e v2 `enullo.
⇒ v1(0+)= 1 3 f (0+)(6.150)
Stessodiscorsoperlasecondaequazionedistato
⇒ v2(0+)= 1 3 f (0+)(6.151)
Daquesteedalla(6.148)ricaviamo dv1,2 dt t=0+ Orapossiamorisolvere,peresempio,rispettoa v1(t).Dobbiamoeliminare v2 dallaprimadelle(6.148).Nonabbiamoun’espressionedi v2 interminidi v1, e(t)eloroderivate,maabbiamola(6.143),dacuipossiamoricavare dv2 dt interminidi v1,˙v1 eingresso ⇒ deriviamolaprimadelle(6.148)epoi sostituiamola(6.143):
dv1 dt = 2 dv2 dt v2 RC + de dt = 2 3 v1 RC + 4 3 1 v2 RC + 1 3 de dt (6.147) ˙ v1 ˙ v2 = 2 3RC 1 3RC 1 3RC 2 3RC v1 v2 + 1 3 1 3 de dt (6.148)
0+ 0 dv1 dt dt =v1(0+) v1 (0 ) = 2 3RC 0+ 0 v1 dt + 1 3RC 0+ 0 v2 dt + 1 3 0+ 0 de dt dt =e(0+) e(0 ) (6.149)
0
d2v1 dt2 + 2 3RC dv1 dt = 1 3RC dv2 dt v (6 143) (6.152) ⇐⇒ d2v1 dt2 + 4 3RC dv1 dt + v1 3(RC)2 = 1 3RC de dt + 1 3 d2e dt2 (6.153) ⇒ v1(t)= C1e λ1t + C2e λ2t + v1p(t)(6.154) 144 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Provarearicavare v1p(t), C1, C2, λ1, λ2,supponendo f (t)= E (costante) e f (t)= E T t
Esempio6.11.3.
Circuitoaregimeper t< 0.Ricavare:
1.relazioneingresso/uscitaperlatensione v2
2.frequenzelibere,condizioneperavereduefrequenzeliberecomplesse coniugate λ± = γ ± jΩedeventualecondizionedistabilit`a
3.tensione v2 per t< 0
4.condizioniiniziali(in t =0+)necessarieperilcalcolodi v2(t)per t> 0
5.tensione v2 per t> 0
SOLUZIONE
1) Relazioneingresso/uscitaperlatensione v2 Abbiamo3candidate.SinotalapresenzadiunataglioCA(checoinvolge C1 e a(t)),checorrispondeaunafrequenzaliberanulla.
R + αv2 a(t
L i v2 C2 v1 C1 n :1 a(t)= A 1( t)+ Q0δ(t)
)
R + αv2 i a n a(t) a i L di dt + v2 L i v2 C2 v1 C1 a i n + a n 1 n n :1 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 145
Primededuzionisulcircuito:
Larelazioneingresso/uscitaperlatensione v2 `equindi:
2) Frequenzelibere,condizioneperavereduefrequenzeliberecomplesse coniugate λ± = γ ± jΩedeventualecondizionedistabilit`a L’equazionecaratteristicaderivatadall’omogeneaassociataallarelazione ingresso/uscitaappenaottenuta`e:
Peraverefrequenzeliberecomplesseconiugate,impongo
Peraverestabilit`a,inquestacondizione,occorreimporrechelaparte realedellefrequenzeliberesianegativa,ossia
Sostituendoiparametricircuitali,questarelazionerisultasempre soddisfatta(datoche R,L> 0).
3) Tensione v2 per t< 0 Per t< 0, a(t)= A ec’`el’ipotesidiregime(stazionario).Sostituendo nellarelazioneingresso/uscitalasoluzione(integraleparticolare)costante K, siricava:
R i n + a n 1 n + αv2 + n L di dt + v2 =0(6.155)
R n C2 dv2 dt +(α + n)v2 + nLC2 d2v2 dt2 = Ra 1 n n (6.156)
6.Componentiecircuitidinamicielementari Magliadisinistra:
Ma i = C2 dv2 dt ,percui:
n 2LC2 . = T 2 d2v2 dt2 + RC2 . = τ dv2 dt + n(α + n) = β v2 =(1 n)R = r a (6.157)
T 2λ2 + τλ + β =0(6.158) Dunque λ± = τ ± τ 2 4βT 2 2T 2 (6.159)
τ 2 < 4βT 2,ossia R2C2 < 4n3(α + n)L
τ 2T 2 < 0(6.160)
βK = rA (6.161) dacui: K = rA β (6.162) 146 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
6.Componentiecircuitidinamicielementari
Quindi,per t< 0,siha
v2(t)= rA β = v2(0 )(6.163)
4) Condizioniiniziali(in t =0+)necessarieperilcalcolodi v2(t)per t> 0
Larelazioneingresso/uscita`edelsecondoordine,percuimiserviranno duecondizioniiniziali: v2(0+)e dv2 dt 0+ .
Dalbilanciodellediscontinuit`anellarelazioneingresso/uscita,siricava che,acavallodi t =0,c’`eunimpulsosulladerivataseconda,quindiun gradinosulladerivataprimaecontinuit`asullavariabile v2.Questosignifica che v2(0+)= v2(0 )= rA β
Inoltre,datocheper t< 0,aregime, v2 `ecostante,lasuaderivatarispetto altempo`enullaequindi dv2 dt 0 =0.
Percalcolare dv2 dt 0+ ,integrotra0 e0+ larelazioneingresso/uscita:
5)
t> 0`enullo,percuinonc’`erispostaforzata(l’integrale particolare`enulloasuavolta).Lasoluzioneper t> 0`edunque
T 2 dv2 dt 0+ dv2 dt 0 = rQ0 (6.164) dacuisiricava dv2 dt 0+ = rQ0 T 2
Tensione v2 per
L’ingressoper
v2(t)= K+e λ+t + K e λ t (6.165) con λ± = γ ± jΩ. Sfruttolecondizioniiniziali: v2(0+)= K+ + K = rA β (6.166) dv2 dt 0+ = K+λ+ + K λ = rQ0 T 2 (6.167) Risolvendoilsistema,siricava K+ = rA 2β + j r 2Ω γA β Q0 T 2 = a + jb (6.168) K = K∗ + = a jb (6.169) MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 147
t> 0
6.Componentiecircuitidinamicielementari Quindi: v2(t)= K+e λ+t + K∗ +e λ∗ + t =(a + jb)e λ+t +(a jb)e λ∗ +t =(6.170) = eγt [(a + jb)(cosΩt + j sinΩt)+(a jb)(cosΩt j sinΩt)]= (6.171) =2eγt [a cosΩt b sinΩt]=(6.172) = eγt rA β cosΩt + r Ω γA β Q0 T 2 sinΩt (6.173) ossialasoluzione`eunasinusoidesmorzata(γ< 0). 148 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
Capitolo7 Circuitiinregimesinusoidale confrequenzafissa 7.1Cisoidi
Lecisoidisonounaclassedifunzionirealidiargomentoreale.Laloro definizionerichiedeper`odisconfinaredall’assedeinumerirealinelpiano deinumericomplessi.
Ilnomederivadall’acronimodi coseno+iseno.Ciascunacisoide u(t)`e caratterizzatadaunacoppiadiparametriscalaricomplessichiamati fasore e pulsazionecomplessa:
fasore:
⇒ lacisoidepu`oancheessereespressacome:
Propriet`a:
Altraespressioneequivalente:
u
(t)= Ueσt cos(ωt + φ)(7.1)
jφ
˙ U = Ue
pulsazionecomplessa: s = σ + jω (7.2)
u(t)= Re{Uest} = Re{Ueσt ej(ωt+φ)} = Ueσt cos(ωt + φ) (7.3)
u1(t) ↔ ( ˙ U,s) u2(t) ↔ ( ˙ U ∗,s∗) ⇒ u1(t) ≡ u2(t)(7.4)
u(t)= 1 2 (Uest + U ∗es∗t)
˙ Uest `eunafunzionecomplessadellavariabile
149
Interpretazionegeometrica:
reale t ⇒ lapossiamointerpretarecomevettorechevariacoltemponel pianodeinumericomplessi.Selacodadelvettore`ecentratanell’origine,la
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa puntadelvettoredescriveunacurvaparametricanelpianocomplesso,ilcui parametro`eiltempo t
Ingenerale,per σ =0e ω =0,questacurva`eunaspiralelogaritmica, lacuiproiezionesull’assereale`epropriolacisoide. ω stabiliscelavelocit`a (inrad/sec)delpuntochedescrivelaspirale,mentre σ stabiliscelavelocit`a diespansione(σ> 0)odicontrazione(σ< 0)delpuntostesso(rispetto all’origine).
Quadrodellecisoidicon s reale(ω =0): Hp: U> 0 ˙ U Re{Uest} Im{Uest} t ˙ U Re{Uest} Im{Uest} ˙ U Re{Uest} Im{Uest} t U> 0 U< 0 t u(t) σ< 0,u(t)= Ueσt U> 0 U< 0 t u(t) σ =0,u(t)= U U> 0 U< 0 t u(t) σ> 0,u(t)= Ueσt Quadrodellecisoidicon s complessa: Re{Uest} Im{Uest} Ueσt Re{Uest} Im{Uest} U Re{Uest} Im{Uest} Ueσt 150 MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti
7.Circuitiinregimesinusoidaleconfrequenzafissa
7.1.1Derivataeintegraledellecisoidi
Laderivatadiunacisoide u1(t)confasore ˙ U epulsazionecomplessa s `euna cisoide u2(t)conlastessapulsazionecomplessa(→ isofrequenziale)econ fasore s ˙ U.Dimostrazione:
Analogapropriet`avaleperl’integralediunacisoide:l’integralediuna cisoide u1(t)confasore U epulsazionecomplessa s `easuavoltaunacisoide u2(t)conlastessapulsazionecomplessaeconfasore U s :
7.2Sinusoidi
Tralecisoidi,siincontranospessolesinusoidi,chesonocisoidiconpulsazione immaginariapura s = jω (σ =0).Sonoleunichecisoidiperiodiche(→ particolarmenteimportanti)eservonoinoltrecomebaseperrappresentare qualunquesoluzioneperiodicamedianteseriediFourier.
Nelcasoincuiuncircuitosiasoggettoaingressiditiposinusoidalecon frequenzafissa,`eparticolarmenteutilestudiarel’integraleparticolaredelle soluzionifacendoriferimentoaifasori.
t u(t) σ<
u
Ueσt t u(t) σ =0
=0 u(t)=
φ) t u(t) σ> 0,ω =0 u(t)= Ueσt cos(ωt + φ) Ueσt
0,ω =0
(t)= Ueσt cos(ωt + φ)
,ω
U cos(ωt +
u2(t)= du1 dt = 1 2 s ˙ Uest + s ∗ ˙ U ∗ es∗t (7.5)
t t0 u1(τ ) ↔U dτ = u2(t) ⇒ U s (7.6)
MarcoStorace–TeoriadeiCircuiti 151
